Recursie - caagt

Recursie
Ontwerp van recursieve algoritmen
Analyse van recursieve algoritmen
Wanneer recursie af te raden is
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.1/42

Faculteit berekenen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.2/42

Berekenen van faculteit
Wiskundige definitie van faculteit
n! = n × (n − 1)!
1! = 1
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.3/42

Berekenen van faculteit
Wiskundige definitie van faculteit
n! = n × (n − 1)!
1! = 1
Opstellen van recursief algoritme
om n! te berekenen: n! = n × (n − 1)!
bereken (n − 1)!, vermenigvuldig dit met n
berekening van (n − 1)! is een analoog,
eenvoudiger probleem
speciaal geval is hier: 1! = 1
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.3/42

Implementatie
Implementatie recursief algoritme
long faculteit ( int n ) { //ond. n>=1
}
if ( n==1) return 1;
else return n ∗ faculteit ( n−1);
Oproepen van methode
void doeIets ( int n ) {
}
long f = faculteit ( n ) ;
// doe iets met waarde van f
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.4/42

Ontwerp van recursieve
algoritmen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.5/42

Recursieve algoritmen
Wat is recursie?
methode kan in zijn blok een oproep naar
zichzelf bevatten, d.i. recursieve oproep
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/42

Recursieve algoritmen
Wat is recursie?
methode kan in zijn blok een oproep naar
zichzelf bevatten, d.i. recursieve oproep
Principe van recursie
probleem wordt opgesplitst in deelproblemen
deelproblemen zijn analoog, maar “kleiner”
eenvoudiger varianten van zelfde probleem
totdat triviaal geval bekomen wordt
speciaal eindgeval, afbreekpunt recursie
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.6/42

Test 1
Output van methode?
void doeIets ( ) {
}
doeIets ( 3 ) ;
void doeIets ( int n ) {
if ( n

Test 2
Output van methode?
void doeIets ( ) {
}
doeIets ( 3 ) ;
void doeIets ( int n ) {
if ( n

Programmeertechniek recursie
Ontwerp van een recursief algoritme
bedenken of/hoe probleem op te splitsen in
analoge, kleinere deelproblemen
bepalen van speciaal geval, afbreekpunt
implementeren in recursieve methode
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.9/42

Programmeertechniek recursie
Ontwerp van een recursief algoritme
bedenken of/hoe probleem op te splitsen in
analoge, kleinere deelproblemen
bepalen van speciaal geval, afbreekpunt
implementeren in recursieve methode
Opmerkingen
“systeem” zorgt voor goede afhandeling van
recursieve oproep
m.a.w. mogen veronderstellen dat recursieve
oproep gewenste resultaat geeft
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.9/42

Torens van Hanoi
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.10/42

Torens van Hanoi
Probleem
geg. toren van schijven op staaf
alle schijven hebben verschillende grootte
grootste onderaan, andere in volgorde
gevr. toren overbrengen naar andere staaf
slechts één schijf per keer verplaatsen
nooit grotere schijf op kleinere plaatsen
derde staaf als hulpstaaf gebruiken
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.11/42

Torens van Hanoi
Probleem
geg. toren van schijven op staaf
alle schijven hebben verschillende grootte
grootste onderaan, andere in volgorde
gevr. toren overbrengen naar andere staaf
slechts één schijf per keer verplaatsen
nooit grotere schijf op kleinere plaatsen
derde staaf als hulpstaaf gebruiken
Oplossing (zie animatie, Java-applet)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.11/42

Recursief algoritme
Algemeen geval (n > 1)
verplaatsen van toren van n schijven
verplaats toren van n − 1 schijven van
beginstaaf naar hulpstaaf
verplaats onderste schijf van beginstaaf
naar eindstaaf
verplaats toren van n − 1 schijven van
hulpstaaf naar eindstaaf
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.12/42

