GalÄ«gas un bezgalÄ«gas kopas - Fizmati

More documents

Recommendations

Info

2.6. GALĪGAS UN BEZGALĪGAS KOPAS 43 0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, . . . . Tas, protams, nav vienīgais iespējamais veids kā to izdarīt. Lūk, vēl viens: 0, −1, 2, 3, −2, 4, 5, 6, −3, 7, 8, 9, 10, −4, 11, . . . . (d) Kopa N × N ir pārskaitāma. Izvietosim naturālo skaitļu pārus virknē tā, lai pāris (m, n) tajā atrastos tālāk par pāri (k, l), ja k + l < m + n vai arī ja k + l = m + n, bet k < m: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), . . . . 2.39. vingrinājums. Noskaidrojiet, kā izrēķināt patvaļīga pāra (k, l) numuru piemērā (d) realizētajā numerācijā (t.i., kārtas numuru tur minētajā virknē). Noslegums. Un tā — ko tad esam uzzinājuši Attiecībā uz galīgām kopām — it kā neko jaunu: ka galīga kopa ir tāda, kurai galīgs skaits elementu. Tomēr svarīgi ir tas, ka galīgas kopas jēdzienu, kā tagad redzams, var reducēt uz kopu teorijas pamatjēdzieniem (t.i., to var definēt, atsaucoties uz pēdējiem). Pie tam esam arī atklājuši paņēmienu kopu lieluma“ salīdzināšanai: vienlieluma jēdziens strādā un noved pie negaidītiem secinājumiem arī bezgalīgām kopām, par kuru elementu skaitu tiešā nozīmē ” runāt nevar — ja nu vienīgi noslēpt šo nevarēšanu aiz miglainas frāzes bezgalīgā kopā ” ir bezgalīgs skaits elementu“. Vārdkopa bezgalīgs skaits“ ir maldinoša tai ziņā, ka tā ” nenozīmē kaut kādu noteiktu skaitu, kurš nav galīgs vai kurš ir lielāks par jebkuru galīgu skaitu. Sanumurējama bezgalīga kopa ir kopa, kuras elementus pārskaitot jāiztērē visi naturālie skaitļi. Nesanumurējamas kopas vispār nevar pilnībā pārskaitīt (naturālo skaitļu izrādās par maz“); neviena pat neierobežoti gara virkne nevar saturēt visus tādas kopas ” elementus. Ka kopā ir bezgalīgs skaits elementu — tas var nozīmēt vienīgi to, ka tajā elementu nav galīgs skaits. 2.6.2. Sanumurējamo kopu īpašības Labi zināms, ka galīgas kopas katra apakškopa, divu galīgu kopu apvienojums, šķēlums, starpība, Dekarta reizinājums ir galīgas kopas. To pašu var teikt par jebkura (galīga!) skaita galīgu kopu apvienojumu un šķēlumu. Galīga ir arī ikvienas galīgas kopas visu apakškopu kopa un visu tās kortežu kopa. Tādējādi, parastās darbības ar kopām neizved mūs ārpus galīgo kopu pasaules“. Šajā ” paragrāfā pārliecināsimies, ka gandrīz pilnībā tāpat ir arī ar sanumurējamām kopām. (Ar pārskaitāmām kopām jābūt ūzmanīgam; piem., divu pārskaitāmu kopu šķēlums var izrādīties galīgs, tātad vairs ne pārskaitāms.) 1. Izskatīsim vairākas konstrukcijas, kas ļauj no vienām sanumurējamām kopām izveidot jaunas. Dažas no tām ir iepriekšējā apakšparagrāfa beigās redzēto piemēru vispārinājumi. K1: Jebkura sanumurējamas kopas apakškopa ir sanumurējama. Tātad katra tās apakškopa ir vai nu galīga vai pārskaitāma. K2: Ja kādas funkcijas definīcijas kopa ir sanumurējama, tad sanumurējama ir arī tās vērtību kopa. Tiešām, ja a 1 , a 2 , a 3 , . . . ir funkcijas f definīcijas kopas izvietojums virknē, tad f(a 1 ), f(a 2 ), f(a 3 ), . . . ir tās vērtību kopas izvietojums. Protams, gan vienā, gan otrā var būt atkārtojumi, bet mēs zinām, ka tas sanumurējamībā nespēlē lomu. Lūk, noderīgs K2 īpašgadījums:
