5nieuw-mtk-algb-6u

Ruimtemeetkunde deel I 

Lineaire Algebra 

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem 

Cursus voor 

Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde 

en Economie-Wiskunde

Hoofdstuk 1 

Reële affiene 3-ruimte 

1.1 Axioma’s voor een affiene 3-ruimte 

We beschouwen een oneindige verzameling E, waarvan de elementen punten genoemd 

worden, en twee soorten deelverzamelingen van E, nl. de rechten en de vlakken van E 

(rechten kunnen geen vlakken zijn en vlakken kunnen geen rechten zijn). Zoals in het vlak 

stellen we punten voor door grote letters A, B, enz. rechten door kleine letters a, b, enz. 

en vlakken door Griekse letters α, β, enz. 

Als een punt A element is van een rechte a dan zeggen we dat het punt A op de rechte 

a ligt of dat de rechte a door het punt A gaat, we schrijven 

A ∈ a 

en als een punt A element is van een vlak α dan zeggen we dat het punt A in het vlak 

α gelegen is of het vlak α gaat door het punt A, we schrijven 

A ∈ α. 

Als een rechte a deelverzameling is van een vlak α dan zeggen we dat de rechte a gelegen 

is in het vlak α of dat het vlak α door de rechte a gaat, we schrijven 

a ⊂ α. 

Punten van E zijn collineair als ze op eenzelfde rechte gelegen zijn. 

Punten van E zijn coplanair als ze in eenzelfde vlak gelegen zijn. 

De verzameling E heeft dan de structuur van een reële affiene 3-ruimte als en slechts als 

voor de rechten en de vlakken de volgende axioma’s gelden: 

3

4 HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE 

(E1) Elke rechte is een oneindige echte deelverzameling van E. 

(E2) Door twee verschillende punten gaat juist één rechte van E. 

(E3) Elk vlak is een oneindige echte deelverzameling van E. 

(E4) Door drie niet-collineaire punten gaat juist één vlak van E. 

(E5) Voor elke rechte van E en elk vlak van E geldt: Heeft de rechte twee verschillende 

punten met het vlak gemeen, dan ligt de rechte in het vlak. 

(E6) Voor elke twee vlakken van E geldt: Zijn de vlakken verschillend, maar hebben ze ten 

minste één punt gemeen, dan is hun doorsnede een rechte van E. 

We zeggen dat de vlakken elkaar snijden volgens een rechte. Deze rechte noemen 

we de snijlijn van de twee vlakken. Noemen we de twee vlakken resp. α en β en 

de snijlijn s dan schrijven we 

α ∩ β = s. 

(E7) Voor elk punt van E en elke rechte van E die het punt niet bevat, bestaat juist één 

rechte van E die gaat door het gegeven punt, die met de gegeven rechte in eenzelfde 

vlak gelegen is en die met de gegeven rechte geen enkel punt gemeen heeft. 

Opmerking: Uit deze axioma’s volgt dadelijk, dat elk vlak van de affiene ruimte E een 

affien vlak is. 

(E8) Elk vlak van de ruimte E is een reëel affien vlak. 

1.2 Onderlinge ligging van twee rechten 

Uit axioma (E2) volgt dat twee rechten samenvallen als ze meer dan één punt gemeen 

hebben. 

Twee rechten hebben dus ofwel geen enkel punt gemeen, ofwel één punt gemeen, ofwel 

vallen ze samen (zie fig. 1.1). 

1. Hebben twee rechten a en b geen enkel punt gemeen dan kunnen zich twee gevallen 

voordoen: 

a. De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeen en kunnen in eenzelfde vlak 

liggen (axioma (E7)). Die rechten worden strikt parallelle rechten genoemd. 

We schrijven 

a strikt 

b

1.2. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE RECHTEN 5 

Figuur 1.1: onderlinge ligging van twee rechten 

b. De rechten hebben geen enkel punt gemeen en kunnen niet in eenzelfde vlak 

liggen. De rechten worden kruisende rechten genoemd. We schrijven 

a b ∧ a ∩ b = φ. 

2. Hebben twee rechten a en b één punt gemeen dan worden ze snijdende rechten 

genoemd. We noemen S het snijpunt van a en b. We schrijven 

a ∩ b = S. 

3. Twee rechten a en b hebben alle punten gemeen. Het zijn samenvallende rechten. 

We schrijven 

a = b 

We noemen twee rechten parallel als en slechts als ze strikt parallel zijn of samenvallend 

zijn. We schrijven 

a b ⇐⇒ a strikt 

b ∨ a = b . 

Het axioma (E7) is gelijkwaardig met het parallellenpostulaat van Euclides in de ruimte nl. 

door elk punt A van de ruimte E gaat juist één rechte a ′ parallel met een gegeven rechte a. 

De rechte a ′ valt samen met a in geval het punt A op de rechte a gelegen is. 

Besluit voor de onderlinge ligging van twee verschillende rechten. 

Als twee verschillende rechten in eenzelfde vlak liggen dan zijn ze snijdend of strikt parallel. 

Twee kruisende rechten liggen nooit in eenzelfde vlak!


STELLING 1.1 Een vlak is volledig bepaald door één van de volgende mogelijkheden : 

a. drie niet collineaire punten (axioma (E4)); 

b. twee strikt parallelle rechten; 

c. twee snijdende rechten; 

d. een rechte en een punt niet op de rechte gelegen. 

RM I groepswerk 1 1. Vul de volgende zinnen aan 

• Drie punten op eenzelfde rechte noemen we punten. 

• Vier punten in eenzelfde vlak noemen we punten. 

2. Welk axioma maakt dat elk vlak in de ruimte E op zichzelf een affien vlak is? 

3. Vul de volgende zin aan en maak een schets. 

Zijn van de drie coplanaire rechten a, b en c de rechten a en b evenwijdig en snijdt c 

de rechte a dan · · · · · · · · · · · · · · · 

4. Vul de volgende zinnen in met altijd, soms of nooit. Geef telkens de reden en formuleer 

de stelling(en) die je eventueel toepast. 

(a) Door 4 verschillende punten gaat juist één vlak. 

(b) Als twee rechten elkaar niet snijden dan liggen ze in eenzelfde 

vlak. 

(c) Twee parallelle rechten bepalen een vlak.

1.3. ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE EN EEN VLAK 7 

(d) Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt dan snijdt ze 

de andere. 

(e) Door een rechte gaat minstens één vlak. 

(f) Door twee verschillende rechten gaat juist één vlak. 

1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak 

Uit axioma (E5) volgt dat een rechte in een vlak ligt als ze met het vlak meer dan één punt 

gemeen heeft. 

Een rechte a en een vlak α hebben dus ofwel geen enkel punt gemeen ofwel één punt gemeen, 

ofwel ligt de rechte in het vlak (zie fig. 1.2). 

Figuur 1.2: onderlinge ligging van een rechte en een vlak 1


1. Een rechte a is strikt parallel met een vlak α als en slechts als de rechte en het vlak 

geen enkel punt gemeen hebben. We schrijven 

a strikt 

α. 

2. Een rechte a snijdt een vlak α als en slechts als de rechte en het vlak juist één 

punt gemeen hebben. We noemen S het snijpunt van de rechte a en het vlak α. We 

schrijven 

a ∩ α = S. 

3. Alle punten van een rechte a zijn ook punten van het vlak α: de rechte a ligt in het 

vlak α. We schrijven 

a ⊂ α. 

Een rechte is parallel met een vlak als en slechts als de rechte strikt parallel is met het 

vlak of de rechte ligt in het vlak. We schrijven 

Stellingen 

a α ←→ a strikt 

α ∨ a ⊂ α . 

STELLING 1.2 Als een rechte evenwijdig is met een vlak en een punt gemeen heeft met 

dat vlak dan ligt ze in dat vlak. 

Met symbolen: 

a α 

A ∈ α 

 

=⇒ a ⊂ α 

STELLING 1.3 Een rechte is parallel met een vlak als en slechts als de rechte parallel is 

met ten minste één rechte van het vlak (zie fig. 1.3). 

Met symbolen: 

a α ⇐⇒ ∃a ′ : 

a ′ ⊂ α 

a ′ a 

STELLING 1.4 Snijdt één van twee evenwijdige rechten een vlak dan snijdt de andere 

ook het vlak (zie fig. 1.4).


Met symbolen 

Figuur 1.3: onderlinge ligging van een rechte en een vlak 2 

a b 

a ∩ α = {A} 

 

=⇒ b ∩ α = {B} 

STELLING 1.5 Is één van twee evenwijdige rechten evenwijdig met een vlak dan is de 

andere ook evenwijdig met dat vlak (zie fig. 1.4). 

Met symbolen 

a b 

a α 

 

=⇒ b α 

STELLING 1.6 Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte dan zijn ze onderling 

evenwijdig. 

Met symbolen 

a c 

b c 

 

=⇒ a b 

STELLING 1.7 Parallellisme van rechten is een equivalentierelatie in de verzameling van 

de rechten van E. 

Bewijs: De evenwijdigheid van rechten voldoet aan drie eigenschappen van een equivalentierelatie.


Figuur 1.4: onderlinge ligging van een rechte en een vlak 3 

1. Elke rechte is evenwijdig met zichzelf omdat samenvallende rechten ook evenwijdige 

rechten zijn (de reflectieve eigenschap). 

2. Als een rechte evenwijdig is met een andere rechte dan is die ander rechte ook evenwijdig 

met de eerste rechte (de symmetrische eigenschap). 

3. Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte dan zijn ze onderling evenwijdig 

(de transitieve eigenschap). 

Een equivalentierelatie tussen elementen van een verzameling doet in die verzameling een 

partitie ontstaan, i.e. een verdeling van de verzameling in parten die geen elementen met 

elkaar gemeen hebben en waarvan de unie de volledige verzameling oplevert (te vergelijken 

met de partjes van een sinaasappel). Deze parten worden de equivalentieklassen van de 

equivalentierelatie genoemd. 

Deze stelling laat de volgende definities toe. De richting van de rechte a is de verzameling 

van alle rechten parallel met a d.i. de equivalentieklasse van de rechte a voor de relatie van 

parallellisme van rechten. De rechte a wordt een vertegenwoordiger of representant 

van de equivalentieklasse genoemd dus een representant van de richting. 

Opmerking: 

• Als een rechte parallel is met een vlak dan is ze parallel met oneindig veel rechten van 

dat vlak, die alle behoren tot eenzelfde richting van rechten.


• Elke rechte parallel met een vlak bepaalt een richting van rechten in het vlak en in 

de ruimte. Zo zijn er oneindig veel richtingen van rechten bepaald door de rechten 

evenwijdig met het vlak. 

RM I groepswerk 2 Vul de volgende zinnen in met altijd, soms of nooit. Geef telkens 

de reden en formuleer de stelling(en) die je eventueel toepast. 

1. Als drie verschillende rechten concurrent zijn dan liggen ze in eenzelfde 

vlak. 

2. Als een rechte evenwijdig is met een vlak dan is ze evenwijdig met 

elke rechte van dat vlak. 

3. Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde vlak dan zijn ze 

onderling evenwijdig. 

4. Een rechte evenwijdig met de snijlijn van twee vlakken is evenwijdig 

met beide vlakken.


1.4 Onderlinge ligging van twee vlakken 

Figuur 1.5: onderlinge ligging van twee verschillende vlakken 

Voor twee gegeven vlakken doet zich juist één van de volgende drie mogelijkheden voor (zie 

fig. 1.5): 

1. Twee vlakken α en β van E heten strikt parallel als en slechts als ze geen enkel punt 

gemeen hebben. We schrijven 

α strikt 

β. 

2. Hebben twee verschillende vlakken ten minste één punt gemeen dan hebben ze een 

rechte door dat punt gemeen (axioma (E6)). In dit geval spreekt men van snijdende 

vlakken α en β met snijlijn α ∩ β = s. 

3. Hebben twee vlakken tenminste drie niet-collineaire punten gemeen dan vallen ze 

samen (E4). 

Twee vlakken α en β zijn parallel als en slechts als ze strikt parallel zijn of als ze 

samenvallend zijn. We schrijven 

α β ⇐⇒ α strikt 

β ∨ α = β . 

Belangrijke opmerking: In de ruimte wordt een rechte bepaald door twee verschillende 

punten of door twee snijdende vlakken

1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN 13 

Stellingen 

STELLING 1.8 Is een rechte parallel met elk van twee snijdende vlakken dan is ze parallel 

met de snijlijn van de twee vlakken (zie fig. 1.6). 

Met symbolen 

a α 

a β 

α ∩ β = s 

⎫ 

⎬ 

=⇒ a s 

⎭ 

Figuur 1.6: Rechte evenwijdig met twee snijdende vlakken 

Gevolgen van deze stelling voor de onderlinge stand van twee rechten : 

GEVOLG 1.1 Is een rechte a parallel met een vlak α en brengt men door a een vlak β 

aan die α snijdt, dan is de snijlijn van α en β parallel met a. 

Met symbolen 

a α 

a ⊂ β 

α ∩ β = s 

⎫ 

⎬ 

=⇒ a s 

⎭ 

GEVOLG 1.2 Zijn twee rechten a en b gelegen in resp. twee snijdende vlakken β en α en 

zijn ze evenwijdig dan zijn ze noodzakelijk evenwijdig met de snijlijn c van α en β.


Figuur 1.7: evenwijdige rechten in snijdende vlakken - onderlinge ligging van 3 vlakken 

Met symbolen 

Bewijs:zelf 

a b 

a ⊂ β 

b ⊂ α 

α ∩ β = c 

⎫ 

⎪⎬ 

=⇒ a b c 

⎪⎭ 

GEVOLG 1.3 Zijn twee rechten a en b gelegen in resp. twee snijdende vlakken β en α en 

zijn ze snijdend dan snijden ze elkaar op de snijlijn c van α en β. 

Met symbolen 

a ∩ b = {S} 

a ⊂ β 

b ⊂ α 

α ∩ β = c 

⎫ 

⎪⎬ 

=⇒ S ∈ c 

⎪⎭


Figuur 1.8: snijdende rechten in snijdende vlakken - onderlinge ligging van 3 vlakken 

Belangrijke opmerking voor de onderlinge ligging van drie verschillende 

vlakken: 

Aangezien twee strikt parallelle rechten of twee snijdende rechten een vlak γ bepalen, verkrijgen 

we hier twee gevallen voor de onderlinge ligging van drie vlakken. Het derde geval 

is een limietgeval van het tweede geval. 

(i) In het geval de rechten a en b elkaar snijden, verkrijgen we het algemeen geval 

voor de onderlinge ligging van 3 vlakken, nl. dat ze elkaar snijden in een 

punt S. De drie vlakken α, β en γ snijden elkaar twee aan twee volgens drie rechten 

a, b en c die elkaar snijden in S (zie figuur 1.8). 

Met symbolen 

β ∩ γ = a 

γ ∩ α = b 

α ∩ β = c 

⎫ 

⎬ 

∧ a ∩ b ∩ c = {S} 

⎭ 

(ii) In geval de rechten a en b strikt evenwijdig zijn, verkrijgen we het geval dat de drie 

vlakken α, β en γ geen enkel punt gemeen hebben en elkaar twee aan twee snijden 

volgens strikt parallelle rechten a, b en c (zie figuur 1.7). 

Met symbolen 

β ∩ γ = a 

γ ∩ α = b 

α ∩ β = c 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

∧ a strikt 

b strikt 

c strikt 

a 

(iii) In geval de rechten a en b samenvallen, dan vallen ze samen met de snijlijn c van α 

en β en verkrijgen we het geval dat de drie vlakken α, β en γ elkaar snijden volgens 

een rechte (zie figuur 1.7). 

Met symbolen 

β ∩ γ = a 

γ ∩ α = b 

α ∩ β = c 

⎫ 

⎬ 

∧ a = b = c 

⎭


GEVOLG 1.4 Zijn twee rechten a en b gelegen in resp. twee snijdende vlakken en zijn ze 

kruisend dan snijden ze de snijlijn van de twee vlakken in resp. twee verschillende punten 

of snijdt de ene rechte de snijlijn en is de andere rechte parallel met de snijlijn. 

Met symbolen 

⎫ 

a ∩ b = φ ⎧ 

a b ⎪⎬ ⎨ a ∩ s = {A} 

a ⊂ α =⇒ b ∩ s = {B} 

⎩ 

b ⊂ β ⎪⎭ 

A = B 

α ∩ β = s 

∨ 

a ∩ s = {A} 

b s 

∨ 

a s 

b ∩ s = {B} 

In geval a ∩ s = {A} en b ∩ s = {B} wordt de rechte s = AB een steunrechte van de 

kruisende rechten genoemd. 

Figuur 1.9: kruisende rechten in snijdende vlakken 

STELLING 1.9 Zijn twee vlakken parallel, dan is elke rechte van het ene vlak parallel met 

het andere vlak. 

Met symbolen 

α β 

a ⊂ α 

 

=⇒ a β 

STELLING 1.10 Twee vlakken zijn parallel als twee snijdende rechten van het ene vlak 

parallel zijn met resp. twee rechten van het tweede vlak.


Met symbolen 

a1 ⊂ α b1 ⊂ β a1 b1 

a2 ⊂ α b2 ⊂ β a2 b2 

a1 ∩ a2 = {A} 

⎫ 

⎬ 

=⇒ α β 

⎭ 

Deze stelling gebruiken we om aan te tonen dat twee vlakken evenwijdig zijn, zie ook fig. 

1.11. 

STELLING 1.11 Snijdt een rechte één van twee parallelle vlakken dan snijdt ze ook het 

andere vlak (zie fig. 1.10). 

Met symbolen 

α β 

a ∩ α = {A} 

 

=⇒ a ∩ β = {B} 

STELLING 1.12 Is een rechte parallel met één van twee parallelle vlakken dan is ze ook 

parallel met het andere vlak (zie fig. 1.10). 

Met symbolen 

α β 

a α 

 

=⇒ a β 

Figuur 1.10: ligging van een rechte tov. twee strikt parallelle vlakken 

STELLING 1.13 Snijdt een vlak één van twee evenwijdige vlakken dan snijdt ze ook het 

andere, en de snijlijnen zijn evenwijdig (zie fig. 1.10).


Met symbolen 

Figuur 1.11: niet-snijdende rechten in strikt evenwijdige vlakken 

α β 

γ ∩ α = a 

 

=⇒ 

γ ∩ β = b 

a b 

Gevolg van de stellingen voor de onderlinge stand van twee rechten : 

GEVOLG 1.5 Als twee rechten gelegen zijn in resp. twee strikt evenwijdige vlakken dan 

zijn ze verschillend en niet-snijdend dwz. ze zijn ofwel strikt evenwijdig ofwel kruisend. 

STELLING 1.14 Als twee vlakken parallel zijn met eenzelfde vlak dan zijn ze onderling 

parallel. 

Met symbolen 

α β 

γ α 

 

=⇒ γ β 

Belangrijke opmerking voor de onderlinge ligging van drie verschillende 

vlakken: 

(iv) Twee vlakken α en β zijn strikt parallel, het derde vlak γ snijdt α en β volgens 

evenwijdige snijlijnen resp. b en a (zie fig. 1.12 rechts). 

Met symbolen 

α ∩ β = φ 

β ∩ γ = a 

γ ∩ α = b 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

=⇒ a strikt 

b


(v) De drie vlakken α, β en γ zijn twee aan twee strikt parallel (zie fig. 1.12 links). 

Met symbolen 

α strikt 

β strikt 

γ strikt 

α 

Figuur 1.12: ligging van een vlak tov. twee strikt parallelle vlakken 

STELLING 1.15 Door elk punt gaat juist één vlak parallel met een gegeven vlak. 

STELLING 1.16 Parallellisme van vlakken is een equivalentierelatie in de verzameling 

van de vlakken van E. 

Deze stelling laat de volgende definitie toe. De richting van een vlak is de verzameling 

van alle vlakken parallel met dat vlak d.i. de equivalentieklasse van het gegeven vlak voor 

de relatie van parallellisme van vlakken in E. 

STELLING 1.17 Door elk punt gaan oneindig veel rechten parallel met een gegeven vlak. 

Deze rechten vormen een stralenbundel met top het gegeven punt en liggen allemaal in een 

vlak evenwijdig met het gegeven vlak.


Belangrijke opmerking: 

• Als twee rechten kruisend zijn kunnen we steeds door de ene rechte een vlak aanbrengen 

parallel met de andere rechte. Zo bekomen we twee strikt parallelle vlakken. Deze 

vlakken bepalen een richting van vlakken die we de richting van vlakken bepaald 

door de kruisende rechten noemen. 

Zijn twee rechten snijdend dan vallen deze parallelle vlakken samen met het vlak 

bepaald door deze snijdende rechten. 

• Wat kunnen we uit een tekening in het vlak afleiden omtrent de onderlinge 

ligging van twee rechten: 

Zien we op een tekening in het vlak dat 

1. twee rechten snijdend zijn dan zijn deze rechten in werkelijk snijdend of kruisend. 

2. twee rechten evenwijdig zijn dan zijn deze rechten in werkelijk kruisend of strikt 

evenwijdig. 

3. twee rechten samenvallend zijn dan zijn deze rechten in werkelijk snijdend of 

evenwijdig. 

Dit wordt bewezen in de paragraaf over projecties van twee rechten. 

RM I groepswerk 3 1. Formuleer de drie verschillende eigenschappen van een equivalentierelatie 

voor de evenwijdigheid van vlakken. 

Vul de volgende zinnen in met altijd, soms of nooit. Geef telkens de reden en formuleer 

de stelling(en) die je eventueel toepast. 

(a) Als twee vlakken niet parallel zijn dan zijn ze snijdend.


(b) Als één van twee snijdende rechten parallel is met een vlak dan is de andere 

rechte parallel met dat vlak. 

(c) Twee vlakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van 

het ene vlak evenwijdig zijn met het andere vlak. 

(d) Een vlak evenwijdig met de snijlijn van twee vlakken is evenwijdig 

met beide vlakken. 

(e) Door een rechte gaat één vlak parallel met een gegeven vlak. 

(f) Door elk van twee kruisende rechten kunnen we een vlak aanbrengen, 

zó dat beide vlakken parallel zijn. 

(g) Als twee vlakken evenwijdig zijn en men door een punt van het eerste vlak een 

rechte trekt parallel met het tweede vlak dan ligt die rechte in 

het eerste vlak. 

(h) Door een punt gaat juist één rechte parallel met een gegeven 

vlak.


(i) Als twee vlakken evenwijdig zijn met eenzelfde rechte dan zijn ze 

onderling evenwijdig. 

2. De snijpunten van twee strikt parallelle rechten en twee strikt parallelle vlakken zijn 

de hoekpunten van een parallellogram. Welke vlakke figuur krijgen we als we twee 

snijdende rechten snijden met twee strikt parallelle vlakken? Maak een schets voor 

elk van de 3 mogelijkheden. 

3. Gegeven: twee parallelle vlakken α en β , twee punten A en B van β , een punt C 

van α, een rechte l van α, de rechte m door B parallel met AC. 

Construeer: 

(a) het snijpunt van α en m; 

(b) het snijpunt van vl(A, B, C) en l.


4. Gegeven: twee snijdende vlakken α en β en hun snijlijn s, twee punten A en B van α. 

Construeer: het snijpunt van AB en β. 

5. Construeer een rechte die door een gegeven punt gaat, een gegeven rechte snijdt en 

evenwijdig is met een gegeven vlak. 

(a) Beschouw eerst een algemene ligging van de gegevens: de gegeven rechte snijdt 

het gegeven vlak en het punt P ligt niet op die rechte of in dat vlak. Maak een 

schets daarvan. 

(b) Hoe liggen de gegeven elementen t.o.v. van elkaar opdat er geen enkele oplossing 

mogelijk is en opdat er oneindig veel oplossingen mogelijk zijn? Maak in die 

twee gevallen een schets.


Affiene stellingen van Desargues 

Twee perspectieve driehoeken zijn twee driehoeken waarvan de verbindingslijnen van 

overeenkomstige hoekpunten verschillend en concurrent zijn of evenwijdig. 

STELLING 1.18 (Stellingen van Desargues) 

1. Zijn van twee perspectieve driehoeken twee paren overeenkomstige zijlijnen parallel 

dan is het derde paar overeenkomstige zijlijnen parallel. 

2. Zijn overeenkomstige zijlijnen van twee driehoeken twee aan twee parallel dan zijn de 

driehoeken perspectieve driehoeken. 

RM I groepswerk 4 Gegeven zijn twee rechten a en b die elkaar snijden buiten het kader 

van de tekening. Construeer de rechte c door een punt P en door het snijpunt van a en b. 

1.5 Constructie van de snijlijn van twee snijdende vlakken 

1. Gegeven: 

Gevraagd: 

α ∩ β = s, 

A, B ∈ β , C ∈ α en A, B, C ∈ s. 

vl(A, B, C) ∩ α.

1.5. CONSTRUCTIE VAN DE SNIJLIJN VAN TWEE SNIJDENDE VLAKKEN 25 

Oplossing: De vlakken α en vl(A, B, C) zijn verschillende vlakken en hebben het punt 

C gemeen (zie fig. 1.14). De snijlijn x is een rechte door C. Om de snijlijn x te 

kunnen tekenen moeten we ofwel een tweede punt van x bepalen ofwel de richting van 

x kennen. 

• Is AB / s dan is het snijpunt S van AB en s het tweede gemeenschappelijk 

punt van α en vl(A, B, C). De gevraagde snijlijn is CS (zie ook gevolg 1.3 op 

p. 14). De rechte CS is direct te tekenen op voorwaarde dat het punt S binnen 

het kader van de tekening valt. 

Valt S buiten het kader van de tekening dan steunen we op de stelling van 

Desargues om de rechte x te tekenen. Daartoe tekenen we twee perspectieve 

driehoeken ACD en BEF met D, F ∈ s. De rechte CE is de gevraagde snijlijn 

(zie fig. 1.13). 

Figuur 1.13: snijlijn van twee vlakken 1


• Is AB s dan is x AB, want is een rechte a parallel met een vlak α dan is ze 

parallel met de snijlijn van α en elk vlak door a dat α snijdt (zie ook gevolg 1.2 

op p. 13). 

Figuur 1.14: snijlijn van twee vlakken 2 

2. Gegeven: vlak α, punten A, B /∈ α en C ∈ α. 

Gevraagd: 

vl(A, B, C) ∩ α. 

Oplossing: Deze opgave herleidt zich tot de voorgaande opgave als we eerst door de 

rechte AB een vlak β aanbrengen, dat α snijdt. Vervolgens bepalen we de snijlijn s 

van α en β. Tenslotte passen we de constructie toe uit de voorgaande opgave. Het 

vlak β noemen we hier een hulpvlak. 

RM I groepswerk 5 1. Hier is de doorsnede getekend van een kubus met een vl(P QR) 

door enkel rechten te snijden en punten te verbinden. Welke hulpvlakken worden hier 

telkens gebruikt? Welke veelhoek vormt deze doorsnede. Welke zijden zijn evenwijdig?


2. Teken de doorsnede van de kubus met het vl(P QR) door enkel rechten te snijden en 

punten te verbinden.

28 HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE


3. Hier is de doorsnede getekend van een piramide met een vl(P QR) door enkel rechten 

te snijden en punten te verbinden. We bekomen die doorsnede door eerst de snijlijn 

te tekenen van vl(P QR) met het grondvlak van de piramide. 

4. Teken de doorsnede van de piramide met het vl(P QR) door enkel rechten te snijden 

en punten te verbinden. Teken eerst de snijlijn van vl(P QR) en het grondvlak van 

de piramide.


1.6 Enkele opgaven ivm. kruisende rechten 

Figuur 1.15: kruisende rechten 1 

1. Gegeven: Een punt A niet gelegen op een rechte b, α = vl(A, b) en B is een punt niet 

gelegen in α. 

Te bewijzen: AB en b zijn kruisende rechten. 

Bewijs: Onderstel dat AB en b in eenzelfde vlak β gelegen zijn, dan vallen α en β 

samen want ze zijn allebei bepaald door b en A. Hieruit volgt dat B ∈ α, wat in strijd 

is met het gegeven. 

2. Gegeven: a en b zijn kruisende rechten, 

Te Bewijzen: AB kruist A ′ B ′ . 

A, A ′ ∈ a, A = A ′ , 

B, B ′ ∈ b, B = B ′ . 

Bewijs: analoog met het voorgaande bewijs. 

Een ander bewijsje: De vlakken α = vl(a,AB) en β = vl(b,A’B’) snijden elkaar 

volgens A ′ B. De rechten a en b snijden deze snijlijn in resp. de punten A ′ en B die 

verschillend zijn van elkaar. 

3. Gegeven: a kruist b en b α. 

Gevraagd: Is a dan snijdend met α? 

4. Hoeveel rechten snijden tegelijk twee kruisende rechten a en b?

1.6. ENKELE OPGAVEN IVM. KRUISENDE RECHTEN 31 

5. Hoeveel rechten gaan door een gegeven punt en steunen op twee kruisende rechten? 

Constructie van een rechte door P die a en b snijdt. Deze rechte gaan we in de ruimte 

bepalen als de doorsnede van twee vlakken, die resp. de rechten a en b bevatten. 

We veronderstellen dat P geen punt is van a en ook geen punt van b. De rechte a en 

het punt P bepalen dan een vlak α en de rechte b en het punt P bepalen een vlak β. 

De vlakken α en β hebben het punt P gemeenschappelijk. 

We kunnen twee gevallen onderscheiden (zie fig. 1.16): 

(a) α ∩ β = s en P ∈ s. 

a. Algemeen geval: s snijdt b en s snijdt a. We hebben hier één oplossing, nl. 

s. 

b. s b maar dan snijdt s rechte a (a en b zijn kruisend) 

of s a maar dan snijdt s rechte b (a en b zijn kruisend). 

Het geval b. betekent dat één van de kruisende rechten evenwijdig is met het 

vlak bepaald door de andere rechte en het punt P of dat één van de vlakken α 

of β behoort tot de richting van vlakken bepaald door de kruisende rechten a 

en b. Een rechte door P die steunt op de ene rechte kan de andere rechte nooit 

snijden. We hebben hier geen oplossingen. 

Figuur 1.16: kruisende rechten 2 

(b) α = β. 

In dit geval liggen a en b in eenzelfde vlak. Dit is in strijd met het gegeven dat 

a en b kruisende rechten zijn.


Veronderstellen we P ∈ a of P ∈ b, dan hebben we door P een bundel steunrechten. 

6. Hoeveel rechten zijn evenwijdig met een gegeven rechte en steunen op twee kruisende 

rechten? 

Constructie van een steunrechte van a en b en parallel met c. 

We veronderstellen dat c niet parallel is met a en ook niet met b. Door a gaat juist 

één vlak α parallel met c en door b gaat juist één vlak β parallel met c. De vlakken 

α en β zijn beide parallel met de rechte c, want een rechte is parallel met een vlak als 

die rechte parallel is met minstens één rechte van dat vlak. 

We kunnen twee gevallen onderscheiden (zie fig. 1.17): 

(a) Algemeen geval: α ∩ β = s en s c (zie fig. 1.17a). 

De rechte s snijdt a, want a en s liggen in eenzelfde vlak en zijn niet-parallel. 

Analoog snijdt s ook b. We hebben hier één oplossing, nl. s. 

(b) α ∩ β = φ (zie fig. 1.17b). 

In dit geval zijn er geen oplossingen. De rechte c is parallel met de richting van 

vlakken bepaald door de kruisende rechten a en b. 

Veronderstellen we c a of c b, dan zijn er dus ook geen oplossingen. 

Opmerking: In 5 en 6 hebben we een steunrechte geconstrueerd van twee kruisende rechten. 

Eigenlijk moeten we nog bewijzen dat er hoogstens één steunrechte is.


Figuur 1.17: kruisende rechten 3, a en b 

Bewijs: We voeren een bewijsje uit het ongerijmde. Stel dat er twee verschillende steunrechten 

van a en b zijn die door een punt P gaan (die parallel zijn met c) dan bepalen deze 

twee steunrechten een vlak α, want twee snijdende rechten (parallelle rechten) bepalen een 

vlak. De rechten a en b hebben met α elk twee verschillende punten gemeen. Ze liggen 

dus allebei in α. Dit is in strijd met het gegeven dat a en b kruisende rechten zijn. De 

onderstelling is vals, er gaat dus hoogstens één steunrechten door een punt P (parallel met 

c). 

