MATE 311 VAC

ANALISE
STUDIEGIDS EN HANDLEIDING VIR
MATE 311 VAC
*MATE311VAC*
SKOOL VIR OPVOEDINGSWETENSKAPPE
VAALDRIEHOEKKAMPUS

Studiegids saamgestel deur:
Rudi van de Venter
Met spesiale dank aan:
Andries van Tonder vir kritiese en opbouende bydrae tot die inhoud
Bladuitleg deur Rudi van de Venter, Vakgroep Wiskunde-onderwys van die Skool vir
Kurrikulumgebaseerde Studies
Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum)
Ivyline Technologies (018) 293 0715/6
Kopiereg 2012 uitgawe. Hersieningsdatum 2014
Noordwes-Universiteit
Kopiereg voorbehou. Geen gedeelte van hierdie boek, mag in enige vorm of op enige manier, sonder
skriftelike toestemming van die publiseerders, weergegee word nie. Dit sluit fotokopiëring van die hele,
of gedeeltes van die boek, in.
ii

INHOUDSOPGAWE
Voorwoord van die skrywer van hierdie gids .................................................................... iv
'n Woord van verwelkoming ................................................................................................ vi
Kontakpersoon .................................................................................................................... vii
Hoekom bestudeer ons hierdie module? ......................................................................... viii
Voorvereistes .................................................................................................................... xviii
Studiemateriaal ................................................................................................................... xix
Hoe om die studiegids te gebruik ..................................................................................... xix
Monitering van vordering .................................................................................................. xxii
Waarskuwing teen plagiaat ............................................................................................. xxvii
Studie ikone .................................................................................................................... xxviii
Aksiewoorde ..................................................................................................................... xxix
Die moduleplan ................................................................................................................ xxxii
Tydskedule en student-werkprogram ........................................................................... xxxiii
Belangrike afsprake ........................................................................................................ xxxvi
Module-uitkomste ......................................................................................................... xxxviii
1 Differensiaalrekene ........................................................................................................ 1
1.1 Grondliggende konsepte ........................................................................................... 5
1.2 'n Intuïtiewe benadering tot differensiasie ............................................................... 37
1.3 Berekening van afgeleides vanuit eerste beginsels ................................................ 63
1.4 Differensiasiereëls ................................................................................................... 73
1.5 Spesiale toepassings van differensiaalrekene ...................................................... 145
2 Integraalrekene ........................................................................................................... 179
2.1 ‘n Intuïtiewe benadering tot integrasie ................................................................... 183
2.2 Die limiet van ‘n Riemann-som ............................................................................. 215
2.3 Deel I van die Hoofstelling van die Analise ........................................................... 237
2.4 Integrasiereëls ....................................................................................................... 261
2.5 Deel II van die Hoofstelling van die Analise .......................................................... 299
2.6 Spesiale toepassings van integraalrekene ........................................................... 327
Bronnelys ........................................................................................................................... 395
iii

VOORWOORD VAN DIE SKRYWER VAN HIERDIE GIDS
Die geskiedenis van Wiskunde as studieveld strek millennia ver terug na die vroeëre dae van
die menslike beskawing. In die besonder, spruit die wiskunde wat in hierdie module aan die
orde kom uit die werk van mense wat onder die grootste denkers van alle tye tel.
Dit is teen die agtergrond van hierdie indrukwekkende geskiedenis wat ek die eer het om u
aan hierdie besondere afdeling van Wiskunde bekend te stel.
Soveel onderwysers, dosente en skrywers het my gehelp om die insigte te bekom wat ek
vandag in hierdie afdeling van die Wiskunde het; groot eer kom hierdie mense toe vir hulle
toewyding en geduld. Dit is vir my ‘n eer om in hul voetspore te volg wanneer ek saam met u
hierdie module aanpak. Ek voel met goeie rede klein en nietig; derhalwe wil ek die woorde
van Isaac Newton aanhaal:
“En as ek verder kon sien, dan is dit omdat ek op die skouers van reuse gestaan
het.”
Ek beleef my eie rol soos dié van ‘n gids wat saam met u deur ‘n lieflike tuin vol pragtige
marmerbeelde wandel en die voorreg het om al die mooi dinge vir u uit te wys sodat u kan
deel in die bewondering wat die ou mense vir hulle ongelooflike werk verdien; of soos ‘n
musikus wat saam met u na uitvoerings luister en u help om die instrumente en hul mooi
klanke na waarde te waardeer.
Mag dit ook u belewenis van hierdie module wees.
Tog moet ek u in dieselfde asem daaraan herinner dat geen kunstenaar ‘n meester kan word
deur bloot kunswerke te bestudeer nie; so ook lê die klem in hierdie module nie net op kyk
en waardeer nie, maar veral op leer deur self te doen.
Die note in die bladmusiek kan nie self die instrument bespeel nie; dit is die kunstenaar wat
die note moet interpreteer en deur sy aksies die musiek uit die instrument te voorskyn laat
kom - soos towerkrag.
Mag hierdie module vir u ‘n aangename en leersame avontuur wees en u inspireer om die
betekenis uit die simbole te tower.
Ek, as medestudent van Wiskunde as studieveld, sien uit na al die nuwe dinge wat ek ook in
die loop van die module gaan leer; geen wiskundestudent se kennisraamwerk is ooit klaar
gebou nie – dit bly ‘n lewende, groeiende, dinamiese struktuur.
iv

Ek bedoel dit wanneer ek dit stel dat die skryf van hierdie studiegids en die aanbied van die
module vir my die suiwerste plesier verskaf.
v

'N WOORD VAN VERWELKOMING
Welkom by hierdie Wiskunde-module. Dit is die vyfde van ses akademiese Wiskundemodules
vir voornemende VOO wiskunde-onderwysers. Soos in die geval van die vorige
vier akademiese Wiskunde-modules waarvan u elke jaar een geneem het, fokus hierdie
module ook op Wiskunde as die interessante en dinamiese wetenskap van struktuur, orde en
verwantskap wat te doen het met logiese redenasie en kwantitatiewe berekening
(http://www.brittanica.com/ebc/article-9371530).
Hierdie module handel oor meer as net die toepassing van Wiskunde – dit is ontwerp om u
ook aan ‘n heelwat meer formele benadering tot Wiskunde bloot te stel sodat u kan beleef
hoe enige wiskunde afhanklik is van ‘n goeie teoretiese onderbou – definisies en stellings –
en hoe die berekeningsmetodes dan uit die teorie voortvloei. Sodoende sal u hopelik ‘n
mate van waardering ontwikkel vir die pragtige werk wat in vorige eeue deur wiskundiges
soos Newton, Leibniz, Fermat en Riemann gedoen is.
Hierdie module is volgens die uitkomsgerigte onderrigleer-benadering ontwerp. Dit beteken
dat die module leerdergesentreer is, en dus absoluut berus op leerderbetrokkenheid.
Ons glo dat leerderbetrokkenheid op vier bene staan:
vi
1. Voorbereiding vir kontaksessies
2. Deelname aan die akademiese gesprek in die klas (saam gesels en vrae vra)
3. Deurwerk van probleme op u eie om insig te verkry (selfwerksaamheid)
4. Terugrapporteer van u vordering (selfassessering en ander vorme van assessering).
Sonder 'n hoë mate van selfwerksaamheid sal dit nie moontlik wees om te vorder nie. As
derdejaarstudent word daar van u verwag om te demonstreer dat u onafhanklik van die
dosent kan werk - op u eie, sowel as in groepsverband (waar moontlik).
Die inhoud van hierdie module is van só 'n aard dat dit 'n hoogs gestruktureerde,
geïntegreerde geheel vorm. Daarby bedoel ons dat elke deeltjie van die materiaal
bemeester moet word om alle ander dele te kan verstaan; as daar iewers 'n swak plek in u
kennisraamwerk ontstaan, sal dit 'n invloed hê op alle ander kennis en vaardighede wat
daarop volg en tot 'n mate selfs op dit wat u reeds suksesvol geleer het.
Onthou dat daar in eksamens en toetse gefokus sal word op hoër-orde denkvaardighede
soos toepassing van kennis en vaardighede, ontleding van teorie sowel as toepassings,
die sintese (saamstel) van nuwe oplossings uit reeds bekende resultate vir ingewikkelder
probleme en die evaluering van teorie sowel as die resultate van u probleemoplossing.

In die PowerPoint-aanbieding "1 MATE 311 Oriëntering.ppt" wat u vanaf die e-leer-platform
kan aflaai, word meer hieroor gesê.
Hierdie hoër-orde denkvaardighede (meer as 60% van leertake in oefeninge, opgawes en
vraestelle) word deur die student self ontwikkel soos wat u deur die leermateriaal werk en dit
is 'n tydsame proses. Alleenlik indien u elke dag konstant en getrou meewerk aan hierdie
module, sal u hierdie proses ervaar en self sien hoe u as wiskundige groei. Dit is ons
primêre doel met hierdie module – om u te help om u wiskundige kennis en denkvaardighede
tot hoër vlakke as ooit tevore te voer.
U dosent verbind homself daartoe om vir u as fasiliteerder van bogenoemde prosesse op te
tree en om u as mede-wiskundige en lewenslange student te ondersteun.
Ons hoop dat u die leerinhoud interessant en uitdagend sal vind. Ons wil u uitdaag en
uitnooi om aan elke leeraktiwiteit wat in hierdie studiegids genoem word, deel te neem. U
aktiewe deelname aan die leeraktiwiteite sal groot waarde hê en tot onberekenbare voordeel
van u eie leer strek.
KONTAKPERSOON
Rudolph J van de Venter (Skrywer van studiegids en ontwikkelaar van module)
Kantoor G 07
Educamus-gebou (B 10)
018 299 1859
10086013@nwu.ac.za
vii

HOEKOM BESTUDEER ONS HIERDIE MODULE?
Hierdie module handel oor Analise (in Engels: “calculus”) – die gesamentlike naam vir twee
belangrike velde in Wiskunde, naamlik differensiaalrekene en integraalrekene.
Die module is so saamgestel dat Leereenheid 1 oor differensiaalrekene handel, en
Leereenheid 2 oor integraalrekene.
Die onderwerp waarmee hierdie module handel lê die dosent baie na aan die hart omdat dit
inherent pragtig is; die besondere toepassings daarvan is algemeen, veelsydig, nuttig en
uiters kragtig; dit is ‘n afdeling van Wiskunde wat die besondere aard van die vakgebied baie
mooi illustreer.
Nietemin is woorde soos Wiskunde, Analise, differensiaalrekene en integraalrekene baie
intimiderend. Daarom is dit sinvol om in die paragrawe wat volg ‘n mate van agtergrond te
probeer verskaf aangaande hierdie sake. Ook word vrymoedigheid geneem om ‘n kort
voorwoord van die skrywer in te sluit.
Wat is die aard van Wiskunde?
Daar bestaan verskeie perspektiewe waaruit mense hierdie vraag probeer beantwoord en
gevolglik is daar ‘n verskeidenheid antwoorde wat mense op hierdie vraag probeer gee.
Die filosofiese perspektief wat ons in die Vakgroep Wiskunde-onderwys gebruik, word
dinamiese relativisme genoem. In kort kom dit daarop neer dat ons glo dat Wiskunde
geleer word deur dit te doen en dat die doen van wiskunde beteken dat ‘n mens Wiskunde
maak (Nieuwoudt, 2006:12). Sodoende bou die student sy eie Wiskunde-kennisraamwerk
namate hy Wiskunde gebruik om probleme op te los.
Hierby bedoel ons dat Wiskunde iets is wat die student vir homself maak namate hy met
wiskundige idees en wiskundige aktiwiteite soos metings, diagramme, beskrywings, grafieke,
vergelykings en verwantskappe werk. Wiskunde is dus 'n stelsel of struktuur wat bestaan uit
kennis, idees, denkvaardighede, reëls, metodes en veel meer waaraan elke mens self
betekenis koppel deur sy persoonlike ervaring en aktiewe betrokkenheid. Hierdie stelsel is
dinamies (nooit staties nie, maar altyd aan die groei en verander) en is ook relatief (dit het
vele fasette wat eers binne 'n sekere konteks geïnterpreteer moet word voordat dit sinvolle
betekenis kry; die verskillende aspekte staan op ‘n sekere manier in verband met mekaar en
staan nooit los van mekaar nie).
viii

In die lig van die vorige paragraaf is dit dus onmoontlik om vir ‘n student wiskunde te leer –
Wiskunde is ‘n stelsel van kennis, vaardighede en gesindhede wat die student vir homself en
binne homself konstrueer.
Wiskundige idees en wiskundige aktiwiteite is ‘n integrale deel van die alledaagse lewe in
21ste eeu. In die verloop van hierdie module sal u ook sien hoe Wiskunde gedurig by
prosesse en verskynsels in die alledaagse lewe betrokke is. Aangesien Wiskunde, volgens
die dinamies relativistiese perspektief, geleer word deur dit te doen is daar dus ‘n ryke
leeromgewing om ons wat ons kan benut om die leer van wiskunde mee in te klee.
Dit beteken egter dat u in enige Wiskunde-module moet leer om wiskundig te lees, wiskundig
te skryf en bo alles, om wiskundig te dink; anders sal u nie met Wiskunde soos dit in die
werklike lewe voorkom kan werk nie.
Die besondere aard van Wiskunde stel ons in staat om die werklikheid waarin ons leef, nie
net kwalitatief (in terme van waarneembare eienskappe) nie, maar ook kwantitatief (in
terme van meetbare getalwaardes) te beskryf en sodoende beter te verstaan. In hierdie
opsig is Wiskunde baie soos 'n taal.
Die hantering van baie probleme uit die natuurwetenskappe, ingenieurswese, statistiek en
ekonomie berus op die vermoë om prosesse en verskynsels in wiskundige terme te "vertaal"
en om vervolgens, deur die toepassing van wiskundige tegnieke, nuwe inligting oor hierdie
prosesse en verskynsels te verkry. Hierdie “vertaling” van werklikheidsgetroue
probleemsituasies na wiskundige vorm is in wese wiskundige modellering.
Wiskunde verskaf nie net tegnieke om situasies mee te modelleer nie, maar ook die
konseptuele gereedskap om die gedrag van daardie modelle mee te ontleed en te evalueer.
Hierdie spesifieke Wiskunde-module handel oor die ontwikkeling van die konseptuele
gereedskap vir die ontleed van die gedrag van wiskundige modelle.
Hierdie module hang baie nou saam met en bou voort op die modules MATE 111 (Funksies)
en MATE 221 (Inleidende Algebra) waarin u met onder meer wiskundige modelle,
getallestelsels en polinome kennis gemaak het. Tog betrek dit ook idees uit meetkunde en
kegelsnedes wat in WSKH 221 breedvoerig behandel is.
Die volgende skema mag u dalk help 'n idee te kry van wat die aard van Wiskunde is. Ons
waarsku u egter dat hierdie prentjie ook nie "klaar gemaak" is nie – u kan u eie idees omtrent
Wiskunde daaraan toevoeg om dit meer volledig te maak:
ix

x
Probleme in
Vrae
Woordprobleme
Vaaghede
Onbekendes
Uitdrukkings
Vergelykings
Funksies
Statistiek
Chaos
Wat is Wiskunde?
Die Aard en Doel van Wiskunde
1. 'n Taal
2. Formules en Verwantskappe
3. Alledaagse Toepassings
4. Logika en Logiese Beginsels
5. Probleemoplossing
6. Ideale Model van die Werklikheid
7. Abstrakte Idees
8. Onsigbare Denkprosesse
9. Konkrete, Sigbare Betekenisse
10. Metodes en Tegnieke
11. Patrone
12. Interafhanklike, Dinamiese Stelsel
van al Bogenoemde Aspekte
Oplossings uit
Antwoorde
Lewenswerklike Antwe
Skattings en Ramings
Bekendes
Vereenvoudigings
Oplossings
Grafiese Voorstellings
Waarskynlikhede
Orde
Professor Paul Foerster, skrywer van ‘n uitstekende Amerikaanse wiskundehandboek oor
Analise, verwys na twee wêrelde waarin die wiskundige werk, naamlik die werklike wêreld en
die Wiskunde-wêreld (Foerster, 2005).
Die werklike wêreld (waarin alle mense leef) is wat ons kan waarneem; dit is die fisiese
werklikheid met al sy moeilik meetbare kompleksiteit en onvoorspelbare gedrag waaruit
probleme voortspruit. Die Wiskunde-wêreld is ons abstraksie van die werklikheid; dit is ‘n
vereenvoudigde “beeld” van die werklike wêreld waarbinne ons Wiskunde gebruik om die
gedrag van werklike probleme te ondersoek – binne die Wiskunde-wêreld neem ons alle
groothede as presies meetbaar en afhanklik van presiese vergelykings en formules wat ons
kan oplos. Nadat ons die oplossings in die Wiskunde-wêreld verkry het, moet ons dit
terugneem na die werklike wêreld en dit interpreteer sodat ons dit kan gebruik om die
werklike wêreld beter te verstaan.
Hiervolgens is Wiskunde dus ‘n manier waarop die mens probeer om die werklike lewe mee
te verstaan; dit is ‘n poging om sin te maak van die werklikheid waarin ons leef (Nieuwoudt,
2006).

Nou kan ons aandag skenk aan die afdeling van Wiskunde waarmee ons in hierdie module
te doen gaan kry. Hou egter in gedagte dat Wiskunde nie regtig in afdelings of onderwerpe
of selfs modules verdeel en so in kompartemente bestudeer kan word nie.
Wiskunde is meer soos ‘n lewende organisme waarvan al die ledemate en funksies in ‘n
mindere of ‘n meerdere mate met al die ander verbind is.
Wanneer ons Wiskunde dus in afdelings soos algebra, meetkunde, trigonometrie,
koördinaatmeetkunde, lineêre algebra, Analise en statistiek verdeel, dan doen ons dit vir ons
eie gerief en glad nie omdat Wiskunde regtig in sulke aparte afdelings bestaan nie.
Byvoorbeeld: Wanneer ons met ‘n probleem uit die siviele ingenieurswese werk, sal ons
waarskynlik met ‘n grafiese voorstelling van die konstruksie begin, meetkunde en
trigonometrie gebruik om die konstruksie te verstaan, daarna toepaslike algebraïese
formules gebruik om die probleem te beskryf, dan rekentegnologie soos ‘n rekenaar of
sakrekenaar inspan en ten slotte ons antwoorde interpreteer om daaruit sin te maak. Op
hierdie manier word meer as een afdeling van Wiskunde op ‘n natuurlike wyse by enige
betekenisvolle probleemoplossingsproses betrek.
Nogtans vorm die idees en rekenmetodes wat ons in hierdie module teëkom ‘n duidelik
onderskeibare veld binne die Wiskunde. Die besondere aard van hierdie veld vertoon tog ‘n
aantal besondere en unieke eienskappe – selfs al bevat en gebruik die wiskunde in hierdie
module idees wat uit die algebra, meetkunde, analitiese meetkunde en trigonometrie ontleen
is.
Waar pas Analise binne die breër raamwerk van Wiskunde in?
Sekere prosesse en verskynsels in die wêreld rondom ons het die interessante eienskap dat
hulle gedurig verander – indien ons sou probeer om hierdie prosesse in terme van metings
voor te stel, sou ons vind dat sekere waardes gedurig verander. Daarom kan sulke prosesse
wiskundig voorgestel word deur funksies. Sommige prosesse het weer te doen met
groothede wat akkumuleer, dit wil sê groothede wat bestaan uit “stukkies” wat bymekaar
getel word om ‘n somtotaal te verkry. Sulke prosesse kan meestal ook deur funksies
voorgestel word.
(Onthou dat funksies objekte is wat 'n onafhanklike veranderlike as inset neem en volgens 'n
reël of vergelyking (formule), 'n afhanklike veranderlike as uitset lewer.)
xi

Nog 'n interessante eienskap van hierdie veranderende prosesse wat d.m.v. funksies
voorgestel kan word, is dat baie van hulle geleidelik en aaneenlopend verander en dat selfs
dié wat skielike veranderinge ondergaan, opgedeel kan word in dele (intervalle) waartydens
hulle verandering geleidelik ("glad") is.
Die funksies wat sulke geleidelike prosesse voorstel, word kontinue funksies genoem. 'n
Skielike, oombliklike verandering of "sprong" in 'n proses, word voorgestel deur 'n
sogenaamde diskontinue funksie.
Soos reeds gesê, verskaf die wiskunde in hierdie module elegante, kragtige idees en
metodes waarmee die gedrag van funksies en ook ander groothede (waaronder
oppervlaktes en volumes) ontleed kan word.
Hierdie afdeling van die Wiskunde word Analise genoem.
Analise is die afdeling van Wiskunde wat die gedrag van veranderende prosesse
(differensiaalrekene) asook die akkumulasie van groothede (integraalrekene)
ondersoek. (http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus)
Voor 1630 was differensiaalrekene en integraalrekene al bekend, maar hulle is as aparte
studievelde beskou. Analise (die samevoeging van differensiaalrekene en integraalrekene
in ‘n enkele elegante studieveld) in sy moderne vorm is 'n relatief jong afdeling van Wiskunde
wat eers teen die middel van die sewentiende eeu afsonderlik deur Sir Isaac Newton (1642-
1727) van Brittanje en Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) van Duitsland ontwikkel is.
xii
Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

Naam van rekenproses
Probleem wat dit
aanspreek
Meetkundige interpretasie
Simboliese notasie
Wanneer die eerste keer
ontwikkel
Differensiaalrekene
Hoe kan ons die oombliklike
veranderingstempo van 'n
fisiese proses, wat beskryf
word deur 'n kontinue
funksie, by enige waarde van
die onafhanklike veranderlike
bereken?
Hoe kan ons die gradiënt van
die raaklyn aan die kromme
van 'n gladde,
aaneenlopende funksie by
enige punt op die kromme
bepaal?
.
x , dy
dx
(http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus)
, '
f x , f
Aryabhata (499 n.C.) se
metode om ‘n sterrekundige
probleem in terme van
infinitesimale groothede uit te
druk
Integraalrekene
Gestel ons het 'n funksie wat
die veranderingstempo van 'n
sekere fisiese proses tussen
twee waardes van sy
onafhanklike veranderlike
voorstel. Hoe moet ons dan
te werk gaan om die totale
verandering in die proses
tussen daardie twee waardes
te bepaal?
Hoe kan ons die oppervlakte
van die gebied tussen die
kromme van 'n funksie en 'n
as tussen enige twee punte
op die as bereken deur die
oppervlakte te beskou as die
somtotaal van ‘n oneindige
aantal oppervlakteelemente?
b
f xdx , f xdx
R
,
a
f x y dxdy
Eudoxus (200 v.C.) se
metode om oppervlaktes en
volumes te bereken
,
xiii

Daar is ‘n noue verband tussen die prosesse van differensiasie en integrasie, omdat
die een as die inverse van die ander een beskou kan word. Ook word albei hierdie
rekenprosesse in terme van ‘n limiet gedefinieer.
Die groot waarde van die bydrae van Newton en Leibniz was dat hulle die verband tussen
differensiasie en integrasie ingesien het. Hierdie verband word op elegante, kompakte wyse
in die vorm van die Hoofstelling van die Analise geformuleer. Vanuit die Hoofstelling volg
direk feitlik alle moderne integrasietegnieke. Newton was die eerste moderne wetenskaplike
wat Analise op werklikheidsgetroue probleme toegepas het, terwyl Leibniz die persoon was
wat die meeste van die elegante, betekenisryke notasie wat ons vandag gebruik ontwikkel
het. Ander wiskundiges wat verdere bydrae gelewer het tot die ontwikkeling van moderne
Analise was Descartes, Barrow, Fermat, L’Hospital, Huygens, Wallis, Cauchy, Riemann en
Weierstrass.
Leibniz was egter die persoon wat die naam Analise (in Engels “Calculus”, wat in Latyn
“klippie” beteken) aan hierdie wiskundige studieveld gegee het.
Sedertdien die dae van Newton en Leibniz het Analise geweldig uitgebrei. Dit is ook nie 'n
veld van die Wiskunde wat as "voltooi" beskou kan word nie - tot so onlangs as 1900 is
belangrike verdere veralgemenings en verfynings aangaande Analise ontwikkel. Hier sien
ons weer die dinamiese, groeiende aard van die Wiskunde in aksie.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus)
Sonder differensiaal- en integraalrekene sou onder meer die relatiwiteitsteorieë van Albert
Einstein en die teorie van elektromagnetisme van James Clerk Maxwell eenvoudig nooit die
lig gesien het nie en sou die hele wêreld om ons 'n baie primitiewe plek gewees het. Analise
is deur die eeue so verfyn dat baie differensiasie- en integrasietegnieke vandag selfs op
sakrekenaars en in die vorm van rekenaarprogramme beskikbaar is.
Die simbole van differensiaal- en integraalrekene het ook ‘n besonder hoë
herkenningswaarde. Wanneer ‘n mens deur gevorderde fisika-, chemie-, elektronika-,
meganika- en biologieboeke blaai, staan die simbole van Analise soos die note van
bladmusiek uit.
Die volgende foto’s illustreer hoe die tipiese notasie van Analise dadelik die oog vang indien
‘n mens ‘n paar verskillende handboeke oopslaan. Boaan elke foto word die studieveld
waaruit die handboek kom aangedui:
xiv

Kwantumfisika
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/schr.html
Biologie
http://imammb.oxfordjournals.org/cgi/reprint/22/1/15.pdf
xv

xvi
Elektromagnetisme
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/maxeq.html#c2
Integral form in the absence of magnetic or polarizable media:
I. Gauss’ Law for electricity:
q
EdA
II. Gauss’ Law for magnetism: BdA0 III. Faraday’s law of induction
0
d
B
Eds
dt
1
B ds i EdA c t
IV. Ampere’s Law 0 2
Elektronika
http://physnet2.pa.msu.edu/home/modules/pdf_modules/m351.pdf

Statistiek
http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html
Bevolkingstudies
http://www.sosmath.com/diffeq/first/application/population/population.html
xvii

Dit is ook geweldig interessant dat die menslike breinfunksies skynbaar spesiaal aangepas is
om die veranderende aard van die werklikheid goed te hanteer. Oog-hand-koördinasie (soos
die vermoë om 'n bal wat na u toe gegooi is te vang), die vermoë om drie dimensies te sien
(dieptevisie), die vermoë om die rigting waaruit 'n geluid kom te kan bepaal (stereo-gehoor)
en die wyse waarop die menslike liggaam hartklop, asemhaling, bloeddruk,
liggaamstemperatuur en veel meer outomaties reguleer (homeostase) – dit alles het te doen
met veranderende prosesse en die meet en beheer daarvan. Dit is asof die menslike brein
aanhoudend en gedurig intuïtief besig is met differensiasie en integrasie.
VOORVEREISTES
Toelatingsvereistes
Die spesifieke voorvereistes vir die module word in die tersaaklike inskrywing in die Jaarboek
van die Fakulteit Opvoedingswetenskappe gestel.
Wetenskaplike sakrekenaar
Vir hierdie module benodig u 'n wetenskaplike sakrekenaar wat minstens dieselfde funksies
kan hanteer as die sakrekenaar waarmee u die matriekwiskunde-eksamen geskryf het. ‘n
Grafiese sakrekenaar sal ook vir u van hulp wees en indien u so ‘n grafiese sakrekenaar
besit is u welkom om dit tydens kontaksessies en by huiswerkoefeninge te gebruik om u eie
berekeninge na te gaan – let egter daarop dat u tydens toetse en eksamens nie toegelaat sal
word om die grafiese sakrekenaar te gebruik nie aangesien ons spesifieke rekenvaardighede
by u wil toets.
Toegang tot Internet- en rekenaargeriewe
U gaan ook van tyd tot tyd toegang tot die Internet benodig, asook toegang tot die
Geometer's Sketchpad 4-program wat u waarskynlik reeds kon aankoop. Hierdie program
werk soos ‘n baie kragtige grafiese sakrekenaar.
U moet ook seker maak dat u toegang het tot eFundi, die Universiteit se Webgebaseerde
Onderrigleer-ondersteuningsomgewing. Dit is 'n "omgewing" van die PUK-net wat soos 'n
gewone webblad werk en waarbinne die dosent vir u leermateriaal, PowerPoint-aanbiedings,
gereserveerde leesstof, vraestelle en memorandums, werkkaarte en memorandums en
puntelyste kan plaas. U het toegang tot hierdie webruimte vanaf enige rekenaar wat aan die
Internet verbind is.
xviii

Daaglikse toegang tot e-pos-kommunikasie
Dit is geweldig belangrik dat u sover moontlik daagliks u e-pos sal lees. (veral
Maandagoggende en Vrydagoggend voor 09:00) Die dosent sal baie dikwels op hierdie
manier inligting en reëlings na u deurkommunikeer, asook opgawes, memorandums en
puntestate.
STUDIEMATERIAAL
Voorgeskrewe handboek (by plaaslike boekwinkels beskikbaar):
STEWART, J. 2008, 2012. Single variable calculus early trancendentals: Metric
international version: 6 th ed. of 7 th ed Thomson: Brooks/Cole. 763 p.
Addisionele studiemateriaal
Enige ander wiskunde-handboek kan gebruik word om verdere voorbeelde, toepassings en
oefeninge te bekom. Die Internet en enige dinamiese rekenaarprogrammatuur soos die
Geometer's SketchPad-program kan ook gebruik word om waarde aan u leerervaring toe te
voeg.
HOE OM DIE STUDIEGIDS TE GEBRUIK
Die studiegids is ontwerp om saam met u te werk en om u deur die module te begelei, byna
soos wat ‘n lewende persoon sou doen. Die studiegids vervul die rol van die dosent
wanneer u op u eie werk. In die geval van hierdie module is die studiegids ook ‘n
handleiding omdat groot hoeveelhede akademiese inhoud daarin geïntegreer is, onder meer
‘n groot aantal uitgewerkte voorbeelde. Die studiegids self dien dus as ‘n bron van
leerinhoud; al die leerinhoud vir hierdie module word nie slegs in die voorgeskrewe
handboek gevind nie. Die gedagte is dat u die inligting in hierdie studiegids-handleiding met
die inligting in die voorgeskrewe handboek sal integreer; op derdejaarvlak behoort u die
vermoë te demonstreer om inligting uit verskillende bronne gelyktydig en samehangend in u
eie private kennisraamwerk saam te voeg om ‘n nuwe kennisstruktuur te vorm.
xix

Hierdie module is 'n 16 krediet-module, wat beteken dat dit ongeveer 160 studie-ure sal
neem om die module te voltooi. Hierdie 160 ure sluit in:
xx
Voorbereiding vir deelname aan kontaksessies (wat besprekings, groepwerk, die
skryf van vorderingstoetse en tutoriaalaktiwiteite insluit)
Bywoon van kontaksessies waartydens die dosent as fasiliteerder van onderrigleer
optree
Onafhanklike deurwerk van voorbeelde en probleme, onder meer met die oog op
inhandiging
Voorbereiding vir toetse en die eksamen
Die aflê van toetse en eksamens
Let egter daarop dat die totale kontaktyd (lesings of ook kontaksessies genoem) slegs
ongeveer 50 uur uitmaak van die 160 uur wat hierdie module vereis. Dit beteken dat die
ander 110 uur opgemaak moet word deur dít wat u in u eie tyd doen. Die hoofdoel van
die studiegids is om u hiermee te help.
Dit is gewoon nie moontlik om die uitkomste van ‘n 160-uur Wiskunde-module in veel
minder as 160 ure te bereik nie.
Die studiegids is ontwerp om onder meer die volgende vir u te doen:
om die spesifieke leeruitkomste van elke Leergedeelte vir u uit te lig sodat u presies kan
weet wat akademies van u verwag word;
om struktuur en orde aan die leerinhoude te verskaf;
om u te help om by die werktempo van die dosent te hou;
om u in staat te stel om die leerinhoude grootliks op u eie te bestudeer;
om op 'n ordelike en gereelde basis te werk sodat u opgawes betyds kan voltooi en
betyds vir toetse kan begin voorberei.

Wenke en studieriglyne vir suksesvolle bestudering van die leerinhoud
Werk volgens die tydskedule en student-werkprogram in hierdie studiegids;
Sorg altyd dat u studie-aktiwiteite gerig word deur die leeruitkomste wat hierdie
studiegids aan die begin van elke Leergedeelte stel;
Lees die handboek, veral wanneer hierdie studiegids na die handboek verwys;
Moenie direk probeer om die oefeninge te doen nie – lees eers vinnig deur die
aangetoonde gedeeltes in die handboek en let veral op die voorbeelde.
Maak notas (in u handboek en studiegids, as u wil, of hou 'n notaboek) van alles wat u
nuut leer;
Hou vir u eie beswil 'n lêer (portefeulje) by waarin u al u notas, oefeninge, nagesiende
opgawes, nagesiende antwoordstelle, ens. by mekaar hou
Dink altyd na oor die betekenis van elke uitkoms;
Neem onmiddellik die vrymoedigheid om die dosent persoonlik te gaan sien wanneer
u probleme met die bemeestering van enige uitkoms ondervind.
Aangesien daar soveel werk in hierdie module is, stel ons voor dat u groepies vorm (al
werk u net saam met een ander persoon) waarin u die werk bespreek en vir mekaar
verduidelik en saam deur die oefeninge werk, veral voor toetse en eksamens. Dit sal
ook tyd spaar indien u saam aan huiswerkoefeninge kan werk. Onthou net dat elke
persoon se poging sy eie werk moet wees en nie ‘n kopie mag wees van iemand anders
se poging nie – dit is plagiaat;
Wees altyd goed voorbereid sodat u sinvol kan deelneem aan kontaksessies. Om
u met u voorbereiding te help, sal daar soms na PowerPoint-aanbiedings op die e-leerplatvorm
verwys word waardeur u kan werk. Soms sal daar ook Internet-skakels gegee
word wat u kan nagaan.
Handig take/opdragte/oefeninge betyds in. Geen laat opdragte sal aanvaar kan word
nie, aangesien die memorandums vir take en opdragte net na die afgespreekte
inhandigingstyd beskikbaar gestel word.
Volg die instruksies in die studiegids noukeurig.
xxi

Voltooi die oefeninge voordat u die modeloplossings daarvan deurwerk en u werk merk.
Onthou om altyd te monitor of u verstaan wat u leer – sonder ware begrip is leer ‘n
sinlose proses wat gewoon u tyd en energie verspil.
Ons van die Wiskundeonderwys-vakgroep by die Skool vir Kurrikulumgebaseerde
Studies glo dat Wiskunde nie mag handel oor dooie formules en gememoriseerde
algoritmes nie. Ons glo dat Wiskunde moet handel oor lewende vaardighede wat
spruit uit begrip – die hoekom en waarom van 'n mens se basiese wiskunde-kennis
moet so wees dat dit hom in staat stel om nuwe begrippe en vaardighede self te maak
(te konstrueer) wanneer hy dit nodig kry – 'n Wiskunde-student mag nooit afhanklik
wees van gememoriseerde materiaal nie.
MONITERING VAN VORDERING
Hieronder volg nou ‘n lys van tipiese moontlike vrae wat u uself moet afvra om u werk
deurentyd te beplan, monitor en terug te kyk op die voltooide opdrag/som:
Het ek genoegsaam beplan voordat ek die leertaak probeer aanpak?
Waaroor gaan hierdie taak?
Wat weet ek hiervan?
Waaraan is dit verwant?
In watter rigting wil ek hê my denke moet gaan?
Wat word van my vereis om te doen?
Wat moet ek eerste doen?
Watter strategieë en tegnieke moet ek gebruik?
Weet ek wat ek moet weet?
Weet ek waar om die kennis of inligting te gaan haal?
Wat is die stappe om te voltooi?
xxii

Is daar ‘n ander manier?
Hoe sal ek weet as ek ‘n fout maak?
Wanneer is dit nie van toepassing nie?
Verstaan ek wat ek doen?
Lyk dit reg?
Oorweeg ek alle moontlikhede?
Hoe sal ek aanpassings maak as ek vind dat ek op die verkeerde pad is?
Waar sal dit my bring?
Het ek dit volledig en korrek gedoen?
Verstaan ek dit volledig?
Hoe vergelyk myne met die van ander?
Het ek die leeruitkoms bereik?
Wat het ek hieruit geleer?
Wanneer sal ek nodig hê om iets soortgelyk te doen?
Hoe kan ek dit in die toekoms gebruik?
ASSESSERING
Assessering sal soos volg gedoen word:
Formatiewe assessering
Sekere opdragte moet voltooi en op die tyd wat die dosent met u sal afspreek,
ingehandig word vir assessering. Hierdie opgawes word meestal aan die einde van 'n
Leergedeelte in hierdie gids aangegee. Net na inhandiging word die memorandums
beskikbaar gestel.
Ook sal vorderingstoetse gereeld gebruik word om u vordering te monitor. Raadpleeg
die Tydskedule en Student-werkprogram vir meer inligting hieroor.
Summatiewe assessering
Aan die einde van die semester word 'n eksamenvraestel geskryf wat oor al die werk in
die module handel.
xxiii

Self- Assessering
xxiv
U moet telkens die oefeninge wat gegee word, voltooi en dit self merk aan die hand van
die antwoorde wat voorsien word, selfs al word nie alle werk formeel ingeneem en deur
die dosent of assistente nagesien nie.
Groepwerk
Die hoeveelheid werk in hierdie module is gewoon te veel vir een persoon om alleen deur te
werk. Daarom beveel ons aan dat u en minstens een ander persoon saam deur die
oefeninge werk. Dit sal kosbare tyd spaar.
U word individueel geassesseer – veral in die vorderingstoetse, maar ook in die eksamen –
so dit maak geen sin om iemand anders se werk klakkeloos af te skryf nie. Die kere wat die
dosent oefeninge of dele van oefeninge as opgawes gaan inneem om formeel na te sien, sal
dit maar ‘n klein persentasie van u deelnamepunt tel.
Die daaropvolgende vorderingstoets sal altyd egter heelwat uitmaak van u deelnamepunt.
In hierdie module beteken groepwerk dus nie iets wat u saam met ‘n ander persoon
inhandig om dan ‘n gesamentlike punt te kry nie – Nee, in hierdie module beteken
groepwerk dat u op minstens een ander persoon se medewerking aangewese is ten einde
die uitkomste self te bereik. Die dosent sal selde indien ooit ‘n gesamentlike punt vir
groepwerk toeken – die uitkomste vir hierdie module word individueel geassesseer. Geen
student sal vir ‘n ander persoon se werk punte kry nie; die standpunt van die Universiteit met
betrekking tot plagiaat is baie duidelik hieroor (‘n latere paragraaf spreek hierdie saak aan).
Toelating tot die eksamen
Algemene reël A.8.6 bepaal in hierdie verband die volgende:
Geen student word toegelaat om eksamen af te lê nie, tensy die student op grond van
'n deelnamebewys kan aantoon dat hy aan die minimum vereistes voldoen aangaande
die bemeestering van sekere kennis, vaardighede en gesindhede soos deur die
module-uitkomste bepaal. 'n Deelnamebewys kom neer op 'n deelnamepunt van ten
minste 40% wat saamgestel word uit punte wat die student gedurende die verloop van
die semester versamel uit opgawes, toetse en ander assesserings.

As deelnamebewys vir hierdie module word die volgende vereis:
Deelnamepunt van ten minste 40%
Die volgende aktiwiteite tel vir u deelnamepunt:
1. ‘n Aantal oefeninge wat as opgawes vir nasiendoeleindes ingeneem mag word.
2. ‘n Aantal vorderingstoetse wat tydens kontaksessies geskryf sal word.
U deelnamepunt sal volgens die volgende gewigte bereken word:
1. Werkkaarte en Oefeninge (Opgawes): 20%
2. Vorderingstoetse: 80%
Een drie-uur eksamenvraestel word aan die einde van die semester geskryf. Hierdie
eksamenvraestel handel oor die hele semester se werk. ‘n Subminimum van 40% moet in
die eksamen behaal word om hierdie module te slaag, ongeag hoe hoog u deelnamepunt
is.
Modulepunt van ten minste 50%
U finale punt vir die module word bereken deur die deelnamepunt tot die eksamenpunt in ‘n
verhouding van 50:50 te bereken. U benodig ‘n modulepunt van 50% om hierdie module te
slaag, mits u natuurlik 40% of meer in die eksamenvraestel behaal het.
Indien u dus 'n deelnamepunt van 40% het, sal u in die eksamen minstens 60% moet behaal
om die module te slaag.
xxv

Opgawes en werkstukke
Amptelike regulasies plaas die verantwoordelikheid op die student om opgawes betyds op
die afgespreekte tye in te handig. Let daarop dat die punte wat u vir opgawes verdien, tot
30% van u deelnamepunt mag tel.
Opgawes wat laat ingegee word kan nie aanvaar word nie, aangesien die memorandums
van opgawes net na die inhandigingstyd beskikbaar gestel word. Laatkommers sou dus tot
die opgawes se uitgewerkte oplossings toegang hê en dit sou onregverdig wees teenoor
almal wat die opgawes op hul eie moes voltooi.
Dit is van allergrootste belang dat elke student te alle tye sy/haar eie werk doen, en
hom/haarself daarvan weerhou om 'n ander student se werk af te skryf en as sy/haar eie in
te handig vir assessering. (sien die volgende gedeelte oor Plagiaat vir meer inligting
hieroor).
Dit is wel moontlik dat studente in groepe van twee of meer kan saamwerk om die uitkomste
te bemeester, en ons beveel dit ook aan. U mag egter nooit presies dieselfde eindproduk as
'n ander student ingee nie; sorg dus dat u nooit na 'n ander student se finale eindproduk kyk
of u eie finale eindproduk vir ‘n medeleerder wys nie; dit is baie slegte akademiese praktyk.
U eie werk moet u eie persoonlike skryf- en redeneerstyl weerspieël. Saamwerk in
Wiskunde beteken dat u saam dink en saam redeneer en mekaar se kennis en vaardighede
onderling benut om self eie nuwe kennis en vaardighede te bekom. Dit is die essensie van
koöperatiewe leer. Niemand moet vir die dosent wag om al die probleme in die module vir u
op te los nie. U moet mekaar help om uself te help. Nietemin bly elkeen vir sy eie leer
verantwoordelik.
xxvi

WAARSKUWING TEEN PLAGIAAT
WERKSTUKKE IS INDIVIDUELE TAKE EN NIE GROEPAKTIWITEITE NIE
(TENSY DIT UITDRUKLIK AANGEDUI WORD AS ‘N GROEPAKTIWITEIT)
Kopiëring van teks van ander studente of uit ander bronne (byvoorbeeld die studiegids,
voorgeskrewe studiemateriaal of direk vanaf die Internet) is ontoelaatbaar – net kort
aanhalings is toelaatbaar en slegs indien dit as sodanig aangedui word.
U moet bestaande teks herformuleer en u eie woorde gebruik om te verduidelik wat u
gelees het. Dit is nie aanvaarbaar om bestaande teks/stof/inligting bloot oor te tik en die
bron in 'n voetnoot te erken nie – u behoort in staat te wees om die idee of begrip/konsep
weer te gee sonder om die oorspronklike skrywer woordeliks te herhaal.
Die doel van die opdragte is nie die blote weergee van bestaande materiaal/stof nie, maar
om vas te stel of u oor die vermoë beskik om bestaande tekste te integreer, om u eie
interpretasie en/of kritiese beoordeling te formuleer en om 'n kreatiewe oplossing vir
bestaande probleme te bied.
Wees gewaarsku: Studente wat gekopieerde teks indien sal 'n nulpunt vir die opdrag
ontvang en dissiplinêre stappe mag deur die Fakulteit en/of die Universiteit teen
sodanige studente geneem word. Dit is ook onaanvaarbaar om iemand anders se werk
vir hulle te doen of iemand anders in staat te stel om u werk te kopieer – moet dus nie
u werk uitleen of beskikbaar stel aan ander nie!
Die skrywer het in die ontwikkeling van hierdie studiegids gepoog om die korrekte hantering
van bronne te illustreer; u sal telkens in hierdie gids sien hoe die Harvard-styl gebruik word
om erkenning aan bronne te verleen.
xxvii

STUDIE IKONE
Soos voorheen maak ons matig gebruik van die gewone ikonografie soos deur die Buro
Akademiese Steundienste voorgestel; ons het ook vrymoedigheid geneem om drie nuwe
ikone vir u gerief in te voer.
Ons beveel aan dat u uself van die betekenis van die ikone vergewis.
xxviii
Individuele oefening.
Belangrike inligting.
Bestudeer nou die
volgende bespreking
aandagtig.
Verkry Internet-toegang
en voer die meegaande
taak uit.
Belangrike teoretiese
begronding
Geskatte studietyd.
Leeruitkomste waarop
gedurig gereflekteer moet
word.
Inleidende opmerkings.
Bestudeer die aangetoonde
materiaal in die
handboek/artikel, ens.
Memorandum van toepaslike
probleme is sal op die e-leerplatform
beskikbaar gestel
word.
Studiemateriaal op die e-leerplatform
Werk hierdie voorbeeld
deeglik deur.
Let daarop dat individuele oefening (sien die ikon van die seuntjie wat lê en somme doen
hierbo) nie beteken dat elkeen op sy eie alleen hoef te gaan sit en sukkel nie. Lees weer
deur die gedeeltes op pp. xxii en xxiii en vergewis uself van u posisie met betrekking tot
hierdie sake.

AKSIEWOORDE
Die volgende aksie-woorde word ingesluit sodat u seker kan wees van wat ‘n bepaalde
leertaak van u verwag. Maak seker dat u die betekenis van elkeen verstaan:
Toepas
Om in staat te wees om dit wat u geleer het om in een situasie te gebruik, in ‘n ander situasie
te gebruik.
Voorbeeld: pas differensiasie toe om die snelheid van ‘n liggaam te bereken indien sy
verplasingsfunksie gegee is.
Lei af
Om ‘n reël of eienskap deur logiese redenering af te lei.
Voorbeeld: lei die eienskap af dat die afgeleide van enige konstante funksie altyd nul as
resultaat lewer.
Definieer
Om presies te sê wat ‘n wiskundige begrip of bewerking beteken.
Voorbeeld: Definieer die begrip “integreerbare funksie op die geslote interval ab”. ;
Stel grafies voor
Om u kennis van ‘n begrip of ‘n stelling te demonstreer deur gebruik te maak van ‘n skets of
‘n grafiek of ‘n diagram.
Voorbeeld: Stel die volgende derdegraadse kromme grafies voor en toon duidelik alle
wortels, draaipunte en infleksiepunte aan.
Stel voor
Om ‘n ander manier te vind om ‘n begrip te beskrywe.
Voorbeeld: Stel ‘n bepaalde integraal meetkundig voor.
Noem
Om spesifieke eienskappe neer te skryf sonder om dit te bespreek.
Voorbeeld: Noem die voorwaardes vir integreerbaarheid.
xxix

Bereken / Bepaal / Vind
Om die antwoord van ‘n bewerking te bepaal.
Voorbeeld: Bepaal die veranderingstempo van die deeltjie se posisie met tyd.
Bewys
Om aan te toon dat ‘n bewering waar is.
Voorbeeld: Bewys dat die raaklyn aan die kromme van die funksie
horisontaal loop waar
Formuleer
xxx
b
x .
2a
2
y ax bx c
Om ‘n begrip te skryf sonder om te bewys; let daarop dat “formuleer” binne die konteks van
Wiskunde impliseer dat u woorde, simbole en selfs grafika kan gebruik. U moet u gesonde
oordeel gebruik om te bepaal hoe u die begrip so duidelik as moontlik kan formuleer. Laat
uself gerus ook deur die puntetelling van die vraag lei.
Voorbeeld: Formuleer die Hoofstelling van die Differensiaal- en Integraalrekene.
Differensieer
Bepaal die afgeleide van die gegewe funksie (tensy daar uit die konteks van die vraag blyk
dat u die verskille tussen twee afsonderlike aangeleenthede moet onderskei en teen mekaar
opweeg)
Voorbeeld: Differensieer die funksie y cosec x
Voorbeeld: Differensieer tussen die onbepaalde integraal en die bepaalde integraal van ‘n
funksie.
Integreer
Bepaal die anti-afgeleide van die gegewe funksie (tensy daar uit die konteks van die vraag
blyk dat u een aangeleentheid binne 'n ander moet bevat en as 'n nuwe geheel voorstel)
voorbeeld: Integreer die funksie
2
y x x
1 met betrekking tot x
Voorbeeld: Integreer u kennis van die formule vir die volume van ‘n silinder met u kennis van
integraalrekene en skryf ‘n bepaalde integraal neer waarmee die volume van die volgende
soliede liggaam bereken kan word.

Evalueer
Om ‘n waardeoordeel oor ‘n saak uit te spreek (gewoonlik aan die hand van sekere kriteria);
dit impliseer dat u terug staan vanaf ‘n saak, ‘n oorsig daaroor verkry en dan die kriteria
gebruik om die waarde of betekenis van die saak te beoordeel.
Voorbeeld: Evalueer die gebruik van werklikheidsgetroue voorbeelde om die begrip
“veranderingstempo” aan ‘n skoolleerder te verduidelik. Skenk aandag aan:
Analiseer
die voorkennis waaroor ‘n matriekleerder beskik
leerareas waaruit werklikheidsgetroue voorbeelde geneem kan word
voorbeelde van geskikte voorbeelde
die belewenis van die leerervaring wat die student moontlik kan hê
die wenslikheid om die leerinhoud op hierdie manier te verduidelik
Ontleed ‘n saak of probleem (soms aan die hand van sekere kriteria); haal die verskillende
komponente of elemente uit mekaar en onderskei elkeen se eienskappe; toon ook
verbande, ooreenkomste en verskille aan tussen die komponente of elemente
Voorbeeld: Analiseer die gedrag van die volgende funksie aan die hand van konkaafheid,
maksima/minima en asimptote.
xxxi

DIE MODULEPLAN
Die module bestaan uit die volgende leereenhede:
Leereenheid 1: DIFFERENSIASIE Leereenheid 2: INTEGRASIE
Leergedeelte 1.1
Grondliggende konsepte
Leergedeelte 1.2
‘n Intuïtiewe benadering tot differensiasie
Leergedeelte 1.3
Berekening van afgeleides vanuit eerste
beginsels
Leergedeelte 1.4
Differensiasiereëls
Leergedeelte 1.5
Spesiale toepassings van differensiasie
xxxii
Leergedeelte 2.1
'n Intuïtiewe benadering tot integrasie
Leergedeelte 2.2
Numeriese integrasie
Leergedeelte 2.3
Deel I van die Hoofstelling van Analise
Leergedeelte 2.4
Integrasiereëls
Leergedeelte 2.5
Deel II van die Hoofstelling van Analise
Leergedeelte 2.6
Spesiale toepassings van differensiasie

TYDSKEDULE EN STUDENT-WERKPROGRAM
Leergedeeltes Onderwerpe
1.1 Grondliggende
konsepte (5
ure)
1.2 ‘n Intuïtiewe benadering
tot differensiasie
(12 ure)
1.3 Berekening van
afgeleides vanuit eerste
beginsels (8 ure)
1.4 Differensiasiereëls
(31 ure)
1.5 Spesiale Toepassings
van Differensiasie
(22 ure)
Aantal
Ure
Leereenheid 1: DIFFERENSIAALREKENE (78 ure)
1.1.1 Limiete 3
1.1.2 Kontinuïteit 2
1.2.1 Raaklyne aan krommes 4
1.2.2 Tempo van verandering 4
1.2.3 Die afgeleide as ‘n funksie 2
1.2.4 Differensieerbaarheid 2
1.3.1 Die definisie
dy f ( x h) f ( x)
lim
dx h0
h
1.4.1 Magsfunksies van die vorm
n
a x en polinoomfunksies
1.4.2 Natuurlike eksponensiële
funksies
1.4.3 Die produkreël 2
1.4.4 Die kwosiëntreël 2
1.4.5 Die trigonometriese funksies 3
1.4.6 Die kettingreël 4
1.4.7 Algemene eksponensiële
funksies
1.4.8 Implisiete funksies 6
1.4.9 Inverse trigonometriese
funksies
1.4.10 Logaritmiese funksies Hoërorde
afgeleides
1.4.11 Hoër-orde afgeleides
1.5.1 Veranderingstempo binne
werklikheidsgetroue kontekste
1.5.2 Skets van krommes 7
8
3
2
2
3
2
2
3
Assessering
Vorderingstoets:
1.1 tot 1.3
Vorderingstoets:
1.4
1.5.3 Optimeringsprobleme 7 Werkstuk
1.5.4 Verwante Tempo's
5
Vorderingstoets:
1.5
xxxiii

xxxiv
Leergedeeltes Onderwerpe
2.1 ‘n Intuïtiewe
Benadering tot
Integrasie
(6 ure)
2.2 Die limiet van 'n
Riemann-som
(10 ure)
2.3 Deel I van die
Hoofstelling van die
Analise
(6 ure)
2.4 Integrasiereëls
(19 ure)
Leereenheid 2: INTEGRAALREKENE (82 ure)
2.1.1 Die bepaalde integraal:
‘n Notasie vir die ingeslote
oppervlakte tussen ‘n kromme
en ‘n as
2.1.2 Numeriese integrasie:
Die middelpuntreël
2.2.1 Die definisie
a
b
n
*
lim
i
f x dx f x x
n
i1
Aantal
Ure
2.2.2 Integreerbaarheid 2
2.2.3 Die bepaalde integraal as die
limiet van 'n Riemann-som
2.3.1 Anti-afgeleides 3
2.3.2 Onbepaalde integrale 2
2.3.3 Die betekenis van Deel I van
die Hoofstelling van die Analise
2.4.1 Magsfunksies van die vorm
n
a x waar n 1
2.4.2 Eenvoudige rasionale funksies
van die vorm a
x
2.4.3 Die ses basiese trigonometriese
funksies
2.4.4 Eksponensiële funksies van die
bx
vorm k a
2.4.5 Funksies van die vorm
en 2
1
x 1
1
1 x
2.4.6 Integrasie d.m.v. substitusie vir
funksies van die vorm
f '
x
f gx ( )
g'( x)
en
f ( x )
2
3
3
2
6
1
3
1
1
1
4
4
Assessering
Vorderingstoets:
2.1 – 2.2
Vorderingstoets:
2.3 -2.4.4

Leergedeeltes Onderwerpe
2.4 Integrasiereëls
(19 ure)
2.5 Deel II van die
Hoofstelling van die
Analise
(16 ure)
2.6 Spesiale toepassings
van integrasie
(25 ure)
2.4.7 Integrasie van rasionale
algebraïese funksies
2.4.8 Integrasie deur middel van ‘n
trigonometriese substitusie vir
integrande van die vorm
2 2
a x
2.5.1 Die bewys van Deel II van die
Hoofstelling van die Analise
2.5.2 Toepassing van Deel II van die
Hoofstelling van die Analise om
bepaalde integrale te bereken
Aantal
ure
4
1
2
7
Assessering
Vorderingstoets:
2.4.5 – 2.4.8
2.5.3 Die Netto Verandering-stelling 7 Werkstuk
2.6.1 Reglynige beweging 8
2.6.2 Die berekening van ingeslote
oppervlaktes
2.6.3 Die volume van
omwentelingsliggame
2.6.4 Arbeid verrig op 'n liggaam
wanneer ‘n afstandsafhanklike
krag die liggaam verplaas
7
7
Vorderingstoets:
2.5-2.6.2
3 Eksamen
xxxv

BELANGRIKE AFSPRAKE
Om onnodige onsmaaklikheid en wedersydse bittere gevoelens tussen dosent en student te
voorkom, maak die dosent die volgende afsprake met die student:
xxxvi
1. Kommunikasie met die dosent geskied per e-pos, per landlyn-telefoongesprek
(gedurende kantoorure!) of per persoonlike gesprek tydens die dosent se spesifieke
spreekure – so nie, per afspraak via die skoolsekretaresse.
2. Spesiale reëlings of verskonings i.v.m. toetse, werkopdragte en lesings word per epos
aan die dosent gekommunikeer, en wel binne ‘n redelike tyd vanaf, of waar
moontlik, voor die noodgeval.
3. Sport-, sosiale- en kultuuraktiwiteite word nie as noodgevalle geklassifiseer nie –
indien sodanige aktiwiteite ernstig met ‘n student se akademiese verpligtinge inmeng,
is dit gewoon vir daardie student nodig om weer oor sy of haar prioriteite te besin;
Terloops: ‘n Week bestaan uit vyf werksdae, insluitende die hele Vrydag.
4. Die dosent verkeer onder geen morele of ander verpligting om ‘n student tegemoet te
kom d.m.v. ‘n spesiale reëling nie – indien die dosent ‘n student wel tegemoet kom, is
dit ‘n gebaar van welwillendheid vanaf die kant van die dosent.
5. In die lig van punt 4. hierbo, wil ons dus vra dat geen studente met tragiese verhale
en patetiese verskonings vorendag kom en sodoende probeer om op die dosent se
gevoelens te speel nie. ‘n Student wat so iets doen, is ‘n verleentheid vir homself en
vir die beroep waarin hy beplan om homself te begeef.
6. Ons versoek ook alle studente ernstig om die dosent nie onnodig te kom lastig val
tydens eksamens en semestertoetsreekse nie, aangesien groot hoeveelhede
nasienwerk tydens hierdie tye gedoen moet word.
7. Die nasien en verwerking van punte tydens semestertoetse maar veral eksamens
duur 7 werksdae. Dit is omdat die vraestelle gemodereer word, die punte
gekontroleer word, grensgevalle heroorweeg word, en die inlees van die punte
gekontroleer word. Al hierdie meganismes neem tyd, maar is daar tot voordeel van
die student.
8. Deelnamepunte en eksamenuitslae sal op die amptelik geskeduleerde datums per epos
aan die studente deurgegee word. Studente moet asseblief nie voor hierdie tye
die dosent met navrae kom lastig val nie, aangesien dit die punteverwerkingsproses
vertraag.

