Galīgas un bezgalīgas kopas - Fizmati

2.6. GALĪGAS UN BEZGALĪGAS KOPAS 41
sanumurējamai kopai vienmēr eksistē numerācija bez atkārtojumiem.
Jau pavisam drīz redzēsim, ka ne visas kopas ir sanumurējamas: nesanumurējama ir,
piem., visu reālo skaitļu kopa.
Sauksim numerāciju par ierobežotu, ja tās definīcijas kopa nesakrīt ar visu kopu N
un par neierobežotu pretējā gadījumā. Tas, ka numerācija ir ierobežota, nozīmē, ka ne
visi naturālie skaitļi numurējot ”
izlietoti“ 21 , un tad atbilstošo elementu virkni uztveram
kā galīgu. Ja turpretī ”
izlietoti“ visi naturālie skaitļi, numerācija ir neierobežota, un kā
bezgalīgu tad domājam arī tai atbilstošo virkni. Ievērosim, ka neierobežota numerācija pēc
atkārtojumu izsvītrošanas var kļūt ierobežota. Tagad sekojošo definīciju varam uztvert kā
mūsu intuitīvo priekšstatu precīzu formulējumu:
par galīgu saucam ikvienu kopu, kurai eksistē ierobežota numerācija.
Ievērojiet, ka
pa ceļam uz šo definīciju nekur nenācās izmantot kādus priekšstatus par elementu
skaitu!
Protams,
kopu, kas nav galīga, saucam par bezgalīgu.
Bet ko īsti tas tomēr nozīmē
2.37. vingrinājums. Kādēļ nav tiesa, ka kopa ir bezgalīga tad un tikai tad
(a) ja tai eksistē neierobežota numerācija
(b) ja tai ir tikai neierobežotas numerācijas
(c) ja tai nav nekādas numerācijas
Vēl jāatgādina, ka ne visur definēta funkcija var izrādīties pat nekur nedefināta. Tas
nozīmē, ka tās grafiks nesatur nevienu elementu pāri. Šāda funkcija ir numerācija tad un
tikai tad, ja tās beigu kopa A ir tukša, un tad tā ir arī ierobežota numerācija. Tātad mūsu
definīcija bez kādām papildus norunām tukšo kopu atzīst par galīgu un tāpēc ir šajā ziņā
pietiekami saprātīga.
3. Tomēr no pieņemtās galīgas kopas definīcijas vien nevar uzzināt, kas ir galīgas
kopas elementu skaits. Taču galīgas kopas numurēšanu bez atkārtojumiem var iedomāties
kā tās elementu skaitīšanu. Tad par tās elementu skaitu var nosaukt pēdējo numurēšanai
lietoto skaitli. Tiesa, te parādās ne gluži gaidīti sarežǧījumi: kāpēc, dažādi skaitot elementus
vienā un tai pašā kopā, noteikti iegūsim vienu un to pašu gala rezultātu Formāli
šis jautājums pasakāms tā: kāpēc visām galīgas kopas numerācijām bez atkārtojumiem
ir viena un tā pati definīcijas kopa Vai to, ka tā ir, var pierādīt, jeb vai tas jāpieņem
kā empīrisks dabas likums Vai, varbūt, tā ir pašsaprotama aksioma Pirms lasīt tālāk,
ieteicams kādu brīdi par to padomāt.
Pierādīt to var, un izrādās, ka pierādījums nebūt nav pavisam triviāls. Ieinteresēts
lasītājs var tam šeit izsekot.
Pieņemsim, ka mums ir galīga kopa A un divas tās numerācijas bez atkārtojumiem —
ν: n → A un µ: m → A. Ērtības labad apzīmēsim elementu ν(i), kuram ir numurs i
pirmajā numerācijā, ar a i ; tad A = {a 1 , a 2 , . . . , a n }, pie kam visi uzskaitītie elementi
21 Ievērojiet: īpašais nosacījums numerācijas definīcijas kopai panāk, ka naturālie skaitļi numurēšanai
lietoti ”
pēc kārtas“, bez izlaidumiem