Quickscans met de PARWO-matrix - Edumat

Quickscans met de PARWO-matrix.
(bronkopij voor een artikel in het vakblad Volgens Bartjens)
Frans Moerlands, Dirk van der Straaten en Hein van der Straaten
PARWO staat voor ‘PAssend Reken-Wiskunde Onderwijs. Het PARWO-project is
opgestart vanuit de samenwerking van het ontwerpbureau Edumat 1 met SSOT 2 (Stichting
Speciaal Onderwijs Tilburg).
Met het PARWO-project 3 wordt geprobeerd 'passend reken-wiskundeonderwijs' te
ontwikkelen:
• Onderwijs dat ´past´ bij de aard en het vermogen van zowel 'gewone' als
'speciale' leerlingen.
• Onderwijs dat doelen durft te stellen die passen bij de eisen van deze tijd.
• Onderwijs dat wiskundige redzaamheid voorop stelt en dit uitgangspunt serieus
doorvertaalt naar ´gecijferdheidsdidactiek´
• Onderwijs gebaseerd op een visie over leren, met gevoel voor kinderen en oog
voor de gevoelige fases in het leerproces.
• Onderwijs waarin de ontwikkeling van de leerlingen centraal wordt gesteld en niet
het vakgebied.
• Onderwijs dat goed geoutilleerd is, waar vaklui met verstand van zaken en
voorzien van goed gereedschap aan het werk zijn.
Uitgangspunt voor het project is het volgen
van de ontwikkeling van kinderen. De
ontwerpen van passend onderwijs worden
daarop afgestemd.
Aan de basis van het ontwikkelbouwwerk
staat de ijsbergmetafoor (afb. 1). In steeds
bredere kring wordt de ijsbergdidactiek gezien
als een belangrijk vernieuwend
onderwijsconcept, dat een verdere uitbouw en
verdieping van de realistische rekenwiskundedidactiek
mogelijk maakt.
In de ijsberg is voor een bepaald
leerstofdomein aangegeven welke begrippen
en concepten ten grondslag liggen aan kennisverwerving op een hoger abstractieniveau. De
ijsbergmetafoor heeft vooral de functie duidelijk te maken dat het loont om goed en gedegen
te investeren in de vorming van basale begrippen en inzichten, als basis van abstraheren en
formaliseren. Het is geen strikt voorschrijvend hiërarchisch model, maar geeft wel een
duidelijke denkrichting.
Zo zijn er ijsbergen uitgewerkt voor het domein rekenen tot 10, tot 20, rekenen tot 100 en
voor grote getallen en kommagetallen.
1 internet: http://www.edumat.nl
2 internet: http://www.ssot.nu/
3 internet: http://www.edumat.nl/PARWO/
1