9. Geen onderhandelinge i.v.m. deelnamepunte sal ná die finaliseringsdatum vir
deelnamepunte gevoer word nie. ‘n Deelnamepunt is volgens die A-Reëls ‘n punt
wat die student gedurende die semester opbou deur deelname aan en prestasie in
klasaktiwiteite, vorderingstoetse en werkopgawes. Dit is die verantwoordelikheid van
die student om ‘n 40%-deelnamepunt voor die finaliseringsdatum van die
deelnamepunte op te bou. ‘n Dosent kan nie “deelname gee” nie.
10. Tweede Geleentheid-eksamendatums en –reëlings val buite die pligte en take van
die dosent. Geen dosent is dus by magte om aan hierdie datums of reëlings te
verander nie. Derhalwe wil ons met alle respek voorstel dat oorsese reise,
buitelandse besoeke en so meer liefs so gereël word dat dit ná afloop van die tweede
eksamengeleentheid plaasvind. Hierdie eksamen se datums word vir die gerief van
die student weke voor die eksamen al bekend gemaak.
Ons sou ‘n groot aantal anekdotiese verhale kon voorhou om te illustreer hoe
misverstande rondom bogenoemde aangeleenthede al tot kwade gevoelens tussen
mense gelei het; Laat ons asseblief probeer om sulke situasies te vermy en laat ons
liewer op 'n beskaafde wyse in harmonie saamwerk.
xxxvii

MODULE-UITKOMSTE
Na voltooiing van die module moet die student:
gevorderde kennis, begrip en insig demonstreer ten opsigte van limiete en kontinuïteit,
die betekenisse van die afgeleide, differensieerbaarheid, die betekenisse van die
integraal, die middelpuntreël, die eienskappe van die bepaalde integraal, Riemannsomme,
integreerbaarheid en die Hoofstelling van die Differensiaal- en Integraalrekene;
vaardigheid demonstreer in die berekening van die afgeleide vanuit die definisie, die
afleiding van sekere differensiasiereëls, die berekening van ’n groot verskeidenheid
afgeleides, numeriese integrasie, die limiet van ‘n Riemann-som en ’n groot
verskeidenheid onbepaalde sowel as bepaalde integrale;
bevoeg wees om differensiasie en integrasie toe te pas ten einde die gedrag van
funksies binne werklikheidsgetroue situasies te analiseer en te modelleer en probleme op
te los waar veranderingstempo’s, oppervlaktes, totale veranderings en volumes betrokke
is, asook om toepaslike rekenaartegnologie te gebruik ten einde veranderingstempo’s en
Riemann-somme te ondersoek;
in staat wees om die betekenis en geldigheid van sy analise of oplossings binne die
konteks van werklikheidsgetroue situasies te evalueer
Bogenoemde module-uitkomste is bereik indien die student in staat is om die volgende te
doen:
Teorie (definisies, stellings, kenmerkende eienskappe en verduidelikings) akkuraat en
betekenisvol weer te gee;
Bogenoemde kennis met begrip toe te pas in die uitvoer van korrekte prosedures om
wiskundige oplossings te genereer;
Bogenoemde kennis en vaardighede, asook toepaslike tegnologiese hulpmiddels,
effektief binne werklikheidsgetroue kontekste kan toepas en fasiliteer;
Die geldigheid en toepaslikheid van wiskundige oplossings binne die konteks van
werklikheidsgetroue situasies te evalueer en ‘n waardeoordeel uit te spreek aangaande
die plek van die bestudeerde inhoude binne die breër raamwerk van Wiskunde.
xxxviii

1 DIFFERENSIAALREKENE
U benodig ongeveer 78 ure om hierdie Leereenheid suksesvol te voltooi.
Na afhandeling van hierdie Leereenheid behoort u in staat te wees om:
limiete van die vorm
gx ( ) gx ( ) 0
lim waar as x a en die vorm
xa hx ( ) hx ( ) 0
g( x)
gx ( )
lim waar as x
x
hx ( ) hx ( )
te bereken;
Leereenheid 1
u kennis aangaande limiete en kontinuïteit op funksies toe te pas en uitspraak te gee
aangaande die gedrag van die funksies;
die gradiënt van 'n raaklyn aan 'n kromme te bereken en dit te gebruik om
veranderingstempo's te bepaal;
die definisie van differensieerbaarheid te stel en dit op funksies toe te pas;
die meetkundige, algebraïese en konseptuele betekenisse van die afgeleide van 'n
funksie te verduidelik;
1

Leereenheid 1
die algebraïese definisie van die afgeleide te gebruik om die afgeleide van 'n funksie
2
vanuit eerste beginsels te bereken;
n
die differensiasiereël vir magsfunksies van die vorm f x x met n ‘n rasionale getal af
te lei deur van die Binomiaalstelling gebruik te maak;
die afgeleides van die twee basiese trigonometriese funksies, naamlik sin x en cos x, te
bepaal deur die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van die funksie te ondersoek;
die differensiasiereëls vir die vier trigonometriese funksies f xtan x
f xsec x
en cosec
f x x af te lei;
, cot
f x x,
x
die differensiasiereël vir die algemene eksponensiële funksie f x a met a 0 af te
lei;
1
die differensiasiereëls vir die inverse trigonometriese funksies f xsin x
1
1
cos en f xtan x
f x x
af te lei;
,
die differensiasiereël vir die algemene logaritmiese funksie f x loga x met a 0 af te
lei;
die differensiasiereëls vir magsfunksies, trigonometriese funksies, eksponensiële
funksies en logaritmiese funksies toe te pas om die afgeleides van 'n verskeidenheid van
funksies in 'n verskeidenheid van werklikheidsgetroue kontekste te bepaal;
die produkreël, kwosiëntreël en kettingreël toe pas om produkte van funksies, rasionale
funksies en saamgestelde funksies te differensieer;
implisietgedefinieerde funksies soos byvoorbeeld die algemene vergelykings van
kegelsnitte te differensieer ;
tweede-, derde- en vierde-orde afgeleides van funksies te bepaal deur van herhaalde
differensiasie gebruik te maak, en die betekenis van die tweede-orde afgeleide van 'n
snelheidsfunksie te verduidelik en dit te gebruik om werklikheidsgetroue probleme op te
los;
die konsep van veranderingstempo binne verskillende werklikheidsgetroue kontekste uit
die natuurwetenskappe en sosiale wetenskappe toe te pas;

Leereenheid 1
differensiasie te gebruik om die krommes van funksies te skets, en uitsprake te maak
aangaande die gedrag van 'n funksie;
situasies wat met die maksimering of minimering van 'n grootheid te doen het, te
analiseer en sodoende optimeringsprobleme op te los;
situasies wat met verwante tempo's te doene het, te analiseer deur u kennis van die
kettingreël met begrip toe te pas;
Dinamiese sagteware soos Geometer's Sketchpad 4 te gebruik om 'n grafiese indruk te
kry van probleme wat met differensiaalrekene te doene het
Hierdie Leereenheid fokus op differensiaalrekene. Soos reeds gesê: dit is ‘n afdeling van
Wiskunde wat die gedrag van prosesse wat kontinu is en geleidelik verander, ondersoek.
Differensiaalrekene (en ook integraalrekene, wat ons in Leereenheid 2 bestudeer) is ‘n
hoogs gestruktureerde, logiese stelsel van konsepte en tegnieke. Daarom is dit nodig om
telkens aandag te skenk aan die teoretiese begronding van differensiaalrekene. Ons sal nie
heeltemal so ‘n uitermate streng formele benadering volg soos in die ouer boeke wat oor
Analise handel nie (byvoorbeeld die boek van Engelbrecht et al); nietemin is dit noodsaaklik
om minstens ‘n minimum aantal definisies en stellings te ken, aangesien definisies en
stellings vir ons as gereedskap dien wanneer ons die rekentegnieke toepas.
In die geval van differensiaalrekene wil ons die veranderingstempo van 'n proses by 'n
spesifieke punt ('n sekere tydstip of 'n sekere waarde van 'n meetbare grootheid waardeur
die proses beïnvloed word) uitreken. Om dit te doen, kan ons van die definisie van 'n
afgeleide uitgaan, of van 'n stel reëls gebruik maak. Die spesifieke probleem waarmee ons
te doen het, bepaal die betekenis wat die afgeleide in daardie spesifieke situasie het.
Differensiasie het 'n hele aantal gespesialiseerde toepassings binne die tegniese en
natuurwetenskaplike studievelde, waarvan ons enkele sal beskou.
3

Leereenheid 1
4

1.1 GRONDLIGGENDE KONSEPTE
U benodig ongeveer 5 ure om hierdie Leergedeelte suksesvol te voltooi.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
limiete van die volgende vorme te bereken:
gx ( ) gx ( ) 0
lim waar as x a en
xa hx ( ) hx ( ) 0
g( x)
gx ( )
lim waar as x
x
hx ( ) hx ( )
Leereenheid 1
u kennis aangaande limiete en kontinuïteit op funksies toe te pas en uitspraak te gee
aangaande die gedrag van die funksies
5

Leereenheid 1
Blaai deur Stewart: Hoofstuk 1, p. 10 – 70 om die geheue aangaande funksies te verfris.
Doen die studietaak hieronder terwyl u deur Hoofstuk 1 blaai.
6
Studietaak (Noodsaaklike voorkennis)
Som die volgende begrippe duidelik so volledig moontlik in u eie woorde op en sorg
dat u voorbeelde van elkeen in gedagte het:
funksie
definisieversameling en waardeversameling
maniere om ‘n werklikheidsgetroue proses wat deur middel van ‘n funksie gemodelleer
word voor te stel (vyf maniere)
vertikale lyn toets
stuksgewys-gedefinieerde funksie
ewe en onewe funksies
stygende en dalende funksies
wiskundige modelleringsproses
al die soorte funksies wat in afdeling 1.2 van Stewart op p. 24 – 34 genoem word
(hoe lyk die grafiek van elkeen? U moet hulle kan teken en interpreteer (MATE 111))
transendentale funksies (noem vier soorte)
transformasies van funksies
kombinasie van funksies (som, verskil, produk en kwosiënt van eenvoudiger funksies)
saamgestelde funksies (funksie “binne-in” ‘n ander funksie)
inverse funksies, met spesifieke verwysing na log
y
a x y a x
en die inverses van die
drie fundamentele trigonometriese funksies y sin x,
y cos x en y
tan x

Leereenheid 1
Let op die volgende sake wat onder meer hierbo in die studietaak aan die orde kom:
As
2
y 3x 4x 6,
dan kan ons ook skryf
2
f( x) 3x 4x 6 en dan geld dat:
x die onafhanklike veranderlike is en y die afhanklike veranderlike in die funksie f ( x ) ;
x ‘n element is van die definisieversameling (“domain”) en y ‘n element is van die
waardeversameling (“range”);
2
f (2) beteken dan 3(2) 4(2) 6 . Dit beteken dat u die ooreenkomstige y-waarde moet
bereken as die x-waarde 2 is.
Vir enige egte funksie geld dat die funksie vir elke gegewe x -waarde slegs een
bybehorende y -waarde produseer.
Daarom is byvoorbeeld f x x nie ’n funksie nie – dit is ’n sogenaamde relasie.
Indien u x 4 instel, verkry ons
f 4 4 2of 2
en dus lewer een x -waarde in die geval van f x x nie een nie maar wel twee y -
waardes. Daarom noem ons dit ’n relasie.
Indien y f xen
verskillende waardes van x lewer verskillende waardes van y , dan
noem ons f x ‘n een-een-duidige funksie; dit beteken geen twee x -waardes lewer
dieselfde y -waarde nie.
Die inverse van ‘n funksie sal alleenlik self ook ‘n funksie wees as en slegs as die
oorspronklike funksie een-een-duidig is. (sommige funksies is slegs op bepaalde
intervalle een-een-duidig)
7

Leereenheid 1
1.1.1 Limiete
Praktiese voorbeeld:
Indien 'n motorbattery 'n emk van 12V besit en die battery pap word, daal die klemspanning
vanaf 12V soos die tyd aanstap geleidelik na 'n baie lae waarde.
8
Al staan die battery hoe lank ook al, die klemspanning kan nooit laer as nul word nie.
Die klemspanning kan nie oombliklik van 12V na nul daal nie, maar neem tyd om te
verander.
(Hoekom is bogenoemde twee sake nie moontlik nie? Indien wel…wat sou dit beteken, en
waarom is so iets nie moontlik nie? Vind uit by iemand met kennis van elektrisiteit)
Indien die pap battery aan 'n batterylaaier gekoppel en so gelaat word, sal die klemspanning
met verloop van tyd geleidelik toeneem tot by 'n waarde van 12V.
Al bly die battery hoe lank ook al aan die laaier gekoppel, kan die klemspanning nooit
hoër styg as 12V nie.
Die klemspanning kan nie oombliklik vanaf nul tot by 12V styg nie, maar neem tyd om
te verander.
Beide die ontlaai- en laaiprosesse kan albei m.b.v. limiete wiskundig beskryf word en
die prosesse kan d.m.v. kontinue funksies beskou word.
Hou bogenoemde voorbeeld in gedagte wanneer u deur die volgende bespreking werk.

Bestudeer Stewart: Hoofstuk 2, pp. 88 -116 en gee veral aandag aan die volgende:
Wat beteken die limiet van 'n funksie?
Definisie 1, p.88
Voorbeeld 1, p.89 tot net voor Voorbeeld 2. Wat beteken Fig 3 en Fig 4?
Voorbeeld 3, p.91
Wanneer besit 'n funksie geen limiet nie? (Geval I)
Bespreking van eensydige Limiete, pp. 92 - 94
Voorbeeld 7, p.93
Definisie 3, p.93, saamgelees met Fig. 9 (a) en (b)
Let daarop dat ons in hierdie module skryf Linkerlimiet lim f x
Linkerlimiet lim
f x en dat ons Regterlimiet lim f x
xa
Regterlimiet lim f x .
xa Wanneer besit 'n funksie geen limiet nie? (Geval II)
Voorbeeld 8, pp.94 - 95, saamgelees met Fig. 11
Definisie 4, p.94, saamgelees met Fig 12
Definisie 5, p.95, saamgelees met Fig 13
Wat is vertikale asimptote?
Definisie 6, p.95
Voorbeelde 9 en 10, p. 96
Wat is 'n kontinue funksie en wanneer is 'n funksie diskontinu?
Definisie 1, p.119, saamgelees met Fig. 1
Voorbeeld 1, p.119
Fig. 3, p.120 saamgelees met die paragraaf bokant die grafieke
xa xa Leereenheid 1
waar die boek skryf
skryf waar die boek skryf
9

Leereenheid 1
Addisionele bespreking: Limiete
Gestel ons het ‘n funksie, byvoorbeeld y f( x)
.
Dit gebeur dikwels dat ons wil vasstel wat met die afhanklike veranderlike (gewoonlik y ) se
waarde gebeur wanneer…
10
1. die onafhanklike veranderlike (gewoonlik x ) ‘n sekere waarde aanneem, of
2. x baie groot positief word of
3. x baie groot negatief word.
In sekere situasies gebeur dit dat ‘n mens nie bloot die funksiewaarde y (soms ook geskryf
as f ( x ) ) vir daardie spesifieke x kan uitreken nie. Vir sulke gevalle ondersoek ons die
gedrag van die funksie in die omgewing van die x -waarde waarin ons belang stel – ons
kies dus x -waardes baie naby aan daardie “ontoeganklike x -waarde en bereken y -
waardes vir hierdie punte – so kry ons dan 'n prentjie van wat in die ontoeganklike x -
waarde met y sou gebeur.
So ‘n y -waarde wat ons soms nie direk kan uitreken nie, maar waarvan ons ‘n prentjie kry
deur die funksie sy gedrag baie naby die punt te beskou, noem ons die limiet van die
funksie in die ontoeganklike punt.
Dit is baie belangrik om te besef dat die limiet van 'n funksie in 'n punt nie noodwendig
dieselfde is as die funksiewaarde in daardie punt nie. Dit is alleenlik so wanneer ons met 'n
kontinue funksie te doen het. In ander gevalle mag dit wees dat die funksie nie eens
bestaan in die punt waar ons die limiet bepaal nie.

Leereenheid 1
Raadpleeg die soekenjin Google en gebruik as trefwoorde “limit of a function”. Besoek net
die eerste vyf van die trefslae voordat u verder lees.
Dit is nou vir ons nodig om presies te definieer wat ons onder die limiet van ‘n funksie
verstaan.
Definisie: Die limiet van ‘n funksie
’n Funksie f x het ‘n limiet L as en slegs die waarde van f x streef na L wanneer die
waarde van x streef na a en ons skryf lim f x L.
xa Daarby bedoel ons dat f x neig om die funksiewaarde L aan te neem wanneer die
waarde van x baie naby aan die waarde a kom; f x hoef nie eens in die punt x a te
bestaan nie – dit gaan hier oor die gedrag van die funksie in die omgewing van a . Die
definisie stel dit dat f x L namate x a .
(Washington, 2005:648)
Ons gebruik die volgende stelling om te bepaal of ‘n funksie f x ‘n limiet het in die punt a :
Indien ’n funksie f x in die omgewing van die punt x a gedefinieer is (al is f x nie in
die punt a gedefinieer nie) dan geld dat
as en slegs as lim lim
lim f x L
xa (Engelbrecht et al, 1989:73)
f x f x L.
xa xa 11

Leereenheid 1
Daarby bedoel ons dat ons drie dinge moet doen om vas te stel of f x ‘n limiet in die punt
x a het:
Eerstens: Ons moet f x se gedrag beskou wanneer die waarde van x vanaf ‘n waarde
kleiner as a nader kom aan die waarde van a (van links af op die getallelyn in die rigting
van a toeneem). Ons noem die funksiewaarde (y-waarde) waarna f x dan streef ‘n
linkerlimiet en skryf lim
12
f x
xa . (Vergelyk met Stewart se notasie op p. 93)
Tweedens: Ons moet f x se gedrag beskou wanneer die waarde van x vanaf ‘n waarde
groter as a nader kom aan die waarde van a (van regs af op die getallelyn in die rigting van
a afneem). Ons noem die funksiewaarde (y-waarde) waarna f x dan streef ‘n
regterlimiet en skryf lim
f x .
xa Derdens: Ons moet vasstel of die linkerlimiet en regterlimiet dieselfde waarde aanneem;
indien wel, is hierdie waarde L en ons noem dit die limiet van die funksie in die punt a en
f x L.
xa skryf lim
Voorbeeld 1: Beskou die funksie f x die punt x 0 :
sin x
en bespreek sy gedrag in die omgewing van
x

Oplossing:
1. f x sin x
is nie gedefinieer in die punt x 0 nie (probeer gerus
x
sin0 0
Leereenheid 1
bereken)
sin x
2. Tog: Indien x vanaf die linkerkant na nul streef, streef f x na 1, dus skryf ons
x
sin x
lim 1
x0
x
sin x
3. Ook: Indien x vanaf die regterkant na nul streef, streef f x na 1, dus skryf ons
x
sin x
lim 1
x0
x
sin x
Uit 2. en 3. hierbo volg dan met behulp van die limietstelling hierbo dat lim 1.
x0
x
2 x indien x 1
en bespreek sy gedrag in die
x
1 indien x 1
omgewing van die punt x 1:
Voorbeeld 2: Beskou die funksie f x 13

Leereenheid 1
Oplossing:
1. f x 14
2 x indien x 1
x
1indien x 1
verkry ons die funksiewaarde 1.
2
is gedefinieer as f x x in die punt x 1;
reken ons dit uit
Dus is f x wel gedefinieer in die punt x 1 en is f 1 1.
2 x indien x 1
2. Indien x vanaf die linkerkant na 1 streef, streef f x na 1, dus
x
1 indien x 1
skryf ons f x
lim 1
x1
2 x indien x 1
3. Maar: Indien x vanaf die regterkant na 1 streef, streef f x na 2,
x
1 indien x 1
dus skryf ons f x
lim 2
x1
Uit 2. en 3. hierbo volg dan met behulp van die limietstelling hierbo dat lim f x
nie, aangesien die linker- en regterlimiete nie dieselfde waarde besit nie.
x1
nie bestaan
Die konsepte hierbo sal duideliker word wanneer u self daarmee werk in die volgende
oefening.
Individuele oefening 1
1. Hierdie vraag het betrekking op die Wet van Boyle wat in die studie van die gedrag van
gasse voorkom. Boyle se Wet lui soos volg:
Vir ’n sekere gas geld dat die produk van druk (in kPa) en volume (in dm³) altyd ’n
konstante waarde bly solank die temperatuur konstant gehou word.
k
Algebraïes gestel: PV k of P
V

Leereenheid 1
Uit die tweede vorm blyk dit dat druk P afhanklik is van die volume V terwyl k ’n sekere vaste
waarde het vir ’n bepaalde gas.
Gestel nou dat ’n silinder met ’n suier ’n hoeveelheid ingeslote gas onder hoë druk bevat
en dat die suier stadig uitgetrek word (sodat die volume toeneem) terwyl die temperatuur
konstant bly.
1.1 Skryf Boyle se Wet in funksievorm identifiseer die afhanklike en die onafhanklike
veranderlikes.
1.2 Is Boyle se Wet ‘n funksie, of ‘n relasie? Verduidelik u antwoord.
1.3 Tydens die uittrek van die suier is die druk by sekere volumewaardes gemeet en in
tabelvorm aangeteken:
V (dm³) 20 40 60 80 100 120 140 160
P (kPa) 122 61 41 30 24 20 17 15
Stel die getabuleerde inligting grafies voor.
1.4 Bepaal die waarde van die konstante k.
1.5 Vervang die waarde wat u in 1.4 bepaal het in die antwoord wat u by 1.1 gegee het
en stel vas wat met die druk P gebeur as die volume V...
(a) baie klein word.
(b) baie groot word.
1.6 Voltooi:
lim ... P
V 0
1.7 Voltooi: lim P ...
V
2. 'n Persoon word binneaars ingespuit. Die konsentrasie (in mol/dm³) van die medikasie
in die bloedstroom t ure na die inspuiting toegedien is, word gegee deur die funksie
2
C t
0,14t
.
t 4t
15

Leereenheid 1
16
2.1 Stel ‘n tabel op van hoe die konsentrasie verander oor ‘n tydperk van 20 ure;
Bepaal slegs die konsentrasies na elke 5 uur, dit wil sê u moet vyf funksiewaardes
bereken, beginnend op die oomblik toe die pasiënt ingespuit is.
2.2 Hoe het u te werk gegaan om Ct te bereken toe t 0 ?
2.3 Wat sal met die konsentrasie van die medikasie gebeur na ‘n baie lang tyd (20 dae
of meer?
0,14t
2.4 Voltooi: lim ...
t0
2
t 4t
0,14t
2.5 Voltooi: lim ...
t
2
t 4t
3. Volgens die spesifikasies in die boekie wat saam met Susan se nuwe selfoon gekom
het, is die maksimum potensiaal van die selfoonbattery 3,7 V en ’n volledig ontlaaide
battery behoort 150 minute te neem om vol te laai.
Die potensiaal (“voltage”) van die battery op enige tydstip kan uit die formule
V
2,5t
3,7 1 e
bereken word, waar t in ure gemeet word.
Gestel Susan se foon het vanself afgeskakel en sy koppel die foon om 19:00 aan die
laaier. Om 22:00 val dit haar by dat die foon steeds laai en sy gaan ontkoppel die laaier.
3.1 Stel ’n tabel op wat die spanningswaardes elke halfuur toon en stel die inligting in
die tabel grafies voor.
U tabel kan soos volg lyk:
t (in ure) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
V (in Volt)
3.2 Wanneer laai ’n pap battery die vinnigste?
3.3 Waarom help dit nie om ’n battery langer te laai as wat die boekie aandui nie?
3.4 Voltooi: Vt lim
...
t

2,5t
3.5 Wat is die horisontale asimptoot van die funksie Vt 3,7 1e
(Raadpleeg p. 130 – 136 in die boek van Stewart)
Vir Vraag 4 moet u die boek van Stewart raadpleeg.
Op p. 100 – 105 is voorbeelde 1 tot 9 van belang.
?
Ons som vir u enkele aspekte van bogenoemde bespreking op p. 100 – 105 op:
Die Algebraïese Berekening van Sekere Limiete
Vir ons doeleindes, moet ons limiete van die volgende twee vorme kan bereken:
Limiete van die vorm 0
0
Limiete van die vorm
1. Limiete van die vorm 0
0
waar faktorisering en deling moontlik is
waar die teller en noemer veelterme is
waar faktorisering en deling moontlik is
Leereenheid 1
Indien u die waarde waarna die onafhanklike veranderlike streef, direk in die funksie in
vervang, en die resultaat na vereenvoudiging lewer 0
, gaan u soos volg te werk:
0
1. Faktoriseer die teller en die noemer en deel uit (“kanselleer”) waar moontlik.
(Hierdie stap “verwyder” die diskontinuïteit)
2. Vervang gewoon die waarde waarna die onafhanklike veranderlike streef, in die
vereenvoudigde funksie in en bereken die antwoord.
17

Leereenheid 1
Voorbeeld: Bereken
18
2
x 16
lim
x4
x 4
Oplossing:
2
x 16 0
Indien 4 direk in vervang word, lewer dit . Dus het ons hier met
x 4 0
2
0 x 16
x4
die vorm te doen.
0
Nou : lim
x 4
( x 4)( x 4)
lim
x4
( x 4)
lim( x 4) (na uitdeling van x-4
)
2. Limiete van die vorm
x4
4 4 (vervanging van x 4)
8
waar die teller en noemer veelterme is
Indien die waarde waarna die onafhanklike veranderlike streef, oneindig groot is, en ons vind
dat as ons dit direk in die funksie vervang, beide teller en noemer streef na oneindig, gaan
u soos volg te werk:
1. Deel elke term in beide die teller en noemer deur die hoogste mag van die
onafhanklike veranderlike wat in enige term voorkom.
2. Vervang dan die onafhanklike veranderlike met
1
1
3. Onthou dat lim 0 en ook dat lim
x x
x0 x
(Hoekom? Kyk weer na die kromme van
f( x)
1
)
x
4. Dit beteken dat u elke term waarin die noemer streef na , met nul kan
vervang!
5. Vereenvoudig die resultaat.

Voorbeeld: Bereken
2
lim
x
x
3
x x
2
5
Oplossing:
3
2x
x
Indien direk in vervang word, lewer dit . Dus het ons hier met
2
x 5
2
die vorm te doen. Nou : lim
Let asseblief daarop dat:
(1)
3
x x
x
2
x 5
3 2x
x
3 3
x x
x
2
x 5
3 3
x x
lim deel met hoogste mag van x
2 1
2
lim
1 x
na uitdeling
van magte van x
x
1 5
x x
3
2 1
2
1
1 5
3
"vervanging van x met "
20
00 2
0
1
onthou dat lim 0
x
x
1
onthou nou ook dat lim
x0
x
Leereenheid 1
0
nie gelyk kan wees aan 1 nie, aangesien die blote bewerking (deling deur nul)
0
ontoelaatbaar is, en ook dat
(2)
nie gelyk kan wees aan 1 nie, aangesien nie ‘n bepaalde getalwaarde het nie.
dui slegs op ‘n getal wat so groot is, dat die waarde daarvan nie vasgestel of uitgedruk
kan word nie.
(3) lim f ( x)
beteken dat die limiet nie bestaan nie.
x a
(4) Dit is ontoelaatbaar om te skryf f( x)
19

Leereenheid 1
(5) Maak seker dat u weet wat die korrekte skryfwyse is: lim en die funksie word op
dieselfde hoogte geskryf, en x is 'n onderskrif.
(6) Die lim word weggelaat sodra waardes in vervang word.
(7) Die tegniek om te deel met die hoogste mag van x as ons die vorm " "
as x .
Doen nou Vraag 4 hieronder volgens die metodes wat u hierbo gesien het.
20
4.1 Bereken
2
x x 6
lim
x2
x 2
4.2 Bereken
3 2
x 3x x
lim
x
2
2x5x 4.3 Bereken
2
x 9
lim
x3
x 3
4.4.1 Bereken
2
x 16
lim
x4
x 4
4.4.2 Hoe verskil hierdie probleem van Vraag 4.3?
4.5 Bereken
2
x 16
lim
x4
x 4
4.6 Bereken
2 2
x 2hx h
lim
h0
2
4x 4h x 4x
h
4.7 Bereken
2
x 3
lim
x
3 x 3
4.8 Bereken
4.9 Bereken
4.10 Bereken
4.11 Bereken
3
x 125
lim
x5
2
x 25
3 2
4x
x
lim
x
3
2x
x
3
x
2
7x 12x
x0
2
lim
2x8x 3
x 8
lim
x2
x
2
het, geld net

Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
Leereenheid 1
21

Leereenheid 1
1.1.2 Kontinuïteit
Bestudeer: Stewart, Hoofstuk 2, p. 119 - 126
Kontinue Funksies
Kontinue funksies is funksies waarvan die limiet in enige punt maklik bereken kan word deur
bloot die x -waarde by daardie punt in f ( x ) te vervang en waar die funksie in die
onmiddellike omgewing van die punt ‘n limiet besit. Dit is so omdat kontinue funksies in elke
punt x van die definisieversameling gedefinieer is en omdat die limiet in enige punt van die
definisieversameling gelyk is aan die funksiewaarde in daardie punt; ook is hierdie punte
waarin die funksie gedefinieer is dig op mekaar. Vir mooi voorbeelde van kontinue funksies,
kyk gerus na die sinuskromme en die cosinuskromme.
Vir kontinue funksies (funksies waarvan die krommes aaneenlopend is), geld
dit gewoon dat lim f ( x) f( a)
.
22
xa Algebraïes beteken dit dat f ( x ) se waarde in die punt waar x a is maklik uitgereken kan
word deur gewoon substitusie te doen en f ( a ) uit te reken, maar ook dat die gedrag van
die funksie weerskante van die punt a ooreenstem – bereken ons funksiewaardes vir f ( x ) in
punte baie naby maar net links of regs van a, verkry ons y -waardes wat namate ons x -
waardes kies wat al nader aan a lê, al hoe nader na die waarde van f ( a ) streef.
Grafies beteken dit dat die y -koördinaat van ‘n punt x a afgelees kan word deur vertikaal
opwaarts vanaf die X-as na die kromme te projekteer en daarvan af horisontaal tot teen die
Y-as, maar ook dat die gedrag van die funksie in die omgewing van die punt a ooreenstem –
beweeg ons vanaf links langs die kromme in die rigting van a, kom ons by dieselfde punt op
die kromme uit as wanneer ons vanaf regs langs die kromme in die rigting van a beweeg.

Beskou as voorbeeld die vraag: Is die funksie
of nie? Gebruik die geskakeerde “definisie” op die vorige bladsy.
Oplossing: (algebraïese metode)
Leereenheid 1
3
f( x) x 16 kontinu in die punt x 3
U wil eers vasstel of f 3 bestaan deur x 3 te stel in die funksie f ( x ) met
3
f( x) x 16 en dan f ( x ) uit te reken (Stap 1):
3
f x x 16
f 3 3 16
27 16
11
Dit is duidelik dat
3
3
f( x) x 16 in die punt x 3 gedefinieer is en dat f 3 11.
3
Nou moet ons vasstel of limx16
gebruik (Stap 2):
x3
ook presies 11 lewer – daarvoor kan ons ‘n tabel
Dit is duidelik dat f x 11 as x 3 en ook dat f x 11 as x 3 , daarom kan ons sê
dat lim f x
x3
11.
Aangesien f 3 11 en lim f x
x3
11 is
3
f( x) x 16 wel kontinu in die punt x 3 .
Kontinue funksies is vir ons doeleindes baie belangrik omdat ons by enige punt op die
kromme van ‘n kontinue funksie ‘n raaklyn kan trek mits die kromme in daardie punt nie knak
(skielik dramaties van rigting verander) nie. Ons gebruik hierdie gedagte later in
Leeronderdeel 1.2.4.
23

Leereenheid 1
Funksies wat nie kontinu is nie
Gestel egter dat ‘n funksie y f( x)
nie gedefinieer is in ‘n sekere punt x a nie.
So ‘n situasie kan ontstaan as gevolg van onder meer die volgende drie situasies:
1. Dit kan wees dat die funksie y f( x)
bloot net in ‘n enkele punt x a
24
ongedefinieerd is, maar dat die limiet in die punt x a wel bestaan.
2. Dit kan wees dat die kromme van y f( x)
‘n “sprong” maak in die punt waar
x a . Dit beteken dat die funksie ongedefinieerd is in die punt a en dat die
gedrag van y f( x)
weerskante van die punt a drasties verskil. Dan het die
funksie geen limiet in die punt x a nie.
3. Dit kan wees dat x ’n waarde aanneem wat baie ver na links lê op die X-as (baie
groot negatief is) of dat x ‘n waarde aanneem wat baie ver na regs lê op die X-as
(baie groot positief is).
Ons sal nou na elkeen van hierdie voorbeelde van tipes diskontinue funksies kyk
en 'n geskikte voorbeeld van elkeen bespreek.
1. Dit kan wees dat die funksie y f( x)
bloot net in ‘n enkele
punt x a ongedefinieerd is, maar dat die limiet in die punt x a wel bestaan. Dit
gebeur by sogenaamde verwyderbare diskontinuïteite, waar die funksie ‘n breuk is
waarvan die noemer van die breuk nul word indien x die waarde van a aanneem, maar
waar die funksie d.m.v. faktorisering vereenvoudig kan word. Dit het die volgende
kenmerke:

Leereenheid 1
Algebraïes beteken dit dat f ( x ) se waarde in die punt waar x a is nie uitgereken kan
word deur gewoon substitusie te doen en f ( a ) uit te reken nie.
Grafies beteken dit dat…
1) die y -koördinaat van ‘n punt x a nie afgelees kan word deur vertikaal opwaarts vanaf
die X-as na die kromme te projekteer nie, aangesien die kromme NIE BESTAAN waar
x a is nie (daardie spesifieke x -waarde het gewoon nie ‘n bybehorende y -waarde
nie), en dat...
2) die kromme in 'n enkele punt nie bestaan nie, wat ons met 'n oop sirkeltjie aandui.
2
x 4
Beskou as voorbeeld die limiet lim :
x2
x 2
Indien u probeer om die funksiewaarde van f ( x ) algebraïes te bereken waar x 2 , sou u
2
2 4
0
vind f (2) wat natuurlik vereenvoudig tot f (2) maar aangesien deling deur nul
22 0
ongedefinieerd is, bestaan die funksiewaarde ( y -waarde as x 2 ) nie.
2
x 4
Dus kan ons nie die y -waarde as x 2 direk uitreken nie. Die funksie is f( x)
is
x 2
ongedefinieerd in die punt x 2 , en daarom ook diskontinu in die punt x 2 .
Om 'n beter prentjie van die gedrag van die funksie te kry kan ons 'n tabel van x - en y -
waardes opstel en die grafiek dan stip (plot):
25

Leereenheid 1
26
x -2 -1 0 1 2 3
y 0 1 2 3 ? 5
Dit lyk uit die tabel nogal asof y 4 by x 2 sou pas, alhoewel ons hierbo gesien het dat
f (2) ongelukkig die ongedefinieerde vorm 0
0
gesproke nie bestaan nie.
Al plan sou nou wees om die gedrag van
middel van 'n tabel te ondersoek:
lewer en hierdie funksiewaarde dus streng
2
x 4
f( x)
x 2
in die omgewing van x 2 deur
x 1,6 1,8 1,9 1,999 2 2,001 2,1 2,2 2,4
y 3,6 3,8 3,9 3,999 ? 4,001 4,1 4,2 4,4
Ons sien dus dat die funksie in die omgewing van x 2 neig na die waarde y 4 , al neem
die funksie nooit hierdie presiese waarde aan nie.
Kyk weer na die tabel hierbo, en dan na die grafiese voorstelling op die volgende bladsy:
Sien u dat die limiet in die punt x 2 wel bestaan, en die waarde 4 het, alhoewel die funksie
ongedefinieerd is in die punt x 2 ?

Grafiese betekenis van
lim
x2 ( x2 -4
x-2 )
2
x 4
Ons kan derhalwe sê dat lim 4 .
x2
x 2
-2
-1
4
Y
5
3
2
1
oop punt
y= x2 -4
x-2
O
1 2 3 4
X
Diskontinu by x=2
Leereenheid 1
NB: Let daarop dat dit nie beteken dat y 4 as x 2 nie! Dit beteken dat as die waarde
van x na 2 streef, vanaf die links of vanaf regs, dan streef die waarde van y na 4.
2. Dit kan wees dat die kromme van y f( x)
‘n “sprong” maak in die punt waar
x a ... dit beteken dat ons nie vir f ( x ) direk kan uitreken nie, maar ook dat die limiet van
die funksie hoegenaamd nie in die punt x a bestaan nie. ‘n Voorbeeld van so ‘n situasie
is waar die funksie ‘n breuk bevat en die noemer van die breuk nul word indien x die waarde
van a aanneem, en waar die funksie nie vereenvoudig kan word deur te faktoriseer nie.
27

Leereenheid 1
Algebraïes beteken dit dat f ( x ) se waarde in die punt waar x a is nie uitgereken kan
word deur gewoon substitusie te doen en f ( a ) uit te reken nie, maar ook dat die gedrag
van die funksie weerskante van die punt a drasties verskil – bereken ons funksiewaardes vir
f ( x ) in punte baie naby maar net links of regs van a, verkry ons y -waardes wat namate
ons x -waardes kies wat al nader aan a lê, al hoe meer weerskante van x a verskil.
Grafies beteken dit dat…
1) die y -koördinaat van ‘n punt x a nie afgelees kan word deur vertikaal opwaarts vanaf
28
die X-as na die kromme te projekteer nie, aangesien die kromme NIE BESTAAN waar
x a is nie (daardie spesifieke x -waarde het gewoon nie ‘n bybehorende y -waarde
nie) en dat…
2) die voorkoms van die kromme drasties verskil aan weerskante van die punt x a , wat
ons ‘n vertikale asimptoot noem. So iets gebeur byvoorbeeld by die tan-kromme.
Beskou as voorbeeld die limiet
2
x x
lim
x2
x 2
:
Indien u probeer om die funksiewaarde van f ( x ) algebraïes te bereken waar x 2 , sou u
2
2 2
2
vind f (2) wat natuurlik vereenvoudig tot f (2) maar aangesien deling deur nul
22 0
ongedefinieerd is, bestaan die funksiewaarde ( y -waarde as x 2 ) nie.
Dus kan ons nie die y -waarde as x 2 direk uitreken nie. Die funksie is
ongedefinieerd in die punt x 2 .
f( x)
2
x x
x 2
Die enigste manier om die funksie se gedrag by x 2 te ondersoek, is om na die funksie se
gedrag te kyk in die omgewing van x 2 , en dan daaruit afleidings te probeer maak.
is

Leereenheid 1
Hiervoor sou ons, soos voorheen, van 'n tabel van waardes gebruik kon maak. (U kan dit
gerus self doen)
Laat ons nou grafies na die situasie kyk. Die kromme kan geskets word deur die punte in
die tabel wat u saamgestel het, te stip (plot) – of deur 'n rekenaarprogram soos Geometer's
Sketchpad 4 te gebruik:
-1
Soos u kan sien, het die funksie
Y
6
4
2
-2
vergelyking x 2 hierbo).
O
1
f( x)
2
2
x x
x 2
Grafiese betekenis van
lim x
x2
2-x x-2
y= x2 -x
x-2
Die funksie is diskontinu by x=2
‘n vertikale asimptoot (die stippellyn met
Indien ons van links af na regs langs die kromme van die funksie beweeg, sien ons dat die
funksie in die omgewing van die punt x 2 skerp daal na negatief oneindig, wat ons skryf
as . Indien ons egter van regs af na links langs die kromme van die funksie beweeg, sien
ons dat die funksie in die omgewing van x 2 skerp styg na positief oneindig, wat ons skyf
as .
(U sal hierdie tendense ook sien indien u 'n tabel van waardes opgestel het vir die gedrag
van die funksie in die omgewing van x 2 )
X
29

Leereenheid 1
Dus kom die twee lobbe van die kromme nooit bymekaar uit nie – van links gesien, is die
funksie skerp dalend maar van regs gesien is dit skerp stygend –ons sê dat die Linkerlimiet
en die Regterlimiet nie na dieselfde waarde nader nie.
Dit verklaar die "sprong" wat ons op die grafiek sien.
Baie Belangrik:
Aangesien die funksie se Linkerlimiet na nader en die Regterlimiet na nader, sê ons
die funksie is onbegrens en dat dit geen limiet in die punt x 2 het nie.
2
x x
lim
x2
30
x 2
bestaan dus nie.
2
x x
Aangesien lim f (2)
x2
x 2
noem ons die funksie diskontinu in die punt x 2 .
Ondersoek gerus die funksie y tan x waar 0 x en onthou dat x in radiale gemeet
word op dieselfde wyse as in die voorbeeld hierbo. Kan u sien dat en verklaar waarom die
limiet van die funksie y tan x geen limiet het in die punt
x ?
2
(U kan die funksie ook m.b.v. Geometer's Sketchpad 4 of 'n grafiese sakrekenaar teken vir
ekstra duidelikheid)
3. Dit kan wees dat x ’n waarde aanneem wat baie ver na links lê op die X-as (baie
groot negatief is) of dat x ‘n waarde aanneem wat baie ver na regs lê op die X-as
(baie groot positief is). In sulke gevalle sê ons dat x nader na of na . Dit skep
die dilemma dat ons die waarde van die funksie dan nie sal kan uitreken nie –
sakrekenaars werk net met eindige reële waardes, en is nie ‘n reële getal in die
gewone sin van die woord nie.

Leereenheid 1
Algebraïes beteken dit dat f ( x ) se waarde in die punt waar x is nie uitgereken
kan word deur gewoon substitusie te doen en f ( x ) uit te reken nie.
Grafies beteken dit dat…
1) die y -koördinaat van ‘n punt x nie afgelees kan word deur vertikaal opwaarts
vanaf die X-as na die kromme te projekteer nie, aangesien nie fisiese punte op die
X-as is nie – dit dui bloot aan dat ons ‘n waarde oneindig ver na links of oneindig ver na
regs op die X-as het,en dat…
2) ons na die linker- en regtereindpunte van die kromme sal moet kyk om ‘n idee te vorm
van hoe die funksie homself gedra wanneer x baie groot negatief of baie groot positief
word.
Beskou as voorbeeld die limiet
1
lim 3
x
x 4
:
Reg van die begin af, is dit duidelik dat ons nie ‘n maklike algebraïese manier het om die
1
waarde van lim 3
x
x 4
uit te reken waar x is nie, aangesien direkte substitusie van
x in f ( x ) buite die kwessie is.
Laat ons dus ‘n grafiese metode probeer.
Ons moet dus ‘n tabel van waardes gaan opstel en die kromme stip (plot) vir baie groot
waardes van x , of ons moet ‘n rekenaar gebruik om die funksie te teken (Geometer's
Sketchpad 4 is ideaal)
31

Leereenheid 1
Die resultaat lyk so:
Dit is duidelik dat, indien ‘n mens ver na regs langs die X-as (in die rigting van ) sou
beweeg, dan streef die funksiewaarde na 3. Dit beteken letterlik dat as x baie groot word
(streef na oneindig), dan neig y om die waarde 3 aan te neem – maar let op dat die
horisontale lyn y 3 nooit bereik word nie.
Ons kan dus aan die hand van bogenoemde sê dat
32
1
lim 3 3
x
x 4
.
Deur van bogenoemde grafiese voorstelling gebruik te maak, kan ons ook sien dat
1
lim 3 3
x
x 4
wanneer ons kyk wat gebeur as x baie groot negatief word – beweeg net
ver na links langs die X-as.
Opmerking: Soos u kan sien, het die funksie
diskontinuïteit by x 4 .
1
f( x)
3
x 4
‘n nie-verwyderbare
Die limiet van die funksie bestaan nie in die punt x 4 nie, aangesien die linkerlimiet in
hierdie punt na streef, maar die regterlimiet na streef.

Nog 'n voorbeeld:
Beskou as voorbeeld lim x
e
x
en lim x
e :
x
Leereenheid 1
In beginsel wil ons dus vasstel wat met die waarde van y gebeur wanneer x 'n baie groot
negatiewe waarde of 'n baie groot positiewe waarde aanneem.
Soos by die vorige voorbeeld, moet ‘n mens die probleem maar grafies benader; Stel ‘n
tabel van waardes op wat groot negatiewe x -waardes tot by groot positiewe x -waardes
insluit, en stip (plot) die grafiek, of gebruik ‘n program soos Geometer's Sketchpad 4:
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0,007 0,018 0,050 0,135 0,368 1 2,718 7,389 20,086 54,598 148,413
Die resultaat lyk so:
fx e
lim
Om grafies die limiete
x- ex
lim
en
x ex te bepaal
x na - toe
y na 0 toe
-2
-1
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O
Y
1
2
y=e x
y na toe
x na toe
3
Uit die tabel en die grafiek is die tendense duidelik, sodat ons met oortuiging kan sê dat
x
lim e 0 en ook dat lim x
e .
x
x
X
33

Leereenheid 1
Kontinuïteit
Definisie: Kontinuïteit
’n Funksie f x is kontinu in ’n punt x a as en slegs as al drie die volgende voorwaardes
bevredig word:
f a moet gedefinieer wees (met ander woorde, dit moet moontlik wees om f x uit te
34
reken as x a )
lim f a moet bestaan en eindig wees (dit wil sê dat die linkerlimiet gelyk moet wees
aan die regterlimiet);
f a moet gelyk wees aan lim f a

Individuele oefening 2
Gebruik die definisie van ‘n kontinue funksie en doen: Stewart: Oef. 2.5, p. 128
Asook:
Beskou:
Vrae:
13, 14, 16, 17, 37, 38, 40
Leereenheid 1
1. Voltooi die algebraïese definisie van die funksie f deur na die grafiek van f hierbo te
verwys:
35

Leereenheid 1
36
0
as .....................
............
x
2
1
10 2
2
.............
..........
...
54
as .....................
as .....................
as .....................
as ......................
as ......................
as ......................
2
f x x x
2. Bepaal die limiete van die funksie in die punte
x 0, x 2, x 5, x 8, x 11 en x 13 indien hulle bestaan. Indien die limiet in ‘n
sekere punt nie bestaan nie, verstrek redes.
3. Bepaal in watter van die punte x 0, x 2, x 5, x 8, x 11enx 13 is die funksie
kontinu. Indien die funksie in enige van die punte diskontinu is, gee duidelike redes.
Wenk: U moet die definisies en stellings aangaande limiete en kontinuïteit gebruik wanneer u
die vrae hierbo beantwoord. Dit is nie goed genoeg nie om byvoorbeeld te stel dat
“die kromme van die funksie geteken kan word/ nie geteken kan word nie sonder om
die potlood van die papier te lig”.
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.

1.2 'N INTUÏTIEWE BENADERING TOT
DIFFERENSIASIE
U benodig ongeveer 12 ure om hierdie Leergedeelte suksesvol te voltooi.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
Leereenheid 1
die gradiënt van 'n raaklyn aan 'n kromme te bereken en dit te gebruik om
veranderingstempo's te bepaal;
die meetkundige, algebraïese en konseptuele betekenisse van die afgeleide van 'n
funksie te verduidelik
die definisie van differensieerbaarheid te stel en dit op funksies toe te pas
37

Leereenheid 1
1.2.1 Raaklyne aan krommes
Gestel ons het 'n verplasing-tyd-grafiek van die beweging van 'n krieketbal wat vanaf 'n hoë
toring laat val word, waar die vertikale as die verplasing vanaf die bopunt van die toring op
elke tydstip aangee. A en B is punte op die kromme wat bepaalde tydstippe en die posisies
van die bal op daardie tydstippe voorstel en AB is dus 'n snylyn aan die kromme in twee
punte:
38
Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-1 1 2 3 4 5 6
-10
tA = 1.36
sA = 9.01
Gemiddelde snelheid=
Hoe kan ons te werk gaan om
A
t B = 4.64
s B = 105.51
sB-sA = 29.38
tB-tA t B-t A = 3.28
B
s=f(t)
s B-s A = 96.50
C
Tyd t
(s)
1) die gemiddelde snelheid van die bal tussen die tweede en die vierde sekonde en
2) die werklike snelheid van die bal aan die einde van die vierde sekonde
te bereken?

Leereenheid 1
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 2, pp. 143 – 150 en gee veral aandag aan die volgende:
Wat stel die raaklyn aan 'n kromme voor?
Bespreking, pp.143 – 145 tot en met Definisie 1 op p.144
Voorbeeld 1, p.144
Voorbeeld 3, pp.146 – 147
‘n Raaklyn aan die kromme van ‘n funksie is ‘n lyn wat die kromme in slegs een punt
raak. Ons noem hierdie punt die raakpunt. Dit is maklik om te sien dat daar vir elke punt op
‘n kromme slegs een unieke raaklyn getrek kan word; ook is die helling of gradiënt van die
raaklyn dieselfde as die helling of gradiënt van die kromme in die raakpunt.
Ons illustreer dit vervolgens met ‘n praktiese voorbeeld:
Gestel ons het 'n verplasing-tyd-grafiek van die beweging van 'n krieketbal wat vanaf 'n hoë
toring laat val word, waar die vertikale as die verplasing vanaf die bopunt van die toring op
elke tydstip aangee. Gestel verder ons stel daarin belang om die presiese snelheid van die
bal na 3 sekondes te wete te kom.
Om die oombliklike snelheid te bepaal, kan ons die helling (meter/sekonde) van die grafiek
meet deur gewoon ‘n raaklyn aan die kromme te trek. Indien ons ‘n raaklyn aan die kromme
trek by t 3 dan is die raakpunt die punt 3; 44,5 :
39

Leereenheid 1
Die gradiënt van die raaklyn is dan dieselfde as die gradiënt van die kromme; gevolglik kan
ons die gradiënt van die kromme bereken deur die gewone formule vir die gradiënt van ‘n
reguit lyn, soos hierbo in die grafiese voorstelling gedoen is. Let op die eenhede van die
gradiënt – dit is die eenheid van verplasing per die eenheid van tyd. (m/s)
In die volgende Leeronderdeel gaan ons die gedagtes wat ons hierbo aangeroer het gebruik
om ‘n intuïtiewe gevoel vir die betekenis van die afgeleide van ‘n funksie te ontwikkel.
Stewart: Oefening 2.7, p.150
40
Individuele oefening 3
nr. 5; 6, 7 (soos in die voorbeeld hierbo; kry die waarde van m en gebruik
y y m x x om die vergelyking van die raaklyn te kry)
1 1
nr. 16 (doen 16 (c) m.b.v. Geometer's Sketchpad 4); 40.

Leereenheid 1
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.
41

Leereenheid 1
1.2.2 Tempo van verandering
Herbestudeer Stewart: Hoofstuk 2, pp. 147 – 150 en gee veral aandag aan die volgende:
Hoe kan oombliklike veranderingstempo d.m.v. 'n limiet gedefinieer word?
42
Definisie 6, p.148
Voorbeeld 6, pp.148 – 149
Voorbeeld 7, pp.149 - 150
In die vorige Leeronderdeel het ons die gradiënt van die raaklyn aan ‘n kromme by ‘n sekere
raakpunt ondersoek. Ons het gesien hoe ‘n snelheid (in meter/sekonde) uit die gradiënt van
die raaklyn aan ‘n verplasing-tyd-kromme verkry kan word.
Die eenheid van snelheid, naamlik meter per sekonde, dui die tempo aan waarteen die
voorwerp se posisie op daardie oomblik verander. Ons het dus met ‘n oombliklike
veranderingstempo te doen wanneer ons met die gradiënt van die raaklyn aan die
kromme van ‘n funksie werk.
Laat ons nou ondersoek instel na hoe ons die konsep “gradiënt van die raaklyn aan ‘n
kromme”, wat beteken “die veranderingstempo van die afhanklike veranderlike met
betrekking tot die onafhanklike veranderlike”, kan gebruik om ‘n rekenmetode te ontwikkel
waarmee ons die afgeleide van ‘n funksie kan bereken.

Leereenheid 1
Vir hierdie doel keer ons terug na die krieketbal/toring-probleem uit die vorige Leeronderdeel:
Gestel ons het 'n verplasing-tyd-grafiek van die beweging van 'n krieketbal wat vanaf 'n hoë
toring laat val word, waar die vertikale as die verplasing vanaf die bopunt van die toring op
elke tydstip aangee.
Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
tA = 1.36
sA = 9.01
Gemiddelde snelheid=
A
t B = 4.64
s B = 105.51
sB-sA = 29.38
tB-tA t B-t A = 3.28
s=f(t)
s B-s A = 96.50
-1 1 2 3 4 5 6
-10
B
C
Tyd t
(s)
43

Leereenheid 1
Die gemiddelde tempo waarteen die bal se posisie met die tyd verander, is die aantal
meters wat die bal in 'n sekere aantal sekonde aflê. Dit is dus die gemiddelde snelheid van
die bal in m/s.
Aangesien snelheid in m/s gemeet word, kan ons 'n definisie aflei vir die gemiddelde
veranderingstempo van die bal se posisie met tyd:
m
m/s wat impliseer dat
s
Gemiddelde Veranderingstempo van posisie met tyd
44
verandering in posisie ( verplasing afgelê)
tyd geneem om die verplasing af te lê
s
In simboliese vorm: Gemiddelde snelheid v waar s s s en t t t
t
B A B A
Die gemiddelde snelheid tussen die tweede en vierde sekonde kan dus soos volg grafies
bepaal word:
Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-1 1 2 3 4 5 6
-10
tA = 2.00
sA = 19.62
Gemiddelde snelheid=
t B = 4.00
s B = 78.44
A
sB-sA = 29.41
tB-tA t B-t A = 2.00
B
C
s B-s A = 58.82
s=f(t)
Tyd t
(s)

s
v
t
s s
v t t
B A
B A
58,82 (gemeet deur Geometer's Sketchpad 4)
2
29,41m/s
Leereenheid 1
Indien die vergelyking van die kromme, dit is die formule van die funksie wat ons gebruik om
die krieketbal se gedrag voor te stel, bekend is kan ons die gemiddelde snelheid analities uit
die definisie hierbo uitreken:
Uit Fisika volg dit dat die verplasing van 'n vryvallende voorwerp gegee word deur
1 2 2
s g t waar g 9,8 m/s . Dus is s 'n funksie van tyd t .
2
2
Dus, vir die krieketbal se verplasing geld dat s t
Uit die definisie van gemiddelde snelheid volg nou:
s
v
t
sB sA
v tB tA
st ( B) st ( A)
t t
B A
2 2
4,9 4 4,9 2
aangesien s( t) 4,9t
42 58,800
2
29,4 m/s
1
9,8 en dus s() t 4,9t
2
2
2
.
Gestel egter ons wil nie die gemiddelde snelheid wat tussen die 2e en 4e sekonde
gehandhaaf is bepaal nie, maar wel die oombliklike snelheid op die 4e sekonde.
45

Leereenheid 1
Grafies beteken dit dat ons die interval tB tAkleiner
en kleiner moet maak totdat A en B op
dieselfde punt lê, naamlik B, waar t 4 . Laat ons dit doen, en fyn waarneem wat gebeur…
46
Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
tA = 2.50
sA = 30.67
Gemiddelde snelheid=
t B = 4.00
s B = 78.44
sB-sA = 31.86
tB-tA t B-t A = 1.50
s B-s A = 47.77
s=f(t)
-1 1 2 3 4 5 6
-10
Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
tA = 3.00
sA = 44.04
Gemiddelde snelheid=
t B = 4.00
A
s B = 78.44
sB-sA = 34.30
tB-tA t B-t A = 1.00
B
C
s B-s A = 34.40
s=f(t)
Tyd t
(s)
-1 1 2 3 4 5 6
-10
A
B
C
Tyd t
(s)

Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-1 1 2 3 4 5 6
-10
tA = 3.50
sA = 59.93
Gemiddelde snelheid=
t B = 4.00
s B = 78.44
sB-sA = 36.74
tB-tA A
B
C
t B-t A = 0.50
s B-s A = 18.51
s=f(t)
Tyd t
(s)
Leereenheid 1
Ons is nou gereed om ‘n baie radikale stap te neem – naamlik om die konsep van ‘n
infinitesimale grootheid in te voer. Hierdie konsep is sentraal in die teorie van Analise.
Laat A nou baie naby aan B kom en let op wat met die snylyn AB gebeur wanneer die
interval tB tAinfinitesimaal
(dus: oneindig klein, maar nie nul nie) word:
Hoekom is dit belangrik dat tB tAnie
so klein word dat dit nul word nie?
Wat is die implikasie as tB tAwel
nul sou word?
47

Leereenheid 1
48
Verplasing s
(m)
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-1 1 2 3 4 5 6
-10
tA = 3.99
sA = 78.01
Gemiddelde snelheid=
t B = 4.00
s B = 78.44
sB-sA = 39.16
tB-tA CAB
t B-t A = 0.01
s=f(t)
s B-s A = 0.43
Tyd t
(s)
Wanneer tB tAbaie
klein word, val A en B feitlik op mekaar, en dan lyk dit of die
gemiddelde snelheid neig om 'n waarde van ongeveer 39,2 m/s aan te neem. Omdat A en B
feitlik dieselfde punt is, is daar nou nie meer sprake van 'n snylyn nie, maar wel van 'n
raaklyn aan die punt B waar t 4 . Ook het dit nou nie meer sin om van die gemiddelde
snelheid tussen A en B te praat nie, maar eerder van die oombliklike snelheid wanneer
t 4 .
Ons kan bogenoemde nou op 'n elegante manier opsom:
Oombliklike snelheid
lim
t4 tBtA0 s(4) s( tA)
4 t
A
As ons gerieflikheidshalwe die verskil tussen t A en t B nou h noem, dan geld dat h tB tA.
Dan kan ons ook skryf dat tA tB h wat in terme van ons situasie beteken tA 4
h
[1]

Dan kan ons [1] hierbo meer kompak skryf as
Oombliklike snelheid
Oombliklike snelheid
s(4) s(4 h)
lim en dus, na vereenvoudiging:
4 4
t4 h0
t4 h0
h
Laat ons hierdie limiet ([2] hierbo) nou uitreken:
Leereenheid 1
s(4) s(4 h)
lim
[2]
h
s(4) s(4 h)
Oombliklike snelheid lim
t 4 h0
h
2 2
4,9(4) 4,9(4 h)
lim
h0
h
2
78,4 4,9168hh
lim
h0
h
78,478,439,2h4,9h lim
h0
h
2
39,2h4,9h lim
h0
h
h39,2 4,9h
lim
h0
h
lim 39,24,9h h0
lim 39,2lim 4,9h h0 h0
39,2 4,9 0 39,2 m/s
Die implikasie van ons analise hierbo, is niks minder as verstommend nie:
Oombliklike Veranderingstempo in m/s
= gradiënt van die raaklyn aan 'n kromme
s 4 s 4
h
= lim
h0
h
2
49

Leereenheid 1
Opmerking: Ons het in die bespreking hierbo van geen klaargemaakte formules of resepte
gebruik gemaak nie. Ons het bloot vanuit eerste beginsels en definisies uitgegaan en deur
logiese beredenering by die resultaat hierbo uitgekom.
U sal opmerk dat die vorm van ons resultaat hierbo oënskynlik effens verskil van wat in
Stewart aangetref word... of verskil dit nie…?
Die doel met hierdie bespreking was om vir u die ontsagwekkende krag en lieflike onderlinge
samehangendheid te wys van die wiskunde waarmee ons in hierdie Leereenheid besig is –
en ons het nog maar skaars begin!
Ons kan die definisie van oombliklike snelheid nou veralgemeen deur te skryf:
50
vt ( t) v
t
v lim
t 0 t
Vir ‘n funksie y f xkan
ons dit soos volg skryf:
Gradiënt van die raaklyn aan die kromme in die punt waar x a is die oombliklike
veranderingstempo van y met betrekking tot x wanneer x a en ons formuleer dit as
dy
f a h f a
lim
dx h0
xa h
Opmerking: Die eenheid van ‘n (oombliklike) veranderingstempo gee belangrike inligting.
Ons skryf die eenheid van die (oombliklike) veranderingstempo as “eenheid van die
afhanklike veranderlike per eenheid van die onafhanklike veranderlike”.
Let op dat “per” ongeveer dieselfde beteken as “gedeel deur”.

