Kleuren van grafen - caagt
Kleuren van grafen - caagt
Kleuren van grafen - caagt
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Kleuren</strong> <strong>van</strong> <strong>grafen</strong><br />
definities en eigenschappen<br />
algoritmische aspecten<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.1/17
Onafhankelijke verzamelingen<br />
Onafhankelijke verzameling S in G<br />
S ⊂ V (G) waarbij geen twee toppen <strong>van</strong> S<br />
adjacent in G<br />
Maximale onafhankelijke verzameling<br />
als geen eigenlijke deelverzameling <strong>van</strong> een<br />
andere onafhankelijke verzameling in G<br />
Onafhankelijkheidsgetal β(G)<br />
maximum kardinaliteit <strong>van</strong> een onafhankelijke<br />
verzameling in G<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.2/17
Klieken<br />
Kliek S in G<br />
S ⊂ V (G) waarbij elk paar toppen <strong>van</strong> S<br />
adjacent in G<br />
soms ook: complete deelgraaf <strong>van</strong> G<br />
Maximale kliek<br />
als geen eigenlijke deelverzameling <strong>van</strong> een<br />
andere kliek in G<br />
Kliekgetal ω(G)<br />
maximum aantal toppen <strong>van</strong> een kliek in G<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.3/17
Dominerende verzamelingen<br />
Dominerende verzameling S in G<br />
S ⊂ V (G) waarbij elke top uit V (G) \ S<br />
adjacent met een top in S<br />
Minimale dominerende verzameling<br />
als geen eigenlijke deelverzameling <strong>van</strong> S<br />
ook dominerende verzameling in G<br />
Dominantiegetal σ(G)<br />
minimale kardinaliteit <strong>van</strong> een dominerende<br />
verzameling in G<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.4/17
Toppenkleuringen<br />
Toppenkleuring <strong>van</strong> G<br />
toekenning <strong>van</strong> kleur aan elke top, zodat<br />
adjacente toppen verschillende kleur hebben<br />
k-kleuring: kleuring met k kleuren<br />
Kleurklassen<br />
partitie <strong>van</strong> V (G) in onafhankelijke verzam.<br />
geproduceerd door toppenkleuring<br />
Chromatisch getal χ(G)<br />
kleinste k waarvoor een k-kleuring <strong>van</strong> G<br />
bestaat<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.5/17
Verband tussen β(G) en σ(G)<br />
Er geldt<br />
maximale onafhankelijke deelverzameling<br />
in G is steeds een dominerende verzameling<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.6/17
Verband tussen β(G) en σ(G)<br />
Er geldt<br />
Dus<br />
maximale onafhankelijke deelverzameling<br />
in G is steeds een dominerende verzameling<br />
σ(G) ≤ β(G), voor elke G<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.6/17
Algoritmische aspecten<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.7/17
Bepalen <strong>van</strong> χ(G)<br />
Voor enkele speciale <strong>grafen</strong><br />
Bipartiete <strong>grafen</strong><br />
G is bipartiet a.s.a. χ(G) = 2<br />
Complete graaf Kn<br />
χ(Kn) = n + 1<br />
Cykel Cn<br />
χ(C2n) = 2<br />
χ(C2n+1) = 3<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.8/17
Bepalen <strong>van</strong> χ(G)<br />
Enkele <strong>grafen</strong> (oef.12.4.1)<br />
bepaal een kleuring<br />
gebruikt ze χ(G) kleuren?<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.9/17
Bepalen <strong>van</strong> χ(G)<br />
Enkele <strong>grafen</strong> (oef.12.4.1)<br />
bepaal een kleuring<br />
gebruikt ze χ(G) kleuren?<br />
Eigenschap <strong>van</strong> kleuringen en klieken<br />
ω(G) ≤ χ(G)<br />
Mogelijke strategie<br />
voor zekere k<br />
