MATE 211 VAC - Index of

ONDERWYSWISKUNDE:
EUKLIDIESE EN SFERIESE MEETKUNDE
STUDIEGIDS VIR
MATE 211 VAC
*MATE211VAC*
SKOOL VIR OPVOEDINGSWETENSKAPPE
VAALDRIEHOEKKAMPUS

Studiegids saamgestel deur:
Me HH Coetzee
Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum).
Gedruk deur The Platinum Press (018) 299 4226.
Kopiereg 2012-uitgawe. Hersieningsdatum 2013.
Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus.
Geen gedeelte van hierdie boek mag in enige vorm of op enige manier sonder skriftelike
toestemming van die publiseerders weergegee word nie.
ii

INHOUDSOPGAWE
Woord van verwelkoming .................................................................................. vi
Rasionaal ................................................................................. vii
Voorvereistes ................................................................................. vii
Bibliografie ................................................................................. vii
Studiemateriaal ................................................................................ viii
Hoe om hierdie studiegids te gebruik ............................................................................... ix
Hoe om die leerinhoud te bestudeer ................................................................................. ix
Aksiewerkwoorde vir wiskunde .................................................................................. xi
Modulebeplanner ................................................................................ xiii
Studie-ikone ................................................................................. xv
Uitkomste van hierdie module ............................................................................... xvii
Vertaling van wiskundige terme .............................................................................. xviii
Leereenheid 1 DIE PLAT VLAK EN DIE SFEER ...................................................... 1
Leergedeelte 1.1 INLEIDING 2
Leergedeelte 1.2 BASIESE BEGRIPPE 13
1.2.1 Eenvoudigste Figure en Reguit Lyne 14
1.2.2 Meet van Afstande en Konstruksie van 'n Ewenaar en Poolpunte 18
1.2.3 Meet van Hoeke 19
Leereenheid 2 EWEWYDIGE EN LOODREGTE LYNE IN DIE PLAT VLAK EN
OP DIE SFEER ............................................................................... 21
Leergedeelte 2.1 TWEE LYNE SE GEMEENSKAPLIKE PUNTE EN LOODREGTE
LYNE 22
Leergedeelte 2.2 GEMEENSKAPLIKE LOODREGTE LYNE 25
Leereenheid 3 VEELHOEKE IN DIE PLAT VLAK EN OP DIE SFEER ................... 27
Leergedeelte 3.1 VEELHOEKE 28
3.1.1 Tweehoeke en Gebiede 30
3.1.2 Driehoeke: Hoekpunte en die Som van die Hoeke 32
3.1.3 Driehoeke en Regtehoeke 34
Leergedeelte 3.2 GELYKVORMIGHEID EN KONGRUENSIE OP DIE PLAT VLAK EN
DIE SFEER 36
3.2.1 Gelykvormige Veelhoeke en Driehoeke met Kongruente Hoeke 37
3.2.2 Voorwaardes vir Kongruensie van Driehoeke 38
iii

Leergedeelte 3.3 VERRASSINGS OP DIE SFEER 39
iv
3.3.1 Ingeskrewe Driehoeke 40
3.3.2 Napier se Pentagoon / Pentagram 42
Leergedeelte 3.4 POOLDRIEHOEKE 43
3.4.1 Pooldriehoeke: Sye, Hoeke, Hoogtelyne 44
3.4.2 Halveerlyne – Middelloodlyne – Swaartelyne 46
Leereenheid 4 TOEPASSINGS VAN SFERIESE MEETKUNDE OP DIE
AARDBOL ................................................................................. 49
Leergedeelte 4.1 KARTERING VAN DIE AARDE 50
Leergedeelte 4.2 LIGGING EN TYD OP DIE AARDBOL 52
Leergedeelte 4.3 COLUMBUS SE VISIE VAN DIE AARDE - AARDBEWINGS EN
VULKANE 61
Leereenheid 5 SFERIESE TRIGONOMETRIE ........................................................ 63
Leergedeelte 5.1 DIE KOSINUSREËL 64
Leergedeelte 5.2 DIE SINUSREËL 72
Leergedeelte 5.3 NAPIER SE REËLS 79
Leereenheid 6 SIRKELS ................................................................................. 87
Leergedeelte 6.1 EIENSKAPPE VAN ‘N SIRKEL EN SIRKELFAMILIES 88
Leergedeelte 6.2 DIE VERHOUDING TUSSEN DIE OMTREK EN DEURSNEDE VAN
SIRKELS 91
Leereenheid 7 OPPERVLAKTE EN TESSELASIES OP DIE SFEER ..................... 93
Leergedeelte 7.1 OPPERVLAKTE OP DIE SFEER 94
7.1.1 Oppervlakte: Vierkante en Driehoeke 95
7.1.2 Oppervlakte: Sirkels en Driehoeke 98
Leergedeelte 7.2 TESSELLASIES OP DIE SFEER 104
7.2.1 Tessellasies op die Plat Vlak en op die Sfeer 105
7.2.2 3D Plato-Vasteliggame en Sferiese Tessellasies daarvan 107
Leereenheid 8 DIE FORMULE VAN EULER ........................................................ 111
Leereenheid 9 TRANSFORMASIES OP DIE SFEER EN OP DIE PLAT VLAK .... 115
Leergedeelte 9.1 REFLEKSIES OP DIE SFEER 116
Leergedeelte 9.2 EUCLIDIESE TRANSFORMASIE MEETKUNDE 118
Leereenheid 10 KEGELSNEDES ........................................................................... 121
Leergedeelte 10.1 DIE PARABOOL: DEFINISIE, MEETKUNDIGE EIENSKAPPE;
STANDAARDVERGELYKINGS; GRAFIEKE VAN PARABOLE 123
Leergedeelte 10.2 VERGELYKINGS VAN PARABOLE MET TOPPUNTE NIE IN DIE
OORSPRONG NIE 130

Leergedeelte 10.3 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT IN OORSPRONG,, EKSENTRISITEIT
137
Leergedeelte 10.4 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT NIE IN DIE OORSPRONG IS NIE;
HOOFAS EWEWYDIG AAN Y-AS 145
Leergedeelte 10.5 DIE HIPERBOOL: DEFINISIE, MEETKUNDIGE EIENSKAPPE,
STANDAARD VERGELYKINGS, GRAFIEKE VAN HIPERBOLE 154
Leergedeelte 10.6 HIPERBOLE: TRANSLASIES VAN ASSE; TOEPASSINGS 160
Leergedeelte 10.7 ROTASIE VAN ASSE 165
Addendum ............................................................................... 172
v

WOORD VAN VERWELKOMING
Baie welkom by hierdie unieke module! Dit is sekerlik die eerste keer dat jy sferiese
meetkunde bewustelik gaan doen. Ek vertrou jy voel baie opgewonde oor hierdie nuwe
uitdaging.
Residensieel: Om hierdie spesifieke module suksesvol af te handel, is dit noodsaaklik dat jy
voorbereid na elke klas (kontaksessie) kom en elke opdrag na die beste van jou vermoë
uitvoer. Op hierdie wyse verseker jy sinvolle gesprekke met jou fasiliteerder en ander
leerders tydens kontaksessies. Daar is ook baie refleksie-ikone om te verseker dat jy nadink
en seker maak dat jy alles onder die knie het.
SBO: Om hierdie spesifieke module suksesvol af te handel, is dit noodsaaklik dat jy elke
week omtrent 16 ure se werk voltooi volgens die aanduiding in die modulebeplanner. Jy word
aangeraai om die laaste leereenheid van die begin af afwisselend met die sferiese
meetkunde te doen. Dit is noodsaaklik om praktiese sessies by te woon om jou te help met
die eerste leereenhede.
vi
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op A
fotograaf: snsrjdv (met dank)

RASIONAAL
In hierdie module word een van die vier leeruitkomste van Wiskunde in die VOO fase,
naamlik meting, ruimte en vorm bespreek. In hierdie module word geleenthede geskep om
noodsaaklike kennis, begrip en vaardighede met betrekking tot meetkunde te bemeester
sodat jy dit effektief kan toepas en onderrig as wiskundeonderwyser.
Hierdie module fokus op die bestudering van meetkunde op die plat vlak en op die sfeer; die
vergelyking van die sferiese resultate met dié van Euklidiese meetkunde; asook die verband
tussen trigonometrie en meetkunde op die sfeer. Ons lê ook baie klem daarop om aan te
toon waar sferiese meetkunde in lewenswerklike situasies voorkom.
Ons fokus ook op kegelsnedes. Analitiese meetkunde is ʼn algebraïese metode wat gebruik
word om die meetkundige eienskappe van sekere meetkundige figure te ondersoek en te
bewys. In die analitiese meetkunde word meetkundige begrippe “vertaal” na algebra: ʼn punt
word geassosieer met ʼn getallepaar, ʼn reguitlyn met ʼn eerstegraadse vergelyking, die lengte
van ʼn lynstuk met ʼn formule, ens. Jy het alreeds met hierdie begrippe kennis gemaak op
skool, maar jy het waarskynlik nie die krag van die gebruik van algebra om meetkundige
begrippe te bewys, besef nie. Die studie van kegelsnedes sal die krag van hierdie metode
gewis tuisbring.
VOORVEREISTES
MATE 111 is ʼn voorvereiste vir MATE 211.
Daar word veronderstel dat jy kennis dra van alle meetkunde en trigonometrie wat in
skoolwiskunde voorkom. 'n Goeie skoolhandboek is noodsaaklik indien jy nie alle stellings,
identiteite en formules kan onthou nie.
Die veronderstelling is ook dat jy analitiese meetkunde as deel van skoolwiskunde bestudeer
het. Jy behoort basiese kennis daarvan te hê, soos byvoorbeeld die vergelyking van ʼn reguit
lyn, ʼn sirkel, ʼn parabool en ʼn hiperbool, die lengte van ʼn lynstuk, ensovoorts. As jy nie hierdie
kennis het nie, behoort jy paragraaf 1.8 in Precalculus van Stewart deur te werk.
BIBLIOGRAFIE
www.st-andrews.ac.uk/.../ images/earth.gif
http://images.google.co.za/imgres?imgurl=http://www.tds.org/academics/Math/images
www.counton.org/explorer/ circles/envelopes.shtml
http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html
Lénárt, Istvan. 1996. Non-Euclidean Adventures on the LÉNÁRT SPHERE. Key Curriculum
Press.
De Klerk, J.H; Spoelstra, J. Inleiding tot die STERREKUNDE.
vii

Asp, Gary; Dowsey, John; Stacey, Kaye; Tynan, David. 2004. Graphic Algebra. Key
Curriculum Press
Chanan, Steve et al. Exploring Algebra with The Geometer`s Sketchpad. 2002. Key
Curriculum Press
Exley, Linda L; Smith, Vincent K. 1993. College Algebra and Trigonometry. Prentice Hall
Golightly, A. Planetêre Geografie GEOH 141 Diktaat.
Haeussler, Ernest F Jr. ; Paul, Richard S. 2002. Introducing Mathematical Analysis for
Business, Economics, and the Life and Social Sciences. Revised Edition. Prentice Hall
Henderson, David W. 1996. Experiencing Geometry on Plane and Sphere. Prentice Hall
Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 2002. Discovering Algebra An Investigative
Approach. Key Curriculum Press
Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 1998. Advanced Algebra Through Data
Exploration A Graphing Calculator Approach. Key Curriculum Press
Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 2004. Advanced Algebra An Investigative
Approach. Key Curriculum Press
Poulter, Bryony; Reeler, Lesley. 2001. Mathematics HG 12.Maskew Miller Longman.
Sardar Ziauddin et al. 2005. Introducing Mathematics. Tien Wah Press Ltd.
Scher, Daniel. 2002. Exploring Conic Sections with The Geometer’s Sketchpad. Key
Curriculum Press
Stewart, James. 2003. Single Variable Calculus International Student Edition. Thomson
Brooks/Cole
Van de Walle, John A. 2004 Elementary and Middle School Mathematics Teaching
Developmentally Fifth Edition. Pearson Education, Inc
Washington, Allyn J 2000 Basic technical Mathematics with Calculus. Seventh Edition.
Addison Wesley Longman, Inc.
STUDIEMATERIAAL
Lénárt Sphere Construction Materials Basic Set. (Koop by dosent of profmd@mweb.co.za)
The Geometer`s Sketchpad (Koop by dosent of profmd@mweb.co.za)
Geheuestokkie “USB Flashdrive”.
Die volgende handboeke word gebruik:
Lénárt, Istvan. 1996. Non-Euclidean Adventures on the LÉNÁRT SPHERE. Key
Curriculum Press. (Koop by dosent of profmd@mweb.co.za)
Cohen, David. 2003. College Alegebra. Fifth Edition. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.
Stewart, James. 2006. Precalculus. 5 th Ed. Pacific Grove: Brooks/Cole Publishing Company.
Anton, Howard. 1995. Calculus. 5th Ed. New York: Wiley. (ingebind in addendum)
Scher, Daniel. 2002. Exploring Conic Sections with The Geometer’s Sketchpad. Key
Curriculum Press. (dosent sal kopieë in klas verskaf met die voorwaarde dat dit nie weer
gekopieer mag word nie)
viii

HOE OM HIERDIE STUDIEGIDS TE GEBRUIK
Die studiegids bevat instruksies wat jou behoort te help om die handboek en ander
studiemateriaal doeltreffend te gebruik. Sekere moeilike gedeeltes word verduidelik en vrae
gestel om jou in staat te stel om jou kennis en begrip van die leerinhoud te bepaal. Die leer
van wiskunde berus in groot mate op die doen daarvan. Gevolglik word aantal geleenthede
in hierdie studiegids geskep om jou in staat te stel om wiskunde te doen, te leer en te
verstaan. In die bestudering van MATE 211 moet jy :
die uitkomste op alle vlakke (module, leereenheid, leergedeelte) intensief bestudeer;
die modulebeplanner raadpleeg sodat jy idee kan vorm ten opsigte van die
organisering van leerinhoude en verdeling van tyd;
die leerinhoud bestudeer volgens die leeruitkomste en die instruksies in die studiegids;
al die leeraktiwiteite (voorbeelde en oefeninge) van elke leereenheid uitvoer;
al die opdragte van elke leereenheid voltooi en in lewer om gedeeltelik deur die dosent
nagesien te word;
die res self korrigeer d.m.v. memo’s op eFundi;
voorbereiding as selfstudie (SBO)
Do not pay attention to the words;
Instead pay attention to meanings behind the words.
But, do not just pay attention to meanings behind the words;
Instead pay attention to your deep experience of those meanings.
Tenzin Gyatso, soos aangehaal deur [Henderson: 1996]
HOE OM DIE LEERINHOUD TE BESTUDEER
Beplan jou studietyd met behulp van die “aanbevole studietyd” aan die begin van elke
leereenheid. Elke leereenheid is verdeel in leergedeeltes, wat jou sowat 16 ure aktiewe
studie per week sal neem om te voltooi. Dit beteken dat jy ten minste 11 ure per week
opsy behoort te sit om die studiemateriaal vir daardie week te voltooi.
Gebruik die uitkomste aan die begin van elke leereenheid of leergedeelte om jou in jou
studies te lei. Die uitkomste vertel jou watter kennis en vaardighede jy moet hê nadat jy
die leereenheid afgehandel het.
Hou by die datums wat aan jou deur jou dosent gegee sal word vir die voltooiing van
die verskillende onderwerpe, dan sal jy nie nodig hê om kort voor die eksamen te “blok”
nie!
As jy om een of ander rede agter raak, moenie moedeloos word nie, hou by die
werkprogram op die tydskedule en haal so gou as moontlik in.
Wanneer jy met ʼn nuwe leergedeelte begin, lees vinnig daardeur, om die volledige
prentjie te kry. Raak dan aktief betrokke by die studiemateriaal: maak opsommings,
ix

x
teken diagramme, teken breinkaarte, doen voorbeelde, verduidelik dinge aan jouself.
Onthou: ʼn Mens leer wiskunde net deur dit self te doen.
Baie belangrike raad: Moenie net na die voorbeelde of vrae kyk en dink dat jy die vrae
sal kan antwoord nie. Ons het gevind dat studente die probleme self moet doen
(selfs al is dit net ʼn voorbeeld), anders “verstaan” hulle nie die werk nie en kan hulle nie
die vrae in die eksamen beantwoord nie!
Doen die oefeninge en selftoetse en merk hulle volgens die oplossings/antwoorde wat
gegee word.
Gedurende alle groepbesprekings word probleme wat studente met die studiemateriaal
ondervind het, bespreek. As jy probleme ervaar, skryf neer presies wat jy nie verstaan
nie. Jou dosent/ fasiliteerder kan jou slegs help wanneer jy presies weet wat dit is wat
jy nie verstaan nie.
Word deel van ʼn studiegroep waarin julle die werk kan bespreek en verduidelik dit aan
mekaar.
ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE
Assessering sal soos volg gedoen word:
ASSESSERING VAN DIE INHOUD
Voltooiing van skriftelike en praktiese klasopdragte (in klein groepies) en inhandiging
op datum deur dosent verskaf vir gedeeltelike assessering.
Versuiming om kontaksessies by te woon sal negatief beoordeel word.
Voltooiing van huiswerkopdragte (individueel) en inhandiging op datum soos deur
dosent verskaf vir gedeeltelike assessering.
Die skryf van onvoorbereide en voorbereide klastoetse.
Opdragte wat gedeeltelik deur dosent of assistent nagesien is, moet verder self
nagesien word met behulp van memorandums op eFundi.
Fakulteitsbesluit vir penalisering vir laat inhandiging van referate – voltydse studente: Daar is
besluit dat referate/werkopdragte wat een dag tot en met ʼn week na die vasgestelde datum
ingehandig word, wel nagesien word, maar dat die punt wat die student verwerf deur 2
gedeel word. Byvoorbeeld sal ʼn student wat laat ingehandig het en ʼn punt van 90% behaal
gevolglik net 45% verwerf. ʼn Week na die inhandigingsdatum word die memorandum (waar
van toepassing) beskikbaar gestel en word geen referate meer aanvaar nie. Geldige
menslikheidsfaktore sal wel na die dosent se eie oordeel aanvaar word
TERUGVOER
Sommige opdragte sal gedeeltelik of volledig deur die dosent of assistent nagesien
word. Memorandums van gedeeltelik nagesiende opdragte sal na ʼn week op eFundi
verskyn. Die student moet dit dan self nasien.
Ander opdragte sal tydens die kontaksessies self of deur ʼn medestudent nagesien
word vanaf memorandums deur die dosent verskaf.
Terugvoering sal tydens die kontaksessies geskied wanneer opdragte teruggegee
word.

SBO: Probeer ʼn mentor vind om jou te help as jy vasbrand. As jy werklik sukkel met ʼn
spesifieke probleem, kontak jou dosent by 11601167@nwu.ac.za of skakel tydens spreekure
by 018 – 2991471.
ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE (SBO)
ASSESSERING VAN DIE INHOUD
Klastoetse wat Residensieel geskryf word sal elektronies aan u gestuur word. Dit moet as
werkopdragte voltooi word en elektronies teruggestuur of gefaks word aan:
SELFASSESSERING
Die nasien van alle opdragte met behulp van memorandums op eFundi voorsien deur die
dosent.
DEELNAMEBEWYS
SBO: Jy ontvang deelnamebewys van die Universiteit op grond van al die opdragte, die
klastoetse wat jy as opdragte sal ontvang en betyds moet inlewer, asook die kontaktoets.
DEELNAMEPUNT
Jy bou deelnamepunt op met behulp van die punte wat behaal is in alle opdragte .
EKSAMEN
Jy het toelating tot die eksamen in hierdie module as jy deelnamepunt van ten minste
40% opgebou het en daarmee deelnamebewys verwerf het.
Aan die einde van die module word eksamenvraestel van 3 uur geskryf. Die
subminimum vir afdeling A van die vraestel is 40% en die subminimum vir afdeling B
van die vraestel is 40%. Indien die subminimum vir ‘n afdeling nie bereik word nie,sal
die betrokke afdeling tydens die tweede geleentheid weer geskryf word.
Jou modulepunt vir MATE 211 word m.b.v. die deelnamepunt en die eksamenpunt in
die verhouding 1:1 bereken. Die slaagsyfer vir die module is 50%.
AKSIEWERKWOORDE VIR WISKUNDE
Toepas
Om in staat te wees om wat jy in een situasie geleer het, in ʼn ander situasie te kan gebruik.
VOORBEELD: Pas differensiasie toe op maksimeringsprobleme.
Aflei
Om reël /eienskap te bewys deur logiese redenering.
VOORBEELD: Lei die eienskap : a.0 = 0 af deur gebruik te maak van die basiese
eienskappe van die reële getalle.
xi

Definieer
Om presies te sê wat ʼn wiskundige begrip of bewerking beteken.
VOORBEELD: Definieer ʼn funksie.
Demonstreer
Om jou kennis ten opsigte van ʼn wiskundige bewerking te toon.
VOORBEELD: Demonstreer dat ʼn rasionale getal geskryf kan word óf as ʼn eindige óf as ʼn
repeterende desimale getal.
Illustreer
Om jou kennis van ʼn begrip of ʼn stelling te demonstreer met behulp van die teken van ʼn
grafiek of ʼn diagram.
VOORBEELD: Illustreer die kontinuïteit van ʼn funksie deur gebruik te maak van die grafiek
van die funksie.
Voorstel
Om ʼn wiskundige begrip op ʼn ander manier te beskryf.
VOORBEELD: Gee ʼn meetkundige voorstelling van die komplekse getal z = 2 + 2i.
Stel/noem
Om spesifieke eienskappe neer te skryf sonder bespreking.
VOORBEELD: Stel die assosiatiewe eienskap vir optelling.
Bereken/bepaal
Om die antwoord van ʼn bewerking te kry.
VOORBEELD: Bereken:
Bewys
xii
lim
x 0
x
2
2x
.
x
Om aan te toon dat ʼn bewering waar is.
VOORBEELD: Bewys dat 5 n - 1 deelbaar is deur 4 vir alle natuurlike getalle n.
Los op
Om ʼn oplossing te verkry vir ʼn gegewe probleem of vergelyking.
VOORBEELD: Ek wil graag ʼn hok bou uit 20 m heining materiaal. Wat moet die lengte en
breedte van die hok wees sodat die oppervlakte ʼn maksimum sal wees?
Formuleer
Om ʼn stelling of reël neer te skryf sonder enige bewys.
VOORBEELD: Formuleer die stelling van Pythagoras.

MODULEBEPLANNER
Sferiese meetkunde en kegelsnedes moet afgewissel word. Datums is slegs tentatief.
LEEREENHEID LEERGEDEELTE OPDRAGTE URE DATUM
Klastoets1 LE: 1 en 2 2 24/02/12
Klastoets 2 LE: 3.1 - 3.3 LG: 10.1-10.2 2 09/03/12
Klastoets 3 LE: 3.4 en 4 LG: 10.3 - 10.4 2 23/03/12
Klastoets 4 LE: 5 2 11/05/12
Klastoets 5 LG: 10.5 Le: 6 2 18/05/12
Klastoets 6 LE 7 en 8 LG 10.6 – 10.7 25/05/12
1 Die Plat
Vlak en die
Sfeer
2 Ewewydige
en Loodregte
Lyne in
die Plat Vlak
en op die
Sfeer
10 Kegelsnedes
as
lokusse
3 Veelhoeke
in die Plat
Vlak en op
die Sfeer
10 Kegelsnedes
10 Kegelsnedes
4 Toepassings
van
Sferiese
Meetkunde
op die
Aardbol
1.1 Inleiding 1A
en B
1.2 Basiese Begrippe 2 word na elke
LG aangepas
2.1 Twee Lyne se
Gemeenskaplike Punte
en Loodregte Lyne
2.2 Gemeenskaplike
Loodregte Lyne
10.1 Die parabool met
toppunt in die oorsprong
3.1 Veelhoeke
10.2 Die parabool met
toppunt nie in die
oorsprong nie
3.2 Gelykvormigheid en
Kongruensie
3.3 Verrassings op die
Sfeer
3 08/02/12
09/02/12
9 (09-
14/02)
3 (15/02)
3 (16/02)
11A 4 (17/2)
PC-opdrag 1
via eFundi
12
13A
3.4 Pooldriehoeke PC-opdrag 2
via eFundi
10.3 Die ellips met
middelpunt in die
oorsprong
14A
20/02/12
9 (20-22/2)
23/02/12
8 (23-27/2)
28/02/12
02/03/12
6 (28/2-
29/2)
6 (1/3-2/3)
9 (5/3-7/3)
08/03/12
6 (08-12/3)
13/03/12
4.1 Kartering van die Aarde 2 (13/03)
4.2 Ligging en Tyd op die
Aardbol
4.3 Columbus se Visie van
die Aarde; Aardbewings
en Vulkane
4B
5 opsioneel 0
2 (13/03)
14/03/11
xiii

xiv
5 Sferiese
Trigonometrie
10 Kegelsnedes
5.1 Die Kosinusreël 3 (14/03)
5.2 Die Sinusreël 6B 6 (15-16/3)
10.4 Die ellips met
middelpunt nie in die
oorsprong nie
5.3 Napier se reëls
6 Sirkels 6.1 Eienskappe van ʼn Sirkel
en Sirkelfamilies
15A
7A
19/03/12
6 (19-20/3)
22/03/12
3 (22/3)
22/03/12
3 (26/3)
10 16A 27/03/12
9 Transformasies
6.2 Die Verhouding tussen
die Omtrek en
Deursnede van Sirkels
9.2 Euclidiese
Transformasie
Meetkunde
PC-opdrag 3
via eFundi
Selfstudie
PC-opdrag 5
via eFundi
3 (27/3)
6
28/03/12
02/05/12
10 17 02/05/12
7 Oppervlakte
en Tesselasies
op die
Sfeer
10 Kegelsnedes
10 Kegelsnedes
7.1 Oppervlakte
8B
7.2 Tessellasies PC-opdrag 4
via eFundi
10.5 Die hiperbool met
middelpunt in die
oorsprong
10.6 Die hiperbool met
middelpunt nie in die
oorsprong nie
9B
18A
19A
9 (2-4/5)
07/05/12
6 (7-8/4)
09/05/12
09/05/12
4 (10/5)
15/04/12
8 (14-16/5)
17/05/11
Ekskursie 21/5-22/5
10 20 22/05/12
8 Die Formule
van Euler
9 Transformasies
10 Kegelsnedes
10 3 23/05/12
9.1 Refleksies op die Sfeer 3 (28-29/5)
10.7 Rotasie van asse 21A 4 (30/5)
Eksamen Voorbereiding 6 ?
31/05/12
Let wel: Finale afhandelings- / Inhandigingsdatums sal deur jou dosent voorsien word.