Stewart: Oefening 2.7, p.150
Individuele oefening 4
Nr. 13 (doen dit soos op p. 47 hierbo)
Nr. 16 (doen dit hierdie keer analities (met berekeninge), soos op p. 43 tot 47 hierbo)
nr. 19; 21, 44
Leereenheid 1
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.
51

Leereenheid 1
1.2.3 Die afgeleide as ‘n funksie
Bestudeer: Stewart: Hoofstuk 2, p. 154 – 156 en gee veral aandag aan:
Hoe word die afgeleide van 'n funksie in 'n enige punt x gedefinieer?
52
Definisie 2, p.154
Voorbeeld 1, p.154
Voorbeeld 2, p. 155
Voorbeeld 3, p. 156
Differensiasie is ontwikkel vanuit die meetkunde van raaklyne aan krommes. Die ander
betekenisse (konseptueel en algebraïes) is eintlik abstraksies van die meetkundige
betekenis. Die wiskundige proses waardeur ‘n uitdrukking vir die gradiënt van die kromme
van 'n funksie in enige punt op die kromme gevind word, word differensiasie genoem.
Hierdie uitdrukking staan bekend as die afgeleide van die funksie. Dit is wat ons in die
vorige Leeronderdeel bepaal het, maar slegs by ‘n spesifieke punt op die kromme van ‘n
funksie.
'n Afgeleide is dus tegelyk 'n gradiënt, 'n veranderingstempo en 'n limiet by ‘n
spesifieke waarde van die onafhanklike veranderlike van ‘n funksie:
1. Die gradiënt van die raaklyn aan ‘n kontinue kromme in enige punt a op die kromme
2. ‘n Oombliklike veranderingstempo van een hoeveelheid met betrekking tot ‘n ander
hoeveelheid (vergelyk met die probleem i.v.m. die krieketbal hierbo)

3. ‘n Limiet, nl
dy f ( a h) f ( a)
lim
dx h0
xa h
Leereenheid 1
Die limiet hierbo is eintlik maar 'n algebraïese beskrywing vir die gradiënt van ‘n raaklyn wat
uit die gradiënt van ‘n snylyn ontwikkel wanneer twee punte, op ‘n afstand h van mekaar,
saamsmelt ten einde die oombliklike veranderingstempo van y met betrekking tot x te meet.
In die volgende leerafdeling gaan ons hierdie limiet gebruik om die afgeleide van ‘n
funksie vanuit eerste beginsels te bereken – met “afgeleide”, bedoel ons: ‘n funksie
wat die oombliklike veranderingstempo by enige punt (die gradiënt van die raaklyn by
enige punt op die kromme) lewer.
Alvorens ons egter begin afgeleides probeer bereken benodig ons ‘n belangrike stuk teorie
wat uitspraak gee oor of ‘n funksie ‘n afgeleide besit, al dan nie. Ons behandel hierdie teorie
in die volgende Leeronderdeel.
Stewart: Oefening 2.8, p.162
Individuele oefening 5
Skets die funksie wat as die afgeleide van die gegewe funksie beskou kan word deur die
gradiënt van die raaklyn by elke punt op die gegewe funksie te skat en op papier te stip:
Nr. 2, 3 (LEES wat u hier moet doen) , 4 – 11, 12
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.
53

Leereenheid 1
Differensieerbaarheid
Nie alle funksies besit in elke punt van hul definisieversameling ‘n afgeleide nie. Meetkundig
beteken dit dat daar krommes bestaan waaraan ons in sekere punte nie ‘n raaklyne kan
konstrueer nie. Dus is sekere funksies in sekere punte nie differensieerbaar nie. Daarom
moet ons duidelik definieer wat ons met die begrip “differensieerbare funksie” bedoel.
Bestudeer Stewart, p. 157 – 161. Gee veral aandag aan:
Definisie 3 op p. 157
Stelling 4 op p. 158
Hoër-orde-afgeleides (p. 160) en voorbeelde 6 en 7
Ten einde uit te kom by nuttige teorie waarmee ons die differensieerbaarheid van ‘n funksie
in ‘n sekere punt beter kan verstaan, laat ons die volgende probleem beskou:
54

Vraag:
Leereenheid 1
Bepaal met behulp van die teorie/ eerste beginsels/ algebraiese metodes of die funksie
2 x x1
f x 1
x2 2
as
as
x 2
x 2
differensieerbaar is in die punt x 2 al dan nie; motiveer u antwoord.
Oplossing:
f
h f h
Beskou vaste punt A 2; 2 en 'n verskuifbare punt B 2 ; 2 op die kromme.
Aangesien die punt 2 volgens die definisie van f op die tweedegraadse kromme lê,
is f 2 2 2 1 waarvolgens f 2 1.
Die vaste punt is d
2
us A 2; 1
55

Leereenheid 1
56
h f h
Beskou die gradiënt van die snylyn indien die punt B 2 ; 2 links van die punt
2
A 2; 1 geleë is, dit is klaarblyklik wanneer h 0 en f x x x1:
y
gradiënt van die snylyn AB
x
f 2h1
y2 f 2 h en y1
1
aangesien:
2h2 x2 2h en x1
2
f 2h1
h
2
2h 2h11
h
2
44hh 2h2
h
2
4hh
h
h
h4h1
h
3 h
Beweeg punt B nou van die linkerkant af tot by A deur die waarde van h
te laat
toeneem tot baie naby aan nul:

2 2 h
gradiënt vandie raaklyn aan die punt A 2; 1 lim3 h0
30 3
f h f
lim 3
h0
h
h f h
Leereenheid 1
Beskou die gradiënt van die snylyn indien die punt B 2 ; 2 regs van die punt
1
A 2;1 geleë is, dit is klaarblyklik wanneer h 0 en f x x2
:
2
y
gradiënt van die snylyn AB
x
f 2h1
y2 f 2 h en y1
1
aangesien:
2h2 x2 2h en x1
2
f 2h1
h
1
2h21
2
h
1
1 h 1
2
h
1
h
2
h
1
2
57

Leereenheid 1
Beweeg punt B nou van die regterkant af tot by A deur die waarde van h te laat
afneem tot baie naby aan nul:
58
gradiënt vandie raaklyn aan die punt A 2; 1 1
lim 0 2
h
1
2
f 2h f 2 lim h0
h
1
2
Uit ons analise hierbo blyk nou:
2 2 2 2 f h f f h f
lim lim
h0 h h0
h
f 2h f 2 Dus: lim bestaan nie.
h0
h
Dus: Die funksie is ondifferensieerbaar in die punt x 2.
Meetkundige interpretasie: dit is onmoontlik om 'n unieke raaklyn aan die kromme te trek
in die punt x 2
of
die rigting van die kromme verander skielik drasties in die
punt x 2.
NB : Die teenwoordigheid van die term f 2 in ons berekeninge hierbo impliseer duidelik
dat f gedefinieer moet wees in die punt x 2. Ook impliseer die feit dat ons die
verskuifbare punt B langs die kromme beweeg totdat dit feitlik met die vaste punt A
saamval, dat f 'n limiet moet besit in die omgewing van die punt A;
Nou, indien die funksiewaarde in 'n punt gelyk is aan die limiet van die funksie
in die
omgewing van daardie punt, dan impliseer dit dat die funksie kontinu is in daardie
punt.
So dit is duidelik dat 'n funksie f alleenlik differensieerbaar mag wees in 'n punt x a
indien albei die volgende voorwaardes bevredig word:
Die funksie f is kontinu in die punt x a
Die linkerkantste
limiet van die gradiënt van die raaklyn aan die punt waar x a,
dit is
f ah f a die getal wat ons uitdruk as lim , is gelyk aan die regterkantste limiet
h0
h
van die gradient van die raaklyn aan die punt x a,
dit is die getal wat ons uitdruk
f ah f a as lim .
h0
h

Ons kan ons bevindings tydens die ondersoek hierbo nou soos volg veralgemeen:
Definisie: Differensieerbaarheid
Leereenheid 1
‘n Funksie f ( x ) is differensieerbaar in ‘n punt x a as en slegs as f ( x ) gedefinieer is in ‘n
f ( a h) f( a)
omgewing van a en as die limiet lim
bestaan en eindig is.
h0
h
(Engelbrecht et al, 1989:92)
Dit beteken soos voorheen dat beide die linkerlimiet en die regterlimiet moet bestaan en aan
mekaar gelyk moet wees, met ander woorde: Dit moet geld dat
f ( a h) f( a)
f ( a h) f( a)
lim
gelyk is aan lim
.
h0
h
h0
h
‘n Funksie f ( x ) is differensieerbaar op ‘n oop interval ab ; indien dit differensieerbaar is in
elke punt x ab ;
.
(Stewart, 2003:139)
f ( x h) f( x)
Anders gestel: Gestel ons het die limiet lim
bereken. Dan:
h0
h
Indien ons ‘n sekere waarde a in die plek van x vervang en die uitdrukking word
ongedefinieerd, dan is die funksie f ( x ) nie differensieerbaar in die punt x a nie.
Die vereiste dat f ( x ) gedefinieer moet wees in ‘n omgewing van a beteken gewoon
dat die punt a op ‘n “gladde stukkie” van f ( x ) geleë moet wees en nie ‘n enkele punt
alleenlik waarin f ( x ) gedefinieer is mag wees nie.
Die implikasie is dat a nie een van die eindpunte van ‘n geslote interval mag
wees nie; indien f ( x ) dus op ‘n geslote interval, sê cd ; , gedefinieer is, dan is dit
nie differensieerbaar in die punte c en d nie.
59

Leereenheid 1
Dikwels wil ons die afgeleide van funksies in ‘n sekere punt bereken, maar is ons nie seker
of die funksie wel differensieerbaar is in daardie punt nie. Ons het dus ‘n manier nodig om te
bepaal of ‘n gegewe funksie f x differensieerbaar is in ‘n sekere punt of nie; anders
verspil ‘n mens miskien tyd om die afgeleide van ‘n ondifferensieerbare funksie te probeer
bereken.
Ongelukkig, soos u waarskynlik opgelet het tydens die ondersoek op die bladsye hierbo, is
dit redelik omslagtig om die definisie hierbo te gebruik om te bepaal of ‘n gegewe funksie
differensieerbaar is of nie.
Die vraag ontstaan dus nou of daar ander eienskappe van ‘n funksie is wat vir ons kan
aandui of die funksie differensieerbaar is in ‘n punt of nie. Die volgende stelling gee
uitspraak daaroor.
Stelling: Die verband tussen differensieerbaarheid en kontinuïteit:
As ‘n funksie f ( x ) differensieerbaar is in ‘n punt a waar a binne ‘n oop interval geleë is, dan
beteken dit dat f ( x ) kontinu is in die punt a.
Gevolg:
As ‘n funksie f ( x ) nie kontinu is in ‘n punt a nie, dan beteken dit dat f ( x ) ook nie
differensieerbaar is in die punt a nie.
(Engelbrecht et al, 1989:95,96)
Ons moet egter goed begryp dat nie alle kontinue funksies differensieerbaar is nie.
60

Leereenheid 1
Voorbeeld: Die absolute-waarde-funksie is kontinu in sy knakpunt, maar dit kan aangetoon
f ( a h) f( a)
word dat die limiet lim
nie bestaan as a die x-koördinaat van die
h0
h
knakpunt is nie; derhalwe is die absolute-waarde-funksie ondifferensieerbaar
in sy knakpunt.
Stewart: Oef. 2.8, p. 164
Nr. 35, 36, 38 asook:
Individuele oefening 6
1. Gebruik die teorie in hierdie Leeronderdeel en bepaal of die funksie f x differensieerbaar is in die punt x 2 . Verduidelik u antwoord.
2
x 4
x 2
2. Bewys dat die absolute-waarde-funksie f x x 1 nie differensieerbaar is in die punt
x 1 (sy knakpunt) nie.
3. Gestel ‘n sekere funksie is ondifferensieerbaar in die punt x 10 . Watter afleidings
(minstens twee) kan gemaak word in verband met die funksie?
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
61

Leereenheid 1
62

Leereenheid 1
1.3 BEREKENING VAN AFGELEIDES VANUIT EERSTE
BEGINSELS
Geskatte studietyd is ongeveer 8 ure.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte, behoort u in staat te wees om:
die algebraïese definisie van die afgeleide te gebruik om die afgeleide van 'n funksie
vanuit eerste beginsels te bereken;
n
die differensiasiereël vir magsfunksies van die vorm f x x vir die geval waar n ‘n
rasionale getal is af te lei deur van die Binomiaalstelling gebruik te maak;
die afgeleides van die twee basiese trigonometriese funksies, naamlik sin x en cos x, te
bepaal deur die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van die funksie te ondersoek
63

Leereenheid 1
In die vorige Leergedeelte het ons gevind dat die veranderingstempo van y met betrekking
tot x waar x=a geskryf kan word as
64
dy f ( a h) f ( a)
lim
. Ons het gesien dat hierdie
dx h0
h
uitdrukking die waarde gee van die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van y f( x)
waar x=a.
In hierdie Leergedeelte gaan ons hierdie resultate nou uitbrei om die veranderingstempo van
'n funksie y f( x)
in enige punt x van sy definisieversameling te bepaal. Dit beteken
grafies dat ons die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van y f( x)
in enige punt x=a
gaan bepaal.
Die feit dat ons nou nie meer na die veranderingstempo of gradiënt in 'n spesifieke
waarde a kyk nie, maar wel in enige x-waarde, beteken dat die definisie van 'n afgeleide
in enige waarde van x nou 'n funksie sal wees van x. Die definisie van 'n afgeleide sal
dus soos volg daar uitsien:
dy f ( x h) f ( x)
lim
dx h0
h
Die evaluasie (berekening) van bogenoemde limiet lewer 'n funksie van x. Die afgeleide
van enige funksie f x met betrekking tot sy onafhanklike veranderlike x is dus ook ‘n
funksie van x
U het sulke afgeleide funksies in Individuele Oefening 5 geskets – u het die vorm van
die afgeleide bepaal deur die vorm van die gegewe funksie te beskou en afleidings te
maak.
In hierdie Leergedeelte gaan ons hierdie definisie van die afgeleide gebruik om 'n reël vir die
afgeleide van magsfunksies te bepaal. Ons sal ook ondersoek instel na hoe die twee
basiese trigonometriese funksies sin x en cos x se afgeleides intuïtief bepaal kan word deur
hul krommes te beskou en dieselfde argumente te gebruik as in Individuele Oefening 5.

Bestudeer Stewart: Hoofstuk 2, p. 155 – 156.
Hersien definisie 2 op p. 154
Werk deeglik deur voorbeelde 2 tot 4 op p. 155 – 156
dy f( xh) f ( x)
1.3.1 Die definisie lim
dx h0
h
1. Die definisie
dx h0
h
Leereenheid 1
dy f ( x h) f ( x)
lim
kan gebruik word om die afgeleide van 'n funksie
y f( x)
in enige punt x van sy definisieversameling uit te reken.
Die volgende drie voorbeelde het al drie met die volgende funksie te doen:
fx
= 2x 2 -3x
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3 -2 -1 1 2 3 4
-0.5
-1
O
Y
x=0,6
(2;2)
y=3
X
65

Leereenheid 1
Voorbeeld 1 Bepaal die afgeleide van die funksie vanuit eerste beginsels.
Oplossing:
dy f ( x h) [
f ( x)]
lim
dx h0
h
2 2
66
2( xh) lim
3( xh)
2x h
3x
x hx h x h x x
h0
2
lim
h0
2
4 2 2
3 h
3 2 2
3
2
4hx 2h3h lim
h0
h
h(4x2h3) lim
h0
h
lim(4x2h3) h0
4x03 dy
4x3 dx
Voorbeeld 2. Gebruik u antwoord in 1. en bereken die gradiënt van die raaklyn aan die
kromme van
Oplossing:
2
f ( x) 2x 3x
in die punt (2;2).
dy
gradient
dx
4x3 as x 2dan is die gradient 4(2) 3
5
Voorbeeld 3. Bereken nou die gradiënt van die raaklyn in die punt (2;2) met behulp van die
formule vir die gradiënt van ‘n reguit lyn. Stem u antwoord ooreen met die antwoord in 2?
Oplossing:
y
gradient
x
3
vanaf sketsgrafiek
0,6
5
Ja

Leereenheid 1
Daar bestaan verskillende notasies vir die afgeleide, en u moet almal van hulle met
selfvertroue kan gebruik (sien p.
dy df d
y'( x) f '( x) f( x) Dx f( x) Df x
dx dx dx
Ons beveel Leibniz se vorm, dy
, aan. Volgens hierdie notasie kan ons die afgeleide van die
dx
funksie f ( x ) in die punt x a (soms aangedui deur f '( a ) in ander notasies) ook skryf as
dy
dx xa .
Leibniz se vorm het ook ander uiters verreikende voordele waarvan ons later in Leereenheid
2 gebruik sal maak.
n
1.3.1.1 Magsfunksies van die vorm f x x
U moet die differensiasiereël vir die magsfunksie vanuit eerste beginsels, m.a.w. met
behulp van die definisie van 'n afgeleide, kan aflei vir die geval waar die eksponent ‘n
rasionale getal is. Hierdie afleiding berus op die toepassing van die Binomiaalstelling wat u
in MATE 221 teëgekom het. Hierdie stelling gee 'n handige manier om ‘n mag van 'n
tweeterm ('n binoom, dus) as 'n reeks terme te skryf.
Die Binomiaalstelling lui soos volg:
Indien n ‘n rasionale getal is, dan geld dat:
nn ( 1) nn ( 1)( n2)
ab a na b a b a b ... b
2 6
1 2 2 3
3
n n n n n n
Wanneer ons die Binomiaalstelling gebruik by die berekening van afgeleides vanuit eerste
beginsels, gebruik ons gewoonlik net die eerste vier terme van die reeks gevolg deur ...
67

Leereenheid 1
68
Vir die afleiding van die differensiasiereël vir die magsfunksie mag u die volgende
raamwerk gebruik:
dy n1n Bewys dat nx indien y x met x 'n reële getal en n 'n rasionale getal.
dx
Bewys:
dy
Per definisie is ... [1]
dx
n
Maar f( x) x , so f( xh) ...
f( xh) f( x)
En dus ... [2]
h
Volgens die Binomiaalstelling is
n
ab n n1 nn ( 1) n2 2 nn ( 1)( n2)
n3 3
n
a na b a b a b ... b
2 6
Pas die Binomiaalstelling toe op f( xh) en vereenvoudig,
dan het ons: f( xh) ...
...
...
f( xh) f( x)
Vervang [3] in [2], dan is ...
h
[3]
Vereenvoudig en Faktoriseer:
f( xh) f( x)
...
h
... [4]
Vervang [4] in [1]:
dy
...
dx
Laat h 0 :
dy
...
dx
1.3.1.2 Die twee basiese trigonometriese funksies y sin x en y cos x
Die afgeleides van bogenoemde twee funksies word in Stewart, op pp.189 – 192
formeel afgelei, maar hierdie afleidings bevat argumente wat buite die bestek van die
module-uitkomste val.
Dus is hierdie formele afleidings in die handboek slegs vir u kennisname – u sal nie daaroor
geassesseer word nie.
Nietemin sal ons die resultate van die formele bewyse (p. 192 in die boek van Stewart) van
nou af aanvaar en gebruik.

Leereenheid 1
Om die afgeleide van die twee basiese trigonometriese funksies op ‘n intuïtiewe wyse te
bepaal, kan ons gebruik maak van die feit dat die afgeleide van 'n funksie in 'n sekere punt 'n
getal is wat gelyk is aan die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van die funksie in
daardie punt van sy definisieversameling. Ons het dieselfde gedagte in Individuele Oefening
5 gebruik:
dy
gradiënt van die raaklyn aan die kromme van f ( x) in elke punt x
dx
Ondersoek 1: Die afgeleide van y sin x
Voer die volgende praktiese ondersoek uit:
1. Verkry toegang tot Geometer's Sketchpad 4 en teken die grafiek van y sin x op die
interval x .
2. Konstrueer nou 'n snylyn deur enige twee punte op die kromme.
3. Linkskliek op die snylyn en kies "Measure" in die boonste horisontale keuselys, en kies
dan op die uitvou-keuselys "Slope" – sodoende meet die program vir u die gradiënt van
die snylyn.
4. Deur nou beide snypunte waardeur die lyn gaan, tot by mekaar te skuif, kan 'n raaklyn
aan die kromme by enige waarde van x getrek word, en die gradiënt van hierdie raaklyn
word deur die program gemeet en vir u vertoon. Dit is die waarde van die afgeleide van
die funksie y sin x in daardie punt.
5. Voltooi nou die volgende tabel deur vir elkeen van die gegewe x-waardes die gradiënt van
die raaklyn aan die kromme in daardie x-waarde te meet.
x
f '( x
)
3
4
1
2
1
4 0
1
4
1
2
3
4
69

Leereenheid 1
6. Stip die punte wat u in u tabel verkry het op die gegewe grafiekpapier, en probeer die
kromme wat die beste deur die punte pas, se vergelyking voorspel:
70
-
-180
-0,75
-0,5
-0,25
f ' (x)
1
0,5
-0,5
Ondersoek 2: Die afgeleide van y cos x
Voer die volgende praktiese ondersoek uit:
-1
O
1. Verkry toegang tot Geometer's Sketchpad 4 en teken die grafiek van y cos x op die
interval x .
0,25
2. Konstrueer nou 'n snylyn deur enige twee punte op die kromme.
3. Linkskliek op die snylyn en kies "Measure" in die boonste horisontale keuselys, en kies
dan op die uitvou-keuselys "Slope" – sodoende meet die program vir u die gradiënt van
die snylyn.
0,5
0,75
180
x

Leereenheid 1
4. Deur nou beide snypunte waardeur die lyn gaan, tot by mekaar te skuif, kan 'n raaklyn
aan die kromme by enige waarde van x getrek word, en die gradiënt van hierdie raaklyn
word deur die program gemeet en vir u vertoon. Dit is die waarde van die afgeleide van
die funksie y cos x in daardie punt.
5. Voltooi nou die volgende tabel deur vir elkeen van die gegewe x-waardes die gradiënt van
die raaklyn aan die kromme in daardie x-waarde te meet.
x
f '( x )
3
4
1
2
1
4 0
1
4
1
2
3
4
6. Stip die punte wat u in u tabel verkry het op die gegewe grafiekpapier, en probeer die
kromme wat die beste deur die punte pas, se vergelyking voorspel:
-
-180
-0,75
-0,5
-0,25
f ' (x)
1
0,5
-0,5
-1
O
0,25
0,5
0,75
180
x
71

Leereenheid 1
Die resultate van bogenoemde twee praktiese ondersoeke kan as volg opgesom word:
72
d
sin x cos x
dx
d
cos x sin
x
dx
Stewart: Oefening 2.8, p.163
Individuele oefening 7
Gebruik eerste beginsels (die definisie van ‘n afgeleide) en bepaal die afgeleides van die
funksies in:
nr. 21, 22, 23, 26, 28, 29
Wenk: Die Binomiaalstelling
nn ( 1) nn ( 1)( n2)
ab a na b a b a b ... b
2 6
1 2 2 3
3
n n n n n n
mag handig te pas kom by 23, 28 en 29.
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.4 DIFFERENSIASIEREËLS
Geskatte studietyd is ongeveer 31 ure.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
Leereenheid 1
n
die differensiasiereëls vir die magsfunksie f x x met n ‘n rasionale getal, die vier
trigonometriese funksies f xtan x
, f x cot x,
f x sec x en cosec
f x x,
die
x
algemene eksponensiële funksie f x a met a 0 , die inverse trigonometriese
1
1
1
funksies f x sin x,
f x cos xen
f xtan x
logaritmiese funksie f x loga x met a 0 af te lei;
en die algemene
die differensiasiereëls vir magsfunksies, trigonometriese funksies, eksponensiële
funksies en logaritmiese funksies toe te pas om die afgeleides van 'n verskeidenheid van
funksies in 'n verskeidenheid van werklikheidsgetroue kontekste te bepaal;
die produkreël, kwosiëntreël en kettingreël toe pas om produkte van funksies, rasionale
funksies en saamgestelde funksies te differensieer;
implisietgedefinieerde funksies soos byvoorbeeld die algemene vergelykings van
kegelsnitte te differensieer;
73

Leereenheid 1
tweede-, derde- en vierde-orde afgeleides van funksies te bepaal deur van herhaalde
74
differensiasie gebruik te maak, en die betekenis van die tweede-orde afgeleide van 'n
snelheidsfunksie te verduidelik en dit te gebruik om werklikheidsgetroue probleme op te
los
In die vorige Leergedeelte het ons gesien hoe die afgeleides van funksies vanuit eerste
beginsels bereken kan word deur vanaf die definisie van 'n afgeleide uit te gaan. Alhoewel
dit 'n kragtige wiskundige metode is, het u dit moontlik heel vervelend gevind om elke keer
deur die limietberekening te worstel. Gelukkig sal ons in hierdie leergedeeltes met kort
metodes te doen kry wat die afgeleides van 'n groot verskeidenheid funksies redelik pynloos
kan bereken.
In die vorige Leergedeelte het u 'n reël afgelei waarmee magsfunksies van die vorm
n
y a x maklik gedifferensieer kan word. Ook het ons gesien hoe die afgeleides van die
trigonometriese funksies y sin x en y cos x uit die gradiënt van die raaklyn aan hulle
krommes afgelei kon word, of formeel uit eerste beginsels bereken kan word.
Dit geld ook vir ander tipes funksies dat differensiasiereëls vir hulle afgelei kan word deur
van die definisie van 'n afgeleide gebruik te maak. In hierdie module is ons egter nie verder
in hierdie soort afleidings geïnteresseerd nie – dit is reeds deur die wiskundiges van die 17e
eeu gedoen. Ons sal voortaan aanvaar dat geldige differensiasiereëls vir die magsfunksie,
die twee basiese trigonometriese funksies, die eksponensiële funksie en logaritmiese funksie
bestaan; ons sal hierdie differensiasiereëls stel en hulle gebruik om afgeleides direk te
bereken.
Ook sal ons in hierdie Leergedeelte sien hoe produkte van funksies, breuke waarvan die
teller en noemer funksies is (kwosiëntfunksies) en ook saamgestelde funksies (funksies van
funksies) maklik gedifferensieer kan word. Ons sal ook d.m.v. die kwosiëntreël die
differensiasiereëls vir tan x , cot x , sec x en cosec x aflei.
Metodes om implisietgedefinieerde funksies te hanteer, kom later in hierdie Leergedeelte ter
sprake, asook hoe 'n mens dit gebruik om gradiënte van raaklyne aan kegelsnedes te bepaal
en selfs om die differensiasiereëls vir die inverse trigonometriese funksies (boogfunksies) af
te lei.

Leereenheid 1
Laastens sal ons aandag gee aan herhaalde differensiasie, die proses waardeur
sogenaamde hoër-orde afgeleides bereken word.
75

Leereenheid 1
1.4.1 Magsfunksies van die vorm
76
n
a x en polinoomfunksies
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 3, pp. 173 – 178. Gee veral aandag aan:
Alle reëls wat in rooi gedruk is, veral die konstante veelvoudreël op p. 176
Die bewoording van die algemene weergawe van die differensiasiereël vir die
magsfunksie (p. 175)
Voorbeelde 1 tot 7
Vir die magsfunksie
n
d n n1
y a x met a, x en n reële getalle geld ax an x .
dx
U het dit in die vorige Leergedeelte bewys vir die geval waar n ‘n rasionale getal is.
Ons sluit vir u die volgende riglyne in ter opsomming van basiese differensiasietegnieke. U
moet hulle baie goed ken en baie goed kan toepas. Oefen hulle dus deeglik:
1. Reël vir ‘n magsfunksies:
2. k f( x) k f( x)
d
( ax ) an x
dx
n n1
d d
waar k enige konstante is
dx dx
3. Indien die funksie ‘n veelterm is, word elke term afsonderlik gedifferensieer:
d d d
[ f ( x) g( x)] [ f( x)] [ g( x)]
dx dx dx
4. Die afgeleide van enige konstante is altyd presies nul.

d
c
dx
Dit wil sê: 0
vir enige konstante c.
Leereenheid 1
Kan u 'n grafiese en konsepsuele verklaring hiervoor gee? Hoe lyk die grafiek van 'n
konstante funksie? Wat is die veranderingstempo van 'n konstante proses?
5. Alle funksies moet verwerk word na die vorm
5.1
5.2
n
a x of na veelterme waar elke term van
hierdie vorm is – dan kan die reël 1 hierbo gebruik word. Dus kan die volgende tipe
funksies ook sonder insident gedifferensieer word:
a
ax n
x
n
a
b a b
x x
5.3 Vermenigvuldig waar moontlik alle hakies uit.
5.4 Indien die funksie ‘n breuk is met ‘n teller en noemer wat beide faktoriseerbare
veelterme is: Faktoriseer en kanselleer:
voorbeeld:
voorbeeld:
2
x x x
2
x 4x4
x2 2
x2
x 2
2
x2
2
2
x 9 ( x3)( x3)
x3 ( x3)
x 3
5.5 Indien die funksie ‘n breuk is met slegs een term onder die deelteken, splits dit op in
aparte terme met dieselfde noemer:
f ( x) g( x) h( x) f( x) g( x) h( x)
p( x) p( x) p( x) p( x)
77

Leereenheid 1
78
Individuele oefening 8
Maak nou van differensiasiereëls gebruik in die volgende vrae:
1. Bereken dy
dx as
2
y 3x 2x 15
4 3
2. Bepaal f '( x ) as f ( x) 2 8x
3
x
d
dx
3. Bepaal 2
22x 3
4. 'n Sekere voorwerp se verplasing in meter as funksie van tyd in sekondes word
gegee deur die bewegingsvergelyking
voorwerp as funksie van tyd.
Wenk:
5. Differensieer:
2 t 4t 4
t
vt () D
t 2
2 3
12x3x x
2
t 4t 4
st ()
. Bepaal die snelheid van die
t 2
6. ‘n Klip word vertikaal opwaarts gegooi teen ‘n beginsnelheid van 30 m/s. Die
invloed van swaartekrag veroorsaak ‘n versnelling van 10 m/s 2 . Die
bewegingsvergelyking vir die klip is dus
en t in sekonde gegee is.
s t t
2
30 5 waar s in meter
Bereken nou uit bostaande gegewens die volgende deur van differensiasie
gebruik te maak:
6.1 ‘n Vergelyking (formule) waarmee die snelheid v van die klip op enige
tydstip bereken kan word.

Leereenheid 1
6.2 Die oombliklike snelheid 4 sekondes nadat dit begin beweeg het en gee
ook die beweegrigting (op- of afwaarts) op daardie oomblik.
7 Water vloei op so 'n manier uit 'n watertenk dat die volume in liters op 'n sekere
tyd t sekondes nadat die water begin uitloop het, gegee word
20
deur Vt ( ) 6000 400t t
3
Bereken nou die volgende:
2
7.1 Die volume water in die tenk toe dit net begin uitloop het.
(Wenk: Dit is as t 0 )
7.2 Die vloeitempo, wat ons skryf as dV
dt
begin uitloop het.
,op enige tydstip na die water
7.3 Die vloeitempo in liters per sekonde op die oomblik 20 sekondes nadat
die water begin uitloop het.
7.4 Hoe lank sal dit neem voordat die tenk leeg is?
2
m
8. Die vergelyking: T ( m)
m 1
beskryf die verandering in liggaams-
3
temperatuur T(x ) gemeet in grade Fahrenheit, een uur nadat m milligram
van ‘n sekere medikasie aan ‘n persoon toegedien is.
dT
is die tempo waarmee T verander met betrekking tot die grootte van die dosis
dm
m en word die sensitiwiteit van die liggaam met betrekking tot die dosis genoem.
Vind die sensitiwiteit wanneer die dosis 1 mg is.
79

Leereenheid 1
9. ‘n Sferiese ballon word opgeblaas.
80
Bepaal die veranderingstempo van die toename in buite –oppervlakte S met
betrekking tot r as r = 20 cm.
(Wenk:
2
S 4r )
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.4.2 Natuurlike eksponensiële funksies
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 3, pp. 178 – 180 en gee veral aandag aan:
Definisie van die getal e, p.179
Redes vir die keuse van e as grondtal
Reël vir die afgeleide van die natuurlike eksponensiële funksie, p. 180
U hoef nie die hele bespreking op p. 178 - 180 te kan weergee nie.
Leereenheid 1
Aangesien dit geld dat die veranderingstempo van enige eksponensiële funksie in ‘n sekere
punt direk eweredig is aan die funksiewaarde self in daardie punt, is eksponensiële funksies
uiters nuttig om prosesse waar daar geleidelike groei of geleidelike afname plaasvind,
wiskundig te beskryf.
Indien die grondtal van die eksponensiële funksie
gradiënt van die eksponensiële funksie een as x 0 (by die y -afsnit).
d
Dan geld dit dat e 1 e
dx
x x
x
y a gelyk aan e gekies word, dan is die
Dit is die enigste funksie waarvan die helling (gradiënt) van die raaklyn aan enige punt
(afgeleide) presies die waarde van die funksie in daardie punt is, m.a.w.
d
dx
x
x
dy
x
e e of y y e
dx
Een van die interessante implikasies van bogenoemde is dat:
0
e 1 en die helling (gradiënt) van die raaklyn by (0; 1) is ook 1.
81

Leereenheid 1
Die produkreël, kwosiëntreël en kettingreël word volgende bespreek.
Hierdie drie reëls stel ons in staat om ingewikkelde funksies met behulp van dieselfde
eenvoudige differensiasiereëls as voorheen te differensieer. Die groot geheim is om die
gegewe funksie reg te identifiseer: Is dit ‘n produk van funksies, of is dit ‘n kwosiënt van
funksies, of is dit ‘n funksie van ‘n funksie?
Ons gee dan nou aan hierdie sake aandag.
82

1.4.3 Die produkreël
Lees: Stewart: Hoofstuk 3, p. 183 - 185
Leereenheid 1
Die afleiding van die produkreël op p. 183 - 184 is nie vir
assesseringsdoeleindes nie.
Soms gebeur dit dat ‘n proses beskryf word deur ‘n funksie wat gevorm word deur twee
ander funksies te vermenigvuldig. Ons kan so ‘n funksie beskou as ‘n produk van funksies.
Dit is nie altyd moontlik of maklik om die produk uit te vermenigvuldig en die resultaat
te differensieer nie.
Daarom benodig ons ‘n manier om ‘n funksie wat uit ‘n produk van ander funksies bestaan,
te differensieer sonder om die funksies eers uit te vermenigvuldig. Die produkreël verskaf ‘n
gerieflike metode om dit te doen.
Beskou die produk van twee funksies, byvoorbeeld:
Sien u dat y ’n funksie is wat bestaan uit die produk van
3
Indien ons die substitusies ux 2x
y u( x) v( x)
3
y 2x
e
x
3
2x en
x
e ?
x
en vx e invoer, kan ons skryf:
Die sogenaamde produkreël gee ons ‘n manier om sulke funksies maklik te
differensieer.
83

Leereenheid 1
Ons stel nou sonder bewys die produkreël vir die differensiasie van ’n produk van funksies
soos wat Washington (2005:671) dit in formule 23.12 gee (vergelyk die formulering
hieronder gerus met die formulering op p. 184 in die boek van Stewart):
As ux en vx differensieerbaar is in die punt x , dan geld:
84
die produkfunksie f x ux vxis ook differensieerbaar in die punt x
indien dit moeilik of onmoontlik is om f x te vereenvoudig, kan die afgeleide van
y f( x)
soos volg bereken word:
dy du dv
vx ( ) ux ( )
dx dx dx
dy
Voorbeeld: Bereken as
dx
Oplossing:
2 x 3 x
6x e 2x e
2 x 3 x
2 x
2 3
3 x
y 2x e
3 x
y 2x e 3
Stel u( x) 2x x
Stel v( x) e
du
6 dx
dv
dx
2
x
x e
y u( x) v(
x)
dit is 'n produk van funksies
Nou:
dy du dv
vx ( ) ux ( )
dx dx dx
(Produkreël)
6x e 2x e
xe
x

Individuele oefening 9
Leereenheid 1
1. Bewys dat die gradiënt (helling) van die lynstuk PQ in die raakpunt O (die oorsprong)
presies gelyk is aan 1:
2. Die druk P in ‘n geslote gastenk wissel met tyd t volgens die verwantskap
(sien die grafiese voorstelling hieronder)
t
P t e .
Bepaal die oombliklike veranderingstempo van druk met tyd wanneer
t 4 mikrosekonde .
Maak seker dat die meeteenhede van u antwoord korrek is.
Probeer verduidelik wat besig is om met die gastenk te gebeur.
85

Leereenheid 1
Stewart, Oefening 3.2 op p. 187
Nr. 1, 9, 10, 28, 39
(doen nr 39 met Sketchpad en met die hand; vergelyk u antwoorde en vergelyk die
krommes wat Sketchpad oplewer)
86
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.4.4 Die kwosiëntreël
Lees: Stewart: Hoofstuk 3, p. 185 – p. 187
Leereenheid 1
Die afleiding van die kwosiëntreël op p. 185 – 186 is nie vir
assesseringsdoeleindes nie.
Soms gebeur dit dat ‘n proses beskryf word deur ‘n funksie wat bestaan uit ‘n algebraïese
breuk. Ons kan so ‘n funksie beskou as ‘n kwosiënt van funksies.
Dit is nie altyd moontlik om maklik om die kwosiënt te vereenvoudig en die resultaat te
differensieer nie.
Daarom benodig ons ‘n manier om ‘n funksie wat uit ‘n kwosiënt van ander funksies bestaan,
te differensieer sonder om die funksies eers uit te deel. Die kwosiëntreël verskaf ‘n gerieflike
metode om dit te doen.
Beskou nou die kwosiënt van twee funksies, soos byvoorbeeld die funksie qx waar
2
q x
32x .
x 2
Let op dat die funksie qx uit ’n teller (naamlik die funksie 3 2x ) en ’n noemer (naamlik
die funksie
2
x 2 ) bestaan.
Indien ons die substitusies ux 3 2x
u x
qx
v x
en 2
v x x 2 invoer, kan ons skryf:
87

Leereenheid 1
Die sogenaamde kwosiëntreël gee ons ‘n manier om sulke funksies maklik te
differensieer.
Ons stel nou sonder bewys die kwosiëntreël vir die differensiasie van ’n kwosiënt van
funksies soos wat Washington (2005:672) dit in formule 23.13 gee (Vergelyk gerus met die
skryfwyse in die boek van Stewart op p.186):
As ux en vx differensieerbaar is in die punt x en vx 0 , dan geld:
88
die kwosiëntfunksie f x
u x
is ook differensieerbaar is in die punt x
v x
indien dit moeilik of onmoontlik is om die kwosiënt d.m.v. faktorisering en deling te
vereenvoudig, kan die afgeleide van y f( x)
soos volg bereken word:
du dv
vx ( ) ux ( )
dy
dx dx
dx vx
2
( )

Voorbeeld 1: Bereken dy
dx as
Oplossing:
3 2
3x
2
3
3 3 2
x
2
y
2
3x
x
1
2 2
2
3x
y
x
Stel u( x) 3x Stel v( x) x x
du
6x
dx
1
dv 1
2
x
dx 2
1
2 x
ux ( )
y vx ( )
Nou:
du dv
vx ( ) ux ( )
dy
dx dx
2
dx vx ( )
(Kwosiëntreël)
6x
2 1
x3x
2x 6x
2
x
x
6
x x
2
x
6
3 3
x
2
x
3
x
9 3
x
2
x
3
9 x
2x
en dit is 'n kwosiënt van funksies!
Leereenheid 1
89

Leereenheid 1
Ons gee toe dat bogenoemde probleem wel korter sou gewees het as ons die kwosiënt eers
vereenvoudig het; dit sou die doeltreffendste manier gewees het om die probleem te hanteer
– so hierdie is miskien nie die beste voorbeeld in die wêreld nie.
Die gedagte was egter om vir u die uiteensetting en verloop van die rekenproses te illustreer
– en ons dink tog dat die voorbeeld hierbo goed daarin geslaag het.
Hier is tog nog ‘n paar beter en interessanter voorbeelde:
Voorbeeld 2: Bewys dat die afgeleide van tan x gegee word deur
90
2
sec x
(Opmerking: In Leeronderdeel 1.3.1.2 op p. 63 het ons die afgeleides van die sinus- en
cosinus-funksies teëgekom – blaai gerus terug indien nodig)
Oplossing:
Stel y tan x
sin x
Maar tan x ,
cos x
so:
sin x
y
cos x
Stel u( x) sin x Stel v( x) cosx
du
cos x
dx
dv
sin
x
dx
ux ( )
y vx ( )
en dit is 'n kwosiënt van funksies!
Nou:
du dv
vx ( ) ux ( )
dy
dx dx
2
dx vx ( )
(Kwosiëntreël)
sin x
cos xcosxsin x
2
cos x
2 2
cos xsin x
2
cos x
1
2
cos x
2
sec x

Voorbeeld 3: Bereken dy
dx as
Oplossing:
3x
e
x 2 x
6xe 3x e
2
x e 3x y x
e
2
2
y x
2
Stel u( x) 3x x
Stel v( x) e
ux ( )
y vx ( )
en dit is 'n kwosiënt van funksies!
Nou:
du dv
vx ( ) ux ( )
dy
dx dx
2
dx vx ( )
(Kwosiëntreël)
6xe 3x e
2x
e
x
3xe 2x 2x
e
3x2x
x
e
x 2 x
du dv
6x
e
dx dx
x
Leereenheid 1
91

Leereenheid 1
dy 2 x
Voorbeeld 4: Bereken as y
dx x 5
Oplossing:
2 x
y
x 5
Stel u( x) 2 x Stel v( x) x5
du
1 dx
dv
1
dx
ux ( )
y vx ( )
en dit is 'n kwosiënt van funksies!
Nou:
du dv
vx ( ) ux ( )
dy
dx dx
2
dx vx ( )
(Kwosiëntreël)
92
1 x52 x
1
2
x5 x52 x
10 25
7
10 25
2
x x
2
x x
Let daarop dat u finale antwoord vereenvoudig moet word. Die meeste handboeke
faktoriseer ook, waar moontlik, die laaste stap van die oplossing.

Leereenheid 1
Soos u in Voorbeeld 1 gesien het, word die kwosiëntreël gebruik om die
differensiasiereëls van die trigonometriese funksies tan x , cot x , sec x en cosec x
af te lei. U moet in staat wees om dit vir assesseringsdoeleindes te doen.
Individuele oefening 10
1. 'n Persoon word binneaars ingespuit. Die konsentrasie (in mol/dm³) van
die medikasie in die bloedstroom t ure na die inspuiting toegedien is, word
gegee deur die funksie C t 2
0,14t
t 4t 4
Bepaal die tempo waarteen die konsentrasie verander op die tydstip 7uur en 23
minute na die inspuiting toegedien is.
1
2. Die kromme van die funksie y word 'n heks van Maria Agnesi genoem.
2
1
x
Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan hierdie kromme by die punte x 3 en
x 3 . Gaan u antwoord na deur die kromme op Geometer's Sketchpad 4 te
teken, raaklyne aan die kromme te konstrueer en die gradiënt van die raaklyn by
hierdie punte te meet.
93

Leereenheid 1
x
3. Die kromme van die funksie y 2
1
x
94
word 'n slangkromme genoem. Bepaal
die gradiënt van die raaklyn aan hierdie kromme by die punt x 2 . Gaan u
antwoord na deur die kromme op Geometer's Sketchpad 4 te teken, 'n raaklyn
aan die kromme te konstrueer en die gradiënt van die raaklyn by hierdie punt
te meet.
4. Differensieer:
4x
f( x)
3e
e
x
Opmerking: Stewart (2008:218) bewys formeel met behulp van logaritmiese
differensiasie (‘n tegniek wat ons nie in hierdie module bestudeer nie) dat die
d
dx
x n x geldig is selfs wanneer n ‘n reële getal is. U het
hierdie reël in Leeronderdeel 1.3.1.1 afgelei vir die geval waar n ‘n rasionale getal is.
n n1
differensiasiereël
lnt
5. Bepaal die veranderingstempo van p met betrekking tot t indien p t
t
wanneer t=10.
6. Bewys dat
d
sec sec tan
deur van die kwosiëntreël gebruik te maak.
d
Ekstra 1. Bepaal dy
d indien
sin
y en skryf u antwoord as ‘n mag van een van die
cos
ses trigonometriese funksies.
Ekstra 2: Bepaal die afgeleide van y cot x.
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.4.5 Trigonometriese funksies
Leereenheid 1
Sien: Stewart: Hoofstuk 3, p. 193 vir ‘n opsomming van die differensiasiereëls vir die ses
bekende trigonometriese funksies – dit is nuttig om hierdie tabel te memoriseer.
Lees vinnig deur p. 189 – 193 (vir kennisname, nie vir assesseringsdoeleindes nie)
Bestudeer die interessante voorbeeld 4 op p. 194
Vir die twee basiese trigonometriese funksies geld:
d
sin x cos x
dx
d
cos x sin
x
dx
Die formele afleidings van hierdie twee reëls (Stewart, 2008:190-192) is baie tegnies van
aard en sal nie geassesseer word nie. Ons het die redelikheid en geldigheid van hierdie
twee reëls in Leeronderdeel 1.3.1.2 deur middel van ‘n meetkundige (grafiese) benadering
bevestig.
Ons het in die vorige Leergedeelte, dit is Leergedeelte 1.4.4, gesien hoe die
differensiasiereël vir die funksie f x tan x m.b.v. die kwosiëntreël afgelei word (sien
voorbeeld 2 op p. 84 van hierdie handleiding).
95

Leereenheid 1
U moet in staat wees om vir assesseringsdoeleindes die volgende differensiasiereëls
af te lei:
d
2
tan x sec x
dx
d
2
cot x cosec
x
dx
d
sec x sec xtan x
dx
d
cosec x cosec x cot
x
dx
Al vier hierdie afleidings verloop op soortgelyke wyse as voorbeeld 2 op p. 84:
Ons skryf die funksie wat ons wil differensieer in terme van sinus en/ of cosinus; dit lewer ‘n
breuk (kwosiënt). Ons pas dan die kwosiëntreël toe en vereenvoudig ons resultaat met
behulp van trigonometriese identiteite.
In Analise werk ons altyd alleenlik in radiale en nooit in grade nie, aangesien radiale in terme
van reële getalle gedefinieer is.
Om 'n hoek wat in grade gemeet is, om te skakel na radiale, kan u die volgende
verwantskap gebruik:
(in radiale) (in grade)
180
96

Individuele oefening 11
1. Bewys die vier differensiasiereëls boaan p.90 van hierdie handleiding.
Leereenheid 1
2. Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van y 2sin xin
die punt waar
x .
6
3. Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van
2
f ( x) 3 1 sin x in die punt waar x .
3
4. Gestel ‘n voorwerp se posisie word gegee deur die funksie
sin2t
xt () 23cost waar x in meter gemeet word en t in sekondes.
cost
Bereken die veranderingstempo van die voorwerp se posisie met betrekking tot die tyd
presies 3 sekondes nadat die beweging begin het.
(WENK: die antwoord is in meter per sekonde)
5. Bereken die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van die funksie
f ( x) secx tanx
in die punt
x
4
6. Bereken die veranderingstempo van 'n tydsafhanklike proses indien die
proses voorgestel word deur die funksie Z( t) cosec t cot t op die tydstip
wanneer t 3 .
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
97

Leereenheid 1
1.4.6 Die kettingreël
Lees: Stewart: Hoofstuk 3, p. 197 – 203 en gee veral aandag aan:
98
Die notasie (p. 197; ons beveel Leibniz-notasie aan)
n df n1du
dx
op p. 200
dx
Die magsreël as f x ux dan is n ux Alle voorbeelde tot op p. 202
U moet formule 5 onderaan p. 201 kan aflei (vir Leergedeelte 1.4.7)
Die bewys van die kettingreël op pp. 202 - 203 is nie vir assesseringsdoeleindes
nie
In MATE 111 (voorheen WSKH 111) het u te doene gekry met saamgestelde funksies en
met verwante veranderingstempo's. Saamgestelde funksies is funksies waarvan die
onafhanklike veranderlike self ook 'n funksie is van 'n ander onafhanklike veranderlike en
verwante veranderingstempo's is wanneer die tempo waarteen een funksie verander, afhang
van die tempo waarteen 'n ander, verwante funksie verander.
Ons sal vervolgens:
die idee van 'n saamgestelde funksie met behulp van 'n werklikheidsgetroue proses
verduidelik;
die idee van 'n verwante tempo met behulp van 'n proses waarvan die
veranderingstempo afhanklik is van die veranderingstempo van 'n ander proses
ontwikkel.
Hierdie tipe probleme sal u vind in Leergedeelte 1.5.3.
Werk nou baie deeglik deur die volgende analise (die woord beteken hier: ontleding.)

Leereenheid 1
Beskou 'n ballon wat met gas gevul is en wat aanvanklik 'n volume van 4188,79 cm³ beslaan.
Op 'n sekere oomblik ontstaan daar 'n klein gaatjie en die ballon begin afblaas sodat dit na
presies 5 s leeg is.
Ons probleem is om 'n manier te bepaal hoe ons die tempo waarteen die ballon se
volume met tyd verander, kan uitreken.
Grafies lyk die situasie soos volg:
4188,790
4000
3000
2000
1000
O
Volume V
(cm 3 )
Uit die grafiek is dit duidelik dat daar vir elke tydstip t in die interval 0 t 5, t R een en
slegs een V-waarde bestaan – dus is die volume V afhanklik van tyd t.
Daarom kan ons skryf: V is 'n funksie van t:
V V() t
[1]
5
tyd
(s)
99

Leereenheid 1
Op hierdie stadium kan ons met reg vra: Hoe kan dit?
As die volume V van die ballon van tyd t afhanklik is, dan moet daar tog 'n t in die formule vir
4 3
die volume van die ballon wees! En tog: V r bevat duidelik geen t.
3
Om hierdie vraagstuk op te los, moet ons verder ondersoek instel na ons waarnemings.
Die aanvanklike volume van die ballon was 4188,79 cm³, wat beteken dat sy radius
aanvanklik 10 cm was.
4
(onthou dat vir 'n sfeer geld dat V r
3
Dit kan ook grafies so voorgestel word:
100
4188,79
4000
3000
2000
1000
O
Volume V
(cm 3 )
2
3
sodat 3 3
4
6
V
r en
4
3
3V
4
V
8
4188,79
Ons sien dus dat die volume van die ballon afhanklik is van sy radius.
10
10 ).
Radius r
(cm)

Daarom kan ons skryf: V is 'n funksie van r:
Leereenheid 1
V f( r)
[2]
Vergelyking [2] klop wel, aangesien ons weet dat die formule vir die volume van 'n sfeer
(soos hierbo gebruik) wel 'n r bevat:
4
V r
3
Dus: Die ballon se volume V neem af omdat sy radius r krimp namate die ballon afblaas;
hoe kleiner r, hoe kleiner V, en dit is in lyn met ons waarnemings.
Maar beskou ons die ballon se radius soos wat die tyd aanstap, sien ons die volgende:
10
O
radius r
(cm)
3
5
tyd t
(s)
Uit die grafiek is dit duidelik dat daar vir elke tydstip t in die interval 0 t 5, t R een en
slegs een r-waarde bestaan – dus is die radius r afhanklik van tyd t.
Daarom kan ons skryf: r is 'n funksie van t:
r g() t
[3]
101

Leereenheid 1
Kom ons som ons resultate op:
102
volume V is afhanklik van tyd t, so V V( t)
[1]
volume V is afhanklik van radius r so V f( r)
[2]
radius r is afhanklik van tyd t, so r g( t)
[3]
Vervang ons nou vir [3] in [2], verkry ons:
()
V f g t
[4]
Stel die regterkant van [1] gelyk aan die regterkant van [4] (wat ons mag doen omdat beide
[1] en [4] se linkerkantste V is) en dit lewer:
Vt () f gt [5]
Kyk nou terug na [1] en [2] – kan u sien dat daar geen teenstrydigheid bestaan nie,
aangesien V wel van tyd afhanklik is soos [1] sê, en [2] ook van tyd afhanklik is aangesien
g() t (dit is die radius in [2]) van tyd t afhanklik is, soos [3] sê.
Die verklaring vir bogenoemde is dus dat V 'n saamgestelde funksie is; dit is 'n funksie van g,
wat op sy beurt weer 'n funksie van t is. Daarom is V tog ook 'n funksie van tyd.
t beïnvloed vir g, en r beïnvloed vir V; dus is V gevolg deur r afhanklik van t.
Skematies: t gt f gt Ons skryf ook soms: Vt () f gt aan g gevolg deur f".
en lees dit: "V is 'n tydsafhanklike funksie en is gelyk
Ons is nou gereed om V as tydsafhanklike funksie te skryf:
V t f
g t
met
4 3
f ( r) r en r g( t)
3
Uit die grafiek van r teenoor t is dit duidelik dat die radius r gegee word deur gt ( ) 2t 10 .

4
V t g t
3
Dus: 3
Opmerkings:
Leereenheid 1
met g( t ) die radius r en gt ( ) 2t 10 en 0 t 5, t R [6]
Volume V is dus gekoppel aan twee veranderlikes, naamlik radius r en tyd t.
Die waardeversameling van die radius r g( t)
dien as definisieversameling
vir f .
Om V uit te reken, moet ons eers vir g( t ) bereken (met behulp van t se
waarde) en dan vir g( t ) in f vervang.
Vergelyk [5] en [6]. Kan u sien dat g( t ) die binneste funksie en f die
buitenste funksie is?
Dus is die waarde van V afhanklik van twee verwante sake, naamlik
1. die waarde van r en
2. die waarde van t
(aangesien r deur die verwantskap r g( t)
self van tyd afhanklik is)
As ons nou ondersoek instel na die tempo waarteen die ballon afblaas (sien die grafiek van
V teen t , dis die eerste grafiek hierbo), sien ons dat die eenheid vir
volumeveranderingstempo met tyd, cm³/s moet wees. Daaruit kan ons 'n simbool aflei vir
volumeveranderingstempo met tyd:
3
Volumeveranderingstempo met tyd cm /s
3
cm V
s t
As t baie klein word (wat beteken dat ons die gradiënt van die raaklyn aan die grafiek van
V teen t beskou), geld uit die definisie van 'n veranderingstempo (Leergedeelte 1.3.1) dat
V dV
lim
t
dt
t 0
. Dus kan ons volumeveranderingstempo met tyd skryf as dV
dt
.
103

Leereenheid 1
Ons kan nou aanvoel dat dV
dt
sake afhang, naamlik:
104
1. die veranderingstempo dV
dr
2. die veranderingstempo dr
dt
Gevolglik kan ons skryf:
, die veranderingstempo van volume V met tyd t , van twee
van die buitenste funksie
van die binneste funksie r g( t)
dV dV dr
dt dr dt
of selfs
dV dV dg
dt dg dt
4 3
f ( r) r , asook
3
Bogenoemde resultaat heet die kettingreël vir die differensiasie van saamgestelde
funksies.
Laat ons dit nou toepas op die ballon:
dV dV dr
dt dr dt
dV d 43 d
r
dt dr
3
dt
2
4r 2
t
2 3
8rcm
/s
2 10
Die negatiewe waarde van dV
dui daarop dat V afneem soos die tyd aanstap – ook dit klop
dt
met ons waarnemings, aangesien die ballon mos besig is om af te blaas.
Die resultaat hierbo is 'n funksie van die radius r . Dit kan gebruik word om die
veranderingstempo van volume met tyd te bereken vir enige waarde van r .

Leereenheid 1
Voorbeeld: Bepaal die tempo waarteen die ballon afblaas op die oomblik dat sy radius 'n
waarde van 4 cm het.
Oplossing:
2
Uit die bespreking hierbo het ons dat 8
.
dV
dt r4
2
84
dV
dt
3 3
128 cm /s of 402,124 cm /s
Soos u gesien het, kom die kettingreël nuttig te pas wanneer ons te doene het met
saamgestelde funksies (dit is funksies van funksies, soos die volume van die ballon wat 'n
funksie van radius was, terwyl die radius weer 'n funksie van tyd was).
In Leergedeelte 1.5.3 sal u weer van hierdie tipe probleme waar verwante tempo's ter sprake
kom, in werklikheidsgetroue situasies teëkom.
Op hierdie stadium stel ons egter sonder formele bewys die kettingreël, soos ons dit
in die voorafgaande redenasie afgelei het:
Gestel 'n funksie f is 'n funksie van 'n ander funksie, sê ux ( ) , sodat f f ux. r
Gestel verder dat ux differensieerbaar is in die punt x en dat f differensieerbaar is in die
punt ux . Dan geld:
die saamgestelde funksie y f ux is differensieerbaar in die punt x
die afgeleide van die saamgestelde funksie y f ux dy dy du
dx du dx
wat soms ook geskryf word as
kan soos volg bereken word:
f u x
f 'ux
d du
dx dx
105

Leereenheid 1
In die algemeen: Om ‘n funksie van ‘n funksie te differensieer:
Identifiseer die "binneste funksie" en stel dit gelyk aan ux ( ) . Pas dan gewoon die algoritme
toe soos in die voorbeelde wat volg geïllustreer.
Dit is ook met behulp van die kettingreël moontlik om ‘n groot aantal bykomende
differensiasiereëls vir ingewikkelder funksies af te lei.
Beskou byvoorbeeld die ses basiese trigonometriese funksies vir wanneer die funksie ‘n
1
getal b voor die x het, byvoorbeeld y sin3x
of y cos2x
of y tan x :
2
dy
Funksie y Afgeleide
dx
106
sin bx bcos bx
cos bx bsinbx
tan bx
2
bsec
bx
2
cot bx bcosec bx
sec bx bsec bx tanbx
cos ec bx bcosec bx cot bx
Alhoewel dit baie nuttig om hierdie tabel te ken, hoef nie een van bogenoemde ses reëls
onthou te word nie. Al ses van hulle word verkry uit die kettingreël wat toegepas word op die
ses basiese trigonometriese funksies (Leeronderdeel 1.4.5) waar die argument van die
funksies net met ‘n funksie u vervang word. Kyk gerus na voorbeelde 1 en 2 hieronder om
beter te verstaan wat ons bedoel.
Die differensiasiereël vir die saamgestelde magsfunksie (Stewart, 2008:200) is nog ‘n
kragtige toepassing van die kettingreël om ‘n nuwe algemene differensiasiereël uit ‘n reeds
bestaande, eenvoudiger differensiasiereël (sien Leergedeelte 1.4.1) te sintetiseer:
n dy n1du
As y ux dan is nux
dx
dx
Voorbeelde 3 en 4 hieronder illustreer die toepassing van die differensiasiereël vir die
saamgestelde magsfunksie.