vind kliek <strong>van</strong> grootte k ⇒ χ(G) ≥ k<br />
vind een k-kleuring ⇒ χ(G) ≤ k<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.9/17
Algoritmische aspecten<br />
Algoritmische problemen: bepalen <strong>van</strong><br />
onafhankelijkheidsgetal β(G)<br />
kliekgetal ω(G)<br />
dominantiegetal σ(G)<br />
chromatisch getal χ(G)<br />
NP-complete problemen<br />
geen efficiënte algoritmen<br />
wel nuttige benaderingsalgoritmen<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.10/17
Sequentieel kleuringsalgoritme<br />
Gretig algoritme<br />
Input: graaf G met V (G) = {v1,v2,...,vn}<br />
Output: kleuring <strong>van</strong> G<br />
1: for i from 1 to n do<br />
2: Li ← lijst <strong>van</strong> kleuren gebruikt bij<br />
buren <strong>van</strong> vi, gesorteerd in dalende<br />
volgorde<br />
3: c ← 1<br />
4: while kleur c voorkomt in lijst Li do<br />
5: c ← c + 1<br />
6: kleur top vi met kleur c<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.11/17
Performantie seq. kleuringsalgo.<br />
Hoe goed is bekomen kleuring?<br />
vb. waarin optimale kleuring bekomen?<br />
vb. waarin zeer slechte kleuring bekomen?<br />
Merk op<br />
soms goed, soms slecht, afhankelijk <strong>van</strong><br />
toppenordening (vb. fig.12.8)<br />
altijd optimaal, onafhankelijk <strong>van</strong><br />
toppenordening, voor complete n-partiete<br />
graaf (oef.12.4.6)<br />
idee: eerst toppen met hoge graad kleuren<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.12/17
Performantie seq. kleuringsalgo.<br />
Invloed <strong>van</strong> toppenordening (oef.12.4.2)<br />
heuristiek: “hoogste-graad-eerst”<br />
toppen ordenen volgens dalende graad<br />
bij gelijke graad: eerst die met grootst aantal<br />
reeds gekleurde buren<br />
Voorbeelden<br />
waar heuristiek beter presteert dan andere<br />
ordeningen?<br />
waar heuristiek slecht presteert?<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.13/17
Bovengrens voor χ(G)<br />
Bewijs dat (oef.12.4.8)<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆, met ∆ maximale graad <strong>van</strong> G<br />
hint: gebruik sequentieel kleuringsalgoritme<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.14/17
Bovengrens voor χ(G)<br />
Bewijs dat (oef.12.4.8)<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆, met ∆ maximale graad <strong>van</strong> G<br />
hint: gebruik sequentieel kleuringsalgoritme<br />
Stelling <strong>van</strong> Brooks<br />
zij G samenhangend, met maximale graad ∆<br />
χ(G) ≤ ∆ a.s.a. G noch complete graaf, noch<br />
oneven cykel<br />
(bewijs: zie later)<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.14/17
Bovengrens voor χ(G)<br />
Opgave (oef.12.4.9)<br />
zij G graaf met gradenreeks d1 ≥ · · · ≥ dn is<br />
bewijs dat<br />
χ(G) ≤ 1 + max{min{di,i − 1} | i = 1,...,n}<br />
hint: gebruik sequentieel kleuringsalgoritme<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.15/17
Interval<strong>grafen</strong><br />
Definitie<br />
toppen corresponderen met intervallen op<br />
reële as<br />
twee intervallen zijn adjacent als ze<br />
overlappen<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.16/17
Interval<strong>grafen</strong><br />
Definitie<br />
toppen corresponderen met intervallen op<br />
reële as<br />
twee intervallen zijn adjacent als ze<br />
overlappen<br />
Bewijs dat (oef.12.4.10)<br />
χ(G) = ω(G) voor elke intervalgraaf G<br />
hint: gebruik sequentieel kleuringsalgoritme<br />
Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2008–2009) – p.16/17
Change language