DiskrÂ¯etÂ¯a MatemÂ¯atika 2 PÂ¯eteris Daugulis Sanita MickÂ¯ane

Diskrētā Matemātika 2 

Pēteris Daugulis 

Sanita Mickāne 

Datorzinātņu un matemātikas katedra, Inženieru fakultāte, Rēzeknes Augstskola, 

Rēzekne, Latvija

Saturs 

Nodaļa 1. MATEMĀTISKO PIERĀDĪJUMU TEORIJA UN TEHNIKA 4 

1.1. IEVADS 4 

1.2. SVARĪGĀKIE NOSACĪJUMA APGALVOJUMU VEIDI 6 

1.3. PIERĀDĪJUMU VEIDI 10 

1.4. APGALVOJUMU ATSPĒKOŠANA 12 

1.5. MATEMĀTISKĀ INDUKCIJA 13 

1.6. VINGRINĀJUMI 16 

Nodaļa 2. KOMBINATORIKA 17 

2.1. IEVADS 17 

2.2. KOMBINATORIKAS PAMATPRINCIPI 18 

2.3. VIENKĀRŠĀKIE KOMBINATORIKAS UZDEVUMI 23 

2.4. IESLĒGŠANAS-IZSLĒGŠANAS PRINCIPS (SIETA PRINCIPS) 31 

2.5. REKURENTO SAKARĪBU METODE 37 

2.6. VEIDOTĀJFUNKCIJU METODE 43 

2.7. ǦEOMETRISKI UZDEVUMI UN METODES 61 

2.8. VIRKŅU UN FUNKCIJU ASIMPTOTIKA 65 

2.9. KOMBINATORIKAS ALGORITMISKIE JAUTĀJUMI 73 

2.10. PAAUGSTINĀTAS GRŪTĪBAS UN PĒTNIECISKI VINGRINĀJUMI 76 

2.11. PROGRAMMĒŠANAS UZDEVUMI 81 

Nodaļa 3. GRAFU TEORIJA 82 


3.2. PAMATDEFINĪCIJAS 85 

3.3. SPECIĀLAS GRAFU KLASES 92 

3.4. DATU STRUKTŪRAS GRAFU UZDOŠANAI 97 

3.5. GRAFU PIELIETOJUMI MODELĒŠANĀ 98 

3.6. GRAFU IZOMORFISMS UN INVARIANTI 101 

3.7. NEATRISINĀTAS GRAFU TEORIJAS PROBLĒMAS PIEMĒRS - LIELAIS 

MŪRA GRAFS 107 

3.8. OPERĀCIJAS AR GRAFIEM 108 

3.9. GRAFU SAKARĪGUMS 109 

3.10. KOKI 117 

3.11. CIKLI 125 

3.12. NEATKARĪGUMS 133 

3.13. PLANARITĀTE 136 

3.14. GRAFU TEORIJAS ALGORITMISKIE JAUTĀJUMI 140 



Literatūra 158 

iii

SATURS 

iv 

IEVADS 

Šī grāmata ir turpinājums pirmā autora darbam ”Diskrētā matemātika”, kas tika publicēts 

Rēzeknes Augstskolas izdevniecībā 2001.gadā. Tajā ir izklāstītas diskrētās matemātikas nodaļas, 

kuras tradicionāli iekļauj diskrētās matemātikas divu semestru studiju kursa otrajā semestrī - 

kombinatoriku un grafu teoriju. Papildus tam ir izklāstīti matemātisko spriedumu tehnikas 

pamati. 

Grāmatu kā mācību līdzekli vai informācijas avotu var izmantot visu specialitāšu, sevišķi eksakto 

zinātņu un inženierzinātņu, studenti, kaut arī tā ir īpaši orientēta attiecībā uz datorzinātņu 

studentiem. Tās galvenie uzdevumi ir šādi: iepazīstināt lasītājus ar definīcijām, pamatfaktiem 

un pierādījumu veidiem, iepazīstināt lasītājus ar vienkāršākajiem apskatāmo matemātikas nozaru 

algoritmiem. Kopā ar grāmatu ”Diskrētā matemātika” šis izdevums satur un pārsniedz diskrētās 

matemātikas minimumu (izņemot diskrēto varbūtību teoriju), kas ir rekomendēts datorzinātņu 

un informācijas tehnoloǧiju specialitāšu studentiem akadēmiskajās un profesionālajās studiju programmās. 

Lekcijās neiekļauto materiālu var izmantot studentu patstāvīgā darba organizēšanai. 

Grāmatā ir trīs nodaļas - matemātisko pierādījumu teorija un tehnika, kombinatorika un grafu 

teorija. 

Priekšzināšanas, kas ir vēlamas grāmatas materiāla apgūšanai, aptver diskrētās matemātikas 

pirmā semestra nodaļas (kopu, attēlojumu un attiecību teoriju, matemātisko loǧiku, veselo 

skaitļu teorijas pamatus). Grāmatā dotais materiāls pārsniedz vienā semestrī apgūstamā studiju 

kursa mācību materiālu. Dažu jautājumu apgūšanai ir nepieciešamas arī pamatzināšanas vispārīgajā 

un lineārajā algebrā (binārās operācijas, grupu teorija, lineārie attēlojumi un matricas, 

matricu īpašvērtības u.c.) un automātu un valodu teorijā (pamatzināšanas par galīgiem deterministiskiem 

automātiem un regulārajām valodām). Jāpiebilst, ka grāmatas saturu ir ierobežojis 

tas apstāklis, ka tai ir jābūt orientētai uz pirmā kursa studentiem, kas nepārvalda vispārīgo un 

lineāro algebru. Šī iemesla dēļ palika neapskatītas vairākas interesantas tēmas, piemēram, kombinatorikas 

saistība ar automātu un valodu teoriju. Materiāla izklāsts ir ar mainīgu grūtības un 

detalizācijas pakāpi, lai iepazīstinātu lasītājus ar dažādu līmeņu materiālu. Lasītājam, sevišķi 

pirmajā lasījumā, ir jāizvēlas piemērots lasīšanas ātrums. Teorēmu pierādījumi ir doti tajos 

gadījumos, ja tie nav pārāk viegli vai pārāk grūti. Nodaļu beigās ir doti dažādu grūtības pakāpju 

vingrinājumi, pētnieciska rakstura un programmēšanas uzdevumi. 

Autori izsaka sirsnīgu pateicību studentiem un kolēǧiem par izteiktajiem komentāriem. Īpaša 

pateicība tiek izteikta recenzentam asociētajam profesoram Dr.math. Jānim Cīrulim (Latvijas 

Universitāte) par lielo darbu šī teksta novērtēšanā un uzlabošanā.

NODAĻA 1 

MATEMĀTISKO PIERĀDĪJUMU TEORIJA UN TEHNIKA 

1.1. IEVADS 

Spēja izdarīt loǧiski pareizus secinājumus un pietiekoši garas un saskaņotas šādu secinājumu 

virknes ir svarīga iemaņa, kas ir vajadzīga jebkuram cilvēkam. Vēl jo vairāk tā ir svarīga tiem, 

kas ikdienā saskaras ar skaitļošanu un algoritmiem, piemēram, programmētājiem vai inženieriem. 

Šajā nodaļā mēs apskatīsim vienkāršākos matemātisko pierādījumu teorijas jautājumus. Priekšzināšanas, 

kas ir nepieciešamas šīs nodaļas apgūšanai ir matemātiskās loǧikas pamatjēdzieni - 

matemātiskie izteikumi, predikāti un operācijas ar tiem, matemātiskās loǧikas formulas, Būla 

funkcijas, to normālās formas. Matemātisko pierādījumu formalizācijas pirmos mēǧinājumus veica 

matemātiķis G.Leibnics 17.gadsimta otrajā pusē, taču sistemātiska matemātisko pierādījumu 

kā matemātikas objekta pētīšana sākās 19. gadsimta beigās. 

Cilvēka spēja izdarīt pareizus secinājumus un prognozes nākotnes paredzēšanas nolūkā ir 

augstākās nervu darbības funkcionalitāte, kas ir radusies evolucionārās atlases ceļā. Pamatproblēma, 

kas katru brīdi ir jārisina dzīviem organismiem, ir šāda - ja ir dota noteikta situācija 

laikā vai telpā, kāda būs šī situācija vēlākā laika momentā vai citos telpas punktos. Šī pamatproblēma 

liek definēt un pētīt saliktus izteikumus formā 

(1.1) ”JA A(ir patiess izteikums), T AD B(ir patiess izteikums)”, 

kur A un B ir izteikumi. 

Teiksim, ka predikāts q seko (loǧiski seko) no predikāta p (apzīmē ar pierakstu p → q), ja q 

ir patiess ar visām tām predikāta argumentu vertībām, ar kurām p ir patiess. Citiem vārdiem 

sakot, ja predikāts p ir patiess ar kādu argumentu vērtību sarakstu x, tad predikāts q arī ir patiess 

ar šo vērtību sarakstu x . Šādā gadījumā izteikumu vai predikātu p → q sauksim par nosacījuma 

apgalvojumu. Izteikuma vai predikāta p → q patiesumvērtība tiek definēta kā ”patiess”, ja tas 

ir nosacījuma apgalvojums un ”nepatiess” pretējā gadījumā. Var domāt, ka 

p → q = ∀x(p(x) ⇒ q(x)), 

kur ⇒ ir matemātiskās loǧikas implikācijas operācija. Predikātu p sauc par nosacījumu vai 

pietiekamo nosacījumu attiecībā uz q, bet predikātu q - par secinājumu vai nepieciešamo nosacījumu 

attiecībā uz p. 

Par nosacījuma apgalvojumu var domāt kā par predikātu, kura argumenti ir predikāti vai kā 

par attiecību (attieksmi) predikātu kopā, kurā tiek saistīts nosacījums un secinājums. Izteikumu 

p → q parasti formulē veidā ”ja p, tad q”. Izteikumu (p → q) ∧ (q → p) formulēsim veidā ”p tad 

un tikai tad, ja q ”, sauksim par loǧisko ekvivalenci un un apzīmēsim ar p ↔ q . Nosacījuma 

apgalvojumu var saukt arī par pareizu secinājumu. 

Nosacījuma apgalvojumu var mēǧināt vizualizēt izmantojot Eilera-Venna diagrammas šādā 

veidā. Ja ir doti divi predikāti p un q, tad uzskatīsim, ka katrai argumentu vērtībai atbilst 

punkts universā un piekārtosim katram no predikātiem to universa apakškopu, ar kuras elementu 

vērtībām predikāts ir patiess, apzīmēsim šīs apakškopas ar P un Q . Apakškopas P, Q 

sauc par predikātu p, q patiesumvērtību kopām. Viegli saskatīt, ka izteikuma p → q patiesums 

nozīmē, ka P ⊆ Q. 

4

1.1. IEVADS 5 

U 

P 

Q 

1.1. attēls. Nosacījuma apgalvojuma vizualizācija ar predikātu patiesumvērtību kopu palīdzību 

Izteikuma p ↔ q patiesums nozīmē, ka P = Q (predikātu patiesumvērtību kopas ir vienādas). 

U 

P = Q 

1.2. attēls. Loǧiskās ekvivalences vizualizācija ar predikātu patiesumvērtību kopu palīdzību 

Nosacījuma apgalvojumu interpretācija ar patiesumvērtību kopu izmantošanu ļauj noformulēt 

nosacījuma apgalvojuma kritēriju gadījumā, kad predikātu argumenti ir Būla mainīgie un predikāti 

ir izteikti PDNF. 

Teorēma 1.1. p → q ir nosacījuma apgalvojums tad un tikai tad, ja katra elementārā 

konjunkcija, kas piedalās predikāta p PDNF, piedalās arī predikāta q PDNF. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka p → q ir nosacījuma apgalvojums, tātad, ja p(X ε 1 

1 , X ε 2 

2 , ..., Xn εn ) 

ir patiess, tad arī q(X ε 1 

1 , X ε 2 

2 , ..., X ε n 

n ) ir patiess. Izteikums p(X ε 1 

1 , X ε 2 

2 , ..., X ε n 

n ) ir patiess tad un 

tikai tad, ja elementārā konjunkcija 

X ε 1 

1 X ε 2 

2 ...X ε n 

n 

piedalās predikāta p PDNF, q(X ε 1 

1 , X ε 2 

2 , ..., X ε n 

n ) ir patiess tad un tikai tad, ja tā pati konjunkcija 

piedalās arī predikāta q PDNF. Tātad, ja X ε 1 

1 , X ε 2 

2 , ..., X ε n 

n piedalās predikāta p PDNF, tad tā 

piedalās arī predikāta q PDNF. QED 

Par divu nosacījuma apgalvojumu p → q un q → r kompozīciju sauksim izteikumu p → r. 

Par pierādījumu sauksim vairāku nosacījuma apgalvojumu kompozīciju: 

(p ↦→ q) = (p = p → p 2 → ... → p n−1 → p n = q). 

Var redzēt, ka pierādījums arī ir nosacījuma apgalvojums: ja visi izteikumi 

p 1 → p 2 , p 2 → p 3 , ..., p n−1 → p n 

ir patiesi, tad, ja izteikums p 1 (x) ir patiess, tad p 2 (x) ir patiess; ja p 2 (x) ir patiess, tad p 3 (x) 

ir patiess; ...; ja p n−1 (x) ir patiess, tad p n (x) ir patiess. Tātad kompozīcija p 1 → p n arī ir 

nosacījuma apgalvojums.


Par teorēmu (grieķu valodā - ”skaties!”) sauksim izteikumu, kas tiek iegūts pareiza pierādījuma 

ceļā no aksiomām (dotiem predikātiem vai izteikumiem, kas tiek definēti par patiesiem, grieķu 

valodā atbilstošā vārda nozīme ir ”vērtīgs”). Parasti teorēmas veido formā p → q (”no p seko 

q”) vai p ↔ q (”p tad un tikai tad, ja q” vai ”p → q un q → p ”). Par lemmu sauksim teorēmu, 

kas ir starpposms kādas svarīgākas teorēmas pierādījumā. Par secinājumu no teorēmas sauksim 

izteikumu, ko var relatīvi viegli pierādīt, pieņemot šo teorēmu. 

Par apgalvojuma/teorēmas p → q apgriezto apgalvojumu sauksim q → p , par pretējo 

apgalvojumu sauksim q → p , par pretējam apgriezto (inverso) apgalvojumu sauc p → q . 

Par matemātisku teoriju vai pierādījumu sistēmu sauksim struktūru, kas satur 

• fiksētu alfabētu, 

• apgalvojumu veidošanas likumus, 

• fiksētu aksiomu kopu, 

• fiksētu nosacījuma apgalvojumu veidu (likumu) kopu. 

Aksiomas var būt gan vispārīgas (loǧiskas), gan arī specifiskas dotajai teorijai (neloǧiskas). 

Aksiomu kopa var būt gan galīga, gan arī bezgalīga. Aksiomu kopu sauksim par neatkarīgu, ja 

nekāda no aksiomām nav pierādāma, izmantojot pārējās aksiomas. Parasti dotajā teorijā atļauto 

nosacījuma apgalvojumu veidu kopa ir galīga. Katras matemātiskās teorijas attīstība sastāv no 

tās objektu un valodas koordinatizēšanas un formalizēšanas, grūtu teorēmu pierādīšanas, teorijas 

galamērķu noteikšanas un sasniegšanas. Matemātisku teoriju sauksim par nepretrunīgu ja nav 

iespējams pierādīt kādu apgalvojumu s un tā noliegumu ¬s. Matemātisku teoriju sauksim par 

pilnu, ja tajā katra patiesa teorēma ir pierādāma. Matemātisku teoriju sauksim par atrisināmu, 

ja eksistē algoritms (piemēram, Tjūringa mašīna), kas katram teorijas apgalvojumam nosaka, 

vai tas ir pierādāms. 

1.2. SVARĪGĀKIE NOSACĪJUMA APGALVOJUMU VEIDI 

Pārskatīsim dažus vienkāršākos nosacījuma apgalvojumu konstruēšanas veidus. Vairāki no 

tiem ir aprakstīti jau Senās Grieķijas vai Romas filozofu darbos, tāpēc to nosaukumi ir pārņemti 

no latīņu valodas. Pēc savas būtības nosacījuma apgalvojumu konstruēšanas veidi seko no kopu 

teorijas, tāpēc ir lietderīgi apskatīt atbilstošos apgalvojumus par predikātu patiesumvērtību 

kopām un vizualizēt šos nosacījuma apgalvojumu veidus izmantojot Eilera-Venna diagrammas. 

Nosacījuma apgalvojumu konstruēšanas likumus apzīmē ar kanonisko pierakstu 

(1.2) 

p 1 , ..., p n 

, 

q 

kas nozīmē nosacījuma apgalvojumu p 1 ∧ ... ∧ p n → q . 

Vienkāršākie nosacījuma apgalvojumu veidi ir šādi. 

1.2.1. Modus ponens. Kanoniskais pieraksts - 

p → q, p 

. 

q 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids ir ekvivalents nosacījuma apgalvojuma definīcijai. 

1.2.2. Modus tollens. Kanoniskais pieraksts - 

p → q, ¬p 

. 

¬q 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids ir ekvivalents nosacījuma apgalvojuma definīcijai.


1.2.3. Kontrapozīcijas likums. Kanoniskais pieraksts - 

p → q 

¬q → ¬p . 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids ir ekvivalents nosacījuma apgalvojuma definīcijai. 

Secinājums 1.1. Teorēma ir patiesa tad un tikai tad, ja apgrieztā teorēma ir patiesa. 

1.2.4. Ekvivalences secināšanas likums. Kanoniskais pieraksts - 

p → q, q → p 

. 

p ↔ q 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst šādai kopu īpašībai: ja P ⊆ Q un Q ⊆ P , tad P = Q. 

1.2.5. Hipotētiskais silloǧisms. Kanoniskais pieraksts - 

p → q, q → r 

p → r. 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst faktam, ka nosacījuma apgalvojumu kompozīcija ir 

nosacījuma apgalvojums. 

U 

P 

P 

Q 

R 

1.3. attēls. Hipotētiskā silloǧisma vizualizācija 

Piemērs 1.2. Ja katrs Rēzeknes Augstskolas students mācās sekmīgi un katrs sekmīgs students 

saņem stipendiju, tad katrs RA students saņem stipendiju. 

1.2.6. Disjunktīvais silloǧisms. Kanoniskais pieraksts - 

p ∨ q, ¬p 

. 

q 

Šis secināšanas veids atbilst kopu īpašībai (P ∪ Q) ∩ P ⊆ Q. 

U 

P 

Q 

1.4. attēls. Disjunktīvā silloǧisma vizualizācija 

Piemērs 1.3. Jānis dzīvo vai nu Rēzeknē, vai Rīgā. Ja Jānis nedzīvo Rīgā, tad Jānis dzīvo 

Rēzeknē.


1.2.7. Disjunktīvā pievienošana. Kanoniskais pieraksts - 

p 

p ∨ q . 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst kopu īpašībai P ⊆ P ∪ Q. 

Piemērs 1.4. Ja reāls skaitlis ir lielāks par 0, tad tas ir lielāks vai vienāds ar 0. Ja Jānis 

dzīvo Rēzeknē, tad Jānis dzīvo kādā no Latvijas pilsētām. 

1.2.8. Dilemma. Kanoniskais pieraksts - 

p ∨ q, p → r, q → r 

. 

r 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst šādai kopu īpašībai: 

P ∪ Q ⊆ R. 

ja P ⊆ R un Q ⊆ R, tad 

U 

P 

Q 

R 

1.5. attēls. Dilemmas vizualizācija 

Piemērs 1.5. Ir dots, ka, ja x > 1, tad f(x) < 0, un, ja x < −1, tad f(x) < 0. Var secināt, 

ka, ja |x| > 1, tad f(x) < 0. 

1.2.9. Konstruktīvā dilemma. Kanoniskais pieraksts - 

p ∨ q, p → r, q → s 

. 

r ∨ s 

Šis apgalvojuma veids atbilst šādai kopu īpašī-bai: ja P ⊆ Q un R ⊆ S, tad P ∪ R ⊆ Q ∪ S. 

U 

R 

P Q S 

1.6. attēls. Konstruktīvās dilemmas vizualizācija 

Piemērs 1.6. Ir dots, ka ja x > 1, tad f(x) < 0 un ja x < −1, tad f(x) > 1. Var secināt, 

ka, ja |x| > 1, tad f(x) < 0 vai f(x) > 1.


1.2.10. Destruktīvā dilemma. Kanoniskais pieraksts - 

(¬q) ∨ (¬s), p → q, r → s 

. 

(¬p) ∨ (¬r) 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst šādai kopu īpašībai: ja P ⊆ Q un R ⊆ S, tad Q ∪ S ⊆ 

P ∪ R. 

Piemērs 1.7. Ir dots, ka, ja x > 1, tad f(x) < 0 un, ja x < −1, tad f(x) > 1. Var secināt, 

ka, ja f(x) ≥ 0 vai f(x) ≤ 1, tad x ≤ 1 vai x ≥ −1. 

1.2.11. Nosacītais pierādījums. Kanoniskais pieraksts - 

p, (p ∧ q) → r 

. 

q → r 

Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst šādai kopu īpašībai: ja P ∩ Q ⊆ R, tad P ∩ Q ⊆ P ∩ R. 

Piemērs 1.8. Ir dots, ka, ja x > 1 un y < −1, tad f(x, y) > 1. Var secināt, ka, ja x > 1, 

tad no tā, ka y < −1, seko f(x, y) > 1. 

Piemērs 1.9. Pieņemsim, ka p(x) =”x ir strādīgs cilvēks”, q(x) =”x ir muzikāli apdāvināts 

cilvēks” un r(x) =”x ir izcils mūziķis”. Pieņemsim, ka cilvēks ir izcils mūziķis, ja viņš vai viņa 

ir gan strādīgs, gan muzikāli apdāvināts. Izmantojot nosacītās secināšanas likumu, var secināt, 

ka, ja cilvēks ir strādīgs, tad, lai šis cilvēks būtu izcils mūziķis, pietiek ar to, ka viņš vai viņa ir 

muzikāli apdāvināts. 

1.2.12. Konjunktīvā vienkāršošana. Kanoniskais pieraksts - 

p ∧ q 

p . 

Šis apgalvojuma veids atbilst kopu īpašībai P ∩ Q ⊆ P . 

1.2.13. Pretrunas likums. Kanoniskais pieraksts - 

p → c 

¬p , 

kur c ir pretruna (identiski aplams izteikums). Šis nosacījuma apgalvojuma veids atbilst šādai 

kopu īpašībai: ja P = ∅, tad P = U. 

Piemērs 1.10. Ja no tā, ka x > 1 seko, ka 2 + 2 = 5, tad var secināt, ka x ≤ 1. 

Nākamie nosacījuma apgalvojuma veidi satur universālos vai eksistences kvantorus. Pieņemsim, 

ka predikātu argumenti ir kādas kopas A elementi. 

1.2.14. Konkretizācija uz patvaļīgu elementu. Kanoniskais pieraksts - 

kur a ∈ A ir patvaļīgs. 

∀x ∈ X P (x) 

, 

P (a) 

1.2.15. Vispārināšana no patvaļīga elementa. Kanoniskais pieraksts - 

P (a) 

∀x ∈ X P (x) , 

kur a ∈ A ir patvaļīgs. Šo nosacījuma apgalvojuma likumu bieži izmanto pierādījumos. Ja 

predikāts ir patiess ar patvaļīgu argumentu vērtību, tad tas ir patiess ar jebkuru argumenta 

vērtību.


1.2.16. Eksistenciālā specifikācija. Kanoniskais pieraksts - 

∃ x ∈ X P (x) 

P (a) 

vismaz vienam a ∈ A. 

1.2.17. Eksistenciālā vispārināšana. Kanoniskais pieraksts - 

P (a) vismaz vienam a ∈ A 

. 

∃ x ∈ A P (x) 

1.2.18. Universālais modus ponens. Kanoniskais pieraksts - 

P (a) → Q(a) jebkuram a ∈ A 

. 

∀ x ∈ A (P (x) → Q(x)) 

1.3. PIERĀDĪJUMU VEIDI 

Šajā nodaļā mēs apskatīsim dažas biežāk pielietotās vispārīgās teorēmu pierādīšanas stratēǧijas. 

1.3.1. Tiešais pierādījums. 

1.3.1.1. p → q. Mēs pieņemam, ka izteikums vai predikāts p ir patiess ar vispārīgiem predikātu 

argumentiem un pierādām, ka pierādāmais izteikums vai predikāts q ir patiess. 

Piemērs 1.11. Pierādīsim šādu apgalvojumu: ”Ja n un m ir pāra skaitļi, tad arī n + m ir 

pāra skaitlis”. Šo apgalvojumu var pierādīt ar šādu nosacījuma apgalvojumu virkni. Ja n un m 

ir pāra skaitļi, tad n = 2n 1 un m = 2m 1 . Ja n = 2n 1 un m = 2m 1 , tad n + m = 2(n 1 + m 1 ). Ja 

n + m = 2(n 1 + m 1 ), tad n + m = 2s, kur s ir vesels skaitlis. Ja n + m = 2s, tad n + m ir pāra 

skaitlis. 

1.3.1.2. (∀ x ∈ A)P (x). Mēs pieņemam, ka x ir patvaļīgs elements un pierādām, ka P (x) ir 

patiess. 

Piemērs 1.12. Patvaļīgs pāra skaitlis x ir izsakāms formā x = 2y, kur y ∈ Z, tātad jebkurš 

pāra skaitlis ir izsakāms šādā formā. 

1.3.2. Konstruktīvais tiešais pierādījums. Šo pierādījuma veidu parasti izmanto, ja ir 

jāpierāda apgalvojumi, kuros ir iesaistīti eksistences kvantori. 

1.3.2.1. (∃x ∈ A)P (x). Lai pierādītu šādu izteikumu, ir jāpierāda vismaz viena tāda elementa 

x eksistence, ar kuru predikāts P (x) ir patiess. Šajā stratēǧijā mēs atrodam vai konstruējam 

konkrētu elementu x, ar kuru P (x) ir patiess. 

Piemērs 1.13. Ir jāpierāda šāds apgalvojums: ”Eksistē pirmskaitlis, kas ir mazāks nekā 20 

un lielāks nekā 10”. Lai pierādītu šo apgalvojumu, pietiek uzrādīt skaitli 13. 

1.3.2.2. ∀x ∈ A ∃x ∈ A P (x, y). Lai pierādītu šādu izteikumu, katram x ir jāpierāda vismaz 

viena tāda elementa y eksistence, ar kuru predikāts P (x, y) ir patiess. Mēs fiksējam patvaļīgu 

elementu x un atrodam konkrētu elementu y, kuram P (x, y) ir patiess. 

Piemērs 1.14. Ir jāpierāda apgalvojums ∀n ∃m : m > n. Ja n ir fiksēts, tad definēsim 

m 0 = n + 1, skaitļu pāris (n, m 0 ) apmierina pierādāmo apgalvojumu. 

1.3.3. Nekonstruktīvais tiešais pierādījums. Šo pierādījumu veidu arī izmanto tādu 

apgalvojumu pierādīšanā, kas satur eksistences kvantorus, bet atšķirībā no konstruktīvā veida, 

šajā gadījumā pierāda apgalvojumus, neuzrādot konkrētus kopu elementus. 

Piemērs 1.15. Ir jāpierāda apgalvojums ”∀n ∃p : p > n un p ir pirmskaitlis”. Šo apgalvojumu 

var pierādīt, izmantojot pirmskaitļu kopas bezgalību: eksistē bezgalīgi daudz pozitīvu 

pirmskaitļu, tātad vismaz viens no tiem ir lielāks nekā n.


1.3.4. Pierādījums apskatot speciālgadījumus. Šo stratēǧiju izmanto, pierādot apgalvojumus, 

kurus var pierakstīt formā 

(1.3) p → q, kur p = p 1 ∨ p 2 ∨ ... ∨ ...p n . 

Izmantojot dilemmas secināšanas likumu, redzam, ka šāds apgalvojums ir pierādīts, ja pierāda, 

ka katram i izpildās p i → q. 

Piemērs 1.16. Ir jāpierāda apgalvojums ”Ja n = 2m + 1, tad 8|n 2 − 1”. Ja n ir nepāra 

skaitlis, tad n = 4k + 1 vai n = 4k + 3, ir jāpierāda, ka katrā no šiem gadījumiem izpildās 

8|n 2 − 1. Ja n = 4k + 1, tad 

tātad 8|n 2 − 1. Ja n = 4k + 3, tad 

tātad arī šajā gadījumā 8|n 2 − 1. 

n 2 − 1 = (4k + 1) 2 − 1 = 16k 2 + 8k = 8(2k 2 + k), 

n 2 − 1 = (4k + 3) 2 − 1 = 16k 2 + 24k + 8 = 8(2k 2 + 3k + 1), 

1.3.5. Netiešais pierādījums jeb pierādījums izmantojot kontrapozīciju. Lai pierādītu 

apgalvojumu p → q, var izmantot kontrapozīcijas secināšanas likumu: pieņemam, ka ¯q ir 

patiess, un pierādām, ka ¯p ir patiess. 

Piemērs 1.17. Ir jāpierāda apgalvojums ”Ja n 2 ir pāra skaitlis, tad n ir pāra skaitlis”. 

Pieņemsim, ka n = 2k + 1. Tādā gadījumā 

n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1. 

Ir pierādīts, ka, ja n ir nepāra skaitlis, tad arī n 2 ir nepāra skaitlis, līdz ar to sākotnējais apgalvojums 

ir pierādīts. 

1.3.6. Pierādījumi ar pretrunas palīdzību. Šajā stratēǧijā pieņem, ka pierādāmā apgalvojuma 

noliegums ir patiess un no šī pieņēmuma secina identiski nepatiesu izteikumu (pretrunu). 

1.3.6.1. p → c. Šajā stratēgijā pieņem, ka pierādāmā apgalvojuma noliegums ir patiess, un 

pierāda, ka no tā seko pretruna, citiem vārdiem sakot, pierāda, ka secinājums 

(1.4) ¬(p → q)) → c, 

kur c ir pretruna, ir nosacījuma apgalvojums. 

Piemērs 1.18. Pierādīsim, ka √ 3 ir iracionāls skaitlis. Pieņemsim, ka √ 3 ir racionāls skaitlis 

m 

. Pieņemsim, ka vai nu m vai arī n nedalās ar 3. Iegūstam, ka n 3n2 = m 2 , no kurienes seko, ka 

gan m, gan n dalās ar 3, kas kopā ar pieņēmumu attiecībā uz m un n ir pretruna. 

1.3.6.2. (∃x ∈ A)P (x). Pieņem, ka visiem x izteikums P (x) ir nepatiess un parāda, ka tas 

noved pie pretrunas. 

Piemērs 1.19. n + 1 balodis tiek likts n būros. Pierādīt, ka eksistē būris, kurā ir vismaz 2 

baloži. Ja katrā būrī būtu 0 vai 1 balodis, tad kopā būtu ne vairāk kā n baloži, kas ir pretruna. 

1.3.6.3. (∀x ∈ A)P (x). Pieņem, ka eksistē x, kuram ir P (x) nepatiess un parāda, ka tas 

noved pie pretrunas. 

1.3.7. Disjunkcijas p → (q ∨ r) pierādīšana. Lai pierādītu šādu apgalvojumu, pietiek 

pierādīt, ka vismaz viens no apgalvojumiem p → q vai p → r ir patiess. Vispārīgā gadījumā 

neviens no šiem apgalvojumiem var nebūt patiess, tāpēc, analizējot disjunkcijas apgalvojumu ar 

patiesumvērtību kopu palīdzību, varam iegūt vismaz divas disjunkcijas apgalvojumam ekvivalentas 

apgalvojumu sistēmas:

• p → (q ∨ r) tad un tikai tad, ja 

1.4. APGALVOJUMU ATSPĒKOŠANA 12 

((p ∧ (¬q)) → r) ∨ ((p ∧ (¬r)) → q) 

ir patiess, citiem vārdiem sakot, lai pierādītu disjunkciju, ir pietiekoši un nepieciešams 

pierādīt, ka vismaz viens no apgalvojumiem ((p ∧ (¬q)) → r) vai ((p ∧ (¬r)) → q) ir 

patiess, 

• p → (q ∨ r) tad un tikai tad, ja 

ir identiski aplams izteikums. 

p ∧ (¬q) ∧ (¬r) 

1.3.8. Vairāku apgalvojumu ekvivalences pierādīšana ar cikla palīdzību. 

izmanto, lai pierādītu vairāku apgalvojumu loǧisko ekvivalenci: 

(1.5) p i ↔ p j , ∀i, j. 

Pierādām, ka visi izteikumi 

Šo metodi 

(1.6) p 1 → p 2 , p 2 → p 3 , ..., p i → p i+1 , ..., p n−1 → p n , p n → p 1 

ir nosacījuma apgalvojumi. Tā kā nosacījuma apgalvojumu kompozīcija ir pareizs secinājums, 

tad eksistē pierādītu nosacījumu apgalvojumu virkne, kas savieno jebkurus divus apgalvojumus 

p i un p j . 

Piemērs 1.20. Ir doti trīs divu naturālu argumentu predikāti: 

P 1 (a, b) = ”a|b”, P 2 (a, b) = ”MKD(a, b) = b”, P 3 (a, b) = ”⌊ b a ⌋ = b a ”. 

Ir jāpierāda, ka tie ir ekvivalenti, tas ir, to patiesumvērtību kopas sakrīt. Pierādīsim šo apgalvojumu 

ar cikla palīdzību - pierādīsim 3 nosacījuma apgalvojumus: 

P 1 → P 2 , P 2 → P 3 , P 3 → P 1 . 

Tiešām, ja a|b, tad MKD(a, b) = b. Ja MKD(a, b) = b, tad b dalās ar a un ⌊ b ⌋ = b . Ja 

a a 

⌊ b ⌋ = b , tad b dalās ar a un cikls ir noslēgts. 

a a 

1.4. APGALVOJUMU ATSPĒKOŠANA 

Pierādot matemātiskus apgalvojumus, nereti gadās, ka sākotnējais nosacījuma apgalvojums, 

kuru mēǧina pierādīt, nav patiess. Ja nav saskatāms ceļš sākotnējā apgalvojuma pierādīšanai, ir 

lietderīgi sākt domāt par tā nolieguma pierādīšanu. To var mēǧināt darīt, apskatot speciālgadījumus 

vai piemērus. Apgalvojumu nepatiesuma pierādīšanas tehnika ir daļa no matemātisko 

pierādījumu tehnikas. 

Apgalvojuma atspēkošana ir apgalvojuma nepatiesuma pierādījums. Apgalvojuma 

(∀x ∈ A)P (x) 

pretpiemērs ir elements c ∈ A tāds, ka P (c) ir nepatiess izteikums. 

Lai atspēkotu kādu apgalvojumu formā (∀x ∈ A)P (x), pietiek atrast vienu pretpiemēru. 

Pretpiemēra eksistences pierādīšana var tikt veikta konstruktīvi vai nekonstruktīvi. Konstruktīvajā 

gadījumā ir lietderīgi meklēt pretpiemēru ar ekstremālām īpašībām, piemēram, kā kopas 

maksimālu vai minimālu elementu ar noteiktu īpašību. 

Lai atspēkotu apgalvojumu formā (∃x ∈ A)P (x), ir jāpierāda apgalvojums (∀x ∈ A)(¬P (x)). 

Piemērs 1.21. Apskatīsim ”apgalvojumu” a 2 

pietiek atrast vienu skaitļu pāri ar šādām īpašībām: a 2 b. Par šādu skaitļu pāri var 

ņemt pāri (1, −2).


Piemērs 1.22. Apskatīsim izteikumu ”vienādojumam 2x = 1 eksistē atrisinājums veselos 

skaitļos”. Lai atspēkotu šo apgalvojumu, ir jāpierāda, ka nekādam veselam skaitlim x 

vienādojums 2x = 1 nevar izpildīties. To var viegli redzēt, apskatot atlikumus pēc moduļa 

2. 

1.5. MATEMĀTISKĀ INDUKCIJA 

Relatīvi bieži ir jāpierāda apgalvojumi formā 

(1.7) ∀n P (n), kur n ∈ N vai n ∈ N\{1, 2, ..., n 0 }. 

Ir skaidrs, ka nav iespējams galīgā laikā pierādīt visus apgalvojumus P (n), ja mēs pieņemam, 

ka katra šāda apgalvojuma pierādīšanai cilvēkam vai skaitļošanas mašīinai ir nepieciešams no 

apakšas ierobežots laika intervāls. Apgalvojumu ∀n P (n) pierādīšanai ir izstrādāta pierādījumu 

tehnika, ko sauc par matemātisko indukciju. Matemātiskās indukcijas pamatideja ir sadalīt 

apgalvojuma ∀n P (n) patiesumvērtību kopu apakškopās, kas atbilst apgalvojumiem P (n) un 

pierādīt, ka katram n predikāta definīcijas apgabalā apgalvojuma P (n+1) patiesumvērtību kopa 

satur apgalvojuma P (n) patiesumvērtību kopu, vai, citiem vārdiem sakot, katram n izteikums 

(1.8) P (n) → P (n + 1) 

ir nosacījuma apgalvojums 

Matemātiskās indukcijas princips ir secināšanas likums, ar kuru pierāda, ka predikātam P (n) 

ar definīcijas apgabalu N vai, vispārīgā gadījumā, N\{1, 2, ..., n 0 } atbilstošais universālais kvantors 

∀n P (n) ir patiess. Matemātiskās indukcijas princips balstās uz hipotētiskā silloǧisma 

(nosacījuma apgalvojumu kompozīcijas) secināšanas likumu. Realizējot matemātiskās indukcijas 

principu, ir jāveic šādas darbības: 

• jāpierāda, ka izteikums P (n 0 ) ir patiess, 

• jāpierāda, ka izteikums P (i) → P (i+1) ir nosacījuma apgalvojums visiem i ≥ n 0 , citiem 

vārdiem sakot, jāpieņem, ka izteikums P (i) ir patiess, un jāpierāda, ka no tā seko, ka 

P (i + 1) ir patiess. 

Izmantojot patiesumvērtību kopas matemātiskās indukcijas principu, var vizualizēt šādā veidā. 

U 

P(x 0 

) ……... P(i) P(i+1) ……….. 

"x 

P(x) 

1.7. attēls. Matemātiskās indukcijas principa vizualizācija 

Formāli matemātiskās indukcijas principu var pierakstīt šādā nosacījuma apgalvojuma likuma 

formā 

P (n 0 ), (∀i ≥ n 0 )[P (i) → P (i + 1)] 

(1.9) 

. 

(∀n ≥ n 0 )P (n) 

Apgalvojumu P (n 0 ) sauksim par indukcijas bāzi apgalvojuma P (i) patiesuma pieņemšanu 

sauksim par indukcijas pieņēmumu; apgalvojuma P (i) → P (i + 1) pierādīšanu sauksim par 

indukcijas soļa pierādīšanu. Predikāta P argumentu sauksim par indukcijas argumentu vai 

indukcijas parametru.


Piemērs 1.23. Pierādīsim apgalvojumu ”katram naturālam skaitlim n izpildās vienādība 

1 + 2 + ... + n = n(n+1) ”. Ja n = 1, tad vienādība ir pareiza. Pieņemsim, ka vienādība ir 

2 

pareiza ar kādu argumentu n = i, un pierādīsim, ka tad formula ir pareiza ar argumenta vērtību 

n = i + 1. Varam redzēt, ka 

1 + 2 + ... + i + (i + 1) = (1 + 2 + ... + i) + (i + 1) = 

kas arī pierāda apgalvojumu. 

i(i + 1) 

2 

+ i + 1 = 

(i + 1)(i + 2) 

, 

2 

Pastiprinātais matemātiskās indukcijas princips ir tāds secināšanas likums, ar kuru pierāda, 

ka predikāts P (n) ir patiess visiem n ≥ n 0 : 

(1.10) 

P (n 0 ), (∀k ≥ n 0 )[( ∧ k 

i=n 0 

P (i)) → P (k + 1)] 

. 

(∀n ≥ n 0 )P (n) 

Tātad, lai ar matemātiskās indukcijas metodi pastiprinātajā formā pierādītu, ka predikāts P (n) 

ir patiess visiem n ≥ n 0 , ir jāveic šādas darbības: 

• jāpierāda, ka P (n 0 ) ir patiess, 

• jāpieņem, ka P (i) ir patiess visiem n 0 ≤ i ≤ k (tas ir, visi izteikumi P (n 0 ), ..., P (k) ir 

patiesi), un jāpierāda, ka tad izteikums P (k + 1) ir patiess. 

Izmantojot pastiprināto matemātiskās indukcijas principu, ir iespējams relatīvi vieglāk pierādīt 

apgalvojumus, kurus ar parasto matemātiskās indukcijas principu pierādīt ir relatīvi grūti. 

Piemērs 1.24. Pierādīsim apgalvojumu ”∀ n ≥ 2 ∃p : p|n” (katram naturālam skaitlim, kas 

lielāks nekā 2, eksistē pirmskaitlis, kas to dala). Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess visiem 

naturāliem skaitļiem, kas ir stingri mazāki nekā k. Katrs naturāls skaitlis dalās ar vismaz diviem 

skaitļiem - ar 1 un pats ar sevi. Ja k dalās tikai ar diviem skaitļiem, tad tas ir pirmskaitlis un 

apgalvojums ir pierādīts. Ja k dalās vēl ar kādu skaitli a, tad a < k un saskaņā ar indukcijas 

pieņēmumu eksistē pirmskaitlis p, kas dala a un tātad arī k. 

Sarežǧītu apgalvojumu pierādīšanai tiek izmantotas arī citas matemātiskās indukcijas metodes 

shēmas, kuras atšķiras no aprakstītajām ar indukcijas soli. 

Jebkurš pierādījums ar parasto matemātiskās indukcijas metodi var tikt uzskatīts par pierādījumu 

ar pastiprinātās indukcijas metodi, jo parastās indukcijas metodes pieņēmums ir pastiprinātās 

indukcijas pieņēmuma secinājums. Izrādās, ka arī pastiprinātās indukcijas pierādījums var 

tikt pārveidots par parastās indukcijas pierādījumu. 

Teorēma 1.25. Apgalvojuma (∀n ≥ n 0 )P (n) pierādījumu ar pastiprinātās matemātiskās 

indukcijas metodi var pārveidot par tā pierādījumu ar parasto matemātiskās indukcijas metodi. 

Pierādījums. Definēsim jaunu predikātu 

Q(n) = (∀k : n 0 ≤ k ≤ n)P (k), 

ievērosim, ka 

(∀n ≥ n 0 )[Q(n) → P (n)]. 

Konstruēsim parastās matemātiskās indukcijas pierādījumu apgalvojumam 

(∀n ≥ n 0 )Q(n). 

Indukcijas bāze ir Q(n 0 ) = P (n 0 ), tāpēc te nekas nav jāpierāda. Pastiprinātās indukcijas solis ir 

nosacījuma apgalvojums 

((∀k ≤ n)P (k)) → P (n + 1), 

jeb 

Q(n) → P (n + 1). 

Ja Q(n) → P (n + 1) ir nosacījuma apgalvojums, tad 

Q(n) → (Q(n) ∧ P (n + 1)) = Q(n + 1)

arī ir nosacījuma apgalvojums un tātad ir pierādīts, ka 


(∀n ≥ n 0 )[Q(n) → Q(n + 1)], 

kas ir parastās indukcijas solis. Līdz ar to apgalvojums 

un tātad arī 

(∀n ≥ n 0 )Q(n) 

(∀n ≥ n 0 )P (n) 

ir pierādīts ar parastās indukcijas metodi. QED 

Apgalvojuma (∀n ≥ n 0 )P (n) pierādīšanai var izmantot arī citas matemātiskās indukcijas 

principa modifikācijas, kas atšķiras no klasiskās ar bāzi un indukcijas soli. Piemēram, varam 

uzskatīt, ka indukcijas bāze ir trīs izteikumu 

konjunkcija un indukcijas solis ir 

P (n 0 ), P (n 0 + 1), P (n 0 + 2) 

P (k) → P (k + 3). 

Tiek izmantota arī matemātis¯ka indukcija, kurā indukcijas parametrs pieder skaitļu kopas Dekarta 

reizinājumam. 

Matemātiskās indukcijas principam ekvivalenta pierādīšanas tehnika ir minimāla pretpiemēra 

metode. Šajā metodē izmanto to faktu, ka katra naturālo skaitļu kopas apakškopa satur minimālo 

elementu. Pieņemsim, ka ir jāpierāda apgalvojums (∀n ≥ n 0 )P (n). Rīkosimies šādi: pieņemsim 

pretējo - eksistē netukša naturālo skaitļu kopas apakškopa F tāda, ka (∀n ∈ F )(¬P (n)). Apskatīsim 

šīs kopas vismazāko elementu m. Ja m = n 0 , tad to var viegli pārbaudīt. Ja m > n 0 , 

tad m−1 nepieder kopai F . Lai pierādītu apgalvojumu (∀n ≥ n 0 )P (n), mums atkal ir jāpierāda, 

ka P (n 0 ) ir patiess un, ka, ja P (m − 1) ir patiess, tad P (m) ir patiess visiem m > n 0 . 

Matemātiskās indukcijas principu var vispārināt, ja predikāta argumentu kopā var definēt 

noteikta veida daļēji sakārtotas kopas struktūru. Naturālo skaitļu kopā var dabiski definēt 

daļēji sakārtotas kopas struktūru, ja sakārtojuma attiecība ir skaitļu salīdzināšanas attiecība, 

šai attiecībai atbilstošais Hasses grafs ir grafs, kura vienīgās šķautnes ir veidā x ← x + 1, skaitlis 

1 ir vienīgais minimālais un vismazākais elements šādā daļēji sakārtotā kopā, katram naturālam 

skaitlim eksistē galīgs skaits šķautņu ķēdē, kas to savieno ar skaitli 1. Matemātiskās indukcijas 

princips pēc būtības sastāv no nosacījuma apgalvojuma P (k) → P (k + 1) pierādīšanas katrai 

naturālo skaitļu kopas Hasses grafa šķautnei k ← k + 1. Pieņemsim tagad, ka mums ir jāpierāda 

apgalvojums (∀x ∈ X)P (x), kur kopa X ir tāda, ka tajā var uzdot daļēja sakārtojuma attiecību 

ar šādām īpašībām (dilstošo ķēžu nosacījumu): katrai kopas X elementu virknei x ≥ x 1 ≥ ... ≥ 

x n ≥ ... eksistē tāds indekss n, ka visiem m ≥ n izpildās nosacījums x m = x n (katra dilstoša 

elementu virkne stabilizējas pēc galīga soļu skaita). Viegli redzēt, ka, piemēram, naturālo skaitļu 

kopa šo īpašību apmierina, jo par katru skaitli n mazāki ir tikai galīgās kopas {1, 2, , n − 1} 

elementi. Vispārīgā gadījumā apgalvojumu (∀x ∈ X)P (x) var mēǧināt pierādīt ar strukturālās 

indukcijas metodi: 

• jāpierāda, ka apgalvojums P (x) ir patiess, ja x ir minimāls elements kopā X (vispārīgā 

gadījumā minimālo elementu kopa var būt pat bezgalīga, taču pierādīt apgalvojumu 

P (x), ja x ir minimāls elements, var relatīvi viegli), 

• jāpierāda strukturālās indukcijas solis P (x) → P (z), kur elementi x un z ir tādi, ka 

kopas X Hasses grafā eksistē šķautne x ← z. 

Dilstošo ķēžu nosacījums šajā metodē ir svarīgs tāpēc, ka tas nodrošina jebkura kopas elementa 

sasniegšanu no kāda minimāla elementa ar galīga soļu skaita palīdzību. 

Bieži vien strukturālās indukcijas solis sastāv no galīga skaita nosacījuma apgalvojumu 

P (x) → P (f i (x)) pierādīšanas, kur pārveidojumi f i raksturo daļēji sakārtotās kopas Hasses grafa 

uzbūvi, piemēram, matemātiskās indukcijas gadījumā ir tikai viens pārveidojums f(x) = x + 1, 

ar kura palīdzību var aprakstīt visas Hasses grafa šķautnes naturālo skaitļu kopā.

1.6. VINGRINĀJUMI 16 

Strukturālās indukcijas ideju datorzinātnē izmanto arī rekursīvajās definīcijās, kas sastāv no 

šādiem soļiem: 

• no sākuma definē kādu matemātisku jēdzienu vai objektu daļēji sakārtotas kopas minimālajiem 

elementiem, 

• pēc tam katram elementu pārim (x, y), kuram eksistē šķautne Hasses grafā, parāda, kā 

definēt šo jēdzienu elementam y, ja tas ir definēts elementam x. 

1.6. VINGRINĀJUMI 

Vingrinājums 1.26. Vispāriniet disjunkcijas pierādīšanas likumu šādā veidā. Ir dots nosacījuma 

apgalvojums, kurā nosacījums un secinājums ir divu elementāru izteikumu konjunkcija 

vai disjunkcija. Atrast, ja tas ir iespējams, dotajam nosacījuma apgalvojumam ekvivalento 

apgalvojumu sistēmu (konjunkciju vai disjunkciju), kurā 

1) katra nosacījuma apgalvojuma nosacījums ir viens elementārs izteikums vai 

2) katra nosacījuma apgalvojuma secinājums ir viens elementārs izteikums. 

Vingrinājums 1.27. 2. Attīstīt matemātisko pierādījumu tehniku, risinot vienkāršus skolēnu 

matemātisko olimpiāžu uzdevumus.

NODAĻA 2 

KOMBINATORIKA 

2.1. IEVADS 

Kombinatorika (no latīņu valodas saknes ar nozīmi ”apvienošana”) - matemātikas nozare, 

kas nodarbojas ar saliktu diskrētas dabas objektu (kopu elementu, apakškopu, virkņu u.c.) 

skaitīšanu, vispārīgām skaitīšanas metodēm un likumsakarībām. Matemātikā skaitīšanu parasti 

saprot kā empīriskā, fizikālā skaitīšanas procesa paātrināšanu ar matemātiskām metodēm - 

efektīvi aprēķināmu formulu vai ātrākas darbības algoritmu iegūšanu. Tipisks kombinatorikas 

uzdevums ir skaitīt noteikta veida objektus, kas tiek kvantitatīvi raksturoti ar vienu vai varākiem 

paramet-riem, kas ir veseli skaitļi. Šādā gadījumā atbilde ir vairāk vai mazāk izsmeļoša informācija 

par objektu skaitu - slēgta formula elementāras funkcijas veidā, aprēķināšanas formula 

galīgas summas vai reizinājuma veidā, matemātiskās īpašības u.c. Par kombinatorikas 

sastāvdaļu uzskata arī diskrētās matemātikas formulu vienkāršošanu, speciāla veida diskrētu objektu 

konstruēšanu un skaitīšanas rezultātu izmantošanu matemātisku izteikumu pierādījumos. 

Mūsdienās kombinatorikas iemaņas tiek uzskatītas par obligātām tiem augstskolu studentiem, kas 

specializējas matemātikā vai datorzinātnēs, un vēlamas tiem, kas specializējas citās eksaktajās 

zinātnēs. Kombinatorikas pirmsākumi ir meklējami seno laiku un agro viduslaiku matemātiķu 

darbos, bet arī mūsdienās kombinatorika ir aktīvas pētnieciskas darbības arēna ar daudzām 

interesantām neatrisinātām problēmām. 

Datorspeciālistiem kombinatorika ir jāpārvalda šādu divu galveno iemeslu dēļ: 

(1) lai varētu sekmīgi apgūt vienu no tiem nepieciešamajām profesionālajām pamatiemaņām 

- novērtēt skaitļošanas resursus (skaitļošanai nepieciešamo laiku, atmiņu u.c. parametrus), 

kas nepieciešami dotā uzdevuma veikšanai; 

(2) lai varētu noteikt dotā tipa objektu biežumu vai proporciju (varbūtību) visu objektu 

kopā. 

Kombinatorikas pārvaldīšana palīdz datorspeciālistiem novērtēt, piemēram, cik ilgi strādās 

programma, cik atmiņas tai būs vajadzīgs, kādas datu struktūras ir optimālas dotā uzdevuma 

veikšanai, kādi ir optimālie algoritmi dotā uzdevuma atrisināšanai, kāda būs datortīkla noslodze 

ar doto lietotāju skaitu, kāda ir varbūtība, ka dotā datorsistēma darbosies noteiktu laika intervālu 

u.c. Kombinatorikas iemaņas tiks izmantotas kursos, kas ir saistīti ar datu struktūru un 

algoritmu projektēšanu un analīzi. 

Priekšzināšanas kombinatorikas apgūšanai ietver šādus matemātikas pamatjēdzienus, kas 

parasti tiek apgūti diskrētās matemātikas pamatkursā: kopa, apakškopa, multikopa, n-multikopa, 

apakšmultikopa, virkne, operācijas ar kopām, kopu tiešais reizinājums, injektīva, surjektīva, bijektīva 

funkcija, faktoriāls: n! = n(n − 1) · ... · 2 · 1 . Lietderīgas ir arī reālo skaitļu funkcijas [x] 

(skaitļa x veselā daļa) un ⌈x⌉ (skaitļa x ”griesti” - mazākais veselais skaitlis, kas nav mazāks kā 

x). Atgādināsim arī šādu kopu teorijas pamatfaktu: galīgas kopas apjomu (ekvivalences klasi 

attiecībā uz kopu vienlieluma attieksmi) var identificēt ar kopas elementu skaitu. 

Piemērs 2.1. Ir dots veselu skaitļu masīvs (a 1 , ..., a 1000 ). Risinot kādu uzdevumu, algoritmā 

tiek pieprasīts apskatīt visus iespējamos sakārtotos pārus (a i , a j ). Cik laika tam ir nepieciešams, 

ja viena pāra apstrādāšana aizņem 1 sekundi? Cik atmiņas būs vajadzīgs visu pāru saglabāšanai, 

ja katrs skaitlis aizņem 1 baitu? 

17


2.2. KOMBINATORIKAS PAMATPRINCIPI 

Jebkura kombinatorikas uzdevuma risināšana sastāv no diviem svarīgiem soļiem: 

1) skaitāmo objektu uzdošanas (kodēšanas) ērtos matemātiskos terminos; 

2) kombinatorikas metožu pielietošanas uzdevuma atrisināšanai. 

Parasti kombinatorikas objekti var tikt uzdoti vienkāršos diskrētās vai nepārtrauktās matemātikas 

terminos kā virknes fiksētā alfabētā vai apakškopas ar noteiktām īpašībām fiksētā kopā. 

Diezgan bieži tiek izmantotas binārās virknes (virknes alfabētā {0, 1}). Kodēšana ar virkņu 

palīdzību ir iespējama arī tad, ja skaitāmie objekti nav lineāri, piemēram, ja tos ērtāk ir uzdot 

kā skaitļu tabulas vai ǧeometriskus objektus. Svarīgs kodēšanas veids ir kodēšana ar vienkāršu 

skaitļošanas mašīnu valodu palīdzību šādā veidā. Var definēt primitīvas skaitļošanas mašīnas, 

kas nolasa simbolus no lentas, maina savu iekšējo stāvokli un stāvokli uz lentas. Šīm mašīnām 

ir izdalīti beigu jeb pieņemošie stāvokļi. Par dotās mašīnas valodu sauksim to vārdu kopu 

dotajā alfabētā, kuras elementus pieņem šī mašīna. Papildus tam tiek izmantotas arī dažādas 

ǧeometriskās kodēšanas metodes, piemēram, virkņu vai apakškopu kodēšana plaknes vai telpas 

līniju veidā. Pareiza skaitāmo objektu kodēšana ir svarīgs un bieži vien pat kritisks solis 

uzdevuma atrisināšanā. Pētāmo objektu kodēšana var tikt veikta dažādos veidos, lai atrisinātu 

uzdevumu, ir jāizvēlas pietiekoši ērts kodēšanas veids. 

Skaitāmie objekti parasti ir atkarīgi no viena vai vairākiem diskrētiem parametriem, kas 

pieņem vērtības naturālo skaitļu kopā. 

Kombinatorikas uzdevumi var būt saistīti gan ar tādu objektu skaitīšanu, kuru sastāvdaļas 

- atomi tiek kodētas kā ”iezīmētas”, gan arī ar objektiem, kuru sastāvdaļas nav atšķiramas - 

”neiezīmētas”. 

Piemērs 2.2. Bināru virkni ar garumu n un m vieniniekiem var interpretēt kā vismaz 3 

dažādu objektu kodu. To var interpretēt kā n-kopas m-apakškopas bitu vektoru. Definēsim 

naturāla skaitļa kompozīciju kā tā pierakstu sakārtotas naturālu skaitļu summas veidā. Ja ir 

dota skaitļa n + 1 kompozīcija n + 1 = a 1 + ... + a m+1 , tad definēsim bināru virkni {b 1 , ..., b m } 

ar nosacījumu b i = 1 tad un tikai tad, ja i ir izsakāms formā i = a 1 + ... + a k kādam k. Ja ir 

dots maršruts plaknē no punkta (0, 0) līdz punktam (m, n − m) ar atļautiem soļiem x = (1, 0) 

un y = (0, 1) veidā s 1 ...s n , tad piekārtosim tam bināru virkni {z 1 , ..., z n }, kur z i = 1, ja s i = x 

un z i = 0, ja s i = y. 

Piemērs 2.3. Ir dots kubs ar izmēriem n × n × n , kas sastāv no n 3 mazākiem kubiem ar 

izmēriem 1×1×1 . Šajā kubā divi cilvēki spēlē spēli ”Krustiņi-nullītes”. Cik ir dažādu vinnējošo 

kubiņu virkņu? Lai eleganti atrisinātu šo uzdevumu, iekodēsim vinnējošās virknes šādā veidā. 

Konstruēsim dotā kuba ”apvalku” - kuba ar izmēriem (n + 2) × (n + 2) × (n + 2) un dotā kuba 

starpību. Katra vinnējošā virkne ”caururbj” apvalku tieši divās vietās, tātad vinnējošo virkņu 

skaits ir divreiz mazāks nekā apvalka kubiņu skaits, tātad atbilde ir 

(n + 2) 3 − n 3 

. 

2 

Šajā gadījumā vinnējošo virkņu kodēšana tiek veikta ar apvalka palīdzību. 

Piemērs 2.4. Izmantojot permutācijas sadalījumu ciklos, to var iekodēt kā ciklu apvienojumu. 

Zemāk šajā nodaļā mēs uzskaitīsim vienkāršākos skaitīšanas principus, uz kuriem balstās 

kombinatorika. Sāksim ar šādu vienkāršu novērojumu. Galīgas kopas A elementu skaitu |A| var 

interpretēt kā kopas A elementu skaitīšanas rezultātu, kura katrs elements tiek skaitīts vienu 

reizi (ar svaru 1): 

(2.1) |A| = ∑ a∈A 

1.


2.2.1. Rekursijas (skaldi un valdi!) likums. Risinot kombinatorikas uzdevumus, ir 

lietderīgi sadalīt skaitāmos objektus mazākās daļās, atkārtojot šo soli vairākas reizes, kamēr 

skaitīšanas uzdevums kļūst ļoti vienkāršs. Skaitāmo objektu dalīšana mazākās daļās var tikt 

veikta dažādos veidos: 

• sadalot objektu uz pusēm; 

• sadalot objektu daļās pēc to strukturālām īpašībām; 

• atmetot vienu simbolu virknes galā vai kādā noteiktā vietā, ja skaitāmie objekti ir 

iekodēti kā virknes. 

Plaši izplatīts šī principa pielietošanas piemērs ir rekurento sakarību metode, kurai šajā grāmatā 

ir veltīta nodaļa. 

2.2.2. Summas likums. Ja A = A 1 ∪ A 2 un A 1 ∩ A 2 = ∅, tad 

|A| = |A 1 | + |A 2 |. 

Šo likumu izmanto, ja skaitāmo objektu kopu var sadalīt vairākās šķirtās daļās, katrā no 

kurām šos objektus var skaitīt neatkarīgi un, iespējams, pat ar dažādām metodēm. Summas 

likumu var vispārināt arī uz vairāku šķirtu kopu apvienojuma gadījumu: ja A = A 1 ∪A 2 ∪...∪A n 

un A i ∩ A j = ∅ visiem i ≠ j, tad 

n∑ 

|A| = |A 1 | + A 2 | + ... + |A n | = |A i |. 

i=1 

Piemērs 2.5. Ja no pilsētas A var aizbraukt uz pilsētu B caur pilsētām C vai D N C vai N D 

veidos, tad kopējais ceļu skaits no A uz B ir vienāds ar N C + N D (skatīt 2.1.attēlā). 

C 

A 

B 

D 

2.1. attēls. Summas likuma pielietošanas ilustrācija 

Pielietojot summas likumu, var sastapties ar dažādiem iespējamo variantu skaita sadalījumiem: 

1) varianti var būt sadalīti ”vienmērīgi” pa kopām A i ; 

2) dažas kopas A i ir jāuzskata par īpašiem speciālgadījumiem, kuros variantu skaits ir 

būtiski mazāks nekā citās kopās. 

Ir uzdevumi, kuros elementi dažādās kopās ir jāskaita ar dažādām metodēm. Var būt arī 

nepieciešams pielietot summas likumu vairākas reizes viena uzdevuma risināšanas gaitā. 

2.2.3. Reizināšanas likums. Ja A = B × C, tad 

|A| = |B| · |C|. 

Šo likumu izmanto, ja skaitāmos objektus var uzdot kā virknes, kuru elementi var tikt skaitīti 

pēctecīgi neatkarīgi viens no otra. Kopas B un C var būt gan fiksētas, gan arī atkarīgas viena


no otras. Reizināšanas likumu var vispārināt arī uz vairāku kopu tiešā reizinājuma gadījumu: ja 

A = A 1 × A 2 × ... × A n , tad 

n∏ 

|A| = |A 1 | × |A 2 | × ... × |A n | = |A i |. 

Piemērs 2.6. Pieņemsim, ka visi ceļi no A uz B iet caur C. Ja no A uz C var aizbraukt 

N AC veidos un no C uz B var aizbraukt N CB veidos, tad no A uz C var aizbraukt N AC × N CB 

veidos, jo katru ceļu no A uz C var uzdot kā sakārtotu elementu pāri (u, v), kur u ir ceļš no A 

uz C un v ir ceļš no C uz B. 

i=1 

N AC 

N CB 

A C B 

2.2. attēls. Reizināšanas likuma pielietošanas ilustrācija 

2.2.4. Dalīšanas likums. Ja kopa A ir sadalīta m elementus lielās apakškopās, tad šādu 

apakškopu skaits ir vienāds ar 

|A| 

m . 

Šo likumu izmanto, ja skaitāmo objektu kopu var sadalīt vienāda un zināma lieluma apakškopās, 

kuru skaitu var noteikt relatīvi viegli. Dalīšanas likumu var formulēt, izmantojot funkcijas: ja ir 

dotas divas galīgas kopas A un B un funkcija f : A → B ar īpašību |f −1 (b)| = m katram b ∈ B 

(citiem vārdiem sakot, tieši m elementi tiek sūtīti uz katru kopas B elementu), tad |B| = |A| 

m . 

Piemērs 2.7. Cik ir divu elementu apakškopu kopa, kas satur 10 elementus? No sākuma 

atradīsim, cik ir sakārtotu dažādu elementu pāru 10 elementu kopā. Tā kā sakārtots dažādu 

elementu pāris ir elements kopas Dekarta kvadrātā, tad saskaņā ar reizināšanas likumu, šādu pāru 

skaits ir 10(10 − 1) = 90. Katru divu elementu apakškopu var sakārtot divos veidos: pirmais 

veids ir tāds, ka pirmais elements ir mazāks nekā otrais, un otrais tāds, ka pirmais elements 

ir lielāks nekā otrais. Tādējādi visa sakārtoto pāru kopa ir sadalīta divās vienādas daļās un 

meklējamais apakškopu skaits ir vienāds ar elementu skaitu jebkurā no šīm daļām. Atbilde ir 

vienāda ar 90 

2 = 45. 

2.2.5. Vienlieluma likums. Ja eksistē bijektīva (savstarpēji viennozīmīga) funkcija no 

galīgas kopas A uz galīgu kopu B, tad 

|A| = |B|. 

Šo likumu izmanto, ja dotajā kopā B ir grūti saskaitīt elementus, bet eksistē un ir viegli redzama 

kāda cita kopa A, kuras elementus ir iespējams relatīvi viegli saskaitīt, un bijektīva funkcija no 

A uz B. Vienlieluma likumu sauksim arī par skaitīšanu ar bijekcijas palīdzību. Pielietojot šo 

metodi, ir iespējami šādi gadījumi: 

1) kopa B pēc savas dabas būtiski atšķiras no kopas A, tādējādi kopas B ieviešana būtiski 

izmaina uzdevuma risināšanas gaitu; 

2) kopa B atšķiras no kopas A ar tādām detaļām, kas tikai palīdz atrisināt uzdevumu, 

neizmainot to būtiski. 

Piemērs 2.8. Pieņemsim, ka katram studentam pieder tieši viena cepure. Lai saskaitītu studentus, 

pietiek saskaitīt to cepures, un otrādi, lai saskaitītu cepures, pietiek saskaitīt studentus. 

Piemērs 2.9. Katrai kopas {1, ..., n} permutācijai var viennozīmīgi piekārtot tās sadalījumu 

neatkarīgajos ciklos, un otrādi, katram n elementu kopas sadalījumam permutāciju ciklu kopā 

var viennozīmīgi piekārtot atbilstošo permutāciju. Līdz ar to ir pierādīts, ka n elementu lielas 

kopas permutāciju skaits ir vienāds ar n elementus lielas kopas permutāciju ciklu kopu skaitu. 

Vienlieluma likumu vispārināt, ja ir dota patvaļīga funkcija f : A → B.


Teorēma 2.10. Ja A un B ir galīgas kopas un f ir funkcija no A uz B, tad 

1) ja f ir injektīva funkcija, tad 

2) ja f ir sirjektīva funkcija, tad 

3) ja f ir bijektīva funkcija, tad 

|A| ≤ |B|, 

|A| ≥ |B|, 

|A| = |B|. 

Pierādījums. Visi apgalvojumi seko no funkciju speciālgadījumu definīcijām. QED 

Piemērs 2.11. Pieņemsim, ka katram studentam pieder ne vairāk kā viena cepure. Lai 

novērtētu studentu skaitu no apakšas, pietiek saskaitīt cepures. Lai novērtētu cepuru skaitu no 

augšas, pietiek saskaitīt studentus. Šajā gadījumā kopa A ir cepuru kopa, kopa B ir studentu 

kopa un funkcija f katrai cepurei piekārto tās īpašnieku, līdz ar to f ir injektīva funkcija. 

Ja ir dota funkcija f : A → A, tad interesantus kombinatoriskus rezultātus var iegūt pētot 

tās sadalījumu neatkarīgos ciklos. 

2.2.6. Skaitīšana izmantojot papildinājumu. Šo metodi izmanto, ja ir vieglāk noteikt 

elementu skaitu sākotnējās kopas papildinājumā un universā nekā sākotnējā kopā, kuras elementus 

ir uzdots saskaitīt. Apzīmēsim universu ar U, tad 

un 

U = A ∪ (U\A), |U| = |A| − |U\A| 

|A| = |U| − |U\A|. 

Ja kopa A tiek definēta ar kādu nosacījumu P , tad kopa U\A tiek definēta ar nosacījumu ¬P 

un šo kopu elementu skaitīšanas grūtības pakāpes var būt dažādas. 

Piemērs 2.12. Izmantojot papildināšanas metodi atradīsim, cik ir divu dažādu elementu 

virkņu (sakārtotu pāru) kopā, kas satur 10 elementus. Saskaņā ar reizināšanas likumu ir 10 · 10 

dažādu sakārtotu pāru, no kuriem 10 pāros abi elementi ir vienādi. Sakārtotā elementu pārī 

elementi var būt vai nu vienādi, vai arī dažādi, tāpēc pāru skaits ar dažādiem elementiem ir 

vienāds ar 100 − 10 = 90. 

Piemērs 2.13. Ir dota pilsēta, kuras pašvaldība plāno uzsākt ielu remontu. Ir zināms, ka 

98% ielu ir jāremontē. Kā uzdot remontējamās ielas? Acīmredzams risinājums ir šāds: pārskaitīt 

ielas, kuras NAV jāremontē. 

2.2.7. Skaitīšana divos dažādos veidos. Šo metodi izmanto, lai vienkāršotu formulas. 

Skaitot vienas galīgas kopas elementus divos vai vairāk veidos, atbilde, protams, ir viena un tā 

pati, bet tā var būt izteikta un interpretēta dažādos veidos, kurus analizējot var iegūt interesantus 

kombinatoriskus rezultātus. Par šo metodi var domāt arī kā par saskaitāmo kārtības maiņu 

summā. 

Klasisks šī principa pielietošanas piemērs un ilustrācija ir skaitļu tabulas (matricas) elementu 

skaitīšana. Skaitļu tabulas elementu summu var atrast divos veidos: 

1) no sākuma saskaitīt skaitļu summu katrā rindā, pēc tam atrast visu šādi iegūto skaitļu 

(katras rindas locekļu summu) summu; 

2) no sākuma saskaitīt skaitļu summu katrā kolonnā, pēc tam atrast visu šādi iegūto skaitļu 

(katras kolonnas locekļu summu) summu. 

Ir skaidrs, ka abi paņēmieni dos vienu rezultātu, jo summa nemainās, ja saskaitāmos maina 

vietām.


