Kleuren van grafen - Combinatorische algoritmen en algoritmische ...
Kleuren van grafen - Combinatorische algoritmen en algoritmische ...
Kleuren van grafen - Combinatorische algoritmen en algoritmische ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Kleur<strong>en</strong></strong> <strong>van</strong> <strong>graf<strong>en</strong></strong><br />
definities <strong>en</strong> eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong><br />
<strong>algoritmische</strong> aspect<strong>en</strong><br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.1/16
Onafhankelijke verzameling<strong>en</strong><br />
Onafhankelijke verzameling S in G<br />
S ⊂ V (G) waarbij ge<strong>en</strong> twee topp<strong>en</strong> <strong>van</strong> S<br />
adjac<strong>en</strong>t in G<br />
Maximale onafhankelijke verzameling<br />
als ge<strong>en</strong> eig<strong>en</strong>lijke deelverzameling <strong>van</strong> e<strong>en</strong><br />
andere onafhankelijke verzameling in G<br />
Onafhankelijkheidsgetal β(G)<br />
maximum kardinaliteit <strong>van</strong> e<strong>en</strong> onafhankelijke<br />
verzameling in G<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.2/16
Kliek<strong>en</strong><br />
Kliek S in G<br />
S ⊂ V (G) waarbij elk paar topp<strong>en</strong> <strong>van</strong> S<br />
adjac<strong>en</strong>t in G<br />
soms ook: complete deelgraaf <strong>van</strong> G<br />
Maximale kliek<br />
als ge<strong>en</strong> eig<strong>en</strong>lijke deelverzameling <strong>van</strong> e<strong>en</strong><br />
andere kliek in G<br />
Kliekgetal ω(G)<br />
maximum aantal topp<strong>en</strong> <strong>van</strong> e<strong>en</strong> kliek in G<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.3/16
Dominer<strong>en</strong>de verzameling<strong>en</strong><br />
Dominer<strong>en</strong>de verzameling S in G<br />
S ⊂ V (G) waarbij elke top uit V (G) \ S<br />
adjac<strong>en</strong>t met e<strong>en</strong> top in S<br />
Minimale dominer<strong>en</strong>de verzameling<br />
als ge<strong>en</strong> eig<strong>en</strong>lijke deelverzameling <strong>van</strong> S<br />
ook dominer<strong>en</strong>de verzameling in G<br />
Dominantiegetal σ(G)<br />
minimale kardinaliteit <strong>van</strong> e<strong>en</strong> dominer<strong>en</strong>de<br />
verzameling in G<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.4/16
Topp<strong>en</strong>kleuring<strong>en</strong><br />
Topp<strong>en</strong>kleuring <strong>van</strong> G<br />
toek<strong>en</strong>ning <strong>van</strong> kleur aan elke top, zodat<br />
adjac<strong>en</strong>te topp<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de kleur hebb<strong>en</strong><br />
k-kleuring: kleuring met k kleur<strong>en</strong><br />
Kleurklass<strong>en</strong><br />
partitie <strong>van</strong> V (G) in onafhankelijke verzam.<br />
geproduceerd door topp<strong>en</strong>kleuring<br />
Chromatisch getal χ(G)<br />
kleinste k waarvoor e<strong>en</strong> k-kleuring <strong>van</strong> G<br />
bestaat<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.5/16
Verband tuss<strong>en</strong> β(G) <strong>en</strong> σ(G)<br />
Er geldt<br />
Dus<br />
maximale onafhankelijke deelverzameling<br />
in G is steeds e<strong>en</strong> dominer<strong>en</strong>de verzameling<br />
σ(G) ≤ β(G), voor elke G<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.6/16
Algoritmische aspect<strong>en</strong><br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.7/16
Bepal<strong>en</strong> <strong>van</strong> χ(G)<br />
Voor <strong>en</strong>kele speciale <strong>graf<strong>en</strong></strong><br />
Bipartiete <strong>graf<strong>en</strong></strong><br />
G is bipartiet a.s.a. χ(G) = 2<br />
Complete graaf Kn<br />
χ(Kn) = n + 1<br />
Cykel Cn<br />
χ(C2n) = 2<br />
χ(C2n+1) = 3<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.8/16
Bepal<strong>en</strong> <strong>van</strong> χ(G)<br />
Enkele <strong>graf<strong>en</strong></strong> (oef.12.4.1)<br />
bepaal e<strong>en</strong> kleuring<br />
gebruikt ze χ(G) kleur<strong>en</strong>?<br />
