Notat om bevis

Bevis
Ligninger, ulikheter og tekst er påstander eller Utsagn.
Utsagn kan være sanne eller usanne. (Avhengig av hvilken verdi vi gir en variabel.)
Løsningsmengden for et utsagn er de verdier av variabelen som gjør utsagnet sant!
Ligning: x 5 3 Utsagn sant for x 2, 2 er altså løsningsmengde
Ulikhet: x 5 3 Utsagn sant for x 2, 2, er altså løsningsmengde
Tekst: x er nordmann Utsagn sant for ca. 4.5 mill. nordmenn, de blir derfor også
løsningsmengde.
Implikasjon :
To måter å tenke på:
A B
1) A sann medfører (som logisk konsekvens) at B også er sann.
2) Løsningsmengden til A er inneholdt i løsningsmengden til B. (LA LB)
Eksempel på logisk slutning, "medfører":
Per er nordmannPerereuropeer
Eksempel på løsningsmengder:
x er nordmann x er europeer
LA alle nordmenn LB alle europeere
Ekvivalens:
Betyr at vi har implikasjon begge veier, og at løsningsmengden er den samme!
Viktig i forbindelse med ligningsløsning:
Å løse en ligning betyr å omforme den med operasjoner som ikke (helst) endrer
løsningsmengden . Omformede ligninger vil da være ekvivalente med den opprinnelige.
Vi har ekvivalens ved følgende operasjoner:
Legge til eller trekke fra samme tall på begge sider av ligningen.
Multiplisere eller dividere med samme tall på begge sider av ligningen.
OBS: Med "tall" mener vi her konstanter, ikke variabler!
Vi bør derfor unngå å gjøre disse operasjonene med tall som inneholder x!
Vi har implikasjon ved følgende operasjoner:
Kvadrering (Bør aldri gjøres, untatt for irrasjonelle ligninger. (Ligninger med rottegn.))
Multiplikasjon med noe som inneholder variabelen. (Bør aldri gjøres.)
Eksempler:
Multiplikasjon med x: (Som aldri bør gjøres!)
x 1 0 xx 1 0
1 av 4 bevis.tex

LA 1 LB 0, 1 Har altså fått en løsning for mye!
Kvadrering:
x 2 x2 4
LA 2 LB 2, 2 Har altså fått en løsning for mye!
x 1 2 x 1 4 x 5
LA LB 5 Har igjen fått en løsning for mye.
I ligninger med kvadratrot må man alltid sjekke løsningene ved å sette inn i
den opprinnelige ligningen! (LA er tom fordi en kvadratrot aldri kan være
negativ!)
Vi har omvendt implikasjon ved følgende operasjoner:
Divisjon med noe som inneholder variabelen. (Må aldri gjøres!)
Bruk av logaritmeregelen:lga b blga når b er et partall.
Eksempler:
Divisjon med noe som inneholder variabelen:
x 3 x 0 x 2 1 0 x 1
LA 0,1, 1 LB 1, 1 Her mister vi altså en løsning!
Den korrekte måten å løse denne på er derfor ved hjelp av faktorisering:
x 3 x 0 xx 2 1 0 xx 1x 1 0 x 0 x 1 x 1
Bruk av logaritmeregelen:
lg x 2 2 2lgx 2 lg x 1 x 10
Her mister løsningen x 10, så egentlig er det bedre å gjøre:
lg x 2 2 10 lgx2
10 2 x 2 10 2 x 10 x 10
Bevismetoder
I Direkte bevis:
Serie med logiske slutninger (implikasjoner) som fører oss til frem til det vi skal bevise.
Hvis vi skal vise at A B, kan vi starte ved å anta at A er sant og gjennom implikasjoner
komme frem til at B også er sann.
Hvis vi skal vise at A B må vi enten ha ekvivalenser i hele beviskjeden, eller vise både
A B og B A, hver for seg.
Eksempler:
a x er et partall x 3 er et partall
Hvis A er sann er x delelig med 2, altså: x 2k x 3 2k 3 2 2 2 k 3
2 er altså en faktor i x 3 ,ogdaerogsåx 3 delelig med 2 og er derfor et partall.
2 av 4 bevis.tex

x og y oddetall xy oddetall
Hvis x og y er oddetall, kan de skrives som x 2k 1 og y 2l 1.
Da er xy 2k 12l 1 4kl 2l 2k 1 4kl 2l k 1
4kl og 2l k er partall (delelige med 2). Et tall som er 1 større enn et partall er oddetall, så
xy 4kl 2l k 1 er derfor et oddetall.
II Omvendt bevis. (Kontrapositivt bevis)
A B er det samme som å si det motsatte, nemlig at: ikke B ikke A
Vi kan derfor bevise den siste istedenfor den første, hvis det er lettere!
Se eksempel 3 i boken.
III Indirekte bevis. (Reductio ad absurdum)
Vi beviser her A B ved å anta at hele setningen er feil, altså forutsetter vi A og at det i hvert
fall finnes et eksempel på det motsatte av B. Hvis dette gir en selvmotsigelse er det ikke mulig å
finne et eksempel på det motsatte av B, og setningen er følgelig riktig.
Skjematisk: Antar feil: A ikke B
Går videre: ikke B ...ikke A (som er selvmotsigende!)
Eksempel:
x er et rasjonalt tall og y er et irrasjonalt tall x y er et irrasjonalt tall.
(Rasjonalt tall: Kan skrives som brøk.)
y
Antar A sann og B usann, altså at det finnes minst et tilfelle der x y er
rasjonalt, d.v.s x y m n (der m og n er heltall)
Da har vi y xn m p
q n
m pn
qm ,dax også skulle være rasjonalt, altså x p
q .
Men, da har vi vist at også y er rasjonalt, altså har vi fått en selvmotsigelse,
og x y kan derfor ikke være rasjonalt, altså er setningen riktig.
III Utmattelsesbevis (sjekke for alle muligheter)
(Ikke pensum i R1, men kjekt å ha til å løse avisenes påskenøtter på påskefjellet!)
Eksempel:
Peer sier: Jeg har vært i Afrika minst 10 ganger
Aase sier: Peer, du lyver!
Solveig sier: Jeg er sikker på at Peer har vært i Afrika minst en gang.
Bare en av dem snakker sant.
a) Hvor mange ganger har da Peer vært i Afrika?
b) Hvilket berømt norsk skuespill er navnene tatt fra?
Tre utsagn med variabelen x : antall ganger Peer har vært i Afrika.
Peer: x 10
Aase: x 10
3 av 4 bevis.tex

Solveig: x 0
Vi sjekker alle muligheter for den variable:
x 0 0 x 10 x 10 x 10
Peer: Usann Usann Sann Sann
Aase: Sann Sann Usann Usann
Solveig: Usann Sann Sann Sann
Vi ser at den eneste muligheten for den variable som bare gir ett sant utsagn er at x 0,som
betyr at Peer aldri har vært i Afrika.
Tips om ting man får bruk for i bevis-oppgaver:
m, n er positive hele tall i det som følger. (m , n )
x er partall x 2n
x er oddetall x 2n 1
x er rasjonalt tall x m n
x har 2 som faktor x 2m
x mnn 1 x har 2 som faktor. (n og n 1 er to hele tall etter hverandre, så en av
dem må være 2 !)
x har 3 som faktor x 3m
x mnn 1n 2 x har 3 som faktor.
(n,n 1 og n 2 er tre hele tall etter hverandre, så en av dem må være 3!)
x går opp i m xn m
4 av 4 bevis.tex