ELEKTRĪBA UN MAGNĒTISMS

I.DŪMIŅŠELEKTRĪBA UN MAGNĒTISMSLEKCIJU KONSPEKTSSATURSIEVADS.........................................................................................................................30.1. Elektriskais lādiņš kā viena no vielas īpašībām..................................................30.2. Elektrisko parādību izmantošana cilvēka praktiskajā darbībā............................41. Elektriskais lauks. ......................................................................................................61.1. Kulona likums. Elektriskā lauka intensitāte........................................................61.2. Elektriskais potenciāls. .......................................................................................81.3. Elektriskais lauks vielā. Vielas polarizācija, elektriskā lauka indukcijas(nobīdes) vektors......................................................................................................121.4. Laplasa un Puasona vienādojums elektriskajam potenciālam. .........................131.5. Lauka ainas eksperimentāla noteikšana. Elektriskā modelēšana......................182. Relativitātes teorijas pamati.....................................................................................202.1. Ņūtona-Galileja koordinātu transformācijas (klasiskajā mehānikā).................202.2. Lorenca transformācijas....................................................................................222.3.Vektora jēdziens relativitātes teorijā..................................................................242.3. Lorenca transformāciju dažas sekas..................................................................252.3.1. Attālumu saīsināšanās................................................................................252.3.2. Laika ritējuma palēnināšanās.....................................................................262.3.3. Relatīviskais ātrumu saskaitīšanas likums.................................................262.3.4. Sakars starp masu un enerģiju. Einšteina formula.....................................283. Magnētiskā mijiedarbība..........................................................................................303.1. Elektrostatiskā lauka pārveidošanās kustīgās koordinātu sistēmās. .................303.2. Kustīgu lādiņu mijiedarbība..............................................................................313.3. Magnētiskais lauks. Magnētiskā lauka indukcijas vektors. ..............................333.4. Elektriskā un magnētiskā lauka transformāciju formulas kustīgāskoordinātu sistēmās.........................................................................................353.5. Magnētiskā lauka intensitāte.............................................................................364. Elektriskās strāvas magnētiskais lauks ....................................................................374.1. Bio-Savara-Laplasa formula .............................................................................374.2. Taisna vada magnētiskais lauks........................................................................384.3. Mehāniskie spēki magnētiskajā laukā...............................................................395. Integrālās sakarības elektriskajā un magnētiskajā laukā..........................................425.1. Gausa teorēma elektriskā lauka intensitātei......................................................425.2. Gara uzlādēta vada elektriskais lauks ...............................................................435.3. Pilnās strāvas likums magnētiskā lauka indukcijai...........................................455.4. Magnētiskā plūsma un tās nepārtrauktības princips .........................................465.5. Induktivitāte un mijinduktivitāte.......................................................................466. Laikā mainīgu elektrisko un magnētisko lauku mijiedarbība..................................516.1. Mainīga magnētiskā lauka ietekme uz elektrisko lauku. ..................................516.2. Faradeja elektromagnētiskās indukcijas likums................................................521

6.3. Laikā mainīga elektriskā lauka ietekme uz magnētisko lauku..........................556.4. Pilnās strāvas nepārtrauktības princips. ............................................................567. Maksvela vienādojumi un daži to risinājuma piemēri .............................................587.1. Maksvela vienādojumu integrālā forma............................................................587.2. Maksvela vienādojumu diferenciālā forma.......................................................587.3. Enerģijas pārvade elektromagnētiskajā laukā...................................................607.4. Maksvela vienādojumu kopēja risināšana. Viļņu un siltumvadāmībasvienādojums. ............................................................................................................627.5. Plakans vilnis dielektriskā vidē.........................................................................637.6. Plakans vilnis vadošā vidē. Virsmas efekts ......................................................66Lekciju konspekts sastādīts atbilstoši RTU Enerģētikas un elektrotehnikasfakultātes studentu mācību plānam, kurā priekšmetam Elektrība un magnētisms(EuM) atvēlētas vien 24 lekciju stundas. Līdz ar to šeit nav iespējams aplūkot nedesmito daļu no tiem jautājumiem, kuri attiektos uz līdzīga nosaukuma mācībupriekšmetu, ja tas šo nosaukumu būtu patiešām pelnījis. Autoram jāpaļaujas uz to, kanepieciešamākos no šiem jautājumiem (piem., feromagnētismu, pusvadītāju fiziku untehniku u.c.) aplūkos citos priekšmetos − fizikā, elektrotehnikas teorētiskajos pamatosun citur.Jārēķinās arī ar to, ka priekšmetu EuM lasa 1.kursa otrajā semestrī vienlaicīgiar integrālrēķinu nodaļu matemātikā. Tādēļ lektors ir spiests semestra sākumā pēciespējas izvairīties no integrālrēķinu lietošanas (kaut gan tas ne vienmēr ir iespējams),atliekot elektromagnētiskā lauka vienādojumu integrālās formas izklāstu uz semestravidu vai beigām. Kā rāda pieredze, tad 1.kursa studenti vieglāk uztver lauka teorijālietojamās diferencēšanas operācijas, jo ar atvasināšanas darbībām jau ir pazīstami.Neraugoties uz visai ierobežoto lekciju stundu skaitu, autors tomēr uzskata parlietderīgu veltīt zināmu laiku relativitātes teorijas pamatu izklāstam, jo no šīs teorijasizrietošo secinājumu izmantošana ievērojami atvieglo elektromagnētiskā laukateorijas izklāstu. Tā, piemēram, Maksvela pirmo un otro vienādojumu, kurustradicionāli pasniedz kā postulātus, iespējams matemātiski iegūt no elektriskā unmagnētiskā lauka vektoru transformāciju formulām kustīgās koordinātu sistēmās.Līdzīgi tas ir arī ar Bio-Savara-Laplasa likumu un vēl citām sakarībām.Literatūrai par relativitātes teoriju allaž piemīt (no mūsu viedokļa) viens nodiviem trūkumiem − tā ir vai nu pārāk vienkārša, vai pārāk sarežģīta. Tas arī ir viensno iemesliem, kādēļ tapis šis mācību līdzeklis. Autors centies šeit dot tieši tik daudz,cik ir nepieciešams elektromagnētisma izklāstam, neskarot daudzus pašus par sevivisai interesantus relativitātes teorijas secinājumus, kurus tradicionāli aplūkoteorētiskajā fizikā.Saprotams, ka gandrīz katra lekciju konspektā skārtā jautājuma izklāstu varētuievērojami paplašināt, taču autors ir apzināti centies nepārvērst šo konspektu parmācību grāmatu un iekļauties tajā apjomā, kas atbilst 24 lekciju stundām. Tāda varētubūt atbilde uz kritiku par to, ka šeit vispār nav skārti daudzi praksei ļoti svarīgijautājumi. Savukārt students pēc EuM eksāmena nokārtošanas nedrīkstētu uzskatīt, kaviņš kļuvis par speciālistu elektrības un magnētisma jautājumos. Jāmācās būs vēl ļotidaudz!2

IEVADS0.1. Elektriskais lādiņš kā viena no vielas īpašībāmCilvēks savā ikdienā sastopas ar apkārtējas vides, ķermeņu un vielu dažādāmīpašībām. Ja mēs kādam jautāsim, kādu ķermeņu īpašību viņš uzskata parvisbūtiskāko, tad droši vien viņš minēs ķermeņa masu. Ja jautāsim, kādi apkārtējāsvides spēki, kas iedarbojas uz cilvēku, ir vissvarīgākie, tad, jādomā, tiks nosauktsgravitācijas spēks. Patiešām, zemes pievilkšanas spēku mēs tieši sajūtam savā ikdienā,mēs zinām, ka, zaudējuši atbalstu, varam nokrist no paaugstinājuma, zinām, ka, laipaceltu kādu ķermeni, vajadzīgs jo lielāks spēks, jo lielāka ir ķermeņa masa. Tačucilvēks un tāpat citas dzīvās būtnes un nedzīvie ķermeņi gluži labi var iztikt bez šīpievilkšanas spēka, nekas ļauns tiem nenotiek Bezsvara stāvoklī (piemēram, Zemesmākslīgajos pavadoņos) dzīvības procesi turpinās, cietie ķermeņi neizjūk, bet,piemēram, ūdens nesadalās savās sastāvdaļās par ūdeņradi un skābekli. Tas tā notiektādēļ, ka bez masas vielai piemīt arī cita īpašība, ko mēs saucam par elektriskolādiņu. Pateicoties tieši elektriskās mijiedarbības spēkiem, var veidoties ķīmiskoelementu atomi, tie savukārt var apvienoties molekulās, bet tās - veidot cietusķermeņus. Tāpēc elektriskais lādiņš jāuzskata par vielas daļiņu ne mazāk būtisku, betvarbūt vēl svarīgāku īpašību nekā masa.Vielas daļiņām var būt divējāda veida lādiņš. Šos divus veidus nosacīti saucpar pozitīvo (+) un negatīvo (−) lādiņu. Daļiņas, kurām piemīt pretēju zīmju lādiņi,pievelkas līdzīgi kā gravitējoši ķermeņi, taču daļiņas ar vienādu zīmju lādiņiematgrūžas. Ja kādai daļiņai vienādā daudzumā piemīt kā pozitīvais tā negatīvais lādiņš,mēs sakām, ka šī daļiņa ir elektriski neitrāla. Tieši šī iemesla dēļ − ka ķīmiskoelementu atomi un to veidotās molekulas parastajos apstākļos ir neitrālas, cilvēks,kuram jautājām, par vielas svarīgāko īpašību uzskatīja masu. Viņš elektrisko lādiņuklātbūtni varbūt izjuta vienīgi kā sintētiska materiāla apģērba kaitinošu dzirksteļošanuun bija piemirsis, ka bez šīs vielas īpašības (lādiņa) nebūtu ne atomu, ne molekulu untātad arī viņa paša. Taču elektriskie1 cm 3 Helādiņi ir katrā vielā. Tā, piemēram, varnovērtēt, ka, ja mums izdotos atraut no1 cm 3 hēlija gāzes atomu kodoliemr ~ 1 km visus elektronus un savākt punktveidalādiņos atsevišķi iegūtos pozitīvos unnegatīvos lādiņus, tad, novietojot tos 1F ~ 10 12 Nm attālumā vienu no otra, tie+-pievilktos ar spēku ~10 12 N. Ar šāduspēku varētu piešķirt paātrinājumu 1a ~ 1m/s 2m/s 2 akmenim, kura diametrs ir ~1 km!(0.1. att.) Cietas vielas 1 cm 3 satur vēl0.1. att.Ja atdalītu visus pozitīvos un negatīvoslādiņus, ko satur 1 cm 3 hēlija gāzes, unizdotos tos sakopot atsevišķi aptuvenipunktveida lādiņos, tad, novietoti 1 m attālumāviens no otra, tie pievilktos ar spēku,kāds varētu piešķirt paātrinājumu 1m/s 2 akmenim (pareizāk − akmens klintijvai kalnam), kura rādiuss ir ~1 km.daudz vairāk lādiņa.Protams, ka šāds spriedums parmilzīgā spēka iegūšanu ir tīri teorētisks:atraut elektronus no atomiem(jonizēt tos) gan ir iespējams, taču, laipēc tam izveidotu aptuveni punktveidalādiņus, būtu jāpieliek tikpat milzīgsārējs spēks, jo vienādas zīmes lādiņiatgrūžas. Tādēļ minēto milzīgo spēkunevar praktiski iegūt un izmantot.3

Taču, kā redzēsim turpmāk, ar magnētisko parādību starpniecību var iegūt pavisamnelielu daļu no tā. Tomēr neliela, kaut vai simtmiljonā daļa no 10 12 N jau ir desmittūkstoši, tātad gluži vērā ņemams spēks, ar kuru var izkustināt no vietas, piemēramtramvaju vai trlejbusu.Elektriskais lādiņš kā viens no vielas raksturlielumiem «ir pārāks» par otruraksturlielumu − masu − vēl arī citā ziņā. Relativitātes teorijā, kad jārīkojas ar lieliemķermeņu kustības ātrumiem, var parādīt, ka ķermeņa masa vispār zaudē savu jēgu gankā inerces gan kā gravitācijas mijiedarbības mērs, jo spēka izraisītais ķermeņapaātrinājums vispārīgā gadījumā nemaz nav paralēls šim spēkam. Līdz ar to masuvairs nevar definēt kā spēka un paātrinājuma attiecību. Līdzīgi tas notiek arī argravitācijas mijiedarbību. Tāpēc, stingri ņemot, nevar runāt arī par masas nezūdamībaslikumu. Turpretim attiecībā uz elektrisko lādiņu dabā nav zināmi nekādiprocesi, kuros šis lādiņš varētu izzust. Ja kādā telpas apgabalā lādiņi (t.i. vielasdaļiņas, kurām piemīt šis raksturlielums) nevar ne iekļūt ne izkļūt, tad šajā apgabalāietvertais summārais lādiņš nemainās neatkarīgi no tā, kādiem procesiem tiek pakļautaapgabalā ietvertā viela. Pozitīvie un negatīvie lādiņi var gan savstarpēji kompensētiesvai, otrādi - tikt atrauti viens no otra, taču to summa paliek nemainīga. Elektriskolādiņu nezūdamības likums ir viens no vispārīgākajiem dabas likumiem. Lādiņšnemainās arī visdažādāko koordinātu transformāciju rezultātā; saka, ka tas irinvariants attiecībā pret koordinātu transformācijām. Tāpēc, piemēram, elektronalādiņu −1,602.10 -19 C var uzskatīt par fundamentālu dabas konstanti, kas nemaināsnekādos apstākļos.Rezumējot, varam teikt, ka elektriskais lādiņš līdzīgi masai ir vielas daļiņu ļotisvarīga īpašība, un attiecībā uz šo īpašību dabā ir zināmas trīs veidu elementārdaļiņas:tādas, kam piemīt pozitīvs vai negatīvs lādiņš, un tādas, kam lādiņa nav, kas irelektriski neitrālas. Atomi, molekulas, ķermeņi veidojas tieši elektriskās mijiedarbībasrezultātā, un reālajos ķermeņos, kas ārēji ir elektriski neitrāli, ietvertais lādiņadaudzums var būt visai liels.0.2. Elektrisko parādību izmantošana cilvēka praktiskajā darbībāDabā eksistējošos spēkus un parādības cilvēks arvien ir centies izmantotsavām vajadzībām. Tā, piemēram, izmantojot ūdens kritumu, mēs izmantojamkinētisko enerģiju, kas rodas, atbrīvojoties tās ūdens masas gravitācijas potenciālajaienerģijai, kura atrodas augstāk virs Zemes virsmas. Protams, šī gravitācijas enerģijavarēja rasties tikai, pateicoties saules starojumam, kas iztvaicēja ūdeni no jūrām unokeāniem, bet lietus nolija ne tikai atpakaļ jūrā, bet arī augstienēs, t.i., tas nepaspējaatdot visu attiecībā pret Zemes gravitāciju uzkrāto potenciālo enerģiju. Līdz ar toaugstāk virs jūras līmeņa uzkrājušos ūdeni var uzskatīt par milzīgu gravitācijasenerģijas akumulatoru, kuru iespējams izmantot. Bet vai šādi milzīgi akumulatorieksistē arī elektriskajai (jeb, kā biežāk saka − elektromagnētiskajai) enerģijai? Uz šojautājumu ir grūti viennozīmīgi atbildēt. Stingri ņemot, būtu jāatbild ar «jā». Mēs jauzinām, ka par molekulu veidošanos «atbildīgi» ir elektriskie spēki. Tāpēc jebkurāķīmiskā reakcijā, kurā notiek molekulu (vielu) pārveidošanās, tajā skaitā sadegšanasprocesā atbrīvojusies enerģija būtu uzskatāma par elektriskajās parādībās uzkrāto untagad atbrīvoto enerģiju. Līdz ar to jebkura veida kurināmais būtu uzskatāms par šāduelektriskās enerģijas akumulatoru. Taču ikdienā mēs neesam paraduši degšanu, kurupavada dūmgāzu un dažādu kaitīgu sadegšanas produktu rašanās, tieši saistīt arelektroenerģiju, kura ienāk mūsu dzīvokļos vai ražošanas objektos tīra un klusa bezkaitīgiem piejaukumiem vai ūdenskrituma trokšņa. Parasti saka, ka kurināmajā iruzkrāta «ķīmiskā enerģija» (tīrā fizika gan šāda enerģijas veida eksistenci neatzīst). Ja4

paliekam pie šāda vispārpieņemta uzskata, tad uz uzdoto jautājumu jāatbild ar «nē» −nekādi milzīgi elektriskās enerģijas akumulatori uz zemes neveidojas. «Tīro» elektriskoenerģiju var uzkrāt vienīgi kondensatora elektriskajā vai spoles magnētiskajālaukā, bet tur to var «uzglabāt» ļoti neilgu laiku un tās daudzums nevar būt sevišķiliels. Nekādu milzīgu dabisku kondensatoru, kas uzlādētos saules enerģijas ietekmēun kuros uzkrāto enerģiju varētu praktiski izmantot, uz zemes nav. (Atmosfērasdažādi slāņi gan uzlādējas un negaisa laikā notiek to izlāde zibens veidā, taču atmosfēraselektriskās parādības cilvēki vēl nav iemācījušies izmantot.)Tad kāpēc tomēr elektromagnētisko parādību izmantošanai ir tik liela nozīmecilvēka praktiskajā darbībā? Elektromagnētisko parādību plašā izmantošana izskaidrojamatā, ka ar to palīdzību ir viegli:1) pārveidot, pārvadīt un sadalīt patērētājiem enerģiju;2) pārveidot, pārvadīt, sadalīt un glabāt informāciju.Elektromagnētiskās parādības mēs neizmantojam tieši kā enerģijas avotu, betgan citu avotu enerģiju vispirms pārveidojam elektriskajā (hidroelektrostacijās (HES),termoelektrostacijās (TES), atomelektrostacijās (AES) u.c.). Ar vadu palīdzībupārveidoto enerģiju ir viegli pārvadīt lielos attālumos un pievadīt katram patērētājam(dzīvoklim, katrai darbmašīnai rūpnīcā, katram elektriskā transporta līdzeklim u.taml.) Šāda enerģijas pārvade un sadale praktiski nebūtu iespējama, izmantojot cituenerģijas veidu, piemēram, mehānisko ar vārpstu vai siksnas pārvadu palīdzību.Patērētāji saņemto enerģiju atkal pārveido tajos veidos, kādi viņiem vajadzīgi −mehāniskajā enerģijā, siltumā vai kādā citā veidā.Teiktais attiecas arī uz informāciju; lai to pārvadītu un apstrādātu, parasti irlietderīgi to vispirms pārveidot elektriskajos signālos. Elektromagnētiskie viļņi izplatāsar gaismas ātrumu, t.i. zemes mērogos šādi pārveidota informācija pārvadāmapraktiski momentāni. Kā mēs labi zinām, šādi var pārraidīt gan skaņu, gan attēlu.Tāpat arī automātiskās vadības sistēmās informāciju par regulējamo lielumu pārveidoelektriskajos signālos, kuri pēc tam iedarbojas uz atbilstošajiem izpildorgāniem.(Slaveno Vata centrbēdzes regulatoru mašīnas griešanās ātruma regulēšanai šodienpraktiski vairs nelieto. Tā vietā izmanto t.s. tahoģenerātoru - nelielu elektriskoģeneratoru, kura radītais spriegums ir proporcionāls griešanās ātrumam.) Tačuelektromagnētiskās parādības izmanto ne tikai jau esošās informācijas apstrādei, betarī jaunas informācijas iegūšanai. Tā piemēram, ar datoru atrisinot kādu uzdevumu,mēs iegūstam informāciju, kura iepriekš nebija zināma, bet dators darbojas galvenokārtar elektrisko signālu palīdzību. Kā jau minējām, tad lielu «tīrās» elektriskāsenerģijas daudzumu uzglabāšana diemžēl nav iespējama (vismaz pagaidām − nē).Taču informāciju iespējams arī glabāt − datora atmiņā, vai ārējās atmiņas iekārtās(piemēram, kompaktdiskos). Šādi glabāto informāciju ir viegli atrast un apstrādāt.Tieši tāpēc tik plaši izmanto visdažādākās datu bāzes − datorā ievadītu informācijupar kādu noteiktu jautājumu. Tā var glabāt bibliotēkas katalogu, ziņas par noliktavāesošajām precēm un daudz ko citu. Ar globālo tīklu palīdzību («Internet» u.c.) mēsvaram piekļūt informācijai, kas glabājas pavisam citā pasaules malā. Arī šīsinformācijas pārraide notiek ar elektrisko signālu palīdzību.Kā izriet no visa šeit teiktā, tad bez elektromagnētisko parādību izmantošanasšodien nav iedomājama pilnīgi neviena cilvēka darbības nozare. Tāpēc ar šo parādībubūtību jābūt pazīstamam ikvienam un vēl jo vairāk cilvēkam, kura darbs saistīts arkādu zinātnes vai tehnikas nozari. Elektriskās un magnētiskās parādības jau ir īsiaplūkotas fizikas kursā. Mūsu disciplīna kalpo šo zināšanu padziļināšanai.5

kādu lauks iedarbotos uz vienu vienību lielu pozitīvu punktveida lādiņu, ja tasatrastos laukā. Šo spēku sauc par elektriskā lauka intensitāti un apzīmē ar E.Lasītāja uzmanība jāpievērš darbības vārdu nosacījuma izteiksmei lauka intensitātesdefinīcijā: «iedarbotos ... uz lādiņu, ja tas atrastos laukā». Ar to tiek uzsvērta lauka fiziskā realitāte −viena lādiņa lauks pastāv neatkarīgi no tā, vai ir kāds cits elektriskais lādiņš, uz kuru šis lauksiedarbojas atbilstoši Kulona likumam, vai nav. Lauka jēdzienu elektrotehnikā ieviesa angļu fiziķiFaradejs un Maksvels 19.gs.Elektriskā lauka intensitāte, tāpat kā spēks, ir vektoriāls lielums. Tās vienībaatbilstoši definīcijai ir N/C (ņūtons uz kulonu). Tā kā spēks izsakāms kā enerģijas(darba) dalījums ar attālumu, tad 1 N = 1 W·s/m = 1 V·A·s/m. savukārt 1 C = 1 A·s.Tātad 1 N/C = 1 V/m. Elektrotehnikā lieto tieši šo elektriskā lauka intensitātes vienībasnosaukumu V/m (volts uz metru).Noskaidrosim, kādu elektriskā lauka intensitāti rada punktveida lādiņš q. Tovar iegūt tieši no Kulona likuma, liekot tajā q 1 = q un ievērojot intensitātes definīcijuE=F/q 2 :q oE = r . (1.2)24πεrq1.2. att. Pozitīva punktveidalādiņa radītā elektriskā laukaintensitāte jebkurā telpas punktāir vērsta radiāli projām nolādiņa − tā kā tiktu atgrūsts citspozitīvs lādiņš. Attālumam nolādiņa palielinoties divas reizes,vektora E lielums samazināsčetras reizes.oKā redzams, tad pozitīva lādiņa radītā lauka intensitātejebkurā telpas punktā ir vērsta radiāli projām no lādiņa− tā kā tas atgrūstu otru pozitīvu lādiņu (1.2. att.).Intensitātes lielums samazinās apgriezti proporcionāliattāluma r kvadrātam no lādiņa q. Punktos, kuri atrodasvienādā attālumā no lādiņa (t.i., uz sfēras virsmas, kurascentā atrodas q) E lielumi ir savā starpā vienādi.Līniju, kuras pieskares virziens katrā vektorulauka punktā sakrīt ar vektora virzienu, sauc par spēkalīniju. Pozitīva punktveida lādiņa radītā elektriskā laukaspēka līnijas ir radiāli stari, kas iziet no lādiņa (1.3. att.a).Negatīvs lādiņš pievilktu otru pozitīvu lādiņu.Tātad šajā gadījumā lauka intensitāte E ir vērsta radiālivirzienā uz negatīvo lādiņu. Spēka līnijas tāpat ir radiālistari (1.3. att. b) tikai to virziens ir pretējs 1.3. attēlā aq-qa)b)1.3. att. Punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes spēka līnijas irradiāli stari, kas sākas pozitīvajā, bet beidzas − negatīvajā lādiņā7

parādītajam. Var teikt, ka vektora E spēka līnijas «izplūst» no pozitīva lādiņa un«ieplūst» negatīvajā.Elektriskā lauka intensitātes svarīga īpašība ir tās pakļaušanās superpozīcijasprincipam, t.i., ka vairāku lādiņu radīto kopējo lauka intensitāti var iegūt, vektoriāliskaitot vektorus E 1 , E 2 utt., ko apskatāmajā telpas punktā radītu katrs lādiņš atsevišķi:E = E 1 + E 2 + E 3 + ... .Superpozīcijas principa pareizība attiecībā uz elektriskā lauka intensitāti ir konstatētaeksperimentāli. Tas, ka elektriskajam laukam piemīt šīr 1aE 2E 1r 2Eīpašība, norāda, ka viena lādiņa lauks citu lādiņu laukustieši neietekmē. Iedarbība var notikt tikai, pārvietojot pašuslādiņus.Piemēram, aplūkosim gadījumu, kad elektriskolauku telpā rada divi punktveida lādiņi q un −q (1.4. att.).Jānosaka lauka intensitāte punktā a, kas atrodas attālumā r 1no pozitīvā lādiņa un attālumā r 2 − no negatīvā, turklātr 2 = 2r 1 . Pozitīvā lādiņa q radītā laika intensitāte p. a E 1q−q1.4. att. Divu lādiņu kopējālauka intensitāte ir atsevišķolādiņu radīto intensitāšuE 1 un E 2 vektoriāla vērsta radiāli projām no lādiņa, bet negatīvā (−q) −summa.virzienā uz to. Vektoru garumus E 1 un E 2 var iegūt noizteiksmes (1.2). Vektoriāli summējot E 1 un E 2 , iegūst E. Arī tādā gadījumā, kad qlielums nav dots, iespējams pareizi noteikt rezultējošās lauka intensitātes E virzienu.Ievērojot, ka r 2 = 2r 1 , no (1.2) var iegūt attiecību E 1 /E 2 = 4. Atliekot jebkurā mērogāE 1 garumu 4 reizes lielāku par E 2 , iegūstam pareizo E virzienu.Elektromagnētisma teorijā zināmas grūtības rada tas, ka, tuvojoties punktveida lādiņam, elektriskālauka intensitāte atbilstoši Kulona likumam (1.1) neierobežoti pieaug (r→0). Lai pareizākievērotu lādētu daļiņu mijiedarbību ļoti tuvā, ar atomārajiem izmēriem salīdzināmā attālumā, jāatsakāsno punktveida lādiņa jēdziena un jāievēro lādiņa sadalījums daļiņā, kaut arī informācija par šosadalījumu var būt ierobežota. Var parādīt, ka, lādiņiem tuvojoties, vispirms rodas t.s. Van-der-Vālsaspēki, kas daļiņu pievilkšanos vēl pastiprina. Šie spēki ir atkarīgi ne tikai no lādiņu lielumiem, bet arīno konkrētās vielas, kuras daļiņas tiek aplūkotas. Taču, ja attālums samazinoties sasniedz konkrētāsdaļiņas t.s. Van-der-Vālsa rādiusu, tad starp daļiņām rodas atgrūšanās spēki neatkarīgi no lādiņu zīmes.Šie spēki jau ir kvantu mehānikas parādību izpausme un klasiskās elektromagnētisma teorijas ietvarosnav aplūkojami. Atomi un molekulas veidojas minēto pievilkšanās un atgrūšanās spēku mijiedarbībā.Ar tiem jārēķinās, pētot parādības molekulāros un atomāros attālumos, piemēram, fizikālajā ķīmijā,molekulārajā bioloģijā un citur.1.2. Elektriskais potenciāls.Bez elektriskā lauka intensitātes − vektora E − elektrisko lauku var raksturotarī ar skalāru lielumu − potenciālu φ. Potenciāls φ kādā lauka punktā ir vienāds ardarbu, kādu veiktu lauka spēki, pārvietojot vienu vienību lielu pozitīvu punktveidalādiņu no apskatāmā punkta līdz punktam, kurā potenciāls pieņemtsvienāds ar nulli. Kā redzams, tad potenciāls tiek definēts ar precizitāti līdz patvaļīgaikonstantei, kuras vērtība atkarīga no tā, kur φ pieņemts vienāds ar nulli. Bieži parpunktu ar nulles potenciālu izvēlas bezgalīgi tālu punktu, taču tehnikā nereti to irizdevīgi izvēlēties citur. Tāpēc, runājot par potenciālu, vienmēr jābūt skaidri zināmam,attiecībā pret kuru punktu tas noteikts.Atradīsim potenciāla φ sakaru ar elektriskā lauka intensitāti E. Pārvietojotvienu vienību lielu pozitīvu punktveida lādiņu no punkta a uz a' attālumā dl (1.5. att.),lauka spēku veiktais elementārais darbs ir dA = Edl, jo darbs, kā zināms, ir nosakāmskā spēka un ceļa vektoru skalārais reizinājums, bet spēks, kāds darbojas uz apskatāmovienības lādiņu, pēc definīcijas ir E. Potenciāla izmaiņa, pārejot no a uz a' ir vienāda8

