6eucl-mtk-6u - wiswijs

Ruimtemeetkunde deel II 

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem 

Cursus voor 

Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde 

en Economie-Wiskunde

Hoofdstuk 1 

De reële euclidische ruimte 

1.1 De euclidische ruimte 

1.1.1 Orthogonaliteit 

1.1.1.1 Orthogonaliteit van richtingen — Axioma’s 

Orthogonaliteit van richtingen is een bijzondere relatie over de verzameling van de 

richtingen van de rechten van E, genoteerd ⊥, waarvoor de volgende axioma’s gelden: 

(ω) De relatie ⊥ is antireflexief. 

(ω2) De relatie ⊥ is symmetrisch. 

(ω3) Voor elke vlakrichting (α) van E en elke richting (a) parallel met (α) bestaat juist 

één richting (b) die parallel is met (α) en tevens orthogonaal is met (a). 

De eerste twee axioma’s zijn dezelfde als in de vlakke meetkunde. Omwille van het laatste 

axioma zijn in elk vlak van E de axioma’s van orthogonale richtingen en de daaruit volgende 

stellingen van de vlakke meetkunde geldig. 

1.1.1.2 Orthogonale rechten en loodlijnen 

Twee rechten van E heten orthogonale rechten als en slechts als hun richtingen orthogonaal 

zijn. 

Met symbolen: 

a ⊥ b 

3

4 HOOFDSTUK 1. DE REËLE EUCLIDISCHE RUIMTE 

Figuur 1.1: orthogonale rechten 1 

STELLING 1.1 Als een eerste rechte orthogonaal is met een tweede dan is de tweede 

rechte orthogonaal met de eerste rechte. 

Met symbolen: 

a ⊥ b =⇒ b ⊥ a 

STELLING 1.2 Is een rechte orthogonaal met één van twee parallelle rechten dan is ze 

ook orthogonaal met de andere rechte. 

Met symbolen: 

a ⊥ b 

a a ′ 

 

=⇒ a ′ ⊥ b 

STELLING 1.3 Zijn twee rechten orthogonaal dan zijn ze niet parallel. 

Met symbolen: 

a ⊥ b =⇒ a b 

GEVOLG 1.1 : Orthogonale rechten zijn ofwel kruisend ofwel snijdend. 

Een rechte is een loodlijn op een andere rechte als en slechts als de rechten orthogonaal 

snijdende rechten zijn. 

STELLING 1.4 Is een rechte a parallel met een vlak α dan bestaat er tenminste één rechte 

b parallel met α en orthogonaal met a.

1.1. DE EUCLIDISCHE RUIMTE 5 

Met symbolen: 


a α =⇒ ∃b : 

b α 

b ⊥ a 

STELLING 1.5 Zijn drie rechten parallel met eenzelfde vlak en zijn twee ervan orthogonaal 

met de derde rechte dan zijn de eerste twee parallel. 

Met symbolen: 

a, b, b ′ α 

a ⊥ b 

a ⊥ b ′ 

⎫ 

⎬ 

=⇒ b b′ 

⎭ 

STELLING 1.6 Door elk punt niet gelegen op een rechte, gaat juist één loodlijn op die 

rechte. 

Met symbolen: 

⎧ 

⎨ P ∈ b 

P /∈ a =⇒ ∃!b : a ⊥ b 

⎩ 

a ∩ b = φ 

STELLING 1.7 Door elk punt van een rechte gaan oneindig veel loodlijnen op die rechte, 

nl. juist één in elk vlak door de rechte. 

Met symbolen: 

P ∈ a 

a ⊂ α 

⎧ 

⎨ 

∃!b : 

⎩ 

b ⊂ α 

P ∈ b 

b ⊥ a



1.1.1.3 Loodrechte projectie op een rechte (orthogonale projectie) 

De loodrechte projectie van E op een rechte d is de afbeelding van E in d die met elk 

punt P van E het voetpunt van de loodlijn door P op d laat corresponderen. 

Opmerkingen: 

* De vorige axioma’s zijn onvoldoende om te bewijzen dat de loodrechte projectie van 

E op een rechte een parallelprojectie is, m.a.w. uit de axioma’s volgt niet noodzakelijk 

dat alle rechten door een punt loodrecht op een gegeven rechte, in één vlak liggen. 

* Volgens stelling 1.5 is de loodrechte projectie van het vlak Π op een rechte van Π een 

parallelprojectie. 

* Met projectie bedoelen we in ’t vervolg de loodrechte projectie. 

1.1.1.4 Orthogonaliteit van vectoren 

Twee vectoren zijn orthogonale vectoren als en slechts als hun richtingen orthogonaal 

zijn. 

We noteren: 

v1 ⊥ v2 

Afspraak: De nulvector is orthogonaal met elke vector. 

STELLING 1.8 Zijn drie vectoren verschillend van de nulvector en twee aan twee orthogonaal 

dan zijn ze lineair onafhankelijk.


Inderdaad, zijn drie verschillende richtingen twee aan twee orthogonaal dan zijn ze nietparallel 

met eenzelfde vlak. Onderstel dat de drie richtingen parallel zijn met eenzelfde 

vlak dan geldt volgens stelling 1.5 van orthogonale rechten dat twee van de richtingen 

parallel moeten zijn en dit is in strijd met het gegeven dat de drie richtingen twee aan twee 

orthogonaal zijn. 

1.1.2 Afstand en scalair product 

1.1.2.1 Afstand van een puntenkoppel — norm van een vector 

Om tot het begrip afstand van een puntenkoppel te komen zijn er in principe axioma’s 

vereist, de zogenaamde axioma’s van congruente puntenkoppels. 

We beschouwen een basisvector e van een vectorrechte en geven die een lengte 1. Elke 

andere vector v = P Q van die vectorrechte is een veelvoud van e. We definiëren dan de 

absolute waarde van dat veelvoud als de afstand tussen de punten P en Q. 

v = re 

d(P, Q) = |r| met r = P Q 

e 

Op die manier krijgen alle vectoren parallel met die vectorrechte een lengte. De axioma’s van 

congruente puntenkoppels maken het dan mogelijk het meten van lengtes in die bepaalde 

richting over te plaatsen naar alle richtingen van rechten in E. 

De afstand van het puntenkoppel (P, Q) wordt ook de lengte van het lijnstuk [P Q] 

genoemd of ook nog de norm van de vector P Q. 

We noteren: d(P, Q) = 

P Q = |P Q|. 

Opmerkingen: 

* De norm van een vector wordt ook soms lengte van de vector genoemd. 

* Een vector is de nulvector als en slechts als zijn norm gelijk is aan 0. 

1.1.2.2 Genormeerde vector van een vector 

De genormeerde vector van een vector, verschillend van de nulvector, is gelijk aan de 

vector gedeeld door zijn norm of lengte. 

Met symbolen: 

v = o =⇒ v 

v 

is de genormeerde vector van v


Opmerking: De genormeerde vector van een vector is steeds een eenheidsvector. 

Praktisch komt de definitie hierop neer dat de genormeerde vector van een vector de eenheidsvector 

is met dezelfde richting en zin als van de vector zelf. 

De nulvector kan niet genormeerd worden. 

1.1.2.3 Scalair product van een koppel vectoren 

Het axioma (σ): 

(σ) We beschouwen twee verschillende vectorrechten ao en bo, georiënteerd volgens resp. 

de eenheidsvectoren OA = e1 en OB = e2. Is het punt A ′ de projectie van A op bo 

en B ′ de projectie van B op ao dan is de absis van A ′ op de georiënteerde rechte bo 

gelijk aan de absis van B ′ op de georiënteerde rechte ao. 

 

OB ′ 

 

OA 

OA 

= ′ 

OB 

We noemen de absis van die projecties het scalair product van de eenheidsvectoren e1.e2 of 

∧ 

de cosinus van de georiënteerde hoek (oe1, oe2)= θ. 

e1.e2 = cos θ 

Het scalair product van twee vectoren v1, v2 is het reëel getal dat we bekomen door 

het product te maken van de normen van de beide vectoren en het scalair product van de 

genormeerde vectoren van v1 en v2. 

Met symbolen: 

Eigenschappen 

v1.v2 = v1v2 cos θ 

1. v.v = v 2 = v 2 ≥ 0 en (v 2 = 0 ⇐⇒ v = o); √ v 2 = v 

2. v.w = 0 ⇐⇒ v = o ∨ w = o ∨ v ⊥ w 

3. v.w = w.v 

4. ∀r ∈ R : (r.v).w = v.(r.w) = r(v.w) 

5. ∀v, w, u : v(w + u) = v.w + v.u


6. (v ± w) 2 = v 2 ± 2v.w + w 2 

7. v ± w ≤ v ± w (Minkowski) 

Figuur 1.4: v1.v2 = v1.v3 

8. (v.w) 2 ≤ w 2 v 2 en (v.w) 2 = v 2 w 2 ⇐⇒ v w 

9. |v.w| ≤ vw (Cauchy-Schwarz) 

10. ∀v, w, u ∧ v u : (v.w).u = v(w.u) 

Met deze eigenschappen van het scalair product kunnen we gemakkelijk bewijzen dat de 

afbeelding d die elk puntenkoppel afbeeldt op de afstand van het puntenkoppel een afstandsfunctie 

is. 

STELLING 1.9 De ruimte E, d is een metrische ruimte. 

Een afbeelding d : E × E −→ R : (P, Q) ↦−→ d(P, Q) is een afstandsfunctie als en slechts 

als 

1. d(P, Q) ≥ 0 ∧ (d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q) 

2. d(P, Q) = d(Q, P ) 

3. d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) ∧ d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q) ⇐⇒ R ∈ [P Q] 

De laatste eigenschap wordt de driehoeksongelijkheid genoemd. Ze is een andere schrijfwijze 

voor de formule van Minkowski.


1.1.3 De affiene ruimte als euclidische ruimte 

Als in de affiene ruimte E een scalair product gedefinieerd is dan is E een euclidische 

ruimte. 

De definitie van scalair product komt tot stand door de axioma’s voor de orthogonale 

richtingen, de axioma’s van congruente puntenkoppels en het axioma σ. Dank zij deze 

axioma’s zal nu bijvoorbeeld de loodrechte projectie op een rechte wèl een parallelprojectie 

zijn. 

Alle stellingen uit de vlakke euclidische meetkunde zijn ook geldig in elk vlak van de euclidische 

ruimte. 

OPGAVEN — 1 Zijn de vectoren v en u lineair onafhankelijk dan zijn de vectoren v en u − v.u 

v 2 .v 

orthogonale vectoren. Bewijs dit. 

2 Gegeven: vier punten A, B, C en D met AB en AC orthogonale rechten (A = B en A = C). 

Bewijs dat als 

AQ = AD. AB 

AB 

2 . AB + AD. AC 

AC 

2 . AC 

geldt, dan is Q de projectie van D op het vlak ABC. 

3 Gegeven: vier punten A, B, C en D. 

(i) Toon aan 

DA. BC + DB. CA + DC. AB = 0 

(ii) Steun op (i) om aan te tonen dat de hoogtelijnen van een willekeurige driehoek concurrent zijn. 

(iii) Als D ligt op de loodlijn in A op het vlak ABC dan geldt 

AB. DC = AC. DB 

4 Gegeven: het viervlak ABCD; de middens M en N van resp. de ribben [AB] en [CD]; de punten P en 

Q op resp. de ribbe [AD] en [BC] zodanig dat [MN] en [P Q] elkaar snijden. 

Stel 

Bereken 

in functie van λ 

AP 

 

= λ 

AD 

 

QC 

 

BC 

5 Een willekeurig punt P wordt verbonden met de hoekpunten van een parallellepipedum en met het 

snijpunt S van de diagonalen. 

Toon aan dat de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de hoekpunten, gelijk is aan het 

achtvoud van het kwadraat van de afstand van P tot S vermeerderd met de halve som van de kwadraten 

van de lengten van de diagonalen.

1.2. ORTHOGONALITEIT VAN RECHTE EN VLAK 11 

1.2 Orthogonaliteit van rechte en vlak 

STELLING 1.10 Is een rechte orthogonaal met tenminste twee snijdende rechten van het 

vlak, dan is die rechte orthogonaal met elke rechte van dat vlak. 

Met symbolen: 

l ⊥ a 

l ⊥ b 

a ∩ b = {S} 

x ⊂ vl(a, b) 

⎫ 

⎪⎬ 

Deze stelling maakt de volgende definitie mogelijk: 

=⇒ l ⊥ x 

⎪⎭ 

Een rechte is orthogonaal met een vlak als en slechts als de rechte orthogonaal is met 

elke rechte van het vlak of met twee snijdende rechten van dat vlak. 

We kunnen nu zeggen: Als een rechte loodrecht staat op een vlak dan staat ze loodrecht op 

elke rechte van dat vlak. 

Met symbolen: 

l ⊥ α 

a ⊂ α 

 

=⇒ l ⊥ a 

Een rechte staat loodrecht op een vlak als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van 

dat vlak. 

Met symbolen: 

l ⊥ a 

l ⊥ b 

a ∩ b = {S} 

⎫ 

⎬ 

=⇒ l ⊥ vl(a, b) 

⎭ 

l wordt een loodlijn genoemd op het vlak α en α wordt een loodvlak op de rechte 

l genoemd. Het snijpunt van l en α is het voetpunt van de loodlijn l op α. 

STELLING 1.11 Als één van twee parallelle rechten orthogonaal is met een vlak dan is 

de andere rechte ook orthogonaal met dat vlak. 

Met symbolen: 

l l ′ 

l ⊥ α 

 

=⇒ l ′ ⊥ α


Figuur 1.5: orthogonaliteit van rechte en vlak 1 

STELLING 1.12 Twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn parallel. 

Met symbolen: 

l ⊥ α 

l ′ ⊥ α 

 

=⇒ l l ′ 

STELLING 1.13 Als één van twee parallelle vlakken orthogonaal is met een rechte dan 

is het andere vlak ook orthogonaal met deze rechte. 

Met symbolen: 

l ⊥ α 

α α ′ 

 

=⇒ l ⊥ α ′ 

STELLING 1.14 Twee loodvlakken op eenzelfde rechte zijn parallel. 

Met symbolen: 

l ⊥ α 

l ⊥ α ′ 

 

=⇒ α α ′ 

STELLING 1.15 Door elk punt gaat juist één loodvlak op een gegeven rechte. Dat loodvlak 

bevat elke rechte die door dat punt gaat en orthogonaal is met de rechte. 

STELLING 1.16 Door elk punt gaat juist één loodlijn op een gegeven vlak


Figuur 1.6: orthogonaliteit van rechte en vlak 2 

Figuur 1.7: orthogonaliteit van rechte en vlak 3


STELLING 1.17 De loodrechte projectie van E op een rechte van E is een parallelprojectie. 

STELLING 1.18 De loodrechte projectie van E op een vlak van E is een parallelprojectie. 

STELLING 1.19 Is een rechte orthogonaal met een loodlijn van een vlak dan is de rechte 

parallel met dat vlak. 

Met symbolen: 

l ⊥ α 

a ⊥ l 

 

=⇒ a α 

STELLING 1.20 (De Stelling van de drie loodlijnen) Laat men uit een willekeurig 

punt P van E de loodlijn l neer op een vlak α van E en laat men uit het voetpunt L van l 

de loodlijn m neer op een willekeurige rechte a van α, dan staat de rechte n die het punt P 

met het voetpunt M van m verbindt, loodrecht op de rechte a. 

Met symbolen: 

l ⊥ α 

P ∈ l 

a ⊂ α 

LM ⊥ a 

M ∈ a 

⎫ 

⎪⎬ 

=⇒ P M ⊥ a 

⎪⎭ 

Figuur 1.8: stelling van de drie loodlijnen


STELLING 1.21 (Omgekeerde stelling van de Stelling van de drie loodlijnen) Laat 

men uit een willekeurig punt P de loodlijnen l en n (l = n) neer op resp. een willekeurig vlak 

α en op een willekeurige rechte a van α, dan staat de rechte m die de respectieve voetpunten 

L en M verbindt, loodrecht op a. 

OPGAVEN — 6 Uit een willekeurig punt A laat men de loodlijnen neer op een vlak α (A /∈ α) en op 

de rechten b en c van α. De voetpunten zijn drie verschillende punten A ′ , B en C. Bewijs dat b evenwijdig 

is met c als en slechts als A ′ , B en C collineair zijn (Toelatingsex. Ir). 

7 Gegeven een rechte c, een vlak α en twee kruisende rechten a en b. Construeer een rechte x steunend 

op a en b en orthogonaal met c en parallel met α. 

8 In een vlak α construeert men een cirkel (O, r). In een punt A van deze cirkel construeert men in het 

vlak α de raaklijn, waarop men een lijnstuk [AB] afpast. Op de loodlijn in O op α past men een lijnstuk 

[OC] af. Bereken |BC|. 

9 In het vlak α beschouwen we een driehoek ABC die rechthoekig is in A. Op de loodlijn a in A op 

α neemt men een variabel punt P . We noemen Q het voetpunt van de loodlijn uit C op de rechte BP . 

Bepaal de meetkundige plaats van de punten Q als P de rechte a doorloopt (Toelatingsex. Ir). 

10 Twee rechten a en b zijn loodrecht kruisend. Uit een willekeurig punt A van a laat men de loodlijn 

neer op b, voetpunt B op b. Men verbindt B met een willekeurig punt C van a (C = A). Bewijs dat b 

loodrecht staat op de rechte BC (Toelatingsex. Ir). 

11 In een viervlak ABCD zijn de drie ribben die samenkomen in D twee aan twee orthogonaal. In een 

willekeurig punt van ]AC[ beschouwen we het loodvlak α op AC. Dit vlak α snijdt het viervlak ABCD 

volgens een ... . Vul aan en bewijs (Toelatingsex. Ir.) 

RM II HUISTAAK 1 1. Gegeven twee kruisende rechten a en b en een punt P . Construeer 

door P een rechte die a snijdt en orthogonaal is met b. 

2. Gegeven een vlak α, een punt P van α en een rechte a. Construeer in het vlak α een 

rechte x die door P gaat en orthogonaal is met a. 

3. Gegeven vier niet-coplanaire punten A, B, C en D. Construeer de rechte x door D 

zodanig dat de voetpunten van de loodlijnen uit A, B en C op x samenvallen. 

