LØSNINGSFORSLAG

LØSNINGSFORSLAG
KONTINUASJONSEKSAMEN 2006
SMN6194 VARMELÆRE
DATO: 04. Mai 2007 TID: KL. 09.00 - 12.00
Side 1 av 8
OPPGAVE 1 (Vekt: 40%)
a) Termodynamikkens 1. hovedsats:
1. hovedsetning:
At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov.
Q − W = ∆E
(J ) (1. hovedsats)
netto energitransport netto økning av total
(varme og/eller arbeid) = energi for systemet
til (eller fra) et system
b) Termodynamikkens 2. hovedsats:
2. hovedsats sier at energi har kvalitet, og at varmeoverføring kun kan skje i retning av
lavere kvalitet. For at en prosess skal kunne skje, må både 1. og 2. hovedsats være
tilfredstilt. De to mest kjente postulater av 2. hovedsats er gitt av Kelvin/Planck og
Clausius:
Det er umulig å omdanne all tilført varme til tilsvarende mengde netto arbeid.
Omdanning til arbeid er bare mulig dersom en del av varmemengden avledes uten å
bli transformert.
Varme kan bare transporteres fra et legeme med lavere temperatur til et legeme med
høyere temperatur ved tilførsel av mekanisk arbeid
c) Entropi:
Entropi (er definert på basis av 2. hovedsats):
Entropien er relatert til det totale antall mulige mikroskopiske tilstander for et system
(termodynamisk sannsynlighet), uttrykt ved Boltzmann relasjonen:
S = k ln
p
”Energi kan hverken oppstå eller forsvinne, bare omdannes”

Side 2 av 8
Entropi er en tilstandsstørrelse (hjelpestørrelse) som kan brukes til å verifisere
hvorvidt 2. hovedsats er innfridd (angir i hvilken retning prosessen skjer). Den er et
mål på molekylenes uordnete bevegelse, innbyrdes plassering eller molekylære
tilfeldighet (grad av irreversibilitet). Entropien for et stoff er lavest i fast tilstand og
høyest i gassfase og transporteres både med masse og varme.
d) Entropiforandringen for væsker og faste stoffer kan skrives som
du Pdv
ds = +
T T
s
2
=
− s
du
T
1
CdT
=
T
2
1
,
C = C
= C
ds v p
=
∫
T
s 2 − s1
= C ln
T
C(
T ) T
dT = C ln
T
T
e) Adiabatisk prosess:
2
1
2
1
( J / kgK)
En prosess der det ikke skjer transport av varme, kalles en adiabatisk prosess. En
prosess kan være adiabatisk på to måter:
1. Et veldig godt isolert system.
2. Systemet er i termisk likevekt med omgivelsene.
Selv om det ikke skjer varmetransport til/fra et system, kan energi-innholdet (og
dermed temperaturen) i systemet endre seg som følge av andre påvirkninger (arbeid).
En adiabatisk prosess må derfor ikke forveksles med en isoterm prosess.
f) Hva er forskjellen mellom entalpi og indre energi?
Indre energi (U) er summen av alle mikroskopiske energiformer i et system. U er mao
summen av molekylenes kinetiske energi. Entalpien inkluderer også de eksterne
påvirkninger. For faste stoffer og væsker (inkompressible medier) er størrelsene like.
Sammenhengen er: h = u + Pv
g) Spesifikk varmekapasitet
Spesifikk varmekapasitet er den energi som skal til for å heve temperaturen til 1 kg av
substansen med 1°C ved konstant volum eller trykk.
Ved konstant volum:
⎛ ∂u
⎞
= , ved konstant trykk:
Cv ⎜ ⎟
⎝ ∂T
⎠v
⎛ ∂h
⎞
C p =
⎜ ⎟
⎝ ∂T
⎠ p

Side 3 av 8
Cv : endringen i spesifikk indre energi pr grad temperaturforandring ved konst. volum.
Cp : endringen i spesifikk entalpi pr grad temperaturforandring ved konstant trykk.
h) Carnotprosessen:
Betydning i termodynamikken: Benyttes som referanseprosess
Virkningsgrader for reelle varmekraftmaskiner bør sammenlignes mot
carnotvirkningsgraden (som er den maksimale (teoretiske) virkningsgrad maskinen
kan ha). Hvis man sammenligner mot den tilførte energi, vil virkningsgraden være
svært lav (ofte i størrelsesorden 40%).
A=QL
A=QH
1-2: Reversibel isoterm ekspansjon
2-3: Reversibel isentropisk (adiabatisk) ekspansjon
3-4: Reversibel isoterm kompresjon
4-1: Reversibel isentropisk (adiabatisk) kompresjon
Carnotprosessen forløper langs to isotermer og to isentroper. En isentropisk prosess er
en tapsfri, (internt) reversibel prosess (med konstant entropi). Siden carnotprosessen
er reversibel, kan prosessforløpet reverseres fullstendig. Vi får da en kjøleprosess.
At en prosess er reversibel, betyr at prosessen, etter en endring fra en tilstand til en
annen, kan reverseres tilbake til opprinnelig tilstand langs samme prosesslinje. Alle
virkelige prosesser er imidlertid irreversible. Den teoretiske reversible prosessen som
kan oppfattes som den maksimale teoretiske ytelsesgrense for en tilsvarende virkelig
(irreversibel) prosess er Carnot prosessen.
i) Konveksjon klassifiseres som tvungen eller fri (naturlig). Gi en kort forklaring til disse
begrepene.
Tvungen konveksjon: Når et fluid settes i bevegelse over en flate, vil sjiktet av fluidet
som er nærmest flaten klebe seg til flaten. Hastigheten kloss inntil flaten er null.
Varmeoverføring fra flaten til fluidet helt nær flaten skjer derfor ved ren konduksjon
Naturlig konveksjon: Pga tetthetsforskjeller mellom varmt og kaldt fluid settes fluidet
i bevegelse.