ar −dA, jo atlicis mazāk darba, kas jāveic, līdz būsEsasniegts punkts ar nulles potenciālu. Tātadφ a' = φ a − Edl.a'Lai izteiktu punkta b potenciālu φ b , jāsummēa dlbvisi elementārie darbi dA līnijas posmā ab. Ja laukaintensitāte E katrā šīs līnijas punktā ir zināma,U ab = φ a − φ bpraktiskos aprēķinos dl aizvieto ar iespējami mazu1.5. att. Potenciāla maiņa no līknes posmu ∆l. Tadpunkta uz punktu iegūstamasaskaitot (integrējot) elementārosdarbus dA. Divu punktu po-Izmantojot datoru, šāds aprēķins nesagādā nekādasφ b ≈ φ a − ∑E∆l. (1.3)tenciālu starpību sauc par spriegumustarp šiem punktiem. simtus un tūkstošus. Samazinot ∆l, iespējams sasniegtgrūtības arī tad, ja saskaitāmo skaits summā sasniedzjebkuru vēlamo aprēķina precizitāti.Summas robežu, kad ∆l → 0, matemātikā sauc par integrāli (šajā gadījumā parlīnijas integrāli). Lietojot attiecīgo integrāļa apzīmējumu, iepriekšējā izteiksmēaptuvenās vienādības zīmi aizvieto ar precīzo, iegūstot izteiksmi∫ b aφ b = φ a − Edl . (1.4)Ja E vektora atkarība no punkta vietas uz līnijas ab aprakstāma ar samērāvienkāršu matemātisku funkciju, iespējams iegūt arī integrāļa analītisko izteiksmi.Vairumā praksē sastopamo gadījumu tomēr jālieto izteiksme (1.3).Divu punktu potenciālu starpību sauc par spriegumu starp šiem punktiem.Spriegumu apzīmēsim ar burtu U un diviem indeksiem, kuru secība norāda, kurapunkta potenciāls starpībā ir mazināmais, bet kura − mazinātājs. Tā, piemēram,U ab = φ a − φ b , bet U ba = φ b − φ a . Kā redzams, tad saskaņā ar (1.4)∫ b aU ab = φ a − φ b = Edl . (1.5)Spriegums starp diviem punktiem nav atkarīgs no nulles potenciāla izvēles.Sprieguma esamību starp punktiem elektriskajās shēmās parāda ar bultiņu, kurassmaile vērsta no pirmā indeksa (punkta) uz otro (1.5. att.). Potenciālu un spriegumumēra voltos (V).Svarīga nekustīgu un laikā nemainīgu lādiņu elektriskā lauka (elektrostatiskālauka) intensitātes īpašība ir tas, ka integrālis (1.5) nav atkarīgs no integrēšanas ceļa,bet tikai no tā galapunktiem. Tātad, integrējot pa noslēgtu ceļu, jāiegūst 0, t.i.,elektrostatiskajā laukāadU abbU daU cdU bcc1.6. att. Spriegumu algebriskasumma noslēgtākontūrā ir vienāda ar 0.spriegumu, tātad U ab +U bc +U cd +U da = 0 jeb∑U = 0.l∫Ed l = 0. (1.6)(Aplis uz līnijas integrāļa matemātikā nozīmēintegrēšanu pa noslēgtu ceļu.)No izteiksmes (1.6) izriet elektrisko ķēžuteorijā ļoti svarīgais Kirhofa otrais likums:noslēgtā kontūrā spriegumu summa ir vienāda arnulli. 1.6. attēlā parādīta noslēgta līnija l un punktia,b,c,d uz tās. Integrēšanu (summēšanu) pa noslēgtolīniju var sadalīt daļās no a līdz b, no b līdz c utt.Katrs no šiem integrāļiem ir vienāds ar attiecīgo9

Vispārīgā gadījumā šī summa jāsaprot algebriskā nozīmē, jo jebkura sprieguma vietāvarētu likt pretējā virziena spriegumu, bet, apmainot vietām sprieguma indeksus,mainās arī sprieguma skaitliskās vērtības zīme (piemēram, φ a − φ b vietā rodas φ b − φ a ).Punktveida lādiņa potenciāls. Lai ilustrētu izklāstīto atradīsim punktveidalādiņa potenciālu attiecībā pret bezgalīgi tālu punktu. Izmantojot (1.5), kādampunktam, kurš atrodas attālumā a no lādiņa, var rakstītφ = φ a =∫ ∞Edl . Integrēšanu var izdarīt pa jebkuru ceļu no punkta a līdz ∞, tačuavisizdevīgāk, protams, ir izvēlēties radiālu virzienu, liekot dl = dr. Tā kā punktveidalādiņa elektriskā lauka intensitāte arī ir vērsta radiālā virzienā, tad visā izvēlētajāintegrēšanas ceļā vektors E ir paralēls dr un Edr = Edr − skalārais reizinājums irvienāds ar vektoru moduļu reizinājumu. E moduli iegūstam no (1.2) atmetot vienībasvektoru. Konstantos lielumus var iznest ārpus integrāļa. Tadq dr qφ =a24πε ∫ ∞= . (Šis rezultāts iegūstams, izmantojot visparastākos integrēšanaspaņēmienus.) Tā kā attālumu līdz lādiņam parasti apzīmē ar r, tad turpmāko r 4πεoapunktveida lādiņa potenciālu (attiecībā pret bezgalīgi tālu punktu) noteiksim noizteiksmesqφ = . (1.7)4πε o rKā redzams no (1.7), tad φ mainās apgriezti proporcionāli attālumam no lādiņa r.Attālinoties no lādiņa potenciāls samazinās un tiecas uz nulli, bet, tuvojoties tam,neierobežoti pieaug (tāpat kā punktveida lādiņa lauka intensitāte, par ko jau runājāmiepriekšējās sadaļas noslēgumā). Potenciāla maiņa atkarībā no r parādīta 1.7. attēlā.φ 1φ 2φ 3φ 4φr 1 r 2∆φ0 rr 31.7. att. Punktveida lādiņa potenciālamaiņa atkarībā no attālumalīdz lādiņam. Potenciālam samazinotiesar vienādu soli ∆φ, ekvipotenciāļuradiusi pieaug lēnāk tur,kur potenciāla maiņa ir visstraujākā.r 4Virsmu, kuras visiem punktiem irvienāds potenciāls, sauc par ekvipotenciāluvirsmu, bet tās šķēlumu ar kādu citu virsmu,parasti − ar zīmējuma plakni, − par ekvipotenciālolīniju jeb ekvipotenciāli. No (1.7) varsecināt, ka punktveida lādiņa laukā φ = const, jar = const. Tātad šajā laukā ekvipotenciālās virsmasir lādiņam koncentriskas sfēras, bet ekvipotenciālāslādiņa plaknē ir lādiņam koncentriskiriņķi. 1.8. attēlā parādītas ekvipotenciāles,atbilstošas potenciāla vērtībām φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 no1.7. attēla, kuras atšķiras cita no citas parvienādu lielumu ∆φ. Redzams, ka tādā gadījumāekvipotenciāles novietojas tuvāk cita citaiapgabalā, kur potenciāla maiņa ir straujāka, bettālāk viena no otras tur, kur φ maiņa kļūstlēnāka.1.8. attēlā parādītas arī spēka līnijas no1.6. attēla. Var ievērot, ka ekvipotenciālo un spēka līniju krustpunktos šo līnijupieskares ir savstarpēji perpendikulāras (taisno spēka līniju pieskares sakrīt ar pašāmlīnijām). Šādas līkņu saimes sauc par savstarpēji ortogonālām, un šī īpašībasaglabājas jebkurā elektrostatiskā laukā. Tādēļ, zinot vienu no līkņu saimēm, vismazaptuveni var iegūt arī otru.10

21.8. att. Punktveida lādiņa elektriskālauka aina. Ik pēc vienāda potenciālaintervāla zīmētas ekvipotenciālesatrodas tuvāk cita citai apgabalā, kurpotenciāla maiņa ir straujāka un attiecīgilielāka ir elektriskā lauka intensitāteE. Ekvipotenciāles un spēka līnijas irsavstarpēji ortogonālas līkņu saimes.Jau ievērojām, ka ik pēc vienādapotenciāla pieauguma ∆φ (vai samazinājuma)φ 4zīmētas ekvipotenciāles atrodas tuvāk cita citaiapgabalā, kur potenciāls mainās straujāk(līdzīgi kā līmeņa līnijas kartēs), mūsurφ 4 gadījumā − lādiņa tuvumā, t.i., tur, kur laukar 33 intensitāte ir lielāka. Arī šī īpašība saglabājasjebkura elektrostatiskā lauka ainā.Lauka intensitātes sakars ar potenciālu.Viena no sakarībām, kas saista šoslielumus, ir (1.5) izteiksme. No tās var noteiktpotenciālu vai potenciālu starpību, ja zināmaintensitātes E maiņa telpā. Taču ne mazāksvarīga ir apvērstā sakarība, kas atļauj noteiktE, ja zināms ir potenciāls.Iegūstot (1.5), jau rakstījām, ka potenciālapieaugums elementārā pārvietojumā dl irdφ = −Edl. Ja pārvietojums notiek x-ass virzienā,jāievēro tikai vektora E komponente E x :dφ = − E x dx. Līdzīgi var uzrakstīt potenciālapieaugumus, ja pārvietojums notiek y un z-assvirzienā. Tātad vektora E komponentesDekarta koordinātu sistēmā nosakāmas∂ϕ ∂ϕ ∂ϕšādi: Ex= − ; E y = − ; Ez= − .∂x∂ y ∂z(Šeit jālieto parciālie atvasinājumi, jo vispārīgā gadījumā φ ir visu koordinātufunkcija.) Vektoriālā formā:o ∂ϕ o ∂ϕ o ∂ϕE = − x − y − z .(1.8)∂x∂ y ∂zSaīsināti to raksta šādi:E = − gradφ jeb E = −∇ φ, (1.9)kur grad (gradients) norāda (1.8) izteiksmē vajadzīgo atvasināšanu, bet ar operatoru∇ (nabla) saprot simbolisku vektoruo ∂ o ∂ o ∂∇ = x + y + z .∂x∂ y ∂z(1.10)Sakarības (1.9) lieto jebkurā koordinātu sistēmā, taču to izteiksmes (1.8) un (1.10)vietā katrā koordinātu sistēmā ir savas.Matemātiski var pierādīt, ka skalāras funkcijas gradients ir vektors, kas vērstsšīs funkcijas straujākā pieauguma virzienā. Tātad vektors E vērsts potenciālastraujākās samazināšanās virzienā (ievērojot mīnusa zīmi izteiksmēs (1.9)). Tasapstiprina iepriekšējos apgalvojumus par ekvipotenciāļu un spēka līniju ortogonalitāti.Ilustrācijai 1.9. attēlā parādīta divu skaitliski vienādu pretēju zīmju punktveida lādiņukopējā ekvipotenciālo un spēka līniju aina. Tajā redzama abu līkņu saimju ortogonalitāte,ekvipotenciāļu koncentrēšanās lādiņu tuvumā, kur lauka intensitāte ir lielāka u.taml. Punktveida lādiņu tiešā tuvumā, protams, ne ekvipotenciāles ne spēka līnijas navzīmētas.11

+−1.9.att. Divu skaitliski vienādu pretēju zīmjupunktveida lādiņu elektriskā lauka aina.1.3. Elektriskais lauks vielā. Vielas polarizācija, elektriskā lauka indukcijas(nobīdes) vektors.Iepriekšējā sadaļā iegūtās Kulona likuma un punktveida lādiņa elektriskālauka intensitātes un potenciāla izteiksmes (1.1), (1.2) un (1.7) derīgas tikai vakuumāun tuvināti arī gaisā. Vielā elektriskā lauka ietekmē notiek atomos un molekulāsietverto pozitīvo un negatīvo lādiņu nobīde un no summāri neitrālas daļiņas izveidojaselektriskais dipols. Ķermeņa iekšienē dipolu pozitīvie un negatīvie lādiņi aptuveni− +− +− +− +− +− +− +− +− +− + − +1.10. att. Vielai polarizējoties,uz ķermeņa virsmasrodas nekompensēts saistītaislādiņš.kompensējas, taču uz tā virsmas izveidojas nekompensētssaistītais lādiņš. Saistīto lādiņu daudzums var būt visaiievērojams, tas atkarīgs no ārējā lauka intensitātes un novielas īpašībām − tās spējas polarizēties.Minēto parādību matemātiskam aprakstam jāieviešdaži jauni jēdzieni.Dipolu raksturo ar dipola momentu − vektorup = ql, kur q ir dipola pozitīvais lādiņš, bet l − attālumsstarp lādiņiem. Vektors l vērsts pozitīvā lādiņa nobīdesvirzienā. Par vielas polarizācijas vektoru P sauc dipolumomentu summas robežu tilpumā V, kad V→ 0. Protams,ka tieši saskaitīt dipolu momentus kādā tilpumā nav iespējams, taču katras vielaspolarizēšanās spēju iespējams noteikt eksperimentāli. Daudzām vielām polarizācijasvektors P ir tieši proporcionāls pieliktā ārējā lauka intensitātei E: P = ε o kE, kurkoeficients k (t.s. elektriskā susceptibilitāte) katrai vielai nosakāms eksperimentāli.Elektriskā lauka nobīdes jeb indukcijas vektoru D definē kā summu:D = ε o E + P. (1.11)Ja P ir tieši proporcionāls E, tad D = ε o E +ε o kE = ε o (k+1)E. Apzīmējot k+1 = ε, iegūst12

D = εε o E. (1.12)Koeficientu ε sauc par vielas relatīvo dielektrisko caurlaidību. Kā redzams, tad vielās,kurās vektori P un E ir paralēli un tieši proporcionāli viens otram, tādi ir arī vektori Dun E.Vektora D un koeficienta ε izmantošana ļauj izvairīties no saistīto lādiņu tiešasaplūkošanas. Tā, piemēram, punktveida lādiņa laukā D nosakāms neatkarīgi no vielas,kādā šis lādiņš atrodas,q oq oD = r , bet, nosakot E, jāievēro, ka E = D/εε20 : E = r .24π r4πεε o rVektors D atkarīgs tikai no brīvajiem (ne saistītajiem) lādiņiem telpā, bet visāsizteiksmēs, kas satur elektrisko konstanti ε o , tā jāaizvieto ar reizinājumu εε o .Vektori P un D tomēr ir diezgan mākslīgi definēti lielumi. Robeža P definīcijā V→ 0 jāsaprottā, ka tilpuma izmēri tomēr paliek lielāki par molekulārajiem attālumiem. Pretējā gadījumāmatemātiskais punkts V = 0 varētu atrasties vietā, kur vielā nav ne molekulu, ne atomu, ne arī dipolu.Pēc tam, kad, izmantojot galīga lieluma tilpumu, noteikts P, tomēr uzskata, ka ar vektoriem P un Draksturojams katrs punkts vielā, arī tie, kuros dipolu nav. Ja jāpēta elektriskais lauks molekulārā līmenī,lielumi P un D nav lietojami.Vektora diverģence. Ja kādā telpas apgabalā ir izkliedēts elektriskais lādiņš,kuru katrā punktā var raksturot ar lādiņu blīvumu ρ (C/m 3 ), vektora D jaunu spēkalīniju rašanos šādos punktos raksturo skalārs lielums, kuru sauc par vektoradiverģenci: divD. Diverģences izteiksme Dekarta koordinātu sistēmā ir∂Dx∂Dy ∂Dzdiv D = + + .∂x∂ y ∂zŠādu izteiksmi var iegūt arī, skalāri reizinot simbolisko vektoru ∇ ar vektoruD (vai citu vektoru, kuram lieto šo operāciju), t.i., divD ≡ ∇ D .Var pierādīt, kadivD = ρ. (1.13)Punktos, kur lādiņu nav (ρ = 0), divD = 0 ∗ ).Tā kā D = εε 0 E, tad telpas apgabalā, kurā ε = const, to var iznest ārpusatvasinājumiem, iegūstotdivE = ρ/εε o vai divE = 0, (1.14)apgabalā, kur lādiņu nav.1.4. Laplasa un Puasona vienādojums elektriskajam potenciālam.No izteiksmēm (1.14) kopā ar (1.9) var iegūt vienādojumu, ko apmierina2potenciāls φ. Tā kā E = −gradφ = −∇ φ, tad divE = − divgradφ = − ∇ ( ∇ φ) = −∇φ.2Operatoru ∇ sauc par Laplasa operatoru (laplasiānu). Tā izteiksme Dekarta222 ∂ ∂ ∂koordinātu sistēmā ir ∇ = + + . Ievērojot (1.14) Dekarta koordinātu2 2 2∂ x ∂ y ∂ zsistēmā iegūst vienādojumus potenciālam∇jeb apgabalā, kur ρ = 0:2 2 22 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ρϕ = + + = −2 2 2∂ x ∂ y ∂ z εεo2(1.15)∗ ) Izteiksmi (1.13) sauc par Gausa teorēmu diferenciālajā formā. Tās pierādījumam izmantointegrālās sakarības elektriskajā laukā, kuras aplūkosim 5. nodaļā.13

2222 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ∇ ϕ = + + = 0 . (1.16)2 2 2∂ x ∂ y ∂ zVienādojumu (1.15) sauc par Puasona, bet (1.16) − par Laplasa vienādojumu.Praksē Laplasa vienādojuma atrisināšana ir viens galvenajiem paņēmieniem elektriskāpotenciāla sadalījumā noteikšanai telpā. Ja potenciāls ir noteikts kā koordinātufunkcija, izmantojot (1.9) var noteikt arī elektriskā lauka intensitāti.Diferenciālvienādojumiem, bet jo sevišķi parciālajiem diferenciālvienādojumiem,ir raksturīgi tas, ka tos apmierina teorētiski bezgalīgi daudz dažādasfunkcijas. Tā, piemēram, Laplasa vienādojumu (1.16) apmierina atrisinājumi φ = 0,φ = const, bet bez tam ir vēl bezgalīgi daudz citu funkciju. (Šīs funkcijas matemātikāsauc par harmoniskām funkcijām.) Fiziski tas ir ļoti labi saprotams − lai iegūtuviennozīmīgu atrisinājumu, jāzina, kas rada meklējamo potenciālu, jāzina lādiņusadalījums telpā un potenciāla sadalījums uz aplūkojamā apgabala robežas (t.s.robežnoteikumi).Plakana kondensatora lauks. Noteiksim potenciālasadalījumu telpā starp liela plakana kondensatoralklājumiem, kas pieslēgti spriegumam U, gadījumā, kaddielektriskā vide starp klājumiem uzlādēta ar konstantuρlādiņu tilpuma blīvumu ρ. Lai vienkāršotu risinājumu,0xpieņemsim, ka klājumus veido bezgalīgas paralēlasplaknes, kas novietotas kā parādīts 1.11. attēlā. Tadpotenciāls atkarīgs tikai no koordinātas x, jo visi punktiklājumiem paralēlā plaknē atrodas vienādos apstākļos −bezgalīgi tālu no klājumu malām. Tātad Puasonavienādojumā (1.15) atvasinājumi pēc y un z vienādi arnulli. Atliek:2d ϕφ 1 = U φ 2 = 0= −2ρ.1.11. att. Plakana kondensatoramatemātiskais modelisd xoIntegrējot šo izteiksmi vienreiz pēc dx, iegūstamdϕρ= −d x εε0εεx + Ckur C 1 ir integrēšanas konstante. (Atcerēsimies, ka integrēšana ir atvasināšanai pretējadarbība, tādēļ otrais atvasinājums pārvēršas par pirmās kārtas atvasinājumu.)Integrējot otrreiz:ρ 2ϕ = − x + C1x + C2. (1.17)2εε oIntegrēšanas konstanšu noteikšanai jāizmanto kondensatora klājumiempieslēgtais spriegums U. Ja klājums x = 0 pieslēgts sprieguma avota augstākajampotenciālam, bet klājums x = l − zemākajam, varam pieņemt, ka φ = φ 1 = U, ja x = 0,un φ =φ 2 = 0, ja x = l. Ievietojot pārmaiņus šos nosacījumus izteiksmē (1.17),iegūstamC 2 = U;ρ 20 = − l + C1l + C2.2εε01,14

ρ UNo pēdējās izteiksmes var iegūt C 1 : C 1 = l − .2εε olIevietojot iegūtās konstanšu vērtības izteiksmē (1.17), iegūstam galīgo atrisinājumaizteiksmi:ρ 2 ρlUϕ = − x + ( − ) x + U .2εε 2εε looParastos apstākļos tilpuma lādiņš dielektriķī starp kondensatora klājumiemnerodas (ρ = 0). Tad atrisinājums ievērojami vienkāršojas (to varētu iegūt arī tieši,risinot Laplasa vienādojumu):xϕ = U (1 − ) .lLauka intensitāte (no gradienta izteiksmes (1.8)):dϕUE = Ex = − = .d x lKā redzams, ja ρ = 0, iegūta potenciāla lineāra maiņa starp klājumiem no U līdz 0 unpēc lieluma un virziena nemainīga elektriskā lauka intensitāte visā apgabalā. Šādulauku, kurā E = const, sauc par homogēnu lauku. Homogēnā laukā spēka līnijas irparalēlas taisnes, bet ekvipotenciāles − arī savstarpēji paralēlas taisnes, kasperpendikulāras spēka līnijām. Reālā plakanā kondensatorā homogēnais laukssaglabājas centrālajā daļā, klājumu malu tuvumā spēka līnijas izliecas uz āru.Risinot dažādus uzdevumus, tos jācenšas iespējami vienkāršot. Iepriekšējāpiemērā mēs pieņēmām, ka potenciāls atkarīgs tikai no vienas koordinātas. Ja gribētunoteikt potenciāla sadalījumu, ievērojot arī «malu efektu», Laplasa vai Puasonavienādojums būtu jārisina atkarībā no visām trijām koordinātām, kas ir visai sarežģītsuzdevums. Lauku sauc par plakanparalēlu, ja potenciāls atkarīgs tikai no divāmkoordinātām Dekarta koordinātu sistēmā jeb, kas ir tas pats, − tikai no koordinātām run α cilindriskajā sistēmā. Plakanmeridionālā laukā lauka aina nav atkarīga no αcilindriskajā sistēmā, bet sfēriskās simetrijas gadījumā tā ir atkarīga tikai norādiusa r sfēriskajā koordinātu sistēmā. (Sfēriska simetrija piemīt, piemēram,punktveida lādiņa laukam.) Var būt vēl arī citi simetrijas gadījumi, kas atļaujsamazināt koordinātu skaitu, kas jāievēro risinājumā, līdz divām vai vienai.Robežnoteikumi elektriskajā laukā. Laplasa un Puasona vienādojumi irpareizi tikai homogēnā vidē, kur ε = const, jo tikai tādā gadījumā to var iznest ārpusatvasinājumiem diverģences un gradienta izteiksmēs. Praksē tomēr aplūkojamaisapgabals var sastāvēt no vairākām homogēnām daļām, kurās katrā ir citāda konstantadielektriskās caurlaidības ε vērtība. Tādā gadījumā atrisinājums jāiegūst katrai daļaiatsevišķi, turklāt tajā jābūt pietiekoši daudz integrēšanas konstantēm, lai uz apgabalurobežām varētu panākt fiziski nepieciešamo robežnoteikumu izpildīšanos. Mēsaplūkosim noteikumus galvenokārt uz divu dielektrisku vielu robežas.1. Potenciāls nevar mainīties ar lēcienu, t.i.,φ 1rob = φ 2 rob , (1.18)kur φ 1 un φ 2 ir potenciāls pirmajā un otrajā apgabalā. Šis noteikums ir fiziski pilnīgisaprotams: potenciāla izmaiņa ir vienāda ar lādiņa pārvietošanai nepieciešamo darbu,bet bezgalīgi mazā pārvietojumā, pārejot robežu, darbs nevar mainīties par galīgulielumu.1'. Sekas no iepriekšējā noteikuma ir tas, ka vektora E tangenciālā (t.i.,robežas pieskarei paralēlā) komponente arī nevar mainīties ar lēcienu:15

E 1t,rob = E 2t,rob.(1.18')Šo izteiksmi var pierādīt, pielietojot izteiksmi (1.6) noslēgtam kontūram, kura divasmalas atrodas cieši pie robežas tās vienā un otrā pusē. Integrēšanas konstanšunoteikšanai pēc izvēles var izmantot sakarības (1.18) vai (1.18'), bet ne abas, jo tāsveidos identiskus vienādojumus.2. Vektora D normālā (t.i., robežas pieskarei perpendikulārā) komponentenemainās ar lēcienu:D 1n,rob = D 2n,rob. (1.19)(Šo izteiksmi pierāda, izmantojot integrālo sakarību − Gausa teorēmu, par kururunāsim 5. nodaļā.)Specifiskos apstākļos šos noteikumus var mainīt. Tā, piemēram, elektrostatiskajālaukā uz vadoša materiāla virsmas koncentrējas brīvie lādiņi tā, lai vadošāmateriāla ķermenis un tā virsma būtu ekvipotenciāla (pretējā gadījumā vadošamateriāla ķermenī plūstu strāva). Parasti pieņem, ka šie lādiņi koncentrējušiesbezgalīgi plānā slānī uz virsmas. Tādā gadījumā noteikums (1.19) vairs nav spēkā.Dielektrisks cilindrs, ienests homogēnā laukā. Aplūkosim gadījumu, kadhomogēnā elektriskajā laukā ievietots garš cilindrs, kura dielektriskā caurlaidība ε iatšķiras no ārējās vides caurlaidības ε a . Cilindra ass ir perpendikulāra laukaintensitātei E o , kāda bija telpā pirms cilindra ievietošanas (1.12. att.), tā rādiuss − r o .Izvēlamies cilindrisko koordinātu sistēmu, kurā x-ass virziens sakrīt ar E o virzienu,E 0bet z-ass sakrīt ar cilindra asi (tā ir perpendikulārazīmējuma plaknei). Ja cilindru uzskata parrr obezgalīgi garu, tad lauks ir plakanparalēls −ε i α potenciāls φ nav atkarīgs no z, bet ir tikaikoordinātu r un α funkcija.x Var pārliecināties, Laplasa vienādojumucilindriskajā koordinātu sistēmā apmierinaε a funkcija1.12. att. Garš cilindrs ārējā laukā. Potenciālsφ atkarīgs tikai no koordinātām run α cilindriskajā koordinātu sistēmā.Bϕ = Ar cosα + cosα ,rkur A un B − jebkuras konstantes. (Iesakāmlasītājam par to pārliecināties pašam, izmantojotLaplasa operatora izteiksmi cilindriskajā koordinātu sistēmā.) Šo atrisinājumuizmantosim kā cilindra iekšpusē, tā ārpusē taču sagaidāms, ka tie atšķirsies arkonstanšu vērtībām. Cilindra iekšienē:ārpusē:B1ϕ i = A1rcosα+ cosα , rr o . (1.21)rTurpinājumā jānosaka šis 4 konstantes tā, lai būtu spēkā noteikumi (1.18) un (1.19).Vispirms izvēlamies punktu, kur potenciāls vienāds ar nulli − cilindra centrā(r = 0). Tad no iekšējā potenciāla izteiksmes (1.20) tūlīt redzams, ka jābūt B 1 = 0.Pretējā gadījumā nulles vietā iegūtu bezgalīgi lielu potenciāla vērtību cilindra centrā.Ja r→∞, cilindra ietekmei uz ārējo lauku jāizzūd, t.i., potenciālam jātiecas uzhomogēna lauka potenciālu: φ a → −E o x = −E o rcosα (jo x = rcosα). No otras puses, jar→∞, otrais saskaitāmais (1.21) izteiksmē izzūd, jo r atrodas saucējā. Tādēļ jābūtA 2 = −E o .16

