Hoofdstuk 12: Planaire grafen

Hoofdstuk 12: Planaire grafen 

Planariteitsalgoritme 

definities en eigenschappen 

algoritme van Demoucron, Malgrange en 

Pertuiset 

Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.1/11

Samensmelten van grafen 

Definitie 

zij G en H disjuncte grafen 

zij u ∈ V (G) en v ∈ V (H) 

(G ∪ H)/{u = v}: graaf bekomen uit G ∪ H 

door toppen u en v te laten samensmelten 


Samensmelten van grafen 

Definitie 

zij G en H disjuncte grafen 

zij u ∈ V (G) en v ∈ V (H) 

(G ∪ H)/{u = v}: graaf bekomen uit G ∪ H 

door toppen u en v te laten samensmelten 

Merk op 

V ((G ∪ H)/{u = v}) = V (G) ∪ V (H) \ {v} 

E((G ∪ H)/{u = v}) = E(G) ∪ E(H), waarbij 

top v vervangen is door top u telkens waar hij 

als eindpunt van een boog in H optreedt 


Eigenschap 

zij H en J grafen met vlakke voorstellingen 

zij c cel van H 

zij u1, . . . , un deelrij van toppen op rand van c 

zij c ′ cel van J 

zij w1, . . . , wn deelrij van toppen op rand van c ′ 

dan is (H ∪ J)/{u1 = w1, . . . , un = wn} een 

planaire graaf 


Eigenschap 

zij H en J grafen met vlakke voorstellingen 

zij c cel van H 

zij u1, . . . , un deelrij van toppen op rand van c 

zij c ′ cel van J 

zij w1, . . . , wn deelrij van toppen op rand van c ′ 

dan is (H ∪ J)/{u1 = w1, . . . , un = wn} een 

planaire graaf 

Bewijs 

door constructie van vlakke voorstelling 


Ongescheiden bogen 

Definitie 

zij H deelgraaf van samenhangende G 

zij e1, e2 ∈ E(G) \ E(H) 

e1 en e2 zijn ongescheiden door H als er 

een wandeling in G bestaat die bogen e1 en 

e2 bevat, maar waarvan de interne toppen 

niet tot H behoren. 


Ongescheiden bogen 

Definitie 

zij H deelgraaf van samenhangende G 

zij e1, e2 ∈ E(G) \ E(H) 

e1 en e2 zijn ongescheiden door H als er 

een wandeling in G bestaat die bogen e1 en 

e2 bevat, maar waarvan de interne toppen 

niet tot H behoren. 

Eigenschap 

relatie “ongescheiden door H” 

bepaalt equivalentierelatie op E(G) \ E(H) 


Aanhangels aan deelgraaf 

Aanhangsel aan deelgraaf H van G 

deelgraaf geïnduceerd door 

equivalentieklasse van E(G) \ E(H) onder 

“ongescheiden door H” 







Koorde van H 

aanhangsel van H dat slechts 1 boog bevat 

m.a.w. verbindt twee toppen van H, maar 

behoort niet tot H 







Koorde van H 

aanhangsel van H dat slechts 1 boog bevat 

m.a.w. verbindt twee toppen van H, maar 

behoort niet tot H 

Contactpunt van aanhangsel B van H 

een top van B ∩ H 


Overlappen van aanhangels 

Definitie 

zij C cykel in G, B1 en B2 aanhangsels van C 

B1 en B2 overlappen wanneer ofwel 

2 contactpunten van B1 alterneren met 2 

contactpunten van B2 op C 

B1 en B2 hebben 3 contactpunten gemeen 


Overlappen van aanhangels 

Definitie 

zij C cykel in G, B1 en B2 aanhangsels van C 

B1 en B2 overlappen wanneer ofwel 

2 contactpunten van B1 alterneren met 2 

contactpunten van B2 op C 

B1 en B2 hebben 3 contactpunten gemeen 

Eigenschap 

zij C cykel in vlakke voorstelling van G 

zij B1 en B2 overlappende aanhangsels van C 

dan B1 en B2 niet aan dezelfde kant van C 


Ontekenbaar aanhangsel 

Definitie 

zij H deelgraaf van G 

zij B aanhangsel van H in vlakke voorstelling 

zij R gebied 

B is ontekenbaar in R wanneer rand van R 

niet alle contactpunten van B bevat 


Geblokkeerd aanhangsel 

Definitie 



B is geblokkeerd wanneer B ontekenbaar is 

in elk gebied 


Geblokkeerd aanhangsel 

Definitie 



B is geblokkeerd wanneer B ontekenbaar is 

in elk gebied 

Eigenschap 

zij X vlakke voorstelling van H zodanig dat H 

een geblokkeerd aanhangsel B heeft 

dan onmogelijk om X uit te breiden tot een 

vlakke voorstelling van G Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.8/11

Geforceerd aanhangsel 

Definitie 



van H 

zij R gebied 

B is geforceerd in R wanneer R het enige 

gebied is waarvan de rand alle contactpunten 

van het aanhangsel B bevat 


Planariteitsalgoritme 

Input: 2-samenhangende G 

Output: vlakke voorstelling van G of false 

1: Bepaal willekeurige cykel G0 in G 

2: Teken G0 in het vlak 

3: while Gj = G do 

4: Bepaal Gj+1 

5: Geef een vlakke voorstelling van G terug 


Bepalen Gj+1 

1: if ∃ geblokkeerd aanhangsel van Gj then 

2: return false 

3: if ∃ geforceerd aanhangsel van Gj then 

4: Stel B ← dit aanhangsel 

5: else 

6: Stel B ← willekeurig aanhangsel van Gj 

7: Stel R ← gebied met alle contactpunten 

van B op zijn rand 

8: Selecteer willekeurig pad tussen 2 

contactpunten van B 

9: Teken het pad in gebied R; dit levert Gj+1

Hoofdstuk 12: Planaire grafen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?