Notat om Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning Introduksjon

More documents

Recommendations

Info

Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning Hvert kort kan bare trekkes en gang. n 52 Altså: Uordnet, uten tilbakelegging: r 13 525150...40 635013559600 131211...1 LR: 52 nC4 13 MTL/U: (Egentlig ikke pensum, sjelden variant, men for fullstendighetens skyld) Du skal kjøpe r10 aksjer fra n15 forskjellige selskaper. På hvor mange måter kan du sette opp porteføljen din? Rekkefølgen spiller ingen rolle. Du kan kjøpe samme aksje flere ganger. nr1 15101 Altså: Uordnet, med tilbakelegging: r 10 242322...15 1961256 1098...1 LR: 24 nC4 10 Sannsynlighetsfordelinger To viktige sannsynlighetsfordelinger ble introdusert i 2mx: Binomisk fordeling: Forsøk: Kaste en mynt n5 ganger og observere antall kron. P(K)P(M)0.5 Sannsynligheten for å få x kron blir da: PX x n x px1pnx 5 x 0.5 x0.5 5x Formelen kan utledes ved kombinatorikk. La oss se på muligheten for å få 3 kron. Mulige forsøksserier er f.eks. KKKMM, KKMMK, KMMKK osv. Sannsynligheten for å få akkurat en av disse blir da 0.5 30.5 2 5 Vi innser at vi har slike serier, da vi kan få seriene ved å trekke ut n 5 forskjellige 3 plasseringer for r 3 kron som en uordnet trekning uten tilbakelegging. Hypergeometrisk fordeling: En klasse har N 28 elever hvorav A 10 er jenter. Vi trekker ut n 5elever. Hvaer A NA 10 x nx x sannsynligheten for at x av disse er jenter? Her får vi PX x Hypergeometrisk fordeling: Avhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker uten tilbakelegging! Binomisk fordeling: Uavhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker med tilbakelegging. (Eller har så stor n at sannsynligheten holder seg konstant uansett.) 9.1 Hendinger og mengder Matematikken gir oss i de andre naturvitenskapene tallmessig oversikt over hva som vil skje i eksperimenter, forsøk og virkelige situasjoner når vi kjenner en del forutsetninger og premisser. Resultatet er altså ofte forutsigbart. Når vi derimot kaster en terning, er det umulig å si noe sikkert om resultatet. Likevel er det fruktbart å kunne si noe om hva som kan skje og prøve å tallfeste de forskjellige mulighetene. Sannsynlighetsregning prøver å kvantifisere (tallfeste) tilfeldighet. Dette gjøres ved å angi en sannsynlighet (sjanse, odds) til de forskjellige, mulige resultater. Tilfeldig, stokastisk Umulig å forutsi resultatet Forsøk Kaste en mynt og observere om vi får M eller K, kaste en terning og observere om vi får 6, kaste to terninger og observere summen av antall øyne, trekke 2 kuler fra en krukke og observere om de har lik farve, osv. Legg merke til at vi må angi både hva som skal gjøres og hva som skal observeres! ”Kaste en terning” er intet stokastisk forsøk, vi må spesifisere hva som skal observeres: Observere antall øyne Observere om vi får like antall øyne Observereomvifår3eller4 N n 2810 5x 28 5 2 Sannsynlighet.tex
Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning Utfall, elementær begivenhet Et mulig enkeltresultat av et forsøk. Alle utfall er mulige, gjensidig utelukkende og utgjør tilsammen Utfallsrommet til et forsøk. Hendelse, hending, begivenhet Samling av flere utfall, delmengder av utfallsrommet. Sannsynlighet Tall mellom 0 og 1 (0 og 100% brukes av vanlige folk, men ikke matematikere/statistikere!). At sannsynligheten for å få 6 med et terningkast er P(seks) 1 6 betyr i praksis at hvis vi gjentar eksperimentet 6000000 ganger, så kan vi regne med at ca. 1000000 av kastene gir sekser. (”De store talls lov”) Eksempler: Gjøremål Observasjon Utfallsrom med utfall Eksempler på hendelser A. Kaste mynt Kron eller mynt S{M,K} {M},{K},{M,K} B. Kaste terning Sekser? S{J,N} {J},{N},{J,N} C. Kaste terning Antall øyne? S{1,2,3,4,5,6} {1},{2,4,6},{1,3,5} D. Kaste to terninger Sum øyne? S{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} {7},{3,6,9,12} E. Undersøke lyspære Hvor lenge lyser den? S0, 0,1000 ,1000, F. Trekke ut en rekrutt Observere høyde S 150,250 (f.eks.) 180,250 , 150, 180 Legg merke til: A.,B.,C. og D. har endelige utfallsrom, E. og F. har uendelige utfallsrom A.,B.,C. og D. har diskrete utfallsrom, E. og F. har kontinuerlige utfallsrom I E. og F. kan ikke utfall defineres (f.eks. 180), kun hendelser (f.eks. 179.5, 180.5) da ingen lyspære varer nøyaktig 180 timer og ingen rekrutt er nøyaktig 180 cm. Må angi intervaller i disse to tilfellene. Hendelsen {M,K} angir ikke noe som kan skje (umulig å få M og K samtidig), men en samling av flere mulige utfall.Vi kan derfor si at P({M,K})1, da enten M eller K må skje. Notasjonseksempler med mengder: A.: P({M}) 1 ,P({M,K})1, P({})0 2 C.: P({2,4,6}) 1 2 eller L {2,4,6}: Like antall øyne U{1,3,5}: Ulike antall øyne P(L) 1 2 ,P(U) 1 2 D.: L{2,4,6,8,10,12}: Like tall D3{3,6,9,12}: Delelig med 3 P(L) 18 36 ,P(D3) 12 36 (Se lenger ned hvis du ikke skjønner hvorfor.) F. Dette kommer vi tilbake til i kapittel 8 (normalfordelingen), men det kan være lurt å bli kjent med funksjonsuttrykket for en normalfordeling: P(høyde over 190) P 190, nxdx 190 1 x 1 der nx e 2 2 2 der gjennomsnittet er 180 og standardavviket er 7 (LR: DISTR, 2:normalcdf(190,250,180,7) 0.0766) 3 Sannsynlighet.tex
Page 1: Kombinatorikk og Sannsynlighetsregn
Page 5 and 6: Kombinatorikk og Sannsynlighetsregn
Page 7 and 8: Kombinatorikk og Sannsynlighetsregn
Page 9: H1 H1 H2 H2 4 9 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9

Notat om Kombinatorikk og Sannsynlighetsregning Introduksjon

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?