De samenhang tussen de verschillende
ijsbergen wordt weergegeven in matrices
(afb.2). Een matrix geeft groei in twee
richtingen weer. In horizontale richting
vinden we de uitbouw in domein en
complexiteit: tellen tot 10 zet zich voort naar
tellen tot 20, tot 100 en, als het principe van
de opbouw eenmaal is doorzien, tot
oneindig. Een matrix is als het ware een
aaneenschakeling van ijsbergen.
De verticale richting geeft het idee van
niveauverhoging weer, waarin op steeds
algemenere en abstractere wijze greep op
het terrein van wiskundige elementen wordt
verkregen.
Uiteraard ondersteunen beide richtingen elkaar: uitbreiding noopt tot zoeken naar meer
algemeenheden en abstracties en het ontdekken daarvan geeft een versnelling in de
breedte. Verdere uitwerking van matrices volgt nog voor de domeinen vermenigvuldigen,
delen, breuken, procenten en verhoudingen, (Matrix 2); voor meetkunde (Matrix 3) en voor
tijd (Matrix 4).
De onderste laag in de ijsberg en de
onderste laag van de matrix verwijzen naar
activiteiten van kinderen gericht op het
verkennen van het uiterlijk en de
functionaliteit. Deze opbouw betekent voor
bijvoorbeeld matrix 1: het hoofdgebied
getalverkenning – optellen – aftrekken tot 10,
(afb. 3) dat kinderen antwoord zoeken op
vragen als:
In welke vormgeving kom je een getal als 6
tegen
Daar hoort ook bij dat je cijfers en getallen kunt lezen en schrijven. Waar zie je 6 en welke
informatie geeft me dat
In de volgende laag staat de verkenning van de inhoud en de structuur centraal. Wat ‘houdt’
een getal in De echte voorwerpen worden daarbij teruggebracht tot hun
hoeveelheidswaarde. Echte vogeltjes worden vingers op een hand of kralen op een
rekenrek. De structuur wordt ontdekt als middel om efficiënt greep te krijgen op
onoverzichtelijke hoeveelheden. Daarbij ligt het voor de hand om structuren te gebruiken die
overeenkomsten hebben met de getalstructuur. In deze laag zie je daarom modelmaterialen
met een 5 en 10 structuur (handen, eierdozen, kralensnoeren, rekenrekjes). Hoeveelheden
krijgen een structuurbeeld: 7 wordt ‘5 en 2’ of op ‘3 na 10’. Het zijn eigenschappen die
wezenlijk zijn voor het latere rekenen.
Op het moment, dat de structuren worden weergegeven in cijfers en symbolen komen we in
de volgende laag, waarin het gaat om het werken met getalrelaties. Daar worden getallen
een soort bouwblokken. Eigenlijk zoals we omgaan met geld: iets van 7 euro betalen we met
5 en 2 of we geven 10 en verwachten 3 terug. De eenheden en de structuur zijn niet meer te
zien; ze zijn als het ware al in de getallen opgenomen.
Als de cruciale vaardigheden op deze niveaus in het drijfvermogen goed zijn verkend en
geoefend kunnen bewerkingen in formele sommentaal worden beschreven en is de fase
aangekomen van automatiseren en memoriseren.
2

De matrix laat zien waar bij een kind de zone van naaste ontwikkeling ligt en brengt in beeld
hoe ontwikkelings- of competentieprofielen van kinderen kunnen verschillen (afb. 6 en 7).
Een typerend voorbeeld vinden we bij Willem Uittenbogaard (2008) waar kleuters van
ongeveer 5 jaar de telrij tot 100 (en verder) verkennen. Het is op z’n minst onwaarschijnlijk,
dat deze kinderen de sommen tot 10 geautomatiseerd hebben. Hiermee wordt duidelijk, dat
het ene domein niet noodzakelijk is afgerond om ook in het volgende domein ontwikkeling
door te maken. Het is zelfs mogelijk dat kinderen in het speciaal onderwijs helemaal niet toe
komen aan het meest formele niveau (afb.7).
De matrix is basis voor het demonstreren van de ontwikkeling van competenties van de
leerlingen, die er als een soort jaarringen op uitgroeien (afb. 8).
De kunst van passend onderwijs is om bij de
actuele competenties van kinderen de juiste
leeromgeving met het juiste materiaal aan te
bieden.
De keuze om onderwijs aan te laten sluiten
op de ontwikkeling van kinderen en niet op
de structuur in het vakgebied is hier op
gebaseerd. Dit betekent dat we er niet voor
kiezen om domein voor domein af te werken,
maar kinderen krijgen de gelegenheid zich
veel breder te oriënteren. Daarbij wordt de
rekenkundige ontwikkeling van kinderen
voortdurend gevolgd op cruciale kwaliteiten.
Dat wil zeggen dat er steeds aandacht wordt
besteed aan ontwikkeling van ‘drijfvermogen’.
Helaas bestaat in het onderwijs de neiging om voort te borduren op formele kennis die
kinderen in een eerder domein hebben opgedaan: als je weet dat 7 + 2 = 9, dan is 17 + 2
niet zo moeilijk en volgt ook 70 + 20 als een “logische” stap (afb. 9).
3

