Meetkundige toepassingen van complexe getallen Groep A

Meetkundige toepassingen van complexe getallenGroep ATrainingsweek Juni 2011Zoals jullie weten is C, de verzameling van complexe getallen, op te vatten als het plattevlak; dit betekent dat we er meetkunde mee kunnen doen. Om dat te doen, moet je eersteen punt in je meetkundige vlak associëren met 0, en een punt met 1; als je dat hebtgedaan, ligt de rest van het vlak vast, op een spiegeling in de reële as na. Hoewel de keuzevan het vlak in principe niets uitmaakt, is het handig om deze keuze zo te maken dat jeformules zo simpel mogelijk worden. We hebben onder meer de volgende formules, waarbijwe meetkundige punten met een hoofdletter schrijven en de ermee geassocieerde complexegetallen met een kleine letter:• Voor twee punten A en B is het gerichte lijnstuk −→ AB te associëren met b − a; dat wilzeggen, |AB| = |b − a|, de hoek die AB maakt met de x-as is Arg(b − a), en de pijlvan 0 naar b − a wijst in dezelfde richting als de pijl van A naar B.• Een translatie waarbij A naar B wordt overgevoerd, komt overeen met het optellenvan b − a bij elk complex getal.• Een vermenigvuldiging met een factor λ ∈ R vanuit de oorsprong komt neer op elkcomplex getal z naar λz te sturen. Doen we zo’n vermenigvuldiging vanuit een puntA, dan wordt z naar λ(z − a) + a gestuurd. Als je nu b en a vastneemt en λ varieert,dan krijgen we een é’en-op-één-relatie tussen reële getallen λ en punten λ(b − a) + aop de lijn AB. Dit noemen we de parametrisatie van de lijn AB.• De gerichte ( ) hoek ∠P AQ is de hoek tussen de complexe getallen q −a en p−a, oftewelArg .q−ap−a• Als we om punt A over een positieve hoek φ draaien, dan sturen we elk complex getalz naar e iφ (z − a) + a.• Een cirkel met middelpunt M en straal r bestaat uit precies die punten z waarvoorgeldt dat |z − m| = r, oftewel dat (z − m)(¯z − ¯m) = r 2 .• Als |z−m| = r, dan heeft het complexe getal z−m norm r, en dus geldt z−m = r·e iφvoor een zekere φ ∈ [0, 2π), dus z = r · e iφ + m. Omgekeerd, voor vaste M en r is ereen één-op-één-relatie tussen de hoeken φ ∈ [0, 2π), en de punten r · e iφ + m op decirkel met middelpunt M en straal r; dit heet de parametrisatie van deze cirkel.• Belangrijke punten in het vlak zijn de complexe n-demachtseenheidswortels, oftewelde getallen z = e 2πkn met k = 0, 1, . . . , n−1, waarvoor geldt dat z n = 1. Deze verdelende complexe eenheidscirkel precies in n stukken, en kunnen dus handig zijn, als je jeassenstelsel goed gekozen hebt.1

Zoals je ziet zijn veel meetkundige eigenschappen te schrijven in vergelijkingen tussencomplexe getallen, en in principe is elke meetkundeopgave te reduceren tot een vergelijkingtussen complexe getallen. Dit betekent echter lang niet altijd dat de vergelijking op telossen is. Als je dus ’in het wild’ een meetkundeopgave tegenkomt, is het niet altijd hetmeest strategisch om het complex te bekijken. Bij de opgaven die hieronder volgen is hetmeestal wél aan te raden.Voorbeeld. Bewijs dat de drie verschillende punten A, B en C op één lijn liggen d.e.s.d.a.c−ab−a ∈ R.Oplossing: We weten dat Arg( c−a ) = ∠BAC. Aan de andere kant weten we dat A, B enb−aC op één lijn liggen d.e.s.d.a. ∠BAC ∈ {0, π}, oftewel d.e.s.d.a. c−a = b−a re0i of c−a = b−a reiπvoor een zekere r ∈ R + . Dat betekent dat A, B en C op één lijn liggen d.e.s.d.a. c−a ∈ R. □b−aOpgave 1 Bewijs dat als A, B, C, D punten zijn met A ≠ B en C ≠ D, dat lijnstuk ABloodrecht op CD staat d.e.s.d.a. ( d−cb−a)i ∈ R.Zoals je hier ziet hoef je niet naar het snijpunt van de lijnen te kijken om te zien of zeloodrecht op elkaar staan of niet. Dat is de kracht van complexe getallen, omdat je naarpunten kijkt als getallen hoef je een heleboel punten niet expliciet te definiëren, omdat jeer toch alleen maar als getallen naar kijkt.Opgave 2 Bewijs dat een punt Z op de eenheidscirkel ligt d.e.s.d.a. z = 1 z .Opgave 3 Bewijs dat A op het lijnstuk BC ligt d.e.s.d.a. c−aa−b ∈ R +Opgave 4 Zij O het punt behorende bij het complexe getal 0, en noem ∠P OQ = φ. Bewijsdat q p = (q)(p) e2φiOpgave 5 Zijn gegeven drie punten A, B en C.• Wat is het voetpunt D van C op AB, uitgedrukt in complexe getallen?• Wat is de spiegeling E van C in de lijn AB, uitgedrukt in complexe getallen?Opgave 6 1. Bewijs dat het zwaartepunt van A, B en C gegeven wordt door Z =1(a + b + c). (Laat dus zien dat dit complexe getal op alle drie de zwaartelijnen ligt.)3Bewijs ook dat de zwaartelijnen elkaar in de verhouding 1:2 verdelen.2. Neem nu aan dat de hoekpunten op de eenheidscirkel liggen. Laat zien dat hethoogtepunt gegeven wordt door H = a + b + c. (Hint: x ∈ R d.e.s.d.a. x = x.)3. Noem het middelpunt van de cirkel O. Laat zien dat O, Z en H collineair zijn. Watis de verhouding tussen OZ en ZH?2

