Blandede oppgaver - Universitetet i Tromsø

Første ordens differensiallikninger.
Blandede oppgaver. Side 4
1) Vis at vannhøyden y nå er gitt ved differensiallikningen
1+ y dy = 0.001 1−
y dt.
( ) ( )
2) Løs denne likningen når du vet at karet var tomt når t = 0 .
3) Hvor lang tid tar det før vannhøyden når halvparten av sin maksimale verdi
Oppgave 7 (Eksamen 11.08.99, litt endret).
I denne oppgaven skal vi studere bevegelsen til en båt som har masse m = 1000 kg . Vi skal
anta at når båten går framover med fart v, så er friksjonskraften (vannmotstanden) gitt ved
F k der k = 500 N/ m/s .
f
=− ⋅v ( )
De integralene som forekommer, kan du løse med tabell, kalkulator eller liknende.
a) Ved tidspunktet t = 0 går båten med konstant fart v
0
= 10m/s . I dette øyeblikket
begynner motoren å fuske, og den stanser helt ved t = 5.0s . Anta at motorkraften avtar
lineært i dette tidsrommet. Tegn en graf av motorkraften ( )
grafen til å sette opp en formel for F( t ) når 0≤ t ≤ 5.
F t når 0 ≤t
≤5, og bruk
b) Vis at i tidsrommet 0≤t
≤5 er båtens fart gitt ved differensiallikningen
dv
1
+ v = 5 −t med startbetingelse
2
( )
dt v 0 = 10.
Løs denne differensial-likningen.
c) Sett opp den differensiallikningen som gjelder når t > 5, og løs denne. Tegn deretter graf
av farten som funksjon av t når t ≥ 0.
Oppgave 8 (Eksamen 16.09.00, litt endret.)
Et legeme med masse m =100kg beveger seg med en fart v gjennom vann. Vi antar at
størrelsen til vannmotstanden da er gitt ved
2
F = kv+
k v
1 2
k = ( ) ( ) 2
der
1
10 N/ m/s og k
2
= 1.0 N/ m/s , med retning mot bevegelsen.
Anta videre at summen av alle andre krefter er lik null.
()
a) Vis at legemets fart vt da er gitt ved differensiallikningen
dv
dt + + = .
2
100 10v
v 0
b) Løs denne likningen når v 0 = 10 m/ s, og illustrer løsningen grafisk for 0≤t
≤30
sekunder.
( )
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.