Leereenheid 1
In die volgende Leergedeelte, dit is Leergedeelte 1.4.7, sal ons die kettingreël gebruik om ‘n
differensiasiereël vir die algemene eksponensiële funksie
x
y a waar a 0 af te lei.
Die kettingreël bied dus ‘n manier om bestaande differensiasiereëls uit te brei sodat
ingewikkelder funksies ook maklik gedifferensieer kan word, wanneer ons ook al te
doen het met ‘n funksie van ‘n funksie (dit wil sê, ‘n saamgestelde funksie).
dy
Voorbeeld 1: Bewys dat bsec
bx tanbx
indien y sec bx
dx
Oplossing:
y sec bx Stel u( x) bx
du
b
dx
y sec u
en dit is 'n funksie van 'n funksie!
Nou:
dy dy du
dx du dx
(Kettingreël)
sec utanub bsec bxtanbx
d d 1
Let
daarop dat secu en ons kan die kwosiëntreël
du du
cosu
d
daarop
toepas om sec u
sec utanu te verkry. .
du
Dit
is in leergedeelte 1.4.4 volledig bespreek.
2
Voorbeeld 2: Bereken y'( x ) indien y 3cos2x
x
107

Leereenheid 1
Oplossing:
108
2 2
y 3cos 2x x Stel u( x) 2x
x
du
4x1 dx
y 3cosu en dit is 'n funksie van 'n funksie!
dy
3sinu
du
dy dy du
Nou:
(Kettingreël)
dx du dx
u x
x u
3sin 4 1
3 4 1 sin
2
x x x
3 4 1 sin 2
Voorbeeld 3: Bereken dy
Oplossing:
4
u x
x
e
2 x 4
x
e x
x
e
dx indien 5
2 x
yx ( ) 2 x e
5
2 x 2 x
y( x) 2 x e Stel u( x) x e
du
x
2xe
dx
y u
dy 4
10u
du
Nou:
dy dy du
dx du dx
(Kettingreël)
5
2 en dit is 'n funksie van 'n funksie!
10 2
10 2

Voorbeeld 4: Bereken f '( x ) indien
Oplossing:
y
y 3
2 3x 2x5 2
2 3
3x 2x5
2
3
5
5
2
f( x)
2
2 3
2
3
5
2
2
3x 2x 5
y 5 3x 2x5 Stel u( x) 3x du
6x2 dx
2x5 y 5 u
en dit is 'n funksie van 'n funksie!
5 5
dy 2 10
3 3
5 u u
du
3
3
dy dy du
Nou:
(Kettingreël)
dx du dx
5
10
3 u 6x2 3
10 1
5 6x2 3 3 u
106x2 1
3 3 5
u
106x2
3 5
3 u
106x2
3 2
3 3x 2x5
5
Leereenheid 1
109

Leereenheid 1
Voorbeeld 5: Bereken dy
dx indien
Oplossing:
110
2 4
4 5 2 4
yx ( ) e
2
x 4x5 2
x 4x5 2
y y( x) e Stel u( x) x
du
2x4 dx
4x5 u
y e
dy u
e
du
en dit is 'n funksie van 'n funksie!
Nou:
dy dy du
dx du dx
(Kettingreël)
u
e x
2
x x
e x
Voorbeeld 6: Bereken dy
dx indien
Oplossing:
2
y 3e
2tanx
2tanx
y 3e Stel u( x) 2tan x
du
2
2sec x
dx
u
y 3e
en dit is 'n funksie van 'n funksie!
dy dy du
Nou:
(Kettingreël)
dx du dx
u
3e 2sec x
u 2
6e sec
x
2tanx 2
6e sec
x

Stewart: Oef. 3.4, p.203
Nr. 77, 78, 80, Asook:
1. Bepaal die afgeleide van
1.1 3
y log x
3
1.2 y logx
Individuele oefening 12
2
2. Bepaal f '( x ) indien f ( x) 2tan 2x
3. Bereken die veranderingstempo van y met betrekking tot x indien
(toon alle substitusies en stappe)
d
dx
4. Bepaal 4
3
52x (u mag 'n kort metode volg indien u van so 'n metode weet)
5. Bepaal df
d
as f ( ) 2sin3 2
9
6. Bereken die veranderingstempo van p met betrekking tot t indien
p() t 3sec2t wanneer t 3 .
7. Bereken df
dt as 1
f( t) 6cos100 t 3 2
300
8. Differensieer: 3cos 20 t 5
6
9. Bereken dy
dx indien y 16 tan12x2 3
Leereenheid 1
y
7
3
3
2x
x
111

Leereenheid 1
4 3
10. In biologie word die volume van ‘n bolvormige sel gegee deur V r , met
112
r die radius van die sel in cm. Op tydstip t (in sekondes) word die radius
8 2 7
gegee deur rt ( ) 10 t 10 t.
10.1 Bereken ‘n formule vir dV
dt
10.2 Bepaal die volumeveranderingstempo van die sel indien t 4 s .
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
3

1.4.7 Algemene eksponensiële funksies
Leereenheid 1
Nou dat ons oor die kettingreël vir saamgestelde funksies beskik, is ons in staat om ‘n
differensiasiereël af te lei vir die algemene eksponensiële funksie
x
y a waar a enige
positiewe nie-nul grondtal. Hierdie afleiding mag in toetse en eksamens geassesseer
word:
Bewys dat vir die eksponensiële funksie
d x x
a a a
dat ln
dx
Bewys:
Beskou
x
y a met a 0 en x enige reële getal.
x
y a met a 0 en x enige reële getal geld
Dan volg dit uit die eienskappe van die eksponensiële funksie en die eienskappe van die
logaritmiese funksie, soos saamgevat in formule 7 (Stewart, 2008:64) dat
Dus:
a e
ln
x a
ln
x
xlna b
c
bc
e uit die eksponentwet a a
a x
e ln a is 'n konstante getal, onafhanklik van x
x
lnax Ons kan y a dus skryf as y e
.
x
Ons beskik reeds oor 'n differensiasiereël vir die funksie f xe .
u
Pas
nou die kettingreël toe op y e waar u ln
ax: dy u
e du
en
du
lna
dx
Nou :
dy dy du
dx du dx
u
e ln
a
lnax e ln
a
Kettingreël x
a lna
lnax x
aangesien ons e kan skryf as a
lna
a e
113

Leereenheid 1
Let op die spesiale geval waar die funksie wat gedifferensieer moet word van die vorm
u
y k a is, met k enige reële getal, a 0, a
en u enige differensieerbare funksie van
x :
ux Laat y ka Dan :
dy d ux k a
dx dx
volgens die konstante veelvoudreël (Stewart, 2008:176)
ux Beskou nou g a
dg dg du
dx du dx
ux du
a ln a dx
Uit die kettingreël
du ux lna a
dx
d ux du ux a ln a a
dx dx
dy du ux kln a a
dx dx
Let daarop dat ln a 'n konstante getal is
Soos u kan sien, is die afleiding van ingewikkelder differensiasiereëls ‘n voorbeeld van
sintese: Ons herkombineer reeds bestaande kennis, vaardighede en tegnieke op
nuwe maniere om nuwe, ingewikkelder wiskundige gereedskap te vorm. Let goed op
die argumente hierbo elemente bevat uit vorige besprekings; Dit is hierdie elegante tipe
redenasie wat ons gronde gee om Analise onder meer as ‘n hoogs gestruktureerde
komposisie van abstrakte denkvaardighede te beskryf (dink aan musiek waar
ingewikkelde akkoorde, melodieë en harmonieë maar in wese uit die kreatiewe kombinasie
en herkombinasie van enkele betreklik eenvoudige note saamgestel is); dit is in elk geval
pragtige vloeiende logika wat meebring dat die resultaat van die sintese sinvol, kragtig en
lieflik om te aanskou is.
In die vervolg mag ons nou die resultate van ons afleidings hierbo net so gebruik om enige
eksponensiële funksie volkome sonder insident te differensieer. Die spesiale geval hierbo is
in wese maar die kettingreël gekombineer met die resultate van ons afleiding vir die
differensiasiereël vir die algemene eksponensiële funksie; dit is eerder ‘n proses as ‘n reël.
114

Individuele oefening 13
Leereenheid 1
1. Bereken die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van 2 3 x
y in die punt waar
x 1,
en gaan u antwoord na deur die funksie met Geometer's Sketchpad 4 te teken,
die raaklyn te konstrueer en die gradiënt van die raaklyn te meet.
2. Bereken die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van
1
3
3 2 x
y in die punt waar
x 1,
en gaan u antwoord na deur die funksie met Geometer's Sketchpad 4 te
teken, die raaklyn te konstrueer en die gradiënt van die raaklyn te meet.
3. Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van
1 2x
f ( x) e in die punt
2
1
waar x , en gaan u antwoord na deur die funksie met Geometer's Sketchpad 4
3
te teken, die raaklyn te konstrueer en die gradiënt van die raaklyn te meet.
115

Leereenheid 1
4. Die stroom wat deur 'n ontlaaiende kapasitor gelewer word, kan bereken word uit
116
RC
die vergelyking I I0e
.
t
In 'n sekere stroombaan met 'n weerstand R van 8000 Ω wat 'n kapasitor met 'n
kapasitansie C van 0,000 5 F bevat, is I 0 (die aanvangstroom) 0,000 015 A.
15
10
5
0
Stroom
(mikroAmpere)
5
10
R
C
s 2
t
-
I=0,000 015e 4
15
tyd (sekonde)
4.1 Bereken die tempo waarteen die stroom I (in A) verander op 'n tydstip 3 sekondes
nadat die skakelaar s2 gesluit is en die kapasitor begin ontlaai het.
4.2 Bereken hoe lank na die kapasitor begin ontlaai het, die stroom in die baan teen 'n
tempo van 0,08 A /s sal verander.
1 5. ‘n Sekere meetkundige ry word gedefinieer deur T 3 2
5.1 Gestel f x 1 T 3 2
n1
1 3 2
x1
met x 0, x
monotoon dalend is vir n 1.
n1
. Gebruik '
.
f x en bewys dat die ry

5.2 Bepaal die waarde van die 5e term van die ry.
5.3 Vir watter waarde van x is f 'x 0,12997?
5.4 Waarom was dit in 5.1 hierbo nodig om die funksie f x in te voer – kon ons nie maar gewoon vir
gedifferensieer het nie?
1 T 3 2
1 3 2
6. In Biologie word die groei van bakterieë soos volg bereken: P P
ure gemeet word.
In 'n sekere monster vars melk kom daar aanvanklik 19 000 bakterieë voor.
n1
x1
Leereenheid 1
met x 0, x
met betrekking tot n
kt
2,7 waar t in
Hierdie spesifieke tipe bakterie vermeerder op so 'n wyse dat die eksponensiële
groeikonstante k 'n waarde van 1,074 het.
Grafies kan die situasie soos volg voorgestel word:
0
117

Leereenheid 1
6.1 Bereken die groeitempo van die kolonie na 2 uur en 11 minute.
6.2 Bepaal hoeveel ure dit sal neem voordat hierdie tempo van aanwas verdubbel het.
7. Die verloop van ‘n chemiese reaksie word deur die volgende vergelyking beskryf:
118
1
t
3
C 4 1 e
waar C die konsentrasie van die produk wat vorm (gemeet in gram per
liter, wat ons skryf as g/ℓ) en t die tyd op enige tydstip gedurende die reaksie (gemeet
in sekondes).
7.1 Bepaal ‘n funksie waarmee die veranderingstempo van konsentrasie met tyd op enige
tydstip bereken kan word.
7.2 Verduidelik wat die tendens van die reaksietempo is.
Wenk: Gebruik die funksie wat u in 6.1 bereken het en bepaal die veranderingstempo
van konsentrasie met tyd by 0 s, 5 s, 10 s, 15 s, asook by 30 s en vergelyk u
antwoorde.
t (s) 0 5 10 15 30
dC
dt (g/ℓ/s)
7.3 Teken ‘n grafiek van veranderingstempo van konsentrasie met tyd teen tyd deur van u
berekeninge in 6.2 gebruik te maak.
7.4 Wanneer eindig die reaksie? Verduidelik u antwoord.
7.5 Kontroleer u oplossings by 6.1 tot 6.4 deur van Geometer’s Sketchpad of ‘n grafiese
sakrekenaar gebruik te maak.

1 n
T 4 .
3
8. ‘n Sekere meetkundige ry word gedefinieer deur 1
8.1 Gestel 1 x
f x
1 4 met x 0, x
3
1 1 n
T 4 monotoon stygend is vir n 1.
3
. Gebruik '
Leereenheid 1
f x en bewys dat die ry
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.
119

Leereenheid 1
1.4.8 Implisiete funksies
Lees: Stewart: Hoofstuk 3, p. 207 - 211 en gee spesiale aandag aan:
120
Alle voorbeelde
Wanneer 'n funksie van die vorm y f( x)
is, noem ons dit 'n eksplisiete funksie omdat y
in terme van x uitgedruk is – die een kant van die vergelyking bevat slegs die afhanklike
veranderlike, terwyl die ander kant 'n uitdrukking is waarin slegs die onafhanklike
veranderlike as veranderlike voorkom. Voorbeelde is:
y 3sinx
2
y x 4x 5
2x
y e tan x
y 3log x
2
y
2
10 3
y
x
10
x 1
cos
y A wt d (Hier is t die onafhanklike veranderlike)
y
Be
cos kxsin kx

Leereenheid 1
Daar bestaan egter ‘n groot aantal funksies waar dit moeilik of selfs onmoontlik is om die
afhanklike veranderlike y maklik die onderwerp van die vergelyking te maak. Voorbeelde is:
2 2
x y 5
2 2
x y
1
4 9
2 2
x y
3 2 5 3 12
y xsin xy cos y
x tan y
1
(tensy u dit as die boogfunksie y tan x
x ln y (tensy u dit as die inverse
x
y e wil skryf)
wil skryf)
Sulke funksies waar y wel 'n funksie van x is, maar nie maklik in die vorm y f( x)
geskryf
kan word nie, noem ons implisiete funksies (of implisietgedefinieerde funksies).
Ons moet goed besef dat die y in hierdie funksies nie 'n gewone veranderlike is nie, maar in
werklikheid wel 'n funksie van x is. U kan dit sien deur na die laaste twee voorbeelde van
implisiete funksies hierbo te kyk. Onthou dat hierdie twee voorbeelde spesiale gevalle is
waarvan die inverses formeel gedefinieer is – dit is beslis nie in die algemeen moontlik om
implisiete funksies so te hanteer nie; u sal in die oefening wat volg sien wat ons bedoel.
Om die afgeleide dy
dx
dusver gevolg is.
by hierdie tipe funksies te bereken, verg 'n ander benadering as wat tot
By hierdie tipe differensiasie moet ons spesiaal bedag wees op die produk-, kwosiënt
en kettingreël; by hierdie tipe berekening is hierdie reëls nie altyd so maklik om raak
te sien nie.
Ons illustreer hierdie benadering eers deur ‘n eenvoudige geval te beskou; daarna sal ons
ingewikkelder gevalle ondersoek.
121

Leereenheid 1
dy
Gestel ons wil die afgeleide bepaal vir die vergelyking xy 1.
Ons probleem is nou dat
dx
die funksie y nie alleen aan een kant van die vergelyking voorkom nie. In die vergelyking
xy 1 is y dus nie eksplisiet gedefinieer as 'n funksie van x nie. As ons xy 1 wil
differensieer, is daar die volgende moontlikhede :
1. Druk y as 'n funksie van x uit en differensieer dan. Dit beteken:
122
1
2
Metode 1
xy 1
Deel regdeur met x om vir y alleen eenkant te kry:
Nou is dit 'n eksplisiete funksie ( y staan in terme van x) : y
y x
dy
1x
dx
1
2
x
of differensieer xy 1 soos dit staan. Dit beteken:
Metode 2
Differensieer elke term aan weerskante van die vergelyking gelyktydig en
afsonderlik na die onafhanklike veranderlike x toe :
d
( xy)
dx
d
(1)
dx
d
x ( y) dx
d
y ( x)
dx
0 (produkreël)
dy
x dx
y1
0
dy
x y
dx
dy
dx
y
x
dy
(Maak die
onderwerp)
dx
1
x

Maar onthou dat xy
1 wat beteken
y
Vervang dit in die resultaat hierbo, dan is
1
.
x
1
dy
x
dx x
1
x
x
1
1 1
x x
dy 1
dx 2
x
Leereenheid 1
Die twee benaderings lewer dus dieselfde resultaat. Die proses wat ons in Metode 2 hierbo
gevolg het, word implisiete differensiasie genoem.
Nou is dit in hierdie geval sekerlik prettiger om Metode 1 (gewone differensiasie) te gebruik –
wat ons wel kon doen, aangesien xy 1 wel sonder veel moeite eksplisiet uitgedruk kan
word. Onthou egter dat ons doelbewus ‘n eenvoudige geval gekies het vir ons bespreking.
Daar is wel vele gevalle waar dit moeilik of gewoon onmoontlik is om die gegewe vergelyking
in die vorm y f( x)
te skrywe. Dan is ons verplig om Metode 2 hierbo toe te pas.
Voorbeelde van sulke gevalle is waar ons die vergelyking van raaklyne aan kegelsnedes (in
MATE 211 behandel) wil bereken. Hierdie krommes se vergelykings, in algemene vorm, is
implisiete funksies.
Ons dink dit is goed om ‘n resultaat in verband met die vergelyking van ‘n raaklyn aan ‘n punt
op ‘n kromme, asook die vergelyking van ‘n normaal aan ‘n punt op ‘n kromme, weer eens te
stel:
123

Leereenheid 1
Om die vergelyking vir die raaklyn aan die kromme van 'n funksie y f( x)
in die punt
( x1; y 1)
te bepaal, geld die volgende vergelyking (Matriek Analitiese Meetkunde):
dy
y y1 mx x1met
m
dx
124
x x1; y y1
Vir die normaal: y y x x
1
dy
1 1 met m . (Kan u hierdie formule verklaar?)
m
dx
x x1; y y1
‘n Uiters interessante toepassing van implisiete differensiasie is om die afgeleides vir die
inverse trigonometriese funksies en ook die logaritmiese funksie af te lei; die volgende
leeronderdele roer hierdie sake aan. Intussen illustreer ons implisiete differensiasie aan die
hand van 'n voorbeeld waarin die produkreël, kwosiëntreël en die kettingreël voorkom:
Voorbeeld 2: Bepaal die afgeleide dy
dx indien
Oplossing:
2 3 x
2x y4y
y
Differensieer na links en na regs:
2 3
2x y 4y
2 3
x y y
2
2
d d x
dx dx y
2
2 3 x
2x y 4y
y
d d d x
2 4 Let op die produk, kwosiënt en saamgestelde funksie
dx dx dx y
2
1 2 dy 2 dy d x
4x y2x 12y
dx dx dx y
2 dy
2x
y x
dx
2
y
2

2 dy 2 dy 2x
2
x dy
dx dx y 2
y dx
2 dy 2 dy
2
x
2
dy 2x
4xy 2x 12y
2x 12y dx
dx y
dx y
4xy Herrangskik die terme
2
dy 2 2 x 2x
2x 12y 4 2 xy
dx y y
2x
4xy
dy y
2
dx 2 2 x
2x 12y 2
y
dy
Faktoriseer uit
dx
Let op dat die afgeleide nou in terme van
y en x bekend is.
Stewart: Oef. 3.5, p.213
Nr. 29, 30, 59, 62
Asook:
Individuele oefening 14
1. Bepaal die afgeleides van die volgende funksies:
1.1
3 2 2
x x y 4y 6
1.2 sin x cos y sin x cos y
2. Bereken die gradiënt van die raaklyn aan die ellips
2 2
3. Bereken die vergelyking van die raaklyn aan die sentrale hiperbool
in die punt (1;2).
4. Bereken die vergelyking van 'n raaklyn aan die parabool
punt x 1.
(Wenk: wat is y wanneer x 1?)
Leereenheid 1
x xy y 3 in die punt (1;1).
2
2 2
x 2xy y x 2
4x x 1 2y
in die
125

Leereenheid 1
5. Olie beweeg deur 'n pypleiding op so 'n wyse dat die afstand s wat dit aflê, en die
126
tyd t wat die beweging duur, met mekaar verband hou volgens die vergelyking
3 2
s t 7t
.
Bereken die snelheid waarmee die olie beweeg die oomblik dat s 4,01m en
t 5,25 s .
6. Bepaal die vergelyking van die normaal op die ellips in die punt waar x 2 :
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.4.9 Inverse Trigonometriese funksies
Lees: Stewart: Hoofstuk 3, p. 211 - 213 en gee spesiale aandag aan:
Leereenheid 1
Die afleiding van die differensiasiereëls vir die inverse sinus-funksie en die inverse
tangens-funksie
Voorbeeld 5 (hier word die resultate van die afleiding as ‘n differensiasiereël
toegepas)
In hierdie Leeronderdeel wil ons die afgeleides van die inverse trigonometriese funksies
bepaal. U moet vir assesseringsdoeleindes in staat wees om die
1
differensiasiereëls vir die inverse trigonometriese funksies f xsin x
1
1
cos en f xtan x
f x x
af te lei.
,
Daar is ‘n belangrike stelling in Analise wat uitspraak gee oor die differensieerbaarheid van
inverse funksies. Hierdie stelling is geformuleer omdat ons moet onthou dat Analise met
funksies (afbeeldings wat aan elke waarde van die onafhanklike veranderlike een en slegs
een bybehorende waarde van die afhanklike toevoeg) te doen het en nie met relasies nie.
U sal uit die eerste jaar se MATE 111 (Voorheen WSKH 111) onthou dat die inverse van ‘n
funksie nie noodwendig ook ‘n funksie is op dieselfde interval as die definisieversameling van
die oorspronklike funksie nie.
Belangrik:
Die inverse van enige funksie is slegs ‘n funksie op ‘n interval waarbinne die inverse
funksie die vertikale lyn-toets slaag.
127

Leereenheid 1
Beskou byvoorbeeld die sinus-funksie en sy inverse:
Dit is maklik om te sien dat as ons die spieëlbeeld van ‘n groter gedeelte van die sinusfunksie
sou teken, dan sou hierdie spieëlbeeld nie meer die vertikale lyn-toets slaag nie. In
werklikheid is dit dus korrek om te stel dat die inverse van die sinus-funksie slegs ‘n funksie
is solank as die sinusfunksie op die geslote interval ;
2; 2
beskou word.
Die waardeversameling vir hierdie deel van die sinus-funksie is y 1 y 1; y
128
. Uit ons
voorkennis van inverse funksies weet ons dat die waardeversameling van die funksie f die
definisieversameling van sy inverse funksie
1
f is (aangesien die kromme van
1
f tog die
spieëlbeeld van die funksie f in die lyn y x is). Dus is die definisieversameling van die
inverse sinus-funksie x 1 x 1; x
, wat beteken dat die funksie
sin slegs op
1
y x
die geslote interval 1; 1
gedefinieer is. (beskou weer die grafiese voorstelling hierbo)
Die vraag waaraan ons nou aandag moet skenk alvorens ons die afgeleide van
probeer bepaal, is:
sin
1
y x

Leereenheid 1
Is die inverse van die sinus-funksie wel differensieerbaar op die oop interval 1; 1
waarop
die funksie
sin gedefinieer is?
1
y x
Om uitspraak te kan gee oor die differensieerbaarheid van
sin op die interval 1; 1
1
y x
benodig ons die definisie van differensieerbaarheid uit Leeronderdeel 1.2.4.
Volgens hierdie definisie moet
in die omgewing van elke punt a 1; 1
1
y sin x
a h a sin sin
gedefinieer wees en moet die limiet lim
h0
h
1 1
vir alle a 1; 1
bestaan.
Aangesien y sin x kontinu is in elke punt van sy definisieversameling is die inverse funksie
1
y sin x
ook kontinu in elke punt van sy definisieversameling. Dus is
1
y sin x
wel in
elke punt van die interval 1; 1
gedefinieer. Dus word die eerste voorwaarde vir
differensieerbaarheid bevredig.
a h a sin
Laat ons dan nou vasstel of die tweede voorwaarde, naamlik dat lim
h0
vir elke punt a 1; 1
moet bestaan, ook bevredig word.
h
sin
1 1
a h a 1 sin
Wel, ons kan die vraagstuk meetkundig benader deur vir lim
h0
h
1
sin
as die
gradiënt van die raaklyn aan y
1
sin x
a 1; 1 te beskou. Ons kan die
in elke punt
tweede voorwaarde vir differensieerbaarheid dan soos volg herformuleer:
is differensieerbaar in elke punt van 1; 1
1
“ y sin x
gradiënt getrek kan word.”
waarin ‘n raaklyn met ‘n eindige
Hierdie formulering is uiters bruikbaar, aangesien ons oor die grafiese voorstelling van die
funksie
1
y sin x
beskik:
129

Leereenheid 1
Dit is maklik om te sien dat die gradiënt van enige raaklyn aan
130
1
f baie groot raak wanneer
naby die punte x 1 en x 1 getrek word. Dit is egter duidelik dat ‘n raaklyn met ‘n
eindige gradiënt by enige punt binne die oop interval 1; 1
getrek kan word; dus is die
inverse funksie
wel differensieerbaar op die oop interval 1; 1
1
y sin x
.
Dit is interessant dat die gewone sinus-funksie in die punte ; 1
2
en ;1
2
horisontaal
loop en dat raaklyne aan hierdie twee punte dus ‘n nulgradiënt sou hê; dus sou die raaklyne
aan die inverse funksie
oneindige gradiënte.
in die punte 1;
2
en 1;
2
vertikale lyne wees, met
1
y sin x
Bogenoemde bespreking behoort u te help om die geldigheid van die volgende stelling wat
ons sonder bewys gee te begryp; in wese som die stelling dit wat ons in die bespreking
hierbo gevind het op elegante wyse op.

Stelling: Voorwaarde vir die differensieerbaarheid van ‘n inverse funksie
Leereenheid 1
As f ‘n kontinue een-een-duidige funksie is gedefinieer op die oop interval ab ; en
differensieerbaar is in die punt x ab ; met
differensieerbaar in die punt y f x
(Engelbrecht et al, 1989:126)
1
en geld dat f y f ' x 0,
dan is die inverse
d
1
dy
f ' x
Ons illustreer graag die afleiding van die differensiasiereël vir die boogfunksie
1
sin (soms geskryf as bgsin )
y x x
1
dx 1
x
d 1
Voorbeeld: Bewys dat sin x
2
met 1 x 1.
.
1
f
131

Leereenheid 1
Oplossing:
Die sinus-funksie is kontinu en een-een-duidig op die interval x en op hierdie
2 2
interval wissel sy funksiewaardes tussen 1 en 1. Baie belangrik is die eienskap dat die
afgeleide van die sinus-funksie nêrens tussen op die oop interval ; 2 2
nul word nie
(meetkundig beteken dit dat die sinuskromme nooit horisontaal loop tussen en nie).
2 2
Volgens die stelling vir die differensieerbaarheid van ‘n inverse funksie is die inverse funksie
132
1
sin dus ook differensieerbaar in elke punt van die interval 1; 1
y x
1
Stel y sin x
Dan: x sin y
Differensieer implisiet weerskante na x :
dy
1 cosy
dx
dy 1
dx cos y
d
dx
x
d
dx
sin y
2 2
Maar sin y cos y 1, so cos y
2
1sin y
dy
dx
1
2
1sin y
1
2
1
x
.

Individuele oefening 15
Leereenheid 1
1. Bewys die volgende differensiasiereëls. Gebruik telkens eers die stelling oor die
differensieerbaarheid van inverse funksies om aan te toon dat die afgeleide wel bestaan
en waarom die afgeleide slegs op ‘n sekere oop interval bestaan. (sien bostaande
voorbeeld)
d 1
1.1
1
tan x met x
2
dx x 1
d
1
dx 2
1
x
In die volgende probleme gebruik u gewoon die resultate van u afleidings.
1
1.2 cos x met x1;
1
1
2.1 Bepaal die afgeleide van f ( x) tan 3 x
2.2 Gebruik Geometer's Sketchpad of ‘n grafiese sakrekenaar en teken die krommes van
1
die funksie f ( x) tan 3 x
en sy afgeleide op dieselfde assestelsel en beskryf die
gedrag van die twee funksies woordeliks.
133

Leereenheid 1
1
2
3.1. Bepaal die afgeleide van f ( x) sin 3x
134
.
3.2 Gebruik Geometer's Sketchpad of ‘n grafiese sakrekenaar en teken die krommes van
1
2
die funksie f ( x) sin 3x
en sy afgeleide op dieselfde assestelsel en beskryf die
gedrag van die twee funksies woordeliks.
4. Som in woorde op wat die ooreenkomste en verskille tussen die funksies en hul
afgeleides in vraag 2 en vraag 3 van hierdie oefening is.
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.4.10 Logaritmiese funksies
Lees deur Stewart: Hoofstuk 3, pp. 215 – 217 en gee veral aandag aan:
Alle voorbeelde, maar die volgende is BAIE BELANGRIK:
Voorbeeld 1 (dit lewer uiters nuttige resultate vir latere gebruik)
Voorbeeld 6, p. 217 (kan u elke stap hier verduidelik?)
Leereenheid 1
Aangesien ons nou oor implisiete differensiasie as tegniek beskik, kan ons vervolgens ‘n
differensiasiereël aflei waarmee ons die logaritmiese funksie volkome sonder insident kan
differensieer. Hierdie afleiding mag in toetse en eksamens geassesseer word:
Bewys dat vir die logaritmiese funksie y loga x met a 0 en x enige reële getal geld
d
1
a
dx x ln a
dat log x
d 1
ln x
.
dx x
Bewys:
en dat vir die natuurlike logaritmiese funksie y ln x geld dat
Beskou y loga x met a 0 en x enige reële getal.
Dan volg dit uit die eienskappe van die eksponensiële funksie en die eienskappe van die
logaritmiese funksie, soos saamgevat in formule 6 (Stewart, 2008:64) dat y loga x soos
volg geskryf kan word:
ln
y
a x
Differensieer hierdie vergelyking implisiet na links en na regs:
y dy
a ln a
1
dx
dy 1
y
dx a a
135

Leereenheid 1
y
dy 1
Maar ons het reeds afgelei dat a x en dus geld dat:
dx x ln a
Pas bogenoemde resultaat toe op die natuurlike logaritmiese funksie:
y loge
x
dy 1
dx x lne
1
aangesien lne 1
x
Dus: ln x
136
d 1
dx x
Let op die spesiale geval waar die funksie wat gedifferensieer moet word van die vorm
y k lnu
is, met k enige reële getal en u enige differensieerbare funksie van x só dat
ux 0 vir alle waardes van x binne ‘n oop interval ;
g ux
'
'
'
ab :
Laat y k ln u x met u x 0 vir alle x a; b
Dan :
dy d
k dx dx
ln u x
volgens die konstante veelvoudreël (Stewart, 2008:176)
Beskou nou ln
dg dg du
dx du dx
Uit die kettingreël
1
u x
du
dx
u x
u x
d
u x
lnux dx u x
du
Indien die notasie u'x i.p.v. gebruik word
dx
dy k u x
dx u x
vir alle xa; b

Leereenheid 1
Soos voorheen, mag ons in die vervolg bloot net die resultate van ons afleiding van die
differensiasiereël vir die logaritmiese funksie gebruik om alle logaritmiese funksies volkome
sonder insident te differensieer; alle spesiale gevalle van hierdie differensiasiereël is maar in
wese manifestasies van die kettingreël (soos u hierbo kan sien).
Individuele oefening 16
1. Bereken die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van
die punt waar x 1,
en gaan u antwoord na deur die funksie met
1
y log xin
2
Geometer's Sketchpad 4 te teken, die raaklyn te konstrueer en die gradiënt
van die raaklyn te meet.
2. Bereken die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van y log1 3xin
die
2
punt waar x 0,75 , en gaan u antwoord na deur die funksie met
Geometer's Sketchpad 4 te teken, die raaklyn te konstrueer en die gradiënt van
die raaklyn te meet.
3. Bepaal die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van f ( x) ln x in die punt
waar x 7 , en gaan u antwoord na deur die funksie met Geometer's
Sketchpad 4 te teken, die raaklyn te konstrueer en die gradiënt van die raaklyn
te meet.
137

Leereenheid 1
4. In Chemie, bepaal ons die pH-waarde van 'n waterige oplossing deur die vergelyking
138
pH log c waar c die konsentrasie waterstofione in die oplossing is.
H
H
4.1 Bereken die veranderingstempo van pH met die konsentrasie waterstofione,
wat ons kan skryf as
is.
d pH
dC
H
, wanneer die waterstofioonkonsentrasie 0,14 mol/ dm³
Vir Vraag 5 en Vraag 6 moet u die tweede deel van p. 130 hierbo bestudeer.
5. Beskou die funksie qt 3log sint vir waardes van t sodat t 2;2 .
5.1 Op watter interval is q differensieerbaar? Verduidelik u antwoord.
Wenk: Skets die sinuskromme op die interval 2;2 .
5.2 Bepaal q't .
7
5.3 Bereken die waarde van q '
. Verklaar wat u vind deur na u antwoord in 5.1 te
verwys.
6. Beskou die funksie 2log x
h x e
6.1 Op watter interval is h differensieerbaar? Verduidelik u antwoord.
6.2 Bepaal die afgeleide van h .
6.3 Bepaal
dh
dx xe Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.

1.4.11 Hoër-orde Afgeleides
Lees: Stewart: Hoofstuk 2, p. 160 - 161 en gee spesiale aandag aan:
Alle voorbeelde
Leereenheid 1
Belangrik: Snelheid, versnelling en “ruk” as afgeleides van die posisiefunksie (ook
genoem die verplasingsfunksie) van ‘n liggaam
Aangesien die afgeleide van enige differensieerbare funksie f ( x ) self ook ‘n funksie is, is dit
moontlik om ‘n afgeleide f '( x ) weer te differensieer, mits f '( x ) self natuurlik ‘n
differensieerbare funksie is. Sodoende ontstaan die afgeleide van ‘n afgeleide – wat ons ‘n
tweede-orde afgeleide van die oorspronklike funksie noem. Nog ‘n differensiasiestap sou ‘n
derde-orde afgeleide oplewer, ensovoorts.
Veral by die studie van snelheid en versnelling van voorwerpe en ook die studie van die
deurbuiging van balke kom sulke hoër-orde afgeleides vry algemeen voor.
Gestel 'n projektiel beweeg volgens die funksie
2
s() t 25t 4,9t
waar s die verplasing van
die projektiel (hoe ver dit vanaf die posisie is waarvandaan dit afgevuur is) in meter is, en t
die aantal sekonde sedert die projektiel begin beweeg het.
Indien ons die snelheid van die projektiel op 'n sekere oomblik wil bepaal, sou dit beteken dat
ons 'n waarde wil uitreken wat die meeteenheid m/s het. Ons het reeds elders aangetoon
dat dit die veranderingstempo van posisie of verplasing met betrekking tot tyd is, en gevolglik
volgens ons definisie van 'n afgeleide, eintlik niks anders is as die afgeleide van die
verplasingsfunksie nie:
ds
v .
dt
139

Leereenheid 1
Indien ons
ds
v uitreken vir hierdie projektiel, verkry ons
dt
vt ( ) 25 9,8t
en die
meeteenheid daarvan is in m/s.
Maar wat nou as ons belang stel om die versnelling van die projektiel te wete te kom?
Wel, wat is versnelling? Dit is tog die hoeveelheid waarmee die snelheid in een sekonde
verander. Dus moet die meeteenheid daarvan "meter per sekonde per sekonde" wees.
Dit sou ons kon skryf as (m/s)/s (en dit sou ons kon vereenvoudig na m/s²).
Dit impliseer 'n definisie vir versnelling, naamlik die veranderingstempo van snelheid met
betrekking tot tyd. Volgens ons definisie van 'n afgeleide beteken dit dat versnelling dan die
afgeleide van die snelheidsfunksie moet wees.
Dus:
140
dv
a
dt
dv
Indien ons a uitreken vir hierdie projektiel, verkry ons at ( ) 9,8 en die meeteenheid
dt
daarvan is in m/s².
Op hierdie stadium sou 'n persoon met Fisika-kennis kon sien dat ons ontleding hierbo klop,
want uit die Fisika weet ons dat 'n projektiel wat vry beweeg, onder die invloed van
swaartekrag verkeer, en dus 'n konstante gravitasieversnelling van 9,8 m/s² ervaar. Hierdie
presiese waarde het vanself uit ons ontleding te voorskyn gekom.
Om saam te vat: Versnelling is die afgeleide van snelheid. Maar snelheid is die
afgeleide van verplasing. Dus kan ons sê dat versnelling die afgeleide is van die
afgeleide van snelheid. Ons sou versnelling dus direk kon bereken deur gewoon die
verplasingsfunksie twee keer na mekaar te differensieer.
So 'n herhaalde afgeleide word 'n tweede-orde-afgeleide genoem en ons kan soos volg 'n
skryfwyse daarvoor ontwikkel:
2 2
dv d d ds d d s
a v 2 s 2
dt dt dt
dt
dt dt

2
Leereenheid 1
d s
Dus beteken dat 2
dt
ds
nog 'n keer met betrekking tot tyd gedifferensieer moet word, met
dt
ander woorde, dat s( t ) twee keer met betrekking tot tyd gedifferensieer moet word.
Ons kan ons resultate uit bogenoemde bespreking nou veralgemeen en terselfdertyd na 'n
ander skryfwyse kyk waarmee hoër-orde afgeleides aangedui kan word:
Uit vorige besprekings soos die een hierbo het dit geblyk dat die afgeleide f '
x van 'n
differensieerbare funksie y f( x)
self ook 'n funksie is en dus differensieerbaar mag wees.
So sal ons dan die afgeleide van 'n afgeleide kon bereken deur gewoon vir f '
x nog 'n keer
te differensieer. Ons kan die resultaat van hierdie stap, indien dit bestaan, dan die tweedeorde
afgeleide van y f( x)
noem en dit aandui met die simbool f ''( x ) . Ons sal selfs vir
f ''( x ) nog 'n keer kon differensieer, om met 'n derde-orde-afgeleide, naamlik f '''( x )
vorendag te kom.
Dit behoort duidelik te wees dat ons f '''( x ) net sowel as
Die gewildste toepassings van hoër-orde-afgeleides is om:
die versnelling van 'n deeltjie, of
3
d y
3
dx
kan skryf.
die veranderingstempo van die veranderingstempo van 'n proses, of
die posisie van die buigpunt(e) op 'n kromme
te bereken.
Let op na die volgende voorbeelde:
1. As
f ( x) 4x
6
, dan is
5
f '( x) 24 x
en
f ''( x) 24 5x 120x
4 4
141

Leereenheid 1
2. As
142
y x
4
3 , dan is
dy
12
x
dx
en
2
d y
2
5
dx
12( 5) x 60
x
en
dx
360
x
6 6
3
d y
7
360x
3 7
3. As y sin2x,
dan is
dy
2cos2
x
dx
en
2
d y
2
4sin2
x
dx
en
3
d y
3
dx
8cos2x
x
4. As f x e , dan is
f ' x
x
e
en
x
f '' xe en
f ''' x e
2 t
f t e , dan is
5. As 3
f ' t
en
3t
6 e
f ''x 18 e
en
f ''' x 54e
x
3t
3t
(Let op die kettingreël!)

Individuele oefening 17
1. Stewart, pp. 162: Ex.2.8 nr 2
2. Stewart, pp. 162: Ex.2.8 nr 3
3. Stewart, p. 162: Ex.2.8 nr 4
4. Bepaal die derde-orde-afgeleide van elk van die volgende:
4.1 A( ) 3sin2
4.2 f () t t
Leereenheid 1
5. ‘n Deeltjie beweeg langs die X-as sodat sy posisie as funksie van tyd gegee word
t
deur die funksie x t 2
1
t
meters gemeet word.
vir t 0 waar t in sekondes gemeet word en x in
5.1 Bepaal die versnelling op enige tydstip.
5.2 Wanneer is die versnelling nul?
5.3 Gebruik ‘n rekenaar en teken die grafieke van posisie, snelheid en versnelling as
funksies van tyd vir 0 t 4 .
5.4 Wanneer neem die snelheid van die deeltjie toe? Wanneer neem die snelheid van
die deeltjie af?
143

Leereenheid 1
6. 'n Massastuk aan 'n veer voer 'n ossillasie- beweging uit sodat die
144
verplasing van die stuk op enige tyd t 0 gegee word deur
1
t
2
1
s t e cos3t.
Indien verplasing in meter en tyd in sekondes ga-
5
meet word…
6.1 bereken die versnelling van die Massastuk op 'n tydstip 2 s
nadat die beweging begin het.
6.2 Laat Geometer's Sketchpad vir u op dieselfde assestelsel krommes
teken van s( t ) , vt ( ) en at ( ) .
Verduidelik presies wat u opmerk, en sê wat dit beteken.
7. ‘n Klip word van ‘n 300 m hoë gebou laat val. Die hoogte word gegee
deur
2
h( t)
300 16t
, met t die tyd gemeet in sekondes. Bereken
die versnelling van die klip op tydstip t.
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.5 SPESIALE TOEPASSINGS VAN
DIFFERENSIAALREKENE
Geskatte studietyd is ongeveer 22 ure.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte, behoort u in staat te wees om:
Leereenheid 1
die konsep van veranderingstempo binne verskillende werklikheidsgetroue kontekste
uit die natuurwetenskappe en sosiale wetenskappe toe te pas;
differensiasie te gebruik om die krommes van funksies te skets, en uitsprake te maak
aangaande die gedrag van 'n funksie;
situasies wat met die maksimering of minimering van 'n grootheid te doen het, te
analiseer en sodoende optimeringsprobleme op te los;
situasies wat met verwante tempo's te doene het, te analiseer deur u kennis van die
kettingreël met begrip toe te pas
145

Leereenheid 1
Ons is nou gereed om na sekere spesiale toepassings van differensiaalrekene op
werklikheidsgetroue situasies ondersoek in te stel.
In die voorafgaande oefeninge het ons met 'n menigte voorbeelde te doen gekry waar
differensiaalrekene binne werklikheidsgetroue kontekste gebruik is om gradiënte van
raaklyne te bereken, veranderingstempo's te bepaal, snelhede en versnellings uit te reken en
veel meer.
In hierdie Leergedeelte gaan dit spesifiek om vier sake:
Om u aan sekere bekende toepassings van veranderingstempo binne
werklikheidsgetroue kontekste uit die natuurwetenskappe en sosiale wetenskappe bloot
te stel;
Om grafiese voorstellings van funksies te skets en om betekenisvolle afleidings uit die
voorkoms van 'n grafiese voorstelling van 'n funksie te maak;
om probleme te hanteer waar 'n sekere grootheid so groot of so klein as moontlik
gemaak moet word (Sulke probleme staan as optimeringsprobleme bekend);
Om probleme waar verwante tempo's ter sprake kom te beskryf en op te los (hier sal ons
weer met die kettingreël vir saamgestelde funksies te doen kry).
Dit is ons opregte hoop dat u na afloop van hierdie Leergedeelte selfs groter waardering as
voorheen sal hê vir hoe en waar die ongelooflike krag van differensiaalrekene gebruik word,
asook van die elegansie van die toepassings.
146

1.5.1 Veranderingstempo binne werklikheidsgetroue kontekste
Leereenheid 1
Hierdie Leeronderdeel neem die vorm aan van intensiewe leeswerk wat u in die boek van
Stewart moet doen en voorbeelde vanuit die handboek wat u moet uitwerk. Daar kom geen
“nuwe Wiskunde” in hierdie Leeronderdeel voor nie.
Wat wel hier gebeur, is dat Stewart u deur ‘n geleide toer neem van hoe die konsep van
veranderingstempo in die werklike lewe in natuurwetenskappe en sosiale wetenskappe
gebruik word. Sommige van hierdie toepassings het u reeds een of meer kere teëgekom in
vorige besprekings – vanuit die aard van die benadering wat die dosent volg, het ons van
vroeg af reeds probeer om die toepassing van differensiaalrekene te gebruik om die
konsepte beter te ontwikkel; ons wou nie die teorie en die toepassing van mekaar skei nie.
Ander van die toepassings wat u in die handboek sal sien, sal nuut wees.
Wat egter belangrik is, is dat u moet probeer insien waar differensiasie in u studieveld (u
ander hoofvak/ hoofvakke) gebruik word. Sulke toepassings behoort vir u besonder
interessant te wees. Moontlik het u selfs in u ander hoofvak/ hoofvakke van hierdie tipe
probleme kennis geneem. Nietemin wil ons ook hê dat u moet kennis neem van hoe
uiteenlopend die toepassingsvelde van differensiaalrekene is – en tog werk elkeen van die
uiteenlopende toepassings maar in wese met presies dieselfde wiskundige konsep; die
vorm wat die konsep aanneem, hang egter van die gebruik in daardie spesifieke geval af
(soos ‘n towerinstrument wat elke keer wat u dit gebruik, outomaties van vorm verander om
elke besondere taak so goed moontlik te verrig).
Stewart (2008:230) haal die Franse wiskundige Joseph Fourier (1768 – 1830) soos volg aan:
“Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret
analogies that unite them.” Mag dit ook u ervaring wees.
147

Leereenheid 1
Bestudeer: Stewart: Hoofstuk 3, p. 221 - 230 en gee spesiale aandag aan:
148
Alle voorbeelde
Alle vetgedrukte begrippe
Hoe die vetgedrukte begrippe wiskundig in simbole geformuleer word
Notasie wat gebruik word
Hoe die meeteenhede van die finale antwoorde verkry word
Hoe diskrete verskynsels (diskontinue funksies/ nie-differensieerbare funksies)
benader word deur kontinue funksies sodat differensiasie toelaatbaar word.
Individuele oefening 18
Stewart, Oefening 3.7 op p. 230
Nr. 7, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 29, 30, 31, 32
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.5.2 Die skets van krommes indien ‘n die vergelyking van ‘n
funksie of relasie gegee is
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 4, pp.270 – 297 (pp. 280 – 285 is slegs vir agtergrond)
Gee veral aandag aan die volgende wanneer u deur pp.270 – 297 werk:
Definisie 1, p.271
Definisie 2, p.271
Stelling 3, p.272, saamgelees met die Figure 5 – 7 op p.272
Die bewoording van die Stelling van Fermat, p.273
As f( x) 'n lokale maksimum of minimum het in die punt c en as f '( c)
bestaan, dan is
f '( c) 0.
Definisie 6, p.274
Leereenheid 1
'n Kritieke waarde van 'n funksie f ( x) is enige getal c in die definisieversameling van f
sodat óf '0 Definisie 7, p.274
f c óf geld dat f 'c
nie bestaan nie.
Indien f 'n lokale maksimum of minimum het by c dan is c ‘n kritieke waarde van f .
Die "geslote interval-metode", p.275 om die maksimum- en minimumwaardes
van 'n kontinue funksie f ( x ) op 'n geslote interval [a,b] te vind (u
moet Voorbeelde 8 en 9 op p. 275 deeglik deurwerk)
149

Leereenheid 1
150
Die “stygende/dalende-toets”, p.287 (u moet Voorbeeld 1, pp.287 – 288
deeglik deurwerk)
Die “eerste afgeleide-toets”, p.288, saam gelees met Fig. 3 (a) tot (d) en
Voorbeeld 2 en Voorbeeld 3, p.289
Definisie van konkaafheid, p.290, saamgelees met Fig. 5 en Fig.6
Die “konkaafheidtoets”, p.291 (werk Voorbeeld 4, p.291 deeglik deur)
Definisie van ‘n buigpunt (ook genoem infleksiepunt), p.291
Die “Tweede Afgeleide-toets”, p.292 (werk Voorbeeld 6 en Voorbeeld 7,
pp.292 – 293 deeglik uit)
Definisie van ‘n horisontale asimptoot, Definisie 3 op p.132
Stelling 5, p.133
Voorbeeld 3, saamgelees met Fig. 7, pp.133 - 134 (dit illustreer Definisie 3 en
Stelling 5)
Oneindige limiete by oneindig (wanneer die funksiewaarde y sonder limiet
toeneem of afneem waar x na + of streef) soos geïllustreer deur
Voorbeelde 8 tot 10, pp.136 – 137
Om saam te vat: Lees deeglik deur paragraaf 4.5, pp.307 – 309
Som nou self in u eie woorde die agt riglyne vir die skets van ‘n kromme op wat Stewart
op pp.307 – 308 verskaf.
Hierdie agt riglyne vorm ‘n algoritme waarvolgens u enige van ‘n groot aantal
krommes volkome sonder insident kan skets.

Werk deeglik deur Voorbeelde 1 tot 5 op p. 309 – 313.
Leereenheid 1
U behoort die skets van funksies beter te verstaan indien u ook deeglik deur die volgende
voorbeeld werk:
Voorbeeld 1. (met erkenning aan Me. Heleen Coetzee):
Teken die grafiek van f( x)
x
deur eers die volgende stappe te volg:
x 2
Spesifiseer die definisieversameling, gee die afsnitte met die koördinaat-asse, lewer
uitspraak oor die simmetrie van die funksie, bespreek alle asimptote, gee die intervalle
waarop die funksie styg of daal, gee die lokale en globale maksima en minima, lewer
uitspraak oor die konkaafheid van die funksie en gee die infleksiepunte.
Oplossing:
Deur na die vorm van die funksie se vergelyking te kyk en te besef dat dit 'n rasionale
funksie is, kan die volgende opgemerk word:
Die funksie is diskontinu in die punt x 2 ( dit is die punt waar die noemer nul
is).
As ons die limiete bereken as x vir 2 vanaf die positiewe en vanaf die
negatiewe kant nader, het ons die volgende:
x
lim
x 2 x 2
en
x
lim
x
2
x 2
151

Leereenheid 1
152
Dus is die vertikale lyn x 2 die vertikale asimptoot van die funksie.
x
Die horisontale asimptoot word soos volg bereken:
x
x
lim 1 en lim 1
x
2
x x
2
Gevolglik is die horisontale asimptoot die horisontale lyn y 1.
Die funksie is verder kontinu op die hele X-as, ( x 2 uitgesluit) aangesien die
teller en die noemer altwee polinoomfunksies is.
In die onderstaande figuur is die inligting wat ons tot sover ingesamel het,
geteken:
x
Pas nou die agt riglyne in Stewart toe om die grafiek van y te skets :
x 2
1. Die definisieversameling van f( x).
In hierdie geval is dit:
D = x x R, x 2 .
f
2. X- en Y-afsnitte: Stel x 0 en los y op; Dit
gee nul.
Stel y
0 en los x op; Dit gee ook nul.

3. Simmetrieë: Die funksie vertoon op hierdie stadium geen duidelike simmetrie nie.
Dit is nie 'n ewe of 'n onewe funksie nie.
4. Asimptote: Horisontaal (soos bereken): y 1.
Vertikaal
(soos bereken): x 2
.5. Intervalle waarop f( x)
styg of daal:
f '( x)
se teken oor die intervalle (- ; 2) en (2; )
dui aan of die funksie styg of
daal.
1( x 2) x
1
Nou f '( x)
2
( x 2)
2
negatiewe waarde
f '( x) maar
negatief
2
( x 2)
positiewe waarde
f '( x) 0 vir alle x
Met ander woorde, f( x)
daal oral.
Leereenheid 1
6. Lokale maksimum- en minimumwaardes:
Stel f '( x)
0 en los op vir x :
2
0 2
( x 2)
f '( x) 0 vir alle waardes van x,
aangesien die teller 'n konstante -2 is en
die noemer nie nul mag wees nie.
Dit beteken dat f( x)
geen lokale maksimum- of minimumwaardes het nie.
7. Konkaaf na onder of bo en buigpunte :
2
f '( x)
2
( x 2)
2
1
0x 2) 22x 2 1
f ''( x)
x 2 ( x 2)
4 2
f ''( x)
4
( x 2)
4x8 f ''( x)
4
( x 2)
f ''( x) 0 vir 4x 8 0 en f ''( x) 0 vir 4x 8 0.
f ''( x) 0 vir x 2 en f ''( x) 0 vir x
2
2
153

Leereenheid 1
154
Dit beteken dat die kromme van f( x) konkaaf na onder is vir x 2 en konkaaf na
bo vir x 2.
4x8 Geen buigpunte kom voor nie, aangesien 0 geen reële oplossing het nie.
4
( x 2)
Daar is 'n diskontinuïteit
in die punt x 2. f( x)
kan dus nie in hierdie punt verander
van konkaaf na onder na konkaaf na bo nie.
8. Ons is nou gereed om die kromme te skets:
x
Voorbeeld 2. Bepaal die interval waarop die funksie f( x)
stygend is. Toon al u
x
e
berekeninge en motiveer u antwoord.

x e 2
Leereenheid 1
Ondersoek die gradiënt van die raaklyn aan f( x)
en stel die gradiënt van die raaklyn>0:
f( x)
x
x
e
Stel u x Stel
x
v e
du 1
dx 2 x
dv x
e
dx
u
f( x)
v
df u '( x) v( x) u( x) v'(
x)
Volgens die Kwosiëntreël is
2
dx v
1 x
e
2 x
x
x e
x
e
x
x e
2 x
2x
e
x x e 2xe
2 x
2x
e
x
e 12x 1
2x
2 x e
12x
x
2 x e
x
Maar aangesien x e in die noemer voorkom, en x dus groter as nul moet
12x wees, geld dat die noemer altyd positief sal wees; vir die hele getal
2 x e
om positief te wees, beteken dan dat :
12x0 2x1 1
x 2
1 x
So, vir alle 0 x is y
stygend.
x
2 e
x
155

Leereenheid 1
156
Individuele oefening 19
Oefening 4.3 in Stewart, p. 295, no. 2, 9, 11, 23, 31
Oefening 4.5 in Stewart, p. 314, no. 11, 12, 14
Addisioneel:
1. Skets die grafiek van y f( x)
as:
< 0
Geen simmetrie
Geen asimptote
x 0 1 1,5 2
y 0 5 4,5 4
f '( x) 0 op (1; 2) en f '( x) 0 op (-;1) (2; )
f '(1) f '(2) 0
f ''( x) 0 op (-; 1,5) en f ''( x) 0 op (1,5; )
2. Skets die krommes van die volgende funksies in 2.1 tot 2.6 deur telkens
eers die volgende stappe te volg:
1. Bepaal die definisieversameling van die gegewe funksie.
2. Wat is die afsnitte met die koördinaat-asse?
3. Het die funksie enige simmetriese eienskappe?
4. Bepaal die horisontale en vertikale asimptote.
5. Bepaal die intervalle waarop die funksie styg of daal

2.1
6. Bereken die koördinate van die lokale maksima en minima
7. Bepaal die intervalle waarop die funksie konkaaf na bo of na onder is,
asook die koördinate van die buigpunt(e)
3 2
y x 6x 9x
1
4 x
2.2 y 2
4x
y
x 1
2.3 2
2.4
2.5
y 4x 3x
2.6 y 2
2.7
3 4
3
y 3x 27x
1
x 1
1
x
3
y 4 1 e
('n Slangkromme)
('n Heks van Maria Agnesi)
vir x 0
Leereenheid 1
3.
Beskou die oneindige ry 2
n 2
. Gebruik differensiaalrekene en bepaal of
4n 3n1
hierdie ry monotoon stygend, monotoon dalend of afwisselend is.
(Wenk: Ondersoek die gedrag van die kromme van die funksie f x 2
4. Gebruik differensiaalrekene en toon aan dat die meetkundige ry
n 1 konvergent is (monotoon dalend) as 0 r 1.
a r
2
x 4x 3
)
n 1
met 0
x 1
(Wenk: Ondersoek die gedrag van die kromme van die funksie
met a 0 en x 1)
f x a r
a en
157

Leereenheid 1
5 n
5. Gebruik differensiasie om te bewys dat die ry ne
158
n
1
terme en dalend is vir die sesde term en alle verdere terme.
stygend is vir die eerste vyf
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

1.5.3 Die optimeringsprobleem: Om die waarde van 'n gegewe
grootheid te maksimeer of te minimeer
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 4, pp.322 – 327. Gee veral aandag aan:
Leereenheid 1
Die ses stappe op p.322
Voorbeeld 1, pp.322 – 323
Voorbeeld 2, pp.323 – 324 (let spesifiek op Figuur 5; hierdie voorbeeld maak
van 'n grafiese analise gebruik om die probleem en sy oplossing beter te
beskryf)
Voorbeeld 5, pp.326 – 327
Toepassings op sake en ekonomie, p. 327 (BAIE BELANGRIK)
By hierdie toepassings gaan dit daaroor om vas te stel by watter waarde van die
onafhanklike veranderlike die afhanklike veranderlike die grootste of kleinste waarde sal hê.
In die algemeen: Gestel 'n sekere grootheid, sê maar A, is bekend in terme van ’n funksie
van x.
Hoe sal ons te werk gaan indien ons dan gevra word: By watter waarde van x sal die funksie
Ax 'n maksimum of 'n minimum hê?
Voorbeeld:
'n Sekere proses word voorgestel deur die funksie
3
y x 9x
waarvoor x (die funksie se waarde) 'n maksimum of 'n minimum sal hê.
. Bepaal die waarde(s) van x
159

Leereenheid 1
Ons behandel twee metodes waarvolgens die probleem hanteer kan word.
Metode 1: Grafiese Metode (skets gewoon die funksie met 'n grafiese sakrekenaar of
geskikte rekenaarprogram)
160
A
x A = -1.733
10
Y
8
6
4
2
-3 -2 -1 1 2 3
y B = -10.392
-2
-4
-6
-8
-10
O
y A = 10.392
x B = 1.733
Die lokale maksima en minima is duidelik die x-koördinate van die punte A en B (die
hoogste en laagste punte op die kromme), in hierdie geval y A en y B .
Hulle kom voor by die x-koördinate waar die funksie van stygend na dalend, of van dalend na
stygend verander. Ons noem hierdie punte x A en x B die kritieke waardes van die funksie.
Uit die skets kan ons dus aflei:
1.
2.
3
y x 9x
het 'n lokale maksimumwaarde van 10,392 waar x 1, 733
3
y x 9x
het 'n lokale minimumwaarde van -10,392 waar x 1,733
Gestel egter dat ons nie 'n grafiese rekenaar of rekenaarprogram beskikbaar het nie.
Dan kan ons soos volg te werk gaan:
B
X

Leereenheid 1
Metode 2: Analitiese metode (gebruik differensiasie en u kennis van gradiënte van
raaklyne aan krommes in die punte waar die funksie 'n maksimum of 'n
minimum aanneem)
Uit die grafiese benadering hierbo het ons gesien dat maksima en minima voorkom by die
draaipunte, dit is die punte waar die kromme van streng stygend (waar die gradiënt van 'n
raaklyn aan die kromme positief sou wees) na streng dalend (waar die gradiënt van 'n
raaklyn aan die kromme negatief sou wees) verander, of andersom.
Let daarop dat dit beteken dat die gradiënt van 'n raaklyn aan die kromme in 'n draaipunt nul
moet wees.
Ons kan dus sê: By die draaipunt van 'n kromme, dit is by die maksimum- of
minimumwaarde van die funksie, is die gradiënt van 'n raaklyn aan
die kromme gelyk aan nul.
dy
Wiskundig gestel: Waar 0 kom die maksima en minima van die funksie voor.
dx
Pas hierdie gedagte op die funksie
dy
Stel 0 en los op vir x:
dx
3
y x 9x
2
3x9 0
2
x 2
toe:
3 0 (deel regdeur deur 3)
x 3
x 3
x 1,732 of x 1,732
Hierdie twee x-waardes word die kritieke waardes van die funksie genoem.
Stel hulle nou in die vergelyking van die kromme, met ander woorde in die funksie
9 :
3
y x x
3
As x 1, 732 dan is y 1,732 9 1,732
y 10,392
3
As x 1,732 dan is y 1,732 91,732 y
10,392
161

Leereenheid 1
Uit die berekening kan ons dus aflei:
162
1.
2.
3
y x 9x
het 'n waarde van 10,392 waar x 1,732
3
y x 9x
het 'n waarde van -10,392 waar x 1, 732
Om te bepaal of 'n funksie 'n lokale minimum of 'n lokale maksimum 'n sekere kritieke
waarde het.
Let daarop dat die gradiënt van die raaklyn aan die kromme van die funksie gedurig verander
indien die raakpunt van links na regs langs die kromme skuif. Die gradiënt het dus ook 'n
veranderingstempo. Ons kan dit beskou as die veranderingstempo van die gradiënt van die
raaklyn aan die kromme van die funksie.
d dy Wiskundig gestel: veranderingstempo van gradiënt
dx
dx
afgeleide van die funksie
3
y x 9x
.
en dit is die tweede-orde
Let daarop dat die gradiënt van die raaklyn aan die kromme aan die afneem is wanneer die
raaklyn oor 'n maksimumdraaipunt skuif. Daarom sê ons dat die tweede-orde afgeleide van
die funksie negatief is in 'n kritieke waarde waar die funksie 'n maksimum het.
Net so: Die gradiënt van die raaklyn aan die kromme is aan die toeneem wanneer die
raaklyn oor 'n minimumdraaipunt skuif. Daarom sê ons dat die tweede-orde afgeleide van
die funksie positief is in 'n kritieke waarde waar die funksie 'n minimum het.
Wiskundig gestel: As
2
d y
2
dx
die punt a.
As
2
d y
2
dx
die punt a.
0 in 'n punt x=a, dan het die funksie 'n lokale maksimum in
0 in 'n punt x=a, dan het die funksie 'n lokale minimum in

Pas hierdie gedagte op die funksie
2
d y dy
3
y x 9x
toe:
6 x (differensieer vir nog 'n keer)
2
dx dx
2
d y
As x 1,732 dan is 6 2 1,732
dx
2
d y
2
d y
As x 1, 732 dan is 6 2 1,732 dx
10,392 en dit is negatief, so by x 1,732kom
2
dx
daar 'n lokale maksimum voor.
2
d y
10,392 en dit is positief, so by x 1,732
kom
2
dx
daar 'n lokale minimum voor.
Leereenheid 1
Let daarop dat beide metodes presies dieselfde resultate lewer – alhoewel dit moeilik is om
tot drie desimale syfers akkurate aflesing van grafieke af te maak. Daarom is daar 'n klein
verskil in die kritieke waardes as ons die twee metodes vergelyk.
Aangesien ons in die vorige Leergedeelte gesien het hoe ons die maksimumwaarde of
minimumwaarde van 'n funksie kan bepaal, is die optimeringsprobleem eintlik 'n toepassing
van dieselfde teorie as dit wat ter sprake gekom het toe ons die skets van krommes van
funksies bespreek het.
U kan gerus ook deur die volgende twee voorbeelde werk voordat u die oefening aandurf:
163

Leereenheid 1
Voorbeeld 1:
'n Kartondoos word vervaardig deur 'n reghoekige vel karton, 45 cm by 30 cm te neem en uit
elke hoek 'n vierkantige stuk karton te sny. Die kante word dan boontoe gevou om die
wande van die doos te vorm:
164
30 cm
Bepaal die sylengte van die vierkante wat verwyder moet word, indien die kartondoos die
grootste moontlike volume moet hê. Bereken vervolgens wat hierdie maksimum volume sal
wees.
Oplossing:
Aangesien die grootte van die sylengte van die vierkante wat uitgesny word, bereken moet
word, kan ons stel dat sylengte x en al die gegewens op ons skets in terme van x aantoon:
x
x
x
x
30-2x
30 cm
45-2x
x
x
x
x
45 cm
x
x
45 cm

