Meetkundige toepassingen van complexe getallen Groep A

Opgave 7 Zij gegeven een vierhoek ABCD, met middens der zijden P , Q, R en S. Bewijsm.b.v. complexe getallen dat P QRS een parallellogram is.Opgave 8 (Stelling van Appolonius)Laat λ ≠ 1 en twee punten A en B gegeven zijn. De punten Z waarvoor geldt dat |AZ| =λ|BZ| liggen op een cirkel, de zogenaamde cirkel van Appolonius.Aanpak: Neem zonder verlies van algemeenheid A = −1 en B = 1 en laat Z een willekeurigpunt zijn met |AZ| = λ|BZ|. Werk |z + 1| = λ|z − 1| om tot |z − m| 2 = r 2 voor geschiktem en r.Opgave 9 (Constante-hoek stelling)1. Laat φ en twee punten A en B gegeven zijn. De punten Z waarvoor geldt dat∠AZB = φ liggen op een cirkelboog.Aanpak: Neem zonder verlies van algemeenheid A = i en B = −i en laat Z eenwillekeurig punt zijn met ∠AZB = φ. Gebruik het feit dat i.h.a. q p = (q)(p) e2i∠P OQ . enwerk (z + i)(z + i) = e 2iφ (z − i)(z − i) uit tot |z − m| 2 = r 2 voor geschikte m en r.2. Gebruik de koordenvierhoekstelling om te bewijzen dat Z 1 , Z 2 , Z 3 en Z 4 op een cirkelliggen (of op één lijn) d.e.s.d.a.( ) ( )z4 − z 1 z4 − z 2Arg≡ Arg(mod π)z 3 − z 1 z 3 − z 2(gerichte hoeken!) en dus ook d.e.s.d.a. als voor de zogenaamde dubbelverhoudinggeldt dat ( )z 4 −z 1z 3 −z 1( ) ∈ Rz 4 −z 2z 3 −z 2Opgave 10 (Stelling van Napoleon)Zij gegeven een willekeurige driehoek ABC. Op elk van de zijden wordt een gelijkzijdigedriehoek geconstrueerd (naar buiten gericht), en deze hebben zwaartepunten Z 1 , Z 2 en Z 3 .Bewijs dat △Z 1 Z 2 Z 3 gelijkzijdig is.Opgave 11 Lijn l raakt aan de omschreven cirkel van de scherpe driehoek ABC in puntB. Laat K de loodrechte projectie van het hoogtepunt H van driehoek ABC op de lijn l.Laat L het midden zijn van AC. Bewijs dat driehoek BKL gelijkbenig is.Opgave 12 Gegeven een driehoek ABC met omschreven cirkel S. Spiegel S in AB, ACand BC en noem deze cirkels, respectievelijk, S AB , S AC , en S BC . Laat zien dat de drienieuwe cirkels een gemeenschappelijk punt Z hebben. Welk punt is dit?3