inleiding tot de numerieke wiskunde - Mathematisch Instituut Leiden ...

42 5.2 Beginwaardeproblemen voor stelsels differentiaalvergelijkingen
met
(5.2b)
⎧
U1(α) = u0,1
⎪⎨ U2(α) = u0,2
.
.
⎪⎩
Un(α) = u0,n
In (5.2a) zijn f1, f2, . . . , fn gegeven en U1, U2, . . . , Un onbekend. Een voorbeeld van (5.2a) zien we
in (5.1a) met
⎧
fl(t, ξ1, ξ2, . . . , ξn) = pl + ql + rl
⎪⎨
en
pl = Dδ −2 {ξl−1 − 2ξl + ξl+1}, ξ0 = c(t), ξn+1 = 0,
ql = − 1
2 vδ−1 {ξl+1 − ξl−1},
⎪⎩
rl = −K ξl.
In (5.2b) zijn α en u0,1, u0,2, . . . , u0,n gegeven. Relatie (5.1b) is een voorbeeld van (5.2b) met α = 0
en alle u0,l = 0.
Bij het algemene beginwaardeprobleem (5.2) wordt gevraagd voor t > α de waarden te bepalen van
de functies U1(t), U2(t), . . . , Un(t) die aan de relaties (5.2a) en (5.2b) voldoen. In het algemeen kan
dit niet ‘exact’ en zijn numerieke methoden vereist.
Voor een beknopte schrijfwijze voeren we de volgende notaties in.
⎛ ⎞
ξ1
⎜ ξ2 ⎟
⎜ ⎟
x = ⎜ . ⎟
⎝ . ⎠
ξn
∈ Rn ⎛ ⎞
U1(t)
⎜
U2(t) ⎟
, U(t) = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
Un(t)
, U ′ ⎛
U
⎜
(t) = ⎜
⎝
′ 1(t)
U ′ 2(t)
.
U ′ ⎞
⎟
⎠
n(t)
,
⎛ ⎞
f1(t, x)
⎜
f2(t, x) ⎟
f(t, x) = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
fn(t, x)
=
⎛
⎞
f1(t, ξ1, ξ2, . . . , ξn)
⎜
f2(t, ξ1, ξ2, . . . , ξn) ⎟
⎜
⎟
⎝ . ⎠
fn(t, ξ1, ξ2, . . . , ξn)
(voor t ∈ R, x ∈ Rn ⎛ ⎞
u0,1
⎜ u0,2 ⎟
⎜ ⎟
) en u0 = ⎜
⎝
. ⎟
. ⎠ .
Nu is (5.2) beknopt te schrijven als
(5.3a)
(5.3b)
U ′ (t) = f(t, U(t)),
U(α) = u0.
Voorbeeld (5.1) kunnen we schrijven in de vorm (5.3) met
Hierbij is
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
δ1 β2 O
γ2
. ..
. ..
O γn δn
f(t, x) = Ax + g(t) (voor t ∈ R, x ∈ R n ).
⎞
. ..
⎟
. ..
⎟
βn
⎠ en g(t) = (Dδ−2 + 1
2 vδ−1 )c(t) ·
γi = Dδ −2 + 1
2 vδ−1 , δi = −2Dδ −2 − K, βi = Dδ −2 − 1
2 vδ−1 .
Ga na dat dit zo is!
u0,n
⎛ ⎞
1
⎜ 0.
⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
0
met