4. Als we uit een punt twee loodlijnen op twee elkaar snijdende vlakken neerlaten, dan 

snijden de loodlijnen op de snijlijn door de voetpunten van de eerste loodlijnen getrokken, 

elkaar in een punt. Bewijs. 

5. Aan de zoldering van een kamer, die 4m hoog is, bevestigt men een touw dat 5m lang 

is. Men spant het touw en met het uiteinde ervan beschrijft men een cirkel op de 

vloer van de kamer. Bereken de omtrek van de cirkel.


Figuur 1.9: orthogonaliteit van twee vlakken 1 

1.3 Orthogonaliteit van twee vlakken 

Twee verschillende niet-parallelle vlakken van E hebben een rechte gemeen. Het is bijgevolg onmogelijk dat 

elke rechte van het ene vlak orthogonaal is met elke rechte van het andere vlak, want de gemeenschappelijke 

rechte zou dan orthogonaal zijn met zichzelf. Hiermee moeten we rekening houden bij het definiëren van 

de loodrechte stand van twee vlakken. 

1.3.1 Definitie en eerste eigenschappen 

We definiëren de loodrechte stand van twee vlakken als volgt: 

Een vlak β is een loodvlak op een vlak α als en slechts als β parallel is met tenminste 

één loodlijn l op α. 

Omdat alle loodlijnen op eenzelfde vlak onderling parallel zijn, is elk loodvlak β op α 

parallel met elke loodlijn op α. 

Met symbolen: 

Gevolgen van de definitie: 

β ⊥ α ⇐⇒ ∃l : 

l ⊥ α 

l β 

1. Is β een loodvlak op α dan zijn α en β snijdende vlakken. 

2. Is β een loodvlak op α dan is α een loodvlak op β.

1.3. ORTHOGONALITEIT VAN TWEE VLAKKEN 17 

Besluit: 

* De loodrechte stand van twee vlakken is een relatie over de verzameling van de vlakken 

van E die antireflexief is en symmetrisch. 

* Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een loodlijn op het ene vlak 

parallel is met het andere vlak. 

* Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een loodlijn op het ene vlak en 

een loodlijn op het ander vlak orthogonale rechten zijn (orthogonale normaalvectoren). 

Stellingen 

STELLING 1.22 Zijn α en β loodrechte vlakken en trekken we door een willekeurig punt 

van β de loodlijn l op α, dan ligt l in β. 

Met symbolen: 

α ⊥ β 

l ⊥ α 

P ∈ l ∩ β 

⎫ 

⎬ 

=⇒ l ⊂ β 

⎭ 

Nu kunnen we ook zeggen dat twee vlakken loodrecht op elkaar staan als en slechts als het 

ene vlak een rechte bevat die loodrecht staat op het andere vlak. 

STELLING 1.23 Zijn α en β twee loodrechte vlakken, dan is elke rechte die in α loodrecht 

op de snijlijn s van α en β getrokken wordt, een loodlijn op β. 

Met symbolen: 

α ⊥ β 

α ∩ β = s 

m ⊂ α 

m ⊥ s 

⎫ 

⎪⎬ 

=⇒ m ⊥ β 

⎪⎭ 

STELLING 1.24 Staat een vlak loodrecht op twee snijdende vlakken dan staat ze loodrecht 

op de snijlijn van die twee vlakken. 

Met symbolen: 

α ∩ β = s 

γ ⊥ α 

γ ⊥ β 

⎫ 

⎬ 

=⇒ γ ⊥ s 

⎭


Figuur 1.10: orthogonaliteit van twee vlakken 2 

STELLING 1.25 Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als ze elkaar snijden 

en tenminste één loodvlak (en dan alle loodvlakken) op hun snijlijn de beide vlakken 

volgens loodlijnen snijdt. 

Met symbolen: 

α ∩ β = s 

γ ⊥ s 

γ ∩ α = a 

γ ∩ β = b 

a ⊥ b 

⎫ 

⎪⎬ 

=⇒ α ⊥ β ∧ 

⎪⎭ 

α ⊥ β 

γ ⊥ s 

γ ∩ α = a 

γ ∩ β = b 

⎫ 

⎪⎬ 

=⇒ a ⊥ b 

⎪⎭ 

STELLING 1.26 Staat een rechte b niet loodrecht op een vlak α, dan gaat door b juist 

één loodvlak β op α; de snijlijn van α en β is de projectie b ′ van b op α. 

Met symbolen: 

b ⊥ α =⇒ ∃β : 

β ⊥ α 

b ⊂ β 

OPGAVEN — 12 Breng door een punt P een vlak aan, dat parallel is met een rechte l en orthogonaal 

is met een vlak α. 

13 Gegeven een viervlak waarvan twee paren overstaande ribben orthogonaal zijn. Bewijs dat het derde 

paar overstaande ribben tevens orthogonaal zijn. Het viervlak wordt een orthogonaal viervlak genoemd. 

14 Is een rechte parallel met een vlak dan staat elk loodvlak op de rechte loodrecht op het vlak. Bewijs 

dat.


Figuur 1.11: projectie van een rechte hoek 

15 Als men door een gegeven punt twee vlakken α en β aanbrengt, resp. loodrecht op twee snijdende 

rechten van een vlak γ, dan staat de snijlijn van α en β loodrecht op γ. Bewijs dat. 

De volgende twee paragrafen zijn theoretische toepassingen van de stellingen over de orthogonaliteit 

van rechten en vlakken. 

1.3.2 Projectie van een paar orthogonale rechten 

STELLING 1.27 Orthogonale rechten a en b, waarvan geen enkele loodrecht staat op een 

vlak α, worden volgens orthogonale rechten a ′ en b ′ op het vlak α geprojecteerd als en slechts 

als tenminste één van de rechten a, b parallel is met het vlak α. 

OPGAVEN — 16 Wanneer is de projectie van een rechthoek en een vierkant op een vlak een rechthoek 

resp. een vierkant? 

17 Gegeven zijn twee orthogonale rechten en een rechte l. Hoeveel vlakken gaan door l, waarop de twee 

orthogonale rechten zich als loodlijnen projecteren? 

18 Onder welke voorwaarde is de projectie van het hoogtepunt van een driehoek ook hoogtepunt van de 

projectie van de driehoek? 

19 Gegeven is een viervlak ABCD, waarvoor geldt dat de drie ribben in het hoekpunt D twee aan twee 

orthogonaal zijn. Bewijs dat de projectie van D op het overstaande zijvlak ABC het hoogtepunt is van 

driehoek ABC.


20 Twee rechten a en b zijn loodrecht kruisend. Men brengt door a een vlak α aan dat niet loodrecht op 

b staat. We noemen b ′ de projectie van b op α. Bewijs dat a loodrecht staat op b ′ (Toelatingsex. Ir). 

RM II HUISTAAK 2 1. Wanneer is de projectie van een ruit op een vlak een ruit? 

2. Gegeven een kubus ; de lengte van de zijde is z. Noem α het vlak bepaald door de 

zijvlaksdiagonaal AD ′ en het midden M van de ribbe [BB ′ ]. Dit vlak α snijdt de 

kubus volgens een figuur F . Bereken de oppervlakte van dit gebied F als functie van 

z. (Antw: 9 

8 z2 ) 

3. Staat een rechte loodrecht op een vlak, dan staat haar projectie op een ander nietevenwijdig 

vlak loodrecht op de snijlijn van de twee vlakken. Bewijs dat. 

1.3.3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten 

Een rechte c die t.z.t. orthogonaal is met a en met b is een rechte die orthogonaal met een 

vlak γ die parallel is met zowel de rechte a als met de rechte b. Er is maar één richting 

van rechten orthogonaal met een vlak (twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn parallel). Alle 

rechten orthogonaal met a en met b zijn dus onderling evenwijdig. 

c ⊥ a en a γ 

c ⊥ b en b γ 

 

=⇒ c ⊥ γ =⇒ c γ 

Omdat c γ bestaat er altijd juist één steunrechte l op a en b parallel met c (zie het 

vraagstuk: bepalen van een steunrechte van twee kruisende rechten parallel met een derde 

rechte). 

De rechte l noemen we de gemeenschappelijke loodlijn van de kruisende rechten a 

en b. 

1. Constructie 1 

Omdat c a en c b bestaat er juist één vlak α door a en evenwijdig met c en juist 

één vlak β door b en evenwijdig met c. 

De vlakken α en β zijn niet parallel, anders zou c evenwijdig zijn met een vlak γ dat 

evenwijdig is met a en b. 

c α 

c β 

α ∩ β = l 

⎫ 

⎬ 

=⇒ l c ∧ 

⎭ 

l ⊂ α 

a ⊂ α 

a ⊥ l 

⎫ 

⎬ 

=⇒ a snijdt l ∧ 

⎭ 

l ⊂ β 

b ⊂ β 

b ⊥ l 

Hieruit volgt dat l de gemeenschappelijke loodlijn is van a en b. 

⎫ 

⎬ 

=⇒ b snijdt l 

⎭


2. Constructie 2 

We bepalen eerst het vlak γ door b parallel met a. Het vlak γ is een vlak van 

de richting van vlakken bepaald door a en b. Vervolgens bepalen we de loodrechte 

projectie van a op γ. Het projecterend vlak α door a is het loodvlak door a op γ. 

Omdat a evenwijdig is met het projectievlak is a evenwijdig met haar projectie. 

a kruist b 

a a ′ 

a ′ ⊂ γ 

b ⊂ γ 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

=⇒ a ′ snijdt b =⇒ a ′ ∩ b = {B} 

We construeren de loodlijn l in B op γ. l is een orthogonale rechte van a en van b. 

α ⊥ γ 

B ∈ l ∩ α ⇒ l ⊂ α 

l ⊥ γ a ⊂ α ⇒ a snijdt l ⇒ a ∩ l = {A} 

a ⊥ l b ∩ l = {B} ⇒ l is de gemeenschappelijke 

a ⊥ l loodlijn van a en b. 

b ⊥ l 

OPGAVEN — 21 Gegeven zijn twee orthogonaal kruisende rechten a en b. We noemen α het loodvlak 

door a op b en β het loodvlak door b op a. Bewijs dat de snijlijn van α en β de gemeenschappelijke loodlijn 

is van a en b.


1.3.4 De afstand tussen punt en rechte 

De afstand tussen een punt en een rechte is de afstand van dat punt tot zijn loodrechte 

projectie op die rechte. 

Zij P een punt en a een rechte dan is de loodrechte projectie P ′ van P op a het snijpunt 

van het loodvlak door P op a. 

1.3.5 De afstand tussen punt en vlak 

De afstand tussen een punt en een vlak is de afstand tussen dat punt en zijn loodrechte 

projectie op dat vlak. 

Zij P een punt en α een vlak dan is de loodrechte projectie P ′ van P op α het snijpunt van 

de loodlijn door P op α. 

1.3.6 De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken 

De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken is de afstand tussen een willekeurig 

punt, van het ene vlak, en het andere vlak. 

1.3.7 De afstand tussen twee rechten 

STELLING 1.28 De afstand tussen de twee steunpunten op de gemeenschappelijke loodlijn 

van twee kruisende rechten is kleiner dan de afstand tussen twee willekeurige punten 

van resp. a en b. 

Het bewijs steunt hier op het feit dat in een rechthoekige driehoek een rechthoekszijde 

steeds kleiner is dan de schuine zijde (zie figuur bij de gemeenschappelijke loodlijn). 

We kunnen nu de afstand tussen twee kruisende definiëren: 

De afstand tussen twee kruisende rechten is de afstand op de gemeenschappelijke 

loodlijn tussen de twee steunpunten. 

De afstand tussen twee snijdende rechten is gelijk aan nul. 

De afstand tussen twee strikt parallelle rechten is de afstand tussen de snijpunten 

van die rechten met een loodvlak op die rechten. (alle loodvlakken zijn parallel). 

Belangrijke opmerking: 

De afstand tussen twee kruisende rechten a en b is ook gelijk aan de afstand tussen een 

punt van a en het vlak γ door b parallel met a. De afstand tussen twee kruisende rechten a 

en b is ook nog gelijk aan de afstand tussen het vlak door a parallel met b en het vlak door 

b parallel met a.


OPGAVEN — 22 Is een rechte a parallel met een vlak α, dan is de afstand tussen a en alle rechten van 

α die niet parallel zijn met a, dezelfde. Bewijs dit. 

23 Gegeven zijn twee orthogonaal kruisende rechten a en b. De rechte AB (A ∈ a en B ∈ b) is de 

gemeenschappelijke loodlijn van a en b. Op a nemen we de punten C en C ′ zo, dat |AC| = |AC ′ |. Bewijs 

dat voor elk punt D van b geldt dat |DC| = |DC ′ |. 

24 Van een viervlak hebben alle ribben dezelfde lengte λ. 

(i) Bewijs dat de rechte die de middens van twee overstaande ribben verbindt, de gemeenschappelijke 

loodlijn is van deze ribben. 

(ii) Bereken de afstand van twee overstaande ribben (Toelatingsex. Ir.). (Antw: √ 2 

2 λ) 

25 * Beschouw een orthogonaal viervlak (ABCD), d.w.z. een viervlak waarin elk paar overstaande ribben 

op orthogonale rechten liggen. 

(i) Bewijs dat elke hoogtelijn het overstaande zijvlak in het hoogtepunt van deze driehoek snijdt. 

(ii) Bewijs dat de vier hoogtelijnen concurrent zijn. Het gemeenschappelijk snijpunt noemen we het 

hoogtepunt van het viervlak. 

(iii) Bewijs dat de gemeenschappelijke loodlijn van twee overstaande ribben door dit hoogtepunt gaat. 

(iv) Bewijs dat |AB| 2 + |CD| 2 = |AC| 2 + |BD| 2 = |AD| 2 + |BC| 2 . (Toelatingsex. Ir.). 

26 * Is AB de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten a en b met A ∈ a en B ∈ b. Kies 

de punten M en N op resp. a en b en stel AB = d, MN = z, AM = x en BN = y. 

(i) Teken een kubus en zoek rechten en punten die aan de bovenstaande uitspraken voldoen. 

(ii) Druk z uit in functie van x, y en d. 

(iii) Als z < 1, bepaal dan de lijnstukken [MN] die aan de betrekking voldoen. 

1.3.8 De hoek tussen twee rechten 

In het vlak is de hoek tussen twee rechten steeds een scherpe hoek of een rechte hoek. De 

hoek tussen twee niet-parallelle rechten is de niet-stompe hoek van de projecties van 

die rechten op een vlak van de richting van vlakken bepaald door die rechten. Deze definitie 

is dus herleid tot de definitie van een hoek van twee snijdende rechten in een vlak. 

1.3.9 De hoek tussen een rechte en een vlak 

Staat de rechte b niet loodrecht op een vlak α dan is de hoek tussen de rechte b en 

het vlak α gelijk aan de hoek tussen de rechte b en haar projectie b ′ op het vlak α. Staat 

de rechte b wel loodrecht op het vlak α, dan is de hoek tussen b en α vanzelfsprekend een 

rechte hoek. De hoek tussen een rechte en een vlak is ook het complement van de hoek 

tussen de rechte en een loodlijn (normaalvector) op het vlak.


Figuur 1.12: hoeken 

1.3.10 De hoek tussen twee vlakken 

De hoek tussen twee snijdende vlakken α en β is de hoek tussen de snijlijnen van α 

en β met een vlak γ dat orthogonaal is met de snijlijn S van α en β. 

De hoek tussen twee vlakken is ook de hoek tussen twee loodlijnen (normaalvectoren) op 

resp. de twee vlakken. 

 

A D E 

OPGAVEN — 27 Een zadeldak heeft de vorm van een driezijdig prisma 

. Aan beide 

B C F 

zijden van de nok [EF ] neemt men 2 meter weg (|F H| = 2 meter). Zo ontstaat een schilddak. Bepaal de 

hoek tussen de vlakken BCH en ABCD, als je weet dat |BC| = 6 meter en driehoek BCF gelijkzijdig is. 

28 Twee gelijke lijnstukken worden dan en slechts dan als gelijke lijnstukken geprojecteerd op een vlak, 

als hun dragers gelijke hoeken maken met het vlak. Bewijs dat. 

29 Bewijs dat de hoek tussen een rechte a en een vlak α gelijk is aan het complement van de hoek tussen 

de rechte a en elke rechte b loodrecht op α. 

30 Bewijs dat de hoek tussen twee vlakken gelijk is aan de hoek tussen twee respectieve willekeurige 

loodlijnen op die vlakken. 

Oplossingen: 27.

1.4. MEETKUNDIGE PLAATSEN 25 

1.4 Meetkundige plaatsen 

Figuur 1.13: meetkundige plaatsen 

Een meetkundige plaats in E is een verzameling van de punten van E die aan een 

bepaalde meetkundige voorwaarde voldoen. 

• De sfeer met middelpunt M en straal r is de meetkundige plaats van de punten 

die op een afstand r van het punt M gelegen zijn. 

• Het omwentelingscilinderoppervlak met as a en straal r is de meetkundige 

plaats van de punten die op een afstand r van de rechte a gelegen zijn. 

• Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die 

even ver liggen van A en B. 

• Het middenparallelvlak van twee parallelle vlakken α en β is de verzameling 

van de punten die even ver van α en β gelegen zijn. 

• Het middenparallelloodvlak van twee parallelle rechten is de verzameling van 

de punten die even ver liggen van de twee parallelle rechten. 

• De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakken is de verzameling 

van de punten die even ver liggen van de twee snijdende vlakken. 

• De unie van de bissectriceloodvlakken van twee snijdende rechten is de verzameling 

van de punten die even ver liggen van die twee rechten. 

OPGAVEN — 31 Zijn a en b twee kruisende rechten met gemeenschappelijke loodlijn l = AB, met A 

en B punten van resp. a en b. Bewijs dat het middenloodvlak van [AB] ook alle lijnstukken die een punt 

van a verbinden met een punt van b, middendoor deelt (Toelatingsex. Ir.).


32 * Gegeven vier niet-coplanaire punten A, B, C en D, derwijze dat A op gelijke afstand ligt van C en 

D alsook B op gelijke afstand van C en D. Zij verder M het midden van [AB] en N het midden van [CD]. 

Geef en bewijs een nodige en voldoende voorwaarde (in termen van afstanden tussen A, B, C en D) opdat 

MN de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten AB en CD zou zijn (Toelatingsex. Ir.). 

33 * Construeer een rechte die twee gegeven kruisende rechten snijdt, evenwijdig is met een gegeven vlak, 

en op een gegeven afstand van dit vlak ligt. 

