Geselecteerde onderwerpen over het N + k-Queens probleem - Liacs

More documents

Recommendations

Info

voorziet niet in een alternerend karakter in de diagonalen. ⎡ ⎤ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎦ 0 0 0 0 1 0 0 0 (1) Het schaakspel kent een stuk dat zich op dezelfde wijze kan verplaatsen als een dame met uitzondering van de diagonale beweging: de toren (rook). Wij zullen nu bewijzen dat iedere ASM een oplossing is voor het N + k-Rooks probleem en vice versa. Stelling 2. Stel N ≥ 1 en k ≥ 0 waarbij N en k gehele getallen zijn, dan is er een één-op-één relatie tussen de verzameling van N × N ASMes met k elementen gelijk aan −1 en de verzameling oplossingen van het N + k-Rooks probleem. Bewijs. De constructie voor een ASM uit een oplossing voor het N+k-Queens probleem impliceert dat ieder N + k-Rooks probleem een ASM is. Stel nu dat we een N × N ASM met k −1en hebben, dan geldt omdat de som van iedere rij 1 is en omdat de niet-nul elementen in de matrix in teken alterneren dat iedere rij één toren meer bevat dan het aantal pionnen in die rij. Hieruit volgt dat het aantal torens N + k is. Vanwege het alternerende karakter geldt dat indien zich twee torens in dezelfde rij (of kolom) bevinden er minstens één pion tussen staat. Dus een ASM is een oplossing voor het N + k-Rooks probleem. 4 Symmetrieën van de oplossingen In dit hoofdstuk zullen we de symmetrische eigenschappen van oplossingen voor het N + k-Queens probleem onderzoeken. Er zijn 8 symmetrieën in een vierkant: rotatie over 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ en 270 ◦ , verticaal lijnsymmetrisch, horizontaal lijnsymmetrisch en twee diagonale lijnsymmetrieën. We kunnen voor elke N ≥ 4 de verzameling oplossingen voor het N-Queens probleem verdelen in drie klassen: 4
• gewone oplossingen; slechts symmetrisch ten opzichte van 0 ◦ rotatie. • centrosymmetrische oplossingen; symmetrisch ten opzichte van 0 ◦ en 180 ◦ rotatie. • dubbel centrosymmetrische oplossingen; symmetrisch ten opzichte van alle rotaties. Figuur 2 is een voorbeeld van een dubbel centrosymmetrische oplossing. Figuur 2: Een dubbel centrosymmetrische oplossing voor het 5-Queens probleem. Merk op dat, met uitzondering van de triviale oplossing voor N = 1, er geen oplossingen van het N-Queens probleem bestaan die lijnsymmetrisch zijn. In Stelling 3 generaliseren we deze observatie voor oplossingen van het N + k-Queens probleem. Stelling 3. Er bestaat geen lijnsymmetrische oplossing voor het N+k-Queens probleem (met N > 1). Bewijs. We onderscheiden vier gevallen: verticale lijnsymmetrie, horizontale lijnsymmetrie en twee diagonale lijnsymmetrieën. Als eerste beschouwen we de verticale lijn symmetrie. Stel we hebben N + k elkaar niet bedreigende dames en k pionnen op een N × N schaakbord in een verticale lijnsymmetrische opstelling. Indien N even is, dan moeten de dames in de middelste twee kolommen direct naast elkaar staan en dus elkaar bedreigen. Indien N 5
Page 1 and 2: Geselecteerde onderwerpen over het
Page 3: geplaatst zodanig dat geen twee dam
Page 7: (q, m + 1) met q < p. Vanwege de sy

Geselecteerde onderwerpen over het N + k-Queens probleem - Liacs

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?