Besluit voor 5 en 6 : Als één van twee kruisende rechten parallel is met het vlak bepaald 

door de andere rechte en het gegeven punt (evenwijdig met de gegeven derde rechte) dan 

bestaat er door dat punt (evenwijdig met die derde rechte) geen steunrechte van de kruisende 

rechten. Is dit niet het geval dan betaat er door dat punt (evenwijdig met die derde rechte) 

juist één steunrechte van de kruisende rechten. 

Voor 6 kunnen we het besluit nog anders formuleren: Onder alle steunrechten van twee 

kruisende rechten is er geen enkele die parallel is met een vlak van de richting van vlakken 

bepaald door de kruisende rechten. Voor elke andere richting van rechten bestaat er juist 

één steunrechte van de twee kruisende rechten.


RM I groepswerk 6 1. Construeer de steunrechte van a en b door het punt P 

2. Hoeveel rechten zijn evenwijdig met twee gegeven snijdende vlakken en steunen op 

twee kruisende rechten? 

3. Hoeveel rechten steunen op vier rechten a, b, c en d als a en b snijdend zijn, alsook c 

en d? Elk van de rechten a en b zijn kruisend met elk van de rechten c en d.


4. Hier zie je de constructie van een steunrechte van drie 2 aan 2 kruisende rechten a, b 

en c. Verklaar deze constructie. Hoeveel steunrechten zijn er mogelijk? 

5. * Construeer een rechte die twee gegeven vlakken en twee gegeven rechten snijdt. 

6. * Construeer een rechte die vier gegeven rechten, waarvan er twee elkaar snijden, 

snijdt.


RM I HUISTAAK 1 1. Formuleer de stellingen waarmee we in oefeningen kunnen 

bewijzen dat 

(a) twee rechten parallel zijn; 

(b) twee vlakken parallel zijn; 

(c) een rechte en een vlak parallel zijn. 

2. Gegeven: twee strikt parallelle vlakken α en β , twee punten A en B van α, een punt 

C van β en een punt S van ]B, C[. 

Construeer: het snijpunt van AS en β 

3. Hoeveel rechten snijden terzelfdertijd drie gegeven twee aan twee kruisende rechten? 

Breng door die drie rechten vlakken aan die elkaar snijden volgens een rechte. 

4. Construeer een rechte x die in een gegeven vlak α ligt, een gegeven rechte a snijdt en 

evenwijdig is met een gegeven vlak β = α. Vermeld de stellingen die je toepast. 

5. * Hoeveel steunrechten van twee kruisende rechten zijn er die parallel zijn met een 

gegeven vlak? Wanneer zijn er helemaal geen steunrechten?

1.7. PARALLELPROJECTIES VAN E 37 

1.7 Parallelprojecties van E 

1.7.0.1 Definities 

We beschouwen een vlak Π en een rechte d waarvoor geldt 

Π ∩ d = {D} 

De parallelprojectie van E op het vlak Π volgens de richting van de rechte d, 

d /Π, is de transformatie van E, waarbij een punt P van E wordt afgebeeld op een punt P ′ 

van Π dat het snijpunt is van de rechte door P parallel met d en het vlak Π (zie fig. 1.18). 

Met symbolen: p d Π : E −→ E : P ↦−→ P ′ ∈ Π 

Het vlak Π wordt het projectievlak genoemd. 

Opmerking: Een punt P ′ van Π is het beeld van oneindig veel punten, nl. van alle punten 

van de rechte door P ′ parallel met d. 

Figuur 1.18: parallelprojecties van een punt P 

De parallelprojectie van E op de rechte d volgens de richting van het vlak Π, 

Π /d, is de transformatie van E, waarbij een punt P van E wordt afgebeeld op een punt P ′′ 

van d, dat het snijpunt is met d van het vlak door P parallel met Π. 

Met symbolen: p Π d : E −→ E : P ↦−→ P ′′ ∈ d.


Opmerking: Een punt P ′′ van d is het beeld van oneindig veel punten, nl. van alle punten 

van het vlak door P ′′ parallel met Π. 

Het punt P vormt met het snijpunt {D} = Π ∩ d, zijn projectie P ′ op het vlak Π en zijn 

projectie P ′′ op de rechte d een parallellogram P P ′ DP ′′ . (zie fig. 1.18). 

1.7.0.2 Het beeld van een rechte onder een parallelprojectie 

Figuur 1.19: duid de projecties aan van a, P , Q en A met Q ∈vl((x, d) 

1. De rechte a snijdt Π en is niet evenwijdig met d (algemene stand t.o.v. Π en d) 

a ∩ Π = {S} ∧ a d 

• Het punt S wordt in zichzelf geprojecteerd vermits het een punt is van Π. Een 

ander punt A van a wordt in een punt A ′ ∈ Π geprojecteerd en AA ′ d. Het 

vlak(a, AA ′ ) = α is het vlak door a evenwijdig met d. 

α ∩ Π = SA ′ 

De projectie P ′ op Π van elk ander punt P van a ligt op SA ′ omdat P P ′ evenwijdig 

is met α en een punt P gemeen heeft met α. We noemen α het projecterend 

vlak op Π door de rechte a. 

Besluit: Om de projectie van een rechte a op een vlak Π te bepalen, hebben we 

twee mogelijkheden


– de projectie a ′ wordt bepaald door twee punten nl. de projecties van twee 

verschillende punten van a. 

– wde projectie a ′ wordt bepaald als snijlijn van twee vlakken, nl. het projecterend 

vlak α door a en het projectievlak Π. 

Is in het bijzonder a snijdend met d dan is α = vlak(a, d) het projecterend vlak 

en de projectie a ′ is een rechte door D. Teken dit geval bij op figuur 1.19 

• de projectie van de rechte a op d is de rechte d zelf. 

2. De rechte a is evenwijdig met d . Teken dit geval bij op figuur 1.19 

a d 

• de projectie van de rechte a op Π is het punt S, dat het snijpunt van de rechte 

a met het projectievlak Π. Alle punten van a worden op hetzelfde punt S van Π 

geprojecteerd. Hier gaan oneindig veel projecterende vlakken door a omdat elk 

vlak door a evenwijdig is met d. 

• de projectie van de rechte a op d is de rechte d zelf. 

3. De rechte a is evenwijdig met Π 

• de projectie van de rechte a op Π is een rechte a ′ parallel met a. Inderdaad, het 

projecterend vlak door a snijdt Π volgens a ′ evenwijdig met a omdat a evenwijdig 

is met Π. 

Besluit: Is een rechte a parallel met het projectievlak dan moeten we enkel de 

projectie A ′ zoeken van één punt van a. De projectie van a is dan de rechte a ′ 

door A ′ evenwijdig met a. 

• de projectie van de rechte a op d is het punt A ′′ dat het snijpunt is van d met 

het vlak Π ′ door a parallel met Π. Alle punten van Π ′ worden op hetzelfde punt 

A ′′ van d geprojecteerd. 

Is in het bijzonder a snijdend met d dan is de projectie van a op d het snijpunt 

van a en d. Teken dit geval bij op figuur 1.20


Figuur 1.20: bepaal de projecties van a, P , Q en R 

1.7.0.3 De projecties van twee rechten 

We gaan na hoe de onderlinge ligging kan zijn van twee rechten a en b als hun projecties op 

Π resp. de rechten a ′ en b ′ zijn. De rechten a ′ en b ′ zijn de snijlijnen van de projecterende 

vlakken α en β op Π door resp. a en b. 

1. De rechten a ′ en b ′ zijn snijdend De projecterende vlakken α en β die evenwijdig zijn 

met d snijden elkaar volgens de rechte s. Deze snijlijn s is de steunrechte van a en b 

evenwijdig met d. We noemen A en B de steunpunten op resp. a en b. 

(a) als A = B dan zijn a en b kruisend (fig. 1.21); 

(b) als A = B dan zijn a en b snijdend (fig. 1.24). 

2. De rechten a ′ en b ′ zijn strikt evenwijdig De projecterende vlakken α en β die evenwijdig 

zijn met d zijn onderling strikt evenwijdig vermits twee snijdende rechten van 

α evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van β. Voor de onderlinge ligging van 

a en b hebben we twee mogelijkheden: 

(a) a en b zijn kruisend (fig. 1.21); 

(b) a en b zijn strikt evenwijdig (fig. 1.22);. 

3. De rechten a ′ en b ′ vallen samen De projecterende vlakken α en β die evenwijdig 

zijn met d vallen samen.


(a) a en b zijn snijdend (fig. 1.25); 

(b) a en b zijn evenwijdig (fig. 1.23);. 

RM I groepswerk 7 1. Hoe is het beeld van een parallellogram en van een driehoek 

bij parallelprojectie op een vlak? 

2. Gegeven twee snijdende vlakken α en β, s is de snijlijn, een punt A van α en een 

punt B van β, beide niet gelegen op s. De rechte a ′ is de projectie van de rechte a op 

het vlak α volgens de richting van AB. Bepaal de projectie van a op β volgende de 

richting van AB. 

3. Maak een overzicht van de verschillende mogelijkheden voor de projecties van twee 

verschillende rechten a en b als minstens één van beide rechten parallel is met d. 

4. Geef de verschillende mogelijkheden voor de projectie op een vlak van twee kruisende 

rechten, twee snijdende rechten en twee strikt parallelle rechten. 

5. Bij de onderstaande tekeningen is het projectievlak het (x, y)-vlak en de projectierichting 

de richting van z. Vul de volgende tekeningen aan met het gevraagde: 

Figuur 1.21: teken de projecties van AB en P Q en onderzoek de onderlinge ligging van a 

en b


Figuur 1.22: teken de projecties van de parallelle rechten a en b 

Figuur 1.23: teken de projecties van de parallelle rechten a en b


Figuur 1.24: teken de projecties van de snijdende rechten a en b waarbij b ∩ z = {B} 

Figuur 1.25: teken de projecties van de snijdende rechten a en b en van het punt C ∈ a


Figuur 1.26: teken de projecties van a en b en de onderlinge ligging van a en b? 

Figuur 1.27: teken projecties van a en b en de onderlinge ligging van a en b?

1.8. VECTOREN 45 

1.8 Vectoren 

1.8.1 Het begrip vector 

De puntenkoppels (P, P ′ ) en (Q, Q ′ ) zijn equipollente puntenkoppels als en slechts als 

zich één van de volgende gevallen voordoet: 

1. (P, P ′ ) = (Q, Q ′ ); 

2. P = P ′ ∧ Q = Q ′ ; 

3. P , P ′ , Q en Q ′ zijn de hoekpunten van een parallellogram P P ′ Q ′ Q; 

4. tenminste drie van de vier punten P , P ′ , Q en Q ′ liggen op eenzelfde rechte en er 

bestaat tenminste één koppel (R, R ′ ), niet gelegen op de rechte, waarvoor P P ′ R ′ R en 

RR ′ Q ′ Q parallellogrammen zijn (in dit geval liggen de koppels (P, P ′ ) en (Q, Q ′ ) op 

eenzelfde rechte). 

Opmerking: Als we in het vervolg willen onderzoeken of twee puntenkoppels equipollent 

zijn dan kunnen we kijken of deze puntenkoppels kunnen verbonden worden door één of twee 

parallellogrammen. 

We kunnen gemakkelijk aantonen dat de relatie “is equipollent met” in de verzameling van 

de puntenkoppels van de ruimte E een equivalentierelatie is. 

Een vector in E is een equivalentieklasse van equipollente puntenkoppels. 

Is v = 

AB met A, B ∈ E dan wordt het puntenkoppel (A, B) een representant van de 

vector v genoemd. De rechte AB noemen we een drager van de vector v. Alle dragers 

van eenzelfde vector zijn parallelle rechten, vermits de representanten van eenzelfde vector 

equipollente puntenkoppels zijn. De verzameling van de dragers van een vector v is een 

richting van rechten bepaald door die vector. Een vector bepaalt dus steeds een richting 

van rechten. 

Een vector v is parallel met een rechte a als en slechts als a behoort tot de richting 

van rechten bepaald door v. 

Twee vectoren zijn parallel als en slechts als ze eenzelfde richting van rechten bepalen.


1.8.2 Bewerkingen met vectoren 

Som van vectoren en scalaire vermenigvuldiging van vectoren 

De definitie van de som van vectoren in E is dezelfde als in Π (zie ook fig. ??), alsook van 

de scalaire vermenigvuldiging van vectoren in E. De formule van Chasles-Möbius is 

het gevolg van de definitie van de som van vectoren: 

AB = AC + CB. 

De som van vectoren is onafhankelijk van het aangrijpingspunt van de representanten (zie 

figuur). 

De eigenschappen zijn dezelfde als in Π (zie ook fig. 1.28). 

1. De som van twee vectoren is commutatief. 

2. De som van vectoren is associatief. 

∀v, ∀w : v + w = w + v. 

∀v, ∀w, ∀u : (v + w) + u = v + (w + u). 

3. Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector en de tegengestelde van 

de tweede vector. 

4. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling van vectoren. 

∀v, ∀w, ∀r ∈ R : r(v + w) = rv + r w. 

Eigensc


Figuur 1.28: eigenschappen van som en scalaire vermenigvuldiging van vectoren 

5. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling van reële getallen. 

∀v, ∀r, s ∈ R : (r + s)v = rv + sv. 

6. De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief. 

De verhouding van evenwijdige vectoren 

∀v, ∀r, s ∈ R : (rs)v = r(sv). 

Elke vector is steeds te schrijven als een veelvoud van elke evenwijdige vector verschillend 

van de nulvector. Dit veelvoud wordt de verhouding van de evenwijdige vectoren 

genoemd. 

Met symbolen: 

v2 = o =⇒ (v1 v2 ⇐⇒ ∃r ∈ R | v1 = r v2 ⇐⇒ v1 

v2 

= r). 

STELLING 1.19 (Stelling van Thales) De verhouding van evenwijdige vectoren blijft 

behouden bij parallelprojectie.


Dit wordt geïllustreerd op fig. 1.29. 

u 

v 

u ′ 

= . 

v ′ 

Dit laatste geldt omdat een homothetie met centrum t de driehoek ABC afbeeldt op driehoek 

EF G. 

Figuur 1.29: parallelprojectie van parallelle vectoren


1.8.3 De reële vectorruimten R, EO, + 

De ruimten met oorsprong: E0 

We kiezen in E een vast punt O, dat we de oorsprong van EO noemen. 

We beschouwen een vector v en representeren hem vanuit de oorsprong, d.w.z. we nemen 

voor voor v die vertegenwoordiger waarvan het beginpunt in O ligt. 

v = 

OP 

Op die manier correpondeert met elke vector v van E een punt P van EO en omgekeerd, 

correspondeert met elk punt P van EO juist één vector v van E 

We noemen de representant (O, P ) van de vector v de plaatsvector van het punt P . 

Opmerking: Een vector laten overeenkomen met een punt kunnen we vergelijken met het 

laten overeenkomen van een georiënteerde hoek met een punt op de goniometrische cirkel. 

De reële vectorruimten R, EO, + 

Voor de plaatsvectoren van EO , die representanten zijn van vectoren van E, gelden dezelfde 

eigenschappen als voor vectoren in E. 

1. De som van twee plaatsvectoren is weer een plaatsvector. 

2. De som van plaatsvectoren is associatief, net zoals de som van vectoren. 

3. De nulvector is het neutraal element voor de som van plaatsvectoren. 

4. Voor elke plaatsvector bestaat de tegengestelde plaatsvector. De som van de plaatsvector 

en zijn tegengestelde plaatsvector geeft de nulvector. 

5. De som van plaatsvectoren is commutatief. 

1. Het product van een reëel getal en een plaatsvector is weer een plaatsvector. 

2. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de som van plaatsvectoren. 

3. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de som van reële getallen. 

4. De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief. 

5. Het getal 1 is het neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging. 

Omwille van deze 10 eigenschappen noemen we de structuur R, EO, + een reële vectorruimte.


1.9 *Spiegeling van E om een vlak volgens de richting 

van een rechte 

De spiegeling van E om het vlak Π volgens de richting van de rechte d, d /Π, is 

de transformatie van E, die een punt P afbeeldt op P ′′ zodanig dat P P ′′ parallel is met d 

en het snijpunt P ′ van P P ′′ met Π het midden is van [P P ′′ ] (op de tekening is Π = α). 

Er geldt: 

PP ′ = P ′ P ′′ . 

1.10 *Spiegeling van E om een rechte volgens de richting 

van een vlak 

De spiegeling van E om de rechte a volgens de richting van het vlak Π, Π /d, is 

de transformatie van E, die een punt P afbeeldt op Q zodanig dat P Q parallel is met Π en 

de rechte d snijdt in een punt S dat het midden is van [P Q]. 

Er geldt: 

PS = SQ. 

Deze twee spiegelingen zijn permutaties van E (bijecties van E in zichzelf). 

Construeer op bijgevoegde figuur de projectie Q van P . 

Opmerking: De definities van verschuiving en homothetie zijn dezelfde als in het vlak.

1.11. VEELVLAKKEN 51 

1.11 Veelvlakken 

Een veelvlak is een lichaam begrensd door vlakdelen die zijvlakken genoemd worden. 

Naargelang het aantal zijvlakken verkrijgen we een viervlak, een vijfvlak, ... een n-vlak,. . . enz. 

(n ∈ N \ {0, 1, 2, 3}) (zie fig. 1.30). 

Figuur 1.30: n-vlakken 

Een ribbe van een veelvlak is de gemeenschappelijke zijde van twee veelhoeken die in 

verschillende zijvlakken liggen. 

Een hoekpunt van een veelvlak is het gemeenschappelijk punt van drie of meer zijvlakken. 

Een diagonaal van een veelvlak is een lijnstuk dat twee hoekpunten verbindt die niet 

in één zijvlak gelegen zijn. 

Een zijvlaksdiagonaal van een veelvlak is een diagonaal van een zijvlak. 

Een diagonaalvlak van een veelvlak is een vlak door drie hoekpunten die niet in één 

zijvlak liggen. 

Een veelvlak is convex als het helemaal aan één kant ligt van het draagvlak van elk zijvlak. 

In het ander geval wordt het veelvlak concaaf genoemd.


Bijzondere veelvlakken 

Prisma Een prismatisch oppervlak ontstaat door het verschuiven van een rechte langs 

de zijden van een vlakke veelhoek (zie fig. 1.31). Deze rechte snijdt het vlak van de veelhoek 

en wordt de beschrijvende van het prismatisch oppervlak genoemd. 

Figuur 1.31: prismatisch oppervlak 

Een prisma is een veelvlak dat begrensd is door een prismatisch oppervlak en twee parallelle 

vlakken, die de beschrijvende snijden (zie fig. 1.32). De twee vlakke doorsneden zijn twee 

veelhoeken. 

De veelhoeken worden grondvlak en bovenvlak genoemd, en de andere zijvlakken die 

parallellogrammen zijn worden opstaande zijvlakken genoemd. Opstaande ribben zijn 

snijlijnstukken van twee opstaande zijvlakken. 

Al naar gelang het aantal opstaande zijvlakken spreken we van een 3-zijdige, een 4zijdig,... 

een n-zijdig prisma (n ∈ N \ {0, 1, 2}). 

Bijzonder prisma: Parallellepipedum Een parallellepipedum is een prisma waarvan 

grond-en bovenvlak parallellogrammen zijn (zie fig. 1.32). 

Afgeknot prisma Een afgeknot prisma is een veelvlak begrensd door een prismatisch 

oppervlak en twee niet parallelle vlakken die de beschrijvende snijden, en waarvan de snijlijn 

het prismatisch oppervlak niet snijdt (zie fig. 1.32). 

De opstaande zijvlakken zijn trapezia.

1.11. VEELVLAKKEN 53 

Figuur 1.32: prisma — parallellepipedum — afgeknot prisma 

Piramide Een piramide is een veelvlak waarvan alle hoekpunten in eenzelfde vlak liggen 

behalve één. 

Het ene hoekpunt dat niet in het vlak van de andere hoekpunten gelegen is wordt de 

top van de piramide genoemd. De opstaande ribben van een piramide zijn de 

ribben die de andere hoekpunten met de top van de piramide verbinden. Het zijvlak 

waarin alle hoekpunten liggen behalve de top wordt het grondvlak van de piramide 

genoemd. De andere zijvlakken worden de opstaande zijvlakken van de piramide 

genoemd. De opstaande zijvlakken zijn driehoeken. Het grondvlak is een veelhoek. Al 

naargelang het aantal opstaande zijvlakken spreken we van een 3-zijdige, 4-zijdige, ..., 

n-zijdige piramide (n ∈ N \ {0, 1, 2}). 

Afgeknotte piramide Een afgeknotte piramide is het veelvlak begrensd door een 

piramide en twee parallelle vlakken die de opstaande ribben van de piramide snijden. 

De opstaande zijvlakken zijn trapezia, de twee andere zijvlakken worden grondvlak en 

bovenvlak van de afgeknotte piramide genoemd. 

Figuur 1.33: 4-zijdige piramide — 5-zijdige afgeknotte piramide


1.12 Het midden van een lijnstuk 

Is M het midden van het lijnstuk [A, B] dan geldt: 

Voegen we O tussen dan krijgen we: 

MA + MB = o, 

MO + OA + MO + OB = o ⇐⇒ 2 MO + OA + OB = o 

In de ruimte Eo geldt voor de plaatsvector van het midden: 

2 OM = OA + OB ⇐⇒ OM = 1 

( OA + 

2 OB) (1.1) 

Figuur 1.34: midden van een lijnstuk bekeken in een parallellogram 

1.13 Zwaartepunt van een driehoek 

Is Z het zwaartepunt de driehoek (ABC) dan geldt 

AZ = 2 

3 AMa, 

BZ 

2 

= 

3 BMb, 

Tellen we de vergelijkingen van 1.2 lid aan lid op dan bekomen we 

CZ 

2 

= 

3 CMc. (1.2) 

AZ + BZ + CZ = 2 

( AMa 

+ 

3 BMb + CMc). (1.3)

1.13. ZWAARTEPUNT VAN EEN DRIEHOEK 55 

Als we het punt A eventjes opvatten als een oorsprong O, kunnen we de formule 1.1 voor 

het midden Ma van het lijnstuk [B, C] schrijven als volgt 

Analoog geldt 

en 

2 

AMa = 

AB + 

AC. 

2 

BMb = 

BA + 

BC 

2 

CMc = 

CA + 

CB. 

Gebruiken we deze betrekkingen in 1.3 dan verkrijgen we 

AZ + BZ + CZ 

= 1 

(2AMa + 2 

3 BMb + 2 CMc) 

= 1 

( AB + 

3 AC + BA + BC + CA + CB). 

In het tweede lid zijn de vectoren twee aan twee tegengesteld waaruit volgt dat 

AZ + BZ + CZ = o (1.4) 

Om de plaatsvector van het zwaartepunt te bekomen, voegen we O tussen in de betrekking 

1.4. 

AO + OZ + BO + OZ + CO + OZ = o ⇐⇒ 3 OZ + AO + BO + CO = o 

In de ruimte Eo geldt voor de plaatsvector van het zwaartepunt van een driehoek: 

3 OZ = OA + OB + OC ⇔ OZ = 1 

( OA + 

3 OB + OC) (1.5) 

Wegens 1.4 geldt dat de som van de vectoren van het zwaartepunt naar de hoekpunten van 

de driehoek gelijk is aan de nulvector: ZA + ZB + ZC = o.


Met de vectoren 

OA, 

OB en 

OC kunnen we het parallellepipedum 

A C ′ O ′ B ′ 

O B A ′ C 

construeren. We noemen Z en Z ′ de respectieve zwaartepunten van de driehoeken ABC en 

A ′ B ′ C ′ . We passen de vectoriële betrekking 1.5 toe op de driehoeken (ABC) en (A ′ B ′ C ′ ) 

vanuit resp. O en O ′ en we verkrijgen: 

en 

Hieruit volgt 

. (zie fig. 1.35) 

3 OZ = OA + OB + OC = OO ′ 

3 

O ′ Z ′ = 

OA ′ + 

OB ′ + 

OC ′ = 

O ′ O 

OZ = ZZ ′ = Z ′ O ′ 

Figuur 1.35: zwaartepunt van een driehoek bekeken in een parallellepipedum 

1.14 Zwaartepunt van een viervlak 

Een rechte is een zwaartelijn van een viervlak ABCD als en slechts als ze een hoekpunt 

verbindt met het zwaartepunt van het overstaande zijvlak. 

Een viervlak heeft vier zwaartelijnen (zie ook fig. 1.20). We noemen Za, Zb, Zc en Zd 

de zwaartepunten van resp. de zijvlakken ABC, BCD, CDA en DAB van het viervlak 

ABCD. 

Een rechte die de middens van twee overstaande ribben verbindt, wordt een bimediaan 

van het viervlak genoemd. Een viervlak heeft drie bimedianen.

1.14. ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERVLAK 57 

STELLING 1.20 De drie bimedianen van een viervlak zijn concurrent. 

Bewijs: We noemen M1, M2, M3, M4, M5 en M6 de middens van resp. de ribben [AB], 

[CD], [BC], [DA], [BD], [AC] van het viervlak ABCD (zie figuur 1.36). Als we in een 

zijvlak de middens van twee ribben verbinden dan verkrijgen we een middenparallel van 

het zijvlak , die evenwijdig is met de derde ribbe van een zijvlak. Zo zijn er per ribbe twee 

middenparallellen in twee zijvlakken. Aangezien er zes ribben zijn, zijn er twaalf middenparallellen 

die twee aan twee evenwijdig zijn met telkens een ribbe van het viervlak. Op die 

manier krijgen we drie parallellogrammen. De diagonalen van deze drie parallellogrammen 

zijn de bimedianen van het viervlak. Een bimediaan is een diagonaal van twee van de drie 

parallellogrammen. Aangezien de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor 

delen, gaan de drie bimedianen door eenzelfde punt. 

Merk op dat de middens van de ribben van een viervlak de hoekpunten zijn van een achtvlak 

waarvan de overstaande ribben gelijk zijn en evenwijdig. 

Figuur 1.36: de bimedianen van een viervlak


STELLING 1.21 De vier zwaartelijnen van een viervlak zijn concurrent. 

Bewijs: We tonen aan dat de verbindingslijn DZ van een hoekpunt D van het viervlak 

met het gemeenschappelijk punt Z van de bimedianen, het overstaande zijvlak ABC snijdt 

in het zwaartepunt Zd van dat zijvlak. In driehoek M1DC trekken we door M2 de rechte 

M2E parallel met DZ (E ∈ [M1, C]). Aangezien M2E en ZZd middenparallellen zijn van 

resp. de driehoeken DZdC en M1M2E delen de punten Zd en E de zwaartelijn CM1 van het 

zijvlak ABC in drie gelijke delen. Hieruit volgt dat Zd het zwaartepunt is van het zijvlak 

ABC. 

Analoog tonen we aan dat de drie andere verbindingslijnen CZ, AZ en BZ van resp. de 

hoekpunten C, A en B het overstaande zijvlak snijden in het zwaartepunt van dat zijvlak. 

Hieruit volgt dat de vier zwaartelijnen door hetzelfde punt Z gaan. 

Deze stelling laat toe het zwaartepunt van een viervlak te definiëren. 

Het snijpunt Z van de zwaartelijnen van een viervlak is het zwaartepunt van het viervlak 

(zie fig. 1.37). 

Figuur 1.37: zwaartepunt Z van het viervlak ABCD


STELLING 1.22 Het zwaartepunt ligt op een zwaartelijn op drievierde van het hoekpunt. 

Bewijs: In driehoek M1DC zien we gemakkelijk in dat (zie fig. 1.36) 

ZdZc 

= 1 

. CD. 

3 

De driehoeken ZZcZd en ZCD zijn gelijkvormig. Hieruit volgt: 

|ZC| 

|ZZc| 

= |ZD| 

|ZZd| 

= |CD| 

|ZcZd| 

Het zwaartepunt Z ligt dus op [C, Zc] op drievierden van C en op [D, ZD] op drievierden 

van D. Analoog tonen we dat aan voor de twee andere zwaartelijnen. 

Er geldt dus: 

AZ = 3 

4 AZa 

BZ = 3 

4 BZb 

CZ = 3 

. CZc 

 

4 

DZ = 3 

. DZd 

 

4 

Gevolgen: Uit het bewijs van de voorgaande stelling volgt: 

DZ + CZ + AZ + BZ 

= 3 

.( DZd 

+ 

4 CZc + AZa + BZb) 

= 1 

.(( DA + 

4 DB + DC) + ( CA + CB + CD) + ( AB + AC + AD) + ( BA + BC + BD)) 

= o 

Hieruit volgt 

= 3 

DZ + CZ + AZ + BZ = o 

⇕ 

ZA + ZB + ZC + ZD = o. 

Om de plaatsvector van het zwaartepunt te bepalen, voegen we O tussen. We verkrijgen:


DO + OZ + CO + OZ + AO + OZ + BO + OZ = o 

⇕ 

4 

OZ + 

DO + 

CO + 

AO + 

BO = o 

In de ruimte Eo geldt voor de plaatsvector van het zwaartepunt van een viervlak: 

waaruit volgt 

4 

OZ = 

OA + 

OB + 

OC + 

OD (1.6) 

OZ = 1 

( OA + 

4 OB + OC + OD)


RM I groepswerk 8 1. Men noemt Za, Zb, Zc en Zd de respectieve zwaartepunten 

van de zijvlakken BCD, ACD, ABD en ABC van een viervlak A B C D (zie fig. 

1.38). 

(a) Bewijs dat de viervlakken ABCD en ZaZbZcZd hetzelfde zwaartepunt hebben. 

Gebruik 1.6. 

(b) Bewijs dat 3 ZaZb = BA. 

Figuur 1.38: opgaven nr. 1


2. Men noemt M, N en P de respectieve middens van de ribben [B ′ , C ′ ], [C ′ , A ′ ] en 

[A ′ , B ′ 

′ ′ ′ A B C 

] van het prisma 

. (zie fig. 1.39) 

A B C 

Bewijs dat de driehoeken AB ′ C ′ , BC ′ A ′ en CA ′ B ′ hetzelfde zwaartepunt hebben en 

leid hieruit af, dat de drie rechten AM, BN en CP concurrent zijn. 

3. Gegeven is een driezijdig prisma 

A B C 

A ′ B ′ C ′ 

De punten G en G ′ zijn de zwaartepunten van resp. de driehoeken ABC en A ′ B ′ C ′ . 

(zie fig. 1.39) 

Bewijs met vectoren dat 

(i) GG ′ parallel is met AA ′ ; 

(ii) |GG ′ | = |AA ′ | = |BB ′ | = |CC ′ |. 

 

. 

Figuur 1.39: opgave nrs. 2 en 3 

4. Bewijs dat het midden van een lijnstuk behouden blijft bij parallelprojectie. 

5. Bewijs dat het zwaartepunt van een driehoek behouden blijft bij parallelprojectie. 

6. In elk vierzijdig prisma snijden de diagonalen elkaar in twee punten, die op een rechte 

liggen parallel met grond- en bovenvlak. Bewijs dat.