34 De punten A en B zijn twee punten van resp. twee kruisende rechten a en b. Teken een kubus en zoek 

rechten die aan de opgave voldoen. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van de lijnstukken [AB]. 

35 * De rechten a en b staan loodrecht op een vlak α in de punten A en B. Op a kiezen we een punt A ′ 

en op b een punt B ′ . 

Bepaal de meetkundige plaats van de punten van α van waaruit [AA ′ ] en [BB ′ ] onder gelijke hoek waargenomen 

worden. 

36 We beschouwen een rechthoekige driehoek ABC die rechthoekig is in A. Op de loodlijn a in A op 

het vlak ABC nemen we een punt P . We noemen Q het voetpunt van de loodlijn uit C op de rechte BP . 

Bepaal de meetkundige plaats van de punten Q als P de rechte a doorloopt. 

37 Wordt een lijnstuk door een vlak middendoor gedeeld, dan liggen zijn uiteinden even ver van dit vlak. 

Bewijs dat. Is het omgekeerde waar? 

38 * Construeer door een gegeven rechte een vlak dat even ver ligt van twee punten. 

39 * Construeer door een punt A een vlak dat even ver ligt van drie punten B, C en D, als A niet in het 

vlak (BCD) ligt. 

40 * Construeer een rechte, die twee gegeven kruisende rechten snijdt, evenwijdig is met een gegeven vlak, 

en op een gegeven afstand van dit vlak ligt. 

41 * Construeer een vlak, dat parallel is met een gegeven rechte en op gelijke afstand ligt van drie gegeven 

punten. 

42 Toon aan dat elk vlak dat door een diagonaal van een parallellogram wordt aangebracht op dezelfde 

afstand ligt van de uiteinden van de andere diagonaal (Toelatingsex. Ir.). 

1.5 Lichamen 

1.5.1 Veelvlakken 

In de affiene ruimte E hebben we reeds de definitie van een veelvlak gegeven. Een prisma, een afgeknot 

prisma, een piramide en een afgeknotte piramide werden hierbij gedefinieerd als speciale veelvlakken. 

In de euclidische ruimte beschikken we over de begrippen van loodrechte stand en afstand. Hier zijn we in 

de mogelijkheid de hoogte van een prisma en van een piramide te definiëren, alsook nog bijzondere prisma’s, 

regelmatige veelvlakken, cilinders en kegels.

1.5. LICHAMEN 27 

1.5.1.1 Prisma’s 

Figuur 1.14: prisma — recht parallellepipedum — balk 

De hoogte van een prisma is de afstand tussen grondvlak en bovenvlak. 

Soorten prisma’s in de euclidische ruimte: 

• Een recht parallellepipedum is een parallellepipedum waarvan de opstaande ribben 

loodrecht staan op grondvlak en bovenvlak. De opstaande zijvlakken zijn rechthoeken 

en grondvlak en bovenvlak zijn parallellogrammen. 

• Een balk of rechthoekig parallellepipedum is een recht parallellepipedum waarvan 

grondvlak en bovenvlak rechthoeken zijn. Alle zijvlakken zijn rechthoeken. 

De zijdelingse oppervlakte van een prisma is gelijk aan het product van een opstaande 

ribbe en de omtrek van een vlakke doorsnede loodrecht op de opstaande ribben. De 

inhoud van een prisma is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlak 

en de hoogte. 

OPGAVEN — 43 Bewijs dat de diagonalen van een balk en van een kubus even lang zijn. 

44 * De hoogte van een driezijdig prisma is het dubbele van de middellijn van de omgeschreven cirkel 

van het grondvlak. Bewijs dat de inhoud van dat prisma gelijk is aan de inhoud van het rechthoekig 

parallellepipedum dat de zijden van het grondvlak tot afmetingen heeft. 

45 De inhoud van een driezijdig prisma is gelijk aan het product van een opstaand zijvlak en de helft van 

de afstand van de overstaande ribbe tot dat zijvlak.


1.5.1.2 Piramides 

Figuur 1.15: inhoud piramide 

De hoogte van een piramide is de afstand van de top tot het grondvlak van de piramide. 

Soort piramide in de euclidische ruimte: 

Een regelmatige n-zijdige piramide is een piramide waarvan het grondvlak een regelmatige 

n-zijdige veelhoek is en waarvan de loodlijn uit de top op het grondvlak in het 

middelpunt van de regelmatige veelhoek valt. 

Het middelpunt van een regelmatige veelhoek is het middelpunt van de cirkel beschreven 

om deze regelmatige veelhoek. 

Het apothema van een regelmatige piramide is de hoogte van een opstaand zijvlak 

vanuit de top. De zijdelingse oppervlakte van een regelmatige piramide is gelijk 

aan de helft van het product van het apothema en de omtrek van het grondvlak. 

De inhoud van een piramide is gelijk aan een derde deel van het product van de 

oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. 

1.5.1.3 Afgeknotte piramide 

De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte regelmatige piramide is gelijk 

aan het product van het apothema en het rekenkundig gemiddelde van de omtrekken van 

grond- en bovenvlak.


De inhoud van een afgeknotte piramide is gelijk aan het derde deel van het product 

van de hoogte en de som van de oppervlakte van het grondvlak, de oppervlakte van het 

bovenvlak en het meetkundig gemiddelde van deze twee oppervlakten. 

OPGAVEN — 46 Een piramide met top T wordt gesneden door twee evenwijdige vlakken die 1,5 meter 

van elkaar liggen, zodanig dat de opstaande ribben gesneden worden in de punten op 10 meter resp. 7,5 

meter van T . 

(i) Bepaal de verhouding van de oppervlakten van de doorsneden. 

(ii) Hoever is de top van elk van de snijvlakken verwijderd? 

Oplossingen: 

46 (i) 1, 777 . . .; (ii) 4,5 en 6. 

RM II HUISTAAK 3 

 

D 

1. In een recht prisma 

A 

E 

B 

 

F 

, met |AB| = 8, |BC| = 

C 

10 en |AC| = 6 en hoogte gelijk aan 6, brengen we door de ribbe DF een vlak aan 

dat de ribbe BE in G snijdt zodanig dat |GE| = 3. 

 

D 

(i) Bepaal het volume van het lichaam 

A 

G 

B 

 

F 

(Antw: 120); 

C 

(ii) Bepaal de hoek tussen de vlakken DEF en DGF (Antw: 20 o , 56). 

2. De oppervlakten van grond- en bovenvlak van een afgeknotte piramide verhouden 

zich als 9 en 4. 

(i) Bepaal de hoogte van de afgeknotte piramide als de bovenpiramide 8 meter hoog 

is (Antw: 4). 

(ii) Als de opstaande ribbe van de afgeknotte piramide 5 meter is, hoe lang is dan 

de opstaande ribbe van de hele piramide? (Antw: 15) 

1.5.1.4 Regelmatige veelvlakken 

Een regelmatig veelvlak is een veelvlak waarvan de zijvlakken congruente veelhoeken 

zijn en door alle hoekpunten evenveel zijvlakken gaan. De hoekpunten van een regelmatig 

veelvlak liggen op eenzelfde sfeer. 

1. Een regelmatig viervlak (tetraëder) is een driezijdige piramide waarvan de zijvlakken 

gelijkzijdige driehoeken zijn. In elk hoekpunt komen drie driehoeken samen. 

Een regelmatig viervlak heeft 4 hoekpunten en 6 ribben.


Figuur 1.16: Kubus ingeschreven in een twaalfvlak


Figuur 1.17: dodecaëder — icosaëder 

2. Een regelmatig zesvlak (hexaëder) is een kubus. De zijvlakken zijn vierkanten. 

In elk hoekpunt komen drie vierkanten samen. Een kubus heeft 8 hoekpunten en 12 

ribben. 

3. Een regelmatig achtvlak (octaëder) is een regelmatig veelvlak waarbij in elk 

hoekpunt vier gelijkzijdige driehoeken samenkomen (twee vierzijdige piramides met 

gelijkzijdige zijvlakken en vierkantig grondvlak tegen elkaar geplaatst met gemeenschappelijk 

grondvlak). Een regelmatig achtvlak heeft 6 hoekpunten en 12 ribben. 

4. Een regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) is een regelmatig veelvlak waar in elk 

hoekpunt drie regelmatige vijfhoeken samenkomen. Een regelmatig twaalfvlak heeft 

20 hoekpunten en 30 ribben. 

Vervaardigen van een dodecaëder 

a. Construeer nauwkeurig een regelmatige vijfhoek met zijde a en pas dan de diagonaal 

x af. Het verband tussen a en x is 

Maak een kubus met zijde x. 

b. Maak de dodecaëder met ribbe a 

x = ( 1 + √ 5 

)a 

2 

(i) Maak de bekleding van de kubus met 5 plooinaden met zijde x. 

(ii) Maak de zes tenten waarvan het grondvlak een vierkant is met zijde x, de 

opstaande ribbe a en de nokribbe eveneens a.


Figuur 1.18: icosaëder beschreven in een dodecaëder


5. Een regelmatig twintigvlak (icosaëder) is een regelmatig veelvlak waarbij in elk 

hoekpunt vijf driehoeken samenkomen. Een regelmatig twintigvlak heeft 12 hoekpunten 

en 30 ribben. 

Opmerking: Nemen we een willekeurig viervlak, dan is een hoogtelijn de rechte die uit 

een hoekpunt loodrecht op het overstaande zijvlak kan getrokken worden. De hoogtelijnen 

van een viervlak gaan niet alle door eenzelfde punt. Dit is wel het geval bij een regelmatig 

viervlak of tetraëder. 

1.5.1.5 Halfregelmatige veelvlakken 

1. Vervaardigen van de afgeknotte octaëder 

a. Maak een volledige tetraëder met zijde 3a, waarop men de lijnen trekt langswaar 

men zou knippen om de tetraëder af te knotten (op 1/3 van de ribbe). Deze 

lijnen vormen vier vierkanten. 

b. De afgeknotte tetraëder: 

(i) Maak een balk met als grondvlak een vierkant met zijde 2a, de zijvlakken 

zijn rechthoeken met zijden 2a en √ 2a. 

(ii) Maak de bekleding van de balk met 5 plooinaden licht gekerfd:. 

((iii) De twee poolkappen met vierkant grondvlak met zijde 2a, opstaande ribbe 

a en vierkant bovenvlak met zijde a. De twee poolkappen moeten op de 

bekleding gekleefd worden. 

(iv) De vier tenten met rechthoekig grondvlak met afmetingen 2a en √ 2a, de 

opstaande ribbe is a en de nokribbe is a. De vier tenten moeten op de 

bekleding gekleefd worden. 

2. Vervaardigen van het ruitentwaalfvlak 

a. Maak een kubus met zijde a 

b. Het ruitentwaalfvlak: 

(i) Maak de bekleding van de kubus met zijde a. 

(ii) Maak de zes piramiden waarvan het grondvlak een vierkant is met zijde a, 

de opstaande zijden is √ 3a. 

Om deze grootheid nauwkeurig te construeren, 

2 

tekent men een cirkel met diameter 2a. In een eindpunt van de middellijn 

trekt men een boog met lengte a en neemt men het snijpunt met de cirkel. 

De √ afstand van dat snijpunt tot het andere eindpunt van de middellijn is 

3a.


Figuur 1.19: Een voetbal en het ruitentwaalfvlak


 

E 

OPGAVEN — 47 In een kubus 

A 

D, E en G, zodat een viervlak ontstaat. 

F 

B 

G 

C 

H 

D 

 

met ribbelengte r verbindt men de hoekpunten B, 

(i) Bereken het volume van het viervlak BDEG door het verschil te beschouwen van de inhoud van de 

kubus en de inhoud van de piramiden die ontstaan zijn. 

(ii) Bepaal de oppervlakte van het viervlak. 

48 Gegeven een tent in de vorm van een schilddak (zie oef. nr. 27 op p. 24) waarvan vijf ribben eenzelfde 

lengte a hebben, het grondvlak is een vierkant met zijde z en de afstand van het grondvlak tot de nokrib 

. Gevraagd: 

is a 

2 

(i) de zijde b van het grondvlak in functie van a; 

(ii) de oppervlakte van de vier tentvlakken. 

49 De ribben van een kubus worden met 25% verlengd. Met hoeveel % wordt de inhoud vergroot? 

(VWO.87-88) 

50 De zes ribben van een viervlak abcd hebben lengte 7, 13, 18. 27, 36 en 41. Als je weet dat de lengte 

van de ribbe [AB] 41 is, wat is dan de lengte van de ribbe [CD]? (VWO.87-88) 

Oplossingen: 

47 (i) r 3 /3; (ii) 2 √ 3r 2 ; 

48 (i) b = a.φ (φ = 1+√ 5 

2 ); (ii) √ 2a 2 

8 ((1 + √ 5) 5 − √ 5 + (3 + √ 5) 5 + √ 5); 

49 95,3%; 

50 13; 

RM II HUISTAAK 4 1. Op de zijvlakken van een kubus met ribbelengte r bouwt 

men rechte piramiden waarvan de zijvlakken de helft van de zijvlakken van de kubus 

zijn. Zo ontstaat een nieuw lichaam V . 

(i) Bepaal de oppervlakte van V (Antw: 12r 2 ). 

(ii) Bepaal de inhoud van V (Antw: (1 + √ 3)r 3 ). 

(iii) Bepaal de hoek tussen een zijvlak en het grondvlak van zo’n piramide. 

(Antw: 60o ). 

 

E F G H 

2. In de kubus 

met ribbelengte r beschouwt men de 

A B C D 

piramiden (E, ABCD) en (H, ABCD). 

Bepaal de inhoud van het lichaam dat de doorsnede is van deze twee piramiden. 

(Antw: 5 

24 r3 ). 

3. Een octaëder en een tetraëder hebben dezelfde oppervlakte. Bepaal de verhouding 

van hun inhouden (Antw: √ 2).


1.5.2 Omwentelingslichamen 

1.5.2.1 Omwentelingsoppervlakken 

Figuur 1.20: cilinder — kegel 

Een omwentelingsoppervlak is een oppervlak dat ontstaat door het wentelen van een 

vlakke kromme om een rechte die met de kromme in eenzelfde vlak gelegen is. De rechte 

wordt de as van het omwentelingsoppervlak genoemd. Elk punt van de kromme beschrijft 

bij wenteling een cirkel, die gelegen is in een vlak loodrecht op de as. Bijgevolg is elke 

vlakke doorsnede van het omwentelingsoppervlak loodrecht op de as van het omwentelingsoppervlak 

een cirkel. 

Bijzondere omwentelingsoppervlakken: 

Een cilinderoppervlak is een omwentelingsoppervlak dat onstaat door het wentelen van 

een rechte parallel met de as. Alle vlakke doorsneden van een cilinderoppervlak loodrecht 

op de as zijn cirkels met dezelfde straal nl. de afstand van de beschrijvende tot de as. Deze 

straal wordt de straal van het cilinderoppervlak genoemd. 

Een kegeloppervlak is een omwentelingsoppervlak dat onstaat door het wentelen van een 

rechte die de as snijdt. Het snijpunt wordt de top van het kegeloppervlak genoemd. 

1.5.2.2 Omwentelingslichamen 

Een omwentelingslichaam is een lichaam dat begrensd is door een omwentelingsoppervlak 

en twee verschillende parallelle vlakken die de as van het omwentelingsoppervlak 

loodrecht snijden. Deze vlakke doorsneden worden grond- en bovenvlak van het omwentelingslichaam 

genoemd.


Bijzondere omwentelingslichamen 

Figuur 1.21: kegeloppervlak 

Een rechte omwentelingscilinder of een cilinder met straal r en hoogte h is een omwentelingslichaam 

dat begrensd is door een cilinderoppervlak met straal r en twee parallelle 

vlakken loodrecht op de as op een afstand h van elkaar. Het grond- en bovenvlak zijn twee 

congruente cirkels. We kunnen ook zeggen dat de cilinder ontstaat door het wentelen van 

een rechthoek om één van zijn zijden. 

De zijdelingse oppervlakte van een cilinder is gelijk aan het product van de omtrek 

van het grondvlak en de hoogte. 

Z.O.cil. = 2πrh 

De inhoud van een cilinder is gelijk aan het product van de oppervlakte van het 

grondvlak en de hoogte. 

Inh.cil. = πr 2 h 

OPGAVEN — 51 Wat is de verhouding van de inhoud van een cilinder en de inhoud van het regelmatig 

zeszijdig prisma in die cilinder beschreven? 

52 Bewijs dat de inhoud van een cilinder gelijk is aan de zijdelingse oppervlakte vermenigvuldigd met de 

helft van de straal.


Oplossingen: 

51. 2 √ 3π 

9 

= 1, 21 

Een rechte omwentelingskegel of een kegel is een omwentelingslichaam dat begrensd 

is door een kegeloppervlak en twee parallelle vlakken loodrecht op de as, waarbij één van 

de vlakken door de top van het kegeloppervlak gaat. De vlakke doorsnede niet door de 

top wordt het grondvlak van de kegel genoemd. De straal van het grondvlak wordt de 

straal r van de kegel genoemd. De hoogte van een kegel is de afstand van de top tot 

het grondvlak. We kunnen ook zeggen dat een kegel ontstaat door het wentelen van een 

rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde. De lengte van de andere rechthoekszijde is 

de straal r van de kegel en de lengte van de schuine zijde wordt het apothema a van de 

kegel genoemd. 

De zijdelingse oppervlakte van een kegel is gelijk aan het halve product van de 

omtrek van het grondvlak en het apothema. 

Z.O.keg. = 1 

2πra = πra 

2 

(d.i. de oppervlakte van een cirkelsector met straal a) 

De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde deel van het product van de oppervlakte 

van het grondvlak en de hoogte. 

Inh.keg. = 1 

3 πr2 h 

OPGAVEN — 53 In een kegel, waarvan de hoogte 3m bedraagt, wordt, evenwijdig met het grondvlak, 

een doorsnede aangebracht waarvan de oppervlakte gelijk is aan het vierde deel van de oppervlakte van het 

grondvlak. Op welke afstand van de top werd die doorsnede aangebracht? 

54 Van een kegel is de tophoek gelijk aan 60 o . Bereken de middelpuntshoek van de sector die ontstaat 

door de kegel te ontwikkelen. 

55 Bereken de zijdelingse oppervlakte van een kegel met tophoek θ en hoogte h. 

56 Bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten van de rechten die door een punt P gaan en een vlak 

α snijden onder een vaste hoek. Bewijs dit. 