STUDIE-IKONE
Prakties:
Hierdie ikoon verwys na werk uit die voorgeskrewe handboek wat
volgens die ondersoekende metode aangepak word om nuwe
kennis te ontdek. Die “Adventure Card” moet gebruik word en as jy
vashaak word die “ Student’s Guide” in NALS geraadpleeg.
Refleksie:
Nadat die prakties van 'n spesifieke avontuur gedoen is, moet u die
“Teacher’s Guide” in NALS baie deeglik deurwerk. Bring elke keer jou
tabel (Sien Opdrag 2 leergedeelte 2.1) van ooreenkomste en
verskille op datum. Indien daar aspekte is wat jy nog nie verstaan nie,
moet jy dit met jou dosent bespreek gedurende die volgende
kontaksessie (Residensieel) of per e-pos(SBO).
Toets die stand van u
kennis/insig.
Inleidende opmerkings.
Bestudeer nou die
volgende
gedeelte/verduideliking /
bespreking, aandagtig.
Studiemateriaal benodig:
Individuele PC-opdrag
Individuele oefening.
CD-Rom
Praktiese voorbeeld.
Verkry Internet toegang en
voer die meegaande opdrag
uit.
PowerPoint-Aanbieding of
GSP ondersoek op die eFundi
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent
nagesien. Volledige
memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
xv

Logic can only go so far
xvi
after that I must see-perceive-imagine.
This geometry can help.
I may reason logically thru theorem
and propositions galore,
but only what I perceive is real.
If after studying I am not changed
if after studying I still see the same
the all has gone for naught.
Geometry is to open up my mind
so I may see what has always
been behind
the illusions that time
and space construct.
Space isn’t made of point and line
the points and lines are in the mind.
The physicists see space as curved
with particles that are quite blurred.
And, when I draw, everything is fat
there are no points and that is that.
The artists and the dreamer knows
that space is where an image grows
For me it’s a sea in which I swim
a formless sea of hope and whim.
Geometry
Thru my fear of Infinity and One
I structure space to confine
my imaginations away from the idea
that all is One.
But, I can from this trap escape
I can see the geometry in which I wander
As but a structure I made to ponder.
I can dare to let go the structures
and go beyond
and my fears
to see what is always there to see.
But, to let go, I must first grab on.
Geometry is both the grabbing on
It is a logical structure
and the letting go.
and a perceived meaning
Q.E.D.’s and “Oh! I see!”’s.
It is formal abstractions
and beautiful contraptions.
It is talking precisely about that
which we know only fuzzily.
But, in the end, and, most of all,
it is seeing-perceiving
the meaning that
I AM.
- David Henderson, 1978

UITKOMSTE VAN HIERDIE MODULE
Na voltooiing van hierdie module moet jy in staat wees om grondige kennis, begrip en
insig te demonstreer ten opsigte van:
Euklidiese en sferiese meetkunde deur die bestudering van meetkunde op die platvlak
en op die sfeer
definisies van punte, afstand, “lyne” (sirkels), hoeke, driehoeke en vierhoek
die stelling van Girard
die vergelyking van die sferiese resultate met dié van Euklidiese meetkunde
die verband tussen trigonometriese en meetkunde op die sfeer (oplos van driehoeke
en die bepaling van area)
die verband bring van die sferiese meetkunde met werklikheidsgetroue situasies.
die gebruik van toepaslike rekenaarprogramme.
Die uiteindelike doel van hierdie module is dat meetkunde op die sfeer jou sal lei tot dieper
kennis en insig van die 2D meetkunde wat jy op skool sal moet fasiliteer. Ons poog ook dat
jy na hierdie module op 'n hoër denkvlak volgens die Van Hiele vlakke sal kan funksioneer.
Studente – sfere – ondersoekende metode
fotograaf: snsrjdv (met dank)
xvii

VERTALING VAN WISKUNDIGE TERME
altitude hoogtelyn
angle hoek
angle bisector halveerlyn (van die hoek)
circumference omtrek
directrix riglyn
equilateral triangle gelyksydige driehoek
focal length brandpuntafstand / fokaal afstand
focal ratio brandpuntverhouding / fokaalverhouding
focus brandpunt / fokus
inscribed circle ingeskrewe sirkel
isosceles triangle gelykbenige driehoek
lattitude breedtelyn
longitude lengtelyn
median swaartelyn
perpendicular bisector / mediator middelloodlyn
perpendiculat line loodregte lyn
regular polygon reëlmatige veelhoek
segment lynstuk
similarity gelykvormigheid
spherical excess sferiese surplus
vertex hoekpunt
xviii

1 DIE PLAT VLAK EN DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 12 uur om die leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om
die Lénárt Sfeer Konstruksie apparaat te gebruik;
basies begrippe te ken;
die doel van sferiese meetkunde te verstaan.
Studiemateriaal benodig:
Leereenheid 1
Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere (hierna verwys as NALS) pp. v tot 5,
hoofstuk 1; pp. 193-204 en Internet.
http://www.keypress.com/images/product/tools/LenartSphereKit
.jpg
1

Leereenheid 1
1.1 INLEIDING
Jy benodig ongeveer 3 uur om die leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om
die Lénárt Sfeer Konstruksie apparaat te gebruik;
basies begrippe te ken;
die doel van sferiese meetkunde te verstaan.
2
Studiemateriaal benodig:
Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere (hierna verwys as NALS) pp. v tot 5; pp.
193-204 en Internet
Prakties:
NALS: Adventure Card 0.1
NALS: Student’s Guide to Adventure 0.1
Maak kennis met apparaat wat gebruik gaan word deur die Lénárt
Sphere Construction Materials Basic Set uit te pak.
Werk deur pp. v tot xx in NALS en voltooi dan die volgende:
1. Hoekom bestudeer ons sferiese meetkunde en nie slegs Euklidiese meetkunde
nie?................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................

2. Benoem die eenvoudigste figuur in sferiese meetkunde:
Leereenheid 1
........................................................................................................................
3. 'n Lynstuk deur die middelpunt van die sfeer verbind twee
.................................... sferiese punte.
4. Wat word die eenvoudigste lyn wat op 'n sfeer getrek word genoem?
........................................................................................................................
5. Gee twee voorbeelde van bg. op die aardbol:
........................................................................................................................
........................................................................................................................
6. Is die Steenbokskeerkring 'n grootsirkel?
........................................................................................................................
7. Watter breedtegraad is 'n grootsirkel?
........................................................................................................................
8. Watter lengtegraad is 'n grootsirkel?
........................................................................................................................
9. Hoeveel snypunte het twee verskillende grootsirkels?
........................................................................................................................
10. Watter twee grootsirkels op die sfeer is parallel?
........................................................................................................................
11. Hoeveel grootsirkels kan jy trek deur twee punte wat nie teenoorgesteld is nie?
........................................................................................................................
12. Hoeveel grootsirkels kan jy trek deur twee teenoorgestelde punte?
........................................................................................................................
13. Definieer die sferiese afstand tussen twee punte op 'n grootsirkel.
........................................................................................................................
........................................................................................................................
14. Benoem die eenheid van sferiese afstand.
........................................................................................................................
15. Wat is die sferiese afstand tussen twee teenoorgestelde punte?
........................................................................................................................
16. Wat word die middelpunte van 'n grootsirkel genoem?
........................................................................................................................
17. Elke pool definieer 'n unieke grootsirkel wat ons die ............................. noem.
18. Noem drie velde waar sferiese meetkunde gebruik word:
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
3

Leereenheid 1
19. Hoe word jy bevoordeel deur meetkunde in die plat vlak en op die sfeer gelyktydig te
bestudeer?
4
............................................................................................................................
............................................................................................................................
20. Is alle stellings in meetkunde op die plat vlak ook waar op 'n sfeer?
............................................................................................................................
21. Watter drie rolle moet in elke groep voorkom?
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
22. Teen watter gevaar moet jy waak wanneer jy met meetkunde op die sfeer werk?
............................................................................................................................
23. Moet hierdie werkboek chronologies in skole deurgewerk word?
............................................................................................................................
24. Gestel jy is besig met die stelling van Pythagoras in skoolmeetkunde. Wat is die
nommer van die avontuur waarmee jy die les kan verryk met sferiese meetkunde?
Gee ook die bladsynommer waar jy die verwysing gevind het.
............................................................................................................................
25. Noem die drie afdelings waaruit elke “adventure” bestaan.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
26. Watter onderafdelings kom voor op die studente-gidse?
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................

27. Voltooi die volgende tabel:
Instrumente vir platvlak meetkunde:
Plat oppervlakte
of rekenaarskerm
Tekenliniaal
Liniaal
Gradeboog
Passer
Potlood
Instrumente vir sferiese meetkunde:
28 Watter apparaat maak deel uit van die Lénárt Konstruksie Stel?
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
29. Hoe kan jy verhoed dat die sfeer breek?
...........................................................................................................
Leereenheid 1
30. Watter kant van die sferiese liniaal word gebruik om grootsirkels mee te konstrueer?
...........................................................................................................
31. Sou jy die sferiese liniaal of passer gebruik om noukeurig te meet?
...........................................................................................................
32. Hoe maak jy 'n te dun pen pas in die pennehouer?
...........................................................................................................
33. Watter kleur pennehouer moet jy gebruik vir jou soort penne?
...........................................................................................................
34. Hoe moet jy die ekstra transparante stoor?
...........................................................................................................
5

Leereenheid 1
35. Wat dink jy tot dusver van die nuwighede?
6
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 0.1
Meaning is important in mathematics and
geometry is an important source of that meaning.
(Henderson,1996)

Opdrag 1A:
Doen 'n “google”-soektog na “spherical distance on
the earth” en voltooi die volgende:
1. The shape of the Earth more closely
resembles a flattened spheroid with extreme
values for the radius of curvature of
……1.1…..km at the equator and ……1.2….
km at the poles. Using a sphere with a radius
of ……1.3……. km results in an error of up to
about 0.5%.
Leereenheid 1
1.4 Toon aan hoe die fout van 0,5% bereken is indien die gemiddelde radius by die
ewenaar gebruik word.
1.5 Bereken die afstand vanaf die noordpool tot by die ewenaar. (werk met die
gemiddelde radius)
1.6 Watter breukdeel van die afstand in 1.5 het die beer geloop?
1.7 Watter gevolg het dit vir konstruksies op die Lénárt sfeer?
1.8 Watter webadres het jy gebruik?
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
7

Leereenheid 1
Opdrag1B: Lees die volgende gedeelte van ʼn artikel deur Istvan Lénárt (geplaas met dank
en sy toestemming) tydens Amesa 2004. Die volledige artikel sal op eFundi geplaas word.
8
Introduction: Posing the problem
LIVING KNOWLEDGE
VERSUS ROTE LEARNING
Comparative Systems in Mathematics:
Mathematics, one of the essential school subjects in general education, lives
through a difficult stage of its history.
On the one hand, members of the young generation with easy access to
channels of information often have doubts about the importance of learning and
memorizing mathematical concepts. It has become everyday experience of
mathematics teachers to be openly asked by ten-year olders: ’Why should we
learn about these things? What is the use of school mathematics in our life?’
On the other hand, members of social classes living in poverty and isolation often
look at theories of science, particularly of mathematics, as words of magic that
show them the way out from the present situation to a better and easier life.
Younger and older students who live with a bucket of water for a day, have no
electricity in their homes, go barefooted to their schools miles away, - take great
pride in memorizing rather than understanding Cosine Law or the proof of the
Theorem of Pythagoras, often in a language different from their mother tongue.
Mathematics is and will be in the foreseeable future a mighty tool of organizing
and leading our society. As such, it remains an indispensable part of educating
the privileged classes.
The question that I pose here is: Can mathematics remain part of general
education? Can mathematics education of the present and of the near future
satisfy controversial expectations of different members of the whole society?
My answer to these questions is a definite YES; but I also think that mathematics
education must continue to develop a less supercilious, less autocratic and more
humanistic approach.
Some remarks concerning the two extremes of expectations
The doubts about the importance and style of school mathematics are very likely to
contain elements of truth. In a democratic society where the citizen is allowed and
expected to choose among different options in private and public life, it is unusual and
uncomfortable to teach about infallible and irrevocable statements within any subject of
science. The more so in mathematics which was among the first sciences to accept the

Leereenheid 1
fact that no theory of human invention is capable of explaining all phenomena within a
given subject.
Likewise, accessible channels of information have made out-of-date the teacher’s role
as the only, or even the main, source of information. Let me give a personal example. I
have been studying geometry of the sphere for over thirty years. When searching for
webpages about this topic, I find hundreds of thousands of results, an amount that is
beyond my human capacity to fully explore. If my teenage students became interested
in the topic, and began to search the web, they probably find many concepts and
theorems that are more or less unknown for me. I have no right to play Know-All, I can
only aspire to be my students’ partner and companion in finding the truth.
Even more delicate is the question of rote learners. Is it not dangerous to deprive them
of their illusions about the magic power of scientific expressions? Is it not better for
them to be rote learners rather than hopeless outcasts of Information Society?
The problem is that the pith of science lies in independent thinking and action. Modern
science was born when merchants, sailors, farmers and craftsmen inspired scientists to
turn from humble respect of the classics to perception of their own, thoughts of their
own, confidence in their own abilities. The miracle of scientific terms lies in their power
of invocating independent thinking and judgement. This is the reason why rote learning
lacks the fundamental message that makes modern science, including mathematics,
worth studying.
Comparative systems: a possible answer to the problem
Experiences and experiments in several countries of the world have shown that
teaching about comparative systems might prove one - but by no means the only -
answer to the problem described above.
The term ’comparative systems’ means teaching two or even more different systems
within the same topic. Instead of sticking to one fixed way of thinking, the essence of
the comparative method lies in continuous contrast and comparison of different
standpoints. This method can readily be applied in many subjects, from history to
economy, from linguistics to social sciences, and in various branches of mathematics,
such as algebra, set theory or number systems. In what follows, I describe a project in
geometry and some of its consequences.
The plane-sphere project
The plane-sphere project compares the fundamental concepts of Euclidean plane
geometry with spherical geometry on the level as it is generally taught in geography. It
can be applied at any level of math education where plane geometry is dealt with, from
primary schools to pre- and in-service teacher training.
Although it is not detailed in the present paper, the plane-sphere comparison can
readily be extended to the hemispherical Poincaré model of hyperbolic geometry. From
9

Leereenheid 1
10
secondary school grades, three different geometries can successfully be taught for
students of average ability and interest in mathematics.
What is the target audience of the project?
After decades of experimenting, I have become convinced that the project can
successfully be taught for the general audience, and for all age groups from primary
school to teacher training. The content and style must carefully be adapted to the given
group, depending on their needs, expectations, ability, etc.; but getting familiar with the
topic can lead not only to an increase of our pupils’ knowledge in geometry, but, more
importantly, to a fundamental, positive change of their attitude towards the subject of
mathematics as a whole.
What kind of prior knowledge is expected from the teacher?
Familiarity with the basics of Euclidean plane geometry and the geographic coordinate
system. No previous experience in learning and teaching about any type of non-
Euclidean geometries is presumed.
Why teach it? Some aims/advantages of the project:
The spherical shape is familiar and attractive. It appears among the shapes of
fruits, toys, or parts of the human body. Kids like to play with the construction
tools, not merely accept them as ’educational material.’
Traditional plane geometry can much more effectively be taught, because the
contrast, the counter-example is of great importance in understanding a concept
and inspiring further research.
Spherical geometry becomes palpable and clear. This geometry is just as
important in many areas of modern science, technology and arts as plane
geometry. In Nature, the spherical shape occurs much more frequently than the
plane, as is the case with the Earthglobe itself. The geographic coordinate
system, the time zones or meteorological phenomena can faithfully be depicted
and efficiently studied on the real sphere.
Manipulative methods are inevitable to arouse interest and develop creative
thinking in younger and older students. These methods play a reinforcing role to
computer-based teaching and learning. Experiences in the two-dimensional
world of the computer screen are complementary with experiences on palpable
three-dimensional manipulative devices (Szendrei).
The coincidences with the Outcomes Based Education and Curriculum 2005 of
South Africa are many, particularly in issues of measurement, shape and space and
natural sciences. In this regard, I mention three more aspects of the Curriculum: history
of science (for example, planar and spherical models of the Earth from ancient times to
the present); general and mathematical literacy (’...access, process and use
information from a variety of sources and situations...’), and human and social sciences
and life orientation – see below.

Communication and empathy
Leereenheid 1
If you teach your students to accept different approaches in the same topic in science,
then you also teach them to apply this same attitude in other areas of life. They learn to
communicate, to live and work together with other human beings of different traditional,
cultural or social background. This is the most valuable knowledge, beyond all
mathematics.
Mathematics, as all school subjects, tries to find its place among the new
circumstances and expectations of Information Society. One of the possible answers to
this challenge is the role that mathematics in general and comparative systems in
particular can play in developing mutual understanding among countries, among
peoples and among individuals.
Two hundred years ago, Gauss, one of the greatest mathematicians of all times,
thought that mankind was immature to accept different systems within the same
subject, geometry. I believe that today’s society is not only mature, but eager to learn
about different systems within any humanistic or natural science. What is more, the
attitude that is necessary to achieve this goal is of vital importance in our personal and
social lives.
References:
Henderson, D.: Experiencing Geometry in Euclidean, Spherical and Hyperbolic
Spaces. Englewood Cliffs, Prentice Hall, 2001. A very rich and useful selection of
topics in different geometries, on different surfaces. Mainly for the tertiary level.
Maths for All Grade 8 Learner’s Activity Book. Schools Development Unit of the
University of Cape Town. Writers: Yusuf Johnson, Peter Davidson, Shaheeda Jaffer
and Jaamiah Galant. Macmillan Boleswa Publishers, 2000. I took most of the
quotations and references regarding the Outcome Based Education and Curriculum
2005 from this book.
Szendrei, Julianna: Concrete Materials in The Classroom. In: International Handbook
of Mathematics, Kluwer, 1997, Chapter 11. A study on the role of concrete materials,
and their relevance to other forms of educational material.
Van den Brink, Jan: Spherical Geometry Lessons. Mathematics Teaching 147 (June
1994), pp. 27-33. Lessons in spherical geometry for high school students, in
continuous comparison with plane geometry, and with geographical and cultural
connections.
11

Leereenheid 1
12
Internet accesses:
Search engines give a number of accesses for the words ’Lenart Sphere’. Some further
addresses that contain interesting material in spherical, hyperbolic and comparative
geometry:
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-2b/projects/franco/index.htm#Introduction
plaza.ufl.edu/youngdj/powerpoint/noneuclidean.ppt
http://www.towson.edu/~gsarhang/Module%20for%20Spherical%20Geometry.doc
http://h2g2.com/dna/h2g2/A974397
http://mathcs.slu.edu/history-of-math/index.php/Introduction_to_Spherical_Geometry
Opdrag 1B: Hoekom word sferiese meetkunde ingesluit in die opleiding van Wiskunde
onderwysers? Beantwoord die vraag, na aanleiding van die artikel van Lénárt, in
”WORD” en stuur via eFundi.
Maths for all Macmillan Boleswa Publishers
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

1.2 BASIESE BEGRIPPE
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om
die eenvoudigste figuur op die plat vlak en op 'n sfeer te beskryf;
Leereenheid 1
vaardigheid te toon in die teken van reguit lyne op die plat vlak (papier en m.b.v. The
Geometer’s Sketchpad en op 'n sfeer;
die kortste afstand tussen twee punte op die plat vlak en op die sfeer te kan beskryf;
te kan beskryf wat gebeur as jy hierdie kortste afstand na beide kante toe verleng;
jou eie sferiese “liniaal” te maak en gebruik;
die eenhede van afstand op die plat vlak en die sfeer te kan verduidelik en gebruik;
'n ewenaar te kan teken as die pole gegee is;
die pole te kan teken as 'n ewenaar gegee is;
'n sferiese gradeboog te kan maak en gebruik om hoeke op die sfeer daarmee te
meet.
Studiemateriaal benodig:
NALS hoofstuk 1 en Internet.
Hierdie leergedeelte bevat vyf avonture wat aan jou die basiese idees en vaardighede sal
verskaf wat jy gaan nodig kry om op die Lénárt sfeer te werk.
13

Leereenheid 1
1.2.1 Eenvoudigste Figure en Reguit Lyne
14
Verkry Internet toegang en voer die meegaande voorbereiding uit.
Hierdie inligting is ook op die NWU se webtuiste gereserveer. Kliek op:
nwu.ac.za – eFundi – MATE 211 – Webcontent – MATE211 –
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/.
Lees die eerste paragraaf “Basic Information about spheres” en definieer ʼn sfeer:
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
en die radius van ʼn sfeer:
....................................................................................................................................................
Let veral op na die verskil tussen die oppervlakte van die bal en die bal self. In hierdie
module sal ons met sfeer die oppervlakte bedoel.
Lees die paragrawe oor “Lines and spheres” en voltooi die volgende:
Hoeveel punte kan ʼn lyn en sfeer in die 3D ruimte gemeenskaplik hê? .....................................
Definieer ʼn raaklyn aan die sfeer: .............................................................................................
....................................................................................................................................................
Definieer antipole: .....................................................................................................................
....................................................................................................................................................
Prakties:
NALS: Adventure Card 1.1 en 1.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 1.1 en 1.2
Definieer ʼn reguit lyn op die plat vlak. Gee ook jou bron of verwysing.
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

Wat is reguit op ʼn sfeer?
Verbeel jou jy is ʼn gogga wat op ʼn sfeer rond kruip.
Jy kan nie vlieg of grawe nie en jou pote is ewe
lank. Jou heelal is net die oppervlakte van die
sfeer. Jy kan dit nooit verlaat nie. Wat is vir jou
reguit? Dis uit hierdie perspektief wat jy moet
redeneer in sferiese meetkunde om te verstaan dat
slegs grootsirkels reguit kan wees. Jy moet
redeneer vanuit die oppervlakte van die sfeer en
nie driedimensioneel nie.
http://images.google.co.za/imgres?imgurl=http://home.att.net/~larvalbu
grex/strider.jpg&imgrefurl=http://home.att.net/~larvalbugrex/striders.ht
ml&h=205&w=300&sz=14&tbnid=HOc_Jem4mJhR4M:&tbnh=75&tbnw
=111&hl=en&start=8&prev=/images%3Fq%3Dwater%2Bstrider%26sv
num%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26sa%3DG
http://cleanwater.uwex.edu/pubs/clip
art/images/
CRITTER/original/WaterS
trider.jpg
Leereenheid 1
ʼn Waterloper (insek) beweeg op die
oppervlakte van ʼn dammetjie en het ʼn
tweedimensionele perspektief op die
wêreld om hom. Daar is nie op of af
nie. Sy wêreld is die vlak van die
water. Die waterloper is baie sensitief
vir beweging en vibrasies op die
oppervlakte van die water, maar
hy/sy(?) is feitlik onbewus van hoogte
of diepte. Voëls en visse gebruik
hierdie feit tot hulle voordeel om so
naby aan hom te kom dat hulle hom
kan vang. Hierdie is die tipe denke wat
nodig is om die reguit lyn op ʼn sfeer te
verstaan. (Henderson, 1996)
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 1.1 en 1.2
Dit sal jou weghou van die verkeerde pad af en van mense af wat verkeerde
dinge verkondig, van dié af wat die reguit paaie verlaat om op donker paaie te
loop,..... hulle paaie is krom en hulle koers is verkeerd.
(Die Bybel: Spreuke 12: 12-15)
Wat is die eenvoudigste figuur op die sfeer? Ek haal aan:
“ I think that it is absolutely up to you to decide WHICH is the simplest shape on any surface.
If you take, say, the point on the sphere, then you can say: "OK, but the spherical point
unambiguously determines its opposite point, so we can also say that the simplest element
on the sphere is the point AND its opposite point together - and we arrive at Riemannian
elliptic geometry. But we can go even farther, and say: "OK, but the point also determines a
spherical straight line, that is, great circle – its equator. So we can call the aggregate of the
point, its opposite mate, AND its equator our simplest element together!" The only reason
why in my book I choose the point as the simplest shape is that I do not want to talk back to
a two-thousand-year-old educational tradition - and make the lives of poor students even
harder. As for the biangle, it is highly questionable to be called the simplest shape. It is
enough to remark that a great circle with a point on it is a perfect spherical UNIGON - a
closed polygon with one side and one vertex. And a unigon is certainly simpler than a
biangle, isn't it?
Best regards,
Istvan Lenart”
15

Leereenheid 1
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html en lees “Planes, spheres,
circles and great circles”,; “Incidence Relations on a Sphere” asook “Making a spherical
Straight Edge” en beantwoord die volgende vrae:
Definieer ʼn grootsirkel: .............................................................................................................
....................................................................................................................................................
Definieer ʼn geodesiek: ..............................................................................................................
....................................................................................................................................................
Gestel A en B is twee punte op ʼn sfeer met middelpunt C. Onder watter voorwaarde sal A, B
en C ʼn unieke plat vlak bepaal?
....................................................................................................................................................
Wat is die eerste gevolglike verband tussen twee punte op ʼn sfeer? ........................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
Wat is die tweede verband op die sfeer? ...................................................................................
....................................................................................................................................................
Opdrag 2:
16
Praktiese voorbeeld.
Maak ʼn sferiese “liniaal” vir jou eie sfeer (soos ʼn strandbal) volgens die
artikel wat jy gelees het. Bring dit saam na die volgende kontaksessie sodat
jy kan demonstreer hoe dit werk. [Dosent sal aanwys watter groep dit moet
doen.]
Begin met 'n tabel in “WORD” waarin alle verskille en ooreenkomste tussen die plat vlak en
sfeer aangetoon word. Stoor dit elektronies sodat jy kan byvoeg wat in die volgende
leergedeeltes ontdek word. [Residensieel: Bring tydens elke kontaksessie 'n e-kopie en
hardekopie hiervan saam.]

Antwoorde/oplossings
Leereenheid 1
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.
17

Leereenheid 1
1.2.2 Meet aan Afstande en Konstruksie van 'n Ewenaar en
Poolpunte
18
Prakties:
NALS: Adventure Card 1.3 en 1.4
NALS: Student’s Guide to Adventure 1.3 en 1.4
Wat is die sinoniem vir 'n grootsirkel op 'n sfeer?
...........................................................................................................................................
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 1.3 en 1.4
Without understanding we will never be satisfied with
understanding we want to expand that understanding and to
communicate it to others.
(Henderson, 1996)
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.

