25. Elektrisk ström och likströmskretsar Elektriska strömmar flödar ...

25. Elektrisk ström och likströmskretsar
Elektriska strömmar flödar genom ledande tr˚adar, men kan ocks˚a g˚a genom fält
s˚a som i elektronstr˚alen i en tv. När den elektriska strömmen inte varierar i
riktning, kallas den för en likström (eng. direct current).
När strömmen sl˚as p˚a i en krets, propagerar ett elektriskt fält genom komponenterna
med nära ljusets hastighet. M˚anga komplicerade processer äger rum
när strömmen sl˚as p˚a, laddning ackumuleras ögonblickligen i olika punkter, men
en stabil jämvikt och stabilt elektronflöde uppn˚as snabbt.
25.1 Ström och laddningarnas rörelse
Elektrisk ström definieras som flödet av laddning per tidsenehet. Om en laddning
∆Q flödar genom en area A under tiden ∆t s˚a är strömmen
I = ∆Q
∆t
SI enheten för ström är ampere 1 A = 1 C / s . Definitionsmässigt tar vi strömmens
riktning som fr˚an plus till minus, dvs strömmen är flödet av positiv laddning.
Konventionen kom till innan elektronerna identifierades som de mobila laddningarna.
Elektronernas rörelse är relativt komplex. Utan ett fält över ledaren rör sig
elektronerna fritt och i slumpartad riktning med höga hastigheter ∼ 10 6 m / s .
När ett fält appliceras sker en acceleration av elektronerna pga kraften −e E.
Elektronen bygger upp en hastighet och en ström, men kolliderar snabbt med
atomer och förlorar sin rörelseenergi. Den accelereras p˚a nytt av fältet tills den
kolliderar igen osv. Resultatet blir att elektronen har en medelhastighet, sk.
drivhastighet (drift velocity) som är motsatt det elektriska fältet.
L˚at n vara antalet fria laddningar per enhetsvolym i en ledande tr˚ad med
snittarean A. n kallas för laddningsbärarnas antalstäthet. L˚at varje laddningsbärare
bära en laddning q och röra sig med en drivhastighet vd. Inom tidsintervallet
∆t, rör sig volymen
Avd∆t
genom arean A.
Laddningen i volymen är
och strömmen blir därför
∆Q = qnAvd∆t
I = ∆Q
∆t
1
= qnAvd

vilket ger oss en relation mellan strömmen och laddningsbärarnas drivhastighet.
Med drivhastigheten kan vi beräkna strömmen. Med den sk. Hall-effekten kan
antalet laddningsbärare per volymsenhet beräknas, vilket oftast leder till att
det är en fri elektron per atom.
En koppartr˚ad har radien r = 0.815 mm. Om vi har en fri elektron per
atom, och strömmen I = 1 A flödar genom tr˚aden, vad är drivhastigheten vd?
Lös för vd i uttrycket för strömmen I ovan.
I = ∆Q
∆t = qnAvd ⇒
vd = I I
=
qnA qnπr2 Eftersom vi har en elektron per atom gäller att den fria elektrontätheten är lika
med atomtätheten, n = na. För att ta reda p˚a atomtätheten, dvs antal atomer
per volymsenhet, behöver vi
d˚a ges atomtätheten av
ρm ; Cu densitet i g/cm 3
M ; Molmassan i g/mol
NA ; Avogadros konstant, dvs antalet atomer per mol
(ant. gram per volym) (ant. atomer per mol)
=
M (ant. gram per mol)
3 8.93 g / cm 6.03 · 1023 atomer/mol
na = ρmNA
=
63.5 g /mol
= 8.47 · 10 22 atomer/cm 3
= 8.47 · 10 25 atomer/dm 3
= 8.47 · 10 28 atomer/m 3
Verifiera att [na] = atomer
cm 3 . För elektroner har vi att q = e. Allts˚a ges drivhastigheten
av
vd =
=
I
enaπr 2
(1 C / s)
π (8.47 · 10 28 m −3 ) (1.602 · 10 −19 C) (0.815 · 10 −3 m) 2
−5 m
= 3. 531 7 × 10 ≈ 35µ m / s
s
Typiskt är drivhastigheten ett par hundradels millimeter per sekund. Det tar ca
8 timmar för en elektron i ett bilbatteri att färdas fr˚an batteriet till startmotorn,
om kabeln är ca en meter l˚ang.
Det elektriska fältet propagerar emellertid med nära ljusets hastighet och
verkar p˚a alla fria elektroner i ledningen. Därför börjar elektronerna i slutet av
2