Divu atlikušo konstanšu A 1 un B 2 noteikšanai jāizmanto noteikumi (1.18) un(1.19). Saskaņā ar (1.18) potenciāliem φ i un φ a jābūt vienādiem uz cilindra virsmas(r = r o ). Ievietojot izteiksmēs (1.20) un (1.21) r = r o un jau atrastās B 1 un A 2 vērtības,pēc saīsināšanas ar cosα iegūstam vienādojumuBA r +1o2= − Eoro. (1.22)roLai izmantotu (1.19), ievērojam, ka cilindra virsmai normālā vektora E komponente irradiālā komponente E r . No gradienta izteiksmes cilindriskajā koordinātu sistēmā:∂ϕi∂ϕ aB2Er, i = − = − A 1cosα un Er , a = − = Eocosα + cosα .2∂r∂rrTālāk, var iegūt D r,i = ε i ε o E r,i un D r,a = ε a ε o E r,a izteiksmes, ievietot tajās r = r o unpielīdzināt tās saskaņā ar (1.19). Tad pēc saīsināšanas ar ε o un cosα iegūstB− εi A1 = ε a E0+ ε a . (1.23)r220Izteiksmes (1.22) un (1.23) veido vienādojumu sistēmu, no kuras var atrast A 1 un B 2 .No (1.22) var izteikt B 2 : B 2 = (A 1 +E o )r o 2 . Ievietojot to izteiksmē (1.23), iegūstamTātad cilindra iekšienē (r < r 0 ):Ārējā vidē (r > r 0 ):A12ε a= − Eounε + εiaB2ε aϕ i = − cosαε εE 0+r ;ia2εi− ε a 2= Eoro.ε + εroεi− ε aϕ a = − Eorcosα+ Eocosα .r ε + εTā kā rcosα = x, tad cilindra iekšienē potenciāls ir lineāri atkarīgs no x. Tātad iekšienēir homogēns lauks:∂ϕi2ε aE i = E x = − = Eo= const.∂xε + εJa ε i > ε a , tad summa ε i + ε a ir lielāka par 2ε a , un E i < E 0 . To var skaidrot šādi.Ja ε i > ε a , tad cilindra materiāls polarizējas vairāk nekā ārējā vide. Līdz ar to uzrobežas daļas, atbilstošas pozitīvām x vērtībām (1.12. att.), ir vairāk pozitīvo saistītolādiņu, kas cilindra materiālā nobīdīti ārējā lauka virzienā, nekā negatīvo lādiņu, kurino ārējās vides pievilkti pretēji E o virzienam. Uz robežas daļas, atbilstošas negatīvāmx vērtībām, savukārt, ir vairāk negatīvo saistīto lādiņu nekā pozitīvo. Tādējādinekompensētie saistītie lādiņi rada elektrisko lauku, kura intensitāte vērsta pretējiārējam laukam un samazina kopējo E vērtību cilindrā.Ja ε i < ε a , nekompensēti pozitīvie saistītie lādiņi rodas kreisajā pusē (1.12.att.), bet negatīvie − labajā. Tad E i > E o .1.13. attēlā parādīta aptuvena lauka aina cilindra tuvumā gadījumam, kadε i > ε a . Cilindra tuvumā spēka līnijas noliecas x-ass virzienā. Ieejot cilindrā, spēkalīnijās rodas pārtraukums, ko izraisa nekompensētie saistītie lādiņi uz cilindravirsmas. Iekšējā apgabalā ir homogēns lauks, taču lauka intensitāte ir mazāka nekā E o .i2aiiaa17

yE 0ε ixε a1.13. att. Dielektrisks cilindrs, ienests homogēnāelektriskajā laukā; ε i > ε a . Ar sarkanajām līnijāmattēlotas spēka līnijas, ar zilajām − ekvipotenciāles.Ekvipotenciālās līnijas ir ortogonālas spēka līnijām, tās cenšas cilindru apiet.Ekvipotenciālēs, protams, nekādu pārtraukumu nav.Gadījumā, kad ε i < ε a , spēka līnijas cenšas cilindru apiet, bet ekvipotenciāles −tuvoties tam.1.5. Lauka ainas eksperimentāla noteikšana. Elektriskā modelēšana.Ļoti bieži Laplasa vienādojuma precīzu analītisku atrisinājumu nav iespējamsiegūt. Tādā gadījumā lauka aina jāiegūst ar skaitliska risinājuma palīdzību vai arīeksperimentāli. Laplasa vienādojuma skaitliskai risināšanai ir izveidotas matemātiskāsprogrammas un vismaz plakanparalēla lauka gadījumā risinājums ar datora palīdzībuparasti nesagādā sevišķas grūtības. Taču iespējams izmantot arī eksperimentu pētāmāsiekārtas modelī. Aplūkosim šo, t.s. elektrisko modelēšanu sīkāk.Vispirms jāatzīmē, ka izdarīt tiešu eksperimentu, t.i., izmērīt ar voltmetrupotenciāla sadalījumu telpā dielektriskā vidē nav iespējams. Voltmetrs sastāv noelektrību vadošām daļām un izlīdzina potenciālu starp tā spailēm, tādēļ rādījums būsvienāds ar nulli. Lai tas nenotiktu, voltmetra pretestībai jābūt daudzkārt lielākai parelektrisko pretestību, kāda pastāv starp tiem punktiem, kuru potenciālu starpībugribam noteikt. Dielektriskās vides pretestība uzskatāma par bezgalīgi lielu unvoltmetra pretestība nevar būt lielāka par to.Šo grūtību var apiet, ievērojot, ka potenciāls φ apmierina Laplasavienādojumu arī līdzstrāvu elektriskajā laukā. Vadošā vidē strāvas blīvums − vektorsJ − katrā telpas punktā ir tieši proporcionāls elektriskā lauka intensitātei E: J = γE,kur γ ir vides īpatnējā vadītspēja (šo sakarību sauc par Oma likumu diferenciālajāformā). Ja vadošajā vidē nekur nenotiek lādiņu uzkrāšanās, kā tas ir līdzstrāvu laukā,tad divJ = div(γE) = 0. Ja turklāt γ = const, tad, ievērojot (1.9), potenciālam iegūstam2Laplasa vienādojumu ∇ ϕ = 0 tāpat kā dielektriskā vidē. Tātad dielektrisko vidi varaizvietot ar materiālu, kuram piemīt neliela vadītspēja, turklāt modelī ir iespējama kāģeometriskā, tā potenciāla (sprieguma) mēroga maiņa. Jāparūpējas vienīgi par to, laimodelī saglabātos tādi paši robežnoteikumi, kādi pastāv reālajā iekārtā.18

Ja iepriekš ir zināma kāda ekvipotenciālā līnija vai virsma (piemēram, pētāmāsiekārtas simetrijas dēļ), modelī to var aizvietot ar metālisku elektrodu, jo līdzstrāvasgadījumā metāla virsma ir ekvipotenciāla. Savukārt vadošā materiāla robeža arizolējošu apkārtējo vidi sakrīt ar spēka līniju, jo vektoram J nevar būt normālāskomponentes attiecībā pret robežu ar nevadošu vidi, tāpat kā vektoram E navnormālās komponentes attiecībā pret spēka līniju.Plakanparalēlā laukā vektoram E var būt tikai divas komponentes. (Ja,piemēram, φ = φ (x,y), tad E z = −dφ/dz = 0.) Tādēļ šādu lauku var pētīt plānā plakanāvadoša materiāla slānī, kurā arī nav materiāla virsmai perpendikulāras vektora Ekomponentes. Praksē izmanto elektrovadošu papīru vai t.s. elektrolītisko vannu −plānu vadoša šķidruma (elektrolīta) slāni. Ja jāpēta iekārta, kurā potenciāls atkarīgs novisām telpas koordinātām, jālieto telpisks modelis, kas, protams, ir sarežģītāk.19

2. Relativitātes teorijas pamati.Parasti saka, ka Kulona likums (1.1) nosaka nekustīgu punktveida lādiņumijiedarbības spēku, taču patiesībā jau nevienu ķermeni ne uz Zemes, ne arī kaut kurcitur Visumā nevar uzskatīt par absolūti nekustīgu. Zeme griežas ap savu asi, riņķo apSauli, bet tā ar visām savām planētām kustas starpzvaigžņu telpā. Runājot par kustību,jo sevišķi − par vienmērīgu taisnvirziena kustību, tā jāsaprot relatīvā nozīmē: kādsķermenis var kustēties attiecībā pret otru ķermeni, viena koordinātu sistēma −attiecībā pret citu, lādiņš − attiecībā pret novērotāju, vai novērotājs attiecībā pretlādiņu. Kulona likums dod abu savstarpēji nekustīgo lādiņu mijiedarbības spēku, kāduizmēra novērotājs, kurš arī ir nekustīgs attiecībā pret lādiņiem.Lai izpētītu lādiņu mijiedarbības spēku, kādu izmērīs novērotājs, kurš kustasattiecībā pret lādiņiem (vai otrādi), jāiemācās dabas likumu izpausmes pārnest novienas koordinātu sistēmas uz citu, kura atrodas kustībā attiecībā pret pirmo (vaiotrādi). Ar šiem jautājumiem nodarbojas relativitātes teorija, un tās secinājumusmēs nedrīkstam neievērot.2.1. Ņūtona-Galileja koordinātu transformācijas (klasiskajā mehānikā).Aplūkosim šādu gadījumu. Koordinātu sistēmas x, y, z sākumā atrodas strēlnieks,kurš momentā t = 0 izšauj x-ass virzienā bultu un redz, ka tā attālumā x novietotumērķi sasniedz laika momentā t. Ir vēl otrs novērotājs, kurš ar vienmērīgu ātrumuv = v x kustas attiecībā pret pirmo, kurš izšāva bultu. «Kustīgais» novērotājs nes sevlīdz koordinātu sistēmu x', y', z', pats atrazdamies tās centrā. Abu koordinātu sistēmuasis ir attiecīgi paralēlas, bultas izšaušanas momentā to sākumi sakrīt (2.1. att. a).y y'v = v xxxx'a)yy'vtv = v xx'= x − vtxxx'b)2.1. att. Momentā, kad bulta sasniedz mērķi, kustīgaisnovērotājs atrodas attālumā x'= x − vt no tā, kā mācamūsu ikdienas pieredze.20

Ikdienas pieredze rāda, ka arī otrais, «kustīgais» novērotājs konstatēs to pašubultas trāpījuma momentu t' = t, tikai mērķis atradīsies attālumā x' = x − vt no viņakoordinātu sistēmas sākuma, jo pa bultas lidojuma laiku viņš ir noskrējis attālumu vt.Ja kustība notiek x-ass virzienā, tad koordinātas y un z paliek vienādas abāskoordinātu sistēmās. Tātad šajā gadījumā koordinātu noteikšanai kustīgajā koordinātusistēmā lietojamas šādas vienkāršas sakarības:x' = x − vt;y' = y; (2.1)z' = z;t' = t.2.2. att. Katrs novērotājs izmēra, ka katrsno viņiem atrodas viena un tā paša sfēriskāgaismas viļņa centrā, kaut gan viņi neatrodasvienā punktā. Kā to izskaidrot?Sakarības (2.1) sauc par Ņūtona-Galileja koordinātu transformācijām (ja kustībanotiek x-ass virzienā). Šķiet, ka, lietotas «ikdienas» vajadzībām, tās nevienu navpievīlušas, taču atliek nedaudz padomāt un šo transformāciju neprecizitāte kļūstacīmredzama.Kā abi novērotāji var visātrāk uzzināt, ka bulta ir sasniegusi mērķi? Tikai tā,ka gaisma, kas trāpījuma brīdī atstarojas no mērķa, sasniedz novērotāju acis. Gaismasizplatīšanās ātrums c = 300000 km/s = 3·10 8 m/s gan ir ļoti liels, taču ne bezgalīgiliels. Tādēļ novērotājs, kas atrodas tuvāk mērķim, par trāpījumu uzzinās ātrāk nekāstrēlnieks pats. Kā redzams, tad Ņutona-Galileja koordinātu transformāciju formulāsnetieši tiek pieņemts, ka gaismas izplatīšanās ātrums ir bezgalīgi liels.Ņutona-Galileja transformāciju formulas varētu mēģināt precizēt, ievērojot arīniecīgo laika intervālu, kādā gaisma noiet attālumu, kas šķir abus novērotājus, taču tonav vērts darīt, jo patiesībā lieta ir daudz nopietnāka.Aplūkosim līdzīgu gadījumu ar diviem savstarpēji kustīgiem novērotājiem,tikai šoreiz viens no viņiem momentā, kad abi atrodas blakus, nevis izšauj bultu, betieslēdz gaismas avotu, kura gaisma sfēriska viļņa veidā izplatās uz visām pusēm arātrumu c. Vai ir iespējams konstatēt, ka pēc kāda laika viens no novērotājiem vairsneatrodas sfēriskā viļņa centrā, kā tas bija, gaismas avota ieslēgšanas momentā? Uz šojautājumu jāatbild viennozīmīgi: nē, tādas iespējas nav! Un ne tāpēc, ka gaismasy y'ātrums ir pārāk liels, lai kāds materiālsķermenis varētu viļņa fronti kautcik jūtami panākt, bet principiāli. Fizikāir izdarīti daudzi eksperimenti,r = ctr' = ct' lai konstatētu gaismas ātruma atšķirībuattiecībā pret koordinātu sistēmām,kuras kustas viena attiecībā pretx otru, taču tie visi ir devuši negatīvusrezultātus. Šādas atšķirības nav! Tādāx'gadījumā mums jāsecina, ka pēc gaismasavota ieslēgšanas katrs no abiemvnovērotājiem izmērīs, ka viņš visu laikuatrodas sfēriskā viļņa pašā centrā,kaut gan viņi abi vairs nebūt neatrodasvienā punktā (2.2. att.).Šo paradoksu izskaidro relativitātesteorija (A. Einšteins, 1905.g.): ikdienā lietojamās Ņūtona-Galilejakoordinātu transformācijas jāaizvietoar citām − tādām, kurās gaismas21

ātrums saglabājas nemainīgs attiecībā pret jebkurām savstarpēji kustīgām koordinātusistēmām. Mēs šeit aprobežosimies tikai ar t.s. speciālo relativitātes teoriju,kura aplūko vienīgi vienmērīgu taisnvirziena kustību.2.2. Lorenca transformācijas.Aplūkosim 2.2. attēlā parādītās koordinātu sistēmas x, y, z, t un x', y', z', t', nokurām pirmo sauksim par «nekustīgu», bet otro, kura attiecībā pret pirmo kustas arātrumu v x-ass virzienā − par «kustīgu». (Koordinātu sistēmas, kuras cita pret cituatrodas vienmērīgā taisnvirziena kustībā, sauc par inerciālām koordinātu sistēmām.)Sfēriskā viļņa frontes rādiuss «nekustīgajā» sistēmā ir r = ct, bet «kustīgajā» − r' = ct',2 2 22 2 2kur r = x + y + z un r ′ = x′+ y′+ z′. Lai atbrīvotos no kvadrātsaknēm,iepriekšējās izteiksmes kāpinām kvadrātā. Tad r 2 − c 2 t 2 = 0 un r' 2 − c 2 t' 2 = 0.Tātad r 2 − c 2 t 2 = r' 2 − c 2 t' 2 .Tā kā v = v x , tad koordinātas y un z abās koordinātu sistēmās paliek vienādas.Līdz ar to iegūstam vienādojumu2 2 2 2 2 2x − c t = x′− c t′.(2.2)No šejienes jāiegūst sakarības starp x,t un x ' ,t ' , t.i., koordinātu transformācijuformulas, kuras saglabā nemainīgu gaismas ātrumu c abās koordinātu sistēmās.Meklēsimx'=a 1 x+a 2 t;t'=a 3 x+a 4 t, (2.3)kur a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 – ir pagaidām nezināmi koeficienti, kas nesatur ne x',t' ne x,t.Ievietojot (2.3) izteiksmes vienādojumā (2.2) un apvienojot līdzīgos locekļus,iegūstam:x2222 2 2 222 2( a − c a ) x + 2( a a − c a a ) xt + ( a − c a ) t2− c t =.131Lai šāda izteiksme varētu būt pareiza jebkurām x un t vērtībām, iekavās ieslēgtajiemkoeficientiem labajā pusē jābūt vienādiem ar attiecīgo x un t pakāpju koeficientiemkreisajā pusē:2 2 21 3=a − c a 1; (2.4)21 2 3 4=a a − c a a 0 ; (2.5)a2 2 2 22c a4= − c− . (2.6)No iegūtajiem trijiem vienādojumiem, protams, nevar atrast četrus meklējamoskoeficientus, taču mums vēl jāievēro «kustīgās» sistēmas ātrums v. 2.1.battēlā redzams, ka punktā, kur apskatāmajā laika momentā x'=0, ir x=vt jeb v=x/t.Tāpēc, liekot pirmajā no vienādojumiem (2.3) x' = 0, iegūstam a 1 x= −a 2 t jebx/t = −a 1 /a 2 =v, no kurienes izriet, ka2a 2 = −va 1 .Koeficientu noteikšanu vēl var atvieglot, ja ievērojam, ka punktā, kur x=0, savukārtx'= −vt'. Liekot x=0 abos sistēmas (2.3) vienādojumos un dalot pirmo ar otro, varizveidot attiecību x'/t'=a 2 /a 4 =−v. Tātada 2 = −va 4 , t.i., a 4 = a 1 .3422 422

Tagad no (2.6) var iegūt a(2.5):va3= − .2c 1−2v2c1= a4=11−vc22. Tada2= −v1−2v2c, bet no vienādojumaIevietojot iegūtās koeficientu izteiksmes izteiksmēs (2.3), iegūst meklētāskoordinātu transformāciju formulas, kuras apmierina noteikumu, ka gaismas ātrums irvienāds visās inerciālās koordinātu sistēmās (gadījumam, kad kustība notiek x-assvirzienā):x − vtx′=2v1−y′= yz′= zvccvt −2xct′=21−22(2.7)Šīs formulas sauc par Lorenca koordinātu transformācijām.Ja kustības ātrums v ir mazs salīdzinājumā ar gaismas ātrumu c, tad saskaitāmos,kas satur attiecību v/c (un vēl jo vairāk tos, kas satur v 2 /c 2 vai v/c 2 ) varneievērot. Tādā gadījumā mēs iegūstam atkal parastās Galileja transformācijas (2.1).No šejienes arī radies viedoklis, ka ar relativitātes teoriju saistītās parādībasnovērojamas vienīgi tad, ja ir darīšana ar ļoti lieliem kustības ātrumiem. Tomēr, kāredzēsim vēlāk, tas ne vienmēr ir pareizi.Gadījumā, ja v→ c, tad saucēja vērtība izteiksmēs (2.7) tiecas uz nulli, bet x'un t' vērtības – neierobežoti pieaug, bet, ja v > c, zemsaknes izteiksme kļūst negatīva,kam vispār nav fizikālas jēgas. Šis apstāklis liek secināt, ka neviens materiālsķermenis nevar sasniegt gaismas ātrumu vakuumā; ātrums c patiešām ir maksimālaisdabā iespējamais ātrums.Pieraksta saīsināšanai turpmāk lietosim vispār pieņemtus apzīmējumus:12v1−2cIevērosim arī, ka vienmēr γ >1, ja v≠0.Tagad formulas (2.7) uzrakstāmas īsāk:vai matricu veidā:v/c=β.=121−β= γ ,x' = (x-βct)γ ; y' = y ; z' = z ; t' = (t-xβ/c)γ.⎛ x′⎞ ⎛ γ 0⎜ ⎟ ⎜⎜ y′⎟ ⎜ 0 1⎜ ⎟ =z′⎜ 0 0⎜ ⎟ ⎜⎝ct′⎠ ⎝−βγ 00010− βγ⎞⎛ x ⎞⎟ ⎜ ⎟0 ⎟ ⎜ y ⎟0 ⎟ ⎜ z ⎟⎟ ⎜ ⎟γ⎠ ⎝ct⎠(2.7')(2.8)23

Šādu matricu reizinājumu izteiksmju (2.7) vietā var izveidot, ja mainīgo t un t' vietālieto attiecīgi lielumus ct un ct'.Īsāk (2.8) var uzrakstīt šādi:X' = LX, (2.9)kur kolonas matricā (vektorā) X' sakopoti lielumi x',y',z',ct', vektorā X − lielumi x,y, z, ct, bet simetriskajā kvadrātmatricā L − Lorenca transformāciju koeficienti:l 11 =γ, l 14 = −βγ utt.2.3.Vektora jēdziens relativitātes teorijāKoordinātas x, y, z ir attiecīgā telpas punkta rādiusvektora komponentes, betx', y', z' − šo komponenšu pārveidojums jaunajā koordinātu sistēmā. Parastajoskoordinātu pārveidojumos, kā zināms, vektora garums (jeb tā kvadrāts) r 2 =x 2 +y 2 +z 2nemainās. Lorenca transformācijās tas acīmredzami vairs nav spēkā. Taču Lorencatransformācijās nemainīgs paliek lielums2 2 2 2 2 2 2 2 2 2s = c t − x − y − z = c′ t′ − x′ − y′ − z′ 2 .Šo lielumu s relativitātes teorijā tad arī ir pieņemts saukt par tāda «rādiusvektora»«garumu», kuram atšķirībā no parastā rādiusvektora ir 4 komponentes: x, y, z, ct.Līdz ar to relativitātes teorijā vispār rīkojas ar šādiem četru dimensiju vektoriem (jeb,īsāk, 4-vektoriem), un visiem šiem 4-vektoriem ir lietojamas transformācijas (2.8).Taču, lai transformētu fiziskos lielumus-vektorus, tie vispirms jāpārveido par 4-vektoriem: jāatrod, kāda katram no tiem ir ceturtā («laika») komponente, tāpat arī 4-vektora telpiskās komponentes, vispār, var tieši nesakrist ar atbilstošā fiziskā vektoratelpiskajām komponentēm. 4-vektora komponentēm jābūt tādām, lai tās pilnībāraksturotu attiecīgo fizisko vektoru un 4-vektora «garums» transformācijas rezultātānemainītos.Ilustrācijas nolūkā uzrakstīsim dažus biežāk sastopamos 4-vektorus, neiedziļinotiesmatemātiskajās operācijās, kas noved pie šiem rezultātiem.Ātrums u:⎛ ⎞⎜v x⎟⎜ v ⎟yu = γ⎜⎟ (2.10)⎜ v z ⎟⎜ ⎟⎝ c ⎠Kustīga ķermeņa impulss p, kura masa ir m un ātrums ir v (m − t.s. mierastāvokļa masa, kas noteikta koordinātu sistēmā, kurā ķermenis ir nekustīgs; par to, vaivar lietot arī kādu citu masu, sk. 2.3.4.):Spēks f:⎛ ⎞⎜v x⎟⎜ v ⎟yp = mu= mγ⎜⎟ (2.10')⎜ v z ⎟⎜ ⎟⎝c⎠24

⎛ ⎞⎜Fx⎟⎜ F ⎟yf = γ ⎜ ⎟ . (2.10'')⎜F⎟z⎜ ⎟⎜ Fv ⎟⎝ c ⎠kur F x,y,z ir «parastā» 3-dimensiju spēka komponentes, Fv − skalārais reizinājums. v −šeit ir ķermeņa kustības ātrums lietotajā koordinātu sistēmā.Tomēr ne visiem fiziskajiem 3-dimensiju vektoriem ir iespējams atrast tāduceturto komponenti, lai pārejai uz citu koordinātu sistēmu varētu izmantot Lorencatransformācijas (2.8). Tā, piemēram, atbilstošu ceturto komponenti nevar atrastelektriskā lauka intensitātes vektoram E. Par šī vektora pārveidošanos kustīgāskoordinātu sistēmās mums būs jārunā atsevišķi.2.3. Lorenca transformāciju dažas sekas.2.3.1. Attālumu saīsināšanās.Ņūtona-Galileja, t.i., «parastajās» koordinātu transformācijās attālumi palieknemainīgi, taču, kā jau minēts, Lorenca transformācijas attālumus maina.Atzīmēsim uz divām paralēlām, pagaidām savstarpēji nekustīgām koordinātuasīm x un x' punktus x 1 , x 2 un x' 1 , x' 2 tā, lai attālumi ∆x = x 2 −x 1 = l un ∆x' = x' 2 −x' 1 = lbūtu vienādi. Kas notiek, ja turpmāk šīs koordinātu sistēmas kustas viena attiecībāpret otru ar ātrumu v = v x ? Novērotājam, kurš nekustīgi saistīts ar koordinātu asi x', uzšīs ass, protams, nekas nemainās: ∆x' = l, taču koordinātas x' 1 , un x' 2 izsakāmas ar x 1un x 2 vienā un tajā pašā laika momentā t atbilstoši Lorenca transformācijām (2.7')šādi:x 1 ' = γx 1 −βct un x 2 ' = γx 2 −βct .Tad, izveidojot starpību x' 2 −x' 1 , iegūstam:x' 2 − x' 1 = l = γ(x 2 − x 1 ) = γ∆x.Tā kā γ > 1, tad ∆x < l.Tātad novērotājs, kurš kustas attiecībā pret koordinātu sistēmu, kurai pieder x-ass (jeb, kas ir tas pats, attiecībā pret kuru kustas šī sistēma), attālumu ∆x novērtēskā saīsinājušos. Raugoties no otras sistēmas, protams, iegūsim, ka saīsinājies irattālums ∆x'.Šim faktam, ka kustīgam novērotājam (salīdzinājumā ar nekustīgu) kustībasvirzienā vērstie nogriežņi ir saīsinājušies, turpmāk būs būtiska nozīme, lainoskaidrotu, kā kustīgās koordinātu sistēmās pārveidojas elektriskā lauka intensitātesvektors. (Nogriežņi, kas novietoti perpendikulāri kustības virzienam, nemainās.)yaaa/γaxv = v x2.3. att. Ja nekustīgs novērotājs redz x,y plaknē novietotu kvadrātu, tadnovērotājam, kurš kustas paralēli kādai no tā malām, kvadrāts pārvēršaspar taisnstūri − kustības virzienam paralēlā mala ir saīsinājusies.25

