Lauki, gredzeni un grupas

tikai grupu aksiomas, neko citu!
3. Katram a eksistē apgrieztais elements b:
ab =ba=1.
Varam pierādīt, ka katram a apgrieztais elements ir tikai viens
(tāpēc varam apzīmēt to ar a −1 ). [Pierādīsim: ja ax=xa=1 un
ay=1, tad axy=xay=1y=y, bet arī xay=x(ay)=x1=x, tātad x=y.]
Nekomutatīvā grupā mums ir divas dalīšanas operācijas:
labējā: ja xa=b, tad rakstām: x=b/a;
kreisā: ja ax=b, tad rakstām: x=a\b
b/a var izpildīt kā b*a −1 [tiešām, (b*a −1 )a = b*(a −1 a) =
b*1=b].
a\b var izpildīt kā a −1 *b.
Tagad viegli pierādīt, ka katrai no abām dalīšanām rezultāts ir
viennozīmīgs. [Pierādiet paši.]
Komutatīvā grupā abas dalīšanas sakrīt.
Tagad sajutāt, ko nozīmē pierādīt teorēmas par grupām
Teorēma: a/a=a\a=1. [Pierādiet paši.]
Komutatīvā grupā abas dalīšanas
Teorēma: (ab) −1 =b −1 a −1 , (abc) −1 =c −1 b −1 a −1
utt. [Pierādiet paši.]
Grupu piemēri
Triviālā grupa {g}: gg=g. Visas grupas īpašības izpildās. Tā ir
komutatīva grupa.
Veselie skaitļi ar saskaitīšanu: xy vietā ir x+y,
1 vietā 0, x −1 vietā −x. Visas grupas īpašības
izpildās. Tā ir komutatīva grupa.
Veselie skaitļi ar reizināšanu – nav grupa.
Racionālie skaitļi ar reizināšanu – nav grupa (nullei nav