Galīgas un bezgalīgas kopas - Fizmati

40
2.6. Galīgas un bezgalīgas kopas
2.6.1. Elementu skaitīšana kopās
1. Nostadnes. Kādu kopu sauc par galīgu par bezgalīgu
Uz otro jautājumu ir vienkārša atbilde: kopu sauc par bezgalīgu, ja tā nav galīga.
Tātad — kas ir galīga kopa
Visiem zināms, ka tā ir kopa, kurai galīgs skaits elementu. Šo tēzi pat mēdz uzskatīt
par galīgas kopas definīciju, un apmēram tā domājām jau kopu teorijas nodaļā.
Ja nu te kāds pajautā, kāpēc galīgu (kopu) definē ar galīgu (skaitu) un kas īsti ir
galīgs, var no tāda jautājuma izvairīties, sakot, ka galīga ir tāda kopa, kuras elementus
var saskaitīt.
Ko tas nozīmē — saskaitīt kopas elementus Vai tas nozīmē noteikt elementu skaitu
tajā Bet uz jautājumu, kas tas ir — kopas elementu skaits, parastā atbilde ir — tas ir
naturāls skaitlis, kurš rāda cik kopā ir elementu. Taču ko grib uzzināt cilvēks, kurš vaicā
— cik šajā kopā ir elementu Viņš grib uzzināt apskatāmās kopas elementu skaitu. Loks
noslēdzas — un vai noskaidrojām ko jaunu
Tātad tomēr — kas ir kopas elementu skaits Vai katrai kopai tāds ir Vai šo jēdzienu
var saprātīgi definēt, neķerot sevi aiz astes kā nupat iepriekš, jeb vai tas jāuzskata par
mums intuīcijā dotu un uz vienkāršākiem nereducējamu pamatjēdzienu Jo — kurš gan
neprot saskaitīt galīgā kopā elementus, un kāpēc te vispār vajadzētu ko definēt
Bet mēs dažkārt sakām arī — šajā kopā ir bezgala daudz jeb bezgalīgs skaits elementu.
Kas šis ir par skaitu Vai arī tas ir kaut kāds skaitlis, varbūt pat naturāls Un vai kaut
kā skaits var nebūt galīgs
Šajā paragrāfā mēǧinasim tikt skaidrībā ar šiem jautājumiem.
2. Sanumurejamas kopas Vispirms iepazīsimies ar noderīgu palīgjēdzienu.
Sauksim par kopas N sākumnogriezni ikvienu šīs kopas apakškopu, kura līdz ar
katru savu elementu n, kurš atšķiras no 1, satur arī skaitli n − 1.
Tātad sākumnogrieznis līdz ar katru savu elementu satur visus par n mazākos N elementus,
ja vien tādi ir. Lūk, daži sākumnogriežņu piemēri: ∅, {1}, {1, 2, 3, 4, 5}, N. Jā, arī
tukšā kopa: tajā patiešām nav neviena tāda elementa n, ka n − 1 tai vairs nepiederētu!
Tos N sākumnogriežņus, kuri nesakrīt ar visu kopu N, sauksim par istiem. Katrs
nenegatīvs vesels skaitlis n nosaka vienu īstu sākumnogriezni n := {i ∈ N: i ≤ n}, un
ikviens īsts sākumnogrieznis ir tā dabūjams. Tā, 0 = ∅, 1 = {1}, 2 = {1, 2} u.t.t. Taču
tā kā nav vislielākā veselā skaitļa (jo katram veselam skaitlim var pieskaitīt 1 un dabūt
lielāku), nav arī tāda n, ka n = N.
Tālāk — centrālais šī un arī nākamā paragrāfa jēdziens par sanumurējamu kopu.
Par kopas A numerāciju sauksim jebkuru daļēju funkciju ν: N → A, kuras definīcijas
kopa ir kāds N sākumnogrieznis, bet vērtību kopa — visa kopa A. Ja šī funkcija
turklāt ir arī injektīva, sauksim to par numerāciju bez atkārtojumiem. Kopu A
sauksim par sanumurējamu, ja tai eksistē kāda numerācija.
Kopas numurēšanu (t.i. numerācijas izveidošanu) var iztēloties kā visu šīs kopas elementu
izkārtošanu virknē
ν(1), ν(2), ν(3), . . . ,
pieļaujot tajā arī elementu atkārtojumus. Atkārtojumi dažkārt ir noderīgi, bet nav grūti
saprast, ka tie nav nepieciešami: tos vienmēr var izsvītrot. Tātad

2.6. GALĪGAS UN BEZGALĪGAS KOPAS 41
sanumurējamai kopai vienmēr eksistē numerācija bez atkārtojumiem.
Jau pavisam drīz redzēsim, ka ne visas kopas ir sanumurējamas: nesanumurējama ir,
piem., visu reālo skaitļu kopa.
