Kofaktormetoden

Kapittel 6
kortversjon

Den inverse
A er en n*n matrise, A 0
X er den inverse til A hvis XA = AX = I n
Den inverse til A skrives A -1
Betingelse for at en kvadratisk matrise A 0 har en invers
er at | A | 0

2D matriser
Matrise
Determinant
Den inverse
A = a b
c d
|A| = a b = ad – bc
c d
A -1 = 1 d -b
ad - bc -c a
Må huskes!

LØSE LIGNINGER VHA DEN INVERSE
A X = B premultipliserer med A -1
A -1 A X = A -1 B
X = A -1 B

2D - Eksempel på løsning vha den inverse
Bruk denne metoden på følgende ligningssett:
2x + y = 3
2x + 2y = 4
Ligningssettet kan skrives AX = B
2 1
x
A = X = B =
2 2
y
3
4

1
2
3
Oppgaver: løsning av 2D ligninger vha inverse matriser
x + y = 2
5x + 6y = 9
4x - 3y = -3
2x - 5y = 9
x + 3y = -1
3x - 2y = 14

Kofaktormetoden
Den inverse til A kan skrives som en
transponert kofaktormatrise
Den inverse kan altså se slik ut
A
1
1
A
C
C
C
Hvor C 11 er kofaktor til a 11 osv
11
12
13
C
C
C
21
22
23
C
C
C
31
32
33
a
A a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33

Kofaktormetoden
33
32
23
22
11
a
a
a
a
C
33
32
13
12
21
a
a
a
a
C
23
22
13
12
31
a
a
a
a
C
33
31
23
21
12
a
a
a
a
C
33
31
13
11
22
a
a
a
a
C
23
21
13
11
32
a
a
a
a
C
32
31
22
21
13
a
a
a
a
C
32
31
12
11
23
a
a
a
a
C
22
21
12
11
33
a
a
a
a
C
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
33
23
13
32
22
12
31
21
11
1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
A

1
A 1
1
3
4
3
Eksempel | A | = - 1
3 4
3 3
3 3
C11 7
C21 3 C31
3
4 3
4 3
3 4
1 4
1 3
C12 1
C22
0
1 3
1 3
1 3
1 3
C13 1
C23
1
1 4
1 4
Oppgave Finn den inverse til
3
3
4
C
32
1
1
C
33
1
1
3
4
1
3
0
3
3
2 1
A 1
6 3 Sjekk at løsningen stemmer
2
4 0

3
4
2
0
1
1
5
5
2
A
3
2
2
5
4
3
5
5
3
1
A
4
0
2
2
3
0
3
0
2
B
1
0
1
0
2
3
2
3
1
3
2
2
3
1
B
2
2
3
1
9
8
3
1
2
2
5
2
1
1
3
1
C
7
1
0
6
8
1
0
7
0
0
1
2
1
0
3
4
1
C
Oppgave Fasit
Inverse matriser