Procestechnische constructies

0.11200conductivity [Wm -1 K -1 ]0.080.060.040.02BBBBBBBB B B B Bheat capacity [Jkg -1 K -1 ]11501100105000 500 1000 1500temperature [K]10000 500 1000 1500temperature [K]figuur 5.16warmtegeleiding van lucht als functie van detemperatuur onder atmosferische conditiesfiguur 5.17 warmtecapaciteit van lucht als functie van detemperatuur onder atmosferische condities25B700conductivity [Wm -1 K -1 ]2015BBBBBBBBspecific heat [Jkg -1 K -1 ]650600550500450BBBBB B BBB100 500 1000 1500temperature [K]4000 500 1000 1500temperature [K]figuur 5.18 warmtegeleiding van RVS-316 als functievan de temperatuurfiguur 5.19 warmtegeleiding van RVS-316 als functievan de temperatuurDe functionele vorm van de uitdrukking voor de warmteoverdracht moet er zo uitzien dat dewarmtestroom per eenheid van oppervlak q verdwijnt wanneer het medium een constantetemperatuur heeft. De wet van Fourier wordt gevonden door aan te nemen dat de warmtestroom in derichting van, bijvoorbeeld, de x coördinaat proportioneel is met het lokale temperatuurverschil in derichting van x, q x =C(T x - T x+dx ). Experimenteel is gevonden dat de factor C weer evenredig is met1/∆x, oftewel C = λ/∆x. Als we de limiet ∆x → 0 nemen, volgt de wet van Fourierq x = λ dTdx (5.3)Voor een isotroop (λ hetzelfde in elke richting) medium waarin de temperatuur in elke richtingvarieert kunnen we schrijvenq x = λ dTdx , q y = λ dTdy , q z = λ dTdz(5.4)dit zijn componenten van de vector vergelijkingq = λ∇T (5.5)76 procestechnische constructies 4B660

Als er sprake is van twee aan elkaar grenzende wanden met een verschillendewarmtegeleidingscoëfficiënt (figuur 5.20) geldt volgens de eerste hoofdwet dat de warmtestroom qper eenheid van oppervlak overal hetzelfde moet zijn, voor de eerste twee platen geldt bijvoorbeeldΦ =Ad λ T 1 –T 2 =A λ Ta d 2 –T 3 ⇔ Φ = Ab d aλ + d T 1 –T 3 (5.6)bλDe reciproque term uit vergelijking (5.6) staat bekend als de warmtedoorgangscoëfficiënt k. De wijzewaarop k wordt bepaald is analoog aan de wijze waarop een vervangingsweerstand in een electrischcircuit. Als de thermische weerstand van elke wand wordt gedefinieerd als R = L/λA, geldt voor dewarmtedoorgangsweerstandk = 1 = 1n(5.7)R vervanging R 1 + R 2 +....+R nΣi =1Td1 2 3nQR 1R 2R 3R nQfiguur 5.20geleiding door een samengestelde wandBinnen de procestechniek komt de wet van Fourier ook vaak voor in cilindercoördinaten, bijvoorbeeldin het geval van pijpisolatie. Neem bijvoorbeeld de cylinder van figuur 5.21 met een lengte L,binnenradius r i en buitenradius r u . De temperatuur aan de binnenwand is T i en de temperatuur aande buitenkant T o . Er is geen warmtestroom in z-richting.r ur izθrisothermq iq uT iT uT i T urfiguur 5.21radiale geleiding door een wandDe totale warmtestroom is de oppervlakteïntegraal van de warmtestroom (per oppervlakte eenheid)aan de binnenwandΦ =2πr i Lq i (5.8)Volgens Fourier geldt voor de warmtestroom aan de binnenwandq i = λ dTdr r = ri(5.9)De temperatuur distributie door het medium moet eerst worden bepaald. Analoog aan (5.2) kunnenwe voor een stationaire situatie zonder brontermen schrijvenprocestechnische constructies 4B660 77

1 d r r dT =0 (5.10)dr drmet als randvoorwaarden T=T i op r=r i en T=T o op r=r o . Door (5.10) twee keer naar r te integrerenvolgtTr = C 1 ln r + C 2 (5.11)Invullen van de randvoorwaarden geeftTr = T i – T i – T 0ln r r iln r or(5.12)of, na combineren met FourierΦ = 2πλLln r or iT i –T o (5.13)De thermische weerstand van een cylindervormige wand neemt toe met het logaritme van de radiusln r orR = i(5.14)2 λLIndien de wand samengesteld is uit verscheidene componenten kan weer volgens uitdrukking (5.7) devervangingsweerstand en de warmtedoorgangscoëfficiënt worden bepaald.5.2.2 ConvectieConvectie is het warmteoverdrachtsmechanisme dat in gang wordt gezet door het stromen van eenvloeistof of een gas. Het basisprobleem bij de analyse van convectie is het vaststellen van de relatietussen de warmteoverdracht en het verschil in temperatuur van het medium en de wand (T w -T ∞ ). T ∞staat voor de bulktemperatuur van het medium, gedefinieerd alsT ∞ =A dρvc p T dA dρc p m(5.15)of in woorden: de integraal van de lokale snelheid u maal de temperatuur over een bepaaldedwarsdoorsnede gedeeld door de gemiddelde snelheid maal het oppervlak van de dwarsdoorsnede.In het vervolg van dit hoofdstuk zal de gemiddelde snelheid overigens met v worden aangeduid.Het aandeel van de convectieve warmteoverdracht wordt traditioneel aangegeven met dewarmteoverdrachtscoëfficiënt α, gedefinieerd alsΦ conv = α A w T w –T ∞ (5.16)waarin Aw staat voor het warmtewisselend oppervlak.In het geval van vrije convectie stroomt het medium onder invloed van dichtheidsverschillen in hetmedium zelf. Uitgebreid experimenteel en theoretisch onderzoek heeft uitgewezen dat dewarmteoverdrachtscoëfficiënt voor natuurlijke convectie redelijk kan worden uitgedrukt inempirische relaties. Hier hanteren we de experimentele relatie van Churchill-Chu:Nu = αLλ = 0.68 + 0.67 Ra 1/41+ 0.492 9/16 4/9 Ra = Gr⋅Pr = gβ T w – T ∞ L 3νa