Leereenheid 1
Nou, die volume van die doos wat uit die oorblywende karton gevou kan word, kan nou
geskryf word as
V l b h waar l 45 2x
en b 30 2x
en h x sodat:
45 2302 2
1350 90x 60x4x x V x x x x
V x x x x
3 2
( ) 4 150 1350
Ondersoek nou die waardes van V (x)
by die eindpunte van sy definisieversameling, asook
by die kritieke punte van V (x)
om die grootste waarde van V (x)
te vind:
In die situasie wat ons beskou, is die definisieversameling { x 0 x 15;
x R}
(sien die skets)
Maar V ( 0)
V ( 15)
0 , wat beteken dat die lokale maksimum inderdaad in die oop interval
dV
( 0;
15)
moet voorkom, en dus, indien bestaan, by die kritieke punt(e) van V (x)
.
dx
dV
dx
12x
Stel nou
2
dV
dx
300x
1350
0 :
12x
As x 5,
886 , dan is
As x 19,
114 , dan is
2
300x
1350 0
300
x
90000 64800
24
x 5,
886 cm of x 19,
114 cm
V 4
V 4
3
2
5, 886
1505,
886
13505,
886
3565,
032
cm
3
3
2
19, 114
15019,
114
135019,
114
1065,
032
Dit is duidelik dat die lokale maksimum by x 5,
886 voorkom.
cm
3
(Die Tweede Afgeleide-toets kom ook gebruik word om vas te stel by watter een van die
twee kritieke waardes die lokale maksimum voorkom)
165

Leereenheid 1
Dus: Vir die grootste moontlike volume van die doos moet die vierkante wat uit die karton
gesny word, die afmetings 5,886 cm by 5,886 cm besit, en dan sal die volume van die doos
3565,032 cm³ wees.
Moontlik vind u dit prettig om die resultate van ons berekening deur middel van ‘n grafiese
analise te kontroleer.
Skets V( x)
4x
150x
1350x
met behulp van ‘n grafiese sakrekenaar, of gebruik ‘n
166
3
2
geskikte rekenaarprogram soos byvoorbeeld Geometer’s Sketchpad 4 en lees gewoon die
koördinate van die lokale maksimum in die interval (0; 15) af:
V(x) A = 3565.03
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
-500
-1000
-1500
V(x)
A
-10 -5 5 10 15 20 25
x A = 5.88
Die resultate van die grafiese analise klop dus met die berekening (soos ons verwag het)
Voorbeeld 2
'n Silindervormige tenk wat bo en onder toe is moet vervaardig word sodat dit 'n inhoud van 3
kiloliter (3 kubieke meter) sal hê. Wat moet die afmetings van die tenk wees sodat die
minste hoeveelheid plaatmetaal nodig sal wees?
x

Oplossing:
Leereenheid 1
Let daarop dat die tenk deur sy buite-oppervlakte ingesluit word. Die minste plaatmetaal sal
dus nodig wees indien die buite-oppervlakte so klein as moontlik is, terwyl die volume tog
nog 3 kiloliter beslaan.
Maak 'n skets en ontleed die probleem deur die volume V en ook die buite-oppervlakte A in
terme van die radius en hoogte uit te skryf:
V=3 m 3
2
Ons moet vir A2r 2
rh
minimeer, dit wil sê ons moet kritieke waardes
2
vir A2r 2rh 2
gaan bepaal. Maar A2r 2
rh
is 'n funksie van r en h
A r rh r h skryf:
2
so ons moet 2 2
eers slegs in terme van of
A r rh V r h V
3
r
3
r
2 3
A2r 2r 2
r
A 2
r
6
r
2 2
2 2 maar met 3
2
Dus: 3 rhwaaruit volg dat h . 2
2
Vervanging van h in A 2r 2rh lewer dan
2
2
167

Leereenheid 1
Vir die bepaling van kritieke waardes:
dA
2
4r 6r
dr
Stel
dA
6
0 : 4 r 2
dr r
0
2 3
r :4r 6 0
3
4r 6
6
r 3
4
r 0,7815782 m
Om te bepaal of r 0,7815782 'n lokale maksimum of 'n lokale minimum is:
2
d A
2
dr
168
412r 12
4
3
r
3
2
d A
12
2 3
As r 0,7815782 : Dan is
dr
4
0,7815782 37,701
en dit is positief, so by die kritieke waarde r 0,7815782
A r rh
voor.
2
kom daar inderdaad 'n lokale minimum vir 2 2
2
Bepaal nou h as r 0,7815782:
3
h
0,7815782
1,563243 m
2
Vervang nou vir r en h in A 2r 2 rh,
die vergelyking vir die
buite-oppervlakte en dan kan die minimum moontlike buite-oppervlakte
volkome sonder insident
uitgereken word:
minimum
2
A 2 0,7815782 2 0,7815782 1,563243
11,515 m
2

Leereenheid 1
Soos voorheen kan ons met vrymoedigheid die resultate van ons analitiese metode hierbo
deur middel van 'n grafiese oplossing (grafiese sakrekenaar of rekenaarprogram) gaan
kontroleer:
A
A A = 11.515
O
40
35
30
25
20
15
10
5
-2 -1 1 2 3
-5
-10
-15
-20
-25
-30
A
r A = 0.782
Ons merk met groot vreugde op dat die grafiese analise presies dieselfde resultate lewer as
die berekeninge hierbo waar ons van differensiasie gebruik gemaak het.
Op hierdie stadium behoort u ten minste tot ‘n mate beïndruk te wees met die groot krag en
veelsydigheid van ons rekenmetodes.
r
169

Leereenheid 1
170
Individuele oefening 20
1. 'n Vervaardiger van motorenjins bevind dat die doeltreffendheid E van 'n sekere
enjin volgens die vergelyking
motor afhanklik is.
E v v
3
0,768 0,00004 van die snelheid v van die
Indien E 'n persentasie is en v in km/h gemeet word, bepaal die snelheid waarby
die enjin die doeltreffendste is, asook die maksimum doeltreffendheid.
2. 'n Lengte van 1600m heiningdraad is beskikbaar om 'n reghoekige kampie mee te
maak.
Bepaal die afmetings van die kampie sodat dit die grootste moontlike opper-
vlakte sal hê (volg die gegewe wenke:).
Wenke: (1) Skets die reghoekige kampie
(2) Stel die lengte is x en skryf die breedte ook in terme van x (onthou
dat die omtrek van die kampie gegee is)
(3) Skryf dan die oppervlakte van die kampie as 'n funksie van x
(4) Skets die kromme van die funksie en lees die benaderde waardes van
die kritieke punt en maksimumwaarde af.
(U mag Geometer's Sketchpad 4 of 'n grafiese sakrekenaar gebruik)
(5) Bereken nou die oplossing van die probleem en vergelyk u resultate

3. 'n Fakkel word opwaarts vanaf die grond afgevuur. Sy hoogte h in meter bokant
die grond op enige tydstip t sekondes later word gegee deur die vergelyking
s t t
2
34,3 4,9 . Bepaal die maksimumhoogte wat die fakkel bereik en gaan u
oplossing na deur die grafiek van die funksie
te maak.
s t t
Leereenheid 1
2
34,3 4,9 te skets en aflesings
(U mag Geometer's Sketchpad 4 of 'n grafiese sakrekenaar gebruik)
4. Wanneer 'n persoon hoes, word die snelheid v waarteen lug deur die larinks
beweeg, gegee deur die vergelyking
2
v kr ( a r)
waar a die radius van die larinks
is wanneer die persoon gewoonweg asemhaal en k 'n positiewe konstante is. Bepaal 'n
formule waarmee r , die radius van die larinks tydens 'n hoes, bepaal kan word
wanneer v 'n maksimum is.
5. 'n Reghoekige woonerf wat teen 'n rivier geleë is, moet met 800m veiligheids-
draad omhein word. Wat is die maksimumoppervlakte wat die woonerf kan besit?
6. Bepaal die maksimumgradiënt van die kromme van die funksie
die waarde van x waarvoor die kromme die grootste gradiënt sal hê.
y x x
2 3
6 , asook
171

Leereenheid 1
7. 'n Atletiekbaan met 'n lengte van 400m (een volle rondte) moet gebou word om 'n
172
grasperk wat uit 'n reghoek met 'n halfsirkel aan twee kante bestaan:
Maksimum Oppervlakte
x
Bepaal die lengte van die oop sy x van die reghoek sodat die reghoekige gebied die
grootste moontlike oppervlakte sal hê.
8. 'n Oop silindriese sinkdam word ontwerp om 45000 l water te hou. Bepaal die hoogte
en middellyn van die dam sodat die kleinste hoeveelheid sink vir die wande van die
dam benodig sal word. (die bodem is van beton gemaak)
(Wenk: skakel eers liters om na kubieke meters)
9. Omgewingstudies het bevind dat die aantal besoedelende deeltjies n wat op 'n
afstand d vanaf 'n fabriek waargeneem word, gegee word deur die formule
k
n waar k 'n konstante is wat die mate van besoedeling aangee.
2
d
Twee fabrieke A en B is 19 km uit mekaar. Fabriek A stel 8 keer soveel besoede-
ling vry as fabriek B. 'n Ontwikkelaar wil 'n laekostebehuisingskompleks vir
die werkers van albei fabrieke oprig.

Leereenheid 1
Hy gebruik die volgende kriteria om te bepaal waar die kompleks gebou te word:
1. Die kompleks moet so na as moontlik aan elke fabriek wees
2. Die kompleks moet gebou word waar die besoedeling weens die twee
fabrieke 'n minimum is.
U, 'n gevierde wiskundige, word nou gevra om die ligging van die behuisings-
kompleks te bepaal.
10. 'n Geslote silindriese tenk moet uit 32 m² plaatmetaal vervaardig word. Bepaal
die maksimum volume wat die tenk kan hê
11. Stewart, p. 331, Oefening. 4.7 nr 57 (raadpleeg p. 327)
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
173

Leereenheid 1
1.5.4 Verwante Tempo's
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 3, pp. 241 – 245. Gee veral aandag aan:
174
Alle voorbeelde
Die sewe-punt strategie wat op p. 243 voorgehou word.
In Leergedeelte 1.4.7 het ons die kettingreël vir saamgestelde funksies bespreek en daar het
ons kennis gemaak met 'n tipe funksie waarvan die definisieversameling die
waardeversameling van 'n ander funksie (die "binneste funksie") was. Daar was dus sprake
van 'n veranderlike y wat afhanklik was van 'n ander veranderlike, naamlik u , maar waar u
weer afhanklik was van x . Om y dus te bereken, moes x eers in u vervang word en u
bereken word – dan eers kon u in y vervang word om y uiteindelik te bereken.
Lees gerus weer deur die voorbeeld aangaande die ballon in Leergedeelte 1.4.7.
Dit is 'n goeie voorbeeld van 'n funksie (die volume van die ballon) wat teen 'n sekere tempo
(naamlik dV
) verander, maar waar die funksie afhanklik is van 'n ander funksie (die radius
dt
r ), wat op sy beurt weer afhanklik is van tyd. Die veranderingstempo van die funksie V ,
naamlik dV
, is dus afhanklik van twee veranderingstempo's, naamlik
dt
dV dr
asook
dr dt .
Daarom praat ons by so 'n proses van 'n verwante tempo. Die veranderingstempo van
die volumefunksie met tyd is verwant aan die veranderingstempo van die
radiusfunksie met tyd.

Leereenheid 1
'n Groot aantal tydsafhanklike prosesse in die werklike lewe kan op soortgelyke wyse beskryf
word. In hierdie Leergedeelte sal ons met nog sulke voorbeelde kennis maak en sien hoe
die kettingreël vir saamgestelde funksies hier tot volle reg kom.
Werk gerus deur die volgende voorbeeld voordat u die oefening aandurf.
Voorbeeld:
'n Reëndruppel val in 'n poel water en 'n sirkelvormige rimpeling kring uit oor die oppervlak
van die water. Die radius van die rimpeling neem toe volgens die vergelyking r t
3 2 waar r
in cm gemeet word en t in sekonde.
Bepaal die tempo in cm 2 /s waarteen die oppervlak van die sirkelvormige versteuring
toeneem op 'n tydstip 4 sekondes nadat die druppel die oppervlak getref het.
Oplossing:
Daar is drie veranderlikes ter sprake, naamlik A , r en t . A is afhanklik van r maar r is
afhanklik van t ; dit kan maklik uit die formules vir die oppervlakte en vir die radius van die
versteuring gesien word.
Daar is dus drie tempo’s ter sprake:
dA
dt
dA
dr
dr
dt
wat gevra is
aangesien A afhanklik is van r
aangesien r afhanklik is van t
dA dA dr
Volgens die kettingreël is
[1]
dt dr dt
175

Leereenheid 1
Vir dA
, die tempo waarteen die oppervlakte
dr
toeneem as die radius toeneem, geld:
2
A r
dA
2
r
dr
176
A r
Vir dr
, die tempo waarteen die radius verander, geld:
dt
r t
3 2
2
3 r t
dr 2
t
dt 3
dr 2
3 dt 3 t
Vervang dA
dr
1
3
en dr
dt
dA dA dr
dt dr dt
2
2
r
3 3 t
3 2
4
t
3 3 t
3 4
t
3
dA
dt t4
3
44 3
2
6,649 cm /s
in die kettingreël (vergelyking [1] hierbo) in:
2
van die sirkelvormige rimpeling

Individuele oefening 21
Stewart, Oefening 3.9, pp.245 – 247
nr. 1, 2, 7, 10 ,16, 27
Leereenheid 1
Wenk by 27: Wat is die formule vir die volume van 'n keël, en hoe lyk hierdie formule
wanneer die hoogte en basismiddellyn gelyk is? (skryf die formule in terme van die hoogte
van die keël). Pas dan die strategie op p. 243 toe.
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
177

Leereenheid 1
Die eerste Leereenheid van hierdie module, wat oor differensiaalrekene handel, is nou
afgehandel. Vergewis uself deeglik van wat u geleer het; dit wat volg, bou voort op wat ons
in Leereenheid 1 beleef het.
Ons sal in die volgende Leereenheid nou ondersoek instel na die ander aspek van Analise,
naamlik integraalrekene.
178

2 INTEGRAALREKENE
Die geskatte tyd vir hierdie Leereenheid is 82 ure
Aan die einde van hierdie Leereenheid, behoort u in staat te wees om:
Leereenheid 2
die netto oppervlakte ingesluit tussen 'n kromme en 'n as tussen twee punte op die as
in terme van 'n bepaalde integraal te interpreteer;
die eienskappe van die bepaalde integraal te gebruik om die oppervlakte van vlak
figure te bereken;
die definisie van ‘n begrensde funksie te stel en toe te pas;
die voorwaardes waaraan ‘n funksie moet voldoen om integreerbaar te wees te stel
en toe te pas;
die middelpuntreël as ‘n voorbeeld van ‘n numeriese integrasietegniek toe te pas om
'n benaderde waarde vir die totale oppervlakte ingesluit tussen 'n kromme en 'n as
tussen twee punte op die as numeries te bereken;
Microsoft Excel te gebruik om die middelpuntreël rekenaarmatig toe te pas;
die definisie van 'n bepaalde integraal as die limiet van 'n Riemann-som te
verduidelik;
die limiet van 'n Riemann-som te gebruik om die eksakte waarde vir die totale
oppervlakte ingesluit tussen 'n kromme en 'n as tussen twee punte op die as analities
te bereken;
179

Leereenheid 2
180
Deel I van die Hoofstelling van Analise te stel, te motiveer en te illustreer;
Deel I van die Hoofstelling van Analise toe te pas om die onbepaalde integrale van
magsfunksies, eenvoudige rasionale funksies van die vorm a
, trigonometriese
x
funksies, eksponensiële funksies en funksies van die vorm
lei;
die integrasiereëls vir magsfunksies van die vorm
1
1 x
2
en 2
1
af te
x 1
n
a x waar n 1,
eenvoudige
rasionale funksies van die vorm a
, trigonometriese funksies en eksponensiële
x
funksies toe te pas om die onbepaalde integrale van 'n verskeidenheid van funksies
te bereken;
u kennis van die kettingreël vir afgeleides en Deel I van die Hoofstelling van Analise
te gebruik om die substitusiereël vir integrale van die vorm
vorm
f ' x
f ( x)
af te lei en toe te pas;
f gx ( ) g'( x)
en ook die
integrasie van rasionale algebraïese funksies deur middel van parsiële
breukontbinding uit te voer;
Integrasie deur middel van ‘n trigonometriese substitusie vir integrande van die vorm
2 2
a x uit te voer;
Deel II van die Hoofstelling van Analise te stel en te bewys;
Deel II van die Hoofstelling van Analise toe te pas om bepaalde integrale te bereken;
die Netto Verandering-stelling te gebruik om werlikheidsgetroue situasies waar die
veranderingstempo's van 'n grootheid bekend is, te analiseer;
reglynige beweging deur middel van differensiasie en integrasie te analiseer;
die eksakte grootte van ingeslote oppervlaktes te bereken;
die volume van omwentelingsliggame om die X-as te bereken;
die arbeid verrig op 'n liggaam wat deur 'n veranderlike krag verplaas word, te bepaal

Leereenheid 2
Hierdie Leereenheid fokus op integraalrekene. Dit is ‘n afdeling van Wiskunde waarmee die
akkumulasie van infinitesimale hoeveelhede hanteer kan word; dit is dus ‘n tipe
sommeringsproses wat nogal ooreenstem met ‘n oneindige reeks. Ook kan die totale
verandering in die waarde van ’n funksie bepaal word indien die veranderingstempo van die
funksie bekend is. In ’n sekere sin funksioneer integrasie soos die inverse van differensiasie.
Meetkundig kan ons integrasie beskou as ’n wiskundige metode om die grootte van ingeslote
oppervlaktes te bereken – hierdie gedagte kan maklik uitgebrei word om die grootte van ’n
volume te bereken. Om dit alles te vermag, verskaf integraalrekene kragtige en elegante
metodes om die limiet van ‘n oneindige som wat uit infinitesimale terme bestaan, te bereken.
Integraalrekene (en ook differensiaalrekene, wat ons in Leereenheid 1 bestudeer het) is ‘n
hoogs gestruktureerde, logiese stelsel van konsepte en tegnieke. Daarom is dit nodig om
aan die begin van die Leereenheid, in leergedeeltes 2.1 tot 2.3, aandag te skenk aan die
teoretiese begronding van integraalrekene. Ons sal weer eens nie ‘n uitermate streng
formele benadering volg soos in die ouer boeke wat oor Analise handel nie (byvoorbeeld die
boek van Engelbrecht et al); nietemin is dit nodig om minstens ‘n minimum aantal definisies
en stellings te ken, aangesien definisies en stellings vir ons as gereedskap dien wanneer ons
die rekentegnieke toepas.
Om integrasie goed te verstaan, moet u hersien wat in Leereenheid 1 gedoen is. Die
verband tussen differensiasie en integrasie as Wiskundige prosesse moet aangetoon word.
Die basiese teoretiese begronding van die integraalrekene moet ten minste kortliks ingevoer
word. Tersaaklike stellings en definisies moet gestel word. Verskeie integrasiereëls moet
beskikbaar gestel word. Dan eers kan dit in die praktyk toegepas word om
werklikheidsgetroue probleme op te los.
Daar is ongelukkig aspekte van integraalrekene wat die boek van Stewart, volgens die
beskeie mening van die skrywer van hierdie gids, miskien nie formeel genoeg aanspreek nie.
181

Leereenheid 2
Die skrywer van hierdie gids het daarom vrymoedigheid geneem om heelwat materiaal uit sy
eie ervaringsveld en ook uit ander handboeke (sien die bronnelys agter in hierdie studiegids)
in hierdie studiegids in te werk. Groot dele van die leermateriaal word dus in hierdie
studiegids aangetref, terwyl die boek van Stewart as ’n aanvullende (maar nietemin
belangrike) bron dien. Let vriendelik daarop dat die studiegids, soos in die geval van
Leereenheid 1, nie die handboek vervang nie, maar bedoel is om dit aan te vul.
Die skrywer spreek sy hartlike hoop uit dat die insette wat hy in veral hierdie Leereenheid
gelewer het, sal dien om u leerervaring aangenamer en doeltreffender te maak as wat
andersins miskien die geval sou wees.
182

Leereenheid 2
2.1 ‘N INTUÏTIEWE BENADERING TOT INTEGRASIE
Die geskatte tyd vir hierdie Leergedeelte is 6 uur.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
die oppervlakte ingesluit tussen 'n kromme en 'n as tussen twee punte op die as in terme
van 'n bepaalde integraal te interpreteer;
die eienskappe van die bepaalde integraal te gebruik om die oppervlakte van vlak figure
te bereken
die definisie van ‘n begrensde funksie te stel en toe te pas;
die voorwaardes waaraan ‘n funksie moet voldoen om integreerbaar te wees te stel en
toe te pas;
die middelpuntreël as voorbeeld van ‘n numeriese integrasietegniek toe te pas om 'n
benaderde waarde vir die totale oppervlakte ingesluit tussen 'n kromme en 'n as tussen
twee punte op die as numeries te bereken;
Microsoft Excel te gebruik om die middelpuntreël rekenaarmatig toe te pas.
183

Leereenheid 2
Lees vinnig deur Stewart: Hoofstuk 5, pp. 354 – 368 om die volgende studietaak te kan
voltooi. Soos ons deur die Leereenheid vorder sal u die antwoorde wat u in die studietaak
moes gee, kan verbeter.
184
Studietaak
Som die volgende begrippe duidelik so volledig moontlik in u eie woorde op; gebruik
gerus grafiese voorstellings om u opsommings aan te vul:
die klassieke oppervlakteprobleem (p. 355)
infinitesimale oppervlakte-element
(Stewart verwys aanvanklik daarna as
“approximating rectangles” (p. 356 – 360)
limiet van die som van infinitesimale reghoekige
oppervlakte-elemente (p. 360, Definisie 2)
bepaalde integraal van ‘n funksie (p. 366, Definisie 2)
meetkundige of grafiese betekenis van die
begrip “bepaalde integraal” (p. 367 – 368)
Ons gaan vervolgens ons eie benadering tot hierdie gedeelte in die boek van Stewart volg;
‘n benadering wat meer intuïtief en moontlik gebruikersvriendeliker is as die wyse waarop die
begrippe deur Stewart ingevoer word.
Indien u die gedeelte in die boek van Stewart tot dusver ietwat lastig gevind het, kan u gerus
met nuwe moed en ywer uitsien na wat volg.

2.1.1 Die bepaalde integraal: ‘n Notasie vir die ingeslote
oppervlakte tussen ‘n kromme en ‘n as
Leereenheid 2
Die funksies wat ons hiervan af verder aan bestudeer, moet aan twee belangrike vereistes
voldoen, naamlik: Hulle moet begrens wees op ‘n sekere geslote interval wat ‘n
deelversameling van hul definisieversameling is (Engelbrecht et al, 1989:212) en hulle
moet integreerbaar wees op daardie geslote interval.
Ons begin dus deur die belangrike konsep “begrens op ‘n geslote interval” formeel te
definieer.
Definisie: Begrensde funksie
Indien ‘n funksie f ( x ) begrens is op ‘n interval [a; b] beteken dit daar reële getalle p en q
bestaan sodat p f( x) q
Grafies:
vir alle x ab ;
y
q
f(x)
p
.
O a x
b
y=f(x)
x
185

Leereenheid 2
Vervolgens stel ons die voorwaardes waaraan ‘n begrensde funksie moet voldoen om
integreerbaar te wees op ‘n geslote interval.
Stelling: Voorwaardes vir integreerbaarheid
‘n Begrensde funksie f x is integreerbaar op ‘n geslote interval [a; b] as aan enige
een van die volgende voorwaardes voldoen word:
f x moet kontinu wees op [a; b]
186
of
f x moet stygend wees op [a; b]
of
f x moet dalend wees op [a; b]
(Engelbrecht et al, 1989:217)
Dit is interessant dat die begrensde funksie f x dus nie kontinu hoef te wees op
ab ; nie – solank f x wel ‘n funksiewaarde het vir elke x ab ; is f x wel
integreerbaar op ab ; .
Stewart (2008:368) formuleer bogenoemde stelling ietwat anders
(Stelling 3 op p. 368); hy verwys na sogenaamde “sprong-diskontinuïteite. Blaai gerus terug
na p. 120 van die boek van Stewart, waar presies verduidelik word wat hiermee bedoel word.
Terselfdertyd is dit waar dat alle kontinue funksies op ab ; integreerbaar is.

Leereenheid 2
Ons maak vervolgens nou twee belangrike afsprake wat ons in staat stel om ‘n meetkundige
betekenis aan ‘n notasie te koppel:
b
Ons spreek af dat die simbool f xdx gebruik kan word om te verwys na die grootte van
a
die ingeslote oppervlakte tussen die kromme van ‘n funksie y f xen
die X-as. Die
oppervlakte strek langs die X-as vanaf die punt x a tot by die punt x b . Vir die doel van
ons aanvanklike bespreking aanvaar ons dat y f xbokant
die X-as geleë is op die
geslote interval ab: ;
y
O a
b
y=f(x)
x
187

Leereenheid 2
Indien y f x
188
onderkant die X-as geleë is op die geslote interval ;
ab kan die
oppervlakte van die ingeslote gebied as ‘n negatiewe getal geïnterpreteer word. In die
b
volgende grafiese voorstelling verwys die simbool f xdx steeds na die geskakeerde
gebied en dui dit die grootte van die oppervlakte van die geskakeerde gebied, met ‘n
negatiewe teken vooraan, aan:
y
O
a
a
b
y=f(x)
y=f(x)
b
Ons spreek verder af om die simbool f xdx die bepaalde integraal van die funksie f x
a
met betrekking tot x op die geslote interval ab ; te noem. Die funksie f x word die
integrand genoem, die simbool .... dx word die integrasie-operator genoem en die geslote
interval ab ; word die integrasie-interval genoem.
x

Leereenheid 2
Deur van die gedagtes hierbo gebruik te maak, kan ons die grootte van die oppervlaktes van
vlak figure op 'n elegante wyse beskryf. Hierdie interpretasie van die bepaalde integraal as
'n ingeslote oppervlakte gee ons ook 'n voorlopige metode om die waarde van bepaalde
integrale te bereken.
Die eienskappe van die bepaalde integraal (Stewart, 2008:373 – 375) kan soos volg
opgesom word indien y f xen
y gx ab ; is:
begrensde, integreerbare funksies op
b
1. Indien f xdx na die grootte van ‘n ingeslote oppervlakte bo die X-as op die geslote
interval ;
a
a
ab verwys, dan sal f xdx na die grootte van dieselfde ingeslote
b
oppervlakte, maar onderkant die X-as geleë, verwys; die algebraïese tekens van
b
a
f xdx en
a
a
2. f xdx 0
3.
b a
f x dx verskil dus. Daarom geld f xdx
f xdx b
a b
aangesien die linker- en regtereindpunte van die integrasie-interval
a
saamval en daar dus geen oppervlakte ingesluit word nie; kyk na die grafiese
voorstellings hierbo en dink u in wat sou gebeur as a en b op dieselfde punt sou
saamval.
b
a cdx
met c enige konstante waarde dui op die grootte van die oppervlakte van ‘n
reghoek met breedte c eenhede en lengte b aeenhede;
dit is die grootte van die
ingeslote oppervlakte onder die horisontale reguit lyn y c tussen die vertikale reguit
lyne x a en x b .
(sien fig. 13 op p. 373 van die boek van Stewart vir ‘n grafiese voorstelling)
4. Die som van die grootte van die oppervlakte ingesluit deur die kromme van y f x
tussen a en b en die grootte van die oppervlakte ingesluit deur die kromme van y gx tussen a en b kan soos volg geskryf word:
b b b
( ) ( ) ( ) ( )
f xdx gxdx f x gx dx
a a a
189

Leereenheid 2
5. Die verskil van die grootte van die oppervlakte ingesluit deur die kromme van y f x
tussen a en b en die grootte van die oppervlakte ingesluit deur die kromme van y gx 190
tussen a en b kan soos volg geskryf word:
b b b
f ( xdx ) gxdx ( ) f( x) gx ( ) dx
a a a
b
6. Indien f xdx na die grootte van ‘n sekere ingeslote oppervlakte verwys, dan verwys
b
a
a
cf x dx na ‘n oppervlakte wat c keer groter is as die oppervlakte waarvan die grootte
b
deur f xdx aangedui word; dus geld:
a
b b
cf x dx c f x dx waar c enige konstante waarde is.
a a
b
Indien c negatief is, sal die ingeslote oppervlakte cf xdxaan die teenoorgestelde
b
kant van die X-as geleë wees as die ingeslote oppervlakte f xdx Dit is nou ‘n goeie tyd om die konsepte wat ons tot dusver ontwikkel het, prakties toe te pas.
Ons verstrek graag ‘n paar voorbeelde:
Voorbeeld 1
Teken sketse om die betekenis van die volgende bepaalde integrale te illustreer:
a)
3
0
x dx
3
b). 2 1
c).
1
0
2
x dx
2
4 x dx
a
a
.

Oplossings:
a)
b)
7
3
O
3
Y
Y
O
1
2
2
3
3
fx = x
X
fx = 2x+1
X
Leereenheid 2
191

Leereenheid 2
c)
Voorbeeld 2
192
-2
Bereken die waarde van die volgende bepaalde integrale:
a)
3
0
x dx
3
b). 2 1
c).
1
0
2
x dx
2
4 x dx
O
Y
2
y= 4-x 2
2
X

Oplossing
a)
Sien Voorbeeld 1(a) hierbo. Uit die skets blyk dit dat:
3
0
b)
1
3
x dx Oppervlakte van 'ndriehoek met basis 3 eenhede en loodregte hoogte 3 eenhede
1
b h
2
1
33 2
4,5 eenhede
2
Sien Voorbeeld 1(b) hierbo. Uit die skets blyk dit dat:
c)
0
2
Leereenheid 2
2x1 dx Oppervlakte van 'ntrapesium met parallelle sye 3 eenhede en 7 eenheide en
loodregte hoogte 2 eenhede
1
h som van parallelle sye
2
1
237 2
2
10 eenhede
Sien Voorbeeld 1(c) hierbo. Uit die skets blyk dit dat:
x dx Oppervlakte van kwartsirkel met radius eenhede
2
4 2
1 2
r
4
1 2
2 4
3,142 eenhede
2
193

Leereenheid 2
Voorbeeld 3
Bereken die waarde van die volgende bepaalde integrale:
4
a) 2
194
1 x dx
2 3
2 2
4 9
2 3
b)
2
c) 1
3
Oplossings
a)
x dx
x dx x dx
Skets die grafiese (meetkundige) betekenis van die bepaalde integraal:
gx = -x+2
-1
O
Y
2
4
X

4
1
Nou: x2dx Netto Ingeslote Oppervlakte
b)
Oppervlakte bokant die As Oppervlakte
onder die As
1 1
2 2
2
2,5 eenhede
33 22 Skets die grafiese (meetkundige) betekenis van die bepaalde integraal:
-3
-2
2
2
3
2
2 3
O
3 2 Y
2 2
2
2
gx = 9-x2 3
fx = - 4-x2 Nou: 4 x dx 9 x dx Netto Ingeslote Oppervlakte
Oppervlakte bokant die As Oppervlakte
onder die As
1 1
2 2
7,854 eenhede
X
Leereenheid 2
195

Leereenheid 2
c)
Skets die grafiese (meetkundige) betekenis van die bepaalde integraal:
196
2
2
-3
2
1
Y
1
-2 -1 2 X
Nou: x 1dx Netto Ingeslote Oppervlakte
1
2 2,5 1
1
2
1
2
2
1, 5 eenhede
-1
22 1 1 21 f x = x -1
Oppervlakte bokant die As Oppervlakte
onder die As
Sien ook Voorbeeld 4 (a) en (b) op p. 371 van die boek van Stewart.

Leereenheid 2
Daar is 'n verskil tussen die begrippe "Netto Ingeslote Oppervlakte" en die begrip "Totale
Ingeslote Oppervlakte":
Die totale oppervlakte ingesluit deur 'n kromme word geïnterpreteer as die som van die
grootte van die ingeslote oppervlakte bokant die as en grootte van die ingeslote oppervlakte
onder die as. Wanneer die totale ingeslote oppervlakte bereken moet word, word net die
groottes van alle oppervlaktes bo en onder die as beskou en by mekaar getel. Anders
gestel:
Totale Oppervlakte Grootte van Boonste Oppervlakte Grootte van Onderste Oppervlakte
Oppervlakte bokant die as Oppervlakte onderkant die as
Afdeling A
Stewart, Oefening 5.2, p.338
Individuele oefening 22
nr. 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 48, 49
Wenk by 41:- 49 Verstaan u die implikasies van die eienskappe van bepaalde integrale,
soos uiteengesit op pp.373 – 375?
Asook:
Bereken die oppervlakte van die geskakeerde gebied deur van u kennis van die formules vir
die oppervlakte van vierkante en driehoeke gebruik te maak:
197

Leereenheid 2
Afdeling B
198
y
3,5
1,5
O
1
fx = 0.5x+1
Sê in elk van die gegewe gevalle of die funksie wat voorgestel word in daardie geval
integreerbaar is of nie en verstrek ‘n duidelike rede vir u antwoord:
1.
y
6
-2 O
1
f x = -x 3 +x 2 +4x+6
x
2.
y
O
5
f x
= 4
x
x
3
x

3.
7.
5.
f x = x-1 +0.5
-4
y
O
-2
1,5
-3 -2
y
6
2
O
0,5
y
2
O
2
-4
4
2
4
1,5
x
x
x
4.
6.
8.
y
O
-4
-2
-2
f x = 4
x
2
y
y
2
6
2
O
O
2
2
4
Leereenheid 2
Memorandum van die probleem sal op die e-leer-platform beskikbaar
gestel word, of in die kontaksessie bespreek word.
6
x
x
x
199

Leereenheid 2
2.1.2 Numeriese integrasie: Die middelpuntreël
In die vorige bespreking het ons gesien hoe ons die bepaalde integraal van 'n begrensde
integreerbare funksie kan interpreteer as die ingeslote oppervlakte tussen die kromme van
die funksie en 'n Cartesiese as.
Dit was tot dusver maklik om die waarde van die bepaalde integraal op hierdie manier te
bereken, aangesien die gevalle wat ons teëgekom het almal in terme van die oppervlakte
van bekende vlak figure soos reghoeke, driehoeke, trapesiums en sirkels geïnterpreteer kon
word. Vir al hierdie figure se oppervlaktes het ons formules.
Die vraag ontstaan nou: Hoe gaan ons te werk wanneer die bepaalde integraal nie
geïnterpreteer kan word in terme van bekende vlak figure nie; wat van 'n geval soos
1,414
1
200
2 2
x dx ?
Soos uit onderstaande skets blyk, kan ons hierdie bepaalde integraal NIE beskou as 'n
kombinasie van bekende vlak figure nie:
-3
2
1
Y
1
-2 -1 O
2 X
-1
f x = -x 2 +2

Leereenheid 2
Die oplossing vir die dilemma wat ons hierbo teëgekom het, lê daarin dat ons die
onreëlmatige oppervlakte waarin ons belangstel, kan benader. Dit doen ons deur dit op te
breek in 'n groot aantal reëlmatige gebiede – ons bereken dan die oppervlakte van elke
reëlmatige gebied en tel hierdie oppervlaktes bymekaar.
Hierdie gedagte word in Stewart breedvoerig bespreek (Stewart, 2008:355 – 357).
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 5, pp.355 – 361
Gee veral aandag aan die volgende:
Die grafika en opmerkings op p.354
Voorbeeld 1, pp.355 – 357
Voorbeeld 2, p.357
Die bespreking op pp.358 (vanaf net na Voorbeeld 2) – boaan p.361
Bogenoemde kan ongeveer soos volg opgesom word:
201

Leereenheid 2
Gestel ons het ’n onreëlmatige oppervlakte A wat onder die kromme van ’n integreerbare
funksie f x ingesluit is tussen die punte a en b op die X-as. Gestel ook dat f x 0 vir
alle x ab ;
202
. Ons wil die grootte van die ingeslote oppervlakte A bepaal.
Gestel ons verdeel die interval ab ; in n deelintervalle sodat die ingeslote oppervlakte A in n
ewewydige stroke verdeel word. In die geval wat hieronder grafies voorgestel is het n die
waarde 8.
Die punte x0; x1; x2; ....; x ; x 1;
...; x
genoem.
Die intervalle ;
0 1
verdeling genoem.
word die verdelingspunte van die interval ab ;
k k n
x x , x; x ,
x; x ,
..., x x
1 2
2 3
, ..., x x
1 ; k k
1 ; n n
word deelintervalle van die
Die lengtes van die deelintervalle is dan die getalle x1 x0,
x2 x1,
x3 x2
,
..., .
x x
k k 1
x x
n n 1
, ...,
Ons noem die lengte van die langste deelinterval die maas van die verdeling. Indien die kde
deelinterval die langste is, is die maas dus die getal x x x 1
vir enige waarde van k
vanaf k 1 tot by k n:
k k k

Leereenheid 2
Aangesien ons die totale oppervlakte A van die ingeslote gebied wil bepaal, sou dit gerieflik
wees om elke strook deur ‘n reghoek te vervang en dan gewoon al die reghoekige
oppervlaktes by mekaar te tel.
Dit sou ook gerieflik wees om die verdelingspunte so te kies dat al die deelintervalle ewe lank
is; dan sou die maas van die verdeling gewoon die lengte van elkeen van die deelintervalle
wees; dan sou ons kon skryf:
Maas van die verdeling x
x x vir alle waardes van k solank 1 k n
k k1
Vir die doel van die res van ons bespreking kyk ons na ’n verdeling wat aanvanklik uit 6
gelyke deelintervalle bestaan.
Hou egter in gedagte dat dit nie nodig is dat ons die verdeling so moet kies dat alle
deelintervalle gelyke lengtes het nie.
Ons dui die grootte van die oppervlakte van die k-de reghoek waarmee ons die stroke
vervang aan met die simbool k A .
Ons noem k A ’n reghoekige oppervlakte-element:
203

Leereenheid 2
Uit bostaande grafiese voorstelling is dit duidelik dat die lengte van die kde reghoekige
oppervlakte-element verkry kan word deur gewoon die punt *
x k waar
*
vergelyking van die funksie te vervang: lk f xk
Hierdie punt
204
*
k
x x x in die
k1 *
k k
x word ‘n tussenpunt (“sample point”) van die deelinterval x x genoem.
1 ; k k
Ons moet op hierdie stadium beklemtoon dat ons die tussenpunt *
x k by enige punt
tussen k 1
x en x k kan kies; dit hoef nie noodwendig die linkereindpunt of die
regtereindpunt van die interval te wees nie.
In die algemeen is
x enige punt binne of op die eindpunte van die interval xx. Vir die
*
k
1 ; k k
doeleindes van die middelpuntreël sal ons die tussenpunte van die deelintervalIe so kies
dat die tussenpunt van elke deelinterval die middelpunt van die deelinterval is:

Soms word die kde tussenpunt ook soos volg beskryf:
x x ; x vir k 1, 2, 3,..., n (sien bostaande grafiese voorstelling)
*
k k1 k
Leereenheid 2
By elkeen van bogenoemde gevalle is dit egter duidelik dat elke reghoekige oppervlakte-
element k A nie regtig dieselfde oppervlakte besit as die gekleurde strokie waarmee ons dit
vervang het nie. As ons die oppervlaktes van al die reghoekige oppervlakte-elemente
bymekaar tel, sal ons dus ’n antwoord kry wat verskil van die werklike grootte van die
ingeslote oppervlakte; Hierdie som van reghoekige oppervlakte-elemente sou slegs ’n
benaderde waarde lewer vir die werklike grootte van die oppervlakte A. Ons skryf dit
soos volg:
n
k 1
k
n
lk
k1
b waar lk *
f( xk) en b x
n
k1
(
*
k ) [1]
A A
A f x x
Die regterkant van [1] hierbo staan bekend as ’n Riemann-som van f x vir die
verdeling.
205

Leereenheid 2
Gestel nou ons verdeel die interval ab ; twee keer so fyn soos voorheen, sodat die aantal
reghoekige stroke (en dus ook die aantal reghoekige oppervlakte-elemente) verdubbel.
Ons maak die maas van die verdeling dus twee keer kleiner as voorheen:
Ons kan aanvoel dat die benadering al beter word namate ons die verdeling van ab ; al hoe
fyner maak. ’n Fyner verdeling beteken dat die maas x (en dus die breedte van elke
strook) kleiner word en dat n, die aantal stroke, al hoe meer word.
Die stukkie oppervlakte waarmee die k-de reghoekige oppervlakte-element k A van die
k-de gekleurde strook verskil, word dan al hoe kleiner. Derhalwe streef die waarde van
die Riemann-som na die grootte van die ingeslote oppervlakte A wanneer n .
*
Wiskundig: k
206
f x x A indien x 0 vir alle xk ab ;
en n
Die bespreking wat ons hierbo gevoer het, is gebaseer op Engelbrecht et al (1989:212-213).
Dit omskryf in wese wat integrasie is – dit is ‘n sommeringsproses.

Die middelpuntreël word volledig in Stewart bespreek en geïllustreer.
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 5, pp. 372 – 373
Gee veral aandag aan die volgende:
die bewoording en formule vir die middelpuntreël, p.332
Voorbeeld 5, p.372
Leereenheid 2
U het ongetwyfeld tydens u studie van die besprekings in Stewart agtergekom dat daar
ander maniere ook is om op 'n soortgelyke wyse as die middelpuntreël 'n benaderde waarde
vir 'n bepaalde integraal te verkry. U kan gerus kennis neem van die bestaan van die
linkerpuntreël en regterpuntreël. Ons gebruik die regterpuntreël (Stelling 4 op p. 368 van
die boek van Stewart) later in Leergedeelte 2.2.3.
Oor die algemeen gee die middelpuntreël egter ‘n redelik akkurate benadering vir die
waarde van die bepaalde integraal van die integrand f ( x ) oor 'n geslote interval [ ab. ; ]
Soos voorheen, vereis ons dat f ( x ) begrens moet wees en aan ten minste een van die
voorwaardes vir integreerbaarheid moet voldoen.
Die belangrike beginsel by die middelpuntreël is dat ons die tussenpunt (“sample point”)
as die middelpunt kies van elke deelinterval; Dit is die gebruik om
x
k
x x
met 1 k n.
2
k1k
(Stewart, 2008:372)
*
x k dan te skryf as:
*
x k
207

Leereenheid 2
Dus kan die formule vir die middelpuntreël kort en bondig geskryf word as:
b
a
208
n
i1
k
f( x) dx f x x
waar
Let daarop dat a x0en b xn.
x
k
x x
ba met 1 k n en x .
2
n
k1k
Die waarde van n, die aantal deelintervalle waarin die oppervlakte verdeel word, word
willekeurig gekies, of voorgeskryf.
n
*
Die middelpuntreël is 'n voorbeeld van 'n Riemann-som: n k
M f x x
Onderstaande grafiese voorstelling beeld die middelpuntreël uit vir die geval waar die aantal
deelintervalle 12 is:
k 1

Leereenheid 2
Indien ons enige begrensde integreerbare funksie y f( x)
beskou en die benaderde
b
waarde van f x dx
a
, die bepaalde integraal van daardie funksie, deur middel van die
middelpuntreël wil uitreken, kan ons soos volg te werk gaan:
1. Verdeel die interval ab ; in n gelyke deelintervalle, waar n ‘n positiewe
heelgetalwaarde is. U besluit self hoeveel deelintervalle om te gebruik; soms skryf
die vraag vir u voor hoeveel deelintervalle u moet gebruik.
2. Die grootte van elke deelinterval is dan x waar
die k-de reghoekige oppervlakte-element.
b a
x ; dit is die breedte van
n
3. Neem nou die tussenpunt *
x k as x k , die middelpunt van elke deelinterval, wat
beteken dat
x x x
x ,
2
so x
x
a aangesien a x
2
*
x2 x2 x1 x
*
x3 x3 x2 x
..................
*
xk xk xk1x, vir k 1;
2;...; n
...................
*
1 1 0 1 0
x x x x
*
n n n1
Hierdie waardes word gerieflikheidshalwe in tabelvorm uitgesit voordat ons na die
volgende stap beweeg.
4. Bepaal nou vir elke *
k
*
tabel uit; k
*
x ook die waarde van f x k en sit ook hierdie waardes in die
f x is die lengte van die k-de reghoekige oppervlakte-element.
n
*
*
5. Skryf nou die Riemann-som M n f xkx. waar k
ba en x .
n
k 1
f x uit die tabel verkry word
209

Leereenheid 2
Bogenoemde lyk miskien vir u na ‘n moeilike en omslagtige proses, maar dit is glad
nie so nie.
Kom ons beskou ‘n voorbeeld sodat u kan sien hoe maklik die algoritme hierbo werklik is.
Voorbeeld
Gebruik 8 deelintervalle en maak van die middelpuntreël gebruik om die waarde van
1,414
1
210
2 2
x dx te benader.
Oplossing
Die Bepaalde Integraal kan as die volgende oppervlakte beskou word:
-3
2
1
Y
1
-2 -1 O
2 X
-1
f x = -x 2 +2

Leereenheid 2
Verdeel die oppervlakte tussen x -1 en x 1,414 in 8 deelintervalle, elkeen met grootte x:
-3
-2
x1
x 2
x1 x2 a=x0 =-1
2
x 3
Y
x 4
x5
x
-1
x 6
x 7
x 8
2
b=x 8 =1,414
X
f x = -x 2 +2
Let daarop dat u nie so ‘n akkurate skets hoef te teken wanneer u die Middelpuntreël toepas
nie; u moet die skets hierbo egter goed bestudeer om die betekenis van elke simbool te
snap. ‘n Rowwe skets van die situasie is nietemin in elk geval altyd nuttig.
Verdeel die oppervlakte tussen x -1 en x 1,414 in 8 deelintervalle, elkeen met grootte x
1,414 1 waar x 8
1,414 1
x
8
x 0,302
Plaas die tussenpunte in die middel van elke deelinterval. Sodoende word die volgende
tabel gegenereer (Sien stappe 3 en 4 hierbo):
Verdelings- x x
0
x1 x2 x3 x4 5 x6 x7 x8 punte 1,414
Middelpunte
x k
xk-1 +xk =
2
f(xk )
-1
x 1
-0,849
1,279
-0,698
x 2
-0,547
1,701
-0,396
x 3
-0,245
1,940
-0,095
x 4
0,056
1,997
0,207
x 5
0,358
1,872
0,509
x 6
0,660
1,564
0,811
x 7
0,962
1,075
1,112
x 8
1,263
0,405
211

Leereenheid 2
-1
212
8
2 - 2
k
k1
k
Dit is uit die skets duidelik dat f x gewoon die lengte van die k de reghoekie is, en dat
die breedte van elke reghoekie x
is.
Nou kan ons die formule vir die middelpuntreël toepas:
1,414
x dx f x x
8
k 1
k
xf x
0,302 1,279 1,701 ... 1,075 0,405
0,302 11,833
2
3,571 eenhede
Hierdie bepaalde integraal kon natuurlik met behulp van direkte integrasie bereken word;
ons het dit bloot as 'n voorbeeld
gebruik om die middelpuntreël te demonstreer.
Die presiese waarde van hierdie bepaalde integraal (wat bereken kan word met behulp van
kragtige metodes wat ons binnekort sal ontwikkel) is 3,552.
Individuele oefening 23
In die volgende vrae beveel ons sterk aan dat u waar moontlik van ’n tabel soos in die
voorbeeld hierbo gebruik maak
1. ’n Sekere metaalplaatjie het ’n onreëlmatige vorm.
Die volgende inligting is bekend:
Die plaatjie is 16 cm breed. Indien die plaatjie in 8 ewewydige stroke verdeel word, is die
sylengte van elke strook (ook ordinate genoem) deur meting bepaal en op die skets
aangedui. Alle afmetings is in cm.

5
7,88
9,64
10,67
11
16 cm
9,26
7,96
6,93
6,01
Leereenheid 2
Gebruik die middelpuntreël (ook bekend as die middelordinaatmetode) en bepaal die
benaderde oppervlakte van die plaatjie.
2. Gebruik 6 deelintervalle en bepaal numeries ’n benaderde waarde vir
Binnekort sal u oor kragtige elegante metodes beskik om u antwoord te kontroleer
deur direkte integrasie. Die eksakte antwoord behoort 1,099 te wees.
3. Gebruik die middelpuntreël met 8 deelintervalle en bepaal ’n benaderde waarde vir
4
x
edx
2
.
Die antwoord behoort ongeveer 47,209 te wees.
4. Gebruik die middelpuntreël en bepaal ’n benaderde waarde vir die grootte van die
oppervlakte van die geskakeerde gebied:
1
3
1 dx
x
.
213

Leereenheid 2
214
Die eksakte antwoord is 2 eenhede².
5. Bepaal die waarde van
3
2
2
Belangrik: Stel u sakrekenaar in radiale.
cos x dx deur van 5 deelintervalle gebruik te maak.
Die eksakte antwoord is -2. Kan u die antwoord verklaar? Waarom die negatiewe
teken?
6. Bepaal die waarde van
te maak.
Verklaar wat u vind.
1
dx
x
1
deur van die middelpuntreël en 6 deelintervalle gebruik
1
Rekenaarwerk: (individueel of in groepe van hoogstens twee)
Skep ‘n sigblad (“spreadsheet”) in Microsoft Excel om enige van bogenoemde probleme
met behulp van 20 deelintervalle te doen (finale antwoorde korrek tot 4 desimale plekke
benader).
Gaan die antwoorde wat u met u handberekeninge gevind het, met behulp van u Excelsigblad
na.
Memorandum van die probleem sal op die e-leer-platform beskikbaar
gestel word, of in die kontaksessie bespreek word.

2.2 DIE LIMIET VAN ‘N RIEMANN-SOM
Die geskatte tyd vir hierdie Leergedeelte is 10 ure.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
Leereenheid 2
die definisie van 'n bepaalde integraal as die limiet van 'n Riemann-som te verduidelik
die limiet van 'n Riemann-som te gebruik om die eksakte waarde vir die totale
oppervlakte ingesluit tussen 'n kromme en 'n as tussen twee punte op die as analities te
bereken
215

Leereenheid 2
Ons som nou die resultate van die vorige Leergedeelte kortliks op:
In die vorige Leeronderdeel het ons gesien hoe ons die bepaalde integraal van 'n funksie kan
interpreteer as die ingeslote oppervlakte tussen die kromme van die funksie en 'n Cartesiese
as en dat ons die waarde van 'n bepaalde integraal kan benader deur van 'n numeriese
metode soos byvoorbeeld die middelpuntreël gebruik te maak wanneer die bepaalde
integraal (dus die ingeslote oppervlakte) ingewikkeld is.
Ons het ook gevind dat die antwoord wat uit die toepassing van die middelpuntreël
voortgekom het, bloot 'n benadering was vir die eksakte waarde van die bepaalde integraal.
Soos ons uit die meetkundige interpretasie van die proses gesien het, kon ons wel die
benaderde waarde van die berekening meer akkuraat maak deur vir n, die aantal
deelintervalle, willekeurig groot te maak. Dit het egter ook geblyk dat hoe groter die waarde
van n, hoe langer die berekeningsproses. Aangesien ons deesdae oor kragtige
rekenaartegnologie en gebruikersvriendelike programmatuur beskik, is dit vir ons moontlik
om numeriese integrasie maklik uit te voer en sodoende resultate te verkry wat uiters
akkuraat is, tot ‘n willekeurige aantal desimale plekke.
Tog moet ons in gedagte hou dat numeriese integrasiemetodes, soos byvoorbeeld die
middelpuntreël, in die meeste gevalle ‘n resultaat lewer wat hoogstens ‘n benadering is van
die werklike, presiese waarde van die bepaalde integraal.
Die vraag ontstaan nou of ons van ons kennis van limiete en van die definisie van 'n
bepaalde integraal as die limiet van 'n oneindig groot aantal oneindig dun reghoekige stroke
gebruik kan maak om 'n presiese waarde vir die bepaalde integraal te verkry.
216

n
*
2.2.1 Die definisie lim
i
a
n
f x dx f x x
i1
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 5, pp.366 – 372. Gee veral aandag aan die volgende:
Definisie 2, p.366 (Die definisie van 'n bepaalde integraal)
Die betekenis en notasie van 'n Riemann-som (pp.367 – 368)
Stelling 4, p. 368
Leereenheid 2
Vergelyk Stelling 4 met Definisie 2 op p. 366. Stelling 4 beskryf ‘n Riemann-som in
terme van regterpunte van deelintervalle (die regterpuntreël).
Vergelyk ook Stelling 4 met die middelpuntreël (Stewart, 2008:372)
Raadpleeg die soekenjin Google en gebruik as trefwoorde “area under a curve” of ook “area
by integration” of “Riemann sum”. Besoek net die eerste vyf van die trefslae.
Ons brei nou die argumente wat ons tot dusver in Leergedeelte 2.1 gevolg het op ‘n
natuurlike wyse uit; ons doel is om ‘n manier te ontwikkel waarmee ons die eksakte
grootte van ‘n onreëlmatige oppervlakte ingesluit deur die kromme van ‘n funksie kan
bereken.
Ons hervat ons bespreking uit Leergedeelte 2.1.
Die bespreking wat volg, is weer eens gebaseer op Engelbrecht et al (1989:212-213).
217

Leereenheid 2
Gestel ons het ’n onreëlmatige oppervlakte A wat onder die kromme van ’n integreerbare
funksie f x ingesluit is tussen die punte a en b op die X-as. Gestel ook dat f x 0 vir
alle x ab ;
218
. Ons wil die eksakte grootte van die ingeslote oppervlakte A bepaal.
Gestel weer eens ons verdeel die interval ab ; in n deelintervalle sodat die ingeslote
oppervlakte A in n ewewydige stroke verdeel word:

Leereenheid 2
Soos voorheen, vervang ons elkeen van die parallelle stroke met ‘n reghoek; ons strategie
sal steeds wees om die reghoeke bymekaar te tel en sodoende ‘n benaderde waarde vir die
grootte van die totale ingeslote oppervlakte te verkry. In hierdie geval sal ons egter nie
tevrede wees met ‘n benaderde waarde nie; ons gaan ons argument verder voer om by ‘n
berekeningsmetode vir die eksakte ingeslote oppervlakte uit te kom.
In onderstaande grafiese voorstellings is k A die kde reghoekige oppervlakte-element:
Uit bostaande grafiese voorstelling is dit duidelik dat die lengte van die kde reghoekige
oppervlakte-element soos voorheen verkry kan word deur gewoon die tussenpunt (“sample
point”)
*
x k waar
in die vergelyking van die funksie te vervang: *
lk f xk
x x x
k 1
*
k k
Hou steeds in gedagte dat ons die kde tussenpunt
*
x k by enige punt tussen k 1
x en x k
kan kies; dit hoef nie noodwendig die middelpunt van die deelinterval te wees soos ons in
die vorige Leergedeelte gedoen het nie.
Indien ons die reghoekige oppervlakte-elemente so kies dat l k , die lengte van k A , gegee
verkry word deur die funksiewaarde in die linkerkantse punt van die k-de deelinterval, noem
*
ons dit ’n linkereindpunt-benadering vir die lengte lk f xk
van die oppervlakte-element.
Die tussenpunt *
x k word in hierdie geval die linkereindpunt van die deelinterval genoem.
(Sien die laaste grafiese voorstelling hierbo)
219

Leereenheid 2
Dit is egter ewe moontlik om die reghoekige oppervlakte-elemente so te kies dat l k , die
lengte van k A , gegee verkry word deur die funksiewaarde in die regterkantse punt van die
k-de deelinterval. In daardie geval noem ons dit ‘n regtereindpunt-benadering vir die
*
lengte lk f xk
220
van die oppervlakte-element en die tussenpunt
regtereindpunt van die deelinterval genoem:
*
x k word die
As ons die oppervlaktes van al die reghoekige oppervlakte-elemente in enige van
bogenoemde gevalle bymekaar tel, sal ons ’n antwoord kry wat verskil van die werklike
grootte van die ingeslote oppervlakte; Hierdie som van reghoekige oppervlakte-elemente
sou slegs ’n benaderde waarde lewer vir die werklike oppervlakte A. Ons skryf dit soos
volg:
n
k 1
k
n
lk
k1
b waar lk *
f( xk) en b x
n
k1
(
*
k ) [1]
A A
A f x x
Die regterkant van [1] hierbo staan bekend as ’n Riemann-som van f x vir die
verdeling.

Leereenheid 2
Ons het in die vorige Leergedeelte gesien dat die benadering al beter word namate ons die
verdeling van ab ; al hoe fyner maak. ’n Fyner verdeling beteken dat die maas x (en dus
die breedte van elke strook) kleiner word en dat n, die aantal stroke, al hoe meer word.
Die stukkie oppervlakte waarmee die k-de reghoekige oppervlakte-element k A van die
k-de gekleurde strook verskil, word dan al hoe kleiner.
Dit is maklik om te sien dat indien ons die verdeling oneindig fyn sou maak, ons ’n oneindige
aantal oneindig smal reghoekige oppervlakte-elemente sou verkry:
Die oppervlakte van so ’n oneindig smal reghoekige oppervlakte-element dui ons aan met
die simbool dA in plaas van k A en ons noem so ’n oneindige smal reghoekige deeltjie van
die totale oppervlakte A ’n infinitesimale oppervlakte-element. “Infinitesimaal” beteken dat
die grootte van elke reghoekige oppervlakte-element ’n oneindig klein deeltjie uitmaak van
die hele oppervlak A; met “oneindig klein” bedoel ons: so klein as wat ons onsself kan
indink, solank dit net nog steeds groter as nul is.
Ons moet goed daarop let dat indien ons die verdeling oneindig fyn maak (deur die
maas oneindig klein, dit wil sê baie naby aan nul, te kies) dan streef die breedte x
van elke reghoekige oppervlakte-element na nul en streef n, die aantal reghoekige
oppervlakte-elemente, na oneindig. Ons skryf dit soos volg:
x 0 en n
221

Leereenheid 2
In die geval waar die maas van die verdeling oneindig klein gemaak word dui ons die breedte
van elke infinitesimale oppervlakte-element aan met die simbool dx .
Dan kan ons vir onsself voorstel dat die som van alle infinitesimale oppervlakteelemente
kontinu raak. Meetkundig beteken dit dat die oneindige aantal infinitesimale
oppervlakte-elemente tussen a en b die hele oppervlakte van die figuur “invul” of
inkleur. (sien die skets hieronder, twee paragrawe verder aan)
Indien die oppervlakte-elemente k A oneindig smal word (wanneer 0 x namate n )
is daar nog ’n verdere voordeel: Die linkerkantste sy en regterkantste sy van elke
reghoekige oppervlakte-element val vir alle praktiese doeleindes saam op die tussenpunt
sodat
222
x x x en daarom skryf ons dan x in plaas van
k1 *
k k
Die lengte van die infinitesimale oppervlakte-element kan dan gewoon beskou word as die
funksiewaarde f ( x ) waar x enige punt op die X-as is waarby ‘n infinitesimale reghoekige
oppervlakte-element d voorkom:
*
x k .
*
x k

Leereenheid 2
Ons kan die werklike grootte van A , die ingeslote oppervlakte, nou as 'n limietgeval beskou
(sien bostaande skets):
Die grootte van die ingeslote oppervlakte A is die limiet van die som van die groottes
van infinitesimale oppervlakte-elemente waar x , die maas van die verdeling streef na
nul.
Dit is omslagtig en ingewikkeld om hierdie begrip in woorde te formuleer.
Laat ons dit wiskundig formuleer:
n
lim x 0
k 1
k maar k (
*
k)
vanuit [1] hierbo
n
x 0
k1
*
k
A A A f x x
A lim f( x ) x
[2]
Maar die feit dat die maas (en dus die breedte van elke oppervlakte-element) na nul streef
impliseer direk dat n , die aantal infinitesimale reghoekige oppervlakte-elemente in die
verdeling, streef na oneindig.
Ons kan [2] hierbo dus herformuleer as
n
*
lim ( k ) [3]
n
k 1
A f x x
Vergelyking [3] hierbo staan bekend as die limiet van ‘n Riemann-som van f x .
(Stewart, 2008:367)
Die feit dat dit in terme van n geskryf is, gee ons die moontlikheid om A algebraïes te
bereken soos by Voorbeeld 2 (b) op p. 367 – 370 van die boek van Stewart.
223

Leereenheid 2
Wanneer n word die maas van die verdeling so fyn dat daar ’n infinitesimale
oppervlakte-element by elke punt x van die geslote interval ab ; voorkom. Daarom kan
*
ons nou f ( x ) skryf in plaas van f x k .
Dit is die gebruik om hierdie kontinue som van oneindig veel infinitesimale oppervlakte-
elemente te skrywe as
224
b
A dA waar dA f( x) dx
a
b
A f( x) dx waar f( x) die funksiewaarde in elke punt x van die interval a; b
a
voorstel.
Maar, met behulp van [3] hierbo volg nou dat
Dus:
n
b
*
lim ( k ) ( )
n
a
k 1
A f x x f x dx
n
*
lim ( k )
n
k 1
Af x x.
Die resultaat van bogenoemde bespreking bevestig die geldigheid van die afspraak wat ons
reg aan die begin van Leergedeelte 2.1 met mekaar gemaak het, naamlik:
Ons kan die bepaalde integraal van ’n begrensde funksie f ( x ) oor ’n geslote interval
[a; b] meetkundig interpreteer as die presiese grootte van die ingeslote oppervlakte
tussen die kromme van f ( x ) en die X-as tussen die punte x a en x b .
Uit die bespreking hierbo volg dan later ’n algemene formele definisie waarmee ons die
grootte van die oppervlakte ingesluit tussen die kromme van enige integreerbare funksie en
’n as tussen enige twee punte op die as sal bereken. Ons konstrueer hierdie definisie in
Leergedeelte 2.6.

