Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 6: Steekproeven en ... - biomath

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 6:
Steekproeven en empirische distributies
6.1. Uit een normaal verdeeld universum X met gemiddelde waarde µ = 2 en standaardafwijking
σ = 1 worden 10 onafhankelijke steekproefwaarden genomen. Zij k het aantal negatieve
steekproefwaarden daartussen. Bepaal :
(a) de distributie van k (antw. k d = B(10, 0.023))
(b) de gemiddelde waarde en de variantie van k (antw. 0.23 en 0.225)
(c) de kans dat k verschillend is van 0. (antw. 0.208)
Oplossing: De waarschijnlijkheid dat een steekproefwaarde negatief is wordt gegeven door
p = P(X < 0) = P(U < −2) = Φ(−2) = 0.023.
(a) Het is duidelijk dat k d = B(10, p) = B(10, 0.023).
(b) E[k] = np = 0.23 en Var[k] = np(1 − p) = 0.225.
(c) De kans dat k verschillend is van 0 wordt gegeven door
P(k = 0) = 1 − P(k = 0) = 1 −
= 1 − (0.977) 10 = 0.208.
10
p
0
0 (1 − p) 10
6.2. Bepaal het gemiddelde, de mediaan en de variantie van volgende rij getallen:
(i) 38, 47, 44, 32, 51, 28
(ii) 9, 10, 11, 10, 10, 9, 10, 9, 10, 11
Oplossing:
(i) 28, 32, 38, 44, 47, 51
Mediaan: n = 6: even dus M := Y n/2+Y n/2+1
2
Gemiddelde: 1
6 (28 + 32 + 38 + 44 + 47 + 51)
= 38+44
2
= 41
Variantie: 1
5 ((−12)2 + (−8) 2 + (−2) 2 + 4 2 + 7 2 + 11 2 = 79, 6
(ii) 9, 10, 11, 10, 10, 9, 10, 9, 10, 11
1

xi ni
9 3
10 5
11 2
10
Mediaan: n = 10: even dus M := Y n/2+Y n/2+1
2
Gemiddelde: 1
10 (3 × 9 + 5 × 10 + 2 × 11) = 9, 9
= 10
Variantie: 1
9 (3(−0, 9)2 + 5(0, 1) 2 + 2(1, 1) 2 = 0, 544
6.3. Van 1000 getallen zijn er 200 gelijk aan 4, 400 gelijk aan 5, 300 gelijk aan 6. De overige
zijn gelijk aan 7. Bepaal de mediaan, het gemiddelde en de standaardafwijking.
Oplossing:
xi
ni
4 200
5 400
6 300
7 100
1000
Mediaan: n = 1000: even dus M := Y 1000/2+Y 1000/2+1
2
= 5
1
Gemiddelde: 1000 (200 × 4 + 400 × 5 + 300 × 6 + 100 × 7) = 5, 3
Variantie:
1
999 (200(−1, 3)2 + 400(0, 3) 2 + 300(0, 7) 2 + 100(1, 7) 2 = 0, 81081
Standaardafwijking= √ 0, 81081 = 0, 9005
6.4. Bij ratten observeerde men 100 verschillende worpen van telkens 5 jongen en men telde
het aantal mannetjes per worp:
4 1 3 3 2 2 2 1 2 3 4 3 0 4 2
5 3 1 3 4 2 2 0 3 2 1 3 2 2 4
3 4 3 2 3 2 2 3 4 5 3 3 3 2 3
2 2 1 1 4 3 4 3 2 2 4 3 3 4 1
2 3 2 3 2 4 3 1 3 3 4 2 3 1 2
2 5 4 3 2 4 3 3 4 2 1 3 2 1 2
3 0 1 1 3 5 2 2 4 3
Maak een frequentietabel en een puntdiagram.
2

Oplossing:
xi ni ni/n (n1 + . . . + ni)/n
0 3 0,03 0,03
1 13 0,13 0,16
2 30 0,3 0,46
3 33 0,33 0,79
4 17 0,17 0,96
5 4 0,04 1
100 1
6.5. Hieronder worden de gewichten van 120 vrouwen uit de leeftijdscategorie 18-25 jaar (in
kg; afgerond tot op de eenheid) gegeven.
Gevraagd:
54 45 61 68 45 63 61 59 55 44 57 50
61 44 61 58 44 50 57 59 44 61 48 52
53 43 57 52 59 61 53 59 59 61 53 47
59 61 59 49 61 61 66 48 62 66 66 61
62 46 44 70 54 46 61 70 58 51 49 64
46 56 49 66 55 57 61 59 61 57 45 64
58 48 50 64 58 45 63 48 73 76 54 48
66 64 62 46 61 70 51 47 48 54 50 61
54 44 55 57 51 45 52 55 55 44 54 58
53 56 54 75 54 43 57 50 61 57 54 54
(i) Frequentietabel met klassenindeling
(ii) Histogram en frequentieveelhoek
(iii) Steekproefbereik en Mediaan
(iv) Gemiddelde en variantie
Oplossing:
(i) Methode om een frequentietabel voor continue data op te stellen
1. Zoek de kleinste en de grootste waarde in de tabel.
3

