bewijzen, redeneren en logica - Faculteit der Natuurwetenschappen ...

2
Stellingen in latere boeken zijn bijv. dat er hoogstens 5 regelmatige veelvlakken zijn in
drie dimensies, iets waarnaar reeds is verwezen in het college over symmetrie.
Een interessante historische vraag is waarom de Griekse wiskundigen eigenlijk systematisch
gingen bewijzen (dit deden Egyptenaren en Babyloniërs niet). Er bestaan hierover
vele theorieën, van wetenschappelijke tot politieke, maar geen sluitende verklaring.
Geschiedenis van bewijspatronen
Wiskundige bewijspatronen zijn er natuurlijk ook in andere gebieden. Een voorbeeld is de
rekenkunde, waar Euclides ook al belangrijke methoden bevat, zoals het 'Euclidisch
algoritme' voor het bepalen van de grootste gemene deler van twee getallen m, n. Dit is de
volgende procedure (in modern jargon – Euclides zelf formuleerde alles meetkundig,
volgens de wiskundig-filosofische mode van zijn tijd):
Euclidisch Algoritme
Bepaal de rest van m by deling door n:
m mod n
Als m mod n = 0, dan is n een deler van m, en klaar: GGD(m, n) = n
Anders is m mod n een getal r < n, en we stellen n:= r, m:= n.
Herhaal in dit laatste geval de procedure.
Euclides bewijst dat dit altijd eindigt met de correcte waarde voor GGD(m, n). Misschien
wilt u dat zelf ook eens proberen. Dit maakt Euclides tot schutspatroon voor zowel de
wiskundigen als de informatici, hetgeen de naamgeving "Euclides" verklaart voor het
gebouw van de voormalige faculteit FWI aan de Plantage Muidergracht 24. Een ander
beroemd rekenkundig bewijspatroon is natuurlijke inductie, zoals reeds uitgelegd in het
parallelcollege, hetgeen vaak wordt toegeschreven aan Johann Bernoulli (RUG, 1700).
In feite komt ook deze methode reeds bij Euclides voor, in de equivalente vorm
Kleinste Getal Principe
Voor elke eigenschap van natuurlijke getallen E geldt: als er een n is met E(n),
dan is er een kleinste getal met die eigenschap: een n met E(n) ¡ ¬¢ m