Sauksim numerāciju par ierobežotu, ja tās definīcijas kopa nesakrīt ar visu kopu N
un par neierobežotu pretējā gadījumā. Tas, ka numerācija ir ierobežota, nozīmē, ka ne
visi naturālie skaitļi numurējot ”
izlietoti“ 21 , un tad atbilstošo elementu virkni uztveram
kā galīgu. Ja turpretī ”
izlietoti“ visi naturālie skaitļi, numerācija ir neierobežota, un kā
bezgalīgu tad domājam arī tai atbilstošo virkni. Ievērosim, ka neierobežota numerācija pēc
atkārtojumu izsvītrošanas var kļūt ierobežota. Tagad sekojošo definīciju varam uztvert kā
mūsu intuitīvo priekšstatu precīzu formulējumu:
par galīgu saucam ikvienu kopu, kurai eksistē ierobežota numerācija.
Ievērojiet, ka
pa ceļam uz šo definīciju nekur nenācās izmantot kādus priekšstatus par elementu
skaitu!
Protams,
kopu, kas nav galīga, saucam par bezgalīgu.
Bet ko īsti tas tomēr nozīmē
2.37. vingrinājums. Kādēļ nav tiesa, ka kopa ir bezgalīga tad un tikai tad
(a) ja tai eksistē neierobežota numerācija
(b) ja tai ir tikai neierobežotas numerācijas
(c) ja tai nav nekādas numerācijas
Vēl jāatgādina, ka ne visur definēta funkcija var izrādīties pat nekur nedefināta. Tas
nozīmē, ka tās grafiks nesatur nevienu elementu pāri. Šāda funkcija ir numerācija tad un
tikai tad, ja tās beigu kopa A ir tukša, un tad tā ir arī ierobežota numerācija. Tātad mūsu
definīcija bez kādām papildus norunām tukšo kopu atzīst par galīgu un tāpēc ir šajā ziņā
pietiekami saprātīga.
3. Tomēr no pieņemtās galīgas kopas definīcijas vien nevar uzzināt, kas ir galīgas
kopas elementu skaits. Taču galīgas kopas numurēšanu bez atkārtojumiem var iedomāties
kā tās elementu skaitīšanu. Tad par tās elementu skaitu var nosaukt pēdējo numurēšanai
lietoto skaitli. Tiesa, te parādās ne gluži gaidīti sarežǧījumi: kāpēc, dažādi skaitot elementus
vienā un tai pašā kopā, noteikti iegūsim vienu un to pašu gala rezultātu Formāli
šis jautājums pasakāms tā: kāpēc visām galīgas kopas numerācijām bez atkārtojumiem
ir viena un tā pati definīcijas kopa Vai to, ka tā ir, var pierādīt, jeb vai tas jāpieņem
kā empīrisks dabas likums Vai, varbūt, tā ir pašsaprotama aksioma Pirms lasīt tālāk,
ieteicams kādu brīdi par to padomāt.
Pierādīt to var, un izrādās, ka pierādījums nebūt nav pavisam triviāls. Ieinteresēts
lasītājs var tam šeit izsekot.
Pieņemsim, ka mums ir galīga kopa A un divas tās numerācijas bez atkārtojumiem —
ν: n → A un µ: m → A. Ērtības labad apzīmēsim elementu ν(i), kuram ir numurs i
pirmajā numerācijā, ar a i ; tad A = {a 1 , a 2 , . . . , a n }, pie kam visi uzskaitītie elementi
21 Ievērojiet: īpašais nosacījums numerācijas definīcijas kopai panāk, ka naturālie skaitļi numurēšanai
lietoti ”
pēc kārtas“, bez izlaidumiem

42
ir dažādi. Apzīmēsim ar k i elementa a i numuru otrajā numerācijā: a i = µ(k i); tad
arī visi skaitļi k 1 , k 2 , . . . , k n ir dažādi.
Acīmredami, starp tiem jāatrodas visiem otrajā numerācijā izlietotajiem numuriem:
abas reizes taču sanumurēta viena un tā pati kopa. Citiem vārdiem sakot, visu šo
skaitļu kopa sakrīt ar m.
Tādējādi kopa {k 1, k 2, . . . , k n} ir N sākumnogrieznis. Tā kā tās elementu uzskaitījumā
nav atkārtojumu, lielākajam no tiem jāsakrīt ar pēdējo indeksu, proti n. Tas
nozīmē, ka šis ir sākumnogrieznis n.
Tātad m = n. Līdz ar to, atklājas, ka abas A numerācijas izlieto vienus un tos pašus
skaitļus – ko arī gribējām noskaidrot.
Šie apsvērumi rāda, ka īstenībā nekādas nenoteiktības nav: galīgas kopas elementu
skaits tiešām nav atkarīgs no tā, kā skaita.
Lūk, galīgā definīcija. No tās izriet, ka kopai ir noteikts elementu skaits tad un tikai
tad, ja tā ir galīga.
