Hoofdstuk 12: Planaire grafen Samensmelten van grafen

Hoofdstuk 12: Planaire grafen
Planariteitsalgoritme
definities en eigenschappen
algoritme van Demoucron, Malgrange en
Pertuiset
Samensmelten van grafen
Definitie
zij G en H disjuncte grafen
zij u ∈ V (G) en v ∈ V (H)
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.1/11
(G ∪ H)/{u = v}: graaf bekomen uit G ∪ H
door toppen u en v te laten samensmelten
Merk op
V ((G ∪ H)/{u = v}) = V (G) ∪ V (H) \ {v}
E((G ∪ H)/{u = v}) = E(G) ∪ E(H), waarbij
top v vervangen is door top u telkens waar hij
als eindpunt van een boog in H optreedt
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.2/11

Eigenschap
zij H en J grafen met vlakke voorstellingen
zij c cel van H
zij u1, . . . , un deelrij van toppen op rand van c
zij c ′ cel van J
zij w1, . . . , wn deelrij van toppen op rand van c ′
dan is (H ∪ J)/{u1 = w1, . . . , un = wn} een
planaire graaf
Bewijs
door constructie van vlakke voorstelling
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.3/11
Ongescheiden bogen
Definitie
zij H deelgraaf van samenhangende G
zij e1, e2 ∈ E(G) \ E(H)
e1 en e2 zijn ongescheiden door H als er
een wandeling in G bestaat die bogen e1 en
e2 bevat, maar waarvan de interne toppen
niet tot H behoren.
Eigenschap
relatie “ongescheiden door H”
bepaalt equivalentierelatie op E(G) \ E(H)
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.4/11

Aanhangels aan deelgraaf
Aanhangsel aan deelgraaf H van G
deelgraaf geïnduceerd door
equivalentieklasse van E(G) \ E(H) onder
“ongescheiden door H”
Koorde van H
aanhangsel van H dat slechts 1 boog bevat
m.a.w. verbindt twee toppen van H, maar
behoort niet tot H
Contactpunt van aanhangsel B van H
een top van B ∩ H
Overlappen van aanhangels
Definitie
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.5/11
zij C cykel in G, B1 en B2 aanhangsels van C
B1 en B2 overlappen wanneer ofwel
2 contactpunten van B1 alterneren met 2
contactpunten van B2 op C
B1 en B2 hebben 3 contactpunten gemeen
Eigenschap
zij C cykel in vlakke voorstelling van G
zij B1 en B2 overlappende aanhangsels van C
dan B1 en B2 niet aan dezelfde kant van C
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.6/11

Ontekenbaar aanhangsel
Definitie
zij H deelgraaf van G
zij B aanhangsel van H in vlakke voorstelling
zij R gebied
B is ontekenbaar in R wanneer rand van R
niet alle contactpunten van B bevat
Geblokkeerd aanhangsel
Definitie
zij H deelgraaf van G
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.7/11
zij B aanhangsel van H in vlakke voorstelling
B is geblokkeerd wanneer B ontekenbaar is
in elk gebied
Eigenschap
zij X vlakke voorstelling van H zodanig dat H
een geblokkeerd aanhangsel B heeft
dan onmogelijk om X uit te breiden tot een
vlakke voorstelling van G Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.8/11

Geforceerd aanhangsel
Definitie
zij H deelgraaf van G
zij B aanhangsel van H in vlakke voorstelling
van H
zij R gebied
B is geforceerd in R wanneer R het enige
gebied is waarvan de rand alle contactpunten
van het aanhangsel B bevat
Planariteitsalgoritme
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.9/11
Input: 2-samenhangende G
Output: vlakke voorstelling van G of false
1: Bepaal willekeurige cykel G0 in G
2: Teken G0 in het vlak
3: while Gj = G do
4: Bepaal Gj+1
5: Geef een vlakke voorstelling van G terug
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.10/11

Bepalen Gj+1
1: if ∃ geblokkeerd aanhangsel van Gj then
2: return false
3: if ∃ geforceerd aanhangsel van Gj then
4: Stel B ← dit aanhangsel
5: else
6: Stel B ← willekeurig aanhangsel van Gj
7: Stel R ← gebied met alle contactpunten
van B op zijn rand
8: Selecteer willekeurig pad tussen 2
contactpunten van B
9: Teken het pad in gebied R; dit levert Gj+1
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.11/11