Recursief algoritme
Algemeen geval (n > 1)
verplaatsen van toren van n schijven
verplaats toren van n − 1 schijven van
beginstaaf naar hulpstaaf
verplaats onderste schijf van beginstaaf
naar eindstaaf
verplaats toren van n − 1 schijven van
hulpstaaf naar eindstaaf
Speciaal geval (n = 1)
toren bestaande uit 1 schijf
d.i. verplaatsen van 1 schijf
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.12/42

Implementatie
Recursieve methode
void hanoi ( int n , int start ,
if ( n==1)
int doel , int hulp ) {
schijf ( n , start , doel ) ;
else {
}
hanoi ( n−1,start , hulp , doel ) ;
schijf ( n , start , doel ) ;
hanoi ( n−1,hulp , doel , start ) ;
} Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.13/42

Machtsverheffing
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.14/42

Machtsverheffing
Probleem
berekenen van x n , voor x ∈ R en n ∈ N
Steunen op definitie
x n = x × · · · × x
n keer
iteratief algoritme (met for-lus)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.15/42

Machtsverheffing
Probleem
berekenen van x n , voor x ∈ R en n ∈ N
Steunen op definitie
x n = x × · · · × x
n keer
iteratief algoritme (met for-lus)
Basisidee voor recursief algoritme
x n = x × x n−1 , voor n > 0
x 0 = 1
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.15/42

Implementatie
Java-code
double macht ( double x , int n ) {
}
// onderstel n>=0
if ( n==0)
else
return 1;
return x ∗ macht ( x , n−1);
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.16/42

Ander algoritme?
Beter idee?
steunen op
x n = (x 2 ) n/2 , voor n > 0 even
x n = (x 2 ) (n−1)/2 × x, voor n > 0 oneven
x 0 = 1
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.17/42

Implementatie
Java-code tweede algoritme
double macht ( double x , int n ) {
}
// onderstel n>=0
if ( n==0)
return 1;
else if ( n%2==0)
else
return macht ( x∗x , n / 2 ) ;
return macht ( x∗x , n / 2 ) ∗ x ;
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.18/42

Staartrecursie
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.19/42

Staartrecursie
Opmerking
recursie is krachtige ontwerptechniek
maar in sommige situaties te vermijden
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.20/42

Staartrecursie
Opmerking
recursie is krachtige ontwerptechniek
maar in sommige situaties te vermijden
Staartrecursie
recursie die eigenlijk eenvoudige for-lus
vervangt
wanneer na recursieve oproep niets meer
gebeurt
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.20/42

Voorbeeld: ggd
Berekenen van grootste gemene deler
zij n ≥ m > 0 natuurlijke getallen
eigenschap: ggd(n,m) = ggd(m,nmod m)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.21/42

Voorbeeld: ggd
Berekenen van grootste gemene deler
zij n ≥ m > 0 natuurlijke getallen
eigenschap: ggd(n,m) = ggd(m,nmod m)
herhaaldelijk toepassen tot n modm = 0
leidt tot algoritme van Euclides
er geldt: ggd(n, 0) = n
Voorbeeld
ggd(144, 84) = ggd(84, 60) = ggd(60, 24) =
ggd(24, 12) = ggd(12, 0) = 12
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.21/42

Implementatie
Recursieve implementatie
int ggd ( int n , int m ) { // ond. n>=m
}
Merk op
if ( m == 0) return n ;
else return ggd ( m , n % m ) ;
na recursieve oproep gebeurt niets meer
m.a.w. staartrecursie
gemakkelijk te vervangen door iteratie (lus)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.22/42

Niet-recursieve implementatie
int ggd ( int n , int m ) { // ond. n>=m
}
while ( m != 0) {
}
int hlp = m ; m = n % m ; n = hlp ;
return n ;
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.23/42

Binaire zoekmethode
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.24/42

Binaire zoekmethode
Probleem
zoeken van getal in gesorteerde rij
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.25/42

Binaire zoekmethode
Probleem
zoeken van getal in gesorteerde rij
Basisidee
vergelijk gezochte getal met element in het
midden
met één vergelijking de helft van de rij
elimineren
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.25/42

