86-5 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

als groter, kleiner, afpassen, meten, zich
verhouden enz. moeten door de leerlingen
door analyse van eigen onderzoekingen
begrepen worden.
Daartegenover voert dr. Dijksterhuis aan
dat de intuïtie de leerlingen wel op een
dwaalspoor kan voeren, en als sprekend
voorbeeld noemt hij daarvoor het feit de
meeste leerlingen menen dat de hoeken van
een driehoek evenredig zijn met de zijden,
terwijl het volgens hem niet te controleren
is of een vondst van een leerling werkelijk
door intuïtie is ontstaan of door het horen
van andere leerlingen over de onderzochte
zaak.
Daarom stelt dr. Dijksterhuis als eis, dat we
het ontstaan van alle spontane vermoedens,
inzichten en overtuigingen bij de leerlingen
van harte toejuichen, maar daartegenover
niets definitiefs aanvaarden zonder streng
logisch bewijs.
Wat mij betreft, dit laatste gaat mij weer
wat te ver; ik gun de leerlingen best dat ze
eens iets zonder bewijs mogen aanvaarden,
maar in hoofdzaak denk ik er toch ook zo
over.
Behalve een streng logisch bewijs moeten
we bij onze leerlingen mijns inziens ook en
vooral eisen een nauwkeurige formulering
van definities en omschrijving van constructies,
met daarnaast weer de eis dat ze de
gebruikte woorden goed zullen begrijpen.
Ik wil deze drie punten even apart
beschouwen. Het nauwkeurig formuleren
van definities enz. is natuurlijk niet iets
dat we van de leerlingen zelf kunnen eisen,
maar het is wel nodig dat we ze die goed
voorzetten en woord voor woord uiteenzetten.
Als ze er aan wennen de dingen
die ze zeggen precies te zeggen, dan zullen
ze ook minder moeite hebben met de
tweede eis die we hun wel kunnen stellen
namelijk het nauwkeurig omschrijven van
constructies. We hebben daar in ons boekje
[te weten: Krooshof en Prakken, Vlakke
meetkunde voor het ulo, 1936; MCvH]
ook grote aandacht aan besteed. Ik eis bij
alle constructies die de leerlingen moeten
uitvoeren dat ze in korte duidelijke zinnen
erbij zullen schrijven hoe ze het gedaan
hebben. Dat kan gemakkelijk als we op
de volgende dingen letten. 1e. De zinnen
kunnen het best in de korte vorm van de
gebiedende wijs gezet worden: doe dit en
doe dat. 2e. De leerlingen moeten zoveel
mogelijk steeds van dezelfde woorden
gebruik maken, namelijk de woorden:
afpassen, omcirkelen enz. 3e. Er moet
steeds een duidelijk onderscheid gemaakt
worden tussen de begrippen rechte, halve
rechte en lijnstuk.
Ik geef een voorbeeld: Construeer een
trapezium als gegeven zijn de basis, de
hoeken aan de basis en een been (a, P, Q,
b). Constructie: 1e. Pas op een willekeurige
rechte het lijnstuk AB = a af. 2e. Construeer
hoek BAC = Q en hoek ABD = P. 3e. Pas
op BD het lijnstuk BE = b af. 4e. Trek uit E
de halve rechte EF met dezelfde richting als
BA. 5e. Zet G bij het snijpunt daarvan met
AC. Dan is ABEG het gevraagde trapezium.
Hiervoor zei ik al dat we ook de eis moeten
stellen dat de leerlingen de gebruikte
woorden goed zullen begrijpen. Want het
lijkt soms wel dat ze prachtig allerlei dingen
weten te zeggen maar dat ze eigenlijk
niet eens de betekenis van hun woorden
begrijpen. Het mooiste blijkt dat in de
eerste klas meestal als we vragen wat de
oppervlakte van een rechthoek is. Het
antwoord is dan altijd: lengte maal breedte.