Oplossingen: Vectoriële bewijzen van de oefeningen 

1. (a) Gegeven: Z is zwaartepunt van viervlak (A B C D): 

ZA + ZB + ZC + ZD = o 

Te bewijzen: Z is zwaartepunt van viervlak (ZA ZB ZC ZD) 

3 

(4) 1 = 3 

3 

ZZA 

+ ZZB + ZZC + ZZD = o 

Bewijs: 

1ste lid (1) 

= ( ZA + AZA) + ( ZB + BZB) + ( ZC + CZC) + ( ZD + DZD) 

(2) 

= o + AZA 

+ BZB + CZC + 

(3) 1 DZD = 3 ( AB + AC + AD) + 

1( 

BA + BC + BD) + 1 

3 ( CA + CB + CD) + 1 

3 ( DA + DB + DC) 

( AB + BA) + 1( 

AC + CA) + · · · (5) 

= o=2de lid 

(b) 1ste lid 

(1) 

= 3ZAA + 3 AB + 3 BZB 

BC + BD) (5) 

= BA + CA + DA + 3 AB + BA + BC + BD (4) 

= AB + ( CA + BC) + ( DA + BD) (1) 

= 

AB + BA + BA = BA=2de lid 

2. Gegeven: Z is zwaartepunt van driehoek (A B ′ C ′ ): 

Te bewijzen: Z is zwaartepunt van driehoek (B A ′ C ′ ): 

(5) 

= −3AZA + 3 AB + 3 

(3) 

BZB = −( AB + AC + AD) + 3AB + ( BA + 

ZA + ZB ′ + ZC ′ = o 

ZB + ZA ′ + ZC ′ = o 

Bewijs: 1ste lid (1) 

= ZA + AB + ZB ′ + B ′ A ′ + ZC ′ = ZA + ZB ′ + ZC ′ + AB + B ′ (5) 

A ′ = o= 2de lid 

3. G en G ′ zijn zwaartepunten van resp. grondvlak en bovenvlak: 

We trekken beide leden lid aan lid af: 

(1) : Formule van Chasles-Möbius 

3 

OG = 

OA + 

OB + 

OC 

3 

OG = 

OA + 

OB + 

OC 

GG ′ = AA ′ + BB ′ + CC ′ = 3 AA ′ = BB ′ = CC ′ 

(2) : eigenschap van zwaartepunt van een viervlak 

(3) : eigenschap van plaatsvector van zwaartepunt van een driehoek 

(4) : commutativiteit en associativiteit van optelling van vectoren 

(5) : tegengestelde vectoren


4. Het diagonaalvlak (AA ′ , CC ′ ) bepaald door de twee evenwijdige opstaande ribben AA ′ en BB ′ , 

snijdt bovenvlak en grondvlak volgens evenwijdige snijlijnen A ′ C ′ en AC. De figuur (A C C ′ A ′ ) is 

een parallllogram waarvan de diagonalen elkaar middendoor snijden, nl. in M. Analoog snijden de 

diagonalen BD ′ en B ′ D elkaar middendoor, nl. in N. 

Voor M en N geldt (als midden van een lijnstuk): 

Beide leden lid aan lid aftrekken: 

2 OM = OA + OC ′ 

2 ON = OB + OD ′ 

2 NM = BA + D ′ C ′ = BA + DC = BA + AE = BE 

Vector BE is een vector waarvan de representant (B, E) in het grondvlak gelegen is. Omdat 2 NM = 

BE, is NM parallel met de rechte BE van het grondvlak. Dus NM is evenwijdig met het grondvlak 

(zie tekening).

1.15. WISKUNDE-CULTUUR 65 

RM I HUISTAAK 2 1. a. Hoeveel diagonalen en hoeveel diagonaalvlakken heeft 

een parallellepipedum? 

b. Toon aan dat de diagonalen door eenzelfde punt gaan en elkaar middendoor 

delen. Welk speciaal punt voor het parallellepipedum is dit midden? 

c. De snijpunten S1, S2, S3 en S4 van de diagonalen van de opstaande zijvlakken van 

een parallellepipedum zijn de hoekpunten van een parallellogram S1 S2 S3 S4. 

Bewijs dit met vectoren (tip: toon aan dat S1S2 

= S4S3). 

2. Men noemt M het midden van de ribbe [A, B] van een parallellepipedum 

 

′ A 

A 

′ B 

B 

′ C 

C 

 

′ D 

. 

D 

Bewijs dat de diagonaal AC ′ evenwijdig met het vlak B ′ CM is. 

1.15 Wiskunde-Cultuur 

1. EUCLIDES was een Grieks wijsheer van 450 tot 380 v.C. 

2. FANO is een stad in midden Italië. Configuratie van Fano (eindige meetkunde). 

3. CRAMER Gabriël was een Zwitsers wiskundige van 1704 tot 1752. Naast de regel 

van Cramer bestaat ook de paradox van Cramer. Deze paradox zegt dat, ofschoon in 

het algemeen een kromme van graad n door 1n(n 

+ 3) punten eenduidig is bepaald, 

2 

het best kan voorkomen dat deze punten een oneindig aantal krommen van graad n 

bepalen. Zo is een kromme van graad 3 bepaald door negen punten bepaald, doch 

door de negen snijpunten van twee derdegraadskrommen gaat een bundel van zulke 

krommen. Hij heeft over deze paradox gecorrespondeerd met EULER (1707-1783). 

4. HESSE Ludwig Otto was een Duits wiskundige van 1811 tot 1874. 

5. CHASLES Michel was een frans wiskundige van 1793 tot 1880. Hij is een der grondleggers 

van de projectieve meetkunde. Hij is in de 19de eeuw een vertegenwoordiger 

van de algebraïsche richting in de meetkunde zoals MÖBIUS en PLÜCKER (1801- 

1868) in Duitsland en CAYLEY (1821-1895) in Engeland. Chasles had een grote 

belangstelling voor de geschiedenis van de wiskunde. Zijn gevoel voor het historische 

openbaart zich in zijn bekend Apercu historiques sur l’origine et le développement des


méthodes en géometrie (1837), een der eerste belangrijke geschriften over de geschiedenis 

van de meetkunde. Dit nog zeer leesbare boek behandelt zowel de Griekse als 

de toen moderne meetkunde en is een goed voorbeeld van een geschiedenis geschreven 

door iemand die zelf een zelfstandig onderzoeker was. Deze liefde voor de geschiedenis 

maakte Chasles ook wel eens blind en zo is hij het slachtoffer geworden van een grappenmaker, 

die aan Chasles tussen 1861 en 1870 duizende valse documenten verkocht, 

brieven van GALILEI (1564-1642), PASCAL (1623-1662) en NEWTON (1642-1727) 

tot brieven van PLATO (428-348 v.C.) en zelfs van de apostelen toe. 

6. MÖBIUS August Ferdinant was een Duits wis- en sterrenkundige van 1790 tot 1868. 

Het lint van Möbius wordt verkregen door twee overstaande zijden van een rechthoek 

averechts aan elkaar te plakken. Bij het overlangs omlopen van dit lint constateert 

men dat het slechts één zijde heeft. Het Möbius-lint is een voorbeeld van een eenzijdig 

oppervlak. Wanneer je de Möbiusband in de lengterichting doormidden knipt, blijft 

hij één geheel (precies zoals een limerick suggereert). De viervlakken van Möbius zijn 

twee viervlakken die tegelijkertijd in en om elkaar zijn beschreven, dwz. de hoekpunten 

van het ene viervlak liggen in de zijvlakken van het andere. 

7. THALES van Milete was een Grieks wijsheer en wiskundige van 624 tot 545 v.C. 

Voor wat de kosmologie betreft, nam Thales aan dat de (platte) aarde op water drijft 

en daardoor onbeweeglijk op dezelfde plaats vertoeven kan. Echt filosofisch, in de zin 

dat naar een alomvattende verklaring van alles gestreefd lijkt, is zijn opvatting dat 

alles uit het water voortkomt en er in wezen uit bestaat. Deze opvatting was voor 

ARISTOTELES (384-322 v.C.) aanleiding hem aan het begin van de geschiedenis van 

de eigenlijke filosofie te plaatsen. 

8. ARCHIMEDES was de grootste Griekse wiskundige van 287 tot 212 v.C. Hij woonde 

in Syracuse op Sicilië als adviseur van Koning Hieron. Hij is één van de weinige 

wetenschappelijke figuren van de Oudheid die meer is dan een naam: we weten iets 

van hem als persoon. Zo weten we dat hij gedood werd toen in 212 v.C. de Romeinen 

onder Marcellus Syracuse innamen na een lang beleg waarin de bejaarde geleerde zijn 

grote technische bekwaamheid in dienst van de belegerden had gesteld. Zulk een ijver 

voor practische toepassingen doet ons enigszins vreemd aan als wij aan de minachting 

denken waarmee de school van Plato op zulk ‘misbruik’ van de wetenschappen 

neerzag, maar Plutarchus heeft een soort verklaring gegeven: “Ofschoon deze uitvindingen 

hem de reputatie van bovenmenselijke wijsheid hadden verschaft, heeft hij 

het beneden zijn waardigheid geacht enig geschrift over die onderwerpen na te laten, 

doch, aangezien hij al dit construeren van werktuigen en andere kunsten die nut of 

winst afwerpen als onedel en minderwaardig verwierp, plaatste hij zijn gehele eerzucht 

in die speculaties waarvan de schoonheid en de diepzinnigheid buiten contact met de 

gewone noodzakelijkheden van het leven blijven”.

1.15. WISKUNDE-CULTUUR 67 

De belangrijkste bijdragen van Archimedes tot de wiskunde behoren tot het gebied dat 

we nu de integraalrekening noemen: de bepaling van de oppervlakte van vlakke figuren 

en de inhoud van lichamen. In zijn Cirkelmeting berekende hij benaderingswaarden 

van de cirkelomtrek met behulp van de omtrek van ingeschreven en omgeschreven regelmatige 

veelhoeken. Hij berekende achtereenvolgens door een verdubbelingsformule 

de zijde van de veelhoek met 6, 12, 24, 48 en 96 zijden, en vond (in onze notatie) 

3 10 

71 

< 3 284 1 

4 

2018 7 

40 

< 3 

1 284 4 

2017 1 

4 

< α < 3 

1 667 2 

4673 1 

2 

< 3 

1 667 2 

4672 1 

2 

< 3 1 

7 . 

een resultaat dat gewoonlijk geresumeerd wordt door te zeggen dat Archimedes een 

waarde van α vond die dicht bij 3 1 

7 ligt. 

Ofschoon α een Griekse letter is, hebben de Grieken daarmee nooit de verhouding van 

omtrek en middellijn van de cirkel aangegeven. Het symbool komt in enige geschriften 

van de 18de eeuw voor, doch werd het eerst algemeen aanvaard nadat EULER het in 

zijn veel gelezen “Introductio” van 1748 geregeld had gebruikt. In decimale notatie 

betekent Archimedes’ benadering: 

3, 1409... < α < 3, 1429... 

Archimedes gebruikte de hoofdletter α als een getal dat wij met 80 aanduiden. 

In Archimedes’ boek “Over de bol en de cilinder” vinden we de uitdrukking voor de 

oppervlakte van de sfeer in de vorm dat deze oppervlakte gelijk is aan het viervoud 

van de oppervlakte van een grote cirkel van de sfeer, en ook een uitdrukking voor de 

inhoud van de bol als tweederden van de inhoud van de omgeschreven cilinder. 

Archimedes is ook nog gekend in de fysica i.v.m. ondergedompelde lichamen en hefbomen. 

9. DESARQUES Gerard was een Frans wiskundige en architect van 1591 tot 1662. In 

de tijd van Desargues bestonden nog geen wetenschappelijke tijdschriften in Europa. 

Zo leidde de constante wiskundige bedrijvigheid tot een aanzienlijke briefwisseling 

tussen de wiskundige van die tijd en tot discussiegroepen. Sommige geleerden maakten 

zich verdienstelijk door als bemiddelaar tussen verschillende correspondenten op 

te treden. De meest bekende van deze bemiddelaars was de Minderbroeder Marin 

MERSENNE (wijsgeer 1588-1648), die ook zelf een verdienstelijk wiskundige was, en 

naar wie de getallen van Mersenne zijn genoemd (2 n − 1, als n een priemgetal is) 

getallen die eigenlijk al bij EUCLIDES voorkomen. Met Mersenne correspondeerden 

DESCARTES (wijsgeer 1596-1650), FERMAT (1601-1665), Desargues, PASCAL 

(1623-1662) en vele anderen. Een ontdekking werd via Mersenne in heel Europa 

bekend gemaakt. Uit die discussiegroepen hebben zich in Parijs en elders genootschappen 

en academies ontwikkeld. Hun oorsprong hangt ten dele samen met een 

oppositie tegen de universiteiten die nog in menig opzicht hun scholastiek karakter


hadden behouden en daardoor de gewoonte behielden om reeds verworven kennis in 

oude vaste vormen door te geven (hierop maakte de Leidse universiteit die eerst in 

1575 was opgericht een uitzondering). De nieuwe academies vertegenwoordigden de 

nieuwe manier van onderzoek. De eerste Academie was in Napels opgericht (1560), 

ze werd gevolgd door de “Accademia dei Lincei” in Rome (1603). De Royal Society 

van London dateert van 1662, de Franse Académie van 1666. De wiskundigen van 

die tijd hebben klassieke problemen met nieuwe oplossingen verrijkt na er een geheel 

nieuw licht op te hebben doen vallen. Zij hebben ook nieuwe terreinen geopend. Een 

voorbeeld van een geheel nieuwe zienswijze op klassieke theorema’s was de projectieve 

methode van Desargues. De nieuwe inzichten van Desargues en Pascal vonden geen 

gunstig gehoor doordat in de 17de eeuw de analytische meetkunde het metrische karakter 

van de geometrie eens te meer voorop had gezet. Desarques heeft wiskundige 

roem verworven door een boekje met de curieuze titel Brouillon project d’une atteinte 

aux événement des rencontre d’une cone avec un plan (1639).

Hoofdstuk 2 

Matrices 

2.1 De reële n-tallen 

2.1.1 Definitie 

Een reëel n-tal is van de gedaante [x1, x2, · · · , xn] met x1, x2, · · · , xn ∈ R en twee n-tallen 

zijn gelijk aan elkaar als en slechts als de gelijkstandige elementen aan elkaar gelijk zijn 

(soms ook geordend n-tal genoemd). 

[x1, x2, . . . , xn] = [y1, y2, . . . , yn] ⇐⇒ x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ . . . ∧ xn = yn. 

Verkorte notatie: [xi] met i ∈ {1, 2, · · · n} en xi ∈ R. 

[xi] = [yi] ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, · · · n} : xi = yi 

De verzameling van de reële n-tallen noteren we door R n . 

2.1.2 Bewerkingen met n-tallen 

• De som van twee reële n-tallen 

De som van twee reële n-tallen is het n-tal dat we bekomen door de gelijkstandige 

elementen van beide n-tallen bij elkaar op te tellen. 

Met symbolen: 

∀x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn ∈ R : 

[x1, x2, . . . , xn] + [y1, y2, . . . , yn] = [x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn]. 

Verkorte notatie: [xi] + [yi] = [xi + yi] met i ∈ {1, 2, · · · n} 

69

70 HOOFDSTUK 2. MATRICES 

• De scalaire vermenigvuldiging van n-tallen 

Het product van een n-tal met een reëel getal is het n-tal dat we bekomen door elk 

element van het n-tal met dat getal te vermenigvuldigen. 

Met symbolen: 

∀x1, x2, . . . , xn ∈ R ∧ ∀r ∈ R : r.[x1, x2, . . . , xn] = [rx1, rx2, . . . rxn]. 

Verkorte notatie: r · [xi] = [rxi] met i ∈ {1, 2, · · · n} 

2.1.3 De reële vectorruimte van de n-tallen 

1. De som van twee reële n-tallen is weer een reëel n-tal. 

Bewijs: Omdat [xi] + [yi] = [xi + yi] en de som van twee reële getallen weer een reëel 

getal is geldt dat [xi + yi] ∈ R n 

2. De som van reële n-tallen is associatief: ([xi] + [yi]) + [zi] = [xi] + ([yi] + [zi]). 

Bewijs: 

([xi] + [yi]) + [zi] = [xi + yi] + [zi] 

= [(xi + yi) + zi] 

= [xi + (yi + zi)] 

= [xi] + [yi + zi] 

= [xi] + ([yi] + [zi]) 

Dit bewijs steunt op de associativiteit van de som van reële getallen. Duid met een 

kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in het bewijs. 

Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden. 

3. Het n-tal [0, 0, ...0] is neutraal element voor de som van n-tallen. 

Bewijs: [xi] + [0] = [xi + 0] = [xi] 

Het bewijs steunt op het feit dat 0 het neutraal element is voor de som van reële 

getallen. 

4. Voor elk n-tal bestaat een tegengesteld n-tal. Het tegengesteld n-tal is het n-tal dat 

we bekomen door elk element van het oorspronkelijk n-tal te vervangen door zijn 

tegengestelde voor de som van reële getallen. 

Notatie: −[xi] = [−xi] 

De som van een n-tal en zijn tegengesteld n-tal is het neutraal element [0, 0, ..., 0] ∈ R n . 

Bewijs: [xi] + [−xi] = [xi + (−xi)] = [xi − xi] = [0] 

5. De som van n-tallen is commutatief: [xi] + [yi] = [yi] + [xi]. 

Bewijs: [xi] + [yi] = [xi + yi] = [yi + xi] = [yi] + [xi] 

Het bewijs steunt op de commutativiteit van de som van reële getallen.

2.1. DE REËLE N-TALLEN 71 

6. Het product van een reëel getal en een n-tal is weer een n-tal. 

Bewijs: Omdat r · [xi] = [rxi] en het product van twee reële getallen weer een reëel 

getal is, geldt dat [rxi] ∈ R n . 

7. Het product van een n-tal met een reëel gatal is distributief t.o.v. de som van n-tallen: 

r · ([xi] + [yi]) = r · [xi] + r · [yi]. 

Bewijs: 

r · ([xi] + [yi]) = r · [xi + yi] 

= [r(xi + yi)] 

= [rxi + ryi] 

= [rxi] + [ryi] 

= r · [xi] + r · [yi] 

Dit bewijs steunt op de distributiviteit het product t.o.v. de som van reële getallen. 

Duid met een kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in 

het bewijs. Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden. 

8. De som van reële getallen is distributief t.o.v. het product van een n-tal met een reëel 

getal: (r + s) · [xi] = r · [xi] + s · [xi]. 

Bewijs: 

(r + s) · [xi] = [(r + s)xi] 

= [rxi + sxi)] 

= [rxi] + [sxi] 

= r · [xi] + s · [xi] 

Dit bewijs steunt op de distributiviteit het product t.o.v. de som van reële getallen. 

Duid met een kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in 

het bewijs. Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden. 

9. Het product van een van een n-tal met een reëel getal is gemengd associatief: 

r · (s · [xi]) = (rs) · [xi] 

Bewijs: 

r · (s · [xi]) = r · [sxi] 

= [r(sxi)] 

= [(rs)xi] 

= (rs) · [xi] 

Dit bewijs steunt op de associativiteit het product van reële getallen. Duid met een 

kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in het bewijs. 

Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden. 

10. Het neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging van n-tallen is 1 ∈ R. 

Bewijs: 1 · [xi] = [1xi] = [xi] 

Besluit: Omwille van deze 10 eigenschappen is de structuur R, R n , + van de reële n-tallen 

een reële vectorruimte. De n-tallen worden dan ook vectoren genoemd.


2.2 De reële matrices 


Een reële matrix van de orde (m × n) is een m-tal waarvan de m elementen op zichzelf 

n-tallen zijn. Deze n-tallen worden de rijvectoren van de matrix genoemd. 

Met symbolen: [[a11, a12, · · · , a1n], [a21, a22, · · · , a2n] · · · , [am1, am2, · · · , amn]] 

Het is handiger de m vectoren onder elkaar te schrijven. Zo verkrijgen we een schema of 

tabel van nm reële getallen geschikt in m rijen en n kolommen en geplaatst tussen haken. 

De reële getallen aij worden de elementen van de matrix genoemd. 

Een matrix van de orde (m × n) heeft dus de volgende algemene gedaante: 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

a11 

a21 

. 

a12 

a22 

. 

· · · 

· · · 

a1n 

a2n 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

am1 am2 · · · amn 

We noteren een matrix kort door A, B, . . . of [aij], [bij], . . .. 

De verzameling van de (m × n)-matrices noteren we door R m×n . 

Om met matrices te werken beschikken wij over EXCEL en DERIVE. 

Om in EXCEL een matrix te bepalen selecteren we een cellenrechthoek die 

de elementen van de matrix moeten bevatten. Klik dan op invoegen, naam 

en bepalen of definiëren. We tikken een naam in, bvb. Ma en klikken op 

toevoegen en ok. Deze naam is nu opgenomen in de lijst van namen die reeds 

gemaakt werden. In deze lijst staan ook het nummer van het blad en het adres 

van de cellen waarop de naam betrekking heeft. We tikken de getallen van de 

matrix in de rechthoek. 

In DERIVE wordt een matrix ingevoerd als een vector 

[[a11, a12, · · · , a1n], [a21, a22, · · · , a2n] · · · , [am1, am2, · · · , amn]] 

of met een sneltoets.

2.2. DE REËLE MATRICES 73 

Gelijkheid van twee matrices 

Vermits een matrix een vector is, geldt dat twee matrices gelijk zijn aan elkaar als de 

overeenkomstige rijvectoren aan elkaar gelijk zijn. Dit is maar mogelijk op voorwaarde 

dat de matrices hetzelfde aantal rijvectoren hebben en dat de rijvectoren hetzelfde aantal 

elementen bevatten. Dit komt er op neer dat twee matrices slechts kunnen gelijk zijn als ze 

dezelfde orde hebben en als de gelijkstandige elementen van de matrices aan elkaar gelijk 

zijn. Dit laatste betekent dat niet alleen de opgenomen elementen een rol spelen maar 

tevens de plaats die deze elementen innemen in de matrix. 

Met symbolen: [aij] 

 

m×n 

= [bij] ⇐⇒ aij = bij 

 

m×n 

2.2.2 Bewerkingen met matrices 

Omdat matrices vectoren zijn, zijn de definities van de bewerkingen dezelfde en gelden 

dezelfde eigenschappen als voor de vectoren. 

• De som van twee matrices 

De som van twee matrices van dezelfde orde is gelijk aan de matrix die we 

bekomen door de gelijkstandige elementen van beide matrices op te tellen. 

Met EXCEL selecteren we de rechthoek waar de som van de matrices moet komen. 

Vervolgens typen we =Ma + Mb in de eerste cel en drukken we op CTR , SHIFT 

en ENTER . 

Met symbolen: 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

Korte notatie: [aij] 

 

m×n 

a11 a12 . . . a1n 

a21 a22 . . . a2n 

. 

. 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ + 

⎢ 

⎣ 

am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn 

⎡ 

⎤ 

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n 

⎢ a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n 

⎥ 

= ⎢ 

⎥ 

⎣ . . . ⎦ 

+ [bij] 

 

m×n 

⎡ 

b11 b12 . . . b1n 

b21 b22 . . . b2n 

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn 

= [aij + bij] 

 

m×n 

OPGAVEN — 1 Bepaal de getallen a, b en c uit de volgende matriciële gelijkheid: 

. 

. 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦


⎡ √ ⎤ ⎡ √ ⎤ ⎡ 

1 

1 

5 

2 5 

3 5 

6 2 

a. ⎣ −3 b ⎦ + ⎣ −b 1 ⎦ = ⎣ 

5 −2 2 2 

√ 5 

− 7 

⎤ 

2 3b ⎦; 

7 0 

 

2 a 3 −b 

b. + 

c 0 0 √ 

a + b −3 

= 

3 2c √ 

. 

3 

Oplossing: 1 a. b = 1/2; b. ;a = 1, b = 4, c = 0. 

Voorbeelden uit de praktijk: 

– Voorraadmatrices. 

Een voorraadmatrix, i.e. een matrix waarvan bvb. in de kolommen de verschillende 

maten staan van schoenen en in de rijen de verschillende modellen. De 

getallen in de matrix geven de voorraad van elk model en elke maat. Wanneer er 

een nieuwe bestelling binnenkomt, krijgen we een nieuwe voorraadmatrix. Deze 

is de som van de oude voorraadmatrix en de bestellingsmatrix. 

– Puntenmatrices. 

De puntenlijsten kunnen ook beschouwd worden als matrices waar in de kolommen 

de verschillende vakken staan en in de rijen de namen van de verschillende 

leerlingen. De getallen in de matrix geven de punten van elke leerling voor elk 

vak. De puntenlijst van het einde van het schooljaar is dan de som van de 

puntenlijsten van het eerste en tweede semester. 

• Scalaire vermenigvuldiging van matrices 

Het product van een matrix met een reëel getal r is gelijk aan de matrix die 

we bekomen door alle elementen van de matrix te vermenigvuldigen met r. 

⎡ 

⎢ 

r. ⎢ 

⎣ 

a11 

a21 

. 

a12 

a22 

. 

. . . 

. . . 

a1n 

a2n 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

ra11 

ra21 

. 

ra12 

ra22 

. 

. . . 

. . . 

ra1n 

ra2n 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

am1 am2 . . . amn 

ram1 ram2 . . . ramn 

Korte notatie: r · [aij] = [raij] 

 

m×n m×n 

Met EXCEL selecteren we de rechthoek waar het scalair product moet komen. Vervolgens 

typen we =r ∗ Ma in de eerste cel en drukken we op CTR , SHIFT en 

ENTER . 

2.2.3 De reële vectorruimte van de matrces 

De structuur R, R m×n , + van de matrices va, dezelfde orde m × n is een reële vectorruimte


OPGAVEN — 2 Bewijs de volgende eigenschappen rechtstreeks zoals we gedaan hebben voor n-tallen. 

Gebruik hierbij de verkorte notatie voor matrices [aij]. Vergeet niet bij elke stap in het bewijs de reden te 

vermelden. 

1. de associativiteit voor de som van matrices; 

2. de distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging t.o.v. de som van matrices; 

3. de gemengde associativiteit van de scalaire vermenigvuldiging van matrices. 

Het verschil van twee matrices 

Elke matrix heeft een tegengestelde matrix. Zo is de volgende definitie mogelijk. Het 

verschil van twee matrices van dezelfde orde is de som van de eerste matrix en de 

tegengestelde matrix van de tweede matrix. 

Met symbolen: 

∀A, B ∈ R m×n : A − B = A + (−B) 

Met EXCEL selecteren we de rechthoek waar de som van de matrices moet komen. Vervolgens 

typen we =Ma − Mb in de eerste cel en drukken we op CTR , SHIFT en ENTER . 

OPGAVEN — 3 Gegeven: de matrices A = ⎣ 

Gevraagd: 1 

3 

2 (A + B) + 2 (A − B). 

Oplossing: 

⎡ 

3 ⎣ 

7 −1 −8 1 

0 2 8 0 

0 2 −1 5 

⎤ 

⎦; 

⎡ 

3 1 −2 1 

1 1 5 3 

2 1 0 2 

⎤ 

⎡ 

⎦ en B = ⎣ 

2.2.4 Oplossen van matriciële vergelijkingen 

−1 3 4 1 

2 0 2 6 

4 0 1 −1 

We herhalen de regels voor gelijkwaardige vergelijkingen die moeten toegepast worden om 

een vergelijking op te lossen in R. 

Een gelijkheid blijft behouden als we in beide leden eenzelfde reeël getal optellen. 

Een gelijkheid blijft behouden als we beide leden met eenzelfde reeël getal verschillend van 0 

vermenigvuldigen. 

Bij het oplossen van een vergelijking in R maken we gebruik van de eigenschappen die geldig 

zijn in het veld van de reële getallen. 

We lossen een matriciële vergelijking op door gebruik te maken van de eigenschappen van 

de structuur R, R m×n , + die een reële vectorruimte is. 

⎤ 

⎦.


⎡ 

2 3 

1 4 

⎤ 

⎡ 

6 −3 

−1 4 

Voorbeeld: Gegeven de matrices A = ⎣ ⎦ en B = ⎣ 

2 −1 

Los de volgende matriciële vergelijking op naar X: A + 2X = B. 

Oplossing: We lossen eerst de vergelijking op naar X. 

A + r · X = B met r = 0 

2 −1 

⇔ −A + (A + r · X) = −A + B elke matrix bezit een tegengestelde 

⇔ −A + (A + r · X) = B − A de som van matrices is commutatief 

⇔ (−A + A) + r · X = B − A de som van matrices is associatief 

⇔ O + r · X = B − A definitie van tegengestelde matrix 

⇔ r · X = B − A O is neutraal element voor de som van matrices 

⇔ 1 

r 

⇔ ( 1 

r 

1 

1 

(r · X) = (B − A) r = 0 dus bestaat r 

r 

1 

r) · X = (B − A) scal.verm. is gemeng associatief 

r 

⇔ 1 · X = 1 

(B − A) definitie van omgekeerden in R 

r 

⇔ X = 1 

(B − A) 1 is neutraal element vr. scal.verm. van matrices 

r 

Nu substitueren we de gegeven matrices A en B in de laatste vergelijking. 

X = 1 

2 ( 

⎡ 

6 

⎣ −1 

2 

⎤ ⎡ 

−3 2 

4 ⎦ − ⎣ 1 

−1 2 

⎤ 

3 

4 ⎦) = 

−1 

1 

⎡ 

4 

⎣ −2 

2 

0 

⎤ ⎡ 

−6 2 

0 ⎦ = ⎣ −1 

0 0 

⎤ 

−3 

0 ⎦ 

0 

 

3 

OPGAVEN — 4 Gegeven: de matrices A = 

0 

2 

−4 

 

1 

en B = 

5 

Gevraagd: Los de volgende matriciële vergelijking op naar X: 

Vermeld de gebruikte eigenschappen. 

5 Gegeven: de matrices A = ⎣ 

⎡ 

1 2 3 4 

5 6 7 8 

9 10 11 12 

2A − 3X = 4B − 5X. 

⎤ 

⎡ 

⎦ en B = ⎣ 

1 0 2 0 

0 1 0 2 

2 1 0 3 

⎤ 

1 2 3 

4 5 6 

Gevraagd: Los de volgende matriciële vergelijking op naar X. Substitueer pas dan de gegeven matrices: 

a. X + A = 2A − X; 

⎤ 

⎦. 

⎦. 

 

.


b. (A + X) − (B + X) = A + B + X; 

c. −3X = 2(A − B) + 3(A + B). 

Vermeld telkens de gebruikte eigenschappen. 

 

−1 2 

Oplossingen: 4 

8 14 

⎡ 

⎤ 

1/2 1 3/2 2 

 

5 

; 

7 

⎡ 

−2 0 −4 

⎤ 

0 

5 a. ⎣ 5/2 3 7/2 4 ⎦; b. ⎣ 0 −2 0 −4 

9/2 5 11/2 6 −4 −2 0 −6 

⎦; c. − 1 

3 

⎡ 

⎣ 

6 10 17 20 

25 31 35 42 

47 51 55 63 

2.2.5 De getransponeerde matrix van een matrix 

De getransponeerde matrix van een matrix A is de matrix A t die we bekomen door 

in de matrix A de rijen met de kolommen te verwisselen. 

([aij] 

 

m×n 

) t = [aji] 

 

n×m 

Is A een matrix van de orde m × n dan is A t een matrix van de orde n × m. 

STELLING 2.1 De getransponeerde van de getransponeerde van een matrix is gelijk aan 

de matrix. 

Met symbolen: 

∀A ∈ R m×n : (A t ) t = A. 

STELLING 2.2 De getransponeerde van de som van twee matrices is gelijk aan de som 

van de getransponeerde van die matrices. 

Met symbolen: 

∀A, B ∈ R m×n : (A + B) t = A t + B t 

STELLING 2.3 De getransponeerde matrix van het product van een matrix met een reëel 

getal is gelijk aan het product van de getransponeerde van die matrix en dat reëel getal. 

Met symbolen: 

∀r ∈ R, ∀A ∈ R m×n : (r.A) t = r.A t 

⎤ 

⎦;


2.2.6 Soorten matrices 

1. Een rijmatrix is een matrix van de orde (1 × n) dit is een matrix met één rij. Zij 

zijn element van R1×n . 

 

x1 x2 · · · xn 

 

2. Een kolommatrix is een matrix van de orde (m×1) dit is een matrix met één kolom. 

Zij zijn element van Rm×1 . ⎡ ⎤ 

⎢ 

⎣ 

x1 

x2 

. 

xm 

3. Een vierkante matrix van de orde n is een matrix waarvan het aantal rijen gelijk 

is aan het aantal kolommen gelijk aan n. 

Een element aij waarvoor i = j is een element van de hoofddiagonaal en een element 

aij waarvoor i + j = n + 1 is een element van de nevendiagonaal. 

4. Een symmetrische matrix is een vierkante matrix waarvan de getransponeerde de 

matrix zelf is. 

A is symmetrisch ⇐⇒ A t = A, 

[aij] 

 

m×n 

⎥ 

⎦ 

is symmetrisch ⇐⇒ aij = aji. 

Bij een symmetrische matrix zijn de elementen symmetrisch t.o.v. de hoofddiagonaal 

gelijk aan elkaar. 

5. Een driehoeksmatrix is een vierkante matrix waarvan alle elementen boven of onder 

de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul. 

6. Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix waarvan alle elementen boven en onder 

de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul. 

7. Een scalaire matrix is een diagonaalmatrix waarvan alle elementen op de hoofddiagonaal 

gelijk zijn aan elkaar. 

8. Een scheefsymmetrische matrix is een vierkante matrix waarvan de getransponeerde 

de tegengestelde matrix is. 

