5goncom-6u
5goncom-6u
5goncom-6u
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Goniometrie<br />
Complexe Getallen<br />
Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem<br />
Cursus voor<br />
Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde<br />
en Economie-Wiskunde
Hoofdstuk 1<br />
Goniometrie<br />
1.1 Herhaling<br />
1.1.1 Georiënteerde hoeken<br />
We herhalen het begrip van georiënteerde hoek maar we geven nu een meer wiskundige<br />
definitie.<br />
Een isometrie in het vlak is de samenstelling van een eindig aantal spiegelingen. Is het<br />
aantal spiegelingen even dan spreken we van een verplaatsing in het vlak.<br />
Een verschuiving is de samenstelling van twee spiegelingen om parallelle rechten. Een<br />
rotatie is de samenstelling van twee spiegelingen om snijdende rechten. Men kan aantonen<br />
dat een verplaatsing in het vlak de samenstelling is van een verschuiving en een rotatie.<br />
Een isometrie is een afstand-bewarende en hoek-bewarende transformatie van het vlak.<br />
Figuren die in elkaar overgaan door een verplaatsing worden rechtstreeks congruente<br />
figuren genoemd.<br />
Een tweebeen is een koppel halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt. De eerste<br />
halfrechte noemen we het beginbeen en de tweede het eindbeen.<br />
Een georiënteerde hoek is een equivalentieklasse van rechtstreeks congruente tweebenen,<br />
zoals een richting van rechten een equivalentieklasse is van evenwijdige rechten.<br />
Een georiënteerde hoek wordt gerepresenteerd door een tweebeen, zoals een richting gerepresenteerd<br />
wordt door een rechte.<br />
3
4 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
1.1.2 De goniometrische cirkel<br />
We beschouwen een eenheidscirkel met x als een vaste halfrechte die we beschouwen het<br />
als beginbeen van elke georiënteerde hoek. We bepalen het snijpunt A van het eindbeen l<br />
met de eenheidscirkel. Zo komt met het eindbeen van een georiënteerde hoek α een punt A<br />
op de eenheidscirkel overeen en omgekeerd komt met elk punt A op de eenheidscirkel het<br />
eindbeen van een georiënteerde hoek α overeen. Daarom noemen we deze eenheidscirkel<br />
de goniometrische cirkel. We spreken af om het maatgetal van α aan te duiden bij<br />
het eindbeen van deze georiënteerde hoek dus bij het corresponderend punt A op de<br />
goniometrische cirkel.<br />
Elke georiënteerde hoek correspondeert met een georiënteerde rechte bepaald door de<br />
eenheidsvector eα, die de plaatsvector is van het punt op de goniometrische cirkel dat<br />
overeenkom met α.<br />
1.1.3 Het meten van georiënteerde hoeken<br />
1.1.3.1 De zestigdelige graden<br />
Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 360 gelijke boogjes dan is de middelpuntshoek<br />
die overeenstemt met zo één boogje de hoekeenheid van 1 o . Alle maatgetallen in<br />
zestigdelige graden van een georiënteerde hoek worden gegeven door één maatgetal plus<br />
een geheel veelvoud van 360.<br />
x o + k.360 o : k ∈ Z<br />
1.1.3.2 De radialen<br />
Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 2π 6, 28 gelijke delen dan is de middelpuntshoek<br />
die overeenstemt met zo één deeltje de hoekeenheid van 1 radiaal. Alle<br />
maatgetallen in radialen van een georiënteerde hoek worden gegeven door één maatgetal<br />
plus een geheel veelvoud van 2π.<br />
x rad + 2kπ rad : k ∈ Z<br />
Met deze hoekeenheid kunnen we gemakkelijk een verband leggen tussen de lengte van<br />
een cirkelboog en het maatgetal van de corresponderende middelpuntshoek. Aangezien<br />
de omtrek van een cirkel met straal R gelijk is aan 2πR, is de lengte van de boog van 1<br />
radiaal gelijk aan de straal R. De lengte van een boog van x radialen (0 ≤ x < 2π) is dan<br />
gelijk aan xR. In een eenheidscirkel is de lengte van een boog van x radialen gelijk aan x.
1.1. HERHALING 5<br />
Figuur 1.1: boog van 1 o boog van 1 radiaal<br />
STELLING 1.1 In een cirkel met straal R staat een middelpuntshoek van x radialen<br />
(0 ≤ x < 2π) op een boog waarvan de lengte gelijk is aan xR. In het bijzonder staat<br />
bij een eenheidscirkel een middelpuntshoek van x radialen op een boog waarvan de lengte<br />
gelijk is aan x.<br />
Figuur 1.2: lengte van een boog
6 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
1.1.3.3 Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd<br />
Met de regel van drie kunnen heel gemakkelijk overgaan van de zestigdelige graad naar<br />
de radiaal en omgekeerd.<br />
360 o = 2π rad<br />
1 o = π<br />
180<br />
⇕<br />
o 180<br />
rad ⇐⇒ 1 rad =<br />
π<br />
⇕<br />
x o = π<br />
180<br />
x rad ⇐⇒ x rad =<br />
180 π xo<br />
Op de meeste rekenmachines is een toets voorzien voor deze omzetting.<br />
Voorbeeld:<br />
72, 5143 o = 72 o 30’51”,4=1,2656 rad.<br />
2,5 rad = 143 o , 23394488 = 143 o 14’22”.<br />
0,75 rad = 42 o , 97183463 = 42 o 58’18”,6.<br />
1 rad = 57 o 29577951 = 57 o 17’44”,8<br />
60 o = 1, 047197551 rad.<br />
De bijzondere hoeken zoals 30 o , 45 o , 60 o enz. worden bij voorkeur in radialen geschreven<br />
als resp. π<br />
6<br />
, π<br />
4<br />
, π<br />
3<br />
, enz. i.p.v. als decimaal getal.<br />
OPGAVEN — 1 Teken op een apart blad de goniometrische cirkel (ijk 7 cm) en duid alle speciale<br />
hoeken aan zowel in graden als in radialen. Voor de hoeken van het derde en vierde kwadrant geef je<br />
zowel een positief en negatief maatgetal.<br />
1.1.4 De n verschillende n-de delen van een georiënteerde hoek<br />
STELLING 1.2 Elke georiënteerde hoek heeft n verschillende n-de delen, die op de goniometrische<br />
cirkel een regelmatige veelhoek n-hoek vormen als n > 2. De twee verschillende<br />
helften van een georiënteerde hoek (n = 2) zijn antisupplementair (diametraal<br />
tegenovergesteld).<br />
Bewijs: We beschouwen een georiënteerde hoek α, met zijn maatgetallen uitgedrukt in<br />
zestigdelige graden:<br />
α = (x + k.360) o .
1.1. HERHALING 7<br />
We delen α door n: x + k.360<br />
n<br />
o<br />
=<br />
<br />
x<br />
o + k<br />
n<br />
360<br />
Het maatgetal x correspondeert met een bepaald punt van de goniometrische cirkel, di.<br />
n<br />
dan één n-de deel van α. De andere n-de delen van α bekomen we door bij de boog van<br />
x een geheel veelvoud van het n-de deel van een volledige cirkelomtrek op te tellen. We<br />
n<br />
verkrijgen alle n-de delen van α door aan k de opeenvolgende waarden tussen 0 en n − 1<br />
te geven.<br />
k = 0 =⇒ ( x<br />
n )o ;<br />
k = 1 =⇒ ( x 360 + n n )o ;<br />
k = 2 =⇒ ( x 360 + 2 n n )o ;<br />
.<br />
k = n − 1 =⇒ ( x<br />
n<br />
.<br />
.<br />
n<br />
o<br />
.<br />
+ (n − 1) 360<br />
n )o .<br />
Voor k = n verkrijgen we weer een maatgetal van het eerste n-de deel, voor k = n + 1<br />
een maatgetal van het tweede n-de deel enz... We verkrijgen dus n n-de delen.<br />
Voorbeelden:<br />
• Bepaal de twee helften van 30 o .<br />
De twee helften van 30 o zijn 15 o en 15 o + 180 o = 195 o ;<br />
• Bepaal de drie derde delen van 75 o .<br />
De drie derde delen van 75 o zijn 25 o , 25 o + 120 o = 145 o , 25 o + 240 o = 265 o .<br />
• Bepaal de vijf vijfde delen van de nulhoek 0 o . De vijf vijfde delen van 0 o zijn 0 o ,<br />
72 o , 144 o , 216 o , 288 o .<br />
Voorstelling van de n-hoek<br />
Met de computer kunnen we gemakkelijk eender welke regelmatige veelhoek tekenen.<br />
Voorbeeld: Stel de 7 7-de delen van de georiënteerde hoek 7π (in radialen) voor op de<br />
5<br />
goniometrische cirkel.<br />
oplossing: We voeren de volgende vector in:<br />
Vector([cos( π<br />
5<br />
2kπ<br />
+ ), sin(π<br />
7 5<br />
2kπ<br />
+ )], k, 0, 7)<br />
7<br />
In het grafisch venster stellen we de optie ’connect’ in bij ’points’. De computer plot de<br />
gesymplifiëerde uitdrukking als een regelmatige 7-hoek.
8 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
1.2 De goniometrische getallen<br />
1.2.1 De cosinus<br />
De cosinus is gedefiniëerd als scalair product van twee eenheidsvectoren, gerepresenteerd<br />
vanuit eenzelfde punt.<br />
cos α = e0. eα<br />
waarbij α de hoek is ingesloten door de eenheidsvectoren. Dit scalair product is gelijk<br />
aan de absis van de projectie van de tweede eenheidsvector op de drager van de eerste<br />
eenheidsvector. We representeren deze eenheidsvectoren vanuit de oorsprong en leggen e0<br />
langs de x-as. De eenheidsvector eα bepaalt de hoek α op de goniometrische cirkel.<br />
Figuur 1.3: de cosinus cos A = b<br />
c<br />
⇐⇒ b = c. cos A<br />
De cosinus van de hoek α is de absis (1ste coördinaatgetal) van de vector eα. De cosinus<br />
wordt dus afgelezen op de x-as.<br />
De cosinus is positief in het eerste en vierde kwadrant (scherpe hoeken in I en IV) en<br />
negatief in het tweede en derde kwadrant (stompe hoeken in II en III).<br />
We kunnen al eenvoudige goniometrische vergelijkingen oplossen:<br />
cos(x rad ) = 0 ⇐⇒ x = π<br />
+ kπ met k ∈ Z<br />
2<br />
cos(x rad ) = 1 ⇐⇒ x = 2kπ met k ∈ Z
1.2. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN 9<br />
cos(x rad ) = −1 ⇐⇒ x = π + 2kπ met k ∈ Z<br />
cos(x rad ) = 1<br />
2<br />
⇐⇒ x = ±π + 2kπ met k ∈ Z<br />
3<br />
In een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde steeds de loodrechte projectie van de<br />
schuine zijde.<br />
De lengte van de rechthoekszijde is gelijk aan het product van de lengte van de schuine<br />
zijde met de cosinus van de hoek ingesloten door deze rechthoekszijde en de schuine zijde.<br />
(zie tekening)<br />
1.2.2 De sinus<br />
De sinus van de hoek α is de ordinaat (2de coördinaatgetal) van de vector eα. De sinus<br />
wordt dus afgelezen op de y-as.<br />
Figuur 1.4: de sinus sin A = a<br />
c<br />
De sinus is positief in I en II en negatief in III en IV.<br />
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen zijn:<br />
sin(x rad ) = 0 ⇐⇒ x = kπ met k ∈ Z<br />
sin(x rad ) = 1 ⇐⇒ x = π<br />
+ 2kπ met k ∈ Z<br />
2<br />
⇐⇒ a = c. sin A
10 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
sin(x rad ) = −1 ⇐⇒ x = − π<br />
+ 2kπ met k ∈ Z<br />
2<br />
√<br />
3<br />
sin(x rad ) = − ⇐⇒ x = −π + 2kπ ∨ x = −2π + 2kπ met k ∈ Z<br />
2 3 3<br />
1.2.3 De tangens<br />
De tangens van de hoek α is de richtingscoëfficiënt van de vectorrechte met richtingsvector<br />
eα. Beschouwen we de raaklijn aan de eenheidscirkel met vergelijking x = 1 dan lezen we<br />
de tangens af als ordinaat (2de coördinaatgetal) van het snijpunt van de vectorrechte met<br />
de raaklijn.<br />
Figuur 1.5: de tangens tan A = a<br />
b<br />
De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV.<br />
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen:<br />
Er geldt:<br />
tan(x rad ) = 0 ⇐⇒ x = kπ met k ∈ Z<br />
tan(x rad ) = 1 ⇐⇒ x = π<br />
+ kπ met k ∈ Z<br />
4<br />
tan α =<br />
sin α<br />
cos α<br />
⇐⇒ a = b. tan A
1.2. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN 11<br />
1.2.4 De cotangens<br />
De cotangens van de hoek α is het omgekeerde van de tangens. Beschouwen we de raaklijn<br />
aan de eenheidscirkel met vergelijking y = 1 dan lezen we de cotangens af als absis van<br />
het snijpunt van de vectorrechte met die raaklijn.<br />
Figuur 1.6: de cotangens cot A = b<br />
a<br />
De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV.<br />
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen:<br />
Er geldt:<br />
cot(x rad ) = 0 ⇐⇒ x = π<br />
+ kπ met k ∈ Z<br />
2<br />
cot(x rad ) = − √ 3 ⇐⇒ x = 5π<br />
6<br />
cot α =<br />
cos α<br />
sin α<br />
1.2.5 De secans en de cosecans<br />
sec α = 1<br />
cos α<br />
csc α = 1<br />
sin α<br />
= 1<br />
tan α<br />
+ kπ met k ∈ Z<br />
⇐⇒ b = a. cot A
12 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
Figuur 1.7: de secans de cosecans<br />
De secans van een hoek α is het maatgetal van het punt P op de georiënteerde rechte,<br />
bepaald door de hoek α, waarbij P het snijpunt is van die rechte met de tangensas.<br />
De cosecans van een hoek α is het maatgetal van het punt Q op de georiënteerde rechte,<br />
bepaald door de hoek α, waarbij Q het snijpunt is van die rechte met de cotangensas.<br />
We herhalen nog eens de grondformules van de goniometrie.<br />
sin 2 α + cos 2 α = 1<br />
1 + tan 2 α = 1<br />
cos 2 α = sec2 α<br />
1 + cot 2 α = 1<br />
sin 2 α = csc2 α<br />
OPGAVEN — 2 Bewijs deze gondformules op de figuur 1.7.