Als ik daar niet tevreden mee ben en
bijvoorbeeld vraag de oppervlakte van een
rechthoekig bord aan te wijzen dan blijken
verschillende leerlingen dat niet te kunnen.
Daarna vraag ik meestal waarom we nu
die oppervlakte berekenen door lengte en
breedte met elkaar te vermenigvuldigen en
of het niet veel aardiger zou zijn daar eens
wat anders voor te bedenken. Het antwoord
is altijd dat we dan de oppervlakte niet
krijgen, maar waarom dan niet weten ze niet.
Tenslotte moet ik er dan wel toe overgaan de
oppervlakteberekening uit te leggen.
Dit is nu één voorbeeld, maar de meeste
woorden die we gebruiken worden niet
begrepen voor we ze helemaal uitgelegd
hebben.
Daarom moeten we de lesuren van het
eerste leerjaar behalve aan de constructies
en het passen en meten, wijden aan het
bespreken en uitleggen van allerlei woorden
en begrippen. En dat zijn dan juist ook
dikwijls de prettigste lesuren. We zetten
ons er op ons gemak bij en praten alsof we
de tijd hebben, op allerlei opmerkingen
van de leerlingen gaan we uitvoerig in en
de gekke antwoorden worden een beetje
extra belicht, en er wordt zo eens hartelijk
gelachen. Is zo’n les voorbij dan hebben
de leerlingen hun taalschat uitgebreid, ze
begrijpen ons beter in de volgende lessen en
ze hebben echt plezier gehad. Dan willen ze
ook een volgende les waarin we wat strenger
de hand moeten houden aan de nauw-
keurigheid en wat meer van ze moeten eisen
met plezier aanvaarden.
De lessen waarin de leraar eens met de
klas praat en filosofeert scheppen het zo
gewenste contact en dikwijls een verhouding
die op vriendschap gaat lijken.
Nu leert de experimentele psychologie, en
ook onze ervaringen wijzen in die richting,
dat het leren van iets meest niet een continu
verlopend proces is, maar dat het dikwijls
sprongsgewijs gaat. Voor heel veel levens-
gebieden die geleerd moeten worden bestaat
een zogenaamde gevoelige periode. In deze
periode vindt dan de sprong plaats. Opeens
voel je dat je de zaak begrijpt en beheerst.
Het is dan niet meer een onbekende leerstof
maar een vertrouwd gebied van kennis
waarop het alleen nog maar nodig is die
kennis uit te breiden en te verdiepen maar
waarop de fundamentele moeilijkheden zijn
overwonnen.
We moeten daarom ook niet verwonderd
zijn als een leerling zegt onze uitleg te
begrijpen en er blijk van geeft de
quintessence ervan niet gevat te hebben. We
moeten ons daardoor niet laten ontmoedigen
en dapper doorgaan met doceren.
Soms komt dan opeens het moment dat
de leerling het “doorkrijgt” en dan is de
overwinning behaald.
Maar nu is het toch ook wel gebleken dat
het abstraheren dat bij de wiskunde zo
belangrijk is pas geleerd kan worden op
oudere leeftijd dan de leerlingen in onze
eerste klassen hebben. Daarom moet toch
het logische element bij het aanvankelijk
wiskundeonderwijs niet de boventoon
voeren maar in de plaats daarvan het
technische, het constructieve. Want het is
een feit dat de leerlingen aan het construeren
en passen en meten veel plezier
beleven. Ze mogen graag passer en gradenboog
hanteren en zien graag mooie en
duidelijke resultaten.
Daarom hebben Prakken en ik in ons
boekje [bovengenoemd; MCvH] het
gebruik van passer en liniaal en gradenboog
zo op de voorgrond geschoven, en
veel constructieopgaven gegeven. Daarom
behandel ik in mijn lessen ook de congruentiegevallen
zoals ik dat in het prospectus
bij ons boekje uiteen gezet heb. En het
blijkt dat de leerlingen daar plezier in
hebben en, dat is het voornaamste, een juist
begrip van congruentie krijgen. Daarom
ook hebben we het indirecte bewijs en