tabel 5.1Biot Bidimensieloze kentallenαLλvverhouding tussen convectieve warmteoverdracht engeleidingBrinkman Br ηv 2Froude Frλ l T s – T ∞v 2gLverhouding tussen visceuze dissipatie en warmteoverdrachtverhouding stationaire traagheidskrachten en zwaartekrachtGrashof GrNusselt NuPrandtl PrPeclet PeReynolds Regβ T s –T ∞ L 3αLλlCpηλ lν 2Pe = Re PrρvDηverhouding natuurlijke convectie tot de visceuze krachtendimensieloze representatie van de convectievewarmteoverdrachtverhouding warmtetransport en impulstransportverhouding van convectief en geleidings warmtetransport ineen stromingverhouding stationaire traagheidskrachten tot de visceuzekrachtenBij gedwongen convectie wordt de stroming extern op gang gebracht. Zoals in paragraaf 2.2 aan deorde is gekomen kan de stroming volledig analytisch worden beschreven voor een ontwikkeldelaminaire stroming. Voor deze situatie is ook de warmteoverdrachtscoëfficiënt α analytisch tebepalen. In eerste instantie beperken we ons weer tot pijpstroming (figuur 5.22)figuur 5.22laminaire convectie in een pijpAls eerste komen de warmtestromen als gevolg van geleiding aan de orde. In het geschetste volumeelementgaat een warmtestroom als gevolg van geleidingdq λ,r =–λ2πrdx ∂T∂ren uit het element gaat(5.18)procestechnische constructies 4B660 79

dq λ,r+dr =–λ2π r+dr dx ∂T∂r + ∂2 Tdx2 (5.19)∂rDoor het mechanisme van convectie wordt overgedragendq c =2πrdrρ Cp u(r) ∂T∂xdx (5.20)Uit een energiebalans volgt dan bij verwaarlozing van de 2 e orde termenλ ∂T∂r + Tr∂2 dx dr = r ρ Cp u∂T2∂r ∂xdx dr (5.21)oftewel1ur ∂ ∂r r∂T ∂r= ρ Cpλ∂T∂x(5.22)Bij wijze van illustratie wordt vergelijking (5.22) opgelost voor de conditie dat er een constantewarmtestroom per eenheid van oppervlak q aan de wand van de pijp heerst. Dan geldt∂T= constant, ∂T =0op r=0, λ∂T = q = constant op r=r ∂x ∂r ∂r s (5.23)r = rsDe snelheidsverdeling in een laminaire buisstroming (Poiseuille) is in hoofdstuk 2 al afgeleidur = r2 – r s24ηdpdx(5.24)Als de stofwaarden constant zijn, kan vergelijking (5.22) met de randvoorwaarden van (5.23) en hetsnelheidsprofiel (5.24) worden omgeschreven tot∂∂r r∂T ∂r= 1 a ∂T∂x u max 1– r2r s2 r (5.25)Na twee keer integreren naar r volgtTr,x = 1 a ∂T∂xu max4 r2 1– r24r s2 + T center (5.26)Door gebruik te maken van de definitie van de bulktemperatuur (13) kan dit ook worden geschrevenalsT ∞ – T c =967 2u max r s ∂Ta(5.27)∂xof in termen van de temperatuur in het midden van de stromingT s – T c =163 2u max r s ∂Tx(5.28)∂xDe gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënt α kan worden geschreven alsq cα =A w T s – T b= λ ∂T/∂rT s – T bAangezien in dit college verder alleen met gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënten wordtgewerkt, wordt het streepje in het vervolg weggelaten. Invullen geeft vervolgens een uitdrukkingvoor de warmteoverdrachtscoëfficiëntα =11r 24λ = 48λs 11D ⇔ Nu = αD λ = 48 = 4.364 (5.29)11In tabel 5.2 is een overzicht gegeven van Nusseltgetallen voor andere kanaalvormen enrandvoorwaarden.80 procestechnische constructies 4B660

tabel 5.2Nusseltgetallen voor volledig ontwikkelde laminaire stromingenGeometrie(L/D h > 100)Nu Dh,H1Nu Dh,H2Nu Dh,H32a60°2b2b2a = √3/23.1111.8922.4702a2b2b2a = 13.6083.0912.9764.0023.8623.3402a2b2b2a = 24.1233.0173.3912a2b2b2a = 86.4902.9045.5972a2b2b2a = ∞8.2358.2357.5414.3644.3643.6572b2a2b2a =1.15.3312.9304.439randvoorwaarden:H1 uniforme warmtestroom in stromingsrichting en uniformewandtemperatuur in elke doorsnedeH2 uniforme radiale en axiale warmtestroomH3 constante wandtemperatuurIn veel praktische gevallen moet echter rekening gehouden worden met de intree effecten in hetgebied waar de laminaire stroming nog niet volledig ontwikkeld is, een bruikbare empirische relatie isbijvoorbeeld de vergelijking van Sieder-TateNu = αD eλ= 1.86 D e Re PrL1/3, Re < 2300, 0.48 < Pr < 16700 (5.30)De L in vergelijking (5.30) is een karakteristieke lengtemaat in de richting van de stroming,bijvoorbeeld de lengte van een pijp. Een gemene valkuil bij het hanteren van de uitdrukking vanSieder Tate is dat deze in tegenstelling tot de Nusseltgetallen uit tabel 2 niet is gedefinieerd op dehydraulische diameter, maar op een equivalente diameter D e , gedefinieerd alsD e =4⋅doorstroomdoppervlakwarmteoverdragendeomtrekD h = 4⋅doorstroomdoppervlakbevochtigdeomtrek(5.31)Of de intree-effecten al dan niet van belang zijn, kan worden afgeschat met de volgende vergelijkingvoor de lengte van de intreezone, waar de stroming nog niet volledig is ontwikkeld (Bejan 1993)L intreeD h= 0.05 Re Dh (5.32)procestechnische constructies 4B660 81

