Gretige algoritmen - caagt

Gretige algoritmen
wat zijn gretige algoritmen
toepassingen in grafentheorie
minimale-kost opspannende bomen
(Kruskal, Prim)
kortste gewogen pad (Dijkstra)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.1/16

Gretige algoritmen
Wat zijn gretige algoritmen?
in elke stap “lokaal” optimale keuze maken
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.2/16

Gretige algoritmen
Wat zijn gretige algoritmen?
in elke stap “lokaal” optimale keuze maken
Voorbeeld
wisselgeld teruggeven
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.2/16

Minimale-kost
opspannende bomen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.3/16

Wegennetwerk aanleggen
Probleemstelling
gegeven: n steden
voor elk paar steden Si en Sj: kost om
rechtstreekse weg tussen Si en Sj aan te
leggen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.4/16

Wegennetwerk aanleggen
Probleemstelling
gegeven: n steden
voor elk paar steden Si en Sj: kost om
rechtstreekse weg tussen Si en Sj aan te
leggen
definitie: A bereikbaar uit B als
ofwel A en B rechtstreeks verbonden,
ofwel bestaan er tussenliggende steden
X1,...Xk, zodat A–X1, X1–X2, . . . , Xk–B
rechtstreekse verbindingen zijn
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.4/16

Wegennetwerk aanleggen
Probleemstelling (vervolg)
gevraagd: aanleggen wegennetwerk, zo dat:
elke stad bereikbaar uit elke andere stad
zo goedkoop mogelijk
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.5/16

Wegennetwerk aanleggen
Probleemstelling (vervolg)
gevraagd: aanleggen wegennetwerk, zo dat:
elke stad bereikbaar uit elke andere stad
zo goedkoop mogelijk
Grafentheoretisch probleem
minimale-kost opspannende boom (MST)
Gekende algoritmen: Kruskal / Prim
gretige algoritmen die optimale oplossing
geven
correctheid te bewijzen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.5/16

Minimale-kost opspannende boom
Algoritme van Kruskal
telkens kleinste boog toevoegen, op
voorwaarde dat nog steeds acyclisch
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/16

Minimale-kost opspannende boom
Algoritme van Kruskal
telkens kleinste boog toevoegen, op
voorwaarde dat nog steeds acyclisch
Algoritme van Prim
voorlopige boom telkens uitbreiden met
kleinste boog die top uit boom verbindt met
top buiten boom
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/16

Algoritme van Kruskal
Input: gewogen graaf G = (V,E) met n toppen
en m bogen
Output: bogenverzameling ET van MST T
van G
1: sorteer E zo dat w(ei1 ) ≤ · · · ≤ w(eim )
2: ET ← ∅
3: k ← 0
4: while |ET | < n − 1 do
5: k ← k + 1
6: if 〈ET ∪ {eik }〉 is acyclisch then
7: ET ← ET ∪ {eik }
8: return ET
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.7/16

Algoritme van Kruskal
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Kruskal levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.8/16

Algoritme van Kruskal
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Kruskal levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Efficiënte implementatie
hoe controleren dat toevoegen van boog een
cykel zou vormen?
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.8/16

Algoritme van Kruskal
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Kruskal levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Efficiënte implementatie
hoe controleren dat toevoegen van boog een
cykel zou vormen?
Complexiteit
totale kost Θ(m log n + n 2 )
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.8/16

Algoritme van Prim
Input: gewogen graaf G = (V,E) met n toppen
en m bogen
Output: bogenverzameling ET van MST T
van G
1: zij x0 willekeurige top van G
2: VT ← {x0}; ET ← ∅
3: while |ET | < n − 1 do
4: zij e ′ = x ′ y ′ een boog zo dat w(e ′ ) =
min{w(e) | e = xy,x ∈ VT,y ∈ V \ VT }
5: VT ← VT ∪ {y ′ }
6: ET ← ET ∪ {e ′ }
7: return ET
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.9/16

Algoritme van Prim
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Prim levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/16

Algoritme van Prim
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Prim levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Complexiteit van eenvoudige implementatie
kost Θ(nm)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/16

Algoritme van Prim
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Prim levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Complexiteit van eenvoudige implementatie
kost Θ(nm)
Efficiënte implementatie
gebruikt prioriteitswachtlijn
kost reduceren tot Θ(m log n)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/16

Algoritme van Dijkstra
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.11/16

Kortste gewogen pad
Probleemstelling
gegeven: graaf G = (V,E), starttop v ∈ V
G is gewogen graaf
enkel niet-negatieve booggewichten
voor elke top w ∈ V , kortste pad van v naar w
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.12/16

Algoritme van Dijkstra
Werking
werkt via labeling strategie
toppen krijgen voorlopig label, d.i.
bovengrens voor afstand
in elke stap: top met kleinste voorlopig label
definitief gelabeld + labels buren evt.
aangepast
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.13/16

Algoritme van Dijkstra
Werking
werkt via labeling strategie
toppen krijgen voorlopig label, d.i.
bovengrens voor afstand
in elke stap: top met kleinste voorlopig label
definitief gelabeld + labels buren evt.
aangepast
Opmerkingen
gretig algoritme
geeft correct antwoord (te bewijzen)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.13/16

Pseudocode Dijkstra
Input: gewogen G met n toppen, u0 ∈ V (G)
(booggewichten zijn niet-negatief !)
Output: ∀v ∈ V (G), gewogen d(u0,v), en
voorganger p(v) op evt. kortste u0-v-pad
1: S ← {u0}; S ← V (G) − {u0}
2: l(u0) ← 0; l(v) ← ∞, ∀v ∈ V (G) − {u0}
3: for all i from 0 to n − 1 do
4: {(A) Aanpassen labels}
5: for all v ∈ S waarvoor uiv ∈ E(G) do
6: if l(v) > l(ui) + w(uiv) then
7: l(v) ← l(ui) + w(uiv)
8: p(v) ← ui
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.14/16

Pseudocode Dijkstra (2)
1: for all i from 0 to n − 1 (vervolg) do
2: {(B) Bepalen volgende top}
3: bepaal lmin ← min{l(v)|v ∈ S}
4: zij vj ∈ S een top met l(vj) = lmin
5: d(u0,vj) ← l(vj)
6: ui+1 ← vj
7: {(C) Aanpassen S en S}
8: S ← S ∪ {ui+1}; S ← S \ {ui+1}
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.15/16

Correctheid van algoritme van Dijkstra
bewijs door inductie
bewijs dat l(ui+1) = d(u0,ui+1)
l(ui+1)
= min{l(v)|v ∈ Si}
= min{l(u) + w(uv)|u ∈ Si,v ∈ Si,uv ∈ E(G)}
= min{d(u0,u) + w(uv)|u ∈ Si,v ∈ Si,uv ∈ E(G)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.16/16

Complexiteit
Complexiteit eenvoudige implementatie
kost Θ(n 2 )
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.17/16

Complexiteit
Complexiteit eenvoudige implementatie
kost Θ(n 2 )
Voor efficiënte implementatie
gebruik prioriteitswachtlijn om voorlopig
gelabelde toppen bij te houden
immers: in elke stap hieruit kleinste label te
selecteren
kost herleiden tot Θ(m log n)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.17/16