Veien frem til beviset for Fermats siste sats - IfI

Veien frem til beviset for Fermats siste sats
Øyvind Ryan
Department of informatics, University of Oslo
e–mail: oyvindry@ifi.uio.no ∗
Jeg bygger på boka [2] i opplysningene som finnes her.
1 Tidsforløp for fremganger i Fermats siste sats
1601-1665: Pierre de Fermat. Jobber som dommer. Matematisk problemløser
i stor stil på fritidsbasis. Holder sine bevis hemmelig. Finner vennlige tall:
Tall som er sum av hverandres divisorer. Finner for eksempel (17296,18416).
Formulerer problemet x n + y n = z n . Sier i margen på sine notater at han har
løst dette. Fermat studerer og elliptiske ligninger. Viser at y 2 = x 3 − 2 kun har
løsningen (3, 5).
1707-: Leonhard Euler. Fant beviset for Fermats siste sats for n = 4 i
Fermats egne notater. Bruker metoden med uendelig nedstigning. Klarer bevise
for n = 3 ved å jobbe innenfor de komplekse tall i stedet.
1825: Sophie Germain. Kontakter Carl Friedrich Gauss med ideer om hvoordan
Fermat kan løses for n = 2p + 1, p primtall. Legendre og Dirichlet bygger
på disse ideene og beviser at Fermat er sann for n = 5.
1839: Lamé. Beviser Fermat for n = 7.
1847: Cauchy og Lamé sier samtidig at de er nære ved et generelt bevis for
Fermats sats. Ernst Kummer sier at metoden de bygger på umulig vil kunne
fungere siden de bygger på entydig faktorisering av komplekse tall. Dette holder
ikke alltid:
12 = (1 + √ 11i)(1 − √ 11i) = (2 + √ 8i)(2 − √ 8i).
Dette problemet kan omgås for lave n, men for irregulære primtall (37,59,67
etc.) er det ikke like lett lenger. Ernst Kummer: Viser at holder å vise Fermats
sats for irregulære primtall.
1800-tallet: Poincaré studerer modulære former. En modulær form er en
punktmengde i det hyperbolske rom som har speilingssymmetri, rotasjonssymmetri
og translasjonssymmetri. En modulær form kan stykkes opp i forskjellige
ingredisenser 1,2,3,..., og kan klassifiseres ved porsjonene M 1 , M 2 , M 3 ,... av hver
slik ingrediens. Rekken {M 1 , M 2 , M 3 , ...} kalles M-rekken til den modulære formen.
1908: Wolfskehl oppretter pris. Han hadde bestemt seg for å ta selvmord,
men natten før han skulle ta selvmord satt han og leste en matematisk publikasjon
relatert til Fermats siste sats av Kummer. Der fant han en feil som han
klarte å rette. Inspirert av dette bestemte han seg for ikke å ta selvmord likevel.
Prisen er til ære for det matematsike problemet som var med på å redde livet
1

hans. Den som beviser Fermats siste sats får 100.000 tyske mark. Reiser enorm
interesse for problemet. Mottar en strøm av feilaktige bevis.
1931: Gödel beviser to uavgjørbarhetssatser. Frykten for at Fermats siste
sats faktisk kan være uløselig vokser. Cohen beviser at kontinuumshypotesen
(fremsatt av Hilbert) er uavgjørbar.
1955: Taniyama og Shimura fremstiller en formodning: Enhver modulær
form svarer til en elliptisk ligning. Eller litt mer presist: En tallfølge er en E-
rekke for en elliptisk ligning hvis og bare hvis den er en M-rekke for en modulær
form. Formodningen blir senere kjent som Taniyama-Shimura formodingen.
1975: Andrew Wiles begynner å studere elliptiske ligninger.
Definition 1 La a, b, c være hele tall. En elliptisk ligning kan skrives
y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c.
Løsningene til denne kalles en elliptisk kurve. E-rekken {E 1 , E 2 , E 3 , ...} til en
elliptisk ligning er antall heltallsløsninger modulo n:
E i = {#(x, y)|y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c mod i}.
Elliptiske ligninger er et felt som er mye mer studert enn modulære former.
1980-årene: Har vist at Fermats sats holder for n < 25000 ved hjelp av
datamaskiner.
1983: Faltings beviser at Fermats ligning for en gitt n kan kun ha endelig
antall løsninger.
1985: Frey konstruerer den elliptiske ligningen
y 2 = x 3 + (A n − B n )x 2 − A n B n
fra en tenkt løsning (A, B, C) av Fermats sats. Påstår at dennes E-rekke umulig
kan være en M-rekke for en modulær form. Derfor: Hvis man beviser Taniyama-
Shimura formodingen så har man også bevist Fermats siste sats.
1986: Ribet beviser at Freys elliptiske ligning ikke er modulær. Andrew
Wiles låser seg inne på et kvisteværelse hjemme, bruker sin bakgrunn fra elliptiske
ligninger til å forsøke å bevise Taniyama-Shimura formodingen.
1988: Miyaoka sier han har løst Fermats siste sats. Bruker differensialgeometri,
bygger på Faltings resultater. Beviset viser seg å ikke holde.
I stedet for å forsøke å parre enhver elliptisk E-rekke med en modulær M-
rekke, leter Wiles etter et system for å klassifisere det første leddet i enhver
E-rekke sammen med det første leddet i enhver M-rekke. Deretter forsøker han
induktivt å se på det neste leddet samlet. Klarer å vise det første leddet i denne
induksjonskjeden ved å anvende Galois gruppeteori: Studerte Galois gruppen
til en håndfull løsninger av den elliptiske ligningen.
1991: Gir opp å bruke Iwasawa-teori til å bevise Taniyama-Shimura.
1992: Deltar på konferanse om elliptiske ligninger i Boston. John Coates
penser han inn på Kolyvagin-Flachs metode for å analysere elliptiske ligninger.
Splitter elliptiske ligninger opp i mange klasser, klarer å bruke metoden til å
bevise induksjonssteget for klasse etter klasse.
1993, mai: Klarer å bevise Taniyama-Shimura for den siste klassen av elliptiske
ligninger ved hjelp av artikkel av Barry Masur. Får først Nick Katz
til å sjekke beviset gjennom et seminar: ”L-funksjoner og aritmetikk”. Holder
deretter forelesningsserie under tittelen ”Modulære former, elliptiske kurver og
2