1.2.3 Meet van Hoeke
Gebruik die volgende bron: http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html
Lees die eerste paragraaf “Angles on the sphere” en definieer ʼn hoek op ʼn sfeer:
Leereenheid 1
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
http://www.bartleby.com/images/A4images/A4spheri.jpg
Na hierdie definisie behoort jy te verstaan hoekom dit nodig gaan wees om ʼn gradeboog te
maak wat hoeke op ʼn sfeer kan meet.
Prakties:
NALS: Adventure Card 1.5
NALS: Student’s Guide to Adventure 1.5
[Dosent sal aanwys watter groep “Making a Spherical Protractor”
Stappe 1 tot 6 fisies moet doen.]
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 1.5
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
19

Leereenheid 1
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
20

Leereenheid 2
2 EWEWYDIGE EN LOODREGTE LYNE IN
DIE PLAT VLAK EN OP DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy
kundigheid vertoon t.o.v. die hoeveelheid snypunte van twee lyne;
kundigheid vertoon t.o.v. loodregte lyne op die sfeer;
kundigheid vertoon t.o.v. die hoeveelheid gemeenskaplike loodregte lyne van twee
lyne.
NALS: Hoofstuk 2
Studiemateriaal benodig:
Dis verbasend hoe ewewydige en loodregte lyne op die plat vlak en sfeer van mekaar
verskil. Die avonture in hierdie leereenheid sal hierdie verskille uitlig
Lénárt 5B-072 Amesa-artikel
21

Leereenheid 2
2.1 TWEE LYNE SE GEMEENSKAPLIKE PUNTE
EN LOODREGTE LYNE
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
kennis dra van en die snypunte van twee reguit lyne op die plat vlak ;
kennis dra van en die snypunte van twee grootsirkels op die sfeer;
waarnemings oor ewewydige lyne op die plat vlak en die sfeer kan beskryf;
twee loodregte lyne op die plat vlak kan beskryf en konstrueer;
twee loodregte grootsirkels op die sfeer kan beskryf en konstrueer.
NALS: hoofstuk 2
22
Studiemateriaal benodig:
Prakties:
NALS: Adventure Card 2.1 en 2.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 2.1 en 2.2
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 2.1 en 2.2
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.

Verduidelik die volgende:
Lénárt 4-071.jpg Amesa-artikel
1. Wat is die verskil tussen die Noordpool en magnetiese noord?
Leereenheid 2
2. Beskryf die roetes van twee persone wat vanuit verskillende posisies noord
beweeg.
3. Is dit moontlik om vanuit jou huidige posisie in 'n reguit lyn wes te stap? Onthou
reguit lyn beteken nou grootsirkel.
23

Leereenheid 2
24
4. Beskryf jou baan as jy in 'n westelike rigting sou beweeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

2.2 GEMEENSKAPLIKE LOODREGTE LYNE
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
Leereenheid 2
kan aantoon hoeveel gemeenskaplike loodregte lyne enige twee reguitlyne op die plat
vlak kan hê;
kan aantoon hoeveel gemeenskaplike loodregte lyne enige twee grootsirkels op die
sfeer kan hê.
NALS: hoofstuk 2
Studiemateriaal benodig:
Prakties:
NALS: Adventure Card 2.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 2.3
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 2.3
Vorige klastoetse op eFundi.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
25

Leereenheid 2
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
26

Leereenheid 3
3 VEELHOEKE IN DIE PLAT VLAK EN OP
DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 30 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy kennis dra van en op beide die plat vlak
en sfeer kan aantoon
of 'n poligoon net twee sye kan besit;
hoeveel gebiede met drie lyne gevorm kan word;
hoeveel driehoeke met dieselfde drie hoekpunte gevorm kan word;
wat die som van die hoeke van 'n driehoek is;
of 'n driehoek meer as een regtehoek kan besit;
wat die konstruksie moontlikheid van gelykvormige poligone is;
wat die eienskappe van driehoeke met gelyke hoeke is;
wat die kongruensie-voorwaardes van sferiese driehoeke is;
hoe om pooldriehoeke te konstrueer;
wat die verwantskappe tussen die sye en hoeke van twee pooldriehoeke is;
wat besondere eienskappe van die hoogtelyne van pooldriehoeke is;
wat die eienskappe van halveerlyne van die hoeke en middelloodlyne van die sye van
driehoeke is;
wat die eienskappe van swaartelyne van driehoeke is;
wat die spesiale eienskappe is van ʼn driehoek wat ingeskrewe is op die deursnede van
'n sirkel;
wat die spesiale eienskappe is van 'n driehoek wat ingeskrewe is in 'n oktant;
hoe om Napier se pentagoon te konstrueer..
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 3, 4, 8, 10 en Internet.
27

Leereenheid 3
3.1 VEELHOEKE
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om
ʼn tweehoek te konstrueer, die dimensie daarvan te meet en die eienskappe daarvan
kan aflei;
die aantal en tipes gebiede te beskryf wat met drie lyne gevorm kan word op die plat
vlak;
die aantal en tipes gebiede te kan beskryf wat met drie grootsirkels gevorm kan word
op die sfeer;
die algemene patroon te kan aflei vir die aantal gebiede wat gevorm word as meer as
drie lyne/grootsirkels getrek word; kennis dra van en kan illustreer hoeveel driehoeke
op die plat vlak gevorm word deur drie hoekpunte met lynstukke te verbind;
te kan illustreer hoeveel driehoeke op die sfeer gevorm word deur drie hoekpunte met
sirkelboë te verbind;
te kan aflei en vergelyk wat die som van die hoeke van driehoeke op die plat vlak en
sfeer is
te kan aflei wat die som van die hoeke van vierhoeke en ander poligone op die sfeer is;
driehoeke met meer as een regtehoek te kan konstrueer;
te kan aantoon dat die HHS–voorwaarde nie kongruensie waarborg vir bg. driehoeke
nie;
te kan aantoon dat die SSH–voorwaarde nie kongruensie waarborg vir bg. driehoeke
nie;
te kan onderskei of die stelling van Pythagoras geldig is op 'n sfeer;
tot 'n gevolgtrekking kan kom oor die hoekgroottes van die basishoeke van 'n
gelykbenige driehoek op die sfeer.
28
Studiemateriaal benodig:
NALS hoofstuk 3 en Internet.

Leereenheid 3
Baie eienskappe en reëls oor poligone / veelhoeke wat op die plat vlak voor die hand liggend
is, is nie waar op die sfeer nie. Om hierdie eienskappe te ondersoek gaan ons ter wille van
eenvoud fokus op driehoeke. Jy gaan egter baie gou ontdek dat 'n driehoek nie die
eenvoudigste poligoon op die sfeer is nie! Die grootste verrassing gaan egter wees om die
som van die hoeke van 'n driehoek te bepaal.
29

Leereenheid 3
3.1.1 Tweehoeke en Gebiede
30
Prakties:
NALS: Adventure Card 3.1 en 3.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 3.1 en 3.2
Wenk vir 3.2: Werk op die sfeer en op 'n transparant by vraag 6.
Definieer 'n tweehoek: ...............................................................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer 'n veelhoek / poligoon: ............................................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer 'n reëlmatige veelhoek: ............................................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer 'n meridiaan: ...............................................................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer 'n tessellasie: ...............................................................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer 'n reëlmatige tessellasie: ............................................................................................
...........................................................................................................................................
Noem die voorwaarde waaraan die hoek van 'n tweehoek moet voldoen om 'n sfeer volledig
te tesselleer ........................................................................................................................
Individuele oefening. Doen Adventure 3.2 no. 12.
Residensieel: Bring 'n A4-transparant saam waarop jy die
gebiede wat 1 tot 6 reguit lyne vorm aangedui is.
Bring ook sferiese transparante saam waarop die gebiede
aangedui is wat 1 tot 6 grootsirkels vorm.

Leereenheid 3
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html : lees “Lunes” en
beantwoord die volgende vrae:
Wat is die minste aantal maanskywe wat ʼn sfeer kan besit? ....................................................
Hoekom is 1 'n verkeerde antwoord? .......................................................................................
....................................................................................................................................................
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Individuele PC-opdrag 1: Teken reëlmatige veelhoeke wat kan
animeer m.b.v. GSP. Gebruik een dokument met nege bladsye.
Teken ʼn 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-, 9-, 12- en 20-hoek; een op elke bladsy.
Die maklikste manier is deur die hoekpunte om ’n middelpunt te
roteer. As jy egter die veelhoek later as ’n “tool” wil gebruik, is dit
beter om met die binnehoeke te werk.
Steek alle punte weg, behalwe een wat as rotasie en vergrotings /
verkleiningspunt gebruik kan word.
Benoem elke bladsy.
Stuur die .gsp lêer via eFundi en lewer ook ‘n hardekopie in. Jy
mag die veelhoeke op een bladsy in ‘n WORD dokument intrek en
slegs dit uitdruk.
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 3.1 en 3.2
31

Leereenheid 3
3.1.2 Driehoeke: Hoekpunte en die Som van die Hoeke
32
http://www.krysstal.com/images/sphertrig_triangle2.gif
Prakties:
NALS: Adventure Card 3.3 en 3.4
NALS: Student’s Guide to Adventure 3.3 en 3.4
Verduidelik die twee gedegenereerde sferiese driehoeke aan die hand van sketse:
Voorbeeld: Gestel ABC is 'n sferiese driehoek met A = 90 en B =80. Bereken
C.
Oplossing: 180 A + B +C 540
180 90 + 80 + C 540
180 170 + C 540
10 C 370

Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 3.3 en 3.4
Leereenheid 3
Korreksie: NALS p. 57 no.5 derde paragraaf: “Only the degenarate
triangle with angles of measure 180, 180, and 180 has its angle
measure exactly equal to 540.”
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
33

Leereenheid 3
3.1.3 Driehoeke en Regtehoeke
34
Prakties:
NALS: Adventure Card 3.5
NALS: Student’s Guide to Adventure 3.5
Verduidelik met sketse of die volgende in bewerings op die sfeer geldig is of nie:
HHS voorwaarde waarborg kongruensie.
waar / vals?
Stelling van Pythagoras geld op ʼn sfeer.
waar / vals
SSH voorwaarde waarborg kongruensie.
waar / vals?
Die sye van gelykbenige driehoeke
onderspan gelyke hoeke.
waar / vals
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 3.5

Leereenheid 3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
35

Leereenheid 3
3.2 GELYKVORMIGHEID EN KONGRUENSIE OP
DIE PLAT VLAK EN DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
gelykvormigheid t.o.v. veelhoeke te kan definieer;
kan onderskei op watter soort oppervlakte jy gelykvormige veelhoeke kan konstrueer;
kan onderskei wat die gevolge is van die HHH-voorwaarde by driehoeke op die plat
vlak en op die sfeer
kan af lei watter van die voorwaardes (SSS HHH HHS SSH HSH SHS) kongruensie
van driehoeke op die sfeer waarborg;
die voorwaardes vir kongruensie van driehoeke op die plat vlak en op die sfeer kan
vergelyk.
NALS: hoofstuk 4.
36
Studiemateriaal benodig:
In hierdie leergedeelte fokus ons om voorwaardes te bepaal wat gelykvormigheid en
kongruensie van figure waarborg. Hierdie resultate beklemtoon weereens die merkwaardige
verskille tussen meetkunde op die sfeer en op die plat vlak. Ons sal weereens driehoeke
bestudeer ter wille van die eenvoud daarvan.

Leereenheid 3
3.2.1 Gelykvormige Veelhoeke en Driehoeke met Kongruente Hoeke
Prakties:
NALS: Adventure Card 4.1 en 4.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 4.1 en 4.2
[Dosent sal aanwys watter groep “Construction on the Sphere”
Stappe 1 tot 5 fisies moet doen.]
Residensieel: Adventure 4.2 konstruksie 4 sal tydens kontaksessie gedoen word.
Definieer gelykvormigheid van veelhoeke: ..........................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer kongruensie van veelhoeke: ...................................................................................
...........................................................................................................................................
'n Sferiese driehoek het twee hoeke van 90. Wat is die verband tussen die derde hoek en
die teenoorstaande sy? .....................................................................................................
...........................................................................................................................................
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 4.1 en 4.2
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
37

Leereenheid 3
3.2.2 Voorwaardes vir Kongruensie van Driehoeke
38
Prakties:
NALS: Adventure Card 4.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 4.3
Kongruensie op die Plat Vlak Kongruensie op die Sfeer
SSS SSS
SS*
S** SS
SS90 S
S**
SS SS
S
Die volgende byvoeglike naamwoorde is baie belangrik:
* Sy ingeslote hoek sy
** Hoek hoek ooreenstemmende sy
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 4.3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg. Maak seker dat jy die verskillende voorwaardes van kongruensie
goed verstaan.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

3.3 VERRASSINGS OP DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy kennis dra van
Leereenheid 3
al die eienskappe van die hoeke van driehoeke wat ingeskrewe is op die deursnede
van ʼn sirkel;
wat gebeur as die middelpunt van die sirkel verbind word met die teenoorstaande
hoekpunt van bogenoemde driehoeke;
die definisie van ʼn oktant;
die eienskappe van die sye en hoeke van die ingeskrewe driehoek van ʼn oktant;
die eienskappe van Napier se pentagoon en pentagram;
en bogenoemde kan konstrueer op die sfeer.
NALS: hoofstuk 8.
Studiemateriaal benodig:
As jy werklik min tyd tot jou beskikking het, is hierdie leergedeelte uiters geskik om die
verrassende ontdekkings oor die verskille tussen meetkunde op die plat vlak en sfeer met
leerders op skool te deel sodat hulle kan besef dat die plat vlak nie die alfa en omega van
meetkunde is nie. Al voorkennis wat jy nodig het, is dat die kortste afstand tussen twee punte
'n boog op 'n grootsirkel is.
39

Leereenheid 3
3.3.1 Ingeskrewe Driehoeke
40
Prakties:
NALS: Adventure Card 8.1 en 8.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 8.1 en 8.2
Residensieel: Bring die hoekgroottes wat jy in Adventure 8.1 se konstruksies gemeet het
saam na die kontaksessie.
Bring alle sylengtes en hoekgroottes saam wat jy in Adventure 8.2 se konstruksies gemeet
het saam na die kontaksessie.
Definieer 'n oktant. ...............................................................................................................
...........................................................................................................................................
Oplossing van 8.2 Explore more (met dank aan I. Lénárt):
Gegee: Die hoogtelyne van die oorspronklike driehoek is die halveerlyne van die
hoeke van die ingeslote driehoek.
Bewys: Die som van die sylengtes van die ingeslote driehoek is 180.
Beskou die skets op p. 145 in NALS.
Reflekteer, by voorbeeld, punt P m.b.t. L en M.
Noem die spieëlbeelde U en V.
UV = UL + LP + PM + MV
= LP + LP + PM + PM [refleksie]
= 2(LP + PM)
= 2 LM
= 2(90) [sy van 'n oktant]
= 180 (sferiese afstandseenhede)
U en V is teenoorgestelde punte
URL PRL [SS]
Netso: VMQ PMQ.
KRQ = 90 - MRQ [MR LK in oktant]
(Opmerking: hierdie is sferiese hoekeenhede)
= 90 - PRM [RM is 'n halveerlyn van 'n R]
= LRP [MR LK in oktant]
= URL [URL PRL]
URQ = URL + LRP + PRM + MRQ
= KRQ + LRP + PRM + MRQ
= (LRP + PRM ) + (MRQ + KRQ )
= LRK
= 180 [boog van grootsirkel]

Dit beteken dat die sy UR op dieselfde grootsirkel is as die sy RQ.
Netso volg dat sy VQ op dieselfde grootsirkel is as die sy RQ.
PR + RQ + QP = UR + RQ + QP [URL PRL ]
= UR + RQ + QV [VMQ PMQ]
= URQV ('n meridiaan of helfte van grootsirkel)
= UV [sy van tweehoek]
= 180 (sferiese afstandseenhede)
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 8.1 en 8.2
Leereenheid 3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
41

Leereenheid 3
3.3.2 Napier se Pentagoon / Pentagram
42
Prakties:
NALS: Adventure Card 8.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 8.3
Definieer Napier se pentagoon. ............................................................................................
...........................................................................................................................................
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 8.3
Vorige klastoetse op eFundi.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

3.4 POOLDRIEHOEKE
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
pooldriehoeke kan konstrueer en die konstruksie beskryf;
Leereenheid 3
die verband tussen 'n pooldriehoek en sy oorspronklike sferiese driehoek kan beskryf;
kennis dra van die verwantskappe tussen die sye en hoeke van twee pooldriehoeke;
'n hoogtelyn van 'n driehoek kan definieer;
kennis dra van die eienskappe van die drie hoogtelyne van driehoeke op die plat vlak;
kennis dra van die eienskappe van die drie hoogtelyne van sferiese driehoeke en die
ooreenstemmende pooldriehoek.
halveerlyne, middelloodlyne en swaartelyne kan definieer;
die spesiale eienskappe van halveerlyne en middelloodlyne in driehoeke op die plat
vlak, sferiese driehoeke en hul ooreenstemmende pooldriehoeke kan beskryf;
kennis dra van die spesiale eienskappe van swaartelyne van driehoeke op die plat vlak
en op die sfeer;
kennis dra van die spesiale eienskappe van die grootsirkels wat die middelpunte van
die sye van 'n sferiese driehoek en die middelpunte van die ooreenstemmende sye van
sy pooldriehoek.
NALS: hoofstuk 10.
Studiemateriaal benodig:
Pooldriehoeke bestaan nie op die plat vlak nie, omdat 'n plat vlak nie poolpunte en ewenaars
het nie.
43

Leereenheid 3
3.4.1 Pooldriehoeke: Sye, Hoeke, Hoogtelyne
NALS: hoofstuk 10
44
Prakties:
NALS: Adventure Card 10.1, 10.2 en 10.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 10.1, 10.2 en 10.3
Residensieel: Bring Adventure 10.2 “Explore more” 3a, en 4 se skets en metings saam na
die kontaksessie.
Wat is die pooldriehoek van A * B * C * ? ...................................................................................
Gee die verband tussen die sye en hoeke van 'n driehoek en sy ooreenstemmende
pooldriehoek. ........................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Maak 'n skets van jou figuur en meet beide driehoeke se hoeke en sylengtes:
Beskryf die pooldriehoek van DEF as E = F = 90. .......................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Maak 'n skets van jou figuur en meet alle hoeke en sylengtes:
Leereenheid 3
Watter driehoek en sy pooldriehoek is identies? ................................................................
Definieer 'n hoogtelyn: ...............................................................................................................
...........................................................................................................................................
Wanneer is hoogtelyne in 'n sferiese driehoek nie saamlopend nie? .....................................
...........................................................................................................................................
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 10.1, 10.2 en 10.3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
45

Leereenheid 3
3.4.2 Halveerlyne – Middelloodlyne – Swaartelyne
NALS: hoofstuk 10
46
Prakties:
NALS: Adventure Card 10.4 en 10.5
NALS: Student’s Guide to Adventure 10.5
Definieer 'n middelloodlyn: .....................................................................................................
........................................................................................................................................
Opmerking: Middelloodlyne sny in die middelpunt van die omgeskrewe sirkel.
Definieer 'n halveerlyn: ...............................................................................................................
........................................................................................................................................
Opmerking: Halveerlyne in hoeke sny in die middelpunt van die ingeskrewe sirkel.
Wat is die verband tussen die middelpunte van die omgeskrewe en ingeskrewe sirkels van 'n
sferiese driehoek en sy pooldriehoek? ...................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Definieer 'n swaartelyn. .....................................................................................................
........................................................................................................................................
Aan watter voorwaardes moet DEF voldoen sodat die swaartelyne uit D en D * van die
ooreenstemmende pooldriehoek D * E * F *. saamval? ................................................................
........................................................................................................................................

Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 10.4 en 10.5
Vorige klastoetse op eFundi.
Leereenheid 3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
PC opdrag 2 m.b.v. GSP:
Indien u probleme ondervind om die verskillende spesiale lyne en sirkels te konstrueer,
raadpleeg die leesbundel pp.36 tot 44.
Gebruik GSP en teken 'n willekeurige driehoek. Konstrueer op p. een met middelloodlyne
die omgeskrewe sirkel. Verander die tipe driehoek deur een van die hoekpunte te trek en
skryf u waarnemings neer m.b.v. ’n “text box”. [Wenk: Sorg dat die omgeskrewe sirkel aan
die driehoek gebonde bly deur die radiuspunt aan ‘n hoekpunt vas te maak. Wat is die
posisie van die middelpunt van die omgeskrewe sirkel as die driehoek skerphoekig,
stomphoekig ens. is?]
Dupliseer die skets na p. twee. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek en
middelpunt van die omgeskrewe sirkel. Konstrueer met halveerlyne die ingeskrewe sirkel.
Verander die tipe driehoek deur een van die hoekpunte te trek en skryf u waarnemings neer
m.b.v. ’n “text box”. [Wenk: Die sye van die driehoek moet raaklyne aan die ingeskrewe sirkel
wees. ‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is loodreg op die radius van die sirkel. Wat kan u doen om te
verseker dat die ingeskrewe sirkel altyd by drie raakpunte aan die driehoek raak?]
Dupliseer die skets na p. drie. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek,
middelpunt van die omgeskrewe sirkel en middelpunt van die ingeskrewe sirkel. Konstrueer
met hoogtelyne die ortosnypunt. Verander die tipe driehoek deur een van die hoekpunte te
trek en skryf u waarnemings neer m.b.v. ’n “text box”.
Dupliseer die skets na p. vier. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek,
middelpunt van die omgeskrewe sirkel, middelpunt van die ingeskrewe sirkel en die
ortosnypunt. Konstrueer swaartelyne en die swaartepunt. Bereken die verhoudings van die
lengtes van die lynstukke tussen die hoekpunt en swaartepunt, en swaartepunt en
middelpunt op die teenoorstaande sy. Meet ook die oppervlaktes van die driehoek gevorm
deur twee hoekpunte en die swaartepunt. Verander die tipe driehoek deur een van die
hoekpunte te trek en skryf u waarnemings neer m.b.v. ’n “text box”.
Dupliseer die skets na p. vyf. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek,
middelpunt van die omgeskrewe sirkel, middelpunt van die ingeskrewe sirkel, ortosnypunt en
swaartepunt. Drie van hierdie snypunte lê altyd op ʼn lyn, genoem die lyn van Euler. Stel self
vas watter punt is nie op Euler se lyn nie?
Benoem elke bladsy sinvol.
Stuur u skets as 'n .gsp lêer via eFundi en druk slegs die laaste bladsy uit om in te lewer.
47

Leereenheid 3
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
48

4 TOEPASSINGS VAN SFERIESE
MEETKUNDE OP DIE AARDBOL
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy wiskunde kan integreer met ander
wetenskappe deur
'n 2D-kaart van die aarde te kan omskep tot 'n bolvorm
ligging op die aarde te kan bepaal;
te kan bereken hoe laat dit (hier en elders) is.
Leereenheid 4
Die volgende uitkomste is vir verryking. Werk op jou eie daardeur om jou te help sodat jy in
die klassituasie oor hierdie addisionele kennis beskik om jou leerders aan lewenswerklike
situasies bekend te stel.
kennis te dra van Columbus se visie van die aarde;
kennis te dra van die oorsake van aardbewings en vulkane.
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 7 en Internet.
Hierdie leereenheid word gewy aan geografiese toepassings en bevat minder formele
wiskunde as die ander leergedeeltes. Hier is egter geleentheid om wiskunde te integreer met
sosiale en suiwer wetenskappe.
Lénárt 6a-064 Amesa-artikel
49

Leereenheid 4
4.1 KARTERING VAN DIE AARDE
Jy benodig ongeveer 2 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
ʼn 2D-kaart van die aarde kan omskep tot ʼn bolvorm.
Die volgende uitkoms is vir verryking:
kennis dra van verskillende projeksies as gevolgtrekking uit die stelling van Girard.
50
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 7 en Internet
Prakties:
NALS: Adventure Card 7.1
NALS: Student’s Guide to Adventure 7.1
[Dosent sal aanwys watter groep “Creating Your Own Globe”
Stappe 1 tot 6 fisies moet doen.]
Stappe 7 en 8 uit op p. 114 is opsioneel.
“Investigate 5” se mere en riviere is opsioneel.
“Investigate 7” is opsioneel.
“Explore More” 8 en 9 is opsioneel.
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 7.1

Vir verryking:
Leereenheid 4
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html en lees “Consequences
of Girard’s Theorem; Exercise: Distortion of maps” (en die twee skakels) om die volgende
vrae te beantwoord:
Opdrag 3 (opsioneel):
1 Definieer 'n “ideale” kaart.
2 Bestaan 'n “ideale” kaart? Motiveer jou antwoord.
3 Aan watter vereiste van “ideale” kaarte voldoen gnomoniese kaarte?
4 Definieer 'n gnomoniese projeksie.
5 Waarvoor word gnomoniese projeksies gebruik? Noem twee. Motiveer jou antwoord.
6 Aan watter vereiste van “ideale” kaarte voldoen Mercator projeksies?
7 Deur wie word Mercator projeksies gebruik? Motiveer jou antwoord.
8 Hoe word Mercator projeksies verkry?
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op
eFundi vir selfkontrole van die res.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
51

Leereenheid 4
4.2 LIGGING EN TYD OP DIE AARDBOL
Jy benodig ongeveer 2 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
die aarde se koördinaatstelsel op jou bol kan konstrueer en;
afstande in grade kan omskakel na afstande in km;
die aarde se koördinaatstelsel vergelyk met die Cartesiese koördinaatstelsel;
die ligging van plekke daarmee kan bepaal;
tyd kan bereken op enige plek op aarde met enige ander plek se tyd as verwysing.
Die volgende uitkomste is vir verryking:
ʼn bol konstrueer met die aarde se tydsones volgens lengtelyne;
jou tydsones kan vergelyk met die werklike grense in ʼn atlas.
52
Die nag daal oor Europa