1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES 13<br />
1.3 De som- en verschilformules<br />
1.3.1 De verschilformules voor sinus en cosinus<br />
We beschouwen op de goniometrische cirkel de punten A(cos θ1, sin θ1) en B(cos θ2, sin θ2).<br />
De hoek θ1 − θ2 is de hoek ingesloten door de vectoren OA en OB (zie figuur 1.8).<br />
Figuur 1.8: |AB| op 2 verschillende manieren<br />
We kunnen de afstand |AB| op twee verschillende manieren berekenen<br />
1. met de cosinusregel in de driehoek OAB:<br />
|AB| 2 = |OA| 2 + |OB| 2 − 2|OA| · |OB| cos(θ1 − θ2)<br />
|OA|=|OB|=1<br />
⇕<br />
|AB| 2 = 1 + 1 − 2 cos(θ1 − θ2) = 2 − 2 cos(θ1 − θ2) (1.1)<br />
2. met de stelling van Pythagoras in de driehoek ABC met (de afstandsformule):<br />
|AB| 2 = (cos θ1 − cos θ2) 2 + (sin θ1 − sin θ2) 2<br />
Uit 1.1 en 1.2 volgt:<br />
= cos 2 θ1 − 2 cos θ1 cos θ2 + cos 2 θ2 + sin 2 θ1 − 2 sin θ1 sin θ2 + sin 2 θ2<br />
|AB| 2 = 2 − 2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2) (1.2)<br />
2 − 2 cos(θ1 − θ2) = 2 − 2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2)<br />
⇕<br />
cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2<br />
(1.3)
14 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
De verschilformule voor de sinus leiden we af uit de verschilformule voor de cosinus 1.3.<br />
sin(θ1 − θ2) = cos(90 o − (θ1 − θ2)) = cos((90 o − θ1) − (−θ2))<br />
= cos(90 o − θ1) cos(−θ2) + sin(90 o − θ1) sin(−θ2)<br />
= sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2.<br />
De verschilformules voor cosinus en sinus zijn:<br />
cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2<br />
sin(θ1 − θ2) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1<br />
1.3.2 De verschilformule voor de tangens<br />
(1.4)<br />
Uit de formules 1.4 volgt de verschilformule voor de tangens. Als θ1 − θ2 = 90 o + k180 o<br />
kunnen we beide vergelijkingen lid aan lid door elkaar delen.<br />
tan(θ1 − θ2) = sin(θ1 − θ2)<br />
cos(θ1 − θ2)<br />
= sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1<br />
cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2<br />
Zijn θ1 = 90 o + k180 o en θ2 = 90 o + k180 o dan kunnen we teller en noemer delen door<br />
cos θ1. cos θ2.<br />
tan(θ1 − θ2) = =<br />
De verschilformule voor de tangens is<br />
=<br />
=<br />
sin θ1 cos θ2−sin θ2 cos θ1<br />
cos θ1 cos θ2<br />
cos θ1 cos θ2+sin θ1 sin θ2<br />
cos θ1 cos θ2<br />
sin θ1 cos θ2<br />
cos θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1<br />
cos θ1 cos θ2<br />
cos θ1 cos θ2<br />
cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2<br />
cos θ1 cos θ2<br />
sin θ1 sin θ2 − cos θ1 cos θ2<br />
sin θ1 sin θ2<br />
1 + cos θ1 cos θ2<br />
= tan θ1 − tan θ2<br />
1 + tan θ1 tan θ2<br />
tan(θ1 − θ2) = tan θ1−tan θ2<br />
1+tan θ1. tan θ2<br />
(1.5)
1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES 15<br />
1.3.3 De somformules<br />
De somformules voor sinus, cosinus en tangens bekomen we door in de verschilformules<br />
−θ2 te vervangen door θ2 en rekening te houden met het feit dat de cosinussen van<br />
tegengestelde hoeken gelijk zijn en de sinussen en tangensen van tegengestelde hoeken,<br />
tegengesteld zijn. De somformules zijn:<br />
Toepassing:<br />
cos(θ1 + θ2) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2<br />
sin(θ1 + θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1<br />
tan(θ1 + θ2) = tan θ1 + tan θ2<br />
1 − tan θ1. tan θ2<br />
∀θ = π<br />
4<br />
π<br />
+ kπ ∧ θ = + kπ :<br />
2<br />
1 + tan α<br />
1 − tan α<br />
tan(45 o + α) =<br />
OPGAVEN — 3 Bereken de sinus en de cosinus van 75 o en 15 o .<br />
4 Bereken de hoek tussen de rechten 3x − y = 5 en x + 2y − 1 = 0.<br />
5 Bereken<br />
a. cos(45 o + α); b. sin(60 o − α); c. cot(α − 330 o ); d. sin(285 o + α);<br />
(1.6)<br />
(1.7)<br />
6 Bereken zonder rekentoestel sin(α + β) en tan(α + β) als sin α = 1 √ 5 , cot β = 3 en als α en β allebei<br />
tot het eerste kwadrant behoren.<br />
7 Bereken zonder rekentoestel cos(α − β) als sin α = √ 3<br />
2 , cos β = 1 √ 2 en als α behoort tot het tweede<br />
kwadrant en β tot het vierde kwadrant behoort.<br />
8 Bewijs dat<br />
(i) sin(α + β + γ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ;<br />
(iii) cot(θ1 + θ2) =<br />
cot θ1. cot θ2−1<br />
cot θ1+cot θ2<br />
(iv) sin A. sin(B − C) + sin B. sin(C − A) + sin C. sin(A − B) = 0.<br />
9 Bereken zonder rekentoestel α + β als tan α = 3 en tan β = 1<br />
3 .<br />
10 Bereken cos(α − β) als sin α + sin β = a en cos α + cos β = b.
16 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
11 Bewijs dat cos 2 α − 2 sin β cos α sin(α + β) + sin 2 (α + β) = cos 2 β.<br />
12 * Bereken sin 2 (α + β) + p. sin(α + β). cos(α + β) + q. cos 2 (α + β) als tan α en tan β oplossingen zijn<br />
van de vierkantsvergelijking x 2 + px + q = 0.<br />
13 * Bewijs dat in een rechthoekige driehoek ABC, met a, b en c de overstaande zijden van resp. de<br />
hoeken A, B en C, geldt: als a = 90o dan sin(B − C) = b2−c 2<br />
a2 en cos(B − C) = 2b.c<br />
a2 ;<br />
14 * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en<br />
C. Bewijs:<br />
(i) a(cos B. cos C + cos A) = b(cos C. cos A + cos B) = c(cos A. cos B + cos C);<br />
(ii) sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C + 2 sin A. sin B. cos C;<br />
(iii) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A. cos B. cos C;<br />
(iv) cot A B C<br />
2 + cot 2 + cot 2<br />
2 A B C<br />
(v) sin 2 + sin2 2 + sin2 2<br />
(vi) a2 −b 2<br />
c 2<br />
= sin(A−B)<br />
sin(A+B) ;<br />
= cot A<br />
2<br />
B C<br />
. cot 2 . cot 2 ;<br />
= 1 − 2 sin A<br />
2<br />
(vii) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.<br />
B C<br />
. sin 2 . sin 2 ;<br />
GON-CO HUISTAAK 1 1. Bereken zonder rekentoestel de tangens en de cotangens van 105 o en<br />
165 o . Is er een verband tussen de 4 resultaten onderling. Duid het waarom van dit verband aan.<br />
2. Bereken<br />
a. tan(210 o − α) b. cos(195 o − α)<br />
3. Gegeven 0 o < α < 90 o en 90 o < β < 180 o ; sin α = 0, 8 en sin β = 12<br />
13 .<br />
Bereken zonder rekentoestel: cos(α + β), csc(α − β) en cot(α + β).<br />
In welk kwadrant ligt (α + β) en waarom? (zonder rekentoestel)<br />
4. Bewijs dat cos 2 α + cos 2 β + cos 2 (α + β) = 1 + 2 cos α. cos β. cos(α + β). Schrijf deze identiteit op<br />
een andere manier als α en β hoeken zijn van een driehoek.<br />
5. Bewijs dat<br />
tan α−tan β sin(α−β)<br />
tan α+tan β = sin(α+β) .<br />
6. * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en<br />
C. Tip: vervang C<br />
2 door een uitdrukking met A en B.<br />
= 1;<br />
Bewijs: tan A<br />
2<br />
· tan B<br />
2<br />
+ tan B<br />
2<br />
· tan C<br />
2<br />
+ tan C<br />
2<br />
· tan A<br />
2<br />
Oplossingen:<br />
3) sin 75 o = cos 15 o = √ 2<br />
4 (1 + √ 3), cos 75 o = sin 15 o = √ 2<br />
4 (√ 3 − 1); 4) θ = 81, 87 o ;<br />
5) a. √ 2<br />
2<br />
(cos α − sin α), b. 1<br />
2 (√ 3 cos α − sin α), c. √ 3−tan α<br />
√ 3 tan α+1 , d. √ 2<br />
4 ((√ 3 − 1) sin α − ( √ 3 + 1) cos α).<br />
6) sin(α + β) = 1 √ 2 ⇒ α + β = 45 o , tan α = 1; 7) − √ 2<br />
4 ((√ 3 + 1) = cos 165 o ⇒ α − β = 165 o ;<br />
9) 90 o of −90 o ; 10) a2 +b 2<br />
2<br />
− 1; 12) Tip: werk met S en P van de wortels van x2 + px + q, res.=q;
1.4. DE EERSTE FORMULES VAN SIMPSON (1710-1761) 17<br />
1.4 De eerste formules van Simpson (1710-1761)<br />
We bekomen de formules van Simpson door in elk van de volgende stelsels de twee formules<br />
opeenvolgend eens lid aan lid op te tellen en eens lid aan lid van elkaar af te trekken.<br />
sin(θ1 + θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1<br />
sin(θ1 − θ2) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1<br />
en cos(θ1 + θ2) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2<br />
De eerste formules van Simpson zijn<br />
cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2<br />
sin θ1. cos θ2 = 1<br />
2 (sin(θ1 + θ2) + sin(θ1 − θ2));<br />
sin θ2. cos θ1 = 1<br />
2 (sin(θ1 + θ2) − sin(θ1 − θ2));<br />
cos θ1. cos θ2 = 1<br />
2 (cos(θ1 + θ2) + cos(θ1 − θ2));<br />
sin θ1. sin θ2 = − 1<br />
2 (cos(θ1 + θ2) − cos(θ1 − θ2)).<br />
(1.8)<br />
De eerste formules van Simpson zetten het product van een sinus en een cosinus om in de<br />
som van twee sinussen, het product van twee cosinussen om in de som van twee cosinussen<br />
en tenslotte het product van twee sinussen om in het verschil van twee cosinussen.<br />
OPGAVEN — 15 Bewijs dat:<br />
(i) sin(30 o + x) + sin(30 o − x) = cos x;<br />
(ii) cos x + cos(120 o + x) + cos(120 o − x) = 0;<br />
(iii) sin(x + y). cos y − sin(x + z). cos z = sin(y − z). cos(x + y + z);<br />
(iv) sin x. sin y + sin z. sin(x + y + z) = sin(x + z). sin(y + z).<br />
(v) sin(α + β). sin(α − β) = sin 2 α − sin 2 β;<br />
(vi) cos(α + β) sin(α − β) = sin α. cos α − sin β. cos β.
18 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
1.5 De tweede formules van Simpson<br />
We verkrijgen de tweede formules van Simpson door in de eerste formules van Simpson<br />
de volgende substitutie door te voeren:<br />
θ1 + θ2 = α<br />
De tweede formules van Simpson zijn:<br />
θ1 − θ2 = β<br />
⇕<br />
θ1 = α+β<br />
2<br />
θ2 = α−β<br />
2<br />
sin α + sin β = 2 sin α+β α−β<br />
. cos 2 2 ;<br />
sin α − sin β = 2 sin α−β α+β<br />
. cos 2 2 ;<br />
cos α + cos β = 2 cos α+β α−β<br />
. cos 2 2 .<br />
cos α − cos β = −2 sin α+β α−β<br />
. sin 2 2<br />
(1.9)<br />
De tweede formules van Simpson zetten een som of een verschil van twee sinussen om in<br />
het product van een sinus en een cosinus, een som van twee cosinussen in het product van<br />
twee cosinussen en een verschil van twee cosinussen in het product van twee sinussen.<br />
Opmerking: De eerste en tweede formules zijn nuttig om bvb. vergelijkingen op te lossen<br />
(ontbinden in factoren) en om integralen te berekenen (product schrijven als een som –<br />
zie later).<br />
OPGAVEN — 16 Bewijs dat:<br />
(i) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o = 3<br />
16<br />
(ii)<br />
(iii)<br />
sin p+sin q<br />
sin p−sin q<br />
p+q<br />
tan 2 =<br />
tan p−q ;<br />
2<br />
sin p±sin q p±q<br />
cos p+cos q = tan 2 ;<br />
(iv) tan α + tan β =<br />
2 sin(α+β)<br />
cos(α+β)+cos(α−β) ;<br />
(v) (sin x − sin y) 2 + (cos x − cos y) 2 2 x−y<br />
= 4 sin 2 ;<br />
(vii) sin(x + y) = cos(x − y) − (cos x − sin x)(cos y − sin y).
1.5. DE TWEEDE FORMULES VAN SIMPSON 19<br />
17 Herleid tot een product:<br />
(i) sin 78 o + sin 42 o ;<br />
(ii) sin x + sin 2x + sin 3x;<br />
(iii) sin x + cos x;<br />
GON-CO HUISTAAK 2 1. Bewijs dat sin 7π 7π 5π sin sin 12 24 24 = 2+√3. 8<br />
2. Bewijs dat cos(x + 4y). sin 2y + cos(x + y). sin y = cos(x + 3y). sin 3y.<br />
3. Bewijs dat tan α ± tan β = sin(α±β)<br />
cos α. cos β .<br />
4.<br />
sin(α+β)+sin(α−β)<br />
sin(α+β)−sin(α−β)<br />
= tan α<br />
tan β .<br />
5. Herleid tot een product: cos 70 o + cos 470 o
20 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
1.6 De verdubbelingsformules<br />
Stellen we in de somformules 1.6 op pagina 15 θ1 = θ2 dan verkrijgen we de verdubbelingsformules:<br />
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ<br />
(1.10)<br />
sin 2θ = 2 sin θ cos θ<br />
∀θ = π<br />
2 tan θ<br />
+ kπ : tan 2θ =<br />
2 1 − tan2 θ<br />
(1.11)<br />
In de tweede formule van 1.10 kunnen we de cosinus ook uitdrukken in alleen een sinus of<br />
alleen een cosinus. We gebruiken daarvoor de grondformule sin 2 θ + cos 2 θ.<br />
cos 2θ = 2 cos 2 θ − 1<br />
cos 2θ = 1 − 2 sin 2 θ<br />
We kunnen de formules 1.10 omvormen door in de tweede leden te delen door<br />
sin 2 θ + cos 2 θ = 1:<br />
cos 2θ = cos2 θ−sin 2 θ<br />
sin 2θ =<br />
cos 2 θ+sin 2 θ<br />
2 sin θ cos θ<br />
cos 2 θ+sin 2 θ<br />
We delen in de tweede leden van beide identiteiten teller en noemer door cos 2 θ.<br />
∀θ = π<br />
+ kπ :<br />
2<br />
cos 2θ = 1 − tan2 θ<br />
1 + tan2 θ<br />
2 tan θ<br />
sin 2θ =<br />
1 + tan2 θ<br />
(1.12)<br />
(1.13)<br />
Al deze formules kunnen we gebruiken als we willen overgaan van een hoek naar de halve<br />
hoek. Merk op dat we hierbij overgaan van een eerste graad naar een tweede graad.<br />
Dus overgaan naar een halve hoek betekent de graad verhogen.<br />
Het is ook nuttig deze formules zo om te vormen zodat we gemakkelijk kunnen overgaan<br />
van de hoek naar de dubbele hoek en zodoende de graad te verlagen.<br />
In de formules 1.12 lossen we de identiteiten op naar resp. cos 2 θ en sin 2 θ.<br />
cos 2 cos 2θ + 1<br />
θ =<br />
2<br />
sin 2 1 − cos 2θ<br />
θ =<br />
2<br />
Delen we de twee identiteiten lid aan lid door elkaar dan krijgen we:<br />
∀θ = π<br />
2 + kπ : tan2 θ =<br />
1 − cos 2θ<br />
1 + cos 2θ<br />
(1.14)<br />
(1.15)
1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 21<br />
We kunnen de formules 1.13 ook nog als volgt schrijven:<br />
Stellen we tan θ<br />
2<br />
∀θ = π + 2kπ :<br />
θ 1 − tan2<br />
cos θ =<br />
1 + tan<br />
θ 2 tan<br />
sin θ =<br />
2<br />
2 θ<br />
2<br />
2<br />
2 θ 1 + tan 2<br />
= t dan verkrijgen we de zogenaamde t-formules:<br />
1 − t2<br />
cos θ =<br />
1 + t2 sin θ = 2t<br />
1 + t2 (1.16)<br />
(1.17)<br />
OPGAVEN — 18 Bereken zonder rekentoestel sin 2α, cos 2α en tan 2α in elk van de volgende gevallen:<br />
a. sin α = 4<br />
5<br />
b. cos α = − 5<br />
13<br />
en α ligt in het eerste kwadrant;<br />
en α ligt in het tweede kwadrant;<br />
c. tan α = 2 − √ 3 en α ligt in het derde kwadrant;<br />
19 Herleid tot een product: a) sin 12 o + sin 48 o + sin 81 o − sin 9 o b) 2 + √ 3 sin α + cos α..<br />
20 Op een voetstuk van 2m hoog staat een beeld van 3m hoog. Op welke afstand moet men gaan staan<br />
om het voetstuk en het beeld onder eenzelfde hoek te zien.<br />
21 Bewijs de volgende identiteiten:<br />
2 α<br />
a. cos α + 2 cos 2α + cos 3α = 4 cos 2α cos 2<br />
b. tan x+y<br />
2<br />
c. tan α<br />
2<br />
+ tan x−y<br />
2<br />
sin 2α cos α<br />
= 1+cos 2α . 1+cos α ;<br />
d. 1−tan2 α<br />
cos 2α = sec2 α;<br />
= 2 sin x<br />
cos x+cos y ;<br />
e. cos3 α + sin 3 α = (cos α + sin α)(1 − 1<br />
2 sin 2α);<br />
f. cos 2 (α + β) + cos 2 (α − β) − cos 2α. cos 2β = 1;<br />
sin α+cos α cos 2α<br />
g. sin α−cos α = sin 2α−1 ;<br />
h. cos 4 α − sin 4 α = cos 2α;<br />
i. 4(cos 6 α + sin 6 α) = 1 + 3 cos 2 2α;
22 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
22 Bewijs de volgende identiteiten:<br />
a. sin 2 2α − sin 2 α = sin 3α. sin α;<br />
b. tan α − cot α = −2 cot 2α;<br />
c. cos 2α = cot2 α−1<br />
cot 2 α+1 =<br />
d. sin 2α =<br />
1<br />
1+tan α. tan 2α ;<br />
tan 2α. tan α<br />
tan 2α−tan α = cos2 (45 o − α) − sin 2 (45 o − α);<br />
e. tan(45 o + α) − cot(45 o + α) = 2 tan 2α;<br />
f. cos 4α + 4 cos 2α + 3 = 8 cos 4 α;<br />
g.<br />
1+sin 2α<br />
cos 2α = tan(45o + α);<br />
h . sin α + sin β + sin γ − sin(α + β + γ) = 4 sin α+β<br />
2<br />
β+γ γ+α<br />
. sin 2 . sin 2 ;<br />
23 Bereken zonder rekentoestel sin 2(α + β) als α en β in het eerste kwadrant liggen en als sin α = 1<br />
2<br />
en sin β = 1<br />
3 .<br />
24 Bereken zonder rekenmachine de goniometrische getallen van 22 o 30 ′ en 7 o 30 ′ .<br />
25 Bereken zonder rekentoestel tan α<br />
2 als tan α = 2 − √ 3.<br />
26 Bereken zonder rekentoestel sin α α<br />
2 , cos 2<br />
a. cos α = 7<br />
25 ;<br />
b. sin α = − 1<br />
3 ;<br />
c. cos α = √ 5−1<br />
4 .<br />
27 Als α + β + γ = π<br />
2 , bewijs dan dat:<br />
28 Als α + β + γ = 0, bewijs dan dat:<br />
29 Bereken tan α in functie van tan β als<br />
30 Bewijs dat<br />
als α = π<br />
17 .<br />
en tan α<br />
2 als<br />
tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1.<br />
tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ.<br />
cos 2α =<br />
cos 2β − r<br />
1 − r cos 2β .<br />
cos 13α. cos α<br />
= −1<br />
cos 3α + cos 5α 2
1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 23<br />
31 Als in een driehoek ABC geldt dat sin A + sin B = 2 sin C, dan is tan A. tan B = 1<br />
3 .<br />
32 * Zijn A, B en C de hoeken van een driehoek, en a, b en c de resp. de overstaande zijden bewijs dan<br />
de volgende identiteiten:<br />
(i) sin A + sin B + sin C = 4 cos A<br />
2<br />
(ii) a<br />
b+c<br />
(iii)<br />
(iv)<br />
A sin 2 =<br />
cos B−C ;<br />
2<br />
B C<br />
. cos 2 . cos 2 ;<br />
cos A cos B cos C<br />
sin B. sin C + sin C. sin A + sin A. sin B = 2;<br />
tan A+tan B<br />
sin 2C<br />
= tan B+tan C<br />
sin 2A<br />
= tan C+tan A<br />
sin 2B ;<br />
33 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan<br />
1 + cos 6A + cos 6B + cos 6C = 0.<br />
Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Indien een driehoek gelijkbenig is met tophoek A, en indien de<br />
hoeken van de driehoek voldoen aan de bovenstaande betrekking, wat weet je dan over de hoeken van de<br />
driehoek.<br />
34 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan<br />
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2.<br />
Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Als bovendien de hoeken een rekenkundige rij vormen (met<br />
A < B < C) wordt gevraagd hoe de zijden zich verhouden.<br />
35 * De maatgetallen van de zijden a, b en c van een driehoek zijn drie opeenvolgende termen van een<br />
rekenkundige rij. De grootste hoek en de kleinste hoek zijn resp. A en C.<br />
Bewijs dat :<br />
4(1 − cos A).(1 − cos C) = cos A + cos C.<br />
36 * Bewijs: 16 cos 2 θ. sin 3 θ = 2 sin θ + sin 3θ − sin 5θ;<br />
37 * Indien A, B en C de hoeken voorstellen van een driehoek ABC dan geldt: 2 sin 2 A + 2 sin 2 B −<br />
2 sin 2 C = 4 sin 2 A. sin 2 B − sin 2A. sin 2B;<br />
38 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.<br />
a. Toon aan dat uit<br />
volgt dat de driehoek rechthoekig is;<br />
tan C =<br />
sin 2A − sin 2B<br />
cos 2A + cos 2B<br />
b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.<br />
39 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.