De inzichtelijke onderbouwing met zelf
verworven beelden en structuren ontbreekt,
waardoor de ‘formele kennis’ een broos
bouwwerk blijkt te worden (afb. 10).
Investeren in basale vaardigheden blijkt met
name ook in het speciaal onderwijs een hoog
rendement op te leveren.
Marie-José van Heugten (2008a, 2008b) laat
zien, dat kinderen in staat zijn tot ver boven
hun verwachte niveau te presteren.
Voorwaarde daarvoor is, dat je een rijke en
uitdagende leeromgeving voor kinderen weet
te creëren en kinderen wiskundig actief bezig
laat zijn met concrete onderzoeksactiviteiten. In zulke activiteiten blijft de complexiteit van de
werkelijkheid intact en wordt niet versimpeld tot hapklare brokjes. Hoe kinderen dat vertalen
naar hun persoonlijke leerervaring blijft daardoor onvoorspelbaar. Je kunt het zien als een
inktspat op de matrix (afb. 11). Het onderwijsaanbod is dan ook voor te stellen als een
samenstelling van inktspatten (afb. 12), waar kinderen hun eigen leerweg in vinden. In die
zin is de matrix een kader voor het beschrijven van kennis en vaardigheden waarover
kinderen beschikken en niet de handleiding waarmee de volgorde van het onderwijsaanbod
wordt geprogrammeerd.
Per cel zijn competenties beschreven waaraan kinderen kunnen laten zien, dat zij een
bepaalde stap in hun ontwikkeling hebben gezet (afb. 13). Voor een leerkracht is het
ondoenlijk om voor ieder kind al die stapjes
op elk moment te observeren en te
registreren. Je zou daarmee ook
verzanden in de hoeveelheid en de
complexiteit van de informatie. Toch
bestaat er behoefte aan houvast bij het
beoordelen van de voortgang in de
ontwikkeling van kinderen.
Per cel zijn daarom quickscans in
ontwikkeling om snel en efficiënt in beeld
te krijgen of kinderen de kennis en
vaardigheden beheersen. Met behulp van
dergelijke korte toetsjes kunnen we snel
een inschatting maken of een kind over eerder genoemde cruciale kwaliteiten beschikt. Voor
alle scans is een standaard antwoordblad (afb. 14) ontwikkeld.
4

© ED U M AT-PA RW O, 20 07
www.ed umat.nl/PA RWO
© ED U M AT-PA RW O, 20 07
www.ed umat.nl/PA RWO
Uit matrix 1 in het getallengebied tot 20 laten we enkele voorbeelden zien van de wijze
waarop de quickscans zijn uitgewerkt. In de matrix staat cel 20.2 voor de verkenning van
inhoud en structuur van de getallen tot 20: de echte voorwerpen worden daarbij
teruggebracht tot hun hoeveelheidswaarde. In deze stap in de rekenontwikkeling van
kinderen zijn twee cruciale kwaliteiten van belang:
1. Het snel overzien van gestructureerde hoeveelheden tot 20 (afb. 15);
2. Het vlot kunnen plaatsen van getallen op de getallenlijn tot 20 (afb. 16).
goudbeelden tot 20‐v1
10 20 100 GK
10.4 20.4 100.4 GK.4
getalstructuur ‐20‐v1
10 20 100 GK
10.4 20.4 100.4 GK.4
toenemende form aliser ing
10.3
10.2
20.3
20.2
100.3
100.2
GK.3
GK.2
toenemende form aliser ing
10.3
10.2
20.3
20.2
100.3
100.2
GK.3
GK.2
10.1
20.1
100.1
GK.1
10.1
20.1
100.1
GK.1
uitbouw in dom ein en com plexiteit
uitbouw in dom ein en com plexiteit
quickscan
qs‐M1‐20.2‐go udbeeld en‐20‐v1
©PARWO
quickscan
qs‐M1‐20.2‐Getallenslang‐20‐v1
©PARWO
Dit wordt gepresenteerd in opgaven als te zien in de afbeeldingen 17 (goudbeelden) en 18
(getallenslang).
a
Hoeveel
goudstukken
b
qs‐M1‐20.2‐go udbeeld en‐20‐v1
qs ‐M1‐20.2‐Getallenslang‐20‐v1
5