2.3. attēls. Matricas elementu summas skaitīšana divos dažādos veidos 

2.2.8. Dirihlē princips. Risinot dažādus kombinatorikas uzdevumus, nereti nākas noteikt, 

cik daudzi no apskatāmajiem objektiem apmierina kādu īpašību. Šī uzdevuma atrisināšanai ir 

lietderīgi domāt par doto īpašību kā par objektu ievietošanu kastēs vai kā par objektu kopas 

attēlošanu uz īpašības vērtību kopu. Šādā interpretācijā objektu skaits ar doto īpašību ir 

vienāds ar to skaitu atbilstošajā kastē vai ar atbilstošās īpašības vērtības inversā attēla elementu 

skaitu. Atbilstošo kombinatorikas principu sauksim par Dirihlē principu (par godu matemātiķim 

L.Dirihlē). Dirihlē princips (”baložu būru princips”): 

• vienkāršākajā (klasiskajā) formā - sadalot n + 1 elementus lielu kopu n apakškopās, 

vismaz viena apakškopa satur vismaz divus elementus (saliekot n + 1 baložus n būros, 

vismaz vienā būrī ir vismaz divi baloži); 

• klasiskā formā izmantojot funkcijas - funkcija no n + 1 elementus lielas kopas uz n 

elementus lielu kopu nevar būt injektīva; 

• vispārīgā formā izmantojot funkcijas - ja A un B ir galīgas kopas un |A| > |B|, tad 

jebkurai funkcijai f : A → B eksistē divi dažādi elementi a 1 ∈ A un a 2 ∈ A, kuriem 

izpildās nosacījums f(a 1 ) = f(a 2 ); 

• daļveida formā - sadalot m elementus lielu kopu k apakškopās, vismaz viena apakškopa 

satur vismaz ⌈ m ⌉ elementus, kur ⌈x⌉ ir skaitļa x ”griesti” (mazākais veselais skaitlis, 

k 

kas nav mazāks kā x); 

• bezgalīgajā formā - sadalot bezgalīgu kopu galīga skaita apakškopās, vismaz viena 

apakškopa būs bezgalīga. 

Dirihlē principu izmanto gan kombinatorikā, gan ǧeometrijā. 

Piemērs 2.14. Jebkuru astoņu cilvēku kolektīvā ir divi, kas ir dzimuši vienā nedēļas dienā. 

Jebkurā 25 cilvēku grupā eksistē 4 cilvēki, kas ir dzimuši vienā nedēļas dienā. Ja kvadrātā ar 

malas garumu 2 tiek ievietoti 5 punkti, tad vismaz divi no tiem atrodas attālumā ne mazāk kā 

√ 

2 viens no otra. 

2.2.9. Vingrinājumi. 

Vingrinājums 2.15. Cik veidos uz šaha galdiņa var izvietot divus torņus (dāmas, karaļus, 

laidņus, zirgus) tā, lai tie neapdraudētu viens otru? Atgādināsim, ka šaha galdiņš ir kvadrāts 

ar izmēriem 8 × 8, kura rūtiņas ir iekrāsotas baltā un melnā krāsā tā, ka nekādas divas rūtiņas, 

kurām ir kopīga šķautne, nav vienā krāsā. Dāma var pārvietoties pa horizontāli, vertikāli vai 

diagonāli pa jebkuru skaitu rūtiņu. Karalis var pārvietoties horizontāli, vertikāli vai diagonāli 

pa vienu rūtiņu. Laidnis var pārvietoties pa diagonāli pa jebkuru skaitu rūtiņu. Zirgs var 

pārvietoties divus soļus horizontālā virzienā un vienu - vertikālā virzienā vai otrādi. 

Vingrinājums 2.16. Cik veidos naturālu skaitli n var uzrakstīt kā sakārtotu naturālu skaitļu 

summu? 

Vingrinājums 2.17. 15 cilvēki kopā salasīja 100 ābolus. Pierādīt, ka eksistē divi cilvēki, 

kas salasīja vienādu ābolu skaitu. 

Vingrinājums 2.18. Pierādīt, ka jebkurā cilvēku kopā A ir divi cilvēki, kuriem draugu skaits 

kopā A ir vienāds.


Vingrinājums 2.19. Studentu grupa, kurā ir 41 cilvēks, nokārtoja sesiju, kurā bija trīs 

eksāmeni. Visi studenti saņēma atzīmes 4, 5, vai 6. Pierādīt, ka vismaz pieci studenti nokārtoja 

sesiju ar vienādām atzīmēm. 

Vingrinājums 2.20. Katra no divām binārajām virknēm satur n nulles un n vieniniekus. 

Pierādīt, ka vienu no šīm virknēm var cikliski nobīdīt tā, ka nobīdītā virkne sakrīt ar otru virkni 

n vietās. 

Vingrinājums 2.21. Taisnstūrī ar izmēriem 3×4 ir atzīmēti seši punkti. Pierādīt, ka eksistē 

divi punkti, starp kuriem attālums nav lielāks kā √ 5. 

Vingrinājums 2.22. Ir dots kvadrāts ar malas garumu 1. Cik punktu ir jāatzīmē šajā 

kvadrātā, lai garantēti eksistētu n punkti ar šādu nosacījumu: attālums starp jebkuriem diviem 

punktiem nepārsniedz α, kur α > 0? 

Vingrinājums 2.23. Pierādīt, ka katra dažādu reālu skaitļu virkne ar garumu n 2 + 1 satur 

vai nu augošu virkni ar garumu n vai arī dilstošu virkni ar garumu n. 

2.3. VIENKĀRŠĀKIE KOMBINATORIKAS UZDEVUMI 

Daži kombinatorikas uzdevumi tiek bieži izmantoti kā apakšuzdevumi citos sarežǧītākos uzdevumos, 

tāpēc tos mēs apskatīsim atsevišķi šajā nodaļā. 

2.3.1. Variācijas ar atkārtojumiem. Cik veidos var konstruēt m vienības garas virknes, 

kurās var būt n dažādu tipu elementi, kas var atkārtoties (n-multikopas elementi), šo skaitli 

apzīmēsim ar Ām n . Termins variācija ir termina virkne sinonīms. 

Lai atrisinātu šo uzdevumu, izmantosim reizināšanas likumu. Skaitīsim, cik dažādu m 

vienības garu virkņu var izveidot no n tipu neierobežoti lielas multikopas (n-multikopas). Veidosim 

šādas virknes, sākot no kreisās malas. Virknes pirmo elementu var izvēlēties n veidos, 

virknes otro elementu neatkarīgi no pirmā var izvēlēties n veidos, tātad pirmos divus virknes 

elementus var izvēlēties n × n = n 2 veidos,..., visus virknes m elementus var izvēlēties n m veidos. 

Iegūstam, ka 

(2.2) Ā m n = n } · n {{ · ... · n} 

= n m . 

m 

Piemērs 2.24. Cik dažādos veidos var izvēlēties piecciparu tālruņa numuru? Katru no 

pieciem cipariem var neatkarīgi izvēlēties 10 veidos, cipari var atkārtoties, tāpēc atbilde ir vienāda 

ar A 5 10 = 10 5 . 

Parādīsim, ka Ām n var interpretēt kā visu funkciju skaitu no m elementu kopas uz n elementu 

kopu. Uzdot funkciju no m elementu kopas A uz n elementu kopu B ir tas pats, kas uzdot 

sakārtotu virkni (iespējams, ar atkārtojumiem, ja funkcija nav injektīva): funkciju f : A → B 

viennozīmīgi uzdot ar virkni 

(f(a 1 ), ..., f(a m )), 

} {{ } 

m 

kuras elementi ir kopas B elementi. Otrādi, katrai m elementus garai virknei, kuras elementi 

pieder kopai B, var viennozīmīgi piekārtot atbilstošo funkciju. Tādējādi ir nodibināta bijektīva 

atbilstība starp virknēm un funkcijām. 

Ā m 2 var interpretēt arī kā visu m elementu lielas kopas apakškopu skaitu, jo katru apakškopu 

var uzdot kā funkciju no šādas kopas uz divu elementu kopu 0, 1, kas elementam piekārto 1, ja 

tas pieder apakškopai, un 0, ja nepieder. Tādējādi m elementu lielas kopas visu apakškopu skaits 

ir vienāds ar 2 m .


2.3.2. Variācijas bez atkārtojumiem. Cik ir dažādu m vienības garu virkņu, kurās var 

būt dotās n elementus lielas kopas elementi, šo skaitli apzīmēsim ar A m n . Atšķirībā no iepriekšējā 

uzdevuma elementi virknē nevar atkārtoties, jo tie tiek izvēlēti no kopas. 

Arī šajā gadījumā izmantosim reizināšanas likumu. Skaitīšanu veiksim, konstruējot visas 

iespējamās virknes. Konstruēsim virknes, pievienojot jaunus elementus labajā pusē. Virknes 

pirmo elementu (sākot no kreisās puses) var izvēlēties n veidos, virknes otro elementu (ja pirmais 

elements jau ir izvēlēts) var izvēlēties neatkarīgi no pirmā n − 1 veidā. Tātad saskaņā 

ar reizinājuma likumu pirmos divus virknes elementus var izvēlēties n(n − 1) dažādos veidos. 

Spriežot līdzīgi, redzam, ka pirmos trīs virknes elementus var izvēlēties n(n − 1)(n − 2) dažādos 

veidos. Turpinot šo spriedumu, iegūstam, ka kopējais dažādu virkņu skaits ir n(n−1)...(n−m+1), 

tātad 

(2.3) A m n = n(n − 1) · ... · (n − m + 1) = 

n! 

(n − m)! . 

Piemērs 2.25. Cik dažādos veidos var nostādīt ierindā piecus cilvēkus no desmit cilvēku 

lielas grupas? Atbilde ir vienāda ar A 5 10 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30240. 

Svarīgs speciālgadījums ir A n n = n! (n elementus lielu kopu var sakārtot n! veidos). A n n 

apzīmēsim ar P n un sauksim par n elementus lielas kopas permutāciju skaitu. Naturāliem 

skaitļiem m un n definēsim A m n = 0, ja m > n. Ar formulu 

(2.4) A m a = a(a − 1) · ... · (a − m + 1) 

varam definēt skaitļus A m a arī tad, ja a ir jebkurš reāls un ne obligāti naturāls skaitlis. 

A m n ir vienāds ar injektīvu funkciju skaitu no m elementu lielas kopas uz n elementus lielu 

kopu tāpēc, ka injektīvas funkcijas uzdošana ir ekvivalenta virknes bez atkārtojumiem uzdošanai. 

Gadījumā, kad m = n mēs iegūstam visu injektīvu un tātad arī bijektīvu funkciju skaitu no n 

elementu kopas uz n elementu kopu, ko var interpretēt arī kā n elementus lielas kopas permutāciju 

jeb sakārtojumu skaitu. 

Pierādīsim, ka visu iespējamo virkņu bez atkārtojumiem (ieskaitot tukšo virkni) skaits V n 

kopai ar n elementiem ir vienāds ar [n! · e], ja n > 1. Tiešām, šis skaitlis ir vienāds ar 

n∑ n∑ 

A i n! 

n∑ 

n = 

(n − i)! = n! 

n∑ 

i! = n! 1 

i! . 

i=0 

i=0 

Tagad ievērosim, ka iegūtā summa ir funkcijas e x Teilora rindas parciālsumma, kad izvirzījuma 

punkts ir 0 un x = 1, un tātad 

n! · e − V n = 1 

n + 1 + 1 

(n + 1)(n + 2) + ... < ∑ i≤1 

Redzam, ka skaitļa n! · e veselā daļa ir vienāda ar V n . 

i=0 

i=0 

1 

(n + 1) = 1 

i n + 1 ( 1 

1 − 1 ) = 1 n ≤ 1. 

n+1 

2.3.3. Kombinācijas bez atkārtojumiem. Cik ir dažādu m elementus lielu apakškopu 

kopā, kas satur n elementus? Šo skaitli apzīmēsim ar Cm n (Austrumeiropā pieņemts apzīmējums) 

vai ( n 

m) 

(Rietumos un Rietumu puslodē pieņemts apzīmējums). Termins kombinācija kā apakškopas 

sinonīms ir matemātiska tradīcija, kas pakāpeniski atmirst. 

Atradīsim Cn m , izmantojot dalīšanas likumu. Saskaņā ar spriedumu, ar kura palīdzību mēs 

aprēķinājām A m n , katru m elementus lielu apakškopu var sakārtot m! veidos, tātad vienai m 

elementus lielai apakškopai atbilst m! sakārtotas virknes, tātad ir spēkā vienādības 

A m n = Cn m m! 

un 

(2.5) Cn m = Am n 

m! = n! 

(n − m)!m! .


Piemērs 2.26. Cik dažādos veidos var izvēlēties piecus cilvēkus no desmit cilvēku lielas 

grupas? Atbilde ir vienāda ar C 5 10 = 10·9·8·7·6 

5·4·3·2·1 = 252. 

Ja m > n, tad definēsim C m n 

(2.6) C m a = 

= 0. Ar formulu 

a(a − 1) · ... · (a − m + 1) 

m! 

divu argumentu funkciju Ca 

m var definēt arī patvaļīgām (ne obligāti veselām) argumenta a 

vertībām. Arī šajā gadījumā definēsim Ca m = 0, ja m > a. 

Skaitļiem Cn 

m ir vēl vairākas lietderīgas interpretācijas: 

• Cn 

m var interpretēt kā n vienības garu bināru virkņu skaitu, kurās ir m vieninieki, jo 

katrai n elementus lielas kopas m-apakškopai var viennozīmīgi piekārtot n vienības 

garu bināru virkni ar m vieniekiem, un, otrādi, katrai binārai virknei var viennozīmīgi 

piekārtot apakškopu šādā veidā: sakārtojam kopas elementus virknē (ar garumu n), ja 

elements x ir dotajā apakškopā, tad attiecīgajā vietā rakstām 1, ja nē, tad 0, katrai 

apakškopai viennozīmīgi atbilst tieši viena bināra virkne, 

• Cn 

m var interpretēt kā fiksēta garuma augošu (dilstošu) virkņu skaitu pilnīgi sakārtotā 

kopā: katru m-apakškopu n elementus lielā pilnīgi sakārtotā kopā var sakārtot augošā 

vai dilstošā kārtībā tieši vienā veidā, otrādi, katrai augošai vai dilstošai virknei var 

viennozīmigi piekārtot atbilstošo apakškopu, 

• Cn 

m var interpretēt kā koeficientus, ko iegūst, atverot iekavas izteiksmē (a + b) n , šo 

faktu var pierādīt, izmantojot matemātisko indukciju, to var vispārināt uz gadījumu, 

kad kāpinātājs nav vesels skaitlis (binomiālā teorēma): 

(1 + x) r = ∑ i≥0 

C i rx i , 

šādā gadījumā summa ir bezgalīga un sakrīt ar kreisās puses funkcijas Teilora rindu. 

Pārskaitīsim dažas vienkāršākās skaitļu Cn 

m īpašības: 

1) Cn 0 = 1, Cn 1 = n, Cn n = 1; 

2) Cn m = Cn n−m ; 

3) Cn m + Cn m+1 = Cn+1 m+1 (Paskāla trijstūra īpašība); 

4) ∑ n 

i=0 Ci n = 2 n (visu apakškopu skaits ir vienāds ar 2 n ) 

Piemērs 2.27. Apskatīsim kādu formulu vienkāršošanas uzdevumu, kurā ir iesaistīti skaitļi 

Cn 

m un kurš ilustrē arī kombinatorikas pamatprincipu ”skaitīšana divos dažādos veidos”. Vienkāršosim 

summu 

n∑ 

S n = Cnk. 

k 

Redzam, ka 

k=1 

S n = s 1 + s 2 + ... + s n , 

kur s k = C k nk. Skaitli s k var interpretēt kā visu to veidu skaitu, kā no n elementu lielas kopas 

izvēlēties k elementus lielu apakškopu un vienu šīs apakškopas elementu. Mainot i, mēs iegūsim 

dažādas apakškopas, tātad, izmantojot summas likumu, redzam, ka S n ir vienāds ar visu veidu 

skaitu, kā no n elementu lielas kopas izvēlēties (netukšu) apakškopu un vienu šīs apakškopas 

elementu (piemēram, kādas cilvēku grupas komiteju kopā ar tās priekšsēdi). Cik dažādos veidos 

to var izdarīt? Redzam, ka saskaņā ar reizināšanas likumu 

S n = n · 2 n−1 

- no sākuma izvēlamies priekšsēdi, pēc tam jebkuru, iespējams, tukšu, apakškopu no atlikušās 

cilvēku kopas.


2.3.4. Kombinācijas ar atkārtojumiem. Cik ir dažādu m elementus lielu apakšmultikopu 

multikopā, kas satur n dažādu tipu elementus neierobežotā skaitā (n-multikopa)? Šo skaitli 

apzīmēsim ar ¯C n m . 

Atrisināsim šo uzdevumu ar vienlieluma likuma metodi - piekārtosim savstarpēji viennozīmīgi 

katrai apakšmultikopai noteikta veida bināru virkni. Katrai apakšmultikopai ar dotajām īpašībām 

piekārtosim bināru virkni šādā veidā: 

1) sanumurēsim n-multikopas elementu tipus ar naturāliem skaitļiem no 1 līdz n; 

2) pieņemsim, ka apakšmultikopā ir r i elementi, kuru tips ir i ( ∑ n 

i=1 r i = m), sākot no 

kreisās puses rakstīsim r 1 nulles un 1 vieninieku, r 2 nulles un 1 vieninieku,..., r n nulles 

un 1 vieninieku (piemēram, ja elementu tipi ir kopā {1, 2, 3}, tad apakšmultikopai 

{1, 1, 1, 2, 2, 3} atbilst bināra virkne (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1)). 

Iegūsim viennozīmīgi definētu virkni, kurā ir m nulles un n − 1 vieninieks. Otrādi, katrai šādai 

virknei atbilst viena vienīga apakšmultikopa ar dotajām īpašībām. Tātad meklējamais multikopu 

skaits ¯C n 

m ir vienāds ar tādu bināru virkņu skaitu, kuras satur m nulles un n − 1 vieninieku, jo 

ir konstruēta bijektīva funkcija no mūs interesējošās apakšmultikopu kopas uz aprakstīto bināro 

virkņu kopu. Saskaņā ar iepriekš pierādīto bijekciju starp binārām virknēm un apakškopām, šis 

skaits ir vienāds ar n − 1 elementu lielu apakškopu skaitu n + m − 1 elementus lielā kopā, tātad 

(2.7) ¯Cm n = C n−1 

n+m−1 = C m n+m−1. 

Piemērs 2.28. Veikalā ir 5 dažādu veidu markas neierobežotā skaitā. Cik dažādos veidos var 

iegādāties 10 marku komplektu? Redzam, ka mums ir jāatrod 10 elementus lielu apakšmultikopu 

10 

skaits multikopā, kas satur 5 tipu elementus. Atbilde ir vienāda ar ¯C 5 = C14 4 = 1001. 

2.3.5. Apakškopu virkņu skaits. Cik veidos kopu, kas satur n elementus, var sadalīt 

k apakškopu virknē tā, ka i-tā apakškopa satur m i elementus, kur ∑ k 

i=1 m i = n, šo skaitli 

apzīmēsim ar C m 1,m 2 ,...,m k 

n vai P n (m 1 , m 2 , ..., m k ). 

Pirmo apakškopu var izvēlēties C m 1 

n veidos, otro apakškopu, ja pirmā ir izvēlēta, var izvēlēties 

C m 2 

n−m 1 

veidos, trešo var izvēlēties C m 3 

n−m 1 −m 2 

veidos utt, iegūstam, ka 

(2.8) C m 1,m 2 ,...,m k 

n = C m 1 

n C m 2 

n−m 1 

C m 3 

n−m 1 −m 2 

...C m k 

n−m 1 −...−m k−1 

. 

Pēc pārveidojumiem iegūstam, ka 

(2.9) C m 1,m 2 ,...,m k 

n = 

n! 

m 1 !m 2 !...m k ! . 

2.3.6. Kopas sadalījums apakškopās ar noteiktu elementu skaitu. Cik veidos kopu, 

kas satur n elementus, var sadalīt šķirtās apakškopās tā, ka katram i : 0 ≤ i ≤ n ir tieši m i 

apakškopas, kas satur i elementus, tādējādi izpildās nosacījums 

(2.10) 1 · m 1 + 2 · m 2 + 3 · m 3 + ... + n · m n = n, 

šo skaitli apzīmēsim ar S m 1,m 2 ,...,m n 

n . 

Tāpat kā gadījumā ar skaitļiem A m n un Cn m , no sākuma atradīsim noteikta veida apakškopu 

virkņu skaitu tā, lai tiktu izpildīts to elementu summas nosacījums. Konstruējot šādu apakškopu 

virkni, sākot ar mazāka elementu skaita apakškopām, iegūstam, ka apakškopu virkņu skaits, kuru 

mēs apzīmēsim ar R m 1,m 2 ,...,m n 

n , ir vienāds ar 

(2.11) 

Cn 1 · Cn−1 1 · ... · Cn−1m 1 1 +1 · 

} {{ } 

m 1 

· Cn−1m 2 1 · Cn−1m 2 1 −2 · ... · Cn−1m 2 1 −2m 2 +2 · 

} {{ } 

m 2 

· Cn−1m 3 1 −2m 2 · ... · Cn−1m 3 1 −2m 2 −3m 3 +3 ·... 

} {{ } 

m 3

Vienkāršosim R m 1,m 2 ,...,m n 

n : 

(2.12) · (n−1m 1+1)! 


R m 1,m 2 ,...,m n 

n = 

1!(n−1m 1 )! 

· 

n! 

1!(n − 1)! · 

(n−1m 1 )! 

2!(n−1m 1 −2)! · ... = 

= 

n! 

(1!) m 1(2!) m 2...(n!) mn 

(n − 1)! 

1!(n − 2)! · ... 

Lai atrastu nesakārtotu šādu sadalījumu skaitu, ievērosim, ka katram i apakškopas, kas satur i 

elementus, var sakārtot m i ! veidos neatkarīgi no citu elementu skaita apakškopām, tātad saskaņā 

ar dalīšanas likumu 

(2.13) S m 1,m 2 ,...,m n 

n 

= Rm 1,m 2 ,...,m n 

n 

m 1 !m 2 !...m n ! = n! 

(1!) m 1 (2!) 

m 2...(n!) m nm1 !m 2 !...m n ! . 

2.3.7. Cikliskas virknes. Cik veidos n elementus lielu kopu var izvietot ciklā (ap riņķa 

līniju), ja ir fiksēts cikla apiešanas virziens? 

Šis uzdevums atšķiras no uzdevuma par A m n ar to, ka katram ciklam var piekārtot vairākas 

virknes atkarībā no tā, no kuras vietas šo ciklu sāk lasīt. Katrai n elementus garai virknei atbilst 

n cikli, tāpēc, izmantojot dalīšanas likumu, iegūstam, ka ciklu skaits ir vienāds ar 

A n n 

(2.14) 

= (n − 1)! 

n 

2.3.8. Objektu ievietošanu kastēs. Cik veidos m objektus var ievietot n kastēs? Šim 

uzdevumam ir vairākas variācijas, kuras mēs apskatīsim atsevišķi: 

• dažādu objektu ievietošana dažādās kastēs - katrai šādai ievietošanai atbilst injektīva 

funkcija no m elementu kopas uz n elementu kopu, tāpēc variantu skaits ir vienāds ar 

Ā m n ; 

• identisku objektu ievietošana dažādās kastēs - katrai šādai ievietošanai atbilst n-multikopas 

m-apakšmultikopa, tātad variantu skaits ir vienāds ar 

¯C n 

m = Cn+m−1; 

m 

• dažādu objektu ievietošana identiskās kastēs - katrai šādai ievietošanai atbilst m elementu 

lielas kopas sadalījums ne vairāk kā n apakškopās. Ar { j i 

} vai S(j, i) apzīmēsim 

j elementus lielas kopas dažādu sadalījumu skaitu i netukšās apakškopās. Definēsim arī 

0, ja n≠0 

S(n, 0) = { 1, ja n=0. 

Kopējais variantu skaits šajā uzdevumā ir ∑ n 

i=1 

S(m, i). Jāpiebilst, ka nav zināma 

vienkārša formula skaitļiem S(j, i), tos sauksim par Stirlinga apakškopu skaitļiem vai 

otrā veida Stirlinga skaitļiem. Visu m elementu lielas kopas sadalījumu skaitu netukšās 

apakškopās sauksim par m-to Bella skaitli un apzīmēsim ar B m ; 

• identisku objektu ievietošana identiskās kastēs - katrai šādai ievietošanai atbilst naturāla 

skaitļa m izteikšana ne vairāk kā n naturālu skaitļu summā, kopējo variantu skaitu 

apzīmēsim ar p n (m). Arī šajā gadījumā vienkārša formula skaitļiem p n (m) (ka funkcijām 

no m un n) nav zināma. 

Piebildīsim, ka naturāla skaitļa n izteikšanu naturālu skaitļu summā mēs sauksim par tā 

sadalījumu, apzīmēsim sadalījumu skaitu ar p(n) un sauksim to par n-to sadalījuma skaitli. 

Parasti skaitļa n sadalījumu uzdod kā monotonu, piemēram, nedilstošu, naturālu skaitļu virkni 

n 1 ≥ n 2 ≥ ...n k , kas apmierina nosacījumu 

k∑ 

n i = n. 

Sadalījumu var definēt arī kā vienādojuma 

i=1 

x 1 + 2x 2 + ... + mx m = n


atrisinājumu nenegatīvos skaitļos, šajā gadījumā x i nozīmē skaitļa i multiplicitāti jeb kārtu 

sadalījumā. Sadalījumus var arī vizualizēt, izmantojot Janga diagrammas: ja ir dots sadalījums 

n = n 1 + n 2 + ... + n k , kur n i ≥ n j , ja i > j, tad šādu sadalījumu uzdosim kā kreisajā malā 

nolīdzinātu tabulu ar mainīga garuma rindām, kur i-tā rindas satur n i rūtiņas. 

11 = 6 + 3 +1 + 1 

2.4. attēls. Sadalījuma Janga diagrammas piemērs 

Katram sadalījumam var konstruēt duālo sadalījumu, kas atbilst transponētajai (simetriskajai 

attiecībā pret diagonāli, kas iziet no augšējā kreisā stūra) Janga diagrammai. Zīmējuma 2.4. 

piemēra duālais sadalījums ir 11 = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1. Tā kā transponēšana ir bijektīva 

operācija, tad saskaņā ar vienlieluma likumu varam iegūt šādu rezultātu: naturāla skaitļa n to 

sadalījumu skaits, kuros katrs saskaitāmais nepārsniedz m, ir vienāds ar to sadalījumu skaitu, 

kuros ir ne vairāk kā m saskaitāmie. 

2.3.9. Vienādojuma x 1 + x 2 + ... + x n = m atrisinājumi veselos skaitļos. Arī šim 

uzdevumam var būt dažādas variācijas: 

• nenegatīvu atrisinājumu skaits - katram šādam atrisinājumam atbilst n-multikopas m- 

apakšmultikopa, tātad kopējais variantu skaits ir vienāds ar 

¯C m n 

= C m n+m−1; 

• pozitīvu atrisinājumu skaits - katram šādam atrisinājumam atbilst nenegatīvs atrisinājums 

vienādojumam 

x 1 + x 2 + ... + x n = m − n, 

tātad variantu skaits ir vienāds ar 

¯C m−n 

n 

= C m−n 

m−1 = C n−1 

m−1; 

• no apakšas ierobežotu nenegatīvu atrisinājumu skaits - meklēsim atrisinājumus ar īpašību 

0 ≤ a i ≤ x i , katram šādam atrisinājumam atbilst nenegatīvs atrisinājums vienādojumam 

x 1 + x 2 + ... + x n = m − (a 1 + ... + a n ). 

Apzīmēsim ∑ n 

i=1 

ar S, tad variantu skaits ir vienāds ar 

¯C m−S 

n 

= C n−1 

n+m−S−1 ; 

• augošu atrisinājumu skaits - meklēsim atrisinājumus ar īpašību 0 ≤ x 1 ≤ ... ≤ x n . 

Katram šādam atrisinājumam atbilst skaitļa m sadalīšana ne vairāk kā n pozitīvu 

saskaitāmo summā, tātad kopējais variantu skaits ir vienāds ar p n (m). 


Vingrinājums 2.29. Daudzdzīvokļu mājas ārdurvju atslēgai ir kods, kuru var atkodēt 

a) nospiežot vienlaicīgi 3 ciparus; 

b) nospiežot pēc kārtas 3 ciparus. 

Cik ir dažādu kodu atslēgu katrā gadījumā? 

Vingrinājums 2.30. Kāda eksāmena jautājumi ir sadalīti 4 grupās, katrā grupā ir 30 

jautājumi. Eksāmena biļetē ir pa divi jautājumi no katras grupas. Cik dažādu eksāmena biļešu 

ir iespējams sastādīt?


Vingrinājums 2.31. Vairāki cilvēki tiek sēdināti ap apaļu galdu. Divi sēdināšanas veidi tiek 

uzskatīti par vienādiem, ja abos veidos katram cilvēkam abu pušu kaimiņi sakrīt. Cik ir dažādu 

sēdināšanas veidu n cilvēkiem? 

Vingrinājums 2.32. Cik dažādos veidos (skatīt iepriekšējo uzdevumu) var nosēdināt ap 

apaļu galdu n vīriešus un n sievietes tā, lai nekādi divi viena dzimuma cilvēki nesēdētu blakus? 

Vingrinājums 2.33. Cik dažādos veidos var izmainīt 1 latu izmantojot 1, 2, 5, 10, 20 un 50 

santīmu monētas? 

Vingrinājums 2.34. Cik dažādos veidos 50 studentu grupā var izveidot divas futbola komandas 

pa 10 cilvēkiem katrā un 10 zolītes grupas pa 3 cilvēkiem katrā? 

Vingrinājums 2.35. Cik dažādos veidos var izveidot virknes ar garumu m no kopas {1, ..., n} 

elementiem, kurām 

1) nekādi divi blakusesoši elementi nav vienādi; 

2) nekādi divi blakusesoši elementi nav vienādi un pirmais elements nav vienāds ar pēdējo; 

3) nekādi k blakusesoši elementi nav vienādi, 2 ≤ k ≤ m. 

Vingrinājums 2.36. Virkni {a 1 , ..., a n } sauksim par palindromu, ja 

a 1 = a n , a 2 = a n−1 , ..., a k = a n−k+1 

visiem k : 1 ≤ k ≤ [ n ]. Piemēram, frāze angļu valodā ”never odd or even” ir palindroms, ja 

2 

ignorējam atstarpes starp vārdiem. Cik palindromu var izveidot no n-multikopas elementiem? 

Vingrinājums 2.37. Cik ir bināru virkņu ar garumu n, kurām elementu summa pēc moduļa 

2 ir vienāda ar 0? 

Vingrinājums 2.38. Cik attiecību var uzdot n elementu kopā, kas ir 

1) patvaļīgas; 

2) refleksīvas; 

3) antirefleksīvas; 

4) simetriskas; 

5) antisimetriskas; 

6) ekvivalences? 

Vingrinājums 2.39. Dota kopa X = {1, ..., n}. Izmantojot tikai kopas X elementus un 

elementu 0 iekodēt virkņu veidā šādus objektus tā, lai dažādiem objektiem atbilstu dažādas 

virknes: 

1) fiksēta apjoma X apakškopas; 

2) X sadalījumus; 

3) X elementu izvietojumus kuba virsotnēs. 

Vingrinājums 2.40. No standarta kāršu kavas, kas satur 36 kārtis, tiek izņemtas četras 

kārtis. Cik veidos to var izdarīt tā, lai šīs četras kārtis saturētu 

1) tieši vienu dūzi; 

2) vismaz vienu dūzi; 

3) tieši divus dūžus; 

4) vismaz divus dūžus; 

5) nevienu dūzi; 

6) visu mastu kārtis; 

7) visu mastu kārtis, starp kurām ir vismaz viens dūzis? 

Vingrinājums 2.41. Ir dots naturāls skaitlis ar zināmu sadalījumu pirmskaitļu pakāpju 

reizinājumā. Atrast, cik tam ir dažādu naturālu dalītāju! 

Vingrinājums 2.42. Atrodiet S(n, 1),S(n, 2),S(n, n − 1) un S(n, n − 2).


Vingrinājums 2.43. Kādam m skaitlis Cn 

m 

fiksēts? 

pieņem maksimālo iespējamo vērtību, ja n ir 

Vingrinājums 2.44. Cik ir variāciju ar atkārtojumiem no kopas {1, 2, ..., n} elementiem, 

kas satur pāra skaitu reizes elementu 1? 

Vingrinājums 2.45. Pieņemsim, ka |X| = 2m, kur m ∈ N. Par kopas X faktoru sauksim 

tās sadalījumu m divu elementu kopās. Pierādīt, ka visu faktoru skaits ir vienāds ar 

m∏ 

1 · 3 · 5 · ... · (2m − 1) = (2i − 1) 

(šo skaitli apzīmēsim ar (2m − 1)!! un sauksim par divkāršo faktoriālu). 

Vingrinājums 2.46. Ir doti 3n + 1 objekti, no kuriem n ir nešķirami viens no otra un visi 

pārējie ir dažādi (un atšķirīgi no pirmajiem n objektiem). Cik veidos var izvēlēties n objektus? 

Vingrinājums 2.47. Cik veidos no n elementu lielas kopas var izvēlēties apakškopu, kas 

satur nepāra skaitu elementu? 

Vingrinājums 2.48. Cik veidos no n elementu lielas kopas var izvēlēties divas šķirtas 

apakškopas? 

Vingrinājums 2.49. Cik veidos no n elementu lielas kopas var izvēlēties trīs savstarpēji 

šķirtu kopu virkni? 

Vingrinājums 2.50. Cik veidos no n elementus lielas kopas var izvēlēties divu apakškopu 

A un B virkni, kas apmierina īpašības A ⊆ B, |A| = m, |B| = k ? Cik šādu apakškopu pāru 

eksistē, ja elementu skaits tajās ir patvaļīgs? 

Vingrinājums 2.51. Ar kombinatoriskiem (piemēram, divkāršas skaitīšanas vai vienlieluma 

likuma) spriedumiem pierādīt šādas sakarības: 

1) Cn m = Cn−1 m + C m−1 

2) C m n = n m Cm−1 n−1 ; 

3) C k nC m k = Cm n C k−m 

n−m; 

4) Cn m = ∑ n 

i=0 Ci n−k Cm−i 

5) ∑ n 

i=0 (−1)i Cn i = 0; 

n−2 + ... + C 0 n−m−1, n > m; 

k 

, kur k : 0 ≤ k ≤ n; 

6) ∑ n 

i=0 (Ci n) 2 = C2n; 

n 

7) ∑ n (−1) i−1 

i=1 

C i i n = ∑ n 1 

j=1 

; j 

8) ∑ { 

n 

0, ja n = 2k + 1, k ∈ N 

i=0 (−1)i (Cn) i 2 = 

(−1) k C2k k ; 

, ja n = 2k, k ∈ N 

9) ∑ { 

n 

0, ja n = 2k + 1, k ∈ N 

i=0 (−1)i (Cn) i 3 = 

(−1) k (3k)! 

, ja n = 2k, k ∈ N ; 

(k!) 3 

10) ∑ n 

i=0 i2 Cn i = n(n + 1)2 n−2 ; 

11) ∑ n 

i=0 (m − 1)n−i Cn i = m n ; 

12) ∑ n 

i=0 C2i+1 2m+1Cn+i 2m = C2n 2m . 

Vingrinājums 2.52. Izteikt C m n (mod 3) kā funkciju no n(mod 3) un m(mod 3)! 

Vingrinājums 2.53. Pieņemsim, ka ir zināmi naturālu skaitļu n un m izvirzījumi pirmskaitļa 

p pakāpju summā: n = ∑ k 

i=1 a ip i un m = ∑ k 

i=1 b ip i , kur 0 ≤ a i ≤ p − 1 un 0 ≤ b i ≤ p − 1. 

Pierādīt, ka 

k∏ 

Cn 

m ≡ C b i 

a i 

(mod p) 

(Lukasa teorēma). 

i=0 

i=1


Vingrinājums 2.54. Pierādīt, ka skaitļi 

ir veseli. 

(2n)! 

2 n , (3n)! 

6 n , (n 2 )! 

(n!) n+1 , 

(n!)! 

(n!) (n−1)! , 

(2n)! 

n!(n + 1)! 

Vingrinājums 2.55. Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim k katru naturālu skaitli a var 

viennozīmīgi izteikt formā ∑ k 

i=1 Ci n i 

, kur 0 ≤ n 1 ≤ ... ≤ n k . 

2.4. IESLĒGŠANAS-IZSLĒGŠANAS PRINCIPS (SIETA PRINCIPS) 

Šo metodi pielieto, ja ir jāatrod elementu skaits vairāku tādu kopu apvienojumā, kurām ir 

kopīgi elementi. Ieslēgšanas-izslēgšanas princips ir summas likuma vispārinājums uz gadījumu, 

kad ir dots kopas pārklājums, nevis sadalījums. Atgādināsim, ka summas likums saka, ka 

|A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n | = |A 1 | + |A 2 | + ... + |A n |, 

ja A i ∩ A j = ∅ dažādiem indeksiem. 

Šajā nodaļā mēs nedaudz vispārināsim skaitīšanas ideju, atļaujot skaitīt elementus arī ar 

negatīvu zīmi: ja ir dotas divas galīgas kopas A un B, tad starpību |A| − |B| var interpretēt 

kā tādas skaitīšanas rezultātu, kurā katrs kopas A elements tiek skaitīts parastajā nozīmē (ar + 

zīmi), bet katrs kopas B elements tiek skaitīts negatīvā nozīmē (ar − zīmi). 

Sāksim izstrādāt šo metodi, apskatot speciālgadījumus, kad kopu skaits ir 2 un 3. Atradīsim 

elementu skaitu divu kopu A 1 un A 2 apvienojumā, ja ir zināms elementu skaits katrā no kopām 

un to šķēlumā. Viegli redzēt, ka 

(2.15) |A 1 ∪ A 2 | = |A 1 | + |A 2 | − |A 1 ∩ A 2 |. 

Loceklis −|A 1 ∩ A 2 | formulas labajā pusē ir tāpēc, lai kompensētu summā |A 1 | + |A 2 | divas reizes 

skaitītos šķēluma elementus. Otrs veids, kā pierādīt šo formulu ir šāds. Ievērosim, ka 

un 

Saskaņā ar summas likumu iegūstam, ka 

Ievērosim arī, ka 

tāpēc 

un formula ir pierādīta. 

A 2 = (A 1 ∩ A 2 ) ∪ (A 2 \A 1 ) 

(A 1 ∩ A 2 ) ∩ (A 2 \A 1 ) = ∅. 

|A 2 | = |A 1 ∩ A 2 | + |A 2 \A 1 |. 

|A 2 \A 1 | = |A 1 ∪ A 2 | − |A 1 |, 

|A 2 | = |A 1 ∩ A 2 | + |A 1 ∪ A 2 | − |A 1 | 

U 

A1 

A I A 

1 

2 

A2 

2.5. attēls. Divu kopu apvienojums


Divu kopu apvienojuma formulu var pārrakstīt ekvivalentā veidā 

|A 1 ∩ A 2 | + |A 1 ∪ A 2 | = |A 1 | + |A 2 |. 

Atradīsim elementu skaitu trīs kopu A 1 , A 2 un A 3 apvienojumā, ja ir zināms elementu skaits 

katrā no kopām un visos to šķēlumos. Pirmajā tuvinājumā šo skaitu varētu pieņemt vienādu ar 

|A 1 | + |A 2 | + |A 3 |, 

bet tad elementi jebkuru divu kopu šķēlumos tiks skaitīti divas vai trīs reizes, tāpēc nākošajā 

tuvinājumā uzskatīsim, ka elementu skaits trīs kopu apvienojumā ir vienāds ar 

|A 1 | + |A 2 | + |A 3 | − |A 1 ∩ A 2 | − |A 1 ∩ A 3 | − |A 2 ∩ A 3 |. 

Savukārt tagad ir problēmas ar elementiem visu trīs kopu šķēlumā, jo katrs no tiem vispār netiek 

skaitīts. Nedaudz piepūloties, var redzēt, ka 

(2.16) 

|A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 | = 

= |A 1 | + |A 2 | + |A 3 | − |A 1 ∩ A 2 | − |A 1 ∩ A 3 | − |A 2 ∩ A 3 | + 

+ |A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 |. 

Līdzīgi tam, kā tas bija divu kopu gadījumā, arī šoreiz papildus locekļu summu 

−|A 1 ∩ A 2 | − |A 1 ∩ A 3 | − |A 2 ∩ A 3 | + |A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 | 

var interpretēt kā kompensējošo labojumu, lai panāktu to, ka katrs elements labajā pusē tiek 

algebriski (ņemot vērā skaitīšanas zīmi) skaitīts tieši vienu reizi. 

U 

A1 

A I A 

1 

2 

A I A I A 

1 

2 

3 

A2 

A I 

1 

A 

3 

A I A 

2 

3 

A3 

2.6. attēls. Trīs kopu apvienojums 

Tagad apskatīsim vispārīgo gadījumu. Pieņemsim, ka ir dota galīga indeksu kopa U = 

{1, ..., n} un galīga kopa A i katram indeksam i. Katrai netukšai U apakškopai I definēsim 

A I = ⋂ i∈I A i. 

Teorēma 2.56 (ieslēgšanas-izslēgšanas formula). 

(2.17) | ⋃ A i | = ∑ 

(−1) |I|+1 |A I |, 

i∈U 

citos apzīmējumos - 

∅≠I⊆U 

(2.18) 

|A 1 ∪ ... ∪ A n | = 

= ∑ n 

i=1 |A i| − ∑ i


Pierādījums. Saskaitāmo ±|X| domāsim kā kopas X elementu skaitīšanu ar atbilstošo zīmi. 

Pierādīsim, ka katrs elements, kas pieder vismaz vienai kopai A i , labajā pusē tiek skaitīts tieši 

vienu reizi, tas nozīmēs, ka ir spēkā pierādāmā vienādība. Pieņemsim, ka elements a pieder tieši 

k kopām A i , 1 ≤ k ≤ n. Atzīmēsim, ka tas nozīmē, ka a pieder Ck 2 divu kopu A i šķēlumiem, Ck 

3 

trīs šādu kopu šķēlumiem, ..., Ck 

m m kopu šķēlumiem, ..., vienam (1 = Ck k ) k kopu šķēlumam. 

Cik reizes šis elements a tiek skaitīts formulas labajā pusē? Pirmajā summā tas tiek skaitīts 

k = Ck 1 reizes, otrajā summā tas tiek skaitīts C2 k reizes ar − zīmi (vienu reizi katrā no A i ∩ A j 

tipa šķēlumiem), ..., m-tajā summā tas tiek skaitīts Ck 

m reizes ar zīmi (−1)m−1 (vienu reizi katrā 

no šķēlumiem, kuram tas pieder). Tātad kopā elements tiek skaitīts 

C 1 k − C 2 k + C 3 k − ... = 1 − (1 − C 1 k + C 2 k − ...) = 1 − (1 − 1) k = 1 

reizes. Redzam, ka katrs elements pierādāmās formulas labajā pusē tiek skaitīts tieši vienu reizi 

un teorēma ir pierādīta. QED 

Secinājums 2.1. 1. Pieņemsim, ka katra no kopām A i pieder fiksētam galīgam universam 

A, definēsim A ∅ = A, tad to kopas A elementu skaits, kuri nepieder nevienai no 

kopām A i , ir vienāds ar 

∑ 

(−1) |I| |A I |. 

I⊆U 

2. To elementu skaits, kuri pieder visām tām kopām A i , kuru indekss pieder fiksētai indeksu 

apakškopai I ⊆ U, un tikai šādām kopām ir vienāds ar 

∑ 

(−1) |J\I| |A J |. 

∅̸=I⊆J 

Pierādījums. Pirmais secinājums uzreiz seko no teorēmas. Pierādīsim otro secinājumu. 

Katram k ∈ U\I definēsim kopu 

B k = A I 

⋃ k , 

katrai indeksu universa U apakškopai K definēsim 

B K = ⋂ 

k∈K 

Definēsim arī B ∅ = A I . Mums ir jāsaskaita to elementu skaits kopā, kuri nepieder nevienai no 

kopām B k . Saskaņā ar pirmo secinājumu šis skaits ir vienāds ar 

∑ 

(−1) |K| |B K |. 

K⊆U\I 

Ievērosim, ka funkcija f : P (U\I) → {S ∈ P (U)|I ⊆ S}, kas definēta ar formulu f(K) = I ∪ K, 

ir bijektīva, tāpēc summēšanā varam pāriet uz jaunu summēšanas indeksu J = I ∪ K, tādu, ka 

I ⊆ J. Redzam arī, ka B K = A I∪K , tāpēc 

∑ 

K⊆U\I(−1) |K| |B K | = ∑ (−1) |U\J| |A J |. 

I⊆J 

QED 

Ieslēgšanas-izslēgšanas formulu var pierādīt, arī izmantojot matemātiskās indukcijas principu 

ar indukcijas argumentu n. Pieņemsim, ka ir spēkā formula 

n∑ 

|A 1 ∪ ... ∪ A n | = |A i | − ∑ |A i ∩ A j | + ∑ 

|A i ∩ A j | − ... + (−1) n+1 |A 1 ∩ ... ∩ A n | 

i=1 i


Izmantojot indukcijas pieņēmumu, tagad var pārveidot vienādības labo pusi un pārliecināties 

par ieslēgšanas-izslēgšanas formulas pareizību. 

Vēl viens veids kā pierādīt ieslēgšanas-izslēgšanas formulu balstās uz apakškopas raksturīgās 

funkcijas jēdzienu. Atcerēsimies, ka par kopas S ⊆ U raksturīgo funkciju sauc funkciju χ S : U → 

{0, 1}, kas definēta ar nosacījumu 

0, ja a/∈S 

χ S (a) = { 

1, ja a∈S . 

Ievērosim, ka galīgai kopai A izpildās formula |A| = ∑ a∈A χ A(a). Ievērosim, ka χ A∩B (a) = 

χ A (a)χ B (a), χ Ā (a) = 1 − χ A (a). Atcerēsimies kopu vienādību 

⋃ 

Ā i , 

A i = ⋂ 

i∈I i∈I 

no kuras seko raksturīgo funkciju vienādība 

1 − χ A (a) = ∏ i∈I 

(1 − χ Ai (a)), 

kur A = ⋃ i∈I A i. Katrai indeksu kopas I apakškopai J definēsim A J = ⋂ j∈J A j. Atverot iekavas 

labajā pusē un sagrupējot saskaitāmos atbilstoši kopas I apakškopām iegūsim vienādību 

1 − χ A (a) = ∑ ((−1) ∏ |J| χ Aj (a)) = 1 − ∑ 

(−1) |J|+1 χ AJ (a) 

J⊆I 

j∈J 

vai 

χ A (a) = ∑ 

∅≠J⊆I 

∅≠J⊆I 

(−1) |J|+1 χ AJ (a). 

Apskatot kreisās un labās puses funkciju vērtības punktā a un summējot pa visām vērtībām 

a ∈ A iegūsim ieslēgšanas-izslēgšanas formulu. 

Ieslḡšanas-izslēgšanas formulas labās puses dažus pirmos locekļus var izmantot kreisās puses 

novērtēšanai no vienas vai otras puses. Piemēram, var redzēt, ka 

n∑ 

|A 1 ∪ ... ∪ A n | ≤ |A i | 

(Būla nevienādība), tāpēc, ka nevienādības labās puses summā apvienojuma elementi, kas pieder 

vairāk kā vienai kopai, tiek skaitīti vairāk kā vienu reizi. Otrs piemērs - 

n∑ 

|A 1 ∪ ... ∪ A n | ≥ |A i | − ∑ |A i ∩ A j | 

i=1 i


funkciju skaits no X uz Y ir vienāds ar A n m = m n . Skaitīsim, cik ir nesirjektīvu funkciju. 

Apzīmēsim ar F i to funkciju kopu, kuru attēls nesatur elementu i ∈ Y un ar F I - to funkciju 

kopu, kuru attēls nesatur nevienu indeksu i ∈ I ⊆ Y . Viegli redzēt, ka 

F I = ⋂ i∈I 

F i . 

Atradīsim elementu skaitu kopā F I . Funkcijas no šīs kopas ir visas funkcijas no X uz Y \I, kuru 

skaits ir vienāds ar 

A n m−|I| = (m − |I|) n . 

Visu nesirjektīvo funkciju kopa ir vienāda ar ⋃ i∈Y F i, tāpēc ka katrai nesirjektīvai funkcijai attēlā 

trūkst vismaz viens kopas Y elements. Saskaņā ar ieslēgšanas-izslēgšanas principu iegūstam, ka 

| ⋃ F i | = ∑ 

(−1) |I|+1 |F I | = ∑ 

(−1) |I|+1 (m − |I|) n . 

i∈Y 

∅̸=I⊆Y 

∅̸=I⊆Y 

Katram naturālam skaitlim i, 0 ≤ i ≤ m to apakškopu I skaits, kas apmierina nosacījumu 

|I| = m, ir vienāds ar Cm. i Ņemot vērā šo faktu, mēs varam summā pārgrupēt saskaitāmos un 

pāriet uz summēšanas indeksu i: 

| ⋃ F i | = ∑ 

(−1) i+1 Cm(m i − i) n . 

i∈Y 0


(2.22) |F n | = n! 

Ievērosim, ka 

n∑ 

(−1) i 1 i! 

i=0 

n∑ 

(−1) i 1 i! 

i=0 

ir Teilora rindas parciālsumma funkcijai e x , kad izvirzījuma punkts ir 0 un x = −1. Šajā 

gadījumā Teilora rinda ir alternējoša un tai var piemērot Leibnica teorēmu par alternējošām 

rindām. Redzam, ka 

| n! 

∞∑ 

e − |F n|| = n!| (−1) i 1 n∑ 

i! − (−1) i 1 i! | < n!|(−1)n+1 (n + 1)! | = 1 

n + 1 ≤ 1/2, 

i=1 

i=0 

ja n ≥ 1. Tātad skaitlis n! atšķiras no |F e 

n| mazāk nekā par 1/2, un varam apgalvot, ka |F n | ir 

tuvākais veselais skaitlis attiecībā uz skaitli n! , citiem vārdiem sakot, |F e n| var iegūt, noapaļojot 

n! 

. e 


Vingrinājums 2.60. Aprēķināt ∑ 1 

k 

, kur summēšana tiek veikta pa visiem naturāliem k, 

2 k 

kuri nedalās ne ar vienu no skaitļiem 2,3 vai 5. 

Vingrinājums 2.61. n ir naturāls skaitlis un P n ir visu to pozitīvo pirmskaitļu kopa, kas 

dala n. Pierādīt, ka 

ϕ(n) = n ∏ 

p∈P n 

(1 − 1 p ), 

kur ϕ ir Eilera funkcija. 

Vingrinājums 2.62. Būla funkcijas argumentu sauc par fiktīvu, ja tā vērtības izmaiņa 

(nemainot pārejo argumentu vērtības) nemaina funkcijas vērtību. Būla funkciju sauc par būtiski 

atkarīgu no tās argumentiem vai vienkārši būtisku, ja neviens no argumentiem nav fiktīvs. Cik 

ir dažādu būtisku Būla funkciju ar n argumentiem? 

Vingrinājums 2.63. X n ir to kopas {1, ..., n} permutāciju kopa, kas apmierina nosacījumus 

f(i) ≠ i un f(i) ≠ i + 1(mod n). Atrast |X n |. 

Vingrinājums 2.64. Apzīmēsim ar β(m, n) tādu bināru matricu ar izmēriem m × n skaitu, 

kurām katrā rindā un katrā kolonnā ir vismaz viens vieninieks. Pierādīt, ka 

n∑ 

β(n, m) = (−1) k Cn(2 k n−k − 1) m . 

k=0 

Vingrinājums 2.65. Ar ieslēgšanas-izslēgšanas principa palīdzību pierādīt formulas 

1) Cn m = ∑ m 

i=1 (−1)i+1 C m−i 

n−i Ci n; 

n−i = 0; 

2) ∑ m 

i=0 (−1)i C i nC m−i 

3) C m n = ∑ n+1 

i=m+1 (−1)i−m−1 C i n+1;


2.5. REKURENTO SAKARĪBU METODE 

2.5.1. Ievads. Risinot kombinatorikas uzdevumus, nereti rodas situācija, kad ir grūti uzreiz 

saskatīt atbildi vai pat hipotēzi. Tāda situācija gadās arī tad, ja ir jāatrod virknes {a n } n≥n0 

vispārīgā locekļa a n atkarība no n. Lietderīga šā¯du uzdevumu risināšanas stratēǧija ir izteikt 

virknes vispārīgo locekli a n kā funkciju no iepriekšējiem šīs virknes locekļiem un mēǧināt izdarīt 

pietiekoši daudz secinājumu, lai atrastu atbildi - a n atkarības veidu no n. Šī ideja ir kombinatorikas 

pamatprincipa ”skaldi un valdi” pielietošanas piemērs. Informāciju par saistību starp a n 

un iepriekšējiem virknes locekļiem parasti iegūst pētot to, kā skaitāmie objekti ar indeksu n tiek 

veidoti no mazākiem objektiem. 

Realizējot šādu stratēǧiju, ir nepieciešams arī atrast dažu (parasti dažu pirmo) virknes locekļu 

vērtības - ”sākuma nosacījumus”. Tātad, ja ir jāatrod virknes vispārīga locekļa izteiksme, tad 

var būt lietderīgi, izmantojot uzdevuma nosacījumus, meklēt sakarības 

(2.23) a n = f(a n−1 , a n−2 , ..., a 1 ) 

un pēc tam atrast formulu a n aprēķināšanai, neizmantojot iepriekšējas a i vērtības. Sakarību 

(2.23) sauksim par rekurentu sakarību. Viens no pirmajiem dokumentētajiem rekurento sakarību 

izmantošanas piemēriem ir atrodams 13.gs. matemātiķa L.Fibonači darbos. Rekurentās sakarības 

tiek meklētas, sadalot skaitāmās kopas objektus ar indeksu n mazākās daļās vai pētot, kā objekti 

ar indeksu n ir atkarīgi no objektiem ar indeksu n − 1, n − 2, .... Rekurentu sakarību sauksim 

par k-tās kārtas rekurentu sakarību, ja a n var izteikt, izmantojot a n−1 , ..., a n−k . Par rekurentas 

sakarības atrisinājumu sauksim jebkuru virkni, kas apmierina šo sakarību. Rekurentas sakarības 

atrisinājums ir noteikts viennozīmīgi. 

Rekurentu sakarību sauksim par homogēnu, ja nulles virkne 

a 0 = a 1 = ... = a n = ... = 0 

ir tās atrisinājums, pretējā gadījumā rekurentu sakarību sauksim par nehomogēnu. Rekurentu 

sakarību sauksim par lineāru, ja tai ir galīga kārta un funkcija f ir lineāra. 

Atrisināt rekurento sakarību ar dotajiem papildus nosacījumiem nozīmē atrast visas virknes, 

kas apmierina rekurento sakarību un papildus nosacījumus. 

Rekurentas sakarības izmanto arī, lai pārbaudītu hipotēzes - ja ir zināma rekurenta sakarība 

R viennozīmīgi noteiktai virknei {a n } n≥n0 , ja ir zināmi pietiekoši daudzi sākuma nosacījumi un 

ja kāda hipotēzes virkne {b n } n≥n0 apmierina R un sākuma nosacījumus, tad meklējamā virkne 

{a n } n≥n0 sakrīt ar virkni {b n } n≥n0 . Visbiežāk tiek apskatītas fiksētas kārtas rekurentas sakarības 

veidā 

(2.24) a n = f(a n−1 , ..., a n−k ) 

un rekurentas sakarības veidā 

(2.25) a n = f(a n/2 , a n/3 , ...). 

Tiek izmantotas arī rekurentu sakarību sistēmas. Ja nezināmā virkne ir atkarīga no vairākiem 

indeksiem, tad rekurentajā sakarībā var būt saistīti virknes locekļi ar dažādu indeksu nobīdēm. 

Datorzinātnē rekurento sakarību teorija tiek pielietota ciklisku un rekursīvu algoritmu resursu 

(laika) novērtēšanai. 

Piemērs 2.66. Virkņu piemēri, kas apmierina vienkāršas rekurentas sakarības ir aritmētiskā 

un ǧeometriskā progresija, kuru rekurentās sakarības ir 

un 

a n = a n−1 + d 

a n = a n−1 q.


Piemērs 2.67. Ir dots algoritms (datorprogramma), kurš uzdevumu ar sākuma parametru 

n reducē uz divu tādu pašu uzdevumu risināšanu ar sākuma parametru n − 1. Kādu rekurentu 

sakarību var atrast algoritma darbības laika funkcijai T n ? Tā kā katru uzdevumu ar sākuma 

parametru n − 1 algoritms atrisina laikā T n−1 , tad atbilde ir 

T n = T n−1 + T n−1 = 2T n−1 . 

Piemērs 2.68. Apskatīsim visu n elementu kopas {1, ..., n} permutāciju skaita P n atrašanas 

uzdevumu. Parādīsim, ka P n apmierina rekurentu sakarību 

P n = P n−1 · n. 

Pieņemsim, ka ir zināms P n−1 , kas atbilst elementu kopai {1, ..., n − 1}. Skaitīsim, cik veidos var 

sakārtot kopu {1, ..., n}, kas satur vienu ”jaunu” elementu n. Ja elementi {1, ..., n − 1} jau ir 

sakārtoti, tad elementu n jau esošajā sakārtojumā var ievietot n veidos. Izmantojot reizināšanas 

likumu, iegūstam, ka P n = P n−1 · n, jo n elementus lielas kopas permutāciju var domāt kā 

sakārtotu pāri (f n−1 , x), kur pirmais objekts ir n − 1 elementus lielas kopas permutācija un x ir 

pēdējā elementa ”koordināte” attiecība uz f n−1 . Tā kā P 1 , tad iegūstam, ka 

P 2 = 2, P 3 = 3 · 2 = 6, ..., P n = n! 

Piemērs 2.69. Apskatīsim visu n elementus lielas kopas X n = {1, ..., n} apakškopu skaita 

|P (X n )| atrašanas uzdevumu. Atcerēsimies, ka eksistē bijektīva atbilstība starp kopas apakškopām 

un binārām virknēm. Pieņemsim, ka ir zināms |P (X n−1 )|, kas atbilst n − 1 elementu kopai 

X n−1 = {1, ..., n − 1}. Skaitīsim, cik veidos var konstruēt apakškopu no kopas X n , kas satur 

vienu ”jaunu” elementu n. Ja kopas X n−1 elementi šai apakškopai jau ir izvēlēti (ir konstruēta 

bināra virkne ar garumu n − 1, tad elementu n jau esošajai apakškopai var vai nu pievienot vai 

nepievienot (binārajā virknē galā ierakstīt 0 vai 1). Izmantojot reizināšanas likumu, iegūstam, 

ka 

|P (X n ) = |P (X n−1 )| · 2, 

jo n elementus lielas kopas apakškopu var domāt kā sakārtotu pāri (s n−1 , x), kur pirmais objekts 

ir šīs apakškopas sašaurinājums uz X n−1 un x ir 0 vai 1. Tā kā |P (X 1 )| = 2, tad iegūstam, ka 

|P (X n )| = 2 n . 

Piemērs 2.70. Apskatīsim uzdevumu par kopas sadalījumu skaitu. Par galīgas kopas X 

sadalījumu sauksim tādu netukšu un savstarpēji šķirtu kopas X apakškopu sistēmu {X i } i∈I , 

kuras elementu apvienojums ir vienāds ar X. n elementu kopas sadalījumu skaitu apzīmēsim ar 

B n un sauksim par n-to Bella skaitli. Viegli redzēt, ka 

B 1 = 1, B 2 = 2, B 3 = 5, B 4 = 15. 

Definēsim B 0 vienādu ar 1. Izteiksim B n+1 rekurentā veidā. Pieņemsim, ka X n+1 = {1, ..., n+1} 

un apskatīsim apakškopu, kas satur elementu n + 1, pieņemsim, ka tā satur vēl k elementus, kur 

0 ≤ k ≤ n, šos k elementus var izvēlēties C k n veidos un atlikušos n − k elementus var sadalīt 

apakškopās B n−k veidos. Tātad kopējais sadalījumu skaits, ja tā apakškopa, kas satur elementu 

n + 1, satur vēl k elementus, ir C k nB n−k . Saskaitot kopā visas iespējas, kas atbilst dažādām k 

vērtībām, iegūstam rekurentu sakarību 

B n+1 = 

n∑ 

CnB k n−k . 

k=0 

Šajā gadījumā kompakta formula skaitļiem B n neizmantojot summu nav zināma.


2.5.2. Lineārās rekurentās sakarības. Relatīvi viegli analizējams un risināms ir rekurento 

sakarību speciālgadījums, kad rekurentās sakarības labā puse ir lineāra funkcija ar fiksētu argumentu 

skaitu. 

Ja katram n > k + n 0 ir spēkā sakarība 

(2.26) a n = u 1 a n−1 + u 2 a n−2 + ... + u k a n−k 

tad teiksim, ka virkne {a n } n≥n0 apmierina homogēnu lineāru rekurentu sakarību ar kārtu k. 

Teorēma 2.71. Ja virknes {x n } n≥n0 un {y n } n≥n0 apmierina homogēnu lineāru rekurentu 

sakarību, tad virkne 

{αx n + βy n } n≥n0 

arī apmierina to pašu sakarību. 

Pierādījums. Izmantojot summas īpašības, redzam, ka 

k∑ 

k∑ 

k∑ 

αx n + βy n = αu i x n−i + βu i y n−i = u i (αx n−i + βy n−i ).QED 

i=1 

i=1 

Šī teorēma nozīmē to, ka, lai atrisinātu homogēnu lineāru rekurentu sakarību, ir 

1) jāatrod (vai jāuzmin) daži pietiekoši neatkarīgi ”partikulāri” atrisinājumi ϕ i,n (indekss i 

apzīmē atrisinājumu un indekss n ir virknes indekss); 

2) pēc tam ir jāmeklē rekurentās sakarības ”vispārīgais” atrisinājums formā 

i=1 

c 1 ϕ 1,n + c 2 ϕ 2,n + .., 

kur koeficienti c i tiek noteikti, izmantojot sākuma nosacījumus (dažu pirmo virknes 

locekļu vērtības). 

Var piebilst, ka homogēnu lineāru rekurentu sakarību risināšanas metode ir analoǧiska lineāru 

homogēnu diferenciālvienādojumu risināšani (skat. [9]). Piebildīsim arī to, ka virkņu lineārā 

neatkarība ir jāsaprot kā tām atbilstošo funkciju lineārā neatkarība: virkņu kopa {a 1 , ..., a k } ir 

lineāri neatkarīga, ja nosacījums 

k∑ 

γ i a i n = 0 

ir spēkā visiem indeksiem n tad un tikai tad, ja γ i = 0, ∀i. 

Lineārajām rekurentajām sakarībām meklēsim atrisinājumu formā 

attiecībā uz λ iegūsim vienādojumu 

vai 

i=1 

x n = λ n , 

λ n = u 1 λ n−1 + u 2 λ n−2 + ... + u k λ n−k 

(2.27) λ k = u 1 λ k−1 + u 2 λ k−2 + ... + u k , 

kuru sauksim par homogēnas lineāras rekurentas sakarības raksturīgo vienādojumu. To atrisinot, 

iegūsim visas iespējamās λ vērtības, ar kurām virkne x n = λ n var būt atrisinājums. Pēc tam, 

kad raksturīgā vienādojuma saknes λ 1 , λ 2 , ..., λ l ir atrastas, meklēsim atrisinājumu formā 

a n = c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2 + ... + c l λ n l 

vai kaut kā līdzīgi un atradīsim koeficientu c i vērtības tā, lai apmierinātu rindas dažu pirmo 

locekļu vērtības. 

Apskatīsim gadījumu, kad k = 2. Raksturīgais vienādojums ir 

kura saknēm ir iespējami divi gadījumi: 

λ 2 = u 1 λ + u 2 ,


1) eksistē divas dažādas saknes λ 1 , λ 2 , partikulārie atrisinājumi λ n 1 un λ n 2 ir lineāri neatkarīgi, 

meklējam vispārīgo atrisinājumu formā 

a n = c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2, 

ja saknes ir kompleksas, tad ir lietderīgi pārveidot vispārīgo atrisinājumu, izmantojot 

Eilera formulas; 

2) viena divkārša sakne λ, eksistē 2 lineāri neatkarīgi partikulāri atrisinājumi λ n un nλ n , 

meklējam vispārīgo atrisinājumu formā 

a n = c 1 λ n + c 2 nλ n = λ n (c 1 + c 2 n). 

Ja homogēnas lineāras rekurentas sakarības kārta ir lielāka nekā 2, tad katrai raksturīga 

vienādojuma saknei λ ar kārtu k atbilst lineāri neatkarīgi atrisinājumi 

λ n , nλ n , ..., n k−1 λ n 

un jebkura to lineāra kombinācija arī ir homogēnas lineāras rekurentas sakarības atrisinājums. 

Lineāru rekurentu sakarību sauksim par nehomogēnu, ja to var izteikt formā 

(2.28) a n = u 1 a n−1 + u 2 a n−2 + ... + u k a n−k + f n , 

kur {f n } ir dotā virkne. Analoǧiski nehomogēno lineāro diferenciālvienādojumu teorijai arī nehomogēnajām 

lineārajām rekurentajām sakarībām vispārīgais atrisinājums ir vienāds ar atbilstošās 

homogēnās sakarības vispārīgā atrisinājuma un nehomogēnās sakarības partikulārā atrisinājuma 

summu. 

Piemērs 2.72. Fibonači virkne tiek definēta ar šādiem nosacījumiem: 

Raksturīgais vienādojums ir 

a 0 = 1, a 1 = 1, a n = a n−1 + a n−2 , ja n > 1. 

λ 2 = λ + 1, 

tā saknes ir 1±√ 5 

2 

. Meklēsim vispārīgo atrisinājumu formā 

a n = c 1 ( 1 + √ 5 

) n + c 2 ( 1 − √ 5 

) n . 

2 

2 

Ja n = 0, tad iegūstam sakarību 

1 = c 1 + c 2 , 

un, ja n = 1, tad sakarību 

1 = c 1 ( 1 + √ 5 

) + c 2 ( 1 − √ 5 

). 

2 

2 

Atrisinot šo lineāru vienādojumu sistēmu attiecībā uz c 1 un c 2 , iegūstam, ka c 1 = √ 1 

5 · 1+√ 5 

un 

2 

c 2 = − √ 1 

5 · 1−√ 5. 

2 

Piemērs 2.73. Šajā piemērā apskatīsim homogēnu lineāru rekurentu sakarību sistēmu. Risināsim 

šādu uzdevumu - cik ir dažādu n elementus garu vārdu alfabētā {0, 1, 2} tādu, ka jebkuri 

divi kaimiņu simboli atšķiras par 0 vai 1? Apzīmēsim ar A n to vārdu kopu, kas beidzas ar 1, 

un ar B n - vārdu kopu, kas beidzas ar 0 vai 2. Apzīmēsim |A n | ar a n un |B n | ar b n . Mums ir 

jāatrod c n = a n + b n ar pareiziem sākuma nosacījumiem. Domāsim par to, kā no vārdiem ar 

garumu n − 1 var iegūt vārdus ar garumu n, pievienojot vienu simbolu beigās. Teiksim, ka vārds 

w rada vārdu w ′ , ja vārdu w ′ var iegūt no vārda w, pievienojot tam beigās vienu simbolu. Ir 

spēkā šādas sakarības: 

1) a n = a n−1 + b n−1 (katrs vārds no A n−1 rada vienu jaunu vārdu no A n un katrs vārds no 

B n−1 rada vienu jaunu vārdu no A n ); 

2) b n = 2a n−1 + b n−1 (katrs vārds no A n−1 rada divus jaunus vārdus no B n un katrs vārds 

no B n−1 rada vienu jaunu vārdu no B n ).


Iegūstam, ka 

un 

tātad 

un 

b n = 2a n−1 + a n − a n−1 = a n−1 + a n 

a n+1 = a n + b n , 

a n+1 − a n = a n−1 + a n 

a n+1 = 2a n + a n−1 . 

Lai atrisinātu uzdevumu līdz galam, ir jāatrod virkne {a n }, kas apmierina sākuma nosacījumus 

a 1 = 1, a 2 = 3, jāatrod b n pēc formulas b n = a n+1 − b n un jāatrod c n = a n + b n . 

3. 


Vingrinājums 2.74. Atrast lineāras rekurentas sakarības virknēm a n = n k , kur k = 1,2 vai 

Vingrinājums 2.75. X n ir tādu apakškopu skaits kopā {1, ..., n}, kurās nav divu elementu 

ar pēctecīgiem numuriem. Atrast rekurentu sakarību virknes {X n } n>0 locekļiem. 

Vingrinājums 2.76. X n ir tādu virkņu skaits alfabētā {1, 2}, kuru elementu summa ir 

vienāda ar n. Atrast rekurentu sakarību virknes {X n } n>0 locekļiem. 

Vingrinājums 2.77. X n ir tādu permutāciju skaits kopā {1, ..., n}, kurām visi cikli ir ar 

garumu 1 vai 2. Atrast rekurento sakarību skaitļiem. Pierādīt, ka visi skaitļi X n ir pāra skaitļi 

un ir spēkā nevienādība X n > √ n!, ja n > 1. 

Vingrinājums 2.78. Ar p m (n) mēs apzīmējam naturāla skaitļa n sadalījumu skaitu ne vairāk 

kā m naturālu skaitļu summā. Pierādīt, ka ir spēkā rekurenta sakarība 

p m (n) = p m−1 (n) + p m (n − m). 