24 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
a. Toon aan dat uit<br />
tan 2A =<br />
volgt dat de driehoek gelijkbenig is;<br />
sin(B − C) − sin(B + C)<br />
cos(B − C) + cos(B + C)<br />
b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.<br />
40 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.<br />
a. Toon aan dat uit<br />
(cos<br />
A − C<br />
2<br />
B B<br />
+ sin ).(cos<br />
2 2<br />
volgt dat de driehoek gelijkbenig is;<br />
− tan C<br />
2<br />
b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.<br />
41 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.<br />
a. Toon aan dat uit<br />
volgt dat de driehoek rechthoekig is;<br />
B B A − C<br />
. sin ) = cos + sin<br />
2 2 2<br />
sin(2B − 4A) − sin 6B + sin(2B − 4C) − sin 2B = 0<br />
b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig;<br />
c. Omschrijf zo eenvoudig mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor (a) geldt.<br />
42 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.<br />
a. Toon aan dat<br />
geldt in elke gelijkzijdige driehoek;<br />
4 − cos 2(B − C) + 2 cos 4A + 4 cos 2A = 0<br />
b. Als de betrekking geldt volgt daar dan uit dat de driehoek gelijkzijdig is?<br />
c. Beschrijf zo eenvoudig en concreet mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor de betrekking<br />
geldt.<br />
43 * Geef een ontbinding in factoren van de volgende determinanten<br />
<br />
<br />
<br />
a. <br />
<br />
<br />
1 sin A sin 2 A<br />
1 sin B sin 2 B<br />
1 sin C sin 2 C<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
b. <br />
<br />
<br />
2 A<br />
cos 2A cos A sin 2<br />
2 B<br />
cos 2B cos B sin 2<br />
2 C<br />
cos 2C cos C sin<br />
2
1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 25<br />
Oplossingen:<br />
18) a. sin(2α) = 24<br />
7<br />
25 , cos(2α) = − 25<br />
, tan(2α) = − 24<br />
7<br />
, b. sin(2α) = − 120<br />
169<br />
119<br />
120<br />
, cos(2α) = − 169 , tan(2α) = 119 ,<br />
c. sin(2α) = 1<br />
2 , cos(2α) = − √ 3<br />
2 , tan(2α) = √ 3<br />
3 ; 19) cos 18o (1 + 2 √ 2 sin 18 o ); 20) √ 20 = 4, 47;<br />
23) 1<br />
18 (7√3 + 4 √ 2) = 0, 99;<br />
24) sin 22, 5o = 1<br />
√<br />
o 1<br />
2 2 − 2 = 0, 38, cos 22, 5 = 2<br />
sin 7, 5 o = 1<br />
2<br />
<br />
2 − 2 + √ 3 = 0, 131, cos 7, 5 o = 1<br />
2<br />
(2 2 − √ 3 − 1)(2 + √ 3) = 0, 132.<br />
25) tan α<br />
2 = (±2 2 − √ 3 − 1)(2 + √ 3);<br />
26) sin α<br />
2<br />
sin α<br />
2<br />
= ± 3<br />
5<br />
, cos α<br />
2<br />
= ± 4<br />
5<br />
, tan α<br />
2<br />
= ± 3<br />
4 ,<br />
2 + √ 2 = 0, 92, tan 22, 5 o = √ 2 − 1 = 0, 41.<br />
<br />
2 + 2 + √ 3 = 0, 99, tan 7, 5 =<br />
α = cos 2 = ± √ √2±1 , tan<br />
6 α<br />
2 = − √ √2−1 = −0, 172 of tan<br />
2+1 α<br />
2 = − √ √2+1 = −5, 83,<br />
2−1<br />
sin α<br />
2 = ± 10−2√5 4 = 0, 588, cos α<br />
2 = ± 1+√5 α<br />
4 = 0, 809, tan 2 = ±5 − 2 √ 5 = ±0, 727<br />
29) tan 2 α = 1+r<br />
1−r tan2 β<br />
GON-CO HUISTAAK 3 1. Bewijs dat (2 sin α + sin 2α). tan α<br />
2 = 2 sin2 α.<br />
2. Bewijs dat sin2 ( π α + 8 2 ) − sin2 ( π<br />
8<br />
3. Bewijs dat sin2 2α+4 sin 2 α−4<br />
sin 2 2α−4 sin 2 α = cot4 α;<br />
α sin − ) = √ α.<br />
2 2<br />
4. Bewijs dat 1 + cos α + cos 2α = cos α.(2 cos α + 1).<br />
5. Bewijs dat sin 3α. sin α = sin 2 2α − sin 2 α<br />
q √ √<br />
2− 2+ 3<br />
q √ √<br />
2+ 2+ 3<br />
6. Bereken sin α α α<br />
12<br />
, cos en tan als tan α = − en α behoort tot het tweede kwadrant<br />
2 2 2 5<br />
, en de goniometrische getallen daarvan voor op de goniometrische cirkel.<br />
II. Stel α, α<br />
2<br />
GON-CO HUISTAAK 4 1. * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B<br />
en C van de hoeken aan<br />
sin B + sin C<br />
sin A =<br />
cos B + cos C .<br />
Wat is er bijzonder aan deze driehoek?<br />
2. * Bereken tan(α + β) als gegeven is dat sin α + sin β = m en cos α + cos β = n.<br />
3. * Van de maatgetallen A, B en C van de hoeken in een driehoek weet men dat tan A<br />
2 ,<br />
tan B<br />
C en tan drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Toon aan<br />
2 2<br />
dat dit dan ook het geval is voor cos A, cos B en cos C.<br />
=
26 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE<br />
1.7 De formules voor 3θ<br />
GON-CG I groepswerk 1 Bewijs de volgende formules<br />
cos 3θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ<br />
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ<br />
tan 3θ = 3 tan θ−tan3 θ<br />
1−3 tan 2 θ<br />
OPGAVEN — 44 Bewijs de volgende identiteiten<br />
(i) 3 sin α − sin 3α = 2 sin α.(1 − cos 2α);<br />
(ii)<br />
sin 3α<br />
sin α<br />
− cos 3α<br />
cos α<br />
= 2;<br />
(iii) cos 3α = 4 cos α. cos(60 o + α). cos(60 o − α);<br />
(iv) 3 sin 2α −<br />
4 sin 2α<br />
1+cot2 2α = sin 6α.<br />
45 Herleid tot een product:<br />
a. cos α + 2 cos 2α + cos 3α;<br />
b. 4 sin 2 α. cos 3α + 4 cos 2 α. sin 3α.<br />
(1.18)<br />
(1.19)<br />
46 * Als in een driehoek ABC de hoek A het dubbele is van de hoek B, dan is a 2 = b.(b + c). Bewijs<br />
dat.<br />
47 * Als A, B en C de hoeken zijn van een driehoek en als geldt dat<br />
toon dan aan dat<br />
1.8 Wiskunde-Cultuur<br />
sin(A + B B<br />
) = n sin<br />
2 2<br />
tan A C<br />
tan<br />
2 2<br />
= n − 1<br />
n + 1 .<br />
SIMPSON Thomas was een Engels wiskundige van 1710 tot 1761. Hij leefde als wever<br />
in behoeftige omstandigheden, studeerde autodidactisch wiskunde en publiceerde in<br />
1737 “A new treatise of fluxions”. In 1743 verkreeg hij erkenning door zijn benoeming<br />
tot hoogleraar aan de militaire academie te Woolwich. Hij schreef over kansrekening,<br />
levensverzekering, algebra, meetkunde en trigonometrie.
Hoofdstuk 2<br />
Complexe getallen<br />
2.1 Het veld van de reële getallen<br />
In de verzameling van de reële getallen hebben we twee bewerkingen gedefinieerd, nl.<br />
de optelling en de vermenigvuldiging. Voor deze bewerkingen voldoet de verzameling<br />
van de reële getallen aan een reeks eigenschappen. De eigenschappen vatten we samen<br />
door te zeggen dat de structuren R, + en R, . commutatieve groepen zijn. Voor de twee<br />
bewerkingen samen geldt de distributieve eigenschap. Dit alles wordt nog eens korter<br />
geformuleerd door te zeggen dat R0, +, . een veld is.<br />
R, + is een commutatieve groep<br />
R0, . is een commutatieve groep<br />
De optelling is distributief t.o.v. het product<br />
⎫<br />
⎬<br />
⇐⇒ R, +, . is een veld<br />
⎭<br />
Deze eigenschappen maken het mogelijk om vlot te rekenen, eerstegraadsvergelijkingen<br />
op te lossen, enz.. Dit rekenen komt voort uit werkelijke problemen, doch R is slechts<br />
een HULPMIDDEL bestaande uit denkbeeldige getallen. Bijvoorbeeld het getal π kan<br />
niemand ooit exact voorstellen. Het is ook niet nodig. Als een ingenieur met π werkt, dan<br />
is het zelfs belachelijk met meer dan twee cijfers na de komma te werken. Want op het<br />
eind wordt alles nog eens met een veiligheidsfactor 2 of 3 vermenigvuldigd en dan doet een<br />
cijfertje op de derde rang na de komma er niet toe. Dus zou je zeggen, we hebben genoeg<br />
met de rationale getallen. Ook dit is alleen in ons verbeelding mogelijk. We kunnen ze<br />
immers nooit allemaal opschrijven.<br />
Maar zoals gezegd, het veld van de reële getallen is een handig hulpmiddel om berekeningen<br />
uit te voeren. Er bestaan echter problemen die gemakkelijker met andere velden op<br />
27
28 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
te lossen zijn. Bijvoorbeeld het veld {0, 1} met de bewerkingen gedefinieerd als volgt:<br />
0 + 0 = 0 0.0 = 0<br />
0 + 1 = 1 0.1 = 0<br />
1 + 0 = 1 1.0 = 0<br />
1 + 1 = 0 1.1 = 1<br />
Dit veld wordt veel gebruikt in de informatica en computerwetenschappen of in de logica.<br />
Als 1 staat voor oneven en 0 voor even dan is voldaan aan de bovenstaande rekenregels<br />
voor een veld. Ga dat na.<br />
We kunnen de ”+” ook beschouwen als de exclusieve ”of” en ”.” als ”en”.<br />
Voor andere problemen hebben we nog andere velden nodig, of zou het gemakkelijker zijn<br />
een ander veld te kennen.<br />
Net zoals het voor sommige problemen interessant is om over oneindig doorlopende nietrepeterende<br />
decimale vormen te beschikken, is het voor andere problemen handig een<br />
vierkantswortel uit −1 te hebben. Bijvoorbeeld om aan de uitdrukking x 2 + 1 = 0 een<br />
zinnige betekenis te geven. Deze uitdrukking is syntactisch goed gevormd in de standaardtaal<br />
van de algebra, maar er voldoet klaarblijkelijk geen enkel standaardgetal aan.<br />
Wij hebben dus een ding nodig, dat vermenigvuldigd met zichzelf, −1 oplevert.<br />
We hebben gezien dat we de verzameling van de reële getallen op een georiënteerde rechte<br />
met oorsprong O kunnen afbeelden. Elk reëel getal correspondeert met een vector gerepresenteerd<br />
door het puntenkoppel met O als eerste punt en het beeld van het reëel getal<br />
als tweede punt. Vermenigvuldigen met −1 kan nu worden voorgesteld door een rotatie<br />
om O over 180 o van het genoemde puntenkoppel. Dit brengt ons op het idee een denkbeeldige<br />
eenheid i in te voeren, gedefinieerd door i 2 = −1, en vermenigvuldiging met i als<br />
een rotatie over 90 o te interpreteren (daar immers ’tweemaal vermenigvuldigen met i‘een<br />
rotatie over 180 o moet opleveren). Op die manier komen wij aan een lijn van denkbeeldige<br />
getallen (iy), producten van reële getallen y met i, die door O gaan en loodrecht op de<br />
rechte van de reële getallen staat. Zo kunnen we de punten van een vlak voorstellen door<br />
een denkbeeldige getallen van de vorm x+iy. In dit model kunnen wij ons er gemakkelijk<br />
van overtuigen dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van deze denkbeeldige<br />
getallen, die we complexe getallen zullen noemen, overeenstemt met het uitvoeren van<br />
welbekende operaties met vectoren en met lineaire afbeeldingen (rotaties). In volgende<br />
paragraaf zullen we op zoek gaan naar een goede wiskundige definitie om te komen tot<br />
een veld, dat bovendien het veld van de reële getallen omvat.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 29<br />
2.2 Het veld van de complexe getallen<br />
2.2.1 Homothetie en reëel getal<br />
We hebben gezien dat het vermenigvuldigen van een matrix met een scalaire matrix op<br />
hetzelfde neerkomt als het vermenigvuldigen van die matrix met een scalair.<br />
Beschouwen bvb. het product<br />
r 0<br />
0 r<br />
<br />
·<br />
a c e<br />
b d f<br />
<br />
=<br />
ra rc re<br />
rb rd rf<br />
<br />
= r ·<br />
a c e<br />
b d f<br />
In het vlak ΠO kiezen we een orthonormale basis (e1, e2) en beschouwen we een plaatsvector<br />
van een punt met coördinaat (x, y).<br />
<br />
x<br />
We laten de scalaire matrix inwerken op de kolommatrix waarvan de kolomvector<br />
y<br />
overeenstemt met de plaatsvector (x, y). Daartoe vermenigvuldigen we de kolommatrix<br />
links met de scalaire matrix.<br />
<br />
r 0 x rx<br />
. =<br />
0 r y ry<br />
Met de kolommatrix<br />
rx<br />
ry<br />
<br />
stemt de vector (rx, ry) overeen.<br />
De scalaire matrix zet (x, y) om in r(x, y).<br />
Merken we op dat de eerste kolomvector van de scalaire matrix overeenstemt met het<br />
beeld (r, 0) van (1, 0) en de tweede kolomvector met het beeld (0, r) van (0, 1).<br />
r 0<br />
De scalaire matrix beeldt (1, 0) af op (r, 0). Het koppel (r, 0) gelegen op de x-as<br />
0 r<br />
is de meetkundige voorstelling van het reëel getal r uit de scalaire matrix. Op die manier<br />
laten we de scalaire matrix overeenstemmen met het reëel getal r.<br />
Omgekeerd zal het punt (r, 0) van de x-as het reëel getal r voorstellen dat met een scalaire<br />
matrix overeenkomt. We noemen de x-as de reële getallenas.<br />
We kunnen gemakkelijk aantonen dat de verzameling van de scalaire matrices voor de<br />
optelling en de vermenigvuldiging een veld vormt.<br />
Het veld van de reële getallen kan volledig geïdentificeerd worden met het veld van de<br />
scalaire matrices (isomorfe velden: elementen en bewerkingen stemmen overeen).