Als de intreelengte L intree klein is ten opzichte van de totale lengte L, kan net zo goed één van dewaarden uit tabel 5.2 worden gehanteerd in plaats van Siedler-Tate.Ter illustratie is voor een buisstroming in figuur 5.23 het verschil aangegeven tussen de analytischewaarde voor het Nusseltgetal en het resultaat van Sieder-Tate.876Re = 1000Nu [-]543Re = 100Re = 102100 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01D/L [-]figuur 5.23Nusseltgetal voor laminaire convectie in een vierkant kanaal als functie van de diameter-lengte verhouding enhet ReynoldsgetalOm de relatieve waarde te benadrukken vanrelaties zoals die van Sieder-Tate, volgt hier eenkort historisch overzicht. Siedler en Tatepubliceerden hun relatie (28) in 1936. Deze wasechter gebaseerd op een relatie van Pohlhausen uit1921Nu = 0.664 Re D hL12 Pr 1/3Kennelijk vonden Siedler en Tate het toch aardigerom de derdemachts- in plaats van de tweedemachtswortel te trekken van ReD/L.Hausen was in 1959 toch niet helemaal tevredenmet de Siedler-Tate vergelijking en hij publiceerdeeen alternatief0.19 Re Pr DNu = 3.65 +h /L 0.81 + 0.117 Re Pr D h /L 0.467Schlündler vond dit in 1972 wel erg ingewikkeld enliet in zien dat de volgende uitdrukking nauwelijksafwijkende resultaten oplevertNu = 3.66 3 + 1.61 3 Re Pr D h /L 1 3waarbij hij meteen de vroeger gehanteerdeeindwaarde van Nu = 5.65 verving door de meercorrecte waarde van 5.66.Siedler en Tate zijn overigens vooral bekendworden voor de correctie die ze invoerden voor derichting van de warmtestroom. Hettemperatuurverschil tussen de stroming Tm en dewand Tw, heeft vooral via de viscositeit van hetmedium invloed op de warmteoverdracht. Siedleren Tate introduceerden een factor (ηm/ηw) 0.14waarmee de waarde van Nusselt volgens één vande bovenstaande relaties kan worden gecorrigeerd.In moderne literatuur is het gebruikelijk om dezerelatie in het Prandtl getal uit te drukken.De meetresultaten waarop Siedler en Tate huncorrectie baseerden, vertonen een grote spreiding.Hufschmidt en Burck (1968) hebben laten zien dateen correctie met (Pr/ Prw) 0.11 zowel voorlaminaire als turbulente stromingen een beterresultaat geeft.Om dezelfde reden dat er geen gesloten analytische oplossing voor de wrijvingscoëfficiënt in eenturbulente stroming opgesteld kan worden, lukt dit ook niet voor het Nusselt getal. Ook hiervoorgeldt dat er tal van empirische relaties zijn bedacht. In dit college wordt de relatie van Dittus-BöltergehanteerdNu = αD eλ = 0.023Re4/5 Pr n , Re> 10000 (5.33)de factor n heeft een waarde van 0.4 als de vloeistof wordt verhit en een waarde van 0.3 als devloeistof wordt gekoeld.82 procestechnische constructies 4B660

Met de empirische vergelijkingen van Siedler-Tate en Dittus-Bölter hebben we nog steeds eenprobleem wanneer de stroming zich in het transitiegebied 2300

oftewelT w – T k =– 1+ C kC wT k + C kC wT k,in + T w,in(5.37)Substitueren van (5.37) in (5.35) levert na wat verplaatsen- 1+ C kC wdT kT k+ C = kdA(5.38)kC kTC k,in+ T w,inwIntegreren van (5.38) over de gehele lengte van een warmtewisselaar (van A=0 tot A=A w ) geeft navereenvoudigingln1+ C kC wT k,in- T k,uit+ T w,in- T k,inT w,in- T k,in=-1C k+ 1 C wkA (5.39)Vergelijking (5.37) kan worden omgeschreven totC kC w=- T w,uit - T w,inT k,uit- T k,in(5.40)om zo de capaciteitsstromen uit (5.39) te eliminerenlnT w,uit - T w,inkA= T w,uit- T k,uit- T w,in- T k,inT w,in- T k,inQ(5.41)aangezien moet gelden datΦ = C kT k,uit- T k,in= C wT w,in- T w,uit(5.42)Met T w -T k = ∆T kan uitdrukking (5.41) in zijn meer gebruikelijke vorm worden geschrevenΦ = kA w∆T a- ∆T bln ∆T a/∆T b= kA w∆T ln (5.43)Als de subscripts a en b refereren aan de respectievelijke zijden van de warmtewisselaar geldt dezeuitdrukking voor zowel tegen– als gelijkstroom. ∆T ln staat bekend als het logaritmisch gemiddeldtemperatuurverschil. Deze methode is prettig om te gebruiken wanneer de temperaturen aan beideinlaten en uitlaten van de warmtewisselaar bekend zijn. Eenvoudig valt te verifiëren dat dezeuitdrukking zowel bij een gelijkstroom als een tegenstroom warmtewisselaar opgaat. Bij andereconfiguraties moet een correctie worden toegepast, in dat geval geldtΦ =FkA w∆T a- ∆T bln ∆T a/∆T b=F kA w∆T ln (5.44)De gebruikelijke methode is om de correctiefactor grafisch te bepalen. In de navolgende figuren staaneen aantal voorbeelden, ontleend aan Béjan (1993)procestechnische constructies 4B660 85

figuur 5.28 correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met twee ongemengde takken (Béjan 1993)figuur 5.29correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met een gemengde en een ongemengde tak (Béjan1993)86 procestechnische constructies 4B660

figuur 5.30 correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met twee gemengde takken (Béjan 1993)figuur 5.31correctiefactor F voor een shell and tube warmtewisselaar met één shell passage en een dubbele tube passage(Béjan 1993)procestechnische constructies 4B660 87

