Blandede oppgaver - Universitetet i Tromsø

Første ordens differensiallikninger.
Blandede oppgaver. Side 1
Blandede oppgaver.
Her finner du en samling av oppgaver innen differensiallikninger. De fleste av oppgavene har
vært gitt som eksamensoppgaver. Du finner løsning på oppgavene ved å klikke på oppgavenummeret.
Oppgave 1
a) (Eksamen 26.05.99)
Løs differensiallikningen
2
x ⋅y'
− y = x ⋅ cosx.
b) (Eksamen 17.08.99).
Løs disse differensiallikningene:
2
1) xy'
= y − y
2)
2
y' − 3x y =
3e
3
x
1−
9x
2
Oppgave 2
Løs disse differensiallikningene med de oppgitte startbetingelsene:
a) (Eksamen 28.05.96).
dx 2
x x
dt = + x ( 0)
= 1.
b) (Eksamen 30.08.96)
dx x
2
+ = 1− t , x () 1 = 0
dt t
c) (Eksamen 01.09.98)
dx
k A x t
( )
dt = − ⋅ , x(
)
d) (Eksamen 19.05.99)
2
x y'
y x
⋅ − = , ( )
e) (Eksamen 11.10.02)
2
x y'
y x cos
0 = 2A
y 2 = 10
⋅ = + x, y( π )
= π .
Oppgave 3 (Eksamen 20.08.96)
Løs differensial-likningen
2 dx 2
t 2x
dt = − x
når du får opplyst at lim xt = 1.
t →∞
()
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Første ordens differensiallikninger.
Blandede oppgaver. Side 2
Oppgave 4 (Eksamen 28.05.96, litt endret)
a) Vis (ved å utføre integrasjonen) at
∫
1
2
( )
t
t
e costdt = e cost + sin t
+ C
f(t)
A
y
q ut
Vi skal nå se nærmere på hva som skjer når det blir
flom i ei lita elv. I elva er det gravd ut et basseng med
loddrette vegger, slik at arealet A av vannflaten er
konstant uavhengig av vannhøyden y i bassenget.
Videre antar vi at den vannmengden som strømmer inn
i bassenget er gitt ved en funksjon f(t) målt i m 3 /s, mens
den vannmengden som strømmer ut av bassenget er
q = k⋅ y der k er en konstant.
ut
b) Vi at vannhøyden y i bassenget er gitt ved differensiallikningen
dy
f () t − ky = A dt
Forklar hvordan du resonnerer.
c) Ved normal, konstant vannføring i elva er f(t) = 1.0 m 3 /s. Hvor stor er da den konstante
vannhøyden y 0 i bassenget
I resten av oppgaven skal du sette A = 1.0 og k = 1.0.
d) Når det blir flom i elva, antar vi at vannføringen er gitt ved formelen
f () t = 2− cost, 0≤t
≤ 2π
der t er antall dager siden flommen startet.
Benytt resultatene ovenfor til å vise at vannhøyden y(t) i bassenget i dette tidsrommet
finnes ved å løse differensiallikningen
dy
y 2 cost
dt + = − , y ( 0)
= 1 .
Løs denne likningen.
e) For å finne det tidspunktet da vannhøyden y(t) er størst, må vi løse likningen
sin t− cost+ e −t = 0 .
Vis dette.
Likningen lar seg ikke løse eksakt. Bruk Newtons metode til å finne en tilnærmet løsning
med 3 korrekte sifre. Bruk t 0
= π som startverdi.
Oppgave 5 (Eksamen xx.09.97)
a) Gitt funksjonen
−
30 30 t − t
y t = + e −40e
, t ≥ 0.
()
0.2 0.1
1) Finn minimumspunktet med tilhørende funksjonsverdi for y( t ) .
2) Tegn en skisse av grafen til yt ( ) med eventuelle asymptoter.
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Første ordens differensiallikninger.
Blandede oppgaver. Side 3
b) Vi skal nå studere temperaturen på hytta di. Vi antar at dersom det ikke er noen energitilførsel,
så er varmetapet proporsjonalt med innetemperaturen. Dette leder til at
innetemperaturen yt ( ) er gitt ved differensiallikningen
dy
ky
dt =−
der t er tiden målt i timer.