Leereenheid 4
Genesis 1: 3-5: Toe het God gesê: “Laat daar lig wees!” En daar was lig. God het gesien die lig is
goed, en Hy het die lig en die donker van mekaar geskei. God het die lig toe “dag” genoem, en die
donker het Hy ”nag” genoem. Dit het aand geword en dit het môre geword. Dit was die eerste dag.
Johannes 8: 12 Op ʼn ander keer het Jesus vir die mense gesê: “Ek is die lig vir die wêreld. Wie My
volg, sal nooit in die duisternis lewe nie, maar sal die lig hê wat lewe gee.”
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 7 en Internet
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/ en lees “Spherical distances and
isometries” om die volgende vraag te beantwoord:
Deur watter formule word afstand op ʼn sirkel (booglengtes) bereken:
..............................................................
Kan jy verduidelik hoe om hierdie formule af te lei? (Wenk: Gebruik die formule vir die omtrek
van ʼn sirkel en maak ʼn skets)
Lengtegraad en lengtelyne: ʼn Lengtelyn is die kortste lyn op die aardbol wat die Noordpool
en die Suidpool verbind. Twee lengtelyne wat presies reg teenoor mekaar op die aardbol
loop, vorm ʼn grootsirkel. ʼn Lengtelyn word ook ʼn meridiaan of “middaglyn” genoem omdat al
die plekke op die lyn gelyktydig middag is d.w.s. die “middagson” skyn op dieselfde tyd daar.
ʼn Meridiaan is ʼn halwe grootsirkel, terwyl die teenmeridiaan verwys na die ander halwe
grootsirkel. Die algemeen aanvaarde standaard-meridiaan is diè van Greenwich (naby
Londen, Engeland) en word die 0-meridiaan genoem. Die teenmeridiaan is sal dus 180
53

Leereenheid 4
wees. By die 0 meridiaan sal dit byvoorbeeld 12:00 die middag wees, terwyl dit by die 180
teenmeridiaan 12:00 die nag sal wees.
ʼn Lengtegraad is die hoekafstand (gemeet in grade en dele van ʼn graad) na wes of oos van
die standaard-meridiaan of Greenwich-meridiaan. Hierdie sfeer (die aardbol) kan suid 360
om die ewenaar verdeel word. Daar is dus 180 oos en wes van Greenwich, wat jou by
dieselfde meridiaan, presies aan die anderkant van die aarde bring. Elke lengtegraad word in
minute (1 = 60) en sekondes (1 = 60) verdeel.
ʼn Sinkende skip kan met behulp van breedtegrade en lengtegrade sy presiese ligging aandui
deur net na die koördinate te verwys. By die breedtegraad sal die kaptein van die skip eers
die grade, dan die minute en sekondes moet gee en ook aandui of die breedtelyn suid of
noord van die ewenaar is. Dieselfde word gedoen met die lengtelyn, maar hier moet
aangedui word of die lengtelyn oos of wes van die Greenwich-meridiaan voorkom. Geen plek
op aarde het dieselfde ligging nie. Ligging van ʼn spesifieke plek word soos volg aangedui:
(15 14 53 Suid; 21 43 21 Oos)
Lengtegraad en tyd: Lengtegraad speel ʼn belangrike rol by die bepaling van tyd. Die aarde
draai van wes na oos. Die 360 lengtegrade neem 24 uur om onder die son deur te draai. Dit
360
neem dus 1 uur vir die aarde om 15
onder die loodregte strale van die son te draai.
24
1 uur 60 min ute
Dit neem dus 4 minute vir die loodregte strale van die son om te
15 15
verskuif van die een lengtegraad tot die volgende.
Wanneer die loodregte strale van die son op ʼn meridiaan val, is dit middag (12-uur) vir alle
plekke op daardie meridiaan. As jy 12-uur op hierdie meridiaan staan, sal die son dus in die
hemelmeridiaan kulmineer, d.w.s. die son sal halfpad tussen oos en wes wees. Die tyd is
dan bekend as Sontyd, Plaaslike of Lokale tyd.
Alle tye word gewoonlik vasgestel in terme van die tyd van Greenwich. Die aarde draai van
wes na oos om sy denkbeeldige as. Gevolglik sal plekke wat oos van ʼn bepaalde meridiaan
lê, tye hê wat later in die dag is, en plekke wat wes daarvan lê tye ondervind wat vroeër in
die dag is.
54
Tydsverskille op verskillende Breedtegrade
90 WES 30 WES 15 WES 0 15 OOS 30 OOS 60 OOS
6h00 10h00 11h00 12h00 13h00 14h00 16h00
Uit hierdie tabel is dit duidelik dat indien daar ooswaarts beweeg word, dit later word, en as
daar weswaarts oor die lengtelyne beweeg word, dit vroeër word.
Dit sou egter groot verwarring veroorsaak as elke plek sy eie meridiaan se tyd sou gebruik.
Dink byvoorbeeld al die probleme wat sou ontstaan in die spoorweë en veral by die
vertrektye van die treine indien elke dorp sy eie meridiaan se tyd sou gebruik het. Dit is dus
gebruiklik vir elke land of gedeelte van ʼn land, wat veral uitgestrek is van Oos na Wes om
sogenoemde standaardtyd te kies vir die gebruik van die hele land of ʼn groot gedeelte van
die land. In Suid-Afrika word die standaardtyd geneem van die 30- oosmeridiaan wat deur
Breyten in Mpumalanga gaan. Vir Breyten is die gemiddelde plaaslike tyd en die Suid-
Afrikaanse standaardtyd (afgekort S.A.S.T.) dus dieselfde.
Oor die algemeen word die standaardtydmeridiane so gekies dat dit met veelvoude van 15
of 7,5 verskil, d.w.s. met presiese getal ure of halfure.

Lénárt 3-069.jpg Amesa-artikel
Leereenheid 4
Op hierdie wyse word die aarde in verskillende tydsones verdeel. Die grense van die
tydsones word deur politieke en ekonomiese oorsake beïnvloed. Die tyd op die Greenwichmeridiaan
word Greenwichtyd of Greenwich-gemiddelde Tyd genoem of eenvoudig G.G.T.
Indien hierdie beginsel toegepas word en die tyd van verskillende meridiane word ooswaarts
en weswaarts bereken duik ʼn ernstige probleem op. Gestel die tye word vanaf Greenwich
bereken waar dit op ʼn bepaalde oomblik Maandag 8:00 is. Indien die tyd ooswaarts vir die
180 O lengtelyn bereken word, sal dit Maandag 20:00 wees. Indien die tyd vanaf Greenwich
weswaarts bereken word sal dit by dieselfde lengtelyn 180 W lengtelyn Sondag 20:00 wees.
Onthou dat die180 W en 180 O lengtelyn een lyn is. Daar is dus ʼn verskil van 24 uur ( een
etmaal) wat onprakties is. Om hierdie probleem op te los, is daar deur ʼn internasionale
konferensie in 1884 in Washington D.D. in die V.S.A. ooreengekom dat die 180 oos- of 180
wesmeridiaan die Internasionale Datumlyn (datumgrens) genoem word. Indien die
internasionale datumgrens weswaarts oorgesteek word moet ʼn volle dag (24 uur) beweeg
word. (ʼn Sondag 20:00 word dus Maandag 20:00) Wanneer tye dus ooswaarts bereken word
55

Leereenheid 4
en die internasionale datumgrens word oorgesteek moet ʼn volle dag (24 uur) van die week
afgetrek word (ʼn Maandag 20:00 word dus Sondag 20:00).
Die Internasionale Datumgrens volg nie oral die 180 wes- of oosmeridiaan nie, maar wyk
wel op sekere plekke af. Die afwyking word gedoen om verwarring te voorkom en dat een
deel van ʼn eiland nie een kalenderdag het en ʼn ander deel van ʼn eiland ʼn ander kalenderdag
het nie.
Berekening van tyd m.b.v. lengtegraad: By die berekenings moet daar altyd twee
faktore in gedagte gehou word, nl.
56
Die aarde draai deur ʼn hoek van 360 in 24 uur en daarom deur 15 in een uur
en deur 1 in 4 minute.
Die aarde draai om sy eie as van wes na oos, daarom sal die sonsopkoms,
middag en sonsondergang op plekke oos vroeër wees as die plekke was.
Onthou: Die tyd in die OOSTE sal VOOR wees in verhouding tot die tyd na die weste.
Voorbeeld:
As die in New York (standaardtyd 75W) 6:30 is, hoe laat sal dit tyd in Potchefstroom
(standaardtyd volgens die 30) wees?
Onthou dat New York wes van die Greenwich meridiaan is en Potchefstroom oos daarvan.
Om die verskil in die lengtegraadsligging tussen die twee plekke te bepaal, moet die
lengtegrade bymekaar getel word d.w.s. 75 + 30 = 105 lengtegrade. Deel hierdie
lengtegrade deur 15 om die verskil in lengtegrade in tyd om te sit. 105 sal dus 7 ure
voorstel. Nou moet bepaal word of die onbekende plek se tyd voor of agter die tyd van die
bekende plek is. Potchefstroom lê oos van New York en sal 7 ure bygetel moet word. Dit sal
dus13:30 in Potchefstroom wees. (6:30 + 7 ure = 13:30)
New York Greenwich Potchefstroom
75W 0 30O
--------------------------------------------------------
Verskil in grade is
Tydsverskil
:
:
1uur
105
15
7 uur
30
105
75
of
4 minute
105
1
of
1uur
420 min
60 min
Opmerking: Indien twee plekke aan dieselfde kant van die Greenwichlyn (0) is, moet die
lengtegrade van mekaar afgetrek word om die verskil in lengtegraad te bereken.
Wenk: Teken ʼn prentjie

Prakties:
NALS: Adventure Card 7.2 en 7.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 7.2** en 7.3
Leereenheid 4
Gebruik die papieraardbol bedek met transparante van 7.1
** Vervang vraag 7 met die volgende: Die twee stede Minneapolis in Minnesota en Lake
Charles in Louisiana lê albei op die 93 W lengtelyn. Die breedtegraad van Minneapolis is
45N en die van Lake Charles 30N. Bereken die afstand tussen die twee stede.
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
Opmerking: Geografiese koördinate word andersom geskryf as Cartesiese koördinate.
By geografiese koördinate (; ) is die eerste koördinaat 'n Noord (+) of Suid (-);
m.a.w. 'n vertikale posisie aanduiding. Die tweede koördinaat dui Oos (+) of Wes (-) aan,
m.a.w. 'n horisontale posisie.
(a N; b W) beteken dus (a; -b) en lê in die “tweede kwadrant” en nie in die vierde kwadrant
soos by Cartesiese koördinate nie.
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 7.2 en 7.3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
57

Leereenheid 4
Opdrag 4A:
Bereken die volgende en toon alle berekeninge:
1. Bereken die afstand tussen Athene (375638N ; 24O) en
De Aar (303933S ; 24O). [Opmerking: Die internet-adres www.multimap.com/
kan gebruik word om in te zoem op enige plek in die wêreld en dit gee ook die
koördinate daarvan.]
2. Charles Lindbergh het in 1927 met sy beroemde vlug oor die Atlantiese Oseaan 473
myl korter gevlieg as met 'n direk ooswaartse vlug. Verduidelik hoe hy dit reggekry het.
3. Die Oranje-Vistonnel is 82,8 km lank
en het 'n inklinasie van 1:2000. Neem
die aarde se radius as 6399 km.
58
3.1 Hoekom is die inklinasie nodig?
Gee twee redes.
3.2 Bereken hoek . (Werk tot drie
desimale syfer noukeurig)
3.3 Bereken hoek .
3.4 Bereken hoek .
3.5 Bereken hoek .
3.6 Bereken die diepte van die
tonnel (x) in meter.
3.7 Bereken die foutpersentasie as
die werklike diepte gegee word
as 405 m.
3.8 Bereken die afwyking as 'n
persentasie in vergelyking met
die radius van die aarde.
3.9 Maak 'n gevolgtrekking.
Inlaat
x
4. Veronderstel dit is Dinsdag 14:00 op 150O. Hoe laat is dit op 18O?
5. Veronderstel dit is 18:00 op Saterdag 4 Junie by 70W. Hoe laat is dit op in Kaapstad?
6. Ons moet vroeg opstaan om Saterdag 4:20 na ʼn rugbywedstryd in Nieu-Seeland
180O te kyk. Hoe laat is dit in Christchurch?
7. Veronderstel ʼn persoon in Japan (135O) kyk om 11:00, 23 Desember na ʼn direkte
TV-uitsending van ʼn branderplankry-kompetisie. Hoe laat is dit in Hawaii (165W) waar
die kompetisie plaasvind?

Leereenheid 4
8. Hoe laat begin die Amerikaanse Ope Tennis eindstryd in New York (4045’ N; 74W)
as ons dit op Saterdag om 23:00 in Suid-Afrika oor televisie kyk? (Rond af tot die
naaste 15)
9. Gestel die son kom op in Rio De Janeiro op Vrydag om 06:00
(22:54:34S; 43:12:54W). Hoe laat is dit in Napels (40,8396 N; 14,2528 O )? Werk
noukeurig.
Opdrag 4B:
Bereken die volgende en toon alle berekeninge:
1. 'n Satelliet word gelanseer in 'n sirkelvormige wentelbaan rondom die aarde. As die
afstand van die satelliet na die middelpunt van die aarde 9000 km is, hoe ver beweeg
die satelliet as die hoek waardeur hy beweeg 70 is?
2. Veronderstel ʼn skag is 500m diep en daarvandaan word ʼn tonnel onder die aarde
gebou sodat die tonnel ʼn hoek van 90 met die skag maak. Hoe lank kan die tonnel
wees voordat dit op die oppervlakte sal uitsteek indien die aarde ʼn gladde oppervlakte
sou hê?
3. Die Oranje-Vistonnel is 82,8 km lank
en het 'n inklinasie van 1:2000. Neem
die aarde se radius as 6399 km.
3.1 Hoekom is die inklinasie nodig?
Gee twee redes.
3.2 Bereken hoek . (Werk tot drie
desimale syfer noukeurig)
3.3 Bereken hoek .
3.4 Bereken hoek .
3.5 Bereken hoek .
3.6 Bereken die diepte van die
tonnel (x) in meter.
3.7 Bereken die foutpersentasie as
die werklike diepte gegee word
as 405 m.
3.8 Bereken die afwyking as 'n
persentasie in vergelyking met
die radius van die aarde.
3.9 Maak 'n gevolgtrekking.
Inlaat
x
4. Veronderstel dit is Maandag 12:00 in Suid-Afrika. Hoe laat is dit op 30W?
5. Veronderstel dit is Woensdag 4:00 op 72W. Hoe laat is dit op 141W?
6. In Suid-Afrika kyk ons om 15:00 na die Wimbledon tenniseindstryd. Hoe laat is dit op
Wimbledon?
59

Leereenheid 4
7. Jy vertrek Maandag om 10:00 vanaf Johannesburg lughawe en die vlug duur 12 uur
later tot in Engeland. Hoe laat is dit daar as jy land?
8. Dit neem ongeveer 12 ure om vanaf Johannesburg tot in Parys (Frankryk) te vlieg.
Verduidelik hoe dit moontlik is dat daar in beide Suid-Afrika en Frankryk presies op
dieselfde tyd (bv. 15:00) na ’n wêreldbeker-rugbywedstryd gekyk word.
9. Rodger Federer het op Sondag 28 Januarie 2007 sy tiende “grand slam” titel ingepalm
deur die Australiese Ope eindstryd te wen. Hy het ongeveer om 20:00 in Melbourne
(-37,8138; 144:57:47 ) gespeel. Wanneer het ons in Suid-Afrika na ’n direkte uitsending
van die wedstryd gekyk?
60
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi
vir selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

4.3 COLUMBUS SE VISIE VAN DIE AARDE
AARDBEWINGS EN VULKANE
Jy benodig ongeveer 0 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Die volgende uitkomste is opsioneel:
ʼn kaart konstrueer soos Columbus se siening van die aarde;
Columbus se kaart vergelyk met die werklike aarde;
Columbus se fout kan bereken ten opsigte van die omtrek van die ewenaar;
ʼn aardbol konstrueer met die “living earth” plakkaat;
met skaalberekenings bogenoemde bol met die aardbol vergelyk;
kennis dra van tektoniese plate en die invloed van hulle bewegings.
NALS: hoofstuk 7
Studiemateriaal benodig:
Prakties:
NALS: Adventure Card 7.4 en 7.5
NALS: Student’s Guide to Adventure 7.4 en 7.5
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 7.4 en 7.5
Leereenheid 4
61

Leereenheid 4
Opdrag 5:
Neem die radius van die aarde as 6366km.
62
1. Bereken die lengte (in km) van die ewenaar.
2. Bereken die lengte (in km) van 1 op die ewenaar.
3. Columbus het 1 as 84 km bereken. Watter persentasie fout het hy gemaak ?
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

5 SFERIESE TRIGONOMETRIE
Jy benodig ongeveer 12 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy
die kosinusreël kan aflei en toepas op die plat vlak en op die sfeer;
die sinusreël kan aflei en toepas op die plat vlak en op die sfeer.
Die volgende uitkoms is opsioneel:
Napier se reëls vir reghoekige sferiese driehoeke kan aflei en toepas.
Leereenheid 5
In hierdie leereenheid word die bekende kosinusreël op die plat vlak gebruik om die
kosinusreël op die sfeer af te lei. Dit stel ons in staat om die kortste afstand tussen enige
twee plekke op aarde te bepaal asook die hoeke waarmee vliegtuie moet beweeg vir die
kortste vlug.
http://www2.umt.edu/Geology/faculty/sheriff/350-
Computation_Computer_Techniques/Images/Spherical%20trig%20law%20of%20cosines.gif
63

Leereenheid 5
5.1 DIE KOSINUSREËL
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
die kosinusreël kan toepas op die plat vlak;
die kosinusreël kan aflei en toepas op die op die sfeer.
Die eerste formule wat ons gaan aflei gee ʼn verband tussen die drie sye van ʼn boldriehoek
en een van die hoeke. Dit is ʼn basiese formule, want al die ander word daaruit herlei.
64
B
Bewys:
A
c b
a
Ons bewys net die eerste van die drie formules.
Trek raaklyne aan die grootsirkels AB en AC deur A
en verleng die strale OB en OC,
waar O die middelpunt van die sfeer is.
C
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos
Die raaklyn aan AB lê op die plat vlak deur die grootsirkel deur A en B,
en só ook die straal OB.
Die raaklyn en die verlenging van OB sny mekaar dus, sê in D.

Gestel die raaklyn aan AC by A en die verlengde straal OC sny in E.
Verbind DE.
ADE is nou ʼn gewone plat-vlak driehoek met DAE = .
In ADE geld dus:
DE 2 = AD 2 + AE 2 – 2AD.AE cos (1)
In ODE is DOE = a en dus geld:
DE 2 = OD 2 + OE 2 – 2OD.OE cos a (2)
Vergelyking (2) – (1) lewer:
0 = (OD 2 – AD 2 ) + (OE 2 – AE 2 ) – 2OD.OE cos a + 2AD.AE cos
2OD.OE cos a = (OD 2 – AD 2 ) + (OE 2 – AE 2 ) + 2AD.AE cos
2OD.OE cos a = OA 2 + (OE 2 – AE 2 ) + 2AD.AE cos (Stelling van
2OD.OE cos a = OA 2 + OA 2 + 2AD.AE cos (Stelling van
2OD.OE cos a = 2 OA 2 + 2AD.AE cos
OD.OE cos a = OA 2 + AD.AE cos
cos a
OA OA
.
OD OE
AD AE
. cos
OD OE
OA AE
cos a cos c.
sin c.
cos
OE OE
D
Leereenheid 5
Pythagoras in OAD)
Pythagoras in OAE)
A
c
O
65

Leereenheid 5
cos a = cos c cos b + sin c sin b cos
66
of
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos
Voorbeeld 1:
A
b
O
Die ander twee formules volg soortgelyk.
Die drie sye van ʼn boldriehoek is 45, 60 en 30 respektiewelik. Bereken die hoeke.
Bewys: Ons maak ʼn verduidelikende skets soos
hier langsaan:
Volgens die kosinusreël vir boldriehoeke is:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos
cos 45 = cos 60 cos 30 + sin 60 sin 30 cos
sin 60 sin 30 cos = cos 45 - cos 60 cos 30
cos
bg
50,
729
cos 45
cos 60
cos 30
sin 60
sin 30
cos 45
cos 60
cos 30
cos
sin 60
sin 30
Toon aan dat = 108,532 en bereken dan ook .
B
30
A
45
60
E
C

Voorbeeld 2:
Leereenheid 5
Gebruik Johannesburg (26:09:34 S ; 28:04:21 O ) en Bombaai (19:04:36 N; 72:45:49 O)
http://www.planetary.org/mars/earthdial/map.jpg
2.1 Bepaal die hoekafstand tussen die twee stede. (Wenk: Neem die Noordpool as
derde hoekpunt en gebruik die cos-reël)
2.2 As die radius van die aarde 6378 km is, hoe lank is die boog op ʼn grootsirkel
tussen die stede?
2.3 Wat is die kortste afstand tussen die stede?
67

Leereenheid 5
68
Oplossing:
Teken die figuur soos volg op die sfeer met die stede min of meer op die regte
plekke.
Gestel die sferiese driehoek NJB het
hoekpunte N(Noordpool),
J(Johannesburg) en B(Bombaai).
N1 = 28:04:21
N2 = 72:45:49 – 28:04:21
= 44,691
j = 90 – 19:04:36
= 70,923
Opmerking: Vanaf N tot die ewenaar
is 90, maar Bombaai is ongeveer
19 noord van die ewenaar. Ons
moet dus aftrek.
b = 90 + 26:09:34
= 116,159
Wes ewenaar
N
2
1
Opmerking: Vanaf N tot die ewenaar is 90 , maar Johannesburg is ongeveer 26 suid van
die ewenaar. Ons moet dus optel.
Suid
b
J
j
n
B
Oos

2.1 cos n = cos b cos j + sin b sin j cos N2
2.2
= cos 116,159 cos 70,923 + sin 116,159 sin 70,923 cos 44,691
= 0,458…
n = 62,680
Hoekafstand is dus 62,68
Booglengte 62,
68
2r
360
62,
68
Booglengte = 2r
360
62,
68
= 2
( 6378)
360
= 6977,356 km
2.3 Kortste afstand is die hoekafstand as 'n booglengte dus 6977,356 km
Voorbeeld 3:
Leereenheid 5
3.1 Bewys dat die (kortste) hoekafstand tussen twee plekke A (A; A) [in die suidelike
halfrond, wes van Greenwich] en B (B; B) [in Europa] gegee word deur die formule:
sin sin cos cos cos
n cos
1
A
B
(Onthou om jou tekens reg te kies.)
3.2 Gebruik die formule in 3.1 en bereken die hoekafstand tussen Rio De Janeiro
(22:54:34 S; 43:12:54 W) en Berlyn (52:27:39 N; 13:28:29 O)
3.3 As die radius van die aarde 6378 km is, hoe lank is die boog op ʼn grootsirkel tussen
die stede?
3.4 Wat is die kortste afstand tussen die stede?
A
B
A
B
69

Leereenheid 5
Oplossing:
3.1 [Teken 'n skets en gebruik die korrekte kwadrante en onthou watter veranderlikes
positiewe of negatiewe hoeveelhede voorstel]
70
N = θB – θA
b = 90 - A
a = 90 - B
b=90+ (- A )
= 90- A
A
-A
B
n
N: Noordpool / North Pole (90; 0)
a=90- B
B
Ewenaar / Equator
cos n = cos b cos a + sin b sin a cos N [cos-reël vir sferiese driehoeke]
cos n = cos(90- A ) cos(90 - B) + sin(90- A ) sin(90 - B) cos(θB – θA )
= sin A sin B + cosA cos B cos(θB – θA ) [uit ko-verhoudings]
= sin A sin B + cosA cos B cos(θA – θB ) [cosinus-funksie is ewe]
n cos sin sin
cos
cos
cos
1
A
B
Opmerking: Onthou om redes te gee vir beginsels wat gebruik word.
3.2
A
B
= 22:54:34 S
= -22,909
= 52:27:39 N
= 52,461
ΘA = 43:12:54 W
= -43,215
A
B
A
B

ΘB = 13:28:29 O
= 13,475
sin sin
cos
cos
cos
n cos
1
n
cos 1
90,
026
A
B
A
B
sin 22,
909sin
52,
461 cos
22,
909cos
52,
461cos
43,
215 13,
475
A
B
Leereenheid 5
Opmerking: Anders as in voorbeeld 2, word hierdie lengtegrade nie by 90 opgetel of
afgetrek nie. Dis klaar in die formule verreken. Die regte tekens moet egter gebruik word.
3.3
Boog 90,
026
Omtrek van aarde 360
Boog
2
6378 90,
026
360
Booglengte
10021,
433 km
3.4 10021,433 km
Formuleer die kosinusreël vir beide ʼn skerphoekige en stomphoekige driehoek op die plat
vlak:
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
71

Leereenheid 5
5.2 DIE SINUSREËL
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
die sinusreël kan aflei en toepas op die plat vlak en op die sfeer.
Opmerking: Abu Wafa (998 nC) het die sinusformule vir sferiese driehoeke bewys.
Die sinusreël vir boldriehoeke:
Bewys:
Skryf die kosinusreël in die vorm:
en kwadreer dit om te kry
72
sin sin sin
sin a sin b sin c
sin b sin c cos = cos a – cos c cos b
sin 2 b sin 2 c cos 2 = cos 2 a – 2cos a cos c cos b + cos 2 c cos 2 b
sin 2 b sin 2 c (1 – sin 2 ) = (1 – sin 2 a) - 2cos a cos c cos b + (1 – sin 2 c)(1 – sin 2 b)
sin 2 b sin 2 c - sin 2 b sin 2 c sin 2 = 1 – sin 2 a - 2cos a cos c cos b +
1 – sin 2 b – sin 2 c + sin 2 c sin 2 b
- sin 2 b sin 2 c sin 2 = 2 – sin 2 a - 2cos a cos c cos b – sin 2 b – sin 2 c (1)
Ons kan hierdie hele proses herhaal met die vergelyking:
Ruil a en b , en en se rolle om:
sin a sin c cos = cos b – cos c cos a
- sin 2 a sin 2 c sin 2 = 2 – sin 2 b - 2cos b cos c cos a – sin 2 a – sin 2 c
= 2 – sin 2 a - 2cos a cos c cos b – sin 2 b – sin 2 c (2)
Aangesien die regterkante van vergelykings (1) en (2) dieselfde is, moet die linkerkante ook
gelyk wees:

- sin 2 b sin 2 c sin 2 = - sin 2 a sin 2 c sin 2
sin 2 b sin 2 = sin 2 a sin 2
sin b sin = sin a sin
sin b sin = sin a sin [neem die positiewe teken, want ons beskou
sin a sin b
sin sin
Die ander gelykheid volg net so.
Voorbeeld 1:
boldriehoeke met alle elemente kleiner as 180]
Leereenheid 5
Twee sye van ʼn boldriehoek is 30 en 60 en die ingeslote hoek is 60. Bereken die ander
elemente.
Bewys:
Beskou die boldriehoek soos in die meegaande
skets:
Aangesien ons nie ʼn hoek en sy teenoorstaande sy
se waardes het nie, kan ons nie die sinusreël
gebruik nie.
Volgens die kosinusreël is:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos
= cos 30 cos 60 + sin 30 sin 60 cos 60
a = bgcos (0,6495…) *
= 49,495
* Opmerking: As jy nie hele uitdrukking weer wil
neerskryf nie, kan jy dit solank bereken, maar
moenie afrond nie. Vandaar die …
Op hierdie stadium is die hoek (60) en die teenoorstaande sy a bekend. Ons kan dus die
sinus- of kosinusreël gebruik om en te bereken.
Dit is veilig om die hoek () teenoor die kortste sy te bereken met die sinusreël, want dit sal
die kleinste hoek in die driehoek wees. Ons kan dus hoeke in die tweede kwadrant
(stomphoeke) ignoreer.
B
60
A
60
a
30
C
73

Leereenheid 5
Volgens die sinusreël is:
74
sin
sin b
sin
sin 30
sin
sin a
bg sin
34,
715
Plaas altyd die onbekende veranderlike
sin 60
sin 49,
495
sin 60
sin 30
sin
sin 49,
495
0, 5694...
om die aantal berekenings
[ 145,
285
is nie van toepas sin g]
links bo
te ver min der
Aangesien teenoor die langste sy lê, is dit veiliger om dit met die kosinusreël te bereken:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos
cos =
cos c cos a cos b
sin a sin b
=
cos 60
cos 49,
495
cos 30
bg cos
sin 49,
495
sin 30
= 99,462
Met die sinusreël kry ons die volgende:
sin
sin
sin
c
sin
sin
sin sin c
sin a
sin 60
sin 60
sin 49,
495
bg sin
a
of
0, 986...
80,
536
of
80,
536
of
sin
sin
of
b
sin sin c
sin b
of
180
80,
536
99,
464
sin 34,
715
sin 60
sin 30
Om te weet watter hoek om te kies sal dit nie help om na die lengtes van die sye te kyk nie,
want c is die langste sy en beide 80,536 en 99,464 is die grootste hoek. Die som van die
drie hoeke sal egter kleiner as 180 wees as ons 80,536 gebruik. Dit moet dus 99,464
wees , soos verkry uit die kosinusreël.
Gevolgtrekking: Wees versigtig om die sinusreël te gebruik. As jy ʼn keuse het, is die
kosinusreël veiliger, want ons werk nie met hoeke in die vierde kwadrant nie.