A is scheefsymmetrisch ⇐⇒ A t = −A, 

[aij] 

 

m×n 

is scheefsymmetrisch ⇐⇒ aij = −aji.


Is i = j dan is aii = −aii. Hieruit volgt dat aii = 0. 

Bij een scheefsymmetrisce matrix zijn alle diagonaalelementen nul en zijn de elementen 

symmetrisch t.o.v. de hoofddiagonaal tegengesteld. 

OPGAVEN — 6 Gegeven zijn de matrices: A = 

Bereken indien mogelijk: 

a. A + C en C + A; 

b. A + (B + C) en (A + B) + C; 

c. 3 · (4 · A) en 12 · A; 

d. 3 · (B + C) en 3 · B + 3 · C; 

e. 2 · B + 6 · B en 8 · B; 

f. A + B t en A t + B; 

g. (A + B) t en A t + B t ; 

h. (−7 · C) t en −7 · C t ; 

i. (A t ) t . 

1 2 3 

3 4 0 

 

1 1 1 

, B = 

0 1 0 

 

en C = 

1 0 1 

2 1 2 

Sommige uitdrukkingen zijn aan elkaar gelijk. Geef de naam van de eigenschap van bewerkingen met 

matrices die daarmee overeenstemt. 

7 Bewijs dat voor elke vierkante matrix A geldt dat A + A t een symmetrische matrix is. 

8 Bewijs dat als A een vierkante matrix is A − A t een scheefsymmetrische matrix is. 

9 Bewijs dat de getransponeerde van een driehoeksmatrix, een diagionaalmatrix, een scalaire matrix, een 

vierkante matrix, een symmetrische matrix terug een driehoeksmatrix respectievelijk diagionaalmatrix, een 

scalaire matrix, een vierkante matrix, een symmetrische matrix is. 

10 Bewijs dat een driehoeksmatrix symmetrisch is als en slechts als het een diagonaalmatrix is. 

11 Onderzoek resp. voor een symmetrisch matrix, een driehoeksmatrix, een diagonaalmatrix en een scalaire 

matrix hoe de som is, hoe de tegengestelde matrix is en hoe de matrix is als hij met een reëel getal 

wordt vermenigvuldigd. 

Oplossingen: 

2 2 

6 a. 

5 5 

 

4 3 

; b. 

2 5 

⎡ ⎤ 

2 3 

 

3 5 12 

; c. 

6 2 36 

⎡ 

⎤ 

−7 −14 

24 

48 

36 

0 

f. gaat niet g. ⎣ 3 5 ⎦; h. ⎣ 0 −7 ⎦; i. A 

4 0 −7 −14 

 

; d. 

6 3 6 

6 6 6 

 

; e. 

8 8 8 

0 8 0 

 

; 

 

.


2.2.7 Lineaire combinatie van vectoren 

Zijn v1, v2, . . . , vm m vectoren van een reële vectorruimte R, V, + en zijn r1, r2, . . . , rm m 

reële getallen, dan noemen we de vector 

v = r1.v1 + r2.v2 + · · · + rm. vm 

een lineaire combinatie van de vectoren v1, v2, . . . , vm. 

Opmerking: Een lineaire combinatie van één vector is een veelvoud van die vector. 

Voorbeelden. 

• In de vectorruimte R, R 2 , + is het koppel [−10, −12] een lineaire combinatie van de 

koppels [−1, 2], [2, 4] en [3, 2] want 

[−10, −12] = 3[−1, 2] − 5[2, 4] + [3, 2]. 

Dit geldt omdat 

−10 = 3(−1) + (−5)2 + 3 

−12 = 3 · 2 + (−5)4 + 2 

(2.1) 

Het is handiger in een lineaire combinatie de vectoren als kolommatrices te schrijven 

 

−10 −1 2 3 

= 3 · − 5 · + 

−12 2 4 2 

Dit laatste geeft aanleiding tot hetzelfde stelsel 2.1. 

• In de vectorruimte R, R 3 , + is het 3-tal (3, −3, −4) een lineaire combinatie van de 

3-tallen (1, −1, 0), (2, 0, −3) en (1, 1, 1) want 

Dit geldt omdat ⎧ ⎨ 

Met kolommatrices: 

(3, −3, −4) = 2(1, −1, 0) + (2, 0, −3) − (1, 1, 1) 

⎩ 

⎡ 

⎣ 

1 · 2 + 2 · 1 + 1(−1) = 3 

(−1)2 + 0 · 1 + 1(−1) = −3 

0 · 2 + (−3)1 + 1(−1) = −4 

3 

−3 

−4 

⎤ 

⎡ 

⎦ = 2 · ⎣ 

1 

−1 

0 

⎤ 

⎡ 

⎦ + ⎣ 

2 

0 

−3 

⎤ 

⎡ 

⎦ − ⎣ 

1 

1 

1 

⎤ 

⎦


• Het stelsel 2x + 3y − 5z = 2 

4x − 6y − 7z = 7 

kan geschreven worden als een lineaire combinatie van kolommatrices. 

 

2 3 −5 2 

x · + y · + z · = 

4 −6 −7 7 

Het stelsel oplossen zal erop neerkomen een lineaire combinatie van 3 vectoren [2, 4], 

[3, −6] en [−5, −7] te zoeken zodat we de vector [2, 7] bekomen. 

OPGAVEN — 12 

Gegeven zijn de vectoren 

1. [30, 105, 170, 40], [25, 80, 130, 10] en [25, 70, 120, 30] 

2. [3, −4, −5] en [6, −7, 2]. 

3. (1, −4, 8], [4, −7, −4] en [8, 4, 1]. 

(i) Tot welke vectorruimte behoren de vectoren; 

(ii) Bepaal een vector die een lineaire combinatie is van de vectoren. Schrijf de combinatie met kolommatrices. 

Oplossingen 

12 (i) 1. R 4 , 2. R 3 , 3. R 3


2.3 Oplossen van lineaire stelsels 

2.3.1 Inleidende voorbeeld 

Dit schooljaar is de doelstelling van de algebra het leren oplossen van stelsels volgens een 

bepaalde efficiënte techniek. Vorige jaren hebben jullie al geleerd hoe je een eenvoudig 

stelsel kunt oplossen. Eén van de methodes is de combinatiemethode. 

Voorbeeld: 

We beschouwen het stelsel 2x − y = 7 

−3x + 4y = −3 

We behouden de eerste vergelijking en de tweede vergelijking vervangen we door een lineaire 

combinatie van de twee vergelijkingen zodat bijvoorbeeld de onbekende x verdwijnt (we elimineren 

x). Om de x te elimineren, gaan we de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 

3, de tweede vergelijking vermenigvuldigen met 2 en vervolgens de vergelijkingen lid aan 

lid optellen. 

2x − y = 7 3 

−3x + 4y = −3 2 ⇐⇒ 

 

2x − y = 7 

0x + 5y = 15 

We laten de tweede vergelijking staan en de eerste vergelijking vervangen we door een 

lineaire combinatie van de twee vergelijkingen zodat de onbekende y verdwijnt. 

 

2x − y = 7 5 

0x + 5y = 15 1 ⇐⇒ 

 

10x + 0y = 50 

0x + 5y = 15 ⇐⇒ 

 

x = 5 

y = 3 

Opmerking: Bij het correct toepassen van de combinatiemethode, gaan we over van een 

stelsel naar ander stelsel die gelijkwaardig is met het eerste stelsel. Dit betekent dat de 

oplossingen van het eerste stelsel dezelfde zijn als de oplossingen van het tweede stelsel. 

Als we lineaire combinaties van de vergelijkingen van een stelsel maken, maken we eigenlijk 

lineaire combinaties van de coëfficiënten van de onbekenden. Het is in feite niet nodig de 

onbekenden op te schrijven. Het is enkel van belang dat we weten welke coëfficiënten bij 

welke onbekenden horen. We definiëren daarom een schema of tabel van reële getallen die 

de coëfficiënten zijn van de onbekenden van het stelsel. De plaats van de getallen is van 

belang. Zo een schema is een reële matrix. Dit spaart schrijfwerk uit. We zullen nu het 

bovenstaande stelsel oplossen door de combinaties toe te passen op de rijvectoren van de 

matrix. 

 

2 −1 7 

−3 4 −3 

2v2+3v1 

∼ 

2 −1 7 

0 5 15 

5v1+v2 

∼ 

10 0 50 

0 5 15 

v1 

10 1 0 5 

∼ 

0 1 3 

Uit deze matrix kunnen we de oplossing van het stelsel aflezen, nl. (5, 3). 

 

.

2.3. OPLOSSEN VAN LINEAIRE STELSELS 83 

Deze methode van oplossen noemen we de methode van Gauss-Jordan of de spilmethode. 

Deze methode laat ons toe grote stelsels met veel onbekenden op te lossen zonder dat we 

in de knoei geraken of in cirkeltjes gaan draaien. Voor het oplossen van een stelsel maken 

we gebruik van het begrip matrix en het begrip van vector van een reële vectorruimte. 

2.3.2 Rijequivalente matrices 

Rijoperaties op een matrix zijn: 

1. Het verwisselen in een matrix A van de i-de rijvector vi en de j-de rijvector vj ( met 

DERIVE: swap elements(A, i, j)). 

Met symbolen: 

vij = vji 

2. Het vervangen van een rijvector vi van A door een lineare combinatie van alle rijvectoren 

van A waarbij de scalair van vi verschillend is van 0. 

Met symbolen: 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

v1 

v2 

vi 

vm 

⎤ 

⎡ 

v1 

⎥ ⎢ 

v2 

⎥ 

⎥ ⎢ 

⎥ 

⎥ ⎢ 

⎥ 

. ⎥ ⎢ 

. 

⎥ 

⎥ ∼ ⎢ 

⎥ met ri = 0 

⎥ ⎢ r1v1 + r2v2 + · · · + rivi + · · · + rmvm ⎥ 

⎥ ⎢ 

⎥ 

. ⎦ ⎣ 

. 

⎦ 

vm 

Bijzondere rijoperatie 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

v1 

. 

vj 

. 

vi 

. 

vm 

⎤ 

⎡ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ∼ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎦ ⎣ 

v1 

. 

vj 

. 

rivi + rjvj 

. 

vm 

⎤ 

⎤ 

⎥ met ri = 0 

⎥ 

⎦


Een bijzonder geval van de voorgaande rijoperatie 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

⎢ 

⎣ 

v1 

. 

vj 

. 

vi 

. 

vm 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ∼ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎦ ⎣ 

v1 

. 

vj 

. 

rivi 

. 

vm 

⎥ met ri = 0 

⎥ 

⎦ 

Opmerking: De voorwaarden die gesteld worden voor de scalairen ri zijn belangrijk om 

het gelijkwaardig zijn van de corresponderende stelsels te garanderen. 

Rijequivalente matrices 

Twee matrices worden rijequivalente matrices genoemd als en slechts als de ene matrix 

overgaat in de andere matrix door het toepassen van een eindig aantal rijoperaties. 

Opmerking: Rijequivalente matrices corresponderen met gelijkwaardige stelsels. 

2.3.3 Gauss-Jordan-methode voor het oplossen van lineaire stelsels 

De methode van Gauss-Jordan bestaat erin door het toepassen van een eindig aantal rijoperaties 

op een matrix, de matrix in een zogenaamde canonieke gedaante te brengen, d.i. een 

gedaante waarbij zoveel mogelijk nullen optreden. We noemen die matrix de canonieke 

matrix van de matrix. 

De methode van Gauss-Jordan is een typische computermethode. Daarom zullen we meestal 

gebruik maken van DERIVE. Daartoe moeten we enkel de matrix A invoeren en het 

commando row reduce(A) schrijven. 

 

row reduce( 

2 −1 7 

−3 4 −3 

 

1 0 5 

) = 

0 1 3 

De spilmethode Hoe herleiden we zonder computer een matrix naar een canonieke matrix? 

Is het element van de eerste rij en eerste kolom gelijk aan nul dan verwisselen we de eerste rij met een andere 

rij waar het element in de eerste kolom verschillend is van nul, indien dit bestaat. Indien er geen zulke 

rij is, kijken we naar de tweede kolom in elke rij en zorgen ervoor dat, indien er zulk een niet-nul element 

bestaat, dit niet-nul element op de eerste rij komt. Indien er geen zulk een niet-nul element bestaat, kijken 

we naar de derde kolom in elke rij, enz. Stel dat het eerste niet-nul element dat we kunnen tegenkomen 

wanneer we alle rijen afgaan, op de i1-ste kolom staat. We brengen de corresponderende rij op de eerste 

rij. We laten de nieuwe eerste rij dan staan en vervangen elke andere rijvector door een lineaire combinatie 

 

.


met de eerste rijvector, zodat het i1-ste coördinaatgetal van de nieuwe vector nul wordt. Nu zoeken we het 

eerste niet-nul getal in alle rijen uitgezonderd de eerste, bvb. het i2-de getal in de j2-de rij. We verwisselen 

dan de tweede met de j2-de rij zodat op de i2-de plaats van de tweede rij een niet-nul element staat. We 

laten die nieuwe tweede rij dan staan en vervangen elke andere rijvector door een lineaire combinatie met 

de tweede rijvector, zodat het i2-de coördinaatgetal van de nieuwe vector nul wordt. Op deze wijze gaan 

we verder. Uiteindelijk bekomen we een matrix in de zogenaamde canonieke gedaante. Hierin zijn de 

eerste elementen op de niet-nul rijen resp. a1i1 , a2i2 , · · · ,arir verschillend van nul. Zo een element van 

de canonieke matrix wordt een Jordan-element genoemd. De verzameling elementen akik 

noemen we 

de Jordan-diagonaal. De elementen van een Jordan-diagonaal zijn allemaal verschillend van nul, en alle 

elementen boven, onder en links van zulke elementen zijn gelijk aan nul. 

Als we de spilmethode willen toepassen zonder gebruik te maken van de computer, kunnen 

we wel elke rijoperatie met de computer controleren. Daartoe moet eerst de Utility-file 

VECTOR.MTH. ingeladen worden: 

swap elements(A, i, j) verwisselt in de matrix A het i-de rij met het jde rij. 

force0(A, i, j, k) vervangt de i-de rij door een lineaire combinatie van de i-de 

rij en de k-de rij om het element aij ∈ A nul te maken. Bij deze rijoperatie is 

het element akj het zogenaamd Jordan-element 

Voorbeeld: Los het volgend stelsel op met de methode van Gauss-Jordan zonder computer 

maar controleer elke stap met de computer. 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

2x − 3y + 4z − u = 3 

6x − 9y + 2z − 3u = 4 

x − 2y − z + 2u = 1 

3x − y + z − 7u = 4 

De verhoogde matix van het stelsel is een (4, 5)- matrix. Het eerste Jordan-element is het 

eerste element van de eerste rij a11 op voorwaarde dat dit element verschillend is van nul 

Hier is 2 het eerste Jordan-element. We omcirkelen dat element. 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2v3 − v1 

force0(A,3,1,1) 

∼ 

2 −3 4 −1 3 

6 −9 2 −3 4 

1 −2 −1 2 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2v2 − 6v1 

force0(A,2,1,1) 

∼ 

3 −1 1 −7 4 

⎡ 

2 

⎢ 0 

⎣ 0 

−3 

0 

−1 

4 

−20 

−6 

−1 

0 

5 

⎤ 

3 

−10 ⎥ 

−1 ⎦ 

3 −1 1 −7 4 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2v4 − 3v1 

force0(A,4,1,1) 

∼ 

2 −3 4 −1 3 

0 0 −20 0 −10 

1 −2 −1 2 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

3 −1 1 −7 4 

⎡ 

2 

⎢ 0 

⎣ 0 

−3 

0 

−1 

4 

−20 

−6 

−1 

0 

5 

⎤ 

3 

−10 ⎥ 

−1 ⎦ 

0 7 −10 −11 −1 

Het tweede Jordan-element is het eerste element verschillend van nul van de 2de rij maar 

dit element staat in de 3de kolom en er is nog een element verschillend van nul in de 2de


kolom op de 3de rij. Daarom gaan we de 2de en de 3de rij met elkaar verwisselen. Als we 

geen computer gebruiken is het aan te raden de 2de rij (die 3de rij wordt) te delen door 

−10. 

v2/(−10) 

v23 

swap elements(A,2,3) 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 −3 4 −1 3 

0 −1 −6 5 −1 

0 0 2 0 1 

0 7 −10 −11 −1 

Het tweede Jordan-element is hier nu −1; We omcirkelen dat element en maken het element 

boven en onder −1 gelijk aan 0. 

−v1 + 3v2 

force0(A,1,2,2) 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

−2 0 −22 16 −6 

0 −1 −6 5 −1 

0 0 2 0 1 

0 7 −10 −11 −1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

v1/(−2) 

−v4 − 7v2 

force0(A,4,2,2) 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1 0 11 −8 3 

0 −1 −6 5 −1 

0 0 2 0 1 

0 0 52 −24 8 

Het derde Jordan-element is het eerste element verschillend van 0 op 3de rij. Dit is 2. We 

omcirkelen 2. We delen ondertussen de 4de rij door 4 en maken de elementen boven 2 gelijk 

aan 0. (force0(A, 1, 3, 3) en force0(A, 2, 3, 3)) 

v4/4 

2v1 − 11v3 

2v2 + 6v3 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 0 0 −16 −5 

0 −2 0 10 4 

0 0 2 0 1 

0 0 13 −6 2 

We delen de 2de rij door −2 en de 4de rij door −3 

v2/(−2) 

v4/(−3) 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2v4 − 13v3 

force0(A,4,3,3) 

∼ 

2 0 0 −16 −5 

0 1 0 −5 −2 

0 0 2 0 1 

0 0 0 4 3 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 0 0 −16 −5 

0 −2 0 10 4 

0 0 2 0 1 

0 0 0 −12 −9 

Het 4de Jordan-element is het eerste element verschillend van 0 op de 4de rij. Dit is hier 4. 

We omcirkelen dat element en we maken de elementen boven 4 gelijk aan 0 (force0(A, 1, 4, 4) 

en force0(A, 2, 4, 4)) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 0 0 −16 −5 

0 −2 0 10 4 

0 0 2 0 1 

0 0 0 4 3 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

4v1 + 16v4 

4v2 − 10v2 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

8 0 0 0 28 

0 4 0 0 7 

0 0 2 0 1 

0 0 0 4 3 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦


We maken de Jordan-elementen gelijk aan 1 door de 1ste, 2de, 3de en 4de rij te delen door 

resp. 8, 4, 2 en 4. 

v1/8 v2/4 

v3/2 v4/4 

∼ 

⎡ 

1 

⎢ 0 

⎣ 0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

⎤ 

7/2 

7/4 ⎥ 

1/2 ⎦ 

0 0 0 1 3/4 

Het stelsel heeft één oplossing nl. [ 7 

2 

, 7 

4 

1 3 , , 2 4 ]. 

Opmerking: De oplossing(en) van een stelsel kunnen op twee verschilllende manieren 

geïnterpreteerd worden. 

Voorbeeld: Beschouwen we het stelsel 

x − 2y = 4 

3x + y = 6 

We lossen het stelsel op met de methode van Gauss. 

 

1 

3 

−2 

1 

 

4 1 

∼ 

6 0 

−2 

7 

 

4 7 

∼ 

−6 0 

0 

7 

16 

−6 

De oplossing [ 15 

7 

 

∼ 

1 0 16/7 

0 1 −6/7 

6 , − ] kunnen we op twee manieren meetkundig bekijken: 

7 

1. Het koppel [ 15 6 , − ] is in het vlak de coördinaat van het snijpunt van de rechten 

7 7 

x − 2y = 4 en 3x + y = 6; 

 

4 

2. De kolomvector is een lineaire combinatie van de kolomvectoren 

 

6 

−2 

met scalairen 

1 

 

1 

3 

en 

15 6 en 7 7 . 

 

4 

= 

6 

15 

7 · 

 

1 

+ 

3 

6 

7 · 

 

−2 

1 

OPGAVEN — 13 Los de volgende stelsels op met de methode van Gauss-Jordan en geef de twee meetkundige 

interpretaties van de oplossingen. 

2x − y = 5 

x − y = 2 

a. 

b. 

x + y = 1 

x + y = −2 

Oplossingen: 13: a. (2, −1); b. (0, −2);


RM I groepswerk 9 1. Los de volgende stelsels op met de methode van Gauss-Jordan. 

⎧ 

⎪⎨ 

2x 

x 

1. 

⎪⎩ 

3x 

3x 

⎧ 

⎨ x 

− 

+ 

− 

− 

+ 

3y 

2y 

y 

y 

y 

+ 

− 

+ 

+ 

− 

4z 

z 

2z 

z 

2z 

− 

+ 

− 

− 

+ 

u 

2u 

3u 

7u 

u 

= 

= 

= 

= 

+ 

3 

1 

4 

4 

3t = 1 

3. 2x 

⎩ 

3x 

+ 

+ 

2y 

2y 

− 

− 

4z 

4z 

+ 

− 

2u 

3u 

+ 

− 

6t 

9t 

= 

= 

2 

3 

⎧ 

⎨ x − 3y + z = −2 

5. 2x 

⎩ 

3x 

− 

− 

y 

4y 

− 

+ 

z 

z 

= 

= 

3 

2 

⎧ 

⎪⎨ 

2x + 4y + 3z − u = 1 

x − 2y − 2z − 3u = 5 

2. 

⎪⎩ 

−3x + y + z − 5u = −9 

−x + y − z − u = −5 

4. 

6. 

x + 2y + 3z + 4u = 1 

2x + y + z + 2u = −1 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x + y + z = 4 

2x + 5y − 2z = 3 

x + 7y − 5z = −6 

2. Geef de twee verschillende interpretaties van de oplossingen van de volgende stelsels 

en maak telkens een tekening in het vlak. 

a. a : x + y = 2, b : 2x + 2y = −2 en c : −x − y = −2; 

b. a : x + 5y = −8, b : 3x − 2y = 10, c : 5x + 3y = 4 en D : x + y = 0; 

c. a : x y 

+ 2 3 

= 1, b : x − y = 1 en c : 4x + 2y = 8. 

3. Een sleutel-op-de-deur bouwbedrijf bouwt drie types van woningen. Voor het eerste 

type woning zijn er 3 eenheden beton, 2 eenheden steen en 5 eenheden hout nodig. 

Voor het tweede type zijn dat 4 eenheden beton, 2 eenheden steen en 6 eenheden hout. 

Voor het derde type zijn dat 2 eenheden beton, 3 eenheden steen en 5 eenheden hout. 

Nadat een aantal woningen is afgewerkt, beweert de boekhouder dat er 50 eenheden 

beton zijn verwerkt, 100 eenheden steen en 200 eenheden hout. Hoeveel woningen 

werden er van elk type gebouwd? Of kloppen de cijfers van de boekhouder niet? 

4. Een bedrijf maakt 3 producten: A, B en C. Het heeft daarvoor drie machines nodig: 

I, II en III. Om een eenheid van product A te maken, heeft men machine I gedurende 

3 uur nodig, machine II ook gedurende 3 uur en machine III gedurende 2 uur. Om een 

eenheid van product B te maken, heeft men de machines achtereenvolgens 2 uur, 1 

uur en 1 uur nodig. Om een eenheid van product C te maken, heeft men de machines 

achtereenvolgens 8 uur, 7 uur en 5 uur nodig. Machine I is 800 uur beschikbaar, 

machine II is 700 uur per maand beschikbaar en machine III kan 500 uur per maand 

worden gebruikt. Hoeveel eenheden van elk product moet het bedrijf maandelijks 

maken om optimaal gebruik te maken van alle machines? 

Hoe kan de productie worden geoptimaliseerd als men 150 eenheden van product A 

moet maken? 

5. Een bedrijf maakt 2 producten: A en B. Het heeft daarvoor 2 machines nodig: machine 

I en nog een nieuw te bouwen machine II. Om een eenheid van product A te 

maken, heeft men machine I gedurende 3 uur. Om een eenheid van product B te


maken, heeft men de machine I gedurende 2 uur. Hoe lang machine II nodig is, zal 

afhangen van hoe de machine II wordt gebouwd, maar in elk geval twee keer zo lang 

voor product B als voor product A. Beide machines zullen elk gedurende 60 uur per 

week operationeel zijn. Bepaal hoeveel eenheden van elk product het bedrijf wekelijks 

moet maken om optimaal gebruik te maken van beide machines. 

6. Schrijf de eerste vector als een lineaire combinatie van de volgende vectoren indien 

mogelijk. Zijn er ook soms meerdere mogelijkheden? 

(a) [7, 8, 9] en [1, 2, 3], [4, 5, 6]; 

(b) [− 1 1 , − ] en [−6, 4], [3, −2]; 

2 3 

(c) [0, 5] en [3, −6], [−4, 8]; 

(d) [7, 8] en [1, 2], [4, 5]; 

(e) [9, 5, 1] en [2, 1, 3], [−1, 3, 1], [−1, 1, 1]; 

(f) [14, 18, 5] en [3, 2, 1], [2, −1, 1], [−1, 1, 1]; 

(g) [23, −20, 41] en [1, 2, 7], [3, −3, 6], [−1, 3, −2]; 

(h) [8, 56, 37] en [0.2, 3, 0.25], [0.5, −1, 2.5], [−1.25, −1, −4]; 

(i) [1, −1, 1, 1] en [1, 2, 4, −1], [−2, 1, 1, 2]; 

(j) [0, 4, −2, 1] en [0, 1, −2, 3], [1, −3, 4, −5], [−2, 2, 1, 4], [3, 1, 2, 2]; 

(k) [0, 2] en [1, 1], [1, 2], [1, 3]; 

(l) [0, 1, −1, 2] en [1, 0, −2, 1], [2, 1, 3, −1], [4, 1, −1, 1], [−1, 2, 1, 1], [−1, 1, 1, 1]; 

Oplossingen: 1 

⎛ ⎞ ⎛ 

x 

⎜ 

1. ⎜ y ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎝ z ⎠ = r. ⎜ 

⎝ 

16 

−29 

−28 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

u 

7 

+ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

9/7 

−1/7 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 

2. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

x 

y 

z 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

u 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

39/14 

−23/14 

9/14 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

x 

y ⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

z ⎟ = r. ⎜ 

u ⎠ ⎝ 

⎞ ⎛ 

5 

15 

−6 ⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ −18 

0 ⎟ + s. ⎜ 0 

1 ⎠ ⎝ 0 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + k. ⎜ 

⎠ ⎝ 

⎞ 

0 

2 ⎟ 

1 ⎟ 

0 ⎠ 

−1/14 

t 

0 

1 

0 

+ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

1 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎠ 

0 

; 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

x 

1 

0 

⎜ 

4. ⎜ y ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎝ z ⎠ = r. ⎜ −5 ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ + s. ⎜ −2 ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

u 

0 

1 

+ 

⎛ ⎞ 

−1 ⎛ 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ 0 ⎠ ; 5. ⎝ 

0 

x 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

3 

x 

y ⎠ = ⎝ 2 ⎠; 6. ⎝ y ⎠ = ⎝ 

z 1 

z 

 

x + 2z = 200 

2. a. strijdig; b. (2, −2); c. strijdig; 3. strijdig 4. 

, (150, 75, 25); 

y + z = 100 

5. ( 30(t−1) 

t 

, 15(3−t) 

t ) met t het aantal uur dat II nodig heeft om 1 eenheid van A te maken, 15 vr A en 7,5 

vr B (t=2); 6. (a) [7, 8, 9] = −[1, 2, 3] + 2[4, 5, 6]; (b) gn lin. comb. mgl; (c) gn lin. comb. mgl; 

17 

3 

− 5 

3 

0 

⎞ 

⎠.


(d) [7, 8] = −[1, 2] + 2[4, 5]; (e) [9, 5, 1] = 2[2, 1, 3] + 4[−1, 3, 1] − 9[−1, 1, 1]; 

(f) [14, 18, 5] = 7[3, 2, 1] − 3[2, −1, 1] + [−1, 1, 1]; (g) [23, −20, 41] = −[1, 2, 7] + 9[3, −3, 6] + 3[−1, 3, −2]; 

(h) [8, 56, 37] = 2020 

67 

(j) [0, 4, −2, 1] = − 306 

73 

[0.2, 3, 0.25] + 1724 

67 

[0, 1, −2, 3] − 205 

73 

584 

[0.5, −1, 2.5] + 67 [−1.25, −1, −4]; (i) geen opl 

[1, −3, 4, −5] − 32 

73 

47 

[−2, 2, 1, 4] + 73 [3, 1, 2, 2]; 

(k) ∞ veel mgl, bvb. [0, 2] = [1, 1] − 4[1, 2] + 3[1, 3]; (l) gn lin. comb. mgl. 

2.4 Lineaire onafhankelijkheid van vectoren 

m vectoren v1, v2, . . . , vm zijn lineair onafhankelijk als en slechts als de nulvector maar op 

één manier kan geschreven worden als lineaire combinatie van deze m vectoren, nl. de lineaire 

combinatie met de scalairen allen gelijk aan nul. 

Met symbolen: 

v1, v2, . . . , vm zijn lineair onafhankelijk 

⇕ 

r1.v1 + r2.v2 + · · · + rm. vm = o =⇒ r1 = r2 = · · · = rm = 0 

De m vectoren v1, v2, . . . , vm zijn lineair afhankelijk als en slechts als ze niet lineair 

onafhankelijk zijn. 

Voorbeelden: 

• De vectoren (1, 2, 3) en (4, 5, 6) zijn lineair onafhankelijk omdat geldt dat het (3, 2)stelsel 

⎡ ⎤ 

1 

⎡ ⎤ 

4 

⎡ ⎤ 

0 

x · ⎣ 2 ⎦ + y · ⎣ 5 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ 

3 6 0 

slechts één oplossing heeft, nl. (x, y) = (0, 0). Uit x · (1, 2, 3) + y · (4, 5, 6) = (0, 0, 0) 

volgt dat (x, y) = (0, 0). 

Merk op dat geen van de twee vectoren een veelvoud is van de andere vector. 

• De vectoren (1, 2, 3), (4, 5, 6) en (7, 8, 9) zijn lineair afhankelijk omdat geldt dat het 

(3, 3)-stelsel 

⎡ ⎤ 

1 

⎡ ⎤ 

4 

⎡ ⎤ 

7 

⎡ ⎤ 

0 

x · ⎣ 2 ⎦ + y · ⎣ 5 ⎦ + z · ⎣ 8 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ 

3 6 9 0 

niet enkel de nuloplossing (x, y, z) = (0, 0, 0) heeft maar nog minstens één andere 

oplossingen (x, y, z) = (0, 0, 0) heeft. 

Na toepassen van de methode van Gauss vinden we het stelsel 

x − z = 0 

y + 2z = 0 

⇐⇒ . 

x = z 

y = −2z

2.4. LINEAIRE ONAFHANKELIJKHEID VAN VECTOREN 91 

Uit x · (1, 2, 3) + y · (4, 5, 6) + z · (7, 8, 9) = (0, 0, 0) volgt dat (x, y, z) = r · (1, −2, 1). 

Praktisch betekent dit laatste dat 

1 · (1, 2, 3) − 2 · (4, 5, 6) + 1 · (7, 8, 9) = (0, 0, 0), 

m.a.w. elk van de vectoren is te schrijven als een lineaire combinatie van de twee 

andere vectoren, bvb. 

(7, 8, 9) = 2 · (4, 5, 6) − (1, 2, 3) 

• De vectoren (1, 2, 3), (2, 4, 6) en (7, 8, 9) zijn lineair afhankelijk omdat geldt dat het 

(3, 3)-stelsel 

⎡ ⎤ 

1 

⎡ ⎤ 

2 

⎡ ⎤ 

7 

⎡ ⎤ 

0 

x · ⎣ 2 ⎦ + y · ⎣ 4 ⎦ + z · ⎣ 8 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ 

3 6 9 0 

minstens één oplossing heeft verschillend van de nuloplossing. 

Na toepassen van de methode van Gauss vinden we het stelsel 

x + 2y = 0 

z = 0 

 

x = −2y 

⇐⇒ . 

z = 0 

Uit x · (1, 2, 3) + y · (2, 4, 6) + z · (7, 8, 9) = (0, 0, 0) volgt dat (x, y, z) = r · (−2, 1, 0). 