Tā piemēram, ja attiecībā pret koordinātu sistēmu x, y nekustīgs novērotājsredz x, y plaknē novietotu kvadrātu, kura malas ir paralēlas attiecīgi x un y asij, tadnovērotājam, kurš kustas paralēli x-asij, šis kvadrāts pārvēršas par taisnstūri (2.3. att.).Attiecīgi samazinās arī figūras laukums. Ja nekustīgajam novērotājam S = a 2 , tadkustīgajam − S' = a 2 /γ.2.3.2. Laika ritējuma palēnināšanās.Bez tikko aplūkotās attālumu saīsināšanās no Lorenca transformācijām izriet,ka dažādās kustīgās koordinātu sistēmās arī laiks rit dažādi. Mūsu turpmākajā izklāstāšo faktu tomēr izmantot nevajadzēs, tādēļ lasītājs šai sadaļai var neveltīt īpašuuzmanību. Tomēr šeit iegūtie rezultāti ir interesanti paši par sevi.Aplūkosim atkal divas koordinātu sistēmas līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā.Pieņemsim, ka vienā un tajā pašā punktā x laika momentos t 1 un t 2 notiek 2 notikumi.Laika intervāls starp tiem, ko izmēra ar x-asi nekustīgi saistīts novērotājs, ir∆t = t 2 − t 1 . Kustīgā koordinātu sistēmā atbilstošie laika momenti t 1 ' un t 2 ' saskaņā ar(2.7') izsakāmi šādi:ct 1 ' = γct 1 − βγx,ct 2 ' = γct 2 − βγx.Atskaitot no otrās izteiksmes pirmo, iegūstam sakaru starp laika intervāliem∆t' = t 2 ' − t 1 ' un ∆t = t 2 − t 1 abās koordinātu sistēmās: ∆t' = γ∆t. Tātad ∆t' > ∆t. Līdz arto novērotājam no koordinātu sistēmas x' šķiet, ka sistēmā x, kura kustas attiecībā pretviņu, laiks rit lēnāk − starp vieniem un tiem pašiem notikumiem izmērītais laikaintervāls ∆t ir mazāks nekā ∆t'.Saprotams, ka arī laika ritējuma palēnināšanās ir relatīva: novērotājam nosistēmas x savukārt šķiet, ka laiks rit lēnāk sistēmā x'.Speciālās relativitātes teorijas ietvaros, kura pēta tikai vienmērīgu taisnvirziena kustību, naviespējams noskaidrot, kurā koordinātu sistēmā pulkstenis atpaliek. Lai to izdarītu, abiem novērotājiembūtu jāsatiekas un jāsalīdzina pulksteņu rādījumi, bet tas nav iespējams, ja turpinās novērotājuvienmērīga taisnvirziena kustība. Vispārīgajā relativitātes teorijā, kurā aplūko arī paātrinātu kustību,var parādīt, ka atpaliek tas pulkstenis, kurš vispirms paātrinājās, bet pēc tam kustību nobremzēja unatgriezās pie otra novērotāja. Tātad visai izplatītais zinātniski-fantastisko sacerējumu sižets, kaastronauts, ilgāku laiku ar lielu ātrumu ceļojis kosmiskajā telpā, atgriežoties uz Zemes atklāj, ka te jauir pagājis daudz lielāks laika periods nekā viņam pašam, ir zinātniski pamatots.Laika ritējuma maiņai ir arī eksperimentāli pierādījumi. Fizikā ir atklātas tādas daļiņas, kuraseksistē tikai ļoti īsā, stingri noteiktā laika intervālā. Pēc tam tās sadalās citās daļiņās. Taču, ja šādadaļiņa kustas ar milzīgu ātrumu (salīdzināmu ar gaismas ātrumu) attiecībā pret novērotāju, tās «dzīvesilgums» palielinās stingrā saskaņā ar relativitātes teorijas secinājumiem.2.3.3. Relatīviskais ātrumu saskaitīšanas likums.Relatīviskais ātrumu saskaitīšanas likums (t.i., likums, kurš ievēro arī relativitātesteoriju) un secinājumi,kādi izriet no tā, būs vajadzīgiv 2v turpmākajam izklāstam. Kā1mēs redzēsim, tad varēs teikt,ka, pateicoties tieši šim likumam,rodas magnētiskaislauks.Pieņemsim, ka pa upi2.4. att. Kuģa ātrums attiecībā pret krastu ir v 1 , betpasažieris kustas ar ātrumu v 2 attiecībā pret kuģi.Kāds ir pasažiera ātrums attiecībā pret krastu?brauc kuģis ar ātrumu v 1attiecībā pret krastu, bet pa tāklāju braukšanas virzienā ietpasažieris ar ātrumu v 2 attie-26

cībā pret kuģi (2.4. att.). Kāds ir pasažiera ātrums v attiecībā pret krastu?Ikdienas pieredze mums māca, ka abi ātrumi v 1 un v 2 vienkārši jāsaskaita:v = v 1 + v 2 . Tomēr relativitātes teorijas secinājumi liek to apšaubīt: katrs no ātrumiemv 1 un v 2 varētu būt lielāks par pusi no gaismas ātruma (protams, ne jau upes kuģim unpasažierim uz tā klāja); tad, vienkārši saskaitot šos lielumus, iegūtu kopējo ātrumu,kas pārsniedz gaismas ātrumu, bet tas, kā zināms, nav iespējams.Lai iegūtu patieso ātrumu saskaitīšanas likumu, vispirms ievērosim, kaLorenca transformāciju matricas L (2.8) elementu l 11 =γ un l 14 = −βγ = −γ ·v/cattiecība ir vienāda ar l 11 /l 14 = −с/v jebv = −cl 14 /l 11 (2.11).Tātad, ja izdotos iegūt Lorenca transformāciju matricu L, ar kuras palīdzību varētutransformēt 4-vektorus tieši no pasažiera koordinātu sistēmas uz sistēmu, kuranekustīgi saistīta ar krastu, no izteiksmes (2.11) varētu iegūt arī patieso pasažieraātrumu attiecībā pret krastu.Paralēli vērstu ātrumu v 1 un v 2 gadījumā šādu matricu iegūt nav grūti. Laikādu pasažiera koordinātu sistēmā definētu 4-vektoru X'' transformētu uz tādassistēmas koordinātām, kas nekustīgi saistīta ar kuģi, jālieto matrica L 2 , kurā izmantotsātrums v 2 , jo tāds ir pasažiera ātrums attiecībā pret kuģi: X' = L 2 X''. Savukārt, laitagad kuģa koordinātu sistēmā definēto vektoru X' transformētu uz «krastu»,jāizmanto matrica L 1 , kurā lietots ātrums v 1 : X = L 1 X'. Ievietojot šeit X' noiepriekšējās izteiksmes, iegūstamX = L 1 L 2 X'' = L X'',kur L= L 1 L 2 . Tātad meklētā matrica ir vienāda ar matricu L 1 un L 2 reizinājumu:L L12⎛ γ⎜ 1⎜ 0= ⎜⎜ 0⎝−β1γ⎛⎜γ1γ2(1+β1β⎜ 0= ⎜⎜ 0⎝−γ1γ2(β1+ β10100001022)− β γ)γ0100100110010⎞⎛γ⎟⎜2⎟⎜0⎟⎜⎟⎜0⎠⎝−β2γ− γ1122γ ( β20001001+ βγ γ ( 1+β β100102) ⎞⎟⎟⎟ = L .⎟)⎠2− β ⎞2γ2 ⎟0 ⎟⎟ =0 ⎟γ2 ⎠Kā redzams, tad matricas L elements l 11 ir šāds:l 11 = γ 1 γ 2 (1+β 1 β 2 ). (2.12)(Šo lielumu var saukt arī par summārās kustības koeficientu γ Σ .) Šeit β 1 = v 1 /c,221 1 2β2β 2 = v 2 /c, γ = 1/1−β , γ = 1/1−. Savukārtl 14 = − γ 1 γ 2 (β 1 +β 2 ) (2.13)Tad, ievērojot (2.10), summārās kustības ātrums v atrodams šādi:β1+ β2v1+ v2v = c = . (2.14)1+β1β2v1v21+2cIzteiksme (2.14) ir meklētais relatīviskais ātrumu saskaitīšanas likums(gadījumā, kad ātrumi v 1 un v 2 ir paralēli viens otram).27

Kā redzams, tad summārās kustības ātrums patiešām nevar pārsniegt c. Tā,cpiemēram, ja v 1 = v 2 = 0,5c, tad v = = 0, 8c, bet, ja v 1 = v 2 = c, tad arī1+0,25v = 2c/2 = c.Mazu ātrumu v 1 un v 2 gadījumā (salīdzinājumā ar gaismas ātrumu) noizteiksmes (2.14) aprēķinātais ātrums praktiski neatšķiras no v 1 un v 2 vienkāršassummas. Ja, piemēram, v 1 = v 2 = 10 km/s = 10 4 m/s (kas tuvojas otrajam kosmiskajamātrumam 11 km/s; ar tādu ātrumu lidojoša raķete atstāj Zemes orbītu un aizlido Saulessistēmā), tad v ≈ 2·10 4 /(1+10 −9 ) m/s ≈ v 1 + v 2 = 2·10 4 m/s. No šejienes gribētos secināt,ka lielumu v 1 v 2 /c 2 (2.14) izteiksmes saucējā «ikdienišķos apstākļos» vienmēr varatmest, neradot praktiski nekādu kļūdu. Tomēr nepārsteigsimies ar šādu secinājumu!Kā redzēsim turpmāk, tad, pateicoties tieši šim lielumam v 1 v 2 /c 2 , «gluži ikdienišķosapstākļos» rodas kustīgu lādiņu magnētiskās mijiedarbības spēks.Divu kustīgu objektu savstarpējās, relatīvās kustības ātrums atrodams līdzīgi.Aplūkosim gadījumu, kad ir divi kuģi un to ātrumi v 1 un v 2 doti attiecībā pret krastu(2.5 att.). Šajā gadījumā tāpat lietojama izteiksme (2.14), tikai jāmaina zīme vienamno ātrumiem. Tad pirmā objekta (kuģa) ātrums attiecībā pret otro irv1− v2v r = .v1v2v1−1 2cMums turpmāk būs vajadzīgsrelatīvās kustības ko-v 2eficients γ, izteikts ar atsevišķoobjektu kustības ātrumiem.Tas iegūstams no (2.12), mainotzīmi viena ātruma priekšā:2.4. att. Kuģu ātrumi attiecībā pret krastu ir v γ r = γ 1 γ 2 (1−v 1 v 2 /c 2 1 un v 2. .), (2.15)Kāds ir to savstarpējās, relatīvās kustības ātrums? kur koeficientos γ 1 un γ 2 lietotiattiecīgi ātrumi v 1 un v 2 . Kāredzams, tad γ r nav atkarīgs no tā, par kura objekta relatīvo ātrumu mēs interesējamies− abos gadījumos (2.15) izteiksmes iekavās ir mīnusa zīme.2.3.4. Sakars starp masu un enerģiju. Einšteina formula.Sakarība starp masu un enerģiju mūsu turpmākajam izklāstam nebūs sevišķisvarīga, taču, ja jau vajadzības spiesti esam nonākuši tik tuvu šim fizikā būtiskajamjautājumam, tad aplūkosim arī to.Atgriezīsimies pie jau agrāk definētā impulsa (kustības daudzuma) 4-vektora(2.10'):⎛ ⎞⎜v x⎟⎜ v ⎟yp = mu= mγ⎜⎟⎜ v z ⎟⎜ ⎟⎝c⎠Kā redzams, tad šī 4-vektora trīs telpiskās komponentes sakrīt ar "parastā" impulsa(mv) komponentēm, reizinātām ar γ. Kāda jēga ir ceturtajai komponentei p t =γmc? Laito noskaidrotu, izvirzīsim lielumu p t c pakāpju (Maklorena) rindā pēc mainīgā β 2 =v 2 /c 2:28

p t c=γmc 2 mc= .21− βTad iegūst2 42 mv3mvp t c = mc + + +...22 8cOtrais saskaitāmais šajā izteiksmē ir kustīga ķermeņa kinētiskā enerģijaŅūtona mehānikā. Tātad arī pārējie saskaitāmie šeit interpretējami kā enerģijas. Sākotar trešo, visi saskaitāmie satur attiecību v 2 /c 2 un mazu ātrumu gadījumā ir atmetami.Tie acīmredzot ir kinētiskās enerģijas precizējumi relativitātes teorijā. Taču pirmaissaskaitāmais principiāli atšķiras no pārējiem ar to, ka tas nesatur ātrumu v un navvienāds ar nulli arī tad, ja ķermenis ir nekustīgs. A.Einšteins šo lielumu interpretēja kāķermenī ar masu m esošo enerģijas daudzumu, t.s. miera stāvokļa enerģiju:2E 0 = mc 2(2.16)Kā pierādījies vēlāk, tad šī interpretācija ir pilnīgi pareiza: atbrīvojot daļu no vielāesošā enerģijas daudzuma, tās masa samazinās, rodas t.s. «masas defekts», kuru varkonstatēt, piemēram, atomu kodolreakcijās (citos gadījumos, piemēram, ķīmiskāsreakcijās, t.sk. sadegšanas procesos masas defekts ir ap 10 -10 no reaģējušās masas unto ir grūti konstatēt). Līdz ar to lielumsp t c=γmc 2 2mc= =E (2.17)21− βir interpretējams kā kustīga ķermeņa pilnā enerģija E, kas bez parastās kinētiskāsenerģijas un tās precizējumiem lielu ātrumu gadījumā ietver vēl arī miera stāvokļaenerģiju. Tātadp t =E/c,t.i., impulsa 4-vektora ceturtā komponente ir vienāda ar pilno enerģiju, dalītu ar c.mLielumu= M dažkārt interpretē kā no ātruma atkarīgu masu. Tad no (2.17)1−v2/ c2iegūst E = Mc 2 , ko savukārt interpretē kā «masas un enerģijas ekvivalenci», jo pilnā enerģija E un noātruma atkarīgā «masa» M atšķiras vienīgi ar konstanto reizinātāju c 2 .Izpētot šo jautājumu sīkāk, tomēr redzams, ka šāda interpretācija nav pamatota. Lielumu Mnevar interpretēt kā masu, jo tas nevar kalpot ne kā ķermeņa inerces ne gravitācijas mijiedarbības mērs.Tā, piemēram, relativitātes teorijā var parādīt, ka spēks F, kas darbojas uz kustīgu ķermeni, un tāiegūtais paātrinājums a vispārīgā gadījumā nemaz nav paralēli viens otram. Tādēļ šāda ķermeņa masuvairs nevar definēt kā spēka un paātrinājuma attiecību, jo dalīšana ar vektoru nav iespējama. Runāt vartikai par «miera stāvokļa masu» m, nekādai citai masai nav jēgas.Pareiza ir Einšteina formula (2.16), kas apgalvo, ka katrai masai piemīt sava enerģija, tačupretējs apgalvojums, ka katrai enerģijai atbilst sava masa, nav pamatots.29

3. Magnētiskā mijiedarbība3.1. Elektrostatiskā lauka pārveidošanās kustīgās koordinātu sistēmās.Aplūkosim gadījumu, kad telpā ir homogēna elektriskā lauka intensitāteE = E y . Tāds lauks rodas telpā starp liela plakana uzlādēta kondensatora klājumiem,kuri ir paralēli x,z plaknei (3.1. att.). Lādiņi ir savstarpēji nekustīgi un attiecībā prettiem nekustīgs novērotājs var izmērīt intensitātes lielumu E y . Kādu intensitāteslielumu izmērīs novērotājs, kurš kustas x-ass virzienā ar ātrumu v = v x telpā starpklājumiem?− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −yE yE yv xx+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +3.1. att. Novērotāja kustības virzienamperpendikulārā E vektora komponentepalielinās, bet paralēlā − nemainās.Elektrisko lauku kondensatorā rada pozitīvie un negatīvie lādiņi, kas ļoti plānāslānī uzkrājas uz vadošā materiāla klājumu virsmas. Šādus lādiņus raksturo ar lādiņuvirsmas blīvumu σ (C/m 2 ). Saprotams, ka intensitātes E y lielumu nosaka šis lādiņuvirsmas blīvums; E y ir proporcionāla σ. (Var parādīt, ka mūsu apstākļos E y = σ/εε o ,taču mums šajā gadījumā svarīgi ir tikai tas, ka lielumi E y un σ ir tieši proporcionāliviens otram.)Elektriskais lādiņš nav atkarīgs no novērotāja kustības ātruma (lādiņainvariance), taču to nevar teikt par lādiņu blīvumu. Novērotājam kustoties x-assvirzienā, saīsinās šajā virzienā vērstie nogriežņi: ∆x' = ∆x/γ (sk. 2.3.1. un 2.3. att.).Līdz ar to samazinās arī x,z plaknei paralēlie laukumi, un kustīgā novērotāja noteiktaislādiņu virsmas blīvums σ' ir lielāks nekā nekustīgajam novērotājam: σ' = γσ. Tādēļkustīgā novērotāja izmērītā intensitāte ir lielāka: E y ' = γE y .Līdzīgu rezultātu iegūsim arī tad, ja kustība notiek z-ass virzienā (t.i.,perpendikulāri 3.1. attēla plaknei), jo tad saīsinās z-ass virzienā vērstie nogriežņi, kastāpat izraisa uzlādētā laukuma samazināšanos un lādiņu virsmas blīvumapalielināšanos. Turpretī, ja kustība notiek y-ass virzienā (t.i., paralēli elektriskā laukaintensitātes virzienam), E y lielums nemainās, jo šāda kustība neizraisa uzlādētālaukuma maiņu.Vispārinot šos secinājumus, varam teikt, ka kustības virzienam paralēlāelektriskā lauka intensitātes komponente nemainās, bet perpendikulārā pieaug (jo, kāzināms, γ >1):; اا = E ' اا EE ⊥ ' = γE ⊥ .(3.1)Atzīmēsim tomēr, ka iegūtās elektriskā lauka transformāciju formulaskustīgām koordinātu sistēmām (3.1) nav vispārīgas. Iegūstot tās, mēs pieņēmām, ka ir30

tāda koordinātu sistēma, kurā visi lauku radošie lādiņi ir nekustīgi. Ja tas tā nav, tadšīs formulas būtiski jāpapildina (sk. 3.4).3.2. Kustīgu lādiņu mijiedarbība.Kulona likums (1.1) nosaka nekustīgu lādiņu mijiedarbības spēku. Aplūkosimtagad, kas mainās, ja lādiņi atrodas kustībā attiecībā pret «nekustīgu» novērotāju.Pieņemsim, ka divi lādiņi q 1 un q 2 kustas attiecībā pret novērotāju ar ātrumiemv 1 un v 2 (3.2. att.). Pieņemsim arī, ka abi ātrumi ir paralēli x-asij.yq 2r oE yv 2rE xαqv 11αx3.2. att. Ja abi lādiņi kustas attiecībā pretnovērotāju, tad novērotājs bez parastā «Kulona»spēka konstatēs arī magnētiskās mijiedarbībasspēka rašanos.Turpmāk mums būs jārīkojas ar lielumiem, kas izteikti dažādās koordinātusistēmās. Apzīmēsim ar indeksu 1 lielumus ar pirmo lādiņu nekustīgi saistītākoordinātu sistēmā, ar 2 − sistēmā, kurā nekustīgs ir otrais lādiņš, bet bez indeksa −lielumus novērotāja koordinātu sistēmā.Lai noteiktu, ar kādu spēku pirmais lādiņš iedarbojas uz otro no nekustīgānovērotāja redzes viedokļa, var rīkoties šādi:1) jāatrod elektriskā lauka intensitāte E 1 , kādu pirmais lādiņš rada punktā, kurāatrodas q 2 ;2) jātransformē šī intensitāte uz otrā lādiņa koordinātu sistēmu, iegūstot E 2 ;3) jāatrod spēks F 2 , kāds darbojas uz otro lādiņu viņa koordinātu sistēmā;4) jāuzraksta spēka 4-vektors f 2 otrā lādiņa koordinātu sistēmā;5) jātransformē f 2 uz «nekustīgo» koordinātu sistēmu, iegūstot 4-vektoru f ;6) zinot f, jāatrod spēks F.Intensitāte E 1 iegūstama no izteiksmes (1.2):q1oE1= r .24πε or(Stingri ņemot, šajā izteiksmē būtu jālieto r 1 − attālums starp lādiņiem, izteikts pirmālādiņa koordinātu sistēmā. Taču turpmāk mēs aprobežosimies tikai ar maziemkustības ātrumiem, kad niecīgo attālumu atšķirību dažādās koordinātu sistēmās var31

neievērot. Tas pats attiecas arī uz leņķi α, kuru elektriskā lauka intensitāte veido ar x-asi.)Lai transformētu E 1 uz otrā lādiņa koordinātu sistēmu, vispirms sadalām tokomponentēs:q1cosαq sinαE1x= ; E1;2 1 y=24πεor4πεorTagad transformācijai var lietot izteiksmes (3.1). Komponente E 1x ir paralēla kustībasātrumiem, tādēļ tā nemainās − E 2x = E 1x . Taču, transformējot E y komponenti, tājāreizina ar koeficientu γ, kurš satur abu lādiņu savstarpējās kustības ātrumu. Šīkoeficienta, t.i., γ r izteiksme ar ātrumiem v 1 un v 2 (2.15) iegūta jau agrāk. Tātadv1v2E2y= γ r E1y= γ1γ2( 1−) E2 1y.cEsam ieguvuši elektriskā lauka intensitāti, kas darbojas uz q 2 ar šo lādiņunekustīgi saistītā koordinātu sistēmā. Tāpēc spēks nosakāms pēc definīcijas:F 2 = q 2 E 2 jeb − pa komponentēm:q1q2cos αF2x= q2E2x= ;(3.2)24πε rF2y= q2E2yov1v2q1q2sinα= γ1γ2(1 − ) =2c24πεorq1q2sinαq1q2v1v2sinα= γ1γ2− γ1γ2.(3.3)22 24πεor4πεocrLai iegūtu spēka 4-vektoru f 2 otrā lādiņa koordinātu sistēmā, jāizmantoizteiksme (2.10''). Šajā izteiksmē v ir aplūkojamā ķermeņa (mūsu gadījumā − lādiņaq 2 ) kustības ātrums lietotajā koordinātu sistēmā. Tā kā otrā lādiņa koordinātu sistēmāq 2 ir nekustīgs, tad izteiksmē (2.10'') jāliek v = 0, γ = 1. Tātad:⎛ ⎞⎜ F2x⎟⎜ ⎟f = ⎜ ⎟ .2 ⎜F 2y⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎝ 0 ⎠Lai iegūtu spēka 4-vektoru f novērotāja koordinātu sistēmā, var izmantotLorenca transformācijas matricu veidā (2.8), rādiusvektora komponenšu vietā liekotspēka 4-vektora komponentes, jo transformācijas (2.8) ir pareizas jebkuram 4-vektoram. Koeficientos γ un β jālieto ātrums v 2 , jo tas ir otrā lādiņa koordinātusistēmas ātrums attiecībā pret novērotāju. Tad iegūst:⎛ γ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ 20 0 − β2γ2 ⎟F⎜ 2xγ⎟ ⎜ 2F2x ⎟⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ F2y⎟ ⎜ F2y⎟f = ⎜⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . (3.4)⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎝−β2γ20 0 γ2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠Salīdzinot iegūto f izteiksmi (3.4) ar (2.10''), redzams, ka γ 2 F x = γ 2 F 2x unγ 2 F y = F 2y . Tātad spēka komponentes novērotāja koordinātu sistēmā ir šādas:F x = F 2x un F y = F 2y / γ 2 ,32

t.i., ātrumam paralēlā komponente F x nav mainījusies, bet, nosakot perpendikulārokomponenti F y , izteiksmē (3.3) saīsinās γ 2 .Aprobežojoties ar maziem kustības ātrumiem, kad γ 1 ≈ 1, iegūstam šādasspēka komponenšu izteiksmes:q1q2cosαF x = ;(3.5)24πε roq1q2sinαq1q2v1v2sinαF y = −.(3.6)22 24πε or4πε ocrRedzams, ka F x un komponentes F y pirmais saskaitāmais ir tādi paši kānekustīgu lādiņu gadījumā. Rodas jautājums − vai izteiksmes (3.6) otrais saskaitāmaismazu ātrumu gadījumā arī nebūtu atmetams tāpat kā γ 1 un tāpat kā leņķa α unattāluma r vietā mēs visu laiku lietojam lielumus no novērotāja koordinātu sistēmas?Šis saskaitāmais taču satur mazu reizinātāju v 1 v 2 /c 2 , kurš šeit iekļuva no relatīviskāātrumu saskaitīšanas likuma, no γ r izteiksmes (2.15).Patiešām, ja aplūkojam divus kustīgus punktveida lādiņus, tad mazu(«ikdienišķu») ātrumu gadījumā izteiksmes (3.6) otrais saskaitāmais ir miljoniemreižu mazāks par pirmo un to nav iespējams izmērīt, kaut arī lādiņi q 1 un q 2 varētu būtvisai lieli un otrais saskaitāmais sasniegtu simtus un tūkstošus ņūtonu lielu spēku, arkādu varētu, piemēram, izkustināt no vietas trolejbusu. Attiecīgi daudzkārt lielāksbūtu arī pirmais saskaitāmais.Tomēr varam iedomāties eksperimentu, kurā otro saskaitāmo ir iespējamsizmērīt. Pieņemsim, ka telpā atrodas vēl trešais lādiņš q 3 , kurš ir nekustīgs attiecībāpret novērotāju, turklāt q 3 = −q 1 un apskatāmajā laika momentā kustīgais lādiņš q 1atrodas lādiņa q 3 tiešā tuvumā. Tad izteiksmē (3.5) un (3.6) pirmajā saskaitāmajā q 1vietā jāliek q 1 +q 3 = 0. Bet (3.6) otrajā saskaitāmā − vai arī tur q 1 vietā jāliek q 3 ? Nē!Lādiņš q 3 taču nekustas, uz to neatticas ne v 1 ne v 2 ! Tātad šādos apstākļos (3.6) pirmāsaskaitāmā traucējošā ietekme izzūd, un otro saskaitāmo būtu iespējams izmērīt.Šādu eksperimentu ar 3 lādiņiem tomēr nav vajadzīgs izdarīt. Dabā pastāv arītādi apstākļi, kas ir līdzīgi minētā eksperimenta apstākļiem. Elektrovadošajosmateriālos − metālos − daļa elektronu (t.s. vadītspējas elektroni) var samērā brīvipārvietoties visā metāla tilpumā, visu laiku paliekot elektriski kompensēti arnekustīgajiem kristāliskā režģa pozitīvajiem atomu kodolu lādiņiem. Ārēja elektriskālauka ietekmē vadītspējas elektroni iegūst vairāk vai mazāk izteiktu virzes kustību −rodas elektriskā strāva, turklāt kustīgo lādiņu daudzums var būt visai liels. Varnovērtēt, ka viens gramatoms metāla satur ap 10 5 kulonu kustīgo negatīvo lādiņu.Tādēļ spēks, ar kādu elektriskā strāva spēj iedarboties uz kustīgu lādiņu vai citustrāvu, var būt visai ievērojams, kaut arī vadītspējas elektronu virzes kustības ātrumsparastos apstākļos sasniedz tikai dažus cm/s.Līdz ar to redzams, ka vispārīgā gadījumā (3.6) izteiksmes otro saskaitāmotomēr nevar atmest. Turpinot tā izpēti, apzīmēsim to ar F m un sauksim par magnētiskāsmijiedarbības spēku:q1q2v1v2sinαFm= −. (3.7)2 24πε c ro3.3. Magnētiskais lauks. Magnētiskā lauka indukcijas vektors.Izteiksme (3.7) iegūta gadījumā, kad abi lādiņi kustas x-ass virzienā. Ja lādiņuzīmes ir vienādas (t.i., q 1 q 2 > 0), tad magnētiskās mijiedarbības spēks F m (kas ir daļano F y komponentes (3.6) izteiksmē) vērsts pretēji y-asij; uz to norāda mīnusa zīme33

