Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2.6. GALĪGAS UN BEZGALĪGAS KOPAS 45<br />
(m 1 + m 2 + · · · + m k ) < (n 1 + n 2 + · · · + n k ) vai<br />
(m 1 + m 2 + · · · + m k ) = (n 1 + n 2 + · · · + n k ), bet m 1 < n 1 , vai<br />
(m 1 + m + 2 + · · · + m k ) < (n 1 + n 2 + · · · + n k ), m 1 = n 1 , bet m 2 < n 2 , vai<br />
(m 1 +m+2+· · ·+m k ) < (n 1 +n 2 +· · ·+n k ), m 1 = n 1 , m 2 = n 2 , bet m 3 = n 3 ,<br />
u.t.t.<br />
Vārdiem to pašu var izstāstīt tā: kortežus no N k sakārto to komponenšu summu augošā<br />
secībā, bet ja diviem kortežiem šīs summas ir vienādas, tad pirmais no abiem ir tas,<br />
kuram pirmā (no sākuma skaitot) komponente, kas atšķiras no atbilstošās otra korteža<br />
komponentes, ir mazāka.<br />
Tālāk definējam daļēju f<strong>un</strong>kciju f: N k → A 1 × A 2 × · · · × A k , nosakot ka<br />
f(m 1 , m 2 , . . . , m k ) ir kortežs, kura i-ā komponente ir <strong>kopas</strong> A i elements ar<br />
numuru m i ; ja tur ir mazāk nekā m i elementu, f<strong>un</strong>kcija f šiem argumentiem<br />
paliek nedefinēta.<br />
Tad pēc K1 šīs f<strong>un</strong>kcijas definīcijas kopa ir sanumurējama. Bet reizinājums A 1 × A 2 ×<br />
· · · × A k ir f<strong>un</strong>kcijas f vērtību kopa, tāpēc tas ir sanumurējams pēc K2. ◭<br />
2.40. piemērs. Mēs redzējām, ka <strong>kopas</strong> N <strong>un</strong> Z ir sanumurējamas. Vai ir iespējams sanumurēt<br />
<strong>un</strong> izkārtot virknē visus racionālos skaitļus Nez, vai jums uzreiz izdosies izdomāt šai kopai<br />
kādu konkrētu numerāciju. Taču no K4 izriet, ka ir sanumurējama kopa Z × N. Ņemsim f<strong>un</strong>kciju,<br />
kas katram pārim (m, n) no šī reizinājuma piekārto skaitli m . Tad šīs f<strong>un</strong>kcijas vērtību kopa ir Q.<br />
n<br />
Tātad pēc K4 (<strong>un</strong> atceroties, ka racionālo skaitļu ir neierobežoti daudz) dabūjam šādu rezultātu:<br />
Visu racionālo skaitļu kopa Q ir pārskaitāma.<br />
2.41. vingrinājums. Izdomājiet konkrētu numerāciju (izkārtojumu virknē pozitīvo racionālo<br />
skaitļu kopai Q + <strong>un</strong> visai kopai Q. (Skat. savas lekciju piezīmes.)<br />
Ikvienas <strong>kopas</strong> A visu kortežu kopa ir visu tās pakāpju A k apvienojums. Tāpēc K4<br />
kopā ar K3 noved pie šāda secinājuma:<br />
K5: Visu pārskaitāmas kortežu kopa ir pārskaitāma.<br />
Mēs jau zinām, ka galīgai n elementu kopai ir pavisam 2 n apakškopu. Bet, protams,<br />
bezgalīgai kopai arī apakškopu ir bezgala daudz.<br />
K6: Pārskaitāmas <strong>kopas</strong> visu galīgo apakškopu kopa ir pārskaitāma.<br />
Pierādījums. Pieņemsim, ka A ir pārskaitāma kopa. Mēs zinām, ka visu tās kortežu kopa<br />
arī ir pārskaitāma. Piekārtosim katram kortežam visu tā komponenšu kopu; tā dabūsim<br />
attēlojumu no visu A kortežu <strong>kopas</strong> visu tās galīgo apakškopu kopā. Tas acīmredzami ir<br />
sirjektīvs; tad pēc K2 arī visu galīgo A apakškopu kopa ir sanumurējama.<br />
◭<br />
Bet ja interesēsimies par pārskaitāmas <strong>kopas</strong> visu apakškopu kopu Ar šo jautājumu<br />
esam nonākoši pie sanumurējamo kopu pasaules robežas. Atbilde uz to būs atrodama<br />
nākamjā apakšparagrāfā.<br />
2.6.3. Nesanumurējamas <strong>kopas</strong><br />
Viens no nozīmīgākiem kopu teorijas atklājumiem, ko vēl 19. gs. beigās izdarīja tās<br />
pamatlicējs G. Kantors, ir nesanumurējamu (tātad ne galīgu, ne pārskaitāmu) kopu eksistence.<br />
Ar konkrētiem tādu kopu piemēriem iepazīsimies nākamajos paragrāfos. Nesanumurējamas<br />
<strong>kopas</strong> piemērs, ar kuru tūdaļ iepazīsimies, atbildot uz nupat iepriekš uzstādīto<br />
jautājumu, ir vairāk teorētisks. Sāksim ar šādu lemmu/
Change language