tr˚aden som är kopplad tex till en glödlampa att genast röra p˚a sig och producera
ljus i glödtr˚aden. Strömmen best˚ar allts˚a inte av ett litet antal elektroner som
rör sig fort, utan av ett stort antal elektroner som rör sig l˚angsamt.
25.2 Ohms lag och resistans
Laddningen i ledaren drivs av ett elektriskt fält inuti ledaren som utövar en kraft
q E p˚a laddningen. Observera att ledaren inte är i elektrostatiskt ekvilibrium och
därför är fältet inte noll i ledaren. E är i riktningen som en positiv testladdning
rör sig, dvs parallellt med strömmens riktning s˚a som vi har definierat den.
Betrakta ett tr˚adsegment med längd ∆L, snittarea A och med en ström I
genom sig. Det elektriska fältet pekar fr˚an den högre potentialen Va mot den
lägre potentialen Vb och potentialskillnaden mellan ändpunkterna ges av
V = Vb + Va = E∆L
Resistansen i tr˚adsegmentet definieras som potentialskillnaden över segmentet
delat med strömmen genom det. Definitionen av resistans är s˚aledes:
R = V
I
SI enheten för resistans är Ohm, 1 Ω = 1 V / A .
Vi ser att en högre ström innebär en lägre resistans och att en högre potential
innebär högre resistans. I m˚anga material beror inte resistansen p˚a potentialskillnaden,
dessa är sk Ohmiska material och för dessa är potentialenskillnaden
proportionell mot strömmen. Detta kallas för Ohms lag:
V = IR ; R konstant
För icke-ohmiska material beror resistansen p˚a I, dvs V är inte proportionell
mot I.
Ohmiskt material
3
Icke-ohmiskt
material

Vi kommer i allmänhet att koncentrera oss p˚a ohmiska material.
Resistansen i en ledande tr˚ad är proportionell mot tr˚adens längd L och
omvänt proportionell mot snittarean A.
R = ρ L
A
ρ är en materialkonstant och kallas för materialets resistivitet med enheten Ωm.
Om en tr˚ad har resistiviteten ρ = 10 −6 Ω m och en radie r = 0.65 mm, hur
l˚ang m˚aste den vara för att ge en resistans R = 2Ω?
R = ρ L AR
⇒ L =
A ρ = πr2R ρ
= π 0.65 · 10 −3 m 2 (2Ω)
(10 −6 Ω m)
= 2.65 m
I ett givet material beror resistiviteten p˚a temperaturen. För koppar stiger
resistiviteten approximativt linjärt med temperaturen. Den termiska rörelsen
hos elektronerna gör att drivhastigheten effektivt minskar. Kol har visat sig ha
en relativt hög resistivitet och används i de resistorer eller motst˚and som sitter
i alla v˚ara elektriska kretsar.
25.3 Energi i elektriska kretsar
När det elektriska fältet accelererar elektronerna kolliderar dessa ganska
snabbt med jonerna i det atomära gittret. Deras kinetiska energi omvandlas
d˚a till termisk energi som str˚alas bort och g˚ar förlorad. Ökningen i termisk
energi kallas för Joule värme.
Ett segment inneh˚allande laddning Q förskjuts pga det elektriska fältet E.
Detta är detsamma som om en laddning ∆Q g˚ar in p˚a ena sidan och en annan
∆Q samtidigt ut p˚a andra sidan. En laddning ∆Q rör sig fr˚an hög potential V1
genom en tr˚ad med längd ∆L till en lägre potential V2 under en tid ∆t.
Ändringen i potentiell energi för laddningen som passerar genom segmentet är,
∆U = ∆Q (V2 − V1) = −∆QV
4

där V = V1 + V2 är den potentiella minskningen mellan ändarna i strömmens
riktning. Energin som g˚ar förlorad genom kollisionerna som alla laddningar
utsätts för.ges därför av
−∆U = ∆QV
Energiförlusten per tidsenhet ges av
− ∆U
∆t
∆Q
= V = IV
∆t
Effekten P som försvinner i segmentet är lika med energiförlusten per tidsenhet
i ledaren:
P = V I
Enheten för effekt är Watt, 1 W = 1 A V . Med strömmen genom (I) och
spänningen över (V ) för en komponent i kretsen, vilken som helst, kan vi beräkna
den förlorade, utstr˚alade effekten.
Ett motst˚and med resistansen R = 12Ω har en ström I = 3 A genom sig.
Vilken är den utstr˚alade effekten? Använd formeln ovan.
P = V I = I 2 R = 108 W
Om en tr˚ad med R = 5Ω har en ström p˚a I = 3 A i ∆t = 6 s, hur stor är
effekten?
P = I 2 R = 45 W = 45 J / s
Hur mycket termisk energi produceras?
EMK och batterier
P ∆t = 270 J
För att bibeh˚alla strömmen genom kretsen behöver vi en konstant reservoir av
elektrisk energi. En apparat som förser oss med elektrisk energi kallas för en
källa till ElektroMotorisk Kraft (EMK, eng. EMF=ElectroMotive Force). Exempel
p˚a detta är ett batteri som omvandlar kemisk energi till elektrisk energi,
eller en generator som omvandlar mekanisk energi till elektrisk energi. En EMK
källa utför arbete p˚a laddningen som passerar genom den och höjer laddningens
potentiella energi. Arbetet per enhetsladdning kallas för källans EMK och har
enheten Volt.
Ett idealiskt batteri är en EMK källa som bibeh˚aller en konstant potential
mellan sina terminaler, oberoende av strömmen mellan dem.
5