2.2.2 Integreerbaarheid
Leereenheid 2
In die vorige Leeronderdeel het ons die konsep “bepaalde integraal van ‘n funksie” suksesvol
gekoppel met die grootte van ‘n ingeslote oppervlakte. Tot dusver het ons bloot met ‘n
intuïtiewe idee gewerk van wat integreerbaarheid beteken; dit is egter onvoldoende met die
oog op latere toepassings van integraalrekene.
Ons kan die konsepte wat ons daar teëgekom het gebruik om ‘n presiese formele betekenis
van die begrip integreerbaarheid te definieer:
Definisie: Integreerbaarheid
‘n Begrensde funksie f ( x ) is integreerbaar op ‘n geslote interval ab ; as en slegs as
die som van die oppervlaktes van die infinitesimale reghoekige oppervlakte-elemente ‘n
antwoord lewer wat na die werklike grootte A van die ingeslote oppervlakte onder die
kromme van f ( x ) streef namate die maas van die verdeling van ab ; kleiner en kleiner
gemaak word. (Engelbrecht et al, 1989:214, 215)
Simbolies:
‘n begrensde funksie f ( x ) is integreerbaar op ‘n geslote interval ab ; as daar ’n reële
*
getal A bestaan sodat f xkx A indien x 0 vir alle xk ab ;
.
Ons noem die getal A die bepaalde Riemann-integraal van f ( x ) op ab ; en dui dit aan
b
as A f( x) dx
a
. (Engelbrecht et al, 1989:216)
Bogenoemde definisie is ‘n elegante formulering van die bespreking in Leergedeelte 2.2.1
waar ons die definisie
n
b
*
lim ( k ) ( )
n
a
k 1
afgelei het..
A f x x f x dx
225

Leereenheid 2
Soms het ons ‘n manier nodig om te bepaal of ‘n gegewe funksie f x integreerbaar is op ‘n
geslote interval [a; b], of nie; anders verspil ‘n mens miskien tyd om ‘n onintegreerbare
funksie te probeer integreer.
Ongelukkig is dit moeilik om die definisie hierbo te gebruik om te bepaal of ‘n gegewe
begrensde funksie integreerbaar is of nie.
U sal egter onthou dat ons in Leeronderdeel 2.1.1 ‘n stelling gegee het wat die voorwaardes
vir integreerbaarheid vir ‘n begrensde funksie op die geslote interval [a; b] uitstap. Dit is
maklik om te toets of ‘n begrensde funksie aan enigeen van hierdie drie voorwaardes
voldoen; daarom is dit makliker om hierdie stelling (eerder as die definisie van
integreerbaarheid) te gebruik wanneer ons wil bepaal of ‘n begrensde funksie integreerbaar
is of nie.
Omdat die resultate van hierdie stelling so bruikbaar is, som ons dit hier op:
‘n Begrensde funksie f x is integreerbaar op ‘n geslote interval [a; b] as aan enige een van
die volgende voorwaardes voldoen word:
f x moet kontinu wees op [a; b]
f x moet stygend wees op [a; b]
f x moet dalend wees op [a; b]
226

2.2.3 Die bepaalde integraal as die limiet van 'n Riemann-som
Leereenheid 2
Ons kan nou die konsepte wat ons sover in hierdie Leergedeelte ontwikkel het aanwend om
die presiese waarde van ‘n bepaalde integraal deur middel van ‘n limiet uit te reken. Dit
beteken dat ons die presiese grootte van die ingeslote oppervlakte onder die kromme van
‘n funksie kan bepaal; dit was van die begin af ons doelwit met hierdie Leergedeelte.
Lees Stewart, Hoofstuk 5: p. 369 – 371 en gee veral aandag aan die volgende:
Die formules 5 tot 11 op p.369
Voorbeeld 2 (a) maar veral (b) , pp.369 – 370
Ons gaan nou 'n metode demonstreer om die presiese waarde van 'n bepaalde integraal
analities te bereken, deur gebruik te maak van die volgende gedagte:
Die bepaalde integraal van 'n funksie is die limiet van 'n Riemann-som van daardie
funksie wanneer n , die aantal deelintervalle, oneindig groot word.
Vir die doel van ons bespreking in hierdie afdeling sal ons die tussenpunt in elke
deelinterval as die regtereindpunt van die deelinterval kies. Dit is ook moontlik om die
middelpunte (of linkereindpunte) van die deelintervalle as tussenpunte te kies, maar dan
word die daaropvolgende rekenwerk heelwat meer omslagtig. Vir
assesseringsdoeleindes moet u op die regtereindpuntbenadering konsentreer, soos
gedemonstreer in die volgende bespreking.
227

Leereenheid 2
228
Die belangrikste is egter dat u sal insien dat alle benaderings presies dieselfde
resultaat lewer indien ons die aantal deelintervalle oneindig veel laat word. Dus
kan u met vrymoedigheid in die oefening wat volg, die regtereindpunte van die
deelintervalle as tussenpunte kies.
Die limiet van 'n Riemann-som met behulp van die regtereindpuntreëlbenadering
Ons kan die eksakte waarde van 'n bepaalde integraal uitreken deur die limiet van die
Riemann-som te bereken as n .
Indien ons enige begrensde integreerbare funksie y f( x)
beskou en die eksakte waarde
b
van f x dx
a
werk gaan:
, die bepaalde integraal van die funksie, wil uitreken, kan ons soos volg te
1. Beskou die bepaalde integraal as die grootte van die ingeslote oppervlakte tussen die
kromme van die funksie en 'n Cartesiese as (vir die doel van hierdie module,
gewoonlik die horisontale as) tussen x a en x b
2. Verdeel die interval ab ; in n gelyke deelintervalle, waar n in hierdie geval 'n
veranderlike positiewe heelgetal-waarde het. Die grootte van elke deelinterval is dan
b a
x waar x .
n

Leereenheid 2
3. Neem nou die tussenpunt *
x k as regtereindpunt van elke deelinterval, wat beteken
dat:
*
x1 x0 x, so
*
x1 a x
*
x2 *
x1 x, so
*
x2 a x x, en dus
*
x2 a 2x *
x3 *
x2 x, so
*
x3 a 2 x x, en dus
*
x3 a 3x *
x4 *
x3 x, so
*
x4 a 3 x x, en dus
*
x4 a 4x
..................
*
xk *
xk1 x, so
*
xk a kx (Let op die patroon
hierbo)
...................
*
x *
x x, so
*
x a nx n n1 n
*
en dus xn a nx n b a
a
1 n
*
xn a b a
x b
*
n
4. Pas nou die regtereindpuntreël toe en bereken die benaderde waarde vir die
bepaalde integraal. Noem hierdie benaderde waarde (dit is eintlik ‘n uitdrukking) R n :
*
n
n k
k 1
R f x x
met
*
xk a k x
5. Vereenvoudig u resultaat en gebruik waar moontlik die volgende somformules wat
ons in MATE 221 deur middel van wiskundige induksie bewys het:
n
k1
n
k1
n
k1
nn ( 1)
k
2
k
k
2
3
12 1
n n n
6
2
1
n n
2
6. Laastens, laat n oneindig groot word in die uitdrukking vir die benaderde oppervlakte,
b
*
dan geld dat lim k
n
A f x x f x dx
n
k 1
Ons sal bogenoemde nou illustreer deur middel van voorbeelde:
a
229

Leereenheid 2
Voorbeeld 1
Bereken die grootte van die area onder die grafiek van y x tussen die punt x 0 en
x 3 , deur gebruik te maak van die limiet van 'n som. Gebruik die regtereindpunte van die
deelintervalle.
Oplossing:
Teken die grafiek en die gebied, en toon 'n aantal deelintervalle aan, so ses sal voldoende
wees.
Belangrik om x , a , b , die k de deelinterval met *
x (die tussenpunt, wat op die
regtereindpunt van die deelinterval lê) te wys, asook die hoogte
reghoekie.
Alles wat volg, volg uit die skets:
Let nou op die volgende verloop:
230
k
f x van die k de
*
( k )

A lim R
n
n
Leereenheid 2
Rn
is die som wat ons met behulp van die regtereindpuntreël verkry.
30 3
As 0; 3
in n gelyke deelintervalle verdeel word, geld dit dat x sodat x .
n n
Indien die regtereindpunt van elkedeelinterval
as tussenpunt geneem word, geld uit die
skets hierbo dat:
*
x1 x0 x, so
*
x1 a x, en dus
* 3
x1 0
n
* 3
en dus x1
n
*
x2 *
x1 x, so
* 3
x2 0 x, n
en dus
* 3 3
x2
n n
sodat
* 3
x2
2
n
*
x3 *
x2 x, so
* 3 3
x3 2 , en dus
n n
* 3
x3
3
n
*
x4 *
x3 x, so
* 3 3
x4 3 , en dus
n n
* 3
x4
4
n
..................
* 3 Let op die patroon hierbo of gebruik gewoon die formule
xk k *
n xk a k x
Pas nou nou die regtereindpuntreël toe:
*
n
n
k 1
k
n
R f x x
k 1
n
3 3k
n n
* k
x
f x
k 1
n 9
k 2
n k 1
9 nn ( 1)
2
n 2
9n1
2n
9n9
2n
9n9
2n 2n
9 9
2 2n
Skei die terme wat n bevat van die terme wat k bevat
Hou die terme wat k bevat, binne die sigma-teken.
Volgens die eienskappe van die sigma-notasie, p.369
Volgens die somformules, p.369
231

Leereenheid 2
Laat n nou oneindig groot word:
A lim R
232
9 9
lim
n
2 2n
9
0
Aangesien die noemer streef na oneindig
2
2
4,5 eenhede
3
xdx
4,5
0
n
n
Aangesien ons uit die skets kon sien dat die gevraagde oppervlakte eintlik maar 'n driehoek
met basis 3 eenhede en loodregte hoogte 3 eenhede is, kan ons die oppervlakte daarvan
1
maklik uitreken met die formule A b h en sodoende nagaan dat die oppervlakte wel
2
4,5 eenhede² is.
Aangesien dit wel die geval is, kan ons (met ‘n tikkie selfingenomenheid) aanvaar dat ons
analise hier bo wel korrek en geldig is.
Soos u hierbo gesien het, is dit wel so dat die berekening van 'n bepaalde integraal deur
middel van die limiet van 'n Riemann-som 'n allemintige klomp algebra behels.
Voorbeeld 2 wat hieronder volg, illustreer op selfs meer dramatiese wyse die geweldige krag
en elegansie van hierdie benadering:
Voorbeeld 2
2
2
Bereken die waarde van 2 1
0
x x dx deur van die limiet van 'n Riemann-som, geneem
in die regtereindpunte van die deelintervalle, gebruik te maak:

Oplossing
Leereenheid 2
Skets die grafiek en ook die gebied en dui ‘n aantal deelintervalle aan; ongeveer ses
deelintervalle behoort die ding te doen.
Dit is belangrik om x , a , b , die k -de deelinterval met *
x (die tussenpunt, wat die
regtereindpunt van die deelinterval is), sowel as die lengte (hoogte)
reghoek aan te toon.
Alles wat nou volg, volg direk uit die skets:
Bestudeer die volgende verloop nou baie noukeurig:
A lim R
n
n
k
f x van die k -de
*
( k )
Rn
is die som wat ons verkry deur die regtereindpuntreël toe te pas.
20 2
Indien 0; 2 verdeel word in n gelyke deelintervalle, dan geld dit dat x sodat x .
n n
Indien die regtereindpunt van elke deelinterval
as die tussenpunt van die deelinterval
gekies word, volg dit uit die skets dat:
233

Leereenheid 2
*
x1 x0 x, so
*
x1 a x, en dus dat
* 2
x1 0 n
* 2
so x1
n
*
x2 *
x1 x, so
* 2
x2 0 x, n
* 2 2
en dus dat x2
n n
so
* 2
x2
2 n
*
x3 *
x2 x, so
* 2 2
x3 2 , en dus dat
n n
* 2
x3
3 n
*
x4 *
x3 x, so
* 2 2
x4 3 , en dus dat
n n
* 2
x4
4
n
............ ......
* 2
xk k
n
Let op die patroon wat te voorskyn gekom het, of gebruik die formule
*
xk a k x
Pas nou die regtereindpuntreël toe:
234
*
n
n
k 1
k
n
R f x x
* k
x
f x
k 1
n 2
2 2k 2k
2 1
n
k 1 n
n
n 2
2 4k 4k
1
2
n k 1
n n
n 2 8k 8k 2
3 2
k 1
n n n
n n n
8 2 8 2
k k 1
3 2
n k1 n k1 n k1
8 nn12n1 8 n
3 2
n 6 n
2
8n 12n4 4n4 2
2
3n
n
8 4 4 4
4 2
2
3 n 3n
n
2 4
2
3 3n
n 1 2
n
2 n
Volgens die somformules, p.369

Laat nou vir n streef na oneindig:
Alim R
2 4
lim
n
2 3
3n
2
0
Aangesien die noemer na oneindig streef
3
2
0,666 eenhede
3
xdx0,
666
0
n
n
Leereenheid 2
Binnekort sal ons oor die middele beskik om bogenoemde antwoord analities deur middel
van ‘n kort, presiese berekening te bevestig.
Opmerking:
Weer eens het ons gevind dat dit inderdaad moontlik is om die limiet van ‘n Riemann-som te
gebruik om die eksakte waarde van ‘n bepaalde integraal te bepaal. Let daarop dat hierdie
proses analities en algebraïes van aard is, aangesien dit eerder op algebra berus as op
elegante meetkundige oorwegings; nietemin moet ons tog in gedagte hou dat die teorie wat
ons hierbo toegepas het tog uit meetkundige oorwegings afgelei is. Dit is werklik
merkwaardig dat ‘n redenasie wat uit ‘n suiwer meetkundige vraag (naamlik, hoe om die
grootte van een of ander ingeslote oppervlakte te bereken) ontstaan het, ons gelei het tot die
analitiese strategie wat ons in hierdie Leeronderdeel toegepas het.
Individuele oefening 24
Bereken die eksakte waarde van die volgende bepaalde integrale deur gebruik te maak van
die regtereindpunte van die deelintervalle as tussenpunte. (Sien Voorbeeld 2 op p.329 – 331
van die handboek vir leiding) Verduidelik kortliks wat die meetkundige betekenis van u
antwoorde is:
4
2
1. 0
x dx 2.
3
2
2. 2 1
1
x dx
235

Leereenheid 2
3
2
3. 3
236
1
x x dx
3
3
4. 6
0
x x dx
5. Vergelyk Stelling 4 (Stewart, 2008:368) met Definisie 2 (Stewart, 2008:366). Maak ‘n
duidelike skets waarin u die presiese betekenis van Stelling 4 aantoon.
6. Vergelyk ook Stelling 4 (Stewart, 2008:368) met die middelpuntreël (Stewart,
2008:372). Verduidelik hoe die twee Riemann-somme verskil en verklaar waarom dit so
is.
7. Noem enige voorbeeld van ‘n funksie wat op ‘n sekere interval nie-integreerbaar is en
verduidelik presies waarom u voorbeeld nie aan die voorwaardes vir integreerbaarheid
op daardie interval voldoen nie.
Memorandum van die probleem sal op die e-leer-platform beskikbaar
gestel word, of in die kontaksessie bespreek word.

2.3 DEEL I VAN DIE HOOFSTELLING VAN DIE
ANALISE
Die geskatte tyd vir hierdie Leergedeelte is 6 ure.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
die anti-afgeleide van funksies te kan bepaal;
Leereenheid 2
die notasie en terminologie van die onbepaalde integraal te beheer en te gebruik;
Deel I van die Hoofstelling van Analise te kan stel, te motiveer en te illustreer
In die vorige twee leergedeeltes het u gesien hoe ons die waarde van bepaalde integrale
bereken het deur van meetkundige oorwegings gebruik te maak.
In die Leergedeelte 2.1 het ons aanvanklik van die formules vir die oppervlaktes van vlak
figure gebruik gemaak om bepaalde integrale te bereken; dit kon ons net doen in gevalle
waar ons met ‘n reëlmatige oppervlakke soos die van bekende vlak figure te doen gehad het.
237

Leereenheid 2
Later in Leergedeelte 2.1 het ons die gereedskap tot ons beskikking aansienlik uitgebrei deur
'n numeriese metode (die middelpuntreël) te ontwikkel om die benaderde waarde van
bepaalde integrale te bereken, in gevalle waar die oppervlaktes onreëlmatig of ingewikkeld
was.
Ons het gewoon die ingewikkelde of onreëlmatige oppervlaktes in 'n groot aantal baie dun
reghoekige stroke verdeel, en die benaderde grootte van die oppervlak beskou as die som
van die oppervlaktes van die reghoekige stroke.
In Leergedeelte 2.2 het ons die regtereindpuntreël gekombineer met ons kennis van limiete
en ons aanvoeling dat die numeriese metode (middelpuntreël) se benadering al hoe beter
word namate die maas van die verdeling (die breedte van die breedste reghoekige
oppervlakte-element) kleiner word. Daarna het ons 'n bepaalde integraal beskou as die
limiet van 'n Riemann-som waar die aantal reghoekige oppervlakte-elemente oneindig veel
word en die breedte van elke strook terselfdertyd infinitesimaal (oneindig klein) word. Hierdie
kragtige, elegante (maar omslagtige) benadering het die eksakte waarde van die bepaalde
integraal gelewer.
Die groot hoeveelhede drastiese algebra wat betrokke is by die berekening van die limiet van
'n Riemann-som laat 'n mens egter wonder of daar nie 'n makliker manier is om die eksakte
waarde van 'n bepaalde integraal te bepaal nie.
Die antwoord op hierdie vraag sal in Leergedeelte 2.5 na vore kom; voordat ons egter
daaraan aandag kan skenk, moet ons eers ondersoek instel na die konsep “onbepaalde
integraal”; in Leereenheid 2.4 sal ons hierdie konsep vervolgens gebruik om ons
rekenmetodes vir die bepaal van onbepaalde integrale te verfyn. Dan eers sal dit sin maak
om na die inhoude in Leergedeelte 2.5 ondersoek in te stel.
238

2.3.1 Anti-afgeleides
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 4, pp.340 – 344.
Gee veral aandag aan die volgende:
Leereenheid 2
Definisie van 'n anti-afgeleide, p.340, saamgelees met die bespreking net voor
Stelling 1
Stelling 1, p. 340
Tabel 2, p.341 (Baie Belangrik)
Voorbeeld 7, p.344
Anti-afgeleides en die inverse van differensiasie
Net soos baie ander bewerkings in Wiskunde, bestaan daar ook 'n inverse proses vir
differensiasie. By sekere situasies in die Ingenieurswese, Natuurwetenskap, Ekonomie en
Statistiek gebeur dit dikwels dat die veranderingstempo van 'n funksie bekend is – in baie
sulke gevalle stel ons dan belang om die funksie te bepaal. Hierdie probleem is die inverse
proses van differensiasie.
1. Die teenoorgestelde of inverse proses van differensiasie
Probleem:
Veronderstel die afgeleide van ’n sekere funksie is bekend. Kan u die oorspronklike funksie
bepaal wat gedifferensieer moet word om die bekende funksie as afgeleide te lewer?
239

Leereenheid 2
Definisie van ‘n anti-afgeleide
Gestel F '
xf x
240
vir alle waardes van x sodat a x b.
Dan noem ons F die anti-
afgeleide van f vir x ab ;
Ons spreek af om die bekende (gegewe) funksie aan te dui met f en om die onbekende
funksie wat gedifferensieer kan word om f as antwoorde te lewer aan te dui met F .
Kom ons verduidelik die begrip van ‘n anti-afgeleide aan die hand van drie eenvoudige
voorbeelde:
1.1 Gestel die afgeleide van die onbekende funksie is 1. Watter funksie is gedifferensieer?
Oplossing:
Stel f( x) 1
Die afgeleide van ’n konstante funksie sou 0 gewees het. Dus is die funksie waarna
ons op soek is, nie ’n konstante nie.
Wel, die afgeleide van x is 1. Dus moet x gedifferensieer word om 1 te kry. Dus is die
anti-afgeleide van 1 die funksie x. (Het hom!!)
So F xx aangesien F x f x
' 1en 1.

Leereenheid 2
1.2 Gestel die afgeleide van die onbekende funksie is cos x. Watter funksie is
gedifferensieer?
Oplossing:
Stel f ( x) cos x
Ons ken twee trigonometriese funksies se afgeleides, nl.:
d d
sinx cos x en cos x sin x
dx dx
sin x is dus die funksie wat gedifferensieer moet word om cos x as antwoord te gee.
Dus F xsin x
aangesien
F ' x cosx en f x cosx
1.3 Gestel die afgeleide van die onbekende funksie is
gedifferensieer?
Oplossing:
Stel
f ( x) x
2
2
x . Watter funksie is
Ons weet dat wanneer ons differensieer, dan verminder die eksponent van ons
veranderlike met 1.
Die funksie wat gedifferensieer is om
1 meer as 2 gehad het; dit moes dus ‘n
3
Kom ons kyk of F x x
en dan is ons reg.
2
x te lewer, moes dus ’n x met ’n eksponent van
3
x bevat het.
2
die regte funksie is; indien dit wel so is, dan sal F '
x x
d 3 2
Wel, x 3x
. Dus is F( x ) nie
dx
3
x nie want die antwoord wat ons kry na
differensiasie is 3 maal te groot.
1 3
Ons moet ons keuse vir F( x ) dus 3 maal kleiner kies, naamlik dat F x x .
3
Werk dit?
d 1 d 1
F ' x x en x x
dx
3
dx
3
Laat ons toets: 3 3 2
241

Leereenheid 2
242
Dus:
1
3
Dit beteken dat
3
x is gedifferensieer om
1
3
2
x te lewer.
3
x die anti-afgeleide is van
2
x .
1.4 Gestel die afgeleide van die onbekende funksie is
gedifferensieer?
Oplossing:
Stel
f ( x) 8x
3
3
8x . Watter funksie is
Ons weet dat wanneer ons differensieer, dan verminder die eksponent van ons
veranderlike met 1.
Die funksie wat gedifferensieer kon word om
eksponent van 1 meer as 3 gehad het; dit moes dus ‘n
4
Kom ons kyk of F xx 3
8x te lewer, moes dus ’n x met ’n
4
x bevat het.
3
; indien dit wel so is, dan sal F 'x8x en dan is ons reg.
d 4 3
Wel, x 4x
. Dus is F( x ) nie
dx
4
x nie want die antwoord wat ons kry na
3
differensiasie is die helfte te klein (ons wou 8x gehad het).
4
Ons moet ons keuse vir F( x ) dus 2 maal groter kies, naamlik dat F x 2x
.
Werk dit?
d d
F ' x 2x en 2x 8x
dx dx
Laat ons toets:
Dus:
van
4
2x is gedifferensieer om
3
8x .
4 4 3
3
8x te lewer. Dit beteken dat
4
2x die anti-afgeleide is

2. Reglynige beweging.
Probleem:
Leereenheid 2
Veronderstel die versnelling van 'n vallende voorwerp wat uit rus beweeg, is konstant en
gelyk aan 10 m/s². Wat sou sy snelheid wees op 'n tydstip 3 s nadat dit begin beweeg het?
Oplossing:
'n Mens sou nou as volg kon redeneer:
Versnelling is die afgeleide van snelheid; ons het dit in Leereenheid 1 gesien. Om
snelheid te bepaal, sal ons dus moet vra watter funksie gedifferensieer moet word om
'n afgeleide van 10 te kry. Hierdie funksie moet dan die snelheid wees.
Wel, as v 10t
, dan sou die waarde van dv
presies 10 gewees het – behalwe as daar nog
dt
'n konstante term, sê c , ook in die funksie teenwoordig was. Dit is omdat die afgeleide van
'n konstante term nul sou wees. Ons moet dus vir hierdie moontlikheid voorsiening maak,
deur 'n konstante c in te voer.
Dus, v 10t c is die funksie waarna ons soek.
Let daarop dat as t 0 dan is v 10(0) c,
met ander woorde as t 0 , dan is v c en dit
beteken dat c 'n aanvangswaarde (beginsnelheid) moet wees.
In hierdie voorbeeld beweeg die voorwerp uit rus, so die aanvangsnelheid is nul, wat beteken
c 0 .
Hieruit lei ons dan af dat die funksie vir die snelheid van die voorwerp v 10t
moet wees.
Op die tydstip t 3 sou v 10(3) wees – dus sou die snelheid 3 s na die beweging begin
het 30 m/s gewees het.
243

Leereenheid 2
3. Om die vergelyking van 'n reguit lyn te verkry as die gradiënt daarvan bekend is
Probleem:
Veronderstel die gradiënt van 'n sekere lyn is -2. Indien hierdie lyn deur die punt A(-3; 5)
gaan, bepaal die vergelyking van die lyn.
'n Mens sou soos volg kon redeneer:
'n Gradiënt is die afgeleide van die funksie van 'n kromme. Om die funksie van die
kromme te bepaal, sal ons dus moet vra watter funksie gedifferensieer moet word om
'n afgeleide van -2 te kry. Hierdie funksie moet dan die vergelyking van die lyn wees.
Wel, as y 2x
, dan sou die waarde van dy
presies -2 gewees het. Maar net soos
dx
voorheen, moet ons nou onthou dat die afgeleide van enige ander konstante term wat daar
dalk nog in die gedifferensieerde funksie teenwoordig was, nul sou wees - Ons sal hierdie
nulwaarde nou nie "sien" as ons na die afgeleide kyk en terugwaarts redeneer nie.
Daarom moet ons weer vir die moontlikheid dat daar 'n konstante term in die vergelyking
van die lyn teenwoordig was, voorsiening maak, en dit doen ons soos voorheen deur 'n
konstante c in te voer:
Dus, y 2x c is die funksie waarna ons soek (let daarop dat dit “vanself” die vorm
aanneem van 'n reguit lyn se vergelyking, nl y mx c).
Dit is nou maklik om die waarde van die konstante c te bepaal: Vervang die koördinate van
die punt A op die kromme in die x en y se plek in die funksie y 2x c en los vir c op:
244
5 2( 3) c
5 6c
c 1
Sodoende word verkry ons die vergelyking van die lyn as y 2x 1.
Soos u kon agterkom uit bogenoemde drie tipes probleme, vereis integrasie (die proses
waardeur ons anti-afgeleides van ‘n gegewe funksie bepaal) dat ‘n mens “terugwaarts” dink.

Individuele oefening 25
Doen in Stewart, Oef. 4.10 op p.345 :
Nr. 1, 2, 7, 15, 24, 46, 57, 60
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
Leereenheid 2
245

Leereenheid 2
2.3.2 Onbepaalde integrale
In die voorafgaande gedeelte het ons anti-afgeleides deur inspeksie bereken. 'n Ander
naam vir 'n anti-afgeleide, tesame met ’n integrasiekonstante, is 'n onbepaalde
integraal – "onbepaalde" omdat ons nodig het om 'n onbepaalde konstante c in te voer en
dan sy waarde met behulp van ekstra inligting moet bepaal. Kyk gerus weer na die twee
voorbeelde (2 en 3) in die vorige Leeronderdeel.
U het waarskynlik die “rekenwerk” wat ons tot dusver gedoen het lank en omslagtig gevind.
Ons benodig beslis ’n korter en meer elegante notasie om ons rekenwerk mee te
vergemaklik.
Ons sal nou ’n notasie (skryfwyse) invoer wat al die skryfwerk in die voorafgaande
voorbeelde sal vervang; die redenasieproses wat ons tot dusver so omslagtig moes opskryf,
kan hiervandaan tot ons gedagtes beperk word; die notasie wat ons gaan invoer is ook
intuïtief van aard wat beteken dat u na voldoende inoefening sal begin aanvoel wat om te
skryf. Integrasie is in hierdie opsig (net soos differensiasie) ’n elegante proses wat glad
vloei.
Die integrasiereël vir magsfunksies maak dit van nou af onnodig om die anti-afgeleides
van polinome deur middel van inspeksie te bepaal. Hierdie reël, tesame met sekere ander
nuttige beginsels wat ons binnekort sal aanspreek, stel ons in staat om enige
polinoomfunksie volkome sonder insident te integreer.
Voordat ons egter verder gaan, is dit nodig dat ons presies sal definieer wat ons met die
begrippe en notasie bedoel en hoe verskillende begrippe met mekaar verband hou.
246

Definisie: Onbepaalde integraal
Die skryfwyse f xdx beteken:
Leereenheid 2
“Bepaal die funksie F x tesame met ‘n konstante c wat gedifferensieer moet word om
f x as afgeleide te lewer.”
f xdx F x c beteken dat F x c die onbepaalde integraal van die
Dus:
integrand f x is. Die simbool dx beteken in hierdie skryfwyse dat x die
onafhanklike veranderlike in f x en F x is. Ons noem die simbool “ .....dx
integraaloperator.
d
f xdxF x c as en slegs as F xc f x
dx
Dit wil sê:
(Engelbrecht et al, 1989:135)
Die notasie en beginsels hierbo word in die eerste deel van die Hoofstelling van Analise
geformaliseer.
Hierdie belangrike stelling word in die volgende Leeronderdeel bespreek, maar in kort
stel dit dat die afgeleide van die integraal van ’n funksie f x gelyk is aan die funksie
f x .
(Stewart, 2008:391)
Dus: die afgeleide van ‘n integraal lewer die integrand f x ; net so: die integraal van
‘n afgeleide lewer ‘n funksie f x wat gedifferensieer moes word om die afgeleide te
lewer.
Die eerste deel van die Hoofstelling van Analise kan ook simbolies geskryf word en daaraan
sal ons ook in die volgende Leeronderdeel aandag gee; ons het immers tog reeds die
konsep wat in die stelling vervat is gebruik om die anti-afgeleide van ‘n gegewe funksie te
vind.
” die
247

Leereenheid 2
Die volgende opsomming is eintlik niks meer as ’n verfyning van wat reeds gesê is nie,
asook ’n stel nuttige wenke om die berekening van onbepaalde integrale te vergemaklik.
Belangrike reëls, eienskappe en beginsels vir die berekening van onbepaalde
integrale:
1. Integrasiereël vir ‘n magsfunksie:
248
a
solank 1
n 1
n n1
a x dx x c n
2. k f( x) dx k
f( x) dx waar k enige konstante getal is
3. Indien die integrand ‘n veelterm is, word elke term afsonderlik geïntegreer:
[ f ( x) gx ( )] dx f( xdx ) gxdx ( )
4. Die integraal van enige konstante is altyd die konstante vermenigvuldig met die
integrasieveranderlike:
cdx cx k vir enige waarde van c (en k is hier die integrasiekonstante)

Leereenheid 2
5. Indien die integrand hoegenaamd vereenvoudig kan word, moet u dit eers
5.1
5.2
vereenvoudig voordat u dit probeer integreer.
Wenke vir vereenvoudiging (dieselfde wenke het by differensiasietegnieke gegeld)
Alle funksies moet verwerk word na die vorm
n
a x of na veelterme waar elke term
van hierdie vorm is – dan kan die reël 1 hierbo gebruik word. Dus kan die volgende
tipe funksies ook sonder insident geïntegreer word:
a
ax n
x
n
a
b a b
x x
5.3 Vermenigvuldig waar moontlik alle hakies uit.
5.4 Indien die funksie ‘n breuk is met ‘n teller en noemer wat beide faktoriseerbare
veelterme is: Faktoriseer en kanselleer:
voorbeeld:
voorbeeld:
x x
2
x 4x 4
x 2
2
x 2
2
x 2
9 ( 3)( 3)
x 3 ( x 3)
x 3
2
x x x
5.5 Indien die funksie ‘n breuk is met slegs een term onder die deelteken, splits dit op in
aparte terme met dieselfde noemer:
f ( x) g( x) h( x) f( x) g( x) h( x)
p( x) p( x) p( x) p( x)
249

Leereenheid 2
Let wel: Die geldigheid van Reël 1 op die vorige bladsy kan maklik getoets word. Ons
gaan as volg te werk om te bewys dat hierdie reël algemeen geldig is.
Beskou Reël 1 in die tabel hierbo. Kom ons differensieer sy regterkant en stel vas wat ons
verkry:
d a
dx
n1
n 1
1
a
n 1
n
a x
250
n1 n11
x c x
Daarom is dit wel so dat
a
n 1
0
n n1
a x dx x c
Rede: Die afgeleide van die integraal lewer die integrand as antwoord; volgens die eerste
deel van die Hoofstelling van Analise lewer die afgeleide van ‘n integraal die integrand.
Dit is dieselfde as om te sê dat die afgeleide van die anti-afgeleide van f ( x ) weer vir f ( x )
oplewer as antwoord.
Dit is uit bogenoemde duidelik dat integrasie die omgekeerde van differensiasie is.
Ons verstrek nou ’n aantal uitgewerkte voorbeelde om vir u te illustreer hoe die teorie op die
voorafgaande bladsye in aksie gestel kan word om onbepaalde integrale te bereken.
Bereken die volgende onbepaalde integrale deur van integrasiereëls gebruik te maak:
Voorbeeld 1. Bereken:
3
6x dx
3
n
6xdx die vormaxdx
6
31 3 4
x c
2
volgens die reël
a
n 1
31 n n1
x c ax dx x c

5
Voorbeeld 2. Bereken: dx 2
2x
5
dx 2
2x
5
2
5
2
1
5 1
c
2 x
5
c
2x
2
x dx
1
x c
3 5
Voorbeeld 3. Bereken:
3 5 4
5
3
4 x
dx
x dx
8
4 3 xc 8
3
4 3 3 8
x c
1 8
3 3 8
x c
2
4 x dx
Leereenheid 2
251

Leereenheid 2
Voorbeeld 4. Bereken:
5
x
7
dx
x
5 xdx 7
dx
x
252
1 1
2 2
5x dx 7x
dx
3 1
5 7 2 2
x x c
3 1
2
2
5 2
1 3
7 2
1 1
10 2 3
x 14
3
x c
2 3
x x c
7
5 x dx
x
Voorbeeld 5. Bepaal x 1
integreer!!
1
1 x
1
dx
.
x
Wenk: Vermenigvuldig uit voor u
x 1
1
1 x
1
dx
x
x dx
1
xdx 1dx
1
2
2
x x c

Voorbeeld 6. Bereken:
5 6
dx
2
x x
x 3
x3x2 x 3
x 2dx
xdx 2dx
1
2 2
2
x x c
dx
Voorbeeld 7. Bereken:
4 2
3x 10x 6
dx
2
x
3 10 6
2 2
x dx dx x dx
3 6
10
3
x
3
x x c
Voorbeeld 8. Bereken: sin xdx
sin x dx cos x c
2
x 5x6 dx
x 3
Voorbeeld 9. Bereken: cos xdx
cos x dx sinxc 4 2
3x 10x 6
2
x
dx
Leereenheid 2
253

Leereenheid 2
Voorbeeld 11. Bereken:
254
1cos sin
2
sin xdx
cos x c
2
xdx
x dx
Voorbeeld 12. Bereken:
1sin cos
2
cos xdx
sin x c
2
x dx
x dx
2
1cos x dx (Wenk: Gebruik trigonometriese
2
1sin x dx
Individuele oefening 26
identiteite)
Bereken nou die volgende onbepaalde integrale deur van integrasiereëls gebruik te maak:
Stewart, Oef. 5.4, p. 397
Nr. 1, 2, 7, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

Leereenheid 2
2.3.3 Die betekenis van Deel I van die Hoofstelling van die Analise
Lees deur Stewart: Hoofstuk 5, pp.379 – 385 (net voor Voorbeeld 5)
Neem veral kennis van die volgende:
Die bespreking op pp.379 – 381
Die bewoording van Deel I van die Hoofstelling van die Analise, p.381
Formule 5 op p. 383 (ons verkies hierdie notasie)
Deel I van die Hoofstelling van die Analise
In Leeronderdeel 2.3.1 het ons met anti-afgeleides te doene gekry in Leeronderdeel 2.3.2 het
ons hulle onbepaalde integrale genoem.
In ‘n vorige oefening het u onbepaalde integrale bereken deur gebruik te maak van die feit
dat integrasie en differensiasie as inverse prosesse beskou kan word.
Bogenoemde gedagtes word op 'n lieflik elegante wyse geformuleer in die vorm wat bekend
staan as Deel I van die Hoofstelling van die Analise.
Die bewys van Deel I van die Hoofstelling van die Analise (Stewart, 2008:382 – 383) is
ongelukkig baie tegnies van aard en benodig sekere teorie wat ons nie binne die beperkte
omvang van hierdie module kon bespreek nie. Dus gee ons slegs die formulering en
probeer ons bloot om die geldigheid daarvan te motiveer.
255

Leereenheid 2
Deel I van die Hoofstelling van die Analise
x
Indien f kontinu is op ab ; dan is die funksie g t f t dt met x ab ; kontinu
op ;
256
ab en differensieerbaar op ab ; en dit geld dat g'x f x.
Dit stel dat, indien die integraal van 'n funksie f gedifferensieer word, die funksie f
terug verkry word (Stewart, 2008:383)
Hieruit dan volg dit ook dat, indien die afgeleide van f geïntegreer word, die funksie f
weer terug verkry word.
Motivering van Deel I van die Hoofstelling van die Analise
Gestel f is ‘n kontinue funksie op die interval ab ; en x ab ; .
Gestel verder dat 0
f x vir x ab ; .
Dan kan ons die oppervlakte tussen die kromme van f en die horisontale as tussen die
punte a en x op die horisontale as soos volg skryf:
x
f t dt waar t ‘n arbitrêre veranderlike is.
a
a

Leereenheid 2
Dit is duidelik dat die oppervlakte van die ingeslote gebied van x afhanklik is; derhalwe kan
ons die oppervlakte van die ingeslote gebied as ‘n funksie van x skryf, sê nou maar g :
x
g x f t dt
[1]
a
Laat die waarde van x nou toeneem met ‘n infinitesimale waarde h met h 0 :
Ons kan die oppervlakte van die geskakeerde gebied A hierbo nou as die verskil tussen
die oppervlakte gx h
en die oppervlakte gx interpreteer:
A gxh gx [2]
Maar as h ‘n klein waarde het, dan is die oppervlakte A ongeveer net so groot soos die
oppervlakte van die reghoekige strokie met lengte f x en breedte h , wat beteken dat:
A h f x [3]
Kombineer ons nou vir [2] en [3] verkry ons:
gxh gx h f xwat
ons deur regdeur met h te deel, kan herskryf as:
257

Leereenheid 2
g x h g x
258
h
f x
[4]
Om die benadering in [3] presies akkuraat te maak, kan ons vir h in [4] na nul laat streef:
g x h g x
lim
h0
h
f x
g xh g x
Maar volgens die definisie van ‘n afgeleide is lim g ' x
h0
h
g'x f x
[5]
Dit kan aangetoon word dat bogenoemde resultaat ook geld vir as 0
d
dx a
f x vir x ab ; .
wanneer f
x
Uit [1] volg dat ons [5] in Leibniz-notasie kan skryf as f t dt f x kontinu is.
Ons moet beklemtoon dat bogenoemde nie ‘n formele bewys vir Deel I die Hoofstelling
van die Analise konstitueer nie, aangesien dit eerder van intuïtiewe in plaas van
kanoniese argumente gebruik maak.
Tog is dit verstommend hoe dat ons, soos telkens voorheen, weer vanuit meetkundige
oorwegings vertrek en tog vind hoe die verloop van logiese, intuïtiewe denke op ‘n natuurlike
en elegante wyse lei na die resultaat wat ons wou bewys.
Let ook op die rol wat akkurate, betekenisryke notasie in die verloop van die argument speel.
Deel I van die Hoofstelling van die Analise verwoord die kragtige en dinamiese
verband tussen integrasie en differensiasie.

Leereenheid 2
Om die geldigheid van Deel I van die Hoofstelling van die Analise te illustreer, kan u die
antwoord van enige onbepaalde integraal differensieer; indien u die oorspronklike funksie
wat u geïntegreer het (dit word die integrand genoem), terug verkry, het u die geldigheid van
Deel I van die Hoofstelling geïllustreer.
Individuele oefening 27
Bereken die volgende onbepaalde integrale, deur gebruik te maak van die anti-afgeleides
(Integrasiereëls) en toets elke keer u antwoord deur die onbepaalde integraal wat u bereken
het te differensieer en sodoende aan te toon dat die afgeleide van die onbepaalde integraal
die integrand lewer:
2
1. xdx 2
2. 2 1
x dx
2
3. 3
x x dx
3
4. 6
x x dx]
5. cos x dx
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
259

Leereenheid 2
260

2.4 INTEGRASIEREËLS
Die geskatte tyd om hierdie Leereenheid af te handel is 19 ure.
Aan die einde van hierdie Leereenheid behoort u in staat te wees om
Leereenheid 2
Deel I van die Hoofstelling van Analise toe te pas om die onbepaalde integrale van
magsfunksies, eenvoudige rasionale funksies van die vorm a
, trigonometriese funksies,
x
eksponensiële funksies en funksies van die vorm
1
1 x
die integrasiereëls vir magsfunksies van die vorm
2
en 2
1
af te lei;
x 1
n
a x waar n 1,
eenvoudige
rasionale funksies van die vorm a
, trigonometriese funksies en eksponensiële funksies
x
toe te pas om die onbepaalde integrale van 'n verskeidenheid van funksies te bereken;
u kennis van die kettingreël vir afgeleides en Deel I van die Hoofstelling van Analise te
gebruik om die substitusiereël vir integrale van die vorm
f ' x
f ( x)
af te lei en toe te pas;
f gx ( ) g'( x)
en ook die vorm
integrasie van rasionale algebraïese funksies deur middel van parsiële breukontbinding
uit te voer;
261

Leereenheid 2
Integrasie deur middel van ‘n trigonometriese substitusie vir integrande van die vorm
262
2 2
a x uit te voer
In die vorige Leergedeelte het u gesien hoe Deel I van die Hoofstelling van Analise gebruik
word om anti-afgeleides (dit is onbepaalde integrale) te bereken vir 'n aantal funksies,
naamlik magsfunksies en basiese trigonometriese funksies.
In die vyfde Leergedeelte van hierdie Leereenheid, Leergedeelte 2.5, gaan ons met ons
nuutverworwe kennis van anti-afgeleides terug keer na bepaalde integrale en daarna 'n groot
aantal werklikheidsgetroue probleme oplos.
Alvorens ons dit egter kan doen, moet ons nog bykomende integrasiereëls ontwikkel vir tipes
funksies wat tot dusver nog nie in hierdie Leereenheid ter sprake gekom het nie – dit is die
funksies wat in die uitkomstes op die vorige bladsy genoem word.
Bykans al hierdie bykomende integrasiereëls volg uit die toepassing van Deel I van die
Hoofstelling van die Analise op bestaande differensiasiereëls wat ons in Leereenheid 1
teëgekom het.

2.4.1 Magsfunksies van die vorm
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 4, p. 341, voorbeeld 1 (c)
n
a x waar n 1is
Leereenheid 2
Ons het die integrasiereël vir hierdie tipe funksie in Leeronderdeel 2.3.2 reeds teëgekom:
a
solank 1
n 1
n n1
a x dx x c n
Ons het ook reeds heelwat oefening gehad wat hierdie reël betref en ook wenke verskaf vir
die gemaklike hantering van hierdie tipe funksie waar die funksie in rasionale of wortelvorm
voorkom, of eers deur middel van onder andere vermenigvuldiging of faktorisering en deling
vereenvoudig moet word. Hierdie wenke is in Leeronderdeel 2.3.2 opgesom.
U word vriendelik aangeraai om daardie Leeronderdeel te hersien.
263

Leereenheid 2
2.4.2 Eenvoudige rasionale funksies van die vorm
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 4, p. 341, voorbeeld 1 (b)
264
k
y
x
n a n1
By die magsfunksie geld dit dat a x dx x c solank n 1;
die vraag is nou hoe
n 1
ons die integraal hanteer in die geval waar n wel die waarde n 1 aanneem.
Sou ons so 'n geval met die gewone magsreël vir integrasie probeer hanteer, vind ons
k 1
dx k x dx
x
k
11 k
c
0
11
x c
volgens die magsreë l
wat ongedefinieerd is.
Dit is dus duidelik dat ons die rasionale funksie nie met die magsreël kan hanteer nie – 'n
ander integrasiereël is nodig.

Leereenheid 2
U sal onthou dat ons in Leeronderdeel 1.4.10 'n differensiasiereël gehad het vir die natuurlike
d 1
logaritmiese funksie waarvolgens ln x
.
dx x
Uit die feit dat integrasie as die inverse van differensiasie beskou kan word, volg dit dat ons
die volgende integrasiereël kan formuleer:
1
d k
dx ln x cen
dus, dat kln x
vir k .
x
dx x
Daar is egter ‘n belangrike oorweging waaraan ons moet aandag skenk, naamlik die feit dat
1
d k
dx ln x cen
dus, dat kln x
vir k slegs geldig is vir x -waardes waarvoor
x
dx x
die natuurlike logaritme-funksie gedefinieer is; indien x 0 dan is ln x ongedefinieerd.
Daarom word die integrasiereël vir die rasionale funksie
k
dx k ln x c,
x 0 .
x
Hersien Voorbeeld 6, p. 217 van die boek van Stewart.
k
y strenger geformuleer:
x
265

Leereenheid 2
266
Individuele oefening 28
Bereken die volgende onbepaalde integrale, deur gebruik te maak van die anti-afgeleides
(Integrasiereëls):
1.
2.
4 5
1 x
dx dx
3
4 x x
1
1
4
2x8x dx
6 4 2
1 x dx
x x x
3. 3 2
4. 2
5x
dx
3x
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

2.4.3 Die ses basiese trigonometriese funksies
Leereenheid 2
Ons het die integrasiereël vir hierdie tipe funksie in Leeronderdeel 2.3.2 reeds teëgekom,
asook in voorbeelde en in die meegaande oefening.
d
Aangesien sin x cos x, volg dit dat cos xdx sin x c
dx
d
Aangesien cos x sin x, volg dit dat sin xdx cosx c
dx
Deur Deel I van die Hoofstelling van die Analise toe te pas op reeds bestaande
differensiasiereëls uit Leeronderdeel 1.4.5, kan ons ook die volgende integrasiereëls
formuleer:
2
sec xdx tan x c, aangesien
d
2
tan x sec x
dx
2
cosec x dx cot x c, aangesien
d
2
cot x cosec
x
dx
sec x tan x dx sec x c, aangesien
d
sec x sec xtanx dx
cosec xcot x dx cos ec x c, aangesien
d
cosec x cosec x cot
x
dx
'n Mens hoef hierdie tabel nie eens te memoriseer nie; indien u die differensiasiereëls vir die
ses trigonometriese funksies ken, kan u bloot terugwaarts redeneer om die vier integrale aan
die linkerkant van die tabel hierbo te bereken.
267

Leereenheid 2
2.4.4 Die eksponensiële funksie
268
x
y a
U sal onthou dat ons in Leeronderdeel 1.4.7 'n differensiasiereël gehad het vir die algemene
d x x
eksponensiële funksie waarvolgens a a ln a vir a 0 . Uit die feit dat integrasie as
dx
die inverse van differensiasie beskou kan word, volg dit dat ons die volgende integrasiereël
kan formuleer:
x 1 x
adx ac, a 0
ln a
Dit is belangrik dat u sal insien dat vir die spesiale geval waar ons die natuurlike
eksponensiële funksie integreer, bogenoemde integrasiereël soos volg reduseer:
x x
edxec.

Individuele oefening 29
Leereenheid 2
Bereken die volgende onbepaalde integrale, deur gebruik te maak van die anti-afgeleides
(Integrasiereëls):
1. 3 2 x dx
2.
3.
1 1
4
2
3
x
4
x dx
3
2 x
e dx x
e
3
4. 4 3 4 x
x dx
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
269

Leereenheid 2
2.4.5 Funksies van die vorm 2
1 x
270
1
en 2
1
x 1
Deur Deel I van die Hoofstelling van die Analise op die differensiasiereëls vir die inverse
trigonometriese funksies uit Leeronderdeel 1.4.9 toe te pas, kan ons die volgende twee
integrasieformules aflei uit die differensiasiereëls vir
1
2
1
x
dx x cx
1
1
dx tan x c 2
x 1
vir x
1
sin vir 1;1
1
y sin x
en
1
y tan x
:
Ons kom later toepassings teë waar ons hierdie twee integrasiereëls sal benodig.
Aangesien die integrale dikwels heelwat ingewikkelder voorkom as in bostaande tabel,
benodig ons gewoonlik ook ‘n substitusietegniek om hierdie integrale te bereken;
1
kwadraatsvoltooiing is dikwels ook nodig om integrale van die vorme dx en
2
ax bx c
1
dx na die vorme
2
ax bx c
1
1
u
du en
2
2
1
1 du te herlei.
u
Die substitusiereël vir integrasie word eers in die volgende Leeronderdeel formeel afgelei;
ons meen egter dat die volgende bespreking waardevolle grondbeginsels daarvoor sal lê,
afgesien van die feit dat ons hier ‘n toepassing sien waar kwadraatsvoltooiing in gevorderde
Wiskunde gebruik word.
Ons bespreek vervolgens hierdie strategie, soos uiteengesit in Engelbrecht et al (1989:254).

Gestel ons wil ‘n integraal van die vorm
1
dx of
2
2
ax bx c
Leereenheid 2
1
dx bereken.
ax bx c
Dan kan ons kwadraatsvoltooiing gebruik om die tweedegraadse uitdrukking in die integrand
as volg te herlei:
b c
a a
2 2
ax bx c a x x
2 2
2 b b c b
ax x
a
2a
a
2a
2 2
2 b b c b
2
a x x
a
2a
a 4a
2 2
b 4ac
b
2
a x
a
4a
2 2
b 4ac
b
ax
2a
4a
Voltooi die kwadraat
Faktoriseer die drieterm
Verwyder
vierkantige hakies
2
4ac
b
Vervolgens is dit belangrik om die konstante term as gemeenskaplike faktor uit te
4a
haal ten einde ‘n 1 in die uitdrukking aan die regterkant te verkry:
2
ax bx c a x
2 2
b 4acb
2a
4a
2
b
a x
2
4ac b
2a
1
2
4a
4ac
b
4a
Deur die laaste stap hierbo te vereenvoudig kan die volgende verkry word:
2
ax bx c
2
2
4ac b 2ax
b
1
2
4a
4ac
b
Vervolgens maak ons van substitusie gebruik:
271

Leereenheid 2
Ons voer basies 'n funksie u in en vervang dit dan in die integrand in. Terselfdertyd
transformeer ons die integraal deur die integrasie-operator dx in terme van die veranderlike
u te skryf – onder hierdie transformasie vereenvoudig die meeste integrale heelwat.
In hierdie geval gebruik ons:
Stel
272
u
2ax
b
4ac
b
2
Dan transformeer ons die tweedegraadse uitdrukking in die integrand soos volg:
2
2 4ac b 2
ax bxc
u1 4a
waar
4ac
b
4a
2
‘n konstante is.
Natuurlik beteken dit dat die integraaloperator dx ook transformeer en wel na ‘n uitdrukking
wat die operator du bevat; ons moet dus vir dx in terme van u bereken deur gewone
differensiasie van die funksie u wat ons ingevoer het:
du
dx
d
dx
2ax
b
2
4ac
b
du
dx
2a
2
4ac
b
du ac b adx
2
4 2
2
4ac
b
dx du
2a
Op hierdie stadium sou ons dan die integrale
1
dx en
2
2
ax bx c
1
dx kon
ax bx c
1
1
skryf as konstante du en konstante
2
du ; hierdie twee standaardvorme kan
2
1
u
u 1
dan direk geïntegreer word deur middel van die tabel aan die begin van hierdie
Leergedeelte.
Die laaste stap is dan om die finale antwoorde in terme van x te skryf in plaas deur die
oorspronklike waarde van u terug te vervang.

Leereenheid 2
Bogenoemde uiteensetting lyk miskien redelik ingewikkeld; let egter daarop dat dit
eenvoudige beginsels behels en in die praktyk werklik baie korter en eenvoudiger realiseer
as in die simboliese uiteensetting hierbo. Die gedagte is nie dat u bogenoemde benadering
soos formules moet memoriseer nie; dit is eerder belangrik dat u op ‘n buigsame en
kreatiewe wyse met die beginsels moet omgaan.
Ons illustreer vervolgens die strategie aan die hand van enkele voorbeelde.
dx
Voorbeeld 1: Bereken 2
3 x
Oplossing:
Die integrand bevat 'n tweedegraadse uitdrukking wat ons na 'n geskikte vorm kan herlei:
1 1
2 2
3 x x
31 3
1 1
2
3
x
1
3
Voer die substitusie u
x
3
in; dan kan ons vir dx in terme van u bereken:
du
dx
1
3
dx 3 du
dx
Die integraal transformeer dus na die integraal: 2
3 x
1 1
2
3 1u
3 du
3 1
2
3
du
u 1
3 1
tan u c
3
3 1
tan
3
x
c
3
273

Leereenheid 2
dx
Voorbeeld 2: Bereken: 2
x 4x13 Oplossing:
Die integrand bevat 'n tweedegraadse uitdrukking wat ons na 'n geskikte vorm kan herlei:
1 1
Kwadraatsvoltooiing
2 2
2 2
x 4x13 x 4x 2 13 2
274
1
x
2
2
2 9
1
x2
Kwadraatsvoltooiing
Verkry 'n 1 op die regte
plek
9
9
1
1 1
=
2
9 x 2
1
3
Vereenvoudiging
Voer die substitusie
x2 u
3
in; dan kan ons vir dx in terme van u bereken:
du 1
dx 3
dx 3 du
dx
1 1
Die integraal transformeer dus na die integraal: 3d
2 2
x 4x13
u
9 u 1
3 1
2
9 du
u 1
1 1
tan u c
3
1 1
x 2
tan c
3
3
Die volgende voorbeeld is ietwat ingewikkelder – let baie goed op hoe kwadraatsvoltooiing
en ander algebraïese beginsels ingespan word. Let daarop dat hierdie tipe berekeninge baie
lastige aspekte bevat; dit sal wys wees om met die grootste omsigtigheid te werk te gaan
wanneer ‘n integraal van een vorm na ‘n ander herlei word.

Voorbeeld 3: Bereken:
Oplossing:
2 2
54x2x 2x 4x5
dx
5 4x2x 2
Leereenheid 2
Die integrand bevat 'n tweedegraadse uitdrukking wat ons na 'n geskikte vorm kan herlei:
2 5
2x 2x 2
2 2 5 2
2x 2x1 1
2
Kwadraatsvoltooiing
2 7
2x1
2
Kwadraatsvoltooiing
x 2
x 2
2x1 2 1 7
Vermenigvuldig om te vereenvoudig
7 2 1
Herrangskik
2
71
7
Verkry 'n 1 op die regte plek
7 1
2
2
x1
7
Vereenvoudig
2
Voer die substitusie u x1 in en bereken vir dx in terme
van u:
7
du
dx
2
7
2
dx du
7
dx
7
du
2
dx
1 7
Die integraal transformeer dus na die integraal:
2
du
2
54x2x 71u2
Toets gerus die oplossing van voorbeeld 3 deur dit te differensieer.
7
7 2
1
2
1
u
du
1 1
sin u c
2
1 1
sin
2
2
x1c 7
1 1
sin
2
2
x 7
2
c
7
275

Leereenheid 2
276
Individuele oefening 30
Bereken die volgende onbepaalde integrale, deur gebruik te maak van substitusie, waar
nodig:
1
19x 1. 2
2.
3
dx
1
125t 2
3
918x 15
716x 4. 2
5.
6.
7.
8. 2
dx
2
dt
dx
25 16x
dx
2
dx
2
x
4 2
dx
20 8x x
dx
2x2x5 2
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

2.4.6 Integrasie d.m.v. substitusie om funksies van die vorm
f '
x
f gx ( )
g'( x)
en te integreer
f ( x )
Leereenheid 2
Lees deur: Stewart: Hoofstuk 5, p. 400 – 403 om agtergrond te verkry vir die bespreking
hieronder.
Alhoewel Deel I van die Hoofstelling van die Analise ‘n kragtige en formidabele teoretiese
gereedskapstuk is, is dit so dat daar nog baie integrale is wat ons nie deur direkte antidifferensiasie
(sien die argumente wat ons in Leeronderdele 2.4.1 tot 2.4.5 se eerste deel
gevolg het) kan bereken nie. U het in die vorige leeronderdeel (waarskynlik met ‘n tikkie
1
1
ontsteltenis) byvoorbeeld reeds die vorme dx en
2 dx teëgekom.
2
ax bx c
ax bx c
Enkele voorbeelde van nog sulke onbepaalde integrale waarvoor ons nie maklik antiafgeleides
kan vind nie, is die volgende:
4
2 3
3 7
x x dx
sin 3 d
6x
23x 2
2
3 x
xe dx
dx
sec x
5 2secxtanx dx
7
Let daarop dat ons hierbo telkens met die integraal van ‘n funksie van ‘n funksie te doen het;
dit herinner ons nogal aan die kettingreël vir afgeleides wat ons in leeronderdeel 1.4.6
teëgekom het. (Lees gerus weer vinnig deur p. 99 tot 101 van hierdie handleiding.)
277

Leereenheid 2
Dit is duidelik dat ons ook by integrasie ‘n reël benodig waarmee ‘n funksie van ‘n funksie
gedifferensieer kan word. Die substitusiereël vir integrale is hierdie reël; dit behoort u nie
veel te verbaas dat ons dit aflei deur Deel I van die Hoofstelling van die Analise op die
kettingreël vir afgeleides toe te pas nie:
1. Afleiding van die substitusiereël vir integrale
278
(Hierdie afleiding mag in toetse of eksamens geassesseer word.)
Bewys dat indien u gx ‘n differensieerbare funksie is vir alle x ab ;
f gx g x dx f u du .
kontinue funksie is op x ab ; ,
dan is '
Bewys:
Beskou f gx ( )
en f ‘n
Indien daar ‘n funksie F bestaan sodat F ' f , dan volg uit die kettingreël vir afgeleides dat
d
F g x F g x g x
dx
' '
d
F g x f g x g x
dx
'
Pas ons Deel I van die Hoofstelling van die Analise toe op [1], verkry ons:
'
f
g x g x dx F g x c
[2]
Om ons skryfwerk te vereenvoudig, voer ons nou die substitusie u gxin sodat
ons die uitdrukking [2] kan skryf as
Aangesien u gxen F ' f
du
f u dx F u c
[3]
dx
volg uit [3] dat '
[1]
f g x g x dx f u du [4]
Deur die linkerkant en regterkant van [4] te beskou, blyk dit dat g '
x dx du .

