Geselecteerde onderwerpen over het N + k-Queens probleem - Liacs

oneven is, dan moet de gehele middelste kolom gevuld zijn met stukken, omdat
als we een stuk aan de linkerkant van de middelste kolom plaatsen dit
stuk gespiegeld ook aan de rechterkant moet worden geplaatst. Beide stukken
moeten echter van elkaar worden gescheiden door een ander stuk (dan wel een
dame, dan wel een pion). Door dit argument te herhalen wordt duidelijk dat
de middelste kolom wel gevuld moet zijn (dit geldt immers voor iedere rij).
De enige manier om de middelste kolom geheel te vullen is door te beginnen
met een dame (pionnen kunnen niet in de eerste rij voorkomen, zie Stelling
1) en vervolgens alternerend een pion en een dame te plaatsen. In Fig. 3 is dit
patroon weergegeven voor een 5 × 5 schaakbord. Nu worden alle velden van
de twee aangrenzende kolommen van de middelste kolom bedreigd door de
dames in de middelste kolom. Omdat iedere kolom tenminste één dame moet
bevatten zijn er dan dames die elkaar bedreigen. Hetgeen een tegenspraak is.
Voor de horizontale lijnsymmetrie herhalen wij hetzelfde argument terwijl
het bord een kwartslag is gedraaid.
Figuur 3: Het patroon voor de middelste kolom voor een verticale lijnsymmetrische
oplossing voor het N + k-Queens probleem.
Vervolgens beschouwen we de lijnsymmetrie ten opzichte van de hoofddiagonaal.
Stel we hebben een oplossing voor het N + k-Queens probleem
welke symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Uit Stelling 1 en
de eigenschappen van een ASM weten we dat er geen pion kan staat in het
veld linksboven. We werken nu met inductie. Stel er staat geen pion in de
m × m linker bovenhoek en er staat een pion in de (m + 1) × (m + 1) linker
bovenhoek op positie (p, m + 1), dan staat er een dame op een positie
6