Dynamisch programmeren

Dynamisch
programmeren
wat is dynamisch programmeren
wisselgeldprobleem
toepassingen in grafentheorie
kortste-pad-algoritme van Floyd
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.1/16

Dynamisch
programmeren
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.2/16

Dynamisch programmeren
Basisprincipe
recursief algoritme dat dezelfde
tussenresultaten meermaals berekent
herschrijven in niet-recursieve vorm
systematisch bijhouden van tussenresultaten
in tabel
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.3/16

Dynamisch programmeren
Basisprincipe
recursief algoritme dat dezelfde
tussenresultaten meermaals berekent
herschrijven in niet-recursieve vorm
systematisch bijhouden van tussenresultaten
in tabel
Toepassingen
wisselgeldprobleem
kortste-padalgoritme van Floyd
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.3/16

Dynamisch programmeren
Algemene werkwijze
formuleer het antwoord als een recurrente
betrekking of als een recursief algoritme
toon aan dat het aantal verschillende
waarden in de recurrente betrekking
begrensd is door een polynoom met kleine
macht
geef een volgorde waarin de recurrentie moet
geëvalueerd worden zodat een
tussenresultaat beschikbaar is wanneer het
nodig is
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.4/16

Wisselgeldprobleem
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.5/16

Wisselgeldprobleem
Probleemstelling
geg. soorten muntstukken c1,...,cn
vorm bedrag k met minimaal # stukken
ond. steeds stuk 1 aanwezig
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/16

Wisselgeldprobleem
Probleemstelling
geg. soorten muntstukken c1,...,cn
vorm bedrag k met minimaal # stukken
ond. steeds stuk 1 aanwezig
Gretige benadering werkt niet altijd
voorbeeld: bedrag 60 met stukken 1, 5, 30, 50
60 = 1 × 50 + 2 × 5 = 2 × 30
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/16

Wisselgeldprobleem
Probleemstelling
geg. soorten muntstukken c1,...,cn
vorm bedrag k met minimaal # stukken
ond. steeds stuk 1 aanwezig
Gretige benadering werkt niet altijd
voorbeeld: bedrag 60 met stukken 1, 5, 30, 50
60 = 1 × 50 + 2 × 5 = 2 × 30
Exhaustief: brute-kracht-benadering
systematisch alle mogelijkheden uitproberen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/16

Recursief algoritme
Schets algoritme: vorm bedrag k
voor elk mogelijk muntstuk cj
bepaal x = minimaal aantal muntstukken
dat k − cj vormt
dit vormt k met x + 1 muntstukken
minimum van deze mogelijkheden vormt de
oplossing
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.7/16

Recursief algoritme Wisselgeld
Input: bedrag k, stukken (c1,...,cn)
Output: m = min. # muntstukken dat k vormt
1: if k ≤ 0 then return 0
2: for j from 1 to n do
3: if k = cj then return 1
4: m ← k
5: for j from 1 to n do
6: if cj ≤ k then
7: x ← wisselgeld(k − cj, (c1,...,cn))
8: if x + 1 < m then
9: m ← x + 1
10: return m
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.8/16

Opmerkingen
Uitvoeringstijd: T(n,k) = O(n k )
algoritme werkt goed voor kleine bedragen,
maar traag voor grote bedragen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.9/16

Opmerkingen
Uitvoeringstijd: T(n,k) = O(n k )
algoritme werkt goed voor kleine bedragen,
maar traag voor grote bedragen
Probleem: veel redundant werk!
er zijn maar Θ(k) = tussenresultaten
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.9/16

Opmerkingen
Uitvoeringstijd: T(n,k) = O(n k )
algoritme werkt goed voor kleine bedragen,
maar traag voor grote bedragen
Probleem: veel redundant werk!
Maar
er zijn maar Θ(k) = tussenresultaten
om te zetten naar niet-recursief algoritme
met dynamisch programmeren
bijhouden resultaten van deelproblemen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.9/16