1) Løs denne likningen når du vet at ( )
y 0 = 20
grader.
2) Finn k når du vet at temperaturen synker fra 20 grader til 12.1 grader på 5 timer.
c) Når sola står opp, blir det en energitilførsel. Vi antar at denne energitilførselen fører til at
innetemperaturen på hytta er gitt ved
dy
−at
=− ky + 31 ( − e )
dt
der k = 0.1 og a = 0.2 når t er gitt i timer.
1) Løs denne likningen når du vet at ( )
y 0 = 20
grader.
2) Bruk resultatene fra oppgave a) til å fortelle hvordan temperaturen i hytta utvikler seg.
3) Finn lim y t kun ved å benytte den gitte differensiallikningen (uten å kjenne
t →∞
løsningen).
()
Oppgave 6 (Eksamen 01.09.98)
y
En beholder har kvadratisk bunn med
sidekant a. Bunnen står vannrett. Tre
sidekanter står loddrett, den fjerde
danner en vinkel på 45 o med
horisontalplanet. Se figuren. Vi fyller
vann i karet, og vannhøyden er y.
45 o a
a
a) Sett opp en formel for vannvolumet
uttrykt ved a og y.
I resten av oppgaven skal du sette
a = 1 m .
b) Vi fyller vann i karet med en hastighet på 0.001 m 3 /s. Hvor fort øker vannhøyden y i det
øyeblikk y = 0.25 m
c) Vi lager et avløp i bunnen av karet, slik at den vannmengden som renner ut er gitt ved
0.001y (målt i m
3 /s). Det renner fremdeles 0.001 m 3 /s inn i karet.
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Første ordens differensiallikninger.
Blandede oppgaver. Side 4
1) Vis at vannhøyden y nå er gitt ved differensiallikningen
1+ y dy = 0.001 1−
y dt.
( ) ( )
2) Løs denne likningen når du vet at karet var tomt når t = 0 .
3) Hvor lang tid tar det før vannhøyden når halvparten av sin maksimale verdi
Oppgave 7 (Eksamen 11.08.99, litt endret).
I denne oppgaven skal vi studere bevegelsen til en båt som har masse m = 1000 kg . Vi skal
anta at når båten går framover med fart v, så er friksjonskraften (vannmotstanden) gitt ved
F k der k = 500 N/ m/s .
f
=− ⋅v ( )
De integralene som forekommer, kan du løse med tabell, kalkulator eller liknende.
a) Ved tidspunktet t = 0 går båten med konstant fart v
0
= 10m/s . I dette øyeblikket
begynner motoren å fuske, og den stanser helt ved t = 5.0s . Anta at motorkraften avtar
lineært i dette tidsrommet. Tegn en graf av motorkraften ( )
grafen til å sette opp en formel for F( t ) når 0≤ t ≤ 5.
F t når 0 ≤t
≤5, og bruk
b) Vis at i tidsrommet 0≤t
≤5 er båtens fart gitt ved differensiallikningen
dv
1
+ v = 5 −t med startbetingelse
2
( )
dt v 0 = 10.
Løs denne differensial-likningen.
c) Sett opp den differensiallikningen som gjelder når t > 5, og løs denne. Tegn deretter graf
av farten som funksjon av t når t ≥ 0.
Oppgave 8 (Eksamen 16.09.00, litt endret.)
Et legeme med masse m =100kg beveger seg med en fart v gjennom vann. Vi antar at
størrelsen til vannmotstanden da er gitt ved
2
F = kv+
k v
1 2
k = ( ) ( ) 2
der
1
10 N/ m/s og k
2
= 1.0 N/ m/s , med retning mot bevegelsen.
Anta videre at summen av alle andre krefter er lik null.
()
a) Vis at legemets fart vt da er gitt ved differensiallikningen
dv
dt + + = .
2
100 10v
v 0
b) Løs denne likningen når v 0 = 10 m/ s, og illustrer løsningen grafisk for 0≤t
≤30
sekunder.
( )
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.