Wat die resultaat [4] hierbo beteken, is dit:
Leereenheid 2
Indien f ‘n kontinue funksie is van ‘n differensieerbare funksie gx en ons wil
f
gx g'xdx
bereken, dan voer ons die substitusie u gx dan na f ug'xdx.
in. Die integraal verander
Maar omdat f nou ‘n funksie van u is, word hy met betrekking tot u geïntegreer, wat
beteken dat ons die differensiaal du moet invoer; om dit te doen, differensieer ons albei
kante van die substitusie u gx: du
dx
g 'x
waaruit ons verkry '
du g x dx
Vervang ons ook dit in f ug'xdx, dan vereenvoudig ons integraal na f udu wat
maklik met behulp van die integrasiereëls uit leeronderdeel 2.4.1 tot 2.4.5 bereken kan word.
Die laaste stap is om die resultaat van ons berekening in terme van x oor te skryf.
Ons moet dus daarop bedag wees om die vorm '
f g x g
x dx te kan herken.
Bogenoemde is presies die stappe wat ons ook in Voorbeelde 1 tot 3 van die vorige
leeronderdeel gevolg het, asook in die vorige oefening by die vorige leeronderdeel.
2 3
Voorbeeld 1: Bereken 5 7
Oplossing
5 7
2 3
x x dx
x x dx
2
Aangesien x met net 'n konstante faktor (naamlik 15) van die afgeleide van
3
5x 7 verskil, kan ons 'n substitusie invoer:
279

Leereenheid 2
280
2
x
3
5x 7 dx
3
Stel u 5x 7
du
2
15x
dx
2
du 15x
dx
du
dx 2
15x
2 du
x u 2
15x
1
udu
15
1 2
u c
30
1 2
3
5x 7 c
30
Voorbeeld 2: Bereken sin x cos xdx
Oplossing
sin xcos x dx
Aangesien cos x die afgeleide van sin x is, kan ons 'n substitusie invoer:
sin xcos x dx Stel u sin x
du
cos x
dx
du cos x dx
du
dx
cos x
du
ucos x
cos x
udu
1 2
u c
2
1 2
sin x c
2

Voorbeeld 3 Bereken
Oplossing
u
sin 2
3
t
t dt
1
2
Leereenheid 2
sin 2
3 t
t
dt
Aangesien 3 t verwant is aan die afgeleide van 2 t , kan ons 'n substitusie invoer:
sin 2
3
sin
3t tdu
1
sinudu
3
1
cosu
c
3
1
cos2 3
tc t
t
dt Stel u 2 t
du 1
2 t
dt 2
du
dt
1
t
dt tdu
Raadpleeg gerus ook Voorbeelde 1 tot 6 op pp. 401 – 403 van die boek van Stewart.
281

Leereenheid 2
2. Die vorm
282
f ' x
f ( x )
waar f x 0 vir x ab ;
Volgens die kettingreël vir afgeleides geld dit dat as y ln f( x) en f( x) 0 vir x a; b ,
dy
dan is
dx
1 dy
f '( x)
wat effektief beteken dat
f ( x) dx
f '( x)
.
f ( x)
Indien ons dus vir y
f '( x)
f( x)
op a; b sou integreer, sou ons y ln
f( x)
terugverkry,
aangesien integrasie die inverse van differensiasie is.
Bogenoemde is natuurlik slegs geldig solank f x 0 is op die interval waarop ons
integreer aangesien die logaritmiese funksie slegs vir positiewe nie-nul waardes van die
onafhanklike veranderlike gedefinieer is.
In die praktyk is dit egter so dat die funksie f in die onbepaalde integraal
f ' x
dx
f( x)
nie
altyd aan die voorwaarde f x 0 op die integrasie-interval voldoen nie; om te verseker dat
die onbepaalde integraal dan steeds wel sal bestaan, stel ons die resultaat van ons
redenasie hierbo dus strenger:
Indien f differensieerbaar is op 'n interval
f '( x)
ab ; en is kontinu op die interval
f( x)
ab ;
f '( x) dan geld dit dat
dx ln f x cvir x a;
b.
f( x)

Die vorm
Leereenheid 2
afgeleide van die noemer
dx ln differensieerbare funksie van x c is ‘n
differensieerbare funksie van x
uiters belangrike standaardvorm wat ons in die volgende leeronderdeel, naamlik
leeronderdeel 2.4.7, baie sal gebruik.
Die substitusiereël vir integrale werk ook pragtig vir hierdie vorm, soos die volgende
voorbeelde sal illustreer:
Voorbeeld 1 Bereken
Oplossing:
10
dx
7 x
10
dx
7 x
Aangesien die teller met slegs 'n faktor 10 verskil van die afgeleide van 7 x,
kan
ons 'n substitusie invoer:
10
dx Stel u 7 x
7 x
du
1
dx
du dx
10 10
dx du
7 x u
1
10
du
u
10ln u c
10ln 7 x c
283

Leereenheid 2
Voorbeeld 2 Bereken tan x dx
Oplossing:
sin x
tan xdx dx
cos x
Aangesien sin x met slegs 'n teken verskil van die afgeleide van cos x,
kan
ons 'n substitusie invoer:
sin x
dx Stel u cos x
cos x
du
sin
x
dx
du sin
x dx
du
dx
sin x
sin x du
tan xdx
u sin x
1
du
u
ln u c
ln cos x c
284
1
ln cos x c
ln sec x c
Voorbeeld 3 Bereken
Oplossing:
1
1tan
2 1
x x
dx
1
tan x
e
2
x 1
dx
Dit is op die oog af ‘n lastige een. Laat ons die integrand so effe uit mekaar haal en kyk of
ons miskien iets nuttig kan agterkom:
1 1 1
1tan 1 tan
2 1
x x
2 1
x x
1
2
x 1
1
tan x

Leereenheid 2
Dit is nou maklik om te sien dat ons met die integraal van die afgeleide van die bgtan-funksie
gedeel deur die bgtan-funksie te doen het. Dus:
1
2
x 1
1
dx Stel u tan x
1
tan
1
2
x 1
2
x 1du
u
1
2
2
x 1
x 1
du
u 1
1
du
u
ln u c
1
ln tan
x
x c
Individuele oefening 31
du 1
2
dx x 1
dx x du
2 1
Bereken die volgende onbepaalde integrale, deur gebruik te maak van substitusie, waar
nodig:
1.
2.
3
5x
13 2
3 x
e
x
12 2
2
x
e
3
48x 2
dx
dx
dx
285

Leereenheid 2
4. 2
286
2
520x dx
Stewart: Oefening 5.5, pp.406 – 407
nr. 1, 2, 5, 12, 13, 18, 21, 26, 27, 29, 34, 37, 44, 49
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

2.4.7 Integrasie van rasionale algebraïese funksies
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 7, p. 473 – 481
Leereenheid 2
Die teorie van rasionale algebraïese funksies en parsiële breukontbinding is volledig
in MATE 221 (voorheen bekend as WSKH 211) behandel.
In hierdie leeronderdeel wil ons die integrale van rasionale algebraïese funksies bereken.
Ons werk dus met integrande van die vorm
geld:
f x
g x
f x en g x is beide nie-nul polinome
die graad van f x is laer as die graad van g x
g x is faktoriseerbaar
Die gedagte is om die gegewe integrand
f x
g x
en waarvoor al die volgende voorwaardes
as die som van eenvoudiger rasionale
funksies (wat ons parsiële breuke noem) te skryf en elkeen van die parsiële breuke dan
afsonderlik te integreer.
(Engelbrecht et al, 1989:263)
Die tipes integrale wat dan by elke term voorkom is gewoonlik die volgende:
f 'x
1
dx ln f x c en '
f x
n 1
n n1
fx f x dx f x
c
of soortgelyke reëls wat ons reeds teëgekom het.
287

Leereenheid 2
Alhoewel die volgende vier stellings in MATE 221 (voorheen bekend as WSKH 211)
behandel is, het ons dit goedgedink om hulle ter wille van volledigheid hier te herhaal.
Engelbrecht et al (1989:264-265) stel dit soos volg:
Stelling 1: Langdeling
Indien die graad van f x groter of gelyk is aan die graad van g x dan bestaan daar
polinome qx en hx sodat deur middel van langdeling van g x in f x volg dat
288
f x h x
qx vir alle waardes van x waarvoor gx 0 en hx óf die nulpolinoom is
g x g x
óf die graad van hx kleiner is as die graad van g x
Stelling 2: Onontbindbaarheid van ‘n kwadratiese faktor
Elke polinoom kan uitgedruk word as ‘n produk van faktore van die vorm ax b
of van die
2
vorm ax bx c
indien 2
b 4ac 0
geen reële faktore besit nie).
2
(laasgenoemde geval beteken dat ax bx c

Leereenheid 2
Stelling 3: Die parsiële breuke-ontbinding van ‘n rasionale algebraïese funksie
As f x en g x polinome is met die graad van f x kleiner as die graad van g x , dan
kan die rasionale funksie
A
ax b
,
A
n
ax b
n
f x
g x
Ax B
ax bx c
,
1 1
, 2
volgende vier gevalle moontlik is:
geskryf word as ‘n som Sx van uitdrukkings van die vorm
Ax B
n n
2 ax bx c
n
waar n 2 en waar een van die
3.1 Vir elke faktor van die vorm ax b
wat slegs een maal in g x voorkom, is daar in
Sx ‘n term van die vorm
A
ax b
.
3.2 Vir elke faktor van die vorm ax b
wat r keer in g x voorkom, is daar in
Sx ‘n som van r terme wat soos volg daar uitsien:
A1 A2 A
A
3
r ... 2 3
ax b ax b ax b axb 2
3.3 Vir elke faktor van die vorm ax bx c
r
met 2
b 4ac 0 wat slegs een maal in
Ax B
g x voorkom, is daar in Sx ‘n term van die vorm 2
ax bx c
.
2
3.4 Vir elke faktor van die vorm ax bx c
met 2
b 4ac 0 wat r keer in g x
voorkom, is daar ‘n som van r terme in Sx wat soos volg daar uitsien:
Ax B Ax B Ax B
Ax B
1 1 2 2
3 3
r r
...
2 2 3
ax bx c 2 2 2
ax bx c axbxc axbx c
Sommige van die konstantes hierbo mag wel nul wees.
r
289

Leereenheid 2
Stelling 4: Vergelyking van ooreenstemmende koëffisiënte
As f x en g x twee polinome in x is met graad kleiner of gelyk aan n en dit geld vir
meer as n waardes van x dat elke term van f x gelyk is aan die ooreenstemmende term
van
290
g x , dan is f x gx vir alle waardes van x .
Ons illustreer nou die toepassing van bogenoemde teorie om die integrale van rasionale
algebraïese funksies te bereken aan die hand van die volgende voorbeelde:
Voorbeeld 1: Bereken:
Oplossing:
x
4
1
dx
3
x x
3 4 3 2
x x x x x x
4 2
2
x
4
1
dx
3
x x
Let in in die eerste plek daarop dat die graad van die teller groter is die graad van die noemer;
dus moet stelling 1 hierbo gebruik word:
Dus :
x
0 0 0 1
x x
4 2
x 1 x 1
x
3 3
x x x x
x
1
(Vergelyk Stelling 1)

4 2
x 1 x 1
dx x dx dx
3 3
x x x x
Die eerste integraal aan die regterkant kan direk bereken word:
Die tweede integraal voldoen aan Stelling 3.1:
2 2 2
x 1 x 1 x 1
3 2
x x x x
1
xx 1x 1
Nou:
2
x 1 A B C
xx 1x 1
x x 1 x 1
A x 1
x 1 B x x 1 C x
xx 1x 1
x 1
2
Ax
2 2
A Bx Bx CxCx xx 1x 1
Verder:
2
x 1 2
Ax
2
A Bx
2
Bx Cx Cx
2
A B C x B C x A
2 2
x x A B C x B C x A
0 1 [1]
Uit [1] volg dat: 1 A B C
[2]
0 B C
[3]
1 A
[4]
Oplossing van [2] en [3] en [4] lewer: A 1
B 1
C 1
2
x 1 1
1 1
3
x x x x 1 x 1
2
x 1 1 1 1
dx dx dx dx
3
x x x x 1 x 1
ln x lnx 1ln x 1c Die volle antwoord is dus:
4
3
2
ln 2ln 1 2ln 1
1
2
2
x dx x c
x 1 1
dx x x x x c
x x 2
Leereenheid 2
291

Leereenheid 2
Voorbeeld 2: Bereken:
Oplossing:
292
2x
3
2 x1 2
dx
Aangesien die graad van die teller kleiner is as die graad van die noemer, hoef Stelling 1 nie
gebruik te word nie. Stelling 3.4 is op hierdie tipe rasionale funksie van toepassing:
2x
3
2 x1 Nou:
2
2
dx
3
x Ax B Cx D
2 2 2
2 x 1 x 1 2 x 1
2 1
2
2 x1
Ax B x Cx D
3
Ax Ax
2
Bx B
2
Cx D
2 x1
x Ax Bx A Cx B D
3 3 2
2 ( )
A 2 [1]
B 0 [2]
AC 0 [3]
B D 0 [4]
Met behulp van [1] en [3] volg dat C 2
Met behulp van [4] en [2] volg dat D 0
x x x
2
3
2 2
2 2 2
2 2
x 1 x 1 x 1
x x x
dx dx dx
2
3
2 2
2 2 2
2 x 1 x 1 2 x 1
2 2
ln
2
1 2
1
1
ln x 1 x 12x dx
x x c
2 1
ln x 1 c
2
x 1
2

Individuele oefening 32
Stewart: Oefening 7.4, p. 481
Nr. 1 (a),1 (b), 3.(a), 4(a), 4(b), 5(a)
7, 9, 11 (doen dit as onbepaalde integraal), 19, 27, 35
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
Leereenheid 2
293

Leereenheid 2
2.4.8 Integrasie deur middel van ‘n trigonometriese substitusie vir
integrande van die vorm
2
a
2
x
Lees Stewart: Hoofstuk 7, pp.467 – 472 vir agtergrond
Gee veral aandag aan die volgende:
294
Bespreking op p. 467
Die eerste formule in die tabel op p.467
Voorbeelde 1 en 2, p. 468 – 469
Hier gaan dit oor die berekening van ‘n integraalvorm wat ter sprake kom by die oppervlaktes
van sirkels en ellipse, of die berekening van gedeeltes van die oppervlaktes van sirkels en
ellipse. Ons kyk in leeronderdeel 2.6.2 in detail na hierdie tipe toepassing van
integraalrekene.
Stewart (2008:467) doen nie veel moeite om te motiveer waar hy aan die substitusies in die
tabel onderaan p. 467 kom nie. Daarom sal ons die hele bespreking op p. 467 met ons eie,
soortgelyke argument hieronder vervang. Ons sal poog om elke stap van die proses so
duidelik moontlik vir u uiteen te sit.
In die “meer logiese” benadering wat ons sal volg, sal u sien dat ons ‘n ander substitusie as
Stewart gaan ontdek en gebruik. U moet dus daarop let dat dit ook hier waar is dat
Wiskunde ‘n dissipline is waar die student meer as een moontlike pad of benadering kan volg
en steeds korrekte resultate verkry.

Leereenheid 2
U moet vir assesseringsdoeleindes in staat wees om aan te toon dat
a a
2 4
2 2
2 2
a x dx sin2 c
Gestel ons wil ‘n onbepaalde integraal van die vorm
‘n Substitusie van die vorm
.
2 2
a x dx met x aa ;
uitreken.
2 2
u a x bring in hierdie geval nie mee dat die integraal
2 2
a x dx oorgaan in ‘n maklik integreerbare integraal van die vorm
Gevolglik moet ons ‘n ander plan bedink om die integraal te hanteer.
Beskou naamlik die integrand
2 2
a x .
f udunie.
Let op dat dit soos ‘n toepassing van die Stelling van Pythagoras lyk, indien ons met ‘n regte
driehoek met skuinssy a eenhede lank en aangrensende sy x eenhede lank te doen het. In
so ‘n regte driehoek sou ons ook die hoek in die konvensionele posisie kon aandui:
x
Uit die skets volg dan dat cos
wat beteken dat x acos .
a
Vervang nou vir x acos in
2 2 2
a x a a
a a
cos
cos
2 2 2
a
1 cos
2 2
2
2 2
a x ; dit lewer:
295

Leereenheid 2
Uit die bekende trigonometriese identiteit
296
2 2
volg dit dat 1cos sin .
2 2
sin cos 1
2 2
a x
2 2
a sin
a sin
[1]
Let op dat die integrand na ‘n funksie van getransformeer het; dus sal ons die
differensiaal dx in die integraal
2 2
a x dx ook in terme van die differensiaal d moet
skryf. Dit doen ons deur gewoon albei kante van die substitusie x acos met betrekking
tot te differensieer:
dx
a sin
d
dx
asin
d
dx asin
d [2]
Met behulp van resultate [1] en [2] volg nou dat
2 2
a x dx asin asin
d
Die integrand
sin
[3]
2 2
a d
2
sin in [3] kan met behulp van trigonometriese identiteite so herskryf word
dat dit maklik integreerbaar is:
2
cos2 1 2sin
[Matriekwiskunde, trigonometrie]
2
2sin 1cos2
1
2
2
sin 1 cos2
[4]
Met behulp van [4] kan ons nou vir [3] soos volg in maklik integreerbare vorm herskryf:
1
1cos2 2
2
a
1d cos2 d
2
[5]
2 2 2
a x dx a d
Ons kan die twee eenvoudige onbepaalde integrale in [5] nou maklik afsonderlik uitreken:
1
2
1d c1en
cos2 d sin2 c2dit volg uit die substitusie u 2

Die onbepaalde integraal in [5] reduseer dan soos volg:
2
2 2
a x dx c1 c2
Leereenheid 2
a
2
1
sin2
2
2 2
a a
sin2 c
2 4
ons het al die onbepaalde konstantes opgetel
Ons sal berekeninge baie soortgelyk aan wat u hierbo gedoen het, in leeronderdeel 2.6.2
teëkom. Daar, by die praktiese toepassing, sal u self kan nagaan dat bostaande analise in
die kol is, selfs al het ons effens anders as Stewart (2008:467 – 472) te werk gegaan met die
keuse van ons substitusie.
Individuele oefening 33
Bereken die volgende onbepaalde integrale. Toon alle stappe en motiveer waar moontlik die
stappe.
1.
2.
3.
2
9 x dx
2
x
3 1
dx
4
2
4 x
1
dx
7 25
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.
297

Leereenheid 2
298

2.5 DEEL II VAN DIE HOOFSTELLING VAN DIE
ANALISE
Die geskatte tyd om hierdie Leereenheid af te handel is 16 ure.
Aan die einde van hierdie Leereenheid behoort u in staat te wees om
Deel II van die Hoofstelling van Analise te stel en te bewys;
Leereenheid 2
Deel II van die Hoofstelling van Analise toe te pas om bepaalde integrale te bereken;
die Netto Verandering-stelling te gebruik om werklikheidsgetroue situasies waar die
veranderingstempo's van 'n grootheid bekend is, te analiseer
In hierdie Leergedeelte keer ons terug na bepaalde integrale. Anders as voorheen, gaan
ons hulle egter nou op 'n kort, maklike wyse bereken.
Die teorie wat ons in staat stel om dit te doen, is Deel II van die Hoofstelling van Analise.
In hierdie Leergedeelte sal ons intiem vertroud raak met hierdie stuk teorie en sy
toepassings.
299

Leereenheid 2
b
2.5.1 Die bewys van f xdx Fb Fa Bestudeer Stewart: Hoofstuk 5, pp.384 – 387
Gee veral aandag aan die volgende:
300
a
Deel II van die Hoofstelling van die Analise, soos gestel en bewys op p.384
Voorbeelde 5 tot 9 op pp. 385 – 386
Die bewoording van die volledige Hoofstelling van die Analise, p. 387
die alternatiewe skryfwyse op p.387,net onder die volledige Hoofstelling
In hierdie Leereenheid gaan dit oor die gedagte dat ons die waarde van ‘n bepaalde integraal
kan bereken deur die anti-afgeleide van die integrand te bepaal en dan gewoon die
regtereindpunt en die linkereindpunt van die integrasie-interval op ‘n sekere manier in die
anti-afgeleide te vervang. In wese voer ons Deel I van die Hoofstelling van die Analise een
stap verder ten einde ‘n getal te verkry; hierdie getal noem ons die bepaalde integraal en
ons het dit reeds tevore gekoppel met die meetkundige interpretasie van ‘n ingeslote
oppervlakte.
Vervolgens sal ons die formele bewys van Deel II van die Hoofstelling van die Analise
behandel.

Leereenheid 2
U moet vir assesseringsdoeleindes in staat wees om Deel II van die Hoofstelling van
die Analise in toetse en eksamens te bewys.
Deel II van die Hoofstelling van die Analise
Bewys dat indien f kontinu is op ;
enige anti-afgeleide van f is sodat F ' f .
Bewys:
x
Laat gx f tdt [1]
a
b
ab , dan is f xdx Fb Fa waar F
a
Uit Deel I van die Hoofstelling van die Analise volg dat g'x f x,
wat beteken dat g
‘n anti-afgeleide is van f .
Indien F enige ander anti-afgeleide van f is op ab ; , dan verskil F en g bloot met ‘n
konstante; ons kan dit soos volg formuleer:
F x gx c
[2]
vir x ab ;
, aangesien F en g albei differensieerbaar moet wees op x ab ;
.
301

Leereenheid 2
Maar aangesien beide F en g kontinu is op ab ; , kan ons die geldigheid van [2] selfs
wanneer x a en x b bevestig deur die gedrag van [2] in die eindpunte van die interval
ab ; te ondersoek:
302
en ook lim
lim F x g a c
xa xb Dus geld [2] ook wanneer x a en x b .
F x g b c.
Fa ga c en ook F b gb c [3]
Verder, as ons x a
a
a
stel in [1], verkry ons
g a f t dt
a
Maar f t dt 0 , volgens die eienskappe van die bepaalde integraal.
a
ga 0
[4]
Ook, as ons x b stel in [1], verkry ons:
b
g b f t dt
[5]
a
.

Leereenheid 2
Ons kan nou van [3], [4] en [5] hierbo gebruik maak om die verskil F b Fate bereken:
gbc gac
b
f t dt 0
F b F a
g b c g a c
b
F b F a f t dt
a
a
Aangesien t ‘n arbitrêre (willekeurige) veranderlike is, kan ons die laaste resultaat hierbo net
sowel in terme van ‘n veranderlike x skryf:
a
b
f xdx F b F a
Dit is so dat sommige studente die formele bewys en afleiding van teorie erg vermoeiend en
uiters lastig vind. Nietemin moet ons onthou dat die teorie in Wiskunde soos gereedskap
funksioneer – as ‘n skrynwerker se gereedskap nie stewig en duursaam in die fabriek aan
mekaar gesit is nie, sal die skrynwerker sy gereedskap nie vertrou nie en mag dit hom in die
steek laat deur te breek; Net so het enige beoefenaar van Wiskunde teorie nodig wat op
goeie en stewige grondslag berus – die wiskundige moet sy gereedskap verstaan of ten
minste seker wees dat dit op goeie grondslag berus.
Definisies, stellings en bewyse verseker dat ‘n wiskundige vertroue in sy gereedskap kan stel
en ten minste sekere aspekte van die werking van sy gereedskap verstaan.
303

Leereenheid 2
2.5.2 Toepassing van deel II van die Hoofstelling van die Analise
om bepaalde integrale te bereken
304
Vroeg in die Leergedeelte 2.1 het ons aanvanklik van die formules vir die
oppervlaktes van vlak figure gebruik gemaak om bepaalde integrale te bereken
vir eenvoudige gevalle waar ons die bepaalde integraal as die oppervlakte van ‘n
bekende vlak figuur kon interpreteer.
Later in Leergedeelte 2.1 het ons die gereedskap tot ons beskikking aansienlik
uitgebrei deur 'n numeriese metode (die middelpuntreël) te ontwikkel om die
benaderde waarde van bepaalde integrale te bereken, in gevalle waar die
oppervlaktes wat ons met die bepaalde integraal geassosieer het, onreëlmatig
of ingewikkeld was.
In Leergedeelte 2.2 het ons die regtereindpuntreël gekombineer met ons kennis van
limiete en ons aanvoeling dat die numeriese metode (middelpuntreël) se benadering
al hoe beter word namate die maas van die verdeling (die breedte van die breedste
reghoekige oppervlakte-element) kleiner word. Daarna het ons 'n bepaalde
integraal beskou as die limiet van 'n Riemann-som waar die aantal reghoekige
oppervlakte-elemente oneindig veel word en die breedte van elke strook terselfdertyd
infinitesimaal (oneindig klein) word. Hierdie kragtige, elegante (maar omslagtige)
benadering het die eksakte waarde van die bepaalde integraal gelewer.
In hierdie leeronderdeel gaan ons die eksakte waarde van bepaalde integrale baie maklik
en volkome akkuraat bereken deur gewoon die verskil tussen die waardes van die antiafgeleide
in die eindpunte van die integrasie-interval te bereken; dit is deur die toepassing
van die Hoofstelling van die Analise.
Ons illustreer die prosedure graag aan die hand van ‘n eenvoudige voorbeeld.

Voorbeeld 1 Bereken die waarde van
Oplossing:
Beskou:
Opmerking:
y
3
2
1
O
1
3
0
x dx
2
f x = x
3
x
Leereenheid 2
Die driehoekie se oppervlakte kan maklik deur middel van die formule van ‘n regte driehoek
bepaal word:
1
A b h
2
1
33 2
4,5 eenhede
2
Maar let daarop dat die driehoek onder die kromme van die funksie y x geleë is. Ons kan
die geskakeerde gebied dus as ‘n bepaalde integraal interpreteer:
305

Leereenheid 2
306
3
A x dx
0
Pas nou die Hoofstelling van die Analise toe om dit te bereken:
Stap 1: Gebruik Deel I van die Hoofstelling (Leereenheid 2.3) om die onbepaalde integraal
van die integrand x te bereken:
1
2
2
x dx x c
Stap 2: Gebruik Deel II van die Hoofstelling (Leeronderdeel 2.5.1) om die verskil tussen
die waardes van die anti-afgeleide in die punte x 3 en x 0 te bereken:
1 2 1 2 1 2 1 2
x c 3 0 2
x c c c
2
2
2
x3 x0
9
c0c 2
4,5
Dit lewer presies dieselfde antwoord as wat ons met behulp van die gewone formule vir die
oppervlakte van ‘n driehoek verkry het.
Opmerking:
Die berekening hierbo kan veel korter uitgeskryf word; dit is ook hoe ons dit in die
vervolg sal doen:
3
0
3
12
2
0
xdx x
1
Let
op die notasie met die blokhakies
Let
op dat ons nie meer die integrasiekonstante c toon nie
Dit
is omdat die integrasiekonstante in elk geval "verdwyn"
soos
u in die uitgebreide berekening
hierbo kan sien.
3
2
2
x
0
1 2 3
2
0 Let op hoe ons die integrasiegrense in vervang
2
1
9
2
4,5
Skryf gerus alle konstantes wat ontstaan buite die hakie

Leereenheid 2
b
Let daarop dat die getal F b Fawat in f ( xdx ) Fb Fa voorkom, wel negatief
a
kan wees. Omdat ons die konsep van ‘n bepaalde integraal meetkundig geïnterpreteer het
as die grootte van ‘n oppervlakte, mag u miskien wonder hoe ons dit moet interpreteer as die
bepaalde integraal ‘n negatiewe waarde aanneem.
Die volgende twee voorbeelde lewer lig op hierdie kwessie:
2
Voorbeeld 2 Bereken die waarde van 2
Oplossing:
Beskou:
1
x dx
307

Leereenheid 2
Uit die skets is dit duidelik dat die geskakeerde gebied gewoon ‘n regte driehoek is en met
behulp van die formule vir die oppervlakte van ‘n regte driehoek volg dan dat
2
A 4,5 eenhede
Met behulp van die Hoofstelling van die Analise verkry ons:
2 2 2
2 2
1 1 1
2
12 2
x 2 1
2
x
1
1 2
2
2
x
2x
1
1
308
x dx x dx dx
2
1 2 2
2 1 221 2
1
41221 2
1
323 2
4,5
Die integrasiebewerking lewer dus ‘n antwoord wat die regte grootte het (naamlik
2
4,5 eenhede soos hierbo verkry), maar met ‘n negatiewe teken.
Die negatiewe teken kan soos volg verklaar word:
2
Die oppervlakte wat met 2
(sien die skets hierbo).
x dx geassosieer word, is onderkant die X-as geleë
1

7
Voorbeeld 3 Bereken die waarde van
Oplossing:
Beskou:
1
6 2x dx
Leereenheid 2
Uit die skets is dit duidelik dat die geskakeerde gebied uit twee regte driehoeke bestaan, een
bokant die X-as en die ander een onderkant die X-as. Deur die gewone formule vir die
oppervlakte van ‘n regte driehoek toe te pas, verkry ons die oppervlakte van die klein
driehoek bokant die X-as as
van die groot driehoek onderkant die X-as as
2
4 eenhede ; op soortgelyke wyse verkry ons die oppervlakte
2
16 eenhede .
Uit die vorige voorbeeld het ons gesien dat dit redelik is om oppervlakte wat onderkant die Xas
geleë is, as ‘n negatiewe getal te beskou, in hierdie geval dus 16 .
Ons het dus met ‘n “positiewe oppervlakte”, naamlik
driehoek) en ‘n “negatiewe oppervlakte”, naamlik
driehoek) te doen.
2
4 eenhede (vir die linkerkantste
2
16 eenhede (vir die regterkantste
309

Leereenheid 2
7
Laat ons nou die Hoofstelling van die Analise gebruik om
7 7 7
62xdx
1 6 dx 1 2x
dx
1
7 7
2
6x 1
x
1
7 7
2
6x 1
x
1
671 7 1
671491 310
36 48
12
2 2
6 2xdx te bereken:
Hoe kan ons nou die getal 12 in terme van oppervlaktes interpreteer?
Kyk terug na die eerste deel van ons berekening, waar ons die oppervlakte as twee
reghoekige driehoeke, die een met ‘n “positiewe oppervlakte” en die ander een met ‘n
“negatiewe oppervlakte” beskou het. Ons het dus met ‘n “positiewe oppervlakte”, naamlik
2
4 eenhede (vir die linkerkantste driehoek) en ‘n “negatiewe oppervlakte”, naamlik
2
16 eenhede (vir die regterkantste driehoek) verkry.
Let daarop dat die som van
2
4 eenhede en
2
16 eenhede presies
en dit is die resultaat van die bepaalde integraal-berekening.
7
Dit wil dus lyk asof die integraal
1
2
12 eenhede lewer –
6 2xdx die netto oppervlakte tussen die kromme en
1
die X-as as antwoord lewer (“Netto oppervlakte” beteken ons ken toepaslike tekens vir
ingeslote oppervlaktes toe en tel dan al die oppervlaktes, tesame met hulle tekens,
bymekaar).

Leereenheid 2
Onthou egter ook dat die betekenis van die bepaalde integraal afhang van die
werklikheidsgetroue konteks van die probleem; in baie situasies gebruik ons bepaalde
integrale om groothede uit te reken wat niks met oppervlaktes te doen het nie; sulke
groothede het wel betekenis wanneer hulle negatiewe waardes aanneem.
Onthou dus dat ‘n bepaalde integraal nie altyd noodwendig met ‘n oppervlakte te doen hoef
te hê nie.
Indien ons egter die funksie wat geïntegreer word grafies voorstel, dan sal die bepaalde
integraal van die funksie wel met die grootte van die ingeslote oppervlakte op die grafiek te
doene hê. Ons gebruik hierdie gedagte in die laaste Leergedeelte van die module.
Ons is nie baie gemaklik met die gebruik van Stewart om ‘n vertikale lyn te gebruik
waarlangs die integrasiegrense a en b geskryf word nie; Engelbrecht et al (1989:221) gee
die volgende alternatiewe skryfwyse, wat ons wil aanbeveel omdat dit minder verwarrend
is:
b b
a
a
Fb Fb f( x) dx F( x) waar F x enige anti-afgeleide van f x is
U het reeds in die vorige drie voorbeelde gesien hoe ons hierdie notasie in berekeninge
gebruik.
311

Leereenheid 2
Ter illustrasie, werk ons nou saam met u 'n paar volledige voorbeelde uit, kompleet met
kommentaar en verduidelikings.
U moet elke stap van die metode verstaan, en ook kan begryp waar dit inpas in die
berekening.
Voorbeeld 4 Bepaal die grootte van die ingeslote oppervlakte deur van die Hoofstelling van
Analise gebruik te maak:
312

Oplossing:
f( x)
is benede die X-as geleë, so ons kan verwag om 'n negatiewe antwoord te kry.
2 4
4
0
4
2
xdx
0
4
4xdx
0
4
13 x
3
0
4
2
2x
0
1 4
3 x 3
0 4
2
2
x
0
1 3
4 0 2
2
4 0
A x x dx
3
64
32
3
32
3
2
10,667 eenhede benededieX-as
Leereenheid 2
Voorbeeld 5: Bepaal die grootte van die ingeslote oppervlakte deur van die Hoofstelling van
Analise gebruik te maak:
313

Leereenheid 2
Oplossing:
314
2
0
3
6
2
8
2
3
6
2
8
A x x x
x x x dx
0
2
3
xdx
0
2
2
6xdx 0
2
8xdx
0
1 4
2
6 3
2
8 2
2
x
4
x
0 3
x
0 2
0
1 2 2 2
4 3 2
2 4
4
x
0
x
0
x
0
1 4 4 3 3 2 2
2 0 22 0 42 0
4
41616 2
4 eenhede
Voorbeeld 6. Bepaal die netto grootte van die geskakeerde oppervlakte:

Oplossing:
4
3
6
2
8
A x x x dx
0
4
3
xdx
0
4
2
6xdx 0
4
8xdx
0
1 4
4
6 3
4
8 2
4
x
4
x
0 3
x
0 2
0
1 4 4 4
4 3 2
2 4
4
x
0
x
0
x
0
1 4 4 3 3 2 2
4 0 24 0 44 0
4
64 128 64
2
0 eenhede
Wat beteken hierdie antwoord?
Blaai gerus
terug na Voorbeeld 3 hierbo om u met u antwoord te help.
Voorbeeld 7 Bepaal die netto grootte van die gearseerde oppervlak:
Leereenheid 2
315

Leereenheid 2
Oplossing:
316
( 5sin )
2
2
5sin
5 cosx
5cosx 2
5cos
A x dx
2
2
5coscos 2
5 10 5eenhede
x dx
Wat beteken hierdie antwoord?
2
Die enigste voorwaarde vir die toepassing van die Hoofstelling van die Analise om die
waarde van bepaalde integrale te bereken, is dat ons die anti-afgeleide van die
integrand in die hande moet kan kry.
Stewart (2008:487) stel dit onomwonde dat dit nie altyd moontlik is om ‘n anti-afgeleide van
‘n gegewe funksie te bepaal nie; sekere funksies besit gewoon net nie anti-afgeleides wat in
terme van elementêre funksies uitgedruk kan word nie.
Stewart (2008:488) lys ‘n aantal funksies waarvan die anti-afgeleides nie in terme van
bekende funksies bepaal kan word nie.

Leereenheid 2
Voorbeeld 8. Hoe om ‘n bepaalde integraal te hanteer wanneer ons nie die anti-afgeleide
van die integrand (onbepaalde integraal van die integrand) kan bepaal nie
cos x
Beskou ‘n bepaalde integraal van die funksie f x e .
Aangesien hierdie funksie kontinu is op ; , bestaan daar ‘n funksie F sodat
cos x op enige geslote deelinterval van ; , sê maar
F ' x e
cos x
afgeleide van f x e en ons noem die getal
op 0; 2 :
Alhoewel die bepaalde integraal
2
cos x
0
2
cos x
0
0; 2 . F is dus die anti-
A e dx die bepaalde integraal van f
A e dx (met ander woorde, die getal wat ons met die
oppervlakte van die geskakeerde gebied assosieer) sonder enige twyfel bestaan (volgens
die definisie van integreerbaarheid en die stelling wat die voorwaardes vir integreerbaarheid
gee, in leeronderdeel 2.2.2), is dit gewoon nie moontlik om die anti-afgeleide van
f x e
cos x
te bepaal nie, selfs al bestaan dit sonder twyfel. (Probeer gerus; dit is nie
een van die standaardvorme wat ons in leereenheid 2.4 teëgekom het nie en selfs die
substitusiereël werk ook nie).
Dit is voorwaar ‘n onverkwiklike situasie.
317

Leereenheid 2
Die Hoofstelling van die Analise kan dus nie gebruik word nie; die enigste manier om die
waarde van
318
2
cos x
0
A e dx te bepaal, is deur middel van numeriese integrasie (byvoorbeeld
die Middelpuntreël, leeronderdeel 2.1.2) – en dan verkry ‘n mens natuurlik slegs ‘n
benaderde waarde.
Toepassing van die Middelpuntreël op
2
cos x
0
A e dx met 400 deelintervalle lewer 3,454 as
resultaat. Die oppervlakte van die geskakeerde gebied is dus ongeveer
Individuele oefening 34
1.1 Bereken die netto oppervlakte van die geskakeerde deel.
2
3,454 eenhede .

1.2 Bereken die netto oppervlakte van die geskakeerde deel:
1.3 Gebruik die skets en bereken die netto grootte van die gearseerde gebied.
Let daarop dat alle hoeke in radiale is:
Leereenheid 2
319

Leereenheid 2
Asook:
2. Bereken die volgende bepaalde integrale:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
320
4
3
5x dx
3
2
3 x 4
0
2
0
2
1
dx
x 2
3cosx dx
t
2edt 1
3
dr
r
1
1 xdx
(Wat gebeur hier? Probeer verduidelik hoekom. Indien nodig, teken
die kromme van y x
2.7 Vergelyk die antwoord van
2.8 Bereken
op die interval 4; 4
2
1 xdx
en
op bl. 373 van Stewart in u eie woorde.
4
2
4 zdz
x )
1
2 xdx
met mekaar. Gee dan die eerste reël
en verduidelik dan in u eie woorde wat die tweede reël op bl. 373
van Stewart beteken.
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

2.5.3 Die Netto Verandering-stelling
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 5, pp.394 – 396
Gee veral aandag aan die volgende:
Die bespreking op p.394
Voorbeelde van waar die stelling op p. 394 toegepas word
Voorbeeld 6, pp.395 – 396 (UITERS BELANGRIK)
Bestudeer ook fig. 3 en meegaande kommentaar
Leereenheid 2
In die leeswerk hierbo word 'n fisiese betekenis toegedig aan die Netto Verandering-stelling:
a
b
f ' x dx f( b) f( a)
Hiervolgens is dit moontlik om die netto verandering in die waarde van ‘n kontinue funksie f
tussen enige twee punte a en b in sy definisieversameling te bepaal, indien f ' , dit is die
oombliklike veranderingstempo van die funksie, bekend is.
Voorbeeld 6 op pp.395 – 396 pas die Netto Verandering-stelling toe op reglynige beweging.
Wat daar gebeur is dit:
Aangesien snelheid vt eintlik die eerste-orde-afgeleide is van verplasing s (posisie) geld
ds
per definisie dat die snelheid van ‘n voorwerp geskryf kan word as vt
.
dt
321

Leereenheid 2
b
Lees ons hierdie reeds bekende konsep direk in die stelling
verkry ons dat:
a
b
322
ds
dt s( b) s(
a)
dt
f ' x dx f( b) f( a)
in,
a
Dit beteken dat as a en b twee verskillende “punte” in tyd is, dan lewer die bepaalde integraal
van die veranderingstempo van posisie met tyd na tyd die netto posisieverandering
(verplasing of kortste afstand) tussen die posisies wat die voorwerp op die tydstippe a en b
gehad het.
Dit is algemene gebruik om liewer die simbole t1 en t 2 te gebruik by hierdie tipe probleem:
t2
t1
ds
dt s( t2) s( t1)
dt
Die volgende voorbeeld mag ook lig op bogenoemde bespreking werp.
Voorbeeld
'n Sekere wit Toyota Conquest (1991-model!) trek weg uit rus, versnel voorwaarts totdat hy
'n maksimum snelheid van 4,063 m/s behaal, slaan dan remme aan totdat hy na 2 sekondes
tot stilstand kom. Dit skakel op dieselfde oomblik oor na trurat en versnel dan agteruit totdat
dit 'n maksimum terugwaartse snelheid van 8,213 m/s behaal.
Op daardie oomblik begin dit opbeweeg teen 'n steil helling sodat dit spoed verloor, om na 5
sekondes heeltemal tot stilstand te ruk.
Die gebeure word op die volgende skets grafies verwoord:

4,063
O
-8,213
v (in m/s)
2 3,816 5
0,882 t (in s)
v(t)=t 3 -7t 2 +10t
Leereenheid 2
U word nou deur die bestuurder gevra om uit te reken hoe ver vanaf sy vertrekpunt hy tot
stilstand gekom het.
(Hy gee die volgende wenk: "Snelheid kan beskou word as die veranderingstempo van
verplasing (posisie) en verplasing kan beskou word as die netto verandering in posisie van
'n liggaam...")
Oplossing:
Verplasing=Netto Verandering in posisie
5 ds
0
dt
dt
............volgens die Netto Verandering-stelling
5
t t t dt
3 2
7 10
0
of u kan dit soos volg beredeneer:
ds
v
dt
so ds vdt
s vdt
so vanaf t 0tot t 5geld
dat
5
3 2
Verplasing t 7t 10tdt
0
Hierdie
hantering kom daarop neer dat
u die definisie van snelheid as die afgeleide
van
verplasing neem en dit manipuleer asof
dit
'n breuk is. Dan integreer
u albei kante
van
die vergelyking en verkry sodoende 'n
formule
of uitdrukking vir die verplasing
tussen
twee tydstippe.
323

Leereenheid 2
324
5
1 4 7 3 2
s t t 5t
4 3
0
1 4 4 7 3 3 2 2
(5) (0) (5) (0) 5 (5) (0)
4
3
625 875
125
4 3
10,417
Dus: Die kar het 10,417 m agter sy vertrekposisie tot stilstand gekom.
Opmerking:
Om die totale afstand afgelê in 5 sekondes te bepaal, moet u alle ingeslote
oppervlaktes, hetsy bokant of onderkant die tyd-as, as positief beskou en hulle gewoon
optel.
Afstand werk dus slegs met die groottes van ingeslote oppervlaktes op ‘n snelheid-tydgrafiek.
U moet dus die bepaalde integraal opdeel (kyk na die grafiek hierbo vir ekstra duidelikheid):
Afstand Totale Verandering in posisie
5 ds
dt
0 dt
2ds 5ds
2
0 dt
dt
2
dt
dt
2
3
0
2
7 10
5
3
2
2
7 10
3 t
2
t tdt
5
3 t
2
t tdt
t t t dt t t t dt
Deel die integraal op
Nou, 7 10 5,333 m (Gaan dit self na)
0
2 aan dit self na
en 7 10 15,750 m G
15,750 m
Afstand Totale Verandering in posisie
5 ds
dt
0 dt
5,333 15,75
21,083 m

Individuele oefening 35
1. Die snelheid van ‘n sekere liggaam word tipies gegee deur die
funksie
Bepaal…
en
Leereenheid 2
20 2
vt () t 40twaar
vt () gewoon in m/s en t in sekondes gemeet word.
3
a) die verplasing afgelê tussen die oomblik t 0 toe die liggaam begin beweeg
het, en die oomblik t 6 ses sekondes later
b) die afstand afgelê tussen die oomblik t 0 toe die liggaam begin beweeg het,
en die oomblik t 6 ses sekondes later.
(As wenk word u herinner aan die feit dat snelheid beskou kan word as die afgeleide
van verplasing, volgens die vergelyking
ds
v )
dt
2. Gestel die tempo waarteen water uit 'n tenk in 'n afvoerpyp loop word gegee deur
die funksie
dV 40
400 t
dt 3
Indien die vloeitempo gemeet word in liter per minuut, bereken die volume water
wat uit die tenk vloei tussen die 5e minuut en die 20e minuut na die klep oopge-
maak is.
Kan u bereken wat die totale inhoud van die tenk (in liter) was toe die tenk vol
was?
325

Leereenheid 2
3. Die stroom wat deur 'n ontlaaiende kapasitor gelewer word, kan bereken word
Ook:
326
RC
uit die vergelyking I I0e
.
t
In 'n sekere stroombaan met 'n weerstand R van 8000 Ω wat 'n kapasitor met 'n
kapasitansie C van 0,000 5 F bevat, is I 0 (die aanvangstroom) 0,000 015 A.
Indien q , die totale hoeveelheid lading oorgedra tussen twee tydstippe t 1 en t 2
gegee word deur die vergelyking
lading oorgedra tussen die 5e en 10e sekonde.
Stewart: Oefening 5.4, pp.397 – 399
nr. 49, 51, 53, 57, 62
t
t 2
RC
q I0e dt
, bepaal die hoeveelheid
t1
63 (gebruik Microsoft Excel en die sigblad wat u in leeronderdeel 2.1.2 ontwerp het)
Memorandum van toepaslike probleme sal op die e-leer-platform
beskikbaar gestel word.

2.6 SPESIALE TOEPASSINGS VAN
INTEGRAALREKENE
Die geskatte tyd vir hierdie Leergedeelte is 25 ure.
Aan die einde van hierdie Leergedeelte behoort u in staat te wees om:
reglynige beweging deur middel van differensiasie en integrasie te analiseer;
die eksakte grootte van ingeslote oppervlaktes te bereken;
die volume van omwentelingsliggame om die X-as te bereken;
Leereenheid 2
die arbeid verrig op 'n liggaam wat deur 'n veranderlike krag verplaas word, te bepaal
En hier is ons nou gereed om na sekere spesiale en baie skouspelagtige toepassings van
integraalrekene te kyk.
(Eintlik is al die toepassings waarna ons reeds gekyk het, natuurlik ook maar op hul eie
maniere spesiaal.)
327

Leereenheid 2
2.6.1 Reglynige beweging
Hersien Stewart: Hoofstuk 3, pp. 221 – 223 (Werk Voorbeeld 1 uit)
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 4, pp. 343 – 344
Gee veral aandag aan die volgende:
328
Die hele bespreking (let op al die konsepte)
Voorbeelde 6 en 7, pp.343
Ons weet reeds dat integraalrekene die inverse of omgekeerde proses van
differensiaalrekene is. Aangesien ons in leeronderdeel 1.4.11 van Leereenheid 1 van
differensiasie gebruik gemaak het om die snelheid en versnelling van ’n liggaam uit sy
verplasingsfunksie te bereken, behoort dit u nie juis te verras dat dit moontlik is om deur
middel van integrasie die snelheid en verplasing van ’n liggaam uit sy versnellingsfunksie te
bereken nie. Dit is soortgelyk aan wat ons in leeronderdeel 2.5.3 gedoen het, alhoewel dit
daar hoofsaaklik gegaan het oor hoe om die Netto Verandering-stelling op ‘n gegewe
veranderingstempo toe te pas (naamlik snelheid, die oombliklike veranderingstempo van
posisie met betrekking tot tyd); min aandag is aan die konsep van beweging gegee.
Beweging is ’n tydsafhanklike proses, daarom kan ons verplasing, snelheid en
versnelling al drie as funksies van tyd beskou en ons kennis van Analise gebruik om die
wyse waarop hierdie drie konsepte aan mekaar en met mekaar skakel, op ’n kragtige en
elegante manier te formuleer.

Skematies:
Leereenheid 2
Dit is nogal interessant hoe die skematiese voorstelling hierbo saamhang. Daarom
analiseer ons vervolgens beweging as tydsafhanklike proses. Werk aandagtig deur die
volgende analise (ontleding):
Gestel dat die verplasing van ‘n liggaam as funksie van tyd gegee word deur ‘n
differensieerbare funksie s t .
Om die snelheid van die liggaam as ‘n funksie van tyd te verkry, differensieer ons st :
ds
vt () [1]
dt
Indien die snelheidsfunksie vt ook differensieerbaar is, kan ons die versnelling at van
die liggaam as funksie van tyd bepaal deur vt te differensieer:
dv
at () [2]
dt
329

Leereenheid 2
Gestel ons wil nou die proses omkeer, dit wil sê ons wil by die versnelling van die liggaam
begin en die snelheid van die liggaam en ook sy verplasing bereken.
Wel, gestel dat die versnelling van die liggaam as funksie van tyd gegee word deur ‘n
integreerbare funksie at .
dv
Uit [2] is at ()
dt
Dus: dv at dt
[3]
In leeronderdeel 2.1.3 het ons gesien dat dv en dt infinitesimale elemente is – met ander
woorde, dv en dt is oneindig klein “stukkies”. Tel ons al die stukkies dv by mekaar dan kry
ons v ; dit is die snelheid van die liggaam. Nou, in leeronderdeel 2.1.3 het ons ook gesien
dat ons so ‘n kontinue som van oneindig veel infinitesimale “stukkies” as ‘n integraal kan
skryf.
Dus: v dv
Dit beteken ons kan die linkerkant van [3] hierbo integreer om v aan die linkerkant te kry.
Maar wat ons aan die linkerkant van ‘n vergelyking doen, moet ons ook aan die regterkant
doen; dus moet ons ook die regterkant van [3] integreer.
In beginsel moet ons dus nou beide kante van [3] integreer om v as funksie van tyd te
verkry.
Dus:
330
dv a t dt
Dit lewer: v a t dt
[4]
Daar het ons nou die snelheid van die liggaam “teruggekry” as funksie van tyd.
Goed, gestel nou ons wil volgende die verplasing van die liggaam as funksie van tyd bepaal:
Wel, gestel dat die snelheid v van die liggaam wat ons nou net bepaal het, ‘n integreerbare
funksie van tyd is.
ds
Dan volg uit [1] hierbo dat vt () .
dt
Dus: ds vt dt
[5]

Leereenheid 2
Soos voorheen, kan ons nou vir s vind deur al die oneindig veel infinitesimale verplasings-
elemente ds op te tel (te sommeer) en dit beteken integrasie:
Dus: s ds
Soos voorheen in die geval van [3] hierbo, integreer ons nou beide kante van [5] om s aan
die linkerkant van die vergelyking te kry:
Dus:
ds v t dt
Dit lewer: s vtdt
[6]
Daar het ons nou ook die verplasing van die liggaam “teruggekry” as funksie van tyd.
Bogenoemde analise (ontleding) van beweging as ‘n tydsafhanklike proses illustreer dat
Analise (die vakdissipline binne Wiskunde) as kombinasie van differensiaal- en
integraalrekene ‘n kragtige, dinamiese stelsel van interafhanklike konsepte en rekentegnieke
is. Die blote manier waarop differensiasie en integrasie met mekaar verband hou, verskaf
betekenis aan die fisiese proses wat ons as beweging ken.
Beweging is nie die enigste proses in die werklike lewe wat op so ‘n manier deur middel van
Analise ontleed, beskryf en belig word nie – daar is letterlik dosyne sulke prosesse in die
tegniese, natuurwetenskaplike, ekonomiese en statistiese wetenskappe. Voorbeelde van
sulke toepassings (waarvan die meeste ongelukkig buite die fokus van hierdie module val)
kan u vind in die hele pragtige hoofstuk 9 van die boek van Stewart. Wat in hoofstuk 9
gedoen word, is baie soortgelyk aan wat ons hierbo gedoen het. Ongelukkig laat ruimte en
tyd ons nie toe om Hoofstuk 9 in hierdie module in detail te bestudeer nie; dit is werklik
betreurenswaardig.
331

Leereenheid 2
Die bekende bewegingsvergelykings vir reglynige beweging met konstante
versnelling waarmee u miskien op skool in Natuur- en Skeikunde kennis gemaak het, nl
332
v u at
1
s ut at
2
2
2
2 2
v u as
1
s u vt 2
is oorspronklik volgens die argumente op die vorige bladsye afgelei.
Nogtans verskaf Analise aan ons sulke kragtige rekenmetodes dat ons probleme aangaande
reglynige beweging volkome sonder insident kan oplos, selfs al het ons geen voorkennis
van bostaande formules nie. Die volgende voorbeeld illustreer dit:
‘n Krieketbal word opwaarts gegooi. Gestel die versnelling van ‘n krieketbal is konstant en te
alle tye 10 m/s 2 . Gestel verder dat die bal se snelheid 20 m/s is op ‘n tydstip 5 s nadat dit
gegooi is. Neem ook aan dat die aanvanklike verplasing (hoogte bo die grond, dus) 2 m is.
Bepaal die verplasing van die voorwerp 3 sekondes nadat dit gegooi is.
Oplossing:
a 10
2
ds
2
10
dt
ds
10dt
dt
10t c
v t 10t c
dit volg uit die definisie van versnelling, uit Leereenheid 1
dit volg uit die definisie van snelheid, uit Leereenheid 1

10 70
2
5 70
2
Maar as t 5 is v 20. Dus:
v t 10t 70
ds
10t 70
dt
20 10 5
c70 c
s t dt
s t t t d
2
Maar as t 0 is s 2. Dus: 2 5 0 70 0 d
d 2
s t
2
5t 70t 2
Nou: As t 3: s 3 5 3
167
70 3 2
Dus, na 3 sekondes is die verplasing
van die bal 167 m.
Individuele oefening 36
Leereenheid 2
Wenk: Die versnelling van enige liggaam wat vry in die swaartekragveld van die aarde
beweeg (dus: projektiele soos krieketballe, kanonkoeëls, sandsakke, klippe,
massastukke, ens. maar nie vliegtuie, voëls, vuurpyle of ander liggame wat
aandrywing besit nie) is altyd konstant en wel gelyk aan ongeveer 9,8 m/s².
Doen:
1. Gestel die versnelling van ‘n liggaam is
Asook:
2
4m/s en sy snelheid na 2 sekondes is 15 m/s.
Bereken sy verplasing as funksie van tyd, indien sy verplasing 3 m is wanneer t 0 .
Stewart: Oefening 4.9 op p. 346
Gebruik integraalrekene en doen nr. 63, 64, 67, 74. (moenie die bewegingsvergelykings
boaan p. 326 van hierdie studiegids gebruik nie – onthou, hulle geld nie vir alle tipes
beweging nie!)
333

Leereenheid 2
334
Memorandum van die probleem sal op die e-leer-platform beskikbaar
gestel word, of in die kontaksessie bespreek word.
2.6.2 Die grootte van ingeslote oppervlaktes
Reg vanaf die begin van Leereenheid 2 het ons gedurig van die meetkundige interpretasie
van ‘n bepaalde integraal, naamlik ‘n oppervlakte ingesluit tussen die kromme van ‘n
integreerbare funksie en die horisontale as tussen twee punte op die as, gebruik gemaak.
Ons het verskillende metodes teëgekom waarmee ons die waarde van ‘n bepaalde integraal
kan bereken; namate ons gevorder het, het ons rekenmetodes al hoe meer kragtig en
gesofistikeerd geword, totdat ons uiteindelik die Hoofstelling van die Analise bewys het –
sedertdien het ons bepaalde integrale sover moontlik met behulp van die Hoofstelling
uitgereken.
In hierdie leeronderdeel wil ons dus nie die wiel weer van voor af uitvind nie; ons sal egter
wel sekere konsepte en rekentegnieke wat reeds bekend is, effens strenger moet formaliseer
en uitbrei om seker te maak dat ons konsepte en tegnieke vir alle gevalle van die tipe
probleme wat ons teëkom sal werk.