Vingrinājums 2.79. Ar q m (n) apzīmēsim naturāla skaitļa n sadalījumu skaitu tieši m 

naturālu skaitļu summā. Pierādīt, ka ir spēkā rekurenta sakarība 

q m (n) = q m (n − m) + q m−1 (n − 1). 

Vingrinājums 2.80. Kopas {1, 2, ..., n} permutāciju f sauksim par sakarīgu, ja visiem k, 

1 < k < n, kopa {1, ..., k} nav invarianta attiecībā uz šo permutāciju. Pierādīt, ka visu sakarīgo 

permutāciju skaita skaitļi X n apmierina rekurentu sakarību 

n∑ 

X i (n − i)! = n! 

Vingrinājums 2.81. Atrisināt šādas rekurentas sakarības: 

1) a n+1 = a 2 n, a 1 = 1; 

2) a n = a n−1 + a n−2 + a n−3 , a 0 = a 1 = a 2 = 1; 

3) a n = ∑ n−1 

i=1 a i + 1, a 0 = 1. 

i=1 

Vingrinājums 2.82. Pierādīt, ka Fibonači skaitļi apmierina šādas rekurentas sakarības: 

1) Fn 2 − F n+1 F n−1 = (−1) n ; 

2) ∑ n 

i=0 F i = F n+2 − 1; 

3) Fn−1 2 + Fn 2 = F 2n ; 

4) F n−1 F n + F n F n+1 = F 2n+1 . 

Vingrinājums 2.83. Atrisināt rekurentu sakarību 

a n+2 = a n+1 a n , a 0 = 1, a 1 = 2.

Vingrinājums 2.84. Pierādīt, ka 

kur F n ir Fibonači skaitlis. 


[ n 2 ] 

∑ 

Cn−i i = F n+1 , 

i=0 

Vingrinājums 2.85. Pierādīt, ka X n = 

[ ] 

[ 

Fn+1 F n 

1 1 

, ja n ≥ 2 un X = 

F n F n−1 1 0 

Vingrinājums 2.86. Pierādīt, ka Fibonači skaitļi (iespējams, ar indeksa nobīdi) ir atrisinājums 

šādiem kombinatorikas uzdevumiem: 

1) katra vīrišķā bite (trans) rodas no vienas sievišķās bites, bet katra sievišķā bite rodas 

no vienas sievišķās un vienas vīrišķās bites, pierādīt, ka vīrišķajām bitēm ”vecvecāku” 

skaits kā funkcija no paaudzes indeksa ir izsakāms ar Fibonači skaitļu palīdzību, atrast 

formulu sievišķo bišu ”vecvecāku” skaitam, 

2) cik veidos naturālu skaitli var izteikt nepāra naturālu skaitļu sakārtotas summas veidā; 

3) cik veidos naturālu skaitli var izteikt vairāku skaitļu 1 un 2 sakārtotas summas veidā. 

Vingrinājums 2.87. Pierādīt, ka otrā veida Stirlinga skaitļi S(n, k) apmierina šādas rekurentas 

sakarības: 

1) S(n, k) = kS(n − 1, k) + S(n − 1, k − 1); 

2) ∑ n 

m=k S(m − 1, k − 1)kn−m = S(n, k); 

3) ∑ n 

m=k S(m, k)Cm n = S(n + 1, k + 1); 

4) ∑ n 

m=k (−1)m S(m + 1, k + 1)Cn 

m = (−1) n S(n, k); 

5) ∑ m≤n S(m, k)(k + 1)n−m = S(n + 1, k + 1); 

6) ∑ n 

i=1 ik = ∑ k 

j=1 

j!S(k, j)Cj+1 n+1. 

Vingrinājums 2.88. Par pirmā veida Stirlinga skaitli s(n, k) sauksim skaitli (−1) n−k c(n, k), 

kur c(n, k) ir n elementu kopas permutāciju skaits ar k cikliem. Papildus definēsim 

Pierādīt šādas sakarības: 

1) s(n + 1, k) = −ns(n, k) + s(n, k − 1); 

2) ∑ n 

m=k s(n + 1, m + 1)nm−k = s(n, k); 

3) ∑ n 

m=0 

c(n, m) = n!; 

4) ∑ n 

m=k c(n, m)Ck m = c(n + 1, k + 1); 

5) ∑ n 

m=k s(n + 1, m + 1)Ck m = s(n, k); 

6) ∑ n 

n! 

m=0 

c(m, k) = c(n + 1, k + 1). 

m! 

0, ja n≠0 

s(n, 0) = { 1, ja n=0. 

Vingrinājums 2.89. Atrast c(n, 1),c(n, 2),c(n, n − 1),c(n − 2). 

Vingrinājums 2.90. Pierādīt, ka pirmā un otrā veida Stirlinga skaitļus saista šādas sakarības: 

1) ∑ n 

m=k 

s(n, m)S(m, k) = δ(n, k); 

2) ∑ n 

m=k 

S(n, m)s(m, k) = δ(n, k). 

Šajā uzdevumā δ ir Kronekera simbols, tā vērtība ir 1, ja indeksi ir vienādi, un 0 - ja indeksi ir 

dažādi. 

Vingrinājums 2.91. Apzīmēsim atvasināšanas operāciju ar D: (Df)(x) = f ′ (x). Pierādīt, 

ka ir spēkā vienādība 

n∑ 

((xD) n f)(x) = (( S(n, i)x i D i )f)(x). 

i=0 

] 

.


2.6. VEIDOTĀJFUNKCIJU METODE 

2.6.1. Ievads. Ja ir jāatrod virknes {a n } n≥n0 vispārīgā locekļa a n atkarība no n, tad var 

būt lietderīgi mēǧināt izveidot no šīs virknes locekļiem kādu citu objektu, kas saturētu visu 

informāciju par virkni, bet būtu vieglāk analizējams. Plaši izplatīta kombinatorikas metode, 

kurā ir realizēta šī ideja, ir veidotājfunkciju metode. Virknei tiek piekārtota funkciju rinda, 

kuru bieži var identificēt ar elementāru funkciju, izmantojot informāciju par virkni, piemēram, 

rekurentās sakarības, tiek pētīta šī jaunizveidotā funkcija un secinājumi tiek attiecināti uz virknes 

locekļiem. Veidotājfunkcija tiek definēta tā, lai, zinot veidotājfunkciju, varētu relatīvi viegli 

atrast atbilstošās virknes locekļus. Veidotājfunkciju pētīšana parasti ir saistīta ar algebras un 

matemātiskās analīzes tehnikas pielietošanu, un virknes locekļu atrašana tiek reducēta uz algebrisku 

vienādojumu vai diferenciālvienādojumu risināšanu. Algebriskās un analītiskās operācijas 

ar veidotājfunkcijām var interpretēt kombinatorikas terminos. 

Ja ir dota skaitļu virkne {a n } n≥n0 , tad formālu pakāpju rindu 

∞∑ 

(2.29) A(x) = 

n=n 0 

a n x n 

sauksim par virknei atbilstošo veidotājfunkciju un formālu pakāpju rindu 

∞∑ a n 

(2.30) A exp (x) = 

n! xn 

n=n 0 

sauksim par virknes eksponenciālo veidotājfunkciju. Divas veidotājfuncijas sauksim par vienādām 

jeb formāli vienādām, ja attiecīgie koeficienti pie vienādām argumenta pakāpēm ir vienādi. Identificēsim 

ar virknes veidotājfunkciju jebkuru izteiksmi, kas ir ar to formāli vienāda. Ievērosim, ka 

divu dažādu pakāpju monomu formālas saskaitīšanas rezultātā nekāds netriviāls pārveidojums 

netiek veikts. 

Ja ir dota veidotājfunkcija A(x), tad ar [x n ]A(x) apzīmēsim tās Teilora koeficientu pie x n . 

Parastās veidotājfunkcijas tiek izmantotas kombinatorikas uzdevumos, kuros skaitāmie objekti 

tiek veidoti no neiezīmētiem, neatšķiramiem atomiem, eksponenciālās veidotājfunkcijas tiek 

izmantotas, ja objekti tiek veidoti no iezīmētiem atomiem. 

Kombinatorikas uzdevumu risināšana izmantojot veidotājfunkcijas parasti notiek pēc šāda 

algoritma: 

1) uzdevuma nosacījumi tiek pārveidoti nosacījumos, kurus apmierina veidotājfunkcijas; 

2) tiek atrastas veidotājfunkcijas vai izdarīti iespējamie secinājumi par to dabu; 

3) izmantojot Teilora rindu teoriju tiek atrasti veidotājfunkciju koeficienti. 

Veidotājfunkciju teorija balstās uz ideju vispārināt skaitīšanu šādā veidā. Ja ir dota kopa 

A (iespējams, bezgalīga) un kopa R ar asociatīvu un komutatīvu bināru operāciju, tad fiksēsim 

funkciju w : A → R un skaitīsim katru mūs interesējošās kopas A elementu a ∈ A ar savu svaru 

w(a) , tādējādi rezultātā mēs iegūsim formālu summu 

∑ 

w(a), 

a∈A 

ko sauksim par kopas A veidotājfunkciju attiecībā uz svaru w un apzīmēsim ar G(A, w). Ievērosim 

šo vispārināšanas soli: naivā skaitīšana ∑ a∈A 1 tiek vispārināta uz skaitīšanu ar svaru ∑ a∈A w(a). 

Veidotājfunkciju tagad varam interpretēt kā skaitīšanas rezultātu, kurā katrs skaitāmās kopas objekts 

ar parametru n tiek skaitīts ar svaru x n . Tādējādi veidotājfunkcija ir matemātiska konstrukcija, 

kas atbilstošajā nozīmē satur informāciju par doto kombinatorikas uzdevumu kopumā. Veidotājfunkcijas 

pieraksts elementārās funkcijas veidā bieži vien ļauj pielietot divkāršās skaitīšanas 

principu. Veidotājfunkcijas pirmais sāka izmantot 18.gs. matemātiķis De Muavrs. 

Summēšana (tāpat kā virkne) var sākties ar jebkuru indeksu, visbiežāk ar 0 vai 1. Var 

redzēt, ka veidotājfunkcija A(x) var tikt interpretēta kā Teilora rinda punkta x = 0 apkārtnē. 

Ja ir iespējams, veidotājfunkciju ir jāmēǧina pierakstīt elementāras funkcijas veidā. Jāpiebilst,


ka jautājumi par veidotājfunkciju konverǧenci vai konverǧences rādiusu klasiskajā nozīmē parasti 

kombinatorikā nespēlē izšķirošo lomu. Veidotājfunkcijas konverǧences rādiuss tiek izmantots, lai 

novērtētu koeficientus, izmantojot Ābela teorēmu par pakāpju rindām. Formālo pakāpju rindu 

teorijā tiek lietots cits konverǧences jēdziens: teiksim, ka viena argumenta pakāpju rindu virkne 

{f n } n≥n0 konverǧē uz pakāpju rindu f, ja katram naturālam k eksistē naturāls N, tāds, ka visiem 

n > N pakāpju rindām f n un f pirmie k locekļi ir vienādi (kā polinomi). 

Atgādināsim, ka, ja f(x) ir bezgalīgi daudzas reizes atvasināma funkcija un kādā punkta 

x = 0 apkārtnē var tikt izvirzīta pakāpju rindā f(x) = ∑ n≥0 a nx n , tad a n = f (n) (0) 

. Elementāras 

funkcijas jebkura Teilora rindas koeficienta noteikšana ir iespējama galīgā laikā ar 

n! 

deterministiska algoritma palīdzību, tāpēc kodēšanu no veidotājfunkcijas pieraksta elementārās 

funkcijas veidā uz tās koeficientu virkni ir iespējams realizēt ar datorprogrammas palīdzību. 

Virknes veidotājfunkciju var uzskatīt arī par tās kompaktu pierakstu elementāras funkcijas veidā. 

Atzīmēsim arī to, ka polinomu var uzskatīt par veidotājfunkciju, kurai tikai galīgs skaits koeficientu 

ir atšķirīgi no 0. 

Atšķirībā no matemātiskās analīzes, kurā tiek pētītas funkciju īpašības, piemēram, funkcijas 

vērtības noteiktos punktos, kombinatorikā interese tiek vērsta uz funkcijas Teilora koeficientu 

īpašībām. Analīzē Teilora koeficienti tiek izmantoti, lai iegūtu secinājumus par funkciju. 

Kombinatorikā informācija par funkciju tiek izmantota, lai iegūtu informāciju par tās Teilora 

koeficientiem. 

Visu formālu viena vai vairāku argumentu pakāpju rindu kopu ar koeficientiem laukā k 

sauksim par pakāpju rindu gredzenu un apzīmēsim ar k[[x 1 , ..., x n ]], kur x 1 , ..., x n ir pakāpju 

rindas neatkarīgie argumenti. Zemāk tiks definētas veidotājfunkciju saskaitīšanas un reizināšanas 

operācijas, kas apmierina gredzena aksiomas. Lasītājs var pārliecināties, ka pakāpju gredzenos 

aditīvais neitrālais elements ir veidotājfunkcija 0 un multiplikatīvais neitrālais elements ir 1, 

pakāpju rinda ir invertējama tad un tikai tad, ja tās brīvais loceklis ir atšķirīgs no 0. Pakāpju 

rindu gredzenā ir dotas arī n (parciālās) atvasināšanas operācijas D m , 1 ≤ m ≤ n, kas ir lineāras 

- apmierina sakarības 

D m (k 1 f + k 2 g) = k 1 D m (f) + k 2 D m (g), 

kur k i ∈ k un f, g ∈ k[[x 1 , ..., x n ]], un apmierina Leibnica jeb reizinājuma atvasināšanas likumu 

D m (fg) = D m (f)g + fD m (g). 

Šādus gredzenus sauksim par diferenciāliem gredzeniem. 

Veidotājfunkcijas var uzdot arī bezgalīga reizinājuma 

∞∏ 

i=i 0 

f i (x) 

veidā, kur katra no funkcijām f i (x) ir polinomiāla, racionāla vai elementāra funkcija. Bezgalīga 

reizinājuma veidotājfunkcijas pārveidošana standarta (summas) veidā notiek formāli, atverot 

iekavas reizinājumā un atrodot koeficientu pie visām argumenta pakāpēm. Strādājot ar bezgalīgiem 

reizinājumiem, ir lietderīgi izmantot vienādību 

∏ 

(2.31) 

x j ), 

i∈I 

(1 + x i ) = ∑ J⊆I( ∏ j∈J 

kuras pierādījums tiek atstāts lasītāja ziņā. 

Veidotājfunkcijas ideju var vispārināt uz virknēm, kas ir atkarīgas no vairākiem indeksiem. 

Ja ir dota skaitļu virkne {a i1 ,...,i n 

} ij ∈N, kas ir atkarīga no n naturāliem indeksiem, tad formālu 

pakāpju rindu 

(2.32) A(x 1 , ..., x n ) = 

∑ 

i 1 >0,...,i n>0 

a i1 ,...,i n 

x i 1 

1 ...x i k 

n 

sauksim par virknei atbilstošo daudzargumentu veidotājfunkciju. Visu daudzargumentu veidotājfunkciju 

kopu ar argumentiem x 1 , ..., x n un koeficientiem laukā k apzīmēsim ar k[[x 1 , ..., x n ]]


un sauksim par daudzargumentu pakāpju rindu gredzenu. Divas daudzargumentu veidotājfunkcijas 

ir vienādas, ja attiecīgie koeficienti pie vienādiem monomiem ir vienādi. Daudzargumentu 

veidotājfunkcijas tiek pielietotas, ja skaitāmie objekti ir atkarīgi no vairākiem diskrētiem parametriem. 

Piemērs 2.92. Virknes (1, 1, 1, 1, ...) veidotājfunkcija ir 

A(x) = 1 + x + x 2 + ... = 1 

1 − x . 

Virknes (a, a 2 , a 3 , ...) (ǧeometriskās progresijas) veidotājfunkcija ir 

B(x) = a + a 2 + ... = a(1 + a + a 2 + ...) = 

a 

1 − ax . 

Piemērs 2.93. Galīgas virknes (Cn, 0 Cn, 1 ..., Cn) n kā augšējā indeksa funkcijas veidotājfunkcija 

ir 

(2.33) C n (x) = C 0 n + C 1 nx + C 2 nx 2 + ... + C n nx n = (1 + x) n . 

Šo faktu var pierādīt, arī izmantojot formulu (2.31), kurā definēsim x = x 1 = ... = x |I| un 

ievērosim, ka labajā pusē koeficients pie x i ir vienāds ar i elementus lielu apakškopu skaitu kopā, 

kas satur |I| elementus. 

Piemērs 2.94. Atradīsim veidotājfunkciju apakšmultikopu virknei, ja ir dota n-multikopa ar 

neierobežotu skaitu elementiem. Pieņemsim, ka ir dota multikopa ar elementu tipiem {1, 2, ..., n}, 

apzīmēsim ar λ M (i) apakšmultikopas M to elementu skaitu, kas ir vienādi ar i, piemēram, ja 

M = {1, 1, 2, 3, 3, 3}, tad λ M (1) = 2, λ M (3) = 3 un λ M (4) = 0. Definēsim 

Z n = ∑ n∏ 

( x λ M (i) 

i ), 

M i=1 

kur summēšana tiek veikta pa visām iespējamām apakšmultikopām M n-multikopā. Var redzēt, 

ka koeficients pie katra monoma x α 1 

1 ...x α n 

n ir vienāds ar 1 un 

(2.34) Z n = (1+x 1 +x 2 1 +...)(1+x 2 +x 2 2 +...)...(1+x n +x 2 n +...) = 

1 

(1 − x 1 )(1 − x 2 )...(1 − x n ) . 

Liekot x = x 1 = ... = x n un ievērojot, ka koeficients pie monoma x i veidotājfunkcijā Z n (x, ..., x) ir 

vienāds ar dažādu apakšmultikopu skaitu, kas satur i elementus, eleganti iegūsim veidotājfunkciju 

virknei ¯Cm n : 

(2.35) 

1 

(1 − x) n = ∑ i≥0 

¯C i nx n . 

No jau uzdotajām veidotājfunkcijām var konstruēt jaunas veidotājfunkcijas, pielietojot algebriska 

vai analītiska rakstura operācijas ar veidotājfunkcijām. Vienkāršākās operācijas ir šādas: 

• divu veidotājfunkciju saskaitīšana 

∞∑ 

∞∑ 

∞∑ 

( a n x n ) + ( b n x n ) = (a n + b n )x n ; 

n=0 

n=0 

• veidotājfunkcijas reizināšana ar skaitli 

∞∑ 

c( a n x n ) = 

n=0 

n=0 

∞∑ 

ca n x n ; 

n=0 

• divu veidotājfunkciju reizināšana 

∞∑ 

∞∑ 

( a n x n ) · ( b n x n ) = 

n=0 

n=0 

∞∑ 

c n x n , 

n=0 

kur c n = ∑ n 

i=0 a ib n−i , speciālgadījums - reizināšana ar x k ;


un 

• veidotājfunkcijas koeficientu nobīde 

∞∑ 

a n x n → 

vai 

n=0 

∞∑ 

a n x n → 

n=0 

• veidotājfunkcijas atvasināšana 

∞∑ 

( a n x n ) ′ = 

n=0 

∞∑ 

a n+k x n 

n=0 

∞∑ 

a n−k x n ; 

n=k 

∞∑ 

a n nx n−1 ; 

n=0 

• divu veidotājfunkciju kompozīcija (substitūcija) 

(A(x), B(x)) → A(B(x)), 

ja b 0 = 0 jeb B(0) = 0, šādā gadījumā izteiksmei 

∞∑ 

A(B(x)) = a n B n (x) 

n=0 

ir formāla jēga, jo katra izteiksmes A(B(x)) koeficienta aprēķināšanai ir nepieciešams 

galīgs skaits soļu, šis nosacījums var neizpildīties, ja b 0 ≠ 0 jeb B(0) ≠ 0. 

Piemērs 2.95. Ja A(x) = ∑ ∞ 

n=0 a nx n , tad 

e A(x) = exp(A(x)) = 

ln(1 − A(x)) = − 

∞∑ 

n=0 

∞∑ 

n=1 

A n (x) 

n! 

A(x) 

n . 

Atzīmēsim vēl dažus lietderīgus trikus, kurus izmanto darbā ar veidotājfunkcijām: 

• A(x) → A(x) − a n x n - n-tā koeficienta anulēšana, iegūstam virkni 

(a 0 , a 1 , ..., a n−1 , 0, a n+1 , ...); 

• A(x) → A(x 2 ) koeficientu ”izretināšana”, iegūstam virkni 

(a 0 , 0, a 1 , 0, ...); 

• A(x) → A(x)−a 0 

x 

virkni 

- koeficientu nobīde negatīvajā virzienā par vienu vienību, iegūstam 

(a 1 , a 2 , ...); 

• A(x) → A ′ (x) - koeficientu reizināšana ar naturāliem skaitļiem, iegūstam virkni 

(a 1 , 2a 2 , 3a 3 , ...); 

• A(x) → ∫ x 

A(t)dt - koeficientu dalīšana ar naturāliem skaitļiem, iegūstam virkni 

0 

• A(x) → A(x) 

1−x 

(0, a 1 /2, a 2 /3, ...); 

- koeficientu saskaitīšana, iegūstam virkni 

(a 0 , a 0 + a 1 , a 0 + a 1 + a 2 , ...).


Piemērs 2.96. Cik dažādos veidos 8 identiskas monētas var sadalīt 3 daļās tā, ka katrā daļā 

ir vismaz 2, bet ne vairāk kā 4 monētas? Apzīmēsim ar a n to veidu skaitu, kādos n konfektes 

var sadalīt 3 daļās. Var redzēt, ka a n ir vienāds ar koeficientu pie x n polinomā 

(x 2 + x 3 + x 4 ) 3 

tāpēc, ka a n ir vienāds ar vienādojuma α 1 + α 2 + α 3 pozitīvo atrisinājumu skaitu, kas apmierina 

nosacījumu 2 ≤ α i ≤ 4. 

Piemērs 2.97. Par naturāla skaitļa n sadalījumu mēs saucam naturālu skaitļu kopu, kuras 

elementu summa ir vienāda ar n. Ja n = 5, tad ir 7 dažādi sadalījumi: 

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 1 + 4 = 2 + 3 = 5. 

Ar p(n) mēs apzīmējam naturāla skaitļa sadalījumu skaitu. Definēsim arī p(0) = 0 kā izņēmumu. 

Pierādīsim, ka atbilstošā veidotājfunkcija P (x) = ∑ ∞ 

n=0 p(n)xn apmierina sakarību 

P (x) = ∏ 1 

1 − x . j j≥1 

Tiešām, redzam, ka 

∏ 1 

1 − x = (1 + x + j x2 + ...)(1 + x 2 + x 4 ...)...(1 + x n + x 2n + ...)... 

j≥1 

Formāli atverot iekavas šajā bezgalīgajā reizinājumā, redzam, ka locekli ar x i var iegūt, izvēloties, 

piemēram, reizinātāju x n 1 

no pirmajām iekavām, reizinātaju x n 2 

no otrajām iekavām un tā tālāk. 

Kāpinātāji apmierina sakarību 

n 1 + 2n 2 + ... = i. 

Katra šādas kāpinātāju sistēmas izvēle koeficientam pie x i dod ieguldījumu vienādu ar 1, tātad 

šis koeficients ir vienāds ar p(i). 

Piemērs 2.98. Apskatīsim daudzargumentu veidotājfunkciju, kas atbilst polinomam 

Koeficients pie monoma x i 1 

1 x i 2 

2 ...x i k 

k 

elementus lielai kopai (C i 1,i 2 ,...,i k 

n ). 

(x 1 + x 2 + ... + x k ) n . 

ir vienāds ar k apakšvirkņu skaitu, kuru elementi pieder n 

2.6.2. Kombinatoriskās klases, operācijas ar tām un veidotājfunkcijas. Šajā nodaļā 

mēs apskatīsim vispārīgus saliktus kombinatorikas uzdevumus un to atrisināšanu izmantojot veidotājfunkcijas. 

Sekojot F.Flažolē darbiem, aprakstīsim kādu relatīvi jaunu pieeju kombinatorikas 

uzdevumu risināšanai, kurā akcents tiek likts uz kombinatorikas uzdevumu strukturālo analīzi. 

Par kombinatorisko klasi sauksim galīgu vai sanumurējamu kopu A, kuras elementiem ir 

definēta izmēra vai lieluma funkcija l : A → N ∪ {0}. Elementa a ∈ A lielumu apzīmēsim arī ar 

|a|. Ar A n mēs apzīmēsim kopas A apakškopu l −1 (n) ⊆ A, citiem vārdiem sakot, to elementu 

kopu, kuru izmērs ir vienāds ar n. Parasti katras kopas A n elementiem var uzrādīt to nedalāmas 

sastāvdaļas ar izmēru 1, kuras sauksim par atomiem, bieži vien atomu kopu identificē ar A 1 . 

Uzskatīsim, ka katra kopa A n ir galīga. Par kombinatoriskās klases A skaitošo virkni sauksim 

virkni {a n } = {|A n |}. Divas kombinatoriskas klases A un B sauksim par izomorfām (A ≃ B), 

ja to skaitošās virknes ir vienādas - |A n | = |B n |. Par kombinatoriskās klases A veidotājfunkciju 

sauksim tās skaitošās virknes veidotājfunkciju A(x) = ∑ n≥0 |A n|x n . 

Pieņemsim, ka ir dotas kombinatoriskas klases B, C, ... un kāda kombinatoriska klase A, kas 

ir atkarīga no B, C, ... - A = F{B, C, ...}, pieņemsim, ka katra kopa A n ir atkarīga no galīga skaita 

kopām B i , C j , .... Teiksim, ka Φ ir pieļaujama konstrukcija, ja klases A skaitošā virkne ir atkarīga 

tikai no klašu B, C, ... skaitošajām virknēm, citiem vārdiem sakot A(x) = Ψ(B(x), C(x), ...). 

Pieļaujamās konstrukcijas uzdod ar specifikāciju palīdzību. Ar E apzīmēsim neitrālo (vienības) 

klasi, kuras veidotājfunkcija ir 1 (tajā ir tikai 1 elements ar izmēru 0) - E = E 0 , |E| = 1. Par 

atomāru klasi Z sauksim klasi, kuras veidotājfunkcija ir x - Z = Z 1 , |Z| = 1. 

Pārskaitīsim dažas plašāk izplatītas pieļaujamas konstrukcijas:


1) apvienojums - ja B ∩ C = ∅, tad A = B + C = B ∪ C; 

2) tiešais reizinājum - A = B × C, definēsim |(β, γ)| = |β| + |γ|; 

3) virknes - A = S{B} = E + B + B 2 + ... + B k + ..., klases S{B} elementi ir visas 

sakārtotas virknes, kuru elementi pieder klasei B, ieskaitot tukšo virkni, k-virknes - 

A = S k {B} = B k , klases S k {B} elementi ir visas sakārtotas virknes, kuru garums ir 

vienāds ar k, un kuru elementi pieder klasei B; 

4) multikopas - A = M{B} = S{B}/R, kur R ir ekvivalences attiecība, kas saista divas 

virknes tad un tikai tad, ja tās atšķiras ar elementu kārtību, klases M{B} elementi ir 

visas multikopas, kuru elementi pieder klasei B, ieskaitot tukšo multikopu, k-multikopas 

-A = M k {B} = S k {B}/R, klases M k {B} elementi ir visas multikopas, kuru elementu 

skaits ir vienāds ar k, un kuru elementi pieder klasei B; 

5) kopas - A = P{B} ⊆ M{B}, klases P{B} elementi ir visas galīgas kopas, kuru elementi 

pieder klases B, ieskaitot tukšo kopu, k-kopas - kopas, kuru elementu skaits ir vienāds 

ar k, un kuru elementi pieder klasei B; 

6) cikli - A = C{B} = S{B}/C, kur C ir ekvivalences attiecība, kas saista divas virknes tad 

un tikai tad, ja tās atšķiras ar elementu ciklisku pārbīdi, klases C{B} elementi ir visi cikli, 

kuru elementi pieder klasei B, ieskaitot tukšo ciklu, k-cikli - A = C k {B} = S k {B}/C; 

7) iezīmēšana - A = ΘB = ∑ n≥0 B n × {ɛ 1 , ..., ɛ n }, kur ɛ i ir dažādi objekti ar izmēru 0, 

klases ΘB elementi ir jāinterpretē kā klases B elementi, kuros viens atoms ir iezīmēts; 

8) substitūcija 

∑ 

jeb kompozīcija - ja ir dotas klases B un C, tad definēsim A = B{C} = 

k≥0 B k × S k {C}, klases B{C} elementi tiek iegūti, ievietojot klases B elementu atomu 

vietās klases C elementus. 

Piemērs 2.99. Ja B = B 1 = {0, 1}, tad S{B} ir visu bināro virkņu kopa. Ja B = B 1 = {a}, 

tad N = S ≥1 {B} = ∑ k≥1 S k{B} ir (unārajā alfabētā uzdotu) naturālo skaitļu kopa, P = M{N } 

ir naturālo skaitļu sadalījumu kopa. 

Kombinatoriskas klases specifikāciju un pašu klasi sauksim par iteratīvu, jo to var uzdot 

ar neitrālajām un atomārajām klasēm pielietojot (iespējams, vairākkārtīgi) apvienojuma, tiešā 

reizinājuma, virknes, multikopas, kopas un cikla operācijas. Kombinatoriskas klases specifikāciju 

sauksim par rekursīvu, ja definējamā klase A ir uzdota formā A = F{A}. 

Vispārīgā gadījumā kombinatorisko klašu kopas {A 1 , ..., A n } specifikācija ir sistēma 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A 1 = F 1 {A 1 , ..., A n } 

A 2 = F 2 {A 1 , ..., A n } 

... 

A n = F n {A 1 , ..., A n } 

kur katra specifikācija satur tikai neitrālās un atomārās klases, definējamās klases un vienkāršākās 

operācijas. 

Teorēma 2.100. 1) Ja A = B + C, kur B ∩ C = ∅, tad A(x) = B(x) + C(x); 

2) ja A = B × C, tad A(x) = B(x)C(x); 

3) ja A = S{B}, tad A(x) = 1 ; 1−B(x) 

4) ja A = M{B}, tad A(x) = ∏ i≥1 

= exp( ∑ 1 

k≥1 k B(xk )); 

1 

(1−x i ) |B i | 

5) ja A = P{B}, tad ∏ i≥1 (1 + xi ) |Bi| = exp( ∑ k≥1 

B(x k )); 

k 

6) ja A = C{B}, tad A(x) = ∑ ϕ(k) 1 

k≥1 

ln( ), kur ϕ ir veselo skaitļu teorijas Eilera 

k 1−B(x k ) 

funkcija; 

7) ja A = ΘB, tad A(x) = xB ′ (x); 

8) ja A = B{C}, tad A(x) = B(C(x)). 

Virkņu, kopu un ciklu konstrukcijās tiek pieņemts, ka |B 0 | = 0. 

, 

(−1) k+1 

Pierādījums. 

1) Tā kā A n = B n ∪ C n un B n ∩ C n = ∅, tad |A n | = |B n | + |C n | un A(x) = B(x) + C(x).


2) Tā kā A n = ∑ n 

i=0 B i × C n−i , tad |A n | = ∑ n 

i=0 |B i||C n−i | un A(x) = B(x)C(x). 

3) Tā kā A = E + B + B × B + ..., tad A(x) = 1 + B(x) + B 2 (x) + ... = 1 . 1−B(x) 

4) Var redzēt, ka A = M{B} ≃ ∏ β∈B 

S{B}, jo multikopas elementus var šķirot pēc to 

izmēra un noteiktas kārtības katrā klasē B n . Tādējādi 

A(x) = ∏ 1 

β∈B 

= ∏ 1 

1−x |β| n≥1 

= 

(1−x n ) |B n| 

= exp(ln( ∏ n≥1 (1 − xn ) |Bn| )) = exp( ∑ n≥1 |B n| ln((1 − x n ) −1 )). 

5) Var redzēt, ka A = S{B} ≃ ∏ β∈B 

(E +{β}), jo katru galīgu kopu, kuras elementi pieder 

klasei B, var iekodēt kā bezgalīgu sakārtotu virkni, kurā ir galīgs skaits elementu ar 

pozitīvu izmēru, un pārējie elementi ir ar izmēru 0. Tādējādi 

A(x) = ∏ β∈B 

(1 + x |β| ) = ∏ n≥1 

(1 + x n ) |Bn| = exp( ∑ n≥1 

|B n | ln(1 + x n )). 

QED 

6) Šī apgalvojuma pierādījums ir grūts un netiks dots. 

7) Ja A = ΘB, tad saskaņā ar iezīmēšanas definīciju |A n | = n · |B n |, tāpēc A(x) = xB ′ (x). 

8) Ja A = B{C}, tad A(x) = ∑ k≥0 |B k|(C(x)) k = B(C(x)). 

Piemērs 2.101. Ja B = B 1 un |B| = 1, tad definēsim A = S{B}. Redzam, ka 

A(x) = 

Esam vēlreiz ieguvuši rezultātu Ān m = m n . 

1 

1 − B(x) = 1 

1 − mx = ∑ m n x n . 

n≥0 

Piemērs 2.102. Var redzēt, ka ja A = S k {B}, tad A(x) = B(x) k . Izteiksim veidotājfunkcijas 

klasēm P 2 {B} un M 2 {B}, ja veidotājfunkcija klasei B ir zināma. Klases A = P 2 {B} elementi ir 

nesakārtoti klases B dažādu elementu pāri, katru šādu pāri var identificēt ar divu sakārtotu pāru 

(α, β) un (β, α) kopu. Definēsim D = D{B} = ∆(B × B) = {(α, α)|α ∈ B}. Tā kā |D 2n | = |B n | 

un |D 2n+1 | = 0, tad D(x) = B(x 2 ). Redzam, ka 

tātad 2A(x) + B(x 2 ) = B(x) 2 un 

P 2 {B} + P 2 {B} + D ≃ B × B, 

A(x) = B(x)2 − B(x 2 ) 

. 

2 

Klases A = M 2 {B} elementi ir nesakārtoti klases B ne obligāti dažādu elementu pāri, tāpēc 

A ≃ P 2 {B} + D un A(x) = B(x)2 −B(x 2 ) 

+ B(x 2 ). Iegūstam, ka 

2 

A(x) = B(x)2 + B(x 2 ) 

. 

2 

2.6.3. Racionālās un algebriskās veidotājfunkcijas. Veidotājfunkciju A(x) sauksim par 

racionālu veidotājfunkciju, ja to var izteikt ka divu polinomu attiecību: 

kur Q(0) ≠ 0. 

A(x) = P (x) 

Q(x) , 

Teorēma 2.103. (Fundamentālā teorēma par racionālajām veidotājfunkcijām). Pieņemsim, 

ka ir doti kompleksi skaitļi q 0 , q 1 , ..., q m−1 , q m un kompleksu skaitļu virkne {a n } n≥0 Zemāk dotie 

apgalvojumi ir ekvivalenti: 

1) ∑ ∞ 

n=0 a nx n = P (x) 

Q(x) , kur Q(x) = q mx m +q m−1 x m−1 +...+q 1 x+q 0 , P (x) ∈ C(x), deg(P ) < 

deg(Q) = m;


2) visiem k ≥ m izpildās lineāra rekurenta sakarība 

m∑ 

a k q 0 + a k−1 q 1 + ... + a k−m q m = a k−j q j = 0; 

3) visiem n ≥ 0 izpildās sakarība 

a n = 

r∑ 

i=1 

P i (n) 

, 

λ n i 

kur dažādie skaitļi λ i tiek definēti saskaņā ar vienādību 

r∏ 

q m x m + q m−1 x m−1 + ... + q 1 x + q 0 = q m (x − λ i ) m i 

, deg(P i ) < m i . 

Pierādījums. Īsta daļveida racionāla funkcija P (x) 

Q(x) 

parciāldaļu summas veidā 

P (x) 

Q(x) = 

r∑ ∑m i 

i=1 

j=1 

i=1 

j=0 

virs komplekso skaitļu lauka ir izsakāma 

c ij 

(x − λ i ) j , 

kur visi kompleksie skaitļi λ i ir dažādi. Izvirzīsim parciāldaļu 

1 

(x−λ) k Teilora rindā ap punktu 0: 

Redzam, ka 

(−1) k 

λ(k−1)! 

1 

(x−λ) 

∑ 

k 

n≥0 

P (x) 

= ∑ r 

Q(x) 

∑n≥0 xn ∑ r 

i=1 

= (−1)k−1 ( 1 

(k−1)! x−λ )(k−1) = (−1)k−1 (− 1 )(∑ x n 

(k−1)! λ n≥0 

1 

λ n n(n − 1)...(n − k + 2)x n−k+1 = (−1)k 

λ(k−1)! 

∑ mi c ij 

i=1 j=1 (x−λ i ) 

∑ j 

1 mi 

λ n i 

j=1 c ij (−1)j 

λ j i 

= ∑ r ∑ mi 

i=1 j=1 c ∑ 

ij (−1)j 

λ j n≥0 

i 

λ n ) (k−1) = 

∑ 

n≥0 

A j−1 

A j−1 

n+j−1 = ∑ n≥0 xn ∑ r 

i=1 

n+j−1 

λ n i 

A k−1 

n+k−1 

λ n x n . 

x n = 

1 

P 

λ n i (n), 

i 

kur visas funkcijas P i (n) ir polinomi un deg(P i ) < m i . Salīdzinot veidotājfunkcijas koeficientus, 

redzam, ka šie aprēķini pierāda teorēmas apgalvojumu (1) un (3) ekvivalenci. Pieņemsim, ka ir 

spēkā teorēmas apgalvojums (1). Formāli reizinot abas vienādības 

∞∑ 

puses ar saucēju Q(x), iegūsim 

Pārveidojot iegūsim 

∑ 

a n x n 

n≥0 

m 

∑ 

i=0 

q i x i = ∑ n≥0 

n=0 

Q(x) 

a n x n = P (x) 

Q(x) 

∞∑ 

a n x n = P (x). 

n=0 

m∑ 

a n q i x n+i = ∑ n≥m 

i=0 

x n 

m 

∑ 

j=0 

Tā kā deg(P ) < m, tad visiem k ≥ m izpildās sakarība 

m∑ 

a k−j q j = 0. 

i=0 

a n−j q j + 

m−1 

∑ 

n=0 

x n 

n∑ 

a n−j q j = P (x). 

Ja izpildās šāda rekurenta sakarība, tad, izmantojot homogēnu lineāru rekurento sakarību risināšanas 

metodi, var parādīt, ka izpildās apgalvojums (3) un teorēma ir pierādīta ar ciklisko metodi. 

QED 

Fundamentālā teorēma par racionālajām veidotājfunkcijām izsaka to, ka racionālās veidotājfunkcijas 

ir tieši tās veidotājfunkcijas, kas atbilst lineāru rekurentu sakarību atrisinājumiem, 

j=0


ignorējot galīgu skaitu noviržu no rekurentās sakarības, kuras var rasties, ja racionālā veidotājfunkcija 

nav īsta (skaitītāja pakāpe nav mazāka kā saucēja pakāpe) un tai eksistē netriviāls 

sadalījums polinoma un īstas daļveida racionālas funkcijas summā. 

Piemērs 2.104. Izmantojot racionālās veidotājfunkcijas, atrisināsim nehomogēnu lineāru 

pir-mās kārtas rekurentu sakarību 

a n = 2a n−1 + 1, a 0 = 0, n ≥ 0. 

Reizināsim abas puses ar x n un formāli summēsim no 1 līdz ∞: 

∑ 

x n . 

n≥1 

a n x n = 2 ∑ n≥1 

a n−1 x n + ∑ n≥1 

Apzīmējot meklējamās virknes veidotājfunkciju ar A(x), iegūsim sakarību 

A(x) = 2xA(x) + 

x 

1 − x . 

Atrisinot šo sakarību attiecībā uz A(x), iegūsim, ka 

x 

A(x) = 

(1 − x)(1 − 2x) . 

Šajā gadījumā ir lietderīgi sadalīt atrasto racionālo funkciju parciāldaļu summā un izteikt atbildi 

kā parciāldaļu koeficientu summu: 

A(x) = 1 

1 − 2x − 1 

1 − x = ∑ (2x) n − ∑ x n = ∑ 

n≥0 

n≥0 n≥0(2 n − 1)x n , 

tātad a n = 2 n−1 . 

Piemērs 2.105. Atcerēsimies, ka Fibonači virkne tiek definēta šādā veidā: 

Definēsim 

a 0 = 1, a 1 = 1, ..., a n = a n−1 + a n−2 . 

F (x) = ∑ n≥0 

a n x n . 

Salīdzināsim veidotājfunkcijas F (x), xF (x) un x 2 F (x). Var ievērot, ka 

F (x) = 1 + xF (x) + x 2 F (x), 

atrisinot šo vienādojumu attiecībā uz F (x), iegūstam 

1 

F (x) = 

1 − x − x , 2 

tālāk izvirzām Teilora rindā un atrodam atbildi 

a n = √ 1 (( 1 + √ 5 

) n+1 − ( 1 − √ 5 

) n+1 ). 

5 2 

2 

Veidotājfunkciju A(x) = ∑ ∞ 

n=n 0 

a n x n sauksim par algebrisku, ja eksistē divu argumentu 

polinoms R(u, v), kurš nav identiski vienāds ar 0 un formāli (koeficientu vienādības nozīmē) 

izpildās sakarība 

(2.36) R(x, A(x)) = 0. 

Viegli redzēt, ka jebkura racionāla veidotājfunkcija ir algebriska, jo veidotājfunkcija A(x) = P (x) 

Q(x) 

apmierina polinomiālu sakarību 

Q(x)A(x) − P (x) = 0. 

Teorēma 2.106. Ja veidotājfunkcija A(x) = ∑ ∞ 

n=n 0 

a n x n ir algebriska, tad eksistē naturāls 

skaitlis m un polinomi P 0 (x), P 1 (x), ..., P m (x) tādi, ka visiem naturāliem n izpildās sakarība 

(2.37) P m (n)a n+m + P m−1 (n)a n+m−1 + ... + P 0 (n)a n = 0.


Pierādījums. Pieņemsim, ka veidotājfunkcija A(x) = ∑ ∞ 

n=n 0 

a n x n apmierina polinomiālu 

sakarību R(x, A(x)) = 0. Atvasināsim šīs vienādības abas puses uzskatot R par divu argumentu 

funkciju R(x, y): 

R x(x, ′ A(x)) + A ′ (x)R y(x, ′ A(x)) = 0. 

Iegūstam, ka 

A(x) = − R′ x(x, A(x) 

R ′ y(x, A(x) 

ir racionāla funkcija no x un A(x). Līdzīgā veidā var parādīt, ka visi veidotājfunkcijas A(x) 

atvasinājumi ir racionālas funkcijas no x un A(x). Izmantosim faktu no lineārās algebras, 

kuru lasītājam ir jāpieņem bez pierādījuma: ja funkcija A(x) apmierina polinomiālu sakarību 

R(x, A(x)) = 0, tad visu racionālo funkciju no x un A(x) kopas kā lineāras telpas virs visu 

racionālu funkciju lauka ir galīga - dim C(x) C(x, A(x)) < ∞. No šī fakta seko, ka visu A(x) 

atvasinājumu kopa {A (k) (x)} k≥0 ir galīgi dimensionāla virs racionālo funkciju lauka un eksistē 

lineāra sakarība ar racionālu funkciju koeficientiem, kas saista šīs funkcijas. Reizinot šādu lineāru 

sakarību ar kopsaucēju un salīdzinot koeficientus pie vienādām x pakāpēm, iegūsim sakarību 

(2.37). QED 

Virknes, kas apmierina (2.37) tipa rekurentas sakarības, sauksim par polinomiāli rekursīvām 

jeb P-rekursīvām. 

Piemērs 2.107. Katalāna skaitļi. Cik veidos var ”pareizi” salikt iekavas virknē, kas satur 

n elementus, pielietojot bināru operāciju n − 1 reizi, piemēram, rēķinot skaitļu reizinājumu, ja 

iekavas apzīmē divu skaitļu reizināšanu? Ja n = 4, tad ir pieci veidi: 

(((xy)z)t), (x(y(zt))), ((xy)(zt)), ((x(yz))t), (x((yz)t)). 

Katram n apzīmēsim šo variantu skaitu ar C n . Viegli redzēt, ka 

Definēsim 

C 2 = 1, C 3 = 2, C 4 = 5. 

C 0 = 0, C 1 = 1. 

Apskatīsim stāvokli pirms pēdējās reizināšanas - jebkurš reizinājums, kad visas iekavas, izņemot 

pēdējo pāri, ir saliktas, ir izsakāma formā R 1 R 2 , kur katrā no reizinājumiem R 1 un R 2 visas 

iekavas ir saliktas. Tas nozīmē, ka virkne tiek sadalīta divās daļās: 

x 1 ...x } {{ } k x k+1 ...x 

} {{ n 

} 

R 1 R 2 

(katrā no daļām kaut kā ir saliktas iekavas). Šai konkrētai k vērtībai kopējais variantu skaits ir 

C k C n−k , jo katrā no reizinājumiem var neatkarīgi iekavas salikt C k un C n−k veidos. Skaitot kopā 

iespējas visām k vērtībām, iegūstam rekurentu sakarību (ja n ≥ 2): 

Apskatīsim atbilstošo veidotājfunkciju 

∑n−1 

C n = C k C n−k = 

k=1 

n∑ 

C k C n−k . 

k=0 

C(x) = ∑ n≥0 

C n x n . 

Salīdzināsim veidotājfunkcijas C(x) un C 2 (x). Redzam, ka ja n > 1, tad koeficients pie x n 

veidotājfunkcijā C(x) ir vienāds ar to pašu koeficientu veidotājfunkcijā C 2 (x). Lai iegūtu C(x), 

pie C 2 (x) ir jāpieskaita lineārais loceklis ar koeficientu 1, jo C 1 = 1. Iegūstam vienādojumu 

C(x) = C 2 (x) + x,

kuru, atrisinot attiecībā uz C(x), iegūstam 


C(x) = 1 ± √ 1 − 4x 

. 

2 

Tā kā C 0 = 0, tad mums ir jāņem ”mīnus” zīme. Tālāk izvirzām Teilora rindā un iegūstam, ka 

C n−1 = 1 n Cn−1 2n−2. 

Piezīmēsim, ka veidotājfunkcija C(x) apmierina kvadrātisku polinomiālu sakarību, tāpēc to var 

saukt par kvadrātisku veidotājfunkciju. 

Var arī ievērot, ka pareizo iekavu salikšanas veidu kombinatoriskā klase C apmierina rekursīvas 

specifikācijas C ≃ Z+C 2 vai C ≃ Z×S{C}, no kurām seko kvadrātiska sakarība veidotājfunkcijai. 

Piemērs 2.108. Šrēdera skaitļi. Vispārināsim uzdevumu par Katalāna skaitļiem šādā veidā. 

Skaitīsim, cik veidos var pareizi salikt iekavas n elementu virknē, ja katrs iekavu pāris nozīmē 

operāciju ar patvaļīgu operandu skaitu, lielāku kā 2. Varam uzskatīt, ka visi n elementi ir vienādi 

ar a. Formāli varam definēt pareizu iekavu salikšanas veidu kā vārdu alfabētā {a, (, )} šādi: 

1) (a) ir pareizs iekavu salikšanas veids (turpmāk iekavas ap a neuzrādīsim); 

2) ja vārdi A 1 , ..., A k , k ≥ 2 ir pareizi iekavu salikšanas veidi, tad vārds (A 1 ...A k ) arī ir 

pareizs iekavu salikšanas veids. 

Ja n = 4, tad eksistē 11 pareizi iekavu salikšanas veidi: 

(((aa)a)a), (a(a(aa))), ((a(aa))a), (a((aa)a)), ((aa)(aa)), 

((aa)aa), (a(aa)a), (aa(aa)), ((aaa)a), (a(aaa)), (aaaa) 

Apzīmēsim pareizu iekavu salikšanas veidu skaitu n elementu virknei ar s n . Definēsim s 0 = 

0, s 1 = 1. Definēsim atbilstošo veidotājfunkciju S(x) = ∑ n≥0 s nx n . Spriežot līdzīgi kā Katalāna 

skaitļu gadījumā, iegūstam, ka S(x) apmierina vienādojumu 

S(x) = x + S 2 (x) + S 3 (x) + ... = x + 

S2 (x) 

1 − S(x) , 

kuru var pārveidot formā 

2S 2 (x) + S(x)(−x − 1) + x = 0, 

kas ir kvadrātisks vienādojums attiecībā uz S(x). Iegūstam, ka 

S(x) = x + 1 − √ x 2 − 6x + 1 

. 

4 

Citiem vārdiem sakot, visu pareizo iekavu salikšanas veidu kombinatoriskā klase S apmierina 

rekursīvu specifikāciju S ≃ Z + S ≥2 {S}, kur Z ir atomāra klase, kas nozīmē vienu simbolu, 

no kuras seko kvadrātiska sakarība veidotājfunkcijai. Šrēders bija 19.gs vācu matemātiķis, kas 

pirmais atrada formulu šai veidotājfunkcijai. Daži no Šrēdera skaitļiem ir pieminēti seno grieķu 

filozofu un matemātiķu darbos 1.gs pirms Kristus. Sengrieķu vēsturnieka Plutarha darbā, kas 

publicēts ap 100.g pēc Kristus, ir minēts, ka astronoms un matemātiķis Hiparhs no Rodosas, kas 

dzīvoja ap 200.g pirms Kristus, ir atrisinājis divus loǧikas uzdevumu, kuru atbildes ir 103049 un 

310952. Līdz pat 20.gs 90.gadu beigām speciālisti šos skaitļus nevarēja izskaidrot. 1996.gadā tika 

ievērots, ka 103049 = s 10 un 310952 = s 10+s 11 

2 

−2 un tika atrastas šo loǧikas uzdevumu iespējamās 

interpretācijas. Nenoskaidrots paliek jautājums par metodēm, ar kurām Hiparhs atrisināja šos 

uzdevumus. Šis gadījums rāda, ka zināšanu apjoms, kas bija uzkrāts antīkajā pasaulē un kas 

gāja bojā kopā ar to, bija dažos virzienos samērojams ar mūsdienu zinātnes sasniegumiem.


2.6.4. Eksponenciālās veidotājfunkcijas. Eksponenciālās veidotājfunkcijas var tikt pielietotas, 

ja uzdevums ir saistīts ar permutāciju skaita atrašanu, tas ir, uzdevumos, kur elementu 

kārtība virknēs ir svarīga. Viegli ievērot, ka izpildās sakarība 

x n 

n! · xm 

m! = x n+m 

Cn n+m 

(n + m)! . 

Ja ir dotas divas virknes a n un b n , kas skaita A tipa un B tipa objektus, kurus var izveidot no 

n elementus lielas kopas, ja šo virkņu eksponenciālās veidotājfunkcijas ir 

A exp (x) = ∑ a n 

n! xn 

n≥0 

un 

tad to reizinājums 

B exp (x) = ∑ n≥0 

A exp (x)B exp (x) = ∑ n≥0 

b n 

n! xn , 

x n 

n! 

n∑ 

Cna i i b n−i 

ir eksponenciālā veidotājfunkcija sakārtotiem objektu pāriem (A, B). Tiešām, lai konstruētu 

pāri (A, B) ar kopējo lielumu n, mums ir jāizvēlas indekss i, i elementus liela apakškopa no 

n elementus lielas kopas (to var izdarīt Cn i veidos), A tipa objekts, ko var izveidot no šiem i 

elementiem (to var izdarīt a n veidos) un B tipa objekts, ko var izveidot no atlikušajiem n − i 

elementiem (to var izdarīt b n−i veidos), ir jāizmanto reizināšanas un summas likumi. 

Piemērs 2.109. Eksponenciālā veidotājfunkcija netukšu kopu skaitam kā funkcijai no elementu 

skaita ir 

∑ x n 

n! = ex − 1, 

n≥1 

jo katram n > 0 atbilst viena kopa, ja ir doti kopas elementi, piemēram, skaitļi no 1 līdz 

n. Atradīsim eksponenciālo veidotājfunkciju n elementu kopas sadalījumu skaitam divu netukšu 

apakškopu virknē (pārī). Saskaņā ar augstāk aprakstīto novērojumu šī eksponenciālā 

veidotājfunkcija ir vienāda ar 

(e x − 1) 2 = ∑ n≥2 

i=0 

(2 n − 2) xn 

n! . 

Šo rezultātu var pārbaudīt arī neatkarīgi - n elementu kopas sadalījumu divu netukšu apakškopu 

virknē pilnīgi nosaka šī sadalījuma pirmais elements, kas ir īsta netukša apakškopa. Šādu 

apakškopu skaits ir 2 n − 2 (visas n elementus lielas kopas apakškopas mīnus tukšā apakškopa 

un pati kopa). Visu kopas sadalījumu netukšu apakškopu virknēs skaita eksponenciāla veidotājfunkcija 

ir 

∑ 

(e x − 1) k 1 

= 

1 − (e x − 1) = 1 

2 − e . x 

k≥0 

Vispārināsim minēto novērojumu. Zemāk dotajās teorēmās apzīmējumu ērtuma dēļ definēsim 

virknes kā funkcijas no nenegatīva vesela argumenta, piemēram, a n = a(n). 

Teorēma 2.110. Ir dotas divas virknes a(n), n ≥ 0 un b(n), n ≥ 0, definēsim jaunu virkni 

c(n) ar šādu nosacījumu: 

(2.38) c(|X|) = ∑ 

a(|Y |)b(|Z|), 

(Y,Z) 

kur kopa X ir galīga un summēšana tiek veikta pa visiem kopas X sakārtotiem sadalījumiem 

(Y, Z), citiem vārdiem sakot, Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅. Tad izpildās sakarība


(2.39) C exp (x) = A exp (x)B exp (x). 

Pierādījums. Pieņemsim, ka |X| = n, tad 

n∑ 

c(n) = Cna(i)b(n i − i), 

i=0 

jo eksistē C i n dažādi pāri (Y, Z), tādi, ka |Y | = i. Redzam, ka c(n) ir koeficients pie xn 

n! 

pakāpju 

rindai A exp (x)B exp (x). QED 

Piemērs 2.111. Cik dažādos veidos var izvēlēties n elementus lielas kopas sadalījumu divās 

daļās, pirmās daļas apakškopu un sakārtotu dažādu elementu pāri otrajā daļā? Šajā gadījumā 

a(n) = 2 n un b(n) = n(n − 1), tāpēc 

A exp (x) = ∑ 2 n x n 

= e 2x 

n! 

n≥0 

un 

B exp (x) = ∑ n(n − 1)x n 

= x 2 e x . 

n! 

n≥0 

Saskaņā ar (2.110) iegūstam, ka uzdevuma atrisinājuma eksponenciālā veidotājfunkcija ir vienāda 

ar x 2 e 3x , tāpēc atbilde ir vienāda ar n(n − 1)3 n . 

Teorēma 2.112. Ir dotas k virknes a 1 (n), ..., a k (n), n ≥ 0, definēsim jaunu virkni c(n) ar 

šādu nosacījumu: 

(2.40) c(|X|) = ∑ 

a(|Y 1 |)...a(|Y k |), 

(Y 1 ,...,Y k ) 

kur kopa X ir galīga un netukša, un summēšana tiek veikta pa visiem kopas X sakārtotiem 

sadalījumiem (Y 1 , ..., Y k ). Tad izpildās sakarība 

k∏ 

(2.41) C exp (x) = A exp (x). 

Pierādījums. Šo faktu var pierādīt, atkārtoti pielietojot (2.110). QED 

i=1 

Piemērs 2.113. Atrisināsim uzdevumu par variācijam bez atkārtojumiem, izmantojot eksponenciālās 

veidotājfunkcijas - cik veidos var izvēlēties m elementus garu virkni no n elementus 

lielas kopas? Izmantosim (2.112). Ja virknes a 1 (i), ..., a n (i) tiek definētas ar nosacījumu 

0, ja i>1 

a j (i) = { 1, ja 0≤i≤1, 

tad virkne c(i), kas definēta ar nosacījumu (2.34), kur k = n, izsaka sakārtotu virkņu skaitu ar 

garumu i. Saskaņā ar (2.112) iegūstam, ka C exp (x) = (1 + x) n un sakārtotu virkņu skaits ar 

garumu m ir vienāds ar C m n · m! = n! 

(n−m)! . 

Piemērs 2.114. Cik dažādas 5 vienības garas virknes (vārdus) var izveidot no vārda KOM- 

BINATORIKA burtiem? Izmantojot (2.112), iegūsim atrisinājumam atbilstošo eksponenciālo 

veidotājfunkciju 

(1 + x) 5 (1 + x + x2 

2! )4 

un atrisinājums ir šī polinoma koeficients pie x5 . Burti M,B,N,T un R dotajā vārdā ir vienu 

5! 

reizi, un katrs no šiem burtiem var būt vai nebūt 5 vienības garajā vārdā, tātad katram no šiem 

burtiem veidotājfunkcijā atbildīs viens lineārs reizinātājs formā 1 + x. Burti K,O,I un A dotajā 

vārdā ir divas reizes, tātad katrs no šiem burtiem 5 vienības garajā vārdā var būt 0,1 vai 2 reizes, 

tāpēc katram no šiem burtiem veidotājfunkcijā atbildīs reizinātājs 1 + x + x2 . 2!


Piemērs 2.115. Cik ir dažādu m vienības garu virkņu alfabētā {0, 1, 2, 3}, kurās neviens 

simbols nav tieši 2 reizes? Atbilstošā eksponenciālā veidotājfunkcija ir (e x − x2 

2! )4 un atrisinājums 

ir koeficients pie xm . m! 

Teorēma 2.116. Ir dota virkne a(n), n ≥ 1, definēsim jaunu virkni c(n) ar šādu nosacījumu: 

∑ 

(2.42) c(|X|) = a(|Y 1 |)...a(|Y k |), 

π=(Y 1 ,...,Y k ) 

kur kopa X ir galīga un netukša un summēšana tiek veikta pa visiem kopas X nesakārtotiem 

sadalījumiem netukšās apakškopās π = (Y 1 , ..., Y k ). Tad izpildās sakarība 

(2.43) C exp (x) = e Aexp(x) . 

Pierādījums. Definēsim a(0) = 0. Katram k > 0 definēsim virkni b k (n) ar nosacījumu 

b k (|X|) = 

∑ 

a(|Y 1 |)...a(|Y k |), 

(Y 1 ,...,Y k ) 

kur summēšana tiek veikta pa visiem sakārtotiem sadalījumiem ar fiksētu apakškopu skaitu k. 


B k,exp = A k exp(x) 

saskaņā ar (2.112). Visi sakārtotie sadalījumi ir dažādi, jo neviena no sadalījuma apakškopām 

nav tukša. Katram k > 0 definēsim virkni c k ar nosacījumu 

∑ 

c k (|X|) = a(|Y 1 |)...a(|Y k |), 

π=(Y 1 ,...,Y k ) 

kur summēšana tiek veikta pa visiem nesakārtotiem sadalījumiem ar fiksētu apakškopu skaitu 

k. Redzam, ka 

tāpēc 

QED 

C exp (x) = 1 + ∑ k≥1 

C exp (x) = B k,exp(x) 

k! 

C k,exp (x) = ∑ k≥0 

= Ak exp(x) 

, 

k! 

A k exp(x) 

k! 

= e Aexp(x) . 

Teorēma 2.117. (Kompozicionālā formula). Ir dotas virknes a(n), n ≥ 1 un b(n), n ≥ 0, 

izpildās nosacījums b(0) = 1. Definēsim jaunu virkni c(n) ar šādu nosacījumu: 

∑ 

(2.44) c(|X|) = a(|Y 1 |)...a(|Y k |)b(k), 

π=(Y 1 ,...,Y k ) 

kur kopa X ir galīga un summēšana tiek veikta pa visiem kopas X nesakārtotiem sadalījumiem 

netukšās apakškopās. Tad izpildās sakarība 

(2.45) C exp (x) = B exp (A exp (x)). 

QED 

Pierādījums. Pierādījums tiek veikts tāpat kā (2.116). Rezultātā iegūsim 

C exp (x) = ∑ k≥0 

A k expB(k) 

k! 

= B exp (A exp (x)). 

Piemērs 2.118. Bella skaitļi. Nodaļā par rekurentajām sakarībam mēs ieguvām rekurentu 

sakarību, kuru apmierina Bella skaitļi: 

n∑ 

B n+1 = CnB k n−k 

k=0

vai, nobīdot indeksu, 


B n = 

n∑ 

k=1 

C k−1 

n−1B n−k . 

Atradīsim eksponenciālo veidotājfunkciju, kas atbilst virknei B n (apzīmējumu ērtības dēļ apzīmēsim 

to ar B(x)): 

B(x) = ∑ B k x k 

. 

k! 

k≥0 

Atvasināsim B(x) un atradīsim sakarību, kuru apmierina atvasinājums. Redzam, ka 

∑ 

k≥1 

∑ k 

i=1 

B ′ (x) = ∑ k≥1 

x i−1 B k−i x k−i 

(i−1)! (k−i)! 

B k kx k−1 

k! 

= ∑ k≥1 

= ∑ k−i≥0 

B k−i x k−i 

(k−i)! 

B k x k−1 

(k−1)! 

( ∑ i−1≥0 

= ∑ k≥1 (∑ k 

i=1 Ci−1 k−1 B k−i) xk−1 

(k−1)! = 

x i−1 

) = (∑ x j 

(i−1)! j≥0 

)(∑ B m x m 

j! m≥0 

) = e x B(x). 

m! 

Šajos pārveidojumos bija pareizi jāmaina summēšanas kārtība un jāizdara indeksu maiņa. 

Tātad B(x) apmierina diferenciālvienādojumu 

B ′ (x) = e x B(x) 

un, atrisinot šo pirmās kārtas diferenciālvienādojumu ar mainīgo atdalīšanas metodi, iegūstam, 

ka 

B(x) = ce ex 

ar kaut kādu konstanti c, ko atrod no sākuma nosacījumiem. Eleganti uzdevumu par Bella 

skaitļiem var atrisināt, izmantojot (2.112). Ja definē a(n) = 1, ∀n ≥ 1, tad 

un 

A exp (x) = ∑ n≥0 

B n = ∑ 

π∈Π n 

1, 

kur summēšana tiek veikta pa visu n elementus lielas kopas (nesakārtotu) sadalījumu kopu Π n . 

Saskaņā ar (2.112) iegūstam, ka 

B(x) = ∑ n≥0 

B n x n 

Izteiksim B n arī bezgalīgas summas veidā: 

n! 

= exp( ∑ n≥1 

B(x) = exp(exp(x) − 1) = 1 e exp(exp(x)) = 1 e 

Iegūstam, ka 

B n = 1 e 

∑ 

i≥0 

∑ 

i≥0 

x n 

n! 

x n 

) = exp(exp(x) − 1). 

n! 

e ix 

i! 

i n 

i! . 

= 1 e 

∑ 

i≥0 

1 ∑ i n x n 

i! n! 

n≥0 

= ∑ ( 1 e 

n≥0 

∑ 

i≥0 

i n 

i! )xn n! . 

Piemērs 2.119. Otrā veida Stirlinga skaitļi S(n, k) - cik dažādos veidos var n elementus lielu 

kopu sadalīt k netukšās apakškopās. Atradīsim īsu pierakstu šo skaitļu virknes (ar fiksētu k) 

eksponenciālajai veidotājfunkcijai. Pirmajā solī pierādīsim sakarību 

S(n, k) = 1 k∑ 

(−1) k−i C i 

k! 

ki n . 

i=1 

Katra sirjektīva funkcija no n elementu kopas uz k elementu kopu definē definīcijas apgabala 

kopas sadalījumu k netukšās apakškopās. Tā kā mēs varam sanumurēt k elementu kopu k! 

dažādos veidos, tad saskaņā ar dalīšanas likumu S(n, k) ir jābūt vienādam ar visu sirjektīvo


funkciju skaitu no n elementu kopas uz k elementu kopu dalītu ar k!. Iepriekš tika parādīts, ka 

skaitlis 

k∑ 

(−1) k−i Cki i n 

i=1 

ir vienāds ar sirjektīvu funkciju skaitu no n elementu kopas uz k elementu kopu, tātad apsolītais 

apgalvojums ir pierādīts. Otrajā solī vienkāršosim pašu veidotājfunkciju: 

∑ 

S(n,k)x n 

n≥0 

= ∑ ∑ 

1 k ∑ 

n! n≥0 k! i=1 (−1)k−i Ck i xn 

in = ∑ 1 k 

n! k! i=1 Ci k (−1)k−i (ix) n 

n≥0 

= 

n! 

∑ 

1 k 

k! i=1 Ci k (−1)k−i e ix = 1 k! (ex − 1) k . 

Piemērs 2.120. Izmantojot eksponenciālās veidotājfunkcijas, vēlreiz atrisināsim uzdevumu 

par sirjektīvo funkciju skaitu. Cik ir sirjektīvu funkciju no n elementus lielas kopas X = {1, ..., n} 

uz m elementus lielu kopu Y = {1, ..., m}? Apzīmēsim šo skaitli ar R m n . Katra sirjektīva funkcija 

f : X → Y ir viennozīmīgi uzdota ar virkni 

(f(1), ..., f(n)), 

kurā katrs kopas Y elements ieiet vismaz vienu reizi. Katra kopas Y elementa ieguldījums 

eksponenciālajā veidotājfunkcijā R m (x) = ∑ Rn m x n 

n≥0 

ir reizinātājs 

n! 

x + x2 

2! + ... = ex − 1, 

tātad eksponenciālā veidotājfunkcija ir vienāda ar 

(e x − 1) m 

un atrisinājums ir šīs veidotājfunkcijas koeficients pie xn . Ievērosim, ka šī veidotājfunkcija ir 

n! 

vienāda ar n elementu kopas m vienības garu netukšu apakškopu virkņu skaita eksponenciālo 

veidotājfunkciju. Summējot R m (x) pa m mēs iegūsim eksponenciālo veidotājfunkciju R(x), kuras 

koeficients R n pie xn ir vienāds ar visu iespējamo sirjektīvo funkciju skaitu no kopas {1, ..., n}. 

n! 

Redzam, ka 

un 

tāpēc 

R(x) = ∑ m≥0 

R(x) = 1 1 

2 1 − 1 = 1 ∑ 

2 ex 2 

R m (x) = ∑ m≥0(e x − 1) m = 

i≥0 

e ix 

= 1 ∑ 

2 i 2 

i≥0 

R n = 1 2 

∑ 

i≥0 

1 

1 − (e x − 1) = 1 

2 − e x 

1 ∑ i n x n 

2 i n! 

n≥0 

i n 

2 i . 

= ∑ ( 1 2 

n≥0 

∑ 

i≥0 

i n 

2 i )xn n! , 

Vēl viena lietderīga eksponenciālo veidotājfunkciju īpašība ir saistīta ar to atvasināšanu. 


A ′ exp(x) = ∑ a n nx n−1 

= ∑ a n x n−1 

n! (n − 1)! . 

n≥1 

n≥1 

Piemērs 2.121. Atrisināsim Fibonači virknes uzdevumu ar eksponenciālajām veidotājfunkcijām. 

Fibonači virknes definējošā rekurentā sakarība 

f n = f n−1 + f n−2 

eksponenciālo funkciju terminos ir ekvivalenta diferenciālvienādojumam 

kura vispārīgais atrisinājums ir 

F ′′ 

exp(x) = F ′ exp(x) + F exp (x), 

F exp (x) = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x , λ 1,2 = 1 ± √ 5 

. 

2


Fiksējot sākuma nosacījumus, atradīsim konstantes C 1 un C 2 un eksponenciālās veidotājfunkcijas 

koeficientus. 


Vingrinājums 2.122. Atrast veidotājfunkcijas šādām virknēm: 

1) a n = n + 1, n ≥ 0; 

2) a n = 1 , n ≥ 1; 

n 

3) a n = (−1)n , n ≥ 1; 

n 

4) a n = 1 , n ≥ 0; 

n! 

5) a n = n 2 ; 

6) a n = sin(ωn), n ≥ 0. 

Vingrinājums 2.123. Atrast veidotājfunkciju virknei {b n }, ja veidotājfunkcija virknei {a n } 

ir zināma un ir spēkā sakarība b n = a n+1 − a n . 

Vingrinājums 2.124. Kādai operācijai ar veidotājfunkcijām atbilst virknes i-tā elementa 

izsvītrošana? 

Vingrinājums 2.125. Definēsim M = M{B} un P = P{B}, kur B ir dota kombinatoriska 

klase. Pierādīt veidotājfunkciju vienādību P (x) = M(x) 

M(x 2 ) . 

Vingrinājums 2.126. Virknes {a n } eksponenciālā veidotājfunkcija A exp (x) ir zināma. Izteikt 

virknes {b n } eksponenciālo veidotājfunkciju B exp (x) ar A exp (x) palīdzību, ja: 

1) b n = a n+1 ; 

2) b n = na n ; 

3) b n = λ n a n ; 

4) b n = a n+1 − a n . 

Vingrinājums 2.127. Aprakstīt virkni, kuras eksponenciālā veidotājfunkcija ir vienāda ar 

e x2 . 

Vingrinājums 2.128. Apzīmēsim ar a n visu iespējamo virkņu (bez atkārtojumiem, ieskaitot 

tukšo virkni) skaitu, kuras var izveidot no n-kopas elementiem, definēsim a 0 = 1. Pierādiet, ka ir 

spēkā rekurentā sakarība a n = na n−1 + 1, atrodiet virknes {a n } eksponenciālo veidotājfunkciju. 