Voorbeeld 2
Hierdie vraag het betrekking op voorbeeld 2 in Leergedeelte 5.1.
Leereenheid 5
2.4 In watter rigting moet 'n vliegtuig korrel wat vanaf Johannesburg na Bombaai
wegtrek? (Gebruik die sin-reël)
Oplossing:
sin J
sin j
sin J
sin N
sin n
sin N sin j
sin n
sin 44,
691sin
70,
923
sin J
sin 62,
680
= 0,748….
J = 48,426 of 131,574
Opdrag 6A:
Vliegtuig moet dus N 48,426 O vlieg (anders gestel 48,428 oos van noord)
Werk tot 3 desimale syfers noukeurig.
1. Twee dorpe A en B is 7000 km van mekaar op die ewenaar geleë. Gestel N is die
Noordpool.
1.1 Bereken die hoekafstand AB. (in grade)
1.2 Bereken ANB m.b.v. die sinus-reël.
1.3 Tot watter gevolgtrekking kom u?
2. In die sferiese ABC is die volgende gegee. Bereken die oorblywende elemente:
b = 30, c = 60, A = 45
a = 3245, b = 50 39, C = 61 12
a = 32, b = 32, c = 64
75

Leereenheid 5
3.
76
3.1 Bepaal die hoekafstand tussen Potchefstroom (26 41 S; 27 5 40 O) en New
York (40 45 N; 74 W). [Wenk: Gebruik die Noordpool of Suidpool as derde
hoekpunt]
3.2 As die radius van die aarde 6378 km is, hoe lank is die deel van die grootsirkel
tussen Potchefstroom en New York?
3.3 Wat is die kortste afstand tussen Potchefstroom en New York?
3.4 In watter rigting moet ʼn vliegtuig korrel wat vanaf Potchefstroom na New York
wegtrek? Gebruik die sinus-reël.
4. ʼn Skip trek by Londen (51 30 N; 0) weg en vaar in ʼn rigting 20 W van S teen 35km/h
vir vier dae, wanneer dit strand op ʼn eiland. Waar is die eiland (ongeveer)? Gebruik ʼn
atlas.
5. Om die (kortste) afstand tussen twee plekke op die aarde te bepaal (soos in vraag 3),
gebruik navigators die volgende formule:
D
r
bg cossin
A
180
sin B
cos A cos B
cos
A B
,
met r die radius van die aarde en die koördinate van plek A (A; A) en B (B; B). Noord
en Oos word beskou as positiewe hoeke en Suid en Wes as negatiewe hoeke.
5.1 Lei hierdie formule af met A iewers in Suid-Amerika en B in Asië. Gebruik
dieselfde stappe as in vraag 3.1.
5.2 Kontroleer jou antwoord in vraag 3.2 met hierdie formule.
6. Vereenvoudig die kosinusreël van leergedeelte 5.1 vir sferiese driehoeke as gegee is
dat hoek 'n regtehoek is. [Opmerking: Hierdie staan bekend as die Stelling van
Pythagoras in Sferiese Meetkunde.] Tydens MATE 321 sal m.b.v. vektore en Taylor
reeks bewys word waarom dit so genoem word.
7. Gebruik die volgende skets en bewys
dat ʼn boldriehoek met gelyke
basishoeke twee gelyke sye het.
B
c
=
A
a
b
=
C

Opdrag 6B:
Werk tot 3 desimale syfers noukeurig.
Leereenheid 5
1. Twee dorpe A en B is 5000 km van mekaar op die ewenaar geleë. Gestel N is die
Noordpool.
1.1 Bereken die hoekafstand AB. (in grade)
1.2 Bereken ANB m.b.v. die sinus-reël.
1.3 Tot watter gevolgtrekking kom u?
2. In die sferiese ABC is die volgende gegee. Bereken die oorblywende elemente:
2.1 b = 30, c = 60, A = 45
2.2 a = 3245, b = 50 39, C = 61 12
2.3 a = 32, b = 32, c = 64
3.
3.1 Bepaal die hoekafstand tussen Johannesburg (26:09:34 S ; 28:04:21 O ) en
Sydney (33:52:06 S; 151:12:31O). Gebruik die cos-reël.
3.2 Hoe lank (in km) is die boog op ʼn grootsirkel tussen die stede?
3.3 In watter rigting moet 'n vliegtuig korrel wat vanaf Johannesburg na Sydney
wegtrek? Gebruik die sinus-reël.
4. ʼn Skip trek by Londen (51 30 N; 0) weg en vaar in ʼn rigting 20 W van S teen 35km/h
vir vier dae, wanneer dit strand op ʼn eiland. Waar is die eiland (ongeveer)? Gebruik ʼn
atlas.
5.
5.1 Bewys met redes, dat die (kortste) hoekafstand tussen twee plekke D (D; D) [in
die suidelike halfrond, oos van Greenwich] en N (Y; Y) [in Noord-Amerika]
gegee word deur die formule:
n cos sin
sin
cos
cos
cos
1
.
D
Y
D
Y
D
Y
77

Leereenheid 5
78
5.2 Gebruik die formule in 5.1 en bereken die hoekafstand tussen Durban
(29:44:53S; 30:59:31O) en New York (4045’ N; 74W).
6. Vereenvoudig die kosinusreël van leergedeelte 5.1 vir sferiese driehoeke as gegee is
dat hoek 'n regtehoek is. [Opmerking: Hierdie staan bekend as die Stelling van
Pythagoras in Sferiese Meetkunde.] Tydens MATE 321 sal m.b.v. vektore en Taylor
reeks bewys word waarom dit so genoem word.
7. Gebruik die volgende skets en bewys
dat ʼn boldriehoek met gelyke
basishoeke twee gelyke sye het
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
B
c
=
A
a
b
=
C

5.3 NAPIER SE REËLS
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
Leereenheid 5
probleme met reghoekige sferiese driehoek kan oplos met behulp van die cosinus- en
sinus-reëls.
Opsionele uitkoms:
Napier se reëls vir reghoekige sferiese driehoeke kan aflei en toepas.
In reghoekige sferiese driehoeke vereenvoudig die kosinus- en sinusreëls wat ons
berekenings aansienlik vergemaklik.
B
A
c b
In ABC word die sinusreël:
Dit lewer: sin a = sin sin c
a
en sin b = sin sin c
C
Indien een van die hoeke van ʼn boldriehoek 90 is,
vereenvoudig die formules heelwat.
Gestel ABC is ʼn boldriehoek met ACB = = 90.
Dan geld:
sin = 1
cos = 0
Ons gaan tien formules aflei wat ons later in een
reël sal saamvat in ʼn vorm wat maklik onthou kan
word.
sin a sin b sin c
. (**)
sin sin 1
en dus: cos(90 - a) = sin sin c (1)
cos(90 - b) = sin sin c (2)
79

Leereenheid 5
80
Die kosinusreël lewer:
en dus:
cos c = cos a cos b + sin a sin b . 0
= cos a cos b , (*)
cos c = sin(90 - a)sin (90 - b). (3)
Uit die kosinusreëls volg verder:
cos
cos a cos b cos c
sin b sin c
cos a cos b cos a cos b
sin b sin c
2
1 cos b
cos a
sin b sin c
2
sin b
cos a
sin b sin c
sin b
cos a
sin c
cos a sin
uit (*)
uit(**)
en dus: cos = sin(90 - a) sin (4)
Netso volg: cos = sin(90 - b) sin . (5)
(***)
en dus ook: cos = cos b sin (****)
Verder is: cos c = cos a cos b uit (*)
cos
cos b
sin
cos cos
sin sin
uit (*
uit (*
* *)
* **)
en dus: cos c = cot cot (6)

Verder is ook: cos = cos b sin uit (****)
cos c
sin
cos a
cos
cos
c
a
sin
sin
cot c tan a
a
c
cot c cot( 90
a)
uit (*)
uit (**)
Netso volg: cos = cot c cot(90 - b) (8)
Dan is ook: cos(90 - a) = sin sin c uit (1)
cos
sin c
cos b
cos
cos
b
sin b
sin
cot tan b
cot cot( 90
b)
uit
(* *
uit (**)
Netso volg: cos(90 - b) = cot cot(90 - a) (10)
Ons het nou tien vergelykings van die vorm:
cos = cot cot
of cos = sin sin ,
en hulle bevat die hoeke en , die sy c en 90 - a en 90 - b.
Ons kan dit soos volg saamvat:
Napier se reëls:
**)
(7)
(9)
Leereenheid 5
Gestel een hoek van ʼn boldriehoek is 90. Rangskik die oorblywende twee hoeke, die sy
teenoor die 90-hoek en die komplimente van die ander twee sye (aangrensend aan die 90hoek)
in ʼn sirkel in die volgorde waarin hulle voorkom.
Dan geld vir die dele van die driehoek in die sirkel:
Die kosinus van enige deel is gelyk aan die produk van die kotangense van die
aangrensende dele.
OF:
Die kosinus van enige deel is gelyk aan die produk van die sinusse van die twee
teenoorstaande dele.
[Ek onthou dit so: cot naby, sin ver]
81

Leereenheid 5
Verduideliking:
B
82
c
Volgens Napier se reëls geld dan:
Voltooi:
a
A
cos = cot(90 - c) cot a
b
C
90-c
Hoekom verskil hierdie formule van die een in nommer (7)?
...................................................................
= sin(90 - b) sin
cos a = ……………………
= ……………………
cos = ……………………
= ……………………
cos (90 - c) = ……………………
= ……………………
cos (90 - b) = ……………………
= ……………………
90-b
a

Voorbeeld 1:
Leereenheid 5
ʼn Boldriehoek met een sy en die teenoorstaande hoek beide 90, het nog ʼn sy van 90.
Die hoek teenoor hierdie sy is dan ook 90.
Bewys:
B
A
90 b
a
C
cos 90 = sin(90 - a) sin (90 - b)
0 = sin(90 - a) sin (90 - b)
sin(90 - a) = 0 of sin (90 - b) = 0
a = 90 of b = 90
Gestel b = 90.
Dan is cos = sin sin(90 - b)
= sin sin (90 - 90)
= 0
= 90
volgens
Napier
90
90-a
90-b
83

Leereenheid 5
Voorbeeld 2:
ʼn Boldriehoek het hoeke 50, 60 en 90. Bereken die sye.
B
84
50
A
60
c b
a
cos c = cot 50 cot 60
c =
1
bg cos
tan 50
tan 60
= 61,023
C
cos (90 - b) = sin c sin 50
volgens
Napier
sin b = sin 61,023 sin 50
b = bgsin (0,670...)
= 42,078
c
50
60
90-a
Hoekom nie ook (180-42,078) nie?...............................................................................
.................................................................................................................................
cos(90 - a) = sin c sin 60
sin a = sin 61,023 sin 60
a = bgsin (0,7576...)
= 49,254
Gevolgtrekking: Hierdie voorbeeld toon dat, anders as by driehoeke in die plat vlak, drie
hoeke voldoende is om al die elemente van die driehoek te bepaal. Dit geld ook vir driehoeke
wat nie 90 hoeke het nie; die berekeninge raak net lastiger.
90-b

Opdrag 7A:
Leereenheid 5
1. Die sferiese driehoek ABC het C as regtehoek. Bepaal die orige elemente van die
driehoek as die volgende gegee is:
a = 30, b = 40
a = 77,35, = 50,23
c = 40, = 50
2. In die sferiese ABC is die volgende gegee: A = 100, B = 100 en C = 100.
Bereken die sye as a, b en c kleiner is as 90
3.
L Londen, 'n skip G op die ewenaar in die Golf van
Guinee en 'n skip V in die Victoriameer vorm
hoekpunte van 'n sferiese driehoek.
3.1 Bereken die orige elemente van die driehoek
met die reëls van Napier.
3.2 Wat is die som van die binnehoeke van
hierdie driehoek?
3.3 Hoe ver is die skepe uit mekaar (in km)?
Opdrag7B:
1. Die sferiese driehoek ABC het C as regtehoek. Bepaal die orige elemente van die
driehoek as die volgende gegee is:
1.1 a = 30, b = 40
1.2 a = 77,35, = 50,23
1.3 c = 40, = 50
2. ’n Skip A in die Amasone Delta
(0; 50 W); ’n ander skip M suid van die
Maldives (0; 75 O) en ’n vliegtuig G
suid van Groenland (60 N; 50 W)
hoekpunte van 'n spesiale sferiese
driehoek.
G
L
51,5
G
35
A M
V
85

Leereenheid 5
86
2.1 Hoekom is A ʼn regtehoek?
2.2 Wat is die hoekafstand tussen A en M?
2.3 Wat is die hoekafstand tussen A en G?
2.4 Bereken die orige elemente van die driehoek met die reëls van Napier.
2.5 Wat is die som van die binnehoeke van hierdie driehoek?
2.6 Hoe ver is die skepe uit mekaar (in km)?
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

6 SIRKELS
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy kennis dra van en kan aantoon
watter eienskappe sirkels op die sfeer besit;
watter verwantskappe bestaan tussen families konsentriese sirkels;
wat die verhouding is tussen die omtrek en deursnede van ʼn sirkel.
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 5.
Al ooit gewonder oor die volgende:
sal jy die geheim ontrafel.
Omtrek van sirkel
Deursnede
???
http://shum.cc.huji.ac.il/~cariel/2002astronomy4/triangle.jpg
Leereenheid 6
In hierdie leereenheid
87

Leereenheid 6
6.1 EIENSKAPPE VAN ‘N SIRKEL
EN SIRKELFAMILIES
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
sirkels op die plat vlak kan vergelyk met sirkels op die sfeer om ooreenkomste en
verskille te vind (aantal middelpunte, raaklyne en die stelling oor die verband tussen ʼn
middelpuntshoek en ʼn omgeskrewe hoek);
sirkelfamilies op die plat vlak en sfeer kan konstrueer en die families vergelyk;
kongruente sirkels op die aardbol kan identifiseer.
NALS: hoofstuk 5
88
Studiemateriaal benodig:
Prakties:
NALS: Adventure Card 5.1 en 5.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 5.1 en 5.2

Lénárt 5a-063.jpg Amesa-artikel
Leereenheid 6
Opmerking: Die sin "This implies that the sum of the two inscribed angles of a spherical
triangle can't be less than the central angle." op p. 83 moet eerder wees: “This implies that
the inscribed angle of a spherical triangle can't be less than half the central angle."
Definieer 'n sirkel in terme van 'n lokus: .............................................................................
....................................................................................................................................................
Definieer konsentriese sirkels: .........................................................................................
....................................................................................................................................................
Bewys die volgende:
Die middelpuntshoek is kleiner as 2 keer die ingeskrewe hoek vir 'n sirkel op 'n sfeer.
Gestel ABC is 'n sferiese driehoek ingeskrewe in
'n sirkel met middelpunt D.
Konstruksie:
A
D
B
C
89

Leereenheid 6
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
90
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 5.1 en 5.2
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

Leereenheid 6
6.2 DIE VERHOUDING TUSSEN DIE OMTREK
EN DEURSNEDE VAN SIRKELS
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
die verskillende verhoudings tussen die omtrek en deursnede van sirkels
eksperimenteel kan bepaal;
die verskillende verhoudings tussen die omtrek en deursnede van sirkels m.b.v. die
metode van Archimedes kan bepaal.
NALS: hoofstuk 5
Studiemateriaal benodig:
Prakties:
NALS: Adventure Card 5.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 5.3
Residensieel: Bring die mate van alle deursnedes en omtrekke wat jy in Adventure 5.3 se
konstruksies gemeet het saam na die kontaksessie.
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 5.3
Vorige klastoetse op eFundi.
91

Leereenheid 6
92
Individuele PC-opdrag 3: Gebruik GSP. Konstrueer ʼn sirkel met radius 4
eenhede en bereken met reëlmatige pentagone / heksagone / oktagone
(dosent sal aandui watter soort poligoon u moet instuur):
a) die omtrek van die ingeskrewe veelhoek
b) die omtrek van die omgeskrewe veelhoek
c) die gemiddelde omtrek
d) en ʼn benadering vir .
Opmerking: Hierdie staan bekend as Archimedes se metode.
Stuur hierdie as ʼn .gsp lêer via eFundi en lewer ook ‘n hardekopie in.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

Leereenheid 7
7 OPPERVLAKTE EN TESSELLASIES OP
DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 15 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy
kennis dra en kan aantoon of vierkante altyd gebruik kan word om oppervlakte te meet;
oppervlaktes van driehoeke kan meet;
kennis dra hoe om die oppervlakte van ʼn sirkel te benader;
die formule vir oppervlakte van sferiese driehoeke volgens Girard se stelling kan aflei;
kennis dra van sommige tessellasies op die sfeer;
ʼn sokkerbal kan konstrueer;
die sfeer kan teël met drie verskillende tipes reëlmatige poligone;
Platoniese 3D-figure kan inpas in 'n sfeer;
Platoniese 3D-figure “opblaas” om 'n sfeer te teël.
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 6, 9 en Internet.
Lénárt 6b-048.jpg Amesa-artikel
93

Leereenheid 7
7.1 OPPERVLAKTE OP DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
kennis dra van en kan aantoon of vierkante altyd gebruik kan word om oppervlakte te
meet;
ʼn nuwe definisie vir oppervlakte op die sfeer kan formuleer;
'n benaderde formules kan gebruik om die oppervlakte van driehoeke te bereken;
die oppervlakte van ʼn sirkel met ingeskrewe en omgeskrewe reëlmatige veelhoeke kan
benader;
die oppervlakte van sirkels met gepaste formules kan bereken;
die formule vir oppervlakte van sferiese driehoeke kan aflei en toepas volgens die
stelling van Girard;
bogenoemde formule kan uitbrei na die oppervlakte van veelhoeke.
94
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 6 en Internet.
As jy verbaas was om afstand op die sfeer in grade te meet, gaan dit jou nog meer verras
om sferiese oppervlakte ook in grade te meet. Om oppervlakte op die sfeer te meet, gaan
dalk moeiliker wees as wat jy verwag.

7.1.1 Oppervlakte: Vierkante en Driehoeke
Prakties:
NALS: Adventure Card 6.1 en 6.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 6.1 en 6.2
Leereenheid 7
Definieer die sferiese surplus van 'n sferiese driehoek: ......................................................
....................................................................................................................................................
Tabuleer u metings van pp. 99 en 100 (no. 4 en 5) in NALS hieronder:
ABD A B D A+B+D A+B+D-180
ADC A D C A+D+C A+D+C-180
ABC A B C A+B+C A+B+C-180
Gevolgtrekking: .................................................................................................................
Hulp met NALS p. 100 no. 11a:
.................................................................................................................
Bereken die sferiese surplus van 'n oktant. ..........................................................................
Bereken nou die sferiese surplus van enige sfeer. ................................................................
95

Leereenheid 7
Hulp met NALS p. 100 no. 12b en 13:
Die volgende verhouding kan gebruik word:
96
sferiese surplus
720
van driehoek
sferiese surplus van driehoek
720
oppervlakte
oppervlakte
van driehoek
van sfeer
oppervlakte
van driehoek
2
4r
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 6.1 en 6.2
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Prakties:
NALS: Adventure Card 6.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 6.3
[Werk direk op die sfeer – nie op transparante nie.]
Maak die volgende fout in NALS reg: Op p. 105 no. 8 moet die formule wees:
A = (1 - cosr)360
Residensieel: Bring die volgende resultate na die volgende kontaksessie sodat ons
vergelykings kan tref.
Konstruksie van minstens twee van die ingeskrewe driehoeke en minstens twee van die
omgeskrewe driehoeke van die 12-hoekige poligoon.
Die radius van die sferiese sirkel: .......................
Grootte van een van die ewe groot hoeke in die ingeskrewe driehoek: .......................
Grootte van een van die ewe groot hoeke in die omgeskrewe driehoek: .......................

Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van een ingeskrewe driehoek:
Leereenheid 7
........................................................................................................................................
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van twaalf ingeskrewe driehoeke:
...........................................................................................................................................
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van een omgeskrewe driehoek:
...........................................................................................................................................
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van twaalf omgeskrewe driehoeke:
...........................................................................................................................................
Bereken die benaderde oppervlakte van die sirkel as 'n gemiddeld van die oppervlaktes van
die twaalf ingeskrewe en omgeskrewe driehoeke; ................................................................
Bereken die oppervlakte van die sirkel met die formule: .......................................................
.......................................................
.......................................................
Hoekom verskil die twee antwoorde? ...................................................................................
...........................................................................................................................................
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 6.3
97

Leereenheid 7
7.1.2 Oppervlakte: Sirkels en Driehoeke
Gebruik: : http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html :en lees “Area on the sphere”; “The
area of a lune”, “Spherical triangles” en “Degree/Radian Circle” en voltooi die volgende:
[Lees weer die gedeelte oor radiaalmaat in u MATE 111 gids om u kennis op te skerp.]
Wat is die oppervlakte van 'n sfeer met radius R? .....................................................................
Opmerking: Hierdie formule word met behulp van integrasie bewys in MATE 321.
Wat is die oppervlakte van 'n maanskyf met hoek in radiale, op 'n sfeer met radius R?
98
........................................................................................................................
Wat is die verband tussen grade en radiaalmaat? ....................................................................
Wat is die oppervlakte van 'n maanskyf met hoek θ in grade, op 'n sfeer met radius R?
........................................................................................................................
Jy moet kan verduidelik hoe om hierdie formules af te lei.
CD-ROM.
A
SBO: Skakel CD aan en kliek op B: 2
2 4R
Residensieel: 2
A
sal verduidelik word.
2 4R
In hoeveel gebiede word die sfeer verdeel deur drie grootsirkels wat 'n driehoek vorm? .........
Opmerking: As jy hierdie antwoord nie verstaan nie, gaan terug na leergedeelte 4.1.
Watter afspraak maak ons ten opsigte van driehoeke om verwarring te voorkom? ..................
....................................................................................................................................................
Gebruik: : http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html :en “The area of a
spherical triangle. Girard's Theorem” sodat jy die volgende twee sketse kan animeer en die
kleure kan sien.

[Die artikel is geplaas met toestemming en dank aan John. C. Polking ]
groen
blou
The area of a spherical triangle. Girard's Theorem.
rooi
swart
Leereenheid 7
Consider the black triangle T on the sphere to the left.
We will be deriving a formula for the area of T. The
key to understanding the derivation is the
configuration of the three great circles on the sphere,
as shown on this figure. There is no difficulty
understanding what you see there. What might cause
problems is what the configuration looks like on the
other side of the sphere. However this figure is a java
applet and you can rotate it by clicking and dragging
the mouse starting anywhere on the figure.
We will label the vertices of T by R, G, and B, and the
groen corresponding angles of T by r, g, and b. The letters
rooi
stand for red, green, and blue, and, for example, the
vertex R is the vertex of T where T is opposite a red triangle. The angles at R in the black
triangle T and in the red triangle are opposite angles and therefore are equal. Their value will
be denoted by r. In fact R is the vertex of two congruent lunes, one of which consists of the
red triangle and a gray triangle, and the other of which contains the black triangle and
another red triangle. We will refer to these two lunes as the red lunes. We will denote by Lr'
the red lune which does not contain T, and by Lr the red lune which does contain T. In
exactly the same way we see that G is the vertex of two congruent, green lunes --- Lg which
contains T, and Lg' which does not contain T, and the vertex B is the vertex of two congruent,
blue lunes --- Lb which contains T, and Lb' which does not contain T.
If you rotate the sphere you will also see a gray triangle that looks pretty much the same as
T. This is the antipodal triangle T'. Its vertices are R', G', and B', which are the points
antipodal to R, G, and B respectively. Since T and T' are images of each other under the
antipodal map, which is an isometry, they have the same area.
It is important to understand the situation of each
pair of like colored lunes. Concentrate on the two
blue lunes, Lb and Lb'. They are shown in isolation in
the applet to the right. Notice the black triangle T is
part of the lune Lb and the gray triangle T', which is
antipodal to T, is part of Lb'. Examination of the other
pairs of lunes reveals that the lunes Lg and Lr also
contain T, while Lg' and Lr' contain T'.
To sum up, the six lunes Lr, Lr', Lg, Lg', Lb, and Lb',
have the following properties:
The triangle T is contained in each of the
three lunes Lr, Lg, Lb, and in no others.
The antipodal triangle T' is contained in each
of the three lunes Lr', Lg', Lb', and in no others.
blou
swart
grys
blou
Every point of the sphere which is not in T or T' is contained in precisely one of the
lunes.
99

Leereenheid 7
Understanding the proof of Girard's Theorem comes down to understanding the configuration
of the triangle and the six lunes, and verifying the three bulleted points. Hopefully the applets
on this page are helpful. However, by far the best way to visualize the six lunes is by physical
experimentation with an actual sphere. Get a beach ball (gebruik jou Lénárt sfeer) about 8
to 12 inches in diameter. Draw a triangle T on it. Then carefully extend each side of the
triangle to a complete great circle. It will be noticed that these great circles intersect on the
other side of the sphere and form another triangle T' which is the antipodal image of T. Thus
T' is congruent to T and consequently has the same area.
Suppose that the three angles of T are R, G, and B. At each of these vertices there are two
lunes of the appropriate angle that meet. One of them contains T. Call this lune Lr, Lg, and Lb
as the case may be. Denote the other lune, which does not contain T by Lr', Lg', and Lb'.
Hatch the two lunes Lr and Lr' with a distinctive color or marking (such as little circles). Hatch
the lunes Lg and Lg' with a different color or marking, and use yet a third for the lunes Lb and
Lb'.
Now by examining the beach ball you will be able to verify the three bulleted points.
We can sum up the bulleted points by saying that the six lunes cover the entire sphere with
the points in T and T' covered two additional times. Therefore when we add up the areas of
the lunes we have
Into this equation we substitute the formulas for the area of a lune, and the surface area of a
sphere of radius R. Finally, using the fact that T and T' have the same area, we get
Next, solving for the area of T, and collecting terms this becomes
100
4 area(T) = 2R 2 (r + g + b + r + g + b) - 4R 2
This last formula is called Girard's formula, and the result of the formula is called Girard's
Theorem.
We get an interesting variant if we solve for the sum of the angles:
Both formulas are interesting. The first emphasizes the area of the spherical triangle, and the
second emphasizes the sum of the angles of the spherical triangle. For comparison with
planar geometry, the second is especially interesting because it says precisely how much the
sum of the angles of a spherical triangle exceeds two right angles, the sum of the angles for
a planar triangle. That the difference involves the area of the sphere is a remarkable
departure from what we would expect from our knowledge of plane geometry.
.
.
.
.

