inleiding tot de numerieke wiskunde - Mathematisch Instituut Leiden ...

Uit (3.3) volgt bijvoorbeeld
3.4 De restterm bij interpolatie met polynomen 27
P1(t) = f[t1] ,
P12(t) = f[t1] + f[t1, t2] · (t − t1) ,
P123(t) = f[t1] + f[t1, t2] · (t − t1) + f[t1, t2, t3] · (t − t1)(t − t2) .
Met de gegevens uit voorbeeld 3.4 vinden we zo
P1234(t) = 24 − 1.4 (t − 25) + 0.06 (t − 25)(t − 30) − 0.00133/ (t − 25)(t − 30)(t − 35).
Horner heeft een efficiënte methode bedacht, waarmee de waarde van een polynoom P (t) = ξ1 +
ξ2(t − t1) + · · · + ξn(t − t1) · . . . · (t − tn−1) voor een gegeven t = t berekend kan worden. Schrijf
P (t) = ξ1 + (t − t1) ξ2 + (t − t2){ξ3 + · · · + (t − tn−1)[ξn] · · ·}
en start de berekening ‘van binnen uit’.
We kunnen dit idee als volgt formuleren:
pn = ξn,
pi = ξi + (t − ti)pi+1 (i = n − 1, n − 2, . . . , 1)
P (t) = p1
De waarde van het bovenstaande polynoom P1234(t) voor t = t berekenen we op de volgende wijze:
We krijgen zo bijvoorbeeld:
p4 = −0.00133 · · · ,
p3 = 0.06 + (t − 35) p4,
p2 = −1.4 + (t − 30) p3,
p1 = 24 + (t − 25) p2, P1234(t) = p1.
t P1234(t) Te gebruiken
31 15.992 16
32 15.096 15
33 14.304 14
34 13.608 14
Opgave 3.2 Zij f(t) een polynoom van orde 4. Neem aan dat t1 < t2 < t3 < t4 < t5. Zij verder
ηi = f(ti) voor i = 1, 2, . . . , 5.
Toon aan dat f[t1, t2, t3, t4, t5] = 0.
3.4 De restterm bij interpolatie met polynomen
Zij f gedefinieerd op [α, β]. Laten ti (i = 1, 2, . . . , n) onderling verschillende punten uit [α, β] zijn
met bijbehorende functiewaarden ηi = f(ti). Duid met P het interpolerende polynoom P12···n aan.
Zij t ∈ [α, β]. Definieer r(t) door f(t) = P (t) + r(t). Kunnen we iets over de grootte van r(t)
zeggen?
Stelling 3.2 Neem aan dat de n-de afgeleide f (n) (t) op [α, β] bestaat. Dan is er bij elke t ∈ [α, β]
een τ ∈ [α, β] zó dat
r(t) = (t − t1)(t − t2) · . . . · (t − tn)
f
n!
(n) (τ).