inleiding tot de numerieke wiskunde - Mathematisch Instituut Leiden ...

Hoofdstuk 2 Niet-lineaire vergelijkingen
2.1 Inleiding
Laat N(t) de grootte van een bevolking ten tijde t aanduiden en ν het aantal immigranten per jaar.
Via enkele simpele overwegingen kan men het volgende model opstellen:
N(t) = N(0) e λt + ν
λ (eλt − 1) (t ≥ 0).
Hierbij stelt λ een vaste parameter voor, die bepaald wordt door de verhouding tussen het aantal
geboorten en het aantal sterfgevallen.
Gegeven: N(0) = 1 000 000, ν = 435 000 en N(1) = 1 564 000.
Gevraagd: λ.
Blijkbaar moet λ voldoen aan F (λ) = 0, waarbij F gedefinieerd is door
F (x) = 1 000 000 e x + 435 000 ex − 1
x
λ is dus een oplossing van de vergelijking F (x) = 0.
− 1 564 000.
Hoe berekent men λ, en hoe werken onnauwkeurigheden in de gegeven N(0), ν en N(1) door in λ?
In dit hoofdstuk bekijken we methoden om vragen van bovenstaand type op te lossen.
2.2 Bisectie
Gegeven: a < b, F ∈ C[a, b], F (a)F (b) < 0.
Gevraagd: x ∗ met F (x ∗ ) = 0.
Merk op dat zo’n x ∗ bestaat; misschien zelfs meer dan één.
We beschrijven een procédé dat benaderingen x1, x2, x3, . . . levert van een x ∗ met F (x ∗ ) = 0.
Bisectie-methode
(i) a1 := a, b1 := b, k := 1;
(ii) xk := 1
2 (ak + bk);
(iii) als F (ak)F (xk) > 0, dan ak+1 := xk, bk+1 := bk;
als F (ak)F (xk) ≤ 0, dan ak+1 := ak, bk+1 := xk;
(iv) k := k + 1;
(v) ga naar (ii).
We zien:
(2.1) ak ≤ x ∗ ≤ bk, bk − ak =
Stel dat we wensen: |xk − x ∗ | < T OL.
Uit (ii) en (2.1) volgt
b − a
2 k−1
(k = 1, 2, 3, . . .)
(2.2) |xk − x ∗ | ≤ 1
2 (bk − ak) (k = 1, 2, 3, . . .).
Wanneer we in ons procédé deel (ii) vervangen door
17