Praktisch betekent dit laatste dat 

−2 · (1, 2, 3) + 1 · (2, 4, 6) + 0 · (7, 8, 9) = (0, 0, 0), 

m.a.w. de vector (1, 2, 3) is te schrijven als een lineaire combinatie van de twee andere 

vectoren, 

(1, 2, 3) = 1 

(2, 4, 6) + 0 · (7, 8, 9) 

2 

ook de vector (2, 4, 6) is te schrijven als een lineaire combinatie van de twee andere 

vectoren, 

(2, 4, 6) = 2 · (1, 2, 3) + 0 · (7, 8, 9) 

De vector (7, 8, 9) is niet te schrijven als lineaire combinatie van de twee anderen. We 

kunnen de gelijkheid niet oplossen naar (7, 8, 9) omdat de coëffiënt nul is. 

Deze berekeningen waren eigenlijk allemaal overbodig omdat we reeds bij het begin 

zien dat de eerste twee vectoren veelvouden zijn van elkaar. De eerste twee zijn reeds 

lineair afhankelijk dus zijn de drie vectoren ook lineair afhankelijk. 

We kunnen dus zeggen dat de drie vectoren afhankelijk zijn omdat er minstens ëën 

te schrijven is als een lineaire combinatie van de twee anderen.


De m vectoren v1, v2, . . . , vm zijn lineair afhankelijk als en slechts als minstens één 

van de vectoren te schrijven is als een lineaire combinatie van overige m − 1 vectoren. 

Met symbolen: 

v1, v2, . . . , vi, . . . , vm zijn lineair afhankelijk 

⇕ 

∃i ∈ {1, 2, . . . , m} ∧ ∃(r1, r2 . . . rm) ∈ R m−1 : vi = r1 v1 + r2 v2 + · · · + rmvm. 

Een verzameling vectoren is een vrije verzameling als en slechts de vectoren van de 

verzameling lineair onafhankelijk zijn. 

RM I groepswerk 10 Zijn de volgende vectoren lineair onafhankelijk? Geef de combinatie 

bij afhankelijkheid. 

1. [0, 1, −9], [1, 1, 1], [1, 2, −3]; 

2. [− 1, 

−2], [2, 12], [1, 7]; 

3 

3. [0, 1, 1], [1, 1, 2], [−1, 4, −6]; 

4. [9, 10, 1], [2, 3, 1], [1, 3, 2]; 

5. [9, 5, 1], [2, 1, 3], [−4, −2, −6]; 

6. [−4, 2, −1], [1, −0.5, 0.25], [−2, 1, −0.5], [8, −4, 2]; 

7. [−5, −15, −30], [ 1 

3 

, 1, 2], [ 1 

2 

, 3 

2 

, 3], [− 1 

4 

3 3 , − , − 4 2 ]; 

8. [1, 3, −2, 5], [2, 4, 3, −3], [−1, 1, −12, 8], [1, −2, 3, 0]; 

9. [1, −1, 0, 2] en [1, 2, 0, −1], [−2, 2, 0, −4], [1, 4, 5, −3]; 

oplossingen: 10. (a) lin.onafh. (b) 6[− 1 

3 , −2] + [2, 12] + 0[1, 7] = [0, 0]; (c) lin.onafh. 

(d) 3r[9, 10, 1] − 17r[2, 3, 1] + 7r[1, 3, 2] = [0, 0, 0]; (e) 0[9, 5, 1] + 2r[2, 1, 3] + r[−4, −2, −6] = [0, 0, 0] 

omdat [−4, −2, −6] = −2[2, 1, 3]; (f) [−4, 2, −1] + 4[1, −0.5, 0.25] + 2[−2, 1, −0.5] + 1 

2 [8, −4, 2] = [0, 0, 0] 

omdat [−4, 2, −1] = −4[1, −0.5, 0.25] = 2[−2, 1, −0.5] = − 1 

2 [8, −4, 2]; 

(g) [−5, −15, −30] + 15 1 

1 3 

1 3 3 

3 , 1, 2] + 2[ 2 , 2 , 3] + 4[− 4 , − 4 , − 2 ] = [0, 0, 0] 

omdat [−5, −15, −30] = −15 1 

1 3 

1 3 3 

3 , 1, 2] = −10[ 2 , 2 , 3] = 20[− 4 , − 4 , − 2 ]; (h) lin.onafh. 

(i) 2[1, −1, 0, 2]+0[1, 2, 0, −1]−[−2, 2, 0, −4]+0[1, 4, 5, −3] = [0, 0, 0, 0] omdat [−2, 2, 0, −4] = −2[1, −1, 0, 2].

2.4. LINEAIRE ONAFHANKELIJKHEID VAN VECTOREN 93 

RM I HUISTAAK 3 1. Los zonder computer het volgend stelsel op met de methode 

van Gauss Jordan. Controleer elke rijoperatie met de computer. 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

2x − y + 2z = 9 

x − 2y + 4z = 12 

3x + y − z = 2 

2. Gegeven is het stelsel met onbekenden x, y, z en u: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x + y + 2z + 2u = 10 

3x + 4y + 11z + 10u = 36 

17x + 13y + 14z + 18u = 146 

(a) Schrijf het meest eenvoudig gelijkwaardig stelsel van het gegeven stelsel op. Zeg 

hoe je dat bekomt door gebruik te maken van de computer. 

(b) Hoeveel vrije onbekenden heeft het stelsel en hoeveel oplossingen zijn er? 

(c) Geef een parametervoorstelling (in matrixgedaante) van de oplossingen. 

3. Gegeven zijn de vectoren v(1, 3, −1), u(1, 5, 1) en w(−1, −2, 2). 

(a) Waarom zijn de gegeven vectoren lineair afhankelijk? 

(b) Schrijf w als lineaire combinatie van v en u.


2.5 Het product van matrices 


In de lineaire combinatie 2x−3y van de getallen x en y hebben we enerzijds de vector [2, −3] 

met de getallen van de lineaire combinatie en anderzijds de vector [x, y] met de getallen 

waar een lineaire combinatie van gemaakt wordt. 

In de vlakke meetkunde is de analytische uitdrukking van het scalair product van de vectoren 

[2, −3] en [x, y] zo een lineaire combinatie en we schrijven: 

[2, −3] · [x, y] = 2x − 3y 

Diezelfde lineaire combinatie kunnen we ook schrijven met matrices: 

 

x 

2 −3 · = [2x − 3y] 

y 

Het product dat we hier hanteren, is het product van matrices. 

We kunnen dat product nu uitbreiden: 

Voorbeeld: 

1. De lineaire combinatie met getallen 4, 7 en −9 van de getallen van de vector [x, y, z] 

is 4x + 7y − 9z. Nog een andere lineaire combinatie van de getallen van [x, y, z] is 

bvb. −8x + 5y − 8z. We kunnen dus schrijven 

[4x + 7y − 9z] = 4 7 −9 · ⎣ 

⎡ 

x 

y 

z 

⎤ 

⎦ en [−8x + 5y − 8z] = −8 5 −8 · ⎣ 

Deze twee verschillende lineaire combinaties van x, y en z kunnen we samenvatten in 

één uitdrukking met matrices: 

 

4x + 7y − 9z 4 

= 

−8x + 5y − 8z −8 

7 

5 

⎡ ⎤ 

x 

−9 

· ⎣ y ⎦ 

−8 

z 

2. Dezelfde lineaire combinaties als voor x, y en z kunnen we ook maken met drie andere 

getallen, bvb. a, b en c: 

 

4x + 7y − 9z 

 

4a + 7b − 9c = 4 7 

⎡ 

 

x 

−9 · ⎣ y 

⎤ 

a 

b ⎦ 

z c 

Hier wordt eigenlijk een lineaire combinatie met scalairen 4, 7 en −9 van de rijvectoren 

[x, a], [y, b] en [(z, c] (zie de paragraaf van lineaire combinatie van vectoren). 

[4x + 7y − 9z, 4a + 7b − 9c] = 4 · [x, a] + 7 · [y, b] − 9 · [z, c] 

⎡ 

x 

y 

z 

⎤ 

⎦

2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES 95 

3. We kunnen ook twee verschillende lineaire combinaties maken van de getallen van 

twee verschillende vectoren: 

⎡ ⎤ 

x a 

4x + 7y − 9z 4a + 7b − 9c 4 7 −9 

= 

· ⎣ y b ⎦ 

−8x + 5y − 8z −8a + 5b − 8c 8 5 −8 

z c 

Dit product kunnen we ook interpreteren als twee verschillende lineaire combinaties 

van de rijvectoren van de tweede matrix [x, a], [y, b] en [z, c]. 

Het komt hierop neer dat we met de getallen uit een rij van de matrix links lineaire 

combinaties maken van de getallen uit een kolom van de matrix rechts. 

Vandaar de definitie van product van twee matrices: 

Om twee matrices te kunnen vermenigvuldigen moet het aantal kolommen van de eerste 

matrix B gelijk zijn aan het aantal rijen van de tweede matrix A. Stel dat B een (p × m)matrix 

is dan moet m het aantal rijen zijn in matrix A. De matrix A is een (m×n)-matrix. 

Het product B · A is een (p × n)-matrix. 

⎡ 

⎤ ⎡ 

⎤ 

b11 b12 . . . b1m a11 a12 . . . a1n 

⎢ b21 b22 . . . b2m 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ a21 a22 . . . a2n 

⎥ 

B · A = ⎢ 

⎥ · ⎢ 

⎥ 

⎣ . . . ⎦ ⎣ . . . ⎦ 

 

bp1 bp2 . . . 

 

bpm 

 

am1 am2 . . . 

 

amn 

 

p×m 

m×n 

⎡ 

⎢ 

= ⎢ 

⎣ 

b11a11 + b12a21 + . . . + b1mam1 

b21a11 + b22a21 + . . . + b2mam1 

. 

b11a12 + b12a22 + . . . + b1mam2 

b21a12 + b22a22 + . . . + b2mam2 

. 

. . . 

. . . 

⎤ 

b11a1n + . . . + b1mamn 

b21a1n + . . . + b2mamn 

⎥ 

. 

⎦ 

bk1a11 + bk2a21 + . . . + bkmam1 bk1a12 + bk2a22 + . . . + bpmam2 . . . bp1a1n + . . . + bpmamn 

Om het element op de i-de rij en j-de kolom te bekomen vermenigvuldigen we de elementen 

van de i-de rij van de eerste matrix met de corresponderende elementen van de j-de kolom 

van de tweede matrix en tellen we de bekomen producten op. 

Om dit product korter maar toch algemeen te kunnen opschrijven, voeren we het sommatieteken 

in. ⎡ m k=1 

⎢ 

⎣ 

b1kak1 

m k=1 b1kak2 . . . m k=1 b1kakn 

m k=1 b2kak1 

m k=1 b2kak2 . . . m k=1 b2kakn 

. 

. 

. 

m k=1 bpkak1 

m k=1 bpkak2 . . . m k=1 bpkakn 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

 

p×n


of nog korter m 

k=1 

bikakj 

 

 

p×n 

Het product van twee matrices kunnen we laten uitvoeren met EXCEL. Daartoe selecteren 

we de rechthoek waar het product moet komen en typen = PRODUCTMAT(Ma; Mb) in 

de eerste cel en drukken op CTR , SHIFT en ENTER . 

In de voorbeelden hebben we gezien dat het product van matrices ons in staat stelt op een 

efficiënte manier verschillende lineaire combinaties van een aantal vectoren te bepalen. 

Willen we lineaire combinaties maken van de rijvectoren van een matrix dan moeten we de 

matrix links vermenigvuldigen met een matrix waarvan de rijvectoren de scalairen van de 

lineaire combinatie bevatten. Willen we lineaire combinaties maken van de kolomvectoren 

van een matrix dan moeten we de matrix rechts vermenigvuldigen met een matrix waarvan 

de kolomvectoren de scalairen van de lineaire combinatie bevatten. 

RM I groepswerk 11 1. Maak gebruik van het product van matrices om de lineaire 

combinatie(s) met scalairen −5, −12 en 28 op te schrijven en uit te rekenen 

(a) van de getallen van de vectoren [5, 7, 9], [3, −8, 13], [−2, −1, 3] en [1, 1, 1]; 

(b) van de vectoren [1, 2], [−5, 4] en [7, 9] 

2. Maak gebruik van het product van matrices om zelf drie verschillende combinaties 

op te schrijven en uit te rekenen van de getallen van de vectoren [−4, −3, −2, −1] en 

[1, 2, 3, 4]. 

3. Maak gebruik van het product van matrices om zelf vier verschillende combinaties op 

te schrijven en uit te rekenen van de vectoren [9, 8, 7] en [6, 5, 4]. 

4. Maak gebruik van het product van matrices om het volgend stelsel in een matrixgedaante 

te brengen. Los daarna het stelsel op. 

⎧ 

⎧ 

⎨ 3y − 2z = 5 

⎪⎨ 

4x − 6y − 3z = 0 

(a) 2x − y + 5z = 0 (b) −2x + 3y + 3z = 

⎩ 

⎪⎩ 

3x + 4y + z = 12 

1 

2 

x + y + z = 1 

Oplossingen: ⎛ ⎞ 1. ⎛ (a) [143, ⎞ 445, ⎛ 106, ⎞11] 

(b) ⎛ [251, ⎞194]; 

⎛ 

0 

3 −2 5 0 3 

⎞ 

−2 

⎛ ⎞ 

x 

⎛ 

5 

⎞ 

4. x ⎝ 2 ⎠ + y ⎝ −1 ⎠ + z ⎝ 5 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ ⇔ ⎝ 2 −1 5 ⎠ · ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ opl: [3, 1, −1] 

3 

⎛ 

4 

⎞ 

4 

⎛ ⎞ 

−6 

1 

⎛ 

−3 

12 

⎞ ⎛ ⎞ 

3 4 

⎛ 

4 

1 

−6 

z 

⎞ 

−3 

12 

⎛ ⎞ 

x 

⎛ ⎞ 

(b) x ⎝ −2 ⎠ + y. ⎝ 3 ⎠ + z ⎝ 3 ⎠ = ⎝ ⎠ ⇔ ⎝ −2 3 3 ⎠ · ⎝ y ⎠ = ⎝ ⎠ opl: 

1 

1 

1 

1 1 1 z 

[ 1 1 1 

2 , 6 , 3 ]. 

0 

1 

2 

1 

0 

1 

2 

1


2.5.2 Praktische voorbeelden 

• Uitgavenmatrix . 

Bij een marktstudie kunnen we een eerste matrix beschouwen. De rijen krijgen het 

label van een winkel en de kolommen krijgen het label van een product. De getallen 

in de matrix zijn de eenheidsprijzen van elk product in elke winkel. Bij een tweede 

matrix zijn de rijen gelabeld met de producten en de kolommen met een boodschappenlijstje. 

De getallen in de matrix zijn de nodige hoeveelheid van elk product voor 

elk boodschappenlijstje. Het product van de eerste en de tweede matrix geeft ons de 

zogenaamde uitgavenmatrix, waarbij de getallen in die matrix ons laten zien hoeveel 

we betalen voor onze verschillende boodschappenlijstjes in de verschillende winkels. 

Voorbeeld: 

A = 

w1 

w2 

w3 

A · B = 

w1 

w2 

w3 

vlees brood boter appel spons 

lijst1 lijst2 

en B = 

vlees 

brood 

boter 

appel 

spons 

lijst1 lijst2 

• Migratiematrix . 

Het we gtrekken van de bevolking van het platteland naar de steden is een bekend 

fenomeen in de ontwikkelingslanden. Voor een bepaald land zou in 5 jaar tijd 12,5 

percent van de bevolking van het platteland naar de steden trekken en 6,25 percent 

trekt van de stad naar het platteland. Op een bepaald moment wonen 8 miljoen 

mensen in de stad en 24 miljoen op het platteland. 

Na 5 jaar wonen er: 

in de stad: 0, 9375 · 8 + 0, 125 · 24 = 10, 50 mensen 

op het platteland: 0, 0625 · 8 + 0, 875 · 24 = 21, 50 mensen 

Deze lineaire combinaties van 8 en 24 kunnen we voorstellen door een product van 

twee matrices. 

0, 9375 

0, 0625 

 

0, 125 8 10, 5 

· = . 

0, 875 24 21, 5 

In de matrix van de orde 2×2 zijn de rijen “stad” en “platteland”,alsook de kolommen. 

De elementen van de matrix zijn de percentages gedeeld door 100 van de bevolking die 

verhuist en die blijft. De som van de getallen van eenzelfde kolom is 1. We noemen 

deze matrix een migratiematrix.


De kolommatrix stelt de beginsituatie voor. 

De situatie na 10 jaar wordt gegeven door het volgend product: 

 

0, 9375 0, 125 10, 5 12, 53125 

· = 

. 

0, 0625 0, 875 21, 5 19, 46875 

Na 10 jaar wonen er in de stad 12 531 250 mensen en op het platteland nog 19 468 

750 mensen. 

Na 10 jaar is de situatie gelijk aan het product van het kwadraat van de migratiematrix 

en de beginsituatie. 

0, 9375 0, 125 

0, 0625 0, 875 

2 · 

8 

24 

 

= 

12, 53125 

19, 46875 

• Leslie-matrices . 

Bij de studie van de leefgewoonten en de voortplanting van een bepaalde keversoort 

heeft men opgemerkt: 

– geen enkele kever wordt drie jaar oud; 

– kevers van het eerste levensjaar: één vierde van de geboren kevers overleeft zijn 

eerste levensjaar (gaat over naar het tweede levensjaar – kevers die geen week 

leven worden niet meegerekend); 

– kevers van het tweede levensjaar: de helft van de éénjarige wordt twee jaar (gaan 

van tweede naar derde levensjaar); 

– kevers van het tweede levensjaar: iedere kever van één jaar oud produceert (gemiddeld) 

twee nakomelingen (er gaan van het tweede levensjaar twee kevers over 

naar eerste levensjaar); 

– kevers van het derde levensjaar: iedere kever van twee jaar oud produceert vier 

kever (er gaan van het derde levensjaar vier kevers over naar eerste levensjaar). 

We nemen een matrix van de orde 3 × 3. De rijen zijn “1ste jaar”, “2de jaar” en 

“3de jaar”, alsook de kolommen. De elementen van de eerste kolom van de matrix 

geven voor één kever van het eerste levensjaar hoeveel kevers er resp. naar het eerste, 

tweede en derde levensjaar overgaan. De elementen van de tweede kolom geven voor 

één kever van het tweede levenjaar hoeveel kevers er naar resp. het eerste, tweede en 

derde levensjaar overgaan. De elementen van de derde kolom geven voor één kever van 

het derde levenjaar hoeveel kevers er naar resp. het eerste, tweede en derde levensjaar 

overgaan. Deze matrix noemen we een Leslie-matrix. 

⎡ 

⎣ 

0 2 4 

0, 25 0 0 

0 0, 5 0 

⎤ 

⎦ 

 

.


Op een bepaald moment telt men in een gebied 800 kevers in hun eerste levensjaar, 

400 in hun tweede levensjaar en 200 in hun derde levensjaar. Deze beginsituatie wordt 

voorgesteld door de kolommatrix. 

⎡ 

⎣ 

800 

400 

200 

Hoeveel kevers zijn er na één jaar en na twee jaar? 

De situatie van het aantal kevers na één jaar is gelijk aan het product: 

⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

0 2 4 800 1600 

⎣ 0, 25 0 0 ⎦ · ⎣ 400 ⎦ = ⎣ 200 ⎦ 

0 0, 5 0 200 200 

De situatie van het aantal kevers na twee jaar is gelijk aan het product: 

⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

0 2 4 1600 1200 

⎣ 0, 25 0 0 ⎦ · ⎣ 200 ⎦ = ⎣ 400 ⎦ 

0 0, 5 0 200 100 

De situatie van het aantal kevers na twee jaar is ook nog gelijk aan het product van 

het kwadraat van de Leslie-matrix en de kolommatrix van de beginsituatie: 

⎡ 

0 2 

⎤2 

4 

⎡ ⎤ 

800 

⎡ ⎤ 

1200 

⎣ 0, 25 0 0 ⎦ · ⎣ 400 ⎦ = ⎣ 400 ⎦ 

0 0, 5 0 200 100 

Door toegenomen insecticidengebruik neemt de vruchtbaarheid af. Er worden maar 

half zoveel jonge kevers geboren. Hoe zal de Leslie-matrix er nu uitzien? Onderzoek de 

consequenties van het insecticidegebruik op langere termijn bij dezelfde beginsituatie. 

2.5.3 Eigenschappen van het product van matrices 

STELLING 2.4 Het product van matrices is associatief. 

Met symbolen: 

Stel A ∈ R n×m , B ∈ R m×k , C ∈ R k×l . 

⎤ 

⎦ 

(A.B).C = A.(B.C) 

(A.B) 

 

n×k 

A 

 

n×m 

. C ∈ R 

k×l 

n×l 

. (B.C) ∈ R 

 

m×l 

n×l


STELLING 2.5 Het product van twee matrices is distributief t.o.v. van de som van matrices. 

Met symbolen: 

A.(B + C) = A.B + A.C 

(A + B).C = A.C + B.C 

Stel voor de eerste gelijkheid A ∈ R n×m , B ∈ R m×k , C ∈ R m×k . 

A 

 

n×m 

A.B 

 

n×k 

. (B + C) ∈ R 

 

m×k 

n×k 

+ A.C ∈ R 

n×k 

n×k 

Wat de orde betreft is de linksdistributiviteit mogelijk. 

Stel voor de tweede gelijkheid A ∈ R n×m , B ∈ R n×m , C ∈ R m×k . 

(A + B) 

 

n×m 

A.C 

 

n×k 

. C ∈ R 

m×k 

n×k 

+ B.C ∈ R 

n×k 

n×k 

Wat de orde betreft is de rechtsdistributiviteit mogelijk. 

Het bewijs is niet moeilijk maar langdradig. We laten het weg. 

Belangrijk: Het product van twee matrices is niet commutatief. 

STELLING 2.6 Het neutraal element voor de vermenigvuldiging van matrices van de orde 

n × n is de eenheidsmatrix van de orde n × n. De eenheidsmatrix is de scalaire matrix met 

diagonaalelement gelijk aan 1. 

Er geldt: 

⎡ 

1 

⎢ 0 

In = ⎢ 

⎣ . 

0 

1 

. 

. . . 

. . . 

⎤ 

0 

0 ⎥ 

. ⎦ 

 

0 0 . . . 

 

n×n 

1 

 

A.In = In.A.


STELLING 2.7 De getransponeerde matrix van een product van twee matrices is gelijk 

aan het product van de getransponeerde van die matrices maar in omgekeerde volgorde. 

Met symbolen: 

Stel A ∈ R n×m , B ∈ R m×k . 

(A.B) t = B t .A t 

A.B ∈ R n×k =⇒ (A.B) t ∈ R k×n 

B t ∈ R k×m ∧ A t ∈ R m×n =⇒ B t .A t ∈ R k×n 

Wat de orde betreft is deze gelijkheid mogelijk. 

Het bewijs is niet moeilijk maar langdradig. We laten het weg. 

RM I groepswerk 12 1. Gegeven: A = 

⎡ 

1 0 1 

⎤ 

3 

en C = ⎣ 2 1 2 3 ⎦. 

3 0 1 1 


(a) A.B en B.A; 

(b) A.(B.C) en (A.B).C; 

(c) A.(B + C) en (A + B).C; 

(d) A.B t , A t · B, B · A t en B t .A; 

(e) 2B.C − A.C 

2. Gegeven de matrices A = 


1 2 3 0 

4 5 6 1 

(a) A.B en B.A; 

(b) A.(B.C) en (A.B).C; 

(c) A.(B + C) en (A + B).C; 

(d) 2B.C − A.C; 

(e) A.B t , A t · B, B · A t en B t .A; 

1 2 3 

3 4 0 

 

, B = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

 

1 1 1 

, B = 

0 1 0 

1 0 

0 1 

0 1 

1 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ en C = 

 

−1 1 

1 1 

3. Bewijs dat voor elke vierkante matrix A geldt: A.A 2 = A 2 .A. 

Daaruit volgt dat we de derde macht van een matrix kunnen definiëren, nl. A 3 . 

 

.


4. Toon aan dat alle scalaire matrices van de orde n×n commuteren voor het product van 

matrices met elke matrix van diezelfde orde. Toon ook aan dat het vermenigvuldigen 

van een matrix met een scalair op hetzelfde neerkomt als het vermenigvuldigen van 

die matrix met een scalaire matrix. Men kan dus bij het vermenigvuldigen steeds een 

scalaire matrix vervangen door een scalair of een scalair vervangen door een scalaire 

matrix. 

5. Toon aan dat, indien een vierkante matrix van de orde 2 × 2 commuteert met elke 

andere matrix van dezelfde orde, dan is die matrix een scalaire matrix. 

 

 

0 1 

0 0 

6. Welke matrices commuteren met de matrix ? En met de matrix ? 

0 0 

1 0 

7. Zijn A en B twee vierkante matrices die onderling commuteren dan zullen de matrices 

A − k.I en B − k.I eveneens commuteren. 

8. Onderzoek wat er gebeurt als men een vierkante matrix links en rechts vermenigvuldigt 

met een diagonaalmatrix. 

9. Onderzoek resp. voor een symmetrische matrix, een driehoeksmatrix, een diagonaalmatrix 

en een scalaire matrix hoe het product is. 

⎡ 

0 1 

⎤ 

−1 

10. Gegeven: de matrix A = ⎣ 4 −3 4 ⎦ . 

3 −3 4 

Toon aan dat A2 = I (involutorische matrix). 

⎡ 

1 1 

⎤ 

3 

11. Gegeven: de matrix A = ⎣ 5 2 6 ⎦ . 

−2 −1 −3 

Toon aan dat ∃n ∈ N : An = O (nilpotente matrix met index n). 

⎡ 

4 8 

⎤ 

2 

12. Gegeven: de matrix A = ⎣ −2 −4 −1 ⎦ . 

1 2 0 

Toon aan dat ∃n ∈ N : An = O (nilpotente matrix met index n). 

13. Gegeven de matrix A = 1 

⎡ 

1 −4 

⎤ 

8 

⎣ 4 9 

8 

−7 

4 

−4 ⎦. Toon aan dat A.A 

1 

t = At .A = I3. 

14. * Bewijs dat voor alle n ∈ N en alle x, y ∈ R geldt 

⎡ 

1 

⎣ 0 

x 

1 

⎤n 

⎡ 

y 1 

x ⎦ = ⎣ 0 

nx 

1 

n(n−1) 

ny + 2 

nx 

0 0 1 0 0 1 

x2 

⎤ 

⎦ .


Oplossingen: 

1: (a) nt. uitvoerbaar; (b) nt. uitvoerbaar; 

⎡ ⎤ 

⎡ 

1 4 1 1 2 

6 2 

(d) ; ⎣ 2 6 2 ⎦; 

6 7 

; ⎣ 4 6 

7 4 

2 4 

3 3 3 

1 2 

⎡ 

 

1 2 3 

1 5 

⎢ 

2: (a) A · B = ; B · A = ⎢ 4 5 6 

5 11 

⎣ 4 5 6 

 

20 3 12 19 

(c) nt. uitvoerbaar; (A + B) · C = 

; 

13 5 13 24 

⎤ 

3 

 

3 ⎦; 

−2 0 0 2 

(e) 2B · C − A · C = 

. 

−7 −2 −7 −15 

3 

⎤ 

0 

 

1 ⎥ 

4 6 

1 ⎦ ; (b) A · (B · C) = (A · B) · C = ; 

6 16 

1 2 3 0 

(c) nt. uitvoerbaar; (d) nt. uitvoerbaar; (e) nt. uitvoerbaar. 

a b a 0 

6: de matrices van de gedaante: . en . ; 

0 a c a 

RM I HUISTAAK 4 1. Gegeven zijn de vectoren v(1, 3, −1, 2), u(1, 5, 1, 5) 

en w(−1, −2, 2, −1). 

(a) Maak gebruik van het product van matrices om naar keuze vier verschillende 

lineaire combinaties van de gegeven vectoren uit te rekenen met de computer. 

Schrijf twee van die combinaties volledig uit en reken uit zonder computer. Vergelijk 

dat met het resultaat van de computer. 

(b) Maak gebruik van het product van matrices om naar keuze vier verschillende 

lineaire combinaties uit te voeren van de getallen van de gegeven vectoren met 

de computer. Zeg dan hoeveel combinaties er uitgevoerd zijn. Schrijf twee van 

die combinaties volledig uit en reken uit zonder computer. Vergelijk dat met het 

resultaat van de computer. 

⎡ 

2. Gegeven: de matrix A = ⎣ 

2 −2 −4 

−1 3 4 

1 −2 −3 

⎤ 

⎦ . 

(i) Toon aan dat A 2 = A (idempotente matrix). 

(ii) Bereken (2A − I) 2 . 

3. Bewijs dat een matrix A idempotent is als er een matrix B bestaat waarvoor A.B = A 

en B.A = B. 

4. Bewijs dat A t .A en A.A t symmetrische matrices zijn.


2.5.4 Inverse matrix van een vierkante matrix 

Elk reëel getal r = 0 heeft een omgekeerde, nl. r −1 = 1 

r zodat r · r−1 = 1. 

De matrix B is inverse matrix van een vierkante matrix A van de orde n als 

Notatie: B = A −1 en er geldt: 

B · A = In = A · B 

A.A −1 = In = A −1 .A. 

Maar niet elke matrix heeft een inverse matrix. 

Voorbeelden: 

• Gegeven de matrix: 

 

A = 

6 −4 

−3 2 

We onderzoeken of A een inverse matrix bezit. 

 

6 −4 

−3 2 

 

· 

AB = I2 

 

x 

z 

 

y 

t 

⇕ 

= 

 

1 

0 

0 

1 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

⇕ 

 

6x − 4z = 1 

6y − 4t = 0 

−3x + 2z = 0 

−3y + 2t = 1 

Dit resultaat kunnen we schrijven als twee kleinere stelsels. 

6x − 4z = 1 

−3x + 2z = 0 

 

6 −4 

 

1 

−3 2 0 

 

6 −4 1 

0 0 3 

Dit stelsel is strijdig. 

6y − 4t = 0 

−3y + 2t = 1 

 

6 −4 

 

0 

−3 2 1 

 

6 −4 0 

0 0 6 

Dit stelsel is strijdig.


De matrix A heeft dus geen inverse matrix. Daarom noemen we A een singuliere 

matrix. 

• Gegeven is de matrix 

A = 

4 5 

2 3 

We onderzoeken of A een inverse matrix bezit. 

4 5 

2 3 

 

AB = I2 

 

x 

z 

 

y 

t 

⇕ 

= 

 

1 

0 

0 

1 

Dit resultaat kunnen we schrijven in twee stelsels. 

Dus: x = 3 

2 

4x + 5z = 1 

2x + 3z = 0 

 

4 5 

 

1 

2 

 

4 

3 

5 

0 

1 

 

0 

 

8 

2 

0 

−2 

 

12 

0 2 −2 

 

1 0 3 

2 

0 1 −1 

We vinden dus 

en z = −1. 

4y + 5t = 0 

2y + 3t = 1 

 

4 5 

 

0 

2 

 

4 

3 

5 

1 

 

0 

0 

 

8 

2 

0 

4 

 

−20 

0 2 4 

 

1 0 − 5 

2 

0 1 2 

Dus: y = − 5 

2 

 

3 5 − 

B = 2 2 

−1 2 

en t = 2. 

Beide stelsels worden opgelost door dezelfde rijoperaties toe te passen op de verhoogde 

matrices enkel de laatste kolom is verschillend. 

4 5 1 0 

2 3 0 1 

 

∼ 

4 5 1 0 

0 2 −2 4 

 

∼ 

 

. 

8 0 12 −20 

0 2 −2 4 

 

 

3 5 

1 0 − 

∼ 

2 2 

0 1 −1 2


We rekenen eenvoudig na dat ook (bewijs zie oefening 7) 

 

3 

BA = 2 

−1 

 

5 4 2 · 

−2 2 

 

5 1 

= 

3 0 

 

0 

1 

De matrix A heeft een inverse matrix. Daarom noemen we A een reguliere matrix. 

• Gegeven is de matrix 

⎡ 

A = ⎣ 

1 2 3 

4 0 1 

0 3 4 

We onderzoeken of A een inverse matrix heeft. 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎡ 

⎣ 

1 2 3 

4 0 1 

0 3 4 

1x11 + 2x21 + 3x31 = 1 

4x11 + 0x21 + 1x31 = 0 

0x11 + 3x21 + 4x31 = 0 

⎤ ⎡ 

⎦ ⎣ 

⎧ 

⎨ 

∧ 

⎩ 

x11 x12 x13 

x21 x22 x23 

x31 x32 x33 

⎤ 

⎦ . 

