Noter i sandsynlighedsregning

MS Sætn. 6.2.3: Hvis (X 1 , . . . , X n ) er en n-dimensional kontinuert stokastiskvektor, de stokastiske variable X 1 , . . . , X n er uafhængige, og ψ : R n−k → R,hvor k < n, så er de k + 1 stokastiske variable X 1 , . . . , X k , ψ(X k+1 , . . . , X n )uafhængige.Middelværdi.MS Sætn. 6.4.1: Hvis X er en n-dimensional kontinuert stokastisk vektor medtæthed p, og ψ : R n → R er en funktion, da har den stokastiske variabel ψ(X)middelværdi hvis og kun hvis∫R n |ψ(x 1 , . . . , x n )|p(x 1 , . . . , x n ) dx 1 , · · · , dx n < ∞og i så fald er∫E(ψ(X)) = ψ(x 1 , . . . , x n )p(x 1 , . . . , x n ) dx 1 , · · · , dx nR nMS Sætn. 6.4.2: Hvis X 1 , . . . , X n er kontinuerte stokastiske variable, som allehar middelværdi, da har den stokastiske variabel X 1 + · · · + X n middelværdi, ogE(X 1 + · · · + X n ) = E(X 1 ) + · · · + E(X n )Hvis yderligere X 1 , . . . , X n er uafhængige, har også X 1 · X 2 · · · X n middelværdiogE(X 1 · · · X n ) = E(X 1 ) · E(X 2 ) · · · E(X n )MS Sætn. 6.4.4: Hvis (X 1 , X 2 ) er en kontinuert stokastisk vektor, som opfylder,at X 2 har middelværdi, samt at |X 1 | ≤ |X 2 |, da har også X 1 middelværdi.Varians.Hvis de kontinuerte stokastiske variable X 1 og X 2 har varians, gælderVar(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1 , X 2 )Kovarians.Denition: Hvis to kontinuerte stokastiske variable X og Y opfylderE(X 2 ) < ∞ og E(Y 2 ) < ∞deneres deres kovarians vedCov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]Kovariansen kan beregnes vedCov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )Desuden gælder10