Side 4 av 8
OPPGAVE 2 (20%)
a) Uttrykk for termisk motstand mellom rørets indre overflate og ytterflaten:
dT
Utgangspunkt er Fourier’s lov: Q& cond = −kA
(W )
dr
r
2
2
Q&
cond
Omformer og integrerer: ∫ dr = − ∫ k dT , setter A = 2πrL
A
r
r1
2
2
Q&
cond
Dette gir ∫ dr = −
π ∫ k dT
2 rL
r1
Q&
cond
2πL
r
r1
T
T1
T
T1
r
2
2
Q&
cond 1
eller ∫ dr = −k
π ∫ dT
2 L r
T
T1
Integrerer: [ ] [ ] 2
ln r 2 = −k
T , dvs
cond
ln
2
= −k(
T − T )
2πLk
r
ln
2
r1
Q&
r1
2πL
Løser mhp på varmen: Q& = ( T − T )
cond
Termisk motstand uttrykkes følgelig ved:
b) Virkemåten til en varmepumpe:
1
2
r
ln
2
r
R =
1
2πLk
r
r1
T
T1
2
1
r1
T1
r2
k
T2

Side 5 av 8
1. I fordamperen overføres varme fra omgivelsene (for eksempel sjøvann eller
grunnvann) til kuldemediet. Kuldemediet er her i en tilstand som gjør at det koker ved
lav temperatur (f.eks. 1-2 °C). Fordampningen skjer ideelt ved konstant trykk.
2. Kompressoren suger dampen opp fra fordamperen. I kompressoren økes trykket på
kuldemediet, og derved også temperaturen. Det er driften av kompressoren som krever
strøm, fordi trykkøkningen skjer ved at kompressoren utfører et arbeid på dampen.
3. Etter å ha blitt komprimert føres den varme dampen inn i en kondensator hvor
varme avgis til det vannet som skal varmes opp. Dampen avgir varme ved at det skjer
en kondensering, altså at dampen går over til væskeform. Kondensasjon skjer også
ideelt ved konstant trykk.
4. Den varme væsken strømmer gjennom en strupeventil hvor både trykk og
temperatur reduseres (trykket reduseres fra kondenseringstrykk til fordampertrykk). I
denne prosessen kommer kuldemediet i en blandingsfase mellom væske og damp, og
en blanding av kald væske og damp strømmer ned i fordamperen for en ny runde.
c) Effektfaktor, varmefaktor og energifaktor:
Effektfaktor
Q&
ε = ε ⋅η
=
k
VP c c
W&
el
Ulike termodynamiske tap bl.a. i kompressor og motor medvirker til at VP
effektfaktor reduseres. En vanlig betraktningsmåte er å beskrive effektfaktoren for en
VP i forhold til Carnot-effektfaktoren (εc) ved hjelp av en virkningsgrad ηc (Carnotvirkningsgraden).
ηc blir dermed et mål på hvor godt VP fungerer.
Varmefaktor Φ
Varmeenergi
ut
Varmefakto r =
Elektrisk energi tilført
Varmefaktoren Φ er et mål på varmepumpens energimessige ytelse, dvs ytelse over
tid (noe som effektfaktoren ikke kan gi svar på). Den beregnes som forholdet mellom
tilført varmeenergi til oppvarmingsformål (kWh) og brukt arbeid (energi til
kompressor), og kan være større enn 1 (eng: COPHP = coefficient of performance).
Energifaktor π (ved kombinert oppvarming/kjøling)
Samtidig som VP leverer varme fra kondensatoren til ulike formål, kan den levere
kjøling fra fordamperen til andre formål. Energifaktoren tar hensyn til både levert
varmeenergi og levert kjøleenergi, sett i forhold til tilført elektrisk energi på
kompressoren.
d) Eksergi og anergi, sammenheng med varmepumper:
Energi kan deles opp i to kvalitetsklasser, eksergi og anergi. Eksergi (dvs. utnyttbar
energi) er definert som den høyeste form for energi.