44 K2’: Ja injektīvas funkcijas definīcijas kopa ir pārskaitāma, tad pārskaitāma ir arī tās vērtību kopa. Galīgas un sanumurējamas kopas apvienojums ir sanumurējama kopa: pirmās kopas elementus var pierakstīt priekšā jebkuram otrās kopas elementu izvietojumam virknē. Pēc 2.38(c) piemēra parauga var pārliecināties, ka arī divu patvaļīgu sanumurējamu kopu apvienojums ir sanumurējams. Pieņemsim, ka A un B ir divas tādas kopas, bet un attiecīgi a 1 , a 2 , a 3 , . . . b 1 , b 2 , b 3 , . . . — to elementu izvietojumi virknē. Tad kopas A ∪ B elementus var izvietot vienā virknē šādi: a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , a 3 , b 3 , . . . . Protams, ja vienā no abām virknēm ir mazāk locekļu nekā otrā, tad šajā sapludinājumā no kādas vietas sakot, parādīsies tikai šīs otrās virnes locekļi. Šo pašu ideju var izmantot, lai parādītu, ka jebkura galīga skaita sanumurējamu kopu apvienojums ir sanumurējums. Taču tā neder, ja kopu ir pārskaitāmi daudz. Tomēr arī tāds apvienojums ir sanumurējams, un izrādās, ka pat var visus trīs šos gadījumus apvienot vienā. K3: Ja (A i : i ∈ I ir sanumurējamu kopu saime, kurai arī indeksu kopa I ir sanumurējama, tad to apvienojums B := ⋃ (A i : i ∈ N) ir sanumurējams. Pierādījums. Neierobežojot vispārīgumu, varam iedomāties, ka indeksu kopa ir kāds galīgs vai bezgalīgs N sākumnogrieznis. Pieņemsim, ka katrai kopai A i izraudzīta kāda no iespējamām numerācijām un ka a ij nozīmē šīs kopas j-o elements paņemtajā numerācijā. Tad minētais apvienojums B ir vērtību kopa funkcijai (iespējams, daļēji definētai, ja I vai kāda no kopām A i ir galīga) f: N × N → B, ko definē, nosakot, ka f(i, j) := a ij , ja i-jā kopā ir elements ar numuru j un f(i, j) nav definēta, ja tur tāda elementa nav vai ja kopu skaits ir mazāks par i (t.i., |I| < j. Tad no K2 un no piemērā 2.38(d) redzētā kopā ar K1 izriet, ka kopa B arī ir sanumurējama. ◭ Šim apsvērumam netraucē tas, ka kāda no kopām A i varētu izrādīties tukša. Ja tās visas ir tukšas vai ja tukša ir indeksu kopa I, tad arī B = ∅, bet tukšā kopa, kā zinām, ir sanumurējama. Lasītājs pats var pārliecināties, ka tieši tāpat sanumurējams ir divu sanumurējamu kopu A un B Dekarta reizinājums, ja ar a ij apzīmē sakārtoto pāri, kura pirmā komponente ir kopas A i − ais, bet otrā komponente — kopas B j-ais elements. Nav grūti to pašu ideju vispārināt vairākām kopām. K4: Jebkura galīga skaita sanumurējamu kopu Dekarta reizinājums ir sanumurējams. Pierādījums. Pieņemsim, ka sareizinātas k kopas A 1 , A 2 , . . . , A k . Vispirms pārliecināsimies, ka ir sanumurējama kopa N k . Tās elementus patiešām var izkārtot virknē, kortežu (m 1 , m 2 , . . . , m k ) liekot pirms korteža n 1 , n 2 , . . . , n k ) tad un tikai tad, ja izpildās kāds no nosacījumiem
Page 1 and 2: 40 2.6. Galīgas un bezgalīgas kop
Page 3: 42 ir dažādi. Apzīmēsim ar k i
Page 7 and 8: 46 Jebkuram pārskaitāmas kopas ap
Page 9 and 10: 48 grūti saprast, ka tad pastāv a

GalÄ«gas un bezgalÄ«gas kopas - Fizmati

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?