inleiding tot de numerieke wiskunde - Mathematisch Instituut Leiden ...

3.3 De interpolatieformule van Newton 25
We kunnen al deze polynomen overzichtelijk plaatsen in het volgende schema
t1 η1 = P1(t)
t2 η2 = P2(t) P12(t)
t3 η3 = P3(t) P23(t) P123(t)
t4 η4 = P4(t) P34(t) P234(t) P1234(t)
.
.
.
Bij de methode van Neville berekent men achtereenvolgens kolommen in dit schema voor een vaste
(in getalvorm gegeven) waarde t = t.
Voorbeeld 3.3 Uitgaande van een gedeelte van de gegevens uit voorbeeld 3.1 vinden we de volgende
tabel:
i ti vi
ηi = Pi(31)
1 20 11 33
2 25 6 24 13.2
3 30 1 17 15.6
4 35 −4 13 16.2 15.96
5 40 −9 11 14.6 16.04 15.992
6 45 −14 10 12.8
Deze getallen zijn verkregen met t = 31, vi = t − ti en
Bijvoorbeeld:
.
.
Pi−1,i(31) Pi−2,i−1,i(31) Pi−3,i−2,i−1,i(31)
Pj,...,l(t) = vjPj+1,...,l(t) − vlPj,...,l−1(t)
P34(t) =
P234(t) =
P2345(t) =
vj − vl
1 × 13 − (−4) × 17
1 − (−4)
6 × 16.2 − (−4) × 15.6
6 − (−4)
6 × 16.04 − (−9) × 15.96
6 − (−9)
= 16.2,
.
= 15.96,
. ..
= 15.992.
Indien men achtereenvolgens polynomen P1(t), P12(t), P123(t), . . . wil bepalen (en níet alleen de
waarden P1(t), P12(t), P123(t), . . . voor één gegeven t), dan is de methode van Neville en ook de
methode van Lagrange niet handig. De methode uit paragraaf 3.3 wèl.
3.3 De interpolatieformule van Newton
We willen P1,2,...,k uit P1,2,...,k−1 opbouwen zonder alles over te doen (zoals bij de methode van
Lagrange).
Merk op dat (3.1) kan worden herschreven als