Oplossingen: 

53. 1,5 m; 54. α = π rad of 180 o ; 

55. π.h2 sin θ θ 

2 (tan2 2 + 1).


Figuur 1.22: afgeknotte kegel — sfeer 

RM II HUISTAAK 5 1. Bereken de zijdelingse oppervlakte van een cilinder, waarvan 

de hoogte gelijk is aan de middellijn van het grondvlak, en die ingeschreven is in 

een kegel met hoogte 6 en met straal van het grondvlak 2 (Antw: 5, 76π = 18, 1). 

2. Druk de inhoud van een omwentelingskegel met manteloppervlakte gelijk aan πk 2 uit 

in functie van de straal x van de omwentelingskegel (Antw: 1 

3 πx√ k 4 − x 4 ). 

Een afgeknotte kegel is een omwentelingslichaam dat begrensd is door een kegeloppervlak 

en twee verschillende parallelle vlakken niet door de top, aan dezelfde kant van de top en 

loodrecht op de as. We kunnen ook zeggen dat een afgeknotte kegel ontstaat door het 

wentelen van een rechthoekig trapezium om zijn rechthoekszijde. De lengte van de schuine 

zijde van het trapezium is het apothema a van de afgeknotte kegel, de lengte van de 

kleine basis is r en de lengte van de grote basis is R. Dus r en R zijn de stralen van resp. 

boven- en grondvlak. 

De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product 

van het apothema en het rekenkundig gemiddelde van de omtrekken van grond- en bovenvlak. 

Z.O.afg.keg. = π(R + r)a 

De inhoud van een afgeknotte kegel is gelijk aan het derde deel van het product 

van de hoogte en de som van oppervlakte van grond- en bovenvlak en het meetkundig


gemiddelde van beide. 

Inh.afg.keg. = 1 

3 πh(R2 + r 2 + rR) 

OPGAVEN — 57 Om ijzeren palen met een diameter van 8 cm stevig in de grond te verankeren, worden 

ze gevat in betonnen sokkels, die de vorm hebben van een afgeknotte kegel met een cilindervormige uitsparing. 

De hoogte van de cilindervormige uitsparing is 12 centimeter, de hoogte van de afgeknotte kegel is 

16 centimeter, de diameter van het bovenvlak is 8 centimeter en van het grondvlak 24 centimeter. Hoeveel 

dm 3 is er nodig voor één sokkel? 

Oplossingen: 57. 2752 

3 π cm3 = 2,88 dm 3 . 

RM II HUISTAAK 6 1. Een afgeknotte kegel en een cilinder hebben dezelfde hoogte 

en hetzelfde grondvlak. Bereken de verhouding van de stralen grond- en bovenvlak 

van de afgeknotte kegel als zijn inhoud de helft is van die van de cilinder. 

(Antw: R 

r = 1 + √ 3). 

2. Op welke afstand van de top moet men een omwentelingskegel doorsnijden met een 

vlak parallel met het grondvlak om twee lichamen te bekomen met dezelfde inhoud? 

(Antw: op afstand van de top die 20,6% is van de hoogte.) 

1.5.3 De sfeer en de bol 

1.5.3.1 Definitie 

Een sfeer is een omwentelingslichaam dat onstaat door het wentelen van een cirkel om een 

middellijn. De straal van de cirkel is de straal r van de sfeer. 

De oppervlakte van een sfeer is gelijk aan vier keer de oppervlakte van de beschrijvende 

cirkel. 

Opp.sfeer = 4πr 2 

De inhoud van een sfeer is gelijk aan het product van de oppervlakte van de beschrijvende 

cirkel en vier derden van de straal van de sfeer. 

Inh.sfeer = 4 

3 πr3


1.5.3.2 Het bepalen van een sfeer door vier niet-coplanaire punten 

Herhaling: In de vlakke meetkunde gaat er door drie niet-collineaire punten A, B en C juist één cirkel. 

Het middelpunt van de cirkel ligt op gelijke afstand van de punten A, B en C. De verzameling van de 

punten op gelijke afstand van twee van de drie punten bvb. A en B is de middelloodlijn van het lijnstuk 

[AB]. De punten op gelijk afstand van B en C zijn de punten van de middlloodlijn van het lijnstuk [BC]. 

Het punt op gelijke afstand van de drie punten is het snijpunt M van deze twee middelloodlijnen. De 

middelloodlijn van het lijnstuk [AC] gaat bijgevolg door dit punt M. De drie punten vormen een driehoek. 

De cirkel wordt de omgeschreven cirkel van de driehoek genoemd. Het middelpunt van de omgeschreven 

cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. 

STELLING 1.29 Door vier niet-coplanaire punten gaat juist één sfeer. 

Bewijs: We bepalen de verzameling van de punten, evenver gelegen van drie van de vier 

punten, bvb. van de punten A, B en C. Daartoe beschouwen we de driehoek ABC. In het 

vlak α van de driehoek ABC ligt het punt N dat het middelpunt is van de omgeschreven 

cirkel van ABC evenver van A, B en C. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van 

driehoek ABC is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. Alle 

punten van de loodlijn l door N op het vlak α is dan de verzameling van alle punten van 

E die evenver liggen van de punten A, B en C. We zien gemakkelijk in dat de rechte l 

de snijlijn is van de drie middenloodvlakken van resp. de zijden [AB], [BC] en [CA]. De 

verzameling van alle punten van E die even ver gelegen zijn van de punten D en A is het 

middenloodvlak β van het lijnstuk [DA]. 

Het punt op gelijke afstand van A, B, C en D ligt op gelijke afstand van A, B en C en op 

gelijke afstand van D en A. Het gevraagde punt ligt dus zowel op de middelloodlijn l als 

in het middenloodvlak β. Het gevraagde punt is dus het gemeenschappelijk punt van l en 

β. Opdat l en β snijdend zouden zijn mag D niet gelegen zijn in α. 

Vier niet-coplanaire punten A, B, C en D vormen een viervlak ABCD. De sfeer gaande 

door A, B, C en D noemen we de sfeer omgeschreven aan het viervlak ABCD. 

We kunnen het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak nog als volgt construeren. 

We bepalen het snijpunt M van drie middenloodvlakken van drie niet-coplanaire 

ribben van het viervlak. De overblijvende drie middenloodvlakken (want een viervlak heeft 

6 zijden) bevatten allen het punt M. 

1.5.3.3 Onderlinge ligging van een sfeer en een punt 

We beschouwen een sfeer met middelpunt M en straal r. We stellen de afstand van een 

punt P tot M gelijk aan d. 

We definiëren de uitspraken omtrent ligging van een punt t.o.v. een sfeer:


Figuur 1.23: onderlinge ligging van een sfeer en een vlak 

1. Een punt P ligt op de sfeer als en slechts als d = r (definitie van sfeer). 

2. Een punt P ligt buiten de sfeer als en slechts als d > r. 

3. Een punt P ligt binnen de sfeer als en slechts als d < r. 

1.5.3.4 Onderlinge ligging van een sfeer en een vlak 

STELLING 1.30 Een vlak en een sfeer hebben geen, één punt of een cirkel van punten 

gemeen al naargelang de afstand van het middelpunt van de sfeer tot het vlak groter dan, 

gelijk aan of kleiner dan de straal is. 

Bewijs: 

1. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is groter dan de straal 

r van de sfeer. 

d > r 

Het voetpunt L van de loodlijn uit M op α ligt op een afstand d van het middelpunt 

M. Elk ander punt van het vlak α ligt op een afstand van M groter dan d (in een 

rechthoekige driehoek is de schuine zijde groter dan een rechthoekszijde). Elk punt 

van het vlak α ligt dus buiten de sfeer. De sfeer heeft geen punten gemeen met het 

vlak. 

2. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is gelijk aan straal r 

van de sfeer. 

d = r


Het voetpunt L van de loodlijn uit M op het vlak α ligt op de sfeer want de afstand 

van L tot het middelpunt M is d en d is gelijk aan r. Elk ander punt van het vlak 

α ligt op een afstand van M groter dan d (in een rechthoekige driehoek is de schuine 

zijde groter dan een rechthoekszijde). Elk punt van het vlak α uitgezonderd het punt 

L ligt dus buiten de sfeer. De sfeer heeft enkel het punt L gemeen met het vlak. Het 

punt L wordt het raakpunt van de sfeer en het vlak genoemd. Het vlak zelf is 

dan het raakvlak in het punt aan de sfeer. 

Uit het voorgaande volgt de stelling: 

STELLING 1.31 De straal naar het raakpunt van een raakvlak met de sfeer staat 

loodrecht op dat raakvlak. 

3. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is kleiner dan de 

straal r van de sfeer. 

d < r 

Het voetpunt L van de loodlijn uit M op het vlak α ligt binnen de sfeer want de 

afstand van L tot het middelpunt is d en d is kleiner dan r. Nu kunnen er zowel 

punten van het vlak α gelegen zijn binnen de sfeer, op de sfeer als buiten de sfeer. 

Onderstel dat P een punt van α dat t.z.t. op de sfeer gelegen is, dan geldt volgens de 

stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek △ P LM dat 

r 2 = s 2 + d 2 ( met s = 

P L) 

s 2 = r 2 − d 2 > 0 

Voor elk punt P van de doorsnede van de sfeer met het vlak α geldt dat de afstand 

van P tot L gelijk is aan een positieve constante. Dit betekent dat P gelegen is op 

een cirkel met middelpunt L en straal s. De doorsnede van de sfeer en het vlak α is 

een cirkel. 

De cirkel wordt groter naarmate de afstand van het middelpunt van de sfeer tot het 

vlak kleiner wordt. De grootste cirkel verkrijgen we als de afstand van het middelpunt 

tot het vlak gelijk is aan nul, m.a.w. als het vlak door het middelpunt van de sfeer 

gaat. De straal van de cirkel is dan gelijk aan de straal van de sfeer. Zo een cirkel 

wordt een grote cirkel genoemd (evenaar en meridianen). 

Gaat een vlak niet door het middelpunt van de sfeer en heeft ze met de sfeer een 

cirkel als doorsnede dan wordt de cirkel een kleine cirkel genoemd (keerkringen: 

steenboks- en kreeftskeerkring en poolcirkels). 

Is de doorsnede een punt, dan kunnen we dit opvatten als limietgeval van het derde 

geval. Het punt is dan een nulcirkel.


Figuur 1.24: onderlinge ligging van een sfeer en een rechte 

1.5.3.5 Onderlinge ligging van een sfeer en een rechte 

De rechte en het middelpunt van de sfeer bepalen een vlak dat de sfeer snijdt volgens een 

grote cirkel. De onderlinge ligging van een sfeer en een rechte is zo herleid tot de onderlinge 

ligging van een cirkel en een rechte. 

We besluiten: 

STELLING 1.32 Een rechte en een sfeer hebben geen, één punt of twee punten gemeen 

naargelang de afstand van het middelpunt van de sfeer tot de rechte groter dan, gelijk aan 

of kleiner dan de straal is. 

Is de doorsnede een punt dan wordt de rechte een raaklijn in dat punt aan de sfeer 

genoemd, het punt wordt het raakpunt genoemd. 

STELLING 1.33 De raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. 

STELLING 1.34 In elk punt P van de sfeer zijn er oneindig veel raaklijnen die een stralenbundel 

vormen gelegen in het raakvlak in P aan de sfeer. 

In de toepassingen kunnen we de afstand van het middelpunt van de sfeer tot de rechte 

bepalen door de afstand van het middelpunt tot zijn loodrechte projectie op de rechte 

te bepalen. Deze loodrechte projectie bekomen we door het snijpunt te nemen van het 

loodvlak door het middelpunt op de rechte. Gaat de rechte door het middelpunt van de 

sfeer dan snijdt ze de sfeer in twee tegenpunten van de sfeer.


Figuur 1.25: onderlinge ligging van twee sferen 

STELLING 1.35 Twee grote cirkels snijden elkaar in twee tegenpunten. 

STELLING 1.36 Door twee punten die geen tegenpunten van een sfeer zijn gaat juist één 

grote cirkel van de sfeer. 

1.5.3.6 Onderlinge ligging van twee sferen 

De centraal van twee sferen is de verbindingslijn van de middelpunten. Een vlak α door de 

centraal snijdt beide sferen volgens twee grote cirkels. Laten we het vlak α wentelen om 

de centraal dan beschrijven de twee grote cirkels de twee sferen. De onderlinge ligging van 

de twee sferen herleidt zich tot de onderlinge ligging van twee cirkels. Om de verzameling 

van de gemeenschappelijke punten te kennen laten we de gemeenschappelijke punten van 

de twee grote cirkels in het vlak α wentelen om de centraal. 

We noemen d de afstand van de twee middelpunten en r1 en r2 de stralen van de twee 

sferen. 

1. De cirkels hebben geen punten gemeen: 

In dit geval hebben de sferen geen punten gemeenschappelijk: 

a. De sferen liggen buiten elkaar als en slechts als de afstand van de middelpunten 

groter is dan de som van de stralen. 

d > r1 + r2


b. De sferen liggen binnen elkaar als en slechts als de afstand van de middelpunten 

kleiner is dan de absolute waarde van het verschil van de stralen. 

d < |r1 − r2| 

2. De cirkels hebben één punt gemeenschappelijk, ze raken elkaar in dat punt en hebben 

in dat punt een gemeenschappelijke raaklijn. De sferen hebben een punt gemeenschappelijk 

en bij wentelen om de centraal beschrijft de raaklijn een vlak dat raakt 

aan beide sferen in het gemeenschappelijk punt. 

a. De sferen raken elkaar uitwendig als en slechts als de afstand van de middelpunten 

gelijk is aan de som van de stralen. 

d = r1 + r2 

b. De sferen raken elkaar inwendig als en slechts als de afstand van de middelpunten 

gelijk is aan de absolute waarde van het verschil van de stralen. 

d = |r1 − r2| 

3. De cirkels snijden elkaar in twee punten. Laten we de snijpunten wentelen om de 

centraal dan beschrijven ze een cirkel. Het vlak van de cirkel staat loodrecht op de 

centraal. De sferen snijden elkaar volgens een cirkel als en slechts als de afstand van 

de middelpunten groter is dan de absolute waarde van het verschil van de stralen en 

kleiner dan de som van de stralen. 

|r1 − r2| < d < r1 + r2 

OPGAVEN — 58 Bepaal de zijde van een kubus in functie van de straal van de omgeschreven sfeer. 

59 Gegeven een regelmatige piramide met als grondvlak een vierkant en waarvan de hoogte van de opstaande 

zijvlakken gelijk is aan de zijde van het grondvlak. Binnen de piramide wordt een halve sfeer 

ingeschreven, waarvan het middelpunt in het grondvlak van de piramide gelegen is. Bepaal de straal van 

deze sfeer in functie van de zijde van het grondvlak van de piramide. 

60 Bepaal de zijde van een kubus in functie van de straal van de omgeschreven halve sfeer, waarvan het 

grondvlak samenvalt met een zijvlak van de kubus. 

61 De afstand van het middelpunt van een sfeer met straal 10 tot een vlak is 8. Bereken de oppervlakte 

van de snijcirkel. 

62 Een sfeer is ingeschreven in een regelmatige vierzijdige piramide, waarvan de opstaande zijvlakken 

gelijkzijdige driehoeken zijn. Druk de straal van de sfeer uit in functie van de zijde z van de piramide.


63 In een regelmatige vierzijdige piramide is een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt gelegen 

is in het grondvlak van de piramide. De hoogte van de piramide is gelijk aan de zijde z van het grondvlak. 

Bereken de verhouding van het volume van de halve sfeer en het volume van de piramide. 

64 In een regelmatige zeszijdige piramide is een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt gelegen 

is in het grondvlak van de piramide. De lengte van de opstaande ribbe van de piramide is gelijk aan 2× de 

zijde z van het grondvlak. Bereken de verhouding van het volume van de halve sfeer en het volume van de 

piramide. 

65 In een kubus met ribbe van 4 decimeter passen precies 8 bollen met straal 1 decimeter. Om die 8 

bollen te schilderen heeft men 1 liter verf nodig. In de tweede kubus met ribbe 8 decimeter passen ook 

precies 8 bollen maar zij hebben dan ook een straal van 2 decimeter. Een derde kubus heeft ook een ribbe 

van 8 decimeter maar nu liggen er zowel in de breedte, als in de hoogte, als in de diepte 4 bollen (i.v.p. 2) 

naast elkaar. Hoeveel liter verf heeft men nodig om de bollen van de tweede en derde kubus te schilderen? 

66 Negen congruente sferen zitten opeengepakt in een kubus met zijde van lengte 1. Deze bollen zijn zo 

gestapeld dat één ervan zijn middelpunt heeft in het middelpunt van de kubus en dat de andere raken aan 

deze middelste en aan telkens drie zijvlakken van de kubus. Geef de straal van deze bollen. 

67 ∗ Een rechte omwentelingskegel is beschreven om een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de kegel 

uit in functie van de straal x van de kegel. 

68 ∗ Een rechte omwentelingskegel is beschreven om een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de kegel 

uit in functie van de halve tophoek α van de kegel. 

Oplossingen: 

2 58. √ 3r 

3 ; 59. √ 3z 

4 ; 60. √ 6r 

3 

; 61. 36π; 62. 

( √ 3−1)z 

2 √ 2π ; 63. 

2 

√ 5 

25 ; 64. 4π √ 15 

2 

75 ; 65. 12 liter; 66. √ 3−3 

2 

.


RM II HUISTAAK 7 1. Toen het meer dichtvroor dreef er een bal op het water. 

Men haalde later de bal uit het ijs (zonder ijs te breken). De opening die in het ijs 

bleef had een doorsnede van 24 centimeter bovenaan en was 8 centimeter diep. Vind 

de straal van deze bal (in centimeter) (Antw: 13). 

2. Een rechte omwentelingscilinder is beschreven in een sfeer met straal r. Druk de 

inhoud van de cilinder uit in functie van de hoogte h van de cilinder (Antw: πh 

4 (4r2 − 

h 2 )). 

3. Een regelmatig achtvlak is ingeschreven in een sfeer met straal r. Bereken de verhouding 

van het volume van de sfeer en het volume van het achtvlak (Antw: π). 

 

A B C D 

4. Gegeven een balk 

met zijden |AB| = 6, |BC| = 3 en |AE| = 4. 