30 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.2.2 Rotatie over 90 o en imaginair getal ı<br />
1. Rotatie<br />
We beschouwen de goniometrische cirkel. Als we de plaatsvector van het punt (1, 0)<br />
resp. de plaatsvector van het punt (0, 1) laten draaien over een hoek θ dan krijgen<br />
we de plaatsvector (cos θ, sin θ) resp. de plaatsvector (− sin θ, cos θ).<br />
We beschouwen de matrix cos θ − sin θ<br />
sin θ cos θ<br />
en laten hem inwerken op de kolommatrices<br />
product<br />
cos θ − sin θ<br />
sin θ cos θ<br />
<br />
·<br />
1 0<br />
0 1<br />
1<br />
0<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
en<br />
0<br />
1<br />
cos θ − sin θ<br />
sin θ cos θ<br />
(2.1)<br />
<br />
. Daartoe maken we het<br />
De matrix 2.1 zet (1, 0) resp. (0, 1) om in (cos θ, sin θ) resp. (− sin θ, cos θ).<br />
De matrix 2.1 stelt een rotatie voor over de hoek θ.<br />
2. Rotatie over 90 o en definitie van imaginair getal ı<br />
Als we de plaatsvector van het punt (1, 0) resp. de plaatsvector van het punt (0, 1)<br />
laten draaien over een hoek van 90 o dan krijgen we de plaatsvector (0, 1) resp. de<br />
plaatsvector (−1, 0).<br />
De matrix 0 −1<br />
1 0<br />
stelt de rotatie over 90 o voor en beeldt (1, 0) af op (0, 1). Het koppel (0, 1) is de<br />
meetkundige voorstelling van het zogenaamd imaginair getal ı.<br />
<br />
.<br />
<br />
.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 31<br />
2.2.3 Directe gelijkvormigheid en complex getal<br />
1. Samenstelling van rotatie en homothetie<br />
De samenstelling van een rotatie en een homothetie noemen we een directe gelijkvormigheid.<br />
We laten op een plaatsvector (x, y) een rotatie gevolgd door een<br />
homothetie inwerken.<br />
We verkrijgen het product<br />
r 0<br />
0 r<br />
<br />
·<br />
De matrix<br />
cos θ − sin θ<br />
sin θ cos θ<br />
<br />
·<br />
x<br />
y<br />
<br />
.<br />
=<br />
=<br />
r cos θ −r sin θ<br />
r sin θ r cos θ<br />
<br />
r 0 cos θ − sin θ<br />
<br />
·<br />
·<br />
0 r sin θ cos θ<br />
<br />
r cos θ −r sin θ x<br />
·<br />
r sin θ r cos θ y<br />
<br />
=<br />
a −b<br />
b a<br />
<br />
x<br />
y<br />
(2.2)<br />
stelt de samenstelling voor van een homothetie met centrum O (lineaire homothetie)<br />
en factor r en een rotatie om O (lineaire rotatie) over de hoek θ.<br />
2. Definitie van een complex getal<br />
We kijken met welk punt in het vlak de matrix 2.2 overeenkomt. Daartoe laten we<br />
de matrix inwerken op (1, 0).<br />
a −b<br />
b a<br />
<br />
·<br />
1<br />
0<br />
<br />
=<br />
We zien dat de matrix 2.2 (1, 0) omzet in (a, b) = (r cos α, r sin α). De matrix 2.2<br />
stelt het punt (a, b) voor in het vlak. We zouden aan dat punt (a, b) een getal willen<br />
hechten.<br />
We gaan de matrices van de gedaante 2.2 schrijven als de som van twee matrices<br />
(somontbinding) als volgt<br />
a −b<br />
b a<br />
<br />
=<br />
=<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
0<br />
a<br />
0<br />
<br />
0<br />
a<br />
<br />
0<br />
a<br />
+<br />
+<br />
<br />
0 −b<br />
<br />
b 0<br />
<br />
b 0<br />
0 b<br />
.<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
−1<br />
0<br />
↓ ↓ ↓<br />
a b ı<br />
<br />
<br />
(2.3)
32 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
We laten de matrix uit 2.3 overeenstemmen met het complex getal<br />
z = a + bi met a, b ∈ R<br />
in gewone schrijfwijze van het complex getal en<br />
z = r cos α + ir sin α = r(cos α + i sin α)<br />
in goniometrische schrijfwijze van het complex getal.<br />
3. Het complex getallenvlak van Gauss<br />
In het vlak wordt een complex getal a + ıb voorgesteld door het koppel (a, b). We<br />
noemen het vlak waar de complexe getallen worden voorgesteld, het complex<br />
getallenvlak van Gauss.<br />
4. Modulus en argument van een complex getal<br />
We noemen r de modulus van het complex getal en θ het argument van het<br />
complex getal, waarbij geldt<br />
Met symbolen :<br />
en<br />
r ≥ 0 ∧ 0 o ≤ θ < 360 o .<br />
r = |z|<br />
θ = arg(z).<br />
Met DERIVE vinden we modulus en argument met resp. |z| = abs(z) en arg(z) =<br />
phase(z) De verzameling van de complexe getallen stellen we voor door C.<br />
Opmerking: Het argument θ wordt ofwel uitgedrukt in graden ofwel in radialen.<br />
Werken we met de functie y = arctan x dan moeten we de hoeken uitdrukken in<br />
radialen.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 33<br />
5. Reëel gedeelte en imaginair gedeelte van een complex getal<br />
We noemen a het reëel gedeelte van het complex getal z en b het imaginair<br />
gedeelte van het complex getal z.<br />
a = Re(z) en b = Im(z). (2.4)<br />
De reële en imaginaire gedeelten van een complex getal zijn ook te bepalen met<br />
DERIVE met dezelfde notaties als in 2.4<br />
Bijzondere complexe getallen:<br />
* Is het imaginair gedeelte gelijk aan nul dan is het complex getal een reëel getal.<br />
x + 0i = x ∈ R<br />
De verzameling van de reële getallen is een deelverzameling van de verzameling<br />
van de complexe getallen.<br />
R ⊂ C.<br />
In het complex getallenvlak van Gauss worden de reële getallen voorgesteld op<br />
de x-as.<br />
– De positieve reële getallen hebben als argument 0.<br />
θ = 0<br />
is de vergelijking in poolcoördinaten van de positieve halve x-as (zie verder).<br />
– De negatieve reële getallen hebben als argument 180 o .<br />
θ = 180 o<br />
is de vergelijking in poolcoördinaten van de negatieve x-as.<br />
* Is het reëel gedeelte gelijk aan nul dan noemen we het complex getal bi een<br />
zuiver imaginair getal.<br />
In het complex getallenvlak van Gauss worden zuiver imaginaire getallen voorgesteld<br />
op de y-as.<br />
De zuiver imaginaire getallen hebben een argument 90 o en −90 o .<br />
–<br />
–<br />
θ = 90 0<br />
is de vergelijking in poolcoördinaten van de positieve y-as.<br />
θ = −90 0<br />
is de vergelijking in poolcoördinaten van de negatieve y-as.
34 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
6. Overgangsformules van goniometrische naar gewone schrijfwijze van een complex getal<br />
Voorbeelden:<br />
a = r cos θ<br />
b = r sin θ<br />
• Is |z| = 2 en arg(z) = 150o dan is het complex getal<br />
z = 2 cos 150 o + 2 sin 150 o √<br />
3<br />
i = 2(− ) + 2(1<br />
2 2 i) = i − √ 3.<br />
• Is |z| = 3<br />
4 en arg(z) = 210o dan is het complex getal (Vul zelf in).<br />
z = · · ·<br />
Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.<br />
• Is |z| = 1<br />
2 en arg(z) = −45o dan is het complex getal (Vul zelf in).<br />
z = · · ·<br />
Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.<br />
(2.5)
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 35<br />
7. Overgangsformules van gewone naar goniometrische schrijfwijze van een complex getal<br />
Uit het stelsel 2.5 kunnen we r berekenen in functie van a en b. Daartoe elimineren<br />
we θ. We kwadrateren in de twee vergelijkingen beide leden en tellen de bekomen<br />
vergelijkingen lid aan lid op.<br />
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = a 2 + b 2 ⇐⇒ r 2 = a 2 + b 2 .<br />
Uit het stelsel 2.5 kunnen we θ uitdrukken in functie van a en b. Daartoe elimineren<br />
we r. We delen beide vergelijking lid aan lid door elkaar.<br />
Uit tan θ = b<br />
a volgt θ = θ0(= arctan b<br />
de ligging van het punt (a, b) in het vlak.<br />
tan θ = b<br />
a .<br />
a ) of θ = θ0 + π(= arctan b<br />
a<br />
+ π) al naar gelang<br />
(a) θ = θ0(= arctan b ) als het punt (a, b) gelegen is in het eerste en vierde kwadrant<br />
a<br />
van het vlak.<br />
(b) θ = θ0 + π(= arctan b + π) als het punt (a, b) gelegen is in het tweede en derde<br />
a<br />
kwadrant van het vlak.<br />
Voorbeelden:<br />
• Voor het complex getal 1 + i geldt<br />
|1 + i| = √ 2 en arg(1 + i) = 45 o .<br />
De goniometrische schrijfwijze is<br />
1 + i = √ 2(cos 45 0 + i sin 45 o ).<br />
• Voor het complex getal −1 + i geldt<br />
| − 1 + i| = √ 2 en arg(−1 + i) = 135 o .<br />
De goniometrische schrijfwijze is<br />
−1 + i = √ 2(cos 135 0 + i sin 135 o ).<br />
• Voor het complex getal 3 − 4i geldt<br />
|3 − 4i| = · · ·<br />
en arg(3 − 4i) = · · ·<br />
De goniometrische schrijfwijze is<br />
3 − 4i = · · ·<br />
Vul zelf in. Maak een tekening.<br />
• Voor het complex getal −5 − 6i geldt<br />
| − 5 − 6i| = · · ·<br />
en arg(−5 − 6i) = · · ·<br />
De goniometrische schrijfwijze is<br />
−5 − 6i = · · ·<br />
Vul zelf in. Maak een tekening.
36 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
Figuur 2.1: Voorstelling van deze complexe getallen in getallenvlak van Gauss<br />
8. Gelijkheid van twee complexe getallen<br />
Uit de gelijkheid van matrices volgt de volgende stelling:<br />
STELLING 2.1 Twee complexe getallen zijn gelijk aan elkaar als de reële gedeelten<br />
gelijk zijn aan elkaar en de imaginaire gedeelten gelijk zijn aan elkaar.<br />
a + bi = c + di ⇐⇒ a = c ∧ b = d.<br />
Dit volgt uit de gelijkheid van de corresponderende matrices van die complexe getallen.<br />
Opmerking: Dit is zoals de gelijkheid van koppels.<br />
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 37<br />
2.2.4 Toegevoegd complexe getallen<br />
2.2.4.1 Definitie<br />
Een speciale transformatie van matrices is de permutatie die een vierkante matrix afbeeldt<br />
op zijn getransponeerde. We bepalen nu de getransponeerde matrix van de matrix die<br />
het complex getal a + ib bepaalt.<br />
a −b<br />
b a<br />
t<br />
=<br />
a b<br />
−b a<br />
<br />
−→ a − bi<br />
Een matrix transponeren betekent voor het corresponderend complex getal het imaginair<br />
gedeelte van teken veranderen. De operator “transponeren” bij matrices noemen we bij<br />
de complexe getallen “complex toevoegen”.<br />
Het toegevoegd complex getal van a + ib is het complex getal a − ib.<br />
We noteren<br />
a + bi = a − bi.<br />
2.2.4.2 Eigenschappen<br />
1. Het complex toegevoegde van een reëel getal is dat reëel getal zelf.<br />
Bewijs: Een reëel getal correspondeert met een scalaire matrix, die een symmetrische<br />
matrix is. De getransponeerde van een symmetrische matrix is gelijk aan de matrix<br />
zelf.<br />
¯z = z ⇐⇒ z ∈ R.<br />
2. Het complex toegevoegde van een zuiver imaginair getal is het tegengesteld complex<br />
getal dat tevens zuiver imaginair is.<br />
3. Toegevoegd complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de x-as. Toegevoegd complexe<br />
getallen bezitten tegengestelde argumenten en hebben dezelfde modulus.<br />
OPGAVEN — 48 Bepaal het complex getal waarvan het argument en de modulus hieronder gegeven<br />
staan. Bepaal tevens het toegevoegd complex getal en stel beide voor in het complex getallenvlak van<br />
Gauss.<br />
a. θ = 3π<br />
4 rad , r = √ 2 b. θ = 11π<br />
6 rad , r = −3 c. θ = −2π<br />
3 rad , r = 1<br />
d. θ = 7π<br />
6 rad , r = √ 3 e. θ = 7π<br />
4 rad , r = − 1 √ 2<br />
g. θ = −5π<br />
6 rad , r = − 1 √ 3<br />
h. θ = −π<br />
6 rad , r = −2 i. θ = 2π<br />
3<br />
f. θ = −5π<br />
3 rad , r = 4<br />
rad , r = 1<br />
2<br />
49 Bepaal de goniometrische schrijfwijze van de volgende complexe getallen. Bepaal tevens het toegevoegd<br />
complex getal en stel beide getallen voor in het complex getallenvlak van Gauss.<br />
a. 2 + 3i b. − √ 2 − √ 2i c. 2i d. −2 + 2 √ 3i<br />
e. 1 + √ 3i f. 13 + 5i g. 4 + 3i h. −0.8 + 0.6i
38 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
Oplossingen:<br />
49 a. 0, 98rad, √ 13; b. 5π/4rad, 2; c. π/2rad, 2; d. 2π/3rad, 4; e. π/3rad, 2; f. 0, 367rad, √ 194; g.<br />
0, 635rad, 5; h. 2, 40rad, 1;<br />
2.2.5 Poolcoördinaat van een punt in het vlak<br />
• Definitie<br />
Beschouwen we de goniometrische schrijfwijze van een complex getal x + iy =<br />
r(cos θ +i sin θ) dan komt met dat complex getal het koppel (r cos θ, r sin θ) overeen.<br />
De ligging van het punt P (x, y) in het complex getallenvlak wordt volledig bepaald<br />
door het argument θ en de modulus r.<br />
Het argument θ is de hoek die de vector OP (x, y) insluit met de positieve x-as (rotatiehoek).<br />
De modulus r is de norm (lengte) van de vector OP (x, y).<br />
We noemen het koppel (θ, r) een poolcoördinaat van het punt (x, y).<br />
Voor θ mogen we elk maatgetal van de georiënteerde hoek geven.<br />
Is een punt gegeven door middel van zijn poolcoördinaat dan kunnen we het punt<br />
voorstellen in het vlak als we beschikken over de oorsprong O, die we de pool noemen,<br />
en de positieve halve x-as, die we de poolas noemen. De y-as hoeft niet getekend<br />
te worden tenzij we een verband willen leggen met de cartesische coördinaat.<br />
Opmerking:<br />
– Een punt heeft oneindig veel poolcoördinaten.<br />
Bij de goniometrische schrijfwijze van een complex getal hebben we voor r de<br />
beperking gemaakt dat r ≥ 0. Voor de poolcoördinaat van een punt laten<br />
we ook negatieve waarden van r toe, maar dan moeten we de hoek θ daaraan<br />
aanpassen om hetzelfde punt te behouden.<br />
Voorbeeld: De koppels<br />
( π<br />
3<br />
, 2) (4π<br />
3<br />
, −2) (7π<br />
3<br />
, 2) (−5π<br />
3<br />
zijn verschillende poolcoördinaten van hetzelfde punt.<br />
, 2) (−2π , −2)<br />
3<br />
– Voor beschrijving van krommen in poolcoördinaten is het nodig dat we voor θ<br />
alle maatgetallen kunnen beschouwen uitgedrukt in radialen omdat ze aanleiding<br />
geven tot oneindig veel verschillende punten in het vlak bv. bij de vergelijking<br />
van een spiraal (zie later).<br />
• Enkele eenvoudige vergelijkingen in poolcoördinaten<br />
In poolcoördinaten kunnen we de volgende krommen eenvoudig schetsen:
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 39<br />
Figuur 2.2: r = θ, r = 2π<br />
θ<br />
en r = 10<br />
θ<br />
* De cirkel met middelpunt in de pool en straal R: r = R;<br />
* Een vectorrechte: θ = θ1 (als we ook negatieve modulussen toelaten);<br />
* Een spiraal van Archimedes: r = aθ met a ∈ R0;<br />
* Een hyperbolische spiraal: r = a<br />
θ<br />
met a ∈ R0.