figuur 5.32correctiefactor F voor een shell and tube warmtewisselaar met een dubbele shell passage en een vier-dubelletube passage (Béjan 1993)5.3.2 effectiviteits methodeWanneer we op zoek zijn naar de uitgangstemperaturen van de warmtewisselaar is het handiger omde capaciteitstromen niet te elimineren. Deze methode gaat uit van de effectiviteit van eenwarmtewisselaar, over het algemeen gedefinieerd alsε =overgedragenvermogenmaximaal over te dragen vermogen = C k T k,uit - T k,inC minT w,in- T k,in= C w T w,in - T w,uitC minT w,in- T k,in(5.45)waarbij C min de kleinste waarde van C k en C w is. Dit houdt in datε = C w T w,in - T w,uitC wT w,in- T k,in= T w,in - T w,uitT w,in- T k,inals C w< C k (5.46)ε = C k T k,uit - T k,inC kT w,in- T k,in= T k,uit - T k,inT w,in- T k,inals C k< C w (5.47)ε =T w,in - T w,uitT w,in- T k,in= T k,uit - T k,inT w,in- T k,inals C w= C k (5.48)oftewel, de effectiviteit van een warmtewisselaar kan altijd uit drie temperatuurmetingen wordenbepaald. Als de effectiviteit van een warmtewisselaar bekend is, kan de uitgewisselde hoeveelheidwarmte worden berekend volgensΦ = ε C minT w,in– T k,in(5.49)We zullen de methode illustreren door een uitdrukking af te leiden voor een eenvoudige gelijkstroomwarmtewisselaar. Hiertoe substitueren we (5.45) in vergelijking (5.39)ln 1 - ε C minC w+ C minC k=-1C w+ 1 C kkA w(5.50)88 procestechnische constructies 4B660

uitschrijven naar ε geeftε =1-exp 1+ C wkA wC kC w(5.51)C min/C w+ C min/C kals C w < C k kan deze uitdrukking worden geschreven alsε =1 - exp - 1 + C wkA wC kC w(5.52)1+ C h/C ken als C w > C kε =1 - exp - 1 + C kkA wC wC w(5.53)1+ C k/C wzodat we voor beide situaties kunnen schrijvenε =1 - exp - 1 + C minkA wC maxC min(5.54)1+ C min/C maxop overeenkomstige wijze kan voor een tegenstroom configuratie worden afgeleid (teken in tweedeterm van uitdrukking 5.49 omdraaien)ε =1-1-expC minC maxexp1– C minC max1 – C minC max–kA wC min(5.55)-kA wC minIn de figuren (5.32) tot en met (5.35) zijn voor enkele warmtewisselaar configuraties de effectiviteitengegeven als functie van het “number of transfer units ” (NTU). De NTU is gedefinieerd alsNTU = kA wC min (5.55)In Kays (1984) zijn een groot aantal van dit soort figuren verzameld.procestechnische constructies 4B660 89

1-2 parallel/gelijkstroomkruis stroom, ongemengdeffectiviteit [-]10.80.60.40.2Cmin/Cmax = 00.250.50.751effectiviteit [-]10.80.60.40.2C min /C max = 00.250.50.7510 0 1 2 3 4 5NTU max = kA/C min0 0 1 2 3 4 5NTU max = kA/C minfiguur 5.32effectiviteit van een double pass shell en tubewarmtewisselaarfiguur 5.33effectiviteit van een ongemengde kruisstroomwarmtewisselaargelijkstroomtegenstroomwarme zijde (mc) h = C hwarme zijde (mc) h = C heffectiviteit [-]10.80.60.40.2koude zijde (mc) c = C cC min /C max = 00.250.50.751effectiviteit [-]10.80.60.40.2koude zijde (mc) c = C cC min /C max = 00.250.5 0.7510 0 1 2 3 4 5NTU max = kA/C min0 0 1 2 3 4 5NTU max = kA/C minfiguur 5.34effectiviteit van een tegenstroomwarmtewisselaarfiguur 5.35effectiviteit van een tegenstroomwarmtewisselaar90 procestechnische constructies 4B660

5.4 Berekenen van warmtewisselaarsIn deze paragraaf wordt aan de hand van de effectiviteitsmethode geïllustreerd hoe deze gebruikt kanworden voor het doorrekenen van een pijp-in-pijp warmtewisselaar en een kruisstroomwarmtewisselaar.5.4.1 pijp in pijp warmtewisselaarStel dat we de pijp-in-pijp warmtewisselaar van figuur 5.36 willen doorrekenen.OD uLOD iID u(m, r, Cp, T) 2,inID i2(m, r, Cp, T) 1,in1figuur 5.36pijp in pijp tegenstroom warmtewisselaarAls eerste wordt gezocht naar de warmtedoorgangscoëfficiënt k. Voor de binnenpijp (stroom 1) geldtdat ID i = D h = D e .Re = ρ vID iη , Nu = αID i(5.56)λ2De snelheid v is gelijk aan v 1 = m 1 ⋅ρ 1 /A 1,d =4m 1 ⋅ρ 1 /πID i . De Nusseltgetallen kunnen wordenbepaald uit Siedler-Tate voor laminaire stroming of Dittus Bölter voor turbulente stroming.De drukval in de binnenpijp van de warmtewisselaars is eenvoudig uit te rekenen zoals is aangegevenin paragraaf 2.2.1 voor laminaire stroming en paragraaf 2.2.3 voor turbulente stroming.Voor de stroming door de annulus (tak 2) ligt het iets minder eenvoudig. Voor het doorstroomdoppervlak A d2 , de bevochtigde omtrek en de warmtewisselende omtrek geldenA d,2 = π 4 OD i 2 – ID u 2 , P b = π OD i + ID u , P w = π ID u (5.57)In dit geval zijn de Reynoldsgetallen Re Dh en Re De dus niet aan elkaar gelijkD h = 4A dP b, Re = ρ vD hη , (5.58)Na het bepalen van de warmteoverdrachtscoëfficiënten α 1 voor de binnenpijp, kan dewarmtedoorgangscoëfficiënt worden bepaald. Eigenlijk is voor het uitvoeren van dewarmtetechnische berekening alleen het produkt van het warmtewisselend oppervlak A w en dewarmtedoorgangscoëfficiënt k van belang. Deze volgt uitkA w = 1 = 13Σ R 1n+ ln ID u/ID in =1 α IDi A IDi 2πλL+ 1α IDo A IDo(5.59)De volgende stap is om voor beide takken de capaciteitsstromen C 1 en C 2 te bepalen. Met vergelijking(5.52) kan dan de effectiviteit worden berekend. Een alternatief is om de effectiviteit grafisch viafiguur (5.35) te bepalen. Met de definitie van de effectiviteit (5.44) zijn de uitgangstemperaturen dan tebepalen.procestechnische constructies 4B660 91