E F G H 

Gevraagd de hoek tussen enerzijds de diagonaal AG en anderzijds resp. het vlak ABC, 

het vlak ABF en het vlak BCG (Antw: 30 o , 8, 22 o , 6, 50 o , 2). 

5. Een driehoekige plaat ABC staat in de hoek van een rechthoekige kamer met hoek 

O (vlOAB is vl vd vloer), waarbij |AO| = 2, |BO| = 3 en |CO| = 4. Bereken: 

(i) de lengte van de zijden van de plaat (Antw. √ 13, 2 √ 5, 5); 

(ii) de hoeken van de driehoek (Antw: 75 o , 6, 60 o , 1, 44 o , 3); 

(iii) De hoek die het vlak van de plaat maakt met vloer van de kamer (Antw: 67 o , 4) 

6. In een piramide brengt men een vlak aan evenwijdig met het grondvlak en zodanig 

dat dit vlak de inhoud in twee gelijke delen verdeelt. 

(i) Op hoeveel van de top wordt dit vlak aangebracht? (Antw: op 79, 4% van hoogte 

van de piramide); 

(ii) In welke verhouding wordt de hoogte verdeeld? (Antw: bij benadering verhouding 

4 op 1) 

7. Als men de middens van de zijvlakken van een kubus K onderling twee aan twee 

verbindt, verkrijgt men de ribben en de ruimtediagonalen van een lichaam V . 

(i) Wat is V ? (Antw: achtvlak) 

(ii) Welke is de verhouding van het volume van V tot het volume van K? (Antw: 1 

6 ) 

8. Gegeven een regelmatig viervlak met ribbe r. 

a. Bereken de hoogte, de oppervlakte en de inhoud van het viervlak in functie van 

2 

r (Antw. H = r) . 3 

b. Bereken de straal van de omgeschreven sfeer (Antw: √ 6r) 

. 4 

c. Bereken de straal van de ingeschreven sfeer (Antw: √ 6 

12 r).


RM II groepswerk 1 1. Waarom is ’orthogonaliteit van richtingen in de ruimte’ niet 

in strijd met ’orthogonaliteit van richtingen in het vlak’? 

2. Wanneer zijn twee rechten orthogonaal? (def) 

3. Wat betekent ’loodlijn’ voor rechten in de ruimte? 

4. Is de relatie ’een rechte is orthogonaal met een andere rechte’ een equivalentierelatie 

in de verzameling van de rechten? Ga de 3 voorwaarden na. 

Voor de transitiviteit maak je een tekening van 3 rechten op een kubus. Wat kan je 

besluiten in geval de 3 rechten evenwijdig zijn met eenzelfde vlak. 

5. Hoeveel rechten kan men trekken door een punt orthogonaal met een gegeven rechte 

en hoeveel loodlijnen? Beschouw het geval waarbij het punt op de rechte ligt en 

waarbij het punt niet op de rechte ligt. 

6. Hoe wordt de loodrechte projectie op een rechte gedefinieerd? 

7. Wanneer zijn twee vectoren orthogonaal?


RM II groepswerk 2 1. Hoe wordt de loodrechte stand van een rechte en een vlak 

gedefinieerd? Door welke stelling is de definitie mogelijk? 

2. De loodrechte stand van een rechte en een vlak steunt op de loodrechte stand van 

· · · · · · · · · · · · · · · 

3. Vergelijk de 2 stellingen over wanneer een rechte evenwijdig is met een vlak en wanneer 

een rechte orthogonaal is met een vlak. Formuleer die 2 stellingen. 

4. Als een rechte orthogonaal is met een vlak dan noemen we de rechte · · · · · · · · · · · · · · · 

op het vlak en het vlak noemen we · · · · · · · · · · · · · · · op de rechte. 

5. Onderzoek welke stellingen voor loodrechte stand het equivalent zijn van de stellingen 

voor evenwijdigheid waarin sprake is van twee rechten evenwijdig met een vlak en twee 

vlakken evenwijdig met een rechte? Formuleer al deze stellingen. 

6. Twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig. Zijn twee rechte evenwijdig met 

eenzelfde vlak orthogonale rechten? 

7. Waarom is de loodrechte projectie op een rechte een parallelprojectie? Op welke 

stelling steunt dat? 

8. Waarom is de loodrechte projectie op een vlak een parallelprojectie? Op welke stelling 

steunt dat?


9. Bestudeer de stelling van de drie loodlijnen en maak een tekening in een kubus. 

RM II groepswerk 3 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee 

vlakken. 

(b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal 

zijn. 

(c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen dat de twee diagonaalvlakken van een kubus 

orthogonale vlakken zijn. 

2. Welke stelling voor loodrechte stand van rechte en vlak is de equivalent van de stelling: 

als een rechte evenwijdig is met elk van twee snijdende vlakken dan is ze evenwijdig 

met de snijlijn? 

3. In welke stelling wordt de loodrechte stand van twee vlakken herleid tot de loodrechte 

stand van twee rechten? Formuleer die stelling. 

4. Wanneer is de loodrechte projectie op een vlak van twee orthogonale rechten weer 

twee orthogonale rechten?


5. Wat is de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten? Toon aan dat 

de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten een steunrechte is van de 

kruisende rechten evenwijdig met een gegeven rechte.

Hoofdstuk 2 

Analytische euclidische meetkunde 

2.1 Orthonormale basis 

Twee vectoren zijn orthogonaal als en slechts als hun scalair product gelijk is aan nul. 

We hebben gezien dat drie vectoren die twee aan twee orthogonaal zijn, lineair onafhankelijk 

zijn. We kiezen in de euclidische ruimte EO een basis waarvan de basisvectoren twee aan 

twee orthogonaal zijn. Bovendien zorgen we ervoor dat de normen van de basisvectoren 

gelijk zijn aan 1. 

Een orthonormale basis is een basis (e1, e2, e3) waarvan de basisvectoren eenheidsvectoren 

zijn die twee aan twee orthogonaal zijn. 

Met symbolen: 

of kortweg: 

⇐⇒ 

(e1, e2, e3) is een orthonormale basis 

⇐⇒ 

e1 = e2 = e3 = 1 

e1.e2 = 0 ∧ e2.e3 = 0 ∧ e3.e1 = 0 

(e1, e2, e3) is een orthonormale basis 

ei.ej = 1 ⇐⇒ i = j 

ei.ej = 0 ⇐⇒ i = j 

53 

met i, j ∈ {1, 2, 3}.

54 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE 

2.2 Scalair product — norm — afstand 

2.2.1 Analytische uitdrukking voor het scalair product van twee 

vectoren 

We beschouwen twee vectoren v1 en v2 met resp. coördinaten (l1, m1, n1) en (l2, m2, n2) 

t.o.v. een orthonormale basis (e1, e2, e3). 

v1.v2 = (l1.e1 + m1.e2 + n1.e3).(l2.e1 + m2.e2 + n2.e3) 

= l1l2(e1.e1) + m1m2(e2.e2) + n1n2(e3.e3) + l1m2(e1.e2)+ 

l1n2(e1.e3) + m1l2(e2.e1) + m1n2(e2.e3) + n1l2(e3.e1) + n1m2(e3.e2) 

Het product van twee basisvectoren met verschillende index is gelijk aan 0; het product van 

twee basisvectoren met gelijke index is gelijk aan 1. 

De uitdrukking 

v1.v2 = l1l2 + m1m2 + n1n2 

is de analytische uitdrukking van het scalair product van twee vectoren. 

2.2.2 Analytische uitdrukking voor de norm van een vector 

Is (l, m, n) de coördinaat van de vector v, dan is de norm van de vector v: 

v = √ v.v = √ l 2 + m 2 + n 2 . 

2.2.3 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten 

We beschouwen twee punten A en B met resp. coördinaten (x1, y1, z1) en (x2, y2, z2) t.o.v. 

een orthonormale basis (e1, e2, e3). De afstand tussen punten A en B is gelijk aan de norm 

van de vector AB. De vector AB heeft coördinaat (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). 

d(A, B) = 

AB = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 + (z2 − z1) 2 . 

OPGAVEN — 69 Gegeven de punten A en B. Bepaal de afstand tussen de punten A en B. 

a. A(1, 1, 0) en B(0, 0, 0) 

b. A(2, 2, 2) en B(0, 0, 0) 

c. A(0, 1, 2) en B(−1, −1, 2)

2.2. SCALAIR PRODUCT — NORM — AFSTAND 55 

Figuur 2.1: afstand tussen twee punten 

70 Gegeven de punten A(1, −1, 2) en B(0, 1, 0). Bepaal het middenloodvlak van [AB]. 

71 Bereken de lengte van de ribben van het viervlak ABCD met A(1, −1, 0), B(3, 1, −1), C(0, 3, 1) en 

D(−1, 2, 6). 

 

x − 2y + z + 4 = 0 

72 Gegeven de punten A(5, 3, 6) en B(−3, −1, −2) en de rechte a : 

2x + y − 3z + 13 = 0 . 

Bereken de coördinaat van het punt, dat tot a behoort en op gelijke afstand van de punten A en B ligt. 

Oplossingen: 

69 a. √ 2; b. 2 √ 3; c. √ 5; 70 2x − 4y + 4z = 5; 72 (−2, 3, 4). 

2.2.4 Analytische uitdrukking voor de orthogonaliteit van twee 

vectoren 

Twee vectoren v1 en v2 met resp. coördinaten (l1, m1, n1) en (l2, m2, n3) t.o.v. een orthonormale 

basis zijn orthogonaal als en slechts als de som van de producten van hun overeenkomstige 

coördinaatgetallen gelijk is aan 0. 

Met symbolen: 

v1 ⊥ v2 ⇐⇒ l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0. 

2.2.5 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vectoren 

Om de hoek θ te bepalen tussen twee vectoren v1(= o) en v2(= o) kunnen we gebruik maken 

van het scalair product van de vectoren. We steunen op de definitie van scalair product


van twee vectoren, nl. 

v1.v2 = v1v2 cos θ 

cos θ = 

⇕ (v1 = o ∧ v2 = o) 

v1. v2 

v1. v2 

De cosinus van de hoek tussen de vectoren v1 en v2 met resp. coördinaten (l1, m1, n1) en 

(l2, m2, n3) t.o.v. een orthonormale (e1, e2, e3) is: 

cos θ = 

l1l2 + m1m2 + n1n2 

 

2 l1 + m2 1 + n2 

2 

1 l2 + m2 2 + n2 2 

OPGAVEN — 73 Gegeven: De coördinaten van vectoren: 

a. v1(3, −1, 3) en v2(1, 9, 2); 

b. v1(2, √ 2, √ 3) en v2( √ 2, 1, √ 3 

√2 ); 

c. v1(0, 1, 2) en v2(2, −1, 0); 

Gevraagd: 

(i) Bereken v1, v2, v1+ v2, v1 + v2, v1. v2 en | v1. v2|. Wat besluit je uit deze berekeningen, 

rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product? 

(ii) Bereken de genormeerde vector van elke vector. 

(iii) Bereken de hoek tussen de vectorenparen. 

74 Gegeven de coördinaten van vectoren: 

a. v1(2, 2, 1), v2(2, −1, 2) en v3(1, −2, 2); 

b. v1(2, −2, −1), v2(2, 1, −2) en v3(2, 1, 2); 

c. v1(0, 1, 2) en v2(2, −1, 0); 

Gevraagd: bereken v1.( v2 + v3), v1. v2 + v1. v3, ( v1. v2). v3 en v1.( v2. v3). Wat besluit je uit deze berekeningen, 


75 Gegeven een driehoek ABC met A(1, 1, 1), B(1, 1, −1) en C(0, 2, 1). Bereken de binnenhoeken van de 

driehoek ABC.

2.2. SCALAIR PRODUCT — NORM — AFSTAND 57 

Oplossingen: 

73 (i) a. √ 19, √ 86; b. 3, 3/2 √ 2; c. √ 5, √ 5. 

(ii) a. (3, −1, 3)/ √ 19, (1, 2, 9)/ √ 86; (iii) a. 90 o ; b. 0 o ; c. 78 o , 46. 

74 a. 4, 4, (4, −8, 8), (16, 16, 8); b. 4, 4, (8, 4, 8), (2, −2, −1). 

75 A = 90 o , B = 35 o 15 ′ 51, 8 ′′ , C = 54 o 44 ′ 8, 2 ′′ . 

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 76 Gegeven de coördinaten van vectoren: 

a. v1(−1, 0, 3) en v2(4, 8, 4 

3 ); 

b. v1(1 + √ 2, −1, √ 2) en v2(1, 1 − √ 2, 2 − √ 2); 

c. v1(1, −2, 1) en v2(0, 2, −3); 

Gevraagd: 

(i) Bereken v1, v2, v1+ v1, v1 + v1, v1. v1 en | v1. v1|. Wat besluit je uit deze berekeningen, 

rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product. 

(ii) Bereken de genormeerde vector van elke vector. 

(iii) Bereken de hoek tussen de vectorenparen. 

77 Gegeven de coördinaten van vectoren: 

a. v1(1, 2, 2), v2(−2, −1, 2) en v3(2, −2, 1); 

b. v1(2, 3, 4), v2(4, 6, 8) en v3(9, 0, 10); 

Gevraagd: bereken v1.( v2 + v3), v1. v2 + v1. v3, ( v1. v2). v3 en v1.( v2. v3). Wat besluit je uit deze berekeningen, 


78 Gegeven een driehoek ABC met A(−1, 0, 2), B(2, 1, −2) en C(−1, −1, −1). Bereken de binnenhoeken 

van de driehoek ABC. 

79 Bepaal de verzameling van alle vectoren orthogonaal met twee lineair onafhankelijke vectoren. 

80 Bepaal de verzameling van alle vectoren orthogonaal met een gegeven vector. 

81 Toon aan dat een translatie het scalair product en de norm invariant laat. 

82 Toon aan dat een homothetie met factor r de norm van een vector met de absolute waarde van de 

factor r vermenigvuldigt.


2.3 Hoek tussen twee rechten 

2.3.1 Analytische uitdrukking van de loodrechte stand van twee 

rechten 

De orthogonaliteit van rechten kunnen we analytisch uitdrukken d.m.v. het scalair product 

van vectoren. Twee rechten zijn orthogonaal als en slechts als hun richtingen orthogonaal 

zijn. Twee richtingen van rechten zijn orthogonaal als en slechts als een richtingsvector van 

de ene richting orthogonaal is met een richtingsvector van de andere richting (zie definitie 

van orthogonaliteit van twee vectoren). 

We beschouwen twee rechten a en b. De rechte a is bepaald door het punt P1(x1, y1, z1) en 

een richtingsvector u(l1, m1, n1) en de rechte b door het punt P2(x2, y2, z2) en een richtingsvector 

v(l2, m2, n2). 

a : 

x − x1 

l1 

= y − y1 

m1 

= z − z1 

n1 

en b : 

x − x2 

l2 

= y − y2 

m2 

= z − z2 

De rechte a is orthogonaal met de rechte b als en slechts als u en v orthogonale vectoren 

zijn. 

a ⊥ b ⇐⇒ l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 

Zijn de rechten a en b gegeven door een stelsel vergelijkingen dan bepalen we eerst van 

beide rechten een richtingsvector. De coördinaat van een richtingsvector bekomen we door 

een oplossing te nemen van het corresponderend homogene stelsel. 

a : 

Een oplossing van het homogene stelsel: 

is 

 

 

( 

u1x + v1y + w1z + t1 = 0 

u2x + v2y + w2z + t2 = 0 

ao : 

v1 w1 

v2 w2 

b : 

u1x + v1y + w1z = 0 

u2x + v2y + w2z = 0 

 

 

 

, 

 

 

 

w1 u1 

w2 u2 

 

 

 

, 

 

 

 

u1 v1 

u2 v2 

u3x + v3y + w3z + t3 = 0 

u4x + v4y + w4z + t4 = 0 

 

 

 

). 

n2 

.

2.3. HOEK TUSSEN TWEE RECHTEN 59 

Een oplossing van het homogene stelsel: 

 

u3x + v3y + w3z = 0 

bo : 

u4x + v4y + w4z = 0 

is 

 

 

a ⊥ b ⇐⇒ 

v1 w1 

v2 w2 

 

 

 

. 

 

 

 

 

 

( 

v3 w3 

v4 w4 

v3 w3 

v4 w4 

 

 

 

, 

 

 

 

 

 

 

+ 

 

 

 

w3 u3 

w4 u4 

w1 u1 

w2 u2 

 

 

 

, 

 

 

 

 

 

 

. 

 

 

 

u3 v3 

u4 v4 

w3 u3 

w4 u4 

 

 

 

). 

 

 

 

+ 

 

 

 

u1 v1 

u2 v2 

 

 

 

. 

 

 

 

u3 v3 

u4 v4 

 

 

 

= 0 

2.3.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten 

Gegeven zijn twee rechten a en b. Op de zelfde wijze als in voorgaande paragraaf bepalen 

we een richtingsvector voor elk van deze rechten, bvb. (l1, m1, n1) voor a en (l2, m2, n2) 

voor b. De hoek θ tussen a en b is dan ofwel dezelfde hoek als tussen hun respectieve 

richtingsvectoren (als die hoek niet stomp is), ofwel zijn supplement (als deze hoek wel 

stomp is). In elk geval krijgen we de formule 

cos θ = 

|l1l2 + m1m2 + n1n2| 

 

2 l1 + m2 1 + n2 

2 

1 l2 + m2 2 + n2 2 

OPGAVEN — 83 Ga na of de volgende rechten orthogonaal zijn: 

a. a : x−3 y−4 z+1 

6 = 3 = −4 

 

x − 9y + z − 8 = 0 

b. a : 

x + 5y − z + 2 = 0 

en b : x+1 

−4 

y−2 1−z 

= 4 = 3 ; 

 

x + 3y + z − 5 = 0 

en b : 

2x + 7y + z − 7 = 0 ; 

c. a : 5x − 10 = −2y − 2 = −2z − 4 en b : x − 5 = 5y + 10 = 5z − 1. 

 

′ ′ ′ ′ 

A B C D 

84 De lengte van de ribbe van een kubus 

A B C D 

 

is gelijk aan 5. De punten P en Q behoren 

resp. tot de ribben [AB] en [CD], zodat |AP | = |CQ| = 1. Bepaal R en S van de diagonaal [A ′ C ′ ] zodanig 

dat [A ′ C ′ ] en [RS] hetzelfde midden hebben en dat bovendien de rechten P R en QS orthogonaal zijn. 