40 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.2.6 De som van complexe getallen<br />
2.2.6.1 Definitie<br />
STELLING 2.2 De som van twee matrices, die elk corresponderen met een complex<br />
getal is de matrix van een complex getal.<br />
Bewijs: Inderdaad, de som<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
−b c<br />
+<br />
a d<br />
−d<br />
c<br />
<br />
=<br />
a + c −b − d<br />
b + d a + c<br />
<br />
=<br />
levert de matrix op van het complex getal (a + c) + i(b + d).<br />
a + c −(b + d)<br />
b + d a + c<br />
De som van twee complexe getallen is het complex getal dat we bekomen door reële<br />
gedeelten op te tellen en de imaginaire gedeelten op te tellen.<br />
Met symbolen: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i<br />
2.2.6.2 Eigenschappen van de som van complexe getallen<br />
1. De som van twee complexe getallen is weer een complex getal.<br />
2. De som van complexe getallen is associatief. Inderdaad, dit volgt uit het feit dat de<br />
som van matrices associatief is.<br />
3. Het neutraal element voor de optelling van matrices is de nulmatrix, die overeenkomt<br />
met het complex getal 0.<br />
4. De tegengestelde matrix van a −b<br />
b a<br />
is de matrix −a −(−b)<br />
−b −a<br />
Hieruit volgt dat de complexe getallen a + bi en −a − bi tegengestelde complexe<br />
getallen zijn.<br />
Tegengestelde complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de oorsprong.<br />
5. De som van matrices is commutatief voor de optelling. Daaruit volgt dat de som<br />
van complexe getallen ook commutatief is voor de som.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 41<br />
Uit deze vijf eigenschappen volgt:<br />
De structuur C, + is een commutatieve groep voor de optelling (additieve groep).<br />
Opmerking: Vanaf nu mogen we het (+) teken in de notatie van een complex getal a+bi<br />
als een somteken beschouwen. Het complex getal a + bi is de som van het reëel getal a en<br />
het zuiver imaginair getal bi.<br />
2.2.7 Verschil van twee complexe getallen<br />
Omdat elk complex getal een tegengesteld complex getal heeft kunnen we het verschil van<br />
twee complexe getallen definiëren.<br />
Het verschil van twee complexe getallen is gelijk aan de som van het eerste complex getal<br />
en het tegengestelde van het tweede complex getal.<br />
(a + bi) − (c + di) = (a + bi) + (−c − di) = a − c + (b − d)i.<br />
Opmerking: De som en het verschil van twee complexe getallen is zoals de som en<br />
het verschil van twee koppels. Ook het tegengestelde van een complex getal is zoals het<br />
tegengestelde van een koppel.<br />
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)<br />
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)<br />
−(a, b) = (−a, −b)<br />
Belangrijk gevolg: Omdat de som en verschil van complexe getallen overeenkomt met<br />
de som en verschil van de corresponderende koppels zijn we in de mogelijkheid de som<br />
en verschil van complexe getallen in het vlak uit te voeren zoals de som en verschil van<br />
vectoren.<br />
OPGAVEN — 50 Maak de som van de complexe getallen en construeer het allemaal in het complex<br />
getallenvlak van Gauss.<br />
a. 2 + 3i en −1 + 2i c. 1 + 3i en 1 − 3i e. √ 2 − i en √ 2 + 2i<br />
b. 5i en −5 d. 1 + i en i f. −4i en 2i<br />
51 Bepaal het tegengestelde complex getal van het complex getal z met arg(z) = θ en met |z| = r.<br />
a. θ = π<br />
4 rad , r = √ 2; b. θ = π rad , r = −3; c. θ = 2π<br />
3<br />
rad , r = −3.<br />
52 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen met<br />
argumenten resp. θ1 en θ2 en moduli resp. r1 en r2.
42 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
a. θ1 = 0 rad , r1 = 1; θ2 = π rad , r2 = 1 ;<br />
b. θ1 = − π<br />
3 rad , r1 = 4; θ2 = − π<br />
6 rad , r2 = −2;<br />
c. θ1 = 11π<br />
4 rad , r1 = √ 2; θ2 = 5π<br />
4 rad , r2 = 1<br />
3 ;<br />
53 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen<br />
controleer op een tekening.<br />
a. 1 + √ 3i en −3 − 3i; b. −4 en −1 + √ 3i; c. 1 − √ 3i en 2 − 2i.<br />
Oplossingen:<br />
50 a. 1 + 5i; c. 2; e. 2 √ 2 + i; b. −5 + 5i; d. 1 + 2i; f. −2i.<br />
51 a. (−1, −1); b. (−3, 0); c. (−3/2, 3 √ 3/2); d. (−5, −3); e. ( √ 3, √ 3); f. (0, 3/2)<br />
52 a. r = 0; b. (2 − √ 3, 1 − 2 √ 3), (2, 47; −83, 79 0 ); c. (−1 − √ 2/6, 1 − √ 2/6), (1, 45; 148, 26 0 )<br />
53 a. ( 16 − 6 √ 3, 212 o 22 ′ 25 ′′ ) = (2, 36; 212 o 22 ′ 25 ′′ ); b. ( √ 28, 160 o 53 ′ 36 ′′ ) = (5, 29; 160, 89 o ); c. (4, 78; −51 o 12 ′ 21 ′′ )<br />
2.2.8 Afstand tussen twee complexe getallen<br />
De afstand tussen twee complexe getallen z1 en z2 is<br />
|z1 − z2|.<br />
1. Met de gewone schrijfwijze.<br />
Is z1 = x1 + iy1 en z2 = x2 + iy2 dan is<br />
en daaruit volgt<br />
z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2)<br />
|z1 − z2| = (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2<br />
Dit is de uitdrukking voor de afstand tussen de punten (x1, y1) en (x2, y2).<br />
2. Met de goniometrische schrijfwijze.<br />
Is z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) en z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) dan kunnen we de afstand<br />
tussen de twee beeldpunten P1 en P2 van deze complexe getallen berekenen door te<br />
steunen op de cosinusregel in de driehoek OP1P2.<br />
|P1P2| 2 = |OP1| 2 + |OP2| 2 − 2|OP1|.|OP2|. cos(θ1 − θ2)<br />
|z1 − z2| =<br />
<br />
r 2 1 + r 2 2 − 2r1r2 cos(θ2 − θ1). (2.6)<br />
OPGAVEN — 54 Bereken de afstand tussen de complexe getallen van opgave 50.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 43<br />
GON-CO HUISTAAK 5 1. Gegeven zijn de complexe getallen<br />
z1 = −2 + i en z2 = 3i − 4.<br />
(a) Stel z1 en z2 voor in het complexe getallenvlak van Gauss;<br />
(b) Bepaal de modulus en het argument van beide complexe getallen;<br />
(c) Construeer z = z1 + z2 en bereken z;<br />
(d) Bepaal modulus en argument van z en geef de goniometrische schrijfwijze van<br />
z;<br />
(e) Bereken de afstand tusen z1 en z2.<br />
2. Los de volgende vergelijking op naar z:<br />
z + 3z = (2 + i √ 3)|z|.<br />
Stel de oplossingen voor in het complex getallenvlak van Gauss.
44 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.2.9 Het product van complexe getallen<br />
2.2.9.1 Definitie<br />
STELLING 2.3 Het product van twee matrices die elk corresponderen met een complex<br />
getal is de matrix van een complex getal.<br />
Bewijs: Inderdaad, het product<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
−b c<br />
.<br />
a d<br />
<br />
−d ac − bd<br />
=<br />
c ad + bc<br />
−ad − bc<br />
ac − bd<br />
levert terug een matrix op van een complex getal.<br />
<br />
=<br />
ac − bd −(ad + bc)<br />
ad + bc ac − bd<br />
Het product van twee complexe getallen wordt als volgt gedefiniëerd:<br />
Bijzonder geval:<br />
(a + bi).(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i<br />
i 2 = −1<br />
We kunnen dit ook berekenen via matrices.<br />
<br />
0<br />
1<br />
2 <br />
−1 0<br />
=<br />
0 1<br />
<br />
−1 0<br />
·<br />
0 1<br />
−1<br />
0<br />
Hieruit volgt dat i 2 = −1.<br />
<br />
=<br />
−1 0<br />
0 −1<br />
2.2.9.2 Argument en modulus van het product van twee complexe getallen<br />
Het product van twee complexe getallen in goniometrische gedaante is<br />
r1(cos θ1 + i sin θ1).r2(cos θ2 + i sin θ2) =<br />
= r1r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)]<br />
<br />
.<br />
<br />
(2.7)<br />
= r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)) (2.8)<br />
Uit de formule 2.8 volgt de stelling
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 45<br />
STELLING 2.4 1. De modulus van het product van twee complexe getallen is gelijk<br />
aan het product van de moduli.<br />
2. Het argument van het product van twee complexe getallen is gelijk aan de som van<br />
de argumenten.<br />
Met symbolen :<br />
|z1 · z2| = |z1| · |z2|<br />
arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2).<br />
Uit het feit dat bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen de argumenten<br />
worden opgeteld, volgt de stelling:<br />
STELLING 2.5 Als een complex getal z vermenigvuldigd wordt met een complex getal<br />
met argument θ1 en modulus r1 dan wordt in het vlak de plaatsvector van z gedraaid over<br />
de hoek θ1 en vermenigvuldigd met r1.<br />
Opmerkingen:<br />
• Zoals een homothetie gemakkelijk kan beschreven worden door met een reëel getal<br />
te vermenigvuldigen zo kan een rotatie over een hoek θ zeer gemakkelijk beschreven<br />
worden door te vermenigvuldigen met een complex getal waarvan het argument<br />
gelijk is aan θ en de modulus gelijk is aan 1. Het beeld onder een rotatie met hoek<br />
θ van een complex getal z is het complex getal<br />
z.(cos θ + i sin θ)<br />
In het bijzonder betekent vermenigvuldigen met i een rotatie uitvoeren over 90o want<br />
i = cos π π<br />
+ i sin<br />
2 2<br />
Het beeld van (x, y) onder een rotatie over 90o is (−y, x) want<br />
(x + iy).i = −y + ix<br />
• Door middel van het product van complexe getallen zouden we een product van<br />
koppels kunnen definiëren.<br />
• De scalaire vermenigvuldiging van koppels betekent voor de complexe getallen een<br />
speciaal geval van product van complexe getallen, nl. van een reëel getal en een<br />
complex getal.
46 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
• Het product van twee complexe getallen komt niet overeen met het scalair product<br />
van twee vectoren. Het scalair product van twee vectoren is een reëel getal, terwijl<br />
het product van twee complexe getallen weer een complex getal is. Beschouwen we<br />
twee vectoren v1(θ1, r1) en v2(θ2, r2) dan is het scalair product:<br />
v1.v2 = r1 cos θ1.r2 cos θ2 + r1 sin θ1.r2 sin θ2<br />
= r1r2(cos θ1. cos θ2 + sin θ1. sin θ2)<br />
= r1r2 cos(θ1 − θ2).<br />
OPGAVEN — 55 Bepaal het beeld van de volgende complexe getallen voor een lineaire rotatie over<br />
θ.<br />
a. − 2 θ = 60 o b. 1 + i θ = −60 o c. 2 + 3i θ = 60 o<br />
d. − 2 + 5i θ = 120 o e. 3i θ = 330 o f. − i − 2 θ = 240 o<br />
56 Teken de volgende complexe getallen als het punt P het complex getal z voorstelt en z modulus 1<br />
heeft.<br />
a. − 3iz b. (i − 1)z c. (3i + 2)z<br />
d. i + 2z e. (z − 2)(i − 1) f. (1 + i)z − 1 − 2i<br />
2.2.9.3 Eigenschappen van het product van complexe getallen<br />
1. Het product van twee complexe getallen is weer een complex getal.<br />
2. Het product van complexe getallen is associatief. Dit volgt uit het feit dat het<br />
product van matrices associatief is.<br />
3. Het neutraal element voor de vermenigvuldiging is het getal 1 dat correspondeert<br />
met de eenheidsmatrix die neutraal element is voor de vermenigvuldiging van matrices.<br />
4. Voor de inverse matrix A −1 van een matrix A geldt<br />
A −1 · A = I<br />
als hij bestaat. De voorwaarde daartoe is dat rangA = 2. Deze voorwaarde is<br />
vervuld als (a, b) = (0, 0). Het corresponderend complex getal is dan verschillend<br />
van nul.<br />
De inverse matrix van de (niet-singuliere) matrix<br />
a −b<br />
b a<br />
<br />
waarvoor (a, b) = (0, 0)
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 47<br />
is de matrix<br />
1<br />
a2 + b2 <br />
a b<br />
−b a<br />
Hieruit volgt de stelling<br />
<br />
=<br />
1<br />
a2 + b2 <br />
a −(−b)<br />
−b a<br />
<br />
−→<br />
1<br />
a2 (a − bi) (2.9)<br />
+ b2 STELLING 2.6 Het omgekeerde van een complex getal verschillend van nul is het<br />
toegevoegd complex getal gedeeld door de het kwadraat van de modulus.<br />
Met symbolen:<br />
z −1 = z<br />
=<br />
|z| 2<br />
1<br />
a2 (a − bi).<br />
+ b2 Als we het omgekeerd complex getal nemen van een complex getal in goniometrische<br />
gedaante dan verkrijgen we:<br />
1<br />
1<br />
(r cos θ − ir sin θ) = (cos(−θ) + i sin(−θ))<br />
r2 r<br />
1<br />
r(cos θ + i sin θ)<br />
Hieruit besluiten we de stelling<br />
1<br />
<br />
= cos(−θ) + i sin(−θ) .<br />
r<br />
STELLING 2.7 Het omgekeerd complex getal van het complex getal (= 0) met<br />
modulus r en argument θ is het complex getal met modulus 1/r en argument −θ.<br />
met symbolen:<br />
| z −1 |=| z | −1<br />
arg(z −1 ) = −arg(z).<br />
5. Het is gemakkelijk aan te tonen dat het product van matrices behorende bij complexe<br />
getallen commutatief is. Hieruit volgt dat het product van complexe getallen ook<br />
commutatief is.<br />
Uit deze vijf eigenschappen van het product volgt:<br />
De structuur C0, . is een commutatieve groep voor de vermenigvuldiging (multiplicatieve<br />
commutatieve groep).<br />
Voor de optelling en de vermenigvuldiging van complexe getallen geldt de distributieve<br />
eigenschap. Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat de optelling en de vermenigvuldiging<br />
van matrices distributief is.<br />
We besluiten:<br />
De structuur C, +, . is een veld, waarvan het veld R, +, . een deelveld is.
48 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.2.10 Het quotiënt van twee complexe getallen<br />
Vermits elk complex getal verschillend van nul een omgekeerde heeft voor het product<br />
kunnen we het quotiënt definiëren van twee complexe getallen. Het quotiënt van twee<br />
complexe getallen is het product van het eerste getal en het omgekeerde van het tweede<br />
complex getal. Vermits het product van complexe getallen commutatief is kunnen we het<br />
quotiënt als volgt schrijven<br />
1<br />
(a + bi)<br />
c + di<br />
1<br />
a + bi<br />
= (a + bi) =<br />
c + di c + di<br />
We kunnen dit quotiënt in de gedaante x + iy brengen.<br />
1. Met cartesische coördinaten<br />
a+bi<br />
c+id<br />
c−di<br />
= (a + bi) c2 +d2 = (a+bi)(c−di)<br />
c2 +d2 = ac+bd+i(bc−ad)<br />
c2 +d2 2. Met goniometrische schrijfwijze<br />
Voor het quotiënt van twee complexe getallen in goniometrische gedaante geldt:<br />
r1(cos θ1 + i sin θ1)<br />
r2(cos θ2 + i sin θ2) = r1(cos<br />
1<br />
θ1 + i sin θ1)<br />
r2(cos θ2 + i sin θ2)<br />
= r1(cos θ1 + i sin θ1) 1 <br />
cos(−θ2) + i sin(−θ2) <br />
Uit 2.10 volgt de stelling:<br />
r2<br />
= r1 <br />
cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2) . (2.10)<br />
r2<br />
STELLING 2.8 (a) De modulus van het quotiënt van twee complexe getallen is<br />
gelijk aan het quotiënt van de moduli.<br />
(b) Het argument van het quotiënt van twee complexe getallen is gelijk aan de<br />
verschil de argumenten.<br />
Met symbolen : <br />
arg z1<br />
z2<br />
z1<br />
z2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= |z1|<br />
|z2|<br />
= arg(z1) − arg(z2).