Par kopas elementu skaitu sauc tādu skaitli n, ka tai ir iespējama numerācija bez
atkārtojumiem ar definīcijas kopu n.
Tātad nekāda bezgalīga elementu skaita nav. Šo teicienu var lietot tikai ”
neoficiāli“, lai
pateiktu, ka runa bezgalīgu kopu, kuras elementus nevar saskaitīt.
4. Vēl daži vārdi par terminoloǧiju. Esam norunājuši ar vārdiem ‘sanumurējama
kopa’ saprast arī visas galīgās kopas. Pastāv arī cita tradīcija, kad par sanumurējamu
sauc tikai bezgalīgu sanumurējamu kopu. Tad par kopu, kura ir vai nu galīga, vai arī
sanumurējama šajā šaurākajā nozīmē, saka ka tā ir ne vairāk kā sanumurējama.
Dažkārt tomēr ir nepieciešams kaut ko īpaši pateikt par bezgalīgām sanumurējamām
kopām. Kā jau nupat runājām, tādas kopas elementus nevar saskaitīt; jebkura numerācija
ļauj tos tikai pa vienam pārskaitīt. Tāpēc šajā grāmatā tādas kopas dažviet sauktas par
pārskaitāmām:
Sanumurējamu kopu, kas nav galīga, saucam par pārskaitāmu
Protams, reāli neviens nekad nepārskaitīs visus šādas kopas elementus 22 – tā ir jāiedomājas
tikai kā potenciāla mūsu iespēja. Turpretī ja pieļaujam, ka kopu numerācijas var pastāvēt
kā gatavas“ 23 bez mūsu līdzdalības, tad nekas netraucē pētīt to (pārskaitāmo kopu)
”
īpašības.
Par piemēru der visu naturālo skaitļu kopa N; Pagaidām vienīgā mums zināmā pārskaitāmā
kopa ir pati kopa N. Atceroties, ka kopas sanumurējamība nozīmē iespēju tās elementus
izvietot virknē, var viegli sameklēt daudzus citus. Minēsim dažus izteiksmīgus
piemērus.
2.38. piemēri. (a) Visu pirmskaitļu kopa, tāpat visu skaitļa 3 pakāpju kopa acīmredzami
ir pārskaitāmas. Faktiski pārskaitāma ir jebkura bezgalīga pārskaitāmas kopas apakškopa.
(b) Veselos negatīvos skaitļus var izvietot virknē
−1, −2, −3, −4, . . .,
tāpēc to kopa Z − ir pārskaitāma.
(c) Visu veselo skaitļu kopa Z arī ir pārskaitāma: tos var izvietot vienā virknē šādi:
22 Tomēr mēs ērtības labad dažkārt atļausimies teikt, ka tajā ir pārskaitāmi daudz elementu.
23 Dažkārt, lai uzsvērtu šo pretstatu numerācijas potenciālai iespējai tikt izveidotai, saka — aktuāli
pastāvēt.

2.6. GALĪGAS UN BEZGALĪGAS KOPAS 43
0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, . . . .
Tas, protams, nav vienīgais iespējamais veids kā to izdarīt. Lūk, vēl viens:
0, −1, 2, 3, −2, 4, 5, 6, −3, 7, 8, 9, 10, −4, 11, . . . .
(d) Kopa N × N ir pārskaitāma. Izvietosim naturālo skaitļu pārus virknē tā, lai pāris (m, n)
tajā atrastos tālāk par pāri (k, l), ja k + l < m + n vai arī ja k + l = m + n, bet k < m:
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), . . . .
2.39. vingrinājums. Noskaidrojiet, kā izrēķināt patvaļīga pāra (k, l) numuru piemērā (d)
realizētajā numerācijā (t.i., kārtas numuru tur minētajā virknē).
Noslegums. Un tā — ko tad esam uzzinājuši Attiecībā uz galīgām kopām —
it kā neko jaunu: ka galīga kopa ir tāda, kurai galīgs skaits elementu. Tomēr svarīgi
ir tas, ka galīgas kopas jēdzienu, kā tagad redzams, var reducēt uz kopu teorijas pamatjēdzieniem
(t.i., to var definēt, atsaucoties uz pēdējiem). Pie tam esam arī atklājuši
paņēmienu kopu lieluma“ salīdzināšanai: vienlieluma jēdziens strādā un noved pie negaidītiem
secinājumiem arī bezgalīgām kopām, par kuru elementu skaitu tiešā nozīmē
”
runāt nevar — ja nu vienīgi noslēpt šo nevarēšanu aiz miglainas frāzes bezgalīgā kopā
”
ir bezgalīgs skaits elementu“. Vārdkopa bezgalīgs skaits“ ir maldinoša tai ziņā, ka tā
”
nenozīmē kaut kādu noteiktu skaitu, kurš nav galīgs vai kurš ir lielāks par jebkuru galīgu
skaitu. Sanumurējama bezgalīga kopa ir kopa, kuras elementus pārskaitot jāiztērē visi
naturālie skaitļi. Nesanumurējamas kopas vispār nevar pilnībā pārskaitīt (naturālo skaitļu
izrādās par maz“); neviena pat neierobežoti gara virkne nevar saturēt visus tādas kopas
”
elementus. Ka kopā ir bezgalīgs skaits elementu — tas var nozīmēt vienīgi to, ka tajā
elementu nav galīgs skaits.