AB = I3 

⎤ 

⇕ 

⎡ 

1 0 0 

⎦ = ⎣ 0 1 0 

0 0 1 

⇕ 

1x12 + 2x22 + 3x32 = 0 

4x12 + 0x22 + 1x32 = 1 

0x12 + 3x22 + 4x32 = 0 

⎧ 

⎨ 

∧ 

⎩ 

⎤ 

⎦ 

1x13 + 2x23 + 3x33 = 0 

4x13 + 0x23 + 1x33 = 0 

0x13 + 3x23 + 4x33 = 1 

Om x11, . . . , x33 te vinden, moeten we dus drie stelsels oplossen. Omdat de stelsels 

enkel in de rechterkolom verschillen, kunnen we deze stelsels gelijktijdig oplossen. 

⎡ 

1 2 3 1 0 

⎤ 

0 

⎡ 

1 2 3 1 0 

⎤ 

0 

⎡ 

−8 0 −2 0 −2 0 

⎤ 

⎣ 4 0 1 0 1 0 ⎦ ∼ ⎣ 4 0 1 0 1 0 ⎦ ∼ ⎣ 0 −8 −11 −4 1 0 ⎦ 

0 3 4 0 0 1 0 3 4 0 0 1 0 0 1 12 −3 −8 

⎡ 

∼ ⎣ 

We vinden dus 

−8 0 0 24 −8 −16 

0 −8 0 128 −32 −88 

0 0 1 12 −3 −8 

⎡ 

A −1 = ⎣ 

⎤ 

⎡ 

⎦ ∼ ⎣ 

−3 1 2 

−16 4 11 

12 −3 −8 

1 0 0 −3 1 2 

0 1 0 −16 4 11 

0 0 1 12 −3 −8 

⎤ 

⎦ . 

⎤ 

⎦


Besluit: 

• De vierkante matrix A is regulier 

⇕ 

de rijgereduceerde matrix van A is de eenheidsmatrix. 

• Om de inverse matrix van een reguliere matrix A te berekenen, passen we de methode 

van Gauß-Jordan toe op de matrix [A|I] tot we een matrix van de vorm [I|B] 

verkrijgen. De matrix B is dan de inverse matrix van A. 

Nog een voorbeeldje: Bepaal de inverse matrix van de matrix A indien hij bestaat. 

⎡ 

1 −1 

⎤ 

2 

A = ⎣ 3 4 −5 ⎦ 

6 7 2 

Oplossing: Voor de inverse matrix voegen we de matrix I3 toe aan de matrix A om zodoende 

dezelfde rijoperaties op I3 als op A toe te passen. 

⎡ 

⎤ ⎡ 

1 −1 2 1 0 0 1 0 0 43/73 16/73 

⎤ 

−3/73 

⎣ 3 4 −5 0 1 0 ⎦ ∼ ⎣ 0 1 0 −36/73 −10/73 11/73 ⎦ 

6 7 2 0 0 1 0 0 1 −3/73 −13/73 7/73 

De inverse matrix van A is de matrix 

⎡ 

43/73 16/73 

⎤ 

−/73 

⎣ −36/73 −10/73 11/73 ⎦ . 

−3/73 −13/73 7/73 

2.5.5 De inverse matrix van een vierkante matrix van de orde 2 

 

a b 

Een vierkante (2 × 2)-matrix is niet-singulier als en slechts als (a, b) en (c, d) 

c d 

onafhankelijk zijn. We tonen aan dat dit is als en slechts als ad − bc = 0. 

1. a = 0 

a b 1 0 

c d 0 1 

De inverse matrix is 

a=0 

∼ 

a b 1 0 

0 ad − bc −c a 

 

1 

ad − bc 

d −b 

−c a 

ad−bc=0 

∼ 

1 0 d 

ad−bc 

0 1 −c 

ad−bc 

In geval ad − bc = 0 hebben we hier voor a = 0 geen inverse matrix. 

 

−b 

ad−bc 

a 

ad−bc 

 

(2.2)


2. a = 0 

 

0 b 1 0 c=0 c d 0 1 b=0 cb 0 −d b 

∼ 

∼ 

c d 0 1 0 b 1 0 0 b 1 0 

 

d b 

d b 

1 0 − 1 0 − 

∼ 

bc bc ∼ 

bc bc 

0 

0 

0 1 1 

b 

0 1 c 

bc 

In het geval dat a = 0 en c = 0 en b = 0 is de voorwaarde ad − bc = bc = 0 voldaan. 

De inverse matrix is 

1 

 

d 

 

−b 

−bc −c 0 

Dit is het bijzonder geval voor a = 0 van de uitdrukking voor de inverse (2.2). 

Het is handig deze uitdrukking ad−bc schematisch te kunnen voorstellen. Daarom definiëren 

we het begrip van determinant van de orde twee. 

Is de matrix A een vierkante matrix van de orde 2 × 2 dan is de determinant van een 

matrix A het reëel getal 

Besluit 

 

 

det A = 

 

a b 

c d 

 

 

 

= ad − bc ∈ R. 

• Een vierkante (2 × 2)-matrix is niet-singulier als en slechts als zijn determinant verschillend 

is van nul. 

• Een vierkante (2×2)-matrix bezit een inverse matrix als en slechts als zijn determinant 

verschillend is van nul. De inverse matrix is dan 

−1 

a b 1 d −b 

= 

c d 

a b 

. 

−c a 

 

c d 

Opmerking: De uitdrukking ad − bc doet oms denken aan kruisproduct bij een evenredigheid. 

Inderdaad, ingeval de getallen a, b, c en d verschilend zijn van nul kunnen we 

schrijven: 

ad = bc ⇐⇒ a b a 

= ⇐⇒ 

c 

Deze evenredigheden drukken uit dat in de matrix de rijvector (a, b) een veelvoud is van de 

rijvector (c, d) en dat de kolomvector (a, c) een veelvoud is van (b, d). De rijvectoren alsook 

de kolomvectoren zijn lineair afhankelijk. 

TIP om te onthouden: we bekomen de inverse matrix door de elementen op de hoofddiagonaal 

met elkaar te verwisselen, de andere elementen van teken te veranderen en de bekomen 

matrix te delen door de uitdrukking ad − bc. 

d 

b 

= c 

d


OPGAVEN — 14 Bepaal de inverse matrix van de volgende matrices indien mogelijk: 

 

1 

(i) 

3 

2 

4 

 

⎡ 

1 

(ii) ⎣ 2 

3 

2 

3 

4 

3 

4 

6 

⎤ 

⎦ 

⎡ 

a 

(iii) ⎣ b 

a + b 

−b 

a + b 

a 

⎤ 

0 

ab ⎦ 

ab 

⎡ 

1 

(iv) ⎣ 0 

0 

a 

1 

0 

⎤ 

0 

a ⎦ 

1 

(v) 

−3 5 

2 4 

 

⎡ 

(vi) ⎣ 

1 1 1 

2 0 1 

1 1 0 

⎤ 

⎡ 

⎦ (vii) ⎣ 

⎡ 

 

;(ii) ⎣ 

 

−2 

Oplossingen: 14 (i) 

3/2 

1 

−1/2 

 

−2/11 

(v) 

1/11 

5/22 

3/22 

 

;(vi) 1 

⎡ 

−1 

⎣ 1 2 

2 

1 

−1 

0 

1 

1 

−2 

2.5.6 Stellingen 

4 3 2 

3 5 2 

2 2 1 

⎤ 

−2 0 1 

0 3 −2 

1 −2 1 

⎤ 

⎡ 

⎦; (vii) ⎣ 

⎡ 

⎦ (viii) ⎣ 

⎤ 

0 1 5 

3 2 4 

6 0 0 

⎡ 

⎦; (iii) det F = 0; (iv) ⎣ 

−1 −1 4 

−1 0 2 

4 2 −11 

⎤ 

⎦; (viii) 1 

12 

⎤ 

⎦ 

1 −a a2 ⎤ 

0 1 −a ⎦; 

0 0 1 

0 0 2 

−8 10 −5 

4 −2 1 

STELLING 2.8 De inverse matrix van een gegeven reguliere vierkante matrix is uniek. 

Bewijs: Is B.A = In, dan is A −1 = (B.A).A −1 = B.(A.A −1 ) = B wegens de associativiteit 

van de vermenigvuldiging van matrices. Dit volgt ook uit de uniciteit van de inverse bijectie 

van een gegeven bijectie. 

STELLING 2.9 De inverse matrix van het product van twee reguliere matrices A en B is 

het product van de inverse matrices van A en B maar in omgekeerde volgorde. 

Met symbolen: 

(A.B) −1 = B −1 .A −1 

Bewijs: We bewijzen dat de inverse matrix van A.B gelijk is aan B −1 .A −1 . We bewijzen 

dus dat het product van beide matrices in de twee volgorden de eenheidsmatrix is. 

1. 

(A.B).(B −1 .A −1 ) = A. B.(B −1 .A −1 ) ( prod. is ass.) 

= A. (B.B −1 ).A −1 ( idem) 

= A.(In.A −1 ) ( def. B −1 ) 

= A.A −1 (In is neutr. el. ) 

= In ( def. A −1 ) 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦.


2. 

(B −1 .A −1 ).(A.B) = B −1 . A −1 .(A.B) ( prod. is ass.) 

= B −1 . (A −1 .A).B ( idem) 

= B −1 .(In.B) ( def. A −1 ) 

= B −1 .B (In is neutr. el. ) 

= In ( def. B −1 ) 

STELLING 2.10 De inverse matrix van de inverse matrix van een reguliere matrix A is 

gelijk aan de matrix A. 

Met symbolen: 

(A −1 ) −1 = A 

Bewijs: We bewijzen dat de inverse matrix van A −1 gelijk is aan A. Inderdaad, A −1 .A = In 

en A.A −1 = In. 

STELLING 2.11 De inverse matrix van de getransponeerde matrix van een reguliere matrix 

A is gelijk aan de getransponeerde van de inverse matrix van A. 

Met symbolen: 

(A t ) −1 = (A −1 ) t = A −t 

Bewijs: We bewijzen dat de inverse matrix van A t gelijk is aan (A −1 ) t . We bewijzen dus 

dat het product van beide matrices in de twee volgorden gelijk is aan de eenheidsmatrix. 

1. A t .(A −1 ) t = (A −1 .A) t = I t n = In. 

2. (A −1 ) t .A t = (A.A −1 ) t = I t n = In.

2.6. ALGEBRAÏSCH REKENWERK MET MATRICES 111 

2.6 Algebraïsch rekenwerk met matrices 

Bij algebraïsch rekenwerk moeten we rekening houden met de structuur waarin we werken. 

2.6.1 Merkwaardige producten 

Vooreerst is het product van matrices niet commutatief, wat wel het geval is bij het product 

van reële getallen, complexe getallen, scalair product van vectoren etc.. . . . Er bestaan wel 

matrices die met elkaar commuteren zoals een scalaire matrix commuteert met elke matrix. 

De merkwaardige producten zoals (a ± b) 2 = a 2 ± 2a · b + b 2 en (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 zijn 

niet meer geldig. 

De merkwaardige producten gelden wel voor matrices die onderling commuteren dus waarvoor 

A · B = B · A 

Anderzijds bestaan er dan ook matrices waarvoor (A+B) 2 = A 2 +B 2 . Dit is voor matrices 

waarvoor A · B = −B · A. 

1 −1 

Voorbeeld: A = 

en B = 

2 −1 

2.6.2 Nuldelers 

1 1 

4 −1 

De nulmatrix O is een opslorpend element voor het product van matrices. Er geldt 

 

. 

∀A ∈ R n×m : A.Om×k = On×k. 

Omgekeerd, als het product van twee matrices de nulmatrix oplevert wil dit niet zeggen 

dat minstens één van de twee factoren de nulmatrix moet zijn. 

A.B = O =⇒ A = O ∨ B = O 

Een nuldeler is een vierkante matrix A = O waarvoor een matrix B = O bestaat zodat 

A · B = O. 

Een nuldeler is steeds een singuliere matrix. 

Inderdaad, onderstel dat de matrix A niet-singulier is, dan kunnen we beide leden van 

A · B = 0 met A −1 vermenigvuldigen. 

A −1 · (A · B) = A −1 · O ⇐⇒ (A −1 · A) · B = O. 

Hieruit volgt dat B = O wat in strijd is met het gegeven dat B = O. 

Ga dit na met de volgende matrices: 

1 0 

0 0 

A = en B = . 

0 0 

0 1


2.6.3 Matriciële vergelijkingen 

Gelijkwaardige matriciële gelijkheden 

In een gelijkheid met matrices kunnen we altijd beide leden links of rechts met 

eenzelfde matrix vermenigvuldigen. 

B = C =⇒ A · B = A · C 

Omgekeerd, als in beide leden van een gelijkheid links of rechts een gemeenschappelijke 

matrix optreedt, mag die factor niet zomaar geschrapt worden 

Ga dit na met de volgende matrices: 

 

0 1 1 1 

2 5 

A = , B = en C = 

0 2 3 4 

3 4 

A.B = A.C =⇒ A = O ∨ B = C 

Voorbeeld: Los de volgende matriciële vergelijkingen op naar X: 

X −1 

 

−4 −3 

1 0 

 

− 

 

. 

1 −4 

1 −2 

4 1 

2 1 

t 

= 

−5 −1 

1 3/2 

We lossen eerst de vergelijking op met de verkorte matrixgedaante: X −1 A − B · C t = D 

X −1 A − B · C t = D (1) 

⇔ (X −1 A − B · C t ) + B · C t = D + B · C t 

(2) 

⇔ X −1 A + (−B · C t + B · C t t (3) 

) = D + B · C ⇔ X −1 A + O = D + B · C t 

(4) 

⇔ X −1 t (5) 

A = D + B · C ⇔ X · (X −1 A) = X · (D + B · C t ) 

(6) 

⇔ (X · X −1 )A = X · (D + B · C t ) (7) 

⇔ I · A = X · (D + B · C t ) 

(8) 

⇔ X · (D + B · C t ) = A (9) 

⇔ (X · (D + B · C t )) · (D + B · C t ) −1 = A · (D + B · C t ) −1 

(10) 

⇔ X · ((D + B · C t ) · (D + B · C t ) −1 ) = A · (D + B · C t ) −1 (11) 

⇔ X · I = A · (D + B · C t ) −1 

(12) 

⇔ X = A · (D + B · C t ) −1 

Hier tonen we aan dat bij het oplossen van een matriciële vergelijking de axioma’s van reële 

vectorruimte gebruikt worden 

(1): Een matriciële vergelijking blijf gelijkwaardig als we in beide leden eenzelfde matrix 

optellen en elke matrix heeft een tegengestelde matrix; 

(2): associativiteit van de optelling in de verzameling van de matrices van dezelfde orde; 

(3): definitie van tegengestelde matrix van een matrix;

2.6. ALGEBRAÏSCH REKENWERK MET MATRICES 113 

(4): O is neutraal element voor de optelling van matrices; 

(5): Een matriciële vergelijking blijf gelijkwaardig als we beide leden links met eenzelfde 

niet singuliere matrix vermenigvuldigen en elke niet singuliere matrix heeft een inverse 

matrix; 

(6) en (10): associativiteit van het product van matrices; 

(7) en (11): definitie van inverse matrix van een niet singuliere matrix; 

(8) en (12): I is neutraal element voor de vermenigvuldiging van matrices; 

(9): Een matriciële vergelijking blijf gelijkwaardig als we beide leden rechts met eenzelfde 

niet singuliere matrix vermenigvuldigen en elke niet singuliere matrix heeft een inverse 

matrix; 

X = 

X = 

−4 −3 

1 0 

−4 −3 

1 0 

X = 

 

· 

 

· 

−4 −3 

1 0 

−5 −3 

3 3/2 

−5 −3 

3 3/2 

 

· 

−1 = 

 

+ 

−5 −3 

3 3/2 

−4 −3 

1 0 

1 −4 

1 −2 

 

+ 

 

0 −2 

2 0 

4 1 

2 1 

−1 

· ( 2 

 

3/2 3 

) · 

3 −3 −5 

t −1 

 

= 

2 2 

1 2 

RM I groepswerk 13 1. Los⎡de volgende ⎤ matriciële vergelijking op naar X: 

0 1 2 

(2I − A)X = I + A met A = ⎣ 1 2 3 ⎦. 

1 0 1 

2. Los de volgende matriciële vergelijkingen op naar X: 

(a) 

3 

2 

1 

2 

t 

 

3 

− (X 

1 

2 

1 

 

1 1 

2 4 

(b) AX + 2B = C met A = 

(c) 

 

3 1 

( 

2 1 

 

· X) −1 + 

−1 ) t 

1 2 

= 

4 0 

 

, B = 

−2 3 

4 6 

 

; 

4 2 

−1 0 

 

· 

1 3 

2 −2 

 

en C = 

 

= 

8 2 

3 1 

3 15 

3 2 

3. Als de matrices A en B commuteren en als A regulier is, dan commuteren A −1 en B. 

Bewijs. 

4. a. Bewijs dat I − A de inverse matrix is van A als en slechts als A 2 − A + I = O. 

b. Welke matrix is de inverse van A als A 2 + A + I = 0? 

 

. 

t


5. Gegeven is de matrix B = ⎣ 

(i) Toon aan dat B3 = O. 

⎡ 

(ii) Druk de matrix A = ⎣ 

(iii) * Bewijs dat 

⎡ 

0 1 3 

0 0 4 

0 0 0 

2 1 3 

0 2 4 

0 0 2 

⎤ 

⎦ . 

⎤ 

A n = 2 n−1 . 

⎦ uit in de gedaante λ.I + B, met λ ∈ R. 

⎡ 

⎣ 

2 n n(n + 2) 

0 2 4n 

0 0 2 

6. Bewijs dat voor elk reëel getal en elke reguliere matrix geldt: (r.A) −1 = 1 

r .A−1 . 

7. Bewijs dat uit A.B = In volgt dat B.A = In en dus B = A−1 . Op die manier kunnen 

de bovenstaande bewijzen gehalveerd worden. 

Oplossingen: 1 − 1 

⎡ 

4 

⎣ 12 4 

0 

3 

4 

3 

⎤ 

9 

24 ⎦; 

1 

2: (a) 

 

4 

16 

2 

12 

 

; (b) 1 

λ = 2; 

 

−5 

2 5 

 

−9 

; 

5 

(c) 

 

1 

13 

1 

−1 

 

−14 

5 

27 

RM I HUISTAAK 5 1. Bewijs dat de inverse matrix van een reguliere symmetrische 

matrix symmetrisch is. 

2. Gegeven is C = B −1 A.B, bereken C −1 en C n . 

3. Los de volgende matriciële vergelijking op naar X: 

 

3 

( 

−4 

 

−1 

· X) 

2 

−t 

1 

· 

5 

 

−2 5 

− · 

0 6 

1 −9 

1 

= 4 · 

−3 

 

2 

0 

⎤ 

⎦ .

2.7. DEELRUIMTEN 115 

2.7 Deelruimten 


De structuur R, W, + is een deelruimte van R, V, + als en slechts als W een deelverzameling 

is van V en de structuur R, W, + een reële vectorruimte is. 

Om te bewijzen dat een stuctuur een deelruimte is van een vectorruimte gaan we gebruik 

maken van de volgende stelling. 

2.7.2 Eigenschap 

STELLING 2.12 R, W, + is een deelruimte van R, V, + als en slechts als W een nietledige 

deelverzameling is van V en elk lineaire combinatie van twee vectoren van W weer 

een vector is van W . 

Met symbolen: 

R, W, + ≺ R, V, + ⇐⇒ 

1. W ⊂ V ∧ W = ∅ 

2. ∀r, s ∈ R ∧ ∀ w1, w2 ∈ W : r w1 + s w2 ∈ W 

Bewijs*: Het bewijs bestaat uit twee delen. Het eerste deel is onmiddellijk duidelijk want 

als R, W, + een deelruimte is van R, V, + dan is W een niet-ledige deelverzameling van V 

en is W gesloten voor de optelling en de scalaire vermenigvuldiging. 

In het tweede deel van het bewijs tonen we aan dat als de twee voorwaarden voor W vervuld 

zijn de structuur R, W, + een deelruimte is van R, V, +. 

1. W ⊂ V . Dit volgt uit de eerste voorwaarde. 

2. R, W, + is een reële vectorruimte. Alle eigenschappen van associativiteit, distributiviteit 

en commutativiteit zijn geldig in V dus ook geldig in W . De interne eigenschappen 

voor de optelling en de scalaire vermenigvuldiging volgen uit de tweede voorwaarde. 

We moeten nu nog enkel aantonen dat het neutraal element voor de optelling in W 

zit alsook het tegengesteld element van elk element van W . 

a. Omdat W = ∅ bestaat er een vector w ∈ W . Volgens de tweede voorwaarde is 

0.w = 0 ∈ W . Het neutraal element voor de optelling in V zit dus ook in W . 

b. Nemen we een willekeurige vector w ∈ W dan geldt volgens de tweede voorwaarde 

dat (−1).w = −w ∈ W . De tegengestelde vector van elke vector van W is 

een vector van W .


Voorbeeld*: De verzameling van alle drietallen waarvan de som van de eerste twee elementen 

gelijk is aan het derde element vormt een deelruimte van de reële vectorruimte van de 

drietallen. 

W = {(x, y, z) : x + y = z met x, y, z ∈ R} 

1. W = ∅ want bijvoorbeeld het drietal (0, 0, 0) voldoet aan de voorwaarde x + y = z en 

behoort dus tot W . 

2. We beschouwen twee willekeurige drietallen (x1, y1, z1) en (x2, y2, z2) van W dan geldt 

x1 + y1 = z1 

x2 + y2 = z2 

We zullen nu aantonen dat elke lineaire combinatie van de drietallen (x1, y1, z1) en 

(x2, y2, z2) weer een drietal is van W . 

∀r, s ∈ R : r(x1, y1, z1) + s(x2, y2, z2) 

= (rx1 + sx2, ry1 + sy2, rz1 + sz2) 

Opdat dit drietal een element zou zijn van W moet de som van de eerste twee elementen 

van het drietal gelijk zijn aan het derde element. 

rx1 + sx2 + ry1 + sy2 = rx1 + ry1 + sx2 + sy2 

= r(x1 + y1) + s(x2 + y2) 

= rz1 + sz2 

2.7.3 Voortbrengende verzamelingen van vectoren 

STELLING 2.13 De verzameling van alle lineaire combinaties van een eindig aantal vectoren 

van een reële vectorruimte vormt een deelruimte van die vectorruimte. 

Bewijs*: 

We noemen C de verzameling van alle lineaire combinaties van de vectoren v1, v2, . . . , vm 

van de reële vectorruimte R, V, +: 

C = {r1.v1 + r2.v2 + · · · + rm. vm : r1, r2, . . . , rm ∈ R ∧ v1, v2, . . . , vm ∈ V }


1. C is een niet-ledige deelverzameling van V omdat C een verzameling is van vectoren 

van V . 

2. Elke lineaire combinatie van elke twee vectoren van C is weer een vector van C. 

Inderdaad, nemen we twee willekeurige vectoren w1 en w2 van C dan zijn beide vectoren 

lineaire combinaties van v1, v2, . . . , vm. 

w1 ∈ C =⇒ ∃r1, r2, . . . , rm : w1 = r1.v1 + r2.v2 + · · · + rm. vm 

w2 ∈ C =⇒ ∃s1, s2, . . . , sm : w2 = s1.v1 + s2.v2 + · · · + sm. vm 

Uit de formules 2.3 en 2.4 volgt: 

∀r, s ∈ R, ∃r1, r2, . . . , rm, s1, s2, . . . , sm ∈ R : 

r. w1 + s. w2 = r.(r1.v1 + r2.v2 + · · · + rm. vm) + s.(s1.v1 + s2.v2 + · · · + sm. vm) 

⇕ 

r. w1 + s. w2 = (rr1 + ss1).v1 + (rr2 + ss2).v2 + · · · + (rrm + ssm). vm. 

(2.3) 

(2.4) 

∃t1, t2, . . . , tm ∈ R : r. w1 + s. w2 = t1.v1 + t2.v2 + · · · + tm. vm. (2.5) 

Dit laatste steunt op de commutativiteit en de associativiteit van de som van vectoren 

en op de gemengde associativiteit en de twee distributiviteiten van de scalaire 

vermenigvuldiging in de vectorruimte R, V, +. Uit formule 2.5 volgt dat de vector 

r. w1 + s. w2 een lineaire combinatie is van de vectoren v1, v2, . . . , vm en aldus behoort 

tot C. 

Opmerking: De vectoren vi met i ∈ {1, 2 . . . , m} zijn zelf ook vectoren van C. Daartoe 

kiezen we de scalair van vi gelijk aan 1 en de scalairen van de andere vectoren gelijk aan 0. 

De vectorruimte R, C, + van alle lineaire combinaties van de m vectoren v1, v2, . . . , vm noemen 

we de vectorruimte voortgebracht door de m vectoren v1, v2, . . . , vm. 

De verzameling {v1, v2, . . . , vm} is een voortbrengende verzameling vectoren van de 

vectorruimte R, C, +. 

Met symbolen: 

R, C, + = span{v1, v2, . . . , vm}


2.7.4 Niet-triviale deelruimten van R, EO, + 

Triviale deelruimten van R, EO, + zijn de nulruimte R, {o}, + en de vectorruimte R, EO, + 

zelf. 

2.7.4.1 Vectorrechten 

Is u = o dan wordt door u een rechte door de oorsprong voortgebracht 

aO = span{u met u = o} 

aO = {P ∈ EO : 

OP = r.u met r ∈ R} 

⇕ 

∀P ∈ aO, ∃r ∈ R : 

OP = ru. 

Beschouwen we een vector v = OP evenwijdig met aO dan is P ∈ aO. 

Omgekeerd, is P ∈ aO dan is v = OP evenwijdig met aO. 

De vectoren v en u zijn lineair afhankelijke vectoren. 

Twee en meer vectoren parallel met eenzelfde rechte zijn steeds lineair afhankelijk. 

aO wordt voortgebacht door u maar ook door een eindig aantal vectoren parallel met u 

waarvan er minstens één verschillend is van de nulvector. Deze vectoren vormen dan een 

voortbrengende verzameling vectoren voor aO. De verzameling {u} is een minimaal voortbrengende 

verzameling voor aO. 

We noemen {u} een basis voor de vectorrechte aO. De basis bestaat uit één vector. Daarom 

zeggen we dat de dimensie van aO gelijk is aan één en wordt aO een vectorrechte genoemd.


We zeggen dat de vergelijking aO : 

OP = r.u een vectoriële vergelijking is van de vectorrechte 

aO. 

Voorbeeld van een eendimensionale deelruimte van R, R2 , +: 

In de vectorruimte R, R2 , + brengen de koppels (3, 1 1 

2 

), (5, ) en (−2, − ) een eendimensi- 

5 3 15 

onale deelruimte ao voort, vermits één vector verschillend is van de nulvector en de twee 

andere vectoren veelvouden zijn van die vector. 

ao = span{(3, 1 1 2 

1 

), (5, ), (−2, − )} = span{(3, 

5 3 15 5 )} 

a0 = {(x, y) : (x, y) = r(3, 1 

) met r ∈ R}. 

5 

Deze vectoriële vergelijking van ao noemen we een parametervoorstelling van ao. 

Bepalen van een basis van een voortbrengende verzameling 

Het zou gemakkelijk zijn een minimaal voortbrengende verzameling te kunnen bepalen met 

een rekentechniek. De techniek moet ons toelaten alle afhankelijke vectoren weg te werken. 

We willen een onafhankelijke vector behouden. 

Hiertoe steunen we op het feit dat elke lineaire combinatie van de drie vectoren weer een 

vector is van a0. 

Omdat de drie vectoren lineair afhankelijk zijn, bestaat er een lineaire combinatie van de 

drie vectoren, met scalairen niet alle nul, die de nulvector oplevert. (zie 2.6). 

∃(r, s, t) = (0, 0, 0) : r(3, 1 1 

2 

) + s(5, ) + t(−2, − ) = (0, 0) 

5 3 15 

We geven zo twee verschillende lineaire combinaties: 

 

1 

1 

2 

−5(3, ) + 3(5, ) + 0(−2, − ) 5 3 15 

) 

= 

= 

(0, 0) 

(0, 0) 

2(3, 1 

5 

) + 0(5, 1 

3 

) + 3(−2, − 2 

15 

(2.6) 

De eerste lineaire combinatie maakt het mogelijk de vector (5, 1) 

te vervangen door de 

3 

nulvector en de tweede lineaire combinatie maakt het mogelijk de vector (−2, − 2 ) te ver- 

15 

vangen door de nulvector. Let er op dat de vector die vervangen wordt een scalair heeft 

verschillend van nul. 

Aan het stelsel 2.6 voegen we een lineaire combinatie toe om uit te drukken dat we eerste 

vector willen behouden. 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

1(3, 1 

1 

2 

1 

) + 0(5, ) + 0(−2, − ) = (3, 5 3 15 5 ) 

−5(3, 1 

1 

2 

) + 3(5, ) + 0(−2, − ) = (0, 0) 

5 3 15 

) = (0, 0) 

2(3, 1 

5 

) + 0(5, 1 

3 

) + 3(−2, − 2 

15 

(2.7)


Het stelsel 2.7 kunnen we op een handige manier schematisch voorstellen met behulp van 

het product van twee matrices. De matrix B bevat de scalairen van de lineaire combinaties 

van de drie gegeven vectoren en de tweede matrix A bevat de vectoren als rijvectoren. B 

wordt links vermenigvuldigd met A. 

⎡ 

B · A = ⎣ 

1 0 0 

−5 3 0 

2 0 3 

⎤ 

⎡ 

⎦ · ⎣ 

3 1/5 

⎤ 

5 ⎦ = 

1 

3 

−2 − 2 

15 

= 

⎡ 

1 · 3 + 0 · 5 + 0 · (−2) 1 · 

⎣ 

1 1 

2 

+ 0 · + 0 · (− 5 3 15 ) 

−5 · 3 + 3 · 5 + 0 · (−2) −5 · 1 1 2 

+ 3 · + 0 · ( 5 3 15 ) 

2 · 3 + 0 · 5 + 3 · (−2) 2 · 1 1 

2 

+ 0 · + 3 · (− 5 3 15 ) 

⎤ 

⎦ 

⎡ ⎤ 

⎣ 

3 1 

5 

0 0 

0 0 

We houden dus enkel de eerste vector (3, 1) 

over, de laatste twee vectoren werden vervangen 

5 

door de nulvector. 

De niet-nulvector (3, 1 

5 ) vormt een basis voor de eendimensionale deelruimte aO van R 2 

voortgebracht door de drie gegeven vectoren. 

Eigenlijk interesseert ons enkel de laatste matrix en niet welke lineaire combinaties we 

moeten maken om deze matrix te bekomen. Het is eenvoudiger als we de laatste matrix 

zouden kunnen bekomen zonder de matrix B te kennen. Dit kunnen we verwezenlijken 

door het toepassen van rijoperaties op A die dezelfde zijn als de combinaties die gemaakt 

worden om het product B ·A uit te voeren. Bij een rijoperatie wordt een rij vervangen door 

een lineaire combinatie van alle rijen maar de scalair van de vector die we vervangen moet 

verschillend zijn van nul. En dat was ook bij het uitvoeren van B · A het geval. 

⎡ 

⎣ 

3 

5 

1 

5 

1 

3 

−2 − 2 

15 

⎤ 

⎦ 

3v2 − 5v1 

3v3 + 2v1 

∼ 

⎡ 

⎣ 

⎦ 

1 

3 

5 

3 · 5 − 5 · 3 3 · 1 1 − 5 · 

3 5 

3 · (−2) + 2 · 3 3 · (− 2 1 ) + 2 · 15 5 

⎤ 

⎡ 

⎦ ∼ ⎣ 

3 1 

5 

0 0 

0 0 

We kunnen als basisvector ook een veelvoud (= 0) nemen van (3, 1) 

bvb. (15, 1). Bij een 

5 

matrix een rij vervangen door een veelvoud verschillend van nul van die rij is tevens een 

rijoperatie. We kunnen schrijven 

⎡ 

⎣ 

3 1 

5 

0 0 

0 0 

⎤ 

⎦ 5v1 

∼ 

⎡ 

⎣ 

15 1 

0 0 

0 0 

De laatste matrix is de canonieke matrix van A. 

