Inhoudsopgave - Toegepaste Wiskunde intro

4 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN EN FUNCTIESHet cartesisch product is dus zelf een verzameling, waarvan de elementen tweetallenzijn.Voorbeeld 1. Als A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4}, dan isA × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} .We maken het cartesisch product uit alle mogelijke combinaties waarbij het eerstegetal uit A en het tweede uit B is genomen. Om dat A twee elementen bevat en Bvier heeft A × B dus 2 × 4 = 8 elementen.Let op. De elementen van A × B zijn geen (ongeordende) verzamelingen maar(geordende) tweetallen: (1, 2) ≠ (2, 1).Voorbeeld 2. Het cartesisch product R × R wordt meestal genoteerd als R 2(spreek uit: “r twee”). De verzameling R 2 wordt meestal weergegeven als het plattevlak, en de elementen (x, y) als punten in het vlak. Zie figuur 1.1.In dezelfde figuur 1.1 is ook [a, b] × [c, d] aangegeven. Dit is het cartesisch productd[a, b]×[c, d]yc(x, y)axbFiguur 1.1: Het cartesisch product [a, b] × [c, d] als deelverzamelingvan R 2 .van de gesloten intervallen [a, b] en [c, d], en bestaat uit alle punten op de getekenderechthoek.1.1.5 Het somtekenWe gaan ervan uit dat iedereen het rekenen met reële getallen beheerst. Alsa 0 , a 1 , . . . , a n reële getallen zijn, dan is het wegens de associativiteit van de optelling3 niet nodig om in de som a 0 + a 1 + · · · + a n haakjes te plaatsen. Deze somkan dan ook korter genoteerd worden met:n∑k=0a kDit wordt uitgesproken als “de som van a k van k is 0 tot n”. In deze notatie is Σde Griekse hoofdletter “sigma”. De letter k wordt de sommatie-index genoemd.De sommatie-index mag best door een andere letter vervangen worden, dusn∑ n∑a k = a j .k=0j=0De letters k en j zijn hier zogenaamde dummies.Het is niet noodzakelijk dat de sommatie-index bij 0 begint. Als p ≤ n, enp, n ∈ N, dan heeft ∑ nk=p a k de betekenis a p + a p+1 + · · · + a n .In het geval n < p is, is de som per definitie gelijk aan nul. We spreken dan wel vaneen lege som.3 Hiermee wordt bedoeld dat (a + b) + c = a + (b + c) is.