5.4.2 kruisstroom warmtewisselaarDe effectiviteitsmethode kan op dezelfde wijze op een kruisstroomconfiguratie worden toegepast.Neem als voorbeeld de warmtewisselaar van figuur 5.37. De warmtewisselaar bestaat uit n gerildeplaten. De plaatafstand is h en de afstand tussen de rillen is b De platen hebben een afmeting van LxL.De dikte van de plaat en de rillen is d.LLhbfiguur 5.37kruisstroomwarmtewisselaar opgebouwd uit platen met rillen.Het berekenen van een kruisstroomwarmtewisselaar verloopt langs dezelfde lijnen als bij de pijp inpijp warmtewisselaar. Geometrisch is het echter iets lastiger. Het doorstroomd oppervlak van éénkanaaltje A d is b . h. Het aantal kanalen per plaat is n kanaal = L/(b+d). De helft van de platen komt tengoede van beide takken van de warmtewisselaar. De bulksnelheid in de kanalen wordt daarmeev= mρ⋅ 1 2 n⋅n plaatA d(5.60)De hydraulische diameter van een kanaaltje isD h = 4A dP b= 4 bh2 b+h(5.61)Aangezien één tak van de warmtewisselaar bestaat uit een aantal parallel geschakelde kanalen is detotale drukval over de warmtewisselaar gelijk aan de drukval over één kanaalEr vindt geen warmteoverdracht door de rillen omdat twee naastliggende kanaaltjes vrijwel dezelfdetemperatuur hebben. De kanalen wisselen alleen aan de onder en bovenzijde warmte uitD e = 4A dP e= 4 bh2 b(5.62)Met Sieder-Tate of de Bölter-Dittus vergelijking kunnen weer de Nusseltgetallen en dewarmteoverdrachtscoëfficiënten worden bepaald. Hiermee wordt een kleine fout gemaakt omdat dekanalen aan de bovenzijde en aan de onderzijde maar aan één kant warmte uitwisselen. De waardenvan Nusselt zullen hier iets verschillen. De uitdrukking voor de warmtedoorgangscoëfficiënt iseenvoudigk = 11α 1+ d λ + 1 α 2(5.63)De kanalen in de bulk van het warmtewisselaar blok wisselen aan de onder en de bovenzijde warmteuit en hebben een warmtewisselend oppervlak A w,kanaal =2bL . Voor het warmtewisselend oppervlakkan de invloed van de bovenste en onderste kanaalrijen eenvoudig worden meegenomen door hettotale warmtewisselend oppervlak te omschrijven als92 procestechnische constructies 4B660

A w,tot = n–1 n kanaal A w,kanaal ≈ 2n–1 L 2 (5.64)De overige stappen verlopen hetzelfde als in de vorige paragraaf is beschreven.5.5 Thermodynamische analyseWanneer we een warmtewisselaar zuiver naar zijn thermische prestaties willen optimaliseren komenwe uit bij een oneindig grote warmtewisselaar aangezien Q~A w . Als we daarnaast eisen dat dedrukval minimaal is, komen we uit bij een warmtewisselaar met een oneindig grote dwarsdoorsnedeen oneindig korte kanalen. Het ontwerp wordt daarom in grote mate bepaald door additionele eisenzoals begrensde afmetingen, begrensde prijs en procesomstandigheden.De tweede hoofdwet van de thermodynamica kan te hulp worden geroepen om het aantalmogelijkheden te beperken. Het achterliggende idee is dat minimalisering van de entropie generatieop component niveau ook de entropie generatie van het systeem verkleint.Elk warmteoverdrachtsproces vereist een temperatuurverschil. Wanneer warmte wordtgetransporteerd van een hoge naar een lage temperatuur wordt er entropie geproduceerd. Figuur 5.38laat een warm lichaam zien met temperatuur T w dat een hoeveelheid warmte overdraagt aan eenkouder medium met temperatuur T k . Aangezien beide systemen niet direkt met elkaar communicerenbestaat er een derde systeem: het temperatuurverschil ∆T waar de warmtestroom Q onveranderddoorheen gaat.T wT wT wQQQB'revmotorremrevmotorremQQ-BBQ-BT kT kT kfiguur 5.38systeem met warmteoverdrachtAls de tweede hoofdwet op dit systeem wordt losgelaten volgtS gen = Φ T k– Φ T w= Φ T w–T kT w T k(5.65)Uit (5.65) volgt dat de entropiegeneratie altijd positief is. In figuur 5.39 is verder geïllustreerd datwarmteoverdracht thermodynamisch gezien gelijk staat aan een reversibele motor die werkt tussenbeide temperatuurverschillen en zijn volledige output dissipeert in een rem. We beschouwen eenwarmtewisselaar passage met een doorsnede A d en een bevochtigde omtrek O Het doel van depassage is dat er een hoeveelheid warmte q' per eenheid van lengte wordt overgedragen aan eenmassastroom m . In stationaire toestand passeert de warmtestroom Φ' een temperatuurverschil ∆Ttussen de temperatuur van de wand T+∆T en de bulk temperatuur van de stroming T. De stromingondervindt een wrijving in de richting van de x-coördinaat zodat -dp/dx > 0.procestechnische constructies 4B660 93