Vingrinājums 2.129. Pieņemsim, ka A(x) ir veidotājfunkcija ar konstanto locekli 1. Pierādīt, 

ka eksistē A(x) inversā veidotājfunkcija - veidotājfunkcija B(x) tāda, ka A(x)B(x) = 1 un atrast 

rekurento sakarību inversās veidotājfunkcijas koeficientiem. 

Vingrinājums 2.130. Izsakiet veidotājfunkciju ∑ n≥0 Ck nx n kā elementāru funkciju no x. 

Vingrinājums 2.131. Apzīmēsim ar a n visu variantu skaitu, kā skaitli n var izteikt dažādu 

naturālu skaitļu summas veidā, un apzīmēsim atbilstošo veidotājfunkciju ar A(x). Pierādīt, ka 

A(x) = ∏ i≥1(1 + x i ). 

Vingrinājums 2.132. Pierādīt vienādību 

1 

1 − x = ∏ (x 2i + 1). 

i≥0 

Pierādīt vienādību 

visiem naturāliem m ≥ 2. 

1 

1 − x = ∏ i≥0 

x mi+1 − 1 

x mi − 1


Vingrinājums 2.133. Apzīmēsim ar X n visu virkņu x 1 , ..., x k skaitu, kas apmierina nosacījumus 

1 ≤ i ≤ n un x i+1 ≥ x i + a, kur a ir fiksēts naturāls skaitlis. Atrast rekurentu sakarību 

skaitļiem X n un no tās izrietošo veidotājfunkcijas īpašību. 

Vingrinājums 2.134. Pierādīt šādas sakarības Stirlinga skaitļiem: 

1) ∏ n−1 

i=0 (x + i) = ∑ n 

k=1 c(n, k)xk ; 

1) A n x = ∏ n−1 

i=0 (x − i) = ∑ n 

k=1 s(n, k)xk ; 

2) ∑ s(n,k)x n 

n≥0 

= 1 n! k! lnk (1 + x); 

3) ∑ n≥0 S(n, k)xn x 

= k 

∏ k 

i=1 (1−ix); 

4) x n = ∑ n 

i=1 S(n, i) ∏ i−1 

j=0 

(x − j). 


∑ 

min(n, m)x n y m = 

n≥0,m≥0 

xy 

(1 − x)(1 − y)(1 − xy) . 

Vingrinājums 2.136. Pierādīt, ka veidotājfunkcija A(x) = ∑ n≥0 Cn 3nx n apmierina sakarību 

(27x − 4)A 3 (x) + 3A(x) + 1 = 0. 

Vingrinājums 2.137. Pierādīt, ka ∑ n≥0 (Cn 2n) 2 x n un ∑ (3n)! 

n≥0 

x n nav algebriskas veidotājfunkcijas. 

(n!) 3 

Vingrinājums 2.138. Apzīmēsim ar p m (n) visu to skaitļa n sadalījumu skaitu, kurā ir ne 

vairāk kā m locekļu. Pierādīt, ka atbilstošā veidotājfunkcija 

ir vienāda ar 

P m (x) = ∑ n≥0 

m∏ 

i=1 

1 

1 − x i . 

p m (n)x n 

Vingrinājums 2.139. Ar q m (n) apzīmēsim naturāla skaitļa n sadalījumu skaitu tieši m 

naturālu skaitļu summā. Pierādīt, ka 

Q m (x) = ∑ n≥0 

q m (n)x n = x m 

m 

∏ 

i=1 

1 

1 − x i . 

Vingrinājums 2.140. Izmantojot veidotājfunkcijas, pierādīt, ka katram naturālam n tā 

sadalījumu skaits, kuros visi saskaitāmie ir nepāra skaitļi, ir vienāds ar sadalījumu skaitu, kuros 

visi saskaitāmie ir dažādi. Pierādīt šo rezultātu, arī izmantojot vienlieluma likumu. 

Vingrinājums 2.141. Definēsim Bernulli skaitļus b n ar šādiem nosacījumiem: 

n∑ 

b 0 = 1, Cn+1b i i = 0. 

Pierādīt, ka atbilstošā eksponenciālā veidotājfunkcija ir vienāda ar 

x 

e x − 1 . 

Vingrinājums 2.142. Definēsim harmoniskos skaitļus ar šādiem nosacījumiem: 

n∑ 1 

h 0 = 0, h n = 

i . 

Pierādīt, ka harmoniskie skaitļi apmierina šādas rekurentas sakarības visiem n ≥ 1: 

1) ∑ n 

i=1 h i = (n + 1)(h n+1 − 1); 

i=0 

i=1


2) ∑ n 

i=1 ih i = Cn+1(h 2 n+1 − 1/2); 

3) ∑ n 

i=1 Ck i h i = Cn+1(h k+1 

n+1 − 1 ). k+1 

Pierādīt, ka harmonisko skaitļu virknes veidotājfunkcija ir vienāda ar 

1 

1 − x ln( 1 

1 − x ). 

Vingrinājums 2.143. Ja n ir pāra skaitlis, tad apzīmēsim ar a n to kopas {1, ..., n} permutāciju 

skaitu, kurās visiem neatkarīgajiem cikliem garums ir pāra skaitlis, ar b n - to permutāciju 

skaitu, kurās visiem cikliem garums ir nepāra skaitlis. Apzīmēsim ar u n visu permutāciju 

skaitu - u n = n!. Pierādīt, ka atbilstošās eksponenciālās veidotājfunkcijas 

apmierina šādas sakarības: 

1) U exp (x) = 1 ; 

1−x 2 

2) A exp (x) = √ 1 

1−x 2 

; 

3) B exp (x) = U exp(x) 

A exp(x) . 

Pierādīt, ka a n = b n visiem n. 

A exp (x), B exp (x), U exp (x) 

Vingrinājums 2.144. a n ir to kopas {1, 2, ..., n} permutāciju skaits, kurām visi cikli ir ar 

garumu 1 vai 2. Pierādīt, ka 

A exp (x) = exp(x + x2 

2 ). 

Vispārināt šo faktu uz gadījumu, kad permutācijas ciklu garums ir ierobežots ar naturālu skaitli 

k. 

Vingrinājums 2.145. Bināru attiecību sauksim par priekšsakārtojumu, ja tā ir refleksīva, 

transitīva un dihotomiska. Apzīmēsim dažādu priekšsakārtojumu skaitu n elementu kopā ar a n . 


A exp (x) = 1 

2 − e x . 

Vingrinājums 2.146. Pierādīt, ka Katalāna skaitļi (iespējams, ar indeksa nobīdi) ir atrisinājums 

šādiem kombinatorikas uzdevumiem: 

1) cik daļās izliektu n-stūri var sadalīt ar n−3 diagonālēm n−2 trijstūros tā, lai diagonāles 

nekrustotos daudzstūra iekšienē; 

2) cik ir dažādu bināru koku ar n virsotnēm (bināra koka definīciju skatīt šīs grāmatas 

atbilstošajā nodaļā); 

3) uz riņķa līnijas atzīmēti 2n dažādi punkti, cik ir dažādu veidu, kā uzzīmēt n hordas tā, 

lai tās nekur nekrustotos; 

4) cik ir dažādu virkņu alfabētā {1, −1} ar garumu n, kurām visas parciālsummas ir 

nenegatīvas; 

5) cik ir dažādu nedilstošu naturālu skaitļu virkņu (a 1 , ..., a n ) ar garumu n un īpašību 

a i ≤ i; 

6) cik ir dažādu permutāciju kopā {1, ..., n}, kurās garākā dilstošā apakšvirkne ir ar garumu 

2; 

7) cik ir dažādu permutāciju kopā {1, ..., n}, kurām neeksistē trīs indeksi i < j < k ar 

īpašību a i < a j < a k . 

2.7. ǦEOMETRISKI UZDEVUMI UN METODES 

Ievērojamai daļai kombinatorikas uzdevumu un rezultātu ir ǧeometriska izcelsme un daba. 

Dažus kombinatorikas uzdevumus var reducēt uz ceļu (trajektoriju) skaitīšanu. Šajos uzdevumos 

skaitāmie objekti sākotnēji tiek kodēti ǧeometriskā veidā, piemēram, kā lauztas līnijas,


kas apmierina noteiktus nosacījumus. Uzdevuma risināšanas gaitā parasti rodas nepieciešamība 

reducēt sākotnējo uzdevumu uz kādu no pamatuzdevumiem. 

Piemērs 2.147. Cik veidos var nokļūt no punkta (0, 0) līdz punktam (n, m), ja vienā solī ir 

atļauts pārvietoties par vektoru (1, 0) vai vektoru (0, 1)? Ceļu no (0, 0) līdz (n, m) var domāt kā 

bināru virkni ar garumu n + m, kur 0 nozīmē, ka tiek iets pa labi, un 1 nozīmē, ka tiek iets uz 

augšu. Tātad kopā ir C n n+m dažādu virkņu vai ceļu. 

Piemērs 2.148. Izmantojot trajektoriju metodi, pierādīt identitāti 

n∑ 

(Cn) k 2 = C2n. 

n 

k=0 

Apskatīsim maršrutus no (0, 0) līdz (n, n). Katrs maršruts iet caur vienu un tikai vienu punktu 

(k, n − k). Maršrutu skaits, kas iet caur šo punktu, ir vienāds ar CnC k n 

n−k = (Cn) k 2 . Atceroties 

summas likumu un skaitot pa visām k vērtībam, iegūstam doto formulu. 

Piemērs 2.149. (no [3]) ”Pie kino kases stāv rinda, kurā ir m+n cilvēki, pie tam n cilvēkiem 

ir tikai 50 kapeiku monētas, bet pārējiem cilvēkiem ir tikai pa 1 rublim. Sākumā kasē nav naudas, 

un kino biļete maksā 50 kap. Cik veidos rindā var izvietot cilvēkus tā, lai nevienam pircējam 

nebūtu jāgaida uz naudas atlikuma izdošanu (m < n)?” Piekārtosim katram cilvēkam skaitli a i : 

1, ja i−tajam ir 50kap. 

a i = { −1, ja i−tajam ir 1 rbl. . 

Apskatīsim lielumu S k = ∑ k 

i=1 a i, ko var interpretēt kā starpību starp 50 kap. monētu un 1 rbl. 

monētu skaitu, kurus kasierei pasniedz pirmie k pircēji. Konstruēsim koordinātu plaknē punktus 

(k, S k ) un aplūkosim attiecīgo lauzto līniju. Visas šādas lauztās līnijas sākas punktā (0, 0) un 

beidzas punktā (n + m, n − m), tātad kopējais šādu līniju skaits ir vienāds ar Cn+m. n Katrai 

lauztajai līnijai atbilst kāds ”scenārijs”. Vēlamie scenāriji (kad nevienam cilvēkam nav jāgaida 

atlikums) atbilst trajektorijām, kuras nekrusto taisni y = −1. Cik ir trajektoriju, kas krusto šo 

taisni (izmantosim principu ”skaitīšana izmantojot papildinājumu”)? Katru šādu trajektoriju 

pārveidosim - pēc pirmā krustpunkta atstarosim attiecībā pret asi y = −1. Iegūsim jaunu 

trajektoriju, kuras galapunkts ir (n + m, m − n − 2). Ir savstarpēji viennozīmīga atbilstība starp 

visām trajektorijām no (0, 0) līdz (n + m, m − n − 2) un ”nevēlamajām” trajektorijām, tāpēc 

meklējamais ”nevēlamo” trajektoriju skaits ir Cm+n(izmantosim n+1 

vienlieluma likumu). Atbilde ir 

vienāda ar Cn+m n − Cn+m. 

n+1 

Piemērs 2.150. Ar a(n, m) apzīmēsim dažādo maršrutu skaitu no punkta (0, 0) līdz punktam 

(n, m), ja atļautie soļi ir šādi: (1, 0), (0, 1), (1, 1). Apskatīsim divu argumentu veidotājfunkciju 

A(x, y) = 

∑ 

a(n, m)x n y m . 

n≥0,m≥0 

Pārveidosim divkāršo summu par vienkāršu summu ar indeksu k, kas ir vienāds ar soļu skaitu 

maršrutā. Katrā solī var izvēlēties vienu no trim atļautajiem soļiem, kuriem atbilst veidotājfunkcijas 

x, y un xy, tātad veidotājfunkcija maršrutiem, kas satur tieši k soļus, ir vienāda ar 

Rezultātā iegūstam, ka 

A(x, y) = ∑ k≥0(x + y + xy) k = 

(x + y + xy) k . 

1 

1 − (x + y + xy) = 1 

1 − x − y − xy . 

Vēl kāda kombinatorikas uzdevumu klase ir saistīta ar plaknes vai telpas apgabalu noklāšanu 

ar dotā tipa figūrām. Šo uzdevumu risināšanai ir lietderīgi izmantot ”krāsošanas pierādījumus” 

un rekurentās sakarības.


Piemērs 2.151. Vai ir iespējams noklāt ar 2 × 1 domino kauliņiem 8 × 8 šaha galdu, no kura 

ir izgriezti divi pretēji stūra lauciņi? Katrs domino kauliņš aizņem vienu baltu un vienu melnu 

lauciņu neatkarīgi no tā, kā tas ir novietots. Pretēji stūra lauciņi ir vienā krāsā, tāpēc uz atlikušā 

šaha galda vienas kāsas lauciņu ir par 2 vairāk nekā otras krāsas lauciņu. Šis novērojams rāda, 

ka prasītais noklājums nav iespējams. 


Vingrinājums 2.152. Cik ir trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (n, m) ar soļiem 

(0, 1) un (1, 0), kuras nešķērso punktu (p, q)? 

Vingrinājums 2.153. Cik ir trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (n, m) ar atļautiem 

soļiem (1, 1), (1, 2) un (2, 1)? 

Vingrinājums 2.154. Cik ir trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (n, m) ar soļiem 

(0, 1), (1, 0), (p, q) un (p, q + 1)? 

Vingrinājums 2.155. Cik ir trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (0, 0) ar garumu n, 

ja atļautie soļi ir (1, 0) un (−1, 0)? 

Vingrinājums 2.156. Apzīmēsim ar b n trajektoriju skaitu no punkta (0, 0) līdz (0, 0) ar 

šādām īpašībām: 

1) atļautie soļi ir (1, 1),(1, −1),(−1, 1), (−1, −1); 

2) trajektorija neiet caur (0, 0) savos iekšējos punktos. 

Pierādīt, ka veidotājfunkcija B(x) = ∑ n≥0 b nx n apmierina vienādību 

B(x) = 1 − 

1 

∑ ∞ 

i=0 (Ci 2i )2 x 2i . 

Vingrinājums 2.157. Pierādīt, ka Katalāna skaitļi (iespējams, ar indeksa nobīdi) ir atrisinājums 

šādiem trajektoriju kombinatorikas uzdevumiem: 

1) cik ir dažādu trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (n, n) ar soļiem (0, 1) vai (1, 0), 

kurās nav daļu virs līnijas y = x, 

2) cik ir dažādu trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (2n, 0) ar soļiem (1, 1) vai 

(1, −1), kurās nav daļu zem līnijas y = 0, 

3) cik ir dažādu trajektoriju no punkta (0, 0) līdz punktam (2n + 2, 0) ar soļiem (1, 1) vai 

(1, −1), kurās jebkura soļu (1, −1) virkne, kas beidzas uz taisnes y = 0, satur nepāra 

skaitu soļu, 

4) cik dažādu nesakārtotu n soļu garu trajektoriju pāru ar soļiem (1, 0) un (0, 1), kuras 

sākas punktā (0, 0), beidzas vienā punktā un krustojas tikai sākumā un beigās, 

5) cik dažādu nesakārtotu n soļu garu trajektoriju pāru ar soļiem (1, 0) un (0, 1), kuras 

sākas punktā (0, 0), beidzas vienā punktā un viena no šīm trajektorijām nekad nav virs 

otras (bet var sakrist dažos punktos vai soļos). 

Vingrinājums 2.158. Dots taisnstūris ar izmēriem n × m, kurš sadalīts nm rūtiņās. Par 

apakštaisnstūri sauksim figūru, kas sastāv no vienas vai vairākām rūtiņām un ir taisnstūris. 

Atbildiet uz šādiem jautājumiem: 

1) cik ir dažādu doto izmēru apakštaisnstūru, 

2) cik ir dažādu apakštaisnstūru, 

3) cik ir dažādu apakštaisnstūru, kas ir kvadrāti. 

Vingrinājums 2.159. Kādos gadījumos ir iespējams noklāt ar 2 × 1 domino kauliņiem šaha 

galdu, no kura ir izgriezti 2 vai 4 lauciņi? 

Vingrinājums 2.160. Pierādīt, ka taisnstūris ar izmēriem a × b var tikt noklāts ar 1 × n 

figūrām tad un tikai tad, ja n|a vai n|b.


Vingrinājums 2.161. Kvadrāts ar izmēriem 7 × 7 ir noklāts ar sešpadsmit 1 × 3 figūrām un 

vienu 1 × 1 figūru. Kādās vietās var atrasties 1 × 1 figūra? 

Vingrinājums 2.162. Vai ir iespējams aizpildīt taisnstūra paralēlskaldni ar izmēriem 10 × 

10 × 10 ar 1 × 1 × 4 figūrām? 

Vingrinājums 2.163. Pierādīt, ka 2 × n taisnstūra dažādu noklāšanas veidu skaits ar 1 × 2 

domino figūrām ir vienāds ar Fibonači skaitli F n . Kāda ir atbilde, ja tieši m domino figūras var 

būt horizontālā stāvoklī?


2.8. VIRKŅU UN FUNKCIJU ASIMPTOTIKA 

2.8.1. Asimptotiskās attiecības. Bieži ir grūti atrast precīzu formulu virknes {a n } n≥n0 

vispārīgajam loceklim a n , tāpēc vienīgais, ko var izdarīt - mēǧināt noteikt aptuveno virknes 

locekļu ”uzvedību”, kad n tiecas uz bezgalību (asimptotiku). Tas ir svarīgi arī datorprogrammēšanā 

- programmu darba laiku un atmiņu var novērtēt tikai aptuveni. Piemēram, pēc pareizas 

programmas uzrakstīšanas bieži vien ir aptuveni jānosaka programmas darba laiks T kā funkcija 

no izejas datu garuma n - T (n) (funkciju T (n) var domāt kā virkni T n un otrādi). 

Lai novērtētu funkciju vai virkņu asimptotiku, var pielietot vismaz divas idejas: 

1) salīdzināt doto virkni vai funkciju ar kādu zināmu virkni vai funkciju - piemēram, apskatīt 

robežu 

a n 

lim , 

n→∞ b n 

kur {a n } n≥n0 ir pētāmā virkne un {b n } n≥n0 ir kāda zināma virkne, kas parasti ir elementāra 

funkcija no argumenta n; 

2) virknes loceklis tiek salīdzināts ar šīs pašas virknes iepriekšējo locekli - tiek aprēķināta 

robeža 

a n+1 

lim , 

n→∞ a n 

ja galīga robeža eksistē un ir vienāda ar ρ, tad a n aug aptuveni kā cρ n , kur c ir konstante. 

Salīdzināšana ar citām virknēm liek domāt par attiecībām virkņu kopā, kurās būtu iekodētas 

tās vai citas salīdzināšanas idejas. Zemāk definēsim vairākas attiecības virkņu kopā. Atgādināsim, 

ka attiecība vai attieksme starp divu kopu A un B elementiem ir apakškopa Dekarta reizinājumā 

A × B, ko devē arī par attiecības grafiku. Novērtēt kādu virkni a n , izmantojot kādu citu virkni 

b n , vai salīdzināt šīs virknes savā starpā nozīmē noteikt, ka šīs virknes ir salīdzināmas kādā no 

attiecībām. 

Virknes a n un b n ir vienādas kārtas (apzīmēsim a n ∼ b n ), ja 

a n 

lim = 1. 

n→∞ b n 

Piemērs 2.164. Var redzēt, ka, ja a n = n 3 un b n = (n + 1000) 3 , tad a n ∼ b n . 

Piemērs 2.165. Izmantojot matemātisko analīzi, ir pierādīts, ka 

kur p(n) ir skaitļa n sadalījumu skaits. 

p(n) ∼ 1 

4n √ 3 eπ√ 2n/3 , 

Teiksim, ka a n = O(b n ), ja eksistē pozitīva konstante c un vesels skaitlis n 0 tādi, ka 

0 ≤ a n ≤ cb n 

visiem n > n 0 . Saprotot pierakstu a n = O(b n ) kā faktu, ka virknes a n un b n ir saistītas ar 

šo attieksmi, varam atzīmēt, ka pareizāk ir rakstīt a O n = b n . Vēsturisku iemeslu dēļ attiecību 

simbolika virkņu asimptotiku teorijā nav izplatīta. Virkni b n sauksim par virknes a n augšējo 

asimptotisko robežu. Vēl viens veids, kā saprast pierakstu a n = O(b n ), ir šāds: ar pierakstu 

O(b n ) apzīmē visu virkņu kopu, kas ir salīdzināmas ar virkni b n attieksmē = O un tad pieraksts 

a n = O(b n ) īstenībā nozīmē a n ∈ O(b n ). Alternatīva definīcija: a n = O(b n ), ja 

a n 

lim < ∞. 

n→∞ b n 

Teiksim, ka a n = Θ(b n ), ja eksistē pozitīvas konstantes c 1 , c 2 un vesels skaitlis n 0 tādi, ka 

0 ≤ c 1 b n ≤ a n ≤ c 2 b n


visiem n > n 0 . Izmantojot attiecību simboliku, pareizāk ir rakstīt a Θ n = b n . Ja a n = Θ(b n ), tad 

virkni b b sauksim par virknes a n stingro vai abpusējo asimptotisko robežu. Alternatīva definīcija: 

a n = Θ(b n ), ja 

a n 

0 < ɛ < lim < ∞. 

n→∞ b n 

y 

y= c g(n) 

2 

y= f(n) 

y=cg(n) 

1 

n0 

2.7. attēls. Salīdzināšanas piemērs 

Piemērs 2.166. Var pārbaudīt, ka ir spēkā šādas salīdzināšanas: 

2n 2 + 3n + 1 = O(n 2 ), 2n 2 + 3n + 1 = O(n 3 ), 2n 2 + 3n + 1 = Θ(n 2 ), 2n 2 + 3n + 1 ≠ O(n). 

Teiksim, ka a n = Ω(b n ), ja eksistē pozitīva konstante c un vesels skaitlis n 0 tādi, ka 

0 ≤ cb n ≤ a n 

visiem n > n 0 . Ja a n = Ω(b n ), tad virkni b n sauksim par virknes a n apakšējo asimptotisko 

robežu. Alternatīva definīcija: a n = Ω(b n ), ja 

a n 

0 < ɛ < lim . 

n→∞ b n 


2n 2 + 3n + 1 = Ω(n), 2n 2 + 3n + 1 = O(n ln n), 2 n = Ω(n k ), ∀k ≥ 1. 

Teiksim, ka a n = o(b n ), ja katrai (patvaļīgi mazai) pozitīvai konstantei c eksistē vesels skaitlis 

n 0 tāds, ka 

0 ≤ a n ≤ cb n 

visiem n > n 0 . Alternatīva definīcija ir šāda: a n = o(b n ), ja 

lim 

n→∞ 

a n 

b n 

= 0. 


2n 2 + 3n + 1 = o(n 3 ), n k = o(n k+1 ), n k = o(2 n ). 

Teiksim, ka a n = ω(b n ), ja katrai (patvaļīgi lielai) pozitīvai konstantei c eksistē vesels skaitlis 

n 0 tāds, ka 

0 ≤ cb n ≤ a n 

visiem n > n 0 . Alternatīva definīcija ir šāda: a n = ω(b n ), ja 

lim 

n→∞ 

a n 

b n 

= ∞. 


2n 2 + 3n + 1 = ω(n), n k = ω(ln n). 

Teorēma 2.170. (Par asimptotisko attiecību īpašībām). 

1) attiecības ∼, O, Θ, Ω, o, ω ir transitīvas; 

2) attiecības ∼, O, Θ, Ω ir refleksīvas; 

n

3) attiecības ∼, Θ ir simetriskas; 

4) O −1 = Ω, o −1 = ω; 

5) Θ = O ⋂ Ω. 


Pierādījums. Apgalvojumi viegli seko no definīcijam. QED 

Teorēma 2.171. Ja f(n) ir k-tās pakāpes polinoms ar pozitīvu vecāko koeficientu, tad 

Pierādījums. Pieņemsim, ka 

un apskatīsim virkni 

Tā kā 

visiem naturāliem a, tad summa 

f(n) 

n k 

f(n) = Θ(n k ). 

f(n) = a k n k + ... + a 0 

= a k + a k−1 

n + .. + a 0 

n k . 

lim 

n→∞ 

a k−1 

1 

n a = 0 

n + .. + a 0 

n k 

kā funkcija no n ir dilstoša, tātad eksistē n 0 un divi pozitīvi skaitļi c 1 , c 2 tādi, ka 

un teorēma ir pierādīta. QED 

c 1 ≤ f(n) 

n k ≤ c 2 , 

2.8.2. Rekursīvo algoritmu izpildes laika novērtēšanas metodes. Gandrīz vai visi 

praktiski pielietojamie netriviālie algoritmi satur vairāk vai mazāk sarežǧītus ciklus (for, while, 

until) vai rekursijas. Lai novērtētu šādu algoritmu izpildei nepieciešamo operāciju skaitu, ir 

jāprot analizēt vispārīgais gadījums - rekursīvie algoritmi. 

Nereti sastopama šāda situācija: ir dots algoritms, kas ar sākuma datiem ar izmēru (garumu) 

n rekursīvi izsauc pats sevi a reizes ar sākuma datiem, kuru izmērs ir n . Ja katra rekursija pati 

b 

patērē f(n) laika vienības, tad mēs varam iegūt rekurentu sakarību algoritma izpildes laika 

novērtēšanai. Ja mēs apzīmēsim ar T (n) laiku vai operāciju skaitu, kas nepieciešams algoritma 

realizācijai ar sākuma datiem n, tad, ņemot vērā augstāk teikto, var redzēt, ka T (n) apmierina 

rekurentu sakarību 

(2.46) T (n) = aT ( n b ) + f(n). 

Parasti funkciju T (n) tikai novērtē, izmantojot kādu no asimptotiskajām attiecībām. 

Piemērs 2.172. Analizējot šķirošanas algoritmu ”mergesort”, kurā masīvs no sākuma tiek 

sadalīts divās patvaļīgās, bet vienāda izmēra daļās, kas atkal tiek rekursīvi šķirotas ar tā paša 

algoritma palīdzību, var redzēt, ka rekurentā sakarība ir 

T (n) = 2T ( n 2 ) + Θ(n), 

kur loceklis Θ(n) atbilst algoritma daļai, kas pareizi savieno divas sašķirotas masīva puses. 

Jāpiebilst, ka, tā kā virkne ir naturāla argumenta funkcija, mums būtu stingri jāseko, lai tas 

tā arī būtu mūsu pierakstos. To var panākt, piemēram, rakstot nevis n, bet [ n], ⌈ n ⌉ vai arī 

b b b 

savādāk noapaļojot skaitli n . Šo apstākli mēs ievērosim tur, kur tas būs nepieciešams. 

b 

Asimptotiskai rekurentās sakarības (2.46) atrisinājuma novērtēšanai var izmantot vairākas 

metodes, dažas no kurām mēs apskatīsim šajā nodaļā.


2.8.2.1. Substitūcijas metode. Ar substitūcijas metodi ir iespējams pierādīt, ka dotā virkne 

ir rekurentās sakarības atrisinājuma augšējā vai apakšējā asimptotiskā robeža. Pierādījumā, 

ka hipotētiskā virkne ir asimptotiskā robeža tiek izmantota matemātiskās indukcijas versija ar 

indukcijas soli n → n. Galvenā grūtība šajā metodē ir izteikt pareizu matemātiskās indukcijas 

b 

pieņēmumu. 

Substitūcijas metode sastāv no šādiem soļiem: 

1) uzminēt rekurentās sakarības augšējo vai apakšējo asimptotisko robežu; 

2) izdarīt matemātiskās indukcijas pieņēmumu: ievietot iepriekšējā punktā iegūto nevienādību 

ar argumentu n rekurentajā sakarībā (2.46); 

b 

3) pierādīt matemātiskās indukcijas soli: pierādīt, ka rekurentās sakarības atrisinājums ar 

argumentu n arī apmierina asimptotisko nevienādību; 

4) pārbaudīt, vai izpildās indukcijas bāzes nosacījums. 

Piemērs 2.173. Atradīsim augšējo un apakšējo asimptotisko robežu rekurentajai sakarībai 

No sākuma izteiksim pieņēmumu, ka 

Mums ir jāpierāda, ka 

T (n) = 2T ([ n ]) + n. 

2 

T (n) = O(n ln(n)). 

T (n) ≤ cn ln(n) 

visiem n > n 0 ar kādu fiksētu c > 0. Matemātiskās indukcijas pieņēmums šajā gadījumā ir šāds: 

(2.47) T ([ n 2 ]) ≤ c[n 2 ] ln([n 2 ]). 

Ievietojot šo pieņēmuma nevienādību rekurentajā sakarībā, iegūsim 

(2.48) T (n) = 2T ([ n 2 ]) + n ≤ c[n 2 ]ln([n 2 ]) ≤ cn ln(n 2 

+ n = cn ln(n) − cn ln(2) + n ≤ cn ln(n), 

ja c > 1, līdz ar to indukcijas solis ir pierādīts. Beidzot mums ir jāpierāda, ka izpildās indukcijas 

bāze. Mums ir pareizi jāizvēlas n 0 . Problēma ir tur, ka mēs nevaram ņemt n 0 = 1, jo tad 

nevienādība (2.48) nevar izpildīties. Var redzēt, ka 

T (1) = 1, T (2) = 4, T (3) = 5 

un T (1) tiek izmantots tikai, lai aprēķinātu T (2) un T (3). Šis apstāklis mums liek izvēlēties c 

tā, lai 

T (2) ≤ c · 2 ln(2) 

un 

T (3) ≤ c · 3 ln(3). 

Var redzēt, ka jebkurš c > 2.9 apmierina rekurento sakarību un pieņēmumu, tātad augšējā 

asimptotiskā robeža ir atrasta. Nedaudz grūtāk ir pierādīt, ka 

Mums ir jāpierāda, ka 

T (n) = Ω(n ln(n)). 

cn ln(n) ≤ T (n) 

visiem n ≥ n 0 ar kādu fiksētu c > 0. Matemātiskās indukcijas pieņēmums šajā gadījumā ir šāds: 

T ([ n 2 ]) ≥ c[n 2 ] ln([n 2 ]). 

Lai pierādītu indukcijas soli, atsevišķi apskatīsim gadījumus, kad n ir pāra vai nepāra skaitlis. 

Ja n ir pāra skaitlis, tad [ n] = n un, ievietojot pieņēmuma nevienādību rekurentajā sakarībā, 

2 2 

iegūsim nevienādību 

T (n) ≥ 2c n 2 ln(n ) + n = cn ln(n) + n(1 − c ln(2)) + n. 

2

Ja c < 1 

ln(2) , tad 


cn ln(n) + n(1 − c ln(2)) + n ≥ cn ln(2) 

un indukcijas solis ir pierādīts. Ja n ir nepāra skaitlis, tad [ n] = n−1 un, ievietojot pieņēmuma 

2 2 

nevienādību rekurentajā sakarībā, iegūsim nevienādību 

T (n) ≥ 2c n − 1 ln( n − 1 ) + n = n(1 − c ln(2) + ln(n − 1)) − c ln(n − 1) + c ln(2). 

2 2 

Mums ir jāpierāda, ka šīs nevienādības labā puse nav mazāka kā cn ln(n): 

n(1 − c ln(2) + ln(n − 1)) − c ln(n − 1) + c ln(2) ? ≥ 0. 

Pārnesot visu uz kreiso pusi, iegūsim pierādāmu nevienādību 

Tā kā 

un 

n(1 − c ln(2) + c ln(1 − 1 n )) − c ln(n − 1) + c ln(2) ? ≥ 0. 

lim ln(1 − 1 

n→∞ n ) = 0 

ln(n − 1) 

lim = 0, 

n→∞ n 

tad ar pietiekoši mazu c un pietiekoši lieliem n pierādāmā nevienādība ir spēkā. Indukcijas bāzes 

pierādīšana tiek atstāta lasītāja ziņā. 

Piemērs 2.174. Apskatīsim rekurentu sakarību 

T (n) = 3T ( 3√ n) + 2 ln(n). 

Var rasties iespaids, ka šāda veida uzdevumu nav iespējams atrisināt ar substitūcijas metodi, 

jo labajā pusē virknes arguments ir formā 3√ n. Tomēr šo uzdevumu var reducēt uz (2.46) tipa 

uzdevumu, izdarot pareizu argumenta substitūciju. Izdarīsim šādu argumentu maiņu: pāriesim 

uz jaunu argumentu x = ln(n). Attiecībā uz jauno argumentu mēs iegūsim rekurentu sakarību 

kur U(x) = T (e x ). 

U(x) = 3U( x 3 ) + 2x, 

Šo sakarību mēs varam mēǧināt analizēt ar substitūciju metodi. 

2.8.2.2. Iterāciju metode. Atgādināsim, ka substitūcijas metodē no sākuma ir jāuzmin atrisinājums 

vai tā asimptotiskās robežas. Šis solis var radīt grūtības, tāpēc ir jāmeklē citas metodes 

rekurentu sakarību asimptotisko robežu atrašanai, kurās šis trūkums būtu novērsts. Viena no 

šādām metodēm ir iterāciju metode, kurā sakarības labajā pusē meklējamā virkne ar dažādiem 

argumentiem tiek atkārtoti izteikta, izmantojot pašu sakarību. 

Iterāciju metode sastāv no šādiem soļiem: 

1) dotās rekurentās sakarības 

T (n) = aT ( n b ) + f(n) 

labajā pusē atkārtoti (iteratīvi) izteikt funkciju T , izmantojot rekurento sakarību un 

arvien mazākus argumentus, pabeigt šī soļa izpildi, kad rekurentās sakarības labajā 

pusē visām funkcijām T argumenti ir pietiekoši mazi; 

2) vienkāršot iegūtās rekurentās sakarības labo pusi; 

3) izdarīt secinājumus attiecībā uz meklējamo funkciju T . 


T (n) = 2T ([ n ]) + 3n. 

3 

Iterēsim šo sakarību: 

T (n) = 3n + 2T ([ n]) = 3n + 2(3[ n] + 2T ([ n])) = 3n + 6[ n] + 4(3[ n] + 2T ([ n ])) = ... 

3 3 9 3 9 27


Lai vienkāršotu labo pusi, tika izmantota viegli pierādāma vienādība 

n 

a 

(2.49) [ 

b ] = [ n ab ]. 

Atzīmēsim, ka iterētās sakarības labajā pusē funkcija T ir ar argumentu 1, ja tās arguments 

pirms veselās daļas aprēķināšanas apmierina nosacījumu [ n ] = 1 vai i > log 

3 i 3 (n). Redzam, ka ir 

spēkā nevienādība 

tātad 

T (n) ≤ 3n + 3 2 3 n + 3(2 3 )2 n + ... + 3( 2 3 )log 3(n) T (1) ≤ 3n ∑ i≥0 

( 2 3 )i + Θ(n log 3(2)−1 ), 

T (n) = 9n + o(n) = O(n). 

Pielietojot iterāciju metodi, ir lietderīgi zīmēt rekursijas koku - ǧeometrisku objektu, kurā 

tiek iekodēta rekursīvā algoritma darbības vēsture un laika uzskaite. Ar koku definīciju un 

teorijas pamatiem lasītājs var iepazīties šīs grāmatas nodaļā ”Koki”. Šāda koka virsotne atbilst 

algoritma kā rekursīvas procedūras izsaukumam, un virsotnes katrs dēls atbilst vienam rekursijas 

izsaukumam no tēvam atbilstošās procedūras. Rekursijas koka lapas atbilst pēdējam rekursijas 

izsaukumam katrā scenārijā, kad funkcija tiek aprēķināta, neizmantojot rekursiju. Visās virsotnēs, 

izņemot lapas, tiek ierakstīta atbilstošā funkcijas f vērtība. Lai noteiktu summāro laiku, 

kas ir vajadzīgs algoritma izpildei, ir jāsaskaita izpildes laiks, apskatot visas virsotnes. 


un uzzīmēsim atbilstošo rekursijas koku: 

T (n) = 2T ( n 3 ) + n3 

n 3 

n 3 

T(n/3) T(n/3) 

(n/3) 3 (n/3) 3 

T(n/9) T(n/9) T(n/9) T(n/9) 

n 3 

n 3 

(n/3) 3 

(n/3) 3 

2n 3 /27 

(n/9) 3 (n/9) 3 (n/9) 3 (n/9) 3 4n 3 /729 

Summa: O (n 

3 )


2.8. attēls. Rekursijas koka piemērs 

2.8.2.3. ”Galvenās teorēmas” (Master Theorem) pielietošana. Pēdējā metode, kuru mēs apskatīsim, 

ir kādas gatavas receptes pielietošana. Ja ir dota rekurenta sakarība formā (2.46), tad 

ir jānosaka, kuram no zemāk dotās universālās teorēmas gadījumiem tā atbilst. 

Teorēma 2.177. (Master Theorem, Bentley, Haken, Saxe, 1980) Ja a ≥ 1, b > 1, f(n) un 

T (n) ir naturāla argumenta funkcijas un 

(2.50) T (n) = aT ( n b ) + f(n), 

kur n ir vai nu [ n] vai arī ⌈ n ⌉, tad 

b 

b b 

1) ja f(n) = O(n log a b−ɛ ), ɛ > 0, tad 

2) ja f(n) = Θ(n log a b ), tad 

T (n) = Θ(n log a b ); 

T (n) = Θ(n log a b ln(n)); 

3) ja f(n) = Ω(n log a b+ɛ ), ɛ > 0, un, ja af( n ) ≤ cf(n), c < 1, n > N kādam N, tad 

b 

T (n) = Θ(f(n)). 

Pierādījums. Šīs teorēmas pierādījums nav viegls un tiek rekomendēts kā fakultatīvs un 

patstāvīgs darbs lasītājiem, kas ir pārliecināti par savām spējām. Pierādījums sastāv no divām 

daļām. Pirmajā daļā teorēma tiek pierādīta gadījumā, kad n ir naturāla skaitļa pakāpe. Otrajā 

daļā, analizējot veselās daļas funkcijas un griestu funkcijas īpašības, iegūtais rezultāts tiek 

vispārināts patvaļīgam n. 

Teorēmas pirmās daļas pierādījums balstās uz šādām lemmām. 

Lemma 2.178. Ja n = b k , k ∈ N, tad rekurentās sakarības (2.50) atrisinājums ir 

T (n) = Θ(n log b a ) + 

log b n−1 

∑ 

i=0 

a i f( n b i ). 

Lemma 2.179. Ja g(n) = ∑ log b n−1 

i=0 

a i f( n b i ), tad funkciju g(n) var novērtēt šādi: 

1) ja f(n) = O(n log b a−ɛ ), ɛ > 0, tad 

2) ja f(n) = Θ(n log b a ), tad 

3) ja af( n ) ≤ cf(n), c < 1, n > N, tad 

b 

g(n) = O(n log b a ); 

g(n) = Θ(n log b a ln(n)); 

g(n) = Θ(f(n)). 

Lemma 2.180. Ja a ≥ 1, b > 1, n = b k , f(n) ir nenegatīva funkcija un 

tad (2.177) ir spēkā. 

T (n) = aT ( n b ) + f(n), 

Pierādījuma otrajā daļā speciālgadījumiem iegūtie rezultāti tiek turpināti visiem naturāliem 

skaitļiem n. QED


2.8.3. Stirlinga formula. Svarīga asimptotiskās novērtēšanas formula ir Stirlinga formula, 

ar kuras palīdzību var novērtēt faktoriāla funkcijas vērtību, kas bieži figurē kombinatoriskos 

aprēķinos. 

Teorēma 2.181. Ja n ir naturāls skaitlis, tad 

n n e −n+1 ≤ n! ≤ (n + 1) n+1 e −n+1 2 −2 . 

Pierādījums. Apskatīsim nevienādības, kas saista funkcijas y = ln(x) integrāli 

∫ n 

n∑ 

∫ n+1 

ln(x)dx ≤ ln(i) ≤ ln(x)dx. 


1 

i=2 

n∑ 

ln(i) = ln(n!) 

i=2 

Aprēķinot integrāļus precīzi, mēs iegūstam 

n ln(n) − n + 1 ≤ ln(n!) ≤ (n + 1) ln(n + 1) − (n + 1) − 2 ln(2) + 2, 

kuru pārveidojot un eksponencējot iegūsim pierādāmo nevienādību. QED 

Bez detalizēta pierādījuma minēsim Stirlinga formulu: 

(2.51) n! ∼ √ 2πn( n e )n 

vai 

(2.52) n! = √ 2πn( n e )n (1 + O( 1 n )). 

un 


Vingrinājums 2.182. 1. Vai ir spēkā salīdzinājumi 

2 n+1 = O(2 n ) 

2 2n = O(2 n )? 

Vingrinājums 2.183. Katram no dotajiem funkciju pāriem noteikt, vai funkcijas pārī ir 

saistītas ar kādu no asimptotiskajām attiecībām: 

1) ln k (n) un n ɛ , kur k ≥ 1, ɛ > 0; 

2) n k un a n , kur k ≥ 1, c > 1; 

3) √ n un n sin(n) ; 

4) 2 n un 2 √n . 

Vingrinājums 2.184. Sakārtot dotās virknes ”augošā” kārtībā, uzskatot, ka virkne a n ir 

mazāka kā b n , ja a n = o(b n ): 

1, n, n 2 , n 3 , n!, ln(n), ln(ln(n)), ln 2 (n), n ln(n), √ ln(n), ln(n!), ( 4 3 )n , 2 n , 2 2n , n2 n . 

Vingrinājums 2.185. Vispārināt asimptotisko attiecību definīcijas uz vairāku indeksu (argumentu) 

virkņu gadījumu. 

Vingrinājums 2.186. Izmantojot substitūciju metodi, pierādīt, ka 

1) rekurentās sakarības 

T (n) = 3T (⌈ n 2 ⌉) + 1 

atrisinājuma augšējā asimptotiskā robeža ir 

ln(n); 

2

2) rekurentās sakarības 


T (n) = 2T ([ n 2 ] + 7) + 1 

atrisinājuma augšējā asimptotiskā robeža ir 

n ln(n). 

Vingrinājums 2.187. Izmantojot substitūciju metodi, atrast rekurentās sakarības 

stingro asimptotisko robežu. 

T (n) = 2T ( √ n) + 1 

Vingrinājums 2.188. Atrast augšējās asimptotiskās robežas divu skaitļu saskaitīšanai un 

reizināšanai nepieciešamo operāciju skaitam kā funkcijai no operandu ciparu skaita, uzskatot, 

ka elementāras operācijas ir divu viencipara skaitļu saskaitīšana vai reizināšana, viena cipara 

ierakstīšana atmic nā un nolasīšana no atmiņas. 

2.9. KOMBINATORIKAS ALGORITMISKIE JAUTĀJUMI 

Mūsdienās visi kombinatorikas uzdevumi ar praktisku nozīmi tiek risināti ar datoru palīdzību. 

Ir radītas gan vispārīgas, gan arī specializētas programmatūras sistēmas kombinatorikas uzdevumu 

risināšanai. Ir izstrādāti efektīvi algoritmi praksē bieži izmantotu kombinatorikas uzdevumu 

risināšanā, kurus var sadalīt 2 grupās: 

• klasisko kombinatorisko skaitļu (C m n ,B n ,p(n) u.c.) vai dotā kombinatorikas uzdevuma 

atbildes aprēķināšana; 

• visu dotā tipa objektu (kopu, virkņu, sadalījumu, grafu) ǧenerēšana. 

Kombinatorisko skaitļu aprēķināšana parasti tiek veikta ar zināmu formulu vai rekurentu sakarību 

palīdzību. Kombinatorikas uzdevumu atrisinājumu elegantās formulas bieži vien nav lietderīgi 

izmantot praktiski tāpēc, ka aprēķini ar peldošā komata skaitļiem rada būtisku noapaļošanas 

kļūdu. Priekšroka tiek dota diskrētām rekurentajām sakarībām, kuru izmantošana noapaļošanas 

kļūdu nevar radīt principā. 

Piemērs 2.189. Fibonači skaitļus ir ērtāk aprēķināt izmantojot rekurento sakarību 

nekā formulu 

a n = a n−1 + a n−1 

a n = √ 1 (( 1 + √ 5 

) n+1 − ( 1 − √ 5 

) n+1 ). 

5 2 

2 

Visu dotā tipa objektu ǧenerēšana ir uzdevums, ar kuru ir sastapušies visdažādāko profesiju 

pārstāvji. Minēsim piemērus no dažādām nozarēm, kurās tiek pielietots šis uzdevums: 

1) zīlēšana (piemēram, Senās Ķīnas traktātā ”Pārmaiņu grāmata” ir pārskaitītas 64 = 2 6 

dzīves situācijas, kuras tiek izmantotas nākotnes paredzēšanai); 

2) dzejas teorija un prakse (visu iespējamo pantmēru pārskaitīšana); 

3) mūzikas teorija un prakse (visu iespējamo ritmu un melodiju pārskaitīšana); 

4) psiholoǧija (piemēram, mūsdienās populārā socionikas teorija, kurā tiek aprakstīti 16 = 

2 4 psiholoǧiskie tipi, kas atbilst 4 pazīmju pāru virknēm); 

5) ķīmija (piemēram, kāda ķīmijas uzdevuma risināšanas gaitā tiek pārskaitīti visi izomēri, 

kas atbilst vienai molekulformulai); 

6) inženierzinātnes (piemēram, kāda projekta izpildes gaitā tiek pārskaitīti visi risinājumi, 

kas atbilst dotajām prasībām). 

Visu dotā tipa objektu ǧenerēšana parasti tiek pielietota tā dēvētajos izsmeļošās pārlases jeb 

rupja spēka algoritmos, kas tiek izvēlēti tad, ja nav saskatāmi labāki risinājumi. 

Visu dotā tipa objektu ǧenerēšana ir grūts uzdevums, jo vispārīgā gadījumā to var atrisināt 

tikai ar visu dotā universa objektu apskatīšanu un vajadzīgo objektu atsijāšanu. Šis apstāklis 

ir licis izstrādāt efektīvas metodes dažāda veida universu objektu pēctecīgai ǧenerēšanai bez


atkārtojumiem. Apskatīsim vienu no šādām metodēm, ko sauc par meklēšanu ar atkāpšanos jeb 

bektrekingu. 

Vispārīgā gadījumā mēs varam uzdot vajadzīgo objektu ar virkni 

(a 1 , ..., a n ), 

kur a i ∈ S i . Bektrekinga algoritma realizācijas gaitā šāda virkne tiek pakāpeniski palielināta par 

vienu elementu katrā solī - ja ir konstruēta virkne, kas satur m elementus un apmierina uzdevuma 

noteikumus, tad tālāk tiek atrasta nākošā elementa kandidātu kopa S m+1 ar uzdotu kārtību tajā 

un izvēlēts kārtējais elements kā virknes loceklis a m+1 tā, lai jaunā virkne ar garumu m + 1 

arī apmierinātu uzdevuma noteikumus. Šis process turpinās tik ilgi, kamēr virkni ir iespējams 

pagarināt. Virkni nevar pagarināt, ja izpildās vismaz viens no diviem apstākļiem - virknes 

garums ir sasniedzis noteikto maksimālo vērtību vai atbilstošā kopa S m+1 ir tukša. Šajā brīdī 

notiek ”atkāpšanās” - notiek virknes indeksa samazināšana par 1, elements a m tiek aizvietots ar 

nākamo elementu no S m . Zemāk ir dota pseidoprogramma bektrekinga algoritma realizācijai. 

Meklēšana ar atkāpšanos (bektrekings) 

: Atrast pirmā elementa kandidātu kopu S 1 , 

: m := 1, 

: while m > 0 do 

: while S m≠∅ do /*pavirzīties uz priekšu*/ 

: a m - nākamais elements no kopas S m , pievienot a m virknes galā, 

: S m = S m \{a m }, 

: if [(a 1 , ..., a m ) ir pieļaujams risinājums] izvadīt to, 

: end if, 

: m = m + 1, 

: atrast m-tā elementa kandidātu kopu S m , 

: end while, 

: m := m − 1, atmest virknes pēdējo locekli /*atkāpties*/, 

: end while 

Realizējot bektrekinga metodi, katrā konkrētajā gadījumā ir vēlams sekot tam, vai konstruētā 

virkne, kas ir ”daļējs” risinājums, var būt paplašināta līdz pilnam risinājumam. Ja iegūtā virkne 

nevar tikt paplašināta līdz pilnam risinājumam, tas ir jāņem vērā, definējot nākošo kopu S m . 

Bektrekinga metodes modifikācijas, kurās tiek realizēta uzdevumam piemērota optimāla nākošā 

elementa izvēle, meklēšanas sašaurināšanas un atkāpšanās politika, strādā daudz ātrāk un tiek 

pielietotas visos konkurētspējīgos programmatūras produktos. Ir izstrādāti meklēšanas algoritmi, 

kuros papildus bektrekingam lielāks akcents tiek likts uz optimālu elementu izvēli. 

Piemērs 2.190. Visu dotās galīgās kopas X = {a 1 , ..., a n } apakškopu ǧenerēšana. Apakškopas 

reprezentēsim standarta veidā - ar bināru virkņu palīdzību. Šajā gadījumā katram m : 1 ≤ m ≤ n 

ir jādefinē S m = {0, 1} un S m = ∅, ja m > n. Jebkura virkne ar garumu ne lielāku kā n 

ir pieļaujams risinājums. Var redzēt, ka bektrekinga algoritms trīs elementu kopas {x, y, z} 

gadījumā ar elementu kārtību 

x < y < z 

izvadīs šādu apakškopu virkni (mēs pārtulkosim binārās virknes apakškopu terminos): 

{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {x}, {y, z}, {y}, {z}, ∅. 

Piemērs 2.191. Visu dotās galīgās kopas X = {a 1 , ..., a n } permutāciju ǧenerēšana. Šajā 

gadījumā 

S m+1 = X\A m , 

kur A m ir kopa, kas atbilst tekošajai virknei ar garumu m. Jebkura virkne ar garumu n 

ir pieļaujams risinājums. Var redzēt, ka bektrekinga algoritms trīs elementu kopas {x, y, z} 

gadījumā ar elementu kārtību 

x < y < z

izvadīs šādu permutāciju virkni: 


(x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x). 

Piemērs 2.192. Visu dotā naturālā skaitļa n sadalījumu ǧenerēšana. Atgādināsim, ka par 

naturāla skaitļa n sadalījumu sauksim šī skaitļa izteikšanu viena vai vairāku naturālu skaitļu 

summā. Pietiek apskatīt tikai dilstošas vai augošas summas, piemēram, skaitlim 5 eksistē 7 

dažādi sadalījumi: 

5 = 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. 

Šajā gadījumā algoritma izpildes sākumā S 1 = {1, ..., n}, kurā elementi ir sakārtoti augošā 

kārtībā. Pieļaujamie risinājumi ir virknes, kuru elementu summa ir vienāda ar n. Ja virkne ar 

garumu m ir konstruēta, tad S m+1 ir vienāds ar S m pirms tās pēdējās izmaiņas, ja konstruētās 

virknes elementu summa ir mazāka kā n un S m+1 = ∅, ja konstruētās virknes elementu summa 

ir vienāda vai lielāka kā n. Var redzēt, ka bektrekinga algoritms skaitļa 5 gadījumā izvadīs šādu 

sadalījumu virkni: 

(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 4), (2, 3), (5). 

Vairākos svarīgos speciālgadījumos ir atrasti arī citi efektīvi algoritmi visu objektu ǧenerēšanai. 

Apskatīsim divus klasiskus piemērus. 

Par Greja kodu sauksim visu dotās kopas apakškopu virkni ar īpašību, ka divas blakus esošās 

apakškopas atšķiras tikai par vienu elementu. Ja apakškopu reprezentē kā bināru virkni, tad 

Greja kods ir fiksēta garuma bināru virkņu virkne, kurā divi blakus esoši elementi atšķiras tikai 

vienā vietā. Motivācija šādas virknes konstruēšanai ir saistīta ar nepieciešamību optimizēt analogo 

un digitālo ierīču mijiedarbību. Nereti rodas situācija, kad, pārveidojot analogos signālus 

digitālajos, ir jāǧenerē vairāki noteiktā kārtībā pēctecīgi diskrēti objekti, piemēram, pēctecīgi 

veseli skaitļi, kas uzrāda elektrisko jaudu elektrības skaitītājos vai cita veida patērētos resursus. 

Realizējot šo uzdevumu naivi, agri vai vēlu rodas situācija, kad nākamais veselais skaitlis 

atšķiras no iepriekšējā vairākos ciparos, piemēram, 39999 atšķiras no 39999 + 1 = 40000 piecos 

ciparos. Šāda situācija ir nevēlama un pat bīstama, jo vienlaicīga vairāku ciparu maiņa palielina 

kļūdu varbūtību un rezultāta nolasīšanas precizitāti, tā kā ciparu nomaiņa nenotiek vienlaicīgi. 

Labāks risinājums ir iekodēt pēctecīgu naturālu skaitļu virkni ar Greja kodam līdzīgu bināru 

virkņu palīdzību tā, lai jebkādiem diviem naturāliem skaitļiem n un n + 1 atbilstu šādas bināras 

virknes locekli g(n) un g(n + 1), un pārveidot analogos signālus uz šādām binārām virknēm. Šī 

risinājuma iespējamā nolasījuma kļūda nepārsniegs 1. 

1111 

0000 

0001 

1000 

0000 

0001 

1101 

1110 

0010 

1011 

1001 

0011 

1100 

0011 

1010 

0010 

1011 

0100 

1110 

0110 

1010 

0101 

1111 

0111 

1001 

0110 

1101 

0101 

1000 

0111 

2.9. attēls. Leksikogrāfiskā koda un Greja koda piemērs virknēm ar garumu 4 (pēc D.Knuta) 

Pamatuzdevums šajā risinājumā ir atrast Greja kodus visu izmēru kopām (binārām virknēm). 

Atradīsim Greja kodus, ja elementu skaits kopā ir 1, 2 vai 3: 

n = 1 → 0, 1; 

n = 2 → 00, 10, 11, 01; 

n = 3 → 000, 100, 110, 010, 011, 111, 101, 001. 

1100 

0100


Apzīmēsim n elementu kopas Greja kodu ar G n . Var pārbaudīt, ka virkni G n var ǧenerēt, izmantojot 

rekursiju šādā veidā. G n pirmo pusi veido, pievienojot katram virknes G n−1 elementam 

beigās simbolu 0, G n otro pusi veido, apgriežot otrādā kārtībā virkni G n−1 un pievienojot katram 

šīs virknes elementam beigās simbolu 1. 

Ir jāatzīmē, ka Greja kodu analogi eksistē arī citiem kombinatorikas objektiem, piemēram, 

permutācijām. Plašāk par šādiem jautājumiem var lasīt izcilā datorzinātnieka D.Knuta darbos. 

Greja kodus izgudroja amerikāņu inženieris F.Grejs 20.gs. 40.gados. 

Par (p, n) tipa de Bruina virkni sauksim virkni ar garumu p n alfabētā 

{0, 1, ..., p − 1} 

ar šādu īpašību: visas n vienības garas nepārtrauktas apakšvirknes 

(b i , b i+1 , ..., b i+n−1 ) 

ir dažādas, indeksi tiek aprēķināti pēc moduļa p. Pēc būtības par de Bruina virkni ir jādomā 

kā slēgtu virkni (ciklu). Tādējādi (p, n) de Bruina virkne ir īsākā iespējamā cikliskā virkne 

dotajā alfabētā, kas satur katru n vienības garu virkni šajā alfabētā kā nepārtrauktu apakšvirkni. 

Atradīsim dažas de Bruina virknes: 

(2, 2) → 0110; 

(2, 3) → 01110100; 

(2, 4) → 0101001101111000; 

(3, 2) → 012202110; 

(3, 3) → 012001110100022212202112102. 

Pārsteidzoši ir tas, ka šādas virknes eksistē visiem p un n. 

2.10. PAAUGSTINĀTAS GRŪTĪBAS UN PĒTNIECISKI VINGRINĀJUMI 

Vingrinājums 2.193. Telpas punktu sauksim par veselu punktu, ja visas tā Dekarta koordinātes 

ir veseli skaitļi. Cik veselu punktu ir plaknes 

apgabalā, ko ierobežo 

1) slēgtais oktants x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; 

2) vaļējais oktants x > 0, y > 0, z > 0? 

x + y + z = n 

Vingrinājums 2.194. Cik ir veselu punktu (x, y), 1 ≤ x, y ≤ 1000, kuriem skaitlis 

1) x2 +y 2 

64 

; 

2) x2 +y 2 

49 

ir vesels? 

Vingrinājums 2.195. Cik daļās lode tiek sadalīta ar n plaknēm, kas iet caur tās centru 

(nekādas trīs plaknes neiet caur vienu diametru)? 

Vingrinājums 2.196. Cik daļās plakne tiek sadalīta ar n taisnēm, no kurām nekādas trīs 

nekrustojas vienā punktā un nekādas divas nav paralēlas? Cik daļās telpa tiek sadalīta ar n 

plaknēm, no kurām nekādas četras nekrustojas vienā punktā, nekādas trīs nekrustojas vienā 

taisnē un nekādas divas nav paralēlas? 

Vingrinājums 2.197. Cik dažādos veidos izliektu n-stūri var sadalīt trijstūros ar diagonālēm 

tā, lai nekādas divas diagonāles nekrustotos daudzstūra iekšienē? 

Vingrinājums 2.198. Tiek rādīts šāds kāršu triks, kurā piedalās mags un viņa asistents: 

asistents piedāvā pieciem cilvēkiem no auditorijas izvilkt pa vienai kārtij un atdot tās asistentam, 

asistents pēc savas izvēles nosauc magam četras kārtis, pēc tam mags, zinot tikai nosaukto četru


kāršu kārtību, nekļūdīgi paziņo piekto kārti. Trika izskaidrojums ir šāds: apskatot kārtis, asistents 

izvēlas kārti, kuru viņš noklusēs un iekodē šīs kārts vērtību pārējo četru kāršu nosaukšanas 

kārtībā. Piedāvājiet praktiski realizējamu veidu, kā to izdarīt. 

Vingrinājums 2.199. Atrast rekursīvas sakarības trajektoriju skaitam no punkta (0, 0) līdz 

punktam (n, m), ja ir dots atļauto soļu saraksts. Kādiem atļauto soļu sarakstiem trajektoriju 

skaits ir galīgs? 

Vingrinājums 2.200. Atrast rekurentas sakarības un veidotājfunkcijas 3 × n un 4 × n 

taisnstūru noklāšanas veidu skaitam ar 1 × 2 domino figūrām. Mēǧiniet vispārināt uz vispārīgo 

(m × n) taisnstūru gadījumu. 

Vingrinājums 2.201. Atrast rekurentas sakarības un veidotājfunkcijas 2 × n taisnstūru 

noklāšanas veidu skaitam, ja atļautās figūras ir 1 × 1 figūras, 1 × 2 domino figūras un ”stūrīši”, 

kas satur 3 lauciņus. 

Vingrinājums 2.202. Atrast rekurentas sakarības un veidotājfunkcijas 2 × 2 × n taisnstūra 

paralēlskaldņu aizpildīšanas veidu skaitam, ja atļautās figūras ir taisnstūra paralēlskaldņi ar 

izmēriem 1 × 1 × 2. 

Vingrinājums 2.203. Kāds ir minimālais reizināšanu skaits, kas ir nepieciešams, lai iegūtu 

skaitli x 2004 , ja x ir dots? 

Vingrinājums 2.204. Apzīmēsim ar t n veidu skaitu, kādos var pareizi salikt iekavas virknē, 

kas satur n elementus, pielietojot ternāras operācijas (operācijas ar trīs operandiem). Piemēram, 

ja n = 5, tad ir iespējami šādi iekavu salikšanas veidi: 

((aaa)aa), (a(aaa)a), (aa(aaa)). 

Papildus definēsim t 0 = 0, t 1 = 1, t 2 = 0 (padomājiet, kāpēc tas ir dabiski). Pierādīt, ka 

veidotājfunkcija T (x) = ∑ n≥0 t nx n apmierina vienādību 

Vingrinājums 2.205. Polinomu 

T (x) = x + T 3 (x). 

P (x) = p m x m + p m−1 x m−1 + ... + p 0 

ar koeficientiem laukā k sauksim par lineāri reducējamu, ja 

P (x) = (ax + b)Q(x), 

kur a ≠ 0. Polinomu P (x) sauksim par kvadrātiski reducējamu, ja tas nav lineāri reducējams un 

P (x) = (ax 2 + bx + c)R(x), 

kur a ≠ 0. Fiksēsim koeficientu lauku: k = F 2 = {0, 1}. Cik ir lineāri reducējamu polinomu ar 

pakāpi n? Cik ir kvadrātiski reducējamu polinomu ar pakāpi n? 

Vingrinājums 2.206. Cik ir tādu n × n matricu ar koeficientiem laukā F 2 = {0, 1}, kuru 

determinants nav vienāds ar 0? 

Vingrinājums 2.207. Izmantojot skaitīšanu divos dažādos veidos, vienkāršot summas ∑ n 

i=1 i2 

un ∑ n 

i=1 i3 . 

Vingrinājums 2.208. Pierādīt vienādību ∑ n 

i=0 Ci 2iC n−i 

2(n−i) = 4n . 

Vingrinājums 2.209. 10 studentu grupa ir nolēmusi izveidot vairākas komisijas. Katrs 

students var piedalīties vairāk nekā vienā komisijā (vai nepiedalīties nevienā), un nekāda komisija 

nesatur citu komisiju kā apakškopu. Kāds ir vislielākais komisiju skaits, ko var izveidot šajā 

grupā? 

Vingrinājums 2.210. Cik dažādos veidos n cilvēkus var sadalīt netukšās rindās un rindas 

izvietot riņķī?


Vingrinājums 2.211. Senātā ir 30 senatori. Jebkuri divi no tiem vai nu draudzējas, vai arī 

naidojas. Katrs senators naidojas ar 6 citiem senatoriem. Jebkuri 3 senatori veido komisiju. Cik 

ir tādu komisiju, kurās vai nu visi locekļi savā starpā draudzējas, vai arī visi locekļi naidojas? 

Vingrinājums 2.212. Studenti sesijā kārto 6 dažādus eksāmenus. Katru eksāmenu pāri 

sesijā nokārto vairāk kā 2 studentu. Neviens no studentiem nenokārto visus 6 eksāmenus. 

5 

Pierādīt, ka eksistē vismaz 2 studenti, kas nokārto tieši 5 eksāmenus. 

Vingrinājums 2.213. Apzīmēsim ar γ n tādu 3 × 4 naturālu matricu skaitu, kurās katrā 

rindā elementu summa ir 4n un katrā kolonna summa ir 3n. Atrast γ n un vienkāršot 

Γ(x) = ∑ n≥0 

γ n x n . 

Vingrinājums 2.214. Σ n ir visu kopas {1, ..., n} elementu permutāciju kopa. 

attālumu starp divām permutācijam f un g ar šādu formulu: 

n∑ 

d(f, g) = |f(i) − g(i)|. 

i=1 

Kādas vērtības var pieņemt attāluma funkcija d? 

Definēsim 

Vingrinājums 2.215. Apskatīsim visas m elementus lielas apakškopas kopā {1, ..., n}, kur 

1 ≤ m ≤ n. Katrai no šādām apakškopām eksistē minimālais elements, apzīmēsim ar µ(n, m) 

visu minimālo elementu vidējo aritmētisko. Pierādīt, ka 

µ(n, m) = n + 1 

m + 1 . 

Vingrinājums 2.216. Datorā ir jāpalaiž uz izpildi n darbi, katram no kuriem ir piešķirts 

kārtas numurs no 1 līdz n. Datora operatīvajā atmiņā ir n atmiņas bloki, un katram blokam ir 

piešķirts kārtas numurs no 1 līdz n. Katram darbam ar numuru i sākotnēji ir paredzēts atmiņas 

bloks ar numuru α i (nav izslēgts, ka vairākiem darbiem ir paredzēts viens un tas pats atmiņas 

bloks). Datora operētājsistēma palaiž darbus uz izpildi numuru kārtībā (no 1 līdz n), atmiņa 

darbiem tiek piešķirta pēc šāda algoritma: 

1) ja atmiņas bloks ar numuru α i ir brīvs, tad darbam ar numuru i tiek piešķirts šis bloks 

un tas sāk izpildīties; 

2) ja atmiņas bloks ar numuru α i ir aizņemts, tad darbam ar numuru i tiek piešķirts 

nākošais brīvais atmiņas bloks (ar lielāku numuru) un tas sāk izpildīties; 

3) ja brīvu bloku ar lielāku numuru nav, tad darbam i atmiņa netiek piešķirta un darba 

izpilde tiek atlikta. 

Cik ir tādu virkņu (α 1 , ..., α n ), ka visi darbi var tikt palaisti uz izpildi? 

Vingrinājums 2.217. Apzīmēsim visu to kopas {1, ..., n} permutāciju skaitu, kas fiksē tieši 

k elementus ar f k,n . Pierādīt, ka 

n∑ 

if i,n = n! 

i=0 

Vingrinājums 2.218. Atrast veidotājfunkcijas kombinatoriskajām klasēm P 3 {B} un M 3 {B}, 

ja veidotājfunkcija kombinatoriskajai klasei B ir zināma. 

Vingrinājums 2.219. Definēsim A kā visu galīgu kopu klasi, kuras elementi ir dotas kombinatoriskas 

klases B elementi ar dažādiem izmēriem. Pierādīt, ka 

A(x) = ∏ n≥1(1 + |B n |x n ).


Vingrinājums 2.220. Apzīmēsim ar p m,l (n) tādu skaitļa n sadalījumu skaitu naturālu skaitļu 

summā, kuriem ir ne vairāk kā m saskaitāmie un katrs saskaitāmais nav lielāks kā l. Pierādīt, 

ka 

P m,l (x) = ∑ m∏ 

p m,l (n)x n 1 − x l+i 

= 

. 

1 − x i n≥0 

Vingrinājums 2.221. Apzīmēsim ar r(n, m) tādu skaitļa n sadalījumu skaitu, kuros lielākais 

saskaitāmais nav lielāks kā m. Pierādīt, ka 

∑ 

r(n, m)x n 1 − x 

= 

1 − 2x + x . m+1 

n≥0 

Vingrinājums 2.222. Atrast veidotājfunkciju pašduālu (vienādu ar savu duālo sadalījumu) 

sadalījumu skaita virknei. 

Vingrinājums 2.223. Apzīmēsim ar a n visu variantu skaitu, kādos var izvēlēties skaitļa n 

sadalījumu p un pēc tam katra p saskaitāmā sadalījumu. Izteikt virknes {a n } veidotājfunkciju 

kā bezgalīgu reizinājumu. 

Vingrinājums 2.224. Pierādīt, ka P ′ (x) = P (x)·Σ(x), kur P (x) = ∑ n≥0 p(n)xn ir sadalījumu 

virknes veidotājfunkcija un Σ(x) = ∑ n≥0 σ(n + 1)xn , kur σ(m) ir naturāla skaitļa m naturālo 

dalītāju summa. 

Vingrinājums 2.225. Definēsim virkni {w n } šādā veidā: w 0 = 1 un visiem n > 0 izpildās 

sakarība 

n∑ 

w n = (−1) i−1 Ci n B i B n−i , 

kur B i ir Bella skaitļi. Pierādīt, ka 

∑ 

n≥0 

i=0 

i=1 

w n 

x n 

n! = eex +e −x −2 . 

Vingrinājums 2.226. Par kopas {1, ..., n} permutācijas (a 1 , ..., a n ) kāpumu vai kritumu 

sauksim indeksu i, tādu, ka a i < a i+1 vai a i > a i+1 . Par šīs permutācijas pieaugumu vai vājo 

pieaugumu sauksim indeksu i, tādu, ka a i > i vai a i ≥ i. Par Eilera skaitli E(n, k) sauksim kopas 

{1, ..., n} permutāciju skaitu, kurās ir tieši k kāpumi. Pierādīt šādus faktus par Eilera skaitļiem: 

1) E(n, k) ir vienāds ar kopas {1, ..., n} permutāciju skaitu, kurās ir tieši k kritumi; 

2) E(n, k) ir vienāds ar kopas {1, ..., n} permutāciju skaitu, kurās ir tieši k pieaugumi; 

3) E(n, k) ir vienāds ar kopas {1, ..., n} permutāciju skaitu, kurās ir tieši k + 1 vājie pieaugumi; 

4) E(n, k) = E(n, n − 1 − k); 

5) E(n, k) = (k + 1)E(n − 1, k) + (n − k)E(n − 1, k − 1); 

6) ∑ n−1 

k=0 

E(n, k) = n!; 

7) E(n, k) = ∑ k 

i=0 (−1)i Cn+1(k i + 1 − i) n ; 

8) x n = ∑ n−1 

k=0 E(n, ∑ k)Cn x+k ; 

9) S(n, m) = 1 n−1 

m! k=0 

10) ∑ n 

i=1 ik = ∑ k−1 

j=0 

E(n, k)Cn−m 

k 

n+j+1 . 