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 49<br />
2.2.11 Praktisch rekenwerk in het veld van de complexe getallen<br />
We hoeven geen formules van buiten te leren om het product van twee complexe getallen<br />
uit te voeren of om het omgekeerd complex getal te bepalen.<br />
* We kunnen het product van twee complexe getallen berekenen door gebruik te maken<br />
van de distributieve eigenschap geldig in het veld van de complexe getallen.<br />
(a + bi).(c + di) = ac + (ad + bc)i + bdi 2 = ac − bd + (ad + bc)i.<br />
* Vermits het product van complexe getallen commutatief is mogen we het omgekeerde<br />
voor het product van het complex getal a + ib als volgt noteren<br />
1<br />
a + bi<br />
We kunnen dat complex getal ook rechtstreeks bepalen door de deling uit te voeren.<br />
Om de deling uit te voeren moeten we een trucje toepassen. In feite is i 2 = −1, dus<br />
symbolisch kunnen we i = √ −1 zetten en dan passen we de regel toe om een wortel<br />
uit de noemer te verdrijven door te vermenigvuldigen met de toegevoegde term. Dit<br />
komt er dus op neer teller en de noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegd<br />
complex getal.<br />
1<br />
a+bi = ( 1<br />
a+b √ −1 )<br />
a−b<br />
= (<br />
√ −1<br />
(a+b √ −1)(a−b √ −1) )<br />
a−bi = (a+bi)(a−bi)<br />
= a−bi<br />
a2 +b2 =<br />
a<br />
a2 +b2 − b<br />
a2 +b2 i<br />
OPGAVEN — 57 Bepaal het complex getal dat gelijk is aan het product en het quotiënt zijn van twee<br />
complexe getallen behorende bij de matrices.<br />
a. 1 + √ 3i en −3 − 3i; b. −4i en −1 + √ 3i; c. 1 − √ 3i en 2 − 2i.<br />
58 Bepaal het complex getal dat gelijk is aan het product en het quotiënt zijn van de twee complexe<br />
getallen met argumenten resp. θ1 en θ2 en moduli resp. r1 en r2.<br />
a. θ1 = 0 rad , r1 = 1; θ2 = π rad , r2 = 1;<br />
b. θ1 = − π<br />
3 rad , r1 = 4; θ2 = − π<br />
6 rad , r2 = −2;<br />
c. θ1 = 11π<br />
4 rad , r1 = √ 2; θ2 = 5π<br />
4 rad , r2 = 1<br />
3 ;<br />
59 Bepaal modulus en argument van de twee complexe getallen alsook hun product en quotiënt. Controleer<br />
de formules van de stellingen 2.4 en 2.8.
50 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
a. 2 + 3i, −1 + 2i;<br />
b. 1 + 3i, 1 − 3i;<br />
c. √ 2 − i, √ 2 + 2i.<br />
60 Construeer het product en het quotiënt van de volgende complexe getallen (moduli mogen berekend<br />
worden) en controleer door berekening.<br />
a. 1 + i, i − √ 3;<br />
d. −6 + 8i, 2 + i;<br />
e. 3 − 4i, 1 + √ 3i;<br />
f. 1 + i, i;<br />
g. 5i, −5.<br />
61 Bepaal het product en het quotiënt van de volgende complexe getallen en stel het allemaal voor in<br />
het complex getallenvlak van Gauss met passer en geodriehoek.<br />
a. 2(cos 60 o + i sin 60 o ), − cos 20 o − i sin 20 o ;<br />
b. √ 2(cos 135 o + i sin 135 o ), − cos(−50 o ) + i sin 50 o ;<br />
c. cos 200 o + i sin 200 o , 8(cos(−20 o ) − i sin 20 o );<br />
d. 2(cos 75 o + i sin 105 o ), 1<br />
2 (− cos 15o + i sin 15 o );<br />
e. −3(cos(−90 o ) + i sin 90 o ), 2<br />
3 (cos 12o + i sin 12 o );<br />
f. √ 2(cos 45 o + i sin 315 o ), √ 2(cos 15 o − i sin 15 o );<br />
62 Bereken de volgende quotiënten op twee manieren (met cart. en poolcoörd.).<br />
a. 1+i<br />
1−i b. √ 3+i<br />
1+ √ 3i<br />
d. 5<br />
2−i<br />
e. 11−3i<br />
5+7i<br />
63 Wanneer is het quotiënt van twee complexe getallen<br />
(i) reëel;<br />
(ii) zuiver imaginair.<br />
64 Los de volgende matriciële vergelijking op naar X:<br />
2 − i 1<br />
2 4<br />
<br />
1 + i 1<br />
− X<br />
3 1 − i<br />
t −i 3<br />
−2i 1<br />
c. 4−6i<br />
√ 2+ √ 2i<br />
−1 =<br />
4 4<br />
3 0
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 51<br />
65 * Zijn u, v ∈ C met reëel gedeelte negatief (Re(u) < 0, Re(v) < 0), dan geldt<br />
Bewijs dat.<br />
Oplossingen:<br />
| v − u<br />
| < 1.<br />
v + ū<br />
57 a. 6 √ 2(cos 75 o − i sin 75 o ), √ 2<br />
3 (cos 195o + i sin 195 o ); b. 8(cos π/3 − i sin π/3); c. 4 √ 2(cos 105 o −<br />
i sin 105 o );<br />
GON-CO HUISTAAK 6 Gegeven zijn de complex getallen z1 met modulus 1 en<br />
argument θ en z2 = 4i − 3. Gevraagd:<br />
1. Kies een beeldpunt voor z1 in het complex getallenvlak van Gauss. Neem geen<br />
speciale waarde voor het argument van z1.<br />
2. Construeer z1 · z2;<br />
3. Teken 2z1 en 1 + z 2 1;<br />
4. Leid uit de tekening af waarom 2z1<br />
1+z 2 1<br />
5. Toon aan dat het reëel gedeelte van 1<br />
1+z1<br />
van dat reëel gedeelte.<br />
PROEFHERHALINGSTOETS<br />
een reëel getal is;<br />
Gegeven zijn de complexe getallen z1 = 1+i<br />
1−i en z2 = √ 2<br />
Gevraagd:<br />
1. modulus en argument van z1 en z2;<br />
onafhankelijk is van θ. Welke is de waarde<br />
1−i .<br />
2. de voorstelling van z1 en z2 in het complex getallenvlak van Gauss;<br />
3. construeer z = z1 + z2 en leid uit de figuur af welk complex getal z is in de gedaante<br />
a + ib. Geef tevens modulus en argument van z;<br />
4. leid uit de tekening de waarde af van tan 3π.<br />
Verifieer deze waarde op de tangensas.<br />
8
52 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.3 Stellingen i.v.m. complexe toevoeging<br />
STELLING 2.9 De complexe toevoeging is een permutatie in de verzameling van de<br />
complexe getallen die de som in een som omzet en een product in een product.<br />
We noemen de complexe toevoeging daarom een automorfisme van C (isomorfisme in<br />
één verzameling).<br />
Bewijs: Voor het transponeren van matrices gelden de eigenschappen:<br />
en<br />
(A + B) t = A t + B t<br />
(A.B) t = B t .A t<br />
(2.11)<br />
(2.12)<br />
De eigenschappen 2.11 en 2.12 gelden ook voor de complexe toevoeging van complexe<br />
getallen.<br />
z1 + z2 = z1 + z2<br />
z1.z2 = z2.z1 = z1.z2.<br />
We formuleren deze eigenschappen ook met woorden:<br />
Het complex toegevoegde van de som van twee complexe getallen is gelijk aan de som van<br />
de complex toegevoegden van de twee complexe getallen.<br />
Het complex toegevoegde van het product van twee complexe getallen is gelijk aan het<br />
product van de complex toegevoegden van de twee complexe getallen.<br />
STELLING 2.10 Het product van een complex getal en zijn toegevoegd complex getal is<br />
reëel.<br />
Bewijs: Het product van een matrix en zijn getransponeerde is een symmetrische matrix.<br />
Inderdaad,<br />
(A.A t ) t = (A t ) t .A t = A.A t<br />
Is de matrix van een complex getal symmetrisch dan is die matrix een scalaire matrix.<br />
Inderdaad,<br />
<br />
a<br />
<br />
−b<br />
b a<br />
is symmetrisch als b = −b. Als een reëel getal gelijk is aan zijn tegengestelde dan is het<br />
gelijk aan nul.
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL 53<br />
Voor complexe getallen betekent dit dat het product van een complex getal met zijn<br />
toegevoegde een reëel getal is. We kunnen dit ook gemakkelijk inzien als we het product<br />
uitvoeren van een complex getal en zijn toegevoegd complex getal.<br />
z.¯z = (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2 ∈ R +<br />
Als toepassing hiervan kunnen we het omgekeerde complex getal bepalen.<br />
1<br />
z<br />
= ¯z<br />
z.¯z<br />
a − bi<br />
=<br />
a2 .<br />
+ b2 STELLING 2.11 De som van twee toegevoegd complexe getallen is een reëel getal.<br />
Bewijs:<br />
OPGAVEN — 66 Toon aan dat de vergelijking<br />
z + ¯z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ∈ R.<br />
(z − m)(¯z − m) = R 2<br />
de vergelijking voorstelt van een cirkel straal R en met m het complex getal dat het middelpunt M<br />
aanduidt (m ∈ C, R ∈ R + ).<br />
67 Teken de beeldpunten van de volgende complexe getallen als P het beeldpunt is van het complex<br />
getal z met modulus gelijk aan 1.<br />
a. ¯z b. z.¯z c. i.z<br />
d. z 2 .¯z e. z.¯z 2 f. (1 − 2i)¯z<br />
g. z + ¯z h. 2z − 2¯z i. ¯z − (1 + i).z<br />
2.4 Machten van een complex getal<br />
2.4.1 De formule van de Moivre voor gehele exponenten<br />
STELLING 2.12<br />
∀n ∈ N : (r cos θ + ir sin θ) n = r n (cos nθ + i sin nθ)<br />
We tonen deze formule aan met een bewijs door volledige inductie. Zo een bewijs bestaat<br />
uit twee delen:
54 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
• We tonen aan dat de formule geldig is voor n = 1. Inderdaad, stellen we in de<br />
formule n = 1 dan is de formule geldig:<br />
(r cos θ + ir sin θ) 1 = r 1 (cos 1.θ + i sin 1.θ)<br />
• We tonen aan dat als de formule geldig is voor n ze ook geldig is voor n + 1.<br />
Gegeven: (r cos θ + ir sin θ) n = r n (cos nθ + i sin nθ)<br />
Te bewijzen: (r cos θ + ir sin θ) n+1 = r n+1 cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ <br />
Bewijs: We vertrekken van het eerste lid en proberen het tweede lid te bekomen.<br />
STELLING 2.13<br />
(r cos θ + ir sin θ) n+1 = (r cos θ + ir sin θ).(r cos θ + ir sin θ) n<br />
geg.<br />
= (r cos θ + ir sin θ).r n .(cos nθ + i sin nθ)<br />
prod. inC<br />
= r.r n cos(θ + nθ) + i sin(θ + nθ) <br />
= r n+1 cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ <br />
∀n ∈ N : (r cos θ + ir sin θ) −n = r −n cos(−nθ) + i sin(−nθ) <br />
Bewijs: We vertrekken van het eerste lid en proberen het tweede lid te bekomen.<br />
(r cos θ + ir sin θ) −n = (r cos θ + ir sin θ) −1 n<br />
=<br />
Uit de stellingen 2.12 en 2.13 volgt<br />
<br />
r −1 cos(−θ) + i sin(−θ) n<br />
(def. v. neg. macht)<br />
(omgek. v.e. compl. get.)<br />
= (r −1 ) n cos(−nθ) + i sin(−nθ) (voorgaande stelling)<br />
= r −n cos(−nθ) + i sin(−nθ) <br />
∀z ∈ Z : (r cos θ + ir sin θ) z = r z (cos zθ + i sin zθ)<br />
Dit is de formule van de Moivre voor gehele exponenten.<br />
Deze formule geeft ons een eenvoudige methode ter hand om een complex getal tot gelijk<br />
welke gehele macht te verheffen. We moeten eerste het complex getal in goniometrische<br />
gedaante brengen.<br />
Voorbeelden:<br />
• (1 + i) 6 = ( √ 2) 6 (cos 45 o + i sin 45 o ) 6 = 8(cos 270 o + i sin 270 o ) = −8i.