Φ'OT + ∆TmATp∆xfiguur 5.39Als we kijken naar een thermodynamisch systeem met lengte dx geldt volgens de eerste hoofdwet datde warmte toe– of afvoer gelijk moet zijn aan de verandering van de enthalpiem dh = Φ’ dx (5.66)als h de enthalpie aangeeft. Volgens de tweede hoofdwet van de thermodynamica moet geldens’ gen= m dsdx - Φ’T + ∆T(5.67)s ' gen is de toename van de entropie per eenheid van tijd per eenheid van lengte. Met de definitie vande enthalpie Tds +dp/r kan voor s ' gen worden geschrevens’ gen= m ρT - dpdx + Φ’∆TT 2 1+∆T/T ≅ m ρT - dpdx + Φ’∆T ≥ 0 (5.68)T 2aangezien in de meeste gevallen geldt dat ∆T

D h= 4 A O(5.74)Vergelijking (5.65) kan hiermee worden herschreven totS’ gen= q’2 D h4T 2 mc pSt + 2m3 ƒρ 2 TD h(5.75)Als we ons beperken tot een ronde buis met een turbulente stroming, is er nog maar één graad vanvrijheid over in het ontwerpproces aangezien A en O aan elkaar gerelateerd zijn via de diameter D.Vergelijking (5.72) wordt danS’ gen=q’ 2πT 2 λNu + 32m3 ƒπ 2 ρ 2 TD h(5.76)aangezien geldt datRe = 4mπηD(5.77)enNu = αD hλ(5.78)Met behulp van twee redelijk betrouwbare correlaties voor turbulente stroming (VDI Wärmeatlas1984)Nu ≅ 0.023 Re 0.8 Pr 0.4 (0.7

1000100S' Dφ = 100S' D, minφ = 10 -6 φ = 10 -3 φ = 110φ = 1010.01 0.1 1 10Re DRe D, optfiguur 5.40de relatieve entropie generatie voor gedwongen convectieve warmteoverdracht door een gladde pijp5.5.1 Verhoging van de warmteoverdrachtscoëfficiëntEen ander mooi voorbeeld van de competitie tussen entropiegeneratie via wrijving enwarmteoverdracht vindt plaats in het veld van de compacte warmtewisselaars, waar het hoofddoel isom de warmteoverdracht van een op één of andere manier vervormd oppervlak te verhogen tenopzichte van een onvervormd oppervlak. Gelijk daarmee speelt echter dat het benodigdpompvermogen niet al te zeer omhoog mag gaan.Om hier een vinger achter te krijgen, vergelijken we een bestaande situatie met entropie generatieS’ en een situatie waarbij gepoogd is om het warmtewisselend oppervlak door een vervorming tegen overgroten S’gen. Het verschil geven we aan met het entropie generatie getalvN Sa = S’ gen v / S’ gen 0(5.84)Verbeteringstechnieken met een getal N S,v

De verhouding tussen entropie generatie door wrijving en warmtetransport wordt gedicteerd door denumerieke waarde van φ o . φ o is bekend doordat we uitgaan van een bestaand ontwerp. Deze manier istoegepast op een grote range van verbeteringstechnieken, van verhoging van de oppervlakte ruwheidtot het aanbrengen van een swirl in de stroming. Deze leiden echter allemaal tot vergelijkbareresultaten. Ter illustratie van de techniek, wordt hier een pijpstroming bekeken waarbij getrachtwordt om via verruwing an het oppervlak een betere warmteoverdracht te bereiken. De hydraulischediameter wordt hierbij niet veranderd zodat N S,v kan worden geschreven alsN s,v =1+φ 1 St o+φ o f vfo(5.89)o St v 1+φ oDeze relatie is weergegeven in figuur 5.41 voor enkele waarden van φ o en de relatieve ruwheid ε/D.Voor een vast Reynolds getal en een vaste ruwheid ε/D bestaat er een kritische waarde voor deverhouding tussen de entropie generatie door wrijving en –warmteoverdracht waarvoor geldt datN S,v =1, oftewel: verhoging van de ruwheid heeft thermodynamisch gezien geen enkele zin. Als in eenbepaald ontwerp de werkelijke waarde van f0 groter is dan de kritische waarde volgens figuur 42,heeft verhoging van de ruwheid thermodynamisch geen zin. Dit zal altijd het geval zijn, ondanks dehogere warmteoverdracht die plaatsvindt.5.5.2 Entropie generatie bij warmtewisselaarsVoor een gebalanceerde tegenstroom warmtewisselaar waarvoor geldt dat de capaciteitsstromen inbeide takken van de warmtewisselaar aan elkaar gelijk zijn, kan uit de vergelijkingen (5.48) en (5.54)worden afgeleid dat voor deze situatie geldt datε = T k,uit - T k,inT wi,n- T k,in= T w,in - T w,uit= kA w /CT wi,n- T k,in1+kA w/C = NTU1+NTU(5.90)Als we veronderstellen dat beide media beschreven kunnen worden als een ideaal gas, kunnen we deentropie generatie van de warmtewisselaar beschrijven alsS gen = mc p wln T w,uitT win+ mc p kln T k,uitT kin– mR w ln p w,uitp w,in– mR k ln p k,uitp k,in(5.91)figuur 5.41 het entropie verhogings getal als functie van Reynolds voor een ruwe pijp (Bejan 1982)procestechnische constructies 4B660 97

figuur 5.42de kritische verhouding f voor een ruwe pijp de feitelijke f o moet kleiner zijn dan de kritische f 0 om een reductiein entropie generatie te bereiken (Bejan 1982)Met behulp van (5.90) kunnen de massastromen worden geëlimineerd. Voor een “goede”warmtewisselaar (1-ε) N S,∆Pg >g = constantoppervlaklog(L/D h )log (Re)figuur 5.43entropie generatie getal als functie van Reynolds, de kanaalslankheid en de bulksnelheid98 procestechnische constructies 4B660