Leereenheid 7
Exercise: Find the formula for the result of Girard's Theorem when the angles are measured
in degrees instead of radians.
Opmerking: Bogenoemde is 'n formele bewys. Ons noem dit logies-deduktiewe (sferiese)
meetkunde. Kan jy nou verstaan hoekom die begrip sferiese surplus in die werkboek
ingevoer is?
Opdrag 8A:
1. Doen bogenoemde “exercise”.
2. In “Adventure 4.2” het ons tot die gevolgtrekking gekom dat gelykvormige driehoeke op
die sfeer kongruent moet wees. Verduidelik dit aan die hand van die stelling van
Girard. (Let op die volgorde: Begin met twee gelykvormige driehoeke, gebruik Girard
en kom dan tot die gevolgtrekking dat die driehoeke ook kongruent moet wees.)
3. 3.1 Beskou 'n groot driehoekige plaas met oppervlakte 10km 2 . Met hoeveel grade
sal die som van die hoeke van 180 verskil?
3.2 Sal hierdie verskil beduidend waarneembaar wees?
3.3 Hoe groot moet die oppervlakte van 'n driehoek op aarde wees sodat die som
van die drie hoeke 181 sal wees?
3.4 Watter persentasie van Suid-Afrika sal hierdie driehoek beslaan?
4. Gestel P is 'n sferiese vierhoek met hoeke a, b, c en d. Bewys dat
1
b c d 2 oppervlakte(
P ) .
R
a 2
[Wenk: Trek ʼn diagonaal]
5. [Mag uitlos] Gestel P is 'n sferiese veelhoek met “n” sye. Bewys dat die som van die
hoeke gegee word deur:
1
.
R
2 oppervlakteP
n 2
(Wenk: wiskundige induksie en noem die hoeke ai)[Word eers in MATE 221 gedoen.]
6. Is hierdie formule waar vir 'n tweehoek? Motiveer jou antwoord.
7. Beskou die gedegenereerde driehoek waarvan al drie hoekpunte op dieselfde
grootsirkel lê.
101

Leereenheid 7
102
7.1 Bereken die som van die binnehoeke van hierdie gedegenereerde driehoek.
7.2 Bereken die sferiese surplus van hierdie driehoek.
7.3 Bereken die oppervlakte van hierdie gedegenereerde driehoek op die Lénárt
sfeer met die stelling van Girard.
7.4 Bereken die oppervlakte van die halfsirkel (in grade) wat ooreenstem met hierdie
driehoek.
7.5 Maak 'n gevolgtrekking oor die resultate in 7.2 en 7.4
8. Afrika, die tweede grootste vasteland het 'n oppervlakte van ongeveer 30 miljoen
vierkante kilometer (30 000 000 km 2 ). Neem die aarde se radius as 6367 km. Bereken
die som van die hoeke (in grade) van 'n driehoek met oppervlakte so groot soos die
van Afrika.
Opdrag 8B:
1. Doen bogenoemde “exercise”.
2. In “Adventure 4.2” het ons tot die gevolgtrekking gekom dat gelykvormige driehoeke op
die sfeer kongruent moet wees. Verduidelik dit aan die hand van die stelling van
Girard. (Let op die volgorde: Begin met twee gelykvormige driehoeke, gebruik Girard
en kom dan tot die gevolgtrekking dat die driehoeke ook kongruent moet wees.)
3. 3.1 Beskou 'n groot driehoekige plaas met oppervlakte 10km 2 . Met hoeveel grade
sal die som van die hoeke van 180 verskil?
3.2 Sal hierdie verskil beduidend waarneembaar wees?
3.3 Hoe groot moet die oppervlakte van 'n driehoek op aarde wees sodat die som
van die drie hoeke 181 sal wees?
3.4 Watter persentasie van Suid-Afrika sal hierdie driehoek beslaan?
4. Gestel P is 'n sferiese vierhoek met hoeke a, b, c en d. Bewys dat
1
b c d 2 oppervlakte(
P ) .
R
a 2
[Wenk: Trek ʼn diagonaal]
5. [Mag uitlos] Gestel P is 'n sferiese veelhoek met “n” sye. Bewys dat die som van die
hoeke gegee word deur:
1
.
R
2 oppervlakteP
n 2
(Wenk: wiskundige induksie en noem die hoeke ai)[Word eers in MATE 221 gedoen.]
6. Is hierdie formule waar vir 'n tweehoek? Motiveer jou antwoord.

Leereenheid 7
7. Die aarde het 'n radius van ongeveer 6367 km. Gebruik die stelling van Girard om die
2
oppervlakte van 'n sferiese driehoek op die aarde met hoeke ; ; en te bereken.
3 3 3
8. ’n Skip A in die Amasone Delta (0; 50 W); ’n ander skip M suid van die Maldives
(0; 75 O) en ’n vliegtuig G suid van Groenland (60 N; 50 W) is hoekpunte van 'n
spesiale sferiese driehoek. Bereken die oppervlakte van hierdie driehoek in km 2 .
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op
eFundi vir selfkontrole van die res.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte
gestel is. Het jy die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
103

Leereenheid 7
7.2 TESSELLASIES OP DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
'n tessellasie kan definieer;
kennis dra van al die tipes “pure” tessellasies op die plat vlak;
bogenoemde tessellasies kan illustreer;
die sfeer kan teël met poligone gevorm deur vier ewenaars;
'n sokkerbal kan konstrueer;
kan verduidelik wat die verhouding tussen die oppervlaktes van die wit en swart
leergedeeltes is deur net een hoek te meet;
'n tessellasie op die sfeer konstrueer bestaande uit drie soorte reëlmatige poligone;
bogenoemde tessellasie kan klassifiseer as semireëlmatig of demireëlmatig;
3-D Plato-vasteliggame kan definieer;
al vyf 3-D Plato-vasteliggame se nette kan ontwerp met The Geometer’s Sketchpad en
dit gebruik vir konstruksie van die vasteliggame;
die volume van bogenoemde kan bereken en hulle daarvolgens rangskik;
die 3-PLATO-vasteliggame “opblaas” om 'n sfeer te teël;
aflei of Euler se reël op die plat vlak en sfeer geldig is;
kennis dra van die aantal en soorte “pure” tessellasies op die sfeer.
NALS: hoofstuk 9.
104
Studiemateriaal benodig:
In hierdie leergedeelte word wiskunde en kuns geïntegreer.

7.2.1 Tessellasies op die Plat Vlak en op die Sfeer
Prakties:
NALS: Adventure Card 9.1; 9.2 en 9.3
NALS: Student’s Guide to Adventure 9.1; 9.2 en 9.3
Leereenheid 7
[Dosent sal aanwys watter groep verantwoordelik is vir ‘n spesifieke
tessellasie.]
Definieer 'n tessellasie: .....................................................................................................
...........................................................................................................................................
SBO: Laai die volgende van die eFundi af en ondersoek die tessellasies.
Triangle Tessellations.gsp
Quad Tesselation Demo.gsp
Translation Tesselation.gsp
Residensieel: Sal tydens kontaksessie ondersoek word.
Opmerking: Hierdie is ”pure” tessellasies, maar die veelhoeke is nie reëlmatig nie.
Opdrag 9A:
Sokkerballe het 'n voorgeskrewe omtrek van tussen
27 en 28 duim en bestaan uit 12 swart pentagone en
20 wit heksagone soos in meegaande skets. Die
binnehoek van een van die heksagone is ongeveer
124,4. Bereken hoeveel wit en hoeveel swart leer 'n
fabriek benodig om 1000 sokkerballe met omtrek
27,211 “ te vervaardig. Toon alle berekeninge.
(Wenk: 1” = 2,54 cm)
Opdrag 9B:
’n Maatskappy wil vir 2010 drie miljoen klein
sokkerballetjies vervaardig met omtrek 15 cm. Die
bal bestaan uit 12 swart en 20 wit reëlmatige sferiese
poligone soos aangetoon in die skets. Die
binnehoek van ’n heksagoon is ongeveer 124,4
Bereken die hoeveelheid wit kunsleer wat die fabriek
moet aankoop.
www.brainybetty.com/ bwART2004/soccer_ball.jpg
www.brainybetty.com/ bwART2004/soccer_ball.jpg
105

Leereenheid 7
106
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op
eFundi vir selfkontrole van die res.
Individuele PC-opdrag 4:
Teken ’n vierkant. U hoef nie aan te toon dat die sye ewe lank en
die hoeke regtehoek is nie. Stoor dit as ’n “tool”.
Gaan na ’n nuwe skoon bladsy in dieselfde dokument en
konstrueer ’n gelyksydige driehoek. Stoor dit as ’n “tool”.
Gaan na ’n nuwe skoon bladsy in dieselfde dokument en
konstrueer ’n reëlmatige heksagoon. Stoor dit as ’n “tool”.
Gaan na ’n nuwe skoon bladsy in dieselfde dokument en
konstrueer die volgende tessellasie. Steek alle punte weg, behalwe
een wat as rotasie en vergrotings / verkleiningspunt gebruik kan
word.
Stuur die .gsp lêer via eFundi.
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 9.1; 9.2 en 9.3
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.

7.2.2 3D Plato-Vasteliggame en Sferiese Tessellasies daarvan
Prakties:
NALS: Adventure Card 9.4 en 9.5
NALS: Student’s Guide to Adventure 9.4 en 9.5
Leereenheid 7
[Dosent sal aanwys watter groep verantwoordelik is vir elke Plato
vasteliggaam en sferiese konstruksie.]
Definieer ‘n poliëder: ...............................................................................................................
...........................................................................................................................................
Definieer 'n 3D Plato-vasteliggaam: ...................................................................................
...........................................................................................................................................
Wanneer is 'n vasteliggaam in 'n sfeer ingeskrewe? ................................................................
...........................................................................................................................................
Plato vasteliggame kan gebruik word om interessante dobbelsteentjies te maak:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/c/c7/BluePlatonicDice.jpg
107

Leereenheid 7
Voltooi die volgende tabel:
www.public.coe.edu
cage.rug.ac.be/ ~hs/polyhedra/hexa.jpg
http://www.fastgeometry.com/images/octa
hedron.gif
http://whistleralley.com/polyhedra/dodec01
.gif
www.yourdictionary.com
108
Benaming Soort teël /
poligoon
Aantal teëls

Leereenheid 7
Toon die berekening van die volume van 'n tetrahedron waarvan die driehoekige syvlak 'n
oppervlakte van 119,18 cm 2 het en 3,39 cm vanaf die middelpunt van die tetrahedron is:
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 9.4 en 9.5
Vorige klastoetse op eFundi.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Verryking: Lees meer oor Japannese temari
balle, ook genoem prinses balle by
http://www.temari.com/temariballs.htm en by
www.temarikai.com/illustmakeball01.htm kan
jy leer hoe om dit te maak.
Temari beteken” to wind by hand”, want die
patrone word gevorm deur grootsirkels van
papierstrokies om die bal te vou.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
109

Leereenheid 7
110

8 DIE FORMULE VAN EULER
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy
die formule van Euler kan aflei en toepas op sferiese poliëders;
toets of die formule ook vir gewone poliëders geld.
Internet
Studiemateriaal benodig:
Leereenheid 8
As toepassing van die Formule van Girard gaan jy in hierdie leereenheid die interessante
verband tussen die aantal hoekpunte, rande en syvlakke van 'n poliëder op die plat vlak en
sfeer ontdek.
Gebruik: : http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/gos6.html of
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html :en “A Proof of Euler’s Formula” sodat jy die
kleure in die volgende twee sketse kan sien.
[Die volgende artikel is geplaas met toestemming en dank aan John. C. Polking]
Opmerking: vertices is hoekpunte, edges is rande en faces is sykante.
111

Leereenheid 8
theorem.
112
A Proof of Euler's Formula.
We will use Girard's Theorem, and its extenstion to spherical polygons to derive
and prove and prove a famous formula of Euler's. We will state his result as a
Theorem. Let P be a convex polyhedron with V vertices (hoekpunte), E edges (rande), and
F faces (syvlakke). then
We will start the proof by choosing a
point C inside P. Since P is convex, the
line segment joining C to any point
inside the polyhedron P, or on P itself,
lies entirely within P. Next we choose a
radius R so large that the sphere with
center C and radius R contains the
polyhedron P. We will map the
polyhedron onto the sphere using
central projection from C. This means
that for each point on the polyhedron,
we take the line from C through the
point, and map the point to the
intersection of this line with the sphere.
This is illustrated in the accompanying
figure. The original polyhedron is
indicated in red, and the blue lines show
how the vertices are mapped to the
sphere. The black lines are reference
great circles on the sphere, and the
purple is the image of the polyhedron.
V - E + F = 2.
A good way to visualize the central projection is to consider what happens if we put a light at
the center of the sphere. Then the result of central projection is the shadow of the polyhedron
on the sphere.
It is important to understand what happens to
an edge of the polyhedron under central
projection. An edge is a segment of a line.
That line and the center determine a unique
plane. The line segment from C to any point of
the edge lies completely in this plane, and the
plane intersects the sphere in a great circle.
Hence the image of an edge is a segment of a
great circle on the sphere. This means that
each face of the polyhedron is mapped into a
spherical polygon, and the polyhedron is
mapped onto a spherical polyhedron which is
simply a curved image of the original. (In the
figure this is the purple configuration.) The
spherical polyhedron has V vertices, E edges
and F faces, just like P does.
Furthermore, since the center of the sphere

Leereenheid 8
was chosen inside P, the spherical polyhedron covers the entire sphere. Hence the spherical
polyhedron is a division of the sphere into F disjoint spherical polygons, which we will call Q1,
... , QF.
The second figure shows the marking of the sphere determined by the polyhedron in the first
figure.
Let's apply Girard's Theorem to the polygon Qi. Actually we will use the extension of Girard's
Theorem to spherical polygons.
Let ei denote the number of sides of Qi.
Then
sum of angles of Qi = (ei - 2) + area(Qi)/R 2 (opdrag 8 no. 5)
Summing this over the faces we get
F
i 1
i
F
F
e i 2
sum of angles of Q
i 1
i 1
area
R
Q
We will examine each of these sums. In each case we will be able to find the sum by
geometric means.
As complicated as it looks, the first sum is just the sum of all of the angles in the spherical
polyhedron. Let's reorder the sum. Instead of grouping the angles by the face they belong to,
let's group them by their vertex. Since the spherical polyhedron covers the sphere, at any
vertex the angles with that vertex fill out the entire 2 radians. Thus the angles at each vertex
contribute 2 to the sum, and multiplying by the number of vertices we see that the first sum
is equal to 2V.
We split the second sum into two sums.
F
F
F
i 2
ei
i 1
e 2
i 1
The first sum is times the total number of all of the edges of all of the faces. Notice that
each edge of the spherical poyhedron separates two faces. Since we are summing over the
faces, each edge of the polyhedron is counted twice in this sum. Therefore
The second sum is simply
F
F
i
i 1
i 1
i 1
e e 2E
.
F
i 1
2 2F
Finally, since the polygons are disjoint and cover the entire sphere we have
F
i 1
area
R
Q areaS
2
i
R
2
i
4R
2
R
2
4
.
2
i
113

Leereenheid 8
Putting this all together we get
114
2V = 2E - 2F + 4.
Dividing by 2, and rearranging we get Euler's formula
Opdrag 10:
V - E + F = 2.
Toets of Euler se Formule vir gewone poliëders geldig is deur drie verskillende poliëders uit
die werklike lewe te gebruik. Gebruik ʼn silinder as teenvoorbeeld.
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

Leereenheid 9
9 TRANSFORMASIES OP DIE SFEER EN
OP DIE PLAT VLAK
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy
kennis dra van die gevolg as jy 'n punt agtereenvolgens ten opsigte van drie loodregte
grootsirkels reflekteer;
kennis dra van die gevolg as jy 'n sferiese driehoek agtereenvolgens ten opsigte van
drie loodregte grootsirkels reflekteer
kennis dra en bewys van die gevolge as jy 'n punt reflekteer ten opsigte van al drie sye
van 'n oktant;
kennis dra van transformasie meetkunde in die Euclidiese ruimte;
transformasies in die Euclidiese ruimte kan toepas en veralgemeen.
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 11 en Internet.
115

Leereenheid 9
9.1 REFLEKSIES OP DIE SFEER
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
kennis dra van die gevolg as jy 'n punt agtereenvolgens ten opsigte van drie loodregte
grootsirkels reflekteer;
kennis dra van die gevolg as jy 'n sferiese driehoek agtereenvolgens ten opsigte van
drie loodregte grootsirkels reflekteer
kennis dra en bewys van die gevolge as jy 'n punt reflekteer ten opsigte van al drie sye
van 'n oktant.
116
Studiemateriaal benodig:
NALS: hoofstuk 11 en Internet.
Jy kan al hierdie interessante gevolgtrekkings maak deur die voorkennis van hoe om 'n punt
te reflekteer t.o.v. 'n lyn en met die kennis dat 'n grootsirkel die sferiese ekwivalent van die
reguit lyn is..
Prakties:
NALS: Adventure Card 11.1en 11.2
NALS: Student’s Guide to Adventure 11.1 en 11.2

Leereenheid 9
Beskou die “dupleks” DEF van ABC op die plat vlak. Bewys: area(DEF) = 4 area(ABC)
E
Refleksie:
NALS: Teacher’s Guide to adventure 11.1 en 11.2
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie
leergedeelte by te voeg.
B
A
F
C
D
117

Leereenheid 9
9.2 EUCLIDIESE TRANSFORMASIE MEETKUNDE
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy
grondige kennis dra van rigiede en nie-rigiede transformasies;
die effek van translasies, refleksies, rotasies, gly-refleksies en vergrotings kan
ondersoek en veralgemeen in die Euclidiese ruimte;
die uitwerking van translasies, refleksies, rotasies, gly-refleksies en vergrotings kan
toepas in die Euclidiese ruimte;
translasies, refleksies, rotasies, gly-refleksies en vergrotings in die Euclidiese ruimte
kan fasiliteer tydens proeftydperke.
Biblioteek en Internet.
118
Studiemateriaal benodig:
http://www.mathsisfun.com/geometry/transformations.html
Enige toepaslike handboek soos: Serra, Michael. 2008. Discovering Geometry An
Investigative Approach. Key Curriculum Press.
National Curriculum Statement Grades 10-12 Mathematics.
Addissionele bronne:
http://192.107.108.56/portfolios/d/desimone_g/discover2/1glide.htm
http://www.mathwords.com/i/isometry.htm
http://mailer.fsu.edu/~jflake/garnet-jflake/WebQuest/
http://mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html
http://www.shodor.org/interactivate/lessons/Translations/
Selfstudie: Gebruik die Nasionale Kurrikulum dokument en maak seker van al die uitkomste
ten opsigte van transformasie meetkunde. Gebruik dan bogenoemde of enige ander bronne
om die onderwerp te bestudeer.

Leereenheid 9
Tydens kontak: Die verband transformasies met meetkundige figure en funksies met
verwysing na matriksvermenigvuldiging.
Individuele PC-opdrag 5:
Gebruik The Geometer’s Sketchpad en PowerPoint of WORD.
Maak ’n opsomming van alle tipes transformasies sodat u dit later kan
gebruik in die skoolsituasie of
maak ’n werkkaart / toets met memorandum waarin u ’n leerder se kennis ten
opsigte van die toepassing van transformasies kan stimuleer of assesseer.
Indien u plakkate wil maak, kan u met u dosent onderhandel.
Heg beide die Sketchpad en PowerPoint of WORD dokumente in eFundi
aan. Lewer ook ’n hardekopie van die opsomming of werkkaart of toets met
memorandum in.
‘n Voorbeeld kan u vind op pp. 29 – 35 in die addendum.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
119

Leereenheid 9
VERGELYKING VAN MEETKUNDE OP VERSKILLENDE VLAKKE:
http://shum.cc.huji.ac.il/~cariel/2002astronomy4/triangle.jpg
120

10 KEGELSNEDES
Jy benodig ongeveer 40 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.
Studiemateriaal benodig:
Leereenheid 10
Hoofstuk 8 in “College Algebra” van David Cohen. Van hier af sal ons net na die relevante
paragrawe of bladsynommers in “Cohen” verwys.
Hoofstuk 10 (pp.743 - 815) van “Precalculus” van James Stewart. Van hier af sal ons net na
die relevante paragrawe of bladsynommers in “Stewart” verwys.
Paragrawe 12.2 tot 12.5 van “Calculus” van Anton. Van hier af sal ons net na die relevante
paragrawe of bladsynommers in die addendum verwys.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leereenheid, behoort jy
die definisie, meetkundige eienskappe en standaardvergelykings van parabole, ellipse
en hiperbole wat simmetries om die x- en y-asse is, te ken;
die grafieke van parabole, ellipse en hiperbole te kan teken en hul eienskappe in
lewenswerklike probleme te kan toepas;
te weet wat die effek van translasie en rotasie van die asse op die vergelykings van die
parabool, die ellips en die hiperbool is;
krommes voorgestel deur tweedegraadse vergelykings in twee veranderlikes te kan
identifiseer.
Inleiding:
Kegelsnedes ontstaan wanneer ʼn kegel en ʼn plat vlak mekaar op verskillende maniere sny
(soos in die figuur).
121

In hierdie leereenheid word die definisies van kegelsnedes egter gebaseer op hul
meetkundige eienskappe. Daardeur verseker ons dat die bestudering van kegelsnedes
tweedimensioneel geskied. Vir daardie doel word ʼn kegelsnede gedefinieer in terme van die
lokus (of meetkundige pad) van al die punte in die plat vlak wat voldoen aan sekere
beperkings. Ons gaan die volgende lokusse bekyk: die parabool, die ellips en die hiperbool.
122
Bestudeer p. 635 en 636 in Cohen.
Bestudeer p. 743 en 744 (Chapter Overview) in Stewart.
Praktiese opdrag: Sny roomyshorinkies soos hierbo aangetoon.
http://www.arcsoft.com/shared/support/hemera/downloads/august/images/icecream.jpg
http://office.microsoft.com/clipart/results.aspx?lc=en-gb&Scope=MC%2CMM%2CMP%2CMS&Query=knife#12

Leereenheid 10
10.1 DIE PARABOOL: DEFINISIE, MEETKUNDIGE
EIENSKAPPE;
STANDAARDVERGELYKINGS; GRAFIEKE
VAN PARABOLE
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
ʼn parabool te kan definieer;
die meetkundige eienskappe van ʼn parabool te ken en in lewenswerklike probleme te
kan gebruik;
die standaardvergelykings van die parabool te kan aflei en gebruik;
parabole met simmetrie-asse ewewydig aan die x- of y-as, te kan teken.
Studiemateriaal benodig:
Paragraaf 8.1 (pp. 636 – 641 Figure 9) in Cohen.
Paragraaf 10.1 (pp. 744 - 750) in Stewart.
Paragraaf 12.2 (pp. 1 – 3) in Addendum.
Die baan van 'n krieketbal, die kurwe van belaste kabels en hangbrûe, water wat uit 'n
tuinslang spuit en nog baie meer is voorbeelde van parabole in die lewe.
Definisie van ʼn parabool:
ʼn Parabool is die lokus van ʼn punt (of versameling van alle punte) in die plat vlak wat ewe
ver is vanaf ʼn gegewe lyn (die riglyn = directrix) en ʼn gegewe punt (die brandpunt= focus)
wat nie op die lyn is nie.
123

124
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op C. (Residensieel demonstrasie: Parabola.gsp in Introducing
the Parabola lêer in ECS p.34)
Bestudeer nou Cohen p. 636 en
Stewart p. 744 aandagtig
Konstruksie van parabole met die konsentriese model-metode:
Die radiusse van die konsentriese sirkels neem toe met 1 eenheid vanaf middelpunt A.
Die reguit lyne is ook 1 eenheid uit mekaar getrek.
Elke reguit lyn, behalwe die een deur A is ʼn raaklyn aan een van die sirkels.
1. Hoeveel eenhede is punte A en B van mekaar af? .....................................
2. Hoeveel eenhede is punt B en die lyn 1 uit mekaar? .....................................
A
3. Wat kan jy uit bostaande twee antwoorde aflei? ......................................................
........................................................................................................................................
4. Vind en merk minstens 15 punte (die toppunt ingesluit) wat op die parabool is met
brandpunt by A en die lyn 1 as riglyn.
5. Verduidelik hoe jy hulle gevind het.
.............................................................................
........................................................................................................................................
6. Skets die parabool.
B
4
3
2
1

Leereenheid 10
7. Gebruik verskillende kleure potlode en herhaal die vorige stappe en teken parabole
met lyne 2,3 en 4 as riglyne en brandpunt steeds by A.
Bestudeer nou Stewart pp. 746 - 750 aandagtig.
Konstruksie van Parabole met die Papiervou metode:
1. Gegee: Enige twee punte.
Gevra: Hoeveel reguit lyne kan deur die punte getrek word?
...........................
2. Hoeveel punte is nodig om ʼn unieke parabool te teken deur die punte?
...........................
2.1. As jy hierdie aantal punte het, hoe kan jy hulle rangskik dat hulle nie ʼn parabool vorm
nie?
................................................................................
3. Maak ʼn parabool deur papiervoue:
Merk ʼn punt A omtrent 2 tot 3 cm vanaf die onderkant van ʼn A4-bladsy.
Vou die papier sodat ʼn punt van die onderkant van die blaai presies deur A
gaan.
Trek ʼn lyn deur die vou.
Herhaal die proses.
Elke student gebruik sy eie kleur pen en skryf ook jou naam met die pen
agterop die blaai.
Elke student moet minstens 5 verskillende voue vou en trek.
A
4. PowerPoint: Kyk na Parabole in praktyk.ppt op die eFundi
5. Vind die lokus van ʼn punt wat só beweeg dat dit ewe ver is van ʼn gegewe lyn en ʼn punt
wat nie op die lyn lê nie (Wenk: Gebruik ʼn passer, ʼn liniaal en ʼn skerp potlood om die
versameling punte te vind wat die lokus vorm).
Verstaan jy nou die definisie van ʼn parabool?
125

126
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op D. (Residensieel demonstrasie: Papiervou met GSP in ECS
p.39)
Bestudeer nou Cohen pp. 637 tot 641 aandagtig.
ʼn Parabool is ook simmetries om die lyn (die simmetrie-as) wat deur die brandpunt loodreg
op die riglyn is. Die toppunt (=vertex) van die parabool lê op simmetrie-as (figuur 3, p.638).
Die meetkundige eienskappe van ʼn parabool volg uit die definisie van die parabool:
Die afstand, p, tussen die toppunt en die brandpunt is dieselfde as die afstand tussen die
toppunt en die riglyn.
Die standaardvergelykings van die parabool:
Die eenvoudigste vergelyking (standaardvergelyking) van ʼn parabool word verkry as die
toppunt in die oorsprong is en die simmetrie-as langs die x-as of y-as lê.
Op p. 637 word die definisie van die parabool en die afstandsformule gebruik om die
standaardvergelyking van die parabool met fokus (0,p) en riglyn y = -p af te lei.
Daar is eintlik vier moontlike oriëntasies van die parabool (soos in figuur 6 aangetoon), en
dus ook vier standaardvergelykings van die parabool. Jy moet in staat wees om al vier
standaardvergelykings van die parabool te kan aflei.
Bestudeer voorbeelde 1 to 3 in Cohen noukeurig,
Bestudeer nou Addendum pp. 1 tot 3 aandagtig.
Werk deur die voorbeelde in Addendum (pp. 1 tot 3). Maak veral seker van figure 12.2.2 op
p. 1. In die opdrag sal jy hierdie spesiale koord deur die brandpunt, genoem die “latus
rektum”, se lengte moet kan bereken.
In voorbeelde 1(a) en (b) word die simmetrie-as eers bepaal, dan word p bereken om die
brandpunt vas te stel, die rigting waarin die parabool oopmaak en die wydte van die parabool
te bepaal.
In voorbeeld 2 word die vergelyking van ʼn parabool wat deur ʼn gegewe punt gaan, bepaal.