Eig<strong>en</strong>schap <strong>van</strong> kleuring<strong>en</strong> <strong>en</strong> kliek<strong>en</strong><br />
ω(G) ≤ χ(G)<br />
Mogelijke strategie<br />
voor zekere k<br />
vind kliek <strong>van</strong> grootte k ⇒ χ(G) ≥ k<br />
vind e<strong>en</strong> k-kleuring ⇒ χ(G) ≤ k<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.9/16
Algoritmische aspect<strong>en</strong><br />
Algoritmische problem<strong>en</strong>: bepal<strong>en</strong> <strong>van</strong><br />
onafhankelijkheidsgetal β(G)<br />
kliekgetal ω(G)<br />
dominantiegetal σ(G)<br />
chromatisch getal χ(G)<br />
NP-complete problem<strong>en</strong><br />
ge<strong>en</strong> efficiënte <strong>algoritm<strong>en</strong></strong><br />
wel nuttige b<strong>en</strong>aderings<strong>algoritm<strong>en</strong></strong><br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.10/16
Sequ<strong>en</strong>tieel kleuringsalgoritme<br />
Gretig algoritme<br />
Input: graaf G met V (G) = {v1,v2,...,vn}<br />
Output: kleuring <strong>van</strong> G<br />
1: for i from 1 to n do<br />
2: Li ← lijst <strong>van</strong> kleur<strong>en</strong> gebruikt bij<br />
bur<strong>en</strong> <strong>van</strong> vi, gesorteerd in dal<strong>en</strong>de<br />
volgorde<br />
3: c ← 1<br />
4: while kleur c voorkomt in lijst Li do<br />
5: c ← c + 1<br />
6: kleur top vi met kleur c<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.11/16
Performantie seq. kleuringsalgo.<br />
Hoe goed is bekom<strong>en</strong> kleuring?<br />
vb. waarin optimale kleuring bekom<strong>en</strong>?<br />
vb. waarin zeer slechte kleuring bekom<strong>en</strong>?<br />
Merk op<br />
soms goed, soms slecht, afhankelijk <strong>van</strong><br />
topp<strong>en</strong>ord<strong>en</strong>ing (vb. fig.12.8)<br />
altijd optimaal, onafhankelijk <strong>van</strong><br />
topp<strong>en</strong>ord<strong>en</strong>ing, voor complete n-partiete<br />
graaf (oef.12.4.6)<br />
idee: eerst topp<strong>en</strong> met hoge graad kleur<strong>en</strong><br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.12/16
Performantie seq. kleuringsalgo.<br />
Invloed <strong>van</strong> topp<strong>en</strong>ord<strong>en</strong>ing (oef.12.4.2)<br />
heuristiek: “hoogste-graad-eerst”<br />
topp<strong>en</strong> ord<strong>en</strong><strong>en</strong> volg<strong>en</strong>s dal<strong>en</strong>de graad<br />
bij gelijke graad: eerst die met grootst aantal<br />
reeds gekleurde bur<strong>en</strong><br />
Voorbeeld<strong>en</strong><br />
waar heuristiek beter presteert dan andere<br />
ord<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>?<br />
waar heuristiek slecht presteert?<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.13/16
Bov<strong>en</strong>gr<strong>en</strong>s voor χ(G)<br />
Bewijs dat (oef.12.4.8)<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆, met ∆ maximale graad <strong>van</strong> G<br />
hint: gebruik sequ<strong>en</strong>tieel kleuringsalgoritme<br />
Stelling <strong>van</strong> Brooks<br />
zij G sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>d, met maximale graad ∆<br />
χ(G) ≤ ∆ a.s.a. G noch complete graaf, noch<br />
onev<strong>en</strong> cykel<br />
(bewijs: zie later)<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.14/16
Bov<strong>en</strong>gr<strong>en</strong>s voor χ(G)<br />
Opgave (oef.12.4.9)<br />
zij G graaf met grad<strong>en</strong>reeks d1 ≥ · · · ≥ dn is<br />
bewijs dat<br />
χ(G) ≤ 1 + max{min{di,i − 1} | i = 1,...,n}<br />
hint: gebruik sequ<strong>en</strong>tieel kleuringsalgoritme<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.15/16
Interval<strong>graf<strong>en</strong></strong><br />
Definitie<br />
topp<strong>en</strong> corresponder<strong>en</strong> met intervall<strong>en</strong> op<br />
reële as<br />
twee intervall<strong>en</strong> zijn adjac<strong>en</strong>t als ze<br />
overlapp<strong>en</strong><br />
Bewijs dat (oef.12.4.10)<br />
χ(G) = ω(G) voor elke intervalgraaf G<br />
hint: gebruik sequ<strong>en</strong>tieel kleuringsalgoritme<br />
Cursus Graf<strong>en</strong>theorie <strong>en</strong> <strong>Combinatorische</strong> Optimalisatie (2008–2009) – p.16/16
Change language