2. Houd er rekening mee dat getabuleerde waarden onstaan door afronding!
Bepaal de feitelijke kleinste en grootste waarde.
3. Bereken het verschil tussen de feitelijke extremale waarden.
4. Deel dit verschil door 10 en door 20 en kies dan een klassebreedte die ligt tussen
deze twee uitkomsten.
Kleinste waarde: 43 ⇒ Feitelijke kleinste waarde: 42,5
Grootste waarde: 76 ⇒ Feitelijke grootste waarde: 76,5
Verschil tussen extremale waarden: 76,5-42,5=34
De klassebreedte moet dus liggen tussen
Kies bijvoorbeeld 3 als klassebreedte
(ii) histogram en frequentieveelhoek
34/20 = 1, 7 en 34/10 = 3, 4
Klassen Midden Turven abs.freq.
[42, 5; 45; 5[ 44 ||||| ||||| |||| 14
[45, 5; 48, 5[ 47 ||||| ||||| || 12
[48, 5; 51, 5[ 50 ||||| ||||| | 11
[51, 5; 54, 5[ 53 ||||| ||||| ||||| || 17
[54, 5; 57, 5[ 56 ||||| ||||| ||||| 15
[57, 5; 60, 5[ 59 ||||| ||||| ||| 13
[60, 5; 63, 5[ 62 ||||| ||||| ||||| ||||| 22
[63, 5; 66, 5[ 65 ||||| |||| 9
[66, 5; 69, 5[ 68 | 1
[69, 5; 72, 5[ 71 ||| 3
[72, 5; 75, 5[ 74 || 2
[75, 5; 78, 5[ 77 | 1
120
(iii) Steekproefbereik: R := Yn − Y1 = 76 − 43 = 33
4

Mediaan:
n = 120: even dus M := Y 120/2+Y 120/2+1
2
(iv) Gemiddelde: 55,8
Variantie:
= 56+56
2
= 56
1
119 (14(11, 8)2 + 12(8, 8) 2 + 11(5, 8) 2 + 17(2, 8) 2 + 15(0, 2) 2
+12(3, 2) 2 + 23(6, 2) 2 + 9(9, 2) 2 + (12, 2) 2
+3(15, 2) 2 + 2(18, 2) 2 + (21, 2) 2 = 59, 707 (59, 47)
6.6. Ziehier de stystolische bloeddrukken van 100 vrouwen uit de leefstijdscategorie 20-30 jaar.
Groep A betreft 50 vrouwen die de anticonceptiepil niet gebruiken en in groep B zijn 50
vrouwen die de pil wel gebruiken. Vergelijk via box-plot deze twee groepen.
Groep A (Niet-gebruikers):
Groep B (Gebruikers):
102 116 106 106 114 105 112 116 98 100
112 120 92 112 121 125 125 134 126 116
118 122 124 119 130 114 96 136 102 126
100 120 104 118 131 146 124 110 108 136
118 122 128 132 115 140 112 132 108 120
112 122 112 106 118 114 108 102 121 110
120 122 126 90 124 120 131 114 125 115
116 126 96 118 130 134 98 131 115 125
128 108 134 128 124 136 138 118 105 141
109 132 116 142 136 120 102 130 132 152
Oplossing: Een boxplot is een eenvoudige grafische samenvatting van enkele belangrijke
kengetallen van een dataset.
In haar eenvoudigste vorm wordt een boxplot getekent met behulp van volgende 5 getallen.
1. De twee extremen
2. De mediaan:
M :=
Yn en Y1
Yn/2+Yn/2+1 2
Y n+1
2
3. Het eerste en het derde kwartielgetal:
Opmerking over de kwartielen:
als n even
als n oneven
– De zogenaamde kwartielen vormen een verdere uitbreiding van het begrip mediaan.
– Van de mediaan kan gezegd worden dat ze een geordende rij gegevens in twee
gelijke delen verdeelt.
5

