inleiding tot de numerieke wiskunde - Mathematisch Instituut Leiden ...

36 4.4 Extrapolatie naar h = 0
Opgave 4.2 Geef een volledig bewijs van stelling 4.3 (aanwijzing: gebruik de tussenwaardestelling).
Opgave 4.3 Zij f(t) = log(1 + t) voor 1 ≤ t ≤ 3 en laat f een benadering zijn van f op [1, 3] met
| f (t) − f(t)| ≤ 0.001 voor 1 ≤ t ≤ 3.
3
I = f(t)dt.
1
Met I duiden we de uitgebreide trapeziumregel met N +1 steunpunten aan toegepast op de functie
f op het interval [1, 3].
Met I duiden we de uitgebreide trapeziumregel met N +1 steunpunten aan toegepast op de functie
f op het interval [1, 3].
(a) Toon aan dat | I − I | ≤ 0.002.
(b) Toon aan dat | I − I| ≤ 0.002 + 1
(c)
.
6N 2
Bepaal N zó dat | I − I| ≤ 0.01.
4.4 Extrapolatie naar h = 0
De formule van Euler-MacLaurin zal de basis vormen voor onze extrapolatietechniek. Er zal een
schema ontstaan van de vorm
h0 T (h0) = T00
h1 T (h1) = T10 T11
h2 T (h2) = T20 T21 T22
h3 T (h3) = T30 T31 T32 T33
h4 T (h4) = T40 T41 T42 T43 T44
.
.
Hierbij heeft T (h) dezelfde betekenis als aan het einde van paragraaf 4.3, en is
.
.
hi = θ i h0 met 0 < θ < 1 en 0 < h0.
Het is de bedoeling dat in dit schema naar rechts en naar beneden de benaderingen van I beter
worden.
Berekening van T11
We willen T11 uit T00 en T10 berekenen volgens de formule T11 = AT00 + BT10. Daar
A T00 + B T10 = A(I + γ (1) h0 2 + γ (2) h0 4 + · · ·) + B(I + γ (1) h1 2 + γ (2) h1 4 + · · ·)
= (A + B)I + (Ah0 2 + Bh1 2 )γ (1)
eisen we A + B = 1 en A(h0) 2 + B(h1) 2 = 0.
Dit leidt tot
+ (4 e en hogere machten van h0 en h1),
A =
.
.
.
.
−(h1/h0) 2
1 − (h1/h0) 2 en B =
.
.
.
.
1
.
1 − (h1/h0) 2
We verwachten dat T11 = A T00 + B T10 (met deze A en B) een verbeterde benadering zal zijn.