2.6.2. Sanumurējamo kopu īpašības
Labi zināms, ka galīgas kopas katra apakškopa, divu galīgu kopu apvienojums, šķēlums,
starpība, Dekarta reizinājums ir galīgas kopas. To pašu var teikt par jebkura (galīga!)
skaita galīgu kopu apvienojumu un šķēlumu. Galīga ir arī ikvienas galīgas kopas visu
apakškopu kopa un visu tās kortežu kopa.
Tādējādi, parastās darbības ar kopām neizved mūs ārpus galīgo kopu pasaules“. Šajā
”
paragrāfā pārliecināsimies, ka gandrīz pilnībā tāpat ir arī ar sanumurējamām kopām.
(Ar pārskaitāmām kopām jābūt ūzmanīgam; piem., divu pārskaitāmu kopu šķēlums var
izrādīties galīgs, tātad vairs ne pārskaitāms.)
1. Izskatīsim vairākas konstrukcijas, kas ļauj no vienām sanumurējamām kopām izveidot
jaunas. Dažas no tām ir iepriekšējā apakšparagrāfa beigās redzēto piemēru vispārinājumi.
K1: Jebkura sanumurējamas kopas apakškopa ir sanumurējama.
Tātad katra tās apakškopa ir vai nu galīga vai pārskaitāma.
K2: Ja kādas funkcijas definīcijas kopa ir sanumurējama, tad sanumurējama ir arī
tās vērtību kopa.
Tiešām, ja a 1 , a 2 , a 3 , . . . ir funkcijas f definīcijas kopas izvietojums virknē, tad f(a 1 ), f(a 2 ),
f(a 3 ), . . . ir tās vērtību kopas izvietojums. Protams, gan vienā, gan otrā var būt atkārtojumi,
bet mēs zinām, ka tas sanumurējamībā nespēlē lomu. Lūk, noderīgs K2 īpašgadījums:

44
K2’: Ja injektīvas funkcijas definīcijas kopa ir pārskaitāma, tad pārskaitāma ir arī
tās vērtību kopa.
Galīgas un sanumurējamas kopas apvienojums ir sanumurējama kopa: pirmās kopas
elementus var pierakstīt priekšā jebkuram otrās kopas elementu izvietojumam virknē.
Pēc 2.38(c) piemēra parauga var pārliecināties, ka arī divu patvaļīgu sanumurējamu kopu
apvienojums ir sanumurējams. Pieņemsim, ka A un B ir divas tādas kopas, bet
un attiecīgi
a 1 , a 2 , a 3 , . . .
b 1 , b 2 , b 3 , . . .
— to elementu izvietojumi virknē. Tad kopas A ∪ B elementus var izvietot vienā virknē
šādi:
a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , a 3 , b 3 , . . . .
Protams, ja vienā no abām virknēm ir mazāk locekļu nekā otrā, tad šajā sapludinājumā
no kādas vietas sakot, parādīsies tikai šīs otrās virnes locekļi.
Šo pašu ideju var izmantot, lai parādītu, ka jebkura galīga skaita sanumurējamu kopu
apvienojums ir sanumurējums. Taču tā neder, ja kopu ir pārskaitāmi daudz. Tomēr arī
tāds apvienojums ir sanumurējams, un izrādās, ka pat var visus trīs šos gadījumus apvienot
vienā.
K3: Ja (A i : i ∈ I ir sanumurējamu kopu saime, kurai arī indeksu kopa I ir
sanumurējama, tad to apvienojums B := ⋃ (A i : i ∈ N) ir sanumurējams.
Pierādījums. Neierobežojot vispārīgumu, varam iedomāties, ka indeksu kopa ir kāds
galīgs vai bezgalīgs N sākumnogrieznis. Pieņemsim, ka katrai kopai A i izraudzīta kāda no
iespējamām numerācijām un ka a ij nozīmē šīs kopas j-o elements paņemtajā numerācijā.
Tad minētais apvienojums B ir vērtību kopa funkcijai (iespējams, daļēji definētai, ja I vai
kāda no kopām A i ir galīga) f: N × N → B, ko definē, nosakot, ka
f(i, j) := a ij , ja i-jā kopā ir elements ar numuru j un
f(i, j) nav definēta, ja tur tāda elementa nav vai ja kopu skaits ir mazāks par
i (t.i., |I| < j.