E(k, j)Ck+1 

, ja n ≥ m un S(n, m) ir otrā veida Stirlinga skaitļi; 

Vingrinājums 2.227. Ar kādām m vērtībām skaitļi S(n, m), c(n, m) (Stirlinga skaitļi) un 

E(n, m)(Eilera skaitļi) pieņem maksimālās vērtības, ja n ir fiksēts? 

Vingrinājums 2.228. Šajā grāmatā apskatītajām klasisko kombinatorisko skaitļu (vienkāršāko 

kombinatorikas uzdevumu atrisinājumu, Stirlinga skaitļu u.c.) virknēm un doto vingrinājumu 

atrisinājumu virknēm nosakiet, vai atbilstošās veidotājfunkcijas ir racionālas vai algebriskas. 

Mēǧiniet atrast skaitāmo objektu īpašības, kas nodrošina veidotājfunkcijas racionalitāti vai algebriskumu.


Vingrinājums 2.229. Vispārināsim uzdevumu par kombinācijām un variācijām šādā veidā. 

Fiksēsim bināras attiecības izomorfizma tipu un skaitīsim, cik veidos kopā ar n elementiem vai 

n-multikopā var uzdot šī tipa attiecību. Apskatiet piemērus, mēǧiniet atrast rekurentās sakarības 

un veidotājfunkcijas. Mēǧiniet noteikt, kādā gadījumā divām attiecībām šie skaitļi ir vienādi. 

Vingrinājums 2.230. Vispārināsim uzdevumu par kombinācijām šādā veidā. Fiksēsim 

daļēja sakārtojuma izomorfisma tipu un skaitīsim, cik veidos kopā ar n elementiem vai n- 

multikopā var uzdot apakškopu vai apakšmultikopu sistēmu, kas kā galīga sakārtota kopa ir 

izomorfa dotajam galīgajam sakārtojumam. Apskatiet divus uzdevumus 

1) atrast apakškopu sistēmu skaitu, kad elementu skaits katrā apakškopā ir fiksēts un dots; 

2) atrast visu iespējamo dotā tipa apakškopu sistēmu skaitu. 

Apskatiet piemērus, mēǧiniet atrast rekurentās sakarības un veidotājfunkcijas. Mēǧiniet noteikt, 

kādā gadījumā divām daļēji sakārtotām kopām šie skaitļi ir vienādi. Izmantojiet skaitīšanu divos 

vai vairāk dažādos veidos un mēǧiniet iegūt kombinatoriskas vienādības. 

Vingrinājums 2.231. Pierādīt Eilera vienādību: 

∏ 

i≥1(1 − x i ) = 1 + ∑ n>0(−1) n x (3n2 +n)/2 + ∑ n>0 

(−1) n x (3n2 −n)/2 . 

Secināt, ka sadalījumu skaita virkne p(n) apmierina ”bezgalīgu” rekurentu sakarību 

p(n) = p(n − 1) + p(n − 2) − p(n − 5) − p(n − 7) + ..., 

jeb 

p(n) = ∑ i≥1 

(−1) i+1 (p(n − α i ) + p(n − β i )), 

kur α i = 3i2 −i 

2 

un β i = 3i2 +i 

2 

(mēs uzskatām, ka p(k) = 0, ja k < 0). Pierādīt, ka šī rekurentā 

sakarība ļauj aprēķināt p(n) izmantojot O(n 3/2 ) saskaitīšanas un atņemšanas operācijas. 

Vingrinājums 2.232. Apzīmēsim ar a n tādu skaitļa 2n sadalījumu skaitu, kuru Janga diagrammas 

∑ 

var noklāt ar 2 × 1 domino figūrām bez to pārklāšanās. Izteikt veidotājfunkciju 

n≥0 a nx n kā bezgalīgu reizinājumu. 

Vingrinājums 2.233. Pierādīt Rodžersa-Ramanudžana vienādību 

∑ 

n≥0 

x n2 

(1 − x)(1 − x 2 )...(1 − x n ) = ∏ i≥0 

1 

(1 − x 5i+1 )(1 − x 5i+4 ) . 

Vingrinājums 2.234. Par vāji dilstošu skaitļu tabulu sauksim tabulu, kuras locekļi ir 

naturāli skaitļi, rindās (no kreisās puses uz labo) un kolonnās (no augšas uz leju) elementi ir 

nepieaugošā kārtībā. Par nenegatīva skaitļa n divdimensionālu sadalījumu sauksim vāji dilstošu 

skaitļu tabulu, kuras skaitļu summa ir vienāda ar n. Citiem vārdiem sakot, skaitļa n divdimensionāls 

sadalījums ir divargumentu naturālu skaitļu virkne {a ij }, kuras elementi apmierina šādas 

īpašības: 

∑ 

a ij = n, 

i,j 

kur a i1 j ≥ a i2 j, ja i 1 

sadalījumu skaitu, uzskatot, ka q 0 = 1 (pārbaudiet, ka q 1 = 1, q 2 = 3, q 3 = 6, q 4 = 13). Pierādīt, 

ka 

Q(x) = ∑ q n x n = ∏ 1 

(1 − x i ) . i n≥0 

i≥1


2.11. PROGRAMMĒŠANAS UZDEVUMI 

Vingrinājums 2.235. Uzrakstīt programmas, kurās tiek realizēta bektrekinga metode šādu 

kombinatorikas objektu ǧenerēšanai: 

1) visas dotā lieluma apakškopas vai virknes dotā lieluma kopā; 

2) visas dotā lieluma apakšmultikopas; 

3) visas virknes dotā lieluma multikopā; 

4) visi veidi, kādos uz šaha galda var izvietot 8 dāmas tā, lai neviena no tām nebūtu 

apdraudēta; 

5) visi dotā naturālā skaitļa sadalījumi; 

6) visas binārās attiecības dotajā kopā; 

7) visi dotās kopas sadalījumi; 

8) visi dotā skaitļa divdimensionālie sadalījumi; 

9) visi dotā skaitļa n-dimensionālie sadalījumi (sāciet ar to, ka definējiet n-dimensionālu 

sadalījumu pēc analoǧijas ar divdimensionālo sadalījumu); 

10) visi daļēji sakārtojumi dotajā kopā; 

11) visi dotā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas atrisinājumi veselos skaitļos ar noteiktiem 

ierobežojumiem; 

12) visi pareizi iekavu salikšanas veidi skaitļu summas aprēķināšanai; 

13) visas ķēdes starp divām dotajām virsotnēm dotajā grafā; 

14) visus dotā garuma vienkāršus ciklus dotajā grafā; 

15) visus veidus, kā ar zirgu var apiet vienu reizi visus šaha galda lauciņus un atgriezties 

sākotnējā lauciņā; 

16) visus veidus, kā no punkta (0, 0) var aiziet līdz punktam (n, m), ja ir dots atļauto soļu 

saraksts; 

17) visus veidus, kā doto plaknes vai telpas apgabalu var noklāt ar dotā tipa figūrām. 

Vingrinājums 2.236. Uzrakstīt programmu, kas atrod dotā naturālā skaitļa n sadalījuma 

duālo sadalījumu. 

Vingrinājums 2.237. Uzrakstīt programmu, kas atrod dotā naturālā skaitļa n sadalījumu 

skaitu p(n) izmantojot bezgalīgo rekurento sakarību. 

Vingrinājums 2.238. Uzrakstīt programmas, kas aprēķina visas šajā tekstā apskatīto kombinatorikas 

uzdevumu atrisinājumu virknes (kombinācijas un variācijas, sadalījumu skaitu, Stirlinga, 

Katalāna, Fibonači, Bernulli, harmoniskos, Eilera u.c. skaitļus). 

Vingrinājums 2.239. Uzrakstīt programmas Greja koda un de Bruina virkņu ǧenerēšanai.

NODAĻA 3 

GRAFU TEORIJA 

3.1. IEVADS 

Viens no fundamentāliem matemātikas pamatjēdzieniem ir attiecība - īpašība, kas piemīt 

vai nepiemīt kopu elementu pāriem. Pareizi vizuāli iekodēta informācija ir vieglāk uztverama 

un apstrādājama nekā jebkura cita veida informācija. Uz datorzinātnēm orientēti lasītāji par 

vizualizāciju var domāt kā par pētāmās sistēmas pirmapstrādi (preprocesingu), kuras rezultātā 

sistēma tiek iekodēta tādā veidā, ka tā var tikt apstrādāta ātrāk un ar mazāk kompleksām programmām 

vai automātiem. Tāpat kā risinot uzdevumus par kopām, ir lietderīgi vizualizēt kopas 

Eilera-Venna diagrammu veidā, arī uzdevumos par attiecībām ir lietderīgi mēǧināt vizualizēt 

attiecības. 

Kopu elementus kā elementārus (nedalāmus, atomārus) objektus parasti attēlo kā punktus vai 

aplīšus ar tajos ierakstītu informāciju. Tā kā attiecība ir īpašība, kas saista elementu pārus, tad 

šo īpašību ir pieņemts attēlot kā elementus saistošas nepārtrauktas līnijas (šķautnes, bultiņas, nogriežņus) 

ar tādu papildinformāciju, kas ir nepieciešama pareizai uzdevuma nosacījumu grafiskai 

iekodēšanai. Parasti šī papildinformācija ir šķautņu vai virsotņu parametri jeb ”svari”. Šādu 

attieksmes vizualizācijas veidu sauksim par tās grafu. Terminam grafs ir grieķu izcelsme, šī 

vārda saknes nozīme ir raksts vai rakstu zīme. Attiecības vizualizācija grafa veidā palīdz to 

analizēt gan teorētiski, gan arī eksperimentāli, izmantojot informācijas tehnoloǧijas. Termins 

grafu teorija mūsdienās ir termina attiecību teorija sinonīms. 

Grafu pielietošana matemātikas uzdevumu risināšanā un ar grafiem - attiecībām saistītā 

matemātikas revolucionalizēšana sākās 18.gadsimta vidū (1736. gadā) ar matemātiķa L.Eilera 

darbiem. Kā relatīvi jaunai un dinamiskai matemātikas nozarei ar plašiem pielietojumiem grafu 

teorijai vēl nav pilnībā nostabilizējusies terminoloǧija, kas ir daudzveidīga un atspoguļo pielietojumu 

nozaru specifiku. Pat terminam grafs ir vairāki sinonīmi - diagramma, struktūra u.c. 

Piemērs 3.1. Vēsturiski viens no pirmajiem publicētajiem grafu pielietošanas piemēriem ir 

atrisinājums ”uzdevumam par Kēnigsbergas tiltiem” no izklaidējošās matemātikas, kura autors 

ir izcilais 18.gadsimta matemātiķis L.Eilers. Ir dota upe, kurā ir divas salas un vairāki tilti (skatīt 

3.1.(a) attēlā). 

(a) 

3.1. attēls. Uzdevums par Kēnigsbergas tiltiem 

(b) 

(c) 

Vai ir iespējams iziet no kāda punkta, pāriet katru tiltu tieši vienu reizi un atgriezties sākotnējā 

punktā? Tā kā uzdevuma risināšanā kritiska loma ir tiltiem, un trajektorijas, pa kurām tiek iets, 

nespēlē lielu lomu, tad modelēsim uzdevumu šādā veidā: piekārtosim katram sauszemes gabalam 

82


vienu punktu un saistīsim divus punktus ar līniju tad un tikai tad, ja atbilstošie sauszemes 

gabali ir saistīti ar tiltu (skatīt 3.1(b) attēlā). Uzmanīgi apskatot zīmējumu un domājot tikai par 

uzdevuma vienkāršoto modeli (skatīt 3.1.(c) attēlā), uzdevuma atrisinājums šķiet acīmredzams. 

Ja uzdevumam eksistētu atrisinājums, tad iegūtajā grafā eksistētu noslēgts ”ceļš”, kurā tiek iets 

pa šķautnēm un kurš saturētu katru šķautni tieši vienu reizi. Ja eksistē tāds ceļš, tad katrai 

virsotnei ir jābūt ar pāra skaitu šķautnēm. Bet šajā grafā ir virsotnes, kurām atbilst nepāra 

skaits šķautņu, tātad uzdevumam nav atrisinājuma. 

Piemērs 3.2. (No skolēnu olimpiāžu krājumiem) Uz 3 × 3 ”šaha galda” ir izvietoti divi balti 

un divi melni zirgi tā, kā parādīts 3.2(a) attēlā. Vai ir iespējams tos pārvietot uz stāvokli, kas 

parādīts 3.2(b) attēlā, ja divas figūras nevar atrasties vienā lauciņā? 

(a) 

3.2. attēls. Uzdevums par četriem šaha zirgiem 

(b) 

Šajā uzdevumā kritiska loma ir rūtiņām un to savstarpējam izvietojumam, precīzāk, tam, vai 

rūtiņas saistītas ar zirga gājienu. Modelēsim uzdevumu šādi: piekārtosim katram lauciņam vienu 

virsotni un saistīsim divas virsotnes ar līniju, ja atbilstošie lauciņi ir saistīti ar zirga gājienu (skatīt 

3.3(a) attēlā). 

1 2 3 

1 

6 

4 5 6 

8 

3 

7 

2 

7 8 9 

4 

9 

(a) 

3.3. attēls. Grafs uzdevumam par četriem šaha zirgiem 

(b) 

Tagad aizmirsīsim par šaha galdu kā fizikālu objektu un pārkārtosim grafa virsotnes tā, lai grafa 

struktūra ir labāk redzama (skatīt 3.3(b) attēlā). Viegli redzēt, ka uzdevumam nav atrisinājuma, 

jo sākuma stāvoklī starp diviem baltajiem zirgiem nav melnā zirga, bet beigu stāvoklī starp tiem 

ir jābūt melnajam zirgam, grafa šķautnes ir izvietotas tā, ka divi blakus esoši zirgi nevar pārlēkt 

viens otram pāri. 

Piemērs 3.3. Izmantojot grafus, atrisināsim klasisko uzdevumu par vilku, kazu un kāpostu. 

Vienā upes krastā ir cilvēks (H), laiva, vilks (W), kaza (G) un kāposts (C). Laivā var atrasties 

cilvēks un ne vairāk kā viens no pārējiem objektiem. Cilvēkam ir jāpārved uz otru krastu visi 

objekti, ievērojot nosacījumu, ka viņš nevar atstāt bez pieskatīšanas vilku kopā ar kazu vai kazu 

kopā ar kāpostu. Šajā uzdevumā kritiska loma ir objektu izvietojumam upes krastos pēc katra 

laivas brauciena. Atkal modelēsim šo uzdevumu ar grafu palīdzību. Grafa virsotnes būs 

visi iespējamie četru objektu stāvokļi. Katru konfigurāciju attēlosim veidā (A|B), kur A ir objekti, 

kas atrodas sākotnējā krastā un B ir objekti, kas atrodas otrā krastā, piemēram, sākuma


stāvoklī atbilstošās virsotnes konfigurācija būs (HW GC|), ja no sākuma stāvokļa cilvēks pārved 

uz otru krastu kazu, tad konfigurācija pēc šī soļa izpildes būs (W C|HG), beigu konfigurācija 

būs (|HW GC). Uzskatīsim, ka laiva vienmēr ir kopā ar cilvēku. Divas konfigurācijas saistīsim 

ar šķautni, ja tās ir saistītas ar vienu laivas braucienu. Atmetīsim visas konfigurācijas, kurās 

kādā no krastiem ir kopas W G, GC, W GC, un uzzīmēsim grafu ar atlikušajām virsotnēm (skatīt 

3.4.attēlā): 

HCGW 

HCW 

C 

HCGW 

HCW 

G 

W 

HCG 

HCG 

W 

G 

HCW 

CW 

HG 

C 

HGW 

HG 

CW 

3.4. attēls. Grafs uzdevumam par vilku, kazu un kāpostu 

Pārkārtosim virsotnes tā, lai grafa struktūra ir labāk redzama (skatīt 3.5.attēlā): 

W HCG HCG W 

HCGW CW HG HCW G 

HG CW HCGW 

C HGW HGW C 

3.5. attēls. Vienkāršots grafs uzdevumam par vilku, kazu un kāpostu 

Tā kā eksistē divas dažādas nepārtrauktas ķēdes no virsotnes (HW GC|) uz virsotni (|HW GC), 

tad uzdevumam ir divi dažādi atrisinājumi, kurus var viegli nolasīt no grafa. 

Piemērs 3.4. Pielietosim grafus vienkāršu matemātikas uzdevumu analīzē un risināšanā. 

Atrisināsim šādu uzdevumu: dotas taisnleņķa trijstūra katetes a un b, atrast ievilktās riņķa 

līnijas rādiusu r. Atkārtosim vienkāršākās sakarības, kas saista katetes a un b, hipotenūzu c, 

šauro lenķi α ar pretkateti a, tā papildinājumu β, trijstūra laukumu S, perimetru P , apvilktās 

riņķa līnijas rādiusu R un ievilktās riņķa līnijas rādiusu r: 

1) α + β = π; 

2 

2) tan α = a; 

b 

3) sin α = a; 

c 

4) a 2 + b 2 = c 2 ; 

5) S = ab; 

2 

6) P = a + b + c; 

7) R = c; 

2 

8) S = P r. 

2 

Definēsim grafu, kurā ir divu tipu virsotnes - 

a) lielumi a, b, c, α, β, S, P, R, r; 

b) sakarības 1)-8).


Savienosim lielumu x ar sakarību A tad un tikai tad, ja lielums x piedalās sakarībā A. Piemēram, 

sakarība 4) ir savienota ar lielumiem a,b un c. Iegūtais grafs parāda dotā ǧeometrijas uzdevuma 

lielumu un sakarību savstarpējās attiecības. Izmantojot iespēju piešķirt šķautnēm virzienu, 

mēǧināsim parādīt uzdevuma risināšanas gaitā iegūto zināšanu uzkrāšanas procesu un pašu 

risinājumu. Uzskatīsim, ka orientēta šķautne no lieluma x uz sakarību A nozīmē to, ka lielums x 

tiek ievietots sakarībā A. Uzskatīsim, ka orientēta šķautne no sakarības A uz lielumu x nozīmē, 

ka ir iespējams noteikt lielumu x izmantojot sakarību A. Ja kādas sakarības A visas šķautnes, 

izņemot vienu, tajā ieiet, tad varam piešķirt atlikušajai šķautnei izejošo virzienu, jo lielumu, kas 

atbilst atlikušajai šķautnei, varam atrast, izmantojot sakarību A. Sakarības virsotni sauksim 

par pareizu, ja tajā visas šķautnes izņemot vienu ir ieejošas. Risināsim uzdevumu šādā veidā. 

Sāksim ar dotajiem lielumiem a un b, katrai šķautnei, kas iziet no šīm virsotnēm uzdosim virzienu 

no lieluma uz sakarību. Ja kādai sakarības virsotnei visas šķautnes izņemot vienu ir orientētas 

kā ieejošas, tad padarīsim to par pareizu, orientējot atlikušo šķautni kā izejošu. Turpināsim šo 

procesu tik ilgi, kamēr ir konstruēts orientēts maršruts līdz virsotnei r. 

3.2. PAMATDEFINĪCIJAS 

Definēsim plašāk izmantotās grafu klases un grafu teorijas pamatjēdzienus. Par grafu (neorientētu 

grafu) sauksim pāri Γ = (V, E), kur V - grafa virsotņu kopa, V ≠ ∅ un E ⊆ V × V ir 

grafa šķautņu kopa, kur E apmierina šādus nosacījumus: 

1) E = E −1 , ja šķautne (u, v) ∈ E, tad arī (v, u) ∈ E; 

2) E ∩ diag(V × V ) = ∅ - nav šķautņu, kurām abi galapunkti ir vienādi (atgādināsim, ka 

mēs definējam diag(V × V ) = {(v 1 , v 2 ) ∈ V × V |v 1 = v 2 } un saucam to par kopas V × V 

diagonāli). 

Šajā tekstā pēc noklusēšanas mēs uzskatīsim, ka virsotņu kopa V ir galīga kopa. Ja vienlaicīgi 

tiek strādāts ar grafiem, kuru virsotņu kopas ir gan galīgas, gan bezgalīgas, tad lietosim terminus 

galīgs grafs un bezgalīgs grafs. 

Neorientētam grafam atbilst simetriska antirefleksīva attiecība. Nosacījums (1) atbilst simetrijai 

un nosacījums (2) - antirefleksivitātei. Literatūrā un zinātnieku vai datorspeciālistu sarunvalodā 

parasti ar terminu grafs pēc noklusēšanas tiek domāts neorientēts grafs. Arī šajā tekstā 

šāda vienošanās tiek pieņemta. Ja Γ = (V, E) ir neorientēts grafs, tad tā virsotņu skaitu standarti 

apzīmēsim ar |V | un šķautņu skaitu apzīmēsim ar |E|, kaut arī elementu skaits kopā E ir 

divas reizes lielāks nekā |E|. 

3.6. attēls. Neorientēta grafa piemērs 

Divas neorientēta grafa virsotnes v 1 , v 2 sauksim par blakusvirsotnēm (savienotām virsotnēm), ja 

(v 1 , v 2 ) ∈ E, apzīmēsim to ar v 1 ∼ v 2 . Virsotnes v 1 un v 2 sauksim par šķautnes (v 1 , v 2 ) galapunktiem. 

Virsotni v un šķautni e sauksim par incidentām, ja viens no šķautnes e galapunktiem 

ir virsotne v. Divas šķautnes sauksim par incidentām, ja tām ir kopīga virsotne. Risinot kombinatorikas 

uzdevumus par grafiem, parasti ar terminu šķautne saprot divu sakārtotu pāru (v 1 , v 2 ) 

un (v 2 , v 1 ) identifikāciju. Par grafa Γ šķautņu grafu vai līniju grafu sauksim grafu L(Γ), kur 

virsotnes ir Γ šķautnes un divas virsotnes grafā L(Γ) ir savienotas tad un tikai tad, ja atbilstošās 

šķautnes ir incidentas. 

Par orientētu grafu sauksim pāri Γ = (V, E), kur V - orientēta grafa virsotņu kopa, V ≠ ∅ un 

E ⊆ V ×V, E ∩diag(V ×V ) = ∅ - orientētā grafa šķautņu (bultu) kopa. Atšķirība no neorientēta


grafa ir tāda, ka šajā gadījumā netiek pieprasīta attiecības simetrija, tāpēc uz šķautnēm zīmē 

bultiņas, lai šķautnes (u, v) un (v, u) atšķirtu vienu no otras. Šķautni (u, v) parasti sauc par 

virsotnes u izejošo šķautni, un šķautni (v, u) - par u ieejošo šķautni. Orientētam grafam atbilst 

patvaļīga antirefleksīva attiecība. 

3.7. attēls. Orientēta grafa piemērs 

No orientēta grafa var iegūt neorientētu grafu, ”aizmirstot” šķautņu orientāciju. Otrādi, no 

neorientēta grafa var iegūt orientētu grafu, uzskatot katru neorientētu šķautni par divu pretēju 

orientētu šķautņu apvienojumu. 

Par orientētu grafu ar cilpām sauksim pāri Γ = (V, E), kur V - grafa virsotņu kopa, V ≠ ∅ 

un E ⊆ V × V - grafa šķautņu kopa. Orientētam grafam ar cilpām atbilst patvaļīga attiecība. 

Orientētus grafus var interpretēt arī kā attēlojumu grafus. 

Par neorientētu vai orientētu multigrafu sauksim grafu, kurā var būt vairāk nekā viena neorientēta 

vai orientēta šķautne starp divām virsotnēm vienā virzienā, tas var būt ar vai bez 

cilpām. Šķautņu skaitu starp divām virsotnēm sauksim arī par šķautnes multiplicitāti. Bieži 

vien multigrafiem ir dažādu tipu šķautnes, kuras zīmējumos var attēlot ar dažādām krāsām vai 

citiem paņēmieniem. Multigrafu var domāt kā grafu ar papildus struktūru - funkciju no šķautņu 

kopas uz naturālu skaitļu kopu, kas katrai šķautnei piekārto tās multiplicitāti.


3.8. attēls. Orientēta multigrafa piemērs 

Par nosvērtu grafu (grafu ar indeksētām virsotnēm un/vai šķautnēm) sauksim grafu, kura katrai 

virsotnei vai/un šķautnei var būt piekārtots skaitlis, vairāki skaitļi vai citu kopu elementi. 

Formāli runājot, nosvērts grafs ir jebkura tipa grafs ar papildus struktūru - virsotņu ”svaru” 

funkciju w : V → A vai/un šķautņu ”svaru” funkciju w : E → A, kas katrai virsotnei/šķautnei 

piekārto kādu elementu no kopas A (svaru). Parasti kopa A ir kāda no klasiskajām skaitļu kopām. 

2 

5 

3 

2 

4 

3.9. attēls. Nosvērta grafa piemērs 

No nosvērta grafa var iegūt parastu (orientētu vai neorientētu) grafu, ”aizmirstot” par svaru 

funkciju. 

Grafa jēdzienu var vispārināt šādā veidā. Ja V ir netukša kopa (virsotņu kopa) un E ⊆ 

P (V ), tad pāri X = (V, E) sauksim par hipergrafu. Tādējādi, hipergrafa ”šķautnes” (kopas E 

elementi) atbilst virsotņu kopas V patvaļīgām apakškopām. Šajā tekstā mēs hipergrafus sīkāk 

neapskatīsim. 

Jebkura tipa divus grafus sauksim par vienādiem, ja to virsotņu un šķautņu kopas ir vienādas. 

Par triviālo grafu sauksim grafu ar vienu virsotni un bez šķautnēm. 

Ja dots grafs Γ = (V, E), tad grafu Γ 1 = (V 1 , E 1 ) sauksim par Γ apakšgrafu, ja V 1 ⊆ 

V, E 1 ⊆ E, un katra no kopas E 1 šķautnēm ir incidenta tikai kopas V 1 virsotnēm, apzīmēsim 

to ar pierakstu Γ 1 ⊆ Γ. Par virsotņu kopas U inducēto (pilno) apakšgrafu sauksim apakšgrafu, 

kura virsotņu kopa ir U un kas satur visas šķautnes, kas ir incidentas tikai kopas U elementiem. 

Orientētā grafā Γ par virsotņu kopas U inducēto (pilno) apakšgrafu sauksim apakšgrafu, kura 

virsotņu kopa ir U un kas satur visas šķautnes, kuru galapunkti un sākumpunkti ir kopā U. Par 

skeletālu apakšgrafu sauksim apakšgrafu, kas satur visas grafas virsotnes. Grafu Γ sauksim par 

maksimālu attiecībā uz kādu īpašību P , ja neeksistē grafs Γ ′ tāds, ka Γ ⊆ Γ ′ un grafam Γ ′ piemīt 

īpašība P . Grafa apakšgrafu sauksim par kliķi, ja tajā jebkuras divas virsotnes ir savienotas. 

Grafa Γ maksimālās kliķes virsotņu skaitu sauksim par grafa kliķes skaitli, to apzīmēsim ar ω(Γ). 

Piemērs 3.5. 3.10.attēla grafa (a) apakšgrafa piemērs ir grafs (b) un inducēta apakšgrafa 

piemērs - grafs (c).


2 

2 

2 

1 

7 

4 

1 

7 

4 

1 

7 

4 

5 

6 

5 

6 

5 

6 

(a) (b) (c) 

3.10. attēls. Grafa apakšgrafa un inducēta apakšgrafa piemērs 

Par grafa virsotnes apkārtni sauksim virsotņu kopas apakškopu, kas satur visas ar to savienotās 

virsotnes, virsotnes v apkārtni apzīmēsim ar N Γ (v). Par orientēta grafa virsotnes v pozitīvo/negatīvo 

apkārtni sauksim virsotņu kopu, kas satur visas virsotnes u tādas, ka eksistē šķautne 

(u, v)/(v, u), šīs kopas apzīmēsim ar N + (v) vai N − (v). Orientētā grafā Γ kopu N − (v) apzīmēsim 

arī ar Γ(v) un kopu N + - ar Γ −1 (v). Par grafa virsotnes pakāpi (valenci) sauksim ar to incidento 

šķautņu skaitu vai, citiem vārdiem sakot, virsotnes apkārtnes elementu skaitu, virsotnes v 

pakāpi apzīmēsim ar d(v). Par grafa pakāpju vektoru sauksim virkni (a 0 , ..., a k ), kur a i ir grafa 

virsotņu skaits ar pakāpi i. Naturālu skaitļu virkni sauksim par grafisku, ja eksistē grafs, kura 

pakāpju vektors ir vienāds ar doto virkni. Virsotni, kuras pakāpe ir 0, sauksim par izolētu virsotni, 

virsotni, kuras pakāpe ir 1, sauksim par brīvu virsotni, virsotni, kas ir savienota ar visām 

pārējām virsotnēm, sauksim par dominējošu. Grafa Γ virsotņu minimālo pakāpi apzīmēsim ar 

δ(Γ), maksimālo pakāpi - ar ∆(Γ). Par grafa vidējo virsotnes pakāpi sauksim lielumu 

d(Γ) = 1 ∑ 

d(v). 

|V | 

Definēsim ɛ(Γ) = |E| 

|V | . 

Par orientēta grafa virsotnes v pozitīvo/negatīvo puspakāpi (valenci) sauksim ar v incidento 

ieejošo/izejošo šķautņu skaitu jeb v pozitīvās/negatīvās apkārtnes elementu skaitu, apzīmēsim 

ar d + (v)/d − (v). Ja d + (v) = 0, tad virsotni v sauksim par (orientēta grafa) avotu. Ja d − (v) = 0, 

tad virsotni v sauksim par noteku. Orientētu grafu, kuram ir tieši viens avots un tieši viena 

noteka, sauksim par tīklu. 

(3.1) 

Teorēma 3.6. 

šķautņu skaitu: 

v∈V 

1. Grafa Γ = (V, E) virsotņu pakāpju summa ir vienāda ar divkāršotu 

∑ 

d(v) = 2|E|. 

2. Orientētā grafā Γ = (V, E) ir spēkā formula 

∑ 

(3.2) 

d − (v) + ∑ d + (c) = 2|E|. 

v∈V 

v∈V 

v∈V 

Pierādījums. Pielietosim kombinatorikas pamatprincipu ”skaitīšana divos dažādos veidos”. 

Neorientēta grafa gadījumā skaitīsim katras virsotnes v incidentās šķautnes un summēsim šos 

skaitļus pa visām grafa virsotnēm. No vienas puses, mēs iegūsim ∑ v∈V 

d(v), no otras puses, 

tā kā katrai šķautnei ir divi galapunkti, tad katra šķautne tiks skaitīta divas reizes un summā 

iegūsim lielumu 2|E|. Līdzīga sprieduma ceļā iegūsim arī apgalvojumu orientētam grafam. QED 

Secinājums 3.1. ɛ(Γ) = 1 2 d(Γ). 

Par grafa Γ = (V, E) papildgrafu jeb papildinājumu sauksim grafu 

Γ = (V, (V × V )\(E ∪ diag(V × V )).


Citiem vārdiem sakot, divas virsotnes ir savienotas grafā Γ tad un tikai tad, ja tās nav savienotas 

grafā Γ. Grafa papildinājuma maksimālās kliķes virsotņu skaitu sauksim par grafa neatkarības 

skaitli un apzīmēsim ar α(Γ). 

Piemērs 3.7. 3.11.attēla grafa (a) papildgrafs ir grafs (b). 

(a) 

(b) 

3.11. attēls. Grafa un tā papildgrafa piemērs 

Ja mēs domājam par grafu kā par transporta vai sazināšanās tīkla modeli, mums ir jādefinē 

vienkāršākie jēdzienu, kas ir saistīti ar pārejām starp virsotnēm: 

• par maršrutu grafā sauksim virsotņu un šķautņu virkni 

(v 0 , e 1 , ..., e n , v n ), 

tādu, ka jebkuras divas kaimiņu virsotnes v i un v i+1 ir savienotas ar šķautni e i+1 . Ja 

maršrutā v 0 = v n , tad tādu maršrutu sauksim par noslēgtu, pretējā gadījumā, kad 

v 0 ≠ v n - par vaļēju, šķautņu skaitu maršrutā sauksim par tā garumu; 

• maršrutu, kurā visas šķautnes ir dažādas, sauksim par ķēdi; 

• ķēdi, kurā visas virsotnes izņemot, iespējams, pirmo un pēdējo, ir dažādas, sauksim par 

vienkāršu ķēdi; 

• noslēgtu ķēdi ar pozitīvu garumu sauksim par ciklu, noslēgtu vienkāršu ķēdi ar pozitīvu 

garumu sauksim par vienkāršu ciklu. 

Maršrutu (ķēdi, vienkāršu ķēdi), kura pirmā virsotne ir v un pēdējā - w, sauksim par (v, w) 

- maršrutu (ķēdi, vienkāršu ķēdi). Par maršruta M apakšmaršrutu sauksim maršrutu M ′ , kura 

virsotņu un šķautņu kopas ir maršruta M virsotņu un šķautņu kopu apakškopas. Par divu 

maršrutu 

M = (v 0 , e 1 , ..., e n , v n ) 

un 

savienojumu sauksim maršrutu 

M ′ = (v n , e n+1 , ..., e m , v m ) 

MM ′ = (v 0 , e 1 , ..., e n , v n , e n+1 , ..., e m , v m ). 

Par maršruta M = (v 0 , e 1 , ..., e n , v n ) apvērsto maršrutu sauksim maršrutu 

M −1 = (v n , e n , ..., e 1 , v 0 ). 

Ja ir doti divi (v, w) - maršruti M 1 un M 2 , tad maršruts M 1 M2 −1 ir cikls. 

Divus vaļējus maršrutus M 1 = (u 1 , ..., u n ) un M 2 = (v 1 , ..., v n ) sauksim par vienādiem, ja 

u i = v i visiem i vai arī u i = v n−i visiem i, citiem vārdiem sakot, vai nu maršruti ir pilnīgi 

identiski vai arī tie atšķiras ar vienu un to pašu šķautņu apiešanas virzienu. Divus slēgtus 

maršrutus M 1 = (u 1 , ..., u n ) un M 2 = (v 1 , ..., v n ) sauksim par vienādiem, ja eksistē m tāds, ka 

u i = v (m+i) mod n+1 vai u i = v (m−i) mod n+1 visiem i, citiem vārdiem sakot, tiem atbilst viena un 

tā pati šķautņu kopa un to apiešanas kārtība ar precizitāti līdz virzienam, bet atšķiras maršruta 

pirmā (un pēdējā) virsotne.


Par vienkāršu ķēdi vai vienkāršu ciklu ir lietderīgi domāt kā par grafa apakšgrafu, kas 

satur atbilstošās virsotnes un šķautnes starp virsotnēm. Tos var identificēt arī ar atbilstošajām 

šķautņu kopām, jo vienkāršu ķēdi vai vienkāršu ciklu var atjaunot, ja ir zināma tā šķautņu kopa. 

Vienkāršu ķēdi var atjaunot arī tad, ja ir zināma tikai tā virsotņu kopa. Par grafa šaurumu sauksim 

minimāla vienkārša cikla garumu, par grafa perimetru sauksim maksimāla vienkārša cikla 

garumu. Ciklu ar garumu 3 sauksim par trijstūri. Ciklam nepiederošu šķautni, kas savieno divas 

cikla virsotnes, sauksim par cikla hordu. Inducēts vienkāršs cikls ir vienkāršs cikls bez hordām. 

Viegli redzēt, ka katrs (v, w) - maršruts satur apakšmaršrutu, kas ir vienkārša (v, w) - ķēde un 

katrs cikls satur apakšmaršrutu, kas ir vienkāršs cikls. 

Zinot grafa minimālo virsotnes pakāpi, var no apakšas novērtēt vienkāršas ķēdes un vienkārša 

cikla maksimālo garumu grafā izmantojot šādu teorēmu. 

Teorēma 3.8. Ja δ(Γ) ≥ 2, tad grafā Γ eksistē vienkārša ķēde ar garumu δ(Γ) un vienkāršs 

cikls ar garumu δ(Γ) + 1. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka garākās ķēdes garums ir k un tai atbilstošā virsotņu virkne ir 

(v 0 , ..., v k ). Visas virsotnes v k blakusvirsotnes pieder šai virknei, tāpēc ka pretējā gadījuma ķēdi 

varētu pagarināt. Iegūstam, ka k ≥ δ(Γ) un apgalvojums par ķēdi ir pierādīts. Pieņemsim, ka 

indekss i, 0 ≥ i < k, ir minimālais indekss ar īpašību v i v k , var redzēt, ka i ≤ k − δ(Γ). Virsotņu 

virkne (v i , v i+1 , ..., v k , v i ) atbilst ciklam ar garumu l = k − i + 1 un l ≥ δ(Γ) + 1. QED 

Analoǧiski maršruta, ķēdes un cikla jēdzienus definē orientētiem grafiem. Par virzītu maršrutu 

orientētā grafā sauksim virsotņu un šķautņu virkni (v 0 , e 1 , ..., e n , v n ), tādu, ka jebkuras divas virsotnes 

v i un v i+1 ir savienotas ar (orientēto) šķautni e i+1 . Ja orientētā maršrutā v 0 = v n , tad 

tādu maršrutu sauksim par noslēgtu virzītu maršrutu, pretējā gadījumā - par vaļēju. Līdzīgā 

veidā definēsim arī virzītu ķēdi, vienkāršu ķēdi, ciklu un vienkāršu ciklu. 

Grafu sauksim par sakarīgu, ja eksistē ķēde starp jebkurām divām virsotnēm. Maksimālu 

sakarīgu apakǧrafu sauksim par grafa sakarības komponenti. Viegli redzēt, ka grafs ir sakarīgs 

tad un tikai tad, ja eksistē virsotne v, tāda, ka jebkurai citai virsotnei u eksistē maršruts (u, ..., v). 

Piemērs 3.9. 3.12.attēla grafs (a) ir sakarīgs un grafs (b) nav sakarīgs un satur 2 komponentes. 

(a) 

(b) 

3.12. attēls. Sakarīga un nesakarīga grafa piemēri 

Teorēma 3.10. Grafs ar n virsotnēm un mazāk kā n − 1 šķautni nav sakarīgs. 

Pierādījums. Fiksēsim grafā kādu virsotni v. Ja grafs ir sakarīgs, tad eksistē ķēde no v 

līdz jebkurai no pārējām n − 1 virsotnēm. Jebkuras divas šādas ķēdes atšķiras ar vismaz vienu 

šķautni, tātad grafa ir vismaz n − 1 šķautne. QED 

Teorēma 3.11. Ja grafs nav sakarīgs, tad tā papildgrafs ir sakarīgs. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka grafs Γ nav sakarīgs. Tad tam eksistē vismaz divas komponentes 

Γ 1 un Γ 2 . Mums ir jāpierāda, ka jebkuras divas virsotnes var savienot ar ķēdi papildgrafā Γ. Ja


virsotnes pieder dažādām komponentēm, tad papildgrafā tās var savienot ar vienu šķautni vai, 

citiem vārdiem sakot, eksistē šīs virsotnes savienojošā ķēde ar garumu 1 (skatīt 3.13(a) attēlā). 

G 

1 

G 

2 

G 

1 

G 

2 

u 

v 

u 

v 

(a) 

3.13. attēls. Ilustrācija (3.11) pierādījumam 

(b) 

Ja abas virsotnes pieder vienai komponentei, tad tās papildgrafā var savienot ar divām 

šķautnēm, tātad eksistē šīs virsotnes savienojošā ķēde ar garumu 2 (skatīt 3.13.(b) attēlā). QED 


Vingrinājums 3.12. Cik ir dažādu katra tipa (neorientētu, orientētu, orientētu ar cilpām) 

grafu ar n virsotnēm? Cik ir dažādu katra tipa grafu ar n virsotnēm un m šķautnēm? 

Vingrinājums 3.13. Ja ir dota dažādu kopu saime {A i } i∈I , tad par tās šķēlumu grafu 

sauksim grafu, kura virsotnes ir saimes elementi un divas virsotnes ir savienotas tad un tikai 

tad, ja atbilstošo kopu šķēlums nav tukša kopa. Uzzīmēt šķēlumu grafus kopām P (X), kur 

|X| = 2, 3, 4. 


1) neeksistē grafs ar piecām virsotnēm, kuru pakāpes ir 2, 4, 4, 4, 4; 

2) eksistē grafs ar 2n virsotnēm, kuru pakāpes ir 1, 1, 2, 2, ..., n, n. 

Vingrinājums 3.15. Pierādīt, ka grafs Γ ir sakarīgs tad un tikai tad, ja izpildās šāds 

nosacījums: katram grafa Γ virsotņu kopas V sadalījumam {V 1 , V 2 } (V 1 ∪ V 2 = V, V 1 ∩ V 2 = ∅) 

eksistē divas saistītas virsotnes v 1 ∈ V 1 un v 2 ∈ V 2 . 

Vingrinājums 3.16. Grafā Γ ir 2005 virsotnes, tā šķautnes ir nokrāsotas trīs krāsās. Jebkuru 

divu krāsu šķautņu veidotais grafs ir sakarīgs. Kāds ir minimālais iespējamais šķautņu skaits 

grafā Γ? 

Vingrinājums 3.17. Grafa visām virsotnēm pakāpe ir 3. Pierādīt, ka grafā eksistē cikls. 

Vingrinājums 3.18. Vai ir iespējams apmainīt vietām šaha zirgus tā, kā tas minēts 3.2. 

piemērā uz ”šaha galda” ar izmēriem 4 × 4, 2 × n, 3 × n? 

Vingrinājums 3.19. Izmantojot grafus, pierādīt, ka šahā nav iespējams karalim pieteikt 

matu ar diviem zirgiem. 

Vingrinājums 3.20. Augstskolā ir 50 studenti, katrs students ir pazīstams ar vismaz 25 

studentiem. Pierādīt, ka eksistē 4 studenti, kurus var sasēdināt ap apaļu galdu tā, ka katrs 

students ir pazīstams ar abiem kaimiņiem. 

Vingrinājums 3.21. Tiek apgalvots, ka kādas valsts ezeru un upju sistēma apmierina šādu 

nosacījumu: katrā ezerā ietek 4 upes un no katra ezera iztek 3 upes. Pierādīt, ka apgalvojums 

nevar būt patiess. 

Vingrinājums 3.22. Kādā pilsētā dzīvo zēni un meitenes, kuru savstarpējās pazīšanās apmierina 

šādu īpašību: visas meitenes, kas pazīst kādu zēnu, ir pazīstamas savā starpā. Katrai 

meitenei ir vairāk pazīstamu zēnu nekā pazīstamu meiteņu. Pierādīt, ka pilsētā zēnu skaits nav 

mazāks kā meiteņu skaits.


Vingrinājums 3.23. Sauksim cilvēku par nekomunikablu, ja tam ir mazāk kā 10 draugi, 

sauksim cilvēku par dīvaini, ja tam visi draugi ir nekomunikabli. Pierādīt, ka dīvaiņu skaits nav 

lielāks kā nekomunikablo cilvēku skaits. 

Vingrinājums 3.24. Kādas konferences dalībnieki apmierina šādu nosacījumu: katrs dalībnieks 

ir pazīstams ar vismaz vienu citu dalībnieku un jebkuriem diviem dalībniekiem eksistē 

trešais, kas nav ar viņiem abiem pazīstams (ir pazīstams tikai ar vienu no viņiem vai nav 

pazīstams ne ar vienu). Pierādīt, ka dalībniekus var sadalīt trīs grupās tā, ka katrs dalībnieks ir 

pazīstams ar vismaz vienu citu dalībnieku no savas grupas. 

Vingrinājums 3.25. Kādā valstī jebkuras divas pilsētas ir savienotas vai nu ar lielceļu vai 

arī ar dzelzceļu. Pierādīt, ka var izvēlēties transporta veidu (automašīnu vai vilcienu) tā, lai no 

jebkuras pilsētas varētu aizbraukt uz jebkuru citu pilsētu, izmantojot tikai šo transporta veidu 

un pa ceļam iebraucot ne vairāk kā divās citās pilsētās. 

Vingrinājums 3.26. Kādā valstī ir 101 pilsēta. Pilsētas ir savienotas ar vienvirziena ceļiem 

tā, ka starp jebkurām divām pilsētām ir ne vairāk kā viens ceļš. Ir zināms, ka no jebkuras 

pilsētas iziet tieši 40 ceļi un jebkurā pilsētā ieiet tieši 40 ceļi. Pierādīt, ka no jebkuras pilsētas 

var aizbraukt uz jebkuru citu, nobraucot pa ne vairāk kā 3 ceļiem. 

Vingrinājums 3.27. Grupā ir 30 cilvēki, katrs cilvēks ciena tieši k citus cilvēkus. Kāds ir 

mazākais k, kuram var apgalvot, ka eksistē divi cilvēki, kas ciena viens otru. 

Vingrinājums 3.28. Kādā valstī ir 2004 pilsētas. No galvaspilsētas iziet 101 aviolīnija, no 

pilsētas A iziet 1 aviolīnija, bet no jebkuras citas - 20 aviolīnijas. Pierādīt, ka no galvaspilsētas 

var aizlidot uz pilsētu A. 

Vingrinājums 3.29. Vienas kārtas volejbola turnīrā piedalās 15 komandas. Katrai komandai 

ir tieši 7 uzvaras. Cik ir tādu komandu trijnieku, kuriem iekšējās spēlēs katrai komandai 

ir viena uzvara? 

Vingrinājums 3.30. Vairākas komandas piedalās vienas kārtas volejbola turnīrā. Ir zināms, 

ka, ja komanda x ir uzvarējusi komandu y, tad eksistē komanda z, kas ir zaudējusi x un uzvarējusi 

y. Kāds ir mazākais komandu skaits šādā turnīrā? 

3.3. SPECIĀLAS GRAFU KLASES 

Apskatīsim dažas speciālas grafu klases vai grafus. Grafu speciālgadījumus var izmantot 

pieņēmumu pārbaudei vai atspēkošanai. 

Pilnais grafs K n - (neorientēts) grafs ar n virsotnēm, visi virsotņu pāri savā starpā ir savienoti. 

Bezšķautņu grafs O n - (neorientēts) grafs ar n virsotnēm un 0 šķautnēm. 

K 5 

O 5 

3.14. attēls. Pilna grafa un bezšķautņu grafa piemēri 

Ķēde P n - sakarīgs grafs ar n virsotnēm, kur divām virsotnēm pakāpe ir 1 un pārējām pakāpe 

ir 2. Cikls C n - sakarīgs grafs ar n virsotnēm, kur katrai virsotnei pakāpe ir 2.


P 5 

C 5 

3.15. attēls. Ķēdes un cikla piemēri 

Ritenis W n - sakarīgs grafs ar n + 1 virsotni, kur vienai virsotnei ir pakāpe n un pārējām - 3. 

W 3 

W 5 

W 7 

3.16. attēls. Riteņu piemēri 

Divdaļīgs grafs - grafs, kura virsotņu kopu var sadalīt divās daļās tā, ka jebkuras divas virsotnes, 

kas pieder vienai daļai, nav savienotas. Pilns divdaļīgs grafs K n,m - divdaļīgs grafs, kura 

virsotņu kopas daļu elementu skaits ir n un m un kurā jebkuras divas virsotnes dažādās daļās 

ir savienotas. m-daļīgs grafs - grafs, kura virsotnes var sadalīt m daļās tā, ka jebkuras divas 

virsotnes, kas pieder vienai daļai, nav savienotas. Pilns m-daļīgs grafs K n1 ,...,n m 

- m daļīgs grafs, 

kura virsotņu kopas daļu elementu skaits ir n 1 , ..., n m , jebkuras divas virsotnes dažādās daļās ir 

savienotas. 

K 3,3 

K 2,2,2 

3.17. attēls. 2-daļīga un 3-daļīga grafa piemēri 

Hiperkubs H n - virsotnes ir visas n vienības garas binārās virknes, divas virsotnes savienotas 

ar šķautni tad, ja tās atšķiras vienā vietā.


H 4 

3.18. attēls. Hiperkubs H 4 

Koks - sakarīgs grafs bez inducētiem apakšgrafiem, kas ir cikli (sakarīgs aciklisks grafs). Mežs - 

grafs bez cikliem (ne obligāti sakarīgs). 

3.19. attēls. Mežs 

Regulārs grafs - grafs, kura visām virsotnēm ir vienāda pakāpe. Ja regulāra grafa virsotnes 

pakāpe ir k, tad to sauksim par k-regulāru grafu. Katram pietiekoši lielam n eksistē vairāki 

sakarīgu regulāru grafu tipi, un to skaits pieaug, ja n tiecas uz bezgalību. Katram n atbilstošais 

cikls C n un pilnais grafs K n ir regulāri grafi. 

3.20. attēls. 3-regulāru un 4-regulāru grafu piemēri ar 6 un 7 virsotnēm 

Pierādīsim kādu teorēmu par regulāru grafu eksistenci, kurā tiek izmantota veselo skaitļu 

teorija. 

Teorēma 3.31. Ja ir doti divi naturāli dažādas paritātes skaitļi n un k, tādi, ka k < n, tad 

eksistē k-regulārs grafs ar n virsotnēm. 

Pierādījums. Apskatīsim atlikumu kopu pēc moduļa n, kuru mēs identificēsim ar kopu Z n = 

{0, 1, ..., n − 1}. Šajā kopā var definēt atlikumu saskaitīšanas operāciju, attiecībā uz kuru kopa 

Z n ir komutatīva grupa. Fiksēsim apakškopu S k ⊆ Z n ar šādām īpašībām: 

1) ja x ∈ S k , tad ((−x) mod n) ∈ S k ; 

2) |S k | = k;


3) 0 /∈ S k . 

Šādas apakškopas eksistē. Tiešām, ja n ir pāra skaitlis un k ir nepāra skaitlis, tad S k var 

ņemt vienādu ar kopu {±1, ..., ± k−1, 

n}. Ja n ir nepāra skaitlis un k ir pāra skaitlis, tad S 2 2 k 

var ņemt vienādu ar kopu {±1, ..., ± k}. Kopas S 2 k definīcijās visur tiek ņemti atlikumu klašu 

pārstāvji kopā Z n . Definēsim kopā Z n šādu attiecību ρ: xρy tad un tikai tad, ja x − y ∈ S k . Var 

redzēt, ka attiecība ρ ir antirefleksīva un simetriska, tātad tā definē grafu Γ. Tā kā atlikumu 

saskaitīšana ir grupas operācija, tad Γ ir regulārs ar virsotņu pakāpi k. QED 

Plakans grafs - grafs, kas ir uzzīmēts tā, ka šķautnēm ir kopīgi punkti tikai virsotnēs. Planārs 

grafs - grafs, kuru var uzzīmēt kā plakanu grafu (plakanizēt). 

2 

2 

1 

3 

1 

4 

3.21. attēls. Planāra grafa plakanizācijas piemērs 

4 

3 

Ir atrasti un pētīti vairāki interesanti grafi, kas ir nosaukti to atklājēju vārdā. Populārakais no 

šādiem grafiem ar nelielu virsotņu skaitu ir Petersena grafs, kurš tā ir nosaukts par godu dāņu 

matemātiķim Petersenam, kas to atklāja 1898.gadā kā pretpiemēru kādam apgalvojumam (ka 

2-sakarīgam 3-regulāram grafam šķautņu hromatiskais skaitlis nepārsniedz 3, ieinteresēts lasītājs 

var atrast nepieciešamās definīcijas šajā grāmatā). 

3.22. attēls. Petersena grafs 

Interesanta simetrisku grafu klase ir grafi, kas atbilst daudzskaldņiem ar regulārām īpašībām. 

Regulāro daudzskaldņu grafi tiek iegūti no tā saucamajiem regulārajiem daudzskaldņiem (tetraedrs, 

kubs, oktaedrs, dodekaedrs, ikosaedrs), kur katram atbilst grafs, kura virsotnes un šķautnes 

atbilst figūras ǧeometriskajām virsotnēm un šķautnēm.


Tetraedra grafs Kuba grafs Oktaedra grafs 

Dodekaedra grafs 

Ikosaedra grafs 

3.23. attēls. Regulāro daudzskaldņu grafi

3.4. DATU STRUKTŪRAS GRAFU UZDOŠANAI 97 

3.4. DATU STRUKTŪRAS GRAFU UZDOŠANAI 

Sakarā ar grafu plašo pielietošanu informācijas tehnoloǧijās ir nepieciešams apspriest jautājumu 

par grafu uzdošanu datu struktūru veidā. Grafus, tāpat kā jebkurus citus matemātiskus 

objektus, ir jāprot pilnvērtīgi un ekonomiski iekodēt ar programmēšanai piemērotu diskrētās 

matemātikas objektu palīdzību. 

Ir vismaz trīs dažādi datu struktūru veidi, kurus izmanto, lai uzdotu grafus: 

• virsotņu blakusattiecības saraksts - katrai virsotnei piekārtosim visas virsotnes, kas 

ar to ir savienotas, praktiski blakusattiecības sarakstu realizē divdimensionāla masīva 

vai saistītā saraksta veidā, izmantojot rādītājus (pointerus): virsotnes tiek sakārtotas 

noteiktā kārtībā, katrai virsotnei v atbilst saistīts saraksts, kura elementi ir visas virsotnes 

v 1 , ..., v k , kas ir incidentas ar v un rādītāji no v i uz v i+1 (noteiktajā virsotņu 

kārtībā); 

1 

1 2 3 

2 1 3 

3 1 2 4 

4 3 

3 

4 

1 2 3 

2 

2 1 3 

3 1 2 4 

3.24. attēls. Grafa uzdošana ar blakusattiecības sarakstu 

4 

3 

• virsotņu blakusattiecības matrica (kaimiņattiecības matrica, kaimiņmatrica, grafa matrica) 

- grafu uzdod ar |V | × |V | bināru matricu, kurā rindas un kolonnas tiek indeksētas 

ar grafa virsotnēm noteiktā kārtībā, matricas rūtiņā, kas atbilst rindai u un kolonnai v 

tiek ierakstīts 1, ja virsotnes u un v ir savienotas un 0, ja tās nav savienotas. 

1 

1 2 3 4 

1 

0 1 1 0 

3 

4 

2 

3 

1 0 1 0 

1 1 0 1 

4 

0 0 1 0 

2 

3.25. attēls. Neorientēta grafa uzdošana ar blakusattiecības matricu 

Orientēta grafa gadījumā rūtiņā tiek ierakstīts 1 tad un tikai tad, ja eksistē šķautne 

(v, u) (no v uz u).


1 

1 2 3 4 

1 

0 0 0 0 

3 

4 

2 

3 

0 0 0 0 

1 1 0 0 

4 

0 0 1 0 

2 

3.26. attēls. Orientēta grafa uzdošana ar blakusattiecības matricu 

Orientēta nosvērta grafa gadījumā rūtiņā tiek ierakstīts skaitlis w tad un tikai tad, ja 

eksistē šķautne (v, u) ar svaru w, pārējās rūtiņās tiek ierakstīta 0 tāpat kā iepriekšējos 

gadījumos; 

• virsotņu un šķautņu incidences matrica - grafu uzdod ar |V |×|E| bināru matricu, rindas 

tiek indeksētas ar virsotnēm un kolonnas tiek indeksētas ar šķautnēm, matricas rūtiņā, 

kas atbilst virsotnei v un šķautnei e tiek ierakstīts 1, ja virsotne v ir incidenta ar šķautni 

e un 0, ja tās nav incidentas. 

Pārskaitīsim blakusattiecības sarakstu un blakusattiecības matricu priekšrocības un trūkumus. 

Sarakstu ir vēlams lietot, ja 

• virsotņu skaits ir liels; 

• grafa šķautņu skaits ir relatīvi mazs; 

• grafs tiek veidots pēc modeļa; 

• algoritma izpildes laikā grafs ir bieži jāmodificē; 

• algoritmā tiek izmantotas virsotņu lokālās īpašības (piemēram, virsotņu apkārtnes). 

Matricu ir vēlams lietot, ja 

• grafa virsotņu skaits ir neliels; 

• grafa šķautņu skaits ir relatīvi liels; 

• algoritmā ir bieži jāpārbauda, vai divas virsotnes ir savienotas; 

• algoritmā tiek izmantotas grafa globālās īpašības (piemēram, grafa sakarīgums). 

Blakusattiecības saraksts praktiski tiek izmantots biežāk. Ja grafā ir relatīvi daudz šķautņu, 

tad var lietot arī papildgrafa blakusattiecības sarakstu vai matricu. Praktiski matricas var realizēt 

divdimensionālu bināru masīvu veidā. Matricas biežāk izmanto grafu teorētiskos pētījumos, 

jo dažas grafu īpašības, piemēram, sakarīgumu, var interpretēt matricas terminos. Uzskatot grafa 

matricu par lineāra operatora matricu, var reducēt grafu teorijas uzdevumus uz lineārās algebras, 

piemēram, īpašvērtību, uzdevumiem. 

Var piedāvāt arī kvazilineāru grafu uzdošanas veidu: grafa blakusattiecības matricas rindas 

var savienot vienā rindā un kodēt grafu kā šai rindai atbilstošo bināro skaitli. 

3.5. GRAFU PIELIETOJUMI MODELĒŠANĀ 

Jebkuras dabas un izcelsmes sistēmas vai parādības uzdošanu matemātisku objektu un sakarību 

veidā sauksim par šīs parādības modeli. Modelis ir realitātes vienkāršota un jēdzieniski 

noslēgta abstrakta uzdošana. Modeļi tiek veidoti ar mērķi labāk saprast doto sistēmu. Pietiekoši 

sarežǧītas sistēmas vispār nav iespējams analizēt bez vienkāršotu modeļu palīdzības. Sistēmas 

pētīšanu, pārnesot tās īpašības uz modeli, sauksim par sistēmas modelēšanu. Modelēšanas pamatprincipi 

ir šādi: 

1) modeļa izvēle būtiski ietekmē uzdevuma atrisinājuma procesu un pašu atrisinājumu; 

2) modeļu detalizācijas pakāpes var būt dažādas; 

3) sīkāka detalizācijas pakāpe nozīmē lielāku modeļu sarežǧītību; 

3) labākie modeļi ir tie, kas labāk atspoguļo realitāti; 

4) ir vēlams izmantot vienlaicīgi vairākus modeļus.


Ir neskaitāmi daudz piemēru, kur attiecību-grafu modeļu saskatīšana un ieviešana padara 

uzdevuma analīzi un risinājumu uzskatāmu un efektīvu. Parasti tas ir iespējams, ja pētāmajai 

sistēmai ir diskrētas īpašības. Galvenie grafu modeļu tipi ir šādi: 

• virsotnes un šķautnes ir fiziski objekti, šķautņu objekti fiziski saista virsotņu objektus; 

• virsotnes ir fiziski vai nefiziski objekti, šķautnes saista virsotnes atkarībā no to strukturālajām 

vai funkcionālajām īpašībām; 

• virsotnes ir fiziski vai nefiziski objekti, iespējams, dažādos laika vai attīstības stāvokļos, 

šķautnes norāda virsotņu temporālo, evolucionāro vai cēloņsakarisko atkarību. 

Lai izveidotu efektīvu dotās sistēmas grafu modeli, ir 

1) jānosaka svarīgākās dotās modelējamās sistēmas apakšsistēmas un/vai stāvokļi, kas tiks 

definētas kā grafa virsotnes; 

2) jānosaka svarīgākās modelējamās attiecības starp virsotņu objektiem. 

Salīdzinoši retāk tiek izmantoti modeļi, kuros dominējoša nozīme ir šķautnēm, nevis virsotnēm. 

Jāpiebilst, ka ir sistēmas, kuras nav iespējams modelēt grafu veidā. Tādas sistēmas parasti ir 

ar izteikti nepārtrauktām īpašībām, piemēram, atmosfēra vai šķidruma plūsma. Nepārtrauktas 

sistēmas ērtāk ir modelēt ar matemātiskās fizikas vienādojumu palīdzību. Tiek pielietoti arī 

jaukti modeļi, kas satur gan nepārtrauktās, gan diskrētās iezīmes. 

Pēc modeļa izveidošanas tiek risināti uzdevumi, kas attiecas uz modelējamo sistēmu. Šie 

uzdevumi var būt formulēti gan tīri grafu teorijas terminos, gan arī izmantojot citas matemātikas 

teorijas un nozares. 

Ja ir definēts kāds grafu modelis M, tad tā grafu apzīmēsim ar Γ(M). Ja ir dots kāds grafu 

modelis, tad var konstruēt no tā atvasinātus modeļus. Par dotā grafu modeļa M apakšmodeli 

sauksim grafu modeli M ′ , kura grafs atbilst kādam Γ(M) apakšgrafam. Par dotā grafu modeļa M 

faktormodeli sauksim grafu modeli M ′′ , kura grafs tiek iegūts no Γ(M) fiksējot kādu tā virsotņu 

kopas sadalījumu un identificējot katras sadalījuma klases virsotnes. Apakšmodeļus ir lietderīgi 

pētīt, ja ir svarīgi apskatīt kādu dotās sistēmas mazāku daļu. Faktormodeļus izmanto, ja sistēmas 

objektus ar līdzīgām īpašībām var sadalīt grupās un definēt jaunu, vienkāršotu modeli. 

Zemāk ir pārskaitīti daži konkrēti grafu modeļi: 

1) datorprogrammas blokshēma (virsotnes - komandas, šķautnes - pārejas starp komandām, 

izmanto datorprogrammu veidošanā un pārbaudē); 

2) apakšprogrammu grafs (virsotnes - apakšprogrammas, šķautnes - apakšprogrammu izsaukšanas 

kārtība, izmanto datorprogrammu projektēšanā un analīzē); 

3) datu struktūras grafs (virsotnes - dati vai vienkāršākie datu tipi, šķautnes - attiecības 

starp datiem, izmanto datu struktūru projektēšanā un optimizēšanā); 

4) mašīnkoda komandu atkarības grafs (virsotnes - komandas, šķautnes - komandu atkarības, 

izmanto optimizējošajā kompilēšanā un procesoru darba konveijerēšanā); 

5) operētājsistēmas procesu grafs (virsotnes - operētājsistēmas procesi, šķautnes - procesu 

ǧenerēšanas akti, izmanto operētājsistēmu darbības modelēšanā); 

6) galīgā automāta grafs (virsotnes - automāta stāvokļi, šķautnes - pārejas, izmanto galīgo 

automātu un valodu pētīšanā un programminženierijā); 

7) matemātiskas teorijas apgalvojumu grafs (virsotnes - apgalvojumi, šķautnes - loǧiskās 

secināšanas attiecības, izmanto matemātisko spriedumu pierādīšanā un matemātisko 

teoriju analīzē); 

8) funkcionālais grafs (virsotnes - kopas elementi, šķautnes - attēlojuma vai funkcijas 

darbība, izmanto matemātikā); 

9) lielumu-sakarību grafs (virsotnes - skaitliski lielumu un sakarības starp tiem, šķautnes - 

lieluma piedalīšanās sakarībā, izmanto matemātikas uzdevumu risināšanā); 

10) metrikas grafs (virsotnes - jebkura veida fiziski vai nefiziski objekti vai to kopas, šķautnes 

- objektu ǧeometriskā, strukturālā, funkcionālā vai evolucionārā tuvība, izmanto lielu 

kopu analīzē);


11) lēmumu koks (virsotnes - krīzes stāvokļi, šķautnes - lēmumi, izmanto lēmumu pieņemšanā 

ekonomikā, vadīšanā, inženierkonstrukciju diagnosticēšanā u.c.); 

12) sistēmas grafs (virsotnes - sistēmas komponentes, šķautnes - komponenšu mijiedarbība, 

izmanto sistēmu projektēšanā un analīzē); 

13) atgriezenisko saišu grafs (virsotnes - kāda procesa parametri, orientētas šķautnes ar 

svaru (+) vai (−) - virsotnēm atbilstošo parametru izmaiņu atkarība, izmanto sistēmas 

vai procesa sastāvdaļu izmaiņu atkarības, atgriezenisko saišu un to ciklu pētīšanai); 

14) cēloņsakarības grafs (virsotnes - kādas sistēmas stāvokļi, orientētas šķautnes - cēloņsakarības, 

izmanto lielu sistēmu vai kompleksu procesu pētīšanā); 

15) konfliktu grafs (virsotnes - kādas sistēmas stāvokļi, šķautnes - konflikti starp stāvokļiem, 

izmanto sistēmu analīzē); 

16) spēles grafs (virsotnes - spēles stāvokļi, šķautnes - spēles noteikumu atļautas pārejas 

(gājieni) starp stāvokļiem, izmanto spēļu uzvarošo stratēǧiju izstrādāšanā); 

17) datortīkls (vispārīgā gadījumā, komunikāciju tīkls) (virsotnes - datori vai komunikāciju 

mezgli, šķautnes - sakaru līnijas, izmanto datortīklu projektēšanā un analīzē); 

18) sociālais grafs (virsotnes - cilvēki vai to kopas, šķautnes - pazīšanās, ekonomiskas vai 

cita veida attiecības, izmanto sabiedrības analīzē un attīstības plānošanā); 

19) organizācijas grafs (virsotnes - cilvēki vai to kopas, šķautnes - attiecības, kas raksturo 

organizācijas, piemēram, privātas firmas vai militāras vienības, hierarhiju, izmanto organizāciju 

veidošanā un vadīšanā); 

20) projekta grafs (virsotnes - projekta darbi vai stāvokļi, šķautnes - attiecības starp darbiem 

vai darbi, kas saista stāvokļus, izmanto projektu vadīšanā); 

21) ǧenealoǧiskais koks (virsotnes - cilvēki, šķautnes - ”vecāku-bērnu” attiecības, izmanto 

personīgos pētnieciskos nolūkos); 

22) ekonomisko aǧentu grafs (virsotnes - ekonomiskie aǧenti (cilvēki, privātas firmas utt), 

šķautnes - ekonomiskās attiecības, izmanto ekonomiskos pētījumos un plānošanā); 

23) makroekonomiskais finanšu plūsmas grafs (virsotnes - tautsaimniecības nozares, šķautnes 

- finanšu plūsmas starp nozarēm, izmanto ekonomiskos pētījumos un plānošanā); 

24) ceļu grafs (virsotnes - pilsētas, šķautnes - ceļi, izmanto transporta tīkla attīstībā); 

25) ielu grafs (virsotnes - krustojumi, šķautnes - ielas, izmanto pilsētas transporta plūsmu 

analīzē un plānošanā); 

26) elektriskās ķēdes grafs (virsotnes - elektromagnētiski aktīvi elementi, šķautnes - vadi vai 

kontakti, izmanto elektrisko shēmu pierakstā un analīzē); 

27) ”barošanās ķēde” (virsotnes - dzīvnieku sugas, šķautnes - ”barošanās” attiecība, izmanto 

biosistēmu analīzē); 

28) evolucionārais koks (virsotnes - sugas vai populācijas, šķautnes - evolucionārās izcelsmes 

attiecība, izmanto bioloǧijā); 

29) ķīmisko reakciju grafs (virsotnes - ķīmisko vielu daudzuma vektori, šķautnes - ķīmiskās 

reakcijas, izmanto kīmisko reakciju analīzē), 

30) ķīmiskas vielas priekšteču grafs (virsotnes - ķīmiskas vielas, kuras tiek iegūtas kādas 

vielas ražošanas procesā (priekšteči), šķautnes - priekšteču izmaiņas ražošanas procesā, 

izmanto ķīmiskajā rūpniecībā); 

31) ķīmisko vielu reaǧētspējas grafs (virsotnes - ķīmiskas vielas, šķautnes - reaǧēšanas iespējas, 

izmanto sarežǧītu ķīmisko reakciju analīzē), 

32) sprādzienbīstamības grafs (virsotnes - ķīmiskas vielas, šķautnes - sprādziena reakcijas 

iespējamība, ja vielas ir kontaktā, izmanto darba drošības vajadzībām); 

33) radiosakaru traucējumu grafs (virsotnes - radiostacijas, šķautnes - radioviļņu joslu savstarpējā 

pārklāšanās, izmanto radiosakaru plānošanā); 

34) politiskais grafs (virsotnes - valstis, šķautnes - robežas, izmanto ǧeopolitikā); 

35) asinsvadu grafs (virsotnes - asinsvadu sazarojumi, šķautnes - asinsvadi, izmanto medicīnā); 

36) neironu grafs (virsotnes - neironi, šķautnes - neironu saskares vietas, izmanto medicīnā);


37) kulinārijas izstrādājuma gatavošanas grafs (virsotnes - kulinārijas izstrādājuma stāvokļi 

(sākot no pamatkomponentēm), šķautnes - pārejas starp stāvokļiem gatavošanas procesā, 

izmanto ēdienu gatavošanā). 

3.6. GRAFU IZOMORFISMS UN INVARIANTI 

3.6.1. Ievads. Dabiski ir uzdot jautājumu - kad divi grafi ir neatšķirami kā matemātiski objekti 

jeb, citiem vārdiem sakot, kad divi grafi ir ”vienādi”, ja mēs ignorējam to virsotņu dabu un 

attēlošanas veidu. Tā kā grafs ir struktūra, kas satur informāciju par virsotņu savienojamību vai 

nesavienojamību, piemēram, matricas veidā, tad dabiski ir pieprasīt, ka divi grafi ir matemātiski 

neatšķirami, ja to virsotņu kopas var sakārtot tā, ka grafu matricas ir vienādas. Atcerēsimies 

arī, ka kopu sakārtojumus var interpretēt kā bijektīvas funkcijas. 

Divus neorientētus vai orientētus grafus Γ = (V, E) un Γ ′ = (V ′ , E ′ ) sauksim par izomorfiem 

(Γ ≃ Γ ′ ), ja eksistē bijektīva funkcija 

f : V → V ′ 

tāda, ka 

(v 1 , v 2 ) ∈ E 

tad un tikai tad, ja 

(f(v 1 ), f(v 2 )) ∈ E ′ . 

