Geselecteerde onderwerpen over het N + k-Queens probleem - Liacs

voorziet niet in een alternerend karakter in de diagonalen.
⎡
⎤
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 −1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
⎢
⎥
⎣ 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎦
0 0 0 0 1 0 0 0
(1)
Het schaakspel kent een stuk dat zich op dezelfde wijze kan verplaatsen als
een dame met uitzondering van de diagonale beweging: de toren (rook). Wij
zullen nu bewijzen dat iedere ASM een oplossing is voor het N + k-Rooks
probleem en vice versa.
Stelling 2. Stel N ≥ 1 en k ≥ 0 waarbij N en k gehele getallen zijn, dan
is er een één-op-één relatie tussen de verzameling van N × N ASMes met k
elementen gelijk aan −1 en de verzameling oplossingen van het N + k-Rooks
probleem.
Bewijs. De constructie voor een ASM uit een oplossing voor het N+k-Queens
probleem impliceert dat ieder N + k-Rooks probleem een ASM is.
Stel nu dat we een N × N ASM met k −1en hebben, dan geldt omdat de
som van iedere rij 1 is en omdat de niet-nul elementen in de matrix in teken
alterneren dat iedere rij één toren meer bevat dan het aantal pionnen in die
rij. Hieruit volgt dat het aantal torens N + k is. Vanwege het alternerende
karakter geldt dat indien zich twee torens in dezelfde rij (of kolom) bevinden
er minstens één pion tussen staat. Dus een ASM is een oplossing voor het
N + k-Rooks probleem.
4 Symmetrieën van de oplossingen
In dit hoofdstuk zullen we de symmetrische eigenschappen van oplossingen
voor het N + k-Queens probleem onderzoeken. Er zijn 8 symmetrieën in
een vierkant: rotatie over 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ en 270 ◦ , verticaal lijnsymmetrisch,
horizontaal lijnsymmetrisch en twee diagonale lijnsymmetrieën. We kunnen
voor elke N ≥ 4 de verzameling oplossingen voor het N-Queens probleem
verdelen in drie klassen:
4