Introduksjon til spenning

HIN IBDK RA 02.11.05
Side 1 av 8
Mekanisk spenning i materialer
F
A
Tenk på et tungt legeme som skal bæres av en konstruksjon.
Konstruksjonens må tåle kraften som ”går” fra lasten til underlaget. Denne
kraften virker på konstruksjonen og fordeler seg i materialet i
konstruksjonen. Årsaken til kraften er lasten og underlaget, og materialet i
konstruksjonen må være i stand til å overføre kraften.
Kraft måles i Newton, N. Kraften er for eksempel tyngden av et legeme.
Hvis legemet har massen 5 kg blir tyngden
2 2
5 kg ⋅ 9,81 m/s = 49,05 kg ⋅ m/s = 49,05 N .
Tallet 9,81 m/s 2 er en konstant for tyngdefeltet på jordoverflaten.
Når en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger.
Spenning angis med den greske bokstaven sigma og defineres som kraft pr flate
F
σ = , F : Kraft [N]. A: Areal
A
2
Eks. F = 1000 N, A = 0,
01m
1000
2
σ = = 100000
N/m = 100000 Pa = 0,1MPa
(strekkspenning på figuren).
0,
01
Spenning er den lokale virkningen av de indre kreftene. Ved beregning av spenningen i
klossen (figuren) og i regnestykket over, går vi ut fra at kraften fordeler seg jevnt ut over
tverrsnittet slik at spenningen er det samme i alle materialpartikler. I en aksialstav er dette
oppfylt så lenge man ikke nærmer seg innfestingen av staven.
Ifølge norsk standard benyttes megapascal, MPa, som enhet for spenning. Mange bruker
fortsatt Newton pr kvadratmillimeter. Omregningen er enkel, idet tallet blir det samme:
1 N
mm
2
1 N
6
10 m
= −
2
= 1MPa
I det generelle tilfellet virker kraften ikke bare vinkelrett på betraktet flate. Kraften
dekomponeres da til en komponent som står normalt på flaten, og en annen komponent som er
parallell med flaten. Komponenten vinkelrett på flaten kalles normalkraften. Den kraften som
er parallell med betraktet flaten kalles skjærkraften. Ut fra dette defineres to hovedtyper av
spenning, nemlig normalspenning (σ) og skjærspenning (τ, den greske bokstaven tau).
Normalspenningen gis en fortegnsdefinisjon slik at strekkspenning er positiv og
trykkspenning er negativ. Skjærspenningen kan også gis fortegn, men det får vi ikke bruk for
nå.

HIN IBDK RA 02.11.05
Side 2 av 8
Oppgaver
1) En lastebil med tyngde 200 kN står på en plattform med 4 betongsøyler med tverrsnitt
75 x 75 mm. Hva blir trykkspenningen i søylene dersom vi antar at kraften fordeler
seg jevnt i alle 4 søyler? (svar 8,9 MPa).
2) En person med masse 70 kg klatrer i et tau med diameter 10 mm. Hva blir
strekkspenningen i tauet? (svar 8,74 MPa).
3) To metallstykker er 100 x 50 x 0,5 cm. De limes sammen med en overlapp på 10 cm
og belastes med 15 kN.
100
500
Elastisk og plastisk deformasjon.
Spenningstyper
F
F
A
Skjærspenning
F
τ =
A
F
Hva er kravet til skjærfasthet i
limskjøten? (svar 0,3 MPa)
Hvis man drar ut en strikk, vil den gå tilbake til sin opprinnelige form når dra-kraften fjernes.
Hvis en lang stålstang bøyes moderat, vil den fjære tilbake. Disse deformasjonene kalles
elastiske.
F
A
Normalspenning
+ strekk
- trykk