Figuur 5.44 is geconstrueerd door de overeenkomstige relaties voor de effectiviteit in (5.92) tesubstitueren voor een tegenstroom, gelijkstroom en kruisstroom warmtewisselaar. Als hetwarmtewisselend oppervlak gelijk is aan nul gebeurt er niets en is er dus ook geen toename van deentropie. Zodra er sprake is van warmte-uitwisseling neemt de entropie generatie snel toe. Bij eenoneindig goede tegenstroom warmtewisselaar (ε=1) blijft het temperatuurverschil tussen beidewarmtestromen voor en na de warmtewisselaar hetzelfde: het ingaande warme medium heeft na dewarmtewisselaar de temperatuur van het koude medium en omgekeerd. Ook in dat geval is deentropie generatie nul.1.2N S10.8gelijkstroomkruisstroom, ééngemengde stroomkruisstroom, ongemengdN S,maxNTU = kA w /C0.6tegenstroom0.40.22 4 6 8 10figuur 5.44entropie generatie voor verschillende stromingsconfiguraties als functie van het warmteoverdragend vermogenkA w /COm de invloed van een onbalans in de capaciteitsstromen te illustreren, kijken we naar een overigensperfecte warmtewisselaar, dat wil zeggen ∆p=0 en kA w /C=∞. De onbalans ω tussen beide takken vande warmtewisselaar wordt gedefinieerd alsω = mc p 1mc p 2= C 1C 2>1 (5.90)De effectiviteit van een tegenstroom warmtewisselaar, zie uitdrukking (5.55), kan dan wordengeschreven alsε =1-exp 1–ω –1 kA wC min1-ω –1 exp 1 – ω –1 kA wC min(5.91)wanneer C 2 de kleinste capaciteitsstroom is. Analoog aan vergelijking (5.84) kan dan voor de entropiegeneratie worden geschrevenN S =S genmc p=ln T 2T 1ω1+T 1T 2–11+ωω1+ω(5.92)In figuur 5.45 is deze relatie uitgezet. Als één van de twee stromen een zodanig grotecapaciteitsstroom heeft dat de temperatuur in die tak niet veranderd, is de entropietoenamemaximaal. Dit is het geval bij een fase-overgang in een van de media. De tweede belangrijke conclusieis dat de entropie toename bij gelijkstroom altijd groter is dan bij tegenstroom, maar dat het belangvan de configuratie afneemt naarmate de onbalans toeneemt.procestechnische constructies 4B660 99

0.2NS,onbalans0.150.1gelijkstroomtegenstroom0.05T 1 /T 2 = 21 ω10figuur 5.45de entropie toename als gevolg van een onbalans in capaciteitsstromen voor een gelijkstroom en eentegenstroom warmtewisselaarIn figuur 5.46 zijn de belangrijkste conclusies uit deze paragraaf nog een keer grafisch weergegeven.Aan de entropie toename door een onbalans in de stroming kan niets worden gedaan door deconstructie van de warmtewisselaar. Als de onbalans klein is, moet voor een bepaalde maat van dewarmtewisselaar worden gezocht naar het minimum in de entropietoename door wrijving en door dewarmteoverdracht. Vergroten van de warmtewisselaar leidt altijd tot een afname in entropiegeneratie, maar leidt door het toegenomen materiaalgebruik ook tot een hogere investering. In feitezou de entropietoename door de produktie van het materiaal moeten worden afgezet tegen deentropie toename door het functioneren van de warmtewisselaar over zijn levensduur om eenwerkelijk minimum te vinden. In de meeste situaties is dit in het ontwerpstadium echter onmogelijk.N S,∆TN S,∆PN S,ωverhouding tussenN S,∆T en N S,∆Pinvesteren in eengrotere warmtewisselaarfiguur 5.46overzicht van de entropie generatie in een warmtewisselaarprobleembenzeen wordt gebruikt in een proces voor het maken van een landbouwgif. Een pijp in pijp warmtewisselaar moet zo worden gedimensioneerddat het benzeen wordt opgewarmd van 24 °C naar 52 °C. Demassastroom benzeen is 1.26 kg s-1. Voor het opwarmen is waterbeschikbaar op een temperatuur van 94 °C. Selecteer een geschiktewarmtewisselaar en bepaal de noodzakelijke waterstroom.Stofwaarden benzeen:ρ = 869 kg m -3 , Cp = 1780 J kg -1 K -1 , λ = 0.157 Wm -1 K -1 , η = 5 . 10 -4 Pa s,Pr = 1.78100 procestechnische constructies 4B660

discussieVoor een vloeistof-vloeistof warmtewisselaar zijn een pijp in pijp en eenshell and tube warmtewisselaar geschikt. De benzeen stroom is kleingenoeg voor een pijp in pijp warmtewisselaar (als we dit niet weten doorervaring, kunnen we eerst proberen om een pijp-in-pijp warmtewisselaarte maken. Als dit niet lukt, kan vervolgens een shell and tubewarmtewisselaar worden gemaakt). We willen een thermodynamischgoede warmtewisselaar maken en gaan ervan uit dat deze in balans moetzijn. Op basis van de richtlijnen voor snelheden uit tabel 2.2 kan eenschatting worden gemaakt voor het doorstroomde oppervlak. Om dewarmteverliezen naar de omgeving zo klein mogelijk te houden, sturenwe de warme vloeistof door de binnenpijp.aannamen – stationaire toestand– benzeen eigenschappen constant (zie boven)– water eigenschappen constant en geëvalueerd op (94+24)/2= 60°Cnomenclatuur w subscript geeft de warmere vloeistof aank subscript geeft de koudere vloeistof aanh refereert aan de hydraulische diametere refereert aan de equivalente diametergroothedenm w = te selecteren T w,in = 94 °Cρ w =985 kg m -3 Cp w = 4181 J kg -1 K -1λ w = 0.651 Wm -1 K -1 Pr w = 3.02η w = 5.7 . 10 -4 Pa ssnelhedencapaciteitsstromenm k = 1.26 kg s -1 T k,in = 24 °Cρ k = 869 kg m -3 T k,uit = 52 °Cλ k = 0.157 Wm -1 K -1 Cp k = 1780 J kg -1 K -1η k = 5 . 10 -4 Pa s Pr k = 1.78v w = 1.4+2.82=2 ,v k = 1.4+2.82m k Cp k = 1.26⋅1780 = 2242 WK –1=2keuze: C w = C km w = C kmCp w = 2242 1.26 = 0.68 kg s–1w4181doorstroomd opp.A d,w = m ρ v = 0.68985⋅2 = 3.45⋅10–4 m 2A d,k = m ρ v = 1.26869⋅2 = 7.2⋅10–4 m 2procestechnische constructies 4B660 101