 

hx + y − 2 = 0 

85 Gegeven de rechten a : 

z = 0 

Gevraagd: 

en b : 

(i) Bepaal h en k zodanig dat a en b loodlijnen zijn. 

kx + y = 0 

x + z − 1 = 0 

(ii) Bepaal voor deze waarden van k en h het snijpunt S van a en b, het vlak α bepaald door a en b en 

de loodlijn in S op het vlak α (later: na normaalvectoren).


86 Bereken de hoek tussen de rechten a : x y 

x−1 

z+3 

2 = 3 = −z en b : 3 = −y − 1 = 2 . 

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 87 Ga na of de volgende rechten orthogonaal zijn: 

a. a : x y z 

2 = 3 = 4 

b. a : x = y = z en b : 

c. a : 

x−1 −y−2 z−4 

en b : 5 = 6 = 2 ; 

 

x = y 

y + z = 0 ; 

 

2x + 2y + z − 1 = 0 

3x + y − 3z + 2 = 0 

en b : 

4x + y − 4z + 10 = 0 3x − y − z + 12 = 0 . 

88 Gegeven de punten A(2, 4, 2) en B(1, −4, 0) de rechte a : 

Bepaal een punt P van a waarvoor AP orthogonaal is met BP . 

x + y = 4 

z = 3 

89 Gegeven de punten A(2k, 0, 0), B(2, 4, 0), C(−2, 4, 0) en D(0, 0, 2) en de middens P , Q, R en S van 

resp. [AB], [BC], [CD] en [DA]. 

Gevraagd: 

a. Bewijs dat P R en QS elkaar snijden d.m.v. de theorie van de oplosbaarheid van stelsels. Bereken 

de coördinaat van het snijpunt en de vergelijking van het vlak dat ze omvat. 

b. Voor welke waarde van k zijn de rechten P R en QS orthogonaal? 

c. Welke soort vierhoek is P QRS in respektieve gevallen a. en b.? 

90 Bereken de hoek tussen de rechten 

a : 

x − 8 

−4 

1 − z 

= −y = 

3 4 

en b : 

Oplossingen: 

86 85 o 54 ′ 14 ′′ ; 

87 b. a ⊥ b; c. a ⊥ b; 88 P (5, −1, 3) en P (1/2, 7/2, 3); 

2.4 Normaalvector van een vlak 

4x − 44y + 37z − 69 = 0 

4x + 10y − 17z + 39 = 0 

Een normaalvector van een vlak is een richtingsvector van de richting van rechten orthogonaal 

met het vlak. 

Er is maar één richting van rechten orthogonaal met een vlak. De richting van een vlak is 

volkomen bepaald door twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren. De richting van een 

vlak is nu ook volkomen bepaald door een normaalvector.

2.4. NORMAALVECTOR VAN EEN VLAK 61 

Figuur 2.2: normaalvector van een vlak 

In de algemene vergelijking van een vlak zijn de coëfficiënten u, v en w van resp. x, y en 

z verantwoordelijk voor de richting van het vlak. Het ligt voor de hand dat de coördinaat 

van een normaalvector afhankelijk zal zijn van u, v en w uit de algemene vergelijking van 

het vlak. 

Is een vlak α gegeven door de algemene vergelijking ux + vy + wz + t = 0 dan kunnen we 

uit deze vergelijking een normaalvector bepalen. Daartoe beschouwen we het vectorvlak αo 

parallel met α. 

αo : ux + vy + wz = 0. 

Elke oplossing (x, y, z) van deze homogene vergelijking is de coördinaat van een vector die 

orthogonaal is met de vector met coördinaat (u, v, w). Hun scalair product is immers gelijk 

aan 0. 

De vector (u, v, w) is dus orthogonaal met elke vector van het vlak αo. De vector (u, v, w) 

is een normaalvector van αo en dus ook van elk vlak α parallel met αo. 

STELLING 2.1 Een vlak is volledig bepaald door een punt en een normaalvector. 

De vergelijking van het vlak bepaald door het punt (x1, y1, z1) en met normaalvector (u, v, w) 

is 

u(x − x1) + v(y − y1) + w(z − z1) = 0.


Figuur 2.3: Loodlijn op een vlak 

2.5 Hoek tussen een rechte en een vlak 

2.5.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van een 

rechte en een vlak 

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als de rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten 

van het vlak. Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een richtingsvector van de rechte 

orthogonaal is met twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak. 

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een normaalvector van het vlak 

richtingsvector is van de rechte. De rechte a is bepaald door een punt en een richtingsvector: 

y−y1 = 

a : x−x1 

l 

m 

= z−z1 

n en het vlak α door de algemene vergelijking α : ux+vy +wz +t = 0. 

De normaalvector (u, v, w) van het vlak α is een richtingsvector van a als en slechts als hij 

een veelvoud is van een richtingsvector van de rechte. 

a ⊥ α ⇐⇒ u 

l 

= v 

m 

= w 

n 

Zijn één of twee van de getallen l, m of n gelijk aan nul dan moeten de corresponderende 

tellers ook nul zijn. 

Is de rechte gegeven door een stelsel vergelijkingen dan zoeken we eerst een richtingsvector 

van de rechte uit het corresponderend homogene stelsel.

2.5. HOEK TUSSEN EEN RECHTE EN EEN VLAK 63 

2.5.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen een rechte en 

een vlak 

Gegeven een rechte a en een vlak α. We bepalen eerst een richtingsvector van a, bvb. 

(l, m, n), en een normaalvector van α, bvb. (u, v, w). Volgens het resultaat van opgave 29 

is de hoek θ tussen a en α gelijk aan het complement van de hoek tussen de rechte a en 

een rechte b met richtingsvector (u, v, w). Aldus is 

sin θ = 

ul + vm + wn 

√ 

u2 + v2 + w2 √ l2 + m2 . 

+ n2 OPGAVEN — 91 Ga de loodrechte stand na van de rechte a en het vlak α: 

a. a : x y z x 

3 = 2 = − 6 en α : 2 

 

x + 4y + z − 4 = 0 

b. a : 

2x + 3y − 2 = 0 

y 

+ 3 − z = 1. 

en α : 3x − 2y + 5z + 11 = 0 

92 Gegeven het punt P (1, 3, −2) en het vlak α : x − 2y + 3z + 32 = 0. Bereken de coördinaat van de 

projectie van P op α. 

93 Gegeven het punt P (3, −1, 5) en de rechte a : x−4 

3 

Gevraagd: 

(i) De coördinaat van de projectie van P op a. 

(ii) De afstand van P tot a. 

= y−9 

4 

= z+2 

2 . 

94 Bepaal een vector orthogonaal met de vectoren v1(1, 2, 3) en v2(1, 0, −1). 

95 Bepaal de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b. 

 

y = x − 3 

a. a : 

z = x + 1 

 

x − 2y − z − 10 = 0 

b. a : 

2x − y + z + 1 = 0 

en b : x+4 

5 

= y − 1 = 2 − z. 

en b : 

x + y + 2z − 7 = 0 

x + 4y − z − 7 = 0 . 

96 Bepaal het middenparallelloodvlak van de parallelle rechten 

97 Bepaal het vlak 

a. door A(3, 0, 0) en orthogonaal met de x-as; 

b. door A(1, 1, 1) en orthogonaal met OA. 

a : x = −y = z − 1 en b : x − 2 = 1 − y = z


98 Gegeven het punt A(0, 0, 1) en de rechte a : 

Gevraagd: 

(i) de vergelijking van het vlak door a en A; 

x + y = 1 

z = 0 

(ii) de vergelijking van het vlak door A orthogonaal met a; 

(iii) de vergelijkingen van de rechte door O, die a orthogonaal snijdt; het voetpunt en de afstand van O 

tot a; 

(iv) analoge vraag als (iii) voor A en a. 

99 Gegeven het punt A(0, 2, 0) en de rechten a : 

Gevraagd: 

y + z = 1 

x = 0 

. 

en b : 

x + y = 0 

x − 2y + 6z = 0 . 

(i) de vergelijkingen van de rechte c door A, orthogonaal met a en zo dat c de rechte b snijdt; 

(ii) de vergelijking van het vlak α door A en parallel met b; 

(iii) de coördinaat van de projectie van A op α. 

100 Bepaal de hoek tussen de rechte a : x y z−1 

4 = 3 = 2 en het vlak α : x − 2y + z − 1 = 0. 

101 Gegeven de rechte a : 

Gevraagd: 

x + y = 2 

2y − z = 1 

(i) de vergelijking van het vlak dat door de oorsprong gaat en loodrecht staat op a; 

(ii) de afstand van de oorsprong tot a; 

(iii) de vergelijking van het vlak dat door het punt P (1, 0, 0) gaat en parallel is met de x-as en met a. 

102 Gegeven het punt P (1, 1, 1), de rechte a : x = y = z en het vlak α : x = y. 

Gevraagd: de vergelijkingen van de rechte p die door het punt P gaat, parallel is met α en orthogonaal 

met a. 

103 Gegeven: A(1, 1, 2), B(−1, 0, 0), C(0, 1, 1), D(1, 2, −1) en A is een punt van de rechte a die parallel 

is met BC en D is een punt van de rechte b die orthogonaal is met α : x + 2y − 2z = 0. 

Bewijs dat a en b snijdende rechten zijn. Bepaal de coördinaat van het snijpunt van a en b en de vergelijking 

van het vlak bepaald door a en b. 

Oplossingen: 

91 a. a ⊥ α; b. a ⊥ b; 93 P ′ (− 1 13 

2 , 6, − 2 ); 93 (1, 5, −4), 11; 

95 a. l : 6(x − 1) = 2(2 − y) = 3(z − 1); b. 2x = 2(y + 3) = z + 7; 

96 2x + y − z = 2; 

97 a. x = 3; b. x + y + z = 3; 98 (i) x + y + z = 1, (ii) x = y, (iii) 2x = 2y = z, √ 2/2, (iv) 2x = 2y = 1 − z, 

3/2; 

 

y − z = 2 

99 (i) c : 

. (ii) 3x + 2y + 2z = 0; (iii) (−12/17, 30/17, −4/17) 

x + 2z = 0 

102 2x = 2y = 3 − z;

2.5. HOEK TUSSEN EEN RECHTE EN EEN VLAK 65 

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 104 Ga de loodrechte stand na van de rechte a en het vlak α: 

a. a : x − 2 = −y−1 

b. a : 

2 

x = 0 

2y − 3z = 0 

z−4 = 4 en α : 2x − 4y + 8z − 7 = 0. 

en α : x + 4y − 6z + 1 = 0. 

105 Gegeven de punten A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(0, 0, r) met pqr = 0. 

Bewijs dat de projectie D van de oorsprong op vl(ABC) het hoogtepunt is van driehoek ABC. Druk de 

coördinaat van D uit in termen van p, q en r. 

106 Gegeven de punten A(3, −2, 5), B(0, 1, −7) en C(8, 5, 1). 

Gevraagd: De vergelijkingen van de drie hoogtelijnen van driehoek ABC. 

107 Bepaal de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b. 

a : 

x = 3 

y + z = 3 

en b : 

x − 5 

4 

= −y − 4 = −3 − z 

108 Gegeven het punt P (1, 0, 5) en de rechte a : (x, y, z) = r.(3, 0, 4). Bepaal het loodvlak uit P op a. 

109 Gegeven het punt A(1, 1, −1) en de rechten a : (x, y, z) = r.(2, −1, 1) + (1, 0, 0) en b : (x, y, z) = 

r(1, 2, 1) + (0, 0, 1). 

Bepaal de rechte door A orthogonaal met a en b. 

110 Gegeven het punt C(0, −3, 0) en de rechten a : 

Gevraagd: 

x + y = 1 

z = 0 

(i) de vergelijking van het vlak α door C parallel met a en b; 

(ii) de vergelijking van de loodlijn uit O op α; 

(iii) de coördinaat van de projectie van O op α. 

111 Bepaal de hoek tussen de rechte a : 

x = 0 

y + 2z − 3 = 0 

en b : 

en het (x, y)-vlak. 

z − x = 1 

y = 0 

112 Gegeven het punt P (4, 0, 5) en het vlak α : 2x − 3y + 4z − 57 = 0. 

Gevraagd: bepaal de projectie P ′ van P op α, alsook het punt Q dat symmetrisch ligt met P t.o.v. α. 

113 Gegeven de rechten a : 

Gevraagd: 

2x − y = 1 

y − z = 0 

(i) bepaal m en n zodat a parallel is met b; 

en b : 

x + mz = 0 

y − nz = 1 

en het vlak α : x − y + z = 0 

.


(ii) bepaal m en n zodat b orthogonaal is met α en bepaal de coördinaat van het voetpunt van de loodlijn 

b op α. 

114 Gegeven de rechte a : x = 2y = kz en de vlakken α : x + y + z − h = 0 en β : x + hy + z − h = 0. 

Gevraagd: 

(i) bepaal k en h zodat a parallel is met α; 

(ii) bepaal k en h zodat a orthogonaal is met β en bepaal de coördinaat van het voetpunt van de loodlijn 

a op β. 

115 Gegeven de punten P (2, 0, 0) en Q(0, 2, 0) en de rechte a : 

Gevraagd: 

2x + z − 2 = 0 

2x − ky = 0 

(i) bespreek de doorsnede van de rechte a = P Q en de rechte b naargelang de waarde van k en bereken 

de coördinaat van het eventuele snijpunt van a en b; 

(ii) voor welke waarde van k is b een rechte van een loodvlak β op a? Stel de vergelijking op van dit 

loodvlak β en bereken de coördinaat van het snijpunt van S a en b. 

Oplossingen: 

104 a. a ⊥ α; b. a ⊥ α; 

107 2x = y + 5 = z + 4; 110 (i) x + y − z + 3 = 0, (ii) x = y = −z, (iii) (−1, −1, 1); 

113 (i) m = −1/2, n = 1; (ii) m = n = −1, (1/3, 2/3, 1/3); 

114 (i) k = −2/3; (ii) k = 1, h = 1/2 en (2/9, 1/9, 2/9); 

115 (i) a ∩ b = {s} met s(1, 1, 0) voor k = 2; voor alle andere waarden van k zijn a en b kruisend; (ii) k = 2, 

x = y, S(1, 1, 0).

2.6. HOEK TUSSEN TWEE VLAKKEN 67 

Figuur 2.4: Loodvlakken 

2.6 Hoek tussen twee vlakken 

2.6.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van twee 

vlakken 

Twee vlakken zijn orthogonaal als en slechts als het ene vlak parallel is met een loodlijn op het andere vlak. 

Twee vlakken zijn dus orthogonaal als en slechts als een normaalvector van het ene vlak een richtingsvector 

is van het andere vlak. 

De vlakken α en β zijn gegeven door hun algemene vergelijking. 

α : u1x + v1y + w1z + t1 = 0 

β : u2x + v2y + w2z + t2 = 0 

Opdat α orthogonaal zou zijn met β moet een normaalvector van α een richtingsvector zijn 

van β of m.a.w. een vector van het vectorvlak βo. De normaalvector (u1, v1, w1) van α moet 

oplossing zijn van de vergelijking van βo : u2x + v2y + w2z = 0: 

u1u2 + v1v2 + w1w2 = 0 

α ⊥ β ⇐⇒ u1u2 + v1v2 + w1w2 = 0 

Dit is ook de voorwaarde opdat de normaalvectoren van beide vlakken orthogonaal zouden 

zijn. Dit is rechtstreeks af te leiden uit de stelling van vroeger: twee vlakken staan loodrecht 

op elkaar als en slechts als ze snijdend zijn en een loodvlak op hun snijlijn de beide vlakken 

volgens orthogonale rechten snijdt. De snijlijn van het loodvlak met het ene vlak is een 

loodlijn op het andere vlak. Een richtingsvector van die snijlijn is dus normaalvector van 

het andere vlak.


STELLING 2.2 Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een normaalvector 

van het ene vlak orthogonaal is met een normaalvector van het andere vlak. 

OPGAVEN — 116 Stel de analytische uitdrukking op voor de loodrechte stand van twee rechten in het 

vlak. Formuleer daarbij ook de stelling over de loodrechte stand van twee rechten in het vlak (met de 

normaalvectoren). Geef een voorbeeld van twee rechten in het vlak die loodrecht op elkaar staan. 

2.6.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vlakken 

Gegeven twee vlakken α en β. We bepalen eerst een normaalvector van α, resp. β, bvb. 

(u1, v1, w1), resp. (u2, v2, w2). Volgens de resultaten van opgave 30 van pag. 24 is de hoek 

θ tussen α en β gelijk aan de hoek tussen rechten evenwijdig aan hun respectieve normaal- 

vectoren. Aldus is 

cos θ = 

|u1u2 + v1v2 + w1w2| 

 

2 u1 + v2 1 + w2 

2 

1 u2 + v2 2 + w2 . 

2 

OPGAVEN — 117 Stel de analytische uitdrukking op voor de hoek tussen twee rechten in het vlak. 

Geef twee rechten in het vlak en bereken de hoek tussen die twee rechten. We zullen in de goniometrie een 

analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten zien aan de hand van hun richtingscoëfficiënten. 

118 Ga na of de vlakken α : 2x + y + z − 5 = 0 en β : −x + y + z + 3 = 0 loodrecht op elkaar staan. 

= y − 3 = z+2 

5 en het vlak α : 7x − 3y + 5z + 2 = 0. 

119 Gegeven de rechte a : x−1 

2 

Bepaal de vergelijking van het vlak β door de rechte a en orthogonaal met α. 

120 Gegeven de rechte a : x−1 y+1 z 

2 = 3 = 2 en het vlak α : x − y + z + 4 = 0. 

Bepaal de vergelijkingen van de projectie van a op α. 

121 Bepaal de hoek tussen de vlakken α : x − y − 3 = 0 en β : x − z + 1 = 0 

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 122 Ga na of de vlakken α : x + 7y + z − 4 = 0 en β : y + 4 = 0 

loodrecht op elkaar staan. 

123 Gegeven het punt P (1, 1, −1), de rechte a : (x, y, z) = r(1, −2, 3) en het vlak α : 2x − 3y + z − 4 = 0 

Bepaal de vergelijking van het vlak β door P parallel met a en orthogonaal met het vlak α. 