Citiem vārdiem sakot, funkcija f saglabā virsotnes un šķautnes. Šādā gadījumā funkciju f 

sauksim par grafu izomorfismu. Bieži vien izomorfus grafus identificē un neatšķir vienu no otra. 

Pētot grafus ar precizitāti līdz izomorfismam, bieži vien nodzēš grafu virsotņu indeksus un strādā 

ar grafiem, kuriem virsotnes ir neiezīmētas. 

Piemērs 3.32. 3.27.attēlā ir parādīts izomorfisma piemērs 

1 

f 

p 

2 

f 

q 

3 

f 

r 

4 

f 

s 

5 

6 

f 

f 

u 

t 

3.27. attēls. Grafu izomorfisma piemērs 

Par grafa Γ izomorfisma tipu (klasi) sauksim visu ar Γ izomorfo grafu kopu. 

Bijektīvu funkciju f : V → V sauksim par grafa V automorfismu (Γ-automorfismu), ja tā ir 

grafa Γ izomorfisms uz sevi, citiem vārdiem sakot, (v 1 , v 2 ) ∈ E tad un tikai tad, ja (f(v 1 ), f(v 2 )) ∈ 

E. Grafa Γ automorfismu kopu apzīmēsim ar Aut(Γ). Grafa automorfisms ir arī tā papildgrafa 

automorfisms. 

Funkciju f : V → V ′ sauksim par grafu homomorfismu, ja katrai šķautnei (v 1 , v 2 ) ∈ E 

izpildās nosacījums (f(v 1 ), f(v 2 )) ∈ E ′ . Citiem vārdiem sakot, funkcija f nepārrauj šķautnes 

(bet var iznīcināt virsotnes un pārveidot nesavienotas virsotnes par savienotām). Homomorfisms 

ir saprātīgs izomorfisma vispārinājums uz nebijektīvu funkciju gadījumu. 

Katrai grafa virsotnei v kopu 

⋃ 

f(v) 

f∈Aut(Γ)


1 2 3 

5 

4 

6 

1 

3 

4 5 6 

2 

4 

0 

0 4 

9 

8 

5 

9 1 

1 

6 5 

6 

8 

7 

3 

2 

7 

2 

3.28. attēls. Izomorfu grafu pāru piemēri 

3 

3.29. attēls. Neizomorfu grafu pāru piemēri 

sauksim par šīs virsotnes orbītu. Var redzēt, ka orbītas veido grafa virsotņu kopas sadalījumu. Ja 

šis sadalījums satur vienu elementu, tad teiksim, ka grafs ir virsotņu transitīvs. Citiem vārdiem 

sakot, grafs ir virsotņu transitīvs tad un tikai tad, ja jebkurām divām virsotnēm v un w eksistē 

grafa automorfisms f tāds, ka f(v) = w. Ja f : V → V ir grafa Γ = (V, E) automorfisms 

un Γ ′ = (V ′ , E ′ ) ir inducēts apakšgrafs grafā Γ, tad f(Γ ′ ) tiek definēts kā grafs (f(V ′ ), f(E ′ )), 

kur šķautnes e = (v, w) attēls ir (f(v), f(w)). Ievērosim, ka katram inducētam apakšgrafam 

Γ ′ ⊆ Γ un katram Γ-automorfismam f ir spēkā apgalvojums f(Γ ′ ) ⊆ Γ. Teiksim, ka inducētie 

apakšgrafi Γ ′ un f(Γ ′ ) ir vienādi ar precizitāti līdz grafa automorfismam. Grafu sauksim par 

šķautņu transitīvu, ja jebkurām divām šķautnēm e 1 un e 2 eksistē grafa automorfisms f tāds, ka 

f(e 1 ) = e 2 . 

Teorēma 3.33. Visi grafa automorfismi veido grupu attiecībā uz funkciju kompozīcijas operāciju. 

Pierādījums. Var redzēt, ka virsotņu kopas vienības funkcija ir jebkura grafa automorfisms. 

Jebkura grafa automorfisma inversā funkcija ir grafa automorfisms un divu grafa automorfismu 

kompozīcija ir grafa automorfisms. QED 

Var pierādīt, ka katrai galīgai grupai G eksistē galīgs grafs Γ, tāds, ka Aut(Γ) = G (Fruhta 

teorēma). 

Piemērs 3.34. 3.28.attēlā ir parādīti izomorfu grafu pāri. 

Piemērs 3.35. 3.29.attēlā ir parādīti neizomorfu grafu pāri, kuriem pakāpju vektori ir 

vienādi. 

Piemērs 3.36. 3.30.attēlā ir parādīti visi cikla C 4 automorfismi. Var redzēt, ka |Aut(C 4 )| = 8


1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

4 

3 

4 

3 

4 

3 

4 

3 

id a=(24) b=(12)(34) ab 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

4 

3 

4 

3 

4 

3 

4 

3 

ba aba bab abab 

3.30. attēls. Visi cikla C 4 automorfismi 

(a) 

3.31. attēls. Grafi ar triviālu automorfismu grupu 

(b) 

un par minimālu veidotājsistēmu var izvēlēties divu funkciju kopu, kas atbilst virsotņu permutācijām 

a = (24) un b = (12)(34). 

Piemērs 3.37. 3.31.attēlā attēloto grafu automorfismu grupas satur tikai vienu elementu - 

vienības funkciju. 

Grafa automorfismu grupu var uzskatīt par grafa simetrijas mēru - jo lielāka ir attiecība 

|Aut(Γ)| 

|V (Γ)| 

, jo grafs ir simetriskāks. 

Naivs veids, kā noteikt, vai divi grafi ir izomorfi, ir fiksēt viena grafa matricu un apskatīt 

visas otrā grafa matricas, kas atbilst dažādām virsotņu kopas permutācijām. Acīmredzami, šis 

algoritms nav efektīvs, jo virsotņu permutāciju skaits grafam ar n virsotnēm ir n!, tāpēc nosakot, 

vai divi grafi ir izomorfi, ir lietderīgi izmantot to (skaitliskās) īpašības, kuras sakrīt izomorfiem 

grafiem un var nesakrist neizomorfiem grafiem. Apzīmēsim visu grafu kopu ar G un fiksēsim 

kādu kopu S, kas parasti ir skaitļu kopa, skaitļu virkņu kopa vai viena vai vairāku argumentu 

funkciju kopa. Funkciju 

φ : G → S 

sauksim par grafu invariantu, ja no tā, ka 

seko, ka 

Ekvivalenta definīcija: ja 

Γ ≃ Γ ′ , 

φ(Γ) = φ(Γ ′ ). 

φ(Γ) ≠ φ(Γ ′ ),


tad 

Γ ≄ Γ ′ . 

Invariantu sistēmu {φ i } i∈I sauksim par pilnu, ja no tā, ka φ i (Γ) = φ i (Γ ′ ) visiem i ∈ I seko, ka 

Γ ≃ Γ ′ . 

Invariantus izmanto, lai atšķirtu neizomorfus grafus: ja uz diviem grafiem invariants pieņem 

dažādas vērtības, tad uzreiz var secināt, ka grafi nav izomorfi. Biežāk izmantotos grafu invariantus 

pēc to izcelsmes var iedalīt šādās grupās: 

• elementārie invarianti, kas ir saistīti ar grafa apakšgrafiem, piemēram, virsotņu skaits, 

šķautņu skaits, maksimālā virsotnes pakāpe, minimālā virsotnes pakāpe, pakāpju vektors, 

komponenšu skaits, fiksēta garuma ķēžu un ciklu skaits, fiksēta izomorfisma tipa 

apakšgrafu skaits u.c.; 

• metriskie invarianti, kas saistīti ar ”attālumu” starp grafa virsotnēm; 

• strukturālie invarianti, kas saistīti ar sakarīgumu (skatīt nodaļu ”Grafu sakarīgums”); 

• topoloǧiskie invarianti, kas ir saistīti ar grafa ievietošanu plaknē vai uz slēgtas divdimensionālas 

virsmas); 

• hromatiskie invarianti, kas ir saistīti ar virsotņu un šķautņu kopu ”neatkarību” (skatīt 

atbilstošo nodaļu šajā tekstā); 

• algebriskie invarianti, kas ir saistīti ar algebras jēdzieniem - grafa matricas īpašvērtības 

un raksturīgais polinoms, grafa automorfismu grupa u.c; 

• grafiski iterētie invarianti, kas atbilst grafiem, kas atvasināti no dotajiem grafiem. 

Grafu invariantus var klasificēt arī pēc to aprēķināšanai nepieciešamajiem laika un telpas 

resursiem asimptotiku nozīmē kā arī pēc to aprēķinošo algoritmu kompleksitātes automātu teorijas 

nozīmē. 

Grafu invariantus var arī apvienot sistēmās un apskatīt objektus, kas atgādina kombinatorikā 

izmantotās veidotājfunkcijas. 

Piemērs 3.38. Definēsim šādus invariantus-veidotājfunkcijas: 

• A(x, Γ) = ∑ ∞ 

n=0 a nx n , kur a n ir grafa Γ inducēto apakšgrafu skaits ar n šķautnēm; 

• B(x, y, Γ) = ∑ ∞ 

m=0,n=0 a mnx m y n , kur a mn ir grafa Γ inducēto apakšgrafu skaits ar m 

virsotnēm un n šķautnēm; 

• C(x, y, z, Γ) = ∑ ∞ 

m=0,n=0,p=0 a mnpx m y n z p , kur a mnp ir grafa Γ inducēto apakšgrafu skaits 

ar m virsotnēm un n šķautnēm skaits, kuri ir savienoti ar pārējo grafa daļu ar p šķautņu 

palīdzību. 

Uz šo brīdi nav zināma pilna un viegli aprēķināma invariantu sistēma - vai nu invariants ir 

pilns un aprēķināms tikpat lēni kā izomorfisms (piemēram, minimālais binārais skaitlis, ko iegūst, 

pārrakstot matricu bināras virknes veidā) vai arī tas nav pilns un ātri aprēķināms (piemēram, 

virsotņu un šķautņu skaits). Nākamajā nodaļā sīkāk apskatīsim grafu metriskos invariantus. 


Vingrinājums 3.39. Atrast visas izomorfisma klases grafiem, kuriem ir ne vairāk kā 5 virsotnes. 

Vingrinājums 3.40. Atrast visas izomorfisma klases kokiem, kuriem ir ne vairāk kā 7 virsotnes 

un atrast katras klases pārstāvju automorfisma grupas. 

Vingrinājums 3.41. Atrast visas 3-regulāru grafu izomorfisma klases ar 8 virsotnēm. 

Vingrinājums 3.42. Atrast norādīto grafu automorfismus ar norādītajām kārtām (funkcijas 

f : A → A kārta ir mazākais naturālais skaitlis k tāds, ka f k = id A ): 

1) grafs H 3 (kuba grafs), kārta - 2, 3, 4, 6; 

2) grafs H 4 , kārta - 2, 3, 4, 6, 8; 

3) oktaedra grafs, kārta - 2, 3, 4, 6; 

4) dodekaedra grafs, kārta - 2, 3, 5, 6, 10;

5) ikosaedra grafs, kārta - 2, 3, 5, 6, 10; 

6) Petersena grafs, kārta - 2, 3, 4, 5, 6. 


Vingrinājums 3.43. Konstruēt piemērus grafiem, kuriem automorfismu grupa ir Z n (atlikumu 

kopa pēc moduļa n ar atlikumu saskaitīšanas operāciju),Σ n (visu n elementus lielas kopas permutāciju 

kopa ar funkciju kompozīcijas operāciju),Z 2 × Z 2 . 

Vingrinājums 3.44. Pierādīt, ka neeksistē 

1) grafi ar triviālu automorfismu grupu, kuriem virsotņu skaits ir mazāks kā 6; 

2) 3-regulāri grafi ar triviālu automorfisma grupu, kuriem virsotņu skaits ir mazāks kā 12. 

Vingrinājums 3.45. Pierādīt, ka, ja grafs ir izomorfs savam papildgrafam, tad, grafa virsotņu 

skaitu dalot ar 4, atlikumā iegūst 0 vai 1. 

Vingrinājums 3.46. Sakarīga grafa četrām virsotnēm pakāpe ir 3, un pārējām virsotnēm 

pakāpe ir 4. Pierādīt, ka nav iespējams izdzēst vienu šķautni tā, lai grafs sadalītos divās izomorfās 

komponentēs. 

3.6.3. Grafu metriskie invarianti. Svarīga invariantu klase ir invarianti, kas ir saistīti ar 

virsotnes savienojošo ķēžu īpašībām. Izrādās, ka grafu teorijā var definēt ǧeometriskā attāluma 

analogu, kas rada vairākus netriviālus un praktiski svarīgus grafu invariantus. 

Par attālumu starp divām virsotnēm v un w sauksim (v, w) - ķēžu garumu minimumu, 

attālumu starp virsotnēm v un w apzīmēsim ar dist(v, w), tā ir divu argumentu funkcija 

dist : V × V → N ∪ 0. 

Papildus tam attālumu starp divām virsotnēm dažādās komponentēs definēsim vienādu ar bezgalību. 

Par sakarīga grafa diametru sauksim maksimālo attālumu starp divām virsotnēm grafā, 

jeb, citiem vārdiem sakot, attāluma funkcijas maksimālo vērtību grafā, šo lielumu grafam Γ 

apzīmēsim ar D(Γ). Par virsotnes ekscentritāti sauksim maksimālo attālumu no šīs virsotnes 

līdz kādai citai virsotnei dotajā grafā, virsotnes v ekscentritāti apzīmēsim ar ɛ(v). Par grafa 

centru sauksim grafa virsotņu kopu ar minimālo ekscentritāti, to apzīmēsim ar Z(Γ). Centra 

virsotņu ekscent-ritāti sauksim par grafa rādiusu, to apzīmēsim ar r(Γ). Virsotnes, kuru ekscentritāte 

ir vienāda ar grafa diametru, sauksim par perifērijas virsotnēm. Par grafa ekscentritāšu 

vektoru sauksim virkni (a 1 , ..., a k ), kur a i ir virsotņu skaits ar ekscentritāti i. Par grafa attālumu 

vektoru sauksim virkni (b 1 , ..., b m ), kur b i ir virsotņu pāru skaits ar attālumu i. Ir skaidrs, ka 

diametrs, rādiuss, centra virsotņu skaits, ekscentritāšu vektors un attālumu vektors ir grafa invarianti. 

Virsotni, kuras attālums līdz jebkurai citai virsotnei ir 1, sauksim par dominējošu 

virsotni. Grafa virsotni, kuras attālums līdz jebkurai citai virsotnei nepārsniedz 2, sauksim par 

karali. Ķēdi, kuras garums ir vienāds ar grafa diametru, sauksim par diametrālu ķēdi. 

Ja ir dots grafs Γ, tad par tā k-to pakāpi sauksim grafu Γ k , kuram V (Γ k ) = V (Γ) un kurā 

divas virsotnes v un w ir savienotas tad un tikai tad, ja dist(v, w) ≤ k. Lai skaitītu maršrutus, 

kas savieno dažādas virsotnes, ir lietderīgi izmantot grafa blakusattiecības matricu. Izmantojot 

lineāro algebru, var pierādīt šādu apgalvojumu: ja grafa matrica ir A, tad matricas A k elements 

A k ij ir vienāds ar (j, i)-maršrutu skaitu. 

Piemērs 3.47. Kombinatorikas uzdevumus var mēǧināt interpretēt kā maršrutu skaitīšanu 

grafos. Pieņemsim, ka ir dots orientēts nosvērts grafs Γ = (V, E) ar blakusattiecības matricu 

A. Kā tika minēts, var redzēt, ka matricas A k elements (A k ) ij ir vienāds ar visu (j, i)-maršrutu 

svaru summu. Vispārinot veidotājfunkcijas ideju, redzam, ka 

∑ 

A n = (E − A) −1 

n≥0 

ir matrica, kuras elementi ir formāli vienādi ar maršrutu svaru summu starp atbilstošajām virsotnēm 

(E ir vienības matrica). Var redzēt, piemēram, ka matricas (E − A) −1 treiss (diagonāles 

elementu summa) ir vienāds ar noslēgtu maršrutu skaitu. Parasti pirms aprēķiniem matricu A


00 

x 

01 

x 

x 

x 

x 

10 

x 

11 

3.32. attēls. Grafs Γ piemēram 3.43 

modificē, definējot šķautņu svarus tā, lai atvieglotu dotā uzdevuma atrisināšanu. Šo metodi sauc 

par transfermatricas metodi. Transfermatricas metodi izmanto arī, lai pierādītu veidotājfunkciju 

racionalitāti vai algebriskumu. Izmantojot transfermatricas metodi, atrisināsim šādu uzdevumu: 

cik ir n simbolus garu vārdu binārajā alfabētā {0, 1}, kas sākas ar 0 un beidzas ar 1, ja tiek 

”aizliegtas” apakšvirknes 000 un 111? Modelēsim šādu virkņu veidošanu ar grafu palīdzību šādā 

veidā. Definēsim nosvērtu orientētu grafu Γ, kura virsotnes ir visi iespējamie sakārtotie pāri 

binārajā alfabēta (00,01,10,11) un starp divām virsotnēm v un w eksistē šķautne v → x w, ja, 

pievienojot pārim v kādu no binārajiem simboliem, iegūst atļautu virkni, kuras divu pēdējo simbolu 

apkšvirkne ir w. 3.32.attēlā ir parādīts grafs Γ. 

Grafa Γ blakusattiecības matrica A ir vienāda ar 

⎡ 

un iegūstam, ka 

kur 

(E − A) −1 = 

⎡ 

1 

⎢ 

det(E − A) ⎣ 

⎢ 

⎣ 

0 0 x 0 

x 0 x 0 

0 x 0 x 

0 x 0 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−x 3 − x 2 + 1 x 3 + x 2 x x 2 

x 1 x 2 + x x 3 + x 2 

x 3 + x 2 x 2 + x 1 x 

x 2 x x 3 + x 2 −x 3 − x 2 + 1 

det(E − A) = −(x 4 + 2x 3 + 2x 2 − 1). 

Ja virkne sākas ar 0, tad tā sākas ar 00 vai 01, ja virkne beidzas ar 1, tad tā beidzas ar 01 vai 

11. Ievērosim, ka maršruti ar garumu m atbilst virknēm ar garumu m − 2. Tātad, lai atrastu 

meklējamās skaitļu virknes veidotājfunkciju, mums ir jāsummē matricas X = (E −A) −1 elementi 

x 21 , x 22 , x 41 , x 42 . Ja mēs apzīmēsim meklējamo skaitļu virkni ar {a n } n≥2 , tad 

A(x) = ∑ a n x n−2 (x + 1) 2 

= − 

(x 2 + x + 1)(x 2 + x − 1) 

n≥2 

un, sadalot šo funkciju parciāldaļās, iegūsim, ka 

A(x) = 

x 

2(x 2 + x + 1) − 1 

x 2 + x − 1 − x 

2(x 2 + x − 1) . 

Var pārbaudīt, ka daži pirmie virknes locekļi ir šādi: 

A(x) = 1 + 2x + 2x 2 + 4x 3 + 7x 4 + 10x 5 + ... 

⎤ 

⎥ 

⎦ ,

3.7. NEATRISINĀTAS GRAFU TEORIJAS PROBLĒMAS PIEMĒRS - LIELAIS MŪRA GRAFS 107 

Orientētu grafu gadījumā attālumu starp divām virsotnēm definēsim kā minimālo šķautņu 

skaitu virzītā ķēdē, kas savieno šīs virsotnes. 

Teorēma 3.48. Attāluma funkcija apmierina šādas īpašības: 

1) jebkurām virsotnēm v un w izpildās 

dist(v, w) = dist(w, v) 

(simetrija); 

2) dist(v, w) = 0 tad un tikai tad, ja v = w (nedeǧenerētība); 

3) jebkurām virsotnēm v,w un u izpildās 

(trijstūra nevienādība). 

dist(v, w) ≤ dist(v, u) + dist(u, w) 

Pierādījums. Pirmie divi apgalvojumi ir acīmredzami. 

pieņemsim pretējo. Ja eksistē virsotne u tāda, ka 

dist(v, w) > dist(v, u) + dist(u, w), 

Lai pierādītu trešo apgalvojumu, 

tad tā ir pretruna, jo tad eksistē maršruts no v uz w caur u, kura garums ir mazāks kā dist(v, w). 

QED 

Piemērs 3.49. 

3.33. attēls. Grafs ar diametru 7, rādiusu 4 un trīs centra virsotnēm 

3.7. NEATRISINĀTAS GRAFU TEORIJAS PROBLĒMAS PIEMĒRS - LIELAIS 

MŪRA GRAFS 

50.gados sākās pētījumi par daudzprocesoru datoriem - datoriem, kuros ir vairāki procesori, 

kas ir savā starpā savienoti ar sakaru līnijām. Tos var modelēt kā neorientētus grafus (virsotnes 

- procesori, šķautnes - sakaru līnijas). Starpprocesoru sakaru līnijas ir dārgas, un tās ir grūti 

apkalpot, liels sakaru līniju skaits vai sakaru līniju/procesoru skaitu attiecība samazina datora 

efektivitāti. Galvenā prasība daudzprocesoru sistēmu projektēšanā ir minimizēt sakaru līniju un 

procesoru skaita attiecību. Papildus prasības ir šādas: 

• procesoru-sakaru līniju grafam jābūt ar pēc iespējas mazāku diametru (lai jebkuri divi 

procesori varētu ātri apmainīties ar informāciju); 

• procesoru-sakaru līniju grafam jābūt pēc iespējas simetriskam, lai atvieglotu tā darba 

vadīšanu (lai programmatūra tā darba vadīšanai būtu pēc iespējas vienkāršāka) - metrisko 

invariantu terminos šo prasību var formulēt šādi: kā minimums grafam vēlams būt 

regulāram un visu virsotņu ekscentritātēm vēlams būt vienādām;

3.8. OPERĀCIJAS AR GRAFIEM 108 

• vēlams arī, lai grafa automorfismu grupa būtu pēc iespējas lielāka un tās struktūra būtu 

vienkārša. 

Ja grafa diametrs ir 1, tad grafs ir pilns - šķautņu un virsotņu skaitu attiecība ir 

n(n−1) 

2 

= n − 1 , 

n 2 

kur n ir virsotņu skaits. Nākamais gadījums - diametrs ir 2. Ja grafs ir k-regulārs ar diametru 

2, tad maksimāli iespējamais virsotņu skaits ir 

1 + k + k(k − 1) = k 2 + 1, 

šķautņu un virsotņu skaitu attiecība ir 

n √ n−1 

√ 

2 n − 1 

= , 

n 2 

kur n ir virsotņu skaits - šī attiecība ir mazāka nekā gadījumā, kad diametrs ir 1. Regulāru grafu, 

kura virsotņu pakāpe ir k, diametrs ir 2 un virsotņu skaits ir k 2 + 1, sauksim par Mūra grafu 

ar diametru 2 (var definēt arī Mūra grafu ar jebkuru diametru). Izmantojot lineāro algebru, 

precīzāk, grafa matricas īpašvērtību analīzi, ir atrasts, ka Mūra grafi ar diametru 2 ir iespējami 

tikai dažām virsotņu pakāpes vērtībām: 

k ∈ {2, 3, 7, 57}. 

Apskatīsim šos gadījumus: 

1) k = 2 - cikls ar garumu 5; 

2) k = 3 - Petersena grafs, pierādīt šo faktu nav grūti, pietiek paskatīties uz Petersena 

grafu; 

3) k = 7 - ir konstruēts atbilstošais Mūra grafs (ar 50 virsotnēm, virsotņu pakāpi 7 un 

diametru 2) (Hofmana-Singltona grafs, 1960), atrast šādu grafu ir grūts uzdevums 

patstāvīgam darbam, kuru var atrisināt ar meklēšanas algoritmu palīdzību; 

4) k = 57 - neatrisināta matemātiska problēma (uz 2004.gada jūliju), nav zināms, vai tāds 

grafs eksistē vai nē! 

Lasītājam mēs piedāvājam risināt šo problēmu - atrast regulāru grafu ar virsotņu pakāpi 57, 

virsotņu skaitu 3250 un diametru 2 (Lielo Mūra Grafu) vai pierādīt, ka tāds neeksistē. Viegli 

redzēt, ka šim grafam piemīt šādas papildus īpašības - tajā nav ciklu ar garumu 3 un 4 (tad 

virsotņu skaits nebūtu maksimāls), tātad minimāls cikls ir ar garumu 5. Ir izteiktas hipotēzes, ka 

Lielais Mūra Grafs satur apakšgrafus, kas ir izomorfi Petersena un Hofmana-Singltona grafiem. 

Ja Lielais Mūra Grafs eksistē, to varētu meklēt ar bektrekinga metodes palīdzību, maksimāli 

optimizējot atkāpšanās un elementu izvēles politiku un izmantojot saprātīgus pieņēmumus. Otrs 

ceļš meklēšanā varētu būt saistīts ar heiristisko metožu izmantošanu. 

3.8. OPERĀCIJAS AR GRAFIEM 

Tāpat kā kopu teorijā, arī grafu teorijā bieži rodas nepieciešamība veidot jaunus grafus no 

jau uzdotiem. Apskatīsim dažas operācijas ar grafiem. 

3.8.0.1. Papildināšana. Šī operācija jau tika definēta. 

3.8.0.2. Apvienošana. Ja doti 2 grafi Γ = (V, E) un Γ ′ = (V ′ , E ′ ), tad par to apvienojumu 

sauksim grafu 

Γ ∪ Γ ′ = (V ∪ V ′ , E ∪ E ′ ). 

Piemēram, var redzēt, ka katrs grafs ir tā komponenšu apvienojums. 

3.8.0.3. Savienošana. Ja doti 2 grafi Γ = (V, E) un Γ ′ = (V ′ , E ′ ), tad par to savienojumu 

sauksim grafu 

Γ + Γ ′ = (V ∪ V ′ , E ∪ E ′ ∪ E ∗ ), 

kur E ∗ = (V × V ′ ) ∪ (V ′ × V ).


3.8.0.4. Virsotnes (virsotņu kopas) izdzēšana. Grafā tiek izdzēsta virsotne (virsotņu kopa) 

un visas tai incidentās šķautnes, virsotņu kopas U izdzēšanu grafā Γ = (V, E) apzīmēsim ar 

Γ − U, tādējādi 

Γ − U = (V \U, E\{(u, v) ∪ (v, u)|u ∈ U, v ∈ V }). 

3.8.0.5. Šķautnes (šķautņu kopas) izdzēšana. Grafā tiek izdzēsta šķautne vai šķautņu kopa, 

šķautņu kopas S izdzēšanu grafā Γ = (V, E) apzīmēsim ar Γ − S, tādējādi 

Γ − S = (V, E\S). 

3.8.0.6. Šķautnes savilkšana. Virsotnes, kas incidentas ar doto šķautni, tiek apvienotas vienā 

virsotnē, šķautnes e savilkšanu grafā Γ apzīmēsim ar Γ/e. 

3.8.0.7. Virsotnes pievienošana. Tiek pievienota viena jauna virsotne un šķautnes, kas to 

savieno ar visām iepriekš eksistējošām virsotnēm. 

3.8.0.8. Šķautnes pievienošana. Tiek pievienota šķautne, kas savieno divas izvēlētas nesavienotas 

virsotnes, šķautnes e pievienošanu grafā Γ apzīmēsim ar Γ + e. 

3.8.0.9. Inducēta apakšgrafa savilkšana. Dotā inducētā apakšgrafa vietā pievienojam jaunu 

virsotni, kas ir savienota ar tām virsotnēm (ārpus) savilktā apakšgrafa virsotņu kopas, ar kurām ir 

bijusi savienota vismaz viena no savilktā apakšgrafa virsotnēm. Speciālgadījums - divu virsotņu 

identifikācija. 

Teiksim, ka grafu Γ var savilkt uz grafu Γ ′ , ja Γ ′ var iegūt no Γ, veicot vairākas šķautņu savilkšanas 

operācijas. Par grafa Γ minoru sauksim jebkuru grafu, ko var iegūt no Γ, vairākkārt pielietojot 

šķautņu izdzēšanas un savilkšanas operācijas kā arī izolētu virsotņu izdzēšanas operācijas. 

Minēsim vienu no svarīgākiem neseniem grafu teorijas rezultātiem (Seimors-Robertsons, 

80.gadi) - jebkurā bezgalīgā grafu kopā eksistē divi grafi, tādi, ka viens no tiem ir otra grafa 

minors (šajā bezgalīgajā grafu kopā eksistē divi grafi Γ 1 un Γ 2 tādi, ka vai nu grafs Γ 1 ir izomorfs 

kādam grafa Γ 2 minoram, vai arī Γ 2 ir izomorfs kādam grafa Γ 1 minoram). 

Minēsim arī vēl vienu no mūsdienu grafu teorijas neatrisinātajām problēmām, kas ir saistīta 

ar tikko definētajām operācijām. Uzdosim šādu jautājumu - vai grafa izmorfisma tipu var noteikt 

(rekonstruēt), ja ir zināms viss to grafu izomorfismu tipu saraksts, kurus iegūst, izmetot vienu 

virsotni (ja grafam ir n virsotnes, tad iegūst n grafus (katrs no tiem ar n−1 virsotni)? Ir izteikta 

hipotēze (rekonstrukcijas hipotēze), ka atbilde uz šo jautājumu ir pozitīva. 

3.9. GRAFU SAKARĪGUMS 

3.9.1. Ievads. Atgādināsim, ka grafs ir sakarīgs, ja tā jebkuras divas virsotnes var savienot 

ar ķēdi. Sakarības komponentes ir maksimālie sakarīgie apakšgrafi. Virsotni sauksim par šarnīru, 

ja tās izdzēšana palielina grafa komponenšu skaitu. Šķautni sauksim par tiltu, ja tās izdzēšana 

palielina grafa komponenšu skaitu. Grafu sauksim par bloku, ja tas ir sakarīgs grafs bez 

šarnīriem. Šķautņu kopas apakškopu sauksim par griezumu, ja tās izdzēšana palielina grafa 

komponenšu skaitu. Grafa inducētu apakšgrafu arī sauksim par bloku, ja tas ir maksimāls bloks 

(jebkurš apakšgrafs, kas to satur, nav bloks). Grafa Γ bloku grafs - grafs, kur virsotnes ir grafa 

Γ bloki, divas virsotnes ir savienotas ar šķautni tad un tikai tad, ja attiecīgie bloki ir savienoti 

ar šarnīru. Grafa bloku grafs ir tā grafiski iterētais invariants. 

Piemērs 3.50. 3.34.(a) attēlā ir parādīts grafs ar diviem šarnīriem un vienu tiltu. 3.34.(b) 

attēlā ir parādīts grafs ar trīs blokiem. 

(a) 

(b)


3.34. attēls. (a) Grafs ar diviem šarnīriem un vienu tiltu, (b) grafs ar diviem šarnīriem, trīs 

blokiem un bez tiltiem 

Teorēma 3.51. Jebkurā sakarīgā grafā ar vismaz divām virsotnēm ir vismaz divas virsotnes, 

kas nav šarnīri. 

Pierādījums. Jebkuras diametrālas ķēdes gali nevar būt šarnīri. QED 

Teorēma 3.52. Ja ir dots grafs Γ = (V, E), |E| ir grafa šķautņu skaits un C ir grafa 

komponenšu skaits, tad ir spēkā divkārša nevienādība 

(3.3) |V | − C ≤ |E| ≤ 

Pierādījums. No sākuma pierādīsim, ka 

(|V | − C)(|V | − C + 1) 

. 

2 

|V | − C ≤ |E|. 

Izmantosim matemātisko indukciju pēc virsotņu skaita |V |. Pieņemsim, ka apgalvojums ir 

pierādīts visiem |V | < k. Apskatīsim jebkuru grafu Γ ar virsotņu skaitu |V | = k. Izdzēsīsim 

jebkuru virsotni v grafā Γ, kas nav šarnīrs. Ja d(v) = 0, tad jaunajā grafā Γ ′ = (V ′ , E ′ ) iegūsim 

sakarības 

|V ′ | = |V | − 1, C ′ = C − 1, |E ′ | = |E|. 

Nevienādība 

|V ′ | − C ′ ≤ |E ′ | 

ir spēkā, jo tas ir indukcijas pieņēmums, tāpēc nevienādība 

ir spēkā grafam Γ. Ja d(v) > 0, tad 

No indukcijas pieņēmuma seko, ka 

|V | − C ≤ |E| 

|V ′ | = |V | − 1, C ′ = C, |E ′ | = |E| − d(v). 

|V | − C ≤ |E| − d(v) + 1 

un arī šajā gadījumā nevienādība 

|V | − C ≤ |E| 

ir spēkā. 

Tagad pierādīsim, ka 

(|V | − C)(|V | − C + 1) 

|E| ≤ . 

2 

Uzskatīsim grafa virsotņu un komponenšu skaitu par fiksētu un apskatīsim tikai grafus, kuru 

visas komponentes ir pilni grafi, jo citiem grafiem ar fiksētu virsotņu un komponenšu skaitu 

šķautņu skaits ir tikai mazāks. Ja mēs pierādīsim apgalvojumu pilno grafu apvienojumiem, tad 

tas būs pierādīts visiem grafiem, jo citos gadījumos nevienādības kreisā puse būs vēl mazāka. 

Pierādīsim, ka vislielākais šķautņu skaits ir grafam, kas satur C − 1 K 1 tipa grafus un vienu 

K |V |−C+1 tipa grafu. Pieņemsim, ka grafā ir divas komponentes Γ 1 ≃ K |V1 | un Γ 2 ≃ K |V2 |, 

1 < |V 1 | ≤ |V 2 |. ”Pārnesot” vienu virsotni no Γ 1 uz Γ 2 kopējais šķautņu skaits izmainīsies par 

lielumu 

|V 2 | − (|V 1 | − 1) = |V 2 | − |V 1 | + 1 > 0, 

tātad, vairākkārtīgi veicot šādas operācijas, mēs palielināsim šķautņu skaitu, pēdējā solī iegūsim 

grafu, kas satur vienu netriviālu pilnu grafu un vairākas izolētas virsotnes. Grafam K |V |−C+1 ∪ 

( ⋃ C−1 

i=1 K 1) šķautņu skaits ir vienāds ar 

(|V | − C)(|V | − C + 1) 

, 

2


un līdz ar to teorēma ir pierādīta. QED 

Analizējot pierādīto nevienādību, var iegūt secinājumu, kas raksturo sakarīga grafa virsotņu, 

šķautņu un komponenšu skaitu. 

Secinājums 3.2. Ja grafā izpildās nevienādība 

tad grafs ir sakarīgs. 

|E| > 

Pierādījums. Pierādīsim, ka funkcija 

(|V | − 2)(|V | − 1) 

, 

2 

(|V | − C)(|V | − C + 1) 

f(|V |, C) = = 1 2 

2 (|V |2 + |V |(1 − 2C) + C 2 − C) 

ir dilstoša kā funkcija no C, ja virsotņu skaits |V | ir fiksēts un C > 1. Pierādīsim, ka visiem 

grafiem 

f(|V |, C) > f(|V |, C + 1). 

Tiešām, 

f(|V |, C) − f(|V |, C + 1) = 1 (2|V | − C)(C − 1) > 0, 

2 

tāpēc ka katra grafa komponente satur vismaz vienu virsotni un 

2|V | − C > 0. 

Ja C > 1 un 

(|V | − 2)(|V | − 1) 

|E| > , 

2 

tad 

(|V | − C)(|V | − C + 1) 

|E| > , 

2 

kas ir pretrunā ar teorēmu (3.52). QED 

Formulēsim trīs vienkāršas teorēmas, kas raksturo šarnīru, tiltu un bloku īpašības. 

Teorēma 3.53. (Teorēma par šarnīriem) Γ = (V, E) - sakarīgs grafs, v ∈ Γ. Nākamie 

apgalvojumi ir ekvivalenti: 

1) v ir šarnīrs; 

2) eksistē divas virsotnes u un w, atšķirīgas no v, tādas, ka v pieder jebkurai (u, w)-ķēdei; 

3) eksistē kopas V \{v} sadalījums divās apakškopās U un W , tāds, ka jebkurām virsotnēm 

u ∈ U, w ∈ W virsotne v pieder jebkurai (u, w)-ķēdei. 

Pierādījums. Teorēmas pierādījums ar cikla palīdzību nav grūts un tiek atstāts lasītāja ziņā. 

QED 

Teorēma 3.54. (Teorēma par tiltiem) Γ = (V, E) - sakarīgs grafs, e ∈ E. Nākamie apgalvojumi 

ir ekvivalenti: 

1) e ir tilts; 

2) e nepieder nekādam ciklam grafā Γ; 

3) eksistē divas virsotnes u un w, tādas, ka e pieder jebkurai (u, w)-ķēdei; 

4) eksistē kopas V sadalījums divās apakškopās U un W , tāds, ka jebkurām virsotnēm 

u ∈ U, w ∈ W šķautne e pieder jebkurai (u, w)-ķēdei. 


QED 

Teorēma 3.55. (Teorēma par blokiem) Γ = (V, E) - sakarīgs grafs ar vismaz 3 virsotnēm. 

Nākamie apgalvojumi ir ekvivalenti: 

1) Γ ir bloks; 

2) caur jebkurām divām virsotnēm grafā Γ var novilkt ciklu;


3) caur jebkuru virsotni un jebkuru šķautni grafā Γ var novilkt ciklu; 


QED 

3.9.2. Augstāku kārtu sakarīgums. Apzīmēsim ar κ(Γ) mazāko virsotņu skaitu, kuru 

iznīcināšana padara grafu par nesakarīgu vai triviālu (triviāls grafs - grafs, kas satur vienu virsotni), 

ar λ(Γ) - mazāko šķautņu skaitu, kuru iznīcināšana padara grafu par nesakarīgu. Skaitli 

κ(Γ) sauksim par grafa Γ virsotņu sakarīguma skaitli un λ(Γ) - par šķautņu sakarīguma skaitli. 

Grafu Γ sauksim par k-sakarīgu grafu, ja κ(Γ) ≥ k. Grafa k-sakarīgā komponente - maksimāls 

k-sakarīgs apakšgrafs. 

Var redzēt, ka nesakarīgi grafi ir 0-sakarīgi. Ja grafs Γ ir sakarīgs, tad κ(Γ) > 0. Bloks ir 

grafs, kuram κ > 1. 

(a) 

3.35. attēls. 2-sakarīga un 3-sakarīga grafa piemēri 

(b) 

Teorēma 3.56. κ(Γ) ≤ λ(Γ) ≤ δ(Γ) 

Pierādījums. Patstāvīgs darbs lasītājam. QED 

No otras puses, liela minimālā virsotnes pakāpe nenodrošina lielu virsotņu sakarīguma skaitli. 

Zemāk bez pierādījuma minēsim kādu apgalvojumu, kas saista grafa vidējo aritmētisko pakāpi 

un tā apakšgrafu virsotņu sakarīguma skaitli. 

Teorēma 3.57. (Madera teorēma) Ja grafa Γ = (V, E) vidējā aritmētiskā virsotņu pakāpe 

apmierina nevienādību 

1 ∑ 

d(v) ≥ 4k, 

|V | 

v∈V 

tad grafam Γ eksistē apakšgrafs Γ ′ tāds, ka κ(Γ ′ ) = k. 


Pieņemsim, ka Γ - sakarīgs grafs, u un v - divas nesavienotas virsotnes. Divas (u, v)-ķēdes 

sauksim par virsotņu šķirtām, ja tām nav kopīgu virsotņu, izņemot u un v. Ja v ir virsotne 

un W ir virsotņu kopas apakškopa, tad visu virsotņu šķirtu (u, W )-ķēžu kopu sauksim par 

(v, W )-vēdekli. Ja ir dotas divas virsotņu kopas apakškopas U un V , tad par virsotņu šķirtu 

(U, V )-ķēdi sauksim virsotņu šķirtu ķēdi, kurai viens galapunkts ir kopā U, bet otrs - kopā V . 

Divas (u, v)-ķēdes sauksim par šķautņu šķirtām, ja tām nav kopīgu šķautņu. 

U 

V 

3.36. attēls. Piemērs grafam, kurā virsotnes u un v savieno divas virsotņu šķirtas ķēdes


Teiksim, ka virsotņu kopa S ⊂ V atdala virsotnes u un v, ja u un v pieder dažādām grafa 

Γ − S komponentēm, šajā gadījumā kopu S sauksim par atdalošo kopu attiecībā uz dotajām 

virsotnēm u un v jeb par (u, v)-atdalošo kopu. 

Teorēma 3.58. (Mengera teorēma). Pieņemsim, ka u un v ir nesavienotas virsotnes grafā. 

Minimālās (u, v)-atdalošas kopas elementu skaits ir vienāds ar maksimālu virsotņu šķirto (u, v)- 

ķēžu skaitu. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka Γ - sakarīgs grafs, u un v - divas nesavienotas virsotnes. Pielietosim 

pastiprināto divparametru matemātisko indukciju pēc virsotņu un šķautņu skaita. Indukcijas 

bāze ir apgalvojums grafam, kas satur 3 virsotnes un 2 šķautnes, šajā gadījumā teorēma 

acīmredzami ir spēkā. Pieņemsim, ka teorēma ir spēkā visiem grafiem, kuriem vai nu virsotņu 

skaits ir mazāks kā |V |, vai arī šķautņu skaits ir mazāks kā |E|. Apskatīsim grafu Γ, kuram ir 

|V | virsotnes un |E| šķautnes, un pieņemsim, ka minimālais elementu skaits (u, v)-atdalošā kopā 

S ir n = |S|. Ir iespējami 3 gadījumi, katru no kuriem apskatīsim atsevišķi. 

1. Kopā S ir virsotnes, kas nav savienotas ne ar u, ne ar v. Grafs Γ − S sastāv no 2 

netriviāliem grafiem Γ 1 un Γ 2 , katrā no kuriem ir vismaz divas virsotnes. Konstruēsim 

2 jaunus grafus Γ u un Γ v , savelkot grafus Γ 1 un Γ 2 uz virsotnēm u un v. S ir minimāla 

atdaloša kopa virsotnēm u un v abos grafos Γ u un Γ v . Tā kā grafi Γ 1 un Γ 2 ir netriviāli, 

tad grafiem Γ u un Γ v ir mazāks virsotņu skaits un, saskaņā ar indukcijas pieņēmumu, 

grafos Γ u un Γ v ir n virsotņu-šķirtu ķēžu. Apvienojot šīs ķēdes ar ķēdēm no S uz v un 

no u uz S, iegūsim n virsotņu-šķirtas ķēdes grafā Γ. 

2. Visas virsotnes kopā ir savienotas ar u vai ar v, skaidrības dēļ pieņemsim, ka tās ir 

savienotas ar u) un eksistē virsotne w ∈ S, kas ir savienota arī ar v. Apskatīsim grafu 

Γ ′ = Γ − w. Šajā grafā S\{w} ir minimāla atdaloša kopa virsotnēm u un v. Saskaņā 

ar indukcijas pieņēmumu grafā Γ ′ ir n − 1 virsotņu-šķirtas ķēdes. Apskatīsim vēl ķēdi 

(u, w, v), tā ir ķēde, kurai nav kopīgu virsotņu ar pārējām ķēdēm. Kopsummā iegūstam 

n virsotņu-šķirtas ķēdes grafā Γ. 

3. Visas virsotnes kopā S ir savienotas ar u vai ar v, skaidrības dēļ pieņemsim, ka tās 

ir savienotas ar u un neeksistē virsotne kopā S, kas ir savienota arī ar v. Apskatīsim 

visīsāko ķēdi, kas savieno u ar v:(u, s, w, ..., v), kur s ∈ S, w ≠ v. Redzam, ka w ∉ S, 

jo pretējā gadījumā minimālā ķēde būtu vēl īsāka. Apskatīsim grafu Γ ′ = Γ/(s, w), ko 

iegūst, identificējot virsotnes s un w ar virsotni s. Grafā Γ ′ kopa S joprojām ir minimāla 

atdaloša kopa virsotnēm u un v. Tā kā grafā Γ ′ ir par vismaz vienu ¯v sķautni mazāk, 

tad tajā ir n virsotņu šķirtas ķēdes. Ķēdēm, kurām nav kopīgu virsotņu grafā Γ ′ , nav 

kopīgu virsotņu arī grafā Γ. Tātad grafā Γ ir n virsotņu šķirtas ķēdes. 

QED 

Analizējot Mengera teorēmu, iegūsim grafa augstāku kārtu sakarīguma īpašību. 

Secinājums 3.3. Ja grafs ir k-sakarīgs, tad jebkurām divām virsotnēm eksistē k virsotņu 

šķirtas ķēdes. 

Var pierādīt arī šādu Mengera teorēmas vispārinājumu. 

Teorēma 3.59. Jebkurām divām grafa virsotņu apakškopām U un V minimālais virsotņu 

skaits (U, V )-atdalošā kopā ir vienāds ar maksimālu virsotņu šķirtu (U, V )-ķēžu skaitu. 


3.9.3. Sakarīgums orientētos grafos. Γ = (V, E) - orientēts grafs. Virsotnes v un w 

sauksim par stingri sakarīgām, ja eksistē virzītas ķēdes, kas saista v un w (abos virzienos), v 

un w sauksim par vienpusīgi sakarīgām, ja eksistē virzīta ķēde, kas saista v un w vismaz vienā 

virzienā. Orientētu grafu sauksim par stingri sakarīgu, ja jebkuras divas virsotnes ir stingri


3.37. attēls. Stingri sakarīga grafa piemērs 

3.38. attēls. Vienpusīgi sakarīga grafa piemērs 

sakarīgas. 

Orientētu grafu sauksim par vienpusīgi sakarīgu, ja jebkuras divas virsotnes ir vienpusīgi sakarīgas. 

Orientētu grafu sauksim par vāji sakarīgu (sakarīgu), ja tam atbilstošais neorientētais grafs ir 

sakarīgs. Par orientēta grafa stingri sakarīgu komponenti sauksim maksimālu stingri sakarīgu 

apakšgrafu. Orientētu grafu sauksim par reducējamu, ja tam ir vismaz divas stingri sakarīgas 

komponentes. Par orientēta grafa vājās sakarības komponentēm sauksim sakarības komponentes 

grafā, ko iegūst no dotā orientētā grafa, aizmirstot par šķautņu orientāciju. 

Piemērs 3.60. Izmantojot sakarīgumu orientētos grafos, aprakstīsim kādu kombinatorikas 

metodi, ko sauc par involūcijas principu un ko var uzskatīt par vienlieluma principa vispārinājumu. 

Pieņemsim, ka ir dotas divas bijekcijas:f : A → B un g : C → D, kur C ⊆ A, D ⊆ B un visas 

kopas ir galīgas. Uzdevums ir atrast ”dabisku” bijekciju no A\C uz B\D. Uzzīmēsim funkcionālo 

grafu, kas atbilst abām definētajām funkcijām, šajā grafā ir orientētas šķautnes a f → f(a) un 

c g → g(c) ar svariem f un g. Šī grafa vāji sakarīgās komponentes ir izomorfas grafiem R n ar 

n ≥ 1 vai S n ar n ≥ 2, kas tiek definēti šādi: 

1) V (R n ) = {u 1 , ..., u n , v 1 , ..., v n }, f-šķautnes ir formā u i 

f 

→ vi , g-šķautnes ir formā u i 

g 

→ 

v i−1 , ja i > 1 (ja n = 1, tad g-šķautņu nav); 

2) V (S n ) = {u 1 , ..., u n , v 1 , ..., v n }, f-šķautnes ir formā u i 

f 

→ vi , g-šķautnes ir formā u i 

g 

→ 

v i−1 , ja i > 1, un u 1 

f 

→ vn .


C 1 

C 3 

C 4 

C 1 

C C 

2 3 

C 4 

C 2 

(a) 

(b) 

3.40. attēls. Orientēta grafa (a) un tā kondensācijas (b) piemērs 

u1 

f 

v 

1 

u1 

f 

v 

1 

g 

g 

u 

1 

f 

v 

1 

u2 

f 

v2 

u2 

f 

v2 

g 

g 

g 

u3 

f 

v 

3 

u3 

f 

v3 

R 

1 

R 

3 

3.39. attēls. Komponenšu piemēri 

Var redzēt, ka A\C ir to virsotņu kopa, no kurām neiziet g-šķautnes un B\D ir to virsotņu 

kopa, kurās neieiet g-šķautnes. Citiem vārdiem sakot, kopu A\C veido R n tipa komponenšu virsotnes 

u 1 un kopu B\D veido R n tipa komponenšu virsotnes v n . Bijekciju konstruēsim šādā veidā. 

Ja A\C virsotne pieder R 1 tipa komponentei, tad piekārtosim tai otro tās pašas komponentes 

virsotni (virsotnei u 1 piekārtosim virsotni v 1 ). Ja A\C virsotne pieder R n tipa komponentei ar 

n > 1, tad piekārtosim tai otro tās pašas komponentes galapunktu (virsotnei u 1 piekārtosim 

virsotni v n ). 

Par orientēta grafa Γ = (V, E) kondensāciju (Herca grafu) sauksim grafu 

H(Γ) = (H(V ), H(E)), 

ko iegūst, savelkot uz vienu virsotni katru stingri sakarīgo komponenti. Citiem vārdiem sakot, 

H(V ) ir visu stingri sakarīgo komponenšu kopa, eksistē šķautne h 1 → h 2 , tad un tikai tad, ja 

eksistē šķautne no vismaz vienas virsotnes komponentē, kas atbilst h 1 , uz vismaz vienu virsotni 

komponentē, kas atbilst h 2 . Orientēta grafa kondensācija ir tā grafiski iterētais invariants. 

Orientēts grafs ir vienpusīgi sakarīgs tad un tikai tad, ja tā kondensācijas grafs ir virzīta ķēde. 

Orientētu grafu sauksim par aciklisku orientētu grafu (AOG), ja tajā nav virzītu ciklu. Var 

redzēt, ka jebkura orientēta grafa kondensācijas grafs ir AOG. Orientēta grafa virsotni sauksim 

par avotu, ja tās pozitīvā puspakāpe ir 0. Orientēta grafa virsotni sauksim par noteku, ja 

tās negatīvā puspakāpe ir 0. Teiksim, ka orientēta grafa virsotnes ir lineārajā sakārtojumā 

(v 1 , ..., v n ), ja izpildās šāds nosacījums: ja eksistē šķautne v i → v j , tad i < j. AOG ir svarīga 

orientētu grafu klase, kuras pārstāvji bieži tiek izmantoti modelēšanā. Katrai daļēji sakārtotai 

kopai var viennozīmīgi piekārtot AOG, kas sakrīt ar tās Hasses grafu. Katram AOG eksistē 

daļēji sakārtota kopa, kuras Hasses grafs sakrīt ar šo AOG. 

S3


Par orientēta grafa Γ bāzi sauksim minimālu virsotņu kopu B ar īpašību, ka jebkurai virsotnei 

v grafā eksistē virsotne b ∈ B, no kuras ir virzīta ķēde līdz v. Orientēta grafa Γ = (V, E) virsotņu 

kopas V apakškopu U sauksim par iekšēji stabilu, ja katrai virsotnei u ∈ U izpildās nosacījums 

Γ(u) ⋂ U = ∅, virsotņu kopas V apakškopu W sauksim par ārēji stabilu, ja katrai virsotnei 

w ∈ V \W izpildās nosacījums Γ(w) ⋂ W ≠ ∅, virsotņu kopas apakškopu sauksim par kodolu, ja 

tā ir gan iekšēji, gan ārēji stabila. 

Grafu kodoli tiek pētīti spēļu teorijā šāda iemesla dēļ. Modelēsim spēli ar orientētu grafu 

Γ = (V, E), kuram virsotnes ir spēles stāvokļi un orientētas šķautnes norāda atļautos gājienus. 

Divi spēlētāji izdara gājienus pēc kārtas: pirmais spēlētājs izvēlas virsotni v 0 no kādas sākotnējo 

stāvokļu kopas, pēc tam otrais izvēlas virsotni v 1 ∈ Γ(v 0 ) un tā tālāk. Ja kāds no spēlētājiem ir 

spējīgs izvēlēties virsotni, kas ir kodolā, tad šim spēlētājam ir uzvarošā vai vismaz nezaudējošā 

stratēǧija, jo viņa pretiniekam katrā gājienā obligāti ir jāizvēlas virsotne ārpus kodola. 


Vingrinājums 3.61. Kāds var būt maksimāli iespējamais šarnīru skaits grafam ar n virsotnēm? 

Vingrinājums 3.62. Pierādīt, ka 3-regulāram grafam eksistē šarnīrs tad un tikai tad, ja tam 

eksistē tilts. Konstruēt 3-regulāru grafu, kuram virsotņu sakarīgums ir vienāds ar 1. 

Vingrinājums 3.63. Pierādiet, ka grafa centra virsotnes pieder vienam grafa blokam. 

Vingrinājums 3.64. Pierādīt, ka grafa šarnīrs nevar būt šarnīrs tā papildgrafam. 

Vingrinājums 3.65. Pierādīt, ka katra netriviāla sakarīga grafa Γ kvadrāts Γ 2 ir 2-sakarīgs. 

Vingrinājums 3.66. Atrast virsotņu un šķautņu sakarīguma skaitļus grafiem, kas ir doti 

nodaļā ”Speciālas grafu klases”. 

Vingrinājums 3.67. Atrodiet visu vāji sakarīgu AOG izomorfisma klašu pārstāvjus ar ne 

vairāk kā 7 virsotnēm. 

Vingrinājums 3.68. Kādā valstī ir 100 pilsētas un divvirzienu ceļu sistēma, kurā izpildās 

šāds nosacījums: izvēloties patvaļīgu pilsētu P un slēdzot visus ceļus, kas iziet no P , no jebkuras 

pilsētas (izņemot P ) var aizbraukt uz jebkuru citu pilsētu. Pierādīt, ka valsti var sadalīt 2 

neatkarīgos reǧionos tā, ka katrā no reǧioniem no jebkuras pilsētas var aizbraukt uz jebkuru 

citu. 

Vingrinājums 3.69. Kādā valstī ir n pilsētas, kas ir savienotas ar 2n − 1 vienvirziena 

ceļiem. Ir zināms, ka no jebkuras pilsētas var aizbraukt uz jebkuru citu, virzoties tikai atļautajos 

virzienos. Pierādīt, ka eksistē ceļš, kuru slēdzot minētā īpašība saglabāsies. 

Vingrinājums 3.70. Pierādīt, ka katru neorientētu sakarīgu grafu, kuram katras virsotnes 

pakāpe ir pāra skaitlis, var orientēt tā, lai tam būtu viena stipri sakarīga komponente. 

Vingrinājums 3.71. Kādā valstī jebkuras divas pilsētas ir savienotas ar vienvirziena ceļu. 


1) eksistē pilsēta, ko kuras var aizbraukt uz jebkuru citu pilsētu; 

2) eksistē ceļš, kurā, nomainot atļauto virzienu uz pretējo, var panākt, ka no jebkuras 

pilsētas var aizbraukt uz jebkuru citu pilsētu.

3.10. KOKI 117 

3.10. KOKI 

3.10.1. Ievads. Par aciklisku grafu jeb mežu sauksim grafu, kurā nav inducētu apakšgrafu, 

kas ir izomorfi cikliem. Par koku sauksim sakarīgu aciklisku grafu. Grafa apakšgrafu, kas satur 

visas virsotnes un ir koks, sauksim par grafa skeletu jeb pārklājošo koku. Viegli redzēt, ka kokam 

katra virsotne, kuras pakāpe ir lielāka nekā 1, ir šarnīrs, tādējādi kokiem κ = 1. Par aciklisku 

orientētu grafu (AOG) sauksim orientētu grafu bez virzītiem cikliem. 

3.41. attēls. Visi koku izomorfisma tipi ar 7 virsotnēm 

Teorēma 3.72. Γ = (V, E) - grafs ar |V | virsotnēm un |E| šķautnēm. Šādi apgalvojumi ir 

ekvivalenti: 

1) Γ - koks; 

2) Γ - sakarīgs grafs un |E| = |V | − 1; 

3) Γ - aciklisks grafs un |E| = |V | − 1; 

4) grafā Γ jebkuras divas dažādas virsotnes savieno tieši viena ķēde; 

5) Γ - aciklisks grafs, kuram pievienojot vienu jaunu šķautni iegūst grafu ar tieši vienu 

ciklu. 

Pierādījums. Pierādīsim teorēmu, izmantojot ciklisko pierādīšanas tehniku. Ir jāpierāda, ka 

(1) → (2) → (3) → (4) → (5) → (1). 

(1) → (2): izmantosim matemātisko indukciju ar argumentu |V |. Indukcijas bāze: ja 

|V | = 1, tad izteikums ir acīmredzams. Ja |V | > 1, tad jebkurai šķautnei e grafs 

Γ − e satur 2 komponentes - kokus (grafā Γ nav ciklu) T 1 un T 2 . Pieņemsim, ka šajās 

komponentēs ir |V 1 | vai |V 2 | virsotnes un |E 1 | vai |E 2 | šķautnes, kas saskaņā ar induktīvo 

pieņēmumu apmierina nosacījumus |E i | = |V i | − 1. Iegūstam, ka 

|E| = |E 1 | + |E 2 | + 1 = (|V 1 | − 1) + (|V 2 | − 1) + 1 = (|V 1 | + |V 2 |) − 1 = |V | − 1. 

(2) → (3): Γ ir sakarīgs grafs un |E| = |V |−1. Jāpierāda, ka grafā nav ciklu. Pieņemsim, 

ka eksistē cikls, kas satur šķautni e. Grafs Γ − e ir sakarīgs un satur |V | − 2 šķautnes. 

Tāds grafs nevar būt sakarīgs, jo tam šķautņu skaits ir par 2 mazāks nekā virsotņu 

skaits. 

(3) → (4): pieņemsim, ka Γ ir aciklisks un |E| = |V | − 1. Pieņemsim, ka grafa komponenšu 

skaits ir C un i-tās komponentes virsotņu un šķautņu skaits ir |V i | un |E i |. Tā 

kā katra komponente ir koks, tad |E i | = |V i | − 1 un 

C∑ 

|E| = (|V i | − 1) = |V | − C. 

i=1

QED 

3.10. KOKI 118 

Redzam, ka C = 1 un grafs ir sakarīgs. Ja eksistētu 2 virsotnes, kuras saista 2 dažādas 

ķēdes, tad eksistētu cikls. 

(4) → (5): ja grafā Γ būtu cikls, tad eksistētu divas dažādas ķēdes, kas savienotu divas 

virsotnes. Ja, pievienojot vienu šķautni, iegūtu divus dažādus ciklus, tad sākotnējā 

grafā starp attiecīgajām virsotnēm eksistētu divas dažādas ķēdes. 

(5) → (1): pierādīsim, ka grafs Γ ir sakarīgs. Ja virsotnes u un v piederētu 2 dažādām 

komponentēm, tad, pievienojot šķautni (u, v), mēs neiegūtu ciklu. 

Secinājums 3.4. Ja sakarīgam grafam ar n virsotnēm ir vismaz n šķautnes, tad tas satur 

ciklu. 

Teorēma 3.73. Kokā ir vismaz 2 virsotnes ar pakāpi 1. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka kokā T ir |V | virsotnes. Tā kā 

∑ 

d(v) = 2(|V | − 1), 

v∈V (T ) 

tad vismaz 2 saskaitāmie kreisajā pusē ir vienādi ar 1. QED 

Kokam, tāpat kā vispārīgam grafam, ir definēts centrs, diametrs un rādiuss. Par koka virsotnes 

apakšzaru sauksim jebkuru koka maksimālu apakšgrafu, kas ir koks un satur doto virsotni 

kā virsotni ar pakāpi 1 (tādējādi katras virsotnes dažādo apakšzaru skaits ir vienāds ar 

tās pakāpi). Par virsotnes svaru sauksim maksimālo šķautņu skaitu tās apakšzaros. Par koka 

centroīdu sauksim virsotņu kopu, kuru svars ir minimāls. 

Teorēma 3.74. Koka centrs un centroīds satur 1 vai 2 virsotnes. 

Pierādījums. Pierādīsim tikai apgalvojumu par centru, apgalvojums par centroīdu ir patstāvīgs 

darbs lasītājam. Pieņemsim, ka grafs satur vismaz 3 virsotnes. Sāksim izdzēst virsotnes ar pakāpi 

1 šādā veidā. Sākotnējā grafā Γ atzīmēsim visas virsotnes ar pakāpi 1 un izdzēsīsim tās. Iegūsim 

jaunu grafu Γ 1 , kura centrs sakrīt ar sākotnējā grafa Γ centru. Atkārtosim šo operāciju vairākas 

reizes, kamēr iegūsim triviālo grafu vai K 2 , kuriem centrs satur vienu vai divas virsotnes. QED 

1 

2 

8 

3 

8 

7 

11 

12 

9 

4 

11 

12 

9 

11 

12 

10 

10 

6 

5 

3.42. attēls. Ilustrācija teorēmas (3.74) pierādījumam 

Piebildīsim, ka, ja grafs nav koks, tad tā centrs var saturēt arī vairāk kā 2 virsotnes. 

Piemēram, pilnajam grafam vai ciklam centrs sakrīt ar visu virsotņu kopu. 

Teorēma 3.75. Katram sakarīgam grafam eksistē skelets (pārklājošais koks). 

Pierādījums. Ja grafs sākotnēji nav koks, tad pakāpeniski pa vienai izdzēsīsim šķautnes, 

kas ieiet ciklos, katrā solī izdzēšot jebkuru no šķautnēm, kas piedalās kādā no cikliem. Tā kā 

neviena šāda šķautne nevar būt tilts, tad tās izdzēšana nepadara grafu par nesakarīgu. Katrā 

šādā šķautnes izdzēšanas operācijā virsotņu skaits nemainās, bet šķautņu skaits samazinās par 

1. Pēc galīga skaita soļu mēs iegūsim sakarīgu grafu, kuram izpildās nosacījums |E| = |V | − 1,

3.10. KOKI 119 

tādējādi šis jauniegūtais grafs ir sākotnējā grafa apakšgrafs, kas satur visas virsotnes un ir koks. 

QED 

Teorēma 3.76. Katram sakarīga grafa acikliskam skeletālam apakšgrafam eksistē pārklājošais 

koks, kas satur šo skeletālo apakšgrafu. 

Pierādījums. Ja acikliskais skeletālais apakšgrafs sākotnēji nav koks, tad eksistē vismaz viena 

šķautne, kas nepieder šim apakšgrafam un kas neveido ar to ciklus. Pievienojot sākotnējam 

apakšgrafam šādas šķautnes, pēc galīga soļu skaita pārveidosim to par pārklājošo koku. QED 

Grafa dažādo pārklājošo koku skaits ir tā invariants, ko sauksim par grafa kompleksitāti. 

Teorēma 3.77. Katrs koks ir divdaļīgs grafs. 

Pierādījums. Patstāvīgs darbs lasītājam. 

QED 

3.10.2. Orientēti, sakārtoti un bināri koki. Orientētu grafu sauksim par orientētu koku 

(orientētu sakņotu koku), ja izpildās šādi nosacījumi: 

1) eksistē viena virsotne (sakne), kuras pozitīvā puspakāpe ir vienāda ar 0; 

2) visu pārējo virsotņu pozitīvā puspakāpe ir vienāda ar 1; 

3) eksistē tieši viena virzīta ķēde no saknes uz jebkuru citu virsotni. 

Piemērs 3.78. 3.43.attēlā ir doti orientētu koku piemēri. 

(a) 

(b) 

3.43. attēls. Orientētu koku piemēri 

Teorēma 3.79. Orientētiem kokiem piemīt šādas īpašības: 

1) aizmirstot šķautņu orientāciju orientētajā kokā, iegūst koku; 

2) inducētais apakšgrafs, kura virsotņu kopa ir vienāda ar to virsotņu kopu, kuras ir sasniedzamas 

no kādas fiksētas virsotnes v, ir orientēts koks ar sakni v; 

3) ja ir dots (neorientēts) koks, tad, izvēloties jebkuru virsotni par sakni, var viennozīmīgi 

konstruēt orientētu koku. 


Orientēto koku teorijā tradicionāli tiek pielietota botāniskas vai ǧenealoǧiskas izcelsmes terminoloǧija. 

Orientēta koka virsotni ar negatīvo puspakāpi 0 sauksim par lapu. Ķēdi no saknes 

līdz lapai sauksim par zaru. Par orientēta koka augstumu sauksim maksimāla zara garumu 

(šķautņu skaitu). Par virsotnes līmeni sauksim šo virsotni un sakni savienojošas ķēdes garumu. 

Viena līmeņa virsotņu kopu sauksim par paaudzi. Virsotņu kopu, uz kurām iet ķēdes (šķautnes) 

no kādas fiksētas virsotnes v, sauksim par v pēctečiem (dēliem) un sauksim v par šīs kopas senci 

(tēvu). Virsotni, kas nav lapa, sauksim par iekšēju virsotni. 

Piemērs 3.80. Orientētos kokus izmanto, lai vizualizētu summas likumu kombinatorikā. Ja 

A = A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n un A i ∩ A j visiem i ≠ j, tad uzskatīsim A par tēvu un apakškopas A i par 

tā dēliem. 

Orientētu koku sauksim par sakārtotu koku, ja katras virsotnes dēlu kopā ir definēts pilns 

sakārtojums.

3.10. KOKI 120 

(a) 

(b) 

3.46. attēls. Bināru koku piemēri 

V 0 

V 1 

< V 2 < V 3 

V 4 

< V 5 

< V 6 

V 7 

< V 8 

3.44. attēls. Sakārtota koka piemērs 

Var redzēt, ka pilns sakārtojums katras virsotnes dēlu kopā inducē pilnu sakārtojumu viena 

līmeņa virsotņu kopā. 

Par m-āru koku sauksim sakārtotu koku, kurā katrai virsotnei ir ne vairāk kā m dēli. 

3.45. attēls. 3-āra koka piemērs 

Binārs koks ir orientēts koks, kurā katrai virsotnei ir ne vairāk kā 2 dēli un katras virsotnes dēlu 

kopā ir dota funkcija uz divu elementu kopu {kreisais (jaunākais), labais (vecākais)} (citiem 

vārdiem sakot, ir noteikts, kāds dēls ir kreisais (jaunākais) un kāds - labais (vecākais)). Par 

bināra koka virsotnes apakškoku sauksim visu tās pēcteču veidoto koku (ieskaitot pašu virsotni). 

Par bināra koka virsotnes kreiso (labo) apakškoku sauksim tās kreisā (labā) dēla apakškoku. Par 

balancētu koku ar augstumu h sauksim koku, kura visām virsotnēm augstums ir h vai h − 1. 

Par pilnu bināru koku sauksim bināru koku, kura katrai virsotnei ir nulle vai divi dēli. Parasti 

binārus kokus attēlo ar neorientētām šķautnēm un pēc noklusēšanas uzskata, ka šķautnes ir 

orientētas no augšas uz apakšu. 

Binārus kokus var definēt arī rekursīvā veidā. No sākuma definēsim, ka jebkurš orientēts 

koks ar vienu virsotni ir binārs koks. Tālāk definēsim, ka katrs binārs koks satur sakni, kreiso 

apakšzaru un labo apakšzaru, katrs no kuriem ir binārs koks.

3.10. KOKI 121 

V 7 V 8 

V V 5 

3 

V 2 

V 1 

V 6 V 4 

V 12 

V 7 V 8 

V V 5 

3 

V V 1 

2 

V 6 V 4 

V 12 

V 9 

V 10 

V 11 

V 9 

V 10 

V 11 

V 5 V 3 

V 6 V 7 V 4 

V 11 V V 12 11 V 

V 10 

12 l 

V 1 

V 1 

k 

V 1 

l 

l 

V 2 V 3 V 4 

V 2 V 3 

k k k 

V 4 

V 2 

V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 

V 10 

l 

V 5 

V 6 V 7 

l V 8 V 9 

l V 10 

V 8 

V 9 

k 

V 11 

3.47. attēls. Koka pārveidošana bināra koka veidā 

3.10.3. Datu struktūras koku uzdošanai. Kokus var reprezentēt kā vispārīgus grafus. 

Tomēr praktiskajā programmēšanā ir vēlams reprezentēt kokus kā binārus kokus. Šī kodēšana 

tiek veikta ar šādiem soļiem: 

1) (neorientētu) koku var pārveidot par orientētu koku (orientēt), patvaļīgi izvēloties saknes 

virsotni; 

2) orientētu koku var pārveidot par sakārtotu koku (sakārtot), patvaļīgi izvēloties pilnu 

sakārtojumu katras virsotnes dēlu kopā; 

3) katru sakārtotu koku var pārveidot par bināru koku, ja no katras virsotnes vilkt labo 

izejošo šķautni uz nākošo vecāko brāli un kreiso izejošo šķautni uz jaunāko dēlu; 

4) binārus kokus no programmēšanas viedokļa ir ērti uzdot, izmantojot rādītājus. 

Piemērs 3.81. Attēlā 3.47. ir parādīta koka pārveidošana bināra koka veidā. 

V 12 

Svarīgākie bināru koku reprezentācijas veidi ir šādi: 

1) katrai virsotnei piekārto rādītājus uz tās labo un kreiso dēliem; 

2) virsotnes tiek sakārtotas masīvā, visi dotās virsotnes pēcteči atrodas pa labi no šīs 

virsotnes, katrai virsotnei tiek piekārtots indekss, kas ir vienāds ar pēdējā (pa labi) šīs 

virsotnes pēcteča numuru.