Algoritme
1: if getal < eerste of > laatste element then
2: getal komt niet voor in rij
3: else if rij bestaat uit één element then
4: controleer of getal gelijk aan dit element
5: else
6: vergelijk getal met middelste element uit rij
7: if kleiner then
8: verderzoeken in linkerhelft
9: else if groter then
10: verderzoeken in rechterhelft
11: else
12: gevonden
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.26/42

Implementatie
boolean binarySearch ( int [ ] a ,
int van , int tot , int x ) {
if ( van==tot ) return x==a [ van ] ;
if ( xa [ tot ] ) return false ;
int midden = ( van+tot ) / 2 ;
if ( xa [ midden ] )
return binarySearch ( a , midden+1 ,tot , x ) ;
else return true ;
} Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.27/42

oolean binarySearch ( int [ ] a , int x ) {
}
return binarySearch ( a , 0 , a . length−1,x ) ;
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.28/42

Analyse van recursieve
algoritmen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.29/42

Analyse van recursieve algoritmen
Uitvoeringstijd van recursief algoritme
beschreven in recurrente betrekking
Technieken voor oplossen van recurrente
betrekkingen
substitutiemethode
iteratiemethode
master-methode
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.30/42

Berekenen van faculteit
Implementatie recursief algoritme
long faculteit ( int n ) { // ond. n>=1
}
if ( n==1) return 1;
else return n ∗ faculteit ( n−1);
Uitvoeringstijd recursief algoritme
bepaald door recurrente betrekking
T(1) = Θ(1)
T(n) = T(n − 1) + Θ(1) (voor n > 1)
in gesloten uitdrukking? Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.31/42

Iteratiemethode
Iteratiemethode
omzetten van recursie naar sommatie
begrenzen van sommaties, recursiebomen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.32/42

Iteratiemethode
Iteratiemethode
omzetten van recursie naar sommatie
begrenzen van sommaties, recursiebomen
Voorbeeld (cfr. berekenen faculteit)
recurrente betrekking
T(1) = 1
T(n) = T(n − 1) + 1 (voor n > 1)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.32/42

Iteratiemethode
Iteratiemethode
omzetten van recursie naar sommatie
begrenzen van sommaties, recursiebomen
Voorbeeld (cfr. berekenen faculteit)
recurrente betrekking
T(1) = 1
T(n) = T(n − 1) + 1 (voor n > 1)
oplossing
T(n) = n
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.32/42

Torens van Hanoi
Uitvoeringstijd
bepaald door recurrente betrekking
T(1) = Θ(1)
T(n) = 2T(n − 1) + Θ(1) (voor n > 1)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.33/42

Torens van Hanoi
Uitvoeringstijd
bepaald door recurrente betrekking
T(1) = Θ(1)
T(n) = 2T(n − 1) + Θ(1) (voor n > 1)
Oplossen
via iteratiemethode (als oefening)
via substitutiemethode
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.33/42

Substitutiemethode
Substitutiemethode
schatten van (begrenzing voor) oplossing
bewijzen door wiskundige inductie
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.34/42

Substitutiemethode
Substitutiemethode
schatten van (begrenzing voor) oplossing
bewijzen door wiskundige inductie
Voorbeeld (cfr. torens van Hanoi)
recurrente betrekking
T(1) = 1
T(n) = 2T(n − 1) + 1 (voor n > 1)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.34/42

Substitutiemethode
Substitutiemethode
schatten van (begrenzing voor) oplossing
bewijzen door wiskundige inductie
Voorbeeld (cfr. torens van Hanoi)
recurrente betrekking
T(1) = 1
T(n) = 2T(n − 1) + 1 (voor n > 1)
oplossing
T(n) = 2 n − 1
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.34/42

Master-methode
Recept voor oplossen recurrenties
T(n) = a × T(n/b) + f(n)
voor constanten a ≥ 1, b > 1
voor asymptotisch positieve functie f(n)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.35/42