⎤ 

⎦ v1/15 

∼ 

⎡ 

⎣ 

1 1/15 

0 0 

0 0 

⎤ 

⎦ 

⎤ 

⎦


2.7.4.2 Vectorvlakken 

Zijn u en v twee lineair onafhankelijke vectoren dan zijn ze niet evenwijdig met eenzelfde 

rechte en er geldt 

ru + sv = o =⇒ r = s = 0. 

u en v brengen een vlak door de oorsprong voort. 

αO = span{u, v} met u en v lineair onafhankelijk. 

αO = {P ∈ EO : 

OP = x.u + yv met x, y ∈ R} 

⇕ 

P ∈ αO ⇐⇒ ∃(x, y) ∈ R 2 : 

OP = xu + yv. 

Beschouwen we een vector w = OP evenwijdig met αO dan is P ∈ αO. 

Omgekeerd, is P ∈ αO dan is OP evenwijdig met αO. 

De vectoren w, u en v zijn lineair afhankelijke vectoren. 

Drie en meer vectoren parallel met eenzelfde vlak zijn steeds lineair afhankelijk. 

αO is een deelruimte van EO voortgebracht door een eindig aantal vectoren waarvan er 

precies twee u en v lineair onafhankelijk zijn. Deze verzameling vectoren vormt een voortbrengende 

verzameling voor αO. 

De verzameling {u, v} is een minimaal voortbrengende verzameling van αO. 

We noemen {u, v} een basis van het vectorvlak αO. Het minimum aantal vectoren waardoor 

een vectorvlak kan voortgebracht worden is 2. Daarom zeggen we dat de dimensie van 

een vectorvlak gelijk is aan 2 en noemen we αO een vectorvlak van EO. 

We zeggen dat de vergelijking αO : 

OP = xu + yv een vectoriële vergelijking is van het 

vectorvlak αO.


• Voorbeeld van een tweedimensionale deelruimte van R, R 3 , +: 

In de vectorruimte R, R 3 , + brengen de drietallen (1, −1, 0), (2, 0, −3) en (4, −2, −3) 

een tweedimensionale deelruimte voort omdat het drietal (4, −2, −3) een lineaire combinatie 

is van de lineair onafhankelijke drietallen (1, −1, 0) en (2, 0, −3) 

((1, −1, 0) en (2, 0, −3) zijn geen veelvouden van elkaar). 

αO = span{(1, −1, 0), (2, 0, −3), (4, −2, −3)} 

= span{(1, −1, 0), (2, 0, −3)} 

We willen twee onafhankelijke vector behouden. 

Hiertoe steunen we op het feit dat elke lineaire combinatie van de drie vectoren weer 

een vector is van α0. 

Omdat de drie vectoren lineair afhankelijk zijn, bestaat er een lineaire combinatie van 

de drie vectoren, met scalairen niet alle nul, die de nulvector oplevert. 

∃(r, s, t) = (0, 0, 0) : r(1, −1, 0) + s(2, 0, −3) + t(4, −2, −3) = (0, 0, 0) 

2(1, −1, 0) + (2, 0, −3) − (4, −2, −3) = (0, 0, 0) (2.8) 

De lineaire combinatie maakt het mogelijk de vector (4, −2, −3) te vervangen door de 

nulvector. Let er op dat de vector die vervangen wordt een scalair heeft verschillend 

van nul (we zouden ook (1, −1, 0) of (2, 0, −3) kunnen vervangen). 

We voegen twee lineaire combinaties toe aan de gelijkheid 2.8 om uit te drukken dat 

we de eerste twee vectoren willen behouden. We bekomen het stelsel: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

1(1, −1, 0) + 0(2, 0, −3) + 0(4, −2, −3) = (1, −1, 0) 

0(1, −1, 0) + 1(2, 0, −3) + 0(4, −2, −3) = (2, 0, −3) 

2(1, −1, 0) + (2, 0, −3) − (4, −2, −3) = (0, 0, 0) 

In matrixgedaante verkrijgen we: 

⎡ 

1 0 0 

⎤ ⎡ 

B · A = ⎣ 0 1 0 ⎦ · ⎣ 

2 1 −1 

1 −1 0 

2 0 −3 

4 −2 −3 

⎤ 

⎡ 

⎦ = ⎣ 

1 −1 0 

2 0 −3 

0 0 0 

Zoals in het voorgaande voorbeeld kunnen we zonder de matrix B te kennen, door 

middel van rijoperaties op de matrix A de laatste matrix bekomen. 

⎡ 

⎣ 

1 −1 0 

2 0 −3 

4 −2 −3 

⎤ 

⎦ −v3+2v1+v2 

∼ 

⎡ 

⎣ 

1 −1 0 

2 0 −3 

0 0 0 

⎤ 

⎦ 

⎤ 

⎦


De vectoren (1, −1, 0) en (2, 0, −3) vormen een basis van het vectorvlak αO voortgebracht 

door de drie drietallen. 

Met de methode van Gauss-Jordan kunnen we een basis bekomen van het vectorvlak 

αO zonder op voorhand iets te weten over de afhankelijkheid van de gegeven vectoren. 

⎡ 

⎣ 

1 −1 0 

2 0 −3 

4 −2 −3 

⎤ 

⎦ 

v2 − 2v1 

v3 − 4v1 

∼ 

⎡ 

⎣ 

1 −1 0 

0 2 −3 

0 2 −3 

⎤ 

⎦ 

2v1 + v2 

v3 − v2 

∼ 

⎡ 

⎣ 

2 0 −3 

0 2 −3 

0 0 0 

De vectoren (2, 0, −3) en (0, 2, −3) vormen een andere basis van αO, voortgebracht 

door de drie gegeven vectoren. 

• Voorbeeld van een tweedimensionale deelruimte van R, R 4 , +: 

In de vectorruimte R, R 4 , + brengen de viertallen (1, 2, −1, 0), (−2, −4, 2, 0), (2, 4, −3, 1), 

en (1, 2, −3, 2) een tweedimensionale deelruimte voort omdat (1, 2, −1, 0) en (−2, −4, 2, 0) 

veelvouden zijn van elkaar en (1, 2, −3, 2) een lineaire combinatie is van de onafhankelijke 

viertallen (1, 2, −1, 0) en (2, 4, −3, 1), . 

αO = span{(1, 2, −1, 0), (−2, −4, 2, 0), (2, 4, −3, 1), (1, 2, −3, 2)} 

= span{(1, 2, −1, 0), (−2, −4, −3, 1)} 

∃(x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 0, 0) : 

x1(1, 2, −1, 0) + x2(−2, −4, 2, 0) + x3(2, 4, −3, 1) + x4(1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0) 

We geven twee verschillende lineaire combinaties: 

2(1, 2, −1, 0) + (−2, −4, 2, 0) + 0(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0) 

3(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) − 2(2, 4, −3, 1) + (1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0) 

(2.9) 

De eerste combinatie laat toe de vector (−2, −4, 2, 0) te vervangen door de nulvector. 

De tweede combinatie laat toe de vector (1, 2, −3, 2) te vervangen door de nulvector. 

Merk op dat de scalairen van de vectoren die vervangen worden verschillend zijn van 

nul. 

We voegen aan het stelsel 2.9 twee vergelijkingen toe om uit te drukken dat we de 

eerste en derde vector willen behouden. We bekomen het stelsel: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

1(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) + 0(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2) = (1, 2, −1, 0) 

2(1, 2, −1, 0) + (−2, −4, 2, 0) + 0(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0) 

0(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) + 1(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2) = (2, 4, −3, 1) 

3(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) − 2(2, 4, −3, 1) + (1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0) 

⎤ 

⎦


In matrixgedaante verkrijgen we: 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 0 0 0 

2 1 0 0 

0 0 1 0 

3 0 −2 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ · 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 −1 0 

−2 −4 2 0 

2 4 −3 1 

1 2 −3 2 

⎤ 

⎥ 

⎦ = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 −1 0 

0 0 0 0 

2 4 −3 1 

0 0 0 0 

Zoals in het voorgaande voorbeeld kunnen we zonder de matrix B te gebruiken, door 

middel van rijoperaties op de matrix A de laatste matrix bekomen. 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 −1 0 

−2 −4 2 0 

2 4 −3 1 

1 2 −3 2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

v2 + 2v1 

v4 − 2v3 + 3v1 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 −1 0 

0 0 0 0 

2 4 −3 1 

0 0 0 0 

De vectoren (1, 2, −1, 0) en (2, 4, −3, 1) vormen een basis van het vectorvlak voortgebracht 

door de vier viertallen. 

Zoals in het vorig voorbeeld kunnen we met de methode van Gauss-Jordan een basis 

bekomen van het vectorvlak zonder op voorhand te weten of de vectoren al dan niet 

van elkaar afhankelijk zijn. 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

v23 

∼ 

1 2 −1 0 

−2 −4 2 0 

2 4 −3 1 

1 2 −3 2 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 −1 0 

0 0 −1 1 

0 0 0 0 

0 0 −2 2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

v2 + 2v1 

v3 − 2v1 

v4 − v1 

∼ 

v1 − v2 

v4 − 2v2 

∼ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 −1 0 

0 0 0 0 

0 0 −1 1 

0 0 −2 2 

1 2 0 −1 

0 0 −1 1 

0 0 0 0 

0 0 0 0 

De vectoren (1, 2, 0, 1) en (0, 0, −1, 1) vormen een andere basis van hetzelfde vectorvlak 

voortgebracht door de vier viertallen. 

2.7.4.3 Besluit 

• Bij het toepassen van rijoperaties op een matrix, worden vectoren vervangen door 

andere vectoren die tot dezelfde deelruimte behoren als voortgebracht door de oorspronkelijke 

vectoren. De nieuwe vectoren brengen nog steeds dezelfde deelruimte 

voort. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ . 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦

2.8. RANG VAN EEN MATRIX 125 

• Bij het herleiden van een matrix naar zijn canonieke gedaante, worden de rijvectoren 

die afhankelijk zijn van de andere automatisch vervangen door de nulvector. De 

overblijvende niet-nulvectoren vormen een verzameling onafhankelijke vectoren die 

een basis vormen van de deelruimte (minimaal voortbrengende verzameling). 

• Elke basis van een deelruimte bezit eenzelfde aantal basisvectoren. De dimensie van 

een vectorruimte is het aantal basisvectoren van die vectorruimte. 

2.8 Rang van een matrix 

⎡ 

⎢ 

A = ⎢ 

⎣ 

a11 a12 · · · a1n 

a21 a22 · · · a2n 

. 

. 

am1 am2 · · · amn 

. 

⎤ 

⎡ 

⎥ 

⎦ = 

⎢ 

⎣ 

De rijenrang van een matrix is de dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de 

rijvectoren van de matrix. 

v1 

v2 

. 

vm 

RangA = dim span{v1, v2, . . . , vi, . . . , vm} = dim R, W, + 

STELLING 2.14 Rijequivalente matrices hebben dezelfde rang. 

Bewijs: Rijequivalente matrices hebben dezelfde rang vermits de rijvectoren dezelfde deelruimte 

voortbrengen. Een rijoperatie verandert immers niets aan de ruimte voortgebracht 

door de rijvectoren. 

Gevolg 1 Vormen de rijvectoren van een matrix een basis van een r-dimensionale ruimte 

dan zet elke rijoperatie op die matrix deze basis om in een basis van die r-dimensionale 

ruimte. 

Bepalen van de rang van een matrix : 

Om de rang van een matrix te bepalen gaan we de matrix herleiden naar zijn canonieke 

gedaante vermits hun rangen gelijk zijn en de rang van een canonieke matrix gemakkelijk 

te bepalen is. En we krijgen een eenvoudige basis van de deelruimte voortgebracht door de 

rijvectoren van de matrix cadeau... 

De rang van een matrix is gelijk aan het aantal niet-nul rijen van haar canonieke gedaante. 

Dit is ook gelijk aan het aantal Jordan-elementen. 

Opmerking: Noemen we r de rang van een matrix en zetten we in de canonieke matrix 

enkel de kolommen met een Jordan-element in een nieuwe matrix dan verkrijgen we een 

⎤ 

⎥ 

⎦


diagonaalmatrix van de orde r × r, waarvan de diagonaalelementen de Jordan-elementen 

zijn. 

Definieer nu zelf op analoge wijze kolomoperaties op een matrix, kolomequivalente 

matrices en kolommenrang van een matrix.. 

STELLING 2.15 Een matrix en zijn getransponeerde hebben dezelfde rang. M.a.w. de 

rijenrang van een matrix is gelijk aan de kolommenrang. 

GEVOLG 2.1 De dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de rijvectoren is gelijk 

aan de dimensie van de ruimte voortgebracht door de kolomvectoren. 

RM I groepswerk 14 1. (a) Tot welke vectorruimte behoren de rijvectoren van de 

volgende matrices? 

(b) Bepaal de meest eenvoudige basis van de deelruimte. 

(c) Bepaal ook de dimensie van die deelruimten. Hoe noemen we die deelruimte in 

geval de rijvectoren tot R 3 of tot R 2 behoren? 

⎡ 

−1 

⎤ 

3 

⎡ 

0 0 

⎤ 

0 

a. ⎣ 5 0 ⎦ b. ⎣ −1 0 5 ⎦ 

⎡ 

2 

0 

−1 

⎤ 

0 

⎡ 

6 2 −5 

⎤ 

1 2 3 

c. ⎣ 1 −1 ⎦ d. ⎣ 0 0 0 ⎦ 

⎡ 

2 

1 

3 

⎤ 

2 −1 

⎡ 

2 4 6 

⎤ 

0 6 0 

e. ⎣ 3 2 1 ⎦ f. ⎣ −1 3 2 ⎦ 

⎡ 

4 4 

1 

−1 

−1 1 

⎤ ⎡ 

2 

−1 

0 1 

2 3 

⎤ 

6 

g. ⎣ −5 5 −5 ⎦ h. ⎣ 2 −1 5 1 ⎦ 

i. 

0, 5 

⎡ 

0 

⎢ 1 

⎣ −2 

4 

−0, 5 0, 5 

⎤ 

2 4 

2 3 ⎥ 

0 2 ⎦ 

2 0 

j. 

⎡ 

3 

√ 

3 

⎢ −3 

⎢ 

⎣ 

0 13 7 

1 −1 

− √ 2 

√ 

3 3 

2 √ 3 

3 −2 √ √ 

2 

⎤ 

⎥ 

3 ⎥ 

3 ⎦ 

√ 6 

3 

− √ 6 

3 

2. Bereken het getal a, zodanig dat de vectoren u, v en w lineair onafhankelijk zijn. 

a. u(1, a − 1, 1), v(1, a, a − 1) en w(2, 7, a); 

b. u(a, a − 1, −1), v(3, a, 3) en w(−1, 1, a).

2.8. RANG VAN EEN MATRIX 127 

3. Bespreek de dimensie van de ruimte voortgebracht door de volgende vectoren. 

a. u(a, 2, 1) en v(1, a + 1, a); 

b. u(a, a, 0), v(2, 3, a) en w(a, 3, 2). 

c. u(1, a, a 2 ), v(1, a, ab) en (b, a, a 2 b). 

Oplossingen: 

1 a. 2; b. 2; c. 2; d. 1; e. 3; f. 3; g. 1; h. 3; i. 2; j. 1; 

2 a. a = 2 ∧ a = 4; b. a = 0 ∧ a = 4 ∧ a = −1; 

3 a. rang = 2 ⇐⇒ a = 1, rang = 1 ⇐⇒ a = 1; b. rang = 3 ⇐⇒ a = 1 ∧ a = 2 ∧ a = 0, 

rang = 2 ⇐⇒ a = 1 ∨ a = 2 ∨ a = 0; 

RM I HUISTAAK 6 1. Gegeven de matrix 

⎡ 

1 

⎢ 3 

⎣ −1 

2 

4 

0 

−1 

0 

−2 

3 

−1 

7 

−1 

3 

−5 

⎤ 

2 

0 ⎥ 

4 ⎦ 

−2 −2 −1 4 −4 2 

Gevraagd: 

(a) bepaal een zo eenvoudig mogelijke basis van de deelruimte voortgebracht door de 

kolomvectoren van de gegeven matrix, die vectoren zijn van de vierdimensionale 

vectorruimte R, R 4 , +; 

(b) geef de dimensie van die deelruimte. 

2. Bespreek de dimensie van de ruimte voortgebracht door de gegeven vectoren. Geef 

telkens aan welke van de gegeven vectoren als basis kunnen genomen worden voor de 

voorgebrachte deelruimte. u(a, 1, b), v(1, 1, ab) en w(1, a, b).


2.9 *Verband tussen linksvermenigvuldigen van een 

matrix en het rijherleiden van een matrix 

Zij A een (m × n)-matrix, C de canonieke matrix van A en B een (m × m)-matrix die we 

links met A moeten vermenigvuldigen om C te bekomen. 

Tevens geldt 

B · A = C 

B · Im = B 

Hieruit volgt dat de matrix B bekomen wordt uit de eenheidsmatrix door dezelfde rijoperaties 

toe te passen als om C te bekomen uit A. 

We illustreren met een voorbeeld hoe we praktisch zo een matrix B kunnen bepalen. 

⎡ 

1 0 1 

⎤ 

3 

Voorbeeld: Gegeven de matrix A = ⎣ 2 1 2 3 ⎦ . We vullen de matrix A aan met de 

3 0 1 1 

eenheidsmatrix I3 en herleiden deze uitgebreide matrix naar de canonieke gedaante. 

⎡ 

⎣ 

1 0 1 3 1 0 0 

2 1 2 3 0 1 0 

3 0 1 1 0 0 1 

De matrix B is de (3 × 3)-matrix ⎣ 

Controleer nu zelf het product 

⎡ 

B · A = ⎣ 

⎡ 

⎤ 

−1/2 0 1/2 

−2 1 0 

3/2 0 −1/2 

⎡ 

⎦ ∼ ⎣ 

1 0 0 −1 −1/2 0 1/2 

0 1 0 −3 −2 1 0 

0 0 1 4 3/2 0 −1/2 

−1/2 0 1/2 

−2 1 0 

3/2 0 −1/2 

⎤ 

⎦ · ⎣ 

Deze laatste matrix is de canonieke matrix van A. 

⎡ 

⎤ 

⎦ . 

1 0 1 3 

2 1 2 3 

3 0 1 1 

⎤ 

⎡ 

⎦ = ⎣ 

⎤ 

⎦ . 

1 0 0 −1 

0 1 0 −3 

0 0 1 4 

OPGAVEN — 15 Bepaal de rang van de volgende matrices. Bepaal de vierkante matrix die we links 

moeten vermenigvuldigen met de gegeven matrix om de canonieke gedaante van de matrix te bekomen door 

rijherleiding. 

⎤ 

⎦

2.9. *VERBAND TUSSEN LINKSVERMENIGVULDIGEN VAN EEN MATRIX EN HET RIJHERLEIDE 

(i) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

(iv) ⎣ 

(vii) 

⎡ 

⎡ 

(x) ⎣ 

1 3 5 

0 2 3 

0 6 4 

7 6 13 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2 1 1 0 1 

1 1 2 1 2 

7 5 8 3 8 

⎤ 

(ii) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎦ (v) ⎣ 

1 2 −1 3 −1 2 

3 4 0 −1 3 0 

−1 0 −2 7 −5 4 

−2 −2 −1 4 −4 2 

1 1 

1 2 

1 3 

⎤ 

⎤ 

⎡ 

⎥ 

⎦ (viii) 

⎦ (xi) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 2 2 

3 3 3 

−5 −5 −5 

19 19 19 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1 2 3 4 5 

1 3 5 7 9 

7 6 5 4 3 

⎡ 

⎣ 

⎤ 

1 3 −2 0 

2 −1 0 4 

−3 5 −2 −8 

1 1 0 0 

0 0 1 1 

1 0 1 0 

0 1 0 1 

2.9.1 Bepalen van de inverse matrix 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

(iii) 

⎦ (vi) 

⎤ 

⎦ (ix) 

(xii) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 4 5 6 

1 2 2 3 2 

0 0 1 0 0 

−1 −2 0 0 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−1 0 2 5 1 

0 −1 3 1 2 

0 1 0 0 3 

1 1 −1 0 4 

0 1 2 

1 0 −3 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 3 

0 2 3 

1 0 0 

1 −1 1 

We kunnen de inverse matrix van een gegeven matrix bepalen door het uitvoeren van 

elementaire rijoperaties. Als we kijken naar de formule 

A −1 · A = In 

kunnen we A −1 opvatten als een matrix B die links inwerkt op A om de eenheidsmatrix 

te bekomen. De eenheidsmatrix is dus de canonieke matrix van A. Dit betekent dat de 

rijvectoren van A lineair onafhankelijk zijn. Zo een vierkante matrix noemen we een nietsinguliere 

matrix of reguliere matrix. Er geldt eveneens 

A −1 · In = A −1 

Dit laatste betekent dat de inverse matrix A −1 bekomen wordt door op de eenheidsmatrix 

In dezelfde rijoperaties uit te voeren als op A om A in de gereduceerde gedaante te brengen. 

Merken we op dat de eerste rij van A −1 inwerkend op de matrix A de eerste rij oplevert van 

In, nl. (1, 0, 0). Zo geven de tweede en derde rij van A −1 inwerkend op A resp. de tweede 

en derde rij van In, nl. (0, 1, 0) en (0, 0, 1). 

Belangrijke opmerking: De inverse matrix van een vierkante matrix van de orde n 

bestaat als en slechts als de matrix een niet-singuliere matrix is of als de rang van de 

matrix gelijk is aan n. 

 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦


2.9.2 Bepalen van nuldelers met rijoperaties 

Met rijoperaties kunnen we ook gemakkelijk alle nuldelers van een gegeven matrix bepalen. 

Is een matrix A een m × n- matrix met rang r dan zal de gereduceerde gedaante van A een 

matrix zijn met m − r nulrijen. We noemen Im−r,n de gereduceerde gedaante van A. We 

bekomen echter ook deze gereduceerde gedaante door A links te vermenigvuldigen met een 

bepaalde matrix B van de orde m × m. 

Omdat 

B · A = Im−r,n. 

B · Im = B 

verkrijgen we de matrix B door dezelfde rijoperaties op Im als op A uit te voeren. 

De m − r laatste rijen van B inwerkend op de matrix A leveren de nulrijen op van de matrix 

Im−r,n. De gevraagde linkernuldelers zijn matrices van de orde m × m waarvan de rijen lineaire 

combinaties zijn van de m − r laatste rijen van B. 

Willen we nu ook rechternuldelers bepalen dan gaan we op analoge wijze tewerk maar werken 

met kolomoperaties op de matrix A. Het uitvoeren van een kolomoperatie op een matrix 

correspondeert met het vermenigvuldigen aan de rechterkant met een matrix C van de orde 

n × n. 

A · C = Im,n−r. 

Omdat 

In · C = C 

verkrijgen we de matrix C door dezelfde kolomoperaties op In als op A uit te voeren. 

De n − r laatste kolommen van C inwerkend op de matrix A leveren de nulkolommen op van 

de matrix Im,n−r. De gevraagde rechternuldelers zijn matrices van de orde n × n waarvan de 

kolommen lineaire combinaties zijn van de n − r laatste kolommen van C. 

In de praktijk gaan we de kolomoperaties op A herleiden tot rijoperaties op A t . 

Voorbeelden: 

⎡ 

1 −1 0 

⎤ 

−1 

a. Bepaal de linker- en rechternuldelers van de matrix A = ⎣ 0 5 7 4 ⎦. 

2 3 7 2 

Oplossing: Voor een linkernuldeler voegen we de matrix I3 toe aan de matrix A om 

zodoende dezelfde rijoperaties op I3 als op A toe te passen. 

⎡ 

⎣ 

1 −1 0 −1 1 0 0 

0 5 7 4 0 1 0 

2 3 7 2 0 0 1 

⎤ 

⎡ 

⎦ ∼ ⎣ 

1 0 7/5 −1/5 0 −3/10 1/2 

0 1 7/5 4/5 0 1/5 0 

0 0 0 0 1 1/2 −1/2 

⎤ 

⎦


De laatste rij van matrix 

⎡ 

B = ⎣ 

0 −3/10 1/2 

0 1/5 0 

1 1/2 −1/2 

links inwerkend op A geeft de nulrij van de gereduceerde gedaante I1,3 van A. Een 

linkernuldeler van A is een (3 × 3)-matrix waarvan de rijvectoren veelvouden zijn van de 

rijvector u = (1, 1/2, −1/2), dit zijn vectoren van span{u}. Eén van de nuldelers van A 

is bijvoorbeeld de matrix ⎡ 

⎣ 

1 1/2 −1/2 

2 1 −1 

−4 −2 2 

Voor een rechternuldeler van A voegen we de matrix I4 toe aan de matrix A om zodoende 

dezelfde kolomoperaties op I4 als op A toe te passen. 

⎡ 

⎤ 

1 −1 0 −1 

⎢ 0 5 7 4 ⎥ 

⎢ 2 3 7 2 ⎥ 

⎢ 1 0 0 0 ⎥ 

⎢ 0 1 0 0 ⎥ 

⎣ 0 0 1 0 ⎦ 

0 0 0 1 

We voeren op de getransponeerde van deze matrix rijoperaties toe. 

⎡ 

⎤ 

1 0 2 1 0 0 0 

⎢ −1 5 3 0 1 0 0 ⎥ 

⎣ 0 7 7 0 0 1 0 ⎦ 

−1 4 2 0 0 0 1 

∼ 

⎡ 

1 0 2 0 0 4/7 

⎢ 0 1 1 0 0 1/7 

⎣ 0 0 0 1 0 −4/7 

⎤ 

−1 

0 ⎥ 

1 ⎦ 

0 0 0 0 1 −1/7 −1 

De oorspronkelijke matrix is kolomequivalent met 

⎡ 

1 0 0 

⎢ 0 1 0 

⎢ 2 1 0 

⎢ 0 0 1 

⎢ 0 0 0 

⎣ 4/7 1/7 −4/7 

⎤ 

0 

0 ⎥ 

0 ⎥ 

0 ⎥ 

1 ⎥ 

−1/7 ⎦ 

−1 0 1 −1 

⎡ 

0 

⎢ 

De laatste twee kolommen van matrix C = ⎢ 0 

⎣ 4/7 

0 

0 

1/7 

1 

0 

−4/7 

⎤ 

0 

1 ⎥ 

−1/7 ⎦ rechts inwer- 

−1 0 1 −1 

kend op A geven de twee nulkolommen van de gereduceerde gedaante I4,2 van A. Een 

⎤ 

⎦ . 

⎤ 

⎦


rechternuldeler van A is een (4 × 4)-matrix ⎡ waarvan ⎤ de⎡kolomvectoren ⎤ lineaire combina- 

1 

0 

⎢ 

ties zijn van de kolomvectoren u = ⎢ 0 ⎥ ⎢ 

⎥ 

⎣ −4/7 ⎦ en v = ⎢ 1 ⎥ 

⎣ −1/7 ⎦ , dit zijn vectoren van 

1 

−1 

span{u, v}. 

Eén van de rechternuldelers van A is bijvoorbeeld de matrix 

⎡ 

1 

⎢ 0 

⎣ −4/7 

0 

1 

−1/7 

1 

3 

−1 

⎤ 

7 

7 ⎥ 

−5 ⎦ 

1 −1 −2 0 

. 

⎡ √ 

2 

b. Bepaal de linker- en rechternuldelers van de matrix A = ⎣ 2 

1/2 3 

√ 2/2 3 √ 2 

2 

√ 2 1 

⎤ 

⎦. 

6 

Oplossing: Voor de linkernuldelers: 

⎡ √ 

2 1/2 3 1 0 0 

⎣ 2 √ 2/2 3 √ 2 0 1 0 

2 √ ⎤ ⎡ 

1 

⎦ ∼ ⎣ 

2 1 6 0 0 1 

√ 2/4 3 √ 2/4 0 0 √ 0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

2/4 

−1/2 

− √ ⎤ 

⎦ 

2/2 

⎡ 

0 0 

De laatste twee rijen van matrix B = ⎣ 

√ 2/4 

1 

0 

0 

1 

−1/2 

− √ ⎤ 

⎦ links inwerkend op A leveren 

2/2 

de twee nulrijen op van de gereduceerde gedaante I2,3 van A. Een linkernuldeler van A 

is een (3 × 3)-matrix waarvan de rijvectoren lineaire combinaties zijn van de rijvectoren 

u = (1, 0, −1/2) en v = (0, 1, − √ 2/2), dit zijn vectoren van span{u, v}. Eén van de 

linkernuldelers van A is bijvoorbeeld de matrix 

⎡ 

2 

⎣ 0 

0 

2 

−1 

− √ 2 2 

2 

√ 2 

⎤ 

⎦ . 

−3 

Voor een rechternuldeler van A voegen we de matrix I3 toe aan de matrix A om zodoende 

dezelfde kolomoperaties op I3 als op A toe te passen. 

⎡ √ 

2 1/2 3 

⎢ 2 

⎢ 

⎣ 

√ 2/2 3 √ 2 

2 √ ⎤ 

⎥ 

2 1 6 ⎥ 

1 0 0 ⎥ 

0 1 0 ⎦ 

0 0 1


We voeren op de getransponeerde van deze matrix rijoperaties toe. 

⎡ 

⎣ 

√ 2 2 2 √ 2 1 0 0 

1/2 √ 2/2 1 0 1 0 

3 3 √ 2 6 0 0 1 

⎤ 

⎡ 

⎦ ∼ ⎣ 

De oorspronkelijke matrix is kolomequivalent met 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 0 0 

√ 2 0 0 

2 0 0 

0 1 0 

0 0 1 

1/3 − √ 2/3 −1/6 

1 √ 2 2 0 0 1/3 

0 0 0 1 0 − √ 2/3 

0 0 0 0 1 −1/6 

⎡ 

0 1 0 

De laatste twee kolommen van matrix C = ⎣ 0 0 1 

1/3 − √ ⎤ 

⎦ rechts inwerkend 

2/3 −1/6 

op A geven de twee nulkolommen van de gereduceerde gedaante I3,2 van A. Een rechternuldeler 

van A is een (3 × 3)-matrix 

⎡ 

waarvan de kolomvectoren lineaire combinaties 

1 

zijn van de kolomvectoren u = ⎣ 0 

− √ ⎤ ⎡ ⎤ 

0 

⎦ en v = ⎣ 1 ⎦, dit zijn vectoren van 

2/3 

−1/6 

span{u, v}. 

Eén van de rechternuldelers van A is bijvoorbeeld de matrix 

⎡ 

⎣ 

3 0 3 

0 6 −6 √ 2 

− √ 2 −1 0 

OPGAVEN — 16 Bepaal de rang van de matrices uit opgave 15. Leid hieruit af of de matrices nuldelers 

hebben. Bepaal een linker- en rechternuldeler indien mogelijk: 

Oplossingen: 

15 

⎤ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎦ . 