(3.7) izteiksmes priekšā. Šis spēks darbojas plaknē, kurā atrodas r (3.2. att.) − īsākaisattālums starp lādiņiem.Šie apsvērumi ļauj uzrakstīt izteiksmi (3.7) vektoriālā formā:oq1q2v 2 × ( v1× r )Fm=2 24πεocr. (3.8)Lielums r o šeit ir vienības vektors, vērsts no punkta, kurā atrodas iedarbībasspēku izraisošais lādiņš (q 1 ), uz punktu, kurā šo spēku meklējam (q 2 ). Reizinājumsv 1 × r o veido vektoru, kas vērsts perpendikulāri 3.2. attēla plaknei virzienā uzskatītāju, bet v 2 vektoriālais reizinājums ar to − vektoru, kas atrodas 3.2. attēla plaknē,vērstu uz leju pretēji y-asij kā to nosaka arī izteiksme (3.6). Vektora v 1 × r o lielums irv 1 sinα, jo r o = 1, bet│v 2 ×(v 1 × r o )│= v 1 v 2 sinα, jo leņķis starp vektoriem v 2 un v 1 × r oir 90 o un tā sinuss vienāds ar 1. Tātad izteiksme (3.8) dod to pašu rezultātu, ko (3.7).Izteiksmi (3.8) lieto arī patvaļīgiem lādiņu kustības virzieniem v 1 unv 2 .Šāds vispārinājums var izraisīt iebildumus: vai rezultātu, kas iegūts, aplūkojot lādiņu paralēlukustību, drīkst vispārināt patvaļīgiem kustības virzieniem? Turklāt izteiksme (3.8) gadījumā, ja vektoriv 2 un v 1 nav paralēli viens otram, dod dažādus spēkus, kas darbojas uz pirmo un otro lādiņu, t.i.,Ņūtona trešais likums vismaz tā mehāniskajā izpratnē, ka darbība vienāda ar pretdarbību, šeit navspēkā.Mēs šeit neiedziļināsimies polemikā, kas saistīta ar šo jautājumu, kā attaisnojumu vispārinājumamminot to, ka tas nerada nekādas pretrunas ar eksperimentu rezultātiem. Gluži otrādi − noizteiksmes (3.8) var matemātiski iegūt rezultātus un matemātiskas sakarības, kuras fizikā bieži postulētikai kā eksperimentāli konstatētus faktus.Lai skaidrotu, kā kustīgais lādiņš q 1 var iedarboties uz kustīgo q 2 , kuršneatrodas pirmā lādiņa tiešā tuvumā, bet gan attālumā r no tā, ievieš magnētiskālauka jēdzienu. Saka, ka kustīgs lādiņš (q 1 ) rada telpā magnētisko lauku, kurš pastāvneatkarīgi no tā, vai ir vēl cits kustīgs lādiņš (q 2 ), uz kuru tas varētu iedarboties, vaiarī tāda nav. Magnētisko lauku katrā telpas punktā raksturo ar magnētiskā laukaindukcijas vektoru B.Kustīga punktveida lādiņa radītās magnētiskā lauka indukcijas izteiksmēsakopo (3.8) izteiksmes tos lielumus, kuri attiecas uz lādiņu q 1 un to telpas punktu,kurā nosakām vektoru B, atstājot «ārpusē» lielumus, kas raksturo otro lādiņu (q 2 unv 2 ). Ievieš arī apzīmējumu1/(ε o c 2 ) = µ o .Konstanti µ o sauc par magnētisko konstanti. Tās lielums ir µ o = 4π·10 -7 H/m (henrijiuz metru; 1 H = 1 Vs/A).Tadµ oqB =(1)( v(1)2× ro). (3.9)4π rSpēks, kāds darbojas uz kustīgu lādiņu, kurš atrodas magnētiskajā laukā B saskaņā ar(3.8) irF (2) = q (2) v (2) ×B. (3.10)(Indeksi 1 un 2 izteiksmēs (3.9) un (3.10) saskaņoti ar iepriekšējo izklāstu, taču tielikti iekavās, jo ne jau vienmēr lādiņiem būs šādi apzīmējumi. Jāsaprot, ka (3.9) dodkustīga lādiņa radīto magnētiskā lauka indukciju, bet (3.10) − spēku, kāds darbojas uzlādiņu, kurš kustas magnētiskajā laukā B.)No (3.10) var iegūt B mērvienību: N·s/(C·m) = V·s/m 2 = T. Šo vienību saucpar teslu.Rezultējošais spēks, kas darbojas uz kustīgu lādiņu q elektriskajā laukā arintensitāti E un magnētiskajā laukā ar indukciju B, ir34

F = q(E + v × B). (3.11)Šo spēku sauc par Lorenca spēku.3.4. Elektriskā un magnētiskā lauka transformāciju formulas kustīgāskoordinātu sistēmās.Elektrostatiskā lauka pārveidošanos kustīgās koordinātu sistēmās jauaplūkojām 3.1. sadaļā. Tur iegūtās formulas (3.1) attiecās uz gadījumu, kad eksistētāda koordinātu sistēma, kurā visi lādiņi ir nekustīgi, t.i., šie lādiņi ir arī savstarpējinekustīgi. Ja tas tā nav, tad kustīgie lādiņi izraisa telpā arī magnētisko lauku, kuraietekme jāievēro arī transformāciju formulās. Šo ietekmi var iegūt, izmantojotLorenca spēka izteiksmi (3.11).Ja novērotājs ar vienmērīgu ātrumu v kustas elektriskajā un magnētiskajālaukā, uz viņa koordinātu sistēmā nekustīgu lādiņu darbojas spēks q(E + v × B). Tačunovērotājam ir pilnīgas tiesības uzskatīt sevi par nekustīgu. Viņš tikai konstatēs, kaelektriskā lauka intensitāte telpā ir E' = E + v × B.Vektors v × B ir perpendikulārs vektoram v, tāpēc magnētiskā lauka klātbūtneātrumam paralēlo E vektora komponenti neizmaina, mainās tikai ātrumamperpendikulārā komponente. Ja negribam aprobežoties tikai ar maziem kustībasātrumiem, tad transformācijas formulā jāsaglabā arī koeficients γ no (3.1).(Atcerēsimies, ka, orientējoties tikai uz maziem ātrumiem, izteiksmē (3.6), no kurasizrietēja B definīcija (3.9), tika atmests γ 1 .) Tādēļ vispārīgā gadījumā; اا = E ' اا EE ⊥ ' = γ[E ⊥ + (v×B) ⊥ ].(3.12)Nelielu ātrumu gadījumā, kad γ ≈ 1, formulas (3.12) attiecīgi vienkāršojas:; اا = E ' اا EE ⊥ ' = E ⊥ + (v×B) ⊥ .(3.12')Lai iegūtu magnētiskā lauka transformāciju formulas, salīdzināsim punktveidalādiņa radītā elektriskā lauka intensitātes un magnētiskā lauka indukcijas izteiksmes(1.2) un (3.9):oq oµ oq(v × r )E = r un B =.224πε o r4π rRedzams, ka ir pareiza šāda sakarība: B = µ o ε o (v×E). Šajā izteiksmē v ir lādiņakustības ātrums attiecībā pret novērotāju. Transformāciju formulās nepieciešamsnovērotāja − koordinātu sistēmas kustības ātrums attiecībā pret lauka avotiem, šajāgadījumā − pret lādiņu q. Tas, protams, ir –v. Tādēļ transformāciju formulās pēdējāsizteiksmes priekšā jāliek mīnusa zīme. Vektors v×E, protams, ir perpendikulārsātrumam, tātad novērotāja kustība elektriskajā laukā ietekmē tikai ātrumamperpendikulāro magnētiskā lauka indukcijas komponenti. Ātrumam paralēlākomponente nemainās. Bez tam, nosakot perpendikulāro komponenti, līdzīgi kāelektriskajā laukā lielu ātrumu apstākļos jāievēro arī koeficients γ. (Iztiksim bez šīapgalvojuma pilna pierādījuma.)Tātad35

; اا = B ' اا BB ⊥ ' = γ[B ⊥ − µ o ε o (v×E) ⊥ ];(3.13)jeb mazu ātrumu gadījumā; اا = B ' اا BB ⊥ ' = B ⊥ − µ o ε o (v×E) ⊥ .(3.13')Iegūtās elektriskā un magnētiskā lauka transformāciju formulas mums vēlāk(sk. 6.nod.) ļaus izdarīt ļoti svarīgus secinājumus par laikā mainīgu elektrisko unmagnētisko lauku mijiedarbību. Pagaidām atzīmēsim vienīgi to, saskaitāmais v×Bformulās (3.12) un (3.12') (t.s. inducētā elektriskā lauka intensitāte) praktiski jāievērogandrīz vienmēr, kad notiek kustība magnētiskajā lauka. Tieši pateicoties šimsaskaitāmajam, darbojas, piemēram, elektriskie ģeneratori un transformatori.Saskaitāmā v×E priekšā formulās (3.13) un (3.13') ir reizinātājs µ o ε o = 1/c 2 ,kas ir ļoti mazs lielums. Tādēļ praksē daudzos gadījumos šo saskaitāmo var neievērot.Tomēr, ja šā saskaitāmā nebūtu, tad nebūtu iespējama elektromagnētisko viļņurašanās un izplatīšanās.3.5. Magnētiskā lauka intensitāte.Galvenais magnētisko lauku raksturojošais lielums ir magnētiskā laukaindukcijas vektors B. No tā atkarīgs spēks, ar kādu magnētiskais lauks iedarbojas uzkustīgiem lādiņiem, t. sk. − uz elektriskajām strāvām, kā arī inducētā elektriskā laukaintensitāte v×B. Magnētisko lauku var radīt kustīgi lādiņi, elektriskā strāva, kā arīmagnetizēta viela.Jebkurā vielā ir elementāri magnētiskie momenti; magnētiskais moments(spins) piemīt daudzām elementārdaļiņām, t. sk. elektroniem. Šāda daļiņa radamagnētisko lauku, kas ir līdzīgs noslēgtas strāvas magnētiskajam laukam. Ievietojotvielu ārējā magnētiskajā laukā, elementārie magnētiskie momenti iegūst vairāk vaimazāk izteiktu kopēju orientāciju, viela sāk radīt arī pati savu magnētisko lauku.Vairumam vielu šī kopējā orientācija ir vāji izteikta un tehnikā to var neievērot.Tomēr ir t.s. feromagnētiskās vielas, kuras magnetizējas ļoti stipri, un šādas vielasklātbūtne ievērojami pastiprina rezultējošā magnētiskā lauka indukciju.Vielas spēju magnetizēties raksturo tās relatīvā magnētiskā caurlaidība µ.Šādā vielā magnētiskā lauka indukcija ir µ reizes lielāka nekā tā būtu vakuumā, jaārējie lauka avoti ir vieni un tie paši.Nereti ir lietderīgi atdalīt ārējo avotu (piemēram, elektrisko strāvu) radītolauku no rezultējošā lauka. Šajā nolūkā lieto magnētiskā lauka intensitāti − vektoruH. Neiedziļinoties vielas magnetizācijas procesu niansēs, definēsim šeitH = B/µµ o jeb B = µµ o H. (3.14)H mērvienība ir A/m, ko var iegūt no (3.14), ievērojot, ka µ ir nenosaukts skaitlis.36

4. Elektriskās strāvas magnētiskais lauks4.1. Bio-Savara-Laplasa formulaIepriekšējā nodaļā noskaidrojām, ka atsevišķu kustīgu lādiņu magnētiskāsmijiedarbības spēks «parastos» apstākļos ir niecīgs salīdzinājumā ar elektriskāsmijiedarbības (Kulona) spēku. Pavisam citādi tas ir elektrisko strāvu gadījumā, kadvadītspējas elektronu pārnestais lādiņš var būt visai liels. Kā noteikt strāvas radītomagnētisko lauku?Aplūkosim vadu l, pa kuru plūst elektriskā strāva ar stiprumu i ∗) (4.1. att.).Vada elementa vektora dl virziens sakrīt ar strāvas virzienu, tajā ietvertais kustīgaislādiņš ir dq, kas apskatāmajā telpas punktā rada elementāru magnētiskā laukaindukciju dB. Lai noteiktu dB, var izmantot (3.9)lizteiksmi, aizvietojot tajā q ar dq:oµ o ( dqv× r )dldB=.α24π rir ordB4.1. att. Strāvas elementa idl radītāmagnētiskā lauka indukcija dB irperpendikulāra plaknei, kurā atrodasdl un attālums r no dl līdz punktam,kurā nosaka dB.z = l/2dlzz = 0iz = −l/2zαβro4.2. att. Taisna vada radītā magnētiskālauka indukcija vērsta perpendikulāriplaknei, kas iet caur vadu unapskatāmo punktu. Ja strāva plūst uzaugšu, vektors B vērsts projām noskatītāja.arθθ×Tā kā i = dq/dt un v = dl/dt, taddqv = idl. (4.1)Tad iegūst šādu vada elementa dl radīto magnētiskālauka indukciju:oµ oi(dl× r )dB= . (4.2)24π rr o šeit tāpat kā iepriekš ir vienības vektors, kas vērstsvirzienā no lauka avota (idl) uz punktu, kurā meklējamdB.Kā redzams no izteiksmes (4.2), tad vektorsdB ir perpendikulārs plaknei, kurā atrodas dl un r, tāvērsums saskaņots ar dl (t.i., strāvas) virzienuatbilstoši «labās skrūves» likumam.Lai iegūtu kopējo visa vada l strāvas radītolauka indukciju, izteiksme (4.2) jāintegrē pa šo līniju(l):oµ o i ( dl× r )B =π ∫. (4.3)l24 rŠo izteiksmi sauc par Bio-Savara-Laplasa formulu.Izteiksmes (4.3) ir pareiza vakuumā vaihomogēnā vidē, kur µ = const. Pēdējā gadījumā µ ojāaizvieto ar reizinājumu µµ o .Vispārīgā gadījumā magnētiskā laukaindukcijas B noteikšana, izmantojot (4.3), var būtdiezgan sarežģīta. Vektoriālais reizinājums dl × r ojāsadala komponentēs pa koordinātu asīm un katrano tām jāintegrē atsevišķi, tā iegūstot vektora Batbilstošās komponentes. Ar dl apejot visu kontūru l,vispārīgā gadījumā mainās kā attālums r no dl līdz∗ Strāvas stiprums i, kā zināms no elementārā fizikas kursa, ir vienāds ar lādiņu daudzumu, kas laikavienībā iziet caur vadītāja šķersgriezumu. To mēra ampēros; 1A= 1C/s.37

punktam, kurā nosaka B, tā arī leņķis starp vektoriem dl un r o .4.2. Taisna vada magnētiskais lauksAplūkosim taisnu vadu ar garumu l, pa kuru plūst strāva i (4.2. att.), unnoteiksim magnētiskā lauka indukciju punktā, kurš atrodas attālumā a no vada tiešipret tā viduspunktu.Izmantojot Bio-Savara-Laplasa formulu, vispirms ievērosim, ka, apejot ar dlvisu vadu, vektori dl un r o visu laiku atrodas vienā un tajā pašā plaknē − tajā, kas ietcaur vadu un to punktu, kurā meklējam B. Tādēļ visu elementāro vektoru dB virzieniir vienādi − tie visi ir perpendikulāri minētajai plaknei (t.i., 4.2. attēla zīmējumaplaknei) un vērsti projām no skatītāja kā to nosaka vektoriālā reizinājuma dl × r ovirziens. Līdz ar to pietiek aprēķināt tikai vienu skalāru integrāli.Ja vads l sakrīt ar z-asi, tad dl = dz, |dl × r o |= dzsinα, r 2 = a 2 +z 2 . Tā kāα = 180 0 −β, tad sinα = sinβ =a/r. Tad formula (4.2) pārveidojas šādi:µ oiB =4πl / 2∫−l/ 2( a2adz+ zKā redzams 4.2. attēlā, tadµizl / 2oo==2 3 / 2) 4πa2 2 4π 2 l 2a + z a−l/ 2 a + ( ) .2al/ 22+ (l )22=sinθµi, kur θ ir leņķis, ko veido a arnogriezni, kurš savieno apskatāmo punktu ar vada galu. Tātadµ o isinθB = . (4.4)2πaJa vads ir ļoti garš (teorētiski − bezgalīgi garš), tad θ → 90 0 un sinθ →1. Tātadlµ o iB = , (4.5)2 π rbezgalīgi garam vadamkur ar r apzīmēts attālums no vada līdz punktam, kurā nosaka B.Aplūkojot vektoru B punktos, kas atrodasdažādās plaknēs, redzams, ka šis vektors arvienvērsts perpendikulāri īsākajam attālumam no punktalīdz vadam. Tātad taisna vada gadījumā vektora BIB spēka līnijas ir vadam koncentriski riņķi (jo riņķalīnijas pieskare ir perpendikulāra rādiusam). Uz šīsB līnijas turklāt B = const (jo r = const). Magnētiskā4.3. att. Taisna vada magnētiskālauka spēka līnijas ir vadam koncentriskiriņķi (melnās līnijas).Sarkanie vektori rāda B virzienu.(Pieņemts, ka strāva I plūst virzienāprojām no skatītāja.)lauka aina taisna vada apkārtnē parādīta 4.3. attēlā.Arī vispārīgā gadījumā (ja vads nav taisns)spēka līnijas ir noslēgtas, tās nekur nesākas unnebeidzas. Ar to magnētiskais lauks būtiski atšķirasno lādiņu radīta elektriskā lauka, kurā spēka līnijassākas un beidzas lādiņos.Tāpat kā elektriskā lauka intensitāte arī magnētiskālauka indukcija pakļaujas superpozīcijasprincipam. Vairāku magnētiskā lauka avotu (strāvu) radīto kopējo magnētiskā laukaindukciju var iegūt, vektoriāli saskaitot indukcijas vektorus, ko rada katrs avots38

I 1Br 1B 2I 2r 24.4. att. Divu strāvu radītā kopējā magnētiskālauka indukcija B atrodama kāatsevišķo strāvu radīto indukciju B 1 unB 2 vektoriāla summa.B 1atsevišķi. Tā, piemēram, ja kopējo magnētiskolauku rada strāvas I 1 un I 2 , kas perpendikulāri4.4. attēla plaknei plūst divos ļoti garos taisnosvados, tad no izteiksmes (4.5) var iegūtlielumus B 1 un B 2 apskatāmajā lauka punktā,ievietojot tajā pārmaiņus attālumus r 1 , r 2 unstrāvu vērtības I 1 , I 2 . Tā kā r 1 un r 2 ir atsevišķostrāvu radīto lauku spēka līniju (riņķu) rādiusi,tad vektori B 1 un B 2 ir perpendikulāri šiem nogriežņiem.Vektoru vērsumu (uz augšu vaileju) nosaka strāvu virzieni vados. 4.4. attēlāpieņemts, ka I 1 plūst projām no skatītāja, bet I 2− virzienā uz to.4.5. attēlā parādīta divu garu taisnuvadu kopējā magnētiskā lauka spēka līnijuaina, gadījumā, kad strāvas vados ir vienādas,bet plūst pretējos virzienos. (Uz šīm spēka līnijām B ≠ const; spēka līnijas pieskaresvirziens katrā tās punktā sakrīt ar vektora B virzienu, bet vektora lielums spēka līnijasdažādos punktos, vispār, ir dažāds. B = const uz spēka līnijas tikai atsevišķosgadījumos, piemēram, 4.3. attēlā.)4.5. att. Divu garu taisnu vadu radītā magnētiskā lauka spēkalīniju aina gadījumā, kad strāvas vados ir vienādas, bet plūstpretējos virzienos.4.3. Mehāniskie spēki magnētiskajā laukāIzmantojot (3.10) izteiksmi, iespējams noteikt spēku F, kāds darbojas uz vaduar strāvu, ja tas ievietots citas strāvas (vai pastāvīgā magnēta) radītā magnētiskajālaukā B.Tā kā saskaņā ar (4.1) dqv = idl, tad spēks dF, kāds darbojas uz vada elementuidl, ir šāds:dF = idl×B.Tad kopējais spēks, kas darbojas uz vadu l, atrodams, integrējot iepriekšējo izteiksmi:F = i∫ dl× B . (4.6)l39

Vispārīgā gadījumā l nav taisna līnija un arī ārējā avota radītā magnētiskā laukaindukcija B mainās telpā no punkta uz punktu. Tad vektoriālais reizinājums dl×Bjāsadala komponentēs pa koordinātu asīm un atsevišķi jānosaka spēka F komponentes.Vienkāršākajā gadījumā, ja vads ir taisns, bet B = const (t.i., pēc lieluma unvirziena), turklāt vektors B ir vērsts perpendikulāri vadam visos tā punktos, tad (4.6)vienkāršojas:F = ilB (4.7)Spēka virzienu nosaka vektoriālā reizinājuma l×B virziens − spēks ir perpendikulārskā vadam tā arī ārējam laukam B.Ja aplūkojam divu taisnu paralēlu vadu mehānisko mijiedarbību, tad redzams,ka pretējos virzienos vērstas strāvas atgrūžas (4.6. att. a). Šo rezultātu var vispārinātnoslēgtam strāvas kontūram: magnētiskie spēki vienmēr cenšas strāvas kontūruizplēst.Savukārt vienāda virziena strāvas pievelkas (4.6. att. b).Šo secinājumu varējām izdarīt jau 3.2. sadaļā, kur, aplūkojot divu lādiņu paralēlu kustību,ieguvām mīnusa zīmi magnētiskās mijiedarbības spēka F m = F y (3.7) priekšā. Tas nozīmē, ka kustīgaislādiņš q 1 cenšas tuvināt tādas pat zīmes lādiņu q 2 , kas kustas paralēlā virzienā (3.2. att.).a) b)BF (1)F F (1) F (2)(1) (2)I (1) I (2) I (1) I (2)B (2) B (1)B (2)4.6. att. Pretēja virziena strāvas atgrūžas (a), betvienāda − pievelkas (b).Izmantojot līdzīgus apsvērumus, iespējams paskaidrot vienkāršākā līdzstrāvaselektromotora darbības principu. Ja homogēnā (vai aptuveni homogēnā) magnētiskajālaukā ievieto plakanu strāvas kontūru, tad rodas griezesB moments, kas cenšas kontūru pagriezt tā, lai tā plaknebūtu perpendikulāra B virzienam (4.7. att.). Ja kontūrsnostiprināts uz ass un var griezties ap to, tad inerces dēļItas kaut nedaudz pagriežas pāri horizontālajam stāvoklim.FTajā momentā jāpārslēdz strāvas virziens kontūrā, līdz arko jaunais griezes moments nevis notur kontūru horizontāli,bet gan liek tam turpināt kustību. Tā, attiecīgajoslaika momentos pārslēdzot strāvas virzienu, iegūst nepārtraukturotāciju.FIB4.7. att. Uz noslēgtu strāvaskontūru magnētiskajā laukādarbojas griezes moments, kascenšas pagriezt kontūra plakniperpendikulāri B virzienam.40

5. Integrālās sakarības elektriskajā un magnētiskajā laukā5.1. Gausa teorēma elektriskā lauka intensitāteiHomogēnā vidē (ε = const) elektriskā lauka intensitāte apmierina Gausateorēmu: Summārā vektora E plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu ir vienāda arvirsmas aptverto elektrisko lādiņu, dalītu ar εε o (jeb vienāda ar nulli, ja virsma lādiņuneaptver).Vektora plūsma caur virsmu ir virsmas integrālis no vektora un virsmaselementa dS skalārā reizinājuma. Tātad Gausa teorēma uzrakstāma šādi:⎧ q⎪ , ja noslēgtā virsma S aptver lādiņu q;∫EdS= ⎨ εε oS(5.1)⎪ ⎩ 0 , ja virsma S lādiņu neaptver.Pārliecināsimies par Gausa teorēmas pareizību punktveida lādiņa elektriskajālaukā, ja par noslēgto virsmu izvēlēta lādiņam koncentriska sfēra (5.1. att.). Ievietojot(5.1) punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes izteiksmi (1.2), iegūstdSr o∫Sqro4πεεdSorq=224πεεor∫SqdS =4πεε ro2⋅4πr2q=εεŠeit ievērots, ka q, ε, un arī sfēras rādiuss r ir nemainīgilielumi, kurus var iznest ārpus integrāļa. Vektori r o undS ir paralēli viens otram visos sfēras punktos, tādēļŠīs sakarības pareizību var matemātiski pierādīt (mēs to šeit nedarīsim).Nehomogēnā vidē Gausa teorēmu lieto elektriskās indukcijas (nobīdes) vek-toram D:∫D dS = q . (5.2)qr o dS = r o dS = dS.∫dS savukārt vienāds ar visu virsmasSlaukumu, mūsu gadījumā − ar sfēras laukumu 4πr 2 .5.1. att. Punktveida lādiņam Ja lādiņu aptverošā virsma nav koncentriskakoncentriskas sfēras jebkurā sfēra, integrālis Gausa teorēmā kļūst daudz sarežģītāks.punktā vektori r o un dS ir paralēliun r o dS =dS.punktam un arī leņķis starp vektoriem r o un dS. TomērMainās attālums r no lādiņa līdz katram virsmasnav grūti saskatīt, ka Gausateorēmas pareizība saistīta tikai ar ģeometriju, bet navatkarīga no elektriskajām parādībām.Ja Gausa teorēma ir pareiza punktveida lādiņam, kas atrodas sfēriskāskoordinātu sistēmas centrā, patvaļīgas virsmas gadījumā, tad, ievietojot (5.1.)izteiksmē E vietā punktveida lādiņa lauka intensitātes izteiksmi (1.2), ar q/εε o varsaīsināt. Līdz ar to no (5.1) paliek tīri ģeometriska rakstura sakarība:o.∫Sr0 Srd2⎩ ⎨⎧ 4=π ,0 ,ja noslēgtā virsma S aptver koordinātu sākumu;ja virsma S koordinātu sākumu neaptver.SVispārīgā gadījumā Gausa teorēmu ir grūti izmantot intensitātes E vai vektoraD noteikšanai, ja dots lādiņu sadalījums telpā. Meklējamais lielums atrodas zemintegrāļa, tādēļ jārisina vairāk vai mazāk sarežģīts integrālvienādojums. Tomēr ir42

gadījumi, kad (parasti uzdevuma simetrijas dēļ) iespējams atrast tādas integrēšanasvirsmas, uz kurām E = const un nemainīgs ir arī leņķis starp vektoriem E un dS. TadE var iznest ārpus integrāļa un izteiksme (5.1) pārvēršas par vienkāršu algebriskuvienādojumu attiecībā pret E.Viens no šādiem gadījumiem aplūkots nākamajā sadaļā.5.2. Gara uzlādēta vada elektriskais lauksAplūko sim garu (teorētiski − bezgalīgi garu) vadu, vienmērīgi uzlādētu arlādiņu lineāro blīvumu τ (C/m). Vads novietots sakrītoši ar z-asi cilindriskajākoordinātu sistēmā (5.2. att.).Ja vadu var uzskatīt par bezgalīgi garu, tad vektorszE jebkurā telpas punktā vērsts radiālā virzienā; tas nevarpavērsties uz augšu vai leju, kā arī nevar novirzīties palabi vai kreisi no radiālā virziena, jo visi punkti, kasatrodas vienādā attālumā r no vada, atrodas vienādosdSapstākļos. Tātad E = E r (r). E lielums atkarīgs vienīgi no r;Etas nav atkarīgs no cilindriskajām koordinātām z un α.Par integrēšanas virsmu Gausa teorēmā izvēlēsi-lr mies vadam koncentrisku noslēgtu cilindrisku virsmu arE garumu l un rādiusu r. Integrāli pa noslēgto virsmu varsadalīt daļās − pa sānu virsmu un cilindra galu virsmām.Uz sānu virsmas S s vektors E ir paralēls vektoram dS(kurš, kā arvien, vērsts virsmas normāles virzienā), t.i.,EdS = EdS, turklāt uz šīs virsmas E = const. Uz galuvirsmās E lielums gan ir mainīgs, taču vektori E un dS ir5.2. att. Gara uzlādēta vada savstarpēji perpendikulāri; tādēļ uz galu virsmāmEdS = 0. Ievērojot, ka cilindra sānu virsmas laukums ir2πrl, bet noslēgtās virsmas aptvertais lādiņš vienāds ar τl,iegūstamradītā elektriskā lauka intensitātevērsta radiālā virzienā;tā ir paralēla virsmas elementavektoram dS uz aptverošacilindra sānu virsmas, betperpendikulāra tam − uz galuvirsmām.∫EdS=∫EdS= E∫S SsSsτldS = E ⋅ 2 πrl= , no kurienesεε oτE = Er= . (5.3)2πεε o rAplūkojot uzlādēta vada elektriskā lauka ainu plaknē, kas perpendikulāravadam, redzams, ka tā ir līdzīga 1.2. attēlā parādītajai punktveida lādiņa lauka ainai −lauka intensitāte jebkurā punktā vērsta radiāli projām no pozitīvi uzlādēta vada.Atšķirība ir tā, ka, attālinoties no punktveida lādiņa, E lielums samazināsproporcionāli attāluma kvadrātam (1/r 2 ), kamēr uzlādēta bezgalīgi gara vadagadījumā, kā redzams no (5.3), E dilst lēnāk − proporcionāli attāluma pirmajaipakāpei (1/r). Tas arī saprotams − uzlādēta bezgalīgi gara vada gadījumā telpā irdaudz vairāk lādiņa nekā tikai vienā punktā.Cilindriska kondensatora (koaksiāla kabeļa) kapacitāte. Kondensatoru, kāz ināms, veido divi vadoša materiāla ķermeņi, atdalīti ar izolācijas slāni. Pieslēdzotšādu divu ķermeņu sistēmu spriegumam, uz viena no tiem uzkrājas pozitīvs, uz otra −tikpat liels negatīvais lādiņš. Uzkrātā lādiņa q daudzums ir tieši proporcionālsspriegumam U un ķermeņu sistēmas (kondensatora) kapacitātei C:q = CU. (5.4)43