3.10. KOKI 122 


V 1 

V 1 

V 2 

V V 3 

2 

V 3 

V 4 

V 5 

V 6 

V 4 

V 5 

V 6 

3.48. attēls. Bināra koka reprezentācija ar rādītāju palīdzību 

3.10.4. Koku skaitīšana. Šajā nodaļā apskatīsim vienkāršākos kombinatorikas uzdevumus, 

kas ir saistīti ar dažādām koku klasēm. Lasītājam ir nepieciešams pārvaldīt kombinatorisko 

klašu teoriju. Risinot koku skaitīšanas uzdevumus, katrā gadījumā ir jāsaprot, ko nozīmē termins 

”dažādi koki”. Parasti kokus identificē, izmantojot kādu izomorfisma paveidu. Strādājot ar 

orientētiem kokiem, ir atbilstoši jāmaina izomorfisma jēdziens: ja orientētam kokam tiek papildus 

definētas kādas struktūras (piemēram, virsotnes dēlu kopas pilns sakārtojums), tad pareizs 

šādu koku izomorfisms ir tāda bijektīva virsotņu kopas funkcija sevī, kas saglabā visas papildstruktūras. 

Atslēgas frāze, ar kura palīdzību bieži vien iekodē koku izomorfisma klašu skaitīšanu, 

ir termins ”koki ar neiezīmētām virsotnēm”. 

Piemērs 3.83. Apskatīsim orientētus sakārtotus kokus ar neiezīmētām virsotnēm bez virsotņu 

pakāpju ierobežojumiem. Tā kā katras virsotnes dēlu kopā ir dots pilns sakārtojums, tad 

katru šādu koku nosaka sakne un tās dēlu apakšzaru virkne, tāpēc šādu koku kombinatoriskajai 

klasei T ir spēkā rekursīva specifikācija 

T ≃ Z × S{T }, 

kur Z ir atomāra klase, kuras vienīgais elements ar svaru 1 ir koka virsotne. Šī specifikācija ļauj 

atrast atbilstošo veidotājfunkciju T (x): 

un 

no kurienes iegūstam, ka 

(Katalāna skaitlis). 

T (x) = x · 

1 

1 − T (x) 

T (x) = 1 − √ 1 − 4x 

, 

2 

|T n | = 1 

n + 1 Cn 2n = C n 

Piemērs 3.84. Apskatīsim orientētus sakārtotus kokus ar neiezīmētām virsotnēm, kuriem 

virsotņu negatīvās pakāpes tiek pakļautas ierobežojumiem. Pieņemsim, ka Ω ir veselu nenegatīvu 

skaitļu kopa, kas satur 0. Apzīmēsim ar T Ω visu to orientēto sakārtoto koku klasi ar neiezīmētām 

virsotnēm, kuriem virsotņu izejošo šķautņu skaits pieder kopai Ω. Piemēram, kopai Ω = {0, 2} 

atbilst pilnie binārie koki. Definēsim ϕ Ω (t) = ∑ ω∈Ω tω . Definēsim A = S Ω {B} kā visu to 

kombinatoriskās klases B elementu virkņu kopu, kurām garums pieder kopai Ω, ievērosim, ka 

veidotājfunkcijas apmierina sakarību A(x) = ϕ Ω (B(x)). Var redzēt, ka kombinatoriskā klase T Ω 

apmierina rekursīvu specifikāciju 

T Ω ≃ Z × S Ω {T Ω }, 

tāpēc tās veidotājfunkcija apmierina vienādojumu 

T Ω (x) = x · ϕ Ω (T Ω (x)).

3.10. KOKI 123 

Piemērs 3.85. Apskatīsim orientētus (nesakārtotus) kokus ar neiezīmētām virsotnēm. Orientēts 

koks sastāv no tā saknes un tās dēlu apakšzaru kopas, katrs apakšzars atkal ir orientēts koks. 

Var redzēt, ka visu orientēto koku kombinatoriskā klase U apmierina rekursīvu specifikāciju 

U ≃ Z × M{U}. 

Pārtulkojot šo specifikāciju veidotājfunkciju terminos, iegūstam, ka atbilstošā veidotājfunkcija 

U(x) apmierina sakarību 

U(x) = x ∏ 1 

= x · exp( ∑ (1 − x i ) |U i| 

i≥1 

j≥1 

U(x j ) 

). 

j 

Minēsim arī dažus klasiskus rezultātus par koku skaitīšanu ar iezīmētām virsotnēm, šajos 

gadījumos tiek skaitīti visi iespējamie (ne obligāti savstarpēji neizomorfie) grafi ar fiksētu virsotņu 

kopu. 

Teorēma 3.86. (Neorientētu) koku ar n iezīmētām virsotnēm skaits ir vienāds ar n n−2 . 

Pierādījums. Teorēmas pierādījuma ideja balstās uz funkcijas pierakstu orientēta grafa veidāfunkcionālo 

grafu . Katrai galīgai kopai eksistē savstarpēji viennozīmīga atbilstība starp šīs kopas 

permutāciju kopu un uz kopas elementiem kā virsotnēm definē¯tu virzītu ciklu apvienojumu kopu 

sakarā ar to, ka katru permutāciju var savstarpēji viennozīmīgi sadalīt tās neatkarīgajos ciklos, 

katru no kuriem var domāt kā virzītu ciklu grafu teorijas nozīmē. Fiksēsim skaitāmo koku 

virsotņu kopu V = {1, ..., n}. Apskatīsim V endofunkcijas (funkcijas sevī). Šādu funkciju skaits 

ir vienāds ar n n , un katrai funkcijai f : V → V var piekārtot orientētu grafu Γ(f) ar virsotņu kopu 

V , kuram šķautnes ir formā i → f(i). Katrai orientētā grafa Γ(f) vājās sakarības komponentei 

var piekārtot virzītu ciklu, kura virsotnes ir orientēti koki. Tātad saskaņā ar viennozīmīgo 

atbilstību starp kopas permutācijām un virzītu ciklu apvienojumiem, kopas V kā virsotņu kopas 

veidotu orientētu koku permutāciju skaits ir vienāds ar n n . Apzīmēsim visu kopas V kā virsotņu 

kopas veidotu orientētu koku permutāciju kopu ar Z(V ) un apzīmēsim visu kopas V kā virsotņu 

kopas veidotu koku kopu ar T (V ). Definēsim funkciju 

ϕ : V × V × T (V ) → Z(V ) 

šādā veidā. Katram trijniekam (v, w, t) ∈ V × V × T (V ) apskatīsim vienkāršo ķēdi p kokā t, kas 

savieno virsotnes v un w, izdzēsīsim ķēdes p šķautnes, katru atlikušo koku orientēsim, uzskatot p 

virsotnes par saknēm. Šādas operācijas rezultātā trijniekam (v, w, t) piekārtosim orientētu koku 

virkni ϕ(v, w, t). Funkcija ϕ ir bijektīva, tāpēc 

|V × V × T (V )| = |Z(T )| 

un 

n 2 |T (V )| = n n . 

Iegūstam, ka visu koku skaits ar n virsotnēm |T (V )| ir vienāds ar n n−2 . QED 

Teorēma 3.87. Ja c n ir sakarīgo grafu skaits ar n iezīmētām virsotnēm, tad atbilstošā 

eksponenciālā veidotājfunkcija C exp (x) ir izsakāma šādā veidā: 

C exp (x) = ln ∑ 2 C2 n x 

n 

. 

n! 

n≥0 

Pierādījums. Apzīmēsim ar a n visu grafu skaitu ar n virsotnēm, viegli redzēt, ka a n = 2 C2 n . 

Tā kā katrs grafs ir tā komponenšu, sakarīgu grafu, apvienojums, tad 

A exp (x) = ∑ a n x n 

= exp( ∑ c n x n 

) = exp(C exp (x)) 

n! 

n! 

n≥0 

n≥0 

un 

C exp (x) = ln A exp (x) 

saskaņā ar eksponenciālo veidotājfunkciju teoriju. QED

3.10. KOKI 124 

Teorēma 3.88. Ja s n ir orientēto koku skaits ar n iezīmētām virsotnēm, tad atbilstošā 

eksponenciālā veidotājfunkcija S exp (x) apmierina vienādojumu 

S exp (x) = x exp(S exp (x)). 

Pierādījums. Ja 

S exp (x) = ∑ s n x n 

, 

n! 

n≥0 

tad exp(S exp (x)) ir veidotājfunkcija orientētu mežu skaita virknei. Saskaņā ar eksponenciālo 

veidotājfunkciju teoriju x exp(S exp (x)) ir eksponenciālā veidotājfunkcija virknei, kas skaita, cik 

veidos var izvēlēties vienu kopas elementu un atlikušajā kopas daļā izvēlēties orientētu mežu. 

Šāda struktūra (viena virsotne un mežs) savstarpēji viennozīmīgi nosaka orientētu koku, tāpēc 

QED 


S exp (x) = x exp(S exp (x)). 

Vingrinājums 3.89. Vispāriniet izomorfisma jēdzienu, ja nepieciešams, un uzzīmējiet visus 

izomorfisma tipu pārstāvjus ar ne vairāk kā 9 virsotnēm šādām koku klasēm: 

1) (neorientētiem) kokiem, 

2) orientētiem kokiem, 

3) sakārtotiem kokiem, 

4) bināriem kokiem. 

Atrast visu šo koku automorfisma grupas. 

Vingrinājums 3.90. Pierādīt, ka kokam virsotņu skaits ar pakāpi 1 nav mazāks kā virsotnes 

maksimālā pakāpe šajā kokā. 

Vingrinājums 3.91. Atrast kompleksitāti visām iepriekš minētajām speciālajām grafu klasēm. 

Vingrinājums 3.92. Pierādīt, ka katram AOG eksistē vismaz viens avots un vismaz viena 

noteka. 

Vingrinājums 3.93. Konstruēt koku, kuram centrs un centroīds satur pa vienai virsotnei 

un ir dažādi. 

Vingrinājums 3.94. Pierādīt, ka ja Γ ir koks ar vismaz 5 virsotnēm, tad ¯Γ nav koks. 

Vingrinājums 3.95. Pierādīt, ka ja Γ ir koks, kura diametrs ir vismaz 3, tad ¯Γ ir sakarīgs. 

Vingrinājums 3.96. Cik ir bināru koku ar n virsotnēm, kuriem visām virsotnēm, izņemot 

lapu, ir viens dēls? 

Vingrinājums 3.97. Katrai bināra koka Γ = (V, E) virsotnei x, kuras līmenis ir d, piekārtosim 

”svaru” f(x) = 2 −d . Pierādīt, ka 

∑ 

f(x) ≤ 1. 

Vingrinājums 3.98. Pierādīt, ka mežu skaits ar n virsotnēm M n 

sakarību 

n∑ 

M n = Cn−1i i−1 i−2 M n−i . 

x∈V 

i=1 

apmierina rekurentu

3.11. CIKLI 125 

3.11. CIKLI 

3.11.1. Ievads. Vispārīgā gadījumā grafs var stipri atšķirties no koka - tajā var būt inducēti 

apakšgafi, kas ir izomorfi cikliem. Tātad ciklu skaits un izvietojums raksturo to, cik stipri grafs 

atšķiras no koka. Var pierādīt, piemēram, ka grafs ir 2-sakarīgs tad un tikai tad, ja to var iegūt 

no cikla, pēctecīgi pievienojot jau izveidotajam grafam ķēdes, kas savieno dažādas virsotnes. 

Šajā nodaļā apskatīsim tikai sakarīgus grafus. Atgādināsim, ka mēs definējām ciklu kā ķēdi, 

kuras pirmā virsotne sakrīt ar pēdējo un vienkāršu ciklu kā ciklu, kura visas virsotnes, izņemot 

pirmo un pēdējo, ir dažādas. Sakarā ar to, ka mūs galvenokārt interesēs grafa apakšgrafi, kas 

ir izomorfi cikliem, tad par ciklu šajā nodaļā mēs domāsim kā par tā šķautņu kopu. Ievērosim, 

ka šī atbilstība nav savstarpēji viennozīmīga - vairākiem cikliem un pat vairākiem vienkāršiem 

cikliem atbilst viena šķautņu kopa. Tādējādi ir lietderīgi modificēt cikla jēdzienu tā, lai tas 

atbilstu prasībai, ka tā katra virsotne var būt cikliska maršruta sastāvdaļa. Grafa Γ = (V, E) 

apakšgrafu Γ ′ šajā nodaļā sauksim par ciklu, ja tā katras virsotnes pakāpe ir pāra skaitlis. 

Par grafa ciklu matricu sauksim bināru matricu, kuras rindas tiek indeksētas ar grafa vienkāršajiem 

cikliem (grafa apakšgrafiem, kas ir izomorfi cikliem C n ), kolonnas tiek indeksētas ar 

šķautnēm un tās elementi ir vienādi ar 1 tad un tikai tad, ja elementam atbilstošā šķautne pieder 

elementam atbilstošajam ciklam. Jāpiezīmē, ka grafa ciklu matrica nenosaka viennozīmīgi grafa 

izomorfisma tipu (piemēram, tāpēc ka grafā var būt tilti). 

Šķautņu kopas apakškopu sauksim par griezumu, ja tās izdzēšana padara grafu par nesakarīgu. 

Griezumu sauksim par minimālu griezumu, ja nekāda tā apakškopa nav griezums. 

Minimālu griezumu sauksim arī par kociklu. Grafa griezumu matricu definē analoǧiski ciklu 

matricai. 


3.49. attēls. Minimāls griezums kuba grafā 

Analizējot grafa ciklu īpašības, ir lietderīgi pielietot lineāro algebru virs galīgā lauka F 2 . Ja ir 

dots (neorientēts) grafs Γ = (V, E), tad par tā virsotņu telpu Φ(Γ) sauksim lineāru telpu virs 

lauka F 2 , kuras elementi ir virsotņu kopas apakškopas, par šķautņu telpu Ψ(Γ) sauksim lineāru 

telpu virs lauka F 2 , kuras elementi ir šķautņu kopas apakškopas. Par divu virsotņu vai šķautņu 

kopu S 1 un S 2 summu šajās lineārajās telpās (summu pēc moduļa 2) sauksim to simetrisko 

starpību, tādējādi S 1 + S 2 = S 1 △S 2 .

3.11. CIKLI 126 


1 

2 

2 

6 

1 2 6 

3 

3 

+ = 

5 

4 

4 

7 

5 

4 

7 

3.50. attēls. Ciklu summas piemērs 

Virsotņu vai šķautņu kopu S sauksim par atkarīgu/neatkarīgu, ja tā ir atkarīga/ neatkarīga kā 

atbilstošās lineārās telpas elementu kopa. Nākamajās divās teorēmās mēs domāsim par cikliem 

vienkārši kā par slēgtu maršrutu šķautņu kopu apvienojumiem pēc moduļa 2. Cikli un kocikli ir 

elementi šajās lineārajās telpās, tāpēc ir jēga interpretēt to kopu atkarīgumu vai neatkarīgumu 

un apskatīt šo kopu lineārās čaulas. Ciklu (kociklu) kopu {Z i } i∈I sauksim par neatkarīgu, ja tā 

ir lineāri neatkarīga kopa atbilstošajā lineārajā telpā. Tukšu šķautņu kopu uzskatīsim gan par 

ciklu, gan par kociklu. 

Teorēma 3.101. Visu ciklu kopa ir lineāra apakštelpa telpā Ψ(Γ). 

Pierādījums. Ir jāpierāda, ka divu ciklu šķautņu kopu simetriskā starpība ir kāda cikla 

šķautņu kopa. Šis apgalvojums ir acīmredzams, ja diviem dotajiem grafiem nav kopīgu šķautņu. 

Ja tiem ir kopīgas šķautnes, tad simetriskās starpības rezultātā kopīgās šķautnes anulējas un 

rezultējošā šķautņu kopa veido jaunu ciklu. QED 

Analoǧisks apgalvojums ir spēkā arī attiecībā uz kocikliem. 

Maksimālu neatkarīgu ciklu kopu (vai minimālo ciklu kopu, no kuras ir atkarīgi visi pārējie 

cikli) sauksim par fundamentālu ciklu sistēmu tā ir bāze ciklu telpā. Fundamentālas ciklu 

sistēmas elementus sauksim par fundamentāliem cikliem, tās elementu skaitu - par grafa ciklisko 

rangu vai ciklomātisko skaitli m(Γ). 


2 

2 

2 

4 

4 

4 

4 

1 

3 

1 

3 

3.51. attēls. Fundamentālu ciklu sistēmas piemērs 

Maksimālu neatkarīgu kociklu kopu (vai minimālo kociklu kopu, no kuriem ir atkarīgi visi 

pārējie kocikli) sauksim par fundamentālu kociklu sistēmu (tā ir bāze kociklu telpā), tās elementus 

- par fundamentāliem kocikliem, tās elementu skaitu- par grafa kociklisko rangu vai 

kociklomātisko skaitli m ∗ (Γ). 

Pieņemsim, ka S = (V, E S ) ir grafa Γ skelets. Par šim skeletam atbilstošo koskeletu sauksim 

grafu S ∗ = (V, E\E S ). Koskeleta šķautnes sauksim par hordām. 

un 

Teorēma 3.103. Ja Γ = (V, E) ir sakarīgs grafs, tad 

m(Γ) = |E| − |V | + 1 

m ∗ (Γ) = |V | − 1. 

1 

3

3.11. CIKLI 127 

Pierādījums. Apskatīsim jebkuru grafa Γ skeletu S. Katra koskeleta horda e rada tieši vienu 

ciklu Z e , ko iegūst, apvienojot e ar vienīgo ķēdi kokā S, kas savieno e galapunktus. Koskeleta 

šķautņu skaits ir vienāds ar 

|E| − |V | + 1. 

Visi cikli Z e ir neatkarīgi, jo katrs satur savu hordu. Pierādīsim, ka katrs cikls grafā Γ ir atkarīgs 

no ciklu sistēmas {Z e } e∈E(S ∗ ), citiem vārdiem sakot, tas var tikt izteikts kā šo ciklu lineāra 

kombinācija. Apskatīsim kādu ciklu Z grafā Γ. Pieņemsim, ka Z satur šķautnes e 1 , ..., e k no 

kopas E(S ∗ ). Tādas šķautnes obligāti eksistē, jo pretējā gadījumā Z ir koka T apakšgrafs, kas 

nevar saturēt ciklus. Izmantosim pastiprināto matemātisko indukciju ar argumentu k. Indukcijas 

bāze: ja k = 1, tad Z ir kopā {Z e } e∈E(S ∗ ). Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess visiem m < k: 

Z = Z e1 + ... + Z ek , 

visiem Z ar hordu skaitu m < k. Apskatīsim ciklu ar hordām e 1 , ..., e k . Konstruēsim ciklu 

Z ′ = (Z\{e k }) ∪ (Z ek \{e k }) 

(tas var iet pa kādu šķautni vairākas reizes). Z ′ satur k − 1 hordu, tāpēc Z ′ = Z e1 + ... + Z ek−1 . 

Iegūstam, ka 

Z ′ + Z ek = (Z\{e k }) + (Z ek \{e k }) + Z ek = Z, 

tātad indukcijas pāreja ir pierādīta. Otru teorēmas daļu pierāda līdzīgi. QED 

Praktiski fundamentālos ciklus var atrast šādā veidā. No sākuma konstruēsim kādu grafa 

skeletu (pārklājošo koku). Tā kā katra horda kopā ar skeletu nosaka tieši vienu fundamentālu 

ciklu, tad pievienosim skeletam pa vienai hordai un savilksim tās šķautnes, kas nepiedalās hordas 

veidotajā vienīgajā ciklā. Katrai hordai šādā veidā konstruēsim vienu fundamentālu ciklu. 

Teorēma 3.104. (Kēniga teorēma) Grafs ir divdaļīgs tad un tikai tad, ja tas nesatur ciklus, 

kuru garums ir nepāra skaitlis. 

Pierādījums. Neierobežojot vispārību, uzskatīsim, ka grafs ir sakarīgs. Pieņemsim, ka grafs ir 

divdaļīgs un satur nepāra garuma ciklu. Fiksēsim kādu grafa virsotņu sadalījumu, kas apmierina 

divdaļības īpašību un ievērosim, ka nepāra garuma ciklā vismaz divām virsotnēm ir jāpieder 

vienai virsotņu sadalījuma kopai, tātad ir iegūta pretruna. Otrādi, pieņemsim, ka grafs nesatur 

nepāra garuma ciklus, un pierādīsim, ka grafs ir divdaļīgs. Fiksēsim kādu grafa virsotni v un 

definēsim virsotņu kopas sadalījumu V (Γ) = A ∪ B šādā veidā: kopā A liksim virsotnes, kurām 

attālums līdz v ir pāra skaitlis (ieskaitot arī v), un kopā B liksim virsotnes, kurām attālums līdz 

v ir nepāra skaitlis. Pierādīsim, ka nav šķautņu starp vienas apakškopas virsotnēm. Pieņemsim 

pretējo: eksistē divas virsotnes u un w, kas atrodas vienā kopā (A vai B) un ir savienotas. 

Neviena no šīm virsotnēm nevar būt vienāda ar v. Pieņemsim, ka P u ir īsākā (v, u) - ķēde un 

P w ir īsākā (w, v) - ķēde. Ievērosim, ka šo ķēžu garumu summa ir pāra skaitlis. Savienojot P u , 

šķautni (u, w) un P w , iegūsim ciklu, kura garums ir nepāra skaitlis, kas ir pretruna. QED 

Piemērs 3.105. Ciklomātisko skaitli izmanto programmatūras kompleksitātes mērīšanai šādā 

veidā. Uzzīmēsim programmas blokshēmu un noteiksim tās ciklomātisko skaitli. Šis skaitlis 

nosaka programmas izpildes gaitas grafa neatkarīgo ciklu skaitu. Programmas blokshēmas ciklomātiskais 

skaitlis norāda, piemēram, to, kādai ir jābūt tās testēšanas programmai - šai programmai 

ir jābūt tādai, lai testēšanas laikā tiktu apieti visi testējamās programmas blokshēmas 

cikli. 

3.11.2. Eilera un Hamiltona cikli. Apskatīsim divus ciklu speciālgadījumus. Par grafa 

Eilera ciklu sauksim ciklu, kas satur katru šķautni tieši vienu reizi. Par grafa Eilera ķēdi sauksim 

ķēdi, kas satur katru šķautni tieši vienu reizi. Ja grafā eksistē Eilera cikls, tad to sauksim par 

Eilera grafu. Par orientēta grafa virzītu Eilera ciklu sauksim virzītu ciklu, kas satur katru šķautni 

tieši vienu reizi. 18.gs vidū, pateicoties L. Eilera darbiem matemātikas popularizēšanā (skatīt 

uzdevumu par Kēnigsbergas tiltiem), matemātiķu vidū radās interese par Eilera cikliem.

3.11. CIKLI 128 


1 

4 

6 

3 

5 

2 

3.52. attēls. Eilera cikla piemērs 

Teorēma 3.107. Ja grafs Γ = (V, E) ir sakarīgs un netriviāls, tad šādi apgalvojumi ir 

ekvivalenti: 

1) Γ ir Eilera grafs; 

2) grafā Γ katras virsotnes pakāpe ir pāra skaitlis; 

3) grafa Γ šķautņu kopu var sadalīt ciklu apvienojumā. 

Pierādījums. Pierādīsim šo teorēmu ar cikla palīdzību. 

(1) → (2) katrā virsotnē Eilera cikls ieiet un iziet vienādu skaitu reižu, tāpēc katras 

virsotnes pakāpe ir pāra skaitlis. 

(2) → (3) Γ ir sakarīgs un netriviāls grafs, tāpēc katras virsotnes pakāpe ir pozitīva un 

2|E| = ∑ v∈V 

d(v) ≥ 2|V |, 

tātad 

|E| > |V | − 1 

un Γ satur vismaz vienu ciklu Z 1 . Γ − Z 1 ir skeletāls apakšgrafs, kura visu virsotņu 

pakāpes ir pāra skaitļi (ignorējam izolētās virsotnes). Γ − Z 1 apmierina tos pašus 

nosacījumus, kurus apmierina Γ, tāpēc tajā eksistē cikls, kuru izmetam ārā utt. Beigās 

pec galīga soļu skaita iegūsim bezšķautņu grafu. 

(3) → (1) No dotajiem cikliem pakāpeniski konstruējam lielo Eilera ciklu, izmantojot 

faktu, ka divu ciklu šķautņu kopu simetriskā starpība ir cikls. 

QED 

Apzīmēsim ar G(n) - dažādu grafu kopu ar n virsotnēm, ar E(n) - Eilera grafu kopu ar n 

virsotnēm. 

Teorēma 3.108. 

(Eilera grafu ”gandrīz nav”). 

|E(n)| 

lim 

n→∞ |G(n)| = 0 

Pierādījums. Šajā pierādījumā uzskatīsim, ka grafam ar n virsotnēm virsotņu kopa ir {1, ..., n}. 

Tā kā grafu ar n virsotnēm pilnībā nosaka tā šķautņu kopa, kas ir apakškopa šķautņu kopas 

universā ar Cn 2 elementiem, tad 

|G(n)| = 2 C2 n = 2 

n(n−1) 

2 . 

Apzīmēsim ar F (n) visu tādu grafu kopu ar n virsotnēm, kuriem katras virsotnes pakāpe ir pāra 

skaitlis. Redzam, ka E(n) ⊆ F (n), tātad |E(n) ≤ |F (n)|. Definēsim funkciju 

ϕ : G(n − 1) → F (n) 

šādā veidā. Katram grafam Γ ar n − 1 virsotni piekārtosim grafu no kopas F (n), kur atšķiras no 

Γ ar vienu (n-to) virsotni, kura ir savienota ar tām Γ virsotnēm, kurām ir nepāra pakāpe. Tā

3.11. CIKLI 129 

3.53. attēls. Hamiltona cikls dodekaedra grafā 

3.54. attēls. Hamiltona cikls kuba grafā 

kā katram grafam virsotņu skaits ar nepāra pakāpēm ir pāra skaitlis, tad funkcija ϕ ir korekti 

definēta. Var redzēt, ka funkcija ϕ ir sirjektīva, tāpēc |F (n)| ≤ |G(n − 1)|. Aprēķināsim robežu: 

tātad 

QED 

|E(n)| 

lim 

n→∞ |G(n)| ≤ lim |G(n − 1)| 

n→∞ |G(n)| 

|E(n)| 

lim 

n→∞ |G(n)| = 0. 

= lim 

n→∞ 

2 −(n−1) = 0, 

Piemērs 3.109. De Bruijna kodu var interpretēt kā Eilera ciklu. Definēsim orientētu grafu 

D(p, n), kura virsotnes ir visas virknes ar garumu n − 1 alfabētā {0, 1, ..., p − 1} un no katras 

virsotnes, kas atbilst virknei (a 1 , ..., a n−1 ), iziet p orientētas šķautnes uz virsotnēm (a 2 , ..., a n−1 , b). 

Var parādīt, ka ar visām parametru vērtībām grafs D(p, n) ir virzīts Eilera grafs. 

Par grafa Hamiltona ciklu sauksim ciklu, kas satur katru virsotni tieši vienu reizi. Par 

grafa Hamiltona ķēdi sauksim ķēdi, kas satur katru virsotni tieši vienu reizi. Ja grafā eksistē 

Hamiltona cikls, tad to sauksim par Hamiltona grafu. Par virzītu Hamiltona ciklu sauksim 

virzītu ciklu, kas satur katru virsotni tieši vienu reizi. Par Hamiltona ciklu teorijas sākumu 

tiek uzskatīts matemātiķa V.Hamiltona uzdevums par dodekaedra grafa virsotņu apiešanu tā, 

lai katra virsotne tiek atzīmēta tieši vienu reizi. Var pierādīt, ka Hamiltona uzdevumam ir viens 

atrisinājums ar precizitāti līdz grafa automorfismam. 

Piemērs 3.110. Kuba grafam H 3 arī ir viens Hamiltona cikls ar precizitāti līdz automorfismam. 


Hiperkubam H 4 ir 9 Hamiltona ciklu klases. 

Viegli redzēt, ka Hamiltona grafam nevar būt šarnīri, tātad Hamiltona grafs ir 2-sakarīgs. 

Šim vienkāršajam novērojumam ir vispārinājums: ja Γ = (V, E) ir Hamiltona grafs un U ⊆ V , 

tad grafam Γ − U ir ne vairāk kā |U| komponentes. Grafu, kas apmierina šādu nosacījumu, 

sauksim par stingru grafu. 

Nākamā teorēma rāda, ka grafs ir Hamiltona grafs, ja virsotņu pakāpes ir pietiekoši lielas.

3.11. CIKLI 130 

3.55. attēls. Grafa H 4 Hamiltona ciklu klases 

V 0 

... V j 

V j + 1 

... V k 

3.56. attēls. Ilustrācija teorēmas 3.112. pierādījumam 

Teorēma 3.112. Ja grafam Γ = (V, E) izpildās nosacījumi |V | ≥ 3 un δ(Γ) ≥ |V | , tad Γ ir 

2 

Hamiltona grafs. 

Pierādījums. Γ ir sakarīgs, jo pretējā gadījuma mazākajā komponentē virsotņu pakāpes būtu 

lielākas nekā komponentes virsotņu skaits. Pieņemsim, ka virsotņu virkne K = (v 0 , ..., v k ) ir 

garākā ķēde grafā Γ. No ķēdes K maksimalitātes seko, ka visas virsotnes, kas ir savienotas ar 

v 0 vai v k , pieder virknei K, tātad vismaz |V | no virsotnēm {v 

2 0 , ..., v k−1 } ir savienotas ar v k un 

vismaz |V | virsotnēm v 

2 i ∈ {v 1 , ..., v k−1 } piemīt šāda īpašība: v i+1 un v 0 ir savienotas. No Dirihlē 

principa seko, ka eksistē virsotne v j , kas apmierina abus nosacījumus: Var redzēt, ka virsotņu

3.11. CIKLI 131 

V 

V 

V 0 

... V j 

V j + 1 

... V l 

... V k 

V 0 

... V j 

V j + 1 

V l 

... 

V k 

(a) 


(b) 

V 

V 

V i 

V i 

V i+1 

V i+1 


virkne 

H = (v 0 , v j+1 , v j+2 , ..., v k , v j , v j−1 , ..., v 0 ) 

ir Hamiltona cikls, tāpēc ka pretējā gadījumā šis cikls varētu tikt pārveidots par ķēdi, kuras 

garums ir lielāks nekā ķēdes K garums, pievienojot šim ciklam ar vienas šķautnes palīdzību 

kādu no kopas V \{v 0 , ..., v k } virsotnēm, vismaz viena šāda šķautne eksistē, tā kā grafs Γ ir 

sakarīgs (skatīt 3.57.(b) attēlā) QED 

Eksistē arī kritērijs, kas raksturo grafu, izmantojot tā sakarīgumu κ un neatkarības skaitli α. 

Teorēma 3.113. Ja grafam Γ = (V, E) izpildās nosacījumi |V | ≥ 3 un κ(Γ) ≥ α(Γ), tad Γ 

ir Hamiltona grafs. 

Pierādījums. Apzīmēsim κ(Γ) ar k un pieņemsim, ka virsotņu virkne 

Z = (v 0 , ..., v n−1 , v 0 ) 

atbilst garākajai ķēdei grafā Γ. Pieņemsim, ka Z nav Hamiltona cikls un eksistē virsotne v ∉ Z. 

Apskatīsim (v, Z)-vēdekļus, citiem vārdiem sakot, virsotņu šķirtu ķēžu kopas, kuras savieno 

virsotni v ar Z virsotnēm. No visiem šādiem vēdekļiem izvēlēsimies to, kuram galapunktu kopa 

(Z apakškopa) ir ar maksimālu elementu skaitu. Apzīmēsim šādu vēdekli ar F un tā ķēžu 

galapunktu kopu ar W ⊆ Z. Ievērosim, ka v nav savienota ne ar kādu Z virsotni, kas nav 

kopā W un |W | ≥ min(k, |Z|) saskaņā ar Mengera teorēmu. Tālāk uzskatīsim, ka C virsotnes ir 

cikliski sanumurētas ar kopas {0, ..., n} elementiem, kurus mēs uzskatīsim par atlikumu klasēm. 

Ievērosim, ka divas savienotas cikla virsotnes v i un v i+1 nevar abas piederēt kopai W , tāpēc, ka 

pretējā gadījumā mēs iegūtu garāku ciklu nekā Z. 

Tātad |W | < |Z| un |W | ≥ k. Ievērosim, ka, ja ir dotas divas virsotnes v i un v j kopā W , tad 

virsotnes v i+1 un v j+1 nav savienotas tāpēc, ka pretējā gadījuma mēs iegūsim garāku ciklu nekā 

Z. 

Tātad virsotņu kopas 

W ′ = {v i+1 |v i ∈ W } ⋃ v 

inducētais apakšgrafs ir bezšķautņu grafs ar vismaz k + 1 virsotni, kas ir pretrunā ar doto 

nosacījumu k ≥ α. Tātad cikls Z ir Hamiltona cikls. QED 

Grafu sauksim par teta grafu, ja to var iegūt no grafa K 2,3 , pielietojot dažas šķautņu 

sadalīšanas operācijas, nosaukums ir saistīts ar to, ka teta grafs izskatās, kā grieķu alfabēta 

burts θ.

3.11. CIKLI 132 

V i+1 

V j+1 

V j 

V i 

V i+1 

V j+1 

V j 

V i 


3.60. attēls. Teta grafs 

Var pierādīt, ka, ja grafs nav Hamiltona grafs un ir ”pietiekoši” sakarīgs, tad tas satur apakšgrafu, 

kas ir teta grafs. 

Teorēma 3.114. Ja grafs Γ = (V, E) ir 2-sakarīgs un nav Hamiltona grafs, tad tas satur 

apakšgrafu, kas ir teta grafs. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka Z ir maksimāls vienkāršs cikls, pēc pieņēmuma Z nesatur visas 

grafa virsotnes. Var pārbaudīt, ka visi 2-sakarīgi grafi ar ne vairāk kā 4 virsotnēm ir Hamiltona 

grafi, tātad V ≥ 5. Ja grafs ir 2-sakarīgs un satur vismaz 5 virsotnes, tad tā maksimālais cikls 

nevar saturēt 3 virsotnes. Tā kā grafs ir 2-sakarīgs, tad eksistē virsotne v ārpus C un divas 

virsotņu šķirtas ķēdes no v līdz Z. Šo divu ķēžu galapunkti nevar būt savienoti ciklā Z, jo tādā 

gadījumā mēs iegūtu garāku ķēdi. Apvienojot Z un šīs divas ķēdes, iegūsim teta grafu. QED 

Hamiltona cikla meklēšanu var reducēt uz kliķes skaitļa atrašanu šādā veidā. Definēsim 

divu grafu Vizinga reizinājumu. Ja doti divi grafi Γ = (V, E) un Γ ′ = (V ′ , E ′ ) ar nosacījumu 

|V | ≥ |V ′ |, tad to Vizinga reizinājums ir grafs Γ♦Γ ′ = (V × V ′ , F ), kur šķautņu kopa F tiek 

definēta šādi: 

• divas virsotnes (v 1 , v 1) ′ un (v 2 , v 2) ′ netiek savienotas, ja v 1 = v 2 vai v 1 = v 2 ; 

• ja v 1 ≠ v 2 un v 1 ′ ≠ v 2, ′ tad virsotnes (v 1 , v 1) ′ un (v 2 , v 2) ′ tiek savienotas tad un tikai tad, 

ja (v 1 , v 2 ) ∈ E un (v 1, ′ v 2) ′ ∈ E ′ , vai arī (v 1 , v 2 ) /∈ E un (v 1, ′ v 2) ′ /∈ E ′ . 

Var redzēt, ka 

α(Γ♦Γ ′ ) ≤ min(|V |, |V ′ |) = |V ′ |, 

tāpēc ka nekāda kliķe nevar saturēt divas virsotnes ar vienādu pirmo vai otro koordināti. Pierādīsim 

arī stiprāku apgalvojumu. 

Teorēma 3.115. α(Γ♦Γ ′ ) = |V ′ | tad un tikai tad, ja Γ satur apakšgrafu, kas ir izomorfs 

grafam Γ ′ . 

Pierādījums. Vienkāršības dēļ pieņemsim, ka V = {1, ..., n} un V ′ = {1, ..., m}. Pieņemsim, 

ka Γ satur apakšgrafu Γ ′′ = (V ′′ , E ′′ ), kas ir izomorfs grafam Γ ′ , un šis izomorfisms f : V ′ → V ′′ 

ir tāds, ka f(1) = i 1 , ..., f(m) = i m . Pierādīsim, ka grafa Γ♦Γ ′ inducētais apakšgrafs ar virsotņu


kopu U = {(i 1 , 1), (i 2 , 2), ..., (i m , m)} ir pilns. Ja (u ′ , v ′ ) ∈ E ′ , tad (i u ′, i v ′) ∈ E un, otrādi, ja 

(u ′ , v ′ ) /∈ E ′ , tad (i u ′, i v ′) /∈ E. Tādējādi redzam, ka jebkuras divas virsotnes no kopas U ir 

savienotas. 

Pierādīsim otro implikāciju. Pieņemsim, ka grafs Γ♦Γ ′ satur kliķi (pilnu inducētu apakšgrafu) 

ar virsotņu kopu W = {(j 1 , 1), (j 2 , 2), ..., (j m , m)}. Tad funkcija f : V ′ → V ′′ , kas definēta ar 

nosacījumu f(k) = j k ir grafu izomorfisms. QED 

Hamiltona cikla meklēšana ir grūts uzdevums, nav zināmi algoritmi, izņemot visu variantu 

pārmeklēšanu. Praktiski Hamiltona ciklus meklē, izmantojot meklēšanu ar atkāpšanos (bektrekingu) 

un heiristiskus algoritmus. Metodi vai algoritmu sauksim par heiristisku, ja tā pareizība 

nav stingri pierādīta. 

Piemērs 3.116. Greja kodu var interpretēt kā Hamiltona ciklu hiperkuba H n grafā. 

Apzīmēsim ar H(n) visu Hamiltona grafu kopu ar n virsotnēm. Var pierādīt, ka 

(”gandrīz visi” grafi ir Hamiltona grafi). 

|H(n)| 

lim 

n→∞ |G(n)| = 1 

3.12. NEATKARĪGUMS 

Sekojot tradīcijām, teiksim, ka virsotne sedz tai incidentās šķautnes un šķautne sedz tai 

incidentās virsotnes. Virsotņu kopu, kas sedz visas grafa šķautnes, sauksim par grafa virsotņu 

segumu. Elementu skaitu minimālā virsotņu segumā sauksim par grafa virsotņu seguma skaitli, 

apzīmēsim to ar α 0 (Γ). Šķautņu kopu, kas sedz visas grafa virsotnes, sauksim par grafa šķautņu 

segumu. Elementu skaitu minimālā šķautņu segumā sauksim par grafa šķautņu seguma skaitli, 

apzīmēsim to ar α 1 (Γ). 

Virsotņu kopu sauksim par neatkarīgu, ja nekādas divas no tām nav savienotas. Elementu 

skaitu maksimālā neatkarīgā virsotņu kopā sauksim par grafa virsotņu neatkarības skaitli, β 0 (Γ). 

Maksimālu neatkarīgu virsotņu kopu sauksim arī par kodolu. Šķautņu kopu sauksim par neatkarīgu, 

ja nekādas divas no tām nav incidentas. Elementu skaitu maksimālā neatkarīgā šķautņu 

kopā sauksim par grafa šķautņu neatkarības skaitli, β 1 (Γ). Neatkarīgu šķautņu kopu sauksim 

par perfektu, ja tā sedz visas grafa virsotnes. Perfekta neatkarīga šķautņu kopa var eksistēt tikai 

tad, ja grafa virsotņu skaits ir pāra skaitlis. 

Teorēma 3.117. Katram grafam Γ = (V, E) ir spēkā sakarība 

α 0 (Γ) ≥ ∑ 1 

1 + d(v) . 

v∈V 

Pierādījums. Pilniem grafiem ir spēkā vienādība, tāpēc uzskatīsim, ka grafs nav pilns. Izmantosim 

pastiprināto matemātisko indukciju ar virsotņu skaitu kā indukcijas argumentu. Indukcijas 

bāze ir patiesa, jo nevienādību var viegli pārbaudīt uz grafiem, kuru virsotņu skaits 

nepārsniedz 2. Izdarīsim indukcijas pieņēmumu: pieņemsim, ka nevienādība ir patiesa visiem 

grafiem, kuru virsotņu skaits ir mazāks nekā k. Fiksēsim grafu Γ = (V, E), kuram |V | = k. 

Apskatīsim virsotni t, kuras pakāpe ir minimāla. Tā kā grafs Γ nav pilns, tad t ∪ N(t) ≠ V . 

Definēsim Γ ′ = Γ−(t∪N(t)) (izdzēsīsim grafā Γ kopas t∪N(t) virsotnes). Saskaņā ar indukcijas 

pieņēmumu, grafā Γ ′ izpildās pierādāmā nevienādība. Pieņemsim, ka U ir neatkarīga virsotņu 

kopa grafā Γ ′ ar maksimālu virsotņu skaitu. Kopa t ∪ U ir neatkarīga grafā Γ, tāpēc mums ir 

jāpierāda, ka summa 

S 1 = ∑ 1 

1 + d Γ (v) 

v∈V 

nepārsniedz summu 

S 2 = 

∑ 

v∈V (Γ ′ ) 

1 

1 + d Γ ′(v) .


Apzīmēsim ar W to virsotņu kopas V apakškopu, kuras ir savienotas ar kādu no kopas N(t) 

virsotnēm. Locekļi summās S 1 un S 2 , kas atbilst virsotnēm no kopas V (Γ ′ )\W , ir vienādi, bet 

locekļi summā S 1 , kas atbilst virsotnēm no kopas W , ir mazāki nekā atbilstošie locekļi summā 

S 2 . Tādējādi mums ir jāpierāda, ka pārējo summas S 1 locekļu summa nepārsniedz 1: 

1 

1 + d Γ (t) + ∑ 

u∈N(t) 

1 

1 + d Γ (u) 

? 

≤ 1. 

Tā kā virsotnes t pakāpe ir minimāla, tad d Γ (t) ≤ d Γ (u) visiem u ∈ N(t), tāpēc 

1 

1 + d Γ (t) + ∑ 1 

1 + d Γ (u) ≤ 1 

1 + d Γ (t) + d 1 

Γ(t) · 

1 + d Γ (t) = 1. 

QED 

kur 

u∈N(t) 

Secinājums 3.5. Katram grafam Γ = (V, E) ir spēkā sakarība 

(vidējā aritmētiskā pakāpe). 

α 0 (Γ) ≥ |V | 

1 + d , 

d = 1 

|V | 

∑ 

d(v) 

Pierādījums. Izmantosim Košī-Buņakovska nevienādību 

n∑ 

n∑ 

n∑ 

x i y i ≤ ( x 2 i ) 1/2 ( yi 2 ) 1/2 . 

Redzam, ka 

tāpēc 

Beidzot iegūstam, ka 

QED 

( ∑ v∈V 

|V | 2 ≤ ∑ v∈V 

i=1 

i=1 

v∈V 

i=1 

(1 + d(v)) 1/2 

(1 + d(v)) 1/2 )2 ≤ ∑ (1 + d(v)) ∑ 

v∈V 

v∈V 

(1 + d(v)) ∑ v∈V 

α 0 (Γ) ≥ 

1 

1 + d(v) ≤ α 0(Γ) ∑ v∈V 

|V | 2 

|V | + |V |d = |V | 

1 + d . 

1 

1 + d(v) , 

(1 + d(v)). 

Teorēma 3.118. Jebkuram netriviālam sakarīgam grafam Γ = (V, E) ar |V | virsotnēm un 

|E| šķautnēm ir spēkā vienādība 

α 0 (Γ) + β 0 (Γ) = α 1 (Γ) + β 1 (Γ) = V. 

Pierādījums. Ja U ir minimāls virsotņu segums, tad V \U ir neatkarīga virsotņu kopa, tāpēc 

|V \U| ≤ β 0 

un 

α 0 + β 0 ≥ |V |. 

Ja W ir maksimāla neatkarīga virsotņu kopa, tad V \W ir virsotņu segums un 

α 0 + β 0 ≤ |V |. 

Ja U ′ ir minimāls šķautņu segums, tad ievērosim, ka U ′ nesatur ķēdes ar garumu lielāku kā 3, 

tātad U’ ir m koku ar diametru 1 un 2 apvienojums. Redzam, ka 

m∑ 

|U ′ | = n i , 

i=1


kur n i ir šķautņu skaits i-tajā kokā. Tā kā i-tajā kokā ir n i + 1 virsotne, tad 

m∑ 

|V | = (n i + 1) = m + α 1 . 

i=1 

Maksimālā neatkarīgā šķautņu kopā elementu skaits ir lielāks kā m, tā kā dažādu koku šķautnes 

ir neatkarīgas, tātad 

α 1 + β 1 ≥ α 1 + m = |V |. 

Beidzot pieņemsim, ka W ′ ir maksimāla neatkarīga šķautņu kopa. Ievērosim, ka kopa W ′ nosedz 

2β 1 virsotnes un nenosegtas paliek |V | − 2β 1 virsotnes. Konstruēsim šķautņu segumu W ′ ∪ T , 

kur T satur |V | − 2β 1 šķautnes, katra no kurām nosedz vismaz vienu no kopas W ′ nenosegtajām 

virsotnēm. Tātad 

|W ′ ∪ T | = β 1 + |V | − 2β 1 ≤ α 1 

un 

α 1 + β 1 ≤ |V |. 

QED 

Pieņemsim, ka Γ = (V, E) - orientēts grafs. Virsotņu kopu S ⊆ V sauksim par dominējošu, 

ja 

S ⋃ Γ(S) = V, 

citiem vārdiem sakot, jebkurai virsotnei v ∈ V vai nu v ∈ S, vai arī eksistē virsotne s ∈ S 

un šķautne (v, s) ∈ E. Atcerēsimies, ka neorientētos grafus var uzskatīt par orientēto grafu 

speciālgadījumu, un tāpēc dotā dominējošās kopas definīcija der arī neorientētiem grafiem. 

Teorēma 3.119. Neatkarīga virsotņu kopa ir maksimāla tad un tikai tad, ja tā ir dominējoša. 

Pierādījums. Pieņemsim, ka grafa Γ = (V, E) virsotņu kopas apakškopa S ir maksimāla 

neatkarīga virsotņu kopa. Pieņemsim, ka tā nav dominējoša. Tad eksistē virsotne v, kas atrodas 

attālumā lielākā kā 1 no visām kopas S virsotnēm. Šo virsotni var pievienot kopai S, saglabājot 

neatkarību, kas ir pretruna. Pieņemsim, ka S ir neatkarīga dominējoša kopa, kas nav maksimāla 

neatkarīga virsotņu kopa. Tad eksistē virsotne w, kas nav savienota ne ar vienu kopas S virsotni, 

tas ir, atrodas attālumā lielākā kā 1 no visām S virsotnēm. Tas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka 

S ir dominējoša kopa. QED 

Pielietojumos svarīgs uzdevums ir atrast dominējošo kopu ar minimālo virsotņu skaitu dotajā 

grafā. 

Piemērs 3.120. Izmantojot neatkarīgas šķautņu kopas jēdzienu, var iekodēt šāda ǧeometriska 

kombinatorikas uzdevuma objektus. Pieņemsim, ka mums ir dots taisnstūris ar izmēriem n × m, 

kur vismaz viens no n vai m ir pāra skaitlis, uzskatīsim ka taisnstūris ir sadalīts 1 × 1 rūtiņās. 

Mēǧināsim noklāt šādu taisnstūri ar 1 × 2 domino figūrām. Iekodēsim taisnstūri kā grafu, kura 

virsotnes ir tā rūtiņu ǧeometriskie centri un šķautnes savieno divas virsotnes tad un tikai tad, ja 

atbilstošajām rūtiņām ir kopīga ǧeometriskā šķautne. Var redzēt, ka katrai perfektai neatkarīgai 

šķautņu kopai grafā savstarpēji viennozīmīgi atbilst taisnstūra noklājums ar domino figūrām. 

Piemērs 3.121. Iepriekšējā piemēra kombinatorikas uzdevuma atrisinājumus var iekodēt arī 

izmantojot neatkarīgas virsotņu kopas jēdzienu. Tāpat kā iepriekšējā piemērā pieņemsim, ka 

mums ir dots taisnstūris ar izmēriem n × m, kur vismaz viens no n vai m ir pāra skaitlis, 

uzskatīsim ka tas ir sadalīts 1 × 1 rūtiņās. Atkal mēǧināsim noklāt šādu taisnstūri ar 1 × 2 

domino figūrām. Konstruēsim grafu Γ, kura virsotnes ir visi sakārtoti trijnieki (x, y, p), kur x un 

y ir rūtiņas centra koordinātes, ja taisnstūrī var ievietot domino figūru tā, ka tās kreisās augšējās 

rūtiņas centram ir koordinātes (x, y), p = 0, ja var ievietot domino figūru vertikāli un p = 1, ja 

var ievietot domino figūru horizontāli. Savienosim virsotnes (x 1 , y 1 , p 1 ) un (x 2 , y 2 , p 2 ) ar šķautni, 

ja domino kauliņiem, kas atbilst šiem kodiem, ir kopīga rūtiņa. Var redzēt, ka pareizs taisnstūra 

noklājums ar domino kauliņiem savstarpēji viennozīmīgi atbilst neatkarīgai virsotņu kopai grafā 

Γ, kas satur nm 2 

elementus.


Grafa virsotņu kopu var mēǧināt sadalīt apakškopu apvienojumā tā, lai katrā apakškopā 

virsotnes būtu neatkarīgas. Tradicionāli šādu procedūru sauc par grafu krāsošanu. Par grafa 

virsotņu krāsojumu (krāsojumu) sauksim funkciju no grafa virsotņu kopas uz krāsu kopu, tādu, 

ka nekādām divām savienotām virsotnēm nav piekārtota viena krāsa. Mazāko krāsu skaitu, 

ar kuru dotajam grafam eksistē krāsojums, sauksim par grafa virsotņu hromatisko skaitli, to 

apzīmēsim ar χ(Γ). Grafu Γ sauksim par k-krāsojamu, ja k ≥ χ(Γ). Grafu sauksim par k- 

hromatisku, ja k = χ(Γ). Par grafa hromatisko polinomu sauksim funkciju π Γ : V → N, 

kur π Γ (i) ir dažādo grafa krāsojumu skaits ar i krāsām. Grafu Γ sauksim par perfektu, ja tā 

katram inducētam apakšgrafam γ ′ ⊆ Γ izpildās nosacījums χ(Γ ′ ) = ω(Γ ′ ). Līdzīgi var definēt 

grafa šķautņu krāsojumu un ar to saistītās īpašības. Par grafa šķautņu krāsojumu sauksim 

funkciju no grafa šķautņu kopas uz krāsu kopu, tādu, ka nekādām divām incidentām šķautnēm 

nav piekārtota viena krāsa. Mazāko krāsu skaitu, ar kuru dotajam grafam Γ eksistē šķautņu 

krāsojums, sauksim par grafa šķautņu hromatisko skaitli, apzīmēsim to ar χ 1 (Γ). 

Teorēma 3.122. 1) χ ≤ 1 + ∆; 

2) |V | 

β 0 

≤ χ ≤ |V | − β 0 + 1; 

3) 2 √ |V | ≤ χ(Γ) + χ(Γ) ≤ |V | + 1; 

|V |+1 

4) |V | ≤ χ(Γ)χ(Γ) ≤ ( ) 2 . 

|V | 


Piemērs 3.123. Augstskolā tiek organizētas vairākas nodarbības tā, lai katrs students var 

piedalīties vienā nodarbībā. Katram studentam obligāti ir jāpiedalās katrā viņam/viņai paredzētā 

nodarbībā. Katra nodarbība ilgst fiksētu laika intervālu. Kāds ir minimāli iespējamais laiks, kas 

ir nepieciešams, lai notiktu visas nodarbības, kas ir nepieciešamas studentiem? Modelēsim šo 

uzdevumu ar grafu Γ, kura virsotnes ir nodarbības un šķautnes savieno divas nodarbības tad un 

tikai tad, ja vismaz viens students piedalās abās nodarbībās. Var redzet, ka minimālais laiks ir 

vienāds ar χ(Γ). 

3.13. PLANARITĀTE 

Grafu sauksim par plakanu, ja tas ir uzzīmēts plaknē tā, ka šķautnes nekur nekrustojas, 

izņemot virsotnes. Grafu sauksim par planāru, ja to var uzzīmēt plaknē tā, ka šķautnes krustojas 

tikai galapunktos. Planāra grafa pārveidošanu par plakanu grafu sauksim par plakanizāciju. 

Viegli redzēt, ka katrs planāra grafa apakšgrafs ir planārs. Sakarīgs grafs ir planārs tad un tikai 

tad, ja katrs tā bloks ir planārs. 

Piemērs 3.124. Pierādīsim, ka grafs K 5 nav planārs. Jebkurš tā inducētais apakšgrafs, kas 

satur četras virsotnes, ir planārs, tāpēc to var attēlot plaknē kā plakanu grafu. Pēdējā piektā 

virsotne var atrasties vai nu ārējā skaldnē, vai arī vienā no iekšējām skaldnēm. Šī virsotne ir 

jāsavieno ar katru no pārējām četrām virsotnēm, un katrā no šiem diviem gadījumiem eksistē 

viena virsotne, kuru nevar savienot ar piekto virsotni tā, lai nekrustotu pilnā grafa K 4 šķautnes. 

Piemērs 3.125. Pierādīsim, ka grafs K 3,3 nav planārs. Jebkurš tā apakšgrafs, kas satur visas 

virsotnes un visas šķautnes, izņemot vienu, ir planārs, tāpēc to var attēlot plaknē kā plakanu 

grafu. Pēdējā šķautne savieno divas pretējās virsotnes, un tā var atrasties vai nu ārējā skaldnē, 

vai divās iekšējās skaldnēs. Katrā no šiem diviem gadījumiem pēdējā šķautne krusto vismaz 

vienu no pārējām šķautnēm. 

Par grafa biezumu sauksim tā minimālu planāru apakšgrafu skaitu, kuru apvienojums ir 

vienāds ar doto grafu. Par plakana grafa skaldni sauksim plaknes apgabalu, ko norobežo šķautnes 

un kurš nesatur virsotnes vai šķautnes (ieskaitot ārējo apgabalu), planāra grafa Γ skaldņu skaitu 

apzīmēsim ar r(Γ). Var redzēt, ka katram plakanam grafam ir tieši viena neierobežota skaldne, 

kuru sauksim par ārējo skaldni, pārējās skaldnes sauksim par iekšējām. Var redzēt arī, ka planāru


6 

7 

6 

7 

5 

8 

2 

3 

2 

3 

1 

4 

1 

4 

(a) 

5 

8 

2 

4 

5 

2 

1 

3 

4 

5 

1 

3 

6 

6 

(b) 

3.61. attēls. Planāru grafu plakanizācijas piemēri 

V 1 

V 2 

V 3 

V 5 

V 4 

V 5 

V 5 

V 1 

V 2 

V 3 

V 1 

V 2 

V 3 

V 4 

3.62. attēls. Ilustrācija grafa K 5 neplanaritātes pierādījumam 

V 4


V 1 

V 5 

V 1 

V 6 

V 2 

V 5 

V 2 

V 3 

V 3 

V 4 

V 6 

V 4 

3.63. attēls. Ilustrācija grafa K 3,3 neplanaritātes pierādījumam 

grafu var uzzīmēt plaknē tā, ka izvēlēta virsotne piederēs ārējai skaldnei. Par plakana grafa 

duālo multigrafu sauksim multigrafu Γ ∗ , kas tiek konstruēts šādā veidā. Katrā grafa Γ skaldnē 

izvēlēsimies vienu punktu, visi šie punkti veidos duālā multigrafa Γ ∗ virsotņu kopu. Katrai grafa 

Γ šķautnei piekārtosim vienu multigrafa Γ ∗ šķautni, savienojot tās virsotnes, kurām atbilstošās 

skaldnes ierobežo dotā šķautne. Ievērosim, ka multigrafā Γ ∗ tiešām var būt vairākas šķautnes 

starp divām virsotnēm un var būt arī cilpas. 

3.64. attēls. Plakana grafa un tā duālā multigrafa piemērs 

Planāru grafu sauksim par ārēji planāru, ja to var uzzīmēt plaknē tā, ka visas tā virsotnes pieder 

vienai skaldnei. 

Planāro grafu teorija tiek pielietota tādās inženierzinātnēs kā autoceļu projektēšana, mikroshēmu 

projektēšana u.c. 

Teorēma 3.126. (Eilera formula). Sakarīgam plakanam grafam Γ = (V, E) ar |V | virsotnēm 

un |E| šķautnēm ir spēka formula 

(3.4) |V | − |E| + r(Γ) = 2. 

Pierādījums. Pielietosim matemātisko indukciju ar indukcijas argumentu |E|. Bāze: ja |E| = 

1, tad |V | = 1, r = 1 un apgalvojums acīmredzami ir patiess. Pieņemsim, ka formula ir pareiza 

visiem grafiem ar |E| šķautnēm (|V | virsotnēm un r skaldnēm). Pievienosim vēl vienu šķautni, 

iegūsim grafu ar |E ′ | = |E| + 1 šķautnēm, |V ′ | virsotnēm un r ′ skaldnēm un pierādīsim, ka 

formula paliek spēkā. Ja pievienotā šķautne savieno jau eksistējošas virsotnes, tad 

tātad 

|E ′ | = |E| + 1, |V ′ | = |V |, r ′ = r + 1, 

|V ′ | − |E ′ | + r ′ = 2. 

Ja pievienotā šķautne savieno jau eksistējošu virsotni ar jaunu virsotni, tad 

|E ′ | = |E| + 1, |V ′ | = |V | + 1, r ′ = r

un atkal izpildās vienādība 

QED 


|V ′ | − |E ′ | + r ′ = 2. 

Secinājums 3.6. Ja Γ = (V, E) - sakarīgs planārs grafs ar vismaz 3 virsotnēm, tad 

|E| ≤ 3|V | − 6. 

Pierādījums. Katru skaldni ierobežo vismaz 3 šķautnes, katra šķautne ierobežo ne vairāk kā 

2 skaldnes. Apiesim katru skaldni un skaitīsim šķautnes. Pieņemsim, ka šis skaitlis ir vienāds ar 

N. No vienas puses, 

N ≥ 3r, 

jo katras skaldnes ieguldījums ir ne mazāks par 3. No otras puses, 

N ≤ 2|E|, 

jo katras šķautnes ieguldījums ir ne lielāks kā 2. Iegūstam, ka 

tātad 

3r ≤ 2|E|, 

2 = |V | − |E| + r ≤ |V | − |E| + 2|E| 

3 

un 

|E| ≤ 3|V | − 6. 

QED 

Grafus Γ 1 un Γ 2 sauksim par homeomorfiem, ja tos var iegūt no kāda grafa Γ ′ , veicot galīgu 

skaitu šķautņu sadalīšanas operāciju. 

Teorēma 3.127. (Kuratovska planaritātes kritērijs). Grafs ir planārs tad un tikai tad, ja 

tas nesatur apakšgrafu homeomorfu ar K 5 vai K 3,3 . 

Pierādījums. Pierādījums ir sarežǧīts un netiks dots šajā tekstā. QED 

80.gados izmantojot datorus, tika pierādīta šāda teorēma (teorēma par četrām krāsām) - 

jebkuram planāram grafam eksistē krāsojums ar četrām krāsām - ja grafs Γ ir planārs, tad 

χ(Γ) ≤ 4. 

Šīs teorēmas pierādījums tika iegūts, apskatot lielu skaitu grafu speciālgadījumu.


3.14. GRAFU TEORIJAS ALGORITMISKIE JAUTĀJUMI 

Attiecību jeb grafu plašā izmantošana praktiski visās zinātnēs un inženierpielietojumos ir 

radījusi nepieciešamību sistematizēt un attīstīt to algoritmu teorijas daļu, kas apkalpo grafu 

teorijas uzdevumus. Šajā nodaļā mēs īsi apskatīsim plašāk pielietotos grafu uzdevumus un algoritmus 

to risināšanai. Lai novērtētu algoritmu izpildei nepieciešamos resursus, grafu algoritmu 

teorijā par sākuma datu izmēriem parasti uzskata grafa virsotņu skaitu |V | un šķautņu skaitu 

|E|. 

3.14.1. Plašummeklēšana un dziļummeklēšana. Bieži risinot teorētiskus vai praktiskus 

uzdevumus, ir nepieciešams apiet (pārmeklēt, pārlasīt, iezīmēt) grafa virsotnes noteiktā, algoritmiskā 

kārtībā, izmantojot grafa šķautnes. Ir skaidrs, ka algoritms ir vajadzīgs, lai apiešanu 

varētu realizēt ar datora palīdzību. Šāda algoritma efektivitātes dēļ ir lietderīgi minimizēt katras 

virsotnes iezīmēšanas reižu skaitu, piemēram, pieprasīt, ka katra virsotne tiek iezīmēta ne vairāk 

kā vienu reizi. Kāda varētu būt grafu virsotņu apiešanas dabiskā kārtība? Šo uzdevumu var 

viegli atrisināt, ja grafs ir, piemēram, ķēde vai cikls (skatīt 3.65.attēlā). 

1 

2 

1 2 3 4 

5 

3 

3.65. attēls. Ķēdes un cikla apiešanas veidi 

4 

Ko darīt patvaļīga sakarīga grafa gadījumā? Ir vismaz divi dabiski grafu apiešanas veidi - 

plašummeklēšana un dziļummeklēšana. Abos algoritmos tiek pakāpeniski konstruēts orientēts 

koks, kuram atbilstošais neorientētais koks ir dotā grafa skelets. 

Plašummeklēšanu (pārlasi plašumā, breadth-first search) var aprakstīt šādā veidā. Sākam ar 

fiksētu virsotni v 0 , atzīmējam visas ar to savienotās virsotnes {v 1 01, v 1 02, ..., v 1 0n 1 

}, pilnīgi sakārtojam 

tās veidā v 1 01 < v 1 02 < ... < v 1 0n 1 

, konstruē¯jam sakārtotu koku B 1 . 

V 1 

1 

V 0 

V 1 

V 6 

V 6 

V 0 V V 5 

2 

V 0 V V 5 

2 

1 1 1 

V 7 

1 

V 7 

1 

V 9 

V 9 

V 8 

V 8 

V1 < V 4 

< 

V 5 

V 4 

V 3 

V 4 

3.66. attēls. Pirmais solis plašummeklēšanas algoritmā Petersena grafā 

Nākošajā solī konstruējam sakārtotu koku B 2 šādā veidā: apejam pilnīgi sakārtoto virkni 

{v01, 1 v02, 1 ..., v0n 1 1 

} tās elementu pieaugošajā kārtībā un katrai virsotnei v0i 1 atzīmējam un piekārtojam 

kā dēlu kopu visas virsotnes {vi1, 2 vi2, 2 ..., vin 2 1 

}, kas ir savienotas ar v0i 1 un vēl nav atzīmētas 

(skatīt 3.67.attēlā). Turpinām šo procesu, konstruējot sakārtotu koku virkni B 1 , B 2 , ..., kuras 

pēdējais loceklis tiek saukts par plašummeklēšanas koku. Plašummeklēšanas algoritms beidz 

darbu, kad ir atzīmētas visas virsotnes. Piezīmēsim, ka šis koks nav noteikts viennozīmīgi, tas 

ir atkarīgs no pirmās virsotnes v 0 un no katras iekšējās virsotnes dēlu sakārtojuma. 

V 3


V 0 

V 1 

1 

2 

2 

1 1 1 

V 6 

V 0 V 5 

1 

V 7 

1 

V 4 

V 9 

2 

2 

2 

2 

V 8 

V 3 

V 2 

V 4 

V 1 

< < 

V 2 

< V 0 

V 3 

V 9 

V 5 

2 2 

2 2 2 2 

< < 

3.67. attēls. Pirmie divi soļi plašummeklēšanas algoritmā Petersena grafā 

V 7 

V 8 

Novērtēsim operāciju skaitu, kas ir nepieciešams plašummeklēšanas algoritmam. Pieņemsim, 

ka ir dots grafs ar |V | virsotnēm un |E| šķautnēm, kas ir uzdots ar blakusattiecības sarakstu. 

Plašummeklēšanas procesā katra virsotne tiek ievietota kokā vienu reizi, tātad summārais 

operāciju skaits ir O(|V |). Katras virsotnes blakusattiecības saraksts tiek apskatīts vienu reizi, 

tātad summārais operāciju skaits šajā algoritma daļā ir O(|E|). Papildus operāciju skaits grafa 

inicializācijai ir O(|V |). Var redzēt, ka kopējais algoritma darba laiks ir O(|V | + |E|). 

Izmantojot plašummeklēšanu, var atrisināt šādus uzdevumus: 

• noteikt, vai grafs ir sakarīgs, un atrast grafa komponenšu skaitu - to var izdarīt, veicot 

plašummeklēšanu no jebkuras virsotnes, grafs ir sakarīgs tad un tikai tad, ja tiek apietas 

visas grafa virsotnes, komponenšu skaits ir vienāds ar plašummeklēšanu skaitu, kas ir 

nepieciešamas, lai apietu visas virsotnes; 

• noteikt attālumu starp divām virsotnēm - to var izdarīt, veicot plašummeklēšanu no 

vienas virsotnes, attālums starp virsotnēm ir vienāds ar attālumu no sākotnējās virsotnes 

līdz otrai virsotnei plašummeklēšanas kokā; 

• nokrāsot grafa virsotnes divās krāsās, ja ir zināms, ka tas ir divdaļīgs. 

Vēsturiski plašummeklēšanas algoritms tika atklāts, risinot izklaidējošās matemātikas uzdevumus 

par ceļu meklēšanu labirintos. 

Vēl viens efektīvs plašummeklēšanas algoritma pielietošanas piemērs nesenā vēsturē arī ir 

saistīts ar izklaidējošo matemātiku. Viens no pēdējo gadu aizraujošākajiem notikumiem matemātikā 

ir tā saucamās ”Eternity Puzzle” spēles atrisināšana. 1999.gadā kāda britu rotaļlietu firma 

laida pārdošanā spēli, kuras uzdevums ir noteiktā veidā savietot 209 plakanas figūras. Par šī 

uzdevuma atrisināšanu gada laikā pirmā iesūtītā risinājuma autoram tika apsolīta vienu miljonu 

britu mārciņu liela balva. Uzdevuma autori bija nepareizi novērtējuši šī uzdevuma grūtības 

pakāpi un acīmredzot bija pārliecināti, ka uzdevumu nav iespējams atrisināt gada laikā, pat 

izmantojot jaudīgus datorus. Tas tomēr tika atrisināts septiņu mēnešu laikā, veicot meklēšanu 

ar divu personālo datoru palīdzību. Spriežot pēc risinājuma autoru publikācijām, uzdevums 

tika modelēts, izmantojot grafus (virsotnes - figūras, šķautnes savieno divas virsotnes, ja atbilstošās 

figūras var savietot ar kopīgu robežas daļu) un meklēšana pamatojās uz bektrekingu, 

plašummeklēšanas algoritmu un diskrēto varbutību teoriju, kas tika izmantota nākošā elementa 

optimālai izvēlei. Pirmie uzdevumu atrisināja divi profesionāli matemātiķi. 

Otrs grafu teorijā un grafu pielietojumos populārs meklēšanas veids ir dziļummeklēšana 

(pārlase dziļumā, depth-first search). Tāpat kā plašummeklēšanas algoritms, tas tika atklāts 

risinot uzdevumus par labirintiem. Sākam ar fiksētu virsotni v 0 kā topošā dziļummeklēšanas koka 

sakni, atzīmējam jebkuru vēl neatzīmētu virsotni v 1 , kas ir savienota ar v 0 , dziļummeklēšanas 

kokā zīmējam šķautni v 0 → v 1 un pārvietojamies uz virsotni v 1 . Vispārīgā gadījumā rīkojamies


šādi: ja mēs atrodamies virsotnē v un eksistē vēl neatzīmēta virsotne w, kas ir savienota ar v, 

tad 

1) atzīmējam virsotni w, 

2) dziļummeklēšanas kokā zīmējam šķautni v → w, 

3) pārvietojamies uz virsotni w. 

Pretējā gadījumā (ja visas virsotnes, kas ir savienotas ar v, jau ir atzīmētas) pārejam (atkāpjamies) 

uz virsotnes v tēvu dziļummeklēšanas kokā. Turpinām dziļummeklēšanas algoritmu tik ilgi, 

kamēr atgriežamies atpakaļ virsotnē v 0 . Rezultātā iegūsim dziļummeklēšanas koku. Bieži vien 

ir lietderīgi papildus atzīmēt arī ”atkāpšanās” šķautnes. 


V 0 

2 

V 2 

V 7 

V 1 

1 

V 0 

7 

4 

6 

V 6 

V 4 

V 

5 5 

3 

V 3 

V 2 

2 

V 1 

1 

3 

6 

V 6 

V 3 

V 4 

V 5 

4 

7 

V 7 

5 

3.68. attēls. Dziļummeklēšanas algoritma realizācijas piemērs 

Orientētiem grafiem var izmantot abas meklēšanas metodes ar divām atšķirībām: 

1) virzīšanās pa šķautni ir atļauta tikai tās norādītajā virzienā; 

2) meklēšana var tikt veikta vairākas reizes pat vāji sakarīgam grafam, kamēr tiek atzīmētas 

visas virsotnes. 

Orientētu grafu gadījumā dziļummeklēšanas algoritma darba rezultāts ir dziļummeklēšanas 

mežs. 

Var pierādīt, ka dziļummeklēšanas algoritma darba laiks ir O(|V | + |E|). 