– Als we de geordende rij in vier gelijke delen willen verdelen, dan vinden we drie
kwartielen.
– Elke observatie uit een geordende rij heeft een rangnummer: de positie die het
in de geordende rij inneemt.
– We definiëren nu ook niet-gehele rangnummers door te zeggen dat
Yi + p (Yi+1 − Yi)
rangnummer i + p heeft (0 < p < 1).
– Met behulp van het voorgaande definiëren we :
∗ het eerste kwartielgetal K1 is het getal met rangnummer n+1
4
∗ het tweede kwartielgetal K2 (of mediaan) is het getal met rangnummer n+1
2
∗ het derde kwartielgetal k3 is het getal met rangnummer 3 n+1
4
Schematisch tekenen we de boxplot als volgt:
1. Tegenover een schaal wordt een rechthoekige doos getekent van het eerste tot het
derde kwartiel.
2. De lijn in de doos wijst de mediaan aan.
3. De twee kruisjes duiden het grootste en het kleinste getal aan.
4. De twee kruisjes worden door lijnen met de doos verbonden.
Om de kwartielgetallen te kunnen bepalen moeten we de data eerst ordenen!
Groep A (Niet-gebruikers):
92 96 98
100 100 102 102 104 105 106 106 108 108
110 112 112 112 112 114 114 115 116 116 116 118 118 118 119
120 120 120 121 122 122 124 124 125 126 126 128
130 131 132 132 134 136 136
140 146
Groep B (Gebruikers):
90 96 98
102 102 105 106 108 108 109
110 112 112 114 114 115 115 116 116 118 118 118
120 120 120 121 122 122 124 124 125 125 126 126 128 128
130 130 131 131 132 132 134 134 136 136 138
141 142
152
6

Groep A Groep B
M 118 120+121 = 120, 5
K1 108
2
112
K3 125+0,25(126-125)=125,25 130+0,25(131-130)=130,25
Y50 146 152
Y1 92 90
6.7. Het Effect van een vegetarisch dieet op het serum-cholesterolgehalte.
Een steekproef van 24 hospitaalbedienden die een standaard dieet volgden verklaarden
zich akkoord om gedurende 1 maand over te schakelen op een vegetarisch dieet.
Hun serum-cholesterolgehalte werd gemeten aan het begin van het vegetarisch dieet en 1
maand later.
(i) Bereken de gemiddelde verandering in cholesterolgehalte.
(ii) Bereken de standaardafwijking van de verandering in cholesterolgehalte.
(iii) Bereken de mediaan van de verandering in cholesterol.
(iv) Construeer een box-plot voor de colesterol veranderingen.
(v) Geef commentaar over de symmetrie van de verdeling van de cholesterol veranderingen.
(vi) Sommige onderzoekers hebben het gevoel dat het effect van een dieet op cholesterolgehalte
meer uitgesproken is bij personen met een hoog cholesterolgehalte. Splits de
data op naargelang het basis cholesterolgehalte boven of onder de mediaan ligt en
geef commentaar op de bewering.
7

Oplossing:
(i) Gemiddelde :19,542
(ii) Standaardafwijking:
Variantie:
Persoon Voor Na Voor-na
1 195 146 49
2 145 155 -10
3 205 178 27
4 159 146 13
5 244 208 36
6 166 147 19
7 250 202 48
8 236 215 21
9 192 184 8
10 224 208 16
11 238 206 32
12 197 169 28
13 169 182 -13
14 158 127 31
15 151 149 2
16 197 178 19
17 180 161 19
18 222 187 35
19 168 176 -8
20 168 145 23
21 167 154 13
22 161 153 8
23 178 137 41
24 137 125 12
i
x 2 i = 15661
n x 2 = 9165, 042
1
1
(15661 − 9165, 042) = (6496) = 282, 4
n − 1 23
Dus is de standaardafwijking:
16, 8057
(iii) Geordende observaties:
Mediaan: 19
−13 − 10 − 8
2 8 8
12 13 13 16 19 19 19
21 23 27 28
31 32 35 36
8
41 48 49

(iv) Box-plot:
K1 = 8 + 0, 25 × 4 = 9
K2 = 31, 75
Y24 = 49
Y1 = −13
(v) Geef commentaar over de symmetrie van de verdeling van de cholesterol veranderingen.
Rechts is er een iets grotere spreiding in de box.
Links is de spreiding kleiner.
(vi) Sommige onderzoekers hebben het gevoel dat het effect van een dieet op cholesterolgehalte
meer uitgesproken is bij personen met een hoog cholesterolgehalte. Splits de
data op naargelang het basis cholesterolgehalte boven of onder de mediaan ligt en
geef commentaar op de bewering.
Mediaan van het basischolesterolgehalte: 179
Dus we splitsen de data op in twee groepen:
– Groep 1: alle personen met cholesterolgehalte ¡ 179
– Groep 2: alle personen met cholesterolgehalte ¿ 179
Voor elk van de twee groepen berekenen we de kengetallen om een boxplot te kunnen
tekenen:
Let op bereken de kengetallen op basis van de verandering in cholesterolgehalte!
M
K1
K3
Y12
Y1
Groep 1 Groep 2
We zien dan dat het gevoel van de onderzoekers juist is.
9