Kretsen ovan visar ett idealiskt batteri kopplat över en resistor eller ett motst˚and.
EMK källan bibeh˚aller en konstant potential mellan punkterna a och b, där
punkt a är den högre potentialen (+), Kom ih˚ag att vi definierade strömmens
riktning fr˚an plus till minus. Eftersom tr˚aden har försumbar resistans är den potentiella
skillnaden mellan punkterna a och c och punkterna c och d försumbar.
Den potentiella skillnaden mellan c och d är därför lika med EMKn, och strömmen
genom resistorn ges därför av
I = VEMK
R
Inuti EMK källan flödar laddning ∆Q fr˚an en l˚ag potential till en hög potential
och f˚ar därför en ökad potentiell energi ∆QVEMK. När laddningen sedan flödar
genom motst˚andet förvandlas den potentiella energin till termisk energi.
Den energi som EMK källan förser kretsen med per tidsenhet är lika med
dess uteffekt.
P = ∆Q
E = IVEMK
∆t
I kretsen ovan s˚a är uteffekten lika med den termiskt bortstr˚alade effekten.
EMK källan är som en potentialpump som pumpar laddning fr˚an l˚ag potential
till hög potential.
I ett riktigt batteri kallas den potentiella skillnaden mellan dess terminaler
för dess spänning, vilken inte är lika med batteriets EMK.
Om vi mäter spänningen över resistansen R ovan, för olika värden p˚a R. s˚a
finner vi att spänningen minskar n˚agot med ökad ström genom resistorn, som
om det fanns en annan resistans inuti batteriet.
6

Ett riktigt batteri best˚ar av idealbatteri plus en intern resistans. Om strömmen
genom kretsen ovan är I, ges förh˚allandet mellan potentialen vid a och b av
Va = Vb + VEMK − Ir
där r är batteriets interna resistans. Dvs, det riktiga batteriets spänning ges av
V = Va − Vb = VEMK − Ir
Batteriets spänning minskar linjärt med strömmen, s˚a som i grafen ovan. Potentialfallet
över den externa resistorn ges av
IR = V = Va − Vb = VEMK − Ir ⇒
I = VEMK
r + R
Den spänning som batteriet ger är mindre än den som ges av EMK källan, pga
potentialfallet över den interna resistansen. Vanliga batterier s˚a som bilbatterier
har en intern resistans p˚a ett par hundradels volt. En hög intern resistans
är ett tecken p˚a ett d˚aligt. Att kolla ditt bilbatteri med en voltmeter är d˚a
inte tillräckligt, du m˚aste starta bilen och mäta samtidigt för att kontrollera
om spänningen faller d˚a ström dras fr˚an batteriet. Bilbatterier specificeras i
Amperetimmar Ah, vilket är ett m˚att p˚a den laddning som ett fullt batteri kan
leverera.
1 A h = 1 C
(3600 s) = 3600 C
s
Den totala energin lagrad i batteriet ges av laddningen g˚anger VEMK.
W = QVEMK
En resistor med resistans R =11Ω kopplas över ett batteri med VEMK = 6 V
och en intern resistans p˚a r = 1Ω. Vad är strömmen i kretsen? Enligt ovan har
vi att
I = VEMK
r + R
Spänningen över batteriets terminaler?
Batteriets totala uteffekt?
= 1
2 A
V = Va − Vb = VEMK − Ir = 5.5 V
Put = VEMKI = 3 W
Effekt levererad till den externa resistorn?
PR = I 2 R = 2.75 W
Effekt förlorad i den interna resistansen?
Pr = I 2 r = 0.25 W
Observera Put = PR+Pr. För ett 150 Ah batteri, hur mycket energi finns lagrat?
W = QVEMK = 3600 C ·150 · 6 V = 3.24 · 10 6 J
7