Geselecteerde onderwerpen over het N + k-Queens probleem - Liacs

More documents

Recommendations

Info

Figuur 1: Een oplossing van het 8 + 1-Queens probleem. 2 Pruning in de zoekruimte In dit hoofdstuk houden wij ons bezig met het tellen van het aantal oplossingen voor het N + k-Queens probleem. Het is onwaarschijnlijk dat er een gesloten uitdrukking bestaat voor het aantal oplossingen voor het N + k- Queens probleem. Er zijn vele algoritmen voorgesteld voor het tellen van oplossingen. Om alle oplossingen te vinden (en daarmee het aantal oplossingen) wordt exhaustive search toegepast. Daarbij worden alle mogelijke oplossingen (op een systematische wijze) gegenereerd. Meestal wordt een recursief backtracking algoritme toegepast. Het genereren van alle oplossingen kan nogal tijdrovend zijn. Het is daarom handig als wij tijdens het genereren van een mogelijke oplossing in een vroeg stadium al een situatie kunnen herkennen die niet meer tot een oplossing kan leiden. Dit proces noemen wij pruning. In Stelling 1 en Corollarium 1 worden bruikbare criteria voor pruning geïntroduceerd. Stelling 1. Indien N + k dames en k pionnen op een N × N schaakbord zijn 2
geplaatst zodanig dat geen twee dames elkaar bedreigen, dan geldt dat elke pion, wat betreft rij en kolom, tussen twee dames staat zodanig dat het eerste stuk, kijkende vanuit de pion, een dame is. Er staan dan dus ook nooit twee pionnen direct naast elkaar. Bewijs. Stel we hebben een rij (of kolom) met p pionnen waarin twee van de pionnen direct naast elkaar staan. Er kan geen dame tussen de direct aangrenzende pionnen staan. De rij is verdeeld in ten hoogste p segmenten, waarin p dames kunnen worden geplaatst. Nu zijn er k − p pionnen over die in de andere rijen worden geplaatst. Er zijn nog N − 1 rijen over om dames in te plaatsen. In totaal kunnen er nu dus maximaal p + (k − p) + (N − 1) = N + k − 1 dames worden geplaatst. Dit is in tegenspraak met het gegeven dat het schaakbord N + k dames heeft. Corollarium 1. Indien N +k dames en k pionnen op een N ×N schaakbord zijn geplaatst zodanig dat geen twee dames elkaar bedreigen, dan bevindt geen pion zich op de eerste dan wel laatste rij, de eerste dan wel laatste kolom of op ee veld direct aangrenzend aan een hoekveld. 3 Relatie met Alternating Sign Matrices Een Alternating Sign Matrix (ASM) is een vierkante matrix opgebouwd uit 0en, 1en en −1en zodanig dat de som van iedere rij en iedere kolom 1 is en dat de niet-nul elementen in teken alterneren. In (1) is een ASM gegeven die correspondeert met de oplossing van het 8 + 1-Queens probleem in Fig. 1. Hierin zijn de dames vervangen door 1en, de pion(nen) door −1en en de lege velden door 0en. In een ASM is het eerste niet-nul element van een rij en een kolom altijd een 1. Indien het eerste niet-nul element in een kolom of rij een −1 zou zijn kan de som van die rij nooit meer 1 worden. Vanwege het alternerende karakter van de matrix is het duidelijk dat tussen iedere twee pionnen (−1en) altijd een dame (1) moet staan en dat tussen iedere twee dames altijd een pion staat. Hieruit blijkt dat iedere oplossing voor het N + k-Queens probleem een ASM is. Het is echter niet zo dat iedere ASM een oplossing is voor het N + k-Queens probleem: de definitie van een ASM 3
Page 1: Geselecteerde onderwerpen over het
Page 5 and 6: • gewone oplossingen; slechts sym
Page 7: (q, m + 1) met q < p. Vanwege de sy

Geselecteerde onderwerpen over het N + k-Queens probleem - Liacs

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?