Opgave 7 Zij gegeven een vierhoek ABCD, met middens der zijden P , Q, R en S. Bewijsm.b.v. complexe getallen dat P QRS een parallellogram is.Opgave 8 (Stelling van Appolonius)Laat λ ≠ 1 en twee punten A en B gegeven zijn. De punten Z waarvoor geldt dat |AZ| =λ|BZ| liggen op een cirkel, de zogenaamde cirkel van Appolonius.Aanpak: Neem zonder verlies van algemeenheid A = −1 en B = 1 en laat Z een willekeurigpunt zijn met |AZ| = λ|BZ|. Werk |z + 1| = λ|z − 1| om tot |z − m| 2 = r 2 voor geschiktem en r.Opgave 9 (Constante-hoek stelling)1. Laat φ en twee punten A en B gegeven zijn. De punten Z waarvoor geldt dat∠AZB = φ liggen op een cirkelboog.Aanpak: Neem zonder verlies van algemeenheid A = i en B = −i en laat Z eenwillekeurig punt zijn met ∠AZB = φ. Gebruik het feit dat i.h.a. q p = (q)(p) e2i∠P OQ . enwerk (z + i)(z + i) = e 2iφ (z − i)(z − i) uit tot |z − m| 2 = r 2 voor geschikte m en r.2. Gebruik de koordenvierhoekstelling om te bewijzen dat Z 1 , Z 2 , Z 3 en Z 4 op een cirkelliggen (of op één lijn) d.e.s.d.a.( ) ( )z4 − z 1 z4 − z 2Arg≡ Arg(mod π)z 3 − z 1 z 3 − z 2(gerichte hoeken!) en dus ook d.e.s.d.a. als voor de zogenaamde dubbelverhoudinggeldt dat ( )z 4 −z 1z 3 −z 1( ) ∈ Rz 4 −z 2z 3 −z 2Opgave 10 (Stelling van Napoleon)Zij gegeven een willekeurige driehoek ABC. Op elk van de zijden wordt een gelijkzijdigedriehoek geconstrueerd (naar buiten gericht), en deze hebben zwaartepunten Z 1 , Z 2 en Z 3 .Bewijs dat △Z 1 Z 2 Z 3 gelijkzijdig is.Opgave 11 Lijn l raakt aan de omschreven cirkel van de scherpe driehoek ABC in puntB. Laat K de loodrechte projectie van het hoogtepunt H van driehoek ABC op de lijn l.Laat L het midden zijn van AC. Bewijs dat driehoek BKL gelijkbenig is.Opgave 12 Gegeven een driehoek ABC met omschreven cirkel S. Spiegel S in AB, ACand BC en noem deze cirkels, respectievelijk, S AB , S AC , en S BC . Laat zien dat de drienieuwe cirkels een gemeenschappelijk punt Z hebben. Welk punt is dit?3

Opgave 13 Zij A een punt op de eenheidscirkel en l de raaklijn in A. Bewijs dat voor elkpunt Z op l geldt dat z + a 2 z = 2a. Zij k de lijn loodrecht op l door een punt B. Bewijsdat voor elk punt Z op k geldt dat z − a 2 z = b − a 2 b.Opgave 14 Gegeven een driehoek W 1 W 2 W 3 laat A 1 het midden zijn van W 2 , W 3 , A 2 hetmidden van W 1 , W 3 en A 3 het midden zijn van W 1 , W 2 . Laat lijn l i gaan door A i enloodrecht staan op de raaklijn aan de omgeschreven cirkel van driehoek W 1 W 2 W 3 in W i .Bewijs dat de lijnen l 1 , l 2 , l 3 een gemeenschappelijk punt hebben. Welk punt is dat?Opgave 15 (Stelling van Simson) Gegeven is een koordenvierhoek Z 1 Z 2 Z 3 W . Laat P, Qen R de loodrechte projecties zijn van W op, respectievelijk, Z 2 Z 3 , Z 1 Z 3 en Z 1 Z 2 . Bewijsdat P , Q en R collinear zijn.Opgave 16 (IMO 2003-4) Gegeven is een koordenvierhoek ABCD. Laat P ,Q en R deloodrechte projectie zijn van D op, respectievelijk, de lijnen lijn BC, CA and AB. Laat ziendat |P Q| = |QR| d.e.s.d.a. de bissectrices van ∠ABC en ∠ADC snijden op de diagonaalAC.4