Tad no K2 un no piemērā 2.38(d) redzētā kopā ar K1 izriet, ka kopa B arī ir sanumurējama.
◭
Šim apsvērumam netraucē tas, ka kāda no kopām A i varētu izrādīties tukša. Ja tās
visas ir tukšas vai ja tukša ir indeksu kopa I, tad arī B = ∅, bet tukšā kopa, kā zinām, ir
sanumurējama.
Lasītājs pats var pārliecināties, ka tieši tāpat sanumurējams ir divu sanumurējamu kopu
A un B Dekarta reizinājums, ja ar a ij apzīmē sakārtoto pāri, kura pirmā komponente ir
kopas A i − ais, bet otrā komponente — kopas B j-ais elements. Nav grūti to pašu ideju
vispārināt vairākām kopām.
K4: Jebkura galīga skaita sanumurējamu kopu Dekarta reizinājums ir sanumurējams.
Pierādījums. Pieņemsim, ka sareizinātas k kopas A 1 , A 2 , . . . , A k . Vispirms pārliecināsimies,
ka ir sanumurējama kopa N k .
Tās elementus patiešām var izkārtot virknē, kortežu (m 1 , m 2 , . . . , m k ) liekot pirms
korteža n 1 , n 2 , . . . , n k ) tad un tikai tad, ja izpildās kāds no nosacījumiem

2.6. GALĪGAS UN BEZGALĪGAS KOPAS 45
(m 1 + m 2 + · · · + m k ) < (n 1 + n 2 + · · · + n k ) vai
(m 1 + m 2 + · · · + m k ) = (n 1 + n 2 + · · · + n k ), bet m 1 < n 1 , vai
(m 1 + m + 2 + · · · + m k ) < (n 1 + n 2 + · · · + n k ), m 1 = n 1 , bet m 2 < n 2 , vai
(m 1 +m+2+· · ·+m k ) < (n 1 +n 2 +· · ·+n k ), m 1 = n 1 , m 2 = n 2 , bet m 3 = n 3 ,
u.t.t.
Vārdiem to pašu var izstāstīt tā: kortežus no N k sakārto to komponenšu summu augošā
secībā, bet ja diviem kortežiem šīs summas ir vienādas, tad pirmais no abiem ir tas,
kuram pirmā (no sākuma skaitot) komponente, kas atšķiras no atbilstošās otra korteža
komponentes, ir mazāka.
Tālāk definējam daļēju funkciju f: N k → A 1 × A 2 × · · · × A k , nosakot ka
f(m 1 , m 2 , . . . , m k ) ir kortežs, kura i-ā komponente ir kopas A i elements ar
numuru m i ; ja tur ir mazāk nekā m i elementu, funkcija f šiem argumentiem
paliek nedefinēta.
Tad pēc K1 šīs funkcijas definīcijas kopa ir sanumurējama. Bet reizinājums A 1 × A 2 ×
· · · × A k ir funkcijas f vērtību kopa, tāpēc tas ir sanumurējams pēc K2. ◭
2.40. piemērs. Mēs redzējām, ka kopas N un Z ir sanumurējamas. Vai ir iespējams sanumurēt
un izkārtot virknē visus racionālos skaitļus Nez, vai jums uzreiz izdosies izdomāt šai kopai
kādu konkrētu numerāciju. Taču no K4 izriet, ka ir sanumurējama kopa Z × N. Ņemsim funkciju,
kas katram pārim (m, n) no šī reizinājuma piekārto skaitli m . Tad šīs funkcijas vērtību kopa ir Q.
n
Tātad pēc K4 (un atceroties, ka racionālo skaitļu ir neierobežoti daudz) dabūjam šādu rezultātu:
Visu racionālo skaitļu kopa Q ir pārskaitāma.
2.41. vingrinājums. Izdomājiet konkrētu numerāciju (izkārtojumu virknē pozitīvo racionālo
skaitļu kopai Q + un visai kopai Q. (Skat. savas lekciju piezīmes.)
Ikvienas kopas A visu kortežu kopa ir visu tās pakāpju A k apvienojums. Tāpēc K4
kopā ar K3 noved pie šāda secinājuma:
K5: Visu pārskaitāmas kortežu kopa ir pārskaitāma.
Mēs jau zinām, ka galīgai n elementu kopai ir pavisam 2 n apakškopu. Bet, protams,
bezgalīgai kopai arī apakškopu ir bezgala daudz.
K6: Pārskaitāmas kopas visu galīgo apakškopu kopa ir pārskaitāma.
Pierādījums. Pieņemsim, ka A ir pārskaitāma kopa. Mēs zinām, ka visu tās kortežu kopa
arī ir pārskaitāma. Piekārtosim katram kortežam visu tā komponenšu kopu; tā dabūsim
attēlojumu no visu A kortežu kopas visu tās galīgo apakškopu kopā. Tas acīmredzami ir
sirjektīvs; tad pēc K2 arī visu galīgo A apakškopu kopa ir sanumurējama.
