Minimale-kost opspannende bomen - caagt

Opspannende bomen
minimale-kost opspannende bomen
breedte-eerst doorlopen
diepte-eerst doorlopen
toepassingen
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.1/22

Minimale-kost
opspannende bomen
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.2/22

Wegennetwerk aanleggen
Probleemstelling
gegeven: n steden
voor elk paar steden Si en Sj: kost om
rechtstreekse weg tussen Si en Sj aan te
leggen
definitie: A bereikbaar uit B als
ofwel A en B rechtstreeks verbonden,
ofwel bestaan er tussenliggende steden
X1,...Xk, zodat A–X1, X1–X2, . . . , Xk–B
rechtstreekse verbindingen zijn
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.3/22

Wegennetwerk aanleggen
Probleemstelling (vervolg)
gevraagd: aanleggen wegennetwerk, zo dat:
elke stad bereikbaar uit elke andere stad
zo goedkoop mogelijk
Grafentheoretisch probleem
minimale-kost opspannende boom (MST)
Gekende algoritmen: Kruskal / Prim
gretige algoritmen die optimale oplossing
geven
correctheid te bewijzen
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.4/22

Minimale-kost opspannende boom
Algoritme van Kruskal
telkens kleinste boog toevoegen, op
voorwaarde dat nog steeds acyclisch
Algoritme van Prim
voorlopige boom telkens uitbreiden met
kleinste boog die top uit boom verbindt met
top buiten boom
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.5/22

Algoritme van Kruskal
Input: gewogen graaf G = (V,E) met n toppen
en m bogen
Output: bogenverzameling ET van MST T
van G
1: sorteer E zo dat w(ei1 ) ≤ · · · ≤ w(eim )
2: ET ← ∅
3: k ← 0
4: while |ET | < n − 1 do
5: k ← k + 1
6: if 〈ET ∪ {eik }〉 is acyclisch then
7: ET ← ET ∪ {eik }
8: return ET
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.6/22

Algoritme van Kruskal
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Kruskal levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Efficiënte implementatie
hoe controleren dat toevoegen van boog een
cykel zou vormen?
Complexiteit
totale kost Θ(m log n + n 2 )
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.7/22

Algoritme van Prim
Input: gewogen graaf G = (V,E) met n toppen
en m bogen
Output: bogenverzameling ET van MST T
van G
1: zij x0 willekeurige top van G
2: VT ← {x0}; ET ← ∅
3: while |ET | < n − 1 do
4: zij e ′ = x ′ y ′ een boog zo dat w(e ′ ) =
min{w(e) | e = xy,x ∈ VT,y ∈ V \ VT }
5: VT ← VT ∪ {y ′ }
6: ET ← ET ∪ {e ′ }
7: return ET
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.8/22

Algoritme van Prim
Stelling: correctheid van gretige strategie
algoritme van Prim levert minimale-kost
opspannende boom voor samenhangende
gewogen graaf
Complexiteit van eenvoudige implementatie
kost Θ(nm)
Efficiënte implementatie
gebruikt prioriteitswachtlijn
kost reduceren tot Θ(m log n)
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.9/22

Breedte-eerst doorlopen
van een graaf
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.10/22

Breedte-eerst doorlopen van graaf
Algemene ideeën
gegeven: graaf G = (V,E), starttop v ∈ V
alle toppen systematisch doorlopen door
steeds zo breed mogelijk verder te gaan
Implementatie
maakt gebruik van wachtlijn
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.11/22

Pseudocode BFS
Input: graaf G = (V,E)
Output: labels ℓ voor G; breedte-eerst-woud
met bogenverzameling B; rij P met voor elke
top zijn ouder in woud
1: ℓ(v) ← 0, ∀v ∈ V
2: i ← 0; B ← ∅; Q ← lege wachtlijn
3: for all v ∈ V do
4: if ℓ(v) = 0 then
5: doe verwerking van v
6: return ℓ, B, P
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.12/22

Pseudocode BFS (2)
Verwerking van v
1: i ← i + 1; ℓ(v) ← i
2: enqueue v op Q
3: while Q is niet leeg do
4: dequeue w van Q
5: for all x ∈ V : x ∼ w en ℓ(x) = 0 do
6: i ← i + 1; ℓ(x) ← i
7: B ← B ∪ {wx}; P[x] ← w
8: enqueue x op Q
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.13/22

Complexiteit van BFS
Merk op: voorstellen van grafen
adjacentiematrixvoorstelling
adjacentielijstvoorstelling
Complexiteit BFS
elke boog wordt hoogstens tweemaal
bekeken door algoritme
onderstel adjacentielijstvoorstelling
totale complexiteit is Θ(n + m)
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.14/22

Diepte-eerst doorlopen
van een graaf
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.15/22

Diepte-eerst doorlopen van graaf
Algemene ideeën
gegeven: graaf G = (V,E), starttop v ∈ V
alle toppen systematisch doorlopen door
steeds zo diep mogelijk verder te gaan
bij een doodlopende top wordt op de stappen
teruggekeerd
Merk op
cfr. backtracking
gemakkelijk recursief te implementeren
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.16/22

Pseudocode DFS
Recursieve implementatie
Input: graaf G = (V,E)
Output: labeling dfi(v) voor toppen v ∈ V met
diepte-eerst-indices
1: for all v ∈ V do
2: dfi(v) ← 0 (“onbezocht”)
3: i ← 0
4: for all v ∈ V do
5: if dfi(v) = 0 then
6: DFS(v)
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.17/22

Pseudocode DFS (2)
Recursieve hulpmethode DFS(v)
Merk op
1: i ← i + 1
2: dfi(v) ← i
3: for all w ∈ V adjacent met v do
4: if dfi(w) = 0 then
5: DFS(w)
recursieve implementatie van DFS is
gemakkelijk om te zetten naar niet-recursieve
versie
maakt gebruik van stapel
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.18/22

Pseudocode DFS (3)
Niet-recursieve implementatie
Input: graaf G = (V,E)
Output: diepte-eerst-indices dfi voor G;
diepte-eerst-woud met bogenverzameling B;
rij P met voor elke top zijn ouder in woud
1: dfi(v) ← 0, ∀v ∈ V
2: ℓ ← 0; B ← ∅; S ← lege stapel
3: for all v ∈ V do
4: if dfi(v) = 0 then
5: doe niet-recursieve DFS vanaf v
6: return dfi, B, P
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.19/22

Pseudocode DFS (4)
Niet-recursief DFS-doorlopen vanaf v
1: ℓ ← ℓ + 1; dfi(v) ← ℓ
2: push v op S
3: while S is niet leeg do
4: peek w van S
5: if ∃x ∈ V : x ∼ w en dfi(x) = 0 then
6: ℓ ← ℓ + 1; dfi(x) ← ℓ
7: B ← B ∪ {wx}; P[x] ← w
8: push x op S
9: else
10: pop w van S
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.20/22

Complexiteit van DFS
Merk op: voorstellen van grafen
adjacentiematrixvoorstelling
adjacentielijstvoorstelling
Complexiteit DFS
elke boog wordt hoogstens tweemaal
bekeken door algoritme
onderstel adjacentielijstvoorstelling
totale complexiteit is Θ(n + m)
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.21/22

Toepassingen van DFS en BFS
Zowel DFS als BFS
bepalen of graaf samenhangend is
bepalen of graaf acyclisch is
bepalen of graaf bipartiet is
Typisch BFS
kortste pad in ongewogen graaf van starttop v
naar alle andere toppen
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.22/22