© ED U M AT-PA RW O, 20 07
www.ed umat.nl/PA RWO
© ED U M AT-PA RW O, 20 07
www.ed umat.nl/PA RWO
Alle plaatjes worden drie seconden aan de kinderen gepresenteerd en zij krijgen vijf
seconden tijd om het antwoord op het antwoordformulier in te vullen (serie 1, antwoord a en
serie 2, antwoord b).
In de volgende laag van de matrix (20.3) wordt nagegaan of kinderen de getallen tot 20 ook
kunnen gebruiken als ‘bouwstenen’. Ook hier gaat het om twee cruciale kwaliteiten:
1. Samenstellingen tot 20 (afb. 19);
2. Aanvullen tot 20 (afb. 20).
samenstellingen tot 20 v1
10 20 100 GK
10.4 20.4 100.4 GK.4
aanvullen tot 20 v1
10 20 100 GK
10.4 20.4 100.4 GK.4
toenemende form aliser ing
10.3
10.2
20.3
20.2
100.3
100.2
GK.3
GK.2
aliser ing
toenemende form
10.3
10.2
20.3
20.2
100.3
100.2
GK.3
GK.2
10.1
20.1
100.1
GK.1
10.1
20.1
100.1
GK.1
uitbouw in dom ein en com plexiteit
uitbouw in dom ein en com plexiteit
quickscan
qs ‐M1‐20.3‐s amens tell ingen‐tot‐20‐v1
©PARWO
quickscan
qs‐M1‐20.3‐aanvullen‐tot‐20‐v1
©PARWO
De opgaven bij deze quickscans kunnen we illustreren met de voorbeelden in afbeelding 21
(samenstellingen tot 20) en afbeelding 22 (aanvullen tot 20):
a
Hoeveel
samen
2
10
qs ‐M1‐20.3‐samens tell ingen‐tot‐20‐v1
Om het topje van de ijsberg of de bovenste laag van de matrix (20.4) in beeld te krijgen zijn
quickscans beschikbaar voor:
1. Optellen tot 20;
2. Aftrekken tot 20.
In afbeelding 23 (optellen) en 24 (aftrekken) laten we voorbeelden van uitwerkingen zien.
a
Hoeveel
kost het samen
a
Samen
a
Wat
20
18
houd je over
20
qs‐M1‐20.3‐aanvullen‐tot‐20‐v1
11
qs‐M1‐20.4‐optellen‐20‐v1
qs ‐M1‐20.4‐aftrekken‐20‐v1
6

In deze afbeeldingen hebben de plaatjes slechts de functie van betekenis geven, maar de
bewerkingen met de getallen spelen zich af op een formeel abstract niveau.
De afname van de quickscans is vrij eenvoudig klassikaal te doen met behulp van een
smartboard. Het is daarmee mogelijk de projectietijd van de plaatjes en de tijd om te noteren
vooraf te programmeren.
In een Excelbestand (zie boven) kunnen de resultaten worden bijgehouden. Als minstens 9
van de 10 opgaven goed zijn beantwoord, gaan we er van uit dat betreffende vaardigheid
wordt beheerst. In geval van twijfel (bij 7 of 8 van de 10 antwoorden goed) is het mogelijk per
competentie nader onderzoek te doen. Als blijkt, dat een kind onvoldoende presteert (minder
dan 7 goed) op de quickscan in een cel, dan zijn er drie keuzemogelijkheden:
deelcompetenties in dezelfde cel nader onderzoeken, een cel lager in dezelfde kolom
onderzoeken of de cel links ervan in een lager getalgebied. Bijvoorbeeld als cel 20.3
onvoldoende is, kunnen deelcompetenties uit die cel onderzocht worden, of er kan besloten
worden 20.2 te toetsen of 10.3. Naar aanleiding van deze scans ontstaat een beeld van de
competenties van de kinderen en kan nagedacht worden over nieuwe impulsen voor
onderwijs om competenties verder te ontwikkelen. Hoe dat onderwijs vorm te geven op een
zo rijk mogelijke manier valt buiten het bestek van dit artikel, maar mogelijke suggesties zijn
al te zien op http://www.ssot.eu/rw/in%20de%20spotlight/.
Literatuur:
Heugten, M.J. van, (2008a) Paasontbijt, Bartjens, jrg. 27, nr. 4, p. 26-28. 4
Heugten, M.J. van, (2008b) Schoolreisje, Bartjens, jrg. 27, nr. 5, p. 28. 5
Uittenbogaard, W. (2008) Op je tellen passen, Volgens Bartjens, jrg. 27, nr. 4, p. 31-34.
4 internet: http://www.ssot.eu/rw/lesverslagen/Paasontbijt.pdf
5 internet: http://www.edumat.nl/006-004-PDF/publiek/Marie-Jos%e9-schoolreisje.pdf
7