Procestechnische constructies

dq λ,r+dr =–λ2π r+dr dx ∂T∂r + ∂2 Tdx2 (5.19)∂rDoor het mechanisme van convectie wordt overgedragendq c =2πrdrρ Cp u(r) ∂T∂xdx (5.20)Uit een energiebalans volgt dan bij verwaarlozing van de 2 e orde termenλ ∂T∂r + Tr∂2 dx dr = r ρ Cp u∂T2∂r ∂xdx dr (5.21)oftewel1ur ∂ ∂r r∂T ∂r= ρ Cpλ∂T∂x(5.22)Bij wijze van illustratie wordt vergelijking (5.22) opgelost voor de conditie dat er een constantewarmtestroom per eenheid van oppervlak q aan de wand van de pijp heerst. Dan geldt∂T= constant, ∂T =0op r=0, λ∂T = q = constant op r=r ∂x ∂r ∂r s (5.23)r = rsDe snelheidsverdeling in een laminaire buisstroming (Poiseuille) is in hoofdstuk 2 al afgeleidur = r2 – r s24ηdpdx(5.24)Als de stofwaarden constant zijn, kan vergelijking (5.22) met de randvoorwaarden van (5.23) en hetsnelheidsprofiel (5.24) worden omgeschreven tot∂∂r r∂T ∂r= 1 a ∂T∂x u max 1– r2r s2 r (5.25)Na twee keer integreren naar r volgtTr,x = 1 a ∂T∂xu max4 r2 1– r24r s2 + T center (5.26)Door gebruik te maken van de definitie van de bulktemperatuur (13) kan dit ook worden geschrevenalsT ∞ – T c =967 2u max r s ∂Ta(5.27)∂xof in termen van de temperatuur in het midden van de stromingT s – T c =163 2u max r s ∂Tx(5.28)∂xDe gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënt α kan worden geschreven alsq cα =A w T s – T b= λ ∂T/∂rT s – T bAangezien in dit college verder alleen met gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënten wordtgewerkt, wordt het streepje in het vervolg weggelaten. Invullen geeft vervolgens een uitdrukkingvoor de warmteoverdrachtscoëfficiëntα =11r 24λ = 48λs 11D ⇔ Nu = αD λ = 48 = 4.364 (5.29)11In tabel 5.2 is een overzicht gegeven van Nusseltgetallen voor andere kanaalvormen enrandvoorwaarden.80 procestechnische constructies 4B660