124 Gegeven de rechten a : x = −y−1 = z+1 

 

x − y + z + 2 = 0 

2 en b : 

en het vlak α : x−y+3z−29 = 

2x + y − z + 1 = 0 

0. Op a en b bepalen we resp. de punten A en B, zodanig dat hun projecties op α samenvallen. Bereken 

de coördinaat van deze punten alsook van de gemeenschappelijke projectie. 

125 Bepaal de hoek tussen de vlakken α : 2x − 4y − 7z + 1 = 0 en β : x − 3y + 2z + 4 = 0 

Oplossingen: 119 20x + 25y − 12z = 121; 120 2(x − 1) = y − 5 = 2z; 123 7x + 5y + z = 11; 125 90 o .

2.7. AFSTAND VAN EEN PUNT TOT EEN VLAK 69 

2.7 Afstand van een punt tot een vlak 

2.7.1 Vectorieel 

Gegeven is het punt P en het vlak α bepaald door een punt A en een normaalvector 

n = n · e. We noemen P ′ de loodrechte projectie van P op α. 

P ′ voldoet aan twee voorwaarden: 

P ′ ∈ α =⇒ ∃!P ′′ ∈ αO : 

PP ′ ⊥ α =⇒ P P ′ n 

OP ′ = OP ′′ + OA 

De afstand van P tot α is gelijk aan de afstand tussen de punten P en P ′ . 

d(P, α) = |P P ′ | = | P P ′ · e| = | P P ′ · n 1 

| = |( OP 

n n ′ − OP ) · n| 

2.7.2 Analytisch 

= 1 

|( OP 

n ′ · n − OP · n)| = 1 

|(( OP 

n ′′ + OA) · n − OP · n)| 

= 1 

| OP 

n ′′ · n + OA · n − OP · n| 

= 1 

| OA · n − 

n OP · n| = 1 

|( OA − 

n OP ) · n| 

Gegeven het punt P (x1, y1, z1) en het vlak α : ux + vy + wz + k = 0. Omdat het punt 

A(xα, yα, zα) een punt is van α geldt uxα + vyα + wzα + k = 0 

d(P, α) = 

= 

= 

= 

1 

√ u 2 + v 2 + w 2 |(xα − x1)u + (yα − y1)v + (zα − z1)w| 

1 

√ u 2 + v 2 + w 2 |(xαu − x1u + yαv − y1v + zαw − z1w| 

1 

√ u 2 + v 2 + w 2 |xαu + yαv + zαw − x1u − y1v − z1w| 

1 

√ u 2 + v 2 + w 2 | − k − x1u − y1v − z1w| 

= |x1u + y1v + z1w + k| 

√ u 2 + v 2 + w 2 

De formule voor de afstand van een punt tot een vlak is 

d(P, α) = |ux1 + vy1 + wz1 + k| 

√ u 2 + v 2 + w 2


die de analoge formule is voor de afstand van een punt tot een rechte in het vlak. 

Tweede werkwijze zonder gebruik te maken van het scalair product: 

We berekenen de coördinaat van de projectie P ′ van P op α. Daartoe stellen we de vergelijkingen op van 

de loodlijn l door P op α. Een richtingsvector van l is een normaalvector van α. Een normaalvector van α 

is (u, v, w). 

l : 

x − x1 

u 

y − y1 

= 

v 

z − z1 

= 

w 

Om het snijpunt van het vlak α en de rechte l te bepalen werken we met de algemene vergelijking van het 

vlak α en een parametervoorstelling van de rechte l. 

α : ux + vy + wz + k = 0 

⎧ 

⎨ x − x1 = ru 

l : y − y1 = rv 

⎩ 

z − z1 = rw 

⎧ 

⎨ x = x1 + ru 

⇐⇒ y = y1 + rv 

⎩ 

z = z1 + rw 

We bepalen de parameterwaarde waarvoor een punt van l tevens een punt is van α. 

u(x1 + ru) + v(y1 + rv) + w(z1 + rw) + k = 0 

⇕ 

ux1 + vy1 + wz1 + ru 2 + rv 2 + rw 2 + k = 0 

⇕ 

ux1 + vy1 + wz1 + r(u 2 + v 2 + w 2 ) + k = 0 

Vermits u 2 + v 2 + w 2 = 0 kunnen we de laatste betrekking oplossen naar r. 

r = − ux1 + vy1 + wz1 + k 

u 2 + v 2 + w 2 

Dit is de r-waarde van het snijpunt P ′ van de rechte l en het vlak β. Na substitutie van deze r-waarde in 

de parametervoorstelling van l vinden we de coördinaat (x ′ , y ′ , z ′ ) van het snijpunt P ′ . 

⎧ 

⎪⎨ 

l : 

⎪⎩ 

x ′ = x1 − ux1+vy1+wz1+k 

u 2 +v 2 +w 2 

y ′ = y1 − ux1+vy1+wz1+k 

u 2 +v 2 +w 2 

z ′ = z1 − ux1+vy1+wz1+k 

u 2 +v 2 +w 2 

De afstand van P tot het vlak α is gelijk aan de afstand van het punt P tot het voetpunt P ′ van de loodlijn 

door P op α: 

P P ′ 

= 

( ux1 + vy1 + wz1 + k 

u 2 + v 2 + w 2 

.u 

.v 

.w 

P P ′ = (x ′ − x1) 2 + (y ′ − y1) 2 + (z ′ − z1) 2 . 

P P ′ = 

 

⇕ 

.u) 2 + ( ux1 + vy1 + wz1 + k 

u 2 + v 2 + w 2 

⇕ 

( (ux1 + vy1 + wz1 + k) 2 

(u2 + v2 + w2 ) 2 ).(u2 + v2 + w2 ) 

.v) 2 + ( ux1 + vy1 + wz1 + k 

u2 + v2 + w2 .w) 2


Normaalvergelijking van een vlak. 

Is (u, v, w) een normaalvector van het vlak α dan is de vector 

1 

√ (u, v, w) 

u2 + v2 + w2 de genormeerde vector van de vector (u, v, w), d.i. de eenheidsvector met dezelfde richting 

en zin als van (u, v, w). 

De vergelijking van het vlak waarin het drietal uit de coëfficiëntenmatrix van de vergelijking 

de coördinaat is van een eenheidsvector wordt de normaalvergelijking van het vlak genoemd. 

De normaalvergelijking van vlak α : ux + vy + wz + k = 0 is 

ux + vy + wz + k 

√ u 2 + v 2 + w 2 

De afstand van een punt tot een vlak bekomen we door in het eerste lid van de genormeerde 

vergelijking van het vlak de coördinaat van het punt in te vullen en van het resultaat de 

absolute waarde te nemen. 

OPGAVEN — 126 Bepaal de afstand van de oorsprong tot het vlak α : 2x − y + z − 1 = 0. Bepaal 

tevens de coördinaat van het spiegelbeeld van de oorsprong t.o.v. het vlak α. 

127 Bereken de afstand van het punt P tot het vlak α: 

(i) P (8, 5, 1) en α : 2x + 3y − 6z − 4 = 0; 

(ii) P (5, 2, 4) en α : 4x − 4y + 7z − 4 = 0 

(ii) P (3, 1, −4) en α : 2x + 4y − 5z = 0 

128 Bepaal de afstand tussen de kruisende rechten a : x−1 

3 

zonder de gemeenschappelijke loodlijn te bepalen. 

= 0 

y+2 

= 4 

z−2 = 5 en b : x+4 

2 

= 2 − y = z − 2 

129 Bereken de afstand tussen de vlakken α : 3x − 4y + 5z − 3 = 0 en β : 3x − 4y + 5z + 17 = 0. 

130 Bepaal de bissectorvlakken van α : 2x + 3y + √ 3z = 0 en β : 2x + 2y + z = 0. 

131 Bepaal het middenparallelvlak van α : x + 2y + z = 1 en β : x + 2y + z = 3. 

132 Gegeven zijn de vlakken a 2 x + 2ay + 2z = 0 met a ∈ R. Bewijs dat de afstand van P (1, 0, 1) tot die 

vlakken een constante is.


133 Gegeven: het punt P (1, 1, 1) en de rechte a : 

vlak door a en op een afstand 2 van P . 

x + y − z = 3 

x + 2y + 7z + 6 = 0 

. Bepaal de vergelijking van het 

134 Gegeven de piramide T OP QR met T (0, 0, 6), O(0, 0, 0), P (3, 0, 0), Q(3, 3, 0) en R(0, 3, 0). 

Bereken: 

(i) de afstanden van O tot de zijvlakken T QR en T P Q; 

(ii) de afstand van O tot de rechte T Q; 

(iii) de inhoud van deze piramide. 

Oplossingen: 

126 √ 6/6, (2, −1, 1)/3; 

127 (i) 3; (ii) 4; (iii) 2 √ 45/3; 

128 17/ √ 251; 

129 2 √ 2; 

130 −2x + y + (3 √ 3 − 4)z = 0 en 14x + 17y + (3 √ 3 + 4)z = 0; 

131 x + 2y + z = 2; 

132 1 

133 4x + 3y − 12z − 21 = 0 en 2x + 3y + 6z + 3 = 0. 

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 135 Bereken de afstand van het punt P (5, 2, 4) tot het vlak 

α : 4x − 4y + 7z − 4 = 0. 

136 Gegeven de punten A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(o, o, r). Bepaal de afstand van de oorsprong tot het 

vlak(ABC). 

137 Bepaal de afstand tussen de kruisende rechten a en b met a = CD, waarbij C(1, −1, 1) en D(2, 1, −1), 

y + 2 = 0 

en b : 

zonder de gemeenschappelijke loodlijn te bepalen. 

x + 2z − 2 = 0 

138 Bereken de afstand tussen de vlakken 

 

 

 

 

α : 

 

 

 

en 

 

 

 

β : 

 

 

1 1 1 x 

2 0 1 y 

3 1 0 z 

1 1 1 1 

0 0 x − 5 

2 1 y − 6 

2 3 z + 5 

139 Bepaal de bissectorvlakken van de vlakken α en β. 

(i) α : x − y = 0 en β : x + y = 0; 

 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

 

 

 

= 0.


(ii) α : x + y + z = 0 en β : 2x − y = 0. 

140 Bepaal het middenparallelvlak van α : √ 3x + 6y − 3z + 4 = 0 en β : x + 2 √ 3y − √ 3z + 4 √ 3 = 0. 

141 Gegeven zijn de punten A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) en C(0, 0, 3). Bereken de coördinaat van het punt dat 

tot het binnengebied van het viervlak OABC behoort en op gelijke afstanden van de zijvlakken van dat 

viervlak ligt. 

142 Gegeven: de vlakken α : 2x − y − 4 = 0 en β : y + z = 0. Bepaal de vergelijking van een vlak dat 

loodrecht op de vlakken α en β staat en op een afstand 4 van het punt (1, 1, 1) gelegen is. 

143 Gegeven de piramide T ABCD met T (0, 0, 6), A(3, −3, 0), B(3, 3, 0), C(−3, 3, 0) en D(−3, −3, 0). 

Het loodvlak α op T C door A verdeelt de piramide in twee lichamen. Bereken de verhouding van hun 

inhouden. 

Oplossingen: 139 (i) x = 0 en y = 0; (ii) (1−2 √ 15)x+(1+ √ 15)y+z = 0 en (1+2 √ 15)x+(1− √ 15)y+z = 

0; 

140 √ 3x + 6y − 3z + 8 = 0;


2.8 Afstand van een punt tot een rechte 

2.8.1 Vectorieel 

Gegeven is het punt P en de rechte a bepaald door een punt A en een richtingsvector u. 

We noemen P ′ de loodrechte projectie van P op a en Q het punt van de rechte a waarvoor 

 

AQ = u. 

We beschouwen het parallellogram AQQ ′ P (zie figuur). 

De oppervlakte van het parallellogram kunnen we als volgt uitdrukken: 

θ is de hoek waarvoor 

Hieruit volgt dat 

Opp(AQQ ′ P ) = 

AQ · 

AP · sin θ = u · 

AP · sin θ 

cos θ = 

sin θ = √ 1 − cos 2 θ = 

= 

Opp(AQQ ′ P ) = 

u · 

AP 

u · 

AP 

 

1 − 

(u · 

AP ) 2 

u 2 · 

AP 2 

 

u 2 · 

AP 2 − (u · 

AP ) 2 

u · 

AP 

 

u 2 · 

AP 2 − (u · 

AP ) 2 

De afstand van P tot a is gelijk aan |P P ′ |, gelijk aan de hoogte van het parallellogram 

AQQ ′ P , gelijk aan de oppervlakte van AQQ ′ P gedeeld door |AQ| die de basis is van het 

parallellogram. 

|P P ′ | = 

 

u 2 · 

AP 2 − (u · 

AP ) 2 

u 

(2.1) 

Opmerking: We kunnen bewijzen dat de oppervlakte van een parallellogram (AQQ ′ P ) 

gelijk is aan de norm van het vectorieel product van AQ en AP . 

De formule voor de afstand van een punt tot een rechte a is: 

|P P ′ | = 

u × 

AP 

u 

(2.2)

2.8. AFSTAND VAN EEN PUNT TOT EEN RECHTE 75 

2.8.2 Analytisch 

Gegeven is het punt P (x1, y1, z1) en de rechte a bepaald door het punt A(x,ya, za) en een 

richtingsvector u(l, m, n). We kunnen de afstand van het punt P tot de rechte a op twee 

verschillende manieren berekenen. 

• We drukken de formule 2.1 of de formule 2.2 analytisch uit; 

• We maken geen gebruik an vectoren. We bepalen het loodvlak door P op de rechte 

a. Het snijpunt van dit loodvlak met a is het punt P ′ , de loodrechte projectie van P 

op a. 

OPGAVEN — 144 Bereken de afstand van het punt P ′ (3, −1, 5) tot de rechte a : x−4 

3 

Oplossing:144: 11. 

= y−9 

4 

= z+2 

2


2.9 Vergelijking van de sfeer 

Een punt P behoort tot de sfeer S met middelpunt M en straal r als en slechts als de 

afstand van P tot het middelpunt gelijk is aan r: 

P ∈ S(M; r) ⇐⇒ 

P M = r 

We drukken deze meetkundige voorwaarde analytisch uit. Daartoe geven we aan het punt 

P die de sfeer beschrijft de lopende coördinaat (x, y, z), het middelpunt M de coördinaat 

(xo, yo, zo). De analytische uitdrukking voor de afstand van twee punten P en M is 

 

P M = (x − xo) 2 + (y − yo) 2 + (z − zo) 2 

P ∈ S ⇐⇒ 

P M = (x − xo) 2 + (y − yo) 2 + (z − zo) 2 = r 

P ∈ S ⇐⇒ (x − xo) 2 + (y − yo) 2 + (z − zo) 2 = r 2 ∧ r = 0 (2.3) 

Deze laatste vergelijking is de cartesische vergelijking van de sfeer met middelpunt M en 

straal r. 

De algemene vergelijking van een sfeer bekomen we door de vergelijking uit te werken en 

te rangschikken naar de machten van de onbekenden x, y en z: 

x 2 + y 2 + z 2 − 2xox − 2yoy − 2zoz + x 2 o + y 2 o + z 2 o − r 2 = 0 

De algemene vergelijking van een sfeer is van de gedaante 

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 

waarbij de parameters a, b, c, en d niet onafhankelijk van elkaar alle reële waarden kunnen 

aannemen. 

Wordt de vergelijking van een sfeer gegeven door de algemene gedaante dan kunnen we 

de coördinaat van het middelpunt en de straal berekenen door het eerste lid te splitsen in 

onafhankelijke kwadraten om zodoende de gedaante 2.3 te bekomen: 

(x 2 + 2ax + a 2 ) + (y 2 + 2by + b 2 ) + (z 2 + 2cz + c 2 ) = a 2 + b 2 + c 2 − d 

⇕

2.9. VERGELIJKING VAN DE SFEER 77 

(x + a) 2 + (y + b) 2 + (z + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 − d 

Deze vergelijking stelt een sfeer voor op voorwaarde dat het tweede lid groter is dan 0: 

a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 

De parameters a, b, c en d zijn dus verbonden door deze laatste ongelijkheid. 

De vergelijking 

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 

stelt een sfeer voor in de ruimte als en slechts als 

Het middelpunt is het punt met coördinaat 

en de straal is gelijk aan 

a 2 + b 2 + c 2 − d > 0. 

M(−a, −b, −c) 

r = √ a 2 + b 2 + c 2 − d. 

Een sfeer is volledig bepaald door het geven van zijn middelpunt en zijn straal. 

OPGAVEN — 145 Bepaal middelpunt en straal van de sfeer met vergelijking x 2 +y 2 +z 2 +x+y+z = 0. 

146 Stel de vergelijking op van het raakvlak in de snijpunten van de sfeer S(m; r) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 

4y + 6z − 12 = 0 met de y-as. 

147 Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt P (5, 2, −3) aan de sfeer S : x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 

2y − 2z − 28 = 0. 

148 Stel de vergelijking op van de sfeer 

a. waarvan A(3, 2, 2) en B(−1, −2, 4) tegenpunten zijn; 

b. met middelpunt in het vlak α : 2x + z = 9 en door de drie niet- collineaire punten P (−2, 0, 0), 

Q(0, 0, 0) en R(0, 6, 0); 

c. met middelpunt M(1, 2, −3) en rakend aan het vlak α : x = −1. 

149 Het vlak α : 2x − 3y + z = 13 is een raakvlak aan de sferen S(M; r) en S ′ (M ′ ; r ′ ) met M(1, 1, 0) en 

M ′ (5, −2, 1). 

(i) Bepaal de vergelijkingen van de sferen. 

(ii) Bepaal het snijpunt S van de centraal met het raakvlak. 

(iii) Liggen M en M ′ aan dezelfde kant of aan weerszijden van α?


150 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : (x−1) 2 +(y −2) 2 +z 2 = 4 en de rechte a : (x, y, z) = 

r(2, 1, 3). 

151 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : (x−1) 2 +(y−2) 2 +z 2 = 4 en het vlak α : x−2y+6z = 0 

Bepaal de straal van de snijcirkel en de coördinaat van het middelpunt van de snijcirkel. 

152 Bepaal de sfeer rakend aan de x-as waarvan het middelpunt behoort tot de rechte a : 

gaat door het punt P (0, 5, 24). 

153 Gegeven de punten A(2, 3, 4) en B(9, 0, 10) en de rechte a : x−1 

3 

van a waarvoor de driehoek P AB rechthoekig is in P . 