◭
Bet ja interesēsimies par pārskaitāmas kopas visu apakškopu kopu Ar šo jautājumu
esam nonākoši pie sanumurējamo kopu pasaules robežas. Atbilde uz to būs atrodama
nākamjā apakšparagrāfā.
2.6.3. Nesanumurējamas kopas
Viens no nozīmīgākiem kopu teorijas atklājumiem, ko vēl 19. gs. beigās izdarīja tās
pamatlicējs G. Kantors, ir nesanumurējamu (tātad ne galīgu, ne pārskaitāmu) kopu eksistence.
Ar konkrētiem tādu kopu piemēriem iepazīsimies nākamajos paragrāfos. Nesanumurējamas
kopas piemērs, ar kuru tūdaļ iepazīsimies, atbildot uz nupat iepriekš uzstādīto
jautājumu, ir vairāk teorētisks. Sāksim ar šādu lemmu/

46
Jebkuram pārskaitāmas kopas apakškopu sarakstam var piemeklēt tādu apakškopu,
kuru tas nesatur.
Pierādījums. Pieņemsim, ka A := {a 1 , a 2 , a 3 , . . .} ir kāda bez atkārtojumiem sanumurēta
bezgalīga kopa un ka ir izraudzīts arī kāds šīs kopas apakškopu saraksts — kopu
virkne
(*) A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . .
Īpaši pārdomājams ir tikai gadījums, kad šī virkne ir neierobežoti gara. Mums būs svarīgi
arī, lai tajā locekļi neatkārtotos, bet tas, kā zinām, nav grūti panākams.
Nosacīti sauksim elementu a i par veiksmīgu, ja a i ∈ A i , un par neveiksmīgu pretējā
gadījumā. Apzīmēsim ar B visu neveiksmīgo A elementu kopu. Nav grūti pārliecināties, ka
tā nesakrīt ar A 1 : ja elements a 1 ir veiksmīgs, tas pieder kopai A 1 un nepieder kopai B, bet
ja tas ir neveiksmīgs, tad, otrādi, tas pieder B, un nepieder A 1 . Tieši tāpat pārliecināmies,
ka B nesakrīt arī ar A 2 , ar A 3 u.t.t. — t.i., ne ar vienu virknes (*) locekli. Bet tas nozīmē,
ka kopas B nav šajā virknē. Ar to lemma ir pierādīta.
◭
2.42. vingrinājums. Bet ja sastādīto kopu B ievietosim virnē (*) — piem., kā pašu pirmo
— vai tad šī jaunā virkne lemmu neatspēkos Citiem vārdiem — kāpēc papildinātā virkne
joprojām nebūs pilna
2.43. vingrinājums. Kādēļ emmas pierādījumā bija vajadzīgs, lai virkne (*) būtu bez
atkārtojumiem
No šīs lemmas kā secinājumu iegūstam faktu, ka neviena kopu virkne nevar saturēt
visas pārskaitāmas kopas apakškopas. Te tad arī solītā teorēma.
K7: Pārskaitāmas kopas visu apakškopu kopa nav sanumurējama.
Kā īpašgadījumu dabūjam konkrētu nesanumurējamas kopas piemēru:
K7’: Kopa P(N) nav sanumurējama.
Salīdzinot K7 ar K6, redzam, ka tās ir bezgalīgās apakškopas, kuru ir ”
tik daudz“, ka
naturālo skaitļu to sanumurēšanai nepietiek.
Vēl viens noderīgs secinājums no K7 ir šada teorēma (salīdziniet to ar K5.) Kādēļ tajā
ir vajadzīga atruna par vismaz diviem elementiem
K8: Visu 24 virkņu kopa ar locekļiem no kopas, kurā ir vismaz divi elementi, ir
nesanumurējama.
Pierādījums. K1 dēļ pietiekt izpētīt gadījumu, kad kopā ir tieši divi elementi: ja tad
virkņu kopa būs nesanumurējama, tad tā nevar būt sanumurējama, kad elementu ir vairāk.
Pieņemsim, ka ir runa par kopu A := {0, 1}, un ņemsim vēl patvaļīgu bez atkārtojumiem
sanumurētu kopu B := {b 1 , b 2 , b 3 , . . .}. Ar V apzīmēsim visu to virkņu kopu, kurām locekļi
ir no A.
Katrai virknei no V piekārtosim to B apakškopu, kura satur tos un tikai tos B elementus,
kuru numuri ir no šīs virknes. Tādā veidā katra B apakškopa ir piekārtota kādai
virknei. Rezultātā dabūjam attēlojumu V → P(B), kura vērtību kopa sakrīt ar visu P(B).