pijp selectieNu gaan we op zoek naar twee buizen die in elkaar geschoven ongeveerde bovenstaande doorlaten hebben. Er is niets opgemerkt over drukken,dus we nemen aan dat we dunwandige buizen mogen gebruikenID i =4 A w=4⋅3.45⋅10 –4= 0.021 mVanwege de goede warmtegeleiding kiezen we voor koperen buis. Uittabel 2.6 selecteren we DN = 22 mm is.Voor de buitenbuis moet dan ongeveer geldenA d,w = π 4 OD i 2 – 0.022 2 = 7.2⋅10 –4 m 2 ↔ OD i = 0.048 mdoorstroomd opp.We selecteren buis DN=42 mm, in gedachten houdend dat bij eenwarmtewisselaar de snelheid ook weer niet al te laag moet worden i.v.m.de warmteoverdracht. Nu moeten de doorstroomde oppervlakken ensnelheden opnieuw worden uitgerekendDN = 22 mm, s = 1.1 mm, ID i = 19.8 mm, ID u = 22 mmA d,k = π 4 ID i 2 = π 4 0.01982 = 3.07⋅10 –4 m 2DN = 42 mm, s = 1.4 mm, UD i = 39.2 mm, UD u = 42 mmA d,w = π 4 UD i 2 – ID u 2 = π 4 0.03922 – 0.0220 2 = 8.26⋅10 4 m 2snelhedenhydraulische diameterequivalente diameterReynolds getallenwarmtebalansdiscussieeffectiviteitv k =m k= 1.26 = 1.76 m s–1ρ k A –4 dk 869⋅8.26⋅10Deze snelheid is wat aan de lage kant. Beter te laag echter dan te hoogv w =m w= 0.68 = 2.2 m s–1ρ A –4 d 985⋅3.07⋅10D h,w = ID i = 0.0198 mA d,kD h,k =4=4⋅1.66⋅10 –3π UD i + ID u π 0.0392 + 0.022 = 0.0172 mD e,w = ID i = 0.0198 mD e,k =4 A d,k= 4⋅8.26⋅10–4 = 0.048 mπ ID u π⋅0.022Re k = ρ kv k D h,kη kRe w = ρ wv w D h,wη w= 869⋅1.76⋅0.0295⋅10 –4 = 8.9⋅10 4 → turbulent= 985⋅2.2⋅0.01984.7⋅10 –4 = 9.1⋅10 4 → turbulentm w Cp w T win – T w uit = m k Cp k T k uit – T kinT w,uit =T w,in – C k T k,uit – T k,in 2242⋅ 52 – 24=94–C w2242=66Uit deze getallen blijkt dat we eigenlijk de stofwaarden niet op de goedetemperatuur hebben bepaald. We besluiten echter om dit verschil teverwaarlozen.Nu de temperaturen bekend zijn, kan de noodzakelijke effectiviteitworden bepaald. De warmtedoorgangscoëfficiënt kan worden berekend,waarna het warmtewisselend oppervlak en dus de lengte van dewarmtewisselaar vast ligt.ε = T k,uit– T k,inT win – T kin= T w,in– T w,uitT win – T kin=52 – 2494 – 24 = 0.4102 procestechnische constructies 4B660

NTUNusseltwarmteoverdrachtgrafisch bepalenNTU = kAC min= 0.75 → kA = 0.75⋅C = 0.75⋅2242 = 1682 WK –1We gebruiken de relatie Dittus-Bölter, waarbij we aannemen dat deinterpolatie overbodig is.Nu k = 0.023⋅Re k 4/5 Pr k 0.4 = 0.023⋅4.4⋅10 4 4/5 1.78 0.4 =303Nu w = 0.023⋅Re w 4/5 Pr w 0.3 = 0.023⋅9.1⋅10 4 4/5 3.02 0.3 =297Nu w = α w D e,wλ w↔ α w = Nu wλ wD ew= 297⋅0.6510.0198 = 9765Nu k = α k D e,kλ k↔ α k = Nu kλ k=D 303⋅0.157 = 991ek 0.048bepaal het warmtewisselend vermogen per eenheid van lengtekA = 1L 1 + ln ID u/ID i+ 1α k πID i 2⋅π⋅λ koper α w πID ukA = 1L 1 ln 0.022/0.0198+991π0.0198 2⋅π⋅399+ 19765π0.022kAL= 11.62⋅10 –2 + 4.20⋅10 –5 + 9.65⋅10 3 = 38.6 Wm–1 K –1LengtewrijvingsfactorendrukvalWe hadden een kA van 1682 WK -1 nodig , oftewel 1682/38.6 = 43 mwarmtewisselaar.koperen leiding wordt met een extrusie achtig proces gemaakt: e=0.0005Re≈1 . 10 5 in beide takken, grafisch bepalen, ƒ=0.019∆p w = f L 1w ρ vD 2 hw2 w = 0.0190.0198 43 0.5 985⋅2.22 = 9.85⋅10 4 Pa∆p k = f L 1k ρDh k2 k v 2 k = 0.0190.0172 43 869⋅0.5⋅1.762 = 6.39⋅10 4 PaLiteratuur1984 Kays, W.M. en A.L. London, Compact heat exchangers, McGraw-Hill, New York1988 Bejan, A., Advanced engineering thermodynamics, Wiley, New York1993 Bejan, A., Heat transfer, Wiley, New Yorkprocestechnische constructies 4B660 103