154 Gegeven het punt A(1, 3, −5) en de rechte a : 

de afstand tot A gelijk is aan 9. 

x = 5 

2y − 3z + 5 = 0 

= y−1 

5 

x = 5 

y = 5 

en 

z−1 = 7 . Bepaal de punten P 

. Bepaal de punten van a waarvoor 

 

E 

155 Gegeven is de balk 

A 

Q van resp. [AB] en [CD]. 

F 

B 

G 

C 

H 

D 

 

met A(6, 0, 0), C(0, 12, 0) en H(0, 0, 6) en de middens P en 

(i) Bereken de inhoud van de piramide P CQE. 

(ii) bereken de inhoud van de sfeer die door de punten P , B, C en F gaat. 

Oplossingen: 

145 (−1/2, −1/2, −1/2), R = √ 3/2; 

146 x − 4y − 3z + 24 = 0 en x + 4y − 3z + 8 = 0; 

147 3x + 3y − 4z − 33 = 0; 

148 a. (x−1) 2 +y2 +(z −3) 2 = 9; b. (x+1) 2 +(y −3) 2 +(z −11) 2 = 131; c. (x−1) 2 +(y −2) 2 +(z +3) 2 = 4; 

149 (i) (x − 1) 2 + (y − 1) 2 + z2 = 14 en (x − 5) 2 + (y + 2) 2 + (z − 1) 2 = 8/7; (ii) (37/9, −4/3, 7/9); (iii) aan 

weerskanten; 

150 a snijdt S, (8 + 2 √ 2, 4 + √ 2, 12 + 3 √ 2)/14 en (8 − 2 √ 2, 4 − √ 2, 12 − 3 √ 2)/14; 

151 α snijdt S, r = 1, 94 . . .; 

152 (x − 5) 2 + (y − 5) 2 + (z − 12) 2 = 169; 

153 P (4, 6, 8) en P ( 1 

83 (182, 246, 314)); 

154 P (5, 2, 3) en P (5, −4, −1); 

155 (i) 36 is 1/12 vd inh balk, (ii) M(3, 9, 3), R = 3 √ 3 en INH=108 √ 3π. 

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 156 Bepaal middelpunt en straal van de sfeer met vergelijking 

x 2 + y 2 + z 2 + x − 4y = 0. 

157 Stel de vergelijking op van de raakvlakken parallel met het vlak α : 6x + 3y − 2z − 5 = 0 aan de sfeer 

S : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 6y − 4z − 35 = 0. Bepaal de coördinaten van de raakpunten. Hoe zijn ze op de sfeer 

t.o.v. elkaar gelegen?

2.9. VERGELIJKING VAN DE SFEER 79 

158 Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt P (0, 3, 0) aan de sfeer S : x 2 + y 2 + z 2 = 9. 

159 Stel de vergelijking op van de sfeer 

a. met middelpunt (2, −3, 0) en door het punt (1, 1, 2 √ 2); 

b. door de vier niet-coplanaire punten P (1 − √ 3, 0, 0), Q(0, √ 2 − 1, 1), R(1, 0, √ 3) en S(0, −1, √ 3); 

c. met middelpunt M(1, −1, 2) en rakend aan het vlak α : 3x − y + 2z + 6 = 0. 

160 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 − 4x − 12y − 16z + 10 = 0 en de 

rechte a : (x, y, z) = r(1, 0, −1) + (1, 1, 0). 

161 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : x 2 + y 2 + z 2 = 25 en het vlak α : x − y + z = 3 

Bepaal in geval ze elkaar snijden de vergelijking van het vlak van de snijcirkel, de straal van de snijcirkel 

en de coördinaat van het middelpunt van de snijcirkel. 

162 Onderzoek de onderlinge ligging van de sferen S : x 2 + y 2 + z 2 − 4y + 2y − 12z + 32 = 0 en 

S ′ : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 6y − 18z + 90 = 0. Bepaal in geval ze elkaar snijden de vergelijking van het vlak 

van de snijcirkel, de straal van de snijcirkel en de coördinaat van het middelpunt van de snijcirkel. 

163 Toon aan dat de sfeer S(O; 1) en de sfeer beschreven om de kubus bepaald door de basisvectoren 

elkaar snijden volgens een cirkel van het vlak α : x + y + z = 1. Bereken de coördinaat van het middelpunt, 

alsook de straal van de cirkel. 

164 Bepaal de verzameling van de middelpunten van de sferen die raken aan de snijdende vlakken α : 

x + 2y − 2z − 5 = 0 en β : 2x + y + 2z = 0. 

165 Gegeven de punten A(2, 4, 2) en B(1, −4, 0) en de rechte a : (x, y, z) = (2, 2, 3) + k(1, −1, 0). Bepaal 

de punten P van a waarvoor P A orthogonaal is met P B. 

166 Gegeven het punt A(3, −6, −4) en het vlak α : 2x − y + 2z + 4 = 0. Bepaal het punt dat op gelijke 

afstand ligt van A en α. 

 

E 

167 Gegeven is de kubus 

A 

F 

B 

G 

C 

H 

D 

 

met ribbe 6. Bereken de inhoud van de sfeer die door de 

punten A, B, C en D gaat en raakt aan het bovenvlak EF G. 

Oplossingen: 

166 M(1, 2, 0) en R = 2; 

Dit waren dan de oefeningen op de sfeer. Maar om in de sfeer te komen volgen hier nog 

een hele reeks herhalingsoefeningen.


2.10 Herhalingsoefeningen 

OPGAVEN — 168 Bepaal de norm en de genormeerde vector van AB, de afstand tussen de punten A 

en B en de hoek tussen OA en OB. 

a. A( 1 

2 , 0, − √ 2 

1 

2 ) en B(1, 2 , 0); 

b. A(1, 2, 3) en B(2, −1, −2); 

c. A(3, 0, 0) en B(0, 2, 0). 

169 Toon aan dat de rechte a : (x, y, z) = (10, 4, 17) + r(1, 4, 8) raakt aan de sfeer S : x 2 + y 2 + z 2 = 81 

en bepaal ook het raakpunt. 

Bepaal de vergelijking van een andere raaklijn in dit raakpunt aan de sfeer en leid hieruit de vergelijking 

af van het raakvlak in dat punt aan de sfeer. 

170 Bepaal de rechte l die in het vlak α : 4x − 2y + z − 3 = 0 ligt en de rechte a : x = 2y − 3 = 2z−1 

5 

loodrecht snijdt. 

171 a. Bepaal de rechte a door het punt P (1, 1, 1) orthogonaal met OP en parallel met het (y, z)-vlak. 

b. Bepaal de rechte b door het punt P (1, 1, 1) die orthogonaal is met OP en de rechte c : x−1 = y+1 = z 

snijdt. Geef de coördinaat van het snijpunt van b en c. 

c. Bepaal de hoek tussen de rechten a en b. 

172 Gegeven het vlak α : 2x − 2y + z − 1 = 0 en de rechte a : 

Gevraagd: 

(i) de coördinaat van het snijpunt A van a met α; 

x − y = 0 

x − 2z + 2 = 0 

(ii) de coördinaat van elk punt van de rechte a waarvan de afstand tot A gelijk is aan 3; 

(iii) de coördinaat van elk punt van de rechte a waarvan de afstand tot het vlak α gelijk is aan 1. 

173 Gegeven het punt A(−1, 2, 1) en de vlakken α : 3x + z = 4 en β : 2x − y = 1. 

Gevraagd: 

(i) de vergelijking van het vlak γ door A en orthogonaal met α en β; 

(ii) een stelsel vergelijkingen van de loodlijn door A op s = α ∩ β; de coördinaat van het voetpunt; 

(iii) de afstand van A tot s. 

174 Gegeven de punten A(0, 1, 0) en B(2, 3, 1) en de rechte c : 

Gevraagd: 

x + y = 1 

2y − z = 0 . 

(i) de coördinaat van het punt C van c waarvoor AB en AC loodlijnen zijn;

2.11. WISKUNDE-CULTUUR 81 

(ii) een stelsel vergelijkingen van de rechte d door A zodat d orthogonaal is met het vlak ABC; 

(iii) de coördinaat van elk punt F van d waarvoor 

AF = 

AC. 

175 Gegeven de rechten a : x−4k−1 

a 

Gevraagd: 

= y − 2k − 2 = − z 

k 

en b : 

x + y + 2k − 1 = 0 

z + k + 3 = 0 

met k ∈ R. 

(i) bewijs dat a en b steeds kruisend zijn (met de theorie van de oplosbaarheid van stelsels); 

(ii) bewijs dat de gemeenschappelijke loodlijn van a en b door een vast punt gaat; 

(iii) voor welke waarde van k is de afstand tussen de rechten a en b minimaal? Bereken deze kleinste 

afstand. 

176 Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten 

a : 

x − 2 

2 

= y − 3 

3 

= −z 

2 

en b : x − 1 

2 

= y + 2 

3 

= −z + 2 

2 . 

RM II HUISTAAK 8 1. Onderzoek de onderlinge ligging van de sferen S : x 2 + y 2 + 

z 2 −4y −5 = 0 en S ′ : x 2 +y 2 +z 2 −10y +21 = 0. Bepaal in geval ze elkaar snijden de 

vergelijking van het vlak van de snijcirkel, de straal van de snijcirkel en de coördinaat 

van het middelpunt van de snijcirkel. 

2. Gegeven de punten A(3, 4, 0) en B(0, 0, 5). Gevraagd: 

(i) de coördinaat van het midden van [AB]; 

(ii) de waarde van t ∈ R waarvoor de rechte p die de punten P (t, 0, 0) en A verbindt, 

orthogonaal is met de rechte b = AB; verifieer ook voor die waarde van t de 

rechten a = OA en p orthogonaal zijn; bereken ook het maatgetal van de scherpe 

hoek tussen de rechten a en b; 

(iii) stel voor die waarde van t een stelsel vergelijkingen op van de loodlijn die door 

O op het vlak pb getrokken wordt en bereken de coördinaat van het voetpunt 

van die loodlijn. 

2.11 Wiskunde-Cultuur 

1. Augustin CAUCHY is een Frans wiskundige van 1789 tot 1857. De wiskundigen 

van de 19de eeuw leefden niet meer aan vorstelijke hoven en vonden slechts zelden 

hun weg tot de salons van de aristocratie. Hun voornaamste beroep was niet meer


het lidmaatschap van academies, zij waren gewoonlijk hoogleraren aan universiteiten 

en technische instituten, waar zij onderwijs gaven en hun salaris verdienden. Sommige 

leidende wiskundigen als de Bernoulli’s hadden reeds enig onderwijs gegeven. 

Nu namen de onderwijsverplichtingen toe met de grote uitbreiding die het schoolsysteem 

kreeg, wiskunde professoren werden opvoeders en examinatoren. De geleerden 

werden daardoor nauwer met hun eigen nationale instituties verbonden, wat zich ook 

uitte in het feit dat hun publicaties steeds meer in de taal van hun land verschenen 

en steeds minder in het Latijn. Dit deed schade aan het internationalisme van de 

vorige eeuwen, doch niet zozeer dat internationale gedachtenwisseling onderbroken 

werd. De wiskundigen werden meer en meer specialisten in één bepaald (schoon nog 

zeer ruim) gebied, en waar men LEIBNIZ (filosoof 1646-1716), EULER (1707-1783), 

D’ALEMBERT (1717-1783) (als “wiskundigen”;“géometres” in de terminologie van 

de 18de eeuw) kan aanduiden, vinden we in Cauchy allereerst een analyticus, in CAY- 

LEY (1821-1895) een algebrist, in STEINER (1796-1863) een meetkundige (zelfs een 

zuiver meetkundige) en in CANTOR (1845-1918) de schepper van de leer der puntverzamelingen. 

De tijd was gekomen waarin we “mathematische fysica” beginnen 

te krijgen, en waarin er goede vakmannen in “mathematische statistiek” of “mathematische 

logica” optreden. Deze specialisatie werd alleen op het hoogste niveau van 

genialiteit doorbroken en juist door het werk van de grootsten der groten, een GAUSS 

(1777-1855), een RIEMANN (1826-1866), een KLEIN (1849-1925) of een POINCAR 

É (1854-1912) ontving de wiskunde in de 19de eeuw haar grootste inspiratie. 

Cauchy’s talrijke bijdragen tot de theorie van het licht en de mechanica zijn door het 

succes van zijn prestaties in de analyse wel wat in de vergetelheid geraakt, en toch 

mogen we niet uit het oog verliezen dat hij met zijn tijdgenoot Louis Navier tot de 

grondleggers der wiskundige elasticiteitstheorie behoort. Zijn roem berust op de eerste 

plaats op zijn theorie van de functies van een complexe veranderlijke. Cauchy behoort 

samen met zijn tijdgenoten GAUSS (1777-1855), ABEL (1802-1829) en BOLZANO 

(wijsgeer 1781-1848) , tot de pioniers van de nieuwe exactheid in het wiskundig denken. 

De 18de eeuw was in wezen een eeuw van mathematisch experimenteren geweest, 

waarbij de resultaten zich ophoopten. Daarbij hadden de wiskundigen zich maar weinig 

bezig gehouden met de grondslagen van hun wetenschap - “allez en avant, et la 

foi vous viendra” (ga maar vooruit, het geloof zal wel komen) - deze aanmoediging 

werd wel aan D’Alembert toegeschreven. Wat Eudoxus had gedaan in de tijd na de 

val van de Atheense democratie begonnen Cauchy en zijn exact denkende collega’s 

in de periode van een snel groeiende industrialisatie te voltooien. Dit grote verschil 

in maatschappelijke verhoudingen leidde tot grote verschillen in de wijze waarop de 

vraagstukken werden aangepakt: waar het succes van EUDOXUS (408-355 v.C.) er 

op den duur toe leidde dat de wiskundige productiviteit belemmerd werd, leidde het 

succes van de moderne hervormers tot nieuwe en verhoogde productiviteit. Op Gauss 

en Cauchy volgden WEIERSTRASS (??-??) en CANTOR (1845-1918), en op hen 

weer HILBERT

2.11. WISKUNDE-CULTUUR 83 

(1862-1943) en LEBESGUE (1875-1941). Cauchy ontwikkelde de gronslagen van de 

infinitesimaalrekening op de manier waarop ze nu algemeen in onze leerboeken worden 

uiteengezet. Na de revolutie van 1830 gaf Cauchy zijn leerstoel aan de Ecole 

Polytechnique op. Zijn productiviteit was zo enorm dat de Académie de omvang 

van alle verhandelingen voor haar “Comptes Rendus” moest beperken om Cauchy’s 

werk te kunnen bijhouden. Men zegt dat toen hij zijn eerste verhandeling over de 

convergentie van reeksen aan de Académie voorlegde, Laplace zo ongerust werd dat 

de grote man naar zijn kamer ijlde om de reeksen in zijn ‘Mécanique céleste’ op hun 

convergentie te onderzoeken. 

2. SCHARTZ is een Duits wiskundige van 1843 tot 1921. 

3. Ludwig Otto HESSE was een Duits wiskundige van 1811 tot 1874. hij heeft de 

theorie van algebraïsche krommen en oppervlakken behandeld, waarbij hij veel gebruik 

maakte van homogene vormen. Otto Hesse bewees evenals Plücker hoeveel nut men 

in de analytische meetkunde kan trekken van een verkorte wijze van schrijven; daarbij 

gebruikte hij graag homogene coördinaten en determinanten.

84 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE

Inhoudsopgave 

1 De reële euclidische ruimte 3 

1.1 De euclidische ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.1 Orthogonaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.1.1 Orthogonaliteit van richtingen — Axioma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.1.2 Orthogonale rechten en loodlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.1.3 Loodrechte projectie op een rechte (orthogonale projectie) . . . . . . . . . 6 

1.1.1.4 Orthogonaliteit van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.2 Afstand en scalair product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.2.1 Afstand van een puntenkoppel — norm van een vector . . . . . . . . . . . 7 

1.1.2.2 Genormeerde vector van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.2.3 Scalair product van een koppel vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.1.3 De affiene ruimte als euclidische ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.2 Orthogonaliteit van rechte en vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3 Orthogonaliteit van twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.3.1 Definitie en eerste eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.3.2 Projectie van een paar orthogonale rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.3.3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.3.4 De afstand tussen punt en rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.3.5 De afstand tussen punt en vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.3.6 De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.3.7 De afstand tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.3.8 De hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.3.9 De hoek tussen een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.3.10 De hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.4 Meetkundige plaatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

85

86 INHOUDSOPGAVE 

1.5 Lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.5.1 Veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.5.1.1 Prisma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

1.5.1.2 Piramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.5.1.3 Afgeknotte piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.5.1.4 Regelmatige veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.5.1.5 Halfregelmatige veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

1.5.2 Omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

1.5.2.1 Omwentelingsoppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

1.5.2.2 Omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

1.5.3 De sfeer en de bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

1.5.3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

1.5.3.2 Het bepalen van een sfeer door vier niet-coplanaire punten . . . . . . . . . 41 

1.5.3.3 Onderlinge ligging van een sfeer en een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

1.5.3.4 Onderlinge ligging van een sfeer en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

1.5.3.5 Onderlinge ligging van een sfeer en een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

1.5.3.6 Onderlinge ligging van twee sferen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2 Analytische euclidische meetkunde 53 

2.1 Orthonormale basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.2 Scalair product — norm — afstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.1 Analytische uitdrukking voor het scalair product van twee vectoren . . . . . . . . . . 54 

2.2.2 Analytische uitdrukking voor de norm van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.3 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.4 Analytische uitdrukking voor de orthogonaliteit van twee vectoren . . . . . . . . . . 55 

2.2.5 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vectoren . . . . . . . . . . . . . . 55 

2.3 Hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

2.3.1 Analytische uitdrukking van de loodrechte stand van twee rechten . . . . . . . . . . 58 

2.3.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2.4 Normaalvector van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

2.5 Hoek tussen een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

2.5.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van een rechte en een vlak . . . . 62 

2.5.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen een rechte en een vlak . . . . . . . . . 63 

2.6 Hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

INHOUDSOPGAVE 87 

2.6.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van twee vlakken . . . . . . . . . . 67 

2.6.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . 68 

2.7 Afstand van een punt tot een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

2.7.1 Vectorieel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

2.7.2 Analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

2.8 Afstand van een punt tot een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

2.8.1 Vectorieel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

2.8.2 Analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

2.9 Vergelijking van de sfeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

2.10 Herhalingsoefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

2.11 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6eucl-mtk-6u - wiswijs

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?