Blandede oppgaver - Universitetet i Tromsø

Første ordens differensiallikninger.
Blandede oppgaver. Side 2
Oppgave 4 (Eksamen 28.05.96, litt endret)
a) Vis (ved å utføre integrasjonen) at
∫
1
2
( )
t
t
e costdt = e cost + sin t
+ C
f(t)
A
y
q ut
Vi skal nå se nærmere på hva som skjer når det blir
flom i ei lita elv. I elva er det gravd ut et basseng med
loddrette vegger, slik at arealet A av vannflaten er
konstant uavhengig av vannhøyden y i bassenget.
Videre antar vi at den vannmengden som strømmer inn
i bassenget er gitt ved en funksjon f(t) målt i m 3 /s, mens
den vannmengden som strømmer ut av bassenget er
q = k⋅ y der k er en konstant.
ut
b) Vi at vannhøyden y i bassenget er gitt ved differensiallikningen
dy
f () t − ky = A dt
Forklar hvordan du resonnerer.
c) Ved normal, konstant vannføring i elva er f(t) = 1.0 m 3 /s. Hvor stor er da den konstante
vannhøyden y 0 i bassenget
I resten av oppgaven skal du sette A = 1.0 og k = 1.0.
d) Når det blir flom i elva, antar vi at vannføringen er gitt ved formelen
f () t = 2− cost, 0≤t
≤ 2π
der t er antall dager siden flommen startet.
Benytt resultatene ovenfor til å vise at vannhøyden y(t) i bassenget i dette tidsrommet
finnes ved å løse differensiallikningen
dy
y 2 cost
dt + = − , y ( 0)
= 1 .
Løs denne likningen.
e) For å finne det tidspunktet da vannhøyden y(t) er størst, må vi løse likningen
sin t− cost+ e −t = 0 .
Vis dette.
Likningen lar seg ikke løse eksakt. Bruk Newtons metode til å finne en tilnærmet løsning
med 3 korrekte sifre. Bruk t 0
= π som startverdi.
Oppgave 5 (Eksamen xx.09.97)
a) Gitt funksjonen
−
30 30 t − t
y t = + e −40e
, t ≥ 0.
()
0.2 0.1
1) Finn minimumspunktet med tilhørende funksjonsverdi for y( t ) .
2) Tegn en skisse av grafen til yt ( ) med eventuelle asymptoter.
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.