Opdrag11A:
Leereenheid 10
1. Lei die standaardvergelyking van die parabool in figuur 6 (b) af. (p.640 Cohen)
2. Cohen oef. 8.1 no. 2
3. Stewart oef. 10.1 no. 12
4. Cohen oef. 8.1 no. 8
5. Stewart oef. 10.1 no. 42
6. Stewart oef. 10.1 no. 43
7. Stewart oef. 10.1 no. 51
8. Die koord van ʼn parabool wat deur die brandpunt gaan en ewewydig is aan die riglyn
word die latus rektum van die parabool genoem.
8.1 Bereken die lengte van die latus rektum van die parabool y 2 = 4px.
8.2 Gee die vergelyking van die riglyn van hierdie parabool.
9. Vind vanuit eerste beginsels die lokus van ʼn punt wat ewe ver is van die punt F ( 2; 4)
en die lyn x = 3. Gebruik ʼn toepaslike skets en verduidelik u konstruksie.
10. Die hoofspieël in die Hubble ruimte
teleskoop het 'n paraboliese
dwarsdeursnee soos aangetoon in
die meegaande figuur. Bereken die
brandpuntafstand (toppunt tot
brandpunt) van hierdie spieël.
Opdrag 11B
2,40 m
0,00625 m
1. Lei die standaardvergelyking van die parabool in figuur 6 (c) af. (p.640 Cohen)
2. Stewart oef. 10.1 no. 10
3. Cohen oef. 8.1 no. 4
4. Cohen oef. 8.1 no. 6
5. Stewart oef. 10.1 no. 26
6. Cohen oef. 8.1 no. 10
7. Cohen oef. 8.1 no. 12
F
127

8. Cohen oef. 8.1 no. 25
9. Vind vanuit eerste beginsels die lokus van ʼn punt wat ewe ver is van die punt F ( 3; 0)
en die lyn x = - 3.
10. Die antenna van ’n satellietskottel is
in die vorm van ’n paraboloïede.
Die paraboloïede word gevorm deur
’n parabool met brandpunt (25; 0)
en riglyn x = -25, om die x -as te
roteer. Beide x en y word in duim
gemeet. Die deursnede van die
antenna is 80 duim
10.1 Bereken die vergelyking van die parabool.
10.2 Wat is die definisieversameling van die antenna?
10.3 Maak ’n sketsgrafiek van die parabool en dui die brandpunt en riglyn aan.
10.4 ’n Ontvangtoestel moet op die
brandpunt geplaas word. Die
meegaande figuur impliseer dat die
ontvangtoestel die grond sou raak
indien die antenna met sy opening
na onder geplaas sou word. Bepaal
algebraïes of hierdie waarneming
korrek is. (Precalculus; Foerster p. 593
aangepas)
128
http://content.answers.com/main/content/wp/en/thumb/4/4a/300px-
Very_Large_Array.jpg
Antwoorde/oplossings
Maak 'n opsomming van die teorie oor parabole:
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.

Leereenheid 10
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
129

10.2 VERGELYKINGS VAN PARABOLE MET
TOPPUNTE NIE IN DIE OORSPRONG NIE
Jy benodig ongeveer 8 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
die effek van translasie op die standaardvergelykings van die parabool ondersoek het;
die vergelyking van ʼn parabool te kan vind, as die toppunt nie in die oorsprong is nie;
die weerkaatsingseienskap van paraboliese reflektors kan formuleer;
jou kennis aangaande translasies en die weerkaatsingseienskap te kan gebruik om
probleme op te los.
130
Studiemateriaal benodig:
Paragraaf 8.1 (pp. 641 onder figuur 9 – 645) in Cohen
Addendum Paragraaf 12.2 (pp. 3 - 6).
Stewart pp. 775 – 778
Tot nou toe het ons na parabole gekyk met toppunte in die oorsprong. Hoe word die
vergelyking van ʼn parabool beïnvloed as die toppunt nie in die oorsprong lê nie?
Bestudeer Stewart pp. 775, opsomming op p. 776 en afdeling
oor “Shifted Parabolas” op pp. 777 en 778 aandagtig.
Bestudeer nou Cohen pp. 641 tot 643 aandagtig.
In voorbeeld 5 (p. 643 Cohen) word aangetoon hoe die koëffisiënt van die kwadratiese term
deur faktorisering hanteer word. Wees baie versigtig met die term wat aan die regterkant
bygetel word.

Bestudeer nou Addendum pp. 3 – 6 aandagtig.
Leereenheid 10
Bekyk ʼn parabool met toppunt by (h, k), en ʼn simmetrie-as ewewydig aan die y-as (soos
figuur 12.2.9).
Die vergelyking van die parabool, naamlik (x’) 2 = 4py’ (+ as die parabool in die positiewe y-
rigting oopmaak) verander dus nou na:
(x - h) 2 = 4p(y - k).
Op soortgelyke wyse kan die vergelyking van ʼn parabool met toppunt (h, k) en simmetrie-as
ewewydig aan die x-as bepaal word. Maak seker dat jy weet hoe om parabole te transleer.
Gaan teken m.b.v. The Geometer’s Sketchpad die parabole:
y = x 2
y = (x – 2) 2
(y – 3) = x 2 d.w.s. y = x 2 + 3
(y – 3) = (x – 2) 2 d.w.s. y = (x – 2) 2 + 3 en
(y + 4) = (x + 1) 2 d.w.s. y = (x + 1) 2 - 4
om seker te maak hoe die toppunt transleer.
Dis hersiening van MATE 111. (Stewart pp. 183 en 184)
In voorbeeld 3 (Addendum p. 5) moet ons aantoon dat die kromme y 2 - 8x - 6y - 23 = 0 ʼn
parabool is. Dit beteken dat ons gegewe vergelyking skryf in die vorm (y - k) 2 = 4p(x - h).
Oplossing: y 2 - 6y = 8x + 23
y 2 - 6y + 9 = 8x + 23 + 9 (vierkantsvoltooiing)
(y - 3) 2 = 8x + 32
(y - 3) 2 = 8(x + 4)
Die vergelyking stel ʼn parabool met toppunt (-4, 3) en simmetrie-as ewewydig aan die x-as
voor. Verder is 4p = 8, met ander woorde p = 2. Dit beteken dat die parabool na die
positiewe x-rigting (regs) oopmaak, die simmetrie-as is y = 3, en die vergelyking van die
riglyn is x = - 6.
131

Uit voorbeeld 3 volg die volgende algemene resultaat (paragraaf 12.2.2, Addendum):
Die grafiek van x = Ay 2 + By + C (A 0) is ʼn parabool met simmetrie-as ewewydig aan die xas;
die parabool maak oop in die positiewe x-rigting (A>0).
Die grafiek van y = Ax 2 + Bx + C (A 0) is ʼn parabool met simmetrie-as ewewydig aan die yas;
die parabool maak oop die positiewe y-rigting as A>0 en in die negatiewe y-rigting as
A

CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op E. (Residensieel demonstrasie: Headlights )
Leereenheid 10
Maak seker dat jy die weerkaatsingseienskap (Cohen p. 643 onder en p. 652 nr. 19) goed
verstaan. Meetkundige weerkaatsingseienskappe van parabole (Addendum p. 5
Stelling 12.2.3) en weerkaatsingseienskappe van lig, word gebruik in die ontwerp van
reflektors en televisieskottels. Bestudeer die gedeelte boaan bl. 598 aandagtig sodat jy dit
kan toepas.
Skets en som die weerkaatsingseienskap hier op:
PowerPoint-Aanbieding op die eFundi / kontaksessie
SBO: Bestudeer “Die Verband tussen Verskillende Tipes
Parabole”
133

Opdrag 12:
1. Oef. 10.4 (Stewart) no. 5
2. Oef. 10.4 (Stewart) no. 26
3. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 11
4. Oef. 12.2 Addendum p. 6) no. 25 (Wenk: 2 vergelykings met 2 onbekendes)
5. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 27
6. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 31
7. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 33a en b
8. Die toppunt en brandpunt van een parabool is respektiewelik die brandpunt en
toppunt van 'n ander parabool. As die vergelyking van die tweede parabool y 2 = 4x is,
bereken die vergelyking van die eerste parabool. (Wenk : 'n Skets)
Opdrag 13A:
1. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 35
2. Bewys Stelling 12.2.2 (Addendum p. 5) se tweede vergelyking. M.a.w.:
134
Gegee: ʼn Parabool met simmetrie-as ewewydig aan die x-as
3. Stewart Oef 10.1 no. 49
4. Addendum p. 7 no. 40
Bewys: 2.1 Die vergelyking kan ook gegee word deur
x = Ay 2 + By + C met (A0)
2.2 Die parabool se bene maak oop in die rigting van die
positiewe x-as as A>0.
(Wenke: los y-as uit op skets en gebruik jou definisie)

5. Addendum p. 7 no. 37 (Wenk: Moenie Graad 11 vergeet nie)
6. Die paraboliese reflektor van 'n
soeklig het 'n opening van 15
cm en is 6,5 cm diep soos
aangetoon in die meegaande
figuur. Waar moet die
gloeidraad van die gloeilamp
geplaas word om die helderste
straal lig te verseker?
7. Die vergelyking van ʼn paraboliese
reflektor wat sonlig weerkaats word
gegee deur x 2 = 96(y - 50) (beide y en
x se eenhede is cm). Neem die x-as
as die grond.
7.1 Op watter afstand moet 'n pappot
vanaf die toppunt geplaas word
om die hitte die beste te benut?
Motiveer u antwoord.
7.2 Bereken die wydte van die
paraboliese reflektor as dit 'n
hoogste hoogte van 1 meter bo
die grond het.
Opdrag 13B:
1. Cohen Oef. 8.1 no. 18
2. Cohen Oef. 8.1 no. 26
3. Cohen Oef. 8.1 no. 40
y
8
6
4
2
-10 -5 5 10
-2
-4
-6
-8
6,5 cm
Leereenheid 10
A: (6.5, 7.5)
4. Gee vier verskillende vergelykings van ʼn parabool met simmetrie-as ewewydig aan die
x-as.
15 cm
5. Die vergelyking van die dwarsdeursnee van ʼn motorlig (paraboliese reflektor) word
gegee deur y 2 = 18x (beide y en x se eenhede is cm). Die deursnede van die
glasvoorkant van die lig is 24 cm.
5.1 Op watter afstand moet die gloeilamp vanaf die toppunt geplaas word sodat
ewewydige ligstrale weerkaats word?
5.2 Bereken die definisieversameling vir hierdie reflektor
x
135

136
5.3 Skets die grafiek van die paraboliese reflektor en toon alle afmetings.
6. Cohen Oef. 8.1 no. 41
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

Leereenheid 10
10.3 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT IN OORSPRONG,
EKSENTRISITEIT
Geskatte studietyd: 6 uur.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
ʼn ellips te kan definieer;
die meetkundige eienskappe van ʼn ellips te ken en kan gebruik in lewenswerklike
probleme;
die standaardvergelykings van die ellips te ken en kan gebruik;
ʼn ellips te kan teken deur sy eksentrisiteit te gebruik;
ellipse vanuit hul standaardvergelykings te kan teken.
Studiemateriaal benodig:
Paragraaf 8.2 (pp. 653 – 657 tot en met voorbeeld 3) van Cohen
Paragraaf 10.2 (pp. 753 - 761) van Stewart.
Addendum Paragraaf 12.3 (pp. 7 - 10).
'n Ellips is die tipe kegelsnede wat ons die meeste waarneem. Enige sirkel wat vanuit 'n hoek
gesien word lyk soos 'n ellips. Plaas 'n bal op die vloer en laat 'n lig teen 'n hoek van bo af
daarop skyn. Die skaduwee lyk soos 'n ellips. Neem 'n glas water en draai dit effens skuins.
Die wateroppervlakte neem die vorm van 'n ellips aan. Die bane van die planete is ellipties.
Selfs komete in 'n vaste wentelbaan om die son is se pad is ellipties.
SBO: Eksperimenteer met Stretch.gsp in die eFundi (Ellipse lêer van ECS Getting started)
Wat is die verband tussen ʼn sirkel en ʼn ellips?
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
137

138
Bestudeer nou Stewart pp. 753 tot die opsomming
op p. 755 aandagtig.
Bestudeer ook Cohen p. 653 tot 658.
Die definisie van ʼn ellips volg uit die volgende konstruksie (1):
Vind die lokus van ʼn punt wat só beweeg dat die som van die afstande vanaf die punt na
twee gegewe punte konstant bly. In Figuur 1 op p. 653 in Cohen word die konstruksie
geïllustreer.
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op F. (Residensieel demonstrasie met roomyshorinkie en
spykers.)
Die definisie van ʼn ellips: ʼn Ellips is die (lokus van ’n punt) [versameling van alle punte] in
die plat vlak waarvan die som van die afstande na twee gegewe punte (die brandpunte)
konstant bly. Hierdie som is ʼn positiewe konstante wat altyd groter is as die afstand tussen
die brandpunte (figure 4 op p. 653 Cohen).
Maak seker dat jy weet wat met die lang as, kort as, die semi-asse en middelpunt bedoel
word.
SBO: Toets jou kennis van hierdie definisie deur die punt uit te wys wat nie op die ellips lê nie
in Points.gsp in die eFundi (in die Ellips-lêer van ECS.)

Leereenheid 10
Konstrueer (2) ʼn ellips wat deur punt A gaan deur gebruik te maak van die volgende twee
stelle konsentriese sirkels:
CD-ROM.
F 1
B
A
SBO: Skakel CD aan en kliek op G (Residensieel demonstrasie: Konsentriese sirkels met
GSP ECS 9)
F 2
Lees Addendum pp. 7 tot 10 voorbeeld 2.
Die meetkundige eienskappe van ʼn ellips word met behulp van die definisie afgelei (figure
12.3.5 en 12.3.6, Addendum p. 8).
139

Die afstand vanaf die middelpunt van die ellips tot by die toppunt is a.
Die afstand vanaf die middelpunt van die ellips tot waar die ellips die kort as sny is b.
Die afstand vanaf die middelpunt van die ellips tot by die brandpunt is c.
140
Opmerking: Onthou afstande is altyd positief.
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op I. (Residensieel demonstrasie: String.gsp in Ellipse lêer in
ECS Some relationships p. 11)
Daar is basiese verwantskappe tussen a, b en c in die skets van ʼn ellips hierbo. Kan jy a in
terme van b en c uitdruk, en c in terme van a en b?
Omdat P en Q albei op die ellips lê, is die som van die afstande vanaf P en Q na die
brandpunte dieselfde.
2 2
Met ander woorde: 2 b c = (a - c) + (a + c)
ellips na die brandpunte is 2a)
2 2
Dus is a = b
c
2 2
2 b c = 2a (die som van die afstande vanaf enige punt op die

Opmerking: 2a het dus twee betekenisse:
die afstand tussen die toppunte (die lengte van die hoofas)
en
die som van die afstande vanaf enige punt op die ellips tot by die brandpunte
Kan jy die standaardvergelyking van die ellips aflei?
Leereenheid 10
Die standaardvergelykings van die ellips kan afgelei word met behulp van die standaardposisies
van die ellips (figuur 4 p. 653 in Cohen en figure 3 en 4 pp. 753 en 754 Stewart).
Ons kyk na ellipse wat so geplaas is dat hulle die oorsprong as middelpunt het en met die
hoofas op die x-as. Maak seker jy kan die standaardvergelyking van die ellips aflei en
gebruik!
Hoe word die grafieke van ellipse geteken?
Ellipse kan geteken word met behulp van hul standaardvergelykings.
Bestudeer nou Cohen pp. 656 tot 659 en
Stewart pp. 755 – 788 en gee veral aandag aan die
voorbeelde.
Wat gebeur as a = b? Watter figuur verwag jy om te teken?
141

Werk ook deur die volgende voorbeeld:
Voorbeeld 1: Vind die vergelyking van die
lokus van ʼn punt wat so beweeg dat die som
van die afstande na punte B(5, 0) en A(-5, 0)
12 is.
Oplossing 1 (vanuit eerste beginsels of
m.b.v. die definisie): Laat P(x, y) enige
punt op die lokus wees. Omdat PA + PB =
12, is
2
2
2
2
x y y x x y y 12
142
x P A
P A
P B
P B (formule)
2 2
x 5 y 0
+ x 5 y 0
2 2
x 5 y + 2 2
x 5 y
2
( x 5)
y = 12 -
2
= 12
2
( x 5)
y
2 2
Kwadreer: x 2 - 10x + 25 + y 2 = 144 - 24
- 20x - 144 = -24
5x + 36 = 6
= 12 (substitusie)
2
2
( x 5)
y
2 2
5)
+ x 2 + 10x + 25 + y 2
( x y
2
( x 5)
y
Kwadreer: 25x 2 + 360x + 1296 = 36x 2 + 360x + 900 + 36y 2
11x 2 + 36y 2 - 396 = 0
Opmerking: Die lokus is ʼn ellips, want
2
11x
396
2
36y
396
2
x y2
1
36 11
396
396
Oplossing 2: 2a = 12 en c = 5 uit die gegewens
a = 6
b 2 = a 2 – c 2
= 6 2 - 5 2
= 11
Dit kan dan in die standaardvorm vervang word, om dieselfde antwoord te gee.
2
2

Opdrag 14A:
1. Oefening 10.2 (Stewart) no. 10
2. Cohen Oef. 8.3 no. 4
3. Cohen Oef. 8.3 no. 10
4. Oef. 10.2 (Stewart) no. 29
Leereenheid 10
5. Vind die fokuspunt(brandpunt), toppunt en riglyn van die volgende parabool en skets
die parabool: (y + 1) 2 = -7(x – 4)
6. Oef. 10.2 Stewart no. 46
Opdrag 14B:
1. Cohen Oef. 8.3 no. 2
2. Cohen Oef. 8.3 no. 6
3. Oef 12.3 (Addendum p. 12) no. 5
4. Oef 10.2 (Stewart) no. 49
5. Die latus rektum van 'n ellips is die segment deur die brandpunt, loodreg op die hoofas
met eindpunte op die ellips. Toon aan dat die lengte van die latus rektum gegee word
b
deur
a
2
2 2
2
x y
vir die ellips gedefinieer deur 2 2
a b
1 met a b .
6. ʼn Sonvenster bokant ʼn
deur word in die vorm
van ʼn ellips gemaak
soos aangetoon in die
figuur. Die venster is 20
cm hoog by die hoogste
punt en 80 cm wyd aan
die onderkant.
6.1 Wat is die vergelyking van hierdie ellips?
<
A
<
80 cm
25 cm >
B
h
>
20 cm
6.2 Bereken die hoogte van die venster 25 cm vanaf die middelpunt van die basis.
6.3 Bereken die lengte van die AB.
6.4 Bereken die totale lengte hout wat nodig is om die vensterraam te vervaardig.
[Wenk: Gebruik die volgende benadering van Ramanujan vir die Omtrek van 'n
3a 3b
a 3b
b 3a
]
ellips
^
143

144
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

Leereenheid 10
10.4 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT NIE IN DIE
OORSPRONG IS NIE; HOOFAS EWEWYDIG
AAN Y-AS
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
te kan bepaal wat die vergelyking van ellipse is waarvan die middelpunt nie in die
oorsprong is nie, maar waarvan die asse ewewydig aan die koördinaat-asse is;
lewenswerklike probleme op te los deur die eienskappe van ellipse te gebruik.
Studiemateriaal benodig:
p. 657 Cohen (onder voorbeeld 3) – 667 (uitgesluit voorbeeld 6 op p, 660); 659 - 661
Stewart p. 776 – 777 “shifted Ellipses”; 759
Paragraaf 12.3 (pp. 10 vanaf die middel tot 11 tot voorbeeld 3) van Addendum
145

Konstruksie (3) van ellips deur ʼn gevoude papiersirkel:
1. Sny ʼn sirkel op papier uit.
2. Merk die middelpunt M.
3. Plaas ʼn punt B enige plek binne die
sirkel.
4. Vou die sirkel soos aangetoon dat ʼn
punt op die omtrek presies op punt B
lê. Trek met ʼn liniaal ʼn lyn op die vou.
5. Herhaal die proses in 4 totdat jy ʼn
patroon sien ontwikkel.
6. Vergelyk jou resultaat met die van
iemand anders in die klas. [SBO:
Indien jy alleen is, herhaal die proses
met B op ʼn ander plek in die sirkel.]
146
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op H. (Residensieel demonstrasie: Die vou-model met GSP
ECS p. 14)
Bestudeer nou Cohen p. 657 (onder voorbeeld 3) tot 658 voorbeeld 4 en
Stewart pp. 776 – 777 aandagtig.
Soortgelyk aan die translasie wat by parabole gedoen is, word ʼn translasie by ellipse
uitgevoer (kyk op p. 657 Cohen Figuur 10). Die ellips se middelpunt is dus nou (h,k) in plaas
van (0,0).
Hieruit kan ons sien die vergelyking van ʼn ellips met die lang as ewewydig aan die x-as en
2
2
( x h)
( y k)
met middelpunt (h, k) is: 1 ( a b)
(A)
2
2
a b
en die vergelyking van ʼn ellips met die lang as ewewydig aan die y-as en met middelpunt
2
2
( x h)
( y k)
(h, k) is : 1 2
2
b a
( a b)
. (B)
A
B
A
B

Bestudeer nou Addendum p. 10 vanaf vergelyking (5) tot p. 11
voorbeeld 3 aandagtig.
Leereenheid 10
In voorbeeld 3 (Addendum p. 10) moet aangetoon word dat x 2 + 9y 2 - 64x - 54y + 1 = 0 ʼn
ellips is. Dit beteken dat hierdie vergelyking herlei moet word na
2
2
( x h)
( y k)
1 2
2
a b
2
2
( x h)
( y k)
( a b)
(A) of : (B) 1 2
2
b a
( a b)
.
Bestudeer nou die begrip eksentrisiteit Stewart p. 757 en Cohen p. 655
aandagtig.
Wat bedoel ons met die eksentrisiteit (e) van die ellips? Op p. 655 in Cohen word e
gedefinieer as die verhouding c (brandpuntafstand) tot a (lang-as).
c
e
a
c
ea ( 0 e 1)
In figuur 7 is ellipse met verskillende e-waardes geteken.
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op J. (Residensieel demonstrasie: Eccentricity.gsp in Some
Ellipse relationships in Ellipse lêer ECS p. 12)
Wat dink jy is die eksentrisiteit van die sirkel? ..........................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
9
Opmerking: As e = , mag jy nie aflei dat c = 9 en a = 10 nie. Waarom nie?
10
...........................................................................................................................................
Is dit moontlik om ʼn standaardvergelyking van die ellips, bv.
x
a
2
2
y
b
2
2
1
te herlei na die standaardvergelyking van ʼn sirkel?
....................................................................................................................................................
147

....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
148
Bestudeer nou Cohen pp. 659 tot 661, Stewart p. 759 en
Addendum pp. 11 - 12 aandagtig vir die weerkaatsingseienskap.
Volgens die refleksie-eienskappe van ellipse behoort lig wat vanuit een brandpunt van ʼn
ellips uitgestraal word, weerkaats te word deur die ander brandpunt.
Gee voorbeelde van waar hierdie eienskap van ellipse gebruik word.
....................................................................................................................................................
Verkry Internet toegang en voer die meegaande opdrag uit.
Residensieel: Tydens kontaksessie
SBO: Doen 'n soektog “whispering galleries” en lees meer oor hierdie
toepassing.