Kapacitāte ir atkarīga no ķermeņu (kondensatora klājumu) lieluma, formas, attālumastarp tiem un izolācijas īpašībām.Cilindrisku kondensatoru veido apaļš vads un to aptverošs koncentrisksmetāla apvalks (5.3. att.).Līdzīgu konstrukciju (koaksiālu kabeli) izmanto arī kādivvadu līniju − pa centrālo dzīslu strāva var plūst vienā virzienā, bet pa apvalku −pretējā. Nosakot kapacitāti, starp abām šīm iekārtām nav atšķirības.Vadam koncentriska apvalka klātbūtneneizjauc iepriekš aplūkoto simetriju; tādēļizvēloties cilindrisko integrēšanas virsmu telpāstarp centrālo vadu ar rādiusu r 1 un apvalku,U5.3. att. Telpā starp koaksiāla kabeļacentrālo vadu un apvalku E vektorsnosakāms tāpat kā viena uzlādēta vadagadījumā.r 1r 2kura iekšējais rādiuss ir r 2 , lauka intensitāteiiegūsim to pašu izteiksmi (5.3), ko viena vadagadījumā.EŠī izteiksme ir pareiza r maiņas robežās no r 1līdz r 2 . Ja integrēšanas virsmas rādiuss ir izvēlēts lielākspar r 2 , tad virsmas aptvertais kopējais lādiņš ir vienādsar nulli, jo uz klājumiem uzkrājas vienādi pretēju zīmjulādiņi. Simetrija ir saglabājusies, tātad ārējā vidē E = 0;bezgalīgi gara kabeļa gadījumā ārējā vidē elektriskaislauks nerodas. Var parādīt, ka, plūstot pa centrālo vaduun apvalku vienādām pretēja virziena strāvām, ārējāvidē nerodas arī magnētiskais lauks. Tātad šāds kabelisnerada traucējums citām iekārtām.Lai noteiktu kapacitāti, iekārtā ar garumu l uzkrātais lādiņš τl jāsaista arpieslēgtā avota spriegumu U. To var izdarīt, izmantojot sakarību (1.5), ievietojot tajāE vietā izteiksmi (5.3) un integrējot līnijas integrāli pa rādiusu r robežās no r 1 līdz r 2 :r2τ dr τ rU = ln2∫=.2πεε r 2πεε ror1No šejienes var iegūt kapacitātes izteiksmi:τl2πεεolC = = .U rln2rElektropārvades līniju parasti raksturo ar tās kapacitāti uz garuma vienību C 0 = C/l.Koaksiāla kabeļa kapacitāte uz garuma vienību tātad ir2πεε oC0= . (5.5)r2lnr1Citus piemērus, kur Gausa teorēmu var izmantot elektriskā lauka intensitātes(un, ja vajadzīgs, − pēc tam arī potenciāla sadalījuma) noteikšanai lasītājs var atrastattiecīgajās grāmatās. Vispārīgā gadījumā tomēr elektrostatiska lauka aprēķinosjārisina Laplasa vai Puasona vienādojums potenciālam (sk. 1.4.), bet pēc tam varnoteikt arī intensitāti E = − gradφ.1o144

5.3. Pilnās strāvas likums magnētiskā lauka indukcijaiNoslēgtas strāvas i radītā magnētiskā lauka indukcija apmierina t.s. pilnāsstrāvas likumu: ja izvēlamies telpā patvaļīgu noslēgtu kontūru L, tad homogēnāvidē (µ = const)∫⎩ ⎨⎧ µµ oi,B dL=L 0 ,ja integrēšanas kontūrs L aptver strāvas i kontūru;ja integrēšanas kontūrs L strāvas kontūru neaptver. (5.6)Ļoti svarīgs ir noteikums, ka pilnās strāvas likumā jāizmanto magnētiskā laukaindukcija, kuru rada noslēgta strāva. Pretējā gadījumā vispār nav iespējams runāt parto, vai kontūri aptver viens otru, vai neaptver. Tā, piemēram, ar izteiksmi (4.4)noteiktajai galīga garuma taisna vada radītai indukcijai B pilnās strāvas likums navpiemērojams. Turpretī ar izteiksmi (4.5) noteiktā B apmierina (5.6), jo bezgalīgi garāvadā strāvas ceļu var uzskatīt par noslēgtu.Līdzīgi kā Gausa teorēmas, arī pilnās strāvas likuma pareizība saistīta tikai arģeometriju. Ievietojot izteiksmē (5.6) B vietā Bio-Savara-Laplasa formulu (4.3)noslēgtam strāvas kontūram l, ar µµ o i izteiksmi var saīsināt (ja µ ≠ 1, tas jāraksta arīBio-Savara-Laplasa formulā). Tad atliek tīri ģeometriska rakstura sakarība⎛ dl× r∫∫⎜L⎝lr2o⎞=⎩ ⎨⎧ 4⎟π ,dL⎠ 0 ,ja kontūri L un l aptver viens otru;ja kontūri L un l viens otru neaptver.Dažādā literatūrā šo likumu sauc dažādi, piemēram, − par Ampēra likumu.Tomēr šķiet, ka nosaukums «pilnās strāvas likums» vislabāk izsaka tā būtību − strāvaijābūt noslēgtai. Šo jautājumu skarsim vēl turpmāk − 6.3. sadaļā.Turpinājumā, kad vairs nebūs vajadzīgs aplūkot arī strāvas kontūru, patvaļīgointegrēšanas kontūru pilnās strāvas likumā apzīmēsim ar l, kā to parasti lieto dažādāliteratūrā.Līdzīgi kā Gausa teorēmu arī pilnās strāvas likumu var izmantot B noteikšanai,ja izdodas izvēlēties tādus integrēšanas kontūrus, kuru visos punktos B = const unnemainīgs ir arī leņķis starp vektoriem B un dl. Tā var, piemēram, ļoti vienkārši iegūtgara taisna vada strāvas magnētiskā lauka izteiksmi (4.5), neintegrējot Bio-Savara-Laplasa formulu. Par integrēšanas kontūru izteiksmē (5.6) jāizvēlas vadamkoncentrisks riņķis (ar rādiusu r), kura visos punktos B = const, jo visi punkti atrodasvienādos apstākļos. Vektora B virziens sakrīt ar riņķa pieskares virzienu. Tad Bdl =Bdl un no (5.5) iegūstamB∫dl B ⋅ 2 πr= µµ i . No šejienesl= oµµ o iB = , (5.7)2πrkur r ir apskatāmā punkta attālums no vada. Atšķirībā no (4.5) šeit ievērots, ka videsrelatīvā magnētiskā caurlaidība µ var atšķirties no 1.Izteiksme (5.7) lietojama tikai homogēnā vidē, kur µ = const. Nehomogēnāvidē pilnās strāvas likumu lieto magnētiskā lauka intensitātei H. Tad (5.7) vietā garamtaisnam vadam iegūstam vēl vienkāršāku izteiksmi.iH = ,(5.8)2π rkura, protams, ir pareiza arī homogēnā vidē.45

5.4. Magnētiskā plūsma un tās nepārtrauktības principsPar magnētisko plūsmu Φ caur virsmu S sauc indukcijas vektora plūsmu cauršo virsmu:Φ =∫B dS. (5.9)SMagnētiskā plūsma tātad vienmēr saistīta ar kādu konkrētu virsmu, konkrētulaukumu.Vienkāršākajos gadījumos, kad visos virsmas punktos B = const un B اا dS(t.i., vektors B ir perpendikulārs laukumam), vektoru skalārais reizinājums (5.7)izteiksmē pārvēršas par moduļu reizinājumu, B var iznest ārpus integrāļa, betintegrālis no dS ir vienāds ar laukumu S. TadΦ = BS.Vispārīgā gadījumā tomēr jāintegrē izteiksme (5.9).Ļoti svarīga, magnētiskās plūsmas īpašība ir tās nepārtrauktība − VektoraB plūsma caur noslēgtu virsmu ir vienāda ar nulli:∫B dS= 0.SDabā nav atklāti tādi magnētiskā lauka avoti, kas varētu radīt no kāda punkta vaiapgabala pārsvarā izejošas vai ieejošas magnētiskā lauka spēka līnijas. Cik lielamagnētiskā plūsma ieiet kādā noslēgtas virsmas ierobežotā apgabalā, tik no tā arīiziet. Elektriskajā laukā līdzīgs virsmas integrālis nebūt nav vienāds ar nulli, ja virsmaaptver lādiņus (5.1).i5.5. Induktivitāte un mijinduktivitāteJa pa noslēgtu kontūru plūst strāva i, tā rada magnētisko lauku un caur kontūraaptverto laukumu «plūst» noteikta magnētiskāiiΦ5.4. att. Pa noslēgtu kontūru plūstošastrāva rada magnētisko plūsmu Φ(pašindukcijas plūsmu), kas «plūst» caurkontūra aptverto laukumu.plūsma Φ (5.4. att.), ko sauc arī par kontūrapašindukcijas plūsmu. Šīs plūsmas lielumsatkarīgs no daudziem faktoriem − no kontūralaukuma, no apkārtējās vides magnētiskajāmīpašībām un, bez šaubām, − no strāvas stipruma,kas plūst kontūrā. Piemēram, palielinot strāvasstiprumu i divas reizes, tikpat reižu pieaugs arīmagnētiskā plūsma (vismaz vidē ar lineārāmmagnētiskajām īpašībām, t.i., ja magnētiskācaurlaidība µ nav atkarīga no magnētiskā laukaintensitātes vai indukcijas). Tātad plūsma Φ irtieši proporcionāla strāvas stiprumam i: Φ = Li,kur proporcionalitātes koeficientā L paslēpta visupārējo faktoru ietekme uz plūsmu. Šo koeficientusauc par kontūra induktivitāti jeb pašindukcijaskoeficientu.Lai pastiprinātu magnētisko lauku, lieto spoles, kurās viena un tā pati strāvadaudzkārtīgi apriņķo apgabalu, kurā jārada magnētiskais lauks. Ja spoles vijumuskaits ir w, aptuveni tikpat daudz reižu lielāka ir arī strāvas radītā magnētiskā plūsma,salīdzinot ar vienkāršu kontūru. Šī plūsma savukārt šķērso visus vijumus (vismazaptuveni), tāpēc lieto plūsmas saķēdējuma jēdzienuΨ = wΦun par spoles induktivitāti sauc proporcionalitātes koeficientu starp strāvu un tāsradīto plūsmas saķēdējumu:46

Ψ = Li.Viegli saprast, ka spoles induktivitāte ir proporcionāla vijumu skaita kvadrātam:palielinot w, tikpat reižu pieaug Φ un vēl tikpat reižu − arī Ψ.Lai aprēķinātu kāda kontūra vai spoles induktivitāti, jāzina magnētiskā laukaindukcijas vektora B sadalījums telpā, integrējot izteiksmi (5.9) jānosaka magnētiskāplūsma caur attiecīgo laukumu un plūsmas saķēdējums. TadL = Ψ/i.Strāva i induktivitātes izteiksmē saīsinās, jo no strāvas atkarīga arī B, bet no tās − Φun Ψ.Koaksiāla kabeļa induktivitāte uz garuma vienību. Kabeļa šķērsgriezumsparādīts 5.5. att. a. Centrālā vada rādiuss ir r 1 , bet apvalka iekšējais rādiuss − r 2 .Pieņemsim, ka pa centrālo vadu virzienā projām no skatītāja plūst strāva i. Tāda patstrāva plūst atpakaļ pa apvalku. Lai noteiktuinduktivitāti, jāatrod magnētiskā plūsma caurjebkuru virsmu, kas novilkta starp vadu unr apvalku. Aprēķins, protams, būs vienkāršāks, jar 21izvēlēsimies radiālu plakni. Tad magnētiskāiplūsma jānosaka caur kvadrāta abcd laukumu (5.5.B att. b), kura platums ir r 2 − r 1 , bet garums aksiālāB dSvirzienā − pagaidām patvaļīgs − l. (Lai nesarežģītuaprēķinu, neievērosim magnētisko plūsmu pašāa)vadā un apvalkā.)Magnētiskā lauka indukcija telpā starp2r 1 vadu un apvalku nosakāma tāpat kā viena taisnaa bvada gadījumā, jo, izvēloties pilnās strāvas likumār 2par integrēšanas kontūru vadam koncentriskurriņķi, kuram r 1 < r < r 2 , simetrija saglabājas, betdS apvalka strāvu kontūrs neaptver. Tātadb)lBµµ o iB = .2πrd c (Ja r > r 2 , kontūra kopējā aptvertā strāva pilnāsstrāvas likumā ir vienāda ar nulli, bet simetrija −drsaglabājusies. Tātad ārpus apvalka B = 0. Koaksiālskabelis nerada ārējā telpā ne elektrisko, neimagnētisko lauku.)5.5. att. Telpā starp koaksiāla kabeļa Vektors B ir perpendikulārs rādiusam uncentrālo vadu un apvalku B vektors tātad arī izvēlētajai virsmai (taisnstūrim abcd).vērsts perpendikulāri radiālai plakneitāpat kā viena taisna vada gadījumā.Tāpēc magnētiskās plūsmas izteiksmē (5.9)BdS = BdS, taču iznest B ārpus integrāļa šoreiznevar, jo integrējot pa apskatāmo laukumu, rādiuss r indukcijas B izteiksmē irmainīgais lielums.Ievērojot, ka virsmas elements dS = ldr, iegūstam:µµ o il r2dr µµ o il r2Φ =∫B dS= BdS == lnS ∫S2π ∫.r r 2π1 rLai iegūtu induktivitāti, šī izteiksme jādala ar i, bet induktivitātes uz garuma vienībuL 0 iegūšanai − arī ar l. Tad147

µµ o r2L0= ln . (5.10)2π r1Interesanti atzīmēt, ka aplūkotā koaksiālā kabeļa kapacitātes C 0 (5.5) un induktivitātes L 0(5.10) reizinājums atkarīgs tikai no izolācijas materiāla starp vadu un apvalku īpašībām:L0C= µµ εε0 o o , jo 2π un ln(r2/r 1 ) šādā reizinājumā saīsinās. Ja µ = ε = 1 (vakuumā, arī gaisā), tadL 0 C 0 = µ o ε o = 1/c 2 jeb1= c , kur c − gaismas ātrums. Tā nebūt nav nejaušība. ElektropārvadesL Clīniju teorijā pierāda, ka lielums00L10C0ir vienāds ar elektromagnētisko viļņu izplatīšanās ātrumulīnijā.Garas cilindriskas spoles induktivitāte. Garas (teorētiski − bezgalīgi garas)spoles iekšienē var pieņemt, ka magnētiskais lauks ir homogēns un vektors B vērstsaksiālā virzienā (5.6. att.) atkarībā no strāvas virziena spoles vijumos. Ārpus šādaslspoles magnētiskais lauks nerodas.Izmantojot pilnās strāvas likumu•taisnstūrveida kontūram, kura malas garums ir lun ievērojot pieņemtos tuvinājumus, iegūstamBl = µµ o iw l , kur i ir spolē plūstošā strāva, bet w l −spoles posmā ar garumu l ietvertais vijumu5.6. att. Ja spoli var uzskatīt skaits. Ja spoles iekšienē B = const, tadpar bezgalīgi garu, tās iekšienē Φ = BS = µµ o iw l S/l= µµ o iw o S, kur w o =w l /l irB=const, bet ārpusē lauka nav. vijumu skaits uz garuma vienību. Plūsmassaķēdējums spoles posmā, kura garums ir l:Ψ l = Φw l = µµ o iw l w o S. Tā kā w l = w o l, tad Ψ l = µµ o iw 2 o Sl = µµ o iw 2 o V, kur V ir spolesposma l tilpums. Līdz ar to induktivitātei iegūstam šādu izteiksmi:L = Ψ/i = µµ o w 2 o V.Galīga garuma spolei pēdējā formula lietojama gan tikai ļoti aptuvenaminduktivitātes aprēķinam, jo pieņēmums, ka ārpus spoles magnētiskais lauksnenokļūst, tādā gadījumā nav pamatots. Galīga garuma cilindriskas spoles aptuvenamagnētiskā lauka spēka līniju aina parādīta 5.7. attēlā.5.7. att. Cilindriskas spoles magnētiskā lauka aina48

Mijindukcija (savstarpējā indukcija). Ja 5.4. attēlā parādītā strāvas kontūratuvumā atrodas vēl otrs kontūrs, tad daļa no pirmā kontūra radītās magnētiskāsplūsmas nokļūst arī otrajā (5.8. att.). Kā redzēsim 6. nodaļā (un zinām arī no fizikaskursa), tad laikā mainīga magnētiskā plūsma izraisa (inducē) otrajā kontūrā elektrodzinējspēkarašanos. Šo parādību sauc par mijindukciju jeb savstarpējo indukciju. Tāspamatā ir tas, ka viena kontūra (spoles) radītā magnētiskā plūsma daļēji nonāk arī otrākontūrā (spolē).5.8. attēlā simboliski ar divām plūsmas līnijām attēlota visa magnētiskā5.8. att. Ja daļa no vienas spoles (kontūra)radītās magnētiskās plūsmas nokļūst otrā spolē(kontūrā), saka, ka spoles ir induktīvi saistītas.plūsma Φ 11 , ko rada pirmajā kontūrā (vaispolē ar vijumu skaitu w 1 ) plūstošā strāvai 1 , bet ar vienu līniju − tā daļa no Φ 1 , kasiziet arī caur otrā kontūra (vai spoles arvijumu skaitu w 2 ) laukumu S 2 ; tā apzīmētaar Φ 21 un to sauc par mijindukcijas vaisavstarpējās indukcijas plūsmu. Pirmaisindekss apzīmējumā parāda kontūru (spoli),ar kuru Φ 21 ir saķēdēta, bet otrais −strāvu, kura šo plūsmu rada.Par mijinduktivitāti M (arī − parsavstarpējo induktivitāti vai savstarpējāsindukcijas koeficientu) sauc mijindukcijasplūsmas saķēdējuma attiecību pret strāvu, kas šo plūsmu rada. Var pierādīt (mēs tošeit nedarīsim), ka šī attiecība nav atkarīga no tā, pa kuru no divām spolēm(kontūriem) plūst strāva. Līdz ar to M var noteikt divējādā veidā:w2Φ21w1Φ12M = = . (5.11)i1i2(Strāva i 2 , kā arī plūsma Φ 12 5.8. attēlā nav parādīta.) Praktiskos aprēķinos jāpieņem,ka strāva plūst tajā kontūrā, kura radīto magnētisko lauku ir vieglāk noteikt.Mijinduktivitāte M ir atkarīga no spoļu savstarpējā novietojuma telpā (jaspoles atrodas tālu viena no otras, M ≈ 0), no apkārtējās vides magnētiskajāmīpašībām un abu spoļu vijumu skaita reizinājuma.Taisna vada un taisnstūrveida spoles mijinduktivitāte. 5.9. attēlā parādītstaisnstūrveida spoles, kuras vijumu skaits ir w, un gara taisna vada savstarpējaisnovietojums. Aplūkosim gadījumu, kad vads un spole atrodas vienā plaknē.Lai noteiktu mijinduktivitāti M, protams,dr lietderīgi ir pieņemt, ka strāva plūst pa vadu un meklētmagnētisko plūsmu caur spoles aptverto laukumu SiS 1 ,w 1 S 2 ,w 2i 1raΦ 11 Φ 21bBdS5.9. att. Taisna vada un taisnstūrveidaspoles mijinduktivitātesnoteikšana.lΦ =∫B dS.Ja vads un spole atrodas vienā plaknē, tad vektors B irperpendikulārs laukumam un BdS = BdS jebkurā laukumapunktā.Taisna vada radītā magnētiskā lauka indukcija irµµ o iB = ,2πrbet virsmas elements dS mūsu gadījumā uzrakstāms kādS = ldr. Integrēšana jāizdara, mainot virsmas elementa(iesvītrotais taisnstūris 5.9. attēlā) attālumu līdz vadacentram r robežās no a līdz b. TadS49

ΦSil dr ilBdSµµ bo µµ==o ln2π a r 2π=∫ ∫unµµ o wl bM = ln .2π aIegūtā M izteiksme, kā redzams, ir līdzīga koaksiāla kabeļa induktivitātes izteiksmei(5.10), jo arī tur bija jānosaka magnētiskā plūsma caur taisnstūrveida laukumu, kasatrodas vienā plaknē ar centrālo vadu.ba50

6. Laikā mainīgu elektrisko un magnētisko lauku mijiedarbība6.1. Mainīga magnētiskā lauka ietekme uz elektrisko lauku.Līdz šim neesam interesējušies par to, kas notiek, ja elektriskais vaimagnētiskais lauks mainās laikā, taču procesiem, kas rodas šādos gadījumos, ir ļotiliela teorētiska un praktiska nozīme.Atceroties elektriskā un magnētiskā lauka transformāciju formulas kustīgāskoordinātu sistēmās (3.12), viegli saprast, ka magnētiskā lauka indukcijas maiņa laikāradīs arī elektrisko lauku. Aplūkosim gadījumu, kad telpā pastāv laikā mainīgshomogēns magnētiskais lauks B = B y (t) (6.1.att.), ko izraisa laikā mainīga elektriskikompensētu lādiņu kustība (elektriskās strāvas). Nekādu nekompensētu lādiņu tuvumānav.Novērotājs, kurš konstatējis magnētiskā lauka maiņu, tomēr nevar atšķirt, vaixαxrvAx 0zzz 0B6.1. att. Nav iespējams atšķirt, vainovērotāja konstatēto magnētiskā laukamaiņu izraisa lauka avotu maiņalaikā, vai paša novērotāja kustībayto izraisa lauka avoti, vai arī varbūt viņš patskustas ar vienmērīgu ātrumu v laikā nemainīgā,bet nehomogēnā magnētiskajā laukā. Pēdējāgadījumā atbilstoši formulām (3.12) viņamjākonstatē arī elektriskā lauka intensitātes v × Brašanās. Taču dabas likumi ir vienādi visās inerciālāskoordinātu sistēmās un, ja vienā no tām irradusies elektriskā lauka intensitāte, tai jābūt arīcitās. Tātad magnētiskā lauka maiņa laikā neatkarīgino iemesla, kādēļ tā notiek, viennozīmīgiizraisa arī elektriskā lauka (t.s., inducētā elektriskālauka) rašanos.Lai noteiktu inducētās elektriskā laukaintensitātes E sakaru ar funkciju B(t) (mūsugadījumā B = B y ), patiešām varam pieņemt, kanotiek kustība nehomogēnā magnētiskā laukā.Pieņemsim, ka punkts A, kurā atrodas novērotājs,nehomogēnā laukā.kustas ar vienmērīgu ātrumu v = x o v x + z o v z . t.i.− paralēli x, z-plaknei. (6.1. att.pieņemts, ka kustība notiek tieši šajā plaknē). Ievērot arī iespējamo ātrumakomponenti v y nav vajadzīgs, jo tā vektoriālajā reizinājumā ar B y dos nulli. Laikaatskaitīšanas sākuma momentā (t =0) p. A koordinātas ir x 0 , z 0 , bet līdz momentam tpunkts A noiet attālumu r = vt un tā koordinātas ir x,z.Lai kustīgais novērotājs iegūtu tādu pašu B y maiņu laikā kā «nekustīgais»,magnētiskajam laukam jāmainās atkarībā no r: B y = B y (r/v), t.i., funkcijā B y (t) laika tvietā jāievieto r/v.Inducētā elektriskā lauka intensitāte irE = v × B = (x o v x + z o v z ) × y o B y = z o v x B y (r/v) − x o v z B y (r/v).(Lai nesarežģītu spriedumus, mēs šeit relatīviski precīzo formulu (3.12) vietā lietojamvienkāršotās izteiksmes (3.12'). Gala rezultāts no tā nav atkarīgs; to pašu iegūtu, arīizmantojot precīzās izteiksmes.)Tātad šajā gadījumā (t.i., kad B = B y ) var rasties elektriskā lauka intensitāte arkomponentēmE x = − v z B y (r/v) (6.1)unE z = v x B y (r/v). (6.2)51

Izteiksmes (6.1) un (6.2) satur patvaļīgi pieņemto ātrumu v, no kura jāatbrīvojas.To var izdarīt, izveidojot komponenšu E x un E z atvasinājumu starpību∂Ex ∂Ez− .∂z∂xNo (6.1) iegūstam∂ r rEx∂By( ) ∂( )v v ∂rv z ∂By( t ∂r= − v ⋅ ⋅ = − ⋅)z ⋅ .r∂z∂ ∂r∂zv ∂ t ∂z( )Šeit ievērots, ka r/v = t.Līdzīgi no (6.2):∂ Ezv x ∂By ( t ∂r= ⋅) ⋅ .∂xv ∂ t ∂xTadv∂ Ex∂Ez v z ∂rv x ∂r∂By ( t− = − ( ⋅ + ⋅ )) .∂z∂xv ∂zv ∂x∂ tTā kā (6.1. att.)220) + ( z −0)r = ( x − x z , tad ∂r/∂x = (x−x 0 )/r un ∂r/∂z =(z−z 0 )/r.Līdz ar to∂ Ex∂Ez v z z − z0v x x − x0∂By ( t− = − ( ⋅ + ⋅ )) .∂z∂xv r v r ∂ t6.1. attēlā redzams, ka v z /v = (z−z 0 )/r = sinα un v x /v = (x−x 0 )/r = cosα. (Ātrumakomponentes attēlā nav iezīmētas.) Tātad iepriekšējā izteiksmē iekavās izveidojassumma sin 2 α + cos 2 α = 1. Līdz ar to no ātruma v un tā komponentēm esamatbrīvojušies, iegūstot∂Ex ∂Ez∂By− = − . (6.3)∂z∂x∂ tIzmantojot tikai izteiksmi (6.3), inducēto elektriskā lauka intensitāti naviespējams viennozīmīgi noteikt, kaut arī funkcija ∂B y /∂t būtu zināma, jo (6.3) irparciālais diferenciālvienādojums, turklāt ar diviem nezināmajiem lielumiem. Tomēršī izteiksme skaidri parāda, ka laikā mainīgs magnētiskais lauks rada telpā arīelektrisko lauku.6.2. Faradeja elektromagnētiskās indukcijas likums.No elektriskā lauka transformāciju formulām iegūtā izteiksme (6.3) ļaujmatemātiski pierādīt vienu no elektrotehnikas praksei vissvarīgākajiem likumiem −Faradeja elektromagnētiskās indukcijas likumu. 1Integrēsim izteiksmes (6.3) abas puses pa kādu laukumu S plaknē x,z:∂Ex ∂Ez ∂∫( − ) dS = −S ∂ ∂ ∂ ∫BdS. (6.4)z x t S1Ja lasītājs ir pazīstams ar vektoru analīzes galvenajām sakarībām, viņš turpmāk doto pierādījumulīdz izteiksmei (6.5) var nelasīt, jo tad šo sakarību var iegūt daudz vienkāršāk. Apstākļos, kad B = B y ,izteiksmes (6.3) kreisā puse (pareizinot to ar y 0 ) ir vienāda ar rotE. Integrējot (6.3) pa laukumu S, unatceroties Stoksa teorēmu ∫ rotFdS=∫ Fdlun magnētiskās plūsmas definīciju (5.9), tūlīt iegūstamlS(6.5). Šeit dotais pierādījums pēc būtības ir tikai Stoksa teorēmas pierādījums.52