Izrādās, ka abas aprakstītās meklēšanas metodes var realizēt ar viena algoritma palīdzību, izmantojot 

dažādas datu struktūras - rindu plašummeklēšanai vai steku dziļummeklēšanai. Rinda 

ir viendimensionāla datu struktūra, kurā elementi tiek ievietoti tikai vienā galā un ņemti ārā tikai 

no otra gala. Steks ir viendimensionāla datu struktūra, kurā elementi tiek ievietoti un ņemti 

ārā no viena gala. Rindas un stekus var realizēt, izmantojot saistības sarakstus vai masīvus 

ar mainīgām robežām. Elementa x ievietošanu datu struktūrā D apzīmēsim ar x → D un 

izņemšanu - ar x ← D. Definēsim virsotnes stāvokļa funkciju s : V → {0, 1} šādā veidā: 

s(v) = 0, ja virsotne v nav atzīmēta un s(v) = 1, ja virsotne v ir atzīmēta. 

Meklēšana grafā 

: Uzdot grafu Γ = (V, E), definēt T = ∅, 

: for v ∈ V do /* definējam visas virsotnes kā neiezīmētas*/ 

: s(v) := 0 

: end for, 

: izvēlēties sākotnējo virsotni v ∈ V 

: T ← v, s(v) := 1, 

: while T ≠ ∅ do


: w ← T , 

: output w /*izvadām w kā kārtējo virsotni*/ 

: for u ∈ N − (w) do 

: if s(u) = 0 then 

: T ← u,s(u) := 1, 

: end if; 

: end for; 

: end while 

Analizējot dziļummeklēšanas algoritmu, var iegūt papildus lietderīgu informāciju par grafa 

struktūru. Uzskatīsim, ka dziļummeklēšanas algoritms tiek realizēts ar kādas skaitļošanas sistēmas 

palīdzību, un katrai grafa virsotnei v piekārtosim divus skaitļus - d(v) (laika moments, kad 

virsotne v ir atzīmēta) un f(v) (laika moments, kad ir atzīmēti visi virsotnes v kaimiņi). Viegli 

redzēt, ka d(v) < f(v). 

Teorēma 3.129. Ja ir dots grafs Γ un divas tā virsotnes u un v, tad ir spēkā tieši viens no 

šādiem trīs gadījumiem: 

1) intervāli [d(u), f(u)] un [d(v), f(v)] ir šķirti; 

2) [d(u), f(u)] ⊂ [d(v), f(v)] un u ir virsotnes v pēctecis dziļummeklēšanas kokā; 

3) [d(v), f(v)] ⊂ [d(u), f(u)] un v ir virsotnes u pēctecis dziļummeklēšanas kokā. 


Ja grafā Γ ir veikta dziļummeklēšana, tad sadalīsim visas grafa šķautnes četrās grupās. 

Uzskatīsim, ka neorientēta šķautne ir divu pretēju šķautņu apvienojums, vai, citiem vārdiem 

sakot, pa neorientētu šķautni var iet abos virzienos. Šķautni sauksim par koka šķautni, ja tā 

pieder dziļummeklēšanas kokam, šķautni u → v sauksim par atpakaļejošo šķautni, ja virsotne u 

ir virsotnes v pēctecis dziļummeklēšanas kokā, šķautni u → v sauksim par tiešo šķautni, ja tā 

nav dziļummeklēšanas kokā un virsotne v ir virsotnes u pēctecis dziļummeklēšanas kokā, šķautni 

sauksim par šķērsšķautni, ja tā nav nevienā no iepriekš definētajām kopām. 

Teorēma 3.130. Neorientētā grafā katra šķautne ir vai nu koka šķautne, vai arī atpakaļejoša 

šķautne. 


Viens no neacīmredzamiem dziļummeklēšanas pielietojumiem ir šarnīru noteikšana, patērējot 

mazāk laika, nekā tas ir iespējams ar kādu no naivajām metodēm. 

Teorēma 3.131. Ja ir dots neorientēts grafs Γ = (V, E) un ir veikta dziļummeklēšana, tad 

1) dziļummeklēšanas koka sakne ir šarnīrs tad un tikai tad, ja tai ir vismaz divi dēli; 

2) dziļummeklēšanas koka virsotne u, kas nav sakne, ir šarnīrs tad un tikai tad, ja neeksistē 

atpakaļejoša šķautne v → w tāda, ka v ir u pēctecis un u ir w pēctecis dziļummeklēšanas 

kokā. 


Dziļummeklēšanu tāpat kā plašummeklēšanu pielieto grafa komponenšu un stingri sakarīgo 

komponenšu noteikšanā, metrisko invariantu (diametra, ekscentritātes, centra) noteikšanā, divdaļīga 

grafa sadalīšanā daļās. Dziļummeklēšanu pielieto arī algoritmos, kuros tiek risināti uzdevumi 

par augstāku kārtu sakarīgumu (šarnīru un bloku noteikšana, fiksētas kārtas sakarīgo komponenšu 

noteikšana) un planaritāti. 

3.14.2. Stingri sakarīgo komponenšu meklēšana. Praktiski svarīgs uzdevums orientētu 

grafu analīzē ir to stingri sakarīgo komponenšu atrašana. Stingri sakarīgās komponentes parāda, 

kā orientētais grafs ir sadalīts mazākās daļās, katrā no kurām jebkuras divas virsotnes ir savstarpēji 

sasniedzamas ar virzītu ķēžu palīdzību. 

Naivs algoritms šī uzdevuma atrisināšanai varētu būt šāds: veiksim plašummeklēšanu no 

katras virsotnes un aizpildīsim virsotņu savstarpējās sasniedzamības matricu (rūtiņā, kas atbilst


virsotnes u rindai un v kolonnai rakstām 1, ja eksistē virzīta ķēde no u uz v un 0, ja tāda ķēde 

neeksistē), šai matricai atbilstošās ekvivalences attiecības klases ir stingri sakarīgās komponentes. 

Var piedāvāt arī ātrāku algoritmu, kurā tikai divas reizes tiek veikta pilna dziļummeklēšana 

orientētajā grafā. Ja ir dots orientēts grafs Γ = (V, E), tad definēsim jaunu grafu Γ op = (V, E op ), 

kur E op = {(u, v)|(v, u) ∈ E}, citiem vārdiem sakot, grafu Γ op iegūst no grafa Γ mainot visām 

šķautnēm virzienu uz pretējo. 

Tardžana algoritms: 

1) veiksim dotajā orientētajā grafā Γ pilnu dziļummeklēšanu, kamēr ir atzīmētas visas 

virsotnes, fiksēsim katras virsotnes v visu kaimiņu atzīmēšanas laiku f(v); 

2) konstruēsim Γ op ; 

3) veiksim grafā Γ op pilnu dziļummeklēšanu, izvēloties pirmās dziļummeklēšanas virsotnes 

parametra f samazināšanās kārtībā, katra šajā solī iegūtā dziļummeklēšanas koka virsotnes 

ir vienas stingri sakarīgas komponentes virsotnes. 

3.14.3. Bināro koku algoritmi. Binārie koki ir tā grafu klase, kas relatīvi visbiežāk tiek 

izmantota pielietojumos un praktiskajā programmēšanā. Šajā nodaļā apskatīsim vienkāršākos 

bināro koku algoritmus un bināro koku pielietojumus. 

Bināru koku virsotņu apiešanai var izmantot plašummeklēšanu vai dziļummeklēšanu tāpat 

kā vispārīgiem grafiem. Tomēr bieži vien ērtāk ir izmantot koku struktūras specifiku un apiet 

koka virsotnes citos veidos. Apskatīsim populārākos no tiem - preorder, postoder un inorder 

apiešanu. 

Ja ir dots binārs koks T , tad apzīmēsim ar s(T ) tā sakni (domātu kā bināru koku ar vienu 

virsotni), ar k(T ) - tā kreisā dēla apakškoku un ar L(T ) - tā labā dēla apakškoku. Definēsim 

virsotņu virkni (virsotņu apiešanas kārtību) preorder(T ) šādā rekursīva veidā: 

(3.5) preorder(T ) = (s(T ), preorder(K(T )), preorder(L(T ))). 

Citiem vārdiem sakot, no sākuma tiek apieta koka virsotne, pēc tam rekursīvā veidā kreisais un 

labais zars. Līdzīgi definē vēl divus koku apiešanas veidus postorder(T ) un inorder(T ): 

(3.6) postorder(T ) = (postorder(K(T )), postorder(L(T )), s(T )) 

un 

(3.7) inorder(T ) = (inorder(K(T )), s(T ), inorder(L(T ))). 

Papildus tam definēsim 

(3.8) preorder(T ) = postorder(T ) = inorder(T ) = (s(T )), 

ja T satur vienu virsotni. 

Piemērs 3.132. 3.69.attēlā ir parādīti trīs bināru koku apiešanas veidi vienam kokam. 

Šie koku virsotņu apiešanas veidi no programmēšanas viedokļa ir vieglāk realizējami nekā 

plašummeklēšana un dziļummeklēšana. Tie arī ir dabiskāki darbā ar kokiem nekā vispārīgie 

meklēšanas veidi. 

Apskatīsim divus bināro koku pielietošanas gadījumus - šķirošanas un meklēšanas uzdevumos. 

Viens no ”ātrajiem” (O(n ln n)) šķirošanas algoritmiem ir tā saucamais ”heapsort” algoritms. 

Šis algoritms sastāv no diviem soļiem. Pirmajā solī nesakārtota virkne tiek pārveidota noteikta 

bināra koka - hīpa (heap) veidā. Hīps ir binārs koks ar virsotnēm piekārtotiem skaitliskiem 

indeksiem, kura katras virsotnes indekss nav mazāks par tās dēlu indeksiem. Papildus tam hīps 

ir balansēts koks, kura iepriekšpēdējā līmenī virsotņu skaits ir maksimāli iespējamais, un zemāka 

līmeņa lapas ir pievienotas nepārtrauktā veidā, sākot no kreisās malas. Ievērosim, ka hīpam var 

dabiski definēt nākamās lapas jēdzienu: ja visām lapām ir vienāds līmenis, tad nākamā lapa tiek 

pievienota kā kreisais dēls kreisajā malā, ja nē, tad lapa tiek pievienota tā, lai zemākajā līmenī 

saglabātos virsotņu virknes nepārtrauktības īpašība. Ja ir dota nesakārtota virkne, tad hīpu var 

konstruēt šādā veidā: pēctecīgi ņemam ārā no virknes elementus, definējam tos kā nākamās lapas


1 

2 

3 

4 5 6 

preorder (1,2,4,5,3,6) postorder (4,5,2,6,3,1) inorder (4,2,5,1,3,6) 

1 

1 

1 

2 

3 

2 

3 

2 

3 

4 5 6 

4 5 6 

4 5 6 

3.69. attēls. Trīs bināra koka apiešanas veidi 

kokā. Ja tiek pārkāpts hīpa nosacījums, tad virsotnes tiek pārvietotas uz augšu, mainot virsotni 

vietām ar savu tēvu, tik ilgi, kamēr ir tiek apmierināts hīpa nosacījums. Šo procesu varētu 

salīdzināt ar dabiskās hierarhijas veidošanos cilvēku kolektīvā, kuram pakāpeniski pievienojas 

jauni locekļi - cilvēki ar līderu īpašībam laika gaitā paaugstina savu sociālo statusu, kamēr 

sasniedz tādu līmeni un sociālos kaimiņus, kas aptur viņu sociālo kustību. Otrajā algoritma solī 

hīps tiek pārveidots par sakārtotu virkni šādā veidā: pēctecīgi no hīpa izņem saknes virsotnes, 

ievieto tās kā nākamos elementus sašķirotajā virknē un pārvieto nākamo lapu uz augšu līdz 

saknei, mainot to vietām ar tās lielāko dēlu, kamēr nav apmierināts hīpa nosacījums, saknes 

virsotnes izņemšanas procedūru atkārto tik ilgi, kamēr hīps nav tukšs. 

Populārs meklēšanas algoritms ir bināra koka meklēšanas algoritms. Šis algoritms tāpat kā 

hīpsorta algoritms arī sastāv no diviem soļiem: pirmajā solī kopa, kurā tiks veikta meklēšana, 

tiek pārveidota noteiktā bināra koka (meklēšanas koka) veidā, otrajā solī meklējamais objekts 

tiek meklēts binārajā kokā saskaņā ar noteiktu algoritmu. Par binārās meklēšanas koku sauksim 

bināru koku ar virsotnēm piekārtotiem skaitliskiem indeksiem, kurā katras virsotnes indekss nav 

mazāks par tās kreisā apakškoka virsotņu indeksiem un nav lielāks par tās labā apakškoka virsotņu 

indeksiem. Ja ir dots binārās meklēšanas koks, tad elementa meklēšanu var veikt, salīdzinot 

meklējamo elementu no sākuma ar sakni un tālāk virzoties uz leju atkarībā no salīdzināšanas 

rezultātiem. Ja ir dots nesakārtots masīvs, tad no tā var pakāpeniski izveidot binārās meklēšanas 

koku šādā veidā: kārtējais elements no masīva tiek meklēts jau konstruētajā kokā un pievienots 

kā lapa tajā vietā, kur tam ir jābūt, lai pēc pievienošanas atkal izveidotos binārās meklēšanas 

koks. 

3.14.4. Minimālā svara skeleta meklēšana. Pieņemsim, ka ir dots nosvērts (neorientēts) 

sakarīgs grafs Γ = (V, E), atgādināsim, ka katrai šķautnei e ir piekārtots pozitīvs skaitlis w(e) 

jeb, citiem vārdiem sakot, ir dota funkcija w : E → R + (R + ir visu pozitīvo skaitļu kopa). 

Apskatīsim šādu uzdevumu: konstruēt Γ skeletu (apakšgrafu, kas ir koks un kura virsotņu kopa 

ir vienāda ar visu grafa virsotņu kopu), kura šķautņu svaru summa ir minimāla. Šādu skeletu 

sauksim par minimāla svara skeletu. Šī tipa uzdevumi bieži gadās pielietojumos, pieminēsim 

dažus no tiem: 

• inženiertehniska (ceļu tīkla), elektrotehniska vai datortehniska tīkla sakaru līniju kopējā 

garuma minimizēšana; 

• daudzparametru objektu klasterizēšana (katram objektam tiek piekārtots punkts daudzdimensiju 

telpā, tiek definēts attālums starp punktiem un pilnais grafs, kura šķautņu


svars ir attālums, minimāla svara koka virsotnes var tikt interpretētas kā objektu kopas 

”raksturīgāko” objektu kopums jeb klasters); 

• informācijas pārraides optimizēšana (piemēram, ir dots spiegu tīkls kādā valstī, rezidentam 

ir jānodod kāda ziņa visiem aǧentiem tā, lai minimizētu kopējo risku, definēsim 

grafu, kura virsotnes ir aǧenti, šķautnes ir aǧentu pazīšanās un šķautnes svars ir sakaru 

līnijas riska pakāpe, minimāla svara skeletā ir iekodēts riska ziņā optimāls ziņas nodošanas 

algoritms). 

Minimāla svara skeleta meklēšanai tiek izmantoti ”rijīgie” algoritmi. Algoritmu sauksim 

par rijīgu (alkatīgu, greedy), ja katrā solī tiek izdarīta lokāli (šajā laika momentā vai situācijā) 

optimāla izvēle. Nebūt nav acīmredzami, ka lokāli optimāla izvēle ir arī globāli optimāla, bet 

minimāla svara skeleta uzdevumā tas tā ir. Ir divi populāri algoritmi - Kraskala algoritms un 

Prima algoritms, kuros tiek pakāpeniski būvēts mežs vai koks, pievienojot šķautnes ar minimāli 

iespējamu svaru. 

Kraskala algoritms sakarīgam grafam Γ = (V, E), kuram |V | = n: 

1) konstruējam grafu T 1 = O n + e 1 , pievienojam bezšķautņu grafam ar virsotņu kopu V 

šķautni e 1 , kuras svars ir minimāls; 

2) ja grafs T i jau ir konstruēts un i < n − 1, tad konstruējam grafu T i+1 = T i + e i+1 , kur 

e i+1 ir grafa Γ šķautne, kurai ir minimāls svars starp visām tām šķautnēm, kas neieiet 

grafā T i un neveido ciklus ar grafa T i šķautnēm. 

Teorēma 3.133. Ja i < n − 1, tad grafu T i+1 ir iespējams konstruēt saskaņā ar Kraskala 

algoritma aprakstu. Grafs T n−1 ir minimāla svara skelets. 

Pierādījums. Grafā T i ir i šķautnes, tāpēc tas ir nesakarīgs, ja i < n − 1. Tā kā grafs Γ ir 

sakarīgs, tad tajā ir vēl vismaz viena šķautne, kas neveido ciklus ar grafa T i šķautnēm. Tātad 

meklējamā šķautne e i+1 eksistē un ir iespējams konstruēt grafu T i+1 . Apskatīsim grafu T n−1 . Tā 

kā grafs T n−1 ir grafs ar n virsotnēm un n − 1 šķautnēm bez cikliem, tad tas ir koks (saskaņā ar 

teorēmu par kokiem). Atliek pierādīt, ka koka T n−1 svars ir minimāls. Pieņemsim, ka koka T n−1 

svars nav minimāls, un no visiem grafa Γ skeletiem izvēlēsimies vienu skeletu T ar minimālu 

svaru, kuram kopējo šķautņu skaits ar T n−1 ir maksimāls. Pieņemsim, ka šķautne e i = (v, w) ir 

šķautne ar minimālu numuru kokā T n−1 , kas nav kokā T . Kokā T eksistē ķēde, kas savieno v 

un w. Pievienojot šai ķēdei šķautni e 1 , iegūsim ciklu. Šajā ciklā ir vismaz viena šķautne e, kas 

neieiet kokā T n−1 . Aizvietojot kokā T šķautni e ar e i iegūsim jaunu skeletu T ′ = T − e + e i . Tā 

kā T ir minimāla svara skelets, tad 

w(T ′ ) = w(T ) − w(e) + w(e i ) ≥ w(T ), 

un tātad w(e i ) ≥ w(e). No otras puses, pievienojot šķautni e kokam T n−1 , mēs neiegūsim ciklu, 

jo šķautnes e 1 , ..., e i−1 ieiet kokā T . Ja w(e i ) > w(e), tad koka T i konstruēšanai mēs nebūtu 

izvēlējušies šķautni e i . Tātad w(e i ) = w(e) un w(T ′ ) = w(T ). Esam ieguvuši, ka T ′ ir minimāla 

svara skelets. Kopēju šķautņu skaits kokos T ′ un T n−1 ir stingri lielāks nekā kokiem T un T n−1 , 

kas ir pretruna. QED 

Kraskala algoritma rezultātā tiek iegūts koks, ko sauksim par Kraskala koku. Prima algoritms 

atšķiras no Kraskala algoritma ar to, ka katrā solī tiek konstruēts koks, kam pievieno 

minimāla svara šķautnes, kas neveido ciklus ar jau esošo koku, koka pirmā virsotne var tikt 

izvēlēta patvaļīgi. Koks, kas tiek iegūts šāda algoritma rezultātā, tiek saukts par Prima koku. 

Var pierādīt, ka Kraskala algoritma patērēto operāciju skaits ir O(|E| ln |E|) un Prima algoritma 

operāciju skaits ir O(|E| ln |V |), jo lielākā daļa no darba ir šķautņu šķirošana, kas var tikt 

veikta ar norādīto operāciju skaitu. 

3.14.5. Īsākā ceļa meklēšana. Pieņemsim, ka ir dots nosvērts (neorientēts vai orientēts) 

sakarīgs grafs ar nenegatīviem šķautņu svariem w, apzīmēsim škautnes svaru ar w(e) un (v, w)- 

ķēdes summāro svaru ar dist(v, w). Apskatīsim šādu uzdevumu: atrast minimāla svara ķēdi, kas 

savieno divas dotās virsotnes. Šādu ķēdi sauksim par īsāko ceļu starp divām dotajām virsotnēm.


Par dotā orientētā grafa īsāko ceķu koku sākot no virsotnes v sauksim pārklājošu orientētu koku, 

kura sakne ir v un kurĀ maršruti līdz virsotnēm realizē īsākos ceļus. 

Var redzēt, ka ja virsotņu virkne (v, v 1 , ..., v n−1 , t) ir īsākais ceļš no v līdz t, tad jebkurām 

divām virsotnēm v i un v j , kur i < j, v 0 = v, v n = t, virkne v i , v i+1 , ..., v j ir īsākais ceļš no v i līdz 

v j . Var redzēt, ka īsāko ceļu garumi apmierina šādu nevienādību: 

dist(v, t) ≤ dist(v, u) + w(u, t), 

kur w(u, t) ir šķautnes u, t svars. 

Tipiski īsākā ceļa pielietošanas piemēri ir saistīti ar optimāla maršruta noteikšanu transporta 

sistēmās. 

Ja visu šķautņu svari ir vienādi, tad šis uzdevums var tikt atrisināts ar plašummeklēšanas 

palīdzību. Vispārīgā gadījumā var izmantot Dijkstras algoritmu, kas pēc būtības ir līdzvērtīgs 

Prima algoritmam ar nelielu modifikāciju. Dijkstras algoritms balstās uz šādu teorēmu. 

Teorēma 3.134. Ja ir dotas minimāla svara ķēdes no virsotnes u līdz katrai virsotnei 

no kopas {v 0 , ..., v k }, kur v 0 = u, tad eksistē virsotne v, tāda, ka īsākā ķēde no u līdz v ir 

formā (u, ..., t, v), kur ķēde (u, ..., t) ir viena no dotajām ķēdēm vai kāda no to nepārtrauktajām 

apakšķēdēm, kas sākas ar u. 

Pierādījums. Ievērosim, ka, ja ķēde (u, ..., t) ir īsākā ķēde, tad jebkura tās nepārtraukta 

apakšķēde, kas sākas ar u, ir īsākā ķēde līdz tās galapunktam. Apskatīsim virsotni v tādu, kas 

minimizē lielumu dist(u, t k ) + w(t k , v), kur t k var būt jebkura no doto īsāko ķēžu virsotnēm. Var 

redzēt, ka virsotne v ir meklējamā virsotne. QED 

Tātad, lai atrastu īsāko ceļu starp divām virsotnēm nosvērtā grafā, mums ir jākonstruē 

Prima koks ar papildus nosacījumiem: ir jāsāk ar vienu no divām dotajām virsotnēm, katrā 

solī ir jāpievieno šķautne (u i , t), kas neveido ciklus un minimizē lielumu dist(u, u i ) + w(u i , t), 

minimizēšana tiek veikta, pārskatot visas jau uzbūvētā koka virsotnes u i un visas virsotnes t 

grafā. Pēc galīga skaita soļu tiks konstruēts koks, kas satur abas no dotajām virsotnēm, attālums 

starp tām ir vienāds ar attālumu konstruētajā kokā. 

Oriǧinālais Dijkstras algoritms tiek uzdots šādas pseidoprogrammas veidā. 

Klasiskais Dijkstras algoritms. 

: Uzdot nosvērtu grafu Γ = (V, E) ar nenegatīvu šķautņu svaru funkciju w, 

: izvēlēties sākuma virsotni v, definēt dist(v) = 0, definēt pred(v) = 0, 

: visiem u ∈ V definēt dist(u) = ∞, ja u ≠ v, 

: definēt LIST := V , definēt T - tukšais grafs, 

: while LIST ≠ ∅ 

: atrast s ∈ LIST , kurai dist(s) =, 

: izmest s no LIST , 

: for t ∈ Γ(s) do 

: if dist(t) > dist(s) + w(s, t then 

: dist(t) = dist(s) + w(s, t), pred(t) = s, 

: end if; 

: end for, 

: end while, 

: pievienot grafam T visas šķautnes formā (pred(s), s), 

: izvadīt T (īsāko ceļu koku sākot no v). 

Var pierādīt, ka Dijkstras algoritma operāciju skaits ir O(|V | 2 ). 

Otrs klasisks īsākā ceļa meklēšanas algoritms ir Bellmana-Forda algoritms. 

Bellmana-Forda algoritms. 

: Uzdot nosvērtu grafu Γ = (V, E) ar nenegatīvu šķautņu svaru funkciju w, 

: izvēlēties sākuma virsotni v, definēt dist(v) = 0, definēt pred(v) = 0, 

: visiem u ∈ V definēt dist(u) = ∞, ja u ≠ v, 

: definēt LIST := {v}, definēt T - tukšais grafs,


: while LIST ≠ ∅ 

: izmest jebkuru virsotni s no LIST , 

: for t ∈ Γ(s) do 

: if dist(t) > dist(s) + w(s, t then 

: dist(t) = dist(s) + w(s, t), pred(t) = s, 

: if t /∈ LIST then 

: pievienot t kopai LIST , 

: end if, 

: end if; 

: end for, 

: end while, 

: pievienot grafam T visas šķautnes formā (pred(s), s), 

: izvadīt T (īsāko ceļu koku sākot no v). 

Būtu jāpierāda, ka Bellmana-Forda algoritms apstājas, tas ir patstāvīgs darbs lasītājam. 

Izmantojot īsākā ceļa atrašanas uzdevumu, var aizpildīt grafa virsotņu attālumu matricu, 

kuras rūtiņās tiek ierakstīti grafu teorētiskie attālumi starp rindai un kolonnai atbilstošajām 

virsotnēm. Attālumu matricu izmanto grafa metrisko invariantu aprēķināšanai. 

3.14.6. Plūsmas maksimizācija. Inženierzinātnēs ir izplatīti uzdevumi, kas ir saistīti 

ar fizikālu vai cita veida plūsmu vadīšanu to transportēšanas tīklos. Piemēram, uzdevums 

varētu būt saistīts ar maksimālās caurlaides spējas noteikšanu autoceļu tīklā, naftas vadu tīklā, 

datortīklā, loǧistikas vai ražošanas tīklā, asinsvadu vai nervu tīklā. Viens no svarīgākajiem 

jautājumiem, kas var būt uzdots šādā situācijā, ir jautājums par maksimālo pieļaujamo plūsmu 

tīklā. 

Dots tīkls Γ = (V, E) ar avotu s un noteku t. Par tīkla griezumu mēs sauksim šķautņu kopu, 

kas atdala avotu no notekas. Katrai šķautnei piekārtosim svaru, definēsim funkciju c : E → R + 

- šķautņu caurlaides funkciju. Šajā nodaļā mēs bieži izmantosim funkcijas, kuru argumenti ir 

šķautnes, tāpēc pieraksta ērtības dēļ funkcijas f vērtību ar argumentu e = (u, v) apzīmēsim ar 

f(e) vai f(u, v). Ja ir dota funkcija f : E → R + , tad par virsotnes v diverǧenci (plūsmu caur 

virsotni) attiecībā uz f sauksim lielumu 

div(v) = 

∑ 

f(u, v) − 

∑ 

f(v, w). 

u:(u,v)∈E 

w:(v,w)∈E 

Funkciju f sauksim par plūsmu (pieļaujamu plūsmu) tīklā Γ, ja tā apmierina šādus nosacījumus: 

1) katrai šķautnei (u, v) izpildās nosacījums 0 ≤ f(u, v) ≤ c(u, v) (plūsma pa jebkuru 

šķautni nepārsniedz šķautnes caurlaides spēju); 

2) katrai virsotnei v, izņemot avotu un noteku, izpildās nosacījums div(v) = 0 (plūsma 

nekur neuzkrājas). 

Skaitli div(t) sauksim par plūsmas lielumu, apzīmēsim ar |f|. Plūsmas maksimizācijas uzdevums 

ir šāds: dotajam tīklam ar uzdotām caurlaides spējām katrai šķautnei atrast plūsmu ar 

maksimālu lielumu. 

Pieņemsim, ka f ir pieļaujamā plūsma tīklā. Šķautni e sauksim par tukšu, ja plūsma pa to 

ir vienāda ar nulli: f(e) = 0. Šķautni e sauksim par piesātinātu, ja plūsma pa to ir vienāda 

ar caurlaides spēju: f(e) = c(e). Plūsmu sauksim par pilnu, ja katrs maršruts no avota uz 

noteku satur vismaz vienu piesātinātu šķautni. Plūsmu sauksim par maksimālu, ja tās lielums 

ir maksimāls starp visām pieļaujamām plūsmām. 

Pirmajā tuvinājumā mēs varētu konstruēt pieļaujamo plūsmu, kas ir pilna. Aprakstīsim 

pilnas plūsmas konstruēšanas algoritmu. 

1) sākuma brīdī definēsim nulles plūsmu f(e) = 0 katrai šķautnei e, konstruējam palīggrafu 

Γ ′ = Γ; 

2) izdzēsīsim grafā Γ ′ visas piesātinātās šķautnes, konstruējam šī soļa rezultātā jaunu grafu 

Γ ′ ;


3) meklējam grafā Γ ′ virzītu ķēdi p no avota uz tīklu. Ja tāda ķēde neeksistē, tad ir iegūta 

pilna plūsma, ja tāda ķēde eksistē, tad ejam uz soli (4); 

4) palielinām plūsmu katrā ķēdes p posmā par lielumu f p , kas ir vienāds ar minimālo 

caurlaides spēju ķēdes p šķautnēs (tā, lai vismaz viena šķautne būtu piesātināta). Kopējā 

plūsma palielināsies par f p , plūsma joprojām ir pieļaujama, pārejam uz soli (2). 

Šāda tipa metodi sauksim par uzlabojošo ķēžu metodi. 

Diemžēl pilna plūsma var arī nebūt maksimāla, tāpēc uzdevums par maksimālo plūsmu vēl 

nav atrisināts. 

V 1 

1 

V 2 

V 2 

1 V 4 

V 1 1 

1 

1 

1 

V 4 

1 

1 

1 

1 

V 3 

V 3 

(a) 

3.70. attēls. (a) Tīkla piemērs, (b) pilnas un nemaksimālas plūsmas piemērs 

Pilnas plūsmas konstruēšanas algoritmā mēs apskatījām tikai virzītas ķēdes, kas ir virzītas no 

avota uz noteku. Izrādās, ka ir lietderīgi apskatīt visas iespējamās, ne obligāti virzītās ķēdes no 

avota uz noteku. Var redzēt, ka plūsmu var palielināt, ja eksistē ķēde no avota uz noteku ar šādu 

īpašību: katra šķautne, kas ir vērsta no avota uz noteku, nav piesātināta un katra šķautne, kas ir 

vērsta no notekas uz avotu, nav tukša (”no full forward or empty backward edges”). Var pierādīt, 

ka algoritms, kurā tiek pakāpeniski palielināta plūsma tik ilgi, kamēr nav ķēžu ar šo īpašību, 

tiešām atrod maksimālo plūsmu. Šāda tipa algoritmi balstās uz Forda-Falkersona jeb max-flow 

min-cut teorēmu: maksimālas plūsmas lielums ir vienāds ar minimālu griezuma kapacitāti. 

Gan pilnas, gan arī maksimālas plūsmas meklēšana ar uzlabojošo ķēžu metodi tiek realizēta, 

konstruējot un uzturot mainīgu palīgtīklu, kura šķautņu caurlaides spējas tiek modificētas algoritma 

darba laikā, lai atspoguļotu konstruētās plūsmas ietekmi uz tīkla atlikušo kapacitāti. 

Virzītie maršruti šajā palīgtīklā tiek noteikti izmantojot īsākā ceļa meklēšanas algoritmus. 

Var pierādīt, ka plūsmas maksimizāciju var realizēt ar algoritmu, kas patērē O(|V ||E| 2 ) 

operācijas. 

Papildus tiešajiem pielietojumiem transporta tīklos šim uzdevumam ir arī daži neacīmredzami 

pielietojumi. Izmantojot Mengera teoremu, var piedāvāt algoritmu, kas atrod grafa sakarīguma 

skaitli, pielietojot plūsmas maksimizāciju: maksimālais virsotņu šķirtu ķēžu skaits, kas savieno 

divas virsotnes, ir vienāds ar maksimālas plūsmas lielumu grafam atbilstošajā tīklā, ja katrai 

neorientētai šķautnei atbilst divas orientētas šķautnes ar caurlaides spēju 1. 

Bieži vien sākotnējais grafs ir jāmodificē tā, lai uzdevumu varētu atrisināt ar plūsmas maksimizācijas 

metodi, piemēram, grafam ir jāpievieno fiktīvas virsotnes un šķautnes. 

Apskatīsim arī tā dēvēto pāru sakārtojumu uzdevumu jeb ”stabilo laulību uzdevumu”. Ir 

dota zēnu kopa Z un meiteņu kopa M. Starp dažiem zēniem un meitenēm eksistē savstarpējas 

simpātijas, kuras mēs vienkāršoti modelēsim ar šķautni, ja starp divām virsotnēm eksistē šķautne, 

tad uzskatīsim, ka atbilstošie cilvēki var veidot stabilu laulību. Uzdevums ir šāds: noteikt, kāds 

ir maksimālais stabilo laulību skaits, kas ir iespējams dotajam kopu pārim (M, Z) ar uzdotu 

savstarpējo simpātiju sarakstu. Šo uzdevumu var atrisināt, izmantojot plūsmas maksimizācijas 

pieeju. Pievienosim vēl divas virsotnes M 0 un Z 0 , savienosim virsotni M 0 ar visām kopas M 

virsotnēm un savienosim Z 0 ar visām kopas Z virsotnēm, uzskatīsim M 0 par avotu un Z 0 - par 

noteku, katru šķautni orientēsim virzienā no avota uz noteku un piešķirsim katrai orientētajai 

šķautnei caurlaides spēju 1. Var redzēt, ka maksimālā plūsma šādā tīklā definē maksimālu pāru 

skaitu. 

(b)


Z 

M 

Z 

M 

Z0 

M0 

3.71. attēls. Stabilo laulību uzdevuma risināšana ar plūsmas maksimizācijas metodi 

Apskatīsim uzdevumu par kopas apakškopu sistēmas pārstāvju izvēli. Ir dota kopa A un tās 

apakškopu kopa {A i } i∈I . Uzdevums ir atrast apakškopu sistēmas dažādo pārstāvju kopu - kopu 

R = {a i } i∈I , kas apmierina īpašībus a i ∈ A i un |R| = |I|. Definēsim tīklu šādā veidā: 

⋃ ⋃ 

1) virsotņu kopa ir {A i } i∈I A {x, y}, kur x un y ir divas jaunas virsotnes; 

2) savienosim katru kopas A virsotni ar x; 

3) savienosim katru kopas {A i } i∈I virsotni ar y; 

4) savienosim katru elementu a ar visām virsotnēm A i , kurām izpildas nosacī-jums a ∈ A i . 

Uzskatīsim x par avotu un y par noteku, orientēsim šķautnes virzienā no avota uz noteku 

un piekārtosim katrai šķautnei caurlaides spēju 1. Var redzēt, ka apakškopu sistēmai eksistē 

pārstāvju kopa tad un tikai tad, ja maksimāla plūsma šādā tīklā ir vienāda ar apakškopu skaitu 

(elementu skaitu kopā {A i } i∈I jeb |I|). 

Minēsim arī klasisku rezultātu, kas bieži tiek izmantots uzdevumos, kas ir saistīti ar apakškopu 

pārstāvju sistēmas meklēšanu. Ievērosim, ka iepriekšējā rindkopā konstruētais grafs bez virsotnēm 

x un y ir divdaļīgs grafs. Virsotņu kopas apakškopai U definēsim N(U) = ⋃ u∈U N(u). 

Teorēma 3.135. (Holla teorēma) Ir dots divdaļīgs grafs ar tādu virsotņu kopas sadalījumu 

{U, V }, ka šķautnes savieno tikai virsotnes dažādās sadalījuma daļās. Maksimāla neatkarīga 

šķautņu kopa satur |U| elementus tad un tikai tad, ja katrai U ′ ⊆ U izpildās nosacījums 

|U ′ | ≤ |N(U ′ )|. 

Pierādījums. Ja maksimāla neatkarīgu šķautņu kopa satur |U| elementus, tad nosacījums 

|U ′ | ≤ |N(U ′ )| izpildās. 

Otrādi, pieņemsim, ka maksimāla neatkarīga šķautņu kopa S nav incidenta kādai kopas 

U virsotnei u 0 . Konstruēsim maksimāli garu dažādu virsotņu virkni M = (u 0 , v 1 , u 1 , ...), kas 

apmierina šādu nosacījumu: u i ∼ v i ∼ u ϕ(i) , kur 0 ≤ ϕ(i) < i. Šāda virkne nevar beigties 

ar kopas U virsotni, jo apakškopai {u 0 , ..., u i−1 } apkārtne satur vismaz i elementus, un eksistē 

virsotne v i /∈ {v 1 , ..., v i−1 }, kas apmierina nosacījumu v i ∼ u ϕ(i) . Pieņemsim, ka konstruētās 

virsotņu virknes pēdējais elements ir virsotne v n . Apskatīsim virsotņu virkni 

M ′ = (v n , u ϕ(n) , v ϕ(n) , u ϕ 2 (n), v ϕ 2 (n), ..., u 0 ). 

Šai virsotņu virknei atbilstošās ķēdes pāra šķautnes (skaitot no v n ) pieder kopai S. Virsotne 

v n nav incidenta ne ar vienu kopas S šķautni, jo pretējā gadījumā mēs varētu pagarināt virkni 

M vai iegūtu pretrunu. Virknei M ′ atbilstošās ķēdes nepāra šķautnes veido neatkarīgu šķautņu 

kopu, kurā ir par vienu elementu vairāk nekā kopā S, kas ir pretruna. Ir pierādīts, ka maksimāla 

neatkarīga virsotņu kopa satur |U| elementus. QED 

3.14.7. Maksimālu neatkarīgu kopu meklēšana. Dots nosvērts (neorientēts) grafs. Meklēsim 

neatkarīgu virsotņu vai šķautņu kopu ar maksimālu svaru. Šo uzdevumu ir iespējams 

atrisināt, tikai apskatot visas iespējamās virsotņu vai šķautņu apakškopas, tātad, ja grafam ir n 

virsotnes, tad ir jāapskata visas 2 n apakškopas, un algoritma darba laiks ir Ω(2 n ). To ir iespējams 

izdarīt, piemēram, ar bektrekinga algoritma palīdzību - tiek pēctecīgi ǧenerētas visas apakškopas 

un uzglabāta apakškopa ar maksimālo svaru starp visām jau ǧenerētajām apakškopām.


Var piedāvāt arī heiristisku maksimālas neatkarīgu virsotņu kopas meklēšanas algoritmu, 

kurš konstruē neatkarīgu virsotņu kopu šādā veidā: 

1) izvēlēties grafā Γ virsotni t ar minimālu pakāpi un ievietot to kopā U (sākumā kopa U 

ir tukša), 

2) ja Γ − (t ∪ N Γ (t)) ir tukšs grafs (ja tā virsotņu kopa ir tukša), tad apstāties, ja Γ − (t ∪ 

N Γ (t)) nav tukšs, tad pārveidot grafu Γ par Γ − (t ∪ N Γ (t)) (iznīcināt kopas t ∪ N Γ (t) 

virsotnes) un iet uz soli 1). 

3.14.8. Grafu krāsošana. Ir dots grafs Γ. Apskatīsim tā virsotņu krāsošanas uzdevumu, 

ja ir dots krāsu skaits. Tā kā virsotņu krāsošana ir tas pats, kas virsotņu kopas sadalīšana 

neatkarīgu apakškopu apvienojumā, mēs varam piedāvāt šādu ”rijīgu” krāsošanas algoritmu: 

1) izvēlēties grafā Γ maksimālu neatkarīgu virsotņu kopu S; 

2) nokrāsot kopas S virsotnes kārtējā krāsā; 

3) ja Γ−S ir tukšs grafs, tad apstāties, ja Γ−S nav tukšs, tad pārveidot grafu Γ par Γ−S 

(izdzēst kopas S virsotnes) un iet uz soli (1). 

Var pierādīt, ka šis algoritms atrod krāsojumu ar k krāsām, ja χ(Γ) ≤ k. 

3.14.9. ”Topoloǧiskā šķirošana”. Ir dots AOG. Uzdevums ir sakārtot grafa virsotnes 

virknē tā, lai katras orientētas šķautnes beigu virsotne virknē būtu pa labi no sākuma virsotnes. 

V 1 

V 2 

V 3 V 4 

V 5 

V 6 

V 7 

V 8 

V 9 

V 10 

V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 V 10 

3.72. attēls. Topoloǧiskās šķirošanas piemērs 

Šo uzdevumu sauksim par AOG topoloǧiskās šķirošanas uzdevumu. Var redzēt, ka pēc virsotņu 

topoloǧiskās šķirošanas AOG blakusattiecības matricai visi vieninieki ir zem galvenās 

diagonāles. Viens no tā pielietojumiem ir šāds: pieņemsim, ka ir liels projekts, kas sastāv no 

vairākiem darbiem, darbi var būt atkarīgi viens no otra to izpildes nozīmē (piemēram, darbs B 

nevar būt iesākts, pirms nav pabeigts darbs A), modelēsim projektu ar orientētu grafu, kura virsotnes 

ir darbi un šķautnes savieno atkarīgus darbus to izpildes kārtībā. Topoloǧiskās šķirošanas 

uzdevuma atrisinājumu šajā gadījumā var interpretēt kā darbu virkni, kas apmierina atkarības 

nosacījumus. 

Ja AOG tiek interpretēts kā kādas daļēji sakārtotas kopas Hasses grafs, tad topoloǧiskās 

šķirošanas uzdevums ir ekvivalents dotā daļējā sakārtojuma paplašināšanai līdz pilnam (lineāram) 

sakārtojumam. Daļēji sakārtoto kopu teorijā ir pierādīts, ka tas ir iespējams visos gadījumos. 

Šis uzdevums var tikt atrisināts, izmantojot šādu algoritmu: 

1) dotajā grafā atradīsim visu avotu kopu (pārskatot grafa matricu vai izmantojot dziļummeklēšanu); 

2) pievienosim kopu S konstruējamās virknes labajā galā jebkurā kārtībā; 

3) pārveidosim Γ par Γ − S; 

4) ja V (Γ) = ∅, tad apstājamies, ja nē, tad ejam uz soli 1).


3.14.10. Darbu plānošanas problēmas. Plānojot darbu projektā, kas satur vairākus 

savstarpēji atkarīgus darbus, var būt nepieciešams modelēt šādu projektu ar grafu palīdzību, 

atrisināt radušos grafu teorijas uzdevumus un izstrādāt atbilstošus algoritmus. Projekti var tikt 

modelēti ar grafiem vismaz šādos veidos: 

1) grafa virsotnes ir projekta darbi, orientētas šķautnes savieno darbus, kas ir savstarpēji 

atkarīgi, šādu modeli angļu valodā apzīmē ar AoN (”activity on node”); 

2) grafa virsotnes ir projekta izpildes stāvokļi, orientētas nosvērtas šķautnes ir darbi, 

šķautnes svars nozīmē izpildes laiku, izmaksas vai citus lielumus, šādu modeli angļu 

valodā apzīmē ar AoA (”activity on arc”); 

3) grafa virsotnes ir projekta izpildes stāvokļi un darbi, orientētas šķautnes savieno savstarpēji 

atkarīgus stāvokļus vai stāvokļus un tiem sekojošos vai priekštecējošus darbus; 

4) grafa virsotnes ir projekta darbi un izpildītāji, virsotnes savieno izpildītājus ar darbiem, 

kurus tie var izpildīt. 

Vienkāršākie darbu plānošanas uzdevumi var būt šādi: 

1) noteikt darbu izpildes secību, ievērojot darbu savstarpējo atkarību, izmantojot topoloǧisko 

šķirošanu; 

2) noteikt vairāku darbu vienlaicīgas izpildes grafiku, izmantojot neatkarīgu virsotņu un 

šķautņu kopu meklēšanu un grafu krāsošanu; 

3) piekārtot maksimāli lielu skaitu darbu pieļaujamajiem izpildītājiem, izmantojot tīkla 

plūsmas maksimizāciju; 

4) minimizēt projekta izpildes laiku, resursu izlietošanu vai citus parametrus ar neierobežotu 

vai ierobežotu izpildītāju skaitu (projekta kompresijas problēma); 

5) minimizēt projekta kopējās izmaksas. 

3.14.11. Eilera cikla konstruēšanas problēma. Ir dots sakarīgs grafs Γ, kuram visu virsotņu 

pakāpes ir pāra skaitļi. Uzdevums ir atrast Eilera ciklu. Grafu (ne obligāti sakarīgu), kura 

visu virsotņu pakāpes ir pāra skaitļi, sauksim par kvazi-Eilera grafu. Šī uzdevuma atrisinājums 

balstās uz to apstākli, ka, izdzēšot no kvazi-Eilera grafa kāda cikla šķautņu kopu, atkal iegūsim 

kvazi-Eilera grafu. Uzdevuma risināšanai var piedāvāt šādu algoritmu: 

1) izvēlēties grafa Γ virsotni, kuras pakāpe nav 0 un konstruēt jebkuru ciklu Z sākot ar šo 

virsotni, ierakstīt Z ciklu masīvā; 

2) ja Γ − Z ir bezšķautņu grafs, tad iet uz soli 4), ja nē, tad uz soli 3); 

3) definēt Γ := Γ − Z un iet uz soli 1); 

4) konstruēt iegūto ciklu sakarības grafu - virsotnes ir cikli, šķautne savieno divas virsotnes, 

ja atbilstošajiem cikliem ir kopīga virsotne; 

5) ciklu sakarības grafa katras virsotnes z kaimiņus sakārtot tādā kārtībā, kādā šie cikli 

krusto z; 

6) ciklu sakarības grafā veikt dziļummeklēšanu, izvēloties virsotņu atzīmēšanas kārtību 

saskaņā ar solī 5) noteikto kārtību; 

7) apiet ciklus tādā kārtībā, kādā tie ir atzīmēti veicot solī 6) aprakstīto dziļummeklēšanu, 

sekojot tam, lai pēc atkāpšanās no virsotnes visas atbilstošā cikla šķautnes ir apietas. 

Klasisks Eilera cikla konstruēšanas algoritms ir Flerī algoritms: sākot no jebkuras virsotnes 

izvēlamies incidentas šķautnes, kuras uzreiz pēc izvēlēšanas tiek nodzēstas, tā lai kārtējā izvēlētā 

šķautne nav tilts atlikušajā grafā (ja nav citas izvēles). Var redzēt, ka šajā procesā tiek konstruēts 

cikls, kas satur visas šķautnes, tātad Eilera cikls. Tiešām, tā kā sākotnēji katras virsotnes 

pakāpe ir pāra skaitlis, tad algoritms beigs darbu tajā virsotnē, kurā sāka, tātad algoritms 

konstruē kaut kādu ciklu. Jāpierāda, ka šis cikls satur visas šķautnes. Pieņemsim pretējo - 

algoritms konstruē ciklu Z, kas nav Eilera cikls. Izdzēsīsim no sākotnējā grafa cikla Z šķautnes 

un apskatīsim jebkuru atlikušā grafa sakarības komponenti C, kas nav triviāla. Apskatīsim 

cikla Z šķautnes, kas ir incidentas ar C virsotnēm un sanumurēsim tās to apiešanas kārtībā. 

Šķautne e ar vislielāko numuru pirms tās apiešanas bija tilts, vienlaicīgi eksistēja komponentes


C šķautnes, kas nebija tilti un kuras varēja izvēlēties šķautnes e vietā. Iegūtā pretruna pierāda 

to, ka algoritmā konstruētais cikls satur visas šķautnes. 

Eilera cikla konstruēšanas uzdevums var būt svarīgs pilsētu ielu apkopes speciālistiem - ja 

pilsēta tiek modelēta kā grafs, kura virsotnes ir krustojumi un šķautnes ir ielas, tad Eilera cikls 

norāda minimāla garuma maršrutu, kas ir jāveic sniega tīrīšanas mašīnai, lai attīrītu no sniega 

visas ielas. 

3.14.12. Hamiltona cikla un ”ceļojošā tirgoņa problēma”. Ir dots nosvērts grafs. 

Uzdevums ir atrast šajā grafā Hamiltona ciklu, kura šķautņu svaru summa ir minimāla, šādu 

uzdevumu sauksim par ”ceļojošā tirgoņa problēmu”, jo tas ir cēlies no uzdevuma par tirgoni, 

kam ir jāapmeklē visas pilsētas valstī un jāatgriežas sākotnējā pilsētā, ceļojot pēc iespējas īsāku 

maršrutu. Speciālgadījumā, ja visu šķautņu svari ir vienādi, iegūsim uzdevumu par Hamiltona 

cikla atrašanu. Vispārīgā gadījumā šim uzdevumam nav atrasts algoritms, kas patērē mazāk 

laika nekā to, kas ir nepieciešams visu virsotņu permutāciju apskatīšanai. Tātad, ja grafam ir n 

virsotnes, tad algoritma darbības laiks ir Ω(n!). Speciālu grafu klasēm šī uzdevuma risināšanai 

ir izstrādātas efektīvas heiristiskās metodes. 

3.14.13. Grafu izomorfisms. Ir doti divi viena tipa (neorientēti, orientēti u.c.) grafi 

Γ 1 = (V, E 1 ) un Γ 2 = (V, E 2 ). Uzdevums ir noteikt, vai šie grafi ir izomorfi. Naivs veids, 

kā atrisināt šo uzdevumu ir šāds: ar bektrekinga palīdzību ǧenerēt visas iespējamās virsotņu 

kopas V permutācijas f : V → V un pārbaudīt, vai grafa f(Γ 1 ) matrica ir vienāda ar grafa Γ 2 

matricu. Redzam, ka šis algoritms patērē laiku Ω(n!), jo permutāciju skaits kopai ar n elementiem 

ir vienāds ar n!. Šādu bektrekingu var būtiski paātrināt, ja abu grafu virsotņu kopas sadala 

apakškopās ar vienādām īpašībām, piemēram, vienādām virsotņu pakāpēm. 

3.14.14. Grafu zīmēšana. Praktiski svarīgs uzdevums ir efektīva grafu attēlošana jeb 

zīmēšana plaknē. Parasti nepietiek ar to, ka dotais uzdevums tiek modelēts un risināts ar 

grafu teorijas metodēm, grafi vēl ir jāattēlo tā, lai to struktūra un īpašības ir viegli uztveramas. 

Zīmējot grafus, parasti ir liela izvēle, piemēram, virsotņu koordinātes var būt veseli skaitli vai 

patvaļīgi skaitļi, šķautnes var zīmēt taisnas vai lokveida, šķautnes var būt vērstas tikai horizontālā 

vai vertikālā virzienā, vai arī leņķi starp šķautnēm var būt patvaļīgi. Dažādos veidos var 

attēlot virsotņu un šķautņu indeksus utt. Lai saprastu, kā grafs ir jāzīmē, ir jānosaka, kādas 

grafa īpašības un invarianti ir svarīgi uzdevuma risināšanā. Pārskaitīsim dažus populārākos grafu 

zīmēšanas veidus un atbilstošos grafu invariantus: 

1) grafs tiek zīmēts tā, lai minimizētu šķautņu krustošanos skaitu, šajā gadījumā ir jāizmanto 

planāru grafu plakanizācijas algoritmi; 

2) grafs tiek zīmēts tā, lai minimizētu tā laukumu, vienlaicīgi nodrošinot noteiktu attāluma 

minimumu starp jebkurām divām virsotnēm; 

3) grafs tiek zīmēts tā, lai minimizētu garākās šķautnes garumu; 

4) grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu skaidri parādītas tā sakarīguma un augstāku kārtu sakarīguma 

komponentes, šajā gadījumā no sākuma ir jāatrod šīs komponentes, piemēram, ir 

jāatrod visi šarnīri, tilti, bloki, jāizmanto bloku grafs utt.; 

5) orientēts grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu skaidri parādītas tā stingri sakarīgās komponentes, 

šajā gadījumā no sākuma ir jāatrod šīs komponentes, jāizmanto Herca grafs; 

6) grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu skaidri parādītas tā kliķes, šajā gadījumā no sākuma ir 

jāatrod visas grafa kliķes; 

7) grafs tiek zīmēts tā, ka visas virsotnes tiek izvietotas pa riņķi un iespējami vairāk blakusesošas 

virsotnes ir savienotas ar šķautnēm, šajā gadījumā grafā ir jāatrod cikls ar maksimālu 

šķautņu skaitu, vislabākais gadījums ir tad, ja grafs ir Hamiltona grafs; 

8) grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu skaidri parādītas grafa orbītas (attiecībā uz automorfisma 

grupas darbību) un pati automorfisma grupas darbība, šajā gadījumā no sākuma ir 

jāatrod grafa automorfisma grupa un tās darbības orbītas;


9) grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu parādītas tā metriskās īpašības (centrs, diametrs, rādiuss 

utt.), šajā gadījumā no sākuma tiek atrasti nepieciešamie metriskie invarianti, bieži 

šādā gadījumā grafa centra virsotnes tiek zīmētas zīmējuma centrā un pārējās virsotnes 

mēǧina zīmēt tā, lai to attālums līdz centra virsotnēm aptuveni sakristu ar to grafu 

teorētisko attālumu (radiālais attēlojums); 

10) grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu skaidri parādīts kāds virsotņu kopas sadalījums vai pārklājums 

(grafs tiek zīmēts kā m-daļīgs grafs, grafs tiek zīmēts ar noteiktu krāsojumu u.c.); 

11) grafs tiek zīmēts tā, lai akcentētu kādu tā noteiktu apakšgrafu, piemēram, tā skeletu; 

12) grafs tiek zīmēts tā, lai tiktu pēc iespējas skaidrāk parādīts sākotnējais uzdevuma modelis 

pirms grafa definēšanas, šajā gadījumā grafu teorija nav jāpielieto; 

13) orientēts koks tiek zīmēts ar sakni zīmējuma augšā un ar lejupejošām šķautnēm tā, 

lai virsotnes, kuru attālums līdz saknei ir vienāds, atrodas vienā horizontālajā līmenī 

(rangu attēlojums). 

Grafu zīmēšanā var izmantot dažādas fizikālas izcelsmes heiristiskas metodes. Piemēram, 

var uzskatīt, ka katra virsotne ir elektrisks lādiņš un katra šķautne ir atspere, kas saista divas 

virsotnes, uzskatīsim, ka virsotnes atgrūžas viena no otras ar spēku, kas ir atkarīgs no to grafu 

teorētiskā attāluma, un uzskatīsim, ka atspere darbojas uz virsotnēm saskaņā ar Huka likumu, 

zīmēsim grafu kā definētās fizikālās sistēmas līdzsvara stāvokli. Šis grafu zīmēšanas veids tiek 

mūsdienās plaši pielietots, piemēram, matemātiskajā bioloǧijā, kur ir uzskatāmi jāattēlo grafi, 

kas satur vairākus simtus virsotņu. 

Visbiežāk grafu zīmēšanas algoritmi sevī iekļauj ǧeometriskas vai grafu teorētiskas optimizēšanas 

algoritmus, kas ir eksponenciāli vai faktoriāli atkarīgi no virsotņu skaita pat speciālām 

grafu klasēm, piemēram, kokiem. 

Grafu zīmēšanas algoritmi tiek plaši pielietoti tādās jomās kā elektrisko ķēžu projektēšana, 

matemātiskā bioloǧija, programminženierija un algoritmu animācija. 

3.15. PAAUGSTINĀTAS GRŪTĪBAS UN PĒTNIECISKI VINGRINĀJUMI 

Vingrinājums 3.136. Pierādīt, ka 6 cilvēku kopā vai nu ir 3 cilvēki, kas pazīst viens otru, vai 

arī ir 3 cilvēki, kas nepazīst viens otru. Pierādīt, ka 18 cilvēku kopā vai nu ir 4 cilvēki, kas pazīst 

viens otru, vai arī ir 4 cilvēki, kas nepazīst viens otru. Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim n 

eksistē tāds naturāls skaitlis R(n), ka izpildās šāds nosacījums: ja grafa virsotņu skaits ir lielāks 

nekā R(n), tad vai nu grafs, vai arī tā papildinājums satur K n kā apakšgrafu. 

Vingrinājums 3.137. Pierādīt, ka sakarīgā grafā 

1) jebkurām divām maksimāla garuma vienkāršām ķēdēm ir kopīga virsotne; 

2) nav tiesa, ka visām maksimāla garuma vienkāršām ķēdēm ir kopīga virsotne. 

Vingrinājums 3.138. Pierādīt, ka katra netriviāla pašpapildinoša (izomorfa savam papildgrafam) 

grafa diametrs var būt vienāds tikai ar 2 vai 3. 

Vingrinājums 3.139. Atrodiet visus sakarīgos 3-regulāros grafus, kuru virsotņu skaits nepārsniedz 

10. 

Vingrinājums 3.140. Pierādīt, ka dažādu k-regulāru grafu skaits ar iezīmētu virsotņu kopu 

{1, ..., n} ir vienāds ar koeficientu pie monoma x k 1x k 2 · ... · x k n reizinājuma 

∏ 

(1 + x i x j ) 

izvirzījumā. 

1≤i


Vingrinājums 3.143. a n ir visu bināru virkņu skaits ar garumu n, kurām nav apakšvirkņu 

formā 0101. Atrast a n , izmantojot transfermatricas metodi. 

Vingrinājums 3.144. Dots galīga deterministiska automāta A grafs. Virkne {a n } n≥0 ir A 

atbilstošās regulārās valodas vārdu skaits ar garumu n. Izmantojot transfermatricas metodi, 

atrast šīs virknes veidotājfunkciju. 

Vingrinājums 3.145. Kādā valstī visi ceļi ir vienvirziena ceļi un no jebkuras pilsētas var 

aizbraukt uz jebkuru citu pilsētu, nobraucot pa ne vairāk kā 2 ceļiem. Viens ceļš tika slēgts uz 

remontu, bet joprojām no jebkuras pilsētas var aizbraukt uz jebkuru citu. Pierādīt, ka tagad no 

jebkuras pilsētas var aizbraukt uz jebkuru citu, nobraucot pa ne vairāk kā 3 ceļiem. 

Vingrinājums 3.146. Valstī ir 2005 pilsētas. Valdība vēlas būvēt vienvirziena ceļu sistēmu 

ar šādu īpašību: ja eksistē ceļš no pilsētas X uz pilsētu Y un ceļš no pilsētas Y uz pilsētu Z, tad 

neeksistē ceļš no X uz Z. Kāds ir maksimālais iespējamais ceļu skaits? 

Vingrinājums 3.147. Grafa virsotnes ir nokrāsotas divās krāsās. Katru sekundi katra virsotne 

maina savu krāsu uz to, kādā ir nokrāsots tās blakusvirsotņu vairākums. Pierādīt, ka 

katrai virsotnei eksistē laika moments, sākot ar kuru tā vairs nekad nemaina savu krāsu vai arī 

maina savu krāsu uz citu katru sekundi. 

Vingrinājums 3.148. Apzīmēsim ar τ(Γ) dažādo grafa skeletu skaitu. Pierādīt šādus apgalvojumus: 

1) τ(Γ) = τ(Γ − e) + τ(Γ/e), kur e ir patvaļīga šķautne; 

2) τ(K n,m ) = n m−1 m n−1 ; 

3) τ(W n ) = ( 3+√ 5) n + ( 3−√ 5) n − 2. 

2 2 

Vingrinājums 3.149. Atrodiet eksponenciālās veidotājfunkcijas šādām virknēm: 

1) a n - visu grafu skaits ar virsotņu kopu {1, ..., n}, kuriem virsotņu pakāpe nepārsniedz 2; 

2) b n - visu grafu skaits ar virsotņu kopu {1, ..., n}, kuriem ciklomātiskais skaitlis ir vienāds 

ar 1. 

Vingrinājums 3.150. Ir dotas jebkuras divas (preorder, postorder vai inorder) kāda bināra 

koka apiešanas virsotņu virknes. Vai ir iespējams pēc šīm virknēm atjaunot koka struktūru? 

Vingrinājums 3.151. Cik ir dažādu bināru koku ar 2n + 1 virsotni, kuriem katrai virsotnei 

var būt 0 vai 2 dēli? 

Vingrinājums 3.152. Noteikt, kuri no grafiem, kas minēti nodaļā ”Speciālas grafu klases” 

ir Eilera vai Hamiltona grafi! 

Vingrinājums 3.153. Pierādīt, ka eksistē tieši divas Hamiltona ciklu klases (ar precizitāti 

līdz automorfismam) oktaedra grafā un atrast tās. 

Vingrinājums 3.154. Pierādīt, ka neorientētam pilnam grafam var orientēt šķautnes tā, lai 

iegūtajā orientētajā grafā eksistētu virzīts Hamiltona cikls! 

Vingrinājums 3.155. Atrast hromatiskos skaitļus un hromatiskos polinomus grafiem, kas 

minēti nodaļā ”Speciālas grafu klases”! 

Vingrinājums 3.156. Atrast skaitļus α 0 , α 1 , β 0 , β 1 grafiem, kas minēti nodaļā ”Speciālas 

grafu klases”! 

Vingrinājums 3.157. Atrast dažādu neatkarīgu šķautņu kopu skaitu ķēdei un ciklam ar 

garumu n. 

Vingrinājums 3.158. A 1 un A 2 ir divas perfektas neatkarīgas virsotņu kopas dotajā grafā. 

Pierādīt, ka A 1 ∪ A 2 ir atsevišķu šķautņu un pāra garuma ciklu apvienojums.


Vingrinājums 3.159. Kādas valsts parlamentā ir 100 deputāti. Jebkuru 10 deputātu kopā 

eksistē 3 deputāti, kas pazīst viens otru. Pierādīt, ka parlamentā eksistē 8 deputātu kopa A 

ar šādu īpašību: katrs deputāts vai nu pieder kopai A, vai arī ir pazīstams ar kādu kopas A 

deputātu. 

Vingrinājums 3.160. Olimpiādē piedalās 21 zēns un 21 meitene. Katrs dalībnieks atrisina 

ne vairāk kā 6 uzdevumus. Katram dalībnieku pārim (zēns, meitene) eksistē vismaz viens uzdevums, 

kuru ir atrisinājuši abi pāra dalībnieki. Pierādīt, ka eksistē uzdevumus, kuru ir atrisinājuši 

vismaz 3 zēni un vismaz 3 meitenes. 

Vingrinājums 3.161. Izmantojot grafus nosakiet, vai ir iespējams apiet šaha dēli ar zirgu 

tā, lai katrs lauciņš būtu apmeklēts tieši vienu reizi, ja pēc visu lauciņu apiešanas zirgam ir 

jāatgriežas sākotnējā lauciņā. 

Vingrinājums 3.162. Pierādīt, ka jebkuru grafu var uzzīmēt telpā tā, lai tā šķautnes krustotos 

tikai virsotnēs! 

Vingrinājums 3.163. Noteikt, kuru no grafiem, kas minēti nodaļā ”Speciālas grafu klases”, 

ir planāri! 

Vingrinājums 3.164. Γ ir sakarīgs divdaļīgs grafs ar vismaz vienu ciklu. Pierādīt, ka, ja Γ 

ir planārs, tad 

|E| ≤ 2|V | − 4. 

Vingrinājums 3.165. Izmantojot planāro grafu teoriju pierādīt, ka eksistē ne vairāk kā pieci 

regulāri daudzskaldņi. 

Vingrinājums 3.166. Sauksim grafu par Knesera grafu K(n, m), ja tā virsotnes ir visas 

kopas {1, ..., n} apakškopas, kas satur m elementus ar nosacījumu n > 2m. Divas virsotnes 

ir savienotas tad un tikai tad, ja atbilstošo kopu šķēlums ir tukša kopa. Atrast grafu K(n, m) 

sakarīguma skaitļus, metriskos invariantus, ciklomātisko skaitli, seguma un neatkarīguma skaitļus. 

Nosakiet, vai grafi K(n, m) ir Eilera un Hamiltona grafi, vai tie ir planāri. Atrast Knesera grafu 

automorfisma grupas. 

Vingrinājums 3.167. Ir doti divi galīgas kopas X sadalījumi: 

X = A 1 ∪ ... ∪ A n = B 1 ∪ ... ∪ B n , 

kur A i ∩ A j = ∅,B i ∩ B j = ∅. Izmantojot Holla teorēmu pierādīt šādu apgalvojumu: ja katram 

i ≤ n un jebkurām i kopām no sistēmas {A 1 , ..., A n } to apvienojums satur ne vairāk kā i kopas no 

sistēmas {B 1 , ..., B n }, tad eksistē n elementu kopa {x 1 , ..., x n } ⊆ X, kas ir apakškopu pārstāvju 

sistēma vienlaicīgi attiecībā uz {A 1 , ..., A n } un {B 1 , ..., B n }. 

3.16. PROGRAMMĒŠANAS UZDEVUMI 

Vingrinājums 3.168. Uzrakstīt programmu, kas veic grāmatā minēto grafu datu struktūru 

savstarpējo pārveidošanu. 

Vingrinājums 3.169. Uzrakstīt programmu, kas veic grāmatā definētas operācijas ar grafiem. 

Vingrinājums 3.170. Uzrakstīt programmu, kas aprēķina grāmatā definētos grafu invariantus. 

Vingrinājums 3.171. Piedāvāt algoritmu un uzrakstīt programmu, ar kuras palīdzību var 

atrast neorientēta sakarīga grafa diametru un centru, izmantojot tikai plašummeklēšanu. Uzrakstīt 

programmu, kas 

1) realizē plašummeklēšanu (konstruē meklēšanas koku); 

2) realizē diametra un centra noteikšanu ar plašummeklēšanas palīdzību. 

Vingrinājums 3.172. Piedāvāt efektīvu algoritmu un uzrakstīt programmu, kas nosaka, vai 

divi grafi ir izomorfi.


Vingrinājums 3.173. Uzrakstīt programmas, kas ar bektrekinga palīdzību grafā atrod 

1) visus dotā garuma ciklus; 

2) maksimālu neatkarīgu virsotņu kopu; 

3) virsotņu krāsojumu ar doto krāsu skaitu; 

4) visus regulārus grafus ar dotu virsotņu skaitu un pakāpi. 

Vingrinājums 3.174. Kādā mājā ir vairākas istabas, katrā istabā ir lampa un viens vai 

vairāki lampu slēdži (kas var kontrolēt jebkuru, bet fiksētu lampu mājā). Mājas saimnieks 

sākotnēji atrodas priekštelpā, kurā ir ieslēgta lampa un var pārvietoties tikai uz apgaismotām 

istabām, viņa mērķis ir nokļūt kādā dotajā istabā. Uzrakstīt programmu, kas atrod īsāko 

maršrutu no priekštelpas uz šo istabu, ja ir dota mājas karte un slēdžu saraksts katrā istabā. 

Vingrinājums 3.175. Kāda pilsēta ir sadalīta kvartālos, un katra ēka aizņem vairākus 

kvartālus tā, ka katram ēkas kvartālam ar kādu citu ēkas kvartālu ir kopīga robežšķautne. Pilsētā 

var būvēt tuneļus, katrs no kuriem var savienot divas ēkas un apmierina šādas prasības: tuneļi 

var iet tikai pa kvartālu robežām, tuneļi var būt tikai taisni. Ir dota pilsētas ēku karte. Uzrakstīt 

programmu, kas atrod īsāko tuneļu sistēmu, kas nodrošina to, ka no jebkuras ēkas pa tuneļiem 

var pāriet uz jebkuru citu ēku. 

Vingrinājums 3.176. Ir dota cilvēku grupa, kurā daži cilvēki pazīst viens otru. Uzrakstīt 

programmu, kas sadala cilvēku grupu komandās tā, lai būtu ievēroti šādi nosacījumi: 

1) katrs cilvēks pieder tieši vienai komandai; 

2) katrā komandā ir vismaz viens cilvēks; 

3) katrs cilvēks pazīst visus savas komandas locekļus; 

4) starpība starp maksimālo un minimālo cilvēku skaitu komandās ir minimāla.

Literatūra 

[1] Ambainis A. Uzdevumi kombinatorikā. - http://www.liis.lv/kombuzd/. - 33 lpp. 

[2] Andžāns A., Bērziņš A., Stupāne M. Matemātikas olimpiāžu un konkursu uzdevumi. - R.: Zvaigzne, 1992. 

- 235 lpp. 

[3] Andžāns A., Zariņš P. Matemātiskās indukcijas metode un varbūtību teorijas elementi. - R.: Zvaigzne, 

1983. - 186 lpp. 

[4] Dambītis J. Modernā grafu teorija. Mācību līdzeklis. - R.: Datorzinību Centrs, 2002. - 160 lpp. 

[5] Daugulis P. Diskrētā matemātika. - Rēzekne: RA izdevniecība, 2001. - 117 lpp. 

[6] Riekstiņš E., Andžāns A. Atrisini pats! - R.: Zvaigzne, 1984. - 271 lpp. 

[7] Strazdiņš I. Diskrētās matemātikas pamati. - R.: Zvaigzne, 1980. - 309 lpp. 

[8] Strazdiņš I. Diskrētā matemātika. - R.: Apgāds Zvaigzne ABC, 2001. - 146 lpp. 

[9] 

Šteiners K Augstākā matemātika IV, lekciju konspekts inženierzinātņu un dabaszinātņu studentiem. - R.: 

Apgāds Zvaigzne ABC, 1999. - 167.lpp. 

[10] Rosen K.H.(editor in chief). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. - Boca Raton: CRC 

Press, 2000. - 1232 lpp. 17. 

[11] Ivanov B.N. Diskretnaja matematika. Algoritmi i programmi - M.: Laboratorija bazovih znanii, 2001. - 288 

lpp. 

[12] Nefedov V.N., Osipov V.A. Kurs diskretnoi matematiki. - M.: MAI, 1992. - 264 lpp. 

[13] Novikov F.A. Diskretnaja matematika dlja programmistov. - SPb.: Piter, 2001. - 304 lpp. 

158

DiskrÂ¯etÂ¯a MatemÂ¯atika 2 PÂ¯eteris Daugulis Sanita MickÂ¯ane

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?