Master-methode
Recept voor oplossen recurrenties
T(n) = a × T(n/b) + f(n)
voor constanten a ≥ 1, b > 1
voor asymptotisch positieve functie f(n)
Beschrijft verdeel-en-heers algoritme
probleem van grootte n wordt opgesplitst in
a deelproblemen van grootte n/b
elk deelprobleem wordt opgelost in T(n/b)
kost van opsplitsen en samenvoegen
deelresultaten beschreven door f(n)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.35/42

Machtsverheffing / Binaire zoekm.
Uitvoeringstijd
bepaald door recurrente betrekking
T(1) = Θ(1)
T(n) = T(n/2) + Θ(1) (voor n > 1)
in gesloten uitdrukking?
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.36/42

Master-stelling
Zij T(n) = aT(n/b) + f(n), met a ≥ 1 en b > 1
constanten, f(n) asymptotisch positieve functie.
Dan T(n) als volgt asymptotisch te begrenzen:
1. als f(n) = O(n log b a−ǫ ) voor zekere cte. ǫ > 0,
dan T(n) = Θ(n log b a )
2. als f(n) = Θ(n log b a ), dan
T(n) = Θ(n log b a log n)
3. als f(n) = Ω(n log b a+ǫ ) voor zekere cte. ǫ > 0,
als af(n/b) ≤ cf(n) voor zekere cte. c < 1 en
voldoende grote n, dan T(n) = Θ(f(n))
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.37/42

Voorbeeld 1
Recurrente betrekking: T(n) = T(n/2) + Θ(1)
a = 1, b = 2, log b a = 0, n log b a = 1
te vergelijken met f(n) = Θ(1)
dus f(n) = Θ(n log b a )
geval 2 van de master-stelling
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.38/42

Voorbeeld 1
Recurrente betrekking: T(n) = T(n/2) + Θ(1)
a = 1, b = 2, log b a = 0, n log b a = 1
te vergelijken met f(n) = Θ(1)
dus f(n) = Θ(n log b a )
geval 2 van de master-stelling
Oplossing
T(n) = Θ(log n)
Dus: binaire zoekmethode en machtsverheffing
zijn Θ(log n) algoritmen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.38/42

Voorbeeld 2
Recurrente betrekking: T(n) = 2T(n/2) + Θ(n)
a = 2, b = 2, log b a = 1, n log b a = n
te vergelijken met f(n) = Θ(n)
dus f(n) = Θ(n log b a )
geval 2 van de master-stelling
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.39/42

Voorbeeld 2
Recurrente betrekking: T(n) = 2T(n/2) + Θ(n)
a = 2, b = 2, log b a = 1, n log b a = n
te vergelijken met f(n) = Θ(n)
dus f(n) = Θ(n log b a )
geval 2 van de master-stelling
Oplossing
T(n) = Θ(n log n)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.39/42

Berekenen van
Fibonacci-getallen
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.40/42

Fibonacci-getallen
Definitie
F0 = 0,F1 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2, voor n > 1
Naïeve recursieve implementatie
long fibo ( int n ) { //ond. n>=0
}
if ( n

Complexiteit fibo(n)
Recurrente betrekking
T(0) = Θ(1), T(1) = Θ(1)
T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + Θ(1)
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.42/42

Complexiteit fibo(n)
Recurrente betrekking
T(0) = Θ(1), T(1) = Θ(1)
T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + Θ(1)
Oplossing
T(n) ≥ Fn
er geldt: Fn ≥ (3/2) n−2
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.42/42

Complexiteit fibo(n)
Recurrente betrekking
T(0) = Θ(1), T(1) = Θ(1)
T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + Θ(1)
Oplossing
Dus
T(n) ≥ Fn
er geldt: Fn ≥ (3/2) n−2
algoritme met exponentiële uitvoeringstijd
cfr. niet-recursief Θ(n) algoritme!
Cursus Algoritmen en Datastructuren voor Geomatica (2008–2009) – p.42/42