(Tā kā mūsu gadījumā B = B y un dS = dS y , tad reizinājums B y dS aizvietots ar vektoruskalāro reizinājumu, turklāt atvasināšanu pēc laika t un integrēšanu pēc telpas koordinātāmvar mainīt vietām.)Kā redzams, tad izteiksmes labajā pusē izveidojas caur laukumu S izejošāsmagnētiskās plūsmas atvasinājums pēc laika (ar mīnusa zīmi): −∂Φ/∂t.Lai nesarežģītu turpmāko, pieņemsim, ka S ir x,z plaknē novietota taisnstūra(6.2. att.) laukums (taču iegūtie rezultāti ir vispārināmi jebkuram laukumam). TaddS = dxdy un integrēšana pēc x izdarāma robežās no x 1 līdz x 2 , bet pēc z − robežās noz 1 līdz z 2 .zIntegrējot izteiksmes (6.4) kreiso pusi, to varzpārveidot:cb 2E Ex zEz xx zxEz∫∂ ∂2 2∂∂− dS = dx dz dz dxS z x ∫x∫−∂ ∂z ∂z∫2 2( )z ∫1 11 xB; Φ1 ∂xxdax 2 x 1z 16.2. att. Izteiksmes (6.3) kreisāspuses integrālis pa virsmu S ir pārveidojamspar ∫ Edl , kur l ir laukumuS aptverošaislkontūrs.Abos saskaitāmajos «iekšējie» integrāļi ir viegliaprēķināmi, jo tajos integrēšanas un atvasināšanasmainīgais ir viens un tas pats. Pēc integrēšanas robežuievietošanas (6.4) kreisā puse tālāk pārveidojama šādi:x22[ Exz Exz ] dx [ Ezx Ez∫(2) - (1) −∫(2) - ( x1)]x1=z∫z21Ez( x ) dz +) dx +( x ) dz +Pēdējā pārveidojumā mainīta saskaitāmo kārtība un pēdējiem diviem integrāļiemmainītas vietām robežas, lai visiem saskaitāmiem būtu «+» zīme.Visos šajos saskaitāmajos ieiet integrēšanas virzienam paralēlā vektora Ekomponente (E x dx un E z dz), tāpēc visas zemintegrāļu izteiksmes var aizvietot arvektoru skalāro reizinājumu Edl. Pirmais integrālis tad uzrakstāms kā līnijas integrālispa taisnstūra malu ab, otrais − pa bc, bet trešais un ceturtais, ievērojot integrēšanasrobežu secību, − attiecīgi pa malām cd un da. Kopā izveidojas līnijas integrālis panoslēgto kontūru, kurš aptver laukumu S.Atceroties iepriekš iegūto (6.4) izteiksmes labo pusi, varam uzrakstīt šādu ļotivispārīgu sakarību:∫l1x∫x21Ex( z∂ΦE dl= −(6.5)∂t2zz1z∫z12Ez2xxdz =Šeit l ir patvaļīgs noslēgts kontūrs, bet Φ − magnētiskā plūsma, kas iziet caur šīkontūra aptverto virsmu (laukumu). Kontūra apiešanas virziens saskaņots ar plūsmasvirzienu pēc «labās skrūves» likuma.Izteiksmi (6.5) sauc par Faradeja elektromagnētiskās indukcijaslikumu.Angļu fiziķis M. Faradejs izteiksmei (6.5) analogas sakarības ieguva ap 1830.g. rūpīgu unilgstošu eksperimentu rezultātā. Arī šodien fizikā šo likumu tradicionāli bieži pasniedz kā empīriskulikumu. Tagad redzams, ko to iespējams matemātiski iegūt, izmantojot relativitātes teorijassecinājumus, kas Faradeja laikā, protams, vēl nebija zināmi.1∫2Ex( z1) dx53

Faradeja likumam vai, pareizāk, tiem fizikālajiem procesiem, kurus aprakstašis likums, ir ļoti liela praktiska nozīme. Tikai pateicoties tam darbojas mūsdienuelektriskie ģeneratori, transformatori un daudzas citas elektrotehniskās iekārtas.Līnijas integrāli no Edl pa noslēgtu kontūru jau rakstījām, aplūkojotelektrostatisko lauku (1.6). Tur šāds integrālis bija vienāds ar nulli. Izteiksme (6.5)uzskatāma par (1.6) pierādījumu: statiskā laukā, kad nekas atkarībā no laika nemainās,∂Φe = − ,∂t(6.6)protams, ∂Φ/∂t = 0. Turpretī mainīgā magnētiskajā laukā plūsmu aptverošajā kontūrāinducējas elektrodzinējspēks e (EDS). Ja kontūru veido vadoša materiāla vads,inducētā elektriskā lauka intensitāte radīs tajā lādiņu plūsmu − elektrisko strāvu. ĪsākFaradeja likumu raksta šādi:kur e ir inducētais elektrodzinējspēks kontūrā, kurš aptver plūsmu.Mīnusa zīme (6.5) un (6.6) izteiksmē izsaka t.s. Lenca jeb elektromagnētiskāsinerces principu. Ar (6.5) vai (6.6) noteiktā inducētā EDS virziens sakrīt ar kontūraapejas virzienu, kuru savukārt nosaka plūsmas (jeb vektora B) virziens (6.2. att.atbilstoši nosacījumam B = B y vektors B un Φ vērsti virzienā uz skatītāju). Taču EDSskaitliskās vērtības zīme atkarīga arī no tā, kā mainās plūsma Φ. Ja tā pieaug, tadatvasinājums ∂Φ/∂t ir pozitīvs, bet, plūsmai samazinoties, tas kļūst negatīvs. Jakontūru l veidotu elektrovadoša materiāla vads, tad, pateicoties mīnusa zīmei (6.5)izteiksmē, plūsmai pieaugot, vadā inducētos strāva, kuras virziens ir pretējs apejasvirzienam. Šāda virziena strāva censtos radīt magnētisko lauku, pretēju Φ virzienam,t.i., strāva censtos kavēt Φ pieaugšanu. Turpretī, ja Φ samazinās, tad inducētās strāvasmagnētiskais lauks censtos uzturēt iepriekšējo magnētisko pūsmu. Īsāk − inducētāstrāva vienmēr cenšas uzturēt iepriekšējo stāvokli − kavēt plūsmas maiņu neatkarīgino tā, vai Φ pieaug, vai samazinās.Līdzīgu parādību mehānikā sauc par inerci. Lai iekustinātu materiālu ķermeni,tam jāpieliek ārējs spēks, bet iekustināts ķermenis cenšas saglabāt kustību (Ņūtona 1.likums). Gluži tāpat, lai radītu strāvu un magnētisko lauku spolē, jāpieliek ārējs avotsinducētā EDS pārvarēšanai, bet strāva, ja tā radīta, var izzust tikai pakāpeniski,magnētiskā laukā uzkrātajai enerģijai pārveidojoties siltumā elektriskās pretestībasdēļ.Elektriskā ģeneratora un transformatora darbības princips. 4. nodaļā jauω aplūkojām elektriskā dzinēja (motora) darbībasBprincipu − uz kontūru, pa kuru plūst strāva, magnētiskajālaukā darbojas griezes moments. Elektriskāsstrāvas ģeneratorā izmanto pretējo efektu − griežotα=ωtkontūru (spoli), kas atrodas magnētiskajā laukā, tajāinducējas EDS. Ja spoles ķēde ir noslēgta, plūstdSαB6.3. att. Ja spole rotē magnētiskajālaukā ar vienmērīgu leņķiskoātrumu ω, tajā inducējas laikāsinusoidāli mainīgs EDS.elektriskā strāva.6.3. attēlā parādītais kontūrs (jeb spole arvijumu skaitu w) rotē magnētiskajā laukā ar leņķiskoātrumu (frekvenci) ω. Spoles vienā vijumā inducētaisEDS ir −∂Φ/∂t, bet visā spolē∂Φ∂Ψe = − w = − , kur Ψ =wΦ ir magnētiskās∂t∂tplūsmas saķēdējums. Pieņemot, ka magnētiskais54

lauks ir homogēns (B = const), plūsma Φ nosakāma šādi:Φ( t)=∫B dS=∫BdScosα = BScosα = BScosωt.SS(Šeit pieņemts, ka momentā t = 0 spole jeb kontūrs atradās horizontālā stāvoklī. Tadα = ωt.) Tātad iegūstam laikā sinusoidāli mainīgu EDS: e = wωBSsinωt. Ja ārējā ķēdeir noslēgta, tajā plūdīs arī laikā sinusoidāli mainīga strāva.Salīdzinoši vienkāršā maiņstrāvas ģenerēšana ir viens no iemesliem, kādēļvisās spēkstacijās ir uzstādīti maiņstrāvas ģeneratori un visas elektroapgādes sistēmasdarbojas ar maiņstrāvu. Otrs iemesls ir tas, ka maiņstrāvas tīklos sprieguma paaugstināšanaivai pazemināšanai var izmantot transformatorus.Transformatoru veido induktīvi saistītas spoles, kas parasti novietotas uzkopējas noslēgtas feromagnētiska materiāla serdes (6.4. att.). Pirmajai spolei aru 1w 1w 2Φu 26.4. att. Transformatoru veidoinduktīvi saistītas spoles, novietotasuz kopējas noslēgtas feromagnētiskamateriāla serdes.vijumu skaitu w 1 pieslēgtais maiņsprieguma avots u 1rada strāvu pirmajā (primārajā) tinumā, bet tā − laikāmainīgu magnētisko plūsmu Φ. Mainīgā plūsmainducē spriegumu u 2 sekundārajā tinumā ar vijumuskaitu w 2 . Feromagnētiskā materiāla serdei ir lielamagnētiskā caurlaidība µ; tādēļ gandrīz visa primārātinuma radītā magnētiskā plūsma nokļūst arīsekundārajā tinumā. Tādā gadījumā var uzskatīt, kaspriegumu attiecība u 1 /u 2 ir vienāda ar vijumu skaituattiecību w 1 /w 2 . Tādējādi var izveidot gan spriegumupaaugstinošu, gan pazeminošu transformatoru.Enerģijas pārvades lietderības koeficients ir jo augstāks, jo lielāks ir pārvadeslīnijas spriegums; tādēļ spriegumu šādās līnijās paaugstina līdz 300; 500 kV unvairāk, bet pirms elektroenerģija nonāk līdz patērētājam, pārvades spriegums vairākāspakāpēs tiek samazināts līdz parastajiem 220 V. Konkrētās iekārtās (datorā, televizorāu.c.) vēl ir savs pazeminošs transformators. Izmantojot laikā nemainīgu strāvu −līdzstrāvu, līdzīga spriegumu pārveidošana ir daudz sarežģītāka.6.3. Laikā mainīga elektriskā lauka ietekme uz magnētisko lauku.Iepriekšējās sadaļās, pētot mainīga magnētiskā lauka ietekmi uz elektriskolauku, no transformāciju (3.12') izteiksmes E = v×B ieguvām, ka laikā mainīgsmagnētiskais lauks rada elektrisko lauku, tādu, kas apmierina izteiksmi (6.5).Saprotams, ka gadījumā, ja laikā mainās elektriskā lauka intensitāte, no otrastransformāciju formulas B = −µ o ε o (v×E) (vidē, kas nepolarizējas un nemagnetizējas,t.i., µ = ε =1) iegūstams līdzīgs rezultāts, kuru varam uzrakstīt tūlīt, izmantojot abuformulu matemātisko analoģiju: laikā mainīgs elektriskais lauks rada magnētiskolauku, tādu, ka∂ΦE∫B dl= µ oεo. (6.7)l∂tŠeit Φ E ir elektriskā lauka intensitātes plūsma caur patvaļīgā noslēgtā kontūra laptverto virsmu S: ΦE=∫EdS.SIntegrāli pa patvaļīgu noslēgtu kontūru no skalārā reizinājuma Bdl rakstījāmjau agrāk (5.6); tas bija vienāds ar µ o i, kur i bija kontūra aptvertā strāva. Vai tagadesam ieguvuši pretrunu? Nebūt nē! Gluži vienkārši, rakstot (5.6), mēs pieņēmām, kavienīgais magnētiskā lauka avots ir strāva i, bet, iegūstot (6.7), uzskatījām, ka nekādas55

īvo lādiņu plūsmas nav. Pretējā gadījumā transformāciju formulā būtu jāievēro arīšīs strāvas magnētiskais lauks.Ja magnētisko lauku rada kā brīvo lādiņu plūsma (vadītspējas strāva i) tā arīmainīgs elektriskais lauks, tad pilnās strāvas likuma izteiksmē jāievēro abi šie faktori,iegūstot:∂ΦE∫B dl= µ oi+ µ oεo. (6.8)l∂tKā redzams, tad lielumsε o ∂Φ E /∂t = i n (6.9)rada magnētisko lauku tāpat kā parastā vadītspējas strāva i. Tāpēc to sauc par nobīdesstrāvu.Šis nosaukums radies vēsturiski un tikai daļēji izsaka parādības būtību. Vidē, kas polarizējas,reizinātājs ε o jāaizvieto ar εε o jeb εε o Φ E − ar elektriskās indukcijas vektora D plūsmu. Tā kā (1.11)D = ε o E+P, tad ∂D/∂t = ε o ∂E/∂t+∂P/∂t. Otrais saskaitāmais šajā izteiksmē patiešām raksturo saistītolādiņu kustību (nobīdi) mainīgā elektriskajā laukā un šo lādiņu kustībai jārada magnētiskais lauks tāpatkā vadītspējas elektronu kustībai parastajā elektriskajā strāvā. Taču pirmais saskaitāmais pastāv arīvakuumā un parāda, ka arī mainīgs elektriskais lauks rada magnētisko lauku līdzīgi lādiņu kustībai.Vadītspējas un nobīdes strāvas summui + i n = i psauc par pilno strāvu. Tādēļ arī (6.8) sauc par pilnās strāvas likumu:∫B dl= µµ oip.lLīdzīgu izteiksmi var uzrakstīt arī magnētiskā lauka intensitātei H. Tajā nav jārakstakoeficients µµ o , bet vidē, kas polarizējas, nobīdes strāvas izteiksmē jāsaglabā εε o jebjālieto vektora D plūsma:∂ΦD∫H dl= i + . (6.10)l ∂tAtšķirībā no Faradeja likuma (6.5) izteiksmei (6.10) analogas sakarības angļu fiziķis Maksvelsap 1870.g. uzrakstīja bez jebkāda eksperimentāla pamata. Var tikai apbrīnot zinātnieka intuīciju, joviņa pieņēmums par nobīdes strāvas magnētiskā lauka eksistenci, kā mēs redzam tagad, ir pilnīgipareizs. Eksperimentāli to pierāda, piemēram, elektromagnētisko viļņu rašanās un izplatīšanās, kas beznobīdes strāvas magnētiskā lauka nebūtu iespējama.6.4. Pilnās strāvas nepārtrauktības princips.Elektriskā strāva i vienmēr izplūst caur galīga lieluma laukumu S; tādēļ to varuzrakstīt kā strāvas blīvuma vektora J plūsmu caur virsmu S:i =Tā kā saskaņā ar (6.9) in∫SJ dS. (6.11)= εεo∂∂t∫SEdS, tad nobīdes strāvas blīvums ir∂E∂DJ n = εεo= ,∂t ∂tbet pilnās strāvas blīvums J p = J + J n .Nav grūti parādīt, ka pilnās strāvas blīvuma plūsma caur noslēgtu virsmuvienmēr ir vienāda ar nulli jeb, citiem vārdiem, ka pilnā strāva ir nepārtraukta −summārā noslēgtā virsmā ieplūstošā un izplūstošā pilnā strāvas ir vienāda ar nulli.∂∫J p dS=∫JdS+SS ∂ ∫DdS. (6.12)t S56

Pirmais integrālis (6.12) izteiksmes labajā pusē ir vienāds ar no noslēgtās virsmasizplūstošo vadītspējas strāvu. Tas var nebūt vienāds ar nulli, ja virsmas aptvertajātelpas apgabalā mainās uzkrāto lādiņu daudzums. Tad šis integrālis ir vienāds ar−∂q/∂t. (Tā kā dS ir ārējās normāles virziens, tad summārā vadītspējas strāva irpozitīva, samazinoties uzkrātajam lādiņam; tādēļ atvasinājuma priekšā jāliek mīnusazīme.) Savukārt otrais integrālis atbilstoši Gausa teorēmai (5.2) ir vienāds ar virsmasietverto lādiņu q, bet tā atvasinājums − ar +∂q/∂t. Tātad∂q∂qp∫J dS= − + ≡ 0 .S ∂t∂tPilnā strāva vienmēr ir nepārtraukta, noslēgta.Šis ir ļoti svarīgs secinājums. Līdz ar to pilnās strāvas likums (5.6) un tamatbilstošā izteiksme magnētiskā lauka intensitātei∫lH dl=(6.13)i pkļūst par ļoti vispārīgu likumu, kas ir pareizs jebkurai reāli plūstošai strāvai, jo,ievērojot arī nobīdes strāvu, tā vienmēr ir noslēgta strāva.Pilnas strāvas nepārtrauktību izmanto elektrisko ķēžu teorijā ļoti svarīgaisKirhofa 1. likums. Ja noslēgtas virsmas ierobežotā apgabalā strāva var ieplūst unizplūst tikai pa noteiktiem ceļiem − vadiem, tad integrālis pa noslēgto virsmu sadalāsatsevišķos integrāļos pa vadu šķērsgriezumiem. Katrs no šiem integrāļiem vienāds arvadā plūstošo strāvu i. Izplūstošai strāvai vektori J un dS veido šauru leņķi α, tāpēcJdS =JdScosα > 0, kamēr ieplūstošai strāvai leņķis ir plats un cosα < 0. No šejienesizriet, ka noslēgtas virsmas ierobežotā apgabalā ieplūstošo strāvu algebriska summa irvienāda ar nulli:Σ i = 0.Šajā izteiksmē apgabalā ieplūstošās strāvas jāraksta ar vienu zīmi (piemēram, «+»),bet izplūstošās − ar pretēju.57

7. Maksvela vienādojumi un daži to risinājuma piemēri7.1. Maksvela vienādojumu integrālā forma.Iepriekšējā nodaļā redzējām, ka laikā mainīgs magnētiskais lauks radaelektrisko lauku, kurš, arī būdams laikā mainīgs, savukārt rada atkal mainīgumagnētisko lauku. Līdz ar to iepriekš iegūtās sakarības − pilnās strāvas likums unFaradeja elektromagnētiskās indukcijas likums jāapvieno vienā vienādojumu sistēmā.Šiem vienādojumiem vēl jāpievieno Gausa teorēma un magnētiskās plūsmasnepārtrauktības principa matemātiskā izteiksme. Iegūto vienādojumu sistēmu sauc parMaksvela vienādojumu sistēmu (integrālajā formā):∫l∫l∫∫SHdl= ip∂ΦEdl= − ;∂tDdS= q;BdS= 0.S;(7.1)Iegūtos vienādojumus uzrakstītajā secībā sauksim par Maksvela pirmo, otro,trešo un ceturto vienādojumu. Tātad Maksvela pirmais vienādojums ir pilnās strāvaslikums, otrais − Faradeja elektromagnētiskās indukcijas likums, trešais − Gausateorēma, bet ceturtais − magnētiskās plūsmas nepārtrauktības princips. (Protams, katas, kādā secībā sakārto vienādojumus sistēmā, nav būtiski. Daudzās grāmatās parpirmo vienādojumu sauc elektromagnētiskās indukcijas likumu, bet par otro − pilnāsstrāvas likumu. Mēs izmantosim sistēmā (7.1) izvēlēto secību.)Atgādināsim vēlreiz sakarības starp sistēmā (7.1) ietvertajiem lielumiem:∂DD = εε o E; B = µµ o H; i p = i +∫dS; Φ =S ∂ t ∫B dS.SKā redzams, tad sistēma (7.1) attiecībā pret lauka vektoriem E un H irsarežģīta integrālvienādojumu sistēma un vispārīgā gadījumā grūti izmantojamaaprēķiniem. Šos vienādojumus iespējams izmantot gandrīz tikai tad, ja tos var risinātneatkarīgi citu no cita un turklāt iespējams atrast tādus integrēšanas kontūrus vaivirsmas, kuru visos punktos attiecīgais lauka vektors ir konstants. Mēs jau toizmantojām, aplūkojot cilindriska kondensatora elektrisko lauku un taisna vadamagnētisko lauku (sk. 5.2 un 5.3).Aprēķiniem piemērotāka ir Maksvela vienādojumu diferenciālā forma, kuradod sakarības starp elektromagnētiskā lauka vektoriem katrā telpas punktā, nevis paveselām virsmām vai kontūriem.7.2. Maksvela vienādojumu diferenciālā forma.Otro Maksvela vienādojumu diferenciālajā formā gadījumam, kad B = B y , jauesam ieguvuši agrāk. Tā ir izteiksme (6.3)∂Ex ∂Ez∂By− = − , (7.2)∂z∂x∂ tkas dod sakarību starp inducētā elektriskā lauka intensitātes vektora komponentēm unmainīgo magnētiskā lauka indukciju.Šo izteiksmi nav grūti vispārināt gadījumiem, kad B vektoram ir arī citaskomponentes. Atliek tikai 6.1. attēlā pārsaukt koordinātu asis (protams, saglabājot58

labējo koordinātu sistēmu). Ja x-asi pārsaucam par y, tad y-ass kļūst par z-asi, bet z-ass− par x: x→y→z→x. Tātad varam uzrakstīt vēl divas sakarības:∂Ey ∂Ex∂Bz− = − ; (7.3)∂x∂y∂ t∂Ez∂Ey ∂Bx− = − ; (7.4)∂y∂z∂ tIzteiksmes (7.4), (7.2) un (7.3) var apvienot vienā vektoriālā vienādojumā,reizinot tās attiecīgi ar vienības vektoriem x o , y o un z o un saskaitot tās. Tadvienādojuma labajā pusē izveidojas vektora B atvasinājums pēc laika, bet kreisajā −jauns vektors, kura komponentes izteiktas ar E vektora komponenšu parciālajiematvasinājumiem pēc koordinātām atbilstoši izteiksmēm (7.4), (7.2) un (7.3):⎛ EzE y ⎞ ExEz⎛ E y Ex⎞o⎛ ⎞ ∂⎜∂ ∂⎟o⎜∂ ∂⎟o⎜∂⎟∂Bx − + y+ − = −y z−z xz. (7.5)x y⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂ tŠo jauno vektoru sauc par vektora E rotoru un īsāk apzīmē: rotE. (Angļu valodārakstītajā literatūrā lieto arī apzīmējumu curlE.) Tad (7.5) īsāk var uzrakstīt šādi:∂BrotE = − . (7.6)∂tIzteiksme (7.6) ir Maksvela otrais vienādojums diferenciālajā formā.Izteiksme (7.5) parāda, kā rotora komponentes izsakāmas Dekarta koordinātusistēmā, taču (7.6) ir pareiza jebkurā sistēmā (cilindriskajā, sfēriskajā u.c.), vienīgirotora komponentes katrā koordinātu sistēmā izsakāmas citādi. Interesenti attiecīgāsformulas var atrast matemātikas rokasgrāmatās.Atzīmēsim vēl, ka rotora izteiksmi Dekarta koordinātu sistēmā viegli variegūt, izvēršot šādu simbolisku determinantu:ox y z∂ ∂ ∂rotF =.∂x∂ y ∂zFxFyFzIesakām par to lasītājam pārliecināties pašam.Bez tam rotora izteiksmi var iegūt, vektoriāli reizinot jau 1. nodaļā lietoto simbolisko vektoru(operatoru «nabla») ∇ ar vektoru, kura rotors jāuzraksta.Operatoru ∇ tātad var izmantot visu lauka teorijā biežāk lietoto diferencēšanas operācijupierakstam. Reizinot to ar skalāru funkciju, iegūst jaunu vektoru − skalārās funkcijas gradientu:∇φ=gradφ; izveidojot ∇ un kāda vektora F skalāro reizinājumu, iegūst skalāru lielumu − vektora Fdiverģenci: ∇F=divF, bet izveidojot vektoriālo reizinājumu, iegūst jaunu vektoru − rotoru: ∇×F=rotF.Salīdzinot izteiksmi (7.6) Maksvela otrā vienādojuma integrālo formu,redzams, ka, pārejot uz vienādojuma diferenciālo formu, vektora līnijas integrālis panoslēgtu kontūru (matemātikā to sauc arī par vektora cirkulāciju) pārveidojas parrotoru, bet vienādojuma labajā pusē vektora plūsmas vietā jāraksta plūsmas blīvums(otrajā vienādojumā tas ir vektors B). Tāpēc bez grūtībām varam uzrakstīt arī pirmovienādojumu diferenciālajā formā:∂Drot H = J + ,∂t∂Dkur J ir vadītspējas, bet − nobīdes strāvas blīvums.∂t59oo