Leereenheid 2
2.6.2.1 Die grootte van die oppervlakte ingesluit tussen ‘n kromme en ‘n as
Hierdie rekenproses is volledig formeel in Leergedeelte 2.2.1 afgelei toe ons presies
gedefinieer het wat ons bedoel wanneer ons verwys na die grootte van die ingeslote
oppervlakte tussen die kromme van ’n integreerbare funksie en ’n as tussen enige twee
punte op die as.
Tot dusver het ons egter implisiet aanvaar dat die integreerbare funksie f x positief is op
die hele geslote interval ab ; (met ander woorde, dat die kromme van die funksie op hierdie
interval bokant die X-as geleë is). Dit was omdat ons die reële getal A in die definisie van
Riemann-integreerbaarheid as die grootte van ’n oppervlakte wou interpreteer; onthou dat
die grootte van ’n oppervlakte ’n positiewe hoeveelheid is.
Ons het egter al vele voorbeelde teëgekom waar die waarde van ’n bepaalde integraal
negatief uitgekom het sonder dat dit rekenkundige of konsepsuele probleme opgelewer het;
trouens, in sekere gevalle het ’n negatiewe waarde fisiese betekenis gehad. (Hersien gerus
Leeronderdeel 2.5.3 oor die Netto Verandering-stelling)
Sover dit die berekening van oppervlaktes - en later ook volumes - met behulp van integrasie
betref, moet ons egter nou aan hierdie netelige saak aandag skenk.
Al die teorie wat ons sedert Leergedeelte 2.1.1 hierbo ontwikkel het kan maklik veralgemeen
word om nog steeds te geld indien die oppervlakte wat tussen die X-as en die kromme van
die funksie ingesluit word onder die X-as lê, of selfs wanneer die ingeslote oppervlakte uit
dele bestaan waarvan sommige bo en ander onder die X-as geleë is.
335

Leereenheid 2
Die dilemma waarmee ons te doene het wanneer ’n integreerbare funksie f x 0 op
ab, ; is dat die getal A in die definisie vir Riemann-integreerbaarheid dan ‘n negatiewe
waarde aanneem omdat die kromme van y f xdan
onderkant die X-as geleë is; ons
sal dit dus streng gesproke nie meer as die grootte van ’n oppervlakte kan interpreteer
nie.
Ons ontwikkel nou ’n manier om hierdie probleem te omseil. Die werkwyse wat ons sal volg
is ontleen aan Engelbrecht et al (1989:224,225).
Beskou die volgende twee grafiese voorstellings:
Beskou geval 1.
By geval 1 is die geskakeerde gebied gedeeltelik onderkant die X-as geleë; die res daarvan
is bokant die X-as geleë. Gebruik ons die formule vir die oppervlakte van ’n driehoek kan
ons maklik aantoon dat die oppervlakte van elkeen van die twee driehoekige gedeeltes by
geval 1 ’n grootte van ½ eenheid² besit; maar aangesien die linkerkantste driehoek
onderkant die X-as geleë is behoort ons ’n negatiewe teken daaraan toe te ken. Bepaal ons
nou die totale oppervlakte van die geskakeerde gebied in geval 1 lewer dit tot ons
2
verleentheid: A 1 1 0 eenhede .
2 2
336

Leereenheid 2
Dit illustreer ons probleem wanneer ’n gedeelte van f x onder die X-as geleë is; die
grootte van die geskakeerde oppervlakte in geval 1 is tog heel duidelik nie 0 nie – trouens,
dit is duidelik 1 eenheid².
Om die regte antwoord vir die grootte van die geskakeerde oppervlakte in geval 1 te
verkry, sal ons ’n strenger definisie vir die grootte van die ingeslote oppervlakte
tussen ’n kromme en ’n as moet invoer.
Beskou nou geval 2.
By geval 2 hierbo is beide die driehoekige geskakeerde gebied bo die X-as geleë.
Gevolglik kan ons albei die driehoeke se groottes (wat ons weer eens met behulp van die
oorbekende formule vir oppervlakte van ’n driehoek kan uitreken as ½ eenheid²) met
veiligheid as positiewe waardes beskou. Bepaal ons nou die totale oppervlakte van die
2
geskakeerde gebied in geval 2 vind ons A 1 1 1 eenheid wat duidelik korrek is.
2 2
Let egter nou op ’n interessante en belangrike feit: Die geskakeerde gebied in geval 1 is
kongruent aan die geskakeerde gebied in geval 2; uit die definisie van kongruensie volg dan
dat hulle oppervlaktes gelyk is. Ons kan dus die korrekte waarde vir die oppervlakte van die
geskakeerde gebied in geval 1 verkry deur die geskakeerde gebied in geval 2 te bereken.
Skryf ons hierdie afleiding in Riemann-integraal-vorm, verkry ons:
1 0 1
Totale geskakeerde oppervlakte in geval 1 xdx x dx x dx1eenheid
1 1
0
Ons kan aanvoel dat hierdie resultaat veralgemeen kan word vir enige funksie f x
waarvan die kromme gedeeltelik of volledig onderkant die X-as geleë is:
2
337

Leereenheid 2
U sal uit u voorkennis oor funksies onthou dat die definisie van die absolute-waarde-funksie
in algebraïese vorm as volg lui:
338
f x
f x f x f x indien f x 0
indien 0
Die grafiese voorstellings hierbo illustreer die betekenis van hierdie definisie baie mooi.
Ons kan die totale oppervlakte A wat tussen die kromme en die as ingesluit nou soos volg
beskryf deur van die grafiese voorstelling by geval 2 gebruik te maak:
; , 0
A x y a x b y f x
Die grootte van die oppervlakte van die hele geskakeerde gebied in geval 1 is gelyk aan die
grootte van die hele geskakeerde gebied in geval 2.
Daarom: Indien ons die grootte van die oppervlakte van die gebied in geval 1 wil bereken,
b
kan ons dit net sowel soos volg doen: A f x dx
b
Die vraag is nou natuurlik: Hoe gaan ons te werk om f x dx uit te reken?
Om die antwoord op hierdie vraag te ontdek, beskou ons ’n praktiese voorbeeld om die
algemene eienskappe van die oppervlak ingesluit tussen die kromme van ’n funksie en die
X-as te illustreer; ons gaan dan ‘n strategie probeer identifiseer waarmee die totale ingeslote
oppervlakte beskryf kan word. Uit hierdie strategie sal dit duidelik word hoe om die waarde
b
van f x dx
a
a
, wat ons as die totale ingeslote oppervlakte tussen die kromme en die X-as,
tussen x a en x b beskou, te bereken.
Die grafiese voorstelling hieronder toon ‘n tipiese geval waar die ingeslote oppervlakte aan
beide kante van die X-as geleë is:
a

Beskou:
Leereenheid 2
Dit is toelaatbaar om die ingeslote oppervlakte tussen ’n kromme en ’n as te verdeel in
gerieflike dele (Stewart, 2008:374)
Vir die grafiese voorstelling hierbo kan ons die totale ingeslote oppervlakte skryf as:
A A A A A . [1]
vanaf a tot b
1 2 3 4
Die absolute-waarde-tekens beteken dat ons streng net in die grootte van die totale
geskakeerde oppervlakte belang stel; ons onderskei nie tussen dele wat aan verskillende
kante van die X-as geleë is nie. Ons “maak” dus die tekens van die oppervlaktes wat
benede die X-as geleë is, positief – presies soos wat ons onderaan p. 331 hierbo gedoen
het.
Ons kan die grootte van hierdie totale oppervlakte in integraalvorm skryf as
b
a
Avanaf a tot b f x dx.
Deur van [1] hierbo gebruik te maak, volg nou dat
b c d e b
f ( x) dx f( x) dx f( x) dx f( x) dx
f( x) dx [2]
a a c d e
339

Leereenheid 2
Vergelyking [2] hierbo beteken dus dat die groottes van die oppervlaktes van al die gebiede
wat bo die X-as geleë is en die groottes van die oppervlaktes van al die gebiede wat onder
die X-as geleë is bymekaar getel word.
Gestel byvoorbeeld dat ons elkeen van die terme in [2] afsonderlik uitreken en die volgende
verkry:
A1 f( x) dx 3
340
c
a
d
. Dus:
c
2
A2 f( x) dx 8
e
d
. Dus: 1 A se grootte is 3 eenhede² omdat A1 3 .
A se grootte is 8 eenhede².
A3 f( x) dx 2.
Dus: A 3 se grootte is 2 eenhede² omdat A3 2 .
b
. Dus:
e
4 A se grootte is 1,5 eenhede² en 4
A4 f( x) dx 1,5
Dan sal die waarde van [2] soos volg wees:
b c d e b
f ( x) dx f( xdx ) f( xdx ) f( xdx ) f( xdx )
a a c d e
3821,5 14,5 eenhede
2
A is bokant die X-as geleë.
b
Indien ons die waarde van f xdx uitreken, verkry ons ’n antwoord wat nie as die
a
grootte van die totale ingeslote oppervlakte tussen die kromme en die as
b
b
geïnterpreteer kan word nie! f xdx is nie dieselfde as
a f x dx nie.
a
Bestudeer die volgende aandagtig:
b
a
1 2 3 4
f x dx A A A A aangesien ons die gebied in stukke kan verdeel.

Leereenheid 2
Gestel dat ons elkeen van die terme in hierdie uitdrukking afsonderlik uitreken en die
volgende verkry:
c
A1 f( x) dx 3.
Dus: 1
a
A2 f( x) dx 8
A se grootte is 3 eenhede² en 1
d
. Dus:
c
2 A se grootte is 8 eenhede² en 2
e
. Dus:
d
3 A se grootte is 2 eenhede² en 2
A3 f( x) dx 2
b
. Dus:
e
4
A4 f( x) dx 1,5
b
Dan sal die waarde van f xdx
a
A is onder die X-as geleë.
A is bokant die X-as geleë.
A is onder die X-as geleë.
A se grootte is 1,5 eenhede² en A 4 is bokant die X-as geleë.
soos volg wees:
b c d e b
f ( xdx ) f( xdx ) f( xdx ) f( xdx ) f( xdx )
a a c d e
3821,5 2
4,5 eenhede
Dit is NIE die grootte van die totale ingeslote oppervlakte tussen die kromme en die as
nie.
Die blote feit dat ons met “negatiewe oppervlaktes” te doen gekry het laat ons besef dat
hierdie berekening ’n “netto effek” verteenwoordig en nie ’n totale oppervlak nie.
Ten beste kan ons die resultaat hierbo interpreteer as die verskil tussen die totale ingeslote
oppervlakte bokant die X-as en die totale ingeslote oppervlakte onderkant die X-as.
b
Ons sien dus dat f ( xdx ) die netto ingeslote oppervlakte tussen die kromme en die as
a
tussen a en b lewer. (Stewart, 2008:395)
Daarom is dit belangrik om te onthou:
b
Netto ingeslote oppervlakte tussen a en b
f( x) dx
a
341

Leereenheid 2
Ons is nou gereed om ons definisie vir die totale grootte van die ingeslote oppervlakte tussen
die kromme van ’n integreerbare funksie en die X-as tussen twee punte op die as uit te brei
na die algemene geval waar die funksie negatief mag wees op ’n gedeelte van die
integrasie-interval:
Definisie: Die totale oppervlak ingesluit tussen enige kromme en ’n as tussen twee
punte op die as
As
342
f x integreerbaar is op ab ; dan word die oppervlakte van die gebied ingesluit tussen
die kromme van die funksie y f xen
die X-as tussen die punte x a en x b
b
gedefinieer as die bepaalde integraal f x dx
b
In simbole: ; , 0
x y a x b y f x f x dx
a
b
waar f x dx beteken dat die gebied verdeel moet word sodat die groottes van die
a
oppervlaktes van al die dele as positiewe waardes geneem en dus bymekaargetel kan word.
Hierdie definisie is in die algemeen bruikbaar en ons sal dit voortaan telkens gebruik
wanneer ons situasies soos hierbo teëkom. Dit behoort ook nou duidelik te wees waarom dit
raadsaam is om eers ‘n skets te maak alvorens ons die grootte van die oppervlakte probeer
bereken.
Ons het die definisie hierbo in werklikheid reeds in Leeronderdeel 2.5.3 by die Netto
Verandering-stelling gebruik. Daar het ons uit die definisie van die begrippe verplasing en
afstand gesien hoe ons moet onderskei tussen ‘n netto ingeslote oppervlakte en ‘n totale
ingeslote oppervlakte. Die voorbeeld wat u in Leeronderdeel 2.5.3 aantref, illustreer tog
goed hoe ons die definisies op die vorige bladsy hierbo in berekeninge toepas.
.
a

a
Die waarde van f( x) dx 0 vir enige waarde van a (Stewart, 2008:373).
a
Leereenheid 2
Kan u dit verklaar? Probeer ‘n grafiese voorstelling maak om u verduideliking toe te lig.
b a
Die waarde van
a f x dx b
f x dx indien a b
(Engelbrecht et al, 1989:222).
Kan u in woorde stel wat dit beteken?
en
f x integreerbaar is op ba ;
Wanneer die oppervlakte bereken word wat ingesluit word tussen ‘n kromme en die Xas,
word die interval waaroor ons moet integreer gegee deur die x-afsnitte van die kromme –
met ander woorde die punte waar die kromme en die X-as mekaar sny.
Ter illustrasie, werk ons nou saam met u 'n volledige voorbeeld uit, kompleet met
kommentaar en verduidelikings.
U moet elke stap van die metode verstaan en ook begryp waar dit inpas in die
berekening. Soos voorheen, is dit baie belangrik om die berekeninge wat volg, as
prosesse te beskou eerder as bewerkings.
343

Leereenheid 2
Voorbeeld 1: Bepaal die netto oppervlakte van die geskakeerde deel en verduidelik wat u
antwoord beteken:
Oplossing:
2
2
Anetto x x2dx 3
344
1 2
1
x dx x dx dx
2
32 2
2
3 2
2
3
2
1 3 x
6
3 2
1 2
x
2
3
2
2x3 1 2
3
x
3 1 2
2
x
3
2
2x3
6 2
1 3 3 1 2 2
2 3 2 3 223 6 2
1 1
827 49223 6 2
35 5
10
6 2
5 2
eenhede
3

Leereenheid 2
Die antwoord beteken dat die verskil tussen die oppervlakte bo die X-as en die oppervlakte
5
2
onder die X-as presies eenhede is, en die negatiewe teken dui daarop dat die grootste
3
gedeelte van die ingeslote oppervlakte tussen -3 en 2 op die X-as onder die X-as geleë is.
Voorbeeld 2. Bereken die grootte van die totale ingeslote oppervlakte wat gearseer is.
Oplossing:
Die berekening hieronder is nogal lank; daarom sou dit wys wees om dit in stukke op te
breek en die stukke apart af te handel.
Bereken die onbepaalde integraal wat ter sprake is.
Bereken die grootte van elkeen van die gebiede waarin u die integrasiegebied verdeel het.
Tel laastens die oppervlaktes van die afsonderlike gebiede by mekaar:
345

Leereenheid 2
totaal
1
346
2
3 2
4
3 2
0 2
A x 6x8xdx x 6x8xdx 68 24 Ons kan die konstante verderaan weglaat
4
3 2 4 3 2
x x x dx x x x c
2
2 2 2
3 2 14 3 2
x 6x 8xdx
0
x 2 4
4
x
x
0
0
0
1 2 2 2
4 3 2
x
2x 4x
0 0 0
4
1
2 4
0 22 0 4
2
41616 4
4 4 3 3 2
4 4 4 4
3 2 4 3 2
x 6x 8xdx x 2x 4x
2
2 2 2
Atotaal 44 8 eenhede
2
2 0
1
4
1 4 4 3 3 2 2
4 2 24 2 44 2
4
60 112 48
4
4
Let op die interessante simmetrie hier.

Voorbeeld 3: Bepaal die totale oppervlakte van die geskakeerde deel.
Oplossing:
Leereenheid 2
Die berekening hieronder is weer nogal lank; daarom sou dit weer eens wys wees om dit in
stukke op te breek en die stukke apart af te handel.
Bepaal eers die punte waar die kromme deur die horisontale as breek.
Bereken die onbepaalde integraal wat ter sprake is.
Bereken die grootte van elkeen van die gebiede waarin u die integrasiegebied verdeel het.
Tel laastens die oppervlaktes van die afsonderlike gebiede by mekaar:
347

Leereenheid 2
1
2
Atotaal 2x 5x2dx 2
Nou moet ons die gebied waarvan ons die oppervlakte te wil bereken, verdeel.
Om dit te kan doen, benodig ons die snypunt tussen 0 en 1 se x-koördinaat.
2
b b 4ac
Gebruik gewoon die kwadratiese
formule x
om die
2a
2
vergelyking 2x 5x20 op te los.
Dit lewer x 2,850 78 of x 0,350
78 (gaan dit self na)
Dit is duidelik dat ons die waarde 0,350 78 gaan gebruik (raadpleeg gerus die skets)
totaal
348
0,350 78 1
2 2
2 5 2 2 5 2
A x x dx x x dx
2
0,350 78
2
Bepaal die onbepaalde integraal 2x 5x 2 dx:
eintlik
benodig ons nie
die in die volgende
2 2 3 5
c
2
2x 5x2dx x x 2xc stappe
nie, aangesien
3 2
ons
daar met 'n bepaalde
integraal te doen het
0,350 78
2 2 3 5 2
2x 5x2dx x x 2x
3 2
2
2 0,350 78 0,350 78
3 5 2
0,350 78
2
2 2
2
3 x
x x
2
2 3 3 5
2 2
0,35078 2 0,35078 2 20,35078 2 3 2
2 5
8,043163,8769522,35078 3 2
9,03183
0,350 78
2
1
0,350 78
2 2 3 5 2
2x 5x2 dx x x 2x
3 2
0,350
78
2 5
x x x
3
2
1,53184
1,53184
Atotaal 9,03183 1,53184
2
10,564 eenhede (benaderd t
1
1 1
3 2
1
2
0,350 78 0,350 78
0,350 78
ot drie desimale plekke)

Voorbeeld 6. Bepaal die totale grootte van die gearseerde oppervlak:
Oplossing:
Leereenheid 2
Die berekening hieronder is weer nogal lank; daarom sou dit weer eens wys wees om dit in
stukke op te breek en die stukke apart af te handel.
Bereken die onbepaalde integraal wat ter sprake is.
Bereken die grootte van elkeen van die gebiede waarin u die integrasiegebied verdeel het.
Tel laastens die oppervlaktes van die afsonderlike gebiede by mekaar.
0
2
A ( 5sin x) dx 5sinx
dx
0
5sin x dx 5 sin x dx 5cosxc 5cosxc Soos voorheen, sal ons die konstante weglaat in die volgende stappe,
aangesien ons hier met 'n bepaalde integraal werk.
349

Leereenheid 2
350
0 0
( 5sin xdx ) 5cosx
2 2
0
5cos x
2
0
5cos0cos 2
51 0
5
5sinxdx 5cosx
0
5 cos cos
0
5 11 10
10
Atotaal 510 15 eenhede
2
Opmerking: Daar bestaan nog ‘n paar (korter en slimmer?) maniere om hierdie probleem op
te los. Kan u ‘n paar voorstelle maak? Toets of u alternatiewe werk.

Individuele oefening 37
Stewart: Oefening 5.2, pp.376 – 378
Leereenheid 2
Ignoreer die instruksies in die boek; interpreteer elkeen van die probleme as die
oppervlakte van ‘n ingeslote gebied en bereken by elke probleem die netto ingeslote
oppervlakte asook die totale ingeslote oppervlakte.
Wenk: Maak by elke probleem ‘n rowwe skets voor u met die integrasie begin.
nr. 21, 22, 23,
36, 38
1
3
24 (verander die probleem na
25 (verander die probleem na
1
1 2xdx ,
1
3
x dx
2
,
351

Leereenheid 2
Vir die volgende twee addisionele vrae moet u leeronderdeel 2.4.8 raadpleeg,
aangesien die vorm
2 2
a x by hierdie probleme in die integrand voorkom.
1. Beskou die gegewe skets:
352
Maak nou gebruik van die skets waar r x 0 en y 0 en lei die formule af vir die
oppervlakte van 'n volsirkel.
2. Lei die formule af vir die oppervlakte van 'n ellips met 'n lang as a en 'n kort
as b deur .op 'n soortgelyke manier te werk te gaan in nr.1 hierbo.
Neem gerus aan dat die lang as horisontaal is.
Wenk: die vergelyking van ‘n ellips is
x y
a b
2 2
2 2 1
Memorandum van die probleem sal op die e-leer-platform beskikbaar
gestel word, of in die kontaksessie bespreek word.

Leereenheid 2
2.6.2.2 Die grootte van die oppervlakte van ‘n gebied ingesluit tussen die
krommes van twee funksies.
In Leergedeelte 2.2.1 het ons die grootte van die ingeslote oppervlakte tussen die kromme
van ’n integreerbare funksie en ’n as aan die konsep van ’n bepaalde integraal gekoppel
deur die situasie meetkundig te beskou en dit formeel te analiseer. Dit het ons in staat gestel
om in gedeelte 2.6.2.1 ’n streng formele definisie neer te skryf vir die grootte van die
ingeslote oppervlakte tussen ’n kromme en ’n as. Hierdie formele definisie werk nou soos ‘n
formule wat ons vrylik kan toepas op enige probleemsituasie soortgelyk aan die gevalle in
die oefening wat ons hierbo teëgekom het.
Dit gebeur egter dikwels dat ons daarin belang stel om die grootte van die ingeslote
oppervlakte tussen twee krommes te bereken. Integraalrekene bied ons ’n kragtige en
elegante manier om ook dit te doen.
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 6, pp.414 – 418, net na Voorbeeld 5
Gee veral aandag aan die volgende:
Voorbeelde 1 tot 5
Die formule [3] op p. 418 (tesame met die paragraaf net bokant formule [3])
Ons beskou nou die algemene geval en volg ’n soortgelyke werkwyse as wat Engelbrecht et
al (1989:278) voorstel. Sodra ons die presiese definisie van die begrip “oppervlakte ingesluit
tussen twee krommes” gekonstrueer het, sal ons die definisie dan net verder aan toepas om
probleme op te los.
353

Leereenheid 2
Gestel ons het ’n onreëlmatige oppervlakte A wat tussen die krommes van die begrensde
kontinue funksies f x en g x ingesluit is tussen die punte a en b op die X-as. Gestel ter
wille van ons bespreking dat f x bokant g x geleë is, met ander woorde dat
f x gx: Ons kan A nou soos volg beskryf: A x; ya x b; gx y f x
354
Ons wil die grootte van die ingeslote oppervlakte A bepaal.
Daar bestaan geen bekende formule om die grootte van die onreëlmatige oppervlakte A mee
te bereken nie.
Gestel ons verdeel soos voorheen die interval ab ; in n deelintervalle sodat die ingeslote
oppervlakte A in n ewewydige stroke verdeel word.
Die punte x0; x1; x2; ....; xk; xk 1;
...; xn
intervalle x; x ,
x; x ,
x; x ,
..., x x
die verdeling.
0 1
1 2
vorm dan verdelingspunte van die interval ;
2 3
, ..., 1 ; xn xn
1 ; k k
ab en die
is dan die deelintervalle van

Leereenheid 2
Die lengtes van die deelintervalle is dan die getalle x x , x x ,
xx ,
...,
x x
k k 1
xn xn1. 1 0
2 1
, ...,
3 2
Soos voorheen, noem ons die lengte van die langste deelinterval die maas van die
verdeling. Indien die kde deelinterval die langste is, is die maas dus die getal x x x 1
vir enige waarde van k vanaf k 1 tot by k n:
k k k
Soos voorheen kan ons elke strook deur ‘n reghoek te vervang en dan gewoon al die
reghoekige oppervlaktes by mekaar te tel; ook sou dit weer eens gerieflik wees om die
verdelingspunte so te kies dat al die deelintervalle ewe lank is; dan sou die maas van die
verdeling gewoon die lengte van elkeen van die deelintervalle wees; dan sou ons kon skryf:
Maas van die verdeling x
x x vir alle waardes van k solank 1 k n
k k1
Let weer eens daarop dat dit nie streng nodig is om die verdeling so te kies dat al die
deelintervalle ewe lank is nie; in hierdie geval het ons dit wel so gekies.
Ons dui die grootte van die oppervlakte van die k-de reghoek waarmee ons die stroke
vervang aan met die simbool k A en ons noem k A ’n reghoekige oppervlakte-element.
355

Leereenheid 2
Uit onderstaande grafiese voorstelling is dit duidelik dat die lengte van die kde reghoekige
oppervlakte-element weer eens verkry kan word deur gewoon die punt
* *
in die vergelyking van die funksie te vervang: lk f xkgxk 356
:
*
x k waar
x x x
k1 *
k k
Hierdie punt *
x k word weer eens ‘n tussenpunt (“sample point”) van die deelinterval
xx 1 ; k k
genoem.
Soos voorheen, kan ons die tussenpunt *
x k by enige punt binne die geslote interval
xx 1 ; k k
kies; dit hoef nie noodwendig die linkereindpunt, regtereindpunt of middelpunt van
die interval te wees nie. In die algemeen is
interval 1 ;
*
xk xk
, met ander woorde k k1 k
grafiese voorstelling)
*
x k enige punt binne of op die eindpunte van die
x x ; x vir k 1, 2, 3, ..., n (sien bostaande
Die somtotaal van reghoekige oppervlakte-elemente in die grafiese voorstelling hierbo
sou slegs ’n benaderde waarde lewer vir die werklike oppervlakte A.

Ons skryf dit soos volg:
n
A A
k 1
n
k1
n
k1
k
l b l f x g x b x
* *
k waar k ( k) ( k)
en
A
f x g x
x
* *
( k) ( k)
[1]
Leereenheid 2
Die regterkant van [1] hierbo het die tipiese vorm van ’n Riemann-som vir die
verdeling.
Ons kan aanvoel dat die benadering al beter word namate ons die verdeling van ab ; al hoe
fyner maak. ’n Fyner verdeling beteken dat die maas x (en dus die breedte van elke
strook) kleiner word en dat n, die aantal reghoekige stroke, al hoe groter word. Die stukkie
oppervlakte waarmee die k-de reghoekige oppervlakte-element k A van die k-de gekleurde
strook verskil, word dan al hoe kleiner.
Ons moet goed daarop let dat indien ons die verdeling oneindig fyn maak (deur die
maas oneindig klein, dit wil sê baie naby aan nul, te kies) dan streef die breedte x
van elke reghoekige oppervlakte-element na nul en streef n, die aantal reghoekige
oppervlakte-elemente, na oneindig. Ons kan dit weer eens soos volg skryf:
x 0 en n
Ons kan onsself voorstel dat die som van alle infinitesimale oppervlakte-elemente
kontinu raak. Meetkundig beteken dit dat die oneindige aantal infinitesimale
oppervlakte-elemente tussen a en b die hele oppervlakte van die figuur “invul” of
inkleur.
Ons kan die werklike grootte van A , die ingeslote oppervlakte, nou as 'n limietgeval beskou
(sien die volgende grafiese voorstelling waar ons slegs een van die oneindig veel reghoekige
oppervlakte-elemente getoon het):
357

Leereenheid 2
Die grootte van die ingeslote oppervlakte A is die limiet van die som van die groottes
van infinitesimale oppervlakte-elemente waar x , die maas van die verdeling streef na
nul.
Soos voorheen kan ons so ’n begrip op elegante wyse wiskundig in terme van betekenisvolle
simbole formuleer:
358
n
lim x 0
k 1
k maar k
(
*
k) (
*
k)
vanuit [1] hierbo
n
x 0
k1
*
k
*
k
A A A f x g x x
A lim f( x ) g( x ) x
[2]
Maar die feit dat die maas (en dus die breedte van elke reghoekige oppervlakte-element) na
nul streef impliseer direk dat n , die aantal infinitesimale reghoekige oppervlakte-
elemente in die verdeling, streef na oneindig.
Ons kan [2] hierbo dus herformuleer as
n
* *
lim
( k) ( k)
[3]
n
k 1
A f x g x x

Leereenheid 2
Vergelyking [3] hierbo staan bekend as die limiet van ‘n Riemann-som van die
verdeling.
(Stewart, 2008:367)
In die geval waar die maas van die verdeling oneindig klein gemaak word dui ons steeds die
breedte van elke infinitesimale oppervlakte-element aan met die simbool dx en die grootte
van die oppervlakte van die element dui ons steeds aan met die simbool dA.
Die lengte van die infinitesimale oppervlakte-element kan dan gewoon beskou word as die
verskil tussen die funksiewaarde f ( x ) en die funksiewaarde g( x) waar x enige punt op die
X-as is waarby ‘n infinitesimale reghoekige oppervlakte-element dA voorkom:
Aangesien die verdeling dan so fyn raak dat daar ’n infinitesimale oppervlakte-element by
*
elke punt x van die interval abvoorkom, ; kan ons nou f ( x ) skryf in plaas van f x k en
*
g( x ) in plaas van g x k .
Verder, aangesien ons reg aan die begin van die bespreking vereis het dat f ( x ) en g( x )
albei kontinu moes wees op ;
daarvolgens is f ( x) g( x)
ab geld dit dat f ( x) g( x)
integreerbaar op ;
ab.
ook kontinu is op ;
ab en
Soos voorheen kan ons hierdie kontinue som van oneindig veel infinitesimale oppervlakte-
elemente ([3] in die bespreking hierbo) dan skrywe as
b
a
b
( ) ( )
A dA waar in hierdie geval geld dat dA f( x) g( x) dx
A f x g x dx
a
waar f ( x ) en g( x ) die funksiewaarde in elke punt x van die geslote interval [a; b] voorstel.
n
b
* *
Dus: lim
( k) ( ) k
( ) ( )
A f x g x x f x g x dx
n
k 1
a
Hier het ons nou die konsep van ‘n ingeslote oppervlakte verder uitgebrei om ook te kan
beteken: die oppervlakte ingesluit tussen die krommes van twee funksies.
359

Leereenheid 2
Daar is natuurlik nog ’n belangrike tekortkoming in die resultaat wat ons hierbo afgelei het:
Reg aan die begin van die bespreking het ons van die voorveronderstelling uitgegaan dat
f ( x) g( x)
vir alle a x b.
Wanneer f ( x ) en g( x ) kontinu is op ab ; is dit egter in die
algemeen nie só dat f ( x) g( x)
360
vir alle x ab ;
nie (Engelbrecht et al, 1989:279).
’n Geval soos die volgende sou byvoorbeeld moontlik kon wees (Stewart, 2008:418):
y
O
Op die interval cd ; ab ;
a
A
geld dat f ( x) g( x)
c
d
vir x cd ;
g(x)
f(x)
b
; dus sal die getal f ( x) g( x)
negatief wees op ’n gedeelte van die interval ab ; en derhalwe sou die oppervlakte van die
d
geskakeerde gebied tussen c en d negatief uitkom, aangesien A f( x) g( x) dx
met f( x) g( x)
0 en dx altyd positief. Die implikasie hiervan is baie ernstig: indien ons
die grootte van die geskakeerde oppervlakte hierbo wou bereken, sou ons ‘n verkeerde
antwoord verkry indien ons dit soos volg doen:
Aanab Aanac Acnad Adnab
aangesien die term A cnad negatief sou wees. Hierdie dilemma is soortgelyk aan die
probleem wat ons in ‘n vorige afdeling teëgekom het waar ‘n gedeelte van ‘n ingeslote
gebied tussen ‘n kromme en die X-as benede die X-as geleë was.
Ons omseil soos voorheen hierdie probleem deur gewoon ons definisie vir die grootte van
die oppervlakte ingesluit tussen twee krommes strenger te formuleer:
cnad
x
c

Leereenheid 2
Definisie: Die oppervlakte ingesluit tussen die krommes van enige twee funksies
tussen twee punte
As f x en g( x ) kontinu is op ab ; dan word die oppervlakte van die gebied ingesluit
tussen die krommes van die funksies y f xen
y g( x)
tussen die punte x a en x b
b
gedefinieer as
b
waar
a
A f x g x dx
a
f x g x dx beteken dat die gebied verdeel moet word sodat die groottes van die
oppervlaktes van al die dele as positiewe waardes geneem en dus bymekaargetel kan word.
Hierdie definisie is in die algemeen bruikbaar en ons sal dit voortaan telkens gebruik
wanneer ook al ons ‘n situasie soos die een in die grafiese voorstelling teëkom. Dit is ook
waarom dit altyd verstandig is om eers ‘n skets te maak van die gebied waaroor geïntegreer
word.
‘n Baie belangrike implikasie van bogenoemde definisie is om die bepaalde integraal
dan so op te breek dat die interval(le) waaroor die verskil f ( x) g( x)
negatief word,
korrek gehanteer kan word. Ons het ‘n soortgelyke gedagte by leeronderdeel 2.6.2.1
teëgekom.
In die geval van die grafiese voorstelling op die vorige bladsy, behoort ons die korrekte totale
grootte van die geskakeerde ingeslote oppervlakte soos volg te bereken:
A A A A
anab anac cnad dnab
c d b
fx g x
dx
f x g x
dx
f x g x
dx
a c d
361

Leereenheid 2
Wanneer die hele area wat ingesluit word deur ‘n kromme en enige ander kromme
bereken moet word moet die snypunte van die twee krommes eers bepaal word om die
integrasiegrense (die interval waaroor ons die infinitesimale oppervlakte-elemente sommeer)
te bepaal.
Voorbeeld 1:
Bereken die grootte van die geskakeerde gebied A tussen twee krommes f ( x) 2x
en
1
g( x) x
2
362
2
en tussen die x-waardes 1
x en x 3 :

Oplossing:
1
2
1
3
2
A 2x
x dx
1
3 3
2
2xdx
x dx
1 1 2
3
1
3
2
2 2
3
x
x
2
1
3
1
2
3
1
1
2 1
3
3
3
1
2
3 1 3
3
1 1
x
x
x
6
x
2 2 1 3 3
3 1 3 1
6
1
91 271 6
26
8 6
2
3,667 eenhede
Leereenheid 2
Dit is belangrik om daarop
te let dat die funksie f in hierdie geval op die hele integrasieinterval
bokant die funksie g geleë is, dus geld f x gx0 op die hele integrasieinteval.
Omdat f x gx0 het ons dus hier nie nodig om die ingeslote oppervlakte
tussen die krommes in terme van die absolute waarde van die bepaalde integraal van
'n verskil van funksies te skryf nie. Dit sou egter nie "verkeerd" gewees het om dit wel
te doen nie.
Voorbeeld 2:
Bereken die grootte van die oppervlakte ingesluit tussen die twee krommes
en
2
g( x) x
2x
2
f ( x) x 3x
363

Leereenheid 2
Oplossing:
Bepaal die x koördinate van die snypunte tussen die krommes, aangesien hierdie punte
se x-koördinate
die integrasiegrense gaan uitmaak:
364
2 2
Stel f( x) g( x) : x 3x x 2x
2
2x 5x 0
x2x50 x 0of2x50 5
x 0of x 2,5
2
Teken ons nou die gebied, lyk dit soos volg:
xf x
Op die integrasie-interval waarmee ons hier werk geld dat g , so ons kan verwag
dat die getal f xgx0opdie integrasie-interval. Gelukkig het ons die oppervlakte
tussen twee krommes streng genoeg gedefinieer;
u sal sien dat ons finale antwoord positief
sal uitkom (soos redelik is, aangesien ons die grootte van 'n oppervlakte bereken):
2,5
A f( x) g x dx
0
2,5
0
2
3 2
2
x x x x dx

2,5
0
2,5
2
3
2
2
A x x x x dx
0
2,5
0
2 2 5
x x dx
2 x xdx f x gx 2 5 omdat op die hele inverval 0 x 2,5
2,5
2
2,5
0 0
2xdx 5 xdx
2,5 2,5
3 2
2 x
3
0 5
x
2
0
2 2,5 2,5
3 5 2
x x
3
0 2
0
2 3 3 5 2 2
2,5 0 2,5 0
3 2
2 5
15,625 6,25 3 2
10,417 15,625
5,208
5,208 eenhede
2
Leereenheid 2
En hier sien ons hoe die streng formulering van die ingeslote oppervlakte in terme van ‘n
absolute waarde verseker dat ons resultaat positief uitkom.
365

Leereenheid 2
366
Individuele oefening 38
1. Bereken die grootte van die oppervlakte ingesluit tussen die twee krommes
3
f( x) x
2
2x 3
x 1 en g( x) x
2
x x
Asook:
Wenk:
Stewart: Oefening 6.1, pp.420 – 421
nr. 1, 2, 5, 7, 14, 16,
Memorandum van die probleem sal op die e-leer-platform beskikbaar
gestel word, of in die kontaksessie bespreek word.

2.6.3 Volumes van omwentelingsliggame
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 6, p. 414, asook pp.422 - 425
Gee veral aandag aan die volgende:
Leereenheid 2
Die algemene bespreking van die proses wat gevolg word, pp.422 – 423,
saamgelees met Voorbeeld 1
Voorbeeld 1, p. 423
Voorbeeld 2, p. 424
Gebruik die soekenjin Google en gebruik as trefwoorde “Volume of solid of revolution” en
besoek net die eerste 5 trefslae.
Omwentelingsliggame ontstaan wanneer die kromme van 'n funksie om 'n Cartesiese as
wentel en sodoende ’n soliede driedimensionele gebied of volume in die ruimte genereer.
Enige liggaam met 'n sirkelvormige deursnee kan beskou word as 'n omwentelingsliggaam.
367

Leereenheid 2
Enkele voorbeelde:
368
Indien die kromme van
die konstante funksie
y=2 om die X-as roteer
tussen die punte x=0 en
x=6, word die volgende
silinder verkry:
Indien die kromme van die
reguit lyn y=x om die X-as
roteer tussen die punte x=0
en x=4, word die volgende
kegel verkry:
Y
Y
2
O
O
fx = x
4
fx = 2
6
X
X

Indien die kromme van die
tweedegraadse funksie
y=0,15x 2 om die X-as roteer
tussen die punte x=0 en
x=5, word die volgende
interessante liggaam
verkry:
Indien die
kromme van die
halfsirkel
y= 9-x 2 om die
X-as roteer,
word 'n sfeer
met radius 3
eenhede verkry
Y
Y
O
3
O
fx = 0.15x2 fx = 9-x2 3
5
Leereenheid 2
X
X
369

Leereenheid 2
Die vraag is nou hoe ons te werk moet gaan om die volume van sulke figure te bereken.
Nog 'n interessante vraag is natuurlik waar die formules vandaan kom waarmee ons die
volume van sommige bekende soliede liggame, byvoorbeeld kegels en sfere, bereken.
Die volume van ‘n omwentelingsliggaam word volgens soortgelyke beginsels bereken
as die grootte van ’n ingeslote oppervlakte. (blaai terug na leeronderdeel 2.1.3 en lees
weer aandagtig daardeur.) (Indien u die Internet-soektog uitgevoer het wat ons hierbo
gegee het behoort u teen hierdie tyd ’n redelike vermoede te hê oor wat nou gaan volg.)
Laat ons nou heengaan en die basiese strategie vir u uitlê. Om u te help om dit wat volg te
visualiseer kan u gerus eers oor die volgende situasie nadink:
370

Leereenheid 2
Gestel ons het ’n langwerpige vrug of groente wat ’n sirkelvormige deursnit besit
(byvoorbeeld ’n pynappel). Gestel verder dat ons die volume van die vrug wil bepaal.
Aangesien die pynappel ’n liggaam is waarvan ons nie ’n formule vir die volume het nie, sal
ons op ’n vindingryke wyse te werk moet gaan.
Gestel ons lê die pynappel op sy sykant neer en sny dit met ’n skerp mes in parallelle
sirkelskywe loodreg op die lang as. U sal saamstem dat elke skyf twee sirkelvormige
oppervlaktes en ’n dikte besit. U sal ook onthou dat ’n liggaam met ’n sirkelvormige
basisoppervlakte en ’n dikte (of hoogte, as ons dit regop neersit) bekend staan as ’n silinder
2
– en ons beskik wel oor ’n formule vir die volume van ’n silinder – dit is V r h.
Ons kan dus die volume van elke pynappelskyfie afsonderlik bereken deur sy radius en dikte
te meet en die formule
toe te pas. Maar ons probleem was oorspronklik om die
2
V r h
volume van die hele pynappel te bepaal.
Om die volume van die hele pynappel te bepaal sou ons die somtotaal van die volumes
van die afsonderlike skywe bepaal deur die afsonderlike volumes by mekaar te tel (te
sommeer)
Ons kan aanvoel dat ons die hele pynappel sou terug verkry as ons al die skywe neem en
hulle opmekaarstapel (tensy iemand miskien intussen ’n skyf of twee geëet het, natuurlik).
Bogenoemde strategie het natuurlik een tekortkoming, naamlik dat elke skyf nie werklik ’n
perfekte silinder is nie - dit is omdat die een basisoppervlakte van elke skyf effens groter of
kleiner as die ander oppervlak mag wees; die deursnee-oppervlakte van die pynappel wissel
mos soos ons langs die lang as af beweeg.
Indien ons nou sou heengaan en die skywe baie dunner sny, sou die verskil tussen die
groottes van die twee basisoppervlaktes van elke skyf baie min word. Elke skyf sou dan wel
’n byna perfekte silinder gewees het, maar met ’n baie klein dikte. As ons steeds die radius
en dikte van elke skyf akkuraat kon meet, sou ons steeds die volume van elke skyf
afsonderlik kon bereken; ons sou die somtotaal van die volumes van al die skyfies dan as ’n
goeie benadering kon beskou vir die werklike waarde van die volume van die hele pynappel.
Ongelukkig sou ons natuurlik vind dat die aantal skywe waarin die pynappel gesny moet
word toeneem namate ons die skywe dunner sny; dit sou beteken dat die omvang van ons
rekenwerk onhanteerbaar word.
371

Leereenheid 2
Beskou laastens wat ons sou vind indien ons die pynappel in ’n oneindige aantal
infinitesimale skywe sou sny.(infinitesimaal beteken hier dat die dikte van elke skyf na nul
streef namate ons die skywe dunner en dunner maak).
Dan sou ons die volumes van ’n oneindige aantal infinitesimale skywe afsonderlik moes
uitreken en daarna sommeer – maar die som van die skywe sou dan die presiese volume
van die hele pynappel lewer. (Stem u saam? Is so ’n eksperiment werklik moontlik?
Motiveer u antwoord. Verduidelik waarom hierdie argument nuttig is alhoewel dit miskien nie
maklik prakties uitvoerbaar is nie.)
Ons gee toe dat bogenoemde bespreking van ‘n redelik intuïtiewe aard was. Die konsepte
wat ons hierbo teëgekom het, stem egter grootliks ooreenstem met dit wat ons reeds
met ingeslote oppervlaktes gedoen het. Daarom het ons dit nuttig gevind om die
berekening van die volume van ‘n omwentelingsliggaam eers intuïtief aan die hand van ‘n
praktiese voorbeeld te behandel voordat ons dit strenger formaliseer.
Opsomming van hoe ons ‘n omwentelingsliggaam hanteer:
Die driedimensionele omwentelingsliggaam word in ’n groot aantal volume-elemente verdeel
en dan word die volume van 'n verteenwoordigende volume-element bereken. Elke volumeelement
kan nou beskou word as ‘n dun silindriese skyf waarvan die radius van die voorste
sirkelvormige oppervlakte gelyk is aan die radius van die agterste sirkelvormige oppervlakte.
Die dikte van die dikste volume-element word die maas van die verdeling genoem.
Om die presiese waarde van die hele liggaam se volume te verkry, word die dikte van die
volume-elemente oneindig klein gemaak (wat beteken dat ons die maas van die verdeling
oneindig fyn maak), met die gevolg dat die aantal volume-elemente waarin die liggaam
verdeel word, oneindig veel word. Die werklike presiese volume van die
omwentelingsliggaam word dan gegee deur die som van hierdie oneindig veel infinitesimale
volume-elemente.
Die volume van die omwentelingsliggaam kan dan beskou word as die limiet van ’n
Riemann-som, wat ons as ’n bepaalde integraal kan skryf. Die waarde van hierdie bepaalde
integraal lewer dan die presiese waarde van die werklike volume van die liggaam.
372

Leereenheid 2
Die prosedure vir die berekening van die volume van ‘n omwentelingsliggaam moet
verstaan, eerder as gememoriseer word. Soos voorheen, is dit is beter as u hierdie
berekening as 'n proses beskou en nie as ’n bewerking of formule nie.
Wat nou volg, is ’n eenmalige formele afleiding vir die proses wat ons in die algemeen kan
volg om die volume van ’n omwentelingsliggaam te bereken, soos voorgestel deur
Engelbrecht et al (1989:284-286). Soos voorheen is die doel van so ’n formele afleiding om
presies formeel te definieer wat ons bedoel met die begrip “volume van ’n
omwentelingsliggaam” en dan verder aan gewoon net die definisie as rekenmetode te
gebruik sonder om elke keer wanneer ons so ’n probleem teëkom weer vanaf eerste
beginsels uit te gaan.
Beskou ’n funksie y f( x)
;
x ab:
wat kontinu is op die geslote interval ;
ab met f x 0 vir alle
373

Leereenheid 2
Gestel die gebied begrens deur die krommes van y f( x)
, x a , x b en die X-as wentel
om die X-as om ’n driedimensionele vaste liggaam te vorm:
Ons wil die volume van die omwentelingsliggaam wat sodoende ontstaan uitreken.
Daar bestaan geen bekende formule om die grootte van die volume V van die
omwentelingsliggaam mee te bereken nie. Ons moet dus op vindingryke wyse te werk gaan.
Gestel ons verdeel die interval ab ; in n deelintervalle en benader elke onreëlmatige strook
van die gebied deur ’n reghoekige strook.
In die meegaande grafiese voorstelling word net die kde reghoekige strook getoon:
374

Leereenheid 2
Die punte x0; x1; x2; ....; xk; xk 1;
...; xn
vorm soos voorheen die verdelingspunte van die
interval ab, ; terwyl ons weer eens die lengte van die langste deelinterval die maas van die
verdeling noem. (in die grafiese voorstelling hierbo is die maas die getal k x )
Indien die hele gebied tussen a en b nou om die X-as roteer, wentel ook elkeen van die n
reghoekige stroke om die X-as; sodoende ontstaan daar n ewewydige silinderskywe.
In die meegaande grafiese voorstelling word slegs die kde silindervormige skyf getoon:
375

Leereenheid 2
Uit die bekende formule vir die volume van ’n silinder kan ons nou die volume van elke
silindervormige skyf bereken. Die radius van die k-de silindriese skyfie is die funksiewaarde
f x vir enige keuse van die tussenpunt
*
( k )
376
*
x , waar x x ; x met1
k n.
Die volume
*
k
k k1 k
van die k-de silindriese skyfvormige volume-element, wat ons aandui met die simbool k V ,
kan derhalwe as volg geskryf word:
(aangesien )
Vk 2
r dikte V Basisoppervlakte Dikte
*
f xk 2
xk k k n
( )
vir enige waarde van sodat 1 [1]
Die totale volume van die hele omwentelingsliggaam kan nou benader word deur die
somtotaal van al die volume-elemente bymekaar te tel:
n
V V vir alle waardes van k sodat 1 k n
k1
n
k 1
n
k 1
k
*
2
k k
V f x x
*
2
k k
V f x x
uit [1] hierbo
U sal die uitdrukking [2] hierbo weer eens herken as ’n Riemann-som.
[2]

Leereenheid 2
Ons kan aanvoel dat die benadering in [2] hierbo beter word indien ons die maas van die
verdeling kleiner maak, aangesien n, die aantal skyfvormige volume-elemente, dan toeneem
soos wat hulle dikte, k x , afneem vir elke k sodat 1 k n.
Indien ons die maas van die verdeling infinitesimaal klein maak, sal die dikte van elke skyf
streef na nul terwyl die aantal skywe na oneindig sal streef. Soos voorheen kan ons skryf:
0 en n
xk
Die volume van so ’n oneindig dun silindervormige skyf-element dui ons aan met die simbool
dV in plaas van k V en ons noem so ’n oneindige dun silindervormige skyf-element ’n
infinitesimale volume-element. In die geval waar die maas van die verdeling oneindig
klein gemaak word dui ons die dikte van elke infinitesimale volume-element aan met die
simbool dx in plaas van k x .
Wanneer die maas van die verdeling na nul streef kan ons onsself voorstel dat die
som van alle infinitesimale volume-elemente kontinu raak. Meetkundig beteken dit dat
die oneindige aantal infinitesimale skyf-elemente tussen a en b die hele volume van
die figuur “invul” of inkleur.
Die volume V van die hele omwentelingsliggaam is dus die limiet van die som van die
groottes van infinitesimale volume-elemente in die geval waar k x , die maas van die
verdeling streef na nul.
Soos voorheen kan ons dit wiskundig formuleer:
n
xk0 k 1
n
xk0 k 1
2
*
k k k k
V lim V maar V
f( x )
x
vanuit [1] hierbo
2
*
k k
V lim
f( x )
x
xk0 k 1
n
2
*
k k
V lim
f( x )
x
[3]
377

Leereenheid 2
Maar die feit dat die maas (en dus die dikte van elke volume-element) na nul streef impliseer
direk dat n , die aantal infinitesimale skyfvormige volume-elemente in die verdeling,
streef na oneindig. Ons maak weer eens van hierdie gedagte gebruik om [3] hierbo te
herformuleer as
378
n
n
k1
2
*
k k
V lim
f( x )
x
[4]
U sal vergelyking [4] hierbo herken as die limiet van ‘n Riemann-som.
(Stewart, 2008:367)
Die feit dat dit in terme van n geskryf is, gee weer eens die moontlikheid om V algebraïes te
bereken.
Aangesien die verdeling in die limiet waar n so fyn raak dat daar ’n infinitesimale
volume-element by elke punt x van die interval abvoorkom, ; kan ons nou f ( x ) skryf in
*
plaas van k
f x .
Met behulp van ons voorkennis kan ons hierdie kontinue som van oneindig veel
infinitesimale volume-elemente [4] nou skrywe as
b
a
b
a
a
waar
2
( )
2
( ) waar ( ) die funksiewaarde in elke punt van die interval ;
V dV dV f x dx
V f x dx
f x x a b
b 2
( )
V
f x dx
n
voorstel.
b
*
Dus: lim
( k )
( )
n
k1
2 2
V f x x f x dx
a

Leereenheid 2
Uit die bespreking hierbo volg dan die volgende algemene formele definisie waarmee ons
die grootte van die volume van die omwentelingsliggaam van ’n begrensde kontinue funksie
tussen enige twee punte op ‘n as kan bereken:
Definisie: Die volume van ‘n omwentelingsliggaam
As f ( x ) ’n begrensde kontinue funksie op ’n geslote interval ab ; ] is, definieer ons die
volume van die omwentelingsliggaam wat ontstaan as die kromme met vergelyking
y f( x)
tussen x a en x b om die X-as roteer as
b
V f( x)
dx
a
2
Ons herinner u daaraan dat, aangesien ons die definisie streng formeel afgelei het, dit
onnodig sou wees om die hele argument hierbo elke keer wanneer ons dit gebruik te
verstrek. Ons kan die definisie van die volume van ’n omwentelingsliggaam dus as ’n
algoritme beskou en so toepas.
379

Leereenheid 2
Ook word die gedagte genoem dat die formules vir die volumes van bekende vaste
liggame met sirkelvormige deursneë volkome sonder insident afgelei kan word deur
van bogenoemde metodes gebruik te maak.
Voorbeeld:
'n Sekere kegel het 'n radius van 4 cm en 'n hoogte van 6 cm:
Maak van die skets gebruik en bereken die volume van die kegel, indien ons dit beskou as
4
die soliede liggaam wat gevorm word indien die kromme van die funksie y x om die X-
6
as roteer. Kontroleer u antwoord deur die volume van die kegel uit te werk met die gewone
1 2
meetkundige formule V r h.
3
380
Y
4
O
dV
dx
y= 4
6 x
6
r=f(x)
X

Oplossing:
6 2
V f x
dx
0
64
0 x
6
dx
616
2
0 x
36
dx
4
6
2
9 xdx
0
6
41 3
x
9
3
0
4
6
3
x 27
0
4
3 3
6 0
27
864
3
cm
27
3
100,531 cm
2
Kontrole met behulp van die gewone formule:
1 2
V r h
3
1 2
(4)
6
3
3
100,531 cm
Individuele oefening 39
Skets die gebiede wat om die as roteer voordat u die berekening probeer:
1. Bepaal die volume van die figuur wat ontstaan indien die kromme van
tussen die punte x 3 en x 3 om die X-as wentel.
Leereenheid 2
y 9 x
2
381

Leereenheid 2
4 3
2. Bepaal die volume van 'n sfeer met radius van 3 eenhede as gegee is dat Vsfeer r en
3
vergelyk u antwoord met wat u in vraag 1 gevind het.
3. In 'n Pas-en-Draai-werkswinkel word 'n stuk metaal horisontaal op 'n draaiende
382
as gemonteer en so gemasjineer dat sy profiel die vorm het van die kromme
1
y x
2
2
. Alle afmetings in die volgende skets is in cm:
y
f(x)
O
1
dx
x 3
f x = 0.5x 2
r=f(x)
Bepaal, deur van integrasie gebruik te maak, die volume van die soliede werkstuk
wat ontstaan indien die gebied tussen die kromme
x
1
y x
2
dx
dV
2
en die X-as tussen die
waardes x 1 en x 3 om die X-as wentel. Volg die stappe hieronder:
3.1 Druk die volume van dV uit in terme van die gegewens op die skets.

3.2 Beskou die grootte van die hele volume V as die limiet van die som van 'n
oneindige aantal silindriese skyfie-elemente en skryf 'n bepaalde integraal
neer om V te bereken.
3.3 Bereken die bepaalde integraal wat u in 3.2 gevorm het.
4. Beskou die volgende skets van die kromme
simale skyfvormige element aangetoon is:
Leereenheid 2
2
1 2
x
y b
waarop ook 'n infinitea
Gebruik u kennis van integrasie en bereken die volume van 'n rugbybal met 'n
lengte van 34 cm en 'n breedte 16 cm. Toon alle stappe.
(Wenk: Laat die geskakeerde gebied om die X-as roteer. Stel a 17 en stel b 8 )
383

Leereenheid 2
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.
Die volume van 'n omwentelingsliggaam van 'n gebied tussen twee krommes
ingesluit om die X -as tussen die punte a en b
Gestel die geskakeerde gebied in die skets roteer om die X-as sodat 'n soliede figuur
ontstaan:
384
y=g(x)
y=f(x)
O
y
a
Hoe kan die volume van die omwentelingsliggaam wat sodoende ontstaan, bereken word?
b
x

Bestudeer Stewart: Hoofstuk 6, p. 426 – 427 (Voorbeeld 4)
Leereenheid 2
Ons kan van ons reeds bekende strategie gebruik maak om ‘n formule af te lei vir die
volume van die omwentelingsliggaam wat ontstaan wanneer die gebied ingesluit
tussen twee krommes om die X-as wentel.
Beskou die grafiese voorstelling op die vorige bladsy.
Ons kan die geslote interval ab ; in n deelintervalle gaan verdeel. Sodoende word die
gebied tussen die twee krommes in n ewewydige reghoekige oppervlakte-elemente (stroke)
verdeel. Verder kan ons binne elke deelinterval ‘n tussenpunt
van k met 1 k n,
die punt
*
x k in die interval 1 ; x x geleë is.
k k
*
x k kies sodat vir alle waardes
Laat ons nou toe dat elkeen van hierdie reghoekige oppervlakte-elemente om die X-as
wentel, dan vorm daar n ringvormige volume-elemente, elkeen met dikte k x , buite-radius
*
*
en binne-radius rk gxk R f x
k k
.
Die k de ringvormige volume-element, wat ons kan aandui met die simbool k V , se volume
kan dan uitgedruk word as:
2 2
* *
V R r x
k k k k
2 2
fx g x x
k k k
385

Leereenheid 2
Indien ons nou die maas van die verdeling na nul laat streef, sodat die aantal ringvormige
volume-elemente na oneindig streef, dan streef die som
die volume van die omwentelingsliggaam.
386
n
Vk
na die presiese waarde van
k1
Met behulp van die gedagtes hierbo, kan die eksakte volume van die omwentelingsliggaam
soos volg uitgedruk word:
V lim V
n
n
k
k 1
n
k 1
2
*
2
*
n
2
*
2
*
lim f x g x x
n
V lim
f xk
g xk
xk
[1]
n
k1
k k k
Die laaste uitdrukking [1] hierbo kan maklik herken word as ‘n Riemann-som vir die
verdeling.

Leereenheid 2
Ons het reeds verskeie kere gesien dat wanneer n en die maas na nul streef die
verdeling oneindig fyn word; sodoende word die som kontinu en kan die laaste stap hierbo
as ‘n bepaalde integraal geskryf word:
b
2 2
met vir alle ;
V f x g x dx
f x g x x a b
a
Bogenoemde bespreking is nie ‘n formele afleiding nie; dit moet eerder beskou word as ‘n
motivering vir die formule
b
2 2
met vir alle ;
V f x g x dx
f x g x x a b
a
waarmee ons oor die algemeen probleme soos dié in die volgende oefening kan hanteer.
Individuele oefening 40
Skets die gebiede wat om die as roteer voordat u die berekening probeer
Bepaal die volume van die volgende omwentelingsliggame indien die gebied ingesluit tussen
die gegewe krommes tussen die gegewe punte op die X-as om die as roteer:
1. y 2x
en
2.
3.
1 2
y x tussen x 2 en x 6
4
9 1
y en y x tussen x 1 en x 5
x 2
1 2
1
y x 1 en y x 1 tussen die punte waar die krommes mekaar sny.
3
2
4. y x 2 en y x tussen x 0 en x 2
5.
2
2 en 2 x
y e
y x
tussen x 0,5 en x
1
387

Leereenheid 2
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.
2.6.4 Die arbeid verrig op 'n liggaam
Die berekening van die arbeid verrig op 'n liggaam wanneer 'n afstandsafhanklike krag
die liggaam verplaas
Bestudeer Stewart: Hoofstuk 6, pp.438 – 439
Neem goed kennis van die redenasies en prosesse wat hier ter sprake is.
Almal van ons is bekend met die feit dat as 'n konstante krag F op 'n liggaam werk en die
liggaam oor 'n afstand x in dieselfde rigting as F verplaas, dan kan die arbeid W wat op die
liggaam verrig is, bereken word uit die formuleW F x.
Die probleem is egter dat sekere kragte wat algemeen in die natuur en ook in die industrie
voorkom, nie konstant is nie, maar wel afstandsafhanklik is. Ons noem hier twee
voorbeelde:
388
Voorbeeld 1 is die herstelkrag F in 'n veer wat onder spanning verkeer,
aangesien Hooke se Wet vir vere dit stel dat F( s) k s waar k die
styfheidskonstante vir die veer is, en s die verlenging (of verkorting) van die veer
aandui wanneer dit uitgerek of saamgedruk word.

Leereenheid 2
Dit beteken dat die herstelkrag F groot is wanneer die uitrekking s groot is (of ook
wanneer die saamdrukking s groot is). Die negatiewe teken dui daarop dat die krag
F altyd in die teenoorgestelde rigting as die uitrekking of saamdrukking werk:
F(s)=-3s
-6
F(s)
-18
F (Newton)
2
ds
dW
6
s (cm)
Arbeid benodig om
die veer uit te rek
vanaf ontspanne
toestand (s=0) tot
s=6 cm
Voorbeeld 2 is die elektrostatiese krag F tussen twee elektriesgelaaide deeltjies
q 1 en q 2 wat op 'n afstand r vanaf mekaar verkeer, aangesien die grootte van
hierdie krag F afhang van die afstand tussen die twee deeltjies:
k q1q2 Fr ( ) waar k 'n konstante is.
2
r
Indien die afstand tussen die deeltjies met 'n sekere faktor verklein, vergroot die krag
tussen die deeltjies met die kwadraat van daardie faktor! (Halveer die afstand, dan
vervierdubbel die grootte van die krag).
389

Leereenheid 2
390
F (Newton)
F(r)
O
dW
dr
Arbeid benodig om
die afstand tussen
die deeltjies te
verminder vanaf 1 m
tot 10 nm
10 nm 1 m
In albei gevalle hierbo kan arbeid nie meer beskou word as W F x nie, omdat F 'n
funksie is van die veranderlike x .
Uit beide grafiese voorstellings van die arbeid W hierbo, blyk dit egter duidelik dat
dW l b
F( x) dx
dW F( x) dx
Dit beteken dat die donker reghoekie in die grafiese voorstellings hierbo 'n infinitesimale
arbeid-element dW voorstel. Dit is maklik om te sien dat die totale arbeid W wat deur die
geskakeerde gebied voorgestel word, beskou kan word as die somtotaal van alle arbeidelemente
dW wat in die geskakeerde gebied kan inpas.
Laat ons nou toe dat dx infinitesimaal klein word, sal die aantal arbeid-elemente in die
gebied oneindig veel word. Dan kan ons die totale arbeid W soos volg skryf:
W dW
W F( x) dx
r

Vir die twee voorbeelde hierbo vind ons dat hierdie formule vir arbeid soos volg lyk:
s
2
W k s ds
s1
s
2
k s ds
s1
2
12 k s
2
s1
1 2 2
ks2 s1
2
1 2 2
W ks1 s2
2
en
r
kq q
r
r 1
r
r
2
1 2
W dr
r 2
1
2
k q1 q2 dr
r 2
1
2
k q1 q2 1 r dr
r1
s
vir die veer
2
r2
1 k q1q2 r
r1
vir die elektriesgelaaide deeltjies
r2
1
1
W k q1q2 r
1
1 1
k q1q2
r r
r1
2 1
Leereenheid 2
Integrasie gee dus aan ons gereedskap waarmee ons selfs formules vir werklikheidsgetroue
situasies kan aflei.
391

Leereenheid 2
392
Individuele oefening 41
Stewart: Oefening 6.4, pp.441 – 442
nr. 3, 5, 29, 30
Die memorandum vir hierdie oefening sal na inhandiging op eFundi geplaas word, of per epos
na u aangestuur word.

Leereenheid 2
Leereenheid 2 is nou afgehandel. Soos tevore, hoop ons van harte dat u al die uitkomste vir
hierdie leereenheid bereik het.
Gaan dink ook mooi na oor die volgende sake:
Hoe verskil differensiaalrekene van integraalrekene?
Hoe stem differensiaalrekene met integraalrekene ooreen?
Watter rol speel limiete by elkeen van die twee studievelde?
Wanneer mag ‘n funksie gedifferensieer of geïntegreer word?
Is alle kontinue funksies differensieerbaar?
Hoe sou u meetkundige (grafiese voorstellings) gebruik om vir 'n matriek-leerling te
verduidelik waaroor Analise gaan?
393

Leereenheid 2
Die module MATE 311 is nou afgehandel.
Baie sterkte.
Ons hoop dat u hierdie Module aangenaam en verrykend gevind het.
Ten slotte: Indien u enige aanbevelings het ten opsigte van hoe ons hierdie Studiegids beter
sou kon maak, kan u dit gerus aanstuur na die dosent se e-posadres.
Enige ander kommentaar oor die kursus MATE 311 is ook baie welkom.
Dit was ’n suiwere plesier om die Module met u mee te maak.
Met komplimente en beste wense vir die res van u studies
Die skrywer.
394

BRONNELYS
Bronnelys
ENGELBRECHT, J.C., GROBLER, J.J., STRYDOM, B.C., SWART, J., VAN DER WALT,
T., VAN ELDIK, P., ZIETSMAN, P.J. 1989. Analise 1 differensiaal- en integraalrekene.
3 de uitgawe. Pretoria: Uitgewers Mathematicae. 410 p.
FOERSTER, P.A. 2005. Calculus concepts and applications. 2 nd edition. Emeryville:
Key Curriculum Press. 778 p.
NIEUWOUDT, H.D. 2006. Approaches to the teaching and learning of mathematics.
Potchefstroom: Keurkopie. 55 p.
STEWART, J. 2008. Single variable calculus. Early trancendentals. 6 th edition. Pacific
Grove: Brooks/Cole Publishing Company. 763 p.
WASHINGTON, A.J. 2005. Basic Technical Mathematics with Calculus: SI version. 8 th
ed. Toronto: Pearson Addison Wesley. 993 p.
395