Galois representasjoner” på en konferanse. Fremsetter resultatet her. Artikkel
på 200 sider sendes til tidsskrift. Får 6 refereer.
1993, August: Nick Katz påpeker en fundamental svikt i beviset. Kolyvagin-
Flach metoden kan ikke brukes på alle typer elliptiske ligninger likevel. Får hjelp
av Richard Taylor til å dekke hullet i beviset. Tiden går, men det viser seg å
være vanskelig å dekke hullet.
1994, 1.april. Noam Elkies sier at han har funnet et moteksempel på Fermats
siste sats. Aprilsnar! Dette er samme person som i 1988 fant løsningen
2682440 4 + 15365639 4 + 187960 4 = 20615673 4
på ligningen x 4 + y 4 + z 4 = w 4 .
1994, 19. september. Wiles oppdager at Kolyvagin-Flachs metode kan
brukes i hans tilnærming via Iwasawa teori. Disse utfyller hverandre perfekt,
og beviset blir vesentlig kortere.
1995, mai: To artikler med beviset blir publisert i Annals of Mathematics.
Den første artikkelen [3] inneholder et fullstendig bevis som avhenger av kun
ett ekstra punkt. Dette punktet bevises i den andre artikkelen [1]. Den andre
artikkelen er det som fyller hullet i det opprinnelige beviset.
1997, 27. juni: Wolfskehl-prisen blir utdelt til Wiles.
2 Uløste problemer
Følgende problemer er uløste og kan tas som hjemmelekse til mandag:
1. Et tall er fullkomment hvis det kan skrives som sum av sine divisorer. For
eksempel er 6 fullkomment, siden 6 = 1 + 2 + 3. Er alle fullkomne tall
partall?
2. Finnes det uendelig mange fullkomne tall?
3. Primtallstvillinger er par av primtall (p, q) der q = p + 2. Finnes det
uendelig mange primtallstvillinger? Man har bevist (i 1966) at svaret er
ja hvis man svekker betingelsene til at et av tallene er et ”nesten-primtall”,
det vil si at det er et produkt av to primtall.
4. Goldbachs formodning: Kan ethvert partall skrives som en sum av to
primtall? Man har vist dette opp til 100 millioner. Man har også vist
at ethvert partall kan skrives som en sum av mindre enn 800000 primtall.
Den russiske matematikeren Vinogradov fikk i 1941 100000 rubler fra
Stalin fordi han hadde kommet et stykke på vei med å bevise Goldbachs
formodning.
5. Hvor tett kan man pakke kuler i rommer? Tetteste kjente er 74%. I 1958
beviste man at 77.97% er en øvre grense. Dette ble senket til 77.84% i
1988. Den norske matematikeren Axel Thue løste i 1892 det todimensjonale
problemet.
Andre enkle hjemmeoppgaver:
1. Les artikkelserien som klassifiserer endelige, simple grupper. Til sammen
15000 sider. Den eneste matematikeren som hadde jobbet seg gjennom
alt dette døde i 1992.
3

References
[1] Andrew Wiles Richard Taylor. Ring-theoretic properties of certain hecke
algebra. Annals of Mathematics, 142:553–572, 1995.
[2] Simon Singh. JFermats siste sats. Aschehoug, 2004.
[3] Andrew Wiles. Modular elliptic curves and fermats last theorem. Annals of
Mathematics, 142:443–551, 1995.
4