Ja pieļautu, ka kopa V ir sanumurējama, tad pēc K2 sanumurējamai vajadzētu būt arī šai
apakškopu kopai — bet to nepieļauj teorēma K5. Tātad V īstenībā nav pārskaitāma un,
protams, arī sanumurējama, ko arī gribējām redzēt.
◭
Tagad mums ir viss vajadzīgais, lai ātri nonāktu pie vēl viena svarīga nesanumurējamas
kopas piemēra.
24 Tai skaitā arī bezgalīgo.

2.7. VIENLIELAS KOPAS 47
Kopa R nav sanumurējama.
Pierādījums. Apskatīsim katram reālam skaitlim tā mantisu — decimālpieraksta daļu
aiz komata. Vienkāršības labad aprobežosimies tikai ar tiem skaitļiem no segmenta [0, 1],
kuru mantisas ir neierobežoti garas un satur tikai ciparus 1 un 2. Visu šo skaitļu kopu
apzīmēsim ar R 1 ; tiem katram tātad ir tikai viena mantisa.
Šīs mantisas var domāt kā virknes ar elementiem no kopas {1, 2}, un katra tāda virkne
dod mantisu kādam skaitlim no R 1 . Mēs zinām, ka visu tādu virkņu kopa nav sanumurējama
(skat. K8; tad pēc K2 tad nav sanumurējama kopa R 1 , bet tālāk pēc K1 — arī
visa kopa R.
◭
ATGĀDINĀJUMS: jūsu lekciju piezīmēs ir citāds, tiešs pierādījums šai teorēmai, kur
parādīta t.s. diagonālmetode. Neaizmirstiet arī to!
Nobeigsim paragrāfu ar viegli pamatojamu atziņu, ka pārskaitāmās kopas ir it kā
mazākās“starp visām bezgalīgajām kopām.
”
Ikviena bezgalīga kopa satur pārskaitāmu apakškopu.
Pierādījums. Patiešām, ja kāda kopa A ir bezgalīga, tajā var atrast kādu elementu
a 1 . Bezgalības dēļ atlikusī kopa A {a 1 } arī ir bezgalīga, tāpēc no tās var izvēlēties vēl
kādu elementu a 2 . Arī pēc a 2 izņemšanas kopā paliek vēl bezgalīgi daudz elementu; no
tiem izņemam vienu par a 3 . Šo procesu var turpināt neierobežoti, un rezultātā veidojas
neirobežoti gara A elementu virkne a 1 , a 2 , a 3 , . . ., kurā visi locekļi, protams ir dažādi. Šīs
virknes locekļu kopa tad arī ir meklētā pārskaitāmā A apakškopa. Protams, tā var nebūt
viennozīmīgi nosakāma, jo ir pārāk liela brīvība izņemamo kopas elementu izvēlē. Pat
vairāk īstenībā tā noteikti nebūs vienīgā: citu kopu dabūsim, ja nomainīsim kaut vienu
elementu vai ja paturēsim tikai virknes locekļus ar nepāra numuriem.
◭
Protams, nav zināms, vai mums tiešām veiktos kopu A pārskaitīt, pa vienam izraugoties
visus kopas A elementus.
2.7. Vienlielas kopas
Par galīgām kopām runājot, ir labi saprotams, ko nozīmē tas, ka vienā no tām ir
vairāk, mazāk vai tikpat elementu, cik otrā. Tāpat saprotams, kādā nozīmē bezgalīgā
kopā ir vairāk elementu nekā galīgā. Bet ja abas kopas ir bezgalīgas
Mūsu intuitīvie priekšstati par bezgalību it kā saka priekšā, ka visās bezgalīgajās kopās
ir vienādi daudz elemetu, proti bezgala daudz. Taču iepriekšējā paragrāfa beigās atklātais
liecina, ka piem., kopai N apakškopu ir vairāk nekā elementu. Ja tā, vai varam ticēt
saviem priekšstatiem arī citos gadījumos, kad ir runa par bezgalīgu kopu salīdzināšanu
pēc lieluma“ Izrādās, ka ne vienmēr. Viens no iemesliem ir tas, ka priekšstats par
”
kopas lielumu, pie kā esam pieraduši, ar galīgām kopām strādājot, kļūst neviennozīmīgs
un sadalās vairākos nelīdzvērtīgos priekšstatos bezgalīgām kopām.
1. Starp divām kopām (proti, šo kopu elementiem) var nodibināt (vai, ja vēlaties,
atklāt) dažnedažādas atbilstības. Saka, ka ir dota atbilstība no kopas A kopā B, ja kādiem
kopas A elementiem kaut kādā veidā ir piekārtots viens vai vairāki kopas B elementi 25 . Nav
25 Ievērosim: ja tāda atbilstība ir tad otrās kopas elementi ir tie, kas atbilst, bet pirmās — tie, kam
atbilst, ne otrādi. Precīzāk, ja elementam a ∈ A ir piekārtots elements b ∈ B, tad elements b atbilst
elementam a. Strp citu, nav jēgas runāt, kas kam atbilst, pirms nav norunāta pati atbilstība, pirms nav
minētā piekārtojuma.