Side 6 av 8
S
En varmepumpe er en maskin som ved tilførsel av eksergi (for eksempel elektrisitet),
transporterer varme (anergi) fra omgivelsene med temperatur T0 opp på et høyere
temperaturnivå Tk, hvor varmen avgis.
OPPGAVE 3 (Vekt: 20 %)
Vann:
60°C fra bygning
4.2 kJ/(kgK)
a) Logaritmisk middeltemperaturdifferanse.
( 90 − 80)
− ( 75 − 60)
=
∆t
lm =
12.3 ºC
90 − 80
ln
75 − 60
b) Beregn massestrømmen på kald side, og finn overført varmeeffekt.
Q& = m&
cc
pc∆Tc
= m&
hc
ph∆T
Q& = m&
c ∆T
= m&
c ∆T
m&
c
c
= m&
h
pc
∆T
∆T
h
c
c
h
T
TH
TL
ph
h
15
= 1 . 0 ⋅ =
20
h
75°C retur varmesentral
0.
75
VVX
kg / s
Eksergi
Anergi
Vann:
90°C fra varmesentral
1.0 kg/s
4.2 kJ/(kgK)
80°C til bygning
90
80
A
75
60

Varmeoverføring: & = m&
c ∆T
= 1 . 0 ⋅ 4.
2 ⋅15
= 63 kW
Q h ph h
c) Varmevekslerens effektivitet (ε) og UA-verdi.
Q&
UA-verdi: UA =
∆t
m
63
=
12.
3
= 5.1 kW/K
Minste kapasitetsstrøm og maks overføring:
Cmin = Cc
= 0.
75 ⋅ 4.
2 = 3.
15
Q&
= C ∆T
= 3.
15 ⋅ ( 90 − 60)
= 94.
5 kW
max
min
max
Q&
63
Effektivitet: ε = = = 0.
667 ( 66.
7%)
Q&
94.
5
max
d) Antall radiatorer i bygget:
Gitt: Arad = 1.0m 2 , Urad = 10 W/m 2 K, Trom = 20°C = konstant.
UA rad
∆T
1
∆T
1
= 1 . 0 ⋅10
= 10 W / m
= 80 − 20 = 60°
C
= 60 − 20 = 40°
C
60 − 40
∆Tlm = = 49.
3°
C
60
ln
40
Q& rad = UArad
∆Tlm,
rad = 10 ⋅ 49.
3 = 493 W
Vet: Q& = 63 kW
2
K
Q&
63000
Antall radiatorer blir: n = = = 128 radiatorer
Q&
493
rad
Side 7 av 8

Side 8 av 8
OPPGAVE 4 - STRÅLING (Vekt: 20%)
a) Radiositet:
All stråling som forlater et legeme (emisjon + refleksjon). For en sort flate blir
radiositeten J = E
4
= σT
(dvs ingen refleksjon).
b) Forklaring strålingsbegreper:
i
bi
i
Sort flate: En flate som emitterer og absorberer all stråling (ideell strålingsflate,
sammenligningsflate).
Diffus flate: En flate som emitterer stråling likt i alle retninger. En sort flate er derfor
også en diffus utstråler! (diffus = uavhengig av retning).
Grå flate: Emissiviteten varierer ikke med bølgelengden, dvs. ε λ = konst .
Spektral emissivitet: Emisjonskoeffisienten varierer med bølgelengden, dvs ε λ ≠ konst .
Hemisfærisk emissivitet : Retningsavhengig emissivitet (εθ) midles over alle vinkler
c) Formfaktorene.
Gitt en pyramide med 4 like triangulære sidekanter. Vi kaller grunnflaten for flate 1,
og sideflatene for flate 2-5.
Vet: F + F + F + F + F = 1 og 0 F
11
12
13
14
15
11 =
Sidekantene er like og alle flatene har samme formfaktor pga symmetri.
F = F = F = F
dvs. 12 13 14 15
Dette gir: 0 4 12 1 = ⋅ + F , 25 . 0
1
F 12 = F13
= F14
= F15
= =
4
Overflatene på innsiden av pyramiden er tilnærmet sorte. Alle sidekantene (4) har
temperatur 600K. Grunnflaten (1) har temperatur 1200K.
d) Netto varmetransport ved stråling mellom grunnflaten (1) og sideflatene (2-5):
Netto varmefluks ved stråling mellom grunnflaten (1) og sideflatene (2-5) blir
q &
4
= 4 ⋅ F σ T − T
4
−8
4 4
= 1⋅
5.
67 ⋅10
⋅ ( 1200 − 600 ) = 110.
2 kW / m
1 →2−5
12
( ) 2
1
2−5
Siden areal på grunnflaten eller sidekantene ikke er oppgitt i oppgaven, kan
varmetransporten kun uttrykkes som funksjon av arealet til en av flatene:
Q& 1 = Q&
1→2−5
= 110.
2⋅
A1
[ kW]