Maksvela trešajā un ceturtajā vienādojumā, pārejot uz diferenciālo formu,vektora plūsma caur noslēgtu virsmu pārveidojas par vektora diverģenci, bet trešāvienādojuma labajā pusē lādiņa q =∫ρdVvietā jāliek lādiņu telpiskais blīvums ρ.V(Iztiksim bez šī apgalvojuma stingra pierādījuma.) Tātad trešais vienādojums ir šāds:divD = ρ,bet ceturtais −divB = 0.Maksvela vienādojumu sistēma diferenciālajā formā ir šāda:∂Drot H = J + ;∂t∂BrotE = − ; (7.7)∂tdivD = ρ;divB = 0.Maksvela vienādojumiem ir izcila teorētiska un praktiska nozīme. Ar to palīdzību var pētītelektromagnētiskos procesus dažādās elektrotehniskās iekārtās, uzlabot to darbību un radīt jaunasiekārtas. Maksvela vienādojumu pielietojamība apstājas pie kvantu fizikas robežas, taču arī pati kvantuelektrodinamika varēja rasties, lielā mērā pateicoties šiem vienādojumiem; tāpat arī relativitātes teorija,jo, paredzot nobīdes strāvas magnētiskā lauka eksistenci, Dž. K. Maksvels šo teoriju jau bija atminējis,kaut arī tā tika galīgi formulēta apmēram gadsimta ceturksni vēlāk.7.3. Enerģijas pārvade elektromagnētiskajā laukā.Pirms aplūkosim dažus vienkāršākos Maksvela vienādojumu atrisinājumus,jāparunā par enerģijas pārvadi elektromagnētiskajā laukā.Enerģijas pārvadi raksturo Pointinga vektors Π − elektriskā un magnētiskālauka intensitātes vektoriālais reizinājums:Π = E × H. (7.8)Šī lieluma saistība ar enerģiju redzama jau no mērvienībām: E vienība ir V/m,bet H − A/m, tad Π mērāms vienībās VA/m 2 . Sprieguma (V) un strāvas (A)reizinājums ir vienāds ar elektrisko jaudu − enerģiju laika vienībā, tātad Π lielumsvienāds ar enerģiju laika vienībā, attiecinātu uz laukuma vienību, bet Pointingavektora plūsma caur kādu virsmu S − ar enerģijas daudzumu, kāds laika vienībā izietcaur šo virsmu.Protams, ka šos spriedumus nevar uzskatīt par pēdējā apgalvojuma stingrupierādījumu, taču apgalvojums ir pareizs.Lai par to pārliecinātos, aplūkosimHkoaksiālu kabeli, pa kura vadiem (t.i.,Пcentrālo vadu un apvalku) plūst strāva I,ja starp tiem pieslēgts sprieguma avots UE(7.1. att.). Noteiksim Pointinga vektorar plūsmu P∫ Π1dS caur gredzenveidaUI7.1. att. Telpā starp koaksiāla kabeļa vadiem Evektors vērsts radiālā virzienā, H − pa koncentriskariņķa pieskari, bet Π − aksiālā virzienā.r 2= Svirsmu starp abiem vadiem, kuras iekšējaisrādiuss ir centrālā vada rādiuss r 1 ,bet ārējais, r 2 , sakrīt ar apvalka iekšējorādiusu (7.1. attēlā neiesvītrotais laukums).Ja pieņemam, ka vadiem nepie-60

mīt elektriskā pretestība, tad spriegums starp vadiem paliek vienāds ar avota spriegumuU visā kabeļa garumā. Tad vektoram E var izmantot bezgalīgi gara vadaelektriskā lauka intensitātes izteiksmi (5.3). Atceroties arī koaksiāla kabeļakapacitātes izteiksmi (5.5), iegūstamU= .E Er =rlnrr 2Elektriskā lauka intensitāte vērsta radiālā virzienā no centrālā vada uz apvalku, jacentrālajam vadam pieslēgta avota pozitīvā spaile.Magnētiskā lauka intensitāte vērsta vadam koncentriska riņķa pieskaresvirzienā (cilindriskajā koordinātu sistēmā tai ir tikai komponente H α ). Tā nosakāmano (5.8):IH = H α = .2πrTātad vektori E un H ir savstarpēji perpendikulāri.Tad Pointinga vektoram ir komponente tikai aksiālā virzienā Π = Π z = E r H α .Tās virziens sakrīt ar strāvas virzienu tajā vadā, kuram pieslēgta avota pozitīvā spaile,t.i., centrālajā vadā. Līdz ar to vektors Π ir paralēls virsmas elementa vektoram dS unvektoru zīmes, nosakot virsmas integrāli, var atmest. Ievērojot, ka virsmas elementspolārajā koordinātu sistēmā ir dS = rdrdα, iegūstam:UI rdr UI rP = 2π rd = ΠdS = Er H dS = d∫2∫Π S= ⋅ ⋅ = UI.S ∫S ∫ αS ∫α2π ln2r 0 r 21 r2r2r2πln2πln1rrKā redzams, tad Pointinga vektora plūsmas izteiksmē, kas noteikta pa kabeļašķērsgriezuma laukumu, neietverot tajā vadus, patiešām ir vienāda ar avota attīstītojaudu, kuru visu (gadījumā, kad vadiem nav elektriskās pretestības) saņem arī kabelimpieslēgtais patērētājs. No šejienes jāsecina, ka elektriskā enerģija neizplatās«pa vadiem», bet gan elektromagnētiskajā laukā vadu apkārtnē. (Mūsupiemērā, kā zināms, ārpus kabeļa nav ne elektriskā, ne magnētiskā lauka un tātad navarī enerģijas plūsmas.)Lai šo secinājumu vēl vairāk pamatotu, aplūkosim, kas notiek, ja strāva I plūstpa vadu, kuram piemīt galīga lieluma elektriskā vadītspēja γ (7.2. att.). NoteiksimPointinga vektora plūsmu caur vada sānu virsmu ar garumu l.Elektriskā lauka intensitāti ar strāvas blīvumuvadītājā saista Oma likums diferenciālajā formā:J = γE jeb E = J/γ. (7.9)ELīdz ar to E vektors vadā vērsts strāvas plūšanas virzienāHun tāds tas ir arī uz vada virsmas (E tangenciālā komponente,kā zināms no (1.18'), nemainās ar lēcienu). JaПrstrāvas blīvums ir vienāds visā vada šķērsgriezumā, tadIIE = ,7.2. att. Enerģija, kas noapkārtējā elektromagnētiskālauka ieplūst vadā, tiek patērētavada silšanai.11πr2 γkur r ir vada rādiuss.Magnētiskā lauka intensitāte uz vada virsmasnosakāma tāpat kā iepriekšējā piemērā:161

IH = .2πrTā vērsta virsmas pieskares virzienā. Līdz ar to Pointinga vektors vērsts radiāli vadāiekšā. Pointinga vektoram nav komponentes strāvas plūšanas virzienā. Tā kā vektoriE un H ir savstarpēji perpendikulāri, tad2IΠ = EH = .2 32π r γUz vada virsmas šis lielums ir nemainīgs, jo tur r = const. Tad2Il 2P =∫ΠdS = dS IS2 322π r γ ∫= ⋅ ,S πrγjo integrālis pēdējā izteiksmē ir vienāds ar cilindra sānu virsmas laukumu 2πrl.Koeficients strāvas kvadrāta priekšā ir vienāds ar taisna vada pretestību R: l irvada garums, πr 2 − tā šķērsgriezuma laukums, bet 1/γ − īpatnējā pretestība (R = l/γS).Tātad P = I 2 R ; tā enerģija, kas no apkārtējā elektromagnētiskā lauka nonāk vadā, tiekpatērēta vada silšanai, bet nevis pārvadīta no enerģijas avota uz patērētāju. Šisrezultāts vēlreiz apstiprina izdarīto secinājumu par enerģijas izplatīšanos telpā vaduapkārtnē.Lai rastos enerģijas plūsma aksiālajā, t.i., vadu virzienā, elektriskā laukaintensitātei jābūt radiālajai komponentei. Tāda rodas, ja ir divi vadi, starp kuriempastāv spriegums. Lai rastos magnētiskais lauks, vados jāplūst strāvai. Vadi piešķirenerģijas plūsmai virzienu.Ja elektriskais un magnētiskais lauks ļoti ātri mainās laikā, rodas liels nobīdesstrāvas blīvums ∂D/∂t, kas rada pietiekami stipru mainīgu magnētisko lauku un spējuzturēt enerģijas izplatīšanos arī bez vadu palīdzības. Tā izplatās elektromagnētiskieviļņi.7.4. Maksvela vienādojumu kopēja risināšana. Viļņu un siltumvadāmībasvienādojums.Mainīgā elektromagnētiskajā laukā Maksvela vienādojumi jārisina kāvienādojumu sistēma, − jācenšas iegūt vienu vienādojumu ar vienu nezināmo lielumu,kuru pēc tam var atrisināt.Lai izslēgtu no vienādojumiem magnētiskā lauka vektorus, pielietosim operācijurot otrajam no vienādojumiem (7.7). To var darīt, jo kā rotE tā B šajāvienādojumā ir vektori un operācija rot tiem ir definēta. Tad, ievērojot vēl, kaB = µµ o H, iegūstam∂rotrotE = − µµ o rotH .∂tIevietojot šeit rotH izteiksmi no Maksvela pirmā vienādojuma, iegūstam vienādojumuar vienu nezināmo lauka vektoru E:2∂E∂ ErotrotE = − µµ oγ− µµ oεεo . (7.10)2∂t ∂t(Ievērots Oma likums (7.9) J = γE.)Vienādojums (7.10) ir pietiekoši sarežģīts, tādēļ to cenšas risināt speciāliemgadījumiem, kad tas vienkāršojas. Vispirms izmantosim matemātisku identitāti, kas irpareiza jebkuram vektoru laukam F:rotrotF = graddivF − divgradF = graddivF −∇ 2 F,62

kur ∇ 2 ir jau 1. nodaļā lietotais Laplasa operators, tikai šeit tas izmantots vektoriālaifunkcijai.Ja turpmāk aplūkojam tikai gadījumus, kad divE = 0 (t.i., telpā nav izkliedētulādiņu, ρ = 0), tad (7.10) vienkāršojas:22 ∂E∂ E∇ E = µµ oγ+ µµ oεεo . (7.11)2∂t ∂tArī šo vienādojumu cenšas vienkāršot tālāk. Aplūkojot lauku dielektriskā vidē,kur γ = 0, iegūst22∂ E∇ E = µµ oεεo . (7.12)2∂tVienādojumu (7.12) sauc par viļņu vienādojumu. Tas, kā redzēsim turpmāk (sk.7.5), apraksta viļņu izplatīšanos telpā.Vadošā vidē ar lielu īpatnējo vadītspēju γ pirmais saskaitāmais (7.11)vienādojuma labajā pusē parasti ir daudz lielāks par otro saskaitāmo. Tādēļ šo otrosaskaitāmo atmet un risina vienādojumu2 ∂E∇ E = µµ o γ . (7.13)∂tŠo vienādojumu sauc par siltumvadāmības vienādojumu, jo matemātiski tādampašam vienādojumam pakļaujas arī siltuma izplatīšanās telpā. Arī (7.13) aprakstaviļņu izplatīšanos, taču atšķirībā no (7.12) vienādojuma atrisinājumiem šiem viļņiemto izplatīšanās virzienā krasi samazinās amplitūda (sk. 7.6).Pielietojot operāciju rot pirmajam Maksvela vienādojumam, līdzīgā veidāiespējams no pirmā un otrā vienādojuma izslēgt elektriskā lauka intensitāti E. Tadmagnētiskā lauka intensitātei H var iegūt pilnīgi tādus pašus vienādojumus (7.10) −(7.13). Iesakām lasītājam par to pārliecināties pašam.7.5. Plakans vilnis dielektriskā vidē.Visi iepriekšējā sadaļā iegūtie vienādojumi (7.10) − (7.13) ir parciāliediferenciālvienādojumi. Lai iegūtu kādu konkrētu atrisinājumu, jābūt zināmam, kasrada lauku. Matemātiski to var uzdot ar robežnoteikumiem uz apskatāmā telpasapgabala robežvirsmām.Aplūkosim gadījumu, kad dielektriskā vidē x,z plaknes visos punktos tiekuzturēta laikā t vienādi mainīga elektriskā lauka intensitāte E = E z = E m sinωt arzināmu leņķisko frekvenci ω un amplitūdu E m .Tā kā robežnoteikumā E =E z , tad sagaidāms, ka arī citur telpā neradīsiesvektora E citas komponentes. Tāpēc no vienādojuma (7.12) atliek viens skalārsvienādojums komponentei E z :22∂ Ez∇ Ez= µµ oεεo . (7.14)2∂tDekarta koordinātu sistēmā konstantos vienības vektorus x 0 , y 0 , z 0 var iznest no Laplasaoperatora un iegūt skalārus vienādojumus katrai komponentei. Lasītājs tomēr jābrīdina, ka citāskoordinātu sistēmās vienības vektoru virzieni var būt mainīgi, pārejot no viena telpas punkta uz citu.Tādus vienības vektorus nevar vienkārši iznest no operatora ∇ 2 . Tādēļ citās koordinātu sistēmāsvektoriālas funkcijas Laplasa operatora sadalīšana komponentēs ir sarežģītāka.Tā kā robežnoteikumā E z nav atkarīga no x un z, tad sagaidāms, ka no x un znebūs atkarīgs arī atrisinājums. Tad (7.14) vienkāršojas tālāk:63

∂2Ez2= µµoεεo∂2Ez2. (7.15)∂ y∂tParādīsim, ka doto robežnoteikumu gadījumā (7.15) apmierina funkcijaE z (y,t) = E m sin(ωt−βy) (7.16)un noteiksim koeficientu β. Šajā nolūkā jāatrod sagaidāmā atrisinājuma (7.16) otrāskārtas atvasinājumi pēc y un t, jāievieto tie vienādojumā (7.15) un jāatrod, kādamjābūt koeficientam β, lai izveidotos identitāte.Pirmās kārtas atvasinājumi ir šādi:Otrās kārtas atvasinājumi:∂∂Ez∂ y∂E∂tz2Ez2∂ y2Ez2= − βE= ωEm2m= − β Ecos(ωt- βy);cos(ωt- βy).sin(ωt- βy);∂2= − ω Emsin(ωt- βy).∂tIevietojot tos vienādojumā (7.15) redzam, ka patiešām izveidojas identitāte, jaβ 2 = ω 2 µµ o εε o , t.i., β = ω µµ o εε .oVidē, kurā µ = ε =1 (vakuumā, gaisā), β = ω/c, kur c ir gaismas ātrumsvakuumā. (Atcerēsimies, ka 3. nodaļā definējām magnētisko konstanti µ o =1/ε o c 2 .Tātad c = 1/ µ o ε o .) Citā vidē tāpat β = ω/v, kur v ir gaismas ātrums konkrētajāvielā.Laika momentā t +∆t sinusa funkcijas argumentu iegūtajā atrisinājumā varpārveidot šādi (vakuumā vai gaisā):sin[ω(t +∆t) −ωy/c] = sin[ωt −(y −c∆t) ω/c] = sin[ωt −(y −∆y) ω/c],kur apzīmēts ∆y = c∆t.No šejienes redzams, kaE z (y)momentā t +∆t funkcijas E z (y) līknet t+∆tir pilnīgi tāda pati kā momentā t,tikai tā pavirzījusies attālumā∆y = c∆t y-ass pozitīvajā virzienā.vPārvietošanās ātrums ir c (7.3. att.).Laikā mainīgais elektriskaisylauks bez šaubām rada arī magnētiskolauku ar intensitāti H. Noteiksimarī to, izmantojot Maksvelaotro vienādojumu (7.6):∆y=c∆t∂H= −1rotE.7.3. att. Funkcija sin(ωt−βy) veido skrejošovilni, kas ar ātrumu v=ω/β izplatās y-ass pozitīvajāvirzienā.m∂tµµ oTagad, kad vektors E ir noteikts,var atrast vektoru rotE. Izmantosim7.2. sadaļā doto rotora izteiksmi ar64

determinantu, ievērojot, ka mūsu gadījumā E x = E y = 0 un tāpat ar nulli ir vienādiatvasinājumi pēc x un z, jo E z atkarīga tikai no y.Tātadooox y z∂o ∂Ez orotE= 0 0 = x = − x βEmcos(ωt- βy).∂ y∂ y0 0 Ez∂H= x∂toβEmcos(ωt- βy).µµ oKā redzams, tad mūsu gadījumā (kad E = E z ) vektoram H ir tikai x-komponente:H = H x , kuru var noteikt, integrējot pēdējo izteiksmi pēc t.Hβεεo= Emsin(ωt- βy)Emsin(ωt- βy)(7.17)ωµµµµx=ooArī magnētiskā lauka intensitāte izplatās telpā skrejošā viļņa veidā, turklāt, kā mēdzteikt, tā «sakrīt fāzē» ar elektriskā lauka intensitāti − sinusa funkcijas argumenti kā E ztā H x izteiksmē ir vienādi. Elektriskais un magnētiskais lauks kādā telpas punktāvienlaicīgi sasniedz maksimālo vērtību, vienlaicīgi iet caur nulli utt. Vektori E un Hjebkurā telpas punktā ir savstarpēji perpendikulāri un to savstarpējā orientācija ir tāda,ka Pointinga vektors vērsts viļņa izplatīšanās virzienā. Simboliski tas parādīts 7.4.attēlā.xzHEΠy7.4. att. Elektromagnētiskajā vilnī vektori E un H irsavstarpēji perpendikulāri. Pointinga vektora (enerģijasplūsmas) virziens sakrīt ar viļņu izplatīšanās virzienu.Tādu vilni, kurā visostelpas punktos vektori E un H irparalēli vienai un tai pašaiplaknei (mūsu gadījumā − x,zplaknei) sauc par plakanuvilni. Kā redzams no iegūtā atrisinājuma(7.16) un (7.17), tadplakans elektromagnētiskais vilnisdielektriskā vidē izplatās arnemainīgām E un H amplitūdām.Šāds secinājums varētuizraisīt iebildumus, jo ir ļoti labizināms, ka, izplatoties lielos attālumos,viļņa intensitāte pavājinās. Tas izskaidrojams tā, ka elektromagnētisko vilnivar uzskatīt par plakanu vilni tikai ierobežotā telpas apgabalā. Īstenībā pietiekami tāluno elektromagnētisko viļņu izstarotāja izveidojas sfērisks vilnis, kurā Pointingavektors vērsts radiālā virzienā no sfēras, kuras centrā atrodas izstarotājs. Palielinotiessfēras rādiusam, viļņa nestā enerģija izkliedējas arvien lielākā telpas apgabalā, kasizraisa intensitātes samazināšanos. Elektromagnētiskā viļņa intensitāte samazinās arītad, ja vide nav ideāli dielektriska (gaisa mitruma vai citu iemeslu dēļ). Par šo efekturunāsim nākošajā sadaļā.Noslēdzot šo sadaļu, atzīmēsim, ka iegūtais atrisinājums (7.16) un (7.17)izvēlēto robežnoteikumu gadījumā nebūt nav vienīgais iespējamais. Ja patiešām uzvisas bezgalīgās x,z plaknes izdotos uzturēt visos punktos vienādu sinusoidāli mainīguelektriskā lauka intensitāti, tad šī plakne darbotos kā izstarotājs, bet viļņi izplatītos uzabām pusēm no tās. Var pārliecināties, ka šajos apstākļos vienādojumam (7.15) ir arīatrisinājums E = E z (y,t) = E m sin(ωt+βy), kas veido vilni, kurš izplatās pretēji y-asspozitīvajam virzienam.65

z7.6. Plakans vilnis vadošā vidē. VirsmasefektsVadoša videTagad aplūkosim gadījumu, kad x,z plakneγ≠0 ir robežvirsma starp vadošu (γ ≠ 0) un dielektriskuvidi (7.5. att.). Uz šīs plaknes tāpat kā iepriekšējāsadaļā tiek uzturēta visos punktos vienāda, laikāy sinusoidāli mainīga elektriskā lauka intensitāteE = E z = E m sinωt. Noteiksim elektriskā un magnētiskālauka intensitāti vadošajā vidē.xVadošā vidē jārisina siltumvadāmības vienādojums(7.13), kurš mūsu gadījumā vienkāršojas7.5. att. Uz x,z plaknes tiek uzturētalaikā sinusoidāli mainīgaelektriskā lauka intensitāte. Kā izplatīsiesviļņi vadošā vidē?∂ Ez∂Ezlīdzīgi kā iepriekšējā sadaļā:2= µµ oγ. (7.18)2∂ y ∂tAtrisinājumu meklēsim veidāE z (y,t) = E m e -αy sin(ωt−βy). (7.19)Šeit e ir naturālo logaritmu bāze, bet koeficienti α un β jānosaka risinājuma gaitā.Amplitūdu E m un leņķisko frekvenci ω uzskatīsim par zināmiem lielumiem.Jārīkojas līdzīgi kā iepriekšējā sadaļā − jāatrod pieņemtā atrisinājuma (7.19)pirmās kārtas atvasinājums pēc laika, otrās kārtas atvasinājums pēc y, jāievieto tievienādojumā (7.18) un jāpārliecinās, ka ir iespējams izvēlēties tādus koeficientus α unβ, lai izveidotos identitāte. ∗Nosakām vajadzīgos atvasinājumus:∂E z= ωE m e -αy cos(ωt−βy);∂tE=Ez=Emsinωt∂E z∂ y∂2E z2∂ y= −α E m e -αy sin(ωt−βy) − βE m e -αy cos(ωt−βy);= α 2 E m e -αy sin(ωt−βy) + αβE m e -αy cos(ωt−βy)++αβ E m e -αy cos(ωt−βy) − β 2 E m e -αy sin(ωt−βy) ==(α 2 − β 2 )E m e -αy sin(ωt−βy) + 2αβ E m e -αy cos(ωt−βy).Ievietojot vienādojumā (7.18):(α 2 − β 2 )E m e -αy sin(ωt−βy) + 2αβE m e -αy cos(ωt−βy) = ωµµ o γE m e -αy cos(ωt−βy).Iegūtās vienādības labajā pusē sinusa funkcijas nav. Tātad tā nedrīkst būt arī kreisajāpusē. Tādēļ jābūtα = β.Pielīdzinot kosinusa funkcijas koeficientus kreisajā un labajā pusē, iegūstam2α 2 = ωµµ o γ jeb∗ Šeit piedāvātais risinājuma veids nav uzskatāms par racionālu − laikā sinusoidāli mainīgu procesuparasti risina, izmantojot kompleksos skaitļus. Tad risinājums ir daudz īsāks un vienkāršāks. Autorstomēr nevēlas to šeit darīt, jo tas prasītu no lasītāja pietiekamas priekšzināšanas par kompleksajiemskaitļiem. Ar komplekso skaitļu metodi EEF studenti iepazīsies turpmākajos mācību priekšmetos.66

ωµµ oγα = β = . (7.20)2Tātad pieņemtais atrisinājums (7.19) apmierina vienādojumu (7.18) un koeficienti αun β ir atrasti.Funkcija sin(ωt−βy) atrisinājumā (7.19) veido skrejošo vilni, kas izplatās y-asspozitīvajā virzienā tāpat kā dielektriskā vidē, taču reizinātājs e -αy rāda, ka viļņaamplitūda samazinās tā izplatīšanās virzienā (7.6. att.). Attālumu y 0 , kurā viļņa amplitūdasamazinās e=2,718..., reizes nosacītiz Et t+∆tsauc par viļņa iespiešanās dziļumu. Tasynosakāms no sakarības αy 0 =1. TātadE m e -α1 2y0= = . (7.21)α ωµµ γ−E m e -αy7.6. att. Izplatoties vadošā vidē, elektromagnētiskāviļņa amplitūda krasi samazinās tā izplatīšanāsvirzienā. Vislielākā intensitāte ir uzvadošā materiāla virsmas. Šo parādību saucpar virsmas efektu.yo(Teorētiski vilnis iekļūst vadošā materiālāneierobežoti dziļi, taču tā amplitūda tālu novirsmas ir niecīga.)Tā kā strāvas blīvumu ar elektriskālauka intensitāti saista Oma likums J = γE,tad laikā mainīga strāva (maiņstrāva) plūstgalvenokārt vadītāja virsmas tuvumā, betdziļumā strāvas blīvums ir niecīgs. Šoparādību sauc par virsmas efektu (skinefektu).Virsmas efekts novērojams jebkurāvadā, pa kuru plūst maiņstrāva. (Tas vēlreiz apstiprina 7.3. sadaļā izdarītossecinājumus, ka enerģija un elektromagnētiskais lauks vadā iekļūst no apkārtējāstelpas.) Tādēļ nav nekādas nozīmes izmantot vadus, kuru diametrs vairākkārtpārsniedz viļņu iespiešanās dziļumu. Vada iekšējie slāņi tik un tā paliks neizmantoti.(Apaļā vadā elektriskā lauka sadalījuma matemātiskā izteiksme, protams, ir citāda,taču aptuvenam novērtējumam var lietot izteiksmi (7.21), kuru ieguvām plakanasvadītāja virsmas gadījumam.)Kā redzams no (7.21), tad viļņu iespiešanās dziļums ir atkarīgs no maiņstrāvasfrekvences ω, kā arī no materiāla īpašībām − no īpatnējās vadītspējas γ unmagnētiskās caurlaidības µ. Vara vadam (µ = 1, γ ≈ 6·10 7 1/(Ωm)) maiņstrāvai arfrekvenci f = 50 Hz (ω = 2πf = 314 rad/s) viļņu iespiešanās dziļums ir aptuveni 9 mm.Enerģētikā virsmas efekts ir nevēlama parādība. Bieži viena resna vada vietā jālietovairāki paralēli vadi, bet arī tādā gadījumā jārēķinās ar virsmas efektam līdzīguparādību − t.s. tuvuma efektu, t.i., ka elektriskais lauks un strāvas blīvums tiksizspiests no paralēlo vadu tuvākajām, iekšējām malām uz ārējām.Līdzīgi kā to darījām iepriekšējā sadaļā, aplūkojot mainīgu lauku dielektriskāvidē, var iegūt arī magnētiskā lauka intensitāti vadošā materiālā, uz kura virsmas tiekuzturēts laikā mainīgs elektriskais lauks. Tāpat kā dielektriskajā vidē, arī vadītājā Hvektors ir perpendikulārs vektoram E. Arī magnētiskais lauks ir pakļauts virsmasefektam, − tā intensitātes amplitūda samazinās vadītāja dziļumā tāpat kā elektriskajamlaukam.Aplūkosim vēl gadījumu, kad uz vadošā materiāla virsmas tiek uzturēta neviselektriskā lauka intensitāte kā iepriekšējos gadījumos, bet laikā mainīgs magnētiskaislauks ar intensitāti H =H z = H m sinωt. To varētu izdarīt, piemēram, noklājot vadītājavirsmu ar tievu vadu slāni, pa kuriem plūst laikā sinusoidāli mainīga strāva (7.7. att.).67

Kā jau minējām 7.4. sadaļā, tad vektors H apmierina tos pašus vienādojums,ko vektors E. Tādēļ, risinot siltumvadāmības vienādojumu (7.13) magnētiskā laukaintensitātei dotajos apstākļos, iegūsim to pašu atrisinājumu (7.19), ko iepriekšieguvām vektoram E:zH = H z = H m e -αy sin(ωt − βy), (7.22)kur tāpat kā iepriekšγ ≠ 0ωµµ oγα = β = .27.7. att. Laikā mainīgs magnētiskaislauks vadošā materiālākoncentrējas galvenokārttā virsmas slāņos un izraisavirpuļstrāvu rašanos.yReizinātājs e -αy rāda, ka arī šajā gadījumā izpaužas virsmasefekts. Tā, piemēram, ja spolē ievietota vadoša materiālaserde, tās centrālā daļa paliks neizmantota, magnētiskaistur būs ievērojami vājināts.Kā redzams no izteiksmes (7.22), tad rotH = J ≠ 0.Tas nozīmē, ka vadošajā materiālā plūdīs arī strāvas, kautgan tam nekāds cits elektriskās enerģijas avots nav pieslēgts.Vadošā materiālā mainīgā magnētiskā lauka ietekmēinducētās strāvas sauc par virpuļstrāvām (arī parFuko strāvām). Mūsu aplūkotajā gadījumā, kad vadošais materiāls aizņem visupustelpu y > 0, inducētās strāvas plūst paralēli x-asij (t.i., perpendikulāri 7.7. attēlaplaknei), taču ierobežotā apgabalā tās veido noslēgtus kontūrus. Atbilstoši Lencaprincipam virpuļstrāvu virziens ir tāds, ka tās cenšas kavēt ārējā magnētiskā laukamaiņu laikā, kas tad arī ir virsmas efekta rašanās fiziskais cēlonis.Elektrotehniskajās iekārtās virpuļstrāvu rašanās pavājina magnētisko lauku unizraisa enerģijas zudumus serdes materiāla silšanai. Lai samazinātu virpuļstrāvas,maiņstrāvas spoļu serdes nekad neizgatavo no vienlaidus materiāla, bet gan saliek nosavstarpēji izolētām elektrotehniskā tērauda plāksnītēm. Tas ievērojami palielinaserdes pretestību virpuļstrāvām un samazina zudumus.Augstu frekvenču gadījumā viļņu iespiešanāsdziļums krasi samazinās. Toizmanto praktiski, piemēram, zobratu virsmas rūdīšanai. Ievietojot sagatavi pietiekamispēcīgā augstfrekvences laukā, strāva plūst tikai pa virskārtu un sakarsē to līdzrūdīšanai nepieciešamajai temperatūrai. Materiālu strauji atdzesējot, tā dziļākie slāņipaliek nenorūdīti un līdz ar mazāk trausli.Plāns vadoša materiāla ekrāns praktiski nelaiž cauri augstfrekvences lauku.Tādēļ, piemēram, koaksiāls kabelis, kura apvalks kalpo kā ekrāns, ir samērā nejūtīgspret ārēju augstfrekvences signālu traucējumiem.68