⎤ 

⎦


(i)r = 3 L-N = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

35 −42 4 −5 

1 −6/5 4/35 −1/7 

5 −6 4/7 −5/7 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

geen rechternuldelers; 

(ii) r = 1 

(iii) r = 4 

7 −42/5 

⎡ 

19 0 0 

⎢ 

L-N = ⎢ 0 19 0 

⎣ 0 0 19 

19 19 19 

geen linkernuldelers 

4/5 

⎤ 

−2 

−3 ⎥ 

5 ⎦ 

0 

−1 

⎡ 

⎤ 

1 0 1 

R-N = ⎣ 0 1 −1 ⎦; 

−1 −1 0 

⎡ 

1 2 −4 

⎢ −1/2 −1 2 

R-N = ⎢ 0 0 0 

⎣ 0 0 0 

3 

−3/2 

0 

0 

⎤ 

−8 

4 ⎥ 

0 ⎥ 

0 ⎦ 

0 0 0 0 0 

; 

(iv) r = 3 geen linkernuldelers 

⎡ 

1 

⎢ −2 

R-N = ⎢ 0 

⎣ 1 

0 1 1 

0 −2 −2 

1 1 −1 

0 1 1 

−1 

2 

1 

−1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

0 −1 −1 1 −1 

; 

(v) r = 2 

⎡ 

15 −8 

L-N = ⎣ 1 −8/15 

15/8 −1 

−1 

−1/5 

−1/8 

⎤ 

⎦ 

⎡ 

1 

⎢ 

R-N = ⎢ 0 

⎣ −4 

3 

0 0 1 

1 0 −1 

−3 −2 1 

2 1 0 

⎤ 

1 

1 ⎥ 

−5 ⎦ 

4 

; 

(vi) r = 4 geen linkernuldelers 

⎡ 

37 

⎢ 42 

R-N = ⎢ 23 

⎣ 1 

−74 37/23 

−84 42/23 

−46 1 

−2 1/23 

37/14 

3 

23/14 

1/14 

37/42 

1 

23/42 

1/42 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−14 28 −14/23 −1 −1/3 

; 

(vii) r = 2 

⎡ 

1 

⎢ 

L-N = ⎢ 0 

⎣ 1 

−2 

0 

1 

−1 

1 

−1 

−1 

0 

1 

1 

2 

−1 

0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡ 

0 

⎢ 0 

⎢ 

R-N = ⎢ 0 

⎢ 3 

⎣ 1 

0 0 

0 3 

2 0 

0 0 

0 −4 

1 1 

0 3 

0 2 

0 3 

−1 −4 

⎤ 

1 

−3 ⎥ 

2 ⎥ 

3 ⎥; 

⎥ 

4 ⎦ 

(viii) r = 2 

⎡ 

1 

L-N = ⎣ 0 

3 

−2 

−4 

−6 

⎤ 

−1 

−2 ⎦ 

−3 

⎡ 

−4 1 −5 

1 0 

⎢ 

R-N = ⎢ 0 1 

⎣ 1/2 3/2 

−1/2 1/4 

−1 −9 

1 4 

1 4 

2 8 

−1/4 −1 

⎤ 

1 

⎥ 

⎦ ; 

⎡ 

1 3 

⎤ 

−3/2 

(ix) r = 2 geen linkernuldelers R-N = ⎣ −2/3 −2 1 ⎦; 

1/3 1 −1/2 

⎡ 

(x) r = 2 L-N = ⎣ 

(xi) r = 3 L-N = 

(xii) r = 3 L-N = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 −2 1 

2 −4 2 

−1/2 1 −1/2 

⎤ 

1 1 −1 −1 

1/2 1/2 −1/2 −1/2 

2 2 −2 −2 

−5 −5 5 5 

⎡ 

⎤ 

1 −1 −1 0 

⎢ −2 2 2 0 ⎥ 

⎣ 

√ 

1 −1/2 

√ 

−1/2 0 ⎦ 

√ 

3 − 3 − 3 0 

⎦ geen rechternuldelers; 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

R-N = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 −2 1/2 −1 

−1 2 −1/2 1 

−1 2 −1/2 1 

1 −2 1/2 −1 

geen rechternuldelers. 

⎤ 

⎥ 

⎦ ;

Hoofdstuk 3 

Oplosbaarheid van lineaire stelsels 

Je hebt vroeger gezien dat elke rechte in het vlak kan voorgesteld worden door een vergelijking van de 

eerste graad in twee onbekenden x en y. Om de doorsnede te bepalen van twee of meerdere rechten moeten 

we stelsels oplossen van vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden. 

In de ruimte wordt een vlak voorgesteld door een vergelijking van de eerste graad in drie onbekenden en 

een rechte door een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad in drie onbekenden (als doorsnede 

van twee niet-parallelle vlakken). Om de doorsnede te zoeken van rechten en vlakken in de ruimte zullen 

we stelsels moeten oplossen van vergelijkingen van de eerste graad in drie onbekenden x, y en z. 

We zullen in dit hoofdstuk dus dieper ingaan op de oplosbaarheid van lineaire stelsels. 

3.1 Definitie van een lineair stelsel 

We kunnen reeds een eenvoudige basis bepalen van een deelruimte voortgebracht door een 

aantal vectoren en nagaan hoeveel van die vectoren lineair onafhankelijk zijn. Daarvoor 

zetten we de coördinaten van de vectoren in een matrix en bepalen we de canonieke matrix. 

Stel dat we willen nagaan of een bepaalde vector lineair afhankelijk is van een stel andere 

vectoren dan leidt het zoeken naar een lineaire combinatie tot een lineair stelsel. 

We illustreren dat nog eens met een voorbeeld. We vragen ons af of de vector (3, −1, −1) 

kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de vectoren (2, −1, 0), (5, −3, −1) 

en (1, 1, −1) en zoja welke zijn dan de scalairen van de lineaire combinatie. Bestaat er een 

stel scalairen (x, y, z) zodanig dat 

(3, −1, −1) = x.(2, −1, 0) + y.(5, −3, −1) + z.(1, 1, −1). 

In matrixgedaante wordt deze betrekking 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 

2 

⎛ 

⎝ −1 ⎠ = x. ⎝ −1 ⎠ + y. ⎝ 

−1 

0 

135 

5 

−3 

−1 

⎞ 

⎛ 

⎠ + z. ⎝ 

1 

1 

−1 

⎞ 

⎠

136 HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS 

of 

⎛ 

x. ⎝ 

2 

−1 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ + y. ⎝ 

5 

−3 

−1 

⎞ 

⎛ 

⎠ + z. ⎝ 

Dit geeft aanleiding tot het volgend lineair stelsel: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

1 

1 

−1 

2x + 5y + z = 3 

−x − 3y + z = −1 

−y − z = −1 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

Het oplossen van een lineair stelsel is dus equivalent met het zoeken naar een lineaire 

combinatie. 

Een lineair (m, n)-stelsel is een stelsel van m lineaire vergelijkingen en n onbekenden. 

De algemene gedaante van een lineair (m, n)-stelsel is: 

⎧ 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

⎪⎨ a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 

⎪⎩ 

De matrixgedaante van het stelsel is 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

a12 

a22 

. 

. . . 

. . . 

a1n 

a2n 

. 

De verkorte matrixgedaante is 

. 

. 

. 

3 

−1 

−1 

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm 

am1 am2 . . . amn 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ · 

⎜ 

⎝ 

A · X = B. 

x1 

x2 

. 

xn 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

Een oplossing van een lineair (m, n)-stelsel is een n-tal (r1, r2, . . . , rn) ∈ Rn dat oplossing 

is van elke vergelijking van het stelsel. De voorwaarden opdat (r1, r2, . . . , rn) een 

oplossing zou zijn van het stelsel, zijn: 

⎧ 

a11r1 + a12r2 + · · · + a1nrn = b1 

⎪⎨ a21r1 + a22r2 + · · · + a2nrn = b2 

⎪⎩ 

. 

. 

b1 

b2 

. 

bn 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

am1r1 + am2r2 + · · · + amnrn = bm 

Heeft een stelsel minstens één oplossing, dan is het stelsel oplosbaar; 

. 

. 

⎞ 

⎠


Is een stelsel oplosbaar dan is de kolomvector van de tweede leden op minstens één manier 

te schrijven als lineaire combinatie van de kolomvectoren gevormd door de coëfficiënten van 

de onbekenden in de eerste leden. 

⎛ 

⎜ 

r1. ⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

am1 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + r2. ⎜ 

⎠ ⎝ 

a12 

a22 

. 

am2 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + · · · + rn. ⎜ 

⎠ ⎝ 

Heeft een stelsel geen enkele oplossing, dan is het strijdig. 

a1n 

a2n 

. 

amn 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

De coëfficiëntenmatrix A van het lineair (m, n)-stelsel is de matrix: 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

a11 a12 . . . a1n 

a21 a22 . . . a2n 

. 

. 

am1 am2 . . . amn 

De matrix A bevat de coëfficiënten van de onbekenden van het stelsel 

De verhoogde matrix van het stelsel is 

⎛ 

⎜ 

AB = ⎜ 

⎝ 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

a11 a12 . . . a1n b1 

a21 a22 . . . a2n b2 

. 

. 

am1 am2 . . . amn bm 

3.2 Oplossen van lineaire stelsels 

Om een stelsel op te lossen maken we gebruik van technieken om over te gaan van een 

stelsel naar een ander stelsel maar zodanig dat de oplossingen daardoor niet veranderen en 

dat er geen oplossingen verloren gaan en ook geen oplossingen ingevoerd worden. 

Twee stelsels zijn gelijkwaardige stelsels als en slechts als ze dezelfde oplossingen hebben. 

Een lineair stelsel gaat over in een gelijkwaardig stelsel als we: 

1. twee vergelijkingen met elkaar verwisselen. 

. 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

b1 

b2 

. 

bm 

⎞ 

⎟ 

⎠


2. een vergelijking vervangen door een lineaire combinatie van die vergelijking met één 

van de andere vergelijkingen, de scalair bij de vergelijking die we vervangen mag niet 

gelijk aan nul zijn (combinatiemethode). We stellen de vergelijkingen kort voor door 

Vi = 0 met i ∈ {1, 2, . . . , m}. 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

b1 = 0 

. . 

Vi = 0 

. . 

Vj = 0 

. . 

Vm = 0 

r=0 

⇐⇒ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

b1 = 0 

. . 

rVi + sVj = 0 

. . 

Vj = 0 

. . 

Vm = 0 

De verhoogde matrix van het tweede stelsel bekomen we uit de verhoogde matrix van 

het eerste stelsel door het toepassen van een rijoperatie. 

Om een stelsel op te lossen gaan we de verhoogde matrix in canonieke gedaante brengen met 

de methode van Gauss-Jordan. De canonieke matrix van de verhoogde matrix correspondeert 

met een gelijkwaardig stelsel van het oorspronkelijk stelsel. Het stelsel behorende 

bij de canonieke matrix van de verhoogde matrix levert de eventuele oplossingen op van 

het oorspronkelijk stelsel. Bij het diagonaliseren blijft de rang van het stelsel behouden. 

3.3 Oplosbaarheid van een lineair stelsel 

De rang van een lineair (m, n)-stelsel is de rang van de coëfficiëntenmatrix A van het 

stelsel. 

rang van het stelsel=r=rangA 

en er geldt steeds 

r ≤ n ∧ r ≤ m 

Aangezien de coëfficiëntenmatrix een deelmatrix is van de verhoogde matrix is de rang van 

de verhoogde matrix steeds groter dan of gelijk aan de rang van het stelsel. 

r ≤ rangAB 

Opmerking: De rijvectoren van A brengen een r-dimensionale deelruimte van een ndimensionale 

vectorruimte voort, terwijl de kolomvectoren een r-dimensionale deelruimte 

van een m-dimensionale vectorruimte voortbrengen.

3.4. STEEDS OPLOSBARE STELSELS 139 

STELLING 3.1 Een lineair stelsel is oplosbaar als en slechts als de rang van de verhoogde 

matrix gelijk is aan de rang van het stelsel. 

r = rangAB. 

Bewijs: Een lineair (m, n)-stelsel is oplosbaar als en slechts als de kolomvector van de constanten 

van het stelsel lineair afhankelijk is van de kolomvectoren van de coëfficiëntenmatrix. 

Dit betekent dat de kolomvector van de constanten van het stelsel behoort tot de ruimte 

voortgebracht door de kolomvectoren van de coëfficiëntenmatrix. Dit heeft als gevolg 

dat de dimensie van de ruimte voortgebracht door de klomvectoren van de verhoogde matrix 

gelijk is aan de dimensie van de ruimte voortgebracht door de kolomvectoren van de 

coëfficiëntenmatrix. Een lineair stelsel is dus oplosbaar als en slechts als de rang van de 

verhoogde matrix gelijk is aan de rang van de coëfficiëntenmatrix. 

3.4 Steeds oplosbare stelsels 

De voorwaarde van de stelling 3.1 is vervuld voor twee soorten speciale lineaire stelsels, nl. 

de stelsels waarvoor de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen en de homogene stelsels. 

3.4.1 Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen 

STELLING 3.2 Een lineair stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen 

is steeds oplosbaar. 

Bewijs: Als de rang van het stelsel gelijk is aan het aantal vergelijkingen dan kan de rang 

van de verhoogde matrix niet kleiner zijn dan m maar kan ook niet groter zijn dan m vermits 

er maar m rijen zijn. Bij een stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen 

is de rang van de verhoogde matrix dus steeds gelijk aan de rang van de coëfficiëntenmatrix. 

Een stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen is dus steeds oplosbaar. 

 

3.4.1.1 Stelsels van Cramer 

Een lineair (n, n)-stelsel (vierkantig stelsel) met rang gelijk aan n wordt een stelsel van 

Cramer genoemd (r = m = n). Een stelsel van Cramer is een stelsel waarvan de rang 

gelijk is aan het aantal vergelijkingen. Een stelsel van Cramer is dus steeds oplosbaar. 

De oplossing van een stelsel van Cramer


STELLING 3.3 Een stelsel van Cramer heeft juist één oplossing. 

Bewijs: Een stelsel van Cramer ziet er algemeen als volgt uit 

⎧ 

a11x1 

⎪⎨ a21x1 

+ 

+ 

a12x2 

a22x2 

+ 

+ 

· · · 

· · · 

+ 

+ 

a1nxn 

a2nxn 

= 

= 

b1 

b2 

⎪⎩ 

. 

. 

. = . 

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn 

We weten dat een matrix en zijn canonieke matrix dezelfde rang hebben. De rang van de 

canonieke matrix van de coëfficiëntenmatrix is gelijk aan de rang van de coëfficiëntenmatrix 

en dus gelijk aan n. De canonieke matrix van de coëfficiëntenmatrix is de eenheidsmatrix 

van de orde n. 

De diagonaalvorm van de verhoogde matrix 

⎛ 

a11 

⎜ a21 

⎜ 

⎝ . 

a12 

a22 

. 

. . . 

. . . 

a1n 

a2n 

. 

⎞ 

b1 

b2 

⎟ 

. ⎠ 

ziet eruit als volgt: ⎛ 

an1 an2 . . . ann bn 

⎜ 

⎝ 

1 0 . . . 0 k1 

. . . k2 

0 0 . . . 1 kn 

Het oorspronkelijk stelsel is gelijkwaardig met het stelsel 

⎧ 

⎪⎨ x1 = k1 

⎪⎩ 

. . 

xn = kn 

Dit stelsel toont aan dat een stelsel van Cramer juist één oplossing heeft. 

Oplossen van een stelsel van Cramer met de inverse matrix 

De coëfficiëntenmatrix van een stelsel van Cramer is een niet-singuliere matrix van de orde 

n en bezit bijgevolg een inverse matrix. 

We schrijven een algemeen stelsel van Cramer in verkorte matrixgedaante: 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

A.X = B met rangA = n


en 

⎛ 

⎞ 

a11 a12 · · · a1n 

⎜ a21 a22 · · · a2n 

⎟ 

A = ⎜ 

⎟ 

⎝ . . . ⎠ 

⎛ 

⎜ 

X = ⎜ 

⎝ 

an1 an2 · · · ann 

x1 

x2 

. 

xn 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ en B = ⎜ 

⎠ ⎝ 

De vergelijking A.X = B is de matriciële vergelijking van het stelsel. 

De vergelijking ax = b in R kunnen we oplossen naar x op voorwaarde dat a = 0. De 

oplossing voor x bekomen we dan door beide leden te vermenigvuldigen met het omgekeerde 

van a voor de vermenigvuldiging. In R komt dat erop neer beide leden te delen door a. 

1 1 b 

ax = b ⇐⇒ x = 

a a a 

De coëfficiënt van x wordt 1 omdat 1.a 

= 1 en in het tweede lid mogen we a onder b plaatsen 

a 

omdat links of rechts vermenigvuldigen met 1 eender is (het product van reële getallen is 

a 

commutatief). Het product van matrices is echter niet commutatief. 

We kunnen nu op analoge wijze een matriciële vergelijking oplossen. 

Voor de coëfficiëntenmatrix A bestaat de inverse matrix A−1 waarvoor geldt 

A.A −1 = In = A −1 .A 

We kunnen nu de matriciële vergelijking als volgt oplossen: 

A.X = B ⇐⇒ A −1 .(A.X) = A −1 .B (A −1 bestaat) 

⇐⇒ (A −1 .A).X = A −1 .B ( prod. is ass.) 

⇐⇒ In.X = A −1 .B ( def A −1 ) 

⇐⇒ X = A −1 .B (In is neutr. el. vr. prod) 

Voorbeeld: Los op twee verschillende manieren het volgend stelsel van Cramer op: 

Oplossing: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

b1 

b2 

. 

bn 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

x + y + z + 2t = 4 

2x + 5y − 2z − 5t = 3 

x + 7y − 7z + 4t = −6 

−x + 4y + 3z − 9t = −8


1. Met de methode van Gauss-Jordan: 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

2 

1 

1 

5 

7 

1 

−2 

−7 

2 

−5 

4 

⎞ 

4 

3 ⎟ 

−6 ⎠ 

−1 4 3 −9 −8 

∼ 

⎛ 

1 

⎜ 0 

⎝ 0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

151/32 

−9/8 

13/32 

0 0 0 1 0 

De oplossing van het stelsel is het 4-tal (151/32, −9/6, 13/32, 0). 

2. Met de inverse matrix van de coëfficiëntenmatrix van het stelsel: 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

2 

1 

1 

5 

7 

1 

−2 

−7 

2 

−5 

4 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

⎞ 

0 

0 ⎟ 

0 ⎠ 

−1 4 3 −9 0 0 0 1 

∼ 

⎛ 

1 

⎜ 0 

⎝ 0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

37/160 

7/40 

47/160 

57/160 

−3/40 

−13/160 

−13/80 

1/10 

−3/80 

−7/32 

1/8 

3/32 

0 0 0 1 3/20 −1/10 1/20 0 

De oplossing verkrijgen we door het product A−1 · B te bepalen. 

⎛ 

37/160 

⎜ 7/40 

⎝ 47/160 

57/160 

−3/40 

−13/160 

−13/80 

1/10 

−3/80 

⎞ 

−7/32 

1/8 ⎟ 

3/32 ⎠ 

3/20 −1/10 1/20 0 

· 

⎛ ⎞ 

4 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ −6 ⎠ 

−8 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

151/32 

−9/8 

13/32 

0 

OPGAVEN — 17 De volgende stelsels werden reeds opgelost in het voorgaande hoofdstuk met de methodevan 

Gauss. Ga nu na of deze stelsels, stelsels zijn van Cramer en lost ze op met de inverse matrix. 

2x − y = 5 

x − y = 2 

a. 

b. 

x + y = 1 

x + y = −2 

c. 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x − 3y + z = −2 

2x − y − z = 3 

3x − 4y + z = 2 

d. 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x + y + z = 4 

2x + 5y − 2z = 3 

x + 7y − 7z = −6 

3.4.1.2 Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen en strikt 

kleiner dan het aantal onbekenden 

Een stelsel waarvoor r = m < n kan herleid worden naar een stelsel van Cramer. 

Vermits de rang van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan m moet er een deelmatrix bestaan 

waarvoor de rang tevens gelijk is aan m. Zo een deelmatrix noemen we een hoofdmatrix, 

de bijbehorende onbekenden noemen we hoofdonbekenden en de overige (n − m) 

onbekenden noemen we vrije onbekenden van het stelsel. 

We brengen in de vergelijkingen de termen met de (n − r) vrije onbekenden over naar het 

tweede lid en we onderstellen ze een ogenblik als constant. Het stelsel is nu herleid tot een 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠


vierkant (m, m)-stelsel waarvan de rang van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan m. Het stelsel 

is een stelsel van Cramer en heeft juist één oplossing voor die constante waarden van de 

vrije onbekenden. Laten we nu in het tweede lid de vrije onbekenden alle waarden aannemen 

onafhankelijk van elkaar, dan vinden we alle oplossingen van het stelsel. We zeggen dat het 

stelsel ∞ n−m oplossingen heeft of dat het stelsel een (n−m)-voudig onbepaald stelsel is. 

OPGAVEN — 18 Onderzoek of de rang van het stelsel gelijk is aan het aantal vergelijkingen. Los het 

stelsel ⎧ op. 

⎨ x + 2y − 3z − 4u = 6 

⎧ 

⎨ x + y − 2z − u + 3t = 1 

a. x 

⎩ 

2x 

+ 

+ 

3y 

5y 

+ 

− 

z 

2z 

− 

− 

2u 

5u 

= 

= 

4 

10 

b. x 

⎩ 

3x 

+ 

+ 

3y 

2y 

+ 

− 

z 

4z 

− 

− 

2u 

3u 

+ 

− 

6t 

9t 

= 

= 

2 

3 

Oplossing: 

3.4.1.2 a. r.(11, −4, 1, 0) + (10, −2, 0, 0); b. r(7, 2, 1, 7, 0) + s(105, −60, 33, 0, 7) + (1, 2/7, 1/7, 0, 0). 

3.4.2 Homogene lineaire stelsels 

Een lineair (m, n)-stelsel is een homogeen lineair (m, n)-stelsel als en slechts als de 

constanten b1, b2, . . . , bm van het stelsel gelijk zijn aan nul of m.a.w. als alle vergelijkingen 

van het stelsel homogene vergelijkingen zijn van de eerste graad in n onbekenden. 

De algemene gedaante van een homogeen lineair (m, n)-stelsel is: 

⎧ 

⎪⎨ 

a11x1 

a21x1 

+ 

+ 

a12x2 

a22x2 

+ 

+ 

· · · 

· · · 

+ 

+ 

a1nxn 

a2nxn 

= 

= 

0 

0 

⎪⎩ 

. . 

. . 

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 

Het n-tal (0, 0, ..., 0) is steeds oplossing van een homogeen lineair (m, n)-stelsel. De nulvector 

(kolomvector van de tweede leden) is immers steeds te schrijven als een lineaire combinatie 

van elk stel vectoren. Dus: 

Een homogeen lineair stelsel is steeds oplosbaar, waaronder steeds de nuloplossing . 

Bijzondere homogene stelsels 

• Een homogeen lineair (n, n)-stelsel met rang gelijk aan n is in bijzonder een stelsel 

van Cramer en heeft juist één oplossing, nl. de nuloplossing (0, · · · , 0). 

Een homogeen lineair stelsel van Cramer heeft als oplossing de nuloplossing


• Een homogeen lineair (m, m + 1)-stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen 

m heeft ∞ 1 oplossingen waaronder de nuloplossing. De oplossingen zijn 

veelvouden van een bijzondere oplossing verschillend van de nuloplossing. 

Beschouwen we een homogeen lineair (2, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2. 

We onderstellen dat 

u1x + v1y + w1z = 0 

u2x + v2y + w2z = 0 

u1 v1 

u2 v2 

(met rangA = 2). (3.1) 

 

een hoofdmatrix is. De onbekenden x en y zijn dan 

hoofdonbekenden van het stelsel en z is dan vrije onbekende. We brengen de termen 

in z naar het tweede lid. 

u1x + v1y + = −w1z 

u2x + v2y + = −w2z 

We lossen het stelsel op met behulp van de inverse matrix van de coëfficiëntenmatrix. 

We zetten het stelsel in matrixgedaante: 

x 

y 

u1 v1 

x 

y 

u2 v2 

 

= 

 

= 

 

· 

x 

y 

u1 v1 

u2 v2 

1 

u1v2 − u2v1 

 

−w1 

= · z 

−w2 

⇕ 

−1 

−w1 

· · z 

−w2 

⇕ 

 

(v1w2 − v2w1) 

(u2w1 − u1w2) 

Geven we aan de vrije onbekende z de waarde z = (u1v2 − u2v1)r met r ∈ R. We 

krijgen voor de oplossingen de volgende parametervoorstelling: 

⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ 

x v1w2 − v2w1 

⎝ y ⎠ = ⎝ u2w1 − u1w2 ⎠ r 

z 

u1v2 − u2v1 

Dit is de parametervoorstelling van een vectorrechte (zie later). 

Het drietal (v1w2 − v2w1, u2w1 − u1w2, u1v2 − u2v1) is een bijzondere oplossing van 

 

z


het homogeen stelsel, verschillend van de nuloplossing. Bijgevolg is de vector met 

coördinaat 

(v1w2 − v2w1, u2w1 − u1w2, u1v2 − u2v1) 

een basisvector van de vectorrechte. Deze vector is het vectorieel product van 

de twee rijvectoren van de coëfficiëntenmatrix van het stelsel, nl. (u1, v1, w1) en 

(u2, v2, w2). 

(u1, v1, w1) × (u2, v2, w2) = (v1w2 − v2w1, u2w1 − u1w2, u1v2 − u2v1) 

Met DERIVE verkrijgen we dat vectorieel product met het commando 

cross([u1, v1, w1], [u2, v2, w2]). 

De schematische schrijfwijze met determinanten is 

 

v1 w1 

 

 

 

, 

 

 

 

w1 

 

u1 

 

, 

 

 

 

v2 w2 

w2 u2 

u1 v1 

u2 v2 

Voorbeeld: Los het volgend homogeen stelsel op: 

3x − 5y + 6z = 0 

−2x + y − z = 0 

Oplossing: Een basisvector van de vectorrechte voorgesteld door het homogeen stelsel 

is cross([3, −5, 6], [−2, 1, −1]) = (−1, −9, −7) ∼ (1, 9, 7) De parametervoorstelling van 

de vectorrechte is: ⎛ ⎞ 

x 

⎛ ⎞ 

1 

⎝ y ⎠ = ⎝ 9 ⎠ · r 

z 7 

OPGAVEN — 19 Bepaal een oplossing van het volgend homogeen stelsel 

 

x − y + 3z = 0 

6y − z = 0 

a. 

b. 

5x + 4y − 2z = 0 

7x − 2y − 5z = 0 

 

−x + 3z = 0 

c. 

x + y = 0 

⎧ 

⎨ 2x − 3y + 2z = 0 

e. −6x 

⎩ 

x 

+ 

+ 

9y 

y 

− 

− 

6z 

z 

= 0 

= 0 

d. 

⎧ 

⎨ 

f. 

⎩ 

6x − 6y − 4z = 0 

−3x + 3y + 2z = 0 

x + 17y + 19z = 0 

x − 5y − 7z = 0 

2x + y − z = 0 

Oplossingen: 19 a. (x, y, z) = r(−10, 17, 9); b. (x, y, z) = r(32, 7, 42); c. (x, y, z) = r(−3, 3, −1); d. 

(x, y, z) = r(1, 1, 0) + s(2, 0, 3); e. (x, y, z) = r(1, 4, 5); f. (x, y, z) = r(12, −13, 11).

146 HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS

Inhoudsopgave 

1 Reële affiene 3-ruimte 3 

1.1 Axioma’s voor een affiene 3-ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 Onderlinge ligging van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.4 Onderlinge ligging van twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.5 Constructie van de snijlijn van twee snijdende vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6 Enkele opgaven ivm. kruisende rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

1.7 Parallelprojecties van E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.7.0.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.7.0.2 Het beeld van een rechte onder een parallelprojectie . . . . . . . . . . . . . 38 

1.7.0.3 De projecties van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

1.8 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

1.8.1 Het begrip vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

1.8.2 Bewerkingen met vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

1.8.3 De reële vectorruimten R, EO, + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

1.9 *Spiegeling van E om een vlak volgens de richting van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . 50 

1.10 *Spiegeling van E om een rechte volgens de richting van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . 50 

1.11 Veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

1.12 Het midden van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

1.13 Zwaartepunt van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

1.14 Zwaartepunt van een viervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

1.15 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

201

202 INHOUDSOPGAVE 

2 Matrices 69 

2.1 De reële n-tallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

2.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

2.1.2 Bewerkingen met n-tallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

2.1.3 De reële vectorruimte van de n-tallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

2.2 De reële matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

2.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

2.2.2 Bewerkingen met matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

2.2.3 De reële vectorruimte van de matrces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

2.2.4 Oplossen van matriciële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

2.2.5 De getransponeerde matrix van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

2.2.6 Soorten matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

2.2.7 Lineaire combinatie van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

2.3 Oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

2.3.1 Inleidende voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

2.3.2 Rijequivalente matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

2.3.3 Gauss-Jordan-methode voor het oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . 84 

2.4 Lineaire onafhankelijkheid van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

2.5 Het product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

2.5.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

2.5.2 Praktische voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

2.5.3 Eigenschappen van het product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

2.5.4 Inverse matrix van een vierkante matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

2.5.5 De inverse matrix van een vierkante matrix van de orde 2 . . . . . . . . . . . . . . . 107 

2.5.6 Stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

2.6 Algebraïsch rekenwerk met matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

2.6.1 Merkwaardige producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

2.6.2 Nuldelers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

2.6.3 Matriciële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

2.7 Deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

2.7.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

2.7.2 Eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

2.7.3 Voortbrengende verzamelingen van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

INHOUDSOPGAVE 203 

2.7.4 Niet-triviale deelruimten van R, EO, + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

2.7.4.1 Vectorrechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

2.7.4.2 Vectorvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

2.7.4.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

2.8 Rang van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

2.9 *Verband tussen linksvermenigvuldigen van een matrix en het rijherleiden van een matrix . 128 

2.9.1 Bepalen van de inverse matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

2.9.2 Bepalen van nuldelers met rijoperaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

3 Oplosbaarheid van lineaire stelsels 135 

3.1 Definitie van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 

3.2 Oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

3.3 Oplosbaarheid van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

3.4 Steeds oplosbare stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

3.4.1 Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen . . . . . . . . . . . . 139 

3.4.1.1 Stelsels van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

3.4.1.2 Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen en strikt 

kleiner dan het aantal onbekenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

3.4.2 Homogene lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 

4 Analytische affiene ruimtemeetkunde 147 

4.1 De coördinaatruimte van een vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 

4.2 Coördinatisering van de 3-dimensionale ruimte R, EO, + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

4.2.1 De coördinaat van een punt van de ruimte R, EO, + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

4.2.2 Coördinaat van een vector van R, EO, + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

4.3 Coördinaat van het zwaartepunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

4.3.1 Zwaartepunt van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

4.3.2 Zwaartepunt van een viervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

4.4 Vergelijkingen van vlakken en rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 

4.4.1 Richtingsruimte — richtingsvectoren van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 

4.4.2 Vectoriële vergelijking en parametervoorstelling van een vlak . . . . . . . . . . . . . 157 

4.4.3 Vectoriële vergelijking van een vlak met drie homogene parameters . . . . . . . . . . 161 

4.4.4 Cartesische vergelijking van een vectorvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 

4.4.5 Cartesische vergelijking van een vlak bepaald door een punt en een richting van vlakken163 

4.4.6 Vergelijking van een vlak bepaald door drie niet-collineaire punten . . . . . . . . . . 165

204 INHOUDSOPGAVE 

4.4.7 Vergelijking van een vlak bepaald door zijn doorgangen met x-as, y-as en z-as . . . . 165 

4.4.8 Bijzondere standen van een vlak t.o.v. het coördinatenstelsel . . . . . . . . . . . . . 165 

4.4.9 Richtingsruimte — richtingsvectoren van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

4.4.10 Vectoriële vergelijking en parametervoorstelling van een rechte . . . . . . . . . . . . 168 

4.4.11 Vectoriële vergelijking van een rechte met twee homogene parameters . . . . . . . . . 170 

4.4.12 Cartesische vergelijkingen van een rechte bepaald door een punt en een richtingsvector171 

4.4.13 Cartesische vergelijkingen van een rechte bepaald door twee punten . . . . . . . . . . 172 

4.5 De onderlinge ligging van een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

4.6 Onderlinge ligging van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 

4.7 Oplosbaarheid van lineaire stelsels i.v.m. onderlinge liggingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

4.7.1 Stelsel met één lineaire vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

4.7.2 Stelsels van twee vergelijkingen – o.l. van 2 vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 

4.7.2.1 Stelsels van twee vergelijkingen met rang gelijk aan twee . . . . . . . . . . 185 

4.7.2.2 Stelsels van twee vergelijkingen met rang gelijk aan één . . . . . . . . . . . 187 

4.7.3 Stelsels met drie vergelijkingen – o.l. van een rechte en een vlak of o.l. van 3 vlakken 189 

4.7.3.1 Stelsels met drie vergelijkingen en rang gelijk aan drie . . . . . . . . . . . . 189 

4.7.3.2 Stelsels van drie vergelijkingen met rang gelijk aan twee . . . . . . . . . . . 190 

4.7.3.3 Stelsels van drie vergelijkingen met rang gelijk aan één . . . . . . . . . . . 192 

4.7.4 Stelsels met vier vergelijkingen – o.l. van 2 rechten of o.l. van 4 vlakken . . . . . . . 196 

4.7.4.1 Stelsels met vier vergelijkingen en rang gelijk aan drie . . . . . . . . . . . . 196 

4.7.4.2 Stelsels met vier vergelijkingen en rang gelijk aan twee . . . . . . . . . . . 197 

4.8 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5nieuw-mtk-algb-6u

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?