Opdrag 15A:
1. Oef. 12.3 (Addendum p. 12) no. 7
2. Oef. 10.4 (Stewart) no. 2
3. Oef 12.3 (Addendum p. 12) no. 11
Leereenheid 10
4. Vind vanuit eerste beginsels die lokus van ’n punt wat so in die plat vlak beweeg dat
die som van die afstande na die punte A(4; 4) en B(-4; 2) 10 eenhede is.
5. Oef. 10.4 (Stewart) no. 16
6. Oef. 10.4 (Stewart) no. 39
7.
Opdrag 15B:
7.1 Bereken die vergelyking van 'n parabool met die brandpunt in die punt (6; 2)
en die riglyn x= 2.
7.2 Stel die parabool in (7.1) grafies voor. Dui die toppunt, brandpunt en riglyn aan.
1. Oef. 8.3 Cohen no. 14
2. Oef. 8.3 Cohen no. 20
3. Oef. 8.3 Cohen no. 22
4. Oef. 8.3 Cohen no. 38
5. Oef. 8.3 Cohen no. 50
6. Oef. 8.3 Cohen no. 58 a en b m.b.v. GSP
7. ʼn Satelliet is in ʼn elliptiese wentelbaan om die aarde. Dit word aangetoon in die
onderstaande figuur.
y
Centre of Earth is at
focus / middelpunt
van die aarde is by 'n
brandpunt
Vanaf die middelpunt tot by die toppunt is 51 duisend myl. Vanaf die middelpunt tot by die
x
149

andpunt is 45 x 10 3 myl. Die middelpunt van die aarde is die brandpunt van die ellips.
7.1 Bereken die koördinate van die middelpunt van die ellips.
7.2 Bereken helfte van die lengte van die kort as. (b)
7.3 Bereken die eksentrisiteit van die ellips.
7.4 Gee die vergelyking van die ellips.
7.5 Gebruik die vergelyking om die y-afsnitte van die ellips te bereken.
7.6 Die satelliet is die naaste aan die aarde by ʼn toppunt van die ellips. Die radius van
die aarde is omtrent 4000 myl. Bereken die naaste afstand wat die satelliet aan die
aardoppervlakte kan wees.
Opdrag 16A:
1. Oef. 12.3 (Addendum p. 12) no. 3
150
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.
2. Vind die vergelyking van die kegelsnede wat die volgende voorwaardes bevredig:
Ellips: brandpunte (3; 1) en toppunte (3; 3).
3. Oef. 12.3 (Addendum p. 12) no. 31
4. Oef. 12.3 (Addendum p. 13) no. 46
5. 'n Grafiek van die vergelyking 4x = x 2 – 1 + 2y moet geteken word.
6. Oef. 8.3 Cohen no. 56
a) Toon aan dat die grafiek 'n parabool is.
b) Skets die grafiek van 4x = x 2 – 1 + 2y en dui alle
kenmerkende eienskappe op die grafiek aan.

Opdrag16B:
1. Stewart Oef. 10.4 no. 23
2. Addendum p. 12 Oef. 12.3 no. 37
3. Oef. 8.3 Cohen no. 56
Leereenheid 10
4. 'n Biljarttafel word gemaak in die vorm van 'n ellips met eksentrisiteit 0,9 en brandpunte
(0; -81) en (0; 81), met x en y in sentimeter.
Bereken die
4.1 lengte vanaf die middelpunt tot by die toppunt
4.2 die helfte van die lengte van die kortas (b)
4.3 vergelyking wat die omtrek van die tafel beskryf
4.4 Maak ʼn sketsgrafiek van die vergelyking in 4.3
4.5 Bereken die oppervlakte van die tafelblad.
5. 'n Ontwerper teken 'n reeks driehoeke met 'n basis vanaf (-3; 0) tot by (3; 0) en omtrek
14 cm (alle afmetings is in cm). Bereken die vergelyking van die kurwe waarop al die
derde hoekpunte sal voorkom.
6. Die planeet Pluto beweeg om die son in 'n elliptiese wentelbaan, met die son as een
van die brandpunte. Die naaste wat Pluto aan die son kom is 2,8 biljoen myl en die
verste is 4,6 biljoen myl. Bereken die eksentrisiteit van Pluto se baan.
Opdrag 17:
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
1. Addendum p. 13 Oef. 12.3 no. 45 (Verduideliking: neem tenk as half-vol en
bereken die volume – nie die vergelyking nie)
2. Addendum p. 12 Oef. 12.3 no. 27
151

3. 'n Fluisterkamer in 'n gebou het 'n plafon met dwars deursnede wat deel vorm van die
ellips met vergelyking 36x 2 + 225y 2 = 8100 (afmetings in meters). Indien persoon A op
die een brandpunt staan, hoe ver moet persoon B weg van persoon A staan om
mekaar te hoor as hulle fluister?
4. Twee katrolle van 'n
wrywingsaandrywing
samestelling is identiese
ellipse soos aangetoon in die
meegaande figuur. Hulle is
altyd in kontak met die
linkerkatrol in 'n vaste
posisie, terwyl die
regterkatrol horisontaal kan
beweeg. Bereken die
vergelykings wat die omtrek
van elke katrol kan beskryf in
die posisie soos aangetoon
in die meegaande skets.
5. Volgens die jongste
navorsing blyk dit dat die
planeet aarde in ʼn elliptiese
(nie sirkelvormige) baan
wentel met die son in een
van die brandpunte. As die
lengte van die hoofas van die
ellips ongeveer 300 X 10 6 km
is en die eksentrisiteit
ongeveer 0,0167, bereken
die
152
5.1 naaste afstand en die
y
6,0 cm
8,0 cm
5.2 verste afstand tussen die son en die aarde. (Wenk: werk met die son en aarde
as punte d.w.s. die afstande word van hulle middelpunte bereken)
5.3 Maak ʼn gemotiveerde gevolgtrekking oor die vorm van hierdie ellips.
6. Die ingang na ʼn tonnel oor ʼn eenrigting pad is ʼn semi-ellips met hoogte 4 meter en
wydte 12 meter.
6.1 Skets die ingang van die tonnel op ʼn assestelsel met die middelpunt van die
ellips in die oorsprong. Dui die eindpunte van die lang- en kort as duidelik aan.
6.2 Skryf die vergelyking van die volledige ellips in standaardvorm.
6.3 Sal ʼn vragmotor met wydte 4 meter en hoogte 3,5 meter deur die tonnel kan
gaan? Verduidelik jou antwoord met die nodige berekeninge
x

Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op
eFundi vir selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi.
Leereenheid 10
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
153

10.5 DIE HIPERBOOL: DEFINISIE,
MEETKUNDIGE EIENSKAPPE, STANDAARD
VERGELYKINGS, GRAFIEKE VAN
HIPERBOLE
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
ʼn hiperbool te kan definieer;
die meetkundige eienskappe van ʼn hiperbool te ken en te kan toepas in lewenswerklike
probleme;
die standaardvergelykings van die hiperbool te ken en te kan gebruik;
hiperbole met transversale as ewewydig aan die x- of y-as te kan teken.
154
Studiemateriaal wat u gaan benodig
Paragraaf 8.4 (pp. 667 – 673 tot voor voorbeeld 2) Cohen
Paragraaf 10.3 (pp. 762 - 775) van Stewart.
Addendum p. 20
Voorbeelde van hiperbole in die lewe is: die skaduwee wat 'n silindriese lampskerm teen 'n
muur gooi, die bane van komete wat ons sonnestelsel binnedring en dan vir altyd verlaat en
die spieëls van teleskope.
Bestudeer nou Cohen pp. 667 tot 668 aandagtig.

CD-ROM.
Leereenheid 10
SBO: Skakel CD aan en kliek op K. (Residensieel demonstrasie: Hyperbola.gsp in Hyperbola
lêer Introducing Hyperbolas ECS p. 50)
Konstruksie met sirkels:
1. Bereken AF1 – AF2 ..............................
2. Merk minstens 9 punte wat op die regterbeen van ʼn hiperbool lê wat deur A gaan.
3. Verduidelik hoe het jy dit gevind het? ............................................................................
........................................................................................................................................
4. Skets die tak van die hiperbool.
5. Vind weer 9 punte wat op die ander tak is van die hiperbool wat deur A gaan.
6. Skets die ander tak van die hiperbool.
7. Gebruik ʼn ander kleur pen en doen dieselfde om ʼn hiperbool te skets wat deur B
gaan.
F 1
B
A
F 2
155

156
CD-ROM.
SBO: Skakel CD aan en kliek op L. (Residensieel demonstrasie: Concentric Circles.gsp en
Ripples.gsp in Hyperbola lêer ECS p. 53)
Bestudeer nou Stewart pp. 762 tot 768 en Cohen pp. 668
tot 673 aandagtig.
Die definisie van ʼn hiperbool volg nou uit die konstruksie.
Die definisie en meetkundige eienskappe van die hiperbool: ʼn Hiperbool is die versameling
van al punte in die plat vlak waarvan die verskil in afstand tussen enige punt en twee vaste
punte (die brandpunte) ʼn gegewe positiewe konstante is, wat kleiner is as die afstand tussen
die brandpunte (kyk bogenoemde figuur).
Ander terme wat belangrik is: die toegevoegde as (=conjugate axis), die transversale as,
die middelpunt, toppunte en asimptote. Maak seker dat jy weet wat elkeen beteken.
Wat is die meetkundige eienskappe van ʼn hiperbool? Bestudeer die illustrasies hieronder en
die verwantskappe wat uit die sketse afgelei kan word:
As c is die afstand vanaf ʼn brandpunt na die middelpunt is en a is die afstand vanaf ʼn
toppunt na die middelpunt, en b is die afstand soos in Fig. 12.4.4 aangedui (en só
gedefinieer), dan is:
2 2
c = a b of b =
2 2
c a .
Uit Fig. 12.4.5 volg: As V een van die toppunte van ʼn hiperbool is, is die afstand vanaf V na
die verste brandpunt (c - a) + 2a en vanaf V na die naaste brandpunt (c – a). Met ander
woorde, die verskil in afstand is 2a. Dit beteken dus dat vir alle punte op die hiperbool, is die
verskil in afstand na die verste en die naaste brandpunt 2a. (Kan jy dit aantoon?)
Uit Fig. 12.4.4. kan die vergelykings van die asimptote afgelei word.

Kan jy die standaardvergelykings van die hiperbool aflei?
Leereenheid 10
Die standaardvergelykings van die hiperbool word afgelei met die hiperbool in die
standaardposisies (met die middelpunt in die oorsprong en die transversale as op die x-as of
y-as) (figure p.763, Stewart.)
Die meetkundige eienskappe van die hiperbool kan nou gebruik word om die volgende twee
standaard vergelykings af te lei:
x
a
y
a
2
2
2
2
2
y
1 (transversale as op die x-as)
2
b
2
x
2
b
1 (transversale as op die y-as)
Hoe word die grafieke van hiperbole geteken?
Nadat die koördinate van die toppunte van die hiperbool bereken is, kan die asimptote maklik
uitgewerk word, want die gradiënte van die asimptote kan maklik afgelees word.
Wenk: Bereken vergelykings van simmetrie-asse deur die term wat x bevat gelyk te
stel aan die term wat y bevat en te vereenvoudig.
Bestudeer nou Addendum p. 20 en
Stewart p. 676 aandagtig om die weerkaatsingseienskap
van hiperbole te verstaan.
Maak ʼn skets om te verduidelik hoe die refleksie-eienskap van hiperbole gebruik word in
navigasie (ʼn lewenswerklike probleem) en reflektors.
157

Opdrag 18A:
158
Verkry Internet toegang en bestudeer die voorbeelde oor die lewenswerklike
gebruik van kegelsnedes.
Hierdie inligting is ook op die NWU se webtuiste gereserveer. Kliek op:
nwu.ac.za – eFundi – MATE 211 – Webcontent – MATE 211-
http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm
1. Oef. 10.3 (Stewart) no. 6
2. Oef. 8.4 (Cohen) no. 10
3. Oef. 8.4 (Cohen) no. 7
4. Oef. 10.3 (Stewart) no. 31
5. Oef. 10.3 (Stewart) no. 44
6. Bereken die toppunte, brandpunte en asimptote en skets die grafiek van die volgende
hiperbool: 9y 2 –x 2 = 9.
7. ʼn Punt P(x; y) bestaan só dat die som van die afstande vanaf P na die punte (2; 4) en
(2; -2) gelyk is aan 8.
7.1 Bereken die vergelyking van die lokus van die punt P vanuit eerste beginsels.
(Geen kortpad-metode: gebruik dit in jou rofwerk om te toets)
7.2 Stel die vergelyking as ʼn kromme voor nadat alle gegewens bereken is.
8. Opsioneel:
8.1 Bereken die vergelyking van ʼn parabool met simmetrie-as parallel aan die x-as
en wat deur die punte (-2; 1), (1; 2) en (-1; 3) gaan.
8.2 Stel die parabool grafies voor nadat die brandpunt, riglyn en toppunt bereken is.
[Daar is twee metodes; een ʼn bietjie beter as die ander een]
Opdrag 18B:
1. Oef. 8.4 Cohen no. 4
2. Oef. 10.3 Stewart no. 28
3. Oef. 8.4 Cohen no. 30
4. Oef. 10.3 Stewart no. 16
5. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 17
6. Oef. 8.4 Cohen no. 38

7. Oef. 10.3 Stewart 44
(Wenk: helling en inklinasiehoek)
8. Oef. 10.3 Stewart 45
Antwoorde/oplossings
Leereenheid 10
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
159

10.6 HIPERBOLE: TRANSLASIES VAN ASSE;
TOEPASSINGS
Jy benodig ongeveer 8 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
te kan bepaal wat die vergelyking van hiperbole is waarvan die middelpunt nie in die
oorsprong is nie;
ʼn hiperbool te kan teken deur sy eksentrisiteit te gebruik;
werklikheidsgetroue probleme op te kan los deur die eienskappe van hiperbole te
gebruik;
te weet wat is die effek van translasie op die standaardvergelykings van die hiperbool.
Cohen pp. 673 - 678
160
Studiemateriaal benodig:
Addendum pp. 18 – 19 Paragraaf 12.4
Stewart pp. 778 - 780
Hoe kan ons die vergelyking van ʼn hiperbool waarvan die middelpunt nie in die oorsprong is
nie, bepaal?
Bestudeer nou Stewart se afdeling “Shifted Hyperbolas” op pp. 778 tot
780;
Cohen voorbeeld 2 p. 673 tot 674 en
Addendum pp. 18 – 19 oor “Translated Hyperbolas” aandagtig.
Die afleidings is soortgelyk aan dié wat ons vir die parabole en ellipse gedoen het. Die
vergelykings van die translasies van die hiperbole is dan die volgende: (Maak seker jy kan dit
doen!)

2
( x h)
( y k)
2
2
a b
2
1
(hiperbool met middelpunt (h, k) en transversale as ewewydig met die x-as)
2
( y k)
( x h)
2
2
a b
2
1
(hiperbool met middelpunt (h, k) en transversale as ewewydig met die y-as)
Leereenheid 10
Wees baie versigtig met die asimptote: Moenie ʼn formule probeer onthou nie. Stel die term
wat x bevat gelyk aan die term wat y bevat en elimineer y.
Opdrag 19A:
1. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 9
2. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 15
3. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 33
4. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 39
5. Oef. 10.4 (Stewart) no. 9
6. Oef. 10.4 (Stewart) no. 12
7. Die koeltoring van ’n kragstasie is ’n liggaam wat as ’n hiperboloïede bekend staan.
Van bo en onder is die deursnit van die toring ’n sirkel, maar van die kant gesien is dit
’n sentrale hiperbool. Die koeltoring het ’n hoogte van 40 m en P (12; 18) lê op een
van die asimptote. Verder geld ook PB OB .
20
O
y (meter)
r
R
P
B
x (meter)
H
161

162
7.1 Bepaal die vergelyking van die hiperbool.
7.2 Bereken die dwars-deursnede van die grootste sirkel 40 m bokant die grond.
7.3 Bereken die definisieversameling van die hiperboloïede.
7.4 Bereken die koördinate van die brandpunte.
7.5 Gee die vergelyking van die hiperbool indien die asse so vertikaal getransleer
word dat die x -as op die grond is.
Opdrag 19B:
1. Oef. 8.4 Cohen no. 12
2. Oef. 8.4 Cohen no. 16
3. Oef. 8.4 Cohen no. 32
4. Oef. 8.4 Cohen no. 34
5. Oef. 8.4 Cohen no. 36
6.
50 m
O
45 m r H
y
40 m
y
q
R
6.1 Die koeltoring van ’n kragstasie is ’n liggaam wat as ’n hiperboloïede bekend
staan. Van bo en onder is die deursnit van die toring ’n sirkel, maar van die kant
gesien is dit ’n sentrale hiperbool. Dit het ’n hoogte van 60m en die kleinste
radius is r , en die vergelyking van die hiperbool wat die sy-aansig van die toring
2 2
x y
beskryf, is 1:
144 900
6.2 Skryf die waarde van r neer.
x
x

Leereenheid 10
6.3 Bepaal q, die radius van die sirkelvormige dwarsdeursnit op ’n hoogte van 45 m
bo die grond.
6.4 Watter kegelsnit sou beskryf word deur die vergelyking
2 2
x y
1?
144 900
6.5 Beskou nou punt O op die skets, die hoekpunt van die terrein waarop die
koeltoring staan, as die oorsprong van ʼn ander Cartesiese assestelsel en skryf
die vergelyking van R, die sirkelvormige basis van die toring, neer. Neem aan
dat die radius van die sirkel R presies 288 m is.
Opdrag 20:
1. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 49
2. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 41
3. Bepaal die vergelyking van die hiperbool met brandpunte (4; 12) en (4; -8); toppunte 6
eenhede van mekaar.
4. Bereken die koördinate van alle punte op die hiperbool y 2 - 4x 2 = 1 waar die twee lyne
wat deur sodanige punte en die brandpunte gaan, loodreg op mekaar is. (Dit beteken
dat die invalshoek van lig in ʼn teleskoop wat gebruik maak van ligweerkaatsing
eienskappe van ʼn hiperbool, 45 is)
5. 'n Ligstraal wat gerig is op die
brandpunt (F) van 'n hiperboliese
spieël word weerkaats deur die
ander brandpunt. As OA = 2,8 cm
en OF = 3,5 cm, bereken die
vergelyking wat die hiperboliese
spieël voorstel A
O
F F x
y
163

6. Beskou hierdie syaansig van 'n
koeltoring met hoogte 50 meter. Die
kleinste radius is 12 meter is en die
grootste radius 20 meter. Die
brandpunt is (c; 25). Die koeltoring
se sye vorm deel van 'n hiperbool.
164
6.1 Skryf die algemene vorm van
die vergelyking neer waarmee
hierdie toring beskryf kan
word.
6.2 Gee die waarde van a.
6.3 Wat is die koördinate van die
middelpunt?
6.4 Bereken b (moenie afrond nie)
y
50
40
30
20
10
(c; 25)
-40 -20 20 40 x
6.5 Gee nou die vergelyking van die hiperbool wat hierdie koeltoring beskryf.
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir
selfkontrole van die res.
C
D
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
B
A

10.7 ROTASIE VAN ASSE
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.
UITKOMSTE:
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy
Leereenheid 10
die kwadratiese vergelyking in x en y, naamlik Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, te
kan identifiseer as die vergelyking van ʼn geroteerde ellips, parabool of hiperbool.
Studiemateriaal benodig:
Addendum Paragraaf 12.5 (pp. 22 - 27)
Cohen pp. 674 - 675
Hoe word die rotasie van die asse gedoen? Jy hoef nie die rotasie vergelykings te gebruik of
te ken nie, maar wel vergelykings van geroteerde kegelsnedes kan bepaal vanuit eerste
beginsels (deur die afstandsformule te gebruik).Probeer eers self die vergelyking vind
voordat jy na die oplossing kyk.
Bestudeer nou Addendum p. 22, 26 (vanaf “The
Discriminant”) en Example 5 op p. 27 en
Cohen p. 674 (vanaf Example 3) tot helfte van p. 675
aandagtig.
165

Voorbeeld 1: Vind die vergelyking van die
lokus van ʼn punt wat so beweeg dat die som
van die afstande vanaf die punt na punte
A(4, 4) en B(-4, -2) 12 is.
Oplossing: Laat P(x, y) enige punt op die lokus wees.
Omdat AP + BP = 12, is
2
2
2
2
x x y y x x y y 12
A
166
P
A P
B P
B P
2 2 2
2
+ ( x 4 ) ( y 2)
= 12
( x 4) ( y 4)
2 2
( x 4) ( y 4)
+ ( x 4) ( y 2)
kry ons
2 2 = 12, deur te kwadreer en te vereenvoudig,
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
4x + 3y + 33 = 6 ( x 4) ( y 2)
2 2 , en uiteindelik
20x 2 - 24xy + 27y 2 + 24x - 54y - 369 = 0
en dit is die vergelyking van ʼn ellips (hierdie ellips se lang-as lê nie ewewydig met die x- of yas
nie, maar is geroteer).
Bogenoemde vergelyking van ʼn ellips is van die vorm: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Opmerking: B 2 – 4AC = (-24) 2 – 4(20)(27)
= -1584
< 0

Leereenheid 10
167
Voorbeeld 2: Bereken die vergelyking van ʼn hiperbool wat gevorm word deur die lokus van
ʼn punt wat só beweeg dat die verskil in afstande na (4,-3) en (-2,5) gelyk is aan 6.
Oplossing:
]
F
Ey
Dx
Cy
Bxy
Ax
[
:
voorstel
kegelsnede
n
'
g
vergelykin
raadse
deg
twee
ende
lg
vo
die
dat
beteken
Dit
y
x
y
xy
x
y
x
xy
y
y
y
x
x
y
x
y
y
xy
x
xy
x
]
)
y
(
)
x
[(
)
y
x
(
)
y
(
)
x
(
y
x
)
y
(
)
x
(
y
y
x
x
y
y
x
x
)
y
(
)
x
(
)
y
(
)
x
(
)
y
(
)
x
(
)
y
(
)
x
(
)
y
(
)
x
(
)
y
(
)
x
(
)
y
(
)
x
(
0
0
3440
160
384
112
384
0
0
3440
160
384
384
112
1296
864
144
2304
1152
144
1024
512
384
512
256
192
384
192
144
3
4
144
32
16
12
3
4
12
32
16
12
3
4
12
9
6
16
8
36
25
10
4
4
3
4
3
4
12
36
5
2
3
4
6
5
2
6
3
4
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

Dit is nie nodig om die sketse van kegelsnedes te teken (soos in voorbeelde 1 en 2) om die
kegelsnede te identifiseer nie.
Die diskriminant B 2 – 4AC se waarde kan gebruik word vir hierdie doel.
Uit voorbeeld 1: B 2 – 4AC = (-24) 2 – 4.20.27
168
= -1584
< 0 (ellips)
Uit voorbeeld 2: B 2 – 4AC = (-384) 2 – 4.0.112
= 147456
> 0 (hiperbool)
Stelling 12.5.2 gee riglyne vir die identifisering van kegelsnedes met behulp van die
diskriminant van die tweedegraadse vergelyking Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Som dit hier volledig op:
Voorbeeld 3:
Bereken die diskriminant en klassifiseer die volgende kegelsnede:
2
2
4x
32xy
y 2y
63 0
Oplossing:
2
B 4AC
2 32
44
1
1040
0
Die vergelyking verteenwoordig ’n hiperbool of twee lyne wat kruis.

Voorbeeld 4:
Klassifiseer die volgende gedegenereerde kegelsnede:
2 2
9x
8y
15x
18y
27 0 .
Oplossing:
2
B 4AC
2 0 498
288
0
Leereenheid 10
Die vergelyking verteenwoordig nie ’n ellips nie, maar wel ’n sirkel, punt of geen grafiek.
9x
2
9
x
9
x
8y
2
2
5
9
x
6
2
15x
18y
27 0
15
x
8
y
9
2
2
9
8
y
8
18
y
27
8
2
2
5 5 9 9 25 81
8
2
x y y 27 9
8
3 6
4 8
36 64
2
2
5
10
8
2
5 9
Maar 9
x 8
y 0 as gevolg van die kwadrate
6 8
Dus verteenwoordig die oorspronklike vergelyking geen grafiek.
Opdrag 21A:
1. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 23
2. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 25
3. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 27
4. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 28
5. Gebruik kwadraatsvoltooiing om die volgende gedegenereerde kegelsnede te
identifiseer:
2 2
x 2xy y
0
169

1
6. Gebruik die diskriminant om aan te toon dat die rasionale funksie y x 1
’n
x 1
geroteerde hiperbool voorstel. Kontroleer u vermoede met The Geometer’s Sketchpad.
7. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 31 (gebruik die definisie)
Opdrag 21B:
1. Bereken die diskriminant en klassifiseer die volgende kegelsnedes:
170
1.1
2 2
x xy y 2 0
2
2
1.2. 5x
4xy
2y
18
1.3.
2 2
x xy y x y
6 9 2 14 10 0
2. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 28
3. Gebruik kwadraatsvoltooiing om die volgende gedegenereerde kegelsnede te
2
identifiseer: 4x
2
y 8x
2y
6 0
4. Bereken die middelpunt van die hiperbool
2 2
2x y 4x 4y 4 0
.
x 3
5. Gebruik die diskriminant om aan te toon dat die rasionale funksie y ’n
x 1
geroteerde hiperbool voorstel. Kontroleer u vermoede met The Geometer’s
Sketchpad.
6. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 32 (gebruik die definisie)
Antwoorde/oplossings
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.
Refleksie:
Vorige klastoetse op eFundi

Leereenheid 10
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Jy benodig verdere 6 uur vir jou finale voorbereiding vir die eksamen.
Ek hoop jy het die module geniet en dat die vergelykings tussen meetkunde en trigonometrie
op die plat vlak en op die sfeer jou in staat sal stel om self op 'n hoër Van Hiele vlak te
redeneer en op skoolvlak meetkunde met groter insig en selfvertroue te kan fasiliteer. Help
om hierdie afdeling van Wiskunde ʼn “cool” afdeling te maak! Beste wense vir die eksamen
171

172