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL 55<br />
•<br />
(4 + 3i) −5 = (5(cos(36o52 ′ 11, 63 ′′ ) + i sin(36o52 ′ 11, 63 ′′ ))) −5<br />
= 1<br />
3125 (cos(184o20 ′ 58, 15 ′′ ) − i sin(184o20 ′ 58, 15 ′′ =<br />
))<br />
10−5 (−31, 9 + 2, 4i)<br />
OPGAVEN — 68 Bereken<br />
a. (i − 1) 10 b. (− √ 3<br />
3 − i)8 c. ( √ 6 + i √ 2) 12<br />
d. ( √ 5+i √ 15<br />
5 ) 6 e. ( 1−i<br />
2 )−8 f. ( 1 √ 6 − i<br />
√ 2 ) 8<br />
g. (− √ 2 − i √ 6) −7 h. ( i−√ 3<br />
2 ) −13 i. ( 2<br />
3 i)−6<br />
69 Bereken op zo eenvoudig mogelijke manier zonder computer<br />
1. 1+i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5<br />
1+i<br />
70 Bewijs met de formule van de Moivre voor n ∈ Z dat<br />
z n = ¯z n .<br />
2.<br />
√<br />
3−i<br />
1− √ 10 3i<br />
71 Gegeven is het complex getal z met modulus 1 en argument θ. Bepaal de modulus en het argument<br />
van<br />
a. z 3 − z b. z 5 + z c. z 4 + z 2<br />
d. z + 1<br />
z<br />
e. z n + 1<br />
z n<br />
72 Twee complexe getallen z1 en z2 zijn wortels van de vergelijking<br />
(i) Bepaal z1 en z2;<br />
3z.¯z + 2(z − ¯z) = 12 + 4i.<br />
f. z n − ¯z<br />
(ii) In het complex getallenvlak van Gauss zijn P en Q de beeldpunten van resp. z1 en z2. We noemen<br />
R het beeldpunt van het complex getal (1 + √ 3)i. Toon aan dat de hoek P ∧<br />
R Q recht is;<br />
(iii) Druk z 20<br />
1 en z 20<br />
2 uit in de gedaante a + ib.<br />
73 Druk (1+i√ 3) 13<br />
( √ 3−i) 8<br />
uit in de vorm p + iq met p, q ∈ R.<br />
74 Als z = cos θ + i sin θ, bewijs dan dat voor n ∈ N,<br />
75 * Bereken:<br />
( −1 + i√ 3<br />
2<br />
z n + z −n = 2 cos(nθ);<br />
z n − z −n = 2i sin(nθ).<br />
) 3m+2 + ( −1 − i√3 )<br />
2<br />
3m+2 met m ∈ Z
56 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
Oplossingen:<br />
68: a. −32i; b. 128/81(1 + i √ 3); c. 8 6 ; d. 64/125; e. 16; f. −8/81(1 + i √ 3); g. 2 −11,5 (−1 + i √ 3); h.<br />
−1/2(i + √ 3); i. −729/64; 72: (i) i ± √ 3; (iii) 2 19 (−1 + i √ 3), −2 19 (1 + i √ 3).<br />
GON-CO HUISTAAK 7 1. Bereken op zo een eenvoudig mogelijke manier zonder<br />
computer:<br />
1. ( i<br />
1+i<br />
+ 1<br />
i<br />
+ 2<br />
i−1 )2 3.<br />
(1+i) 7 +(1−i) 7<br />
2<br />
2. i −1 + i −57 + i 32 + i −11 4. (7 + i)(1 + 2i)(7 − i)(1 − 2i)<br />
2.4.2 Binomiaalvergelijkingen<br />
Een binomiaalvergelijking is een vergelijking van de gedaante<br />
We drukken z en − b<br />
a<br />
az n + b = 0, met a ∈ C0, b ∈ C.<br />
⇕<br />
z n = − b<br />
a met a ∈ C0, b ∈ C. (2.13)<br />
uit in goniometrische gedaante:<br />
z = r(cos θ + i sin θ) en − b<br />
a = r1(cos(θ1 + k · 360 o ) + i sin(θ1 + k · 360 o ))<br />
De vergelijking 2.13 wordt van de gedaante:<br />
r(cos θ + i sin θ) n = r1(cos(θ1 + k · 360 o ) + i sin(θ1 + k · 360 o ))<br />
⇕ Form. v.de Moivre<br />
r n (cos nθ + i sin nθ) = r1(cos(θ1 + k · 360 o ) + i sin(θ1 + k · 360 o ))<br />
Hieruit volgt wegens de gelijkheid van complexe getallen dat<br />
<br />
n r = r1<br />
nθ = θ1 + k · 360o <br />
r = n<br />
⇐⇒<br />
√ r1<br />
θ = θ1 360o + k · n n<br />
Omdat een georiënteerde hoek juist n verschillende n-de delen heeft<br />
(voor k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}) krijgen we voor z juist n mogelijkheden die vervat zijn in de<br />
volgende formule:<br />
z = r(cos θ + i sin θ) = n√ r1<br />
<br />
cos( θ1<br />
n<br />
360o<br />
360o<br />
+ k · ) + i sin(θ1 + k ·<br />
n n n )
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL 57<br />
De oplossingen van de binomiaalvergelijking zn = − b zijn de n n-de machtswortels uit<br />
a<br />
het complex getal − b<br />
a .<br />
We kunnen de n n-de machtswortels uit een complex getal r(cos θ + i sin θ) als volgt<br />
noteren: r(cos θ + i sin θ) 1<br />
n<br />
1<br />
n n r(cos θ + i sin θ) = √ r(cos θ θ<br />
+ i sin<br />
n n )<br />
Op die manier hebben we de formule van de Moivre uitgebreid voor rationale exponenten.<br />
De formule van de Moivre voor rationale exponenten is<br />
∀q ∈ Q : (r cos θ + ir sin θ) q = r q (cos qθ + i sin qθ)<br />
I.v.m. de voorstelling in het complex getallenvlak van Gauss van de wortels uit een complex<br />
getal kunnen we de volgende stelling formuleren:<br />
STELLING 2.14 Een complex getal heeft juist n verschillende n-de machtswortels. De<br />
beeldpunten van die wortels vormen een regelmatige veelhoek beschreven in een cirkel met<br />
straal gelijk aan de reële n-de machtswortel uit de modulus.<br />
Bijzonder geval: Elk complex getal heeft juist twee tegengestelde vierkantswortels.<br />
Voorbeelden:<br />
• z 2 = −1 + √ 3i<br />
z 2 = −1 + √ 3i ⇐⇒ z 2 = 2 cos(120 o + k.360 o ) + i sin(120 o + k.360 o ) <br />
⇐⇒ z = √ 2(cos 120o +k.360 o<br />
2<br />
+ i sin 120o +k.360o )) 2<br />
⇐⇒ z = √ 2 cos(60 o + k.180 o ) + i sin(60 o + k.180 o )<br />
De twee vierkantswortels uit −1 + √ 3 zijn de waarden van z voor de opeenvolgende<br />
waarden k = 0 en k = 1 corresponderend met de twee helften van de georiënteerde<br />
hoek 120o .<br />
√<br />
2<br />
z1 =<br />
2 (1 + i√ √<br />
2<br />
3), z2 = −<br />
2 (1 + i√3). Het is soms mogelijk de twee wortels uit een complex getal op andere wijze te vinden.<br />
We proberen het complex getal te schrijven als een volkomen kwadraat. We passen<br />
dit toe op het vorig voorbeeld.<br />
−1 + √ 3i = 1<br />
2 (−2 + 2√3i) = 1<br />
2 (1 + 2√3i − 3)<br />
= 1<br />
2 (1 + 2√3i + ( √ 3i) 2 ) = 1<br />
2 (1 + √ 3i) 2
58 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
• z 3 + 8 = 0<br />
z 3 = −8 ⇐⇒ z 3 = 8(cos(180 o + k.360 o ) + i sin(180 o + k.360 o ))<br />
⇐⇒ z = 2(cos 180o +k.360o + i sin 3<br />
180o +k.360o ) 3<br />
⇐⇒ z = 2(cos(60o + k.120o ) + i sin(60o + k.120o ))<br />
De drie derde machtswortels uit −8 zijn de waarden van z voor de opeenvolgende<br />
waarden k = 0, k = 1 en k = 2 corresponderend met de drie derde delen van de<br />
georiënteerde hoek 180 o .<br />
z0 = 1 + i √ 3, z1 = −2, z2 = 1 − i √ 3.<br />
Merk op dat deze binomiaalvergelijking één reële en twee toegevoegd complexe oplossingen<br />
bezit. Een reëel getal heeft juist drie derde machtswortels, één reële en<br />
twee toegevoegd complexe derdemachtswortels.<br />
We kunnen de veelterm z 3 + 8 ontbinden in drie lineaire factoren.<br />
waarbij<br />
z 3 + 8 = (z − z1)(z − z2)(z − z3) = (z + 2)(z − 1 − i √ 3)(z − 1 + i √ 3).<br />
z 2 − 2z + 4 is onontbindbaar in R.<br />
• z 4 = −1 − 2 √ 2i<br />
(z − 1 − i √ 3)(z − 1 + i √ 3) = z 2 − 2z + 4.<br />
z 4 = 3(cos α + i sin α) ⇐⇒ z = 4√ 3(cos α<br />
4<br />
De vier vierde delen van α zijn 250o 31 ′ 43,6 ′′ +k.360 o<br />
4<br />
• z 5 = 1<br />
+ i sin α<br />
4 )<br />
voor k = 0, 1, 2, 3.<br />
z0 = 4√ 3(cos 62 o 37 ′ 56 ′′ + i sin 62 o 37 ′ 56 ′′ ) = 0, 605 + 1, 68i)<br />
z1 = 4√ 3(cos 152 o , 631 + i sin 152 o , 631) = −1, 169 + 0, 605i)<br />
z2 = 4√ 3(cos 242 o , 632 + i sin 242 o , 632) = −0, 605 − 1, 169i)<br />
z3 = 4√ 3(cos 332 o , 631 + i sin 332 o , 631) = 1, 169 − 0, 605i)<br />
z 5 = 1 ⇐⇒ z 5 = cos k.360 o + i sin k.360 o<br />
⇐⇒ z = cos k.360o<br />
5<br />
De vijf vijfde machtswortels uit 1 zijn:<br />
k.360o + i sin 5<br />
z0 = 1, z1 = cos 72 o + i sin 72 o , z2 = cos 144 o + i sin 144 o ,
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL 59<br />
Figuur 2.3: de 5 5de machtswortels uit 1<br />
z3 = cos 216 o + i sin 216 o , z4 = cos 288 o + i sin 288 o<br />
We kunnen nu ook de veelterm z 5 −1 ontbinden in lineaire en kwadratische factoren.<br />
z 5 − 1 = (z − 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)<br />
De vorm z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 is wederkerig. Aangezien z = 0 geen oplossing kan zijn<br />
van z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 is deze vergelijking gelijkwaardig met<br />
Stel z + 1<br />
De vergelijking wordt<br />
z = Z dan is z2 + 1<br />
z 2 + z + 1 + 1<br />
z<br />
⇕<br />
1<br />
+ = 0<br />
z2 z 2 + 1 1<br />
+ z + + 1 = 0<br />
z2 z<br />
z 2 = Z 2 − 2.<br />
Z 2 + Z − 1 = 0 ⇐⇒ Z = −1 ± √ 5<br />
2<br />
z + 1<br />
z = −1 ± √ 5<br />
2
60 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
z 2 − −1 ± √ 5<br />
z + 1 = 0<br />
2<br />
De vier complexe oplossingen zijn<br />
z1,2 = 1<br />
4 (−1 ± √ <br />
5 + i 10 ± 2 √ 5)<br />
en<br />
z3,4 = 1<br />
4 (−1 ± √ <br />
5 − i 10 ± 2 √ 5)<br />
Hieruit kunnen we afleiden dat<br />
cos 72 o √<br />
5 − 1<br />
=<br />
4<br />
en<br />
sin 72 o =<br />
⇕<br />
√<br />
10 + 2 5<br />
.<br />
4<br />
Merk op dat de ontbinding in factoren in R van z 5 − 1 gelijk is aan<br />
z 5 − 1 = (z − 1)(z 2 − −1 + √ 5<br />
2<br />
Construeer met deze resultaten een regelmatige vijfhoek.<br />
OPGAVEN — 76 Los de volgende binomiaalvergelijkingen in C op<br />
z + 1)(z 2 − −1 − √ 5<br />
z + 1).<br />
2<br />
a. z2 = 8 + 6i e. z6 = −i i. z3 = 1+i<br />
i− √ 3<br />
m. z4 = 8 − 8i √ b. z<br />
3<br />
2 = 1<br />
6 +<br />
<br />
2<br />
3i f. 8z6 + 27 = 0 j. (i − 1)z4 + 1 = 0 n. z2 = 6−7i<br />
3+4i<br />
c. z2 = −5 − 12i g. 32z5 − 4 − i = 0 k. z5 − 32i = 0 o. z3 − 125 = 0<br />
d. z2 = 7 − 2i h. z4 = −16 l. 4z4 = i p. (2 + 3i)z3 = 125<br />
77 * Los de volgende vergelijking op<br />
1 + (cos x + i sin x).(cos 2x + i sin 2x) · · · (cos nx + i sin nx) = 0.<br />
78 * Bewijs dat de som van de n n-de machtswortels uit 1 gelijk zijn aan nul. Bewijs dat elke wortel<br />
een natuurlijke macht is van een andere wortel. Bewijs tevens dat ze een groep vormen voor de<br />
vermenigvuldiging (cyclische groep van de orde n).<br />
79 * Men stelt de drie wortels van z 3 = 1 voor door 1, α en β. Bewijs dat<br />
(i) α 2 = β, β 2 = α, 1 + α + β = 0;
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL 61<br />
(ii) (1 + α) 3 + (1 − α + α2 ) 3 = −9;<br />
(iii)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.<br />
<br />
80 *<br />
1 α α 2<br />
α α 2 1<br />
α 2 α 1<br />
(i) Bepaal de derdemachtswortels uit −1 op twee verschillende manieren;<br />
(ii) Toon aan dat als één van de complexe wortels wordt voorgesteld door λ (∈ C) de andere gelijk is<br />
aan −λ 2 ;<br />
(iii) Bewijs dat (X + λY − λ 2 Z)(X − λ 2 Y + λZ) = X 2 + Y 2 + Z 2 − Y Z + ZX + XY met X, Y, Z ∈ R.<br />
81 * We noemen z1, z2, . . . ,zn de n n-de machtswortels uit een complex getal Z. Is w een n-de<br />
machtswortel uit een complex getal W dan zijn z1.w, z2.w, . . . , zn.w de n n-de machtswortels uit W .<br />
Bewijs.<br />
Bereken de zesdemachtswortels uit 81 door toepassing van deze eigenschap, alsook de derde machtswortels<br />
van (2 + i) 3 .<br />
82 * Bereken 1 + z + z 2 + · · · + z 49 als z = 1<br />
2 (1 + √ 3i) op zo een kort mogelijke manier.<br />
83 * Zij p, q en −i de drie oplossingen van de volgende vergelijking over C: x 3 = i. Toon aan, en dit<br />
zonder p en q expliciet te bepalen, dat<br />
(i) pq = −1;<br />
(ii) p 2 + q 2 = 1;<br />
(iii) ∀k ∈ N0 : p 6k + q 6k = 2(−1) k .<br />
GON-CO HUISTAAK 8 1. Gegeven is de vergelijking in C: z 8 = −8 − 8 √ 3i.<br />
(a) Bepaal zonder computer de oplossingen van de gegeven vergelijking;<br />
(b) Construeer de oplossingen en verifieer met de berekeningen.<br />
2. Gegeven is de vergelijking in C: z 7 = 128(3 − 4i).<br />
(a) Bepaal de oplossingen van de gegeven vergelijking en gebruik de computer om<br />
de oplossingen in de gedaante a + ib te brengen. Rond af op 1 cijfer na de<br />
komma;<br />
(b) Laat de computer de oplossingen tekenen.
62 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.5 Hoofdstelling van de complexe algebra<br />
2.5.1 Oplosbaarheid van een vierkantsvergelijking in C<br />
Met vierkantsvergelijking in C bedoelen we dat de coëfficiënten complexe getallen zijn,<br />
die in het bijzonder ook allemaal reëel kunnen zijn.<br />
STELLING 2.15 Elke vierkantsvergelijking heeft ofwel twee verschillende oplossingen<br />
ofwel twee samenvallende oplossingen over C.<br />
Bewijs:<br />
A. We beschouwen een algemene vierkantsvergelijking in R<br />
az 2 + bz + c = 0 met a = 0<br />
en brengen deze vergelijking in de volgende gedaante<br />
a(z 2 + b b2 b2<br />
z + ) + c −<br />
a 4a2 4a<br />
⇕<br />
a(z + b<br />
2a )2 − b2 − 4ac<br />
4a<br />
⇕<br />
(z + b<br />
2a )2 = b2 − 4ac<br />
4a2 Aangezien de coëfficiënten van de vierkantsvergelijking reële getallen zijn is de discriminant<br />
ook een reëel getal. Al naargelang het teken van de discriminant b 2 −4ac = D<br />
krijgen we de volgende gevallen:<br />
1. D = 0<br />
a. D > 0<br />
z + b<br />
2a<br />
= ±<br />
⇕<br />
= 0<br />
√ D<br />
2a<br />
z1,2 = −b ± √ D<br />
2a<br />
Het eerste lid van de kwadratische vergelijking kan ontbonden worden in<br />
twee reële lineaire factoren.<br />
= 0<br />
az 2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2)
2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA 63<br />
b. D < 0<br />
z + b<br />
2a = ±i√ −D<br />
2a<br />
⇕<br />
z1,2 = −b ± i√ −D<br />
2a<br />
Het eerste lid van de kwadratische vergelijking kan ontbonden worden in<br />
twee complexe lineaire factoren.<br />
az 2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2)<br />
2. D = 0<br />
z = −b<br />
2a<br />
Het eerste lid van de kwadratische vergelijking is een volkomen kwadraat.<br />
az 2 + bz + c = a(z + b<br />
2a )2<br />
Besluit: Heeft een vierkantsvergelijking in R een complexe wortel<br />
dan is het toegevoegd complex getal eveneens een wortel.<br />
B. Beschouwen we de vierkantsvergelijking in C\R dan kunnen we de resultaten uit A.<br />
gebruiken maar dan moeten we de twee complexe vierkantswortels uit het complexe<br />
getal D berekenen met de formule van de Moivre. Elke vierkantsvergelijking kan<br />
ontbonden worden in twee lineaire complexe factoren.<br />
OPGAVEN — 84 Los de volgende vergelijkingen op in C en geef een ontbinding in factoren van de<br />
corresponderende veelterm.<br />
a. z 2 − 4z + 5 = 0 e. z 2 − 3iz − 25 − 15i = 0<br />
b. z 2 − 6z + 13 = 0 f. 2iz 2 + (2 − 7i)z = 4i − 1<br />
c. 9z 2 − 6z + 10 = 0 g. (1 + 2i)z 2 + (3 − 9i)z − 10 + 10i = 0<br />
d. z 2 + (1 − i)z = i h. z 2 + 2iz − 9 − 6i = 0<br />
85 Toon aan dat de vierkantsvergelijking az 2 + bz + c = 0 door een substitutie van de vorm Z = z + k<br />
kan herleid worden tot een binomiale vergelijking.<br />
86 Welke twee complexe getallen hebben als som 3(1 + i) en als product 5i?<br />
Oplossingen:<br />
86d. discr=(1 + i) 2 ; e. discr=(10 + 3i) 2 ; f. discr=(3 − 2i) 2 ; h. discr=(6 + 2i) 2 ;<br />
?? 2+i en 1+2i.
64 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
2.5.2 Ontbinding van een veelterm in C<br />
We weten dat een veelterm met reële coëfficiënten in R kan ontbonden worden in een<br />
product van lineaire en kwadratische factoren. In C kan elke kwadratische factor op zijn<br />
beurt ontbonden worden in twee complexe lineaire factoren. Elke veelterm over R is dus<br />
het product van lineaire factoren. We hebben dus:<br />
STELLING 2.16 (Hoofdstelling van de Algebra, Deel I) Elke reële veelterm is het<br />
product van lineare complexe factoren.<br />
Algemener nog geldt er:<br />
STELLING 2.17 (Hoofdstelling van de Algebra, Deel II) Elke complexe veelterm<br />
is het product van lineaire complexe factoren.<br />
Voorbeelden:<br />
• De veelterm z 3 + 2z 2 + 2z + 1 heeft steeds één reëel nulpunt. Hier is dit nulpunt<br />
gelijk aan −1. De veelterm is deelbaar door z + 1.<br />
z 3 + 2z 2 + 2z + 1 = (z + 1)(z 2 + z + 1).<br />
De kwadratische factor z 2 + z + 1 is niet te ontbinden in R. De oplossingen in C<br />
van de kwadratische vergelijking z 2 + z + 1 zijn<br />
De ontbinding van de veelterm over C is<br />
z1,2 = −1 ± √ 3i<br />
2<br />
z 3 + 2z 2 + 2z + 1 = (z + 1)(z − −1 + i√ 3<br />
2<br />
)(z − −1 − i√3 ).<br />
2<br />
• De veelterm z 4 +1 heeft geen reële nulpunten en is in R te ontbinden in twee factoren<br />
van de tweede graad.<br />
z 4 + 2z 2 − 2z 2 + 1 = (z 2 + 1) 2 − 2z 2 = (z 2 + 1 − √ 2z)(z 2 + 1 + √ 2z).<br />
De oplossingen van de kwadratische vergelijkingen z 2 − √ 2z+1 = 0 en z 2 + √ 2z+1 =<br />
0 zijn resp.<br />
z1,2 =<br />
√ 2<br />
2 (1 ± i) en z3,4 =<br />
√<br />
2<br />
(−1 ± i)<br />
2
2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA 65<br />
z 4 √ √ √ √<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ 1 = (z − (1 + i))(z − (1 − i))(z − (−1 + i))(z − (−1 − i))<br />
2 2 2 2<br />
We kunnen deze veelterm ook rechtstreeks ontbinden in C.<br />
z 4 + 1 = z 4 − i 2 = (z 2 − i)(z 2 + i)<br />
Elk complex getal is te schrijven als het kwadraat van een ander complex getal. Zo<br />
kunnen we i als volgt schrijven:<br />
i =<br />
(1 + i)2<br />
2<br />
en − i =<br />
(1 − i)2<br />
2<br />
z4 + 1 = (z2 − (1+i)2<br />
)(z 2 2 − (1−i)2<br />
) 2<br />
= (z − i+1 i+1 1−i 1−i .<br />
)(z + )(z − )(z + ) 2 2 2 2<br />
Dit leidt dus tot hetzelfde resultaat.<br />
STELLING 2.18 Heeft een reële veeltermvergelijking in één onbekende een complexe<br />
wortel z dan is het complex toegevoegde ¯z ook een wortel.<br />
Bewijs: Is z een complexe wortel van de veeltemvergelijking anx n +an−1x n−1 +· · ·+a2x 2 +<br />
a1x + a0 = 0, dan geldt<br />
anz n + an−1z n−1 + · · · + a2z 2 + a1z + a0 = 0.<br />
Nemen we van beide leden het complex toegevoegde dan verkrijgen we<br />
anz n + an−1z n−1 + · · · + a2z 2 + a1z + a0 = ¯0<br />
⇕ eig. v. compl. toev. v. lin. comb.<br />
anz n + an−1z n−1 + · · · + a2z 2 + a1¯z + a0 = ¯0<br />
⇕ 0, an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ R<br />
an¯z n + an−1¯z n−1 + · · · + a2¯z 2 + a1¯z + a0 = 0.<br />
De laatste gelijkheid drukt uit dat ¯z oplossing van de veeltermvergelijking<br />
anz n + an−1z n−1 + · · · + a2z 2 + a1z + a0 = 0.