Met dynamisch programmeren
Schets algoritme
voor alle kleinere bedragen, beste opsplitsing
bepalen en bijhouden in tabel
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/16

Met dynamisch programmeren
Schets algoritme
voor alle kleinere bedragen, beste opsplitsing
bepalen en bijhouden in tabel
bepalen beste opsplitsing van k ′
voor elk muntstuk cj
zoek opsplitsing van k ′ − cj (in tabel!)
minimum hiervan geeft oplossing
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/16

Met dynamisch programmeren
Schets algoritme
voor alle kleinere bedragen, beste opsplitsing
bepalen en bijhouden in tabel
bepalen beste opsplitsing van k ′
voor elk muntstuk cj
zoek opsplitsing van k ′ − cj (in tabel!)
minimum hiervan geeft oplossing
in tabel bijhouden
aantal gebruikte stukken voor bedrag
(laatstgebruikte stuk in opbouw bedrag)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/16

Algoritme Wisselgeld
Input: bedrag kmax , stukken (c1,...,cn)
Output: (mi,i = 0..k), mi #stukken voor bedrag i
1: m0 ← 0
2: for k from 1 to kmax do
3: m ← k
4: for j from 1 to n do
5: if cj ≤ k then
6: x ← mk−cj
7: if x + 1 < m then m ← x + 1
8: mk ← m
9: return (mi,i = 0..k)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.11/16

Complexiteit
Geheugencomplexiteit
G(n,k) = Θ(k)
(enkel extra geheugen meegeteld)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.12/16

Complexiteit
Geheugencomplexiteit
G(n,k) = Θ(k)
(enkel extra geheugen meegeteld)
Tijdscomplexiteit
T(n) = Θ(nk)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.12/16

Algoritme van Floyd
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.13/16

Alle kortste paden
Probleemstelling
gegeven: graaf G = (V,E), starttop v ∈ V
G is gewogen graaf
enkel niet-negatieve booggewichten
voor elk paar toppen (v,w), kortste pad van v
naar w
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.14/16

Alle kortste paden
Probleemstelling
gegeven: graaf G = (V,E), starttop v ∈ V
G is gewogen graaf
enkel niet-negatieve booggewichten
voor elk paar toppen (v,w), kortste pad van v
naar w
Merk op: eenvoudige oplossing
n keer Dijkstra, eenmaal voor elke top
complexiteit Θ(n 3 )
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.14/16

Algoritme van Floyd
Definitie
matrix D (k) =
met d (k)
i,j
d (k)
i,j
lengte kortste pad van i naar j,
waarbij enkel toppen uit {1, 2,... ,k} als
tussenliggende toppen gebruikt
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.15/16

Algoritme van Floyd
Definitie
matrix D (k) =
met d (k)
i,j
d (k)
i,j
lengte kortste pad van i naar j,
waarbij enkel toppen uit {1, 2,... ,k} als
tussenliggende toppen gebruikt
Er geldt, voor alle i en j
d (0)
i,j
= w(i,j)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.15/16

Algoritme van Floyd
Definitie
matrix D (k) =
met d (k)
i,j
d (k)
i,j
lengte kortste pad van i naar j,
waarbij enkel toppen uit {1, 2,... ,k} als
tussenliggende toppen gebruikt
Er geldt, voor alle i en j
d (0)
i,j
d (k)
i,j
= w(i,j)
= min d (k−1)
i,j ,d (k−1)
i,k
+ d(k−1)
k,j
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.15/16

Pseudocode Floyd
Input: gewogen G met n toppen, en
niet-negatieve booggewichten
Output: ∀i,j ∈ V (G), gewogen d(i,j)
1: for i from 1 to n do
2: for j from 1 to n do
3: d (0) [i,j] ← w(i,j)
4: for k from 1 to n do
5: for i from 1 to n do
6: for j from 1 to n do
7: d (k) [i,j] ←
min(d (k−1) [i,j],d (k−1) [i,k] + d (k−1) [k,j])
8: return D (n)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.16/16