48
grūti saprast, ka tad pastāv arī apgriezta atbilstība no kopas B kopā A: elementam b ∈ B
piekārto visus tos (un tikai tos) elementus no A, kuriem pirmajā atbilstībā bija piekārtots
pats b. Šo otro tā arī sauc — par apgriezto (dažreiz saka arī apvērsto) atbilstību.
Atbilstību A → B (tā pieraksta to, ka atbilstība ir no kopas A kopā B) sauc par
savstarpēji viennozīmīgu jeb vienviennozīmīgu, jeb abpusēji viennozīmīgu,
(i) katram A elementam atbilst tieši viens elements kopā B,
(ii) dažādiem A elementiem atbilst dažādi elementi no B,
(iii) katrs kopas B elements atbilst kādam elementam no A.
2.44. vingrinājums. Ja kāda atbilstība ir abpusēji viennozīmīga, tad arī tai apgrieztā ir
tāda pati. Pārrakstiet minēto definīciju apgrieztajai atbilstībai B → A un pārliecinieties, ka visas
trīs prasības tiešām izpildās.
Par atbilstībām vairāk runāsim vienā no nākamajām nodaļām. Tagad varam ievest
vienu no kopu teorijai nozīmīgākajiem jēdzieniem.
Saka, ka kopa B ir vieliela ar kopu A, ja pastāv savstarpēji viennozīmīga atbilstība
no kopas A kopā B.
To, ka kopa B ir vienliela ar A, pierakstīsim tā: A ∼ B.
refleksīva, simetriska un transitīva, t.i.,
A ∼ A, A ∼ B ⇒ B ∼ A, A ∼ B, B ∼ C ⇒ A ∼ C.
Vienlieluma attiecība ir
2.45. vingrinājums. Pārbaudiet šo apgalvojumu — parādiet, kur ņemt trīs savstarpēji
viennozīmīgās atbilstības, kuru eksistenci apgalvo trīs pieminētās īpašības.
Attiecības ∼ simetrijas dēļ varam atļauties gadījumā, kad A ∼ B, runāt arī, ka kopas
A un B vienlielas.
2.46. piemēri. (a) Katrā no šādiem pāriem kopas ir vienlielas: {a, b, c} un {p, q, r} (ja
a, b, c ir dažādi priekšmeti, un tāpat p, q, r), N un {−1, −2, −3, . . .}, [0, 1] un [10, 11], R un visu
taisnes punktu kopa, ganāmpulka govju galvu un astu kopa (pieņemot, ka neviena govs savu asti
nav zaudējusi), Eiropas Savienības valstu un to galvaspilsētu kopa.
(b) Šādos kopu pāros esošas kopas nav vienlielas: {a, b, c, d} un {p, q, r} (ja atkal vienā kopā
dažādi burti nozīmē dažādus elementus), {a, b, c, d} un Z, ganāmpulka govju galvu un to kāju
kopa.
2.47. vingrinājums. Starp divām kopām ir nodibināta atbilstība, kas nav savstarpēji viennozīmīga.
Uzrādiet šādai situācijai vienu piemēru, kurā abas kopas nav vienlielas, un vienu,
kurā tās ir vienlielas.
2. Paraudzīsimies vēlreiz uz sanumurējamām un nesanumurējamām kopām, domājot
par to vienlielumu.
L1: Divi N sākumnogriežņi ir vienlieli tad un tikai tad, kad tie sakrīt.
Pierādījums. Protams, ka sakrītošas, t.i., vienādas kopas ir vienlielas. Tāpat īsts
sākumnogrieznis nevar būt vienliels visai kopai N. Tagad ņemsim divus īstus sākumnogriežņus:
iedomāsimies, ka m ∼ n. Ja, piem., f ir bijektīvs m attēlojums par n, tad tas ir arī n
numerācija ar definīcijas kopu m. Cita n numerācija ir šī nogriežņa identiskais attēlojums
par sevi. Bet mēs jau zinām, ka divām vienas kopas numerācijām bez atkārtojumiem ir
vienādas definīcijas kopas (skat. pierādījumu 41. lpp. beigās un nākamās lappuses sākumā),
tāpēc m = n/
◭
Kā sekas dabūjam:

2.7. VIENLIELAS KOPAS 49
jebkura kopa ir vienliela ne vairāk kā vienam sākumnogrieznim
Tādā gadījumā
L2: (a) divas galīgas kopas ir vienlielas tad un tikai tad, kad tām ir vienāds skaits
elementu,
(b) jebkuras divas pārskaitāmas kopas ir vienlielas,
(c) neviena sanumurējama kopa nav vienliela ar nesanumurējamu kopu.