Inhoudsopgave - Toegepaste Wiskunde intro

36 HOOFDSTUK 3. AANVULLING DIFFERENTIEERBAARHEID3.2.14 Numerieke benadering van afgeleidenAls een functie bijvoorbeeld in de vorm van een tabel is gegeven en we veronderstellendat f een voldoende vaak differentieerbare functie is, dan kunnen we deTaylorontwikkeling van f rond x gebruiken om een schatting van de eerste en tweedeafgeleide in het punt x te maken. Voor de eenvoud veronderstellen we dat defunctiewaarden zijn gegeven in equidistante waarden van x, dus voor x 0 , x 1 , . . .,x n ,met x i+1 − x i = h > 0.Een voor de hand liggende schatting voor de afgeleide in het punt x = x i is metde definitie:f ′ (x) ≈f(x + h) − f(x)h.Met behulp van de stelling van Taylor kunnen we nu een schatting maken van defout die we maken als we f(x+h)−f(x)hnemen inplaats van f ′ (x) zelf. We schrijvende derde orde Taylorontwikkeling op:f(x + h) = f(x) + f ′ (x)h + f ′′ (x)2Hieruit lossen we f ′ (x) op:h 2 + f ′′′ (x)3!h 3 + o(h 3 ). (3.32)f ′ (x) =f(x + h) − f(x)} {{h}benadering− f ′′ (x)h + o(h) .}2{{ }fout(3.33)We zien dat de fout ongeveer gelijk is aan 1 2 f ′′ (x)h, dat wil zeggen ongeveer evenredigmet h. Dat betekent dat de fout ruwweg twee keer zo klein wordt als we htwee keer zo klein nemen. Deze benaderingsformule voor f ′ (x) heet de voorwaartsedifferentieformule (als h > 0; hoe zou hij heten als h < 0?).Met dezelfde gegevens kunnen we een nauwkeuriger schatting maken. De Taylorontwikkelingvoor f(x − h) isf(x − h) = f(x) − f ′ (x)h + f ′′ (x)2h 2 − f ′′′ (x)3!Als we (3.34) van (3.32) aftrekken, dan krijgen we:f(x + h) − f(x − h) = 2 f ′ (x)h + f ′′′ (x)3Hieruit lossen we f ′ (x) op:h 3 + o(h 3 ).h 3 + o(h 3 ). (3.34)f ′ (x) =f(x + h) − f(x − h)}2h{{ }benadering− f ′′′ (x)h 2 + o(h 2 )}6{{ }fout(3.35)(centrale differentieformule). Aan (3.35) kunnen we zien dat de fout nu ongeveerevenredig is met h 2 , dat wil zeggen dat de fout nu vier keer zo klein wordt als we htwee keer zo klein nemen.