66 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
OPGAVEN — 87 Los de volgende vergelijkingen op in C en geef een ontbinding in lineaire factoren<br />
van de corresponderende veelterm. Geef tevens de ontbinding in R.<br />
a. z 4 + 4z 3 + 19z 2 − 4z − 20 = 0 j. 2z 3 − z 2 + 2z − 1 = 0<br />
b. 3z 3 + z 2 + 12z + 4 = 0 k. 4z 4 − 15z 2 − 4 = 0<br />
c. 3z 5 + 2z 4 + 24z 3 + 16z 2 − 27z − 18 = 0 l. iz 3 + 3z 2 − 3iz + 7 = 0<br />
d. z 6 − 2z 5 + 6z 4 − 4z 3 + 9z 2 − 2z + 4 = 0 m. z 2 − 3z + 1 + 3i = 0<br />
e. z 2 − z + 4 − 2i = 0 n. z 2 + (1 − 2i)z + 1 + 5i = 0<br />
f. (1 + i)z 2 + (3 − 7i)z − 10 = 0 o. z 18 − a 18<br />
g. 6z 3 + 7z 2 − 7z + 6 = 0 p. z 3 + 2z + i = 0<br />
h. z 3 + 3z 2 + 4z + 2 = 0 q. iz 3 − (2i − 2)z 2 − 3z + i + 1 = 0<br />
i. −iz 3 + 3z 2 + 3iz − 1 = 0 u. z 6 + z 3 + 1 = 0<br />
88 Bepaal alle veeltermen van de vierde graad met reële coëfficiënten die als nulpunten 1, 2, −1 + 2i<br />
hebben. Geef de ontbinding van deze veeltermen zowel in C als in R.<br />
89 Ontbind de volgende veeltermen in factoren van tweede graad met reële coëfficiënten.<br />
a. 16z 4 + 9 c. z 4 + 7z 2 + 16<br />
90 Bepaal a, b, c en d zodanig dat<br />
91 Gegeven is de veelterm<br />
Gevraagd:<br />
z 4 + z 3 − 12z 2 + az + 16 = (z 2 + bz + c)(z 2 + dz + c).<br />
(i) Toon aan dat 2 + i een nulpunt is van v(x);<br />
v(x) = x 3 + (m + 2i)x 2 − (1 + (8 + 2m)i)x − 5m.<br />
(ii) Bepaal m zodat minstens één nulpunt van v(x) zuiver imaginair is;<br />
(iii) Bereken voor die waarde van m de andere nulpunten van v(x).<br />
92 Gegeven de complexe getallen z1 = 1 + i √ 3 en z2 = 1 − i √ 3.<br />
(i) Bepaal de beeldpunten van z1 en z2 in het complex getallenvlak van Gauss en construeer het<br />
beeldpunt z1 + z2;<br />
(ii) Bepaal een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten die z1 als oplossing bezit;<br />
(iii) Bepaal de reële constanten a en b indien de vergelijking z 3 + z 2 + az + b = 0, z1 als oplossing bezit.<br />
93 De complexe getallen z1 en z2 zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking z 2 + z + 1 = 0, zo dat<br />
Im(z1) > Im(z2).<br />
(i) Druk z1 en z2 uit in goniometrische gedaante;<br />
(ii) Stel de beeldpunten van z1, z2 en 1 voor in het complex
2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA 67<br />
(iii) Bepaal |z2 − z1| en arg(z1 − z2);<br />
(iv) Bepaal Re(z1 + z2) en Im(z1 + z2);<br />
(v) Toon aan dat z 3 1 = z 3 2 = 1; getallenvlak van Gauss.<br />
94 Gegeven is de reële veelterm<br />
v(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + d.<br />
(i) Bepaal de waarden van a, b, c, d ∈ R zo dat tegelijk voldaan is aan:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
v(x) heeft een zuiver imaginair nulpunt,<br />
v(x) heeft twee reële nulpunten die elkaar tegengesteld zijn,<br />
Het product van de nulpunten van v(x) is − 48,<br />
De som van de nulpunten van v(x) is 3.<br />
(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a, b, c en d de ontbinding van v(x) in<br />
zijn lineaire of kwadratische factoren.<br />
95 * Gegeven is de reële veelterm<br />
v(x) = x 6 + a5x 5 + a4x 4 + a2x 2 + a1x − 405.<br />
(i) Bepaal de waarden van a5, a4, a2, a1 ∈ Z0 zo dat tegelijk voldaan is aan:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
v(x) heeft een nulpunt van de gedaante a + bi ∈ C, met a, b ∈ Z0,<br />
v(x) heeft een nulpunt van de gedaante ci, met c ∈ Z0,<br />
v(x) heeft twee tegengestelde gehele nulpuntn;<br />
(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a1, a2, a4 en a5 de ontbinding van<br />
v(x) in zijn lineaire complexe factoren.<br />
96 * Zij n ∈ N, n ≥ 1, gegeven<br />
(i) Los op in C:<br />
x 2n + x n + 1 = 0;<br />
(ii) Beeld de oplossingen van de vergelijking uit (i) af in het complex getallenvlak van Gauss in het<br />
geval n = 4.<br />
97 * De complexe getallen z1 en z2 zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking z 2 + z + 1 = 0, zo<br />
dat Im(z1) > Im(z2). Stel in het complex getallenvlak de verzameling van de getallen z voor, waarvoor<br />
|z − z1| = |z − 1|.
68 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
GON-CO HUISTAAK 9 1. Gegeven de veelterm V (x) = 2x 4 −4x 3 +28x 2 −36x+90<br />
(a) Los de vergelijking V (x) = 0 op in C wetende dat 1 + 2i een oplossing is;<br />
(b) Geef een ontbinding in factoren van V (x) in R en in C.<br />
2. Gegeven: V (z) = z 3 + z 2 + (i − 1)z + 2 + 2i.<br />
(i) Toon aan dat z1 = −2 een oplossing is van V (z) = 0;<br />
(ii) Los de vergelijking V (z) = 0 op in C;<br />
(iii) Stel de oplossingen z1, z2 en z3 voor in het complex getallenvlak van Gauss door<br />
resp. de punten A, B en C. Welke soort driehoek is de driehoek (A B C)?<br />
(iv) Stel 2z1, 2z3 voor in het complexgetallenvlak van Gauss door resp. de punten<br />
D en E.<br />
Bereken z1 + 2z2 + 2z3. Wat is de meetkundige betekenis van deze som voor<br />
de driehoek (A D E).<br />
proefherhalingstoets 1 Gegeven is de reële veelterm<br />
v(x) = x 5 + ax 3 + bx 2 + cx + d.<br />
(i) Bepaal de waarden van a, b, c, d ∈ R zo dat tegelijk voldaan is aan:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
v(x) is deelbaar door x 3 − 5x 2 + 11x − 15,<br />
v(x) heeft twee reële nulpunten die elkaar tegengesteld zijn,<br />
Het product van de nulpunten van v(x) is 90;<br />
(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a, b, c en d de ontbinding<br />
van v(x) in zijn lineaire of kwadratische factoren.<br />
2.6 Wiskunde-Cultuur<br />
Rafaele BOMBELLI, de laatste der grote Bolognese wiskundigen van de zestiende eeuw,<br />
zag het probleem van de oplossingen van een derdegraadsvergelijking onder ogen. In 1572<br />
verscheen een boek waarin hij een theorie van imaginaire en complexe getallen uiteenzet.
2.6. WISKUNDE-CULTUUR 69<br />
Hij schreef √ 0 − 9 (letterlijk R[0m9], R voor radix, m voor meno) voor onze 3 √ −1 = 3i.<br />
Bombelli’s boek werd veel gelezen, we weten dat het gebruikt werd door STEVIN, door<br />
LEIBNIZ (1646-1716) en door EULER (1707-1783). Aan Bombelli is zodoende te danken<br />
dat de imaginaire getallen iets van hun bovennatuurlijk karakter kwijtraakten, al duurde<br />
het tot de negentiende eeuw voor complexe getallen hun geheimzinnige waas geheel<br />
verloren en hun normale plaats in de wiskunde konden innemen. In de eerste helft van<br />
de negentiende eeuw stelde GAUSS (1777-1855) een rekenkunde der complexe getallen<br />
op. Hierbij ontstond een nieuwe theorie van priemgetallen, waarin 3 een priemgetal blijft<br />
maar 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) niet langer priem is. Het getal 1 + 2i is een complex priemgetal.<br />
Met behulp van deze nieuwe getallentheorie kon Gauss vele duistere punten van de reële<br />
rekenkunde ophelderen. Gauss nam de geheimzinnigheid rond complexe getallen weg door<br />
te laten zien hoe complexe getallen door punten in het ‘vlak van Gauss’ kunnen worden<br />
voorgesteld.<br />
Het is wel merkwaardig dat de complexe getallen het eerst zijn ingevoerd in de studie<br />
van de derdegraadsvergelijkingen, op die plaats waar reële oplossingen bestaan, doch in<br />
vermomde gedaante optreden, en niet in de studie van kwadratische vergelijkingen, waar<br />
we ze tegenwoordig gewoonlijk het eerst tegenkomen.<br />
Het veld van de complexe getallen is gesloten, d.w.z. dat iedere algebraïsche vergelijking<br />
met complexe coëfficiënten al zijn oplossingen heeft binnen het veld van de complexe<br />
getallen.<br />
De Engelse wiskundige HAMILTON (1805-1865) gaf aan koppels reële getallen de rol van<br />
coördinaten van vectoren. Zo gaan de bewerkingen met koppels over in operaties met<br />
vectoren. Het meetkundig optellen, aftrekken, roteren, verlengen, verkorten enz. van vectoren<br />
kan dan worden vervangen door algebraïsche bewerkingen met complexe getallen.<br />
Nu kan de vraag gesteld worden of het niet mogelijk is drietallen, viertallen te construeren<br />
die op analoge wijze aanleiding geven tot een ‘algebra’ van ruimtelijke vectoren (die dus<br />
niet in één vlak liggen)?<br />
De optelling van drietallen levert wat dat betreft geen problemen op. De optelling van<br />
drietallen correspondeert inderdaad met het optellen van vectoren in de driedimensionele<br />
ruimte. Maar het gelukte Hamilton niet zodanige regels voor de vermenigvuldiging op<br />
te stellen dat hierdoor, net als bij de complexe getallen, een rotatie en een strekking van<br />
de vectoren werd weergegeven. Uiteindelijk besefte hij dat dit niet kon, aangezien voor<br />
de karakterisering van een dergelijke operatie geen drie maar vier getallen nodig zijn: de<br />
as van rotatie vergt twee getallen, de rotatiehoek en de strekking van de vector nog eens<br />
twee.<br />
In 1843 introduceerde Hamilton dan ook de idee van het ‘quaternion’ a + bi + cj + dk,<br />
opgevat als combinatie van een scalair met een driedimensionale vector (deze termen zijn<br />
van hem). De aanschouwelijkheid van dit hybride object leverde weliswaar moeilijkheden<br />
op, maar het alternatief - een vierdimensionale vector - was geheel uitgesloten in zijn
70 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN<br />
opvatting van meetkunde als wetenschap van zuivere ruimte-aanschouwing!<br />
Hoe komen we aan rekenregels voor de vermenigvuldiging van quaternionen? Naar analogie<br />
met complexe getallen, lijkt het zinvol te eisen dat de vermenigvuldiging van twee<br />
complex geconjugeerde (complex toegevoegde bij complexe getallen) een reëel getal oplevert,<br />
aldus:<br />
(a + bi + cj + dk)(a − bi − cj − dk) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2<br />
De inval waardoor Hamilton de grote doorbraak bewerkstelligde, was nu dat hij inzag<br />
dat bij de berekening van bovenstaand product de verschillende volgorden waarin de<br />
imaginaire getallen verschijnen uit elkaar moeten worden gehouden, aldus:<br />
hetgeen een identiteit is wanneer<br />
bc(ij + ji) + bd(ik + ki) + cd(jk + kj) = 0<br />
ij = −ji ∧ ki = −ik ∧ jk = −kj<br />
Eenmaal zover konden de regels voor de vermenigvuldiging van quaternionen worden<br />
gevonden:<br />
ij = −ji = k ∧ ki = −ik = j ∧ jk = −kj = i ∧ i 2 = j 2 = k 2 = −1<br />
Hiermee had Hamilton de “Principle of Permanence” ver achter zich gelaten: de algebra<br />
van quaternionen blijkt niet-kommutatief te zijn.<br />
Men ziet gemakkelijk in dat operaties zoals optellen, verlengen en roteren van vectoren<br />
in de ruimte kunnen worden voorgesteld als vermenigvuldigingen met een quaternion.<br />
Immers de vergelijking:<br />
(a + bi + cj + dk)(xi + yj + zk) = x ′ i + y ′ j + z ′ k<br />
levert, na berekening van het linkerlid en gelijkstelling van overeenkomstige termen, een<br />
stelsel van vier vergelijkingen in vier onbekenden a, b, c en d op, dat juist één oplossing<br />
heeft.<br />
Het product van twee quaternionen is weer een quaternion, waarvan het scalaire deel<br />
overeenstemt met wat wij het scalair product noemen en het vectordeel met wat het<br />
vectoriëel product (wij hebben dat nog niet gedefinieerd) wordt genoemd (maar met een<br />
min-teken ervoor).
Inhoudsopgave<br />
1 Goniometrie 3<br />
1.1 Herhaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.1 Georiënteerde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.2 De goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.3 Het meten van georiënteerde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.3.1 De zestigdelige graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.3.2 De radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.3.3 Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd . . . . . . 6<br />
1.1.4 De n verschillende n-de delen van een georiënteerde hoek . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2 De goniometrische getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.2.1 De cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.2.2 De sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.2.3 De tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2.4 De cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.2.5 De secans en de cosecans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.3 De som- en verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.3.1 De verschilformules voor sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.3.2 De verschilformule voor de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.3.3 De somformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.4 De eerste formules van Simpson (1710-1761) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.5 De tweede formules van Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.6 De verdubbelingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.7 De formules voor 3θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
1.8 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
71
72 INHOUDSOPGAVE<br />
2 Complexe getallen 27<br />
2.1 Het veld van de reële getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
2.2 Het veld van de complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
2.2.1 Homothetie en reëel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
2.2.2 Rotatie over 90 o en imaginair getal ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
2.2.3 Directe gelijkvormigheid en complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
2.2.4 Toegevoegd complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.2.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.2.4.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.2.5 Poolcoördinaat van een punt in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
2.2.6 De som van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
2.2.6.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
2.2.6.2 Eigenschappen van de som van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . 40<br />
2.2.7 Verschil van twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
2.2.8 Afstand tussen twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
2.2.9 Het product van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
2.2.9.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
2.2.9.2 Argument en modulus van het product van twee complexe getallen . . . . 44<br />
2.2.9.3 Eigenschappen van het product van complexe getallen . . . . . . . . . . . 46<br />
2.2.10 Het quotiënt van twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
2.2.11 Praktisch rekenwerk in het veld van de complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
2.3 Stellingen i.v.m. complexe toevoeging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
2.4 Machten van een complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
2.4.1 De formule van de Moivre voor gehele exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
2.4.2 Binomiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
2.5 Hoofdstelling van de complexe algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
2.5.1 Oplosbaarheid van een vierkantsvergelijking in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
2.5.2 Ontbinding van een veelterm in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
2.6 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68