HIN IBDK RA 02.11.05
Side 3 av 8
Hvis stålstangen bøyes kraftig, kan den få en varig formendring. Dette kalles en plastisk
deformasjon. Merk spesielt at når man vil bøye stålet til en bestem form, må man bøye litt
ekstra av hensyn til ”tilbakefjæringen”. Den elastiske deformasjonen er altså til stede sammen
med evt. plastisk deformasjon, helt til de ytre kreftene fjernes.
Langt fra alle materialer kan deformeres plastisk. Strikken går alltid tilbake til opprinnelig
lengde, drar vi for hardt ryker den, en glasstav brekker når man prøver å bøye den til varig
formendring. Derimot kan alle materialer deformeres elastisk. Dersom du drar i en stålstav,
blir den faktisk litt lenger! Ikke mye naturligvis, men litt.
La en stang med lengde l bli belastet med en liten strekkraft. Stangen vil da forlenges med et
lite stykke ∆ l . Vi definerer tøyningen som
∆l
ε =
l
I praksis må vi måle lenden før og etter belastning. Vi definerer dette som nominell tøyning:
l − l0
ε N =
l0
Tøyningen er dimensjonsløs, og blir et brøk-tall, en desimalbrøk, eller vi kan gange med 100
og få den prosentvise tøyningen.
Tøyningene kan være elastiske (de som går vekk når den ytre kraften fjernes) elle de kan være
plastiske (som vedvarer etter at den ytre kraften er fjernet). Den samlede deformasjonen er lik
summen av elastisk og plastisk deformasjon
ε = ε
elastisk
+ ε
plastisk
Elastisk deformasjon, Hooke’s lov
Når det ikke blir brudd eller plastisk deformasjon, kan den elastiske tøyningen uttrykkes med
Hooke’s lov for de materialer 1 :
σ
ε = , eller σ = E ⋅ ε
E
E er proporsjonalitetskonstanten ved elastisk deformasjon. Den kalles elastisitetsmodulen, og
omtales oftest som E-modulen. Spenningen kan være både positiv (strekk) eller negativ
(trykk). E-modul har samme enhet som spenning, men den er for mange materialer et stort tall
og angis i GPa. Den har stor variasjon: gummi har E-modul på ned mot 0,001 GPa, plast har
ofte 1 GPa, glassfiberkompositt har typisk 10 – 30 GPa, aluminium har 70 GPa og stål 210
GPa. Perfekt diamant kan ha E-modul opp mot 1000 GPa.
1
Hooke’s lov for en fjær formuleres som F = kx , der k er fjærkonstanten [N/m].

HIN IBDK RA 02.11.05
Side 4 av 8
Oppgaver
1) Det er også vanlig å angi E-modul med [N/mm 2 ]. Hva blir E-modulen for aluminium
og stål da?
2) Ta utgangspunkt i Hooks lov for en fjær (du har lært om den på forkurs/videregående),
F = kx , der F er kraften, k er fjærkonstanten og x er forlengelsen. Divider denne
ligningen med et areal og forklar at du får Hooks lov for materialer.
3) Hva er tøyningen ved spenning lik 100 MPa i stål? (svar 0,0005 eller 0,05 %)
4) Hva er tøyningen ved spenning lik 10 MPa i trevirke? (svar: omkring 0,1 %)
5) Hva er spenningen i Al ved tøyning til 0,2 % (dersom vi ikke får plastisk
deformasjon)? (svar: 140 MPa).
6) Hvor mange mm strekker en stålstav med lengde 10 m seg ved aksiell spenning på
100MPa? (svar: 5 mm).
7) Aksielle tøyninger er små. Ved bøyning blir de maksimale forskyvningene mye større.
1L
Strekkprøving av materialer, standarder.
F
t x t
En utkragebjelke med massivt, kvadratisk
tverrsnitt får en nedbøyning i enden som er
3
4L
F
δ = 4
Et
Hva blir nedbøyningen dersom bjelken er av
stål med tykkelse t = 50 mm og lengde 5 m
når den belastes med 500 N? (svar ca 0,2 m)
Prøvestaver
Strekkprøving er en mekanisk belastningsprøving som skal avdekke strekk-egenskapene til et
material. Ved strekkprøving belastes et avlangt prøvelegeme med strekk i sin lengderetning.
Prøvestykket er utformet som på Figur 1, der den tynne delen er selve prøveområdet.
Prøvestaven har fortykninger i endene som sikrer at det er tilstrekkelig med material til å tåle
de konsentrerte kreftene fra innspenningen. Alle plutselige geometriendringer fører til
konsentrasjon av kreftene, såkalt kjervvirkning. Overgangen mellom de tykke delene og den
tynnere prøvingsdelen på midten må derfor være jevn og gradvis med en hulkil. Jo sprøere
materialet er, jo større må tykkelsesforskjellen mellom innspenningsdeler og prøvestykker
være og jo større er kravet til overgangsradier.
Uansett kan man ikke forhindre at kreftene fordeler seg ujevnt i geometrien. Derfor er det
viktig at resultater som skal sammenlignes stammer fra prøvinger som utføres på en nøye
beskrevet måte. For å oppnå dette er det laget standardiserte metoder. Videre er det
forskjellige standarder for forskjellige typer av materialer, altså for metaller, keramer, plaster,
armerte plaster osv.

HIN IBDK RA 02.11.05
Side 5 av 8
Standardiserte prøver
En standard for strekkprøving er et dokument som gir en tilstrekkelig nøyaktig beskrivelse av
prøvestykke, fremgangsmåte og prøvingsbetingelser til at forskjellige utøvere skal få
sammenlignbare resultater. Standarden kan f.eks. brukes i kontraktsforhold mellom
leverandør og kunde. Når en kunde kjøper et material med spesifiserte egenskaper, så
henvises det gjerne til en standard
50
slik at egenskapene kan etterprøves
på en veldefinert måte. Tidligere
hadde de fleste land nasjonale
standarder. Nå er det et godt utvalg i
internasjonale standarder så som ISO
60
(verdensomfattende), EN (europeisk)
og landene kan tilslutte seg disse. De
internasjonale standardene blir dog
neppe enerådende i nær fremtid, da
amerikanske (eks. ASTM) og
japanske (JIS) standarder står ganske
sterkt (og kan være lovpålagt i disse
landene).
Figur 1. Strekkstav før og etter brudd.
Eksempel på målelengder [mm].
Vi 2 skal benytte den europeiske standarden, som også er tatt inn som norsk standard, NS-EN
10 002, ”Metalliske materialer. Strekkprøving.”
Detaljer i strekkprøvingen
Standarden angir tillatte utforminger av prøvestykket. Prøvingsmaskinen måler lasten F og en
forskyvning ∆ l . Kun prøvingsmaskiner med måling direkte på prøvestykket, såkalt
ekstensiometer, kan brukes til å beregne tøyning. (Enklere maskiner måler kun gripebommens
forskyvning inklusiv setning og glidning i innspenningen.). Så beregnes nominell spenning σ ,
F
∆l
σ= , som plottes mot nominell tøyning ε , ε= , der lengdeøkningen, ∆ l , fås fra
A0
l0
ekstensometeret. Det prinsipielle forløpet for duktilt karbonstål blir som på Figur 2, heltrukket
kurve.
Kurven går gjennom origo, O. Stykket OA kalles proporsjonalitetsområdet, idet kurven OA er
en rett linje med vinkelkoeffisienten E ∆σ
= ∆ε , altså E-modulen. Området AB er et ikke-
proporsjonalt elastisk område, som oftest meget lite. For materialer som ikke har veldefinert
flytegrense, går kurven over i det plastiske område fra og med B. Duktilt karbonstål har en
2 Industriteknikk

HIN IBDK
Side 6 av 8
RA 02.11.05
spesiell oppførsel med en toppverdi ved C for deretter å ha et kort, nesten horisontalt stykke 3 .
Dette finnes ikke for andre metaller 4 , heller ikke herdet stål.
For karbonstål kreves det fra punkt D plutselig økt spenning for å øke tøyningen. Det betyr at
stålet blir fastere, flyter vanskeligere. Dette beregnes med fastning eller arbeidsherding.
O
Figur 2
σNominell
B
A
∆σ
∆ε
ε
pl
C
D
1 1
ε
1tot
ε
el
E
Andre metaller begynner å flyte gradvis ved B og får også fastning opp til punkt E.
I punkt E har vi den maksimale spenningen som prøven kan bære. Fra E faller spenningen og
bruddet kommer ved F. Fallet i spenning er egentlig et fall i anvendt kraft idet 2.-aksen viser
F
nominell spenning, dvs. σ N = , der A0 er det opprinnelige tverrsnittsarealet. Egentlig er det
A0
feil å dividere med det opprinnelige tverrsnittsarealet, for under strekkingen blir strekkprøven
tynnere, og nevneren regnes feil. Det byr på praktiske problemer å måle det virkelige arealet
(den virkelige diameter), og det er kun etter noe flyting at feilen er merkbar.
Det er kun i området OA at kurven at vi kan lese av E-modulen. Merk likevel at det i den
totale tøyningen εtot alltid inngår en andel av elastisk tøyning, ε el . Den oppnådde plastiske
tøyningen når lasten tas vekk kan uttrykkes:
ε pl =εtot −ε el
3 Det er ofte fluktuasjoner på dette stykket.
4 Dvs. vi finner det for alle duktile metaller når vi tester enkrystaller. Ingen tekniske metaller er enkrystaller. Av
bruksmetaller er det kun karbonstål som har dette området i vanlig, flerkrystallinsk form.
F
εNominell
Nominell spenning - tøyningskurve for et metall. Det er kun
duktilt karbonstål som har kurven gjennom C og D.

HIN IBDK
Side 7 av 8
RA 02.11.05
I en standard for materialprøving betegnes spesielle spenningsverdier ikke med σ , men med
bokstaven R og indekser. Standardiserte prøvingsverdier er nominelle spenninger (opprinnelig
areal i nevner). Bruddspenningen, Rm, leses av i punkt E.
Tøyningsmålet som benyttes ved strekkprøving er nominell tøyning 5 .
l−l0∆l ε=ε N = =
l0 l0
Hele kurven frem til brudd kalles ofte arbeidskurven fordi arealet under kurven er et uttrykk
for det plastiske arbeidet frem til brudd. Et material med lang arbeidskurve sies å ha god
duktilitet.
Før det blir innsnøring på prøvestaven kan vi regne med at det er jevn tøyning i hele
prøvestykket. Under bruddet er det betydelig innsnøring og man bruker å angi duktilitetsmålet
bruddforlengelse, A, (ikke tøyning, fordi tøyningen er svært ujevnt fordelt over prøvestykket).
Uttrykket blir:
lu−l0 A =
l0
der lu er lengden av målelengden når de to bitene av prøven holdes tett sammen (Figur 1).
Den heltrukne kurven på Figur 2 viser karbonståltyper. I punkt C leser vi av flytespenningen
R EH . Like til høyre for C kan vi lese av R EL . Metaller som ikke har en slik veldefinert
flytespenning får kurver som den stiplede linja på Figur 2. Da benyttes Rp0,2 som uttrykk for
flytespenning, dvs. den spenningen som gir en plastisk (varig) tøyning på 0,2 %, Se Figur 3.
Figur 3 Strekkprøving av aluminium (HiN-Lab)
Spenning, tøyning og avlesing av Rp02
Ved styrkeberegninger av
konstruksjoner benyttes fastheter
som skal tas fra
konstruksjonsstandarder. Disse
betegnes f og kan baseres på
flytespenning eller på
bruddspenning (forskjellige tall
naturligvis). f-verdiene vil ofte
variere med dimensjonen som
benyttes. Ved grovere bjelker
skal det benyttes lavere
flytespenninger. Som eksempel
skal nevnes stål S235JRG2 (en
fasthetsklasse som tidligere ble
omtalt som ”st37”). For dette
stålet skal tillatt spenning (flyt)
regnes som følger:
Nominell tykkelse ≤ 16 mm: f = 235 MPa.
Nominell tykkelse 80 - 100 mm: f = 215 MPa.
Nominell tykkelse 200 - 250 mm: f = 175 MPa.
l
5 dl l
I motsetning til logaritmisk tøyning (akkumulert tøyning) ε = ⌠⎮ = ln
⌡l
l l
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0
.

HIN IBDK
Side 8 av 8
RA 02.11.05
I lab.-oppgaven 6 ”Strekkprøving” skal dere finne ut mer om betegnelser som benyttes ved
materialprøving av metalliske materialer. Dere skal også finne duktilitetsverdier så som
bruddforlengelse og bruddkontraksjon.
MPa
600
Figur 4
Prinsipielle spenning -tøynings kurver for noen materialtyper. GRP (glassfiber armert
plast), f.eks. epoxyimpregnert glassfiberduk herdet ved 160 °C. HDPE: High density
polyetylen – en plasttype. Tallene er ment som illustrasjon.
På Figur 4 vises det prinsipielle forløpet for strekkprøvingskurven til en del forskjellige
materialer. Bemerk at forskjellige materialtyper skal prøves etter forskjellige standarder.
Oppgaver 6
Ved strekkprøving av et metall fant man følgende verdier for spenning og tøyning:
σ [MPa] 35 70 140 244 266 278
ε [%] 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2
a) Tegn et tydelig diagram som viser spenning som funksjon av tøyning.
b) Finn E-modulen for metallet.
c) En vanlig brukt verdi for flytespenning er Rp02, dvs. spenning ved 0,2 % plastisk
tøyning. Les av denne.
d) En 5 meter lang stang i dette materialet belastes med 244 MPa. i) Hvor lang er den
under belastning? Så avlastes den så det ikke virker noen belastning på den. ii) Hvor
lang er den nå? Oppgi svarene med 1 mm nøyaktighet.
e) Beregn bruddforlengelse A, for tallverdiene i Figur 1.
6 Industriteknikk
σNominell
0,5 %
Herdet stål
Herdet aluminium
GRP
Duktilt stål
20 %
εNominell
